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Polynome im Affenkasten

• Für jedes Polynom bis zum 4. Grad gibt es einen Kasten, in dem es angeschaut werden kann.

• Jede Potenzfunktion zeigt eine besondere Schönheit.

• Neuentdeckungen sind jederzeit möglich.

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, 02. 02 .2001



• Polynome 3. Grades

Übersicht

• Scherung als Beweisgedanke

• Parabeln im Bärenkasten

• Polynome 4. Grades im Pantherkäfig

• Potenzfunktionen

• Andere Funktionsklassen

• Entdeckendes Lernen

• Ausblick

Polynome 3. Grades im Affenkasten


• Polynom 3. Grades, das Extrema hat.

• Maximum und Wendepunkt definieren eine Kastenzelle.

• Überraschend ist:die nächste Zelle passt immer.

o.B.d.A

• Symmetrie zum Wendepunkt.



• Jede Tangente schneidet die Wendetangente.

• Die Tangente am Kastenrand schneidet die Wendetangente auf der oberen Kastenlinie

• Überraschend ist:

• Der Schnittpunkt liegt immer an der 2:1 Teilungsstelle der Zelle



• Die Nullstelle ist stets das -fache der Extremstelle.

• Die Nullstellen-Tangente liegt also „irrational“ im Kasten.


• Sie „erbt“ ihre Steigung aus dem Kasten, m.a.W.:

• sie ist stets parallel zu einer markanten Kastenlinie.



• Flächenverhältnisse

• Es ist ein rationales Flächenverhältnis, obwohl die beteiligte Nullstelle „irrational“ im Kasten liegt.


• Die Inhalte der gezeichneten Flächen stehen im Verhältnis 3 : 1

• Das ist einfach schön.



• Flächenverhältnisse • Die Inhalte der gezeichneten Flächen stehen im Verhältnis 3 : 1

• Elemente des Beweises:

• denn die Rasterhöhe ist 2 a r3.



• Flächenverhältnisse • Flächen gleicher Farbe sind

gleich groß.



• Addition eines linearen Terms zu einem Funktions-term bedeutet geometrisch eine Scherung des Funktionsgraphen.

• Scherachse ist die Parallele zur y-Achse durch die Nullstelle der zum linearen Term gehörigen Geraden.

• Scherwinkel ist der spitze Winkel, den die Gerade mit der x-Achse bildet.



• Scherungen erhalten die Flächengröße

• Scherungen erhalten Teilverhältnisse und Inzidenzen

• Scherungen erhalten die Wendestellen

• Scherungen erhalten den Grad eines Polynoms



• Also:• Alle für gerade Affenkästen

bewiesenen Tatsachen gelten auch für schräge Affenkästen.

• Berührt eine Gerade ein Extremum, so ist die gescherte Gerade bei der gescherten Funktion an derselben Stelle Tangente.

• Umgekehrt definiert jede Tangente selbst die Scherung, mit der sie in die x-Achse überführt werden kann.



• Alle Aussagen gelten für sämtliche Polynome 3. Grades

• Jede Tangente definiert einen schrägen Affenkasten.

Parabeln im Bärenkasten


• Die Tangente an der Stelle r lässt sich mit Hilfe der Sehne zu einem zu r symmetrischen Intervall finden.

• Mit anderen Worten:

• Die zu einer Parabelsehne parallele Tangente hat ihre Berührstelle an der Mittenstelle Sehne.

• Beweis: Durch Scherung lässt sich die Tangente in die x-Achse überführen. Dann ist die Eigenschaft trivial.

• O.B.d.A kann das Intervall [0 / 2r] genommen werden, sic!



• Die Tangente an der Stelle r,

• die Sehne zu [r-, r+ ],• die Sehne zu [r-2, r+2 ],• bilden einen gleichmäßigen

Kasten.

• Beweis: Durch Scherung lässt sich die Tangente in die x-Achse überführen. Durch Verschiebung und Streckung entsteht die Normalparabel. Für sie ist wegen (2b)2=4 b2 die Eigenschaft klar.



