Postavka projektnog zadatkaPogonske opruge Cilindrične zavojne
parametri kretanja:
- pomeranje koje opruga treba da realizuje sk,
- vreme za koje treba realizovati pomeranje tk,
- eventualno, najmanja i najveća dopuštena vrednost završne brzine
vkmin ≤ vk ≤ vkmax.
Postavka projektnog zadatkaPogonske opruge Cilindrične zavojne
parametri opterećenja:
- redukovana masa sklopa koji treba pomeriti m(s),
- redukovana statička otporna sila Fst(s).
Postavka projektnog zadatkaPogonske opruge Cilindrične zavojne
konstruktivno-geometrijski zahtevi:
- položaj i promena položaja tačke K u odnosu na nepokretni krajopruge C0,
- oblik i položaj putanje tačke K,
- najveća dopuštena vrednost spoljašnjeg prečnika opruge Ds odn.najmanja dopuštena vrednost unutrašnjeg prečnika opruge Du
Postavka projektnog zadatkaPogonske opruge Cilindrične zavojne
Potrebno je poznavati i tehničko-tehnološke zahteve u vezi s karakteristikama materijala od kojih se opruge izradjuju.
Mdt 5.0 σ=τ
Mdt 45.0 σ=τ
Prema hipotezi najvećeg deformacionog rada, dopušteni napon na uvijanje pritisnih cilindričnih zavojnih opruga od okrugle žice može se preračunati izrazom:
dok je kod zateznih cilindričnih zavojnih opruga sa ušicama dobijenim savijanjem završnih zavojaka:
Vrednosti zatezne čvrstoće σM za različite debljine (do d=17 mm)i klase kvaliteta žica definisane su standardom JUS C.B6.018.
Odnos motanjaPogonske opruge Cilindrične zavojne
Odnos naziva se odnos motanja (Wall-ov indeks opruge).
Teškoće izrade (tolerancije) i funkcionisanja opruge uslovile supreporuku dopuštenih vrednosti odnosa motanja:
- kod pritisnih zavojnih opruga w = 4÷8 ⇒ 5d ≤ Ds ≤ 9d
- kod zateznih zavojnih opruga w = 4÷16 ⇒ 5d ≤ Ds ≤ 17d
dDw m=
Oblik završnih zavojakaPogonske opruge Cilindrične zavojne
Prvi i poslednji zavojak opruge nisu pravilni.
Zatezne opruge imaju završetke u obliku ušica dok se kod pritisnihopruga krajnji zavojci obradjuju upravno na osu opruge (stopala) radi boljeg naleganja na podloge opruge.
Da bi opterećenje u zavojcima bilo pravilnije rasporedjenopreporučuje se da ukupni broj zavojaka:
- pritisnih i zateznih opruga n = i ± 0,5 (180o) odn. da kod
- zateznih opruga može biti i n = i ± 0,25 (90o odn. 270o).
Oblik završetaka kod pritisnih opruga odredjuje i dodatne zahteveodn. mere sigurnosti protiv izvijanja.
Varijante postavke zadatkaPogonske opruge Cilindrične zavojne
Dimenzionisanje opruge (mo≠0)Pogonske opruge Cilindrične zavojne
Oprugu treba dimenzionisati tako da se početnim izduženjem fp i sopstvenom kružnom frekvencom ω1 može da realizuje zahtevanopomeranje pokretnog kraja opruge sk u vremenskom intervalu tk:
( ) ( )tcos1fts 1p ω−=
Dimenzionisanje opruge (mo≠0)Pogonske opruge Cilindrične zavojne
Ako se zanemari ugao nagiba zavojaka iu obzir uzme samo naprezanje na torziju,
iz sa i
dobija se za mala pomeranja:tJGlM
⋅⋅
=ϕ2Ds m⋅ϕ
= mDnl ⋅⋅π=
4
3m
t
m
dGDFn8
JG2DlMs
⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
=
a time i krutost opruge:nD8
GdsFc 3
m
4
