![Page 1: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/1.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Interpolación y extrapolación
Interpolación
x ∈[
mıni=0,...,n
xi, maxi=0,...,n
xi
]
Extrapolación
x 6∈[
mıni=0,...,n
xi, maxi=0,...,n
xi
]
¿Hay diferencia entre interpolación y extrapolación?
ejemplo7.m muestra que aunque la interpolación sea buena laextrapolación no necesariamente lo es.
Computación
![Page 2: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/2.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Interpolación y extrapolación
Interpolación
x ∈[
mıni=0,...,n
xi, maxi=0,...,n
xi
]
Extrapolación
x 6∈[
mıni=0,...,n
xi, maxi=0,...,n
xi
]
¿Hay diferencia entre interpolación y extrapolación?
ejemplo7.m muestra que aunque la interpolación sea buena laextrapolación no necesariamente lo es.
Computación
![Page 3: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/3.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Interpolación y extrapolación
Interpolación
x ∈[
mıni=0,...,n
xi, maxi=0,...,n
xi
]
Extrapolación
x 6∈[
mıni=0,...,n
xi, maxi=0,...,n
xi
]
¿Hay diferencia entre interpolación y extrapolación?
ejemplo7.m muestra que aunque la interpolación sea buena laextrapolación no necesariamente lo es.
Computación
![Page 4: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/4.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Interpolación y extrapolación
Interpolación
x ∈[
mıni=0,...,n
xi, maxi=0,...,n
xi
]
Extrapolación
x 6∈[
mıni=0,...,n
xi, maxi=0,...,n
xi
]
¿Hay diferencia entre interpolación y extrapolación?
ejemplo7.m muestra que aunque la interpolación sea buena laextrapolación no necesariamente lo es.
Computación
![Page 5: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/5.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Errores y tiempos de ejecución
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(1). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(0). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(0,99). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Computación
![Page 6: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/6.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Errores y tiempos de ejecución
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(1). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(0). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(0,99). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Computación
![Page 7: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/7.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Errores y tiempos de ejecución
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(1). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(0). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(0,99). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Computación
![Page 8: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/8.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Para los ejemplos anteriores graficar el tiempo de ejecución enfunción del grado del polinomio. Comparar con el número deoperaciones realizadas.
ConclusiónLos ejemplos anteriores muestran que:
Para grandes valores de n, tanto en los casos de interpolacióncomo de extrapolación se producen grandes errores en laevaluación de la función.
El tiempo de evaluación aumenta cuadraticamente en ladimensión del polinomio.
Como el polinomio interpolatorio es único estos echos sólo se puedendeber al número de operaciones.
Computación
![Page 9: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/9.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Polinomio interpolatorio de Newton
Sean Pk−1(x) y Pk(x) los polinomios de grado a lo sumo k−1 y k queinterpolan a f (x) en los puntos x0, . . . ,xk−1 y x0, . . . ,xkrespectivamente.
¿Qué le falta a Pk−1(x) para se Pk(x)?
Pk(x)−Pk−1(x) polinomio de grado a lo sumo k tal que para todoi = 0, · · · ,k−1:
Pk(xi)−Pk−1(xi) = 0
Pk(x)−Pk−1(x) = Ck ∗Qk(x)
Qk(x) =k−1
∏j=0
(x− x j)
Computación
![Page 10: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/10.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Polinomio interpolatorio de Newton
Sean Pk−1(x) y Pk(x) los polinomios de grado a lo sumo k−1 y k queinterpolan a f (x) en los puntos x0, . . . ,xk−1 y x0, . . . ,xkrespectivamente.
¿Qué le falta a Pk−1(x) para se Pk(x)?
Pk(x)−Pk−1(x) polinomio de grado a lo sumo k tal que para todoi = 0, · · · ,k−1:
Pk(xi)−Pk−1(xi) = 0
Pk(x)−Pk−1(x) = Ck ∗Qk(x)
Qk(x) =k−1
∏j=0
(x− x j)
Computación
![Page 11: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/11.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Polinomio interpolatorio de Newton
Sean Pk−1(x) y Pk(x) los polinomios de grado a lo sumo k−1 y k queinterpolan a f (x) en los puntos x0, . . . ,xk−1 y x0, . . . ,xkrespectivamente.
¿Qué le falta a Pk−1(x) para se Pk(x)?
