Elettrotecnica II
9205F Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 1 di 15 Data ultima revisione 20/12/00 Autore: Stefano Grivet
Politecnico di Torino CeTeM
9205F-E0199 Cognome Nome Matricola 1 Marzo 1999
Voto
ES.1)Calcolare la trasformata di Laplace F(s) del segnale f(t) mostrato in figura.
Soluzione:
)4(2)3(3
)2(2
)()( TtuTtuT
TtTtu
TTt
Ttutf −−−−−−−+−=
Sfruttando le proprietà:
0)()(
1)(
1)(
0
2
st
L
esxttxs
tu
sttu
−→−
→
→
si ottiene sTsTsTsT e
se
sTe
sTe
ssF 43
22
2
211111)( −−−− −−+=
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9205F-E0199 Cognome Nome Matricola 1 Marzo 1999
Voto
ES.2) Dato il circuito mostrato in figura calcolare (attraverso il metodo simbolico con le trasformate di Laplace) e diagrammare la tensione v0(t). Siano R1=R2=R, vi(t)=Au(t) e all’istante 0 il condensatore sia caricato alla tensione VC0=A/4.
Soluzione:
Sfruttando Millman
+
+=
+++=
CG
s
sVCG
V
GsCGsGVCV
sViC
iC
2
)()()(
00
0
4 ; )( 0
AV
SA
sV Ci ==
sCGs
ssC
GAs
A
sV
+
//
+=
2
14)(0
Decomposizione in fratti semplici:
( ) CG
sconss
Ks
KsV
2 , )( 0
0
210 −=
−+=
+R
1
R2
CVi(t)
Vo (t)
Laplace →
+R
R1/sC
Vi(s) Vo(s)Vco C
I(s)
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Politecnico di Torino CeTeM
−=−=
==
→
→
4)()(lim
2)(lim
002
001
0
AsVssK
AssVK
ss
s
)()((t)v0 tueAA
sVt
CG
−==
−−2
01
42l
v0(t)
t τ
A/4
A/2
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9205F-E0199 Cognome Nome Matricola
8 Febbraio 2000
Voto
ES.2) Dato il circuito mostrato in figura, con R=2Ω , L1=2H, L2=1H, M=1H, e(t)=u(t-3) V. Calcolare e diagrammare la dforma d’onda della corrente i(t), ricorrendo alle trasformate di Laplace per la soluzione del problema.
Soluzione:
−==
+−+
+=
ii
idtdi
Mdtdi
LRidtdi
Mdtdi
Lte
2
1
122
211
1
)(
Lt → ( ) )(2)()( 21 sRIMLLssIsE +−+=
MLLLeq 221 −+=
+L1
Re(t) M
L2
i(t)e(t)
t
1
3
+
L1
R
e(t)
M L2
i
i1 i2
v1 v2
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Politecnico di Torino CeTeM
( ) )()( sIRsLsE eq +=
eq
eq
LR
s
LsE
sI+
=→
1)(
)(
sesss
sEsI 3
)2(11
2)(
)( −
+=
+=
ss es
Be
sA
sI 33
2)( −−
++=
21
;21 −== BA
)3(2)3(
21
)3(21
)( −−−−−= tetututi
[ ])3(21)3(21
)( −−−−= tetuti
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9205F-E0199 Cognome Nome Matricola 1 Marzo 1999
Voto
ES.4) Dato il circuito mostrato in figura calcolare: a) L’impedenza di carico ZL. b) Il valore della capacità C da porre in parallelo al carico in modo da ottenere un
rifasamento totale. c) Il valore della tensione Vq prima dell’inserzione della capacità C.
