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56 Potencial eléctrico
Observe en el ejemplo 2 que el potencial es constante dentrode la esfera conductora cargada; es decir. que es una región equi-potencial volumétrlca. fuera de la esfera tenemos superflclesequipotenciales, esto es, que a distancias radiales iguales del. centro dela esfera, el potencial es constante.
3.4. Cálculo del potencial para una distribución de carga. Para cal-cular el potencial de una distribución de carga discreta (cargaspuntuales separadas) es necesario calcular el potencial de cadauna de las cargas en el punto deseado y luego sumar algebrai-camente los potenciales. ya que el potencial es una cantidad es-calar. Para un sistema de N cargas discretas el potencial está ~x-presado por:
Nq¡
(3.6)V = 2-4 'Ir E r.
o 1= 1 t.
donde q es cualquiera de las cargas y r representa la distancia1 1
de dichas cargas al punto donde se desea calcular el. potencial.
Para una distribución de carga continua, obtenemos el poten-cial con la siguiente expresión:
v =471"" o
donde dq es un diferencial de carga (lineal, superficial o volu-métrico) .
3.5. Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial. Para calcu-lar el campo eléctrico a partir del potencial en una región delespacio' donde el potencial está en función de la posición, ern-pleamos la ecuación 3.11 que establece que el campo eléctricoes igual a menos el gradiente del potencial, esto es:
E = - V V = - (_8 - V (x, y, z) e +- 8 x
x
8--- V (x, y, z) {j +.
8 yy
-8-8- V (x, y, .z) ez )
z
(3.11)
(3.8)
Problemas resueltos 57
Si el potencial es constante de la ecuación 3~11, notamos que elcampo eléctrico es cero, recuerde que el potencial es escalar.
3.6. Energía y potencIal eléctrico. La energía potencial de un sis-tema de dos cargas, equivale al trabajo hecho para llevar Unacarga qz desde el infinito a una distancia r de la otra carga q,que se obtiene de la definición del potencial eléctrico y está dadapor la ecuación 3.12. esto es:
qz qlqz V ---------
4 'Ir Eo rl2(3.12)
Para un sistema de más de dos cargas se suma alqebralca-mente la energía potencial de cada par de carqas por separado.La diferencia de potencial es comúnmente usada para acelerarpartículas cargadas o desvlarlas en trayectorias' deseadas tal comose ilustra en los ejemplos 5 y 6 del texto.
Al tener un dipolo eléctrico en un campo eléctrico, el dlpolose somete a un momento de torsión provocado por las fuerzaseléctricas que ejerce el campo sobre las cargas y observamosque el momento es máximo cuando la dirección del momento deldípolo P forma un ángulo de 900 con el campo. Ves igual a cero,cuando P es paralelo al campo. El momento de torsión del di-polo está dado por la ecuación 3.15 T = P x E (3.15)
1; La energía potencial del dipolo en el campo eléctrico es igualal trabajo necesario para cambiar su orientación a cierta posición
, . .deseada y está dada por la ecuación 3.17, esto es: .\u
,-.J ,-.JU=-P.E (3.17)
De esta ecuación deducimos que la energía del dipolo es má-xima cuando las direcciones del dipolo y el campo son paralelasy en sentidos contrarios, y cero cuando sus direcciones son per-pendiculares.
Problemas resueltos
Problema 3.1. Objetivos 1 y 2
Determine el potencial eléctrico en el punto A, producldo por las';. cargas que se muestran en la figura 3.1, si la magnitud de q = 2
X 10-6 coul y a = .5 m.
1>.
i!
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58 Potencial eléctrico
luclón:
Aplicando la ecuación 3.6:
4q------/'/'
//
a
2q -3q
a
A
Figura 3.1
n n
V :¿ V, = :¿ q¡
i = I 4 1T e r.C) i = I I
Para este caso:
v = (~+q2
+ ~)A 4 1T Eo '1 '2 r,
como: ql = 2q, q2 = 4q, q¡ - 3q'1 = '2 = r¡ = a
y
Obtenemos que:
V =A
a
4q ~)1
----(3q)4 1T~ e a
o
Problemas resueltos 59
Sustituyendo valores:
V A = 1.08 X 105 volts
Problema 3.2. Objetivos 1 y 3
Determine el potencial eléctrico en el punto A localizado en elcentro del anillo de radio "a", que tiene una distribución de cargapositiva y negativa .\ como se muestra en la figura 3.2.Solución:
El potencial en el punto A será igual al potencial producidopor la distribución de carga (+). más la producida por la car-ga (-).
