![Page 1: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/1.jpg)
Počítání na soudobých počítačových architekturách -matice, grafy, sítě, ale hlavně matematika
Přednáška k poctě Miroslava Fiedlera a Alana George
Miroslav Tůma
Katedra numerické matematiky, MFF UK
MFF UK, 28.4.2016
1 / 39
![Page 2: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/2.jpg)
Outline
1 Úvod do problému
2 Přemítání o problému
3 Dělení grafů na části
4 Rozděl a spojuj
5 Závěr
2 / 39
![Page 3: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/3.jpg)
Úvod do problému
Tradiční pohled na počítače (a takové počítače už vyhynuly)
CPU
Memory
I/O
3 / 39
![Page 4: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/4.jpg)
Úvod do problému
Tradiční pohled na počítače (a takové počítače už vyhynuly)
CPU
Memory
I/O
I v takto jednoduchém modelu kterákoli z těchto tří částí může činitproblémy při počítání.
3 / 39
![Page 5: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/5.jpg)
Úvod do problému
Tradiční pohled na počítače (a takové počítače už vyhynuly)
CPU
Memory
I/O
I v takto jednoduchém modelu kterákoli z těchto tří částí může činitproblémy při počítání.Vývoj počítačových architektur výkon klasického modelu průběžněvylepšuje, ale činí jej také vnitřně složitějšímÐ→ soudobé (paralelní) počítačové architektury
3 / 39
![Page 6: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/6.jpg)
Úvod do problému
Paralelismus v počítačových architekturách
Nedají se počítače zrychlit bez zvyšování jejich vnitřní složitosti?
Potřebujeme vůbec stále vyšší výkon? Co vlastně potřebujemepočítat?
4 / 39
![Page 7: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/7.jpg)
Úvod do problému
Paralelismus v počítačových architekturách
Nedají se počítače zrychlit bez zvyšování jejich vnitřní složitosti? ©: Počítače jsou pořád rychlejší (Moore’s law - počet tranzistorů na
čipu se zvětšuje ročně přibližně na dvojnásobek - 2.3k (4004, 1971) →5G (AMD Xbox, 2013))
§: Velikost paměti už tak rychle neroste. §: Fyzikální limity (rychlost světla, tepelná disipace, absolutní
kvantová omezení (Bremmermanova mez - maximální výpočetnírychlost závislá na Einsteinově ekvivalenci a Heisenbergově principu,Landauerova mez na minimální spotřebu energie - omezení závislé naBoltzmannově konstantě a absolutní teplotě, atd.)
Potřebujeme vůbec stále vyšší výkon? Co vlastně potřebujemepočítat?
5 / 39
![Page 8: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/8.jpg)
Úvod do problému
Paralelismus v počítačových architekturách
Nedají se počítače zrychlit bez zvyšování jejich vnitřní složitosti? ©: Počítače jsou pořád rychlejší (Moore’s law - počet tranzistorů na
čipu se zvětšuje ročně přibližně na dvojnásobek - 2.3k (4004, 1971) →5G (AMD Xbox, 2013))
§: Velikost paměti už tak rychle neroste. §: Fyzikální limity (rychlost světla, tepelná disipace, absolutní
kvantová omezení (Bremmermanova mez - maximální výpočetnírychlost závislá na Einsteinově ekvivalenci a Heisenbergově principu,Landauerova mez na minimální spotřebu energie - omezení závislé naBoltzmannově konstantě a absolutní teplotě, atd.)
Potřebujeme vůbec stále vyšší výkon? Co vlastně potřebujemepočítat?
Modelování klimatu (přesnější a globálnější modely), Skládání proteinů(léčení Alzheimerovy a Parkinsonovy nemoci)
Energetický výzkum (spalování, solární články, baterie, větrná energie) Deformace konstrukcí a dopravních prostředků, Turbulentní proudění,
Zobrazovací metody v medicíně a mnoho dalších. 6 / 39
![Page 9: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/9.jpg)
Úvod do problému
Paralelní (a tedy i stále složitější) počítače jsou přirozenou odpovědína nutnost počítání.