s ==
Jednačina za dimenzionisanjeopruge
Pogonske opruge Cilindrične zavojne
tp
2m
s
pp Gd
nDcF
f τπ
== ρπ=ω
2G
nDdk 2
m11
Pošto je:
u izrazima za početno izduženje i sopstvenu kružnu frekvencu figurišu dimenzije opruge:
Zamenom ovih izraza u izrazu za zakon puta: ( ) ( )k1p tcos1fts ω−=
3m
3
m
t dDF8
16d2
DF
WM
⋅π⋅
=⋅π
⋅==τ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ρπ=
τπ−
2G
nDdtkcos
nDdGs1 2
m
k12
mtp
k
Normirani oblik jednačinePogonske opruge Cilindrične zavojne
Uvodjenjem smena:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ρπ=
τπ−
2G
nDdtkcos
nDdGs1 2
m
k12
mtp
k
nDdp 2m
= p2Gtktp k
1k1 ρπ=ω=
k
k
tp1 tsG2
k1a ρτ
=
jednačina za dimenzionisanje cilindričnih opruga prelazi u normirani oblik:
p cosp a1 =−
omm
=χ
Grafički postupak rešavanjaPogonske opruge Cilindrične zavojne
amax=0.7246
p cosp a1 =−
omm
=χ
vsr=sk/tk
1
Broj zavojaka cilindrične opruge
π=⇒π=
mm D
LnnDL
πρκ=⇒
πρ=ρ=ρ==
κ
2
2
o
dm4L
L4
dALVmm ⇒m
22 Ddm4n
κρπ=
n – broj zavojaka opruge
m - masa pokretnog sklopa
κ - odnos masa pokretnog sklopa i opruge
ρ - gustina materijala žice opruge
d - prečnik žice opruge
Dm - srednji prečnik opruge
Opruge kao pogonski elementiMehanički elementi u mehatronici
2
Jednačina za dimenzionisanje prečnika žice cilindrične opruge
Opruge kao pogonski elementi
nDdp 2m
=
m22 Dd
m4nκρπ
=
dDD ms +=
⇒
0)dD(mp4d s23 =−
κρπ−
3 s2s Dmp4dDdκρπ
=⇒<<
m - masa pokretnog sklopa
κ - odnos masa pokretnog sklopa i opruge
ρ - gustina materijala žice opruge
p - faktor dimenzija opruge
d - prečnik žice opruge
Ds - spoljašnji prečnik opruge
Mehanički elementi u mehatronici
3
Završna brzina i ubrzanje pokretnog kraja cilindrične opruge
Opruge kao pogonski elementi
)tcos(1sf
k1
kp ω−=
)tsin(fv k1p1k ωω=
2tfv 1p1max
π=ω⇔ω=
ρπ=ω
2G
nDdk 2
m11
tp
2m
p GdnDf τ
π=
fp - početno izduženje opruge
sk - pomeranje pokretnog kraja opruge
tk - vremenski interval
ω1 - sopstvena kružna frekvenca
vk - završna brzina pokretnog kraja opruge
vmax - najveća brzina
k1 - karakteristična vrednost osnovnog harmonika
d - prečnik žice opruge
Dm - srednji prečnik opruge
G - modul klizanja
ρ - gustina materijala žice opruge
τtp – napon na uvijanje pri početnom izduženju
Mehanički elementi u mehatronici
4
Završna brzina i ubrzanje pokretnog kraja cilindrične opruge
Opruge kao pogonski elementi
G2k
v tp1max ρ
τ=
pcospa1 =−
k
k
tp1 tsG2
k1a ρτ
=
max
sr
VVa =
)tcos(fa k1p21k ωω=
vmax - najveća brzina
k1 - karakteristična vrednost osnovnog harmonika
τtp – napon na uvijanje pri početnom izduženju
G - modul klizanja
ρ - gustina materijala žice opruge
sk - pomeranje pokretnog kraja opruge
tk - vremenski interval
ω1 - sopstvena kružna frekvenca
fp - početno izduženje opruge
Mehanički elementi u mehatronici
5
Napon na uvijanje pri početnom izduženju cilindrične opruge
Opruge kao pogonski elementi
dtp2m
swtp f
nDGdkV τ≤π
=τ τ
τtp – napon na uvijanje pri početnom izduženju
Vτ - faktor poveć. napona usled din. opter. opruge
kw - Göhner-ov fakt. konc. nap. na un. str. zav. opr.