Soluzione: Calcolare ZL e rifasare il carico(rifasamento totale)
→= ϕcosgL IVP 210
2120
200cos
===ϕL
g VP
I
2210
20 ===g
LL I
VZ
o452
1cos 1 =
= −ϕ
cos ϕ
PvLvg
Rg
Carico induttivo
Dati: f =50 Hz
P =200 W
cos ϕ = 1/ 2
per |VL | =20 V
Rg = 0,73 Ω
C di rifasamento
RL
XL
ZL VL
12
12cos === ϕLL ZR
12
12sen === ϕLL ZX
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per il rifasamento si pone QC=QL ϕω tan2 PcVL =→ da cui
FV
PC
L
µπω
ϕ6.1
20105021200tan
232 =⋅⋅
⋅==
Calcolare Vg prima del rifasamento
( ) 30220 jLLgggtg ejXRRIIZV =++==
Calcolare il nuovo valore della potenza reale P dopo l’inserimento del condensatore di rifasamento
90221 j
C ejCj
Z −=−==ω
73.22
2273.0
)2(1122
73.0//45
459045
=+=−++
⋅+=+=−
−−
j
jjj
CLgeqe
ejj
eeZZRZ
con rifasamento completo ℜ=eqZ
3030
36.1073.2220
' jj
eq
gg e
eZ
VI ===
3072.20'' j
LgL eZIV ==
Quindi la nuova potenza assorbita dal carico è:
( ) WZIP LgL 66.214''2
=ℜ⋅=
TABELLA RIASSUNTIVA Prima del rifasamento Dopo il rifasamento
AI g 1.14= AI g 36.10' =
VVL 20= VVL 72.20' =
WPL 200= WPL 66.214'= 7.3% in più
Ig’
Ig’
Vg
Rg
VL’
Vg Zeq
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© Politecnico di Torino Pagina 8 di 15 Data ultima revisione 20/12/00 Autore: Stefano Grivet
Politecnico di Torino CeTeM
9205F-E0199 Cognome Nome Matricola
8 Febbraio 2000
Voto
ES.1) Dato il circuito magnetico mostrato in figura, con l=10cm, rfµ =6000, t1=1mm,
t2=2mm, N=100, S=1cm, i=2A. Determinare: (a) L’induttanza LAB vista ai morsetti A-B (b) Il flusso φ nel materiale magnetico (c) Il campo magnetico Ht1 nel traferro t1
Soluzione:
64
0
21
0
1024103.13)( ⋅+⋅≅++=
stt
sl
Rr
TOT µµµ
mH7
0 104 −= πµ 161024 −⋅≈ HRTOT
HRN
LAB µ4172
≅=
WbRNi 6103.8 −⋅==Φ
mA
sH t
3
0
10661
1⋅≅=
µφ
+ Ni RTOT
φ
equivalente circuitale
A
B N t 1
l
v
i
Aria ( µ R t =1)
t 2
S sezione e µ r f
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9205F-E0199 Cognome Nome Matricola 1 Marzo 1999
Voto
ES.3) Si consideri il circuito magnetico mostrato in figura. Dati N=100, a=10cm, S=1cm2,
∞=1rµ , 10002 =rµ , mH7
0 104 −= πµ , determinare:
a) La lunghezza del traferro t in modo che il flusso nel traferro sia uguale al flusso nel manicotto e il valore del flusso nel manicotto mφ
b) La corrente i tale per cui il campo magnetico nel traferro sia pari ad Ht=2 106 A/m c) In base ai valori di t calcolati nei punti precedenti determinare il valore
dell’induttanza equivalente L vista dai morsetti di ingresso del circuito.
Soluzione: Equivalente elettrico
5
0
1096.7 ⋅==S
aR
rmm µµ
St
Rt0µ
=
• Determinare t affinchè il flusso nel traferro sia uguale a quello nel “manicotto”.
rmtm
mm
tt
atRR
RNi
RNi
µφφ =⇔=⇔===
da cui
t a
(A)
(B)
µR1 , sezione S “manicotto” µR2
N v
i
+ Ni Rt
φ
Rm
φ t φm
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Politecnico di Torino CeTeM
mmcmt 1.0100010 ==
• Determinare la corrente i affinchè H t=2 106 A/m
tS
SNi
SB
HS
B ttt
tt
0
000
µµµ
φµ
φ ===→=
AiiiH t 2102101011
100 664 =⇔⋅=⋅=
⋅= −
• Calcolare infine mφ
WbSaNi
mrmm447
0 5110.21010001041.
