PolymerphysikZufallsweg &Strukturfaktor
ThomasWiedenmann
Einfuhrung
A Statistik derPolymerkonfigu-ration
Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Seminar - Weiche Materie - WS 07/08
PolymerphysikZufallsweg & Strukturfaktor
Polymerkonfiguration und Streuexperimente
Thomas Wiedenmann
08. Februar 2008
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PolymerphysikZufallsweg &Strukturfaktor
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Einfuhrung
A Statistik derPolymerkonfigu-ration
Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Beispiele fur Polymere
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A Statistik derPolymerkonfigu-ration
Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
”roter Faden“
A Statistik der Polymerkonfiguration
• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
• Exkurs: Zufallsweg
• Berechnung: Φ(R) Verteilung von R
• Modell: Gausskette (Stabchenlange b 6= fest)
• Berechnung: RG Gyrationsradius
B Streuexperimente
• Berechnung: P(q) Formfaktor
Theoretische Beschreibung & Messgroßen v. Polymeren
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Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
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Formfaktor
Literatur
”roter Faden“
A Statistik der Polymerkonfiguration
• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
• Exkurs: Zufallsweg
• Berechnung: Φ(R) Verteilung von R
• Modell: Gausskette (Stabchenlange b 6= fest)
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B Streuexperimente
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”roter Faden“
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• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
• Exkurs: Zufallsweg
• Berechnung: Φ(R) Verteilung von R
• Modell: Gausskette (Stabchenlange b 6= fest)
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• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
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• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
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• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
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• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
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• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
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Formfaktor
Literatur
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• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
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• Modell: Gausskette (Stabchenlange b 6= fest)
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Gyrationsradius
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Formfaktor
Literatur
”roter Faden“
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• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
• Exkurs: Zufallsweg
• Berechnung: Φ(R) Verteilung von R
• Modell: Gausskette (Stabchenlange b 6= fest)
• Berechnung: RG Gyrationsradius
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• Berechnung: P(q) Formfaktor
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Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
”roter Faden“
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• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
• Exkurs: Zufallsweg
• Berechnung: Φ(R) Verteilung von R
• Modell: Gausskette (Stabchenlange b 6= fest)
• Berechnung: RG Gyrationsradius
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• Berechnung: P(q) Formfaktor
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Einfuhrung
A Statistik derPolymerkonfigu-ration
Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Polymer [poly me:r] (griechisch: πoλν poly”viel“; µερoς meros,
”Teil“)
chemische Verbindung, aus Ketten- oder verzweigten Molekulenbzw. aus gleichen oder gleichartigen Einheiten, den Monomeren
aus: [RUBINSTEIN]
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wenig“Wechselwirkung
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Polymer [poly me:r] (griechisch: πoλν poly”viel“; µερoς meros,
”Teil“)
chemische Verbindung, aus Ketten- oder verzweigten Molekulenbzw. aus gleichen oder gleichartigen Einheiten, den Monomeren
aus: [RUBINSTEIN]
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Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Beschreibung eines Polymers
Modelle der Darstellung
aus: [TERAOKA]
Statische Beschreibung!
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Literatur
Beschreibung eines Polymers
Modelle der Darstellung
aus: [TERAOKA]
Statische Beschreibung!
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Formfaktor
Literatur
Beschreibung eines Polymers
Modelle der Darstellung
aus: [TERAOKA]
Statische Beschreibung!
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Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Beschreibung eines Polymers
Modelle der Darstellung
aus: [TERAOKA]
Statische Beschreibung!
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Kette mit”ein
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Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Beschreibung eines Polymers
Modelle der Darstellung
aus: [TERAOKA]
Statische Beschreibung!
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Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Beschreibung eines Polymers
Modelle der Beschreibung - Ideale Ketten
Stabchen Federn
aus: [TERAOKA]
nun: zwei Modelle mit fester Stabchenlange (spater:Gausskette)
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Gyrationsradius
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Formfaktor
Literatur
Beschreibung eines Polymers
Modelle der Beschreibung - Ideale Ketten
Stabchen
Federn
aus: [TERAOKA]
nun: zwei Modelle mit fester Stabchenlange (spater:Gausskette)
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Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Beschreibung eines Polymers
Modelle der Beschreibung - Ideale Ketten
Stabchen Federn
aus: [TERAOKA]
nun: zwei Modelle mit fester Stabchenlange (spater:Gausskette)
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Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Beschreibung eines Polymers
Modelle der Beschreibung - Ideale Ketten
Stabchen Federn
aus: [TERAOKA]
nun: zwei Modelle mit fester Stabchenlange (spater:Gausskette)
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Literatur
A Statistik der Polymerkonfiguration
Verschiedenste Modelle
einfachste Beschreibung: Kette ohne Wechselwirkung
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
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B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely jointed chain - Modell