Navíc, jsou obecně (energeticky, prostorově - Groschův zákon (1965))výhodnější. Byť nám přinášejí nové problémy.
7 / 39
![Page 10: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/10.jpg)
Úvod do problému
Paralelní (a tedy i stále složitější) počítače jsou přirozenou odpovědína nutnost počítání.
Navíc, jsou obecně (energeticky, prostorově - Groschův zákon (1965))výhodnější. Byť nám přinášejí nové problémy.
CPU CPU CPU CPU
Interconnection
Memory
7 / 39
![Page 11: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/11.jpg)
Úvod do problému
Paralelní (a tedy i stále složitější) počítače jsou přirozenou odpovědína nutnost počítání.
Navíc, jsou obecně (energeticky, prostorově - Groschův zákon (1965))výhodnější. Byť nám přinášejí nové problémy.
CPU
Memory
CPU
Memory
CPU
Memory
CPU
Memory
Interconnection
8 / 39
![Page 12: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/12.jpg)
Úvod do problému
K efektivnímu počítání na soudobých počítačích tak patří nutnostrozdělení úlohy na podúlohy pro jednotlivé procesory, procesy, částivektorových jednotek atd.Pokud možno rovnoměrně (říká se tomu například load balancing)
Častá reprezentace úlohy: oblast(rozšíření komára Aedes Albopictus - tiger mosquito)
9 / 39
![Page 13: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/13.jpg)
Úvod do problému
K efektivnímu počítání na soudobých počítačích tak patří nutnostrozdělení úlohy na podúlohy pro jednotlivé procesory, procesy, částivektorových jednotek atd.Pokud možno rovnoměrně (říká se tomu například load balancing)
Častá reprezentace úlohy: oblast(geografické rozložení teplotních maxim v konkrétní čase)
10 / 39
![Page 14: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/14.jpg)
Úvod do problému
K efektivnímu počítání na soudobých počítačích tak patří nutnostrozdělení úlohy na podúlohy pro jednotlivé procesory, procesy, částivektorových jednotek atd.Pokud možno rovnoměrně (říká se tomu například load balancing)
Častá reprezentace úlohy: oblast(propojení v elektrické síti)
11 / 39
![Page 15: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/15.jpg)
Úvod do problému
K efektivnímu počítání na soudobých počítačích tak patří nutnostrozdělení úlohy na podúlohy pro jednotlivé procesory, procesy, částivektorových jednotek atd.Pokud možno rovnoměrně (říká se tomu například load balancing)
Častá reprezentace úlohy: oblast(síť může být složitější - genealogická informace)
12 / 39
![Page 16: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/16.jpg)
Úvod do problému
K efektivnímu počítání na soudobých počítačích tak patří nutnostrozdělení úlohy na podúlohy pro jednotlivé procesory, procesy, částivektorových jednotek atd.Pokud možno rovnoměrně (říká se tomu například load balancing)
Schématické zachycení situace: graf
Graf nám reprezentuje matici (strukturu nulových a nenulových prvků,ale i hodnoty)
0 200 400 600 800
0
100
200
300
400
500
600
700
800
nz = 17070
13 / 39
![Page 17: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/17.jpg)
Úvod do problému
0 200 400 600 800
0
100
200
300
400
500
600
700
800
nz = 17070
Říkáme, že matice je řídkáDimenze klidně až milióny, miliardyJejí prvky mohou být vytvořeny přibližnými integrály na malýchoblastech, jak jsme je viděli výše.
Souhrnně, “matematika, jak ji zatím známe”, je uvnitř, nad ní je“struktura” a nad ní zase matematika, jak ji známe. Ale všechno to je
matematika!