V A = V A (q+) + VA (q-)
de la ecuación 3.8:
V f dqdonde , = e t e = a
4 1T e o r
Como dq = .\ dIy dI :::: a d ()
+ + + + A+dq+ +++ + +
+ + ++ + (}O ++ a -~ + +-,+ /C/---,.- + A -,
¡++ // 120° _ ""+ /-,
2400
Figura, 3.2
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60 Potencial eléctrico
Sustituyendo en la ecuación 3.8obtenemos que:
4/3 Tf
f .\. a d BVA (q+)o
Integrando y evaluando.'-
A a4/37r
J d s =o
[ J 4/371'
--4-71'-e- e o
4_____ (-- 71')
4 71' e 3o
V (c+) =A
El procedimiento es similar para determinar el potencial de la "carga negativa, de la ecuación 3.8. t
VA (q~) = f (- dq)donde r
4 7rea
or
Como dq = A dI = A ad O
entonces2/3,Tf
VA (q-) = I A ad B4 7r e a
o o
Integrando y evaluando.
2/3 tt- A a f d O4 7r e ao o
A &f"4 7r eo - <>
=
4 7r eo
Problemas resueltos 61
2(--71') =
3
A
6 eo
Para obtener el potencial resultante sumamos algebraicamentelos potenciales obtenidos, esto es.
AV =-
A 3 e-o
A= -(1
3 e o
1-)
2
.¡ Un cascarón hemisférico de radio a, está cargado uniformemen-í te. Calcule el potencial eléctrico en el centro de curvatura. FI-
gura 3.3.
Solución:
6 eo
Problema 3.4. Objetivo 3
De la _ecuación 3.8 tenemos que:
J dq
r
Si tomamos un dq en la figura, vemos que en cualquier partede la superficie que lo tomemos r = a, entonces:
f dq
donde dq = (J ds
y como o es constante
Entonces:
o f ds
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62 Potencial eléctrico
dq
-----
Figura 3.3
Obteniendo que:
aAVA = -----
4 7r eo a
donde A es el área total de la superficie del hemisferio, .esto es:ru
A =2
Sustituyendo y simplificando, obtenemos que:
aVA = ---------
4 tt e ao
aa2 e
o
Problema 3.5. Objetivo 4
Calcule el trabajo que realiza una fuerza externa al mover una '
carga de +5 X 10-6 coul en un campo eléctrico dado por E =(2x) {j x desde una posición de XI = 5 m a X2 = 2 m figura 3.4.
Solución:
Problemas resueltos 63
EtIí
----~--+-----+---------------~~~--------xx~ x,
Figura 3.4
El trabajo hecho sobre la carga, se define por la siguienteexpresión:
w = J .F. dt,-J ,-J
como dI = - dx entonces:
w = - fDe la ecuación 1.11: F
x
F d cos 1800
x x= - qE
x
entonces:
,.'.
w =' q.J Ex dx
2 ~t-:qxI= q f 2x dx5
Evaluando y sustituyendo datos:
w = 10.5 X 10-5 joules
Problema 3.6. os¡ tlvo 3 y 5
Un anillo de rodl n, n I pl n xy ti no una densidad de cargaA corn O J11LI srrn (11 1/1 flllllll:1 .. tI) el " el poten ial paracualqul r punto I ni I( (1 (J( d( 1" l. l) "d(:,II el e rnp eléctrlco pnrt! d( I pOle /1(,1,1.
Solu I 11:
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64 Potencial eléctrico
zy
x
Figura 3.5
A partir de la ecuación 3.8, tenemos que:
dq
J ry 4 7r I!
o
De la figura 3.5 vemos que:
r = ..¡ e' + Z2
como dq = A d I
donde: dI = ad8
entonces: dq = A ad8
sustituyendo en la ecuación 3.8, integrando y evaluando:
v f A ad 8=
4 tr I! o ,v' a2 + Z2
A a J2n4 7r s
..¡ a2d 8
o + Z2o
Problemas resueltos 65
>. a1/
o
A a 2 7r
=
Obtenemos:
Paraobtener el campo eléctrico, usamos la ecuación 3.11 en coor-denadas esféricas y en función únicamente de z, esto es.:
ovoz
,....,E = e x
Derivando el potencial con respecto a z, obtenemos el campoeléctrico para puntos sobre el eje z.
Problema 3.7. Objetivos 2 y 6
Dadas tres cargas de 20, 30 Y 40, donde colocaría las cargaspara que el potencial sea máximo y mínimo en el punto e, la
r~il I a ., a---6cfA OBr,"
,',i ain OF Oc
Figura 3.6
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66 Potencial eléctrico
distancia entre las posiciones es a. En la figura 3.6. Determine laenergfa potencial del arreglo cuando el potencial es mínimo res.pecto al punto C.
Solución:
De la ecuación 3.6 tenemos que:
n1
V = ¡4 7re
o i= 1
de esta ecuación observamos que para obtener un potencial má-ximo debemos colocar las cargas mayores lo más próximo delpunto C, o sea que 30 y 40, deben colocarse indistintamente enB o G y 20 en F, Yd que el potencial es directamente proporcionala la carga e inversamente a la distancia.