• N + 1 Monomere an Orten{R} = (R0, . . . ,RN) (Schwerpunkte),verbunden durch Bindungsvektoren
rn = Rn − Rn−1 n = 1, 2, . . . ,N
• rn unabhangig voneinander: 〈rn · rm〉 = 0
• freie Bewegung
• feste Stabchenlange b
• end-to-end Vektor R
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely jointed chain - Große der Kette
Definition: end-to-end vector
R = RN − R0 =N∑
n=1
rn
mittlere Orientierung 〈rn〉 = 0
⇒ 〈R〉 = 0
jedoch
R2E = 〈R2〉 =
N∑n,m=1
〈rn · rm〉 =N∑
n=1
〈r2n〉+ 2∑n<m
〈rn · rm〉︸ ︷︷ ︸=0
= b2N
oder
RE = b√
N
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Kette mit”ein
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely jointed chain - Große der Kette
Definition: end-to-end vector
R = RN − R0 =N∑
n=1
rn
mittlere Orientierung 〈rn〉 = 0
⇒ 〈R〉 = 0
jedoch
R2E = 〈R2〉 =
N∑n,m=1
〈rn · rm〉 =N∑
n=1
〈r2n〉+ 2∑n<m
〈rn · rm〉︸ ︷︷ ︸=0
= b2N
oder
RE = b√
N
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely jointed chain - Große der Kette
Definition: end-to-end vector
R = RN − R0 =N∑
n=1
rn
mittlere Orientierung 〈rn〉 = 0
⇒ 〈R〉 = 0
jedoch
R2E = 〈R2〉 =
N∑n,m=1
〈rn · rm〉 =N∑
n=1
〈r2n〉+ 2∑n<m
〈rn · rm〉︸ ︷︷ ︸=0
= b2N
oder
RE = b√
N
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B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely jointed chain - Große der Kette
Definition: end-to-end vector
R = RN − R0 =N∑
n=1
rn
mittlere Orientierung 〈rn〉 = 0 ⇒ 〈R〉 = 0
jedoch
R2E = 〈R2〉 =
N∑n,m=1
〈rn · rm〉 =N∑
n=1
〈r2n〉+ 2∑n<m
〈rn · rm〉︸ ︷︷ ︸=0
= b2N
oder
RE = b√
N
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B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely jointed chain - Große der Kette
Definition: end-to-end vector
R = RN − R0 =N∑
n=1
rn
mittlere Orientierung 〈rn〉 = 0 ⇒ 〈R〉 = 0 jedoch
R2E = 〈R2〉 =
N∑n,m=1
〈rn · rm〉 =N∑
n=1
〈r2n〉+ 2∑n<m
〈rn · rm〉︸ ︷︷ ︸=0
= b2N
oder
RE = b√
N
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Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely jointed chain - Große der Kette
Definition: end-to-end vector
R = RN − R0 =N∑
n=1
rn
mittlere Orientierung 〈rn〉 = 0 ⇒ 〈R〉 = 0 jedoch
R2E = 〈R2〉
=N∑
n,m=1
〈rn · rm〉 =N∑
n=1
〈r2n〉+ 2∑n<m
〈rn · rm〉︸ ︷︷ ︸=0
= b2N
oder
RE = b√
N
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B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely jointed chain - Große der Kette
Definition: end-to-end vector
R = RN − R0 =N∑
n=1
rn
mittlere Orientierung 〈rn〉 = 0 ⇒ 〈R〉 = 0 jedoch
R2E = 〈R2〉 =
N∑n,m=1
〈rn · rm〉
=N∑
n=1
〈r2n〉+ 2∑n<m
〈rn · rm〉︸ ︷︷ ︸=0
= b2N
oder
RE = b√
N
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B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely jointed chain - Große der Kette
Definition: end-to-end vector
R = RN − R0 =N∑
n=1
rn
mittlere Orientierung 〈rn〉 = 0 ⇒ 〈R〉 = 0 jedoch
R2E = 〈R2〉 =
N∑n,m=1
〈rn · rm〉 =N∑
n=1
〈r2n〉+ 2∑n<m
〈rn · rm〉︸ ︷︷ ︸=0
= b2N
oder
RE = b√
N
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Formfaktor
Literatur
freely jointed chain - Große der Kette
Definition: end-to-end vector
R = RN − R0 =N∑
n=1
rn
mittlere Orientierung 〈rn〉 = 0 ⇒ 〈R〉 = 0 jedoch
R2E = 〈R2〉 =
N∑n,m=1
〈rn · rm〉 =N∑
n=1
〈r2n〉+ 2∑n<m
〈rn · rm〉︸ ︷︷ ︸=0
= b2N
oder
RE = b√
N
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely jointed chain - Große der Kette
Definition: end-to-end vector
R = RN − R0 =N∑
n=1
rn
mittlere Orientierung 〈rn〉 = 0 ⇒ 〈R〉 = 0 jedoch
R2E = 〈R2〉 =
N∑n,m=1
〈rn · rm〉 =N∑
n=1
〈r2n〉+ 2∑n<m
〈rn · rm〉︸ ︷︷ ︸=0
= b2N
oder
RE = b√
N
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Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely rotating chain - Modell
Beschrankung der Mobilitat des Polymers
aus: [DE GENNES]
• feste Stabchenlange b
• fester Winkel ϑ zwischen denStabchen
• Korrelation zwischen”Stabchen“ rn
und rn+2
• (freie Rotation um die Stabchenmit ϕ)
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Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely rotating chain - Große der Kette
〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m
〈rn〉rm,...,rn−1 fest = rn−1 cos ϑ
〈rn · rm〉 = cos ϑ〈rn−1 · rm〉= cos ϑ cos ϑ〈rn−2 · rm〉= cos3 ϑ〈rn−3 · rm〉 = . . .
= cos|n−m| ϑ〈r2m〉
mit 〈r2m〉 = b2
〈rn · rm〉 = b2 cos|n−m| ϑ
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PolymerphysikZufallsweg &Strukturfaktor
ThomasWiedenmann
Einfuhrung
A Statistik derPolymerkonfigu-ration
Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely rotating chain - Große der Kette
〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m
〈rn〉rm,...,rn−1 fest = rn−1 cos ϑ
〈rn · rm〉 = cos ϑ〈rn−1 · rm〉= cos ϑ cos ϑ〈rn−2 · rm〉= cos3 ϑ〈rn−3 · rm〉 = . . .
= cos|n−m| ϑ〈r2m〉
mit 〈r2m〉 = b2
〈rn · rm〉 = b2 cos|n−m| ϑ
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ThomasWiedenmann
Einfuhrung
A Statistik derPolymerkonfigu-ration
Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely rotating chain - Große der Kette
〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m
〈rn〉rm,...,rn−1 fest = rn−1 cos ϑ
〈rn · rm〉 = cos ϑ〈rn−1 · rm〉
= cos ϑ cos ϑ〈rn−2 · rm〉= cos3 ϑ〈rn−3 · rm〉 = . . .
= cos|n−m| ϑ〈r2m〉
mit 〈r2m〉 = b2
〈rn · rm〉 = b2 cos|n−m| ϑ
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Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
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Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely rotating chain - Große der Kette
〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m
〈rn〉rm,...,rn−1 fest = rn−1 cos ϑ
〈rn · rm〉 = cos ϑ〈rn−1 · rm〉= cos ϑ cos ϑ〈rn−2 · rm〉
= cos3 ϑ〈rn−3 · rm〉 = . . .
= cos|n−m| ϑ〈r2m〉
mit 〈r2m〉 = b2
〈rn · rm〉 = b2 cos|n−m| ϑ
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
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B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely rotating chain - Große der Kette
〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m
〈rn〉rm,...,rn−1 fest = rn−1 cos ϑ
〈rn · rm〉 = cos ϑ〈rn−1 · rm〉= cos ϑ cos ϑ〈rn−2 · rm〉= cos3 ϑ〈rn−3 · rm〉 = . . .
= cos|n−m| ϑ〈r2m〉
mit 〈r2m〉 = b2
〈rn · rm〉 = b2 cos|n−m| ϑ
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
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B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely rotating chain - Große der Kette
〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m
〈rn〉rm,...,rn−1 fest = rn−1 cos ϑ
〈rn · rm〉 = cos ϑ〈rn−1 · rm〉= cos ϑ cos ϑ〈rn−2 · rm〉= cos3 ϑ〈rn−3 · rm〉 = . . .
= cos|n−m| ϑ〈r2m〉
mit 〈r2m〉 = b2
〈rn · rm〉 = b2 cos|n−m| ϑ
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely rotating chain - Große der Kette
〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m
〈rn〉rm,...,rn−1 fest = rn−1 cos ϑ
〈rn · rm〉 = cos ϑ〈rn−1 · rm〉= cos ϑ cos ϑ〈rn−2 · rm〉= cos3 ϑ〈rn−3 · rm〉 = . . .