14 / 39
![Page 18: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/18.jpg)
Úvod do problému
Schématické zachycení situace: graf(zde pravidelný, ale viděli jsme; vrcholy, hrany simulují realitu)
15 / 39
![Page 19: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/19.jpg)
Úvod do problému
Formulace problému
Oblast je třeba rozdělit, abychom ji mohli přiřadit jednotlivýmprocesorům (procesům)Jak?
Rovnoměrně (pokud procesory budou pracovat podobněefektivně)
Styk podoblastí (nazývaný separátor) by měl být malý.
16 / 39
![Page 20: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/20.jpg)
Úvod do problému
Formulace problému
Oblast je třeba rozdělit, abychom ji mohli přiřadit jednotlivýmprocesorům (procesům)Jak?
Rovnoměrně (pokud procesory budou pracovat podobněefektivně)
Styk podoblastí (nazývaný separátor) by měl být malý.
17 / 39
![Page 21: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/21.jpg)
Úvod do problému
Formulace problému
Oblast je třeba rozdělit, abychom ji mohli přiřadit jednotlivýmprocesorům (procesům)Jak?
Rovnoměrně (pokud procesory budou pracovat podobněefektivně)
Styk podoblastí (nazývaný separátor by měl být malý.
18 / 39
![Page 22: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/22.jpg)
Outline
1 Úvod do problému
2 Přemítání o problému
3 Dělení grafů na části
4 Rozděl a spojuj
5 Závěr
19 / 39
![Page 23: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/23.jpg)
Přemítání o problému
Když je ten graf pravidelný, asi se nám to povede nějakým způsobemstřihnout. (Však to vyjde skoro nastejno. Vždyť jsme to viděli výše.)Ostatně, stejně pořád něco děláme přibližně ...
20 / 39
![Page 24: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/24.jpg)
Přemítání o problému
Když je ten graf pravidelný, asi se nám to povede nějakým způsobemstřihnout. (Však to vyjde skoro nastejno. Vždyť jsme to viděli výše.)Ostatně, stejně pořád něco děláme přibližně ...
No u toho minulého ano. Ale zkusme si nějaký realistický.
20 / 39
![Page 25: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/25.jpg)
Přemítání o problému
Když je ten graf pravidelný, asi se nám to povede nějakým způsobemstřihnout. (Však to vyjde skoro nastejno. Vždyť jsme to viděli výše.)Ostatně, stejně pořád něco děláme přibližně ...
No u toho minulého ano. Ale zkusme si nějaký realistický. Například tenhle.
20 / 39
![Page 26: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/26.jpg)
Přemítání o problému
Když je ten graf pravidelný, asi se nám to povede nějakým způsobemstřihnout. (Však to vyjde skoro nastejno. Vždyť jsme to viděli výše.)Ostatně, stejně pořád něco děláme přibližně ...
No u toho minulého ano. Ale zkusme si nějaký realistický. A co tento?
21 / 39
![Page 27: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/27.jpg)
Přemítání o problému
Když je ten graf pravidelný, asi se nám to povede nějakým způsobemstřihnout. (Však to vyjde skoro nastejno. Vždyť jsme to viděli výše.)Ostatně, stejně pořád něco děláme přibližně ...
No u toho minulého ano. Ale zkusme si nějaký realistický. Jiný exemplář.
22 / 39
![Page 28: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/28.jpg)
Přemítání o problému
Když je ten graf pravidelný, asi se nám to povede nějakým způsobemstřihnout. (Však to vyjde skoro nastejno. Vždyť jsme to viděli výše.)Ostatně, stejně pořád něco děláme přibližně ...
No u toho minulého ano. Ale zkusme si nějaký realistický. A ještě jeden grafík.