• Die Tangente an an den Ecken des Bärenkastens

• treffen die untere Kastenkante auf einem Gitterpunkt,

• sie schneiden sich untereinander auf der Unterkante des „Doppelkastens“

• Dies kann also gar keine Parabel sein.



• Für waagerechte Sehnen gilt:

• Die Fläche zwischen der Parabel und ihrer Sehne ist zwei Drittel der Bärenkastenfläche.

• Wegen der Scherung gilt das für alle Sehnen.



• Die Scherung, die den schrägen Bärenkasten in einen geraden überführt, hat als Scherwinkel das Negative des Steigungswinkels der Tangente.

• Scherachse kann jede senkrechte Gerade sein.

• Der Berührpunkt wird Scheitelpunkt, wenn man will, kann man diesen noch in den Ursprung verschieben.

• Analytisch kann man einfach die Tangente subtrahieren.

• Das ist dann eine Scherung an der Senkrechten durch die Nullstelle der Tangente.



• Johannes Kepler (Mathematiker, Astronom) fand schon Anfang des 17. Jahrhunderts die sog. Fass-Regel. Mehrfache Anwendung führt zur Simpsonregel.

• Vollst. Beweis rechts mit Mathematica

• Verwendung der Dritteleigenschaft

• Keplersche Regel

Polynome 4. Grades im Pantherkäfig


• Polynome 4. Grades haben entweder genau zwei Wendepunkte oder gar keine.

• Betrachtet werden die mit zwei Wendetangenten und deren Schnittpunkte mit dem Polynom.

• Ist r der Abstand der Wendestellen, dann ist r auch der Abstand der Schnittstellen von den Wendestellen.


• Die Flächen zwischen Wendetangente und Kurve sind links und rechts gleich groß.

Polynome 4. Grades im Pantherkäfig


• Sei ein Polynom 4. Grades mit zwei Wendepunkten betrachtet.

• O.B.d.A. sei es symmetrisch.

• Die Gerade vom Wendepunkt zu oberen Kastenecke halbiert die Fläche zwischen Wendetangente und Kurve.(hellgrau= mittelgrau)

• Die Randtangente halbiert die untere Zellenkante.• Eine gewisse Rolle spielen die Drittel- und

Neuntel-Zellenhöhe


• Die Formenvielfalt nimmt Überhand!

-3 -2 -1 1 2 3

-10

10

20

fHxL= 1 x^2Hx^2 - 6LL

• Nicht das 4-fache, sondern das 4,2-fache der zipfeligen Flächeist so groß wie die hellgraue.

Potenzfunktionen y=xk mit k>1


Gescherte Potenzfunktionen y=xk +mx mit k>1


Potenzfunktionen y=xk mit k>1


e-Funktion mit „Eulerkasten“



• Entstehung des Graphen aus Bausteinen

• e-Funktion um k verschieben.

• quadrieren• Asymptote y= k2.

• Für alle k sind Wendestelle und Schnittstelle mit Asymptote ln 2 von der Extremstelle entfernt.

• Also: Die Streifenbreite ist stets ln 2.

• Bei wachsendem k wandert die Extremstelle nach außen, die Asymptote nach oben.




• Die Wendetangente scheidet Asymptote und x-Achse

• Dadurch wird ein Kasten definiert.

• Die Kastenfläche ist so groß wie die Fläche zwischen Kurve und Asymptote.

• A=2 k 2

• Für alle k hat dieser Kasten die Breite 2 und der Wendepunkt liegt auf dem rechten unteren Viertelpunkt.



Viele Flächensind Vielfache der Kastenzellen.

Erforschen Sie mathematische Schönheiten!



• Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

• Das Heft enthält eine zusammenhängende Darstellung mit vollständigen Beweisen, seitenbezogene Kopiervorlagen zu den Kernaussagen, Kopiervorlagen für entdeckendes Lernen, Klausuraufgaben, weitere Zusammenhänge und diesen Vortrag (49 Seiten).

• Es kostet 10 DM.

• www.doerte-haftendorn.de

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