= cos|n−m| ϑ〈r2m〉
mit 〈r2m〉 = b2
〈rn · rm〉 = b2 cos|n−m| ϑ
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
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Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely rotating chain - Große der Kette
〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m
〈rn〉rm,...,rn−1 fest = rn−1 cos ϑ
〈rn · rm〉 = cos ϑ〈rn−1 · rm〉= cos ϑ cos ϑ〈rn−2 · rm〉= cos3 ϑ〈rn−3 · rm〉 = . . .
= cos|n−m| ϑ〈r2m〉
mit 〈r2m〉 = b2
〈rn · rm〉 = b2 cos|n−m| ϑ
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Diskussion der Korrelation cos|n−m| ϑ
Korrelation geht schnell gegen null bei”großeren“ Winkeln
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely rotating chain - Große der Kette
〈R2〉 =N∑
n=1
N∑m=1
〈rn · rm〉 =N∑
n=1
N−n∑k=−n+1
〈rn · rn+k〉
fur N � 1 kann man nahern
〈R2〉 =N∑
n=1
∞∑k=−∞
〈rn · rn+k〉
mit 〈rn · rm〉 = b2 cos|n−m| ϑ
∞Xk=−∞
〈rn · rn+k 〉 = b2
1 + 2
∞Xk=1
cosk ϑ
!
= b2
„1 +
2 cos ϑ
1 − cos ϑ
«= b2 1 + cos ϑ
1 − cos ϑ
um schließlich zu erhalten
R2E = 〈R2〉 = Nb2 1 + cos ϑ
1− cos ϑ
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Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely rotating chain - Große der Kette
〈R2〉 =N∑
n=1
N∑m=1
〈rn · rm〉 =N∑
n=1
N−n∑k=−n+1
〈rn · rn+k〉
fur N � 1 kann man nahern
〈R2〉 =N∑
n=1
∞∑k=−∞
〈rn · rn+k〉
mit 〈rn · rm〉 = b2 cos|n−m| ϑ
∞Xk=−∞
〈rn · rn+k 〉 = b2
1 + 2
∞Xk=1
cosk ϑ
!
= b2
„1 +
2 cos ϑ
1 − cos ϑ
«= b2 1 + cos ϑ
1 − cos ϑ
um schließlich zu erhalten
R2E = 〈R2〉 = Nb2 1 + cos ϑ
1− cos ϑ
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wenig“Wechselwirkung
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely rotating chain - Große der Kette
〈R2〉 =N∑
n=1
N∑m=1
〈rn · rm〉 =N∑
n=1
N−n∑k=−n+1
〈rn · rn+k〉
fur N � 1 kann man nahern
〈R2〉 =N∑
n=1
∞∑k=−∞
〈rn · rn+k〉
mit 〈rn · rm〉 = b2 cos|n−m| ϑ
∞Xk=−∞
〈rn · rn+k 〉 = b2
1 + 2
∞Xk=1
cosk ϑ
!
= b2
„1 +
2 cos ϑ
1 − cos ϑ
«= b2 1 + cos ϑ
1 − cos ϑ
um schließlich zu erhalten
R2E = 〈R2〉 = Nb2 1 + cos ϑ
1− cos ϑ
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely rotating chain - Große der Kette
〈R2〉 =N∑
n=1
N∑m=1
〈rn · rm〉 =N∑
n=1
N−n∑k=−n+1
〈rn · rn+k〉
fur N � 1 kann man nahern
〈R2〉 =N∑
n=1
∞∑k=−∞
〈rn · rn+k〉
mit 〈rn · rm〉 = b2 cos|n−m| ϑ
∞Xk=−∞
〈rn · rn+k 〉 = b2
1 + 2
∞Xk=1
cosk ϑ
!
= b2
„1 +
2 cos ϑ
1 − cos ϑ
«= b2 1 + cos ϑ
1 − cos ϑ
um schließlich zu erhalten
R2E = 〈R2〉 = Nb2 1 + cos ϑ
1− cos ϑ
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Beispiele: fixed angle ϑ mit C = 1+cos ϑ1−cos ϑ
(i) ϑ → 0:
cos ϑ → 1− ϑ2
2C =
2− ϑ2/2
ϑ2/2(C ≈ 500 fur ϑ = 5◦)
〈R2〉 � Nb20
(ii) ϑ → π − δ:
cos ϑ → −1 +δ2
2C =
δ2/2
2− δ2/2≈ 4
δ2(C ≈ 2 · 10−3 fur ϑ = 175◦)
〈R2〉 � Nb20
(iii) ϑ → π2
cos ϑ = 0 C = 1
〈R2〉 = Nb20
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Beispiele: fixed angle ϑ mit C = 1+cos ϑ1−cos ϑ
(i) ϑ → 0:
cos ϑ → 1− ϑ2
2C =
2− ϑ2/2
ϑ2/2(C ≈ 500 fur ϑ = 5◦)
〈R2〉 � Nb20
(ii) ϑ → π − δ:
cos ϑ → −1 +δ2
2C =
δ2/2
2− δ2/2≈ 4
δ2(C ≈ 2 · 10−3 fur ϑ = 175◦)
〈R2〉 � Nb20
(iii) ϑ → π2
cos ϑ = 0 C = 1
〈R2〉 = Nb20
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Beispiele: fixed angle ϑ mit C = 1+cos ϑ1−cos ϑ
(i) ϑ → 0:
cos ϑ → 1− ϑ2
2C =
2− ϑ2/2
ϑ2/2(C ≈ 500 fur ϑ = 5◦)
〈R2〉 � Nb20
(ii) ϑ → π − δ:
cos ϑ → −1 +δ2
2C =
δ2/2
2− δ2/2≈ 4
δ2(C ≈ 2 · 10−3 fur ϑ = 175◦)
〈R2〉 � Nb20
(iii) ϑ → π2
cos ϑ = 0 C = 1
〈R2〉 = Nb20
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
freely jointed vs. freely rotating chain
Ergebnisse
RE = b√
N freely jointed chain
RE = b
√1 + cos ϑ
1− cos ϑ
√N freely rotating chain
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Zufallsweg - Polymeraufbau
aus: [TERAOKA]
Gitterpunkte
• Zufallsweg hat hier nichts mitBrown’scher Bewegung zu tun
• als Gelenke eines Polymers
• (als Kolloide mit Zeitschritt)
Es folgt die Betrachtung im Eindimensionalen
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Zufallsweg - Polymeraufbau
aus: [TERAOKA]
Gitterpunkte
• Zufallsweg hat hier nichts mitBrown’scher Bewegung zu tun
• als Gelenke eines Polymers
• (als Kolloide mit Zeitschritt)
Es folgt die Betrachtung im Eindimensionalen
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Zufallsweg - Polymeraufbau - Verteilungsfunktion
Binomial-Verteilung
W (x , N) =(N+ + N−)!
N+!N−!=
N!
[(N + x)/2]![(N − x)/2]!
wird im Grenzfall N →∞ (N � x) zur Gauss-Verteilung
W (x , N)
2N∼=r
2
πNexp
»− x2
2N
–.