G - modul klizanja
ds - standardni prečnik žice opruge
fp - početno izduženje opruge
Dm - srednji prečnik opruge
n – broj zavojaka opruge
τdt – dopušteni napon na uvijanje
Mehanički elementi u mehatronici
6
Napon na uvijanje pri početnom izduženju cilindrične opruge
Opruge kao pogonski elementi
3
m
s2
m
s
m
sw D
dDd
87
Dd
451k ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛++=
( )1
1
ksinkV =τ
Mehanički elementi u mehatronici
7
Ugradna dužina cilindrične opruge
Opruge kao pogonski elementi
pmaxmmaxpHtu f)dD(6.1d)1n(fl2ll +−++=++=
lu - ugradna dužina opruge
lt - dužina tela opruge
lH - dužina ušica, merena iznutra
fp - početno izduženje opruge
n - broj zavojaka opruge
dmax - najveća dopuštena vrednost prečnika žice opruge prema JUS C.B6.018
Dm - srednji prečnik opruge
Mehanički elementi u mehatronici
8
Granice ostvarljivosti dinamičkih i konstruktivnih zahteva kod cilindrične opruge
Opruge kao pogonski elementi
Pre nego pređe na dimenzionisanje cilindrične zavojne opruge, konstruktor treba da proveri da li je uopšte moguće realizovati opružnim pogonom postavljene zahteve.
Mehanički elementi u mehatronici
9
Granice ostvarljivosti dinamičkih i konstruktivnih zahteva kod cilindrične opruge
Opruge kao pogonski elementi
pcospa1 =−
7246.0a7246.0aRp
max =⇒≤⇔∈
Mehanički elementi u mehatronici
10
Granice ostvarljivosti dinamičkih i konstruktivnih zahteva kod cilindrične opruge
Opruge kao pogonski elementi
k
k
tp1 tsG2
k1a ρτ
=
)v(kk
tsG2
a1k
srg1g1
k
k
tpmaxg1
=⇒
ρτ
=k1 - karakteristična vrednost osnovnog harmonika
τtp – napon na uvijanje pri početnom izduženju
G - modul klizanja
ρ - gustina materijala žice opruge
sk - pomeranje pokretnog kraja opruge
tk - vremenski interval
vsr - srednja brzina k
ksr t
sv =
Mehanički elementi u mehatronici
11
Opruge kao pogonski elementi
Granice ostvarljivosti dinamičkih i konstruktivnih zahteva kod cilindrične opruge
g1gg1 kk ctg κ=
k
k
tpmaxg1 t
sG2a
1k ρτ
=k
k
tpmaxg
k
k
tpmax tsG2
a1)
tsG2
a1(ctg ρ
τκ=ρ
τ
)v( srgg κ=κ
k1 - karakteristična vrednost osnovnog harmonika
τtp – napon na uvijanje pri početnom izduženju
G - modul klizanja
ρ - gustina materijala žice opruge
sk - pomeranje pokretnog kraja opruge
tk - vremenski interval
vsr - srednja brzina
κ - odnos masa pokretnog sklopa i opruge
Mehanički elementi u mehatronici
12
Opruge kao pogonski elementi
Granice ostvarljivosti dinamičkih i konstruktivnih zahteva kod cilindrične opruge
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ππ
∈=⇔= ,2
33.2p7246.0amax
Realizovanje pomeranja oprugom sa ovom graničnom vrednošću ima nedostatak: potrebna je kruta veza opruge sa sklopom koji treba pomeriti, kao i konstruktivne mere za njegovo zaustavljanje u krajnjem položaju.
Mehanički elementi u mehatronici
13
Opruge kao pogonski elementi
Granice ostvarljivosti dinamičkih i konstruktivnih zahteva kod cilindrične opruge
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
∈⇔π
≤2
,0p2a )v( sr22ππ
κ=κ
Mehanički elementi u mehatronici
14
Opruge kao pogonski elementi
Granice ostvarljivosti dinamičkih i konstruktivnih zahteva kod cilindrične opruge
G2k
v tp1max ρ
τ=
g1gg1 kk ctg κ=
)(vv gmaxmax κ=⇒
k1 – karakt. vredn. osn. harmonika
τtp – napon na uvijanje pri poč. izd.