23 / 39
![Page 29: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/29.jpg)
Přemítání o problému
Shrňme si, co máme
Oblast potřebujeme rozdělit na podoblasti,
24 / 39
![Page 30: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/30.jpg)
Přemítání o problému
Shrňme si, co máme
Oblast potřebujeme rozdělit na podoblasti,
Na podoblastech “počítat” úlohy, které jsou dány aplikacemi:jednoduché soustavy, ale i třebas komplikované diferenciální rovnice.Možná bude třeba počítat vícekrát (zahrnuje-li model dynamikuprocesů)
24 / 39
![Page 31: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/31.jpg)
Přemítání o problému
Shrňme si, co máme
Oblast potřebujeme rozdělit na podoblasti,
Na podoblastech “počítat” úlohy, které jsou dány aplikacemi:jednoduché soustavy, ale i třebas komplikované diferenciální rovnice.Možná bude třeba počítat vícekrát (zahrnuje-li model dynamikuprocesů)
Pak to vše nějak dát dohromady.
24 / 39
![Page 32: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/32.jpg)
Přemítání o problému
Shrňme si, co máme
Oblast potřebujeme rozdělit na podoblasti,
Na podoblastech “počítat” úlohy, které jsou dány aplikacemi:jednoduché soustavy, ale i třebas komplikované diferenciální rovnice.Možná bude třeba počítat vícekrát (zahrnuje-li model dynamikuprocesů)
Pak to vše nějak dát dohromady.
Poznámka: paralelní počítání nebylo jedinou a první motivací dělitgrafy:
Například: sériová konstrukce procesorů potřebuje řešení stejnéhoproblému - součástky a jejich propojení (např. Kernighan, Lin, BellLabs, 1969 - 1971)
24 / 39
![Page 33: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/33.jpg)
Přemítání o problému
V každém případě, je zapotřebí hlubší vhled
Konkrétně: Je třeba promyslet odpovědi na dva základní okruhyotázek
25 / 39
![Page 34: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/34.jpg)
Přemítání o problému
V každém případě, je zapotřebí hlubší vhled
Konkrétně: Je třeba promyslet odpovědi na dva základní okruhyotázek
1 (1) Jak automaticky dělit, abychom splnili dva výše uvedenéúkoly (rovnoměrnost, minimalitu propojek)?
25 / 39
![Page 35: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/35.jpg)
Přemítání o problému
V každém případě, je zapotřebí hlubší vhled
Konkrétně: Je třeba promyslet odpovědi na dva základní okruhyotázek
1 (1) Jak automaticky dělit, abychom splnili dva výše uvedenéúkoly (rovnoměrnost, minimalitu propojek)?
2 (2) Když už chceme počítat nejprve odděleně a pak částečnévýsledky spojovat (“rozděl a panuj”), nenadřeme se navíc?
25 / 39
![Page 36: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/36.jpg)
Přemítání o problému
V každém případě, je zapotřebí hlubší vhled
Konkrétně: Je třeba promyslet odpovědi na dva základní okruhyotázek
1 (1) Jak automaticky dělit, abychom splnili dva výše uvedenéúkoly (rovnoměrnost, minimalitu propojek)?
2 (2) Když už chceme počítat nejprve odděleně a pak částečnévýsledky spojovat (“rozděl a panuj”), nenadřeme se navíc?
3 Dva články z roku 1973 patří mezi zakladatelské statě novýchpodoborů informatiky – počítačové vědy – výpočetní matematiky(dosaďte dle svého uvážení), které na tyto okruhy otázek začalyodpovídat:
články (1) Miroslava Fiedlera a (2) Alana George
25 / 39
![Page 37: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/37.jpg)
Přemítání o problému
V každém případě, je zapotřebí hlubší vhled
Konkrétně: Je třeba promyslet odpovědi na dva základní okruhyotázek
1 (1) Jak automaticky dělit, abychom splnili dva výše uvedenéúkoly (rovnoměrnost, minimalitu propojek)?
2 (2) Když už chceme počítat nejprve odděleně a pak částečnévýsledky spojovat (“rozděl a panuj”), nenadřeme se navíc?