Fur die Verteilungsfunktion gilt
Φ1d(x , N) =1√2πN
exp
»− x2
2N
–mit dem Mittelwert
〈x2〉 =
∞Z−∞
x2Φ1d(x , N)dx =1√2πN
∞Z−∞
x2 exp
»− x2
2N
–dx = N
umgeschrieben zu
Φ1d(x , N) =1p
2π〈x2〉exp
»− x2
2〈x2〉
–also gaussverteilt
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Zufallsweg - Polymeraufbau - Verteilungsfunktion
Binomial-Verteilung
W (x , N) =(N+ + N−)!
N+!N−!=
N!
[(N + x)/2]![(N − x)/2]!
wird im Grenzfall N →∞ (N � x) zur Gauss-Verteilung
W (x , N)
2N∼=r
2
πNexp
»− x2
2N
–.
Fur die Verteilungsfunktion gilt
Φ1d(x , N) =1√2πN
exp
»− x2
2N
–mit dem Mittelwert
〈x2〉 =
∞Z−∞
x2Φ1d(x , N)dx =1√2πN
∞Z−∞
x2 exp
»− x2
2N
–dx = N
umgeschrieben zu
Φ1d(x , N) =1p
2π〈x2〉exp
»− x2
2〈x2〉
–also gaussverteilt
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Zufallsweg - Polymeraufbau - Verteilungsfunktion
Binomial-Verteilung
W (x , N) =(N+ + N−)!
N+!N−!=
N!
[(N + x)/2]![(N − x)/2]!
wird im Grenzfall N →∞ (N � x) zur Gauss-Verteilung
W (x , N)
2N∼=r
2
πNexp
»− x2
2N
–.
Fur die Verteilungsfunktion gilt
Φ1d(x , N) =1√2πN
exp
»− x2
2N
–
mit dem Mittelwert
〈x2〉 =
∞Z−∞
x2Φ1d(x , N)dx =1√2πN
∞Z−∞
x2 exp
»− x2
2N
–dx = N
umgeschrieben zu
Φ1d(x , N) =1p
2π〈x2〉exp
»− x2
2〈x2〉
–also gaussverteilt
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Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Zufallsweg - Polymeraufbau - Verteilungsfunktion
Binomial-Verteilung
W (x , N) =(N+ + N−)!
N+!N−!=
N!
[(N + x)/2]![(N − x)/2]!
wird im Grenzfall N →∞ (N � x) zur Gauss-Verteilung
W (x , N)
2N∼=r
2
πNexp
»− x2
2N
–.
Fur die Verteilungsfunktion gilt
Φ1d(x , N) =1√2πN
exp
»− x2
2N
–mit dem Mittelwert
〈x2〉 =
∞Z−∞
x2Φ1d(x , N)dx =1√2πN
∞Z−∞
x2 exp
»− x2
2N
–dx = N
umgeschrieben zu
Φ1d(x , N) =1p
2π〈x2〉exp
»− x2
2〈x2〉
–also gaussverteilt
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Zufallsweg - Polymeraufbau - Verteilungsfunktion
Binomial-Verteilung
W (x , N) =(N+ + N−)!
N+!N−!=
N!
[(N + x)/2]![(N − x)/2]!
wird im Grenzfall N →∞ (N � x) zur Gauss-Verteilung
W (x , N)
2N∼=r
2
πNexp
»− x2
2N
–.
Fur die Verteilungsfunktion gilt
Φ1d(x , N) =1√2πN
exp
»− x2
2N
–mit dem Mittelwert
〈x2〉 =
∞Z−∞
x2Φ1d(x , N)dx =1√2πN
∞Z−∞
x2 exp
»− x2
2N
–dx = N
umgeschrieben zu
Φ1d(x , N) =1p
2π〈x2〉exp
»− x2
2〈x2〉
–
also gaussverteilt
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Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Zufallsweg - Polymeraufbau - Verteilungsfunktion
Binomial-Verteilung
W (x , N) =(N+ + N−)!
N+!N−!=
N!
[(N + x)/2]![(N − x)/2]!
wird im Grenzfall N →∞ (N � x) zur Gauss-Verteilung
W (x , N)
2N∼=r
2
πNexp
»− x2
2N
–.
Fur die Verteilungsfunktion gilt
Φ1d(x , N) =1√2πN
exp
»− x2
2N
–mit dem Mittelwert
〈x2〉 =
∞Z−∞
x2Φ1d(x , N)dx =1√2πN
∞Z−∞
x2 exp
»− x2
2N
–dx = N
umgeschrieben zu
Φ1d(x , N) =1p
2π〈x2〉exp
»− x2
2〈x2〉
–also gaussverteilt
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Zur Verteilungsfunktion
Definition:
Φ(R,N) =
∫dr1 . . .
∫drN δ
(R−
N∑n=1
rn
)Ψ({rn})
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Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Zur Verteilungsfunktion
Definition:
Φ(R,N) =
∫dr1 . . .
∫drN δ
(R−
N∑n=1
rn
)Ψ({rn})
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Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Verteilungsfunktion des end-to-end Vektors RE
Φ(R,N) =
∫dr1 . . .
∫drN δ
(R−
N∑n=1
rn
)Ψ({rn})
mit Ψ({rn}) =∏N
n=1 Ψ(rn) der freely jointed chain
und mit der Integraldarstellung der Deltafunktion
Φ(R, N) =1
(2π)3
Zdk
Zdr1 . . .
ZdrN exp
"ik ·
R−
NXn=1
rn
!#NY
n=1
Ψ(rn)
also
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dk eik·R
[∫dr1 eik·r1 Ψ(r1)
]N
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Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Verteilungsfunktion des end-to-end Vektors RE
Φ(R,N) =
∫dr1 . . .
∫drN δ
(R−
N∑n=1
rn
)Ψ({rn})
mit Ψ({rn}) =∏N
n=1 Ψ(rn) der freely jointed chain
und mit der Integraldarstellung der Deltafunktion
Φ(R, N) =1
(2π)3
Zdk
Zdr1 . . .
ZdrN exp
"ik ·
R−
NXn=1
rn
!#NY
n=1
Ψ(rn)
also
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dk eik·R
[∫dr1 eik·r1 Ψ(r1)
]N
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Verteilungsfunktion des end-to-end Vektors RE
Φ(R,N) =
∫dr1 . . .
∫drN δ
(R−
N∑n=1
rn
)Ψ({rn})
mit Ψ({rn}) =∏N
n=1 Ψ(rn) der freely jointed chain
und mit der Integraldarstellung der Deltafunktion
Φ(R, N) =1
(2π)3
Zdk
Zdr1 . . .
ZdrN exp
"ik ·
R−
NXn=1
rn
!#NY
n=1
Ψ(rn)
also
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dk eik·R
[∫dr1 eik·r1 Ψ(r1)
]N
19 / 31
PolymerphysikZufallsweg &Strukturfaktor
ThomasWiedenmann
Einfuhrung
A Statistik derPolymerkonfigu-ration
Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Verteilungsfunktion des end-to-end Vektors RE
Φ(R,N) =
∫dr1 . . .
