Download - POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 1/18
FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA KOSOVSKA MITROVICA
SEMINARSKI RAD
Predmet: Matematika 3
Tema: Površinski integrai I i II vrste! "reen Rie#ann$ova%or#&a! Stokes$ova %or#&a i Teore#a "a&ss '
Ostrogra(ski
Profesor: Student:
Prof. dr Diana Dolićanin Kemal Divanefendic 22/15
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 2/18
Seminarski rad
Kosovska Mitrovica, 215.
SA)R*A+
1.Povr!inski inte"rali.................................................................................................#
1.1 Povr!inski inte"ral $ vrste.................................................................................#
1.2 %ednostrane i dvostrane &ovr!i.........................................................................5
1.# Povr!inski inte"rali $$ vrste..............................................................................'
1.( )e*a &ovr!inski+ inte"rala $ i $$ vrste...............................................................
1.5 $*ra-unavane inte"rala $$ vrste........................................................................
2. 0reeniemannova formula...............................................................................1
#. Stokesova formula..............................................................................................12
(. Teorema 0auss 3 4stro"radski...........................................................................1(
iteratura.................................................................................................................16
2
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 3/18
Seminarski rad
,-Površinski integrai
,-, Površinski integra I vrste
)e%ini.i/a- 7 Defiicija površinskog integrala I vrste8
9eka e data &ovr! S koa e deo &o deo "latka 7sastoi se od unie navi!e &reroivo
mno"o "latki+ &ovr!i 3 &ovr!i kod koi+ se u svako ta-ki , osim u runim ta-kam, mo;e &ostaviti tan"entna ravan i to na edinstven na-in8, o"rani-ena i rektificiailna.9
9eka e &ovr! S ra*o;ena &odeom P na &od&ovr!i : tako da va;i:
7$8
7$$8
7$$$8
9a &roi*volan na-in odaerimo &o ednu ta-ku 71 9eka
e < , &ri -emu e diametar sku&a defiisan sa
9eka e o"rani-ena funkcia definisana u svim ta-kama &ovr!i S. Defini!imo
Darou=ovu sumu funkcie f &o &ovr!i S , na sledeći na-in :
Pri -emu e sa o*na-ena &ovr!ina &ovr!i .
Teore#a ,- 7Teorema o izračunavanju površinskog integrala I vrste8
3
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 4/18
Seminarski rad
9eka e S &ovr! u &rostoru i neka e ova &ovr! edno*na-na slika olasti ,
sledećim ne&rekidno diferenciailnim funkciama
9eka e funkcia f o"rani-ena na &ovr!i S. Tada va;i sledeća ednakost:
0de e :
4
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 5/18
Seminarski rad
,-0 +e(nostrane i (vostrane 1ovrši
Pret&ostavlamo da e data "atka &ovr! S , &ri -emu e ru ove &ovr!i *atvorena
kontura >. ? &roi*volno ta-ki 9 ove &ovr!i &ovu-emo edistveu normalu i o&i!emo
koturu S takvu da e > @ i da kotura sadr;i &odno;e normale .
Pomeramo du; konture . Mo"u nastati dva slu-aa:
$8 Pomeraući du; konture , &osle &ovratka u ta-ku 9 normala se vraća u &ola*ni
&olo;a *adr;avaući isti smer.
$$8 Pomeraući du; konture , &osle &ovratka u ta-ku 9 normala se vraća u &ola*ni
&olo;a menaući ser u nemu su&rotan. Ako *a svaku konturu S normala *adr;ava isti smer kao i u &o-etnom &olo;au *a &ovr!S ka;emo da e dvostrana . Ako &ostoi arem edna kontura takva da &osle neno" oilaska
vektor mena svo smer *a &ovr! S ka;emo da e ednostrana.
)e%ini.i/a- 7Definicia strane &ovr!i8
5
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 6/18
Seminarski rad
$*aerimo na dvostrano, deo &o deo "latko, o"rani-eno i rektificiialno &ovr!i S ednu
ta-ku P i u no &ostavimo normalu , &ri -emu iramo na &roi*volan na-in i fiksiramo
edan od dva mo"uća smera. 4sim ovo"a uo-imo &roi*volnu ta-ku B na S. Ca ta-ku B i ta-ku P
ka;emo da &ri&adau isto strani dvostrane &ovr!i S ako *a svaku konturu koa sadr;i i P i B, ali
ne se-e "ranicu S, normala &osle oilaska te konture *adr;ava isti smer kao i u &o-etnom
&olo;au.