Pk(x)−Pk−1(x) polinomio de grado a lo sumo k tal que para todoi = 0, · · · ,k−1:
Pk(xi)−Pk−1(xi) = 0
Pk(x)−Pk−1(x) = Ck ∗Qk(x)
Qk(x) =k−1
∏j=0
(x− x j)
Computación
![Page 12: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/12.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Polinomio interpolatorio de Newton
Sean Pk−1(x) y Pk(x) los polinomios de grado a lo sumo k−1 y k queinterpolan a f (x) en los puntos x0, . . . ,xk−1 y x0, . . . ,xkrespectivamente.
¿Qué le falta a Pk−1(x) para se Pk(x)?
Pk(x)−Pk−1(x) polinomio de grado a lo sumo k tal que para todoi = 0, · · · ,k−1:
Pk(xi)−Pk−1(xi) = 0
Pk(x)−Pk−1(x) = Ck ∗Qk(x)
Qk(x) =k−1
∏j=0
(x− x j)
Computación
![Page 13: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/13.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
i = 0, . . . ,k−1
Pk(xi) = Pk−1(xi)+Ck ∗Qk(xi) = Pk−1(xi) = fi
xk
fk = Pk(xk) = Pk−1(xk)+Ck ∗Qk(xk) = Pk−1(xk)+Ck
k−1
∏j=0
(xk− x j)
luego
Ck =fk−Pk−1(xk)
∏k−1j=0 (xk− x j)
.
Computación
![Page 14: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/14.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
i = 0, . . . ,k−1
Pk(xi) = Pk−1(xi)+Ck ∗Qk(xi) = Pk−1(xi) = fi
xk
fk = Pk(xk) = Pk−1(xk)+Ck ∗Qk(xk) = Pk−1(xk)+Ck
k−1
∏j=0
(xk− x j)
luego
Ck =fk−Pk−1(xk)
∏k−1j=0 (xk− x j)
.
Computación
![Page 15: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/15.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
i = 0, . . . ,k−1
Pk(xi) = Pk−1(xi)+Ck ∗Qk(xi) = Pk−1(xi) = fi
xk
fk = Pk(xk) = Pk−1(xk)+Ck ∗Qk(xk) = Pk−1(xk)+Ck
k−1
∏j=0
(xk− x j)
luego
Ck =fk−Pk−1(xk)
∏k−1j=0 (xk− x j)
.
Computación
![Page 16: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/16.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Pk(x) = Pk−1(x)+fk−Pk−1(xk)
∏k−1j=0 (xk− x j)
∗Qk(x)
Pk(x) = Pk−1(x)+fk−Pk−1(xk)
Qk(xk)∗Qk(x)
Diferencia dividida
Se denomina direfencia dividida de orden k de f en los puntosx0, . . . ,xk al número:
Ck =fk−Pk−1(xk)
Qk(xk)
y se la denota por:f [x0, . . . ,xk] .
Computación
![Page 17: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/17.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Pk(x) = Pk−1(x)+fk−Pk−1(xk)
∏k−1j=0 (xk− x j)
∗Qk(x)
Pk(x) = Pk−1(x)+fk−Pk−1(xk)
Qk(xk)∗Qk(x)
Diferencia dividida
Se denomina direfencia dividida de orden k de f en los puntosx0, . . . ,xk al número:
Ck =fk−Pk−1(xk)
Qk(xk)
y se la denota por:f [x0, . . . ,xk] .
Computación
![Page 18: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/18.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Pk(x) = Pk−1(x)+fk−Pk−1(xk)
∏k−1j=0 (xk− x j)
∗Qk(x)
Pk(x) = Pk−1(x)+fk−Pk−1(xk)
Qk(xk)∗Qk(x)
Diferencia dividida
Se denomina direfencia dividida de orden k de f en los puntosx0, . . . ,xk al número:
Ck =fk−Pk−1(xk)
Qk(xk)
y se la denota por:f [x0, . . . ,xk] .