∫drN δ
(R−
N∑n=1
rn
)Ψ({rn})
mit Ψ({rn}) =∏N
n=1 Ψ(rn) der freely jointed chain
und mit der Integraldarstellung der Deltafunktion
Φ(R, N) =1
(2π)3
Zdk
Zdr1 . . .
ZdrN exp
"ik ·
R−
NXn=1
rn
!#NY
n=1
Ψ(rn)
also
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dk eik·R
[∫dr1 eik·r1 Ψ(r1)
]N
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A Statistik derPolymerkonfigu-ration
Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Verteilungsfunktion des end-to-end Vektors RE
Φ(R,N) =
∫dr1 . . .
∫drN δ
(R−
N∑n=1
rn
)Ψ({rn})
mit Ψ({rn}) =∏N
n=1 Ψ(rn) der freely jointed chain
und mit der Integraldarstellung der Deltafunktion
Φ(R, N) =1
(2π)3
Zdk
Zdr1 . . .
ZdrN exp
"ik ·
R−
NXn=1
rn
!#NY
n=1
Ψ(rn)
also
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dk eik·R
[∫dr1 eik·r1 Ψ(r1)
]N
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Verteilungsfunktion des end-to-end Vektors RE
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dk eik·R
[∫dr1 eik·r1 Ψ(r1)
]N
aus [. . .] wird mit fester Stabchenlange Ψ(r) = 14πb2 δ(|r| − b)
Zdr eik·r Ψ(r) =
1
4πb2
∞Z0
dr r 2
2πZ0
dϕ
πZ0
dϑ cos ϑe−ikr cos ϑδ(r − b)
=sin kb
kb
so wird aus der Verteilungsfunktion
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dkeik·R
[sin kb
kb
]N
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Verteilungsfunktion des end-to-end Vektors RE
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dk eik·R
[∫dr1 eik·r1 Ψ(r1)
]N
aus [. . .] wird mit fester Stabchenlange Ψ(r) = 14πb2 δ(|r| − b)
Zdr eik·r Ψ(r) =
1
4πb2
∞Z0
dr r 2
2πZ0
dϕ
πZ0
dϑ cos ϑe−ikr cos ϑδ(r − b)
=sin kb
kb
so wird aus der Verteilungsfunktion
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dkeik·R
[sin kb
kb
]N
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Verteilungsfunktion des end-to-end Vektors RE
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dk eik·R
[∫dr1 eik·r1 Ψ(r1)
]N
aus [. . .] wird mit fester Stabchenlange Ψ(r) = 14πb2 δ(|r| − b)
Zdr eik·r Ψ(r) =
1
4πb2
∞Z0
dr r 2
2πZ0
dϕ
πZ0
dϑ cos ϑe−ikr cos ϑδ(r − b)
=sin kb
kb
so wird aus der Verteilungsfunktion
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dkeik·R
[sin kb
kb
]N
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Verteilungsfunktion des end-to-end Vektors RE
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dk eik·R
[∫dr1 eik·r1 Ψ(r1)
]N
aus [. . .] wird mit fester Stabchenlange Ψ(r) = 14πb2 δ(|r| − b)
Zdr eik·r Ψ(r) =
1
4πb2
∞Z0
dr r 2
2πZ0
dϕ
πZ0
dϑ cos ϑe−ikr cos ϑδ(r − b)
=sin kb
kb
so wird aus der Verteilungsfunktion
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dkeik·R
[sin kb
kb
]N
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Verteilungsfunktion - Naherungen
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dk eik·R
[sin kb
kb
]N
im Grenzfall N � 1 (kb � 1) kann man nahern[sin kb
kb
]N
'[1− k2b2
6
]N
' exp
[−Nk2b2
6
]somit
Φ(R,N) ' 1
(2π)3
∫dk eik·R exp
[−Nk2b2
6
]und schließlich
Φ(R,N) =
(3
2πNb2
)3/2
exp
[− 3R2
2Nb2
]also gaussverteilt
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Verteilungsfunktion - Naherungen
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dk eik·R
[sin kb
kb
]N
im Grenzfall N � 1 (kb � 1) kann man nahern[sin kb
kb
]N
'[1− k2b2
6
]N
' exp
[−Nk2b2
6
]
somit
Φ(R,N) ' 1
(2π)3
∫dk eik·R exp
[−Nk2b2
6
]und schließlich
Φ(R,N) =
(3
2πNb2
)3/2
exp
[− 3R2
2Nb2
]also gaussverteilt
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Verteilungsfunktion - Naherungen
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dk eik·R
[sin kb
kb
]N
im Grenzfall N � 1 (kb � 1) kann man nahern[sin kb
kb
]N
'[1− k2b2
6
]N
' exp
[−Nk2b2
6
]somit
Φ(R,N) ' 1
(2π)3
∫dk eik·R exp
[−Nk2b2
6
]
und schließlich
Φ(R,N) =
(3
2πNb2
)3/2
exp
[− 3R2
2Nb2
]also gaussverteilt
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Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Verteilungsfunktion - Naherungen
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dk eik·R
[sin kb
kb
]N
im Grenzfall N � 1 (kb � 1) kann man nahern[sin kb
kb
]N
'[1− k2b2
6
]N
' exp
[−Nk2b2
6
]somit
Φ(R,N) ' 1
(2π)3
∫dk eik·R exp
[−Nk2b2
6
]und schließlich
Φ(R,N) =
(3
2πNb2
)3/2
exp
[− 3R2
2Nb2
]
also gaussverteilt
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Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
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Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Verteilungsfunktion - Naherungen
Φ(R,N) =1
(2π)3
∫dk eik·R
[sin kb
kb
]N
im Grenzfall N � 1 (kb � 1) kann man nahern[sin kb
kb
]N
'[1− k2b2
6
]N
' exp
[−Nk2b2
6
]somit
Φ(R,N) ' 1
(2π)3
∫dk eik·R exp
[−Nk2b2
6
]und schließlich
Φ(R,N) =
(3
2πNb2
)3/2
exp
[− 3R2
2Nb2
]also gaussverteilt
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Gausskette - Stabchenlange b nicht deltaverteilt
entspricht dem Federmodell (bead-spring model)
von vorher
Ψ({rn}) =N∏
i=1
Ψ(rn)
jetzt gaussverteilte Stabchenlange
Ψ(r) =
(3
2πb2
)3/2
exp
[− 3r2
2b2
]mit 〈r2〉 = b2
nun rn = Rn − Rn−1
somit wird aus der Stabchen-Verteilungsfunktion
Ψ({rn}) =
(3
2πb2
)3N/2
exp
[−
N∑n=1
3(Rn − Rn−1)2
2b2
]