3 Dva články z roku 1973 patří mezi zakladatelské statě novýchpodoborů informatiky – počítačové vědy – výpočetní matematiky(dosaďte dle svého uvážení), které na tyto okruhy otázek začalyodpovídat:
články (1) Miroslava Fiedlera a (2) Alana George4 Varování pro jedince matematičtější nátury: následující text
neobsahuje pro jednoduchost výkladu některé technicképředpoklady a může tak i slabším povahám uškodit.
25 / 39
![Page 38: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/38.jpg)
Outline
1 Úvod do problému
2 Přemítání o problému
3 Dělení grafů na části
4 Rozděl a spojuj
5 Závěr
26 / 39
![Page 39: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/39.jpg)
Dělení grafů na části
Aby se nám dobře se sítěmi a grafy dobře pracovalo, pěkně si jeoznačujeme
1
2
4
3
6 5
e1
e2
e3 e4 e5
27 / 39
![Page 40: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/40.jpg)
Dělení grafů na části
Aby se nám dobře se sítěmi a grafy dobře pracovalo, pěkně si jeoznačujeme
1
2
4
3
6 5
e1
e2
e3 e4 e5
A můžeme si je zapisovat do kompaktních tvarů, některým z nichžříkáme matice. Tohle je například matice, nazývaná Laplacián grafu:
L =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 −1
−1 2 −1
−1 4 −1 −1 −1
−1 1
−1 1
−1 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=D −A
27 / 39
![Page 41: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/41.jpg)
Dělení grafů na části
Proč si vlastně grafy a sítě do schémat typu matice zapisujeme?
28 / 39
![Page 42: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/42.jpg)
Dělení grafů na části
Proč si vlastně grafy a sítě do schémat typu matice zapisujeme?
Důvodů je víc: například: rozvinutý teoretický aparát pro operace snimi, výrazné zjednodušování počítačových implementací
28 / 39
![Page 43: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/43.jpg)
Dělení grafů na části
Proč si vlastně grafy a sítě do schémat typu matice zapisujeme?
Důvodů je víc: například: rozvinutý teoretický aparát pro operace snimi, výrazné zjednodušování počítačových implementací
Ad teoretický aparát ... některé vlastnosti matic a tedy i vlastnostigrafů zprostředkovaných maticemi není příliš vidět:
28 / 39
![Page 44: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/44.jpg)
Dělení grafů na části
Proč si vlastně grafy a sítě do schémat typu matice zapisujeme?
Důvodů je víc: například: rozvinutý teoretický aparát pro operace snimi, výrazné zjednodušování počítačových implementací
Ad teoretický aparát ... některé vlastnosti matic a tedy i vlastnostigrafů zprostředkovaných maticemi není příliš vidět:
Skoro násobení: Hledání nejkratších cest mezi všemi vrcholygrafu navzájem se provádí algoritmem, který je velmi blízkýmaticovému násobení (Floyd (1962), Roy (1959), Warshall(1962))
Praha
Ostrava
Brno
28 / 39
![Page 45: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/45.jpg)
Dělení grafů na části
Opravdické násobení: Uvažujme vektor x a výsledek po vynásobenímaticí L: Lx.
29 / 39
![Page 46: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/46.jpg)
Dělení grafů na části
Opravdické násobení: Uvažujme vektor x a výsledek po vynásobenímaticí L: Lx.
Velikosti x a Lx měříme jejich normami ∣∣x∣∣2 a ∣∣Lx∣∣2.
29 / 39
![Page 47: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/47.jpg)
Dělení grafů na části
Opravdické násobení: Uvažujme vektor x a výsledek po vynásobenímaticí L: Lx.
Velikosti x a Lx měříme jejich normami ∣∣x∣∣2 a ∣∣Lx∣∣2.
Kolikrát může být ∣∣Lx∣∣22≡ x
TL
TLx větší nebo menší než ∣∣x∣∣2
2?
