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POTENCIA DE UN PROCESO ALEATORIO
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POTENCIA DE UN PROCESO ALEATORIO
Recordemos: Para señales determinísticas . . . .
la potencia instantánea es
Para una señal aleatoria, es una VA para todo instante t. Por
lo tanto no hay un simple número para asociarlo con la “potencia
instantánea”. Para obtener la Potencia Instantánea Esperada
(promedio), debemos de calcular el promedio (ensamble)
estadístico de .
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POTENCIA DE UN PROCESO ALEATORIO
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Relación entre la Potencia y la Autocorrelación
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Potencia vs Varianza
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Densidad Espectral de Potencia de un Proceso Aleatorio
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Densidad Espectral de Potencia de un Proceso Aleatorio
Para un Proceso Aleatorio: Cada realización (función
muestra) del proceso x(t) tiene una diferente TF y por
lo tanto una diferente Densidad Espectral de Potencia.
Ahora nuevamente vamos a usar el promedio para
obtener la DEP “esperada” o la DEP “promedio” . . .
Pero normalmente solo la llamamos la “DEP”
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DEP PARA UN PROCESO ALEATORIO ESA
Definimos la DEP de un proceso ESA x(t) como:
Pero esta representación no es muy útil para realizar un análisis, así que buscamos otra representación alternativa . .
El teorema de Wiener-Khinchine proporciona esta alternativa!!!
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Teorema de Weiner-KhinchineSea x(t) un proceso ESA con una función de AC dada por Rx(t) y con una DEP Sx(w). De tal forma que Rx(t) y
Sx(w) forman un par de la transformada de Fourier:
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Algunas propiedades de la DEP & AC
• 1) La DEP es una funcion par de para
un proceso real x(t).
Demostracion: Desde que cada funcion
muestra es evaluada en forma real,
entonces sabemos que |x( )| es par.
Es par: (par * par = par)
Asi por igual (checar en )
w
w
2
x w
SX w
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Algunas propiedades de la DEP & AC
• 2) es real y
• 3) es una funcion par de
SX w 0
R X t t
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Obtencion de la potencia a partir de la DEP
• Por definicion, la potencia es obtenida
como:
• Ahora vamos a demostrarla
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Cálculo de la Potencia a partir de la DEP
Nosotros
sabemos que:
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Unidades de la DEP
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Usando la simetría de Sx(wLa DEP es una función par de w para un proceso real x(t).
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DEP para un proceso discreto en tiempo
No hay muchos cambios, solo usamos la TF discreta en tiempo en lugar de la TF continua en tiempo.
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Relación entre la DEP y la AC
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Ruido BlancoEl termino ruido blanco se refiere a un proceso ESA cuya DEP es lisa en todo el rango de frecuencias.
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Ruido Blanco Continuo en TiempoEl ruido blanco continuo en tiempo tiene un potencia infinita:
Esto no existe en forma real, pero es aun un modelo muy útil para
análisis en modelos prácticos.
Cual es la autocorrelación del ruido blanco continuo en tiempo?
Tomamos la transformada inversa de Fourier de la DEP.
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Ruido Blanco Continuo en Tiempo
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Ruido Blanco Discreto en TiempoLa DEP es:
La Autocorrelación es:
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Ruido Blanco Discreto en TiempoDebemos de tener en cuenta lo siguiente:
El ruido blanco discreto en tiempo tiene potencia finita (contrario al ruido blanco continuo en tiempo)
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Ejem.#1 Ruido Blanco limitado en banda
La DEP es cero fuera del ancho de banda
La potencias es:
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Ejem.#1 Ruido Blanco limitado en banda
La autocorrelación (usando el par de transformadas de Fourier para las funciones rect y sinc) es:
Donde podemos ver que , ya que
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Ejem.#2 Sinusoide con fase aleatoria
Ya habíamos examinado este proceso anteriormente:
Usando el par de TF para función coseno, obtenemos la DEP:
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Ejem.#2 Sinusoide con fase aleatoria
Podemos obtener la Potencia de dos formas:
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Ejem.#3 Filtración de un PA discreto en tiempo
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Ejem.#3 Filtración de un PA discreto en tiempo
Para este caso ya habíamos mostrado anteriormente que la autocorrelación a la salida de este filtro estaba dada por:
La DEP de salida esta dada por:
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Ejem.#3 Filtración de un PA discreto en tiempo
Lo que podemos ver es que el filtro modifica la DEP de la entrada, de tal forma que suprime el contenido de potencia en las altas frecuencias.
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FIN