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Gausskette - Stabchenlange b nicht deltaverteilt
entspricht dem Federmodell (bead-spring model)
von vorher
Ψ({rn}) =N∏
i=1
Ψ(rn)
jetzt gaussverteilte Stabchenlange
Ψ(r) =
(3
2πb2
)3/2
exp
[− 3r2
2b2
]mit 〈r2〉 = b2
nun rn = Rn − Rn−1
somit wird aus der Stabchen-Verteilungsfunktion
Ψ({rn}) =
(3
2πb2
)3N/2
exp
[−
N∑n=1
3(Rn − Rn−1)2
2b2
]
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wenig“Wechselwirkung
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Gausskette - Stabchenlange b nicht deltaverteilt
entspricht dem Federmodell (bead-spring model)
von vorher
Ψ({rn}) =N∏
i=1
Ψ(rn)
jetzt gaussverteilte Stabchenlange
Ψ(r) =
(3
2πb2
)3/2
exp
[− 3r2
2b2
]mit 〈r2〉 = b2
nun rn = Rn − Rn−1
somit wird aus der Stabchen-Verteilungsfunktion
Ψ({rn}) =
(3
2πb2
)3N/2
exp
[−
N∑n=1
3(Rn − Rn−1)2
2b2
]
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B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Gausskette - Stabchenlange b nicht deltaverteilt
entspricht dem Federmodell (bead-spring model)
von vorher
Ψ({rn}) =N∏
i=1
Ψ(rn)
jetzt gaussverteilte Stabchenlange
Ψ(r) =
(3
2πb2
)3/2
exp
[− 3r2
2b2
]mit 〈r2〉 = b2
nun rn = Rn − Rn−1
somit wird aus der Stabchen-Verteilungsfunktion
Ψ({rn}) =
(3
2πb2
)3N/2
exp
[−
N∑n=1
3(Rn − Rn−1)2
2b2
]
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Gausskette - Stabchenlange b nicht deltaverteilt
entspricht dem Federmodell (bead-spring model)
von vorher
Ψ({rn}) =N∏
i=1
Ψ(rn)
jetzt gaussverteilte Stabchenlange
Ψ(r) =
(3
2πb2
)3/2
exp
[− 3r2
2b2
]mit 〈r2〉 = b2
nun rn = Rn − Rn−1
somit wird aus der Stabchen-Verteilungsfunktion
Ψ({rn}) =
(3
2πb2
)3N/2
exp
[−
N∑n=1
3(Rn − Rn−1)2
2b2
]
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wenig“Wechselwirkung
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Gausskette - Stabchenlange b nicht deltaverteilt
entspricht dem Federmodell (bead-spring model)
von vorher
Ψ({rn}) =N∏
i=1
Ψ(rn)
jetzt gaussverteilte Stabchenlange
Ψ(r) =
(3
2πb2
)3/2
exp
[− 3r2
2b2
]mit 〈r2〉 = b2
nun rn = Rn − Rn−1
somit wird aus der Stabchen-Verteilungsfunktion
Ψ({rn}) =
(3
2πb2
)3N/2
exp
[−
N∑n=1
3(Rn − Rn−1)2
2b2
]
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Ziel: Gyrationsradius RG
Verteilung Φ(Rn − Rm, n −m) des Vektors Rn − Rm zwischen denSegmenten n und m
Φ =
∫dr1 . . .
∫drn δ
(Rn − Rm −
n∑k=m+1
rk
)Ψ({rn})
wiederum mit Integraldarstellung der Deltafunktion
Φ =1
(2π)3
∫dk eik·(Rn−Rm)
[∫drk e−ik·rk Ψ(rk)
]n−m
gelangt man schließlich zu
Φ(Rn − Rm, n −m) =
(3
2πb2|n −m|
)3/2
exp
[−3(Rn − Rm)2
2|n −m|b2
]Ergebnis: gaussverteilte Abstandsvektoren Rn − Rm, somit
〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2
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wenig“Wechselwirkung
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Ziel: Gyrationsradius RG
Verteilung Φ(Rn − Rm, n −m) des Vektors Rn − Rm zwischen denSegmenten n und m
Φ =
∫dr1 . . .
∫drn δ
(Rn − Rm −
n∑k=m+1
rk
)Ψ({rn})
wiederum mit Integraldarstellung der Deltafunktion
Φ =1
(2π)3
∫dk eik·(Rn−Rm)
[∫drk e−ik·rk Ψ(rk)
]n−m
gelangt man schließlich zu
Φ(Rn − Rm, n −m) =
(3
2πb2|n −m|
)3/2
exp
[−3(Rn − Rm)2
2|n −m|b2
]Ergebnis: gaussverteilte Abstandsvektoren Rn − Rm, somit
〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2
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wenig“Wechselwirkung
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Ziel: Gyrationsradius RG
Verteilung Φ(Rn − Rm, n −m) des Vektors Rn − Rm zwischen denSegmenten n und m
Φ =
∫dr1 . . .
∫drn δ
(Rn − Rm −
n∑k=m+1
rk
)Ψ({rn})
wiederum mit Integraldarstellung der Deltafunktion
Φ =1
(2π)3
∫dk eik·(Rn−Rm)
[∫drk e−ik·rk Ψ(rk)
]n−m
gelangt man schließlich zu
Φ(Rn − Rm, n −m) =
(3
2πb2|n −m|
)3/2
exp
[−3(Rn − Rm)2
2|n −m|b2
]Ergebnis: gaussverteilte Abstandsvektoren Rn − Rm, somit
〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2
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wenig“Wechselwirkung
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Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Ziel: Gyrationsradius RG
Verteilung Φ(Rn − Rm, n −m) des Vektors Rn − Rm zwischen denSegmenten n und m
Φ =
∫dr1 . . .
∫drn δ
(Rn − Rm −
n∑k=m+1
rk
)Ψ({rn})
wiederum mit Integraldarstellung der Deltafunktion
Φ =1
(2π)3
∫dk eik·(Rn−Rm)
[∫drk e−ik·rk Ψ(rk)
]n−m
gelangt man schließlich zu
Φ(Rn − Rm, n −m) =
(3
2πb2|n −m|
)3/2
exp
[−3(Rn − Rm)2
2|n −m|b2
]Ergebnis: gaussverteilte Abstandsvektoren Rn − Rm, somit
〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Ziel: Gyrationsradius RG
Verteilung Φ(Rn − Rm, n −m) des Vektors Rn − Rm zwischen denSegmenten n und m
Φ =
∫dr1 . . .
∫drn δ
(Rn − Rm −
n∑k=m+1
rk
)Ψ({rn})
wiederum mit Integraldarstellung der Deltafunktion
Φ =1
(2π)3
∫dk eik·(Rn−Rm)
[∫drk e−ik·rk Ψ(rk)
]n−m
gelangt man schließlich zu
Φ(Rn − Rm, n −m) =
(3
2πb2|n −m|
)3/2
exp
[−3(Rn − Rm)2
2|n −m|b2
]
Ergebnis: gaussverteilte Abstandsvektoren Rn − Rm, somit
〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Ziel: Gyrationsradius RG
Verteilung Φ(Rn − Rm, n −m) des Vektors Rn − Rm zwischen denSegmenten n und m
Φ =
∫dr1 . . .