Sku& svi+ ta-aka koe &ri&adau isto strani dvostrane &ovr!i ora*uu ednu od dve strane te &ovr!i. Sku& &reostali+ ta-aka ora*uu dru"u stranu te &ovr!i.
? koliko e na &ovr!i S i*arana edna strana &ovr!i tada *a &ovr! ka;emo da e orijentisana.
,-2 Površinski integrai II vrste
)e%ini.i/a. 7Definicia &ovr!insko" inte"rala $$ vrste &o 4= ravni 8.
9eka e &ovr! S deo &o deo "latka, o"rani-ena, rektificiailna, dvostrana i orientisana
7na S e i*arana edna strana &ovr!i o*na-ena sa 8.
9eka e u svako ta-ki &ovr!i S defiisana funkcia 7=,,*8 : koa e o"rani-ena na S
6
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 7/18
Seminarski rad
9eka e P &odela &ovr!i S na orientisane &ovr!i 7 , &ri -emu e svaka &od&ovr! iste
orientacie kao &ovr! S.
Proektuemo na 4= ravni i neka su &roekcie &ovr!i , -ie &ovr!ine imau
veli-inu .
Proi*volo odaerimo ta-ke . 9eka e diametar &odele P ,
, "de su diametri &ovr!i .Darou=ovu sumu *a &ovr!iski ite"ral funkcie
&o &roekcii &ovr!i S na =4 ravan defini!emo sa:
.
0de ima *nak E , ako e odaarana s&olna strana, a *nak 3 ako e odarana unutra!na strana .
Ako &ostoi konstanta tako da e , odnosno da e is&unen sledeći >+aucev
uslov:
Tada *a funkciu ka;emo da e inter"railna &o &roekcii &ovr!i na 4= ravan , u smislu &ostoana &ovr!insko" inte"rala dru"e vrste. Fro $ na*ivamo &ovr!inski inte"ral dru"e vrste &o
&roekcii &ovr!i na 4= ravan i &i!emo
Na1o#ena- ?oi-aeno e da se s&olna strana &ovr!i S o*na-ava sa , a unutra!na sa .
)e%ini.i/a. 7Defiicia &ovr!insko" ite"rala $$ vrste8. Sli-no kao u &ret+odno definicii defii!emo
inte"rale funkcia i &o &roekcii &ovr!i na 4* i 4*= ravni,
redom.
7
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 8/18
Seminarski rad
Tada e sa
Definisan &ovr!inski inte"ral dru"e vrste &o &ovr!i S i to ono strain koa e odreGena sa H.
,-3 Ve4a 1ovršinski5 integraa I i II vrste
9eka e edini-ni vektor normale na datu &ovr! S su u"lovi
koe *akla&a sa osama 8. $*delimo S na veoma male &ovr!i, koima dodeluemo &o
vektor . 9eka e mera &ovr!ine &roekcie &ovr!i na 4= . Tada imamo da e
@ , 7odnosno 8 , &a e . S o*irom na
&ret+odno , Darou=ova suma koom se defini!e inte"ral &o =4 ravni &ostae
Dakle, va;i:
8
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 9/18
Seminarski rad
,-6 I4ra7&navan/e integraa II vrste
Date su tri funkcie: koe edno*na-no &reslikavau
)ektor standardi*ovane normale na &ovr! e standardi*ovan
vektor koi se doia i* vektorsko" &roi*voda . 4*na-imo koordinate
&ret+odno" vektorsko" &roi*voda sa .
Kako e
a , doiamo da e :
9
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 10/18
Seminarski rad
0- "reen$Rie#ann$ova %or#&a
"reen$Rie#ann$ova %or#&a- 9eka su P,I : DJ, ne&rekidno diferenciailna
&reslikavana olasti D kou o"rani-ava *atvorena kriva . Tada va;i
)oka4- $*vr!imo doka* *a dovolno ednostavne olasti.