200 −−− =⇒⋅== φπµµφ
• Calcolare l’induttanza L
mmt RNi
RRNi
2=
+=φ
dtdi
RN
Vidtd
LVdtd
NVm2
2
=⇒=→= φ
mHLR
NL
m
28.62
2
=⇒=
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Politecnico di Torino CeTeM
9205F-E0199 Cognome Nome Matricola 17 Marzo 1999
Voto
ES.1) Dato il circuito in figura, con Rg=10 ΩΩ , RL=4 ΩΩ , Rs=2 ΩΩ , n=2, Vg = Vgm cos(ωω t), Vgm=10V. Determinare:
• La potenza disponibile del generatore Pd • k per avere il massimo trasferimento di potenza a destra della sezione (B) • l’equivalente Thevenin (resistenza equivalente RTH e tensione a vuoto VTH) a sinistra della sezione(A) • la potenza dissipata sulle resistenze della linea Rs
Vg+
Rg
I1 I3I4
I2
RS
RS
(B) (A)
Req’ RTHVTH
V1 V2V3 V4 RL
1 : n k : 1
Soluzione: a) Determinare k per avere il massimo trasferimento di potenza a destra della sezione (B)
[ ]22
21
kRRn
R LSeq +='
imponendo
geq RR =' à
L
Sg
R
RnRk
222
−= à
34
440=
−=k
b) Determinare la potenza disponibile del generatore
WR
VP
g
gmd 25,1
80100
81
2
===
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© Politecnico di Torino Pagina 12 di 15 Data ultima revisione 20/12/00 Autore: Stefano Grivet
Politecnico di Torino CeTeM
c) Determinare l’equivalente Thevenin a sinistra della sezione(A)
gTH RnR 2= ; gTH nVV −=
d) Determinare la potenza dissipata sulle resistenze della linea Rs
gLsgmg
RnRkRnVI
2221
++−=
=
2
2 221
gsRs IRP
mWP Rs 1252 =
Vg+
Rg
(A)
1 :n
VTH
+
RTH
THV+
R TH
k2 RL
2 RS
gI
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9205F Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 13 di 15 Data ultima revisione 20/12/00 Autore: Stefano Grivet
Politecnico di Torino CeTeM
9205F-E0199 Cognome Nome Matricola 17 Marzo 1999
Voto
ES.3) Un trasformatore da 90 kVA, 2200/220V ha i parametri: R1=1ΩΩ , R2=0.01ΩΩ , X1=X2=0 (è nullo il flusso disperso). Rm=5000, Xm=2000 ed è connesso ad un carico con cosϕϕ =0.9 (ϕ=25,8). Calcolare la regolazione di tensione =(V1-nV2)/nV2, con riferimento al modello equivalente del trasformatore reale riferito al primario, mostrato nello schema in figura.
R1
1V
n2R2 n2X2 X1
Rm Xm 2nV 1E
mI
aI
0I
1I 2I /n
Soluzione:
n=10 0
2 2200 jeVn =
AVA
VKVA
I 409220
90
22 ===
8.178.369.40 8.252 jenI j −== −
Ω== 1122 RRn
45.02
2221 22378.178.362200 jejRn
nI
VnE −=−+=+=
AjjeeX
EI j
jm
m 12.112.10098.012.1 5.8990
1 −≅−≅== −
AeRE
I j
m
a 45.045.0 45.01 ≅== −
AjIII am 12.145.00 −=+=
9.26201 8.419.1825.37 jej
nI
II −=−=+=
22747.3622749.1825.378.178.22361111 ≅−=−+−=+= jjjRIEV
%36.32200
22002274
2
21 =−
=−
=nV
nVVeregolazion
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© Politecnico di Torino Pagina 14 di 15 Data ultima revisione 20/12/00 Autore: Stefano Grivet
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9205F-E0199 Cognome Nome Matricola
8 Febbrio 2000 Voto
ES.3) Sia dato trasformatore reale da 10kVA, 110/220V per cui sono state effettuate le prove in circuito aperto (C.A.) e in corto corcuito (C.C.) che hanno fornito i seguenti risultati:
1. Prova a C.A.: V0=110V, I0=2A, P=50W 2. Prova in C.C.: V=80V, I=3.5A, P=150W
Determinare i parametri caratteristici del modello equivalente mostrato in figura e calcolare il rapporto tra il valore della corrente di eccitazione ed il valore della corrente nominale del primario.
R1 R2 X2 X1
Rm Xm
I1,0
n
LA
TO
110
V
LA
TO
220
V
220 V 110 V
10 kVA
Soluzione
1.
Z2 Z1
1/Bm = Rm Xm =1/Bm = ωLm
I1,0
n
Ia
Im
≈ 0 I20 = 0
13
20 101.4
1242 −− Ω⋅==→Ω==
mm
fm R
GP
VR
ARV
Im
a 45.00 ==
12
0
0,1 108.1 −− Ω⋅==V
IYm
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1222 1075.1 −− Ω⋅=−= mmm GYB
mHLB
X mm
m 91571 =→Ω==
21
110220
1
=
=
−
VV
n
2. eqeqeq jXRZZnZ +==+ 2
21
Ω=−=−= 3.1922
22
eqcc
cceqeqeq R
IV
RZX
Ω== 24.122cc
cceq
I
PR
2;
2;
2;
2 222211 n
XX
n
RR
XX
RR eqeqeqeq ====
%2.2022.0
11010
2
1,
0,1 →==
VkVAA
I
I
n