Computación
![Page 19: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/19.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Para calcular Pk(x) k = 1, . . . ,n se necesita:
Pk−1(x)fk
Qk(x)
P0(x)Es el polinomio que interpola a la función en el punto x0
P0(x) = f0
Computación
![Page 20: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/20.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Para calcular Pk(x) k = 1, . . . ,n se necesita:
Pk−1(x)fk
Qk(x)
P0(x)Es el polinomio que interpola a la función en el punto x0
P0(x) = f0
Computación
![Page 21: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/21.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Para calcular Pk(x) k = 1, . . . ,n se necesita:
Pk−1(x)fk
Qk(x)
P0(x)Es el polinomio que interpola a la función en el punto x0
P0(x) = f0
Computación
![Page 22: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/22.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Para calcular Pk(x) k = 1, . . . ,n se necesita:
Pk−1(x)fk
Qk(x)
P0(x)Es el polinomio que interpola a la función en el punto x0
P0(x) = f0
Computación
![Page 23: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/23.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Para calcular Pk(x) k = 1, . . . ,n se necesita:
Pk−1(x)fk
Qk(x)
P0(x)Es el polinomio que interpola a la función en el punto x0
P0(x) = f0
Computación
![Page 24: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/24.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
P0(x) = f0
Computación
![Page 25: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/25.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
P0(x) = f0
P1(x) = f0 +f1−P0(x1)
Q1(x1)Q1(x)
Computación
![Page 26: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/26.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
P0(x) = f0
P1(x) = f0 +f1−P0(x1)
Q1(x1)Q1(x)
P2(x) = f0 +f1−P0(x1)
Q1(x1)Q1(x)+
f2−P1(x2)Q2(x2)
Q2(x)
Computación
![Page 27: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/27.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
P0(x) = f0
P1(x) = f0 +f1−P0(x1)
Q1(x1)Q1(x)
P2(x) = f0 +f1−P0(x1)
Q1(x1)Q1(x)+
f2−P1(x2)Q2(x2)
Q2(x)
P3(x) = f0 +f1−P0(x1)
Q1(x1)Q1(x)+
f2−P1(x2)Q2(x2)
Q2(x)+f3−P2(x3)
Q3(x3)Q3(x)
Computación
![Page 28: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/28.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
P0(x) = f0
P1(x) = f0 +f1−P0(x1)
Q1(x1)Q1(x)
P2(x) = f0 +f1−P0(x1)
Q1(x1)Q1(x)+
f2−P1(x2)Q2(x2)
Q2(x)
P3(x) = f0 +f1−P0(x1)
Q1(x1)Q1(x)+
f2−P1(x2)Q2(x2)
Q2(x)+f3−P2(x3)
Q3(x3)Q3(x)
...
Computación
![Page 29: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/29.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Ejemplo
xi fi
1 12 43 9
Se busca
P2(x) = a0 +a1(x−1)+a2(x−1)(x−2).
Computación
![Page 30: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/30.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Ejemplo
xi fi
1 12 43 9
Se busca
P2(x) = a0 +a1(x−1)+a2(x−1)(x−2).
Computación
![Page 31: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/31.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Procedimiento
P0(x) = f (x0) = 1
Computación
![Page 32: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/32.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Procedimiento
P0(x) = f (x0) = 1
P1(x) = 1+f (x1)−P0(x1)
x1− x0(x− x0)
Computación
![Page 33: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/33.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Procedimiento
P0(x) = f (x0) = 1
P1(x) = 1+f (x1)−P0(x1)
x1− x0(x− x0)
= 1+4−12−1
(x−1)
Computación
![Page 34: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/34.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Procedimiento
P0(x) = f (x0) = 1
P1(x) = 1+f (x1)−P0(x1)
x1− x0(x− x0)
= 1+4−12−1
(x−1)
= 1 + 3 (x−1) = 3x−2
Computación
![Page 35: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/35.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Procedimiento
P0(x) = f (x0) = 1
P1(x) = 1+f (x1)−P0(x1)
x1− x0(x− x0)
= 1+4−12−1
(x−1)
= 1 + 3 (x−1) = 3x−2
P2(x) = 1+3(x−1)+f (x2)−P1(x2)
(x2− x0)(x2− x1)(x− x0)(x− x1)