Entonces:
V + 30a
. 20 ]+ y2~
Para obtener el mmrrnn potencial las mayores cargas deben co-locarse lo más alejado posible (en el infinito el potencial es cero),entonces, 40 se coloca en la posición D (r = v-s8) 30 en A(r = 2a) y 20 en F (r = V28) de donde:
. 1 r 40r Da + 20 l-I2aJ
30
2aV=----
4 11. Eo + ----
Para determinar la energía potencial del arreglo cuando el po-tencial es mfnimo respecto al punto c. Usamos la ecuación 3.12para tres cargas, esto es:
u = UAD + UAF + UDF
U= + + _4 7r e arAD 4 7r e a r AF 4 7r eo rDF
Problemasresueltos 67donde: q = 20
F
y: ./--::1 .y AD = a , r AF = v 2a, r FD = a
Sustituyendo obtenemos que la energía potencial del arreglo es:
12 02 6 02 8 02U = + +4 7re a 4 tr e a (Ra) 4 tt ea 8o
o
Problema 3.8. Objetivo 3
Calcule el potencial eléctrico para puntos sobre el ej~ de ~n dis-co cargado uniformemente de radio b y tiene un agujero circular
~ de radio a. Figura 3.7.
Solución:
De la ecuación 3.8:
dqV =
-47r-e!o r
ds
~L++'-U-I- -- -_
Figura 3.7
Si tomamos un dq n formo do 011111. ltuado a una distancia "y"del centro del di co, nt 11(.1 :
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68 Potencial eléctrico
"x" es la distancia del punto en el eje al centro del disco.Como dq = a ds y ds = 2 "Ir Y d Y ~ dq = a . 2 "Ir Y d Y
Sustituyendo en la ecuación 3.8. nos queda que:
v = ---- . f a . 2 "Ir Y dy
vi + x24 "Ir eo
b2 n' a y dyf=4 "Ir e
oa
Intogrando y evaluando.
v = Jb (y2 + X2) -1/2 y dy2 e
o 8
a i -+ Dy2B 1/2 b= + X2)2 e 8o
Obtenemos:
V = a [w + X2) I/~---2 e o
- ~a2 + X2) 1/2J
Problema 3.9. Objetivos 7 y 8
Se lanzan partículas beta c;electrones) con una velocidad de 5.x 106 m/seg., a una región del espacio donde existe un campoeléctrico de 1 cm. de espesor, con una densidad de 1O ~ voltsl m.Determine la desviación al salir del campo eléctrico, figura 3.8.
Problemas resueltos 69
Vx=Cte
x
1.•..~--l.cm---~1
Figura 3.8
";,,Solución:
Para calcular el desplazamiento en y, utilizaremos la ecua-ción del desplazamiento, en un movimiento uniformemente acele-rado, esto es:
1y=V t +--·a e
ay 2 y
de esta ecuación notamos que la velocidad inicial en "y" es cero,y nos falta por determinar t. Como la partícula no experimentafuerza en el eje de las "x", entonces:
xVox =
t
de donde: t = ---x
~x
Tiempo que la partícula está acelerándose en el eje de las y.~',i Para obtener la aceleración en y, primero determinamos la
I . fuerza del campo eléctrico, esto es:
F = q E y = ma y
de donde: a =m I
. ¡
I
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70 Potencial eléctrico
de la ecuación d~1 desplazamiento, tenemos que:
y = 1/2 a t2y
Sustituyendo los valores obtenidos para la aceleración y el tiem-po, calculamos la desviación que sufre la partícula.
y 1
2
y = ~ (1:6. X
(0.01 m )
5 X 106 m/seg
10~9 coul X 10' vOlts/m)9.11 X 10-31 kg
de donde: y = 3.5 X 10-3 m
Problema 3.10. Objetivo 9
Calcule:. a) la energía potencIal de un dipolo eléctrico dado porr-' A A
P = - 2/ + 3k coul-m, En un campo eléctrico E = 5i + 2j Nt/coutb) El momento de torsión T que produce el campo eléctrico so-bre el dlpolo.
Solución:
De la ecuación 3.17 calculamos la energía potencial, esto es:
.Sustituyendo datos, obtenemos que:'" "" ••• A
U=<- (- 2i + 3k) . (5/ + 2j) Nt-mU = .10 joules
Para calcular T usamos la ecuación 3.15:
r-' r-'T=PXE
Sustituyendo datos:
"
T ~ (- 2i + 3k) x (si + 2il Nt-m
Resolviendo por determinantes:
Problemas resueltos 71
r-J
T =
r-J
T =
II
" "i J k
" "4k Nt-coul2 O 3 6i + 15j -
5 2 O
-6/ + 15j 4k Ns-coul