∫drn δ
(Rn − Rm −
n∑k=m+1
rk
)Ψ({rn})
wiederum mit Integraldarstellung der Deltafunktion
Φ =1
(2π)3
∫dk eik·(Rn−Rm)
[∫drk e−ik·rk Ψ(rk)
]n−m
gelangt man schließlich zu
Φ(Rn − Rm, n −m) =
(3
2πb2|n −m|
)3/2
exp
[−3(Rn − Rm)2
2|n −m|b2
]Ergebnis: gaussverteilte Abstandsvektoren Rn − Rm,
somit
〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2
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wenig“Wechselwirkung
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Ziel: Gyrationsradius RG
Verteilung Φ(Rn − Rm, n −m) des Vektors Rn − Rm zwischen denSegmenten n und m
Φ =
∫dr1 . . .
∫drn δ
(Rn − Rm −
n∑k=m+1
rk
)Ψ({rn})
wiederum mit Integraldarstellung der Deltafunktion
Φ =1
(2π)3
∫dk eik·(Rn−Rm)
[∫drk e−ik·rk Ψ(rk)
]n−m
gelangt man schließlich zu
Φ(Rn − Rm, n −m) =
(3
2πb2|n −m|
)3/2
exp
[−3(Rn − Rm)2
2|n −m|b2
]Ergebnis: gaussverteilte Abstandsvektoren Rn − Rm, somit
〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2
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Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Ergebnisse fur verschiedene Polymermodelle
feste Stabchenlange
〈R2〉 = b2N freely jointed chain
〈R2〉 = b2 1 + cos ϑ
1− cos ϑN freely rotating chain
variable Stabchenlange
〈(Rn − Rm)2〉 = b2|n −m| Gausskette
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Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Gyrationsradius RG
• ist ein Maß fur die Ausdehnung des Molekuls im Raum
• kann in Streuexperimenten direkt gemessen werden
Definition:
R2G =
1
2N2
N∑n=1
N∑m=1
(Rn − Rm)2
nach Mittelung y erhalt man
R2G =
1
6R2
E
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PolymerphysikZufallsweg &Strukturfaktor
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Einfuhrung
A Statistik derPolymerkonfigu-ration
Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Gyrationsradius RG
• ist ein Maß fur die Ausdehnung des Molekuls im Raum
• kann in Streuexperimenten direkt gemessen werden
Definition:
R2G =
1
2N2
N∑n=1
N∑m=1
(Rn − Rm)2
nach Mittelung y erhalt man
R2G =
1
6R2
E
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PolymerphysikZufallsweg &Strukturfaktor
ThomasWiedenmann
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
Zufallsweg
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Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Gyrationsradius RG
• ist ein Maß fur die Ausdehnung des Molekuls im Raum
• kann in Streuexperimenten direkt gemessen werden
Definition:
R2G =
1
2N2
N∑n=1
N∑m=1
(Rn − Rm)2
nach Mittelung y erhalt man
R2G =
1
6R2
E
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wenig“Wechselwirkung
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Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Gyrationsradius RG
• ist ein Maß fur die Ausdehnung des Molekuls im Raum
• kann in Streuexperimenten direkt gemessen werden
Definition:
R2G =
1
2N2
N∑n=1
N∑m=1
(Rn − Rm)2
nach Mittelung y erhalt man
R2G =
1
6R2
E
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wenig“Wechselwirkung
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B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Gyrationsradius RG
• ist ein Maß fur die Ausdehnung des Molekuls im Raum
• kann in Streuexperimenten direkt gemessen werden
Definition:
R2G =
1
2N2
N∑n=1
N∑m=1
(Rn − Rm)2
nach Mittelung y erhalt man
R2G =
1
6R2
E
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B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
B Streuexperimente
• experimentelle Großen aus Lichtstreuung
• Formfaktor gibt gestreute Intensitat eines einzelnenPolymermolekuls
• verdunnte Polymerlosung
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Kette ohneWechselwirkung
Kette mit”ein
wenig“Wechselwirkung
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Formfaktor - Herleitung
Amplitude des gestreuten Felds eines Polymermolekuls
a(q, t) =N∑
m=1
e−iq·Rm(t)
damit, fur Intensitat gemittelt uber alle Molekulonfigurationen
〈|a(q)|2〉 =∑m,n
⟨e−iq·(Rm−Rn)
⟩fur 〈. . .〉,da Rm − Rn gaussverteilt ist, gilt⟨e−iq·(Rm−Rn)
⟩= e−
q2
6 〈(Rm−Rn)2〉
= e−q2b2
6 |m−n| mit R2E = 〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2
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wenig“Wechselwirkung
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B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Formfaktor - Herleitung
Amplitude des gestreuten Felds eines Polymermolekuls
a(q, t) =N∑
m=1
e−iq·Rm(t)
damit, fur Intensitat gemittelt uber alle Molekulonfigurationen
〈|a(q)|2〉 =∑m,n
⟨e−iq·(Rm−Rn)
⟩fur 〈. . .〉,da Rm − Rn gaussverteilt ist, gilt⟨e−iq·(Rm−Rn)
⟩= e−
q2
6 〈(Rm−Rn)2〉
= e−q2b2
6 |m−n| mit R2E = 〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2
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Literatur
Formfaktor - Herleitung
Amplitude des gestreuten Felds eines Polymermolekuls
a(q, t) =N∑
m=1
e−iq·Rm(t)
damit, fur Intensitat gemittelt uber alle Molekulonfigurationen
〈|a(q)|2〉 =∑m,n
⟨e−iq·(Rm−Rn)
⟩fur 〈. . .〉,da Rm − Rn gaussverteilt ist, gilt⟨e−iq·(Rm−Rn)
⟩= e−
q2
6 〈(Rm−Rn)2〉
= e−q2b2
6 |m−n| mit R2E = 〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2
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Amplitude des gestreuten Felds eines Polymermolekuls
a(q, t) =N∑
m=1
e−iq·Rm(t)
damit, fur Intensitat gemittelt uber alle Molekulonfigurationen
〈|a(q)|2〉 =∑m,n
⟨e−iq·(Rm−Rn)
⟩
fur 〈. . .〉,da Rm − Rn gaussverteilt ist, gilt⟨e−iq·(Rm−Rn)
⟩= e−
q2
6 〈(Rm−Rn)2〉
= e−q2b2
6 |m−n| mit R2E = 〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2
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Formfaktor - Herleitung
Amplitude des gestreuten Felds eines Polymermolekuls
a(q, t) =N∑
m=1
e−iq·Rm(t)
damit, fur Intensitat gemittelt uber alle Molekulonfigurationen
〈|a(q)|2〉 =∑m,n
⟨e−iq·(Rm−Rn)
⟩fur 〈. . .〉,
da Rm − Rn gaussverteilt ist, gilt⟨e−iq·(Rm−Rn)
⟩= e−
q2
6 〈(Rm−Rn)2〉
= e−q2b2
6 |m−n| mit R2E = 〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2
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Literatur
Formfaktor - Herleitung
Amplitude des gestreuten Felds eines Polymermolekuls
a(q, t) =N∑
m=1
e−iq·Rm(t)
damit, fur Intensitat gemittelt uber alle Molekulonfigurationen