Computación
![Page 36: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/36.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Procedimiento
P0(x) = f (x0) = 1
P1(x) = 1+f (x1)−P0(x1)
x1− x0(x− x0)
= 1+4−12−1
(x−1)
= 1 + 3 (x−1) = 3x−2
P2(x) = 1+3(x−1)+f (x2)−P1(x2)
(x2− x0)(x2− x1)(x− x0)(x− x1)
= 1+3(x−1)+9−7
(3−1)(3−2)(x−1)(x−2)
Computación
![Page 37: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/37.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Procedimiento
P0(x) = f (x0) = 1
P1(x) = 1+f (x1)−P0(x1)
x1− x0(x− x0)
= 1+4−12−1
(x−1)
= 1 + 3 (x−1) = 3x−2
P2(x) = 1+3(x−1)+f (x2)−P1(x2)
(x2− x0)(x2− x1)(x− x0)(x− x1)
= 1+3(x−1)+9−7
(3−1)(3−2)(x−1)(x−2)
= 1 + 3 (x−1)+ 1 (x−1)(x−2)
Computación
![Page 38: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/38.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Procedimiento
P0(x) = f (x0) = 1
P1(x) = 1+f (x1)−P0(x1)
x1− x0(x− x0)
= 1+4−12−1
(x−1)
= 1 + 3 (x−1) = 3x−2
P2(x) = 1+3(x−1)+f (x2)−P1(x2)
(x2− x0)(x2− x1)(x− x0)(x− x1)
= 1+3(x−1)+9−7
(3−1)(3−2)(x−1)(x−2)
= 1 + 3 (x−1)+ 1 (x−1)(x−2)= 3x−2+
(x2−3x+2
)Computación
![Page 39: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/39.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Procedimiento
P0(x) = f (x0) = 1
P1(x) = 1+f (x1)−P0(x1)
x1− x0(x− x0)
= 1+4−12−1
(x−1)
= 1 + 3 (x−1) = 3x−2
P2(x) = 1+3(x−1)+f (x2)−P1(x2)
(x2− x0)(x2− x1)(x− x0)(x− x1)
= 1+3(x−1)+9−7
(3−1)(3−2)(x−1)(x−2)
= 1 + 3 (x−1)+ 1 (x−1)(x−2)= 3x−2+
(x2−3x+2
)= x2.
Computación
![Page 40: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/40.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Implementar el método de Newton.
Pk(x) = ∑ki=0CkQk(x)�
f u n c t i o n pz=evalnewton1 ( c , x , z )k=columns ( c ) ;pz =0;f o r j =1: kwjm1=c ( j ) ;f o r i =1: j−1wj=wjm1∗ ( z−x ( i ) ) ;wjm1=wj ;
endpz=pz+wj ;
endend� �
Computación
![Page 41: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/41.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Implementar el método de Newton.
Pk(x) = ∑ki=0CkQk(x)�
f u n c t i o n pz=evalnewton1 ( c , x , z )k=columns ( c ) ;pz =0;f o r j =1: kwjm1=c ( j ) ;f o r i =1: j−1wj=wjm1∗ ( z−x ( i ) ) ;wjm1=wj ;
endpz=pz+wj ;
endend� �
Computación
![Page 42: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/42.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
�f u n c t i o n pz=evalnewton ( c , x , z )k=columns ( c ) ;pz=zeros ( s ize ( z ) ) ;f o r j =1: kwj=c ( j )∗ones ( s ize ( z ) ) ;f o r i =1: j−1wj=wj .∗ ( z−x ( i ) ) ;
endpz=pz+wj ;
endend� �
Computación
![Page 43: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/43.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Ejercicio
Usar evalnewton.m para resolver el ejemplo anterior.
Ejercicio
Contar las operaciones necesarias para evaluar un polinomio usandoevalnewton.m.
Ejercicio
Elaborar un programa que calcule la direfencia dividida de orden k def en los puntos x0, . . . ,xk usando la fórmula
Ck =fk−Pk−1(xk)
Qk(xk)
Computación
![Page 44: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/44.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Ejercicio
Usar evalnewton.m para resolver el ejemplo anterior.
Ejercicio
Contar las operaciones necesarias para evaluar un polinomio usandoevalnewton.m.
Ejercicio
Elaborar un programa que calcule la direfencia dividida de orden k def en los puntos x0, . . . ,xk usando la fórmula
Ck =fk−Pk−1(xk)
Qk(xk)
Computación
![Page 45: Polinomio de Newton Interpolación y extrapolación - …menzaque/0795/2010/filminas0427.pdf · Aproximación de funciones. Interpolación Polinomio de Newton Para los ejemplos anteriores](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022621/5bb07d4c09d3f2830e8c0ad4/html5/thumbnails/45.jpg)
Aproximación de funciones.InterpolaciónPolinomio de Newton
Ejercicio
Usar evalnewton.m para resolver el ejemplo anterior.
Ejercicio
Contar las operaciones necesarias para evaluar un polinomio usandoevalnewton.m.
Ejercicio
Elaborar un programa que calcule la direfencia dividida de orden k def en los puntos x0, . . . ,xk usando la fórmula
Ck =fk−Pk−1(xk)
Qk(xk)
Computación