29 / 39
![Page 48: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/48.jpg)
Dělení grafů na části
Opravdické násobení: Uvažujme vektor x a výsledek po vynásobenímaticí L: Lx.
Velikosti x a Lx měříme jejich normami ∣∣x∣∣2 a ∣∣Lx∣∣2.
Kolikrát může být ∣∣Lx∣∣22≡ x
TL
TLx větší nebo menší než ∣∣x∣∣2
2?
Pro Laplacián je odpověď dána druhou mocninou největšího anejmenšího vlastního čísla λ matice L a příslušnými vlastními vektory.
Lx = λx
Vlastní čísla jsou právě takové vlastnosti matice, které nejsou na prvnípohled vidět, ale naprosto podstatně ji charakterizují.
29 / 39
![Page 49: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/49.jpg)
Dělení grafů na části
Opravdické násobení: Uvažujme vektor x a výsledek po vynásobenímaticí L: Lx.
Velikosti x a Lx měříme jejich normami ∣∣x∣∣2 a ∣∣Lx∣∣2.
Kolikrát může být ∣∣Lx∣∣22≡ x
TL
TLx větší nebo menší než ∣∣x∣∣2
2?
Pro Laplacián je odpověď dána druhou mocninou největšího anejmenšího vlastního čísla λ matice L a příslušnými vlastními vektory.
Lx = λx
Vlastní čísla jsou právě takové vlastnosti matice, které nejsou na prvnípohled vidět, ale naprosto podstatně ji charakterizují.
Miroslav Fiedler (1973) ukázal, že druhé nejmenší vlastní čísloLaplaciánu souvisí s dobrou rozdělitelností grafu. Jak to můžemenahlédnout?
29 / 39
![Page 50: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/50.jpg)
Dělení grafů na části
Mějme graf reprezentující oblast a chtějme jej rozdělit. Jeho hranyoznačme E.
Ω
Ω
Ω1 2
30 / 39
![Page 51: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/51.jpg)
Dělení grafů na části
Mějme graf reprezentující oblast a chtějme jej rozdělit. Jeho hranyoznačme E.
Ω
Ω
Ω1 2
Zvolme xi = 1 pro Ω1 a xi = −1 pro Ω2. Uvažujme Laplacián grafu.
∑(i,j)∈E
(xi − xj)2 = 4 × počet hran mezi Ω1 a Ω2
30 / 39
![Page 52: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/52.jpg)
Dělení grafů na části
Mějme graf reprezentující oblast a chtějme jej rozdělit. Jeho hranyoznačme E.
Ω
Ω
Ω1 2
Zvolme xi = 1 pro Ω1 a xi = −1 pro Ω2. Uvažujme Laplacián grafu.
∑(i,j)∈E
(xi − xj)2 = 4 × počet hran mezi Ω1 a Ω2
No ale taky: xT
Lx = xT
Dx − xT
Ax = ∑i dix2
i − 2∑(i,j)∈E xixj =∑(i,j)∈E(xi − xj)2
30 / 39
![Page 53: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/53.jpg)
Dělení grafů na části
Dobré dělení grafu najdeme tedy algebraicky jako problém vlastníchčísel.
31 / 39
![Page 54: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/54.jpg)
Dělení grafů na části
Dobré dělení grafu najdeme tedy algebraicky jako problém vlastníchčísel.
Pozor na to, že postup od kvadratické formy zpět nenajde obvyklediskrétní řešení, ale pouze jeho spojitou aproximaci (relaxaci).
31 / 39
![Page 55: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/55.jpg)
Dělení grafů na části
Dobré dělení grafu najdeme tedy algebraicky jako problém vlastníchčísel.
Pozor na to, že postup od kvadratické formy zpět nenajde obvyklediskrétní řešení, ale pouze jeho spojitou aproximaci (relaxaci).