G - modul klizanja
ρ - gustina materijala žice opruge
κ - odnos masa pokr.sklopa i opruge
Mehanički elementi u mehatronici
15
Granice ostvarljivosti dinamičkih i konstruktivnih zahteva kod cilindrične opruge
Opruge kao pogonski elementi
ρπ
= nDd4
m m2
2
o
1wDd s
+=
ndlt ≈
164w ÷=
2st
2st Dl
m937.0Dlm323.0 ≤κ≤
utu l75.0ll25.0 ≤≤
Mehanički elementi u mehatronici
16
Granice ostvarljivosti dinamičkih i konstruktivnih zahteva kod cilindrične opruge
Opruge kao pogonski elementi
maxk1
mink1
DG2
tkpm4dD
G2
tkpm4 ρ
πκρ<<ρ
πκρ
k1 - karakteristična vrednost osnovnog harmonika
G - modul klizanja
ρ - gustina materijala žice opruge
tk - vremenski interval
κ - odnos masa pokretnog sklopa i opruge
m - masa pokretnog sklopa
Dmin - najmanja dopuštena vrednost unutrašnjeg ili
spoljašnjeg prečnika opruge
Dmax - najveća dopuštena vrednost unutrašnjeg ili
spoljašnjeg prečnika opruge
Mehanički elementi u mehatronici
Varijante postavke zadatkaPogonske opruge Cilindrične zavojne
Pogonske opruge Cilindrične zavojne
mcs=ω
omm
=χχ
⋅=ω1
mc
o
s
p12Gt
p k ⋅χ
⋅ρ
⋅π
=k
k
pt tsG2
a ⋅χ⋅τρ
=
1001k
110011
11 ⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
χ⋅=⋅
ωω−ω
=ωΔ
Dimenzionisanje opruge (mo=0)
o
snn m
ck ⋅=ω
pcospa1 =−⇒
kk ctg ⋅χ=
Pogonske opruge Cilindrične zavojne
1001
31k
11001
1
1*1*
1 ⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+χ⋅
=⋅ωω−ω
=ωΔ
p13
32Gtp k ⋅
+χ⋅
ρ⋅
π=
k
k
pt ts
313G2
a ⋅+χ
⋅τρ
=
Dimenzionisanje opruge (m*)
Varijante postavke zadatkaPogonske opruge Cilindrične zavojne
Pogonske opruge Cilindrične zavojne
( )t cos1fs 1s ω−⋅=
Dimenzionisanje opruge (Fst(s))
( )21
K221p1s cc
Ffcfcf
+
+⋅−⋅= 1
11 k ctg
kk =
α−⋅χ
1
2
cc
=α
Pogonske opruge Cilindrične zavojne
Dimenzionisanje opruge (Fst(s))
1p cos1pa
pa
2
1 −=−⋅
⋅
( )1ts
kG 2
ak
k
tp11 +α⋅⋅
τ⋅⋅ρ
=
α⋅+
⋅τ⋅⋅ρ
=k
2
K2
tp12 t
cF
f
kG 2
a
a1max=0.7246
Pogonske opruge Cilindrične zavojne
Dimenzionisanje opruge (Fst(s))
( )k1
ks tcos1
sf⋅ω−
= ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅α+α+⋅=
2
K2s1p c
Ff1ff ( )k1s1k tsinfv ⋅ω⋅⋅ω=
Zbog zaokruživanja vrednosti dimenzija opruge, a time i promene odnosa krutosti α, treba uvek iznova korigovati vrednost ω1.
Izvedenim relacijama posredno je obradjen i sistem sa FK (c2=0). Pri odredjivanju promenljivih p, d i n treba zanemariti uticaj sile FK, a uzeti ga u obzir tek pri izračuna-vanju fp i ostalih veličina opruge i sistema.
Pogonske opruge Cilindrične zavojne
Dimenzionisanje opruge (Fst(s))
( )1313k1 +χ
+α=
χ+α
=1k1
⇒ χ > 10sm1
ts
k
k ≤
Za odnose masa χ > 1 i odnose krutosti α > 1 odn.
za χ ≥ 0.5 i α ≤ 1 može se koristiti i model koji masu opruge aproksimira konstantnom ekvivalent-masom:
Ne preporučuje se primena modela koji zanemaruje masu opruge:
Ovaj model se može koristiti u projektnim zadacima kod kojih je:
11
1 k ctgk
k =α
−⋅χ
Varijante postavke zadatkaPogonske opruge Cilindrične zavojne
Nelinearna dif. jednačina kretanja
Pogonske opruge Cilindrične zavojne
Diferencijalna jednačina kretanja biće nelinearna ako:
- masa sklopa m menja svoju vrednost tokom pomeranja za sk,
- veličina otporne sile Fst je nelinearno zavisna od pomeranja ili
- osa opruge tokom pogonskog procesa menja svoj položaj.