〈|a(q)|2〉 =∑m,n
⟨e−iq·(Rm−Rn)
⟩fur 〈. . .〉,da Rm − Rn gaussverteilt ist,
gilt⟨e−iq·(Rm−Rn)
⟩= e−
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6 〈(Rm−Rn)2〉
= e−q2b2
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Amplitude des gestreuten Felds eines Polymermolekuls
a(q, t) =N∑
m=1
e−iq·Rm(t)
damit, fur Intensitat gemittelt uber alle Molekulonfigurationen
〈|a(q)|2〉 =∑m,n
⟨e−iq·(Rm−Rn)
⟩fur 〈. . .〉,da Rm − Rn gaussverteilt ist, gilt⟨e−iq·(Rm−Rn)
⟩= e−
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= e−q2b2
6 |m−n| mit R2E = 〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Formfaktor
mit Definition:
P(q) =〈|a(q)|2〉
N2wobei 〈|a(0)|2〉 = N2
erhalten wir
P(q) =1
N2
∑m,n
e−q2b2
6 |m−n|
=1
N2
N∫0
dm
N∫0
dn e−q2b2
6 |m−n| =2
N2
N∫0
dm
m∫0
dn e−q2b2
6 (m−n)
schließlich wiederum mit 6R2G = R2
E
P(q) =2
(q2〈R2G〉)2
[e−q2〈R2
G〉 + q2〈R2G〉 − 1
]Debeye Funktion
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Literatur
Formfaktor
mit Definition:
P(q) =〈|a(q)|2〉
N2wobei 〈|a(0)|2〉 = N2
erhalten wir
P(q) =1
N2
∑m,n
e−q2b2
6 |m−n|
=1
N2
N∫0
dm
N∫0
dn e−q2b2
6 |m−n| =2
N2
N∫0
dm
m∫0
dn e−q2b2
6 (m−n)
schließlich wiederum mit 6R2G = R2
E
P(q) =2
(q2〈R2G〉)2
[e−q2〈R2
G〉 + q2〈R2G〉 − 1
]Debeye Funktion
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B Streuexperi-mente
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Literatur
Formfaktor
mit Definition:
P(q) =〈|a(q)|2〉
N2wobei 〈|a(0)|2〉 = N2
erhalten wir
P(q) =1
N2
∑m,n
e−q2b2
6 |m−n|
=1
N2
N∫0
dm
N∫0
dn e−q2b2
6 |m−n| =2
N2
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dm
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6 (m−n)
schließlich wiederum mit 6R2G = R2
E
P(q) =2
(q2〈R2G〉)2
[e−q2〈R2
G〉 + q2〈R2G〉 − 1
]Debeye Funktion
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Literatur
Formfaktor
mit Definition:
P(q) =〈|a(q)|2〉
N2wobei 〈|a(0)|2〉 = N2
erhalten wir
P(q) =1
N2
∑m,n
e−q2b2
6 |m−n|
=1
N2
N∫0
dm
N∫0
dn e−q2b2
6 |m−n| =2
N2
N∫0
dm
m∫0
dn e−q2b2
6 (m−n)
schließlich wiederum mit 6R2G = R2
E
P(q) =2
(q2〈R2G〉)2
[e−q2〈R2
G〉 + q2〈R2G〉 − 1
]
Debeye Funktion
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Formfaktor
Literatur
Formfaktor
mit Definition:
P(q) =〈|a(q)|2〉
N2wobei 〈|a(0)|2〉 = N2
erhalten wir
P(q) =1
N2
∑m,n
e−q2b2
6 |m−n|
=1
N2
N∫0
dm
N∫0
dn e−q2b2
6 |m−n| =2
N2
N∫0
dm
m∫0
dn e−q2b2
6 (m−n)
schließlich wiederum mit 6R2G = R2
E
P(q) =2
(q2〈R2G〉)2
[e−q2〈R2
G〉 + q2〈R2G〉 − 1
]Debeye Funktion
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wenig“Wechselwirkung
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Verteilungsfunktion
Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Zusammenfassung
A Statistik der Polymerkonfiguration
• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
• Exkurs: Zufallsweg
• Berechnung: Φ(R) Verteilung von R
• Gausskette (Stabchenlange b 6= fest)
• Berechnung: RG Gyrationsradius
B Streuexperimente
• Berechnung: P(q) Formfaktor
Theoretische Beschreibung & Messgroßen v. Polymeren
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Gausskette
Gyrationsradius
B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Zusammenfassung
A Statistik der Polymerkonfiguration
• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
• Exkurs: Zufallsweg
• Berechnung: Φ(R) Verteilung von R
• Gausskette (Stabchenlange b 6= fest)
• Berechnung: RG Gyrationsradius
B Streuexperimente
• Berechnung: P(q) Formfaktor
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B Streuexperi-mente
Formfaktor
Literatur
Zusammenfassung
A Statistik der Polymerkonfiguration
• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
• Exkurs: Zufallsweg
• Berechnung: Φ(R) Verteilung von R
• Gausskette (Stabchenlange b 6= fest)
• Berechnung: RG Gyrationsradius
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• Berechnung: P(q) Formfaktor
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• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
• Exkurs: Zufallsweg
• Berechnung: Φ(R) Verteilung von R
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• Berechnung: RG Gyrationsradius
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• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
• Exkurs: Zufallsweg
• Berechnung: Φ(R) Verteilung von R
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• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
• Exkurs: Zufallsweg
• Berechnung: Φ(R) Verteilung von R
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• Berechnung: RG Gyrationsradius
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• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
• Exkurs: Zufallsweg
• Berechnung: Φ(R) Verteilung von R
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• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
• Exkurs: Zufallsweg
• Berechnung: Φ(R) Verteilung von R
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• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
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• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
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• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
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• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest
• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
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• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)
• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion
• Exkurs: Zufallsweg
• Berechnung: Φ(R) Verteilung von R
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• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor
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Literatur
Literatur
KLEIN, RUDOLF: Auszug aus”Aufzeichnungen“: Structural
Properties Of Polymers.
RUBINSTEIN, MICHAEL; COLBY, RALPH H. PolymerPhysics, OXFORD UNIVERSTITY PRESS, 2003.
TERAOKA, IWAO: Polymer Solutions: An Introduction toPhysical Properties, WILEY & SONS, 2002.
DE GENNES, P.-G.: Scaling Concepts in Polymer Physics,CORNELL UNIVERSITY PRESS, London, 1979.
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