Nikoliv náhodná souvislost s hledáním Google algoritmem - zaseproblém vlastních čísel
31 / 39
![Page 56: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/56.jpg)
Dělení grafů na části
Dobré dělení grafu najdeme tedy algebraicky jako problém vlastníchčísel.
Pozor na to, že postup od kvadratické formy zpět nenajde obvyklediskrétní řešení, ale pouze jeho spojitou aproximaci (relaxaci).
Nikoliv náhodná souvislost s hledáním Google algoritmem - zaseproblém vlastních čísel
Ohromný rozvoj oboru po roce 1990 (Pothen, Simon, Liou, 1990;Pothen, Simon, Wang, 1992 atd.); Software (Chaco - Sandia Lab)
31 / 39
![Page 57: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/57.jpg)
Dělení grafů na části
Dobré dělení grafu najdeme tedy algebraicky jako problém vlastníchčísel.
Pozor na to, že postup od kvadratické formy zpět nenajde obvyklediskrétní řešení, ale pouze jeho spojitou aproximaci (relaxaci).
Nikoliv náhodná souvislost s hledáním Google algoritmem - zaseproblém vlastních čísel
Ohromný rozvoj oboru po roce 1990 (Pothen, Simon, Liou, 1990;Pothen, Simon, Wang, 1992 atd.); Software (Chaco - Sandia Lab)
Miroslav Fiedler - Fiedlerův vektor
31 / 39
![Page 58: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/58.jpg)
Outline
1 Úvod do problému
2 Přemítání o problému
3 Dělení grafů na části
4 Rozděl a spojuj
5 Závěr
32 / 39
![Page 59: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/59.jpg)
Rozděl a spojuj
Zopakujme si formulaci našeho druhého problému: když rozdělíme,nebude to na úkor počtu operací? Nebylo by lepší spočítat úlohunajednou.
33 / 39
![Page 60: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/60.jpg)
Rozděl a spojuj
Zopakujme si formulaci našeho druhého problému: když rozdělíme,nebude to na úkor počtu operací? Nebylo by lepší spočítat úlohunajednou.
Ne. Ba naopak. I když pomineme fakt, že paralelně (jít) musíme
33 / 39
![Page 61: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/61.jpg)
Rozděl a spojuj
Zopakujme si formulaci našeho druhého problému: když rozdělíme,nebude to na úkor počtu operací? Nebylo by lepší spočítat úlohunajednou.
Ne. Ba naopak. I když pomineme fakt, že paralelně (jít) musíme Do řešení problému totiž vneseme další důležitý prvek, který začal
hýbat počítáním hlavně později: Pravidelnost do nepravidelného.
33 / 39
![Page 62: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/62.jpg)
Rozděl a spojuj
Zopakujme si formulaci našeho druhého problému: když rozdělíme,nebude to na úkor počtu operací? Nebylo by lepší spočítat úlohunajednou.
Ne. Ba naopak. I když pomineme fakt, že paralelně (jít) musíme Do řešení problému totiž vneseme další důležitý prvek, který začal
hýbat počítáním hlavně později: Pravidelnost do nepravidelného.
C_1 C_2
33 / 39
![Page 63: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/63.jpg)
Rozděl a spojuj
Matice po jednom dělení
C_1
C_2
S
SC_2C_1
34 / 39
![Page 64: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/64.jpg)
Rozděl a spojuj
Rozdělit můžeme víckrát - rekurzívně
1 7 4 43 22 28 25
3 8 6 44 24 29 27
2 9 5 45 23 30 36
19 20 21 46 40 41 42
10 16 13 47 31 37 34
1712 15 48 33 38 36
11 18 14 49 32 39 35
35 / 39
![Page 65: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/65.jpg)
Rozděl a spojuj
Dělíme vícekrát: krásňoučká pravidelná matice
0 20 40 60 80 100 120 140 160
0
20
40
60
80
100
120
140
160
nz = 793
36 / 39
![Page 66: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/66.jpg)
Rozděl a spojuj
Dělíme vícekrát: ale hlavně:
Alan George (1973): ukázal, že počet operací s takhle vypadajícímaticí (při řešení soustavy rovnic) je velmi příznivý - a to je to, copotřebujeme činit ve výše zmíněných úlohách
37 / 39
![Page 67: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/67.jpg)
Rozděl a spojuj
Dělíme vícekrát: ale hlavně:
Alan George (1973): ukázal, že počet operací s takhle vypadajícímaticí (při řešení soustavy rovnic) je velmi příznivý - a to je to, copotřebujeme činit ve výše zmíněných úlohách
Zavedla se tím regulovaná řídkost.