Jednačina kretanja sistema se, zbog nelinearnosti, može realizovati:
- formiranjem uprošćenih modela koji vode linearizaciji dif. jedn.
- variranjem vrednosti odredjenih parametara opruge i sistema svedok zahtev ne bude ispunjen (sinteza iterativnom analizom).
Aproksimacija linearnim modelomPogonske opruge Cilindrične zavojne
( )∫ ⋅⋅=ks
0ke dssm
s1m ( )∫ ⋅⋅=
ks
0st
kste dssF
s1F
( ) scFF 20sstste ⋅+= = ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅⋅= ∫ =
ks
00sstst
kk2 FdssF
s1
s2c
Aproksimacija linearnim modelomPogonske opruge Cilindrične zavojne
01p1p cosff β⋅=
Da bi eliminisali uticaj promene položaja ose opruge, putanja tačke K se mora uskladiti sa pravcem fiktivne ose opruge, koja tokom pogonskog procesa ne bi menjala svoj položaj.
Aproksimacija linearnim modelomPogonske opruge Cilindrične zavojne
Aproksimacija linearnim modelomPogonske opruge Cilindrične zavojne
Za dimenzionisanje pogonske opruge sistema čija je dif. jednačina linearizovana, treba koristiti model koji zanemaruje masu oprugeili model koji je aproksimira konstantnom ekvivalent-masom.
Relativna greška vremenskog intervala tk manja je od 10%.
Predložene aproksimacije je opravdano koristiti samo za približno odredjivanje diskretne vrednosti tk(sk), a ne i za vrednosti t(s) u intervalu 0 < s < sk.
Sinteza iterativnom analizomPogonske opruge Cilindrične zavojne
( )∫ ⋅⋅=ks
0ke dssm
s1m ( )∫ ⋅⋅=
ks
0st
kste dssF
s1F
Pogonske opruge Cilindrične zavojneNelinearna dif. jednačina
kretanjaDinamička analiza pogonskih sistema s nelinearnom diferencijal. jednačinom kretanja pokazala je da:
- promena položaja nepokretnog kraja oprugeC0 u oblasti ograničenoj uglom β≤ 12o odn. yK ≤ 0,2 lu ne dovodi do značajnijih promenadinamike kretanja,
- ukoliko se lučno pomeranje tačke K želirealizovati u što je moguće kraćem intervaluvremena, osa opruge treba sve vreme dagradi sa normalom na putanju veći ugao odprave kroz krajnje položaje tačke K.
Grafički postupak rešavanjaPogonske opruge Cilindrične zavojne
tk = 66 msK1(565 mm, 565 mm)K2(475 mm, 475 mm)K0(675 mm, 365 mm)m1= 0,54 g, m2=0,21 gm3=0,84 gi1=0,107 m, i2=0,069 mFtr=7,85 N, c=1,05 N/mmvk< 3,6 m/s710 mm < lu< 850 mm
Pogonske opruge Cilindrične zavojne
Aproksimacija linearnim modelom
me = 1,169 kg
Fste =6,406 N
Programski paket za dimenzionisanje
Pogonske opruge Cilindrične zavojne
Različiti pristupi proračunu pogonske opruge kod sistemâ s linearnom i nelinearnom diferencijalnom jednačinom kretanja uslovili su da i pri izradi programâ za dimenzionisanje cilindrične zavojne opruge razdvojimo ova dva postupka.
Daljim raščlanjivanjem strukture programskog paketa omogućili smo korisniku programâ da zahteva ugradnju neke od standardnih opruga koje nude proizvodjači ili da se saglasi sa uvećanim troškovima izrade nestandardne opruge kojom bi se znatno tačnije realizovali postavljeni zahtevi.
Izbor standardne opruge za linernu d.j.k.Pogonske opruge Cilindrične zavojne
DIN 2098/1 DIN 2098/2
n = 3,5 5,5 8,5 12,5 18,5
Dimenzionisanje nestandardne opruge za linernu d.j.k.
Pogonske opruge Cilindrične zavojne
Izbor standardne opruge za nelinernu d.j.k.
Pogonske opruge Cilindrične zavojne
Putanja pokretnog krajaopruge zadaje se:
- opšteg oblika:koordinatama y(x),
- pravolinijska:odstojanjem od x-ose: yK,
- lučna:koordinatama krajnjihpoložaja tačke K i centrakružnog luka,