10
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 11/18
Seminarski rad
Pret&ostavimo da e data olast D i &ret&ostavimo da e ova olast D o"rani-ena *atvorenom
konturom , koa e definisana na sledeći na-in : , ,
&ri -emu e , i ordinatama .
Tada, na osnovu 9etoneinit*ove formule imamo da e
11
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 12/18
Seminarski rad
Po!to se analo"no mo;e i*vesti da e EI7=,8d sairanem
inte"rala $ u % doia se *adato tvrGene -ime e doka* *avr!en.
2- Stokes$ova %or#&a
12
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 13/18
Seminarski rad
Stokesova formula &redstavla ve*u i*meGu &ovr!insko" inte"rala $$ vrste i krivolinisko"inte"rala $$ vrste.
9eka e S &rosta 7ne se-e samu see8 , "latka, dvostrana &ovr!, o"rani-ena deo &o
deo "latkom konturom , &ri -emu na &ovr! S iramo s&olnu stranu, a na &o*itivnu
orientaciu kretana. 9eka e data funkcia koa e ne&rekidna *aedno sa svim
svoim &rvim &arcialnim i*vodima &o svim &romenlivim i to u olasti . Pod svim
ovim uslovima va;i:
)oka4- 9eka se &arametarskim funkciama &ovr! S
edno*na-no &reslikava na .
13
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 14/18
Seminarski rad
Kako u tom slu-au i* imamo da e
7Ho*na-ava od"ovarauću orientaciu koa se doia &roektovanem .8
Prema 0reenovo formuli doiamo da e :
Pret&ostavimo dale da o! uvek va;e sve &ret&ostavke koe se odnose na , ali da su date o!
dve funkcie i koe *adovolavau analo"ne &ret&ostavke , tada
va;e i sledeće dve formule:
$* formula 7A8, 7F8 i 7>8 sledi da va;i sledeća ednakost , koa se na*iva Stokes$ova %or#&a , ikoa "lasi:
14
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 15/18
Seminarski rad
"de e edini-ni vektor normale &ostavlen na &ovr!i S u ta-ki
3- Teore#a "a&ss ' Ostrogra(ski
Teorema 0auss 3 4stro"radski dae ve*u i*meGu &ovr!isko" inte"rala $$ vrste i trono"inte"rala.
Teorema Gauss – Ostrogradski. 9eka e ) kom&aktan 7*atvoren i o"rani-en8, &ove*an
sku& u , -ii e ru deo &o deo "latka &ovr! S . 9eka su ne&rekidno
diferenciailne funkcie.
Ta(a va8i %or#&a Gauss – Ostrogradskog 9
15
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 16/18
Seminarski rad
)oka4- Doka* ćemo i*vr!iti *a telo koe e dato na slici.
? skladu sa o*nakama na crte;u &ret&ostavimo da su date dve funkcie
"de e i "de e is&unen sledeći uslov
*a svako . Povr! e orta"onalna na =4 ravan.
Povr!i su deo &o deo "latke &ovr!i . 9eka e takoGe sa o*na-ena s&olna
strana &ovr!i . 9eka e olast D o"rani-ena koturom K koa e deo &o deo
"latka .
16
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 17/18
Seminarski rad
$mamo da e:
Dakle, doili smo da va;i
Analo"no se doka*uu sledeće dve ve*e :
Sairanem 7$8 , 7$$8 i 7$$$8 doiamo formulu 0auss 3 4stro"radsko" .
17
7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO
http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 18/18
Seminarski rad
Literat&ra
1.0. ). Milovanović, . L. orGević: Matematika *a studente te+ni-ki+ fakulteta,$ deo, 9auka, Feo"rad, 12.
2. 0. ). MilovanoviNc, . L. orGević: Matematika *a studente te+ni-ki+ fakulteta,$$ deo, Ou&erak &lavi, 9i!, 1'.
#. . ). Stefanović : Matematika *a studente te+ni-ki+ fakulteta 3 )ektorska
anali*a $nte"rali: krivoliniski, dvoni, troni, &ovr!inski Teoria &ola, Prosveta 9i!, 9i!, 16.
(. D. . To!ić : Matematika $$$, kratak kurs, autor, Feo"rad, 1'.
18