37 / 39
![Page 68: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/68.jpg)
Rozděl a spojuj
Dělíme vícekrát: ale hlavně:
Alan George (1973): ukázal, že počet operací s takhle vypadajícímaticí (při řešení soustavy rovnic) je velmi příznivý - a to je to, copotřebujeme činit ve výše zmíněných úlohách
Zavedla se tím regulovaná řídkost.
Která sice činila potíže klasickým implementacím řešičů systémů, aleto je už jiná historie ...
37 / 39
![Page 69: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/69.jpg)
Rozděl a spojuj
Dělíme vícekrát: ale hlavně:
Alan George (1973): ukázal, že počet operací s takhle vypadajícímaticí (při řešení soustavy rovnic) je velmi příznivý - a to je to, copotřebujeme činit ve výše zmíněných úlohách
Zavedla se tím regulovaná řídkost.
Která sice činila potíže klasickým implementacím řešičů systémů, aleto je už jiná historie ...
Ale hlavně zavedla do výpočtů pravidelnost hierarchického přístupu.
37 / 39
![Page 70: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/70.jpg)
Rozděl a spojuj
Dělíme vícekrát: ale hlavně:
Alan George (1973): ukázal, že počet operací s takhle vypadajícímaticí (při řešení soustavy rovnic) je velmi příznivý - a to je to, copotřebujeme činit ve výše zmíněných úlohách
Zavedla se tím regulovaná řídkost.
Která sice činila potíže klasickým implementacím řešičů systémů, aleto je už jiná historie ...
Ale hlavně zavedla do výpočtů pravidelnost hierarchického přístupu.
Tyto výsledky a následný výzkum velmi silně ovlivnily ohromnou částpočítání od konce minulého století.
37 / 39
![Page 71: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/71.jpg)
Rozděl a spojuj
Dělíme vícekrát: ale hlavně:
Alan George (1973): ukázal, že počet operací s takhle vypadajícímaticí (při řešení soustavy rovnic) je velmi příznivý - a to je to, copotřebujeme činit ve výše zmíněných úlohách
Zavedla se tím regulovaná řídkost.
Která sice činila potíže klasickým implementacím řešičů systémů, aleto je už jiná historie ...
Ale hlavně zavedla do výpočtů pravidelnost hierarchického přístupu.
Tyto výsledky a následný výzkum velmi silně ovlivnily ohromnou částpočítání od konce minulého století.
Alan George - nested dissection37 / 39
![Page 72: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/72.jpg)
Outline
1 Úvod do problému
2 Přemítání o problému
3 Dělení grafů na části
4 Rozděl a spojuj
5 Závěr
38 / 39
![Page 73: Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice, …tuma/Aplikace16/2016... · 2016. 5. 2. · Počítání na soudobých počítačových architekturách - matice,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071412/610892343f43341d8a1e2c58/html5/thumbnails/73.jpg)
Závěr
Dvacet let od roku 1973 se kombinace efektivního dělení grafů ahierarchické reprezentace matic stává a zůstává absolutněnejužívanějším modelem pro paralelní počítání reprezentovanérozkladem oblasti.
Děkuji a Děkujeme.
39 / 39