Download - PPS2015C(PDF) 02 Operadores Matemáticos
-
- 1 -
Prof: PACHECO
LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..
-
- 2 -
Prof: PACHECO
AAPPTTIITTUUDD MMAATTEEMMTTIICCAA
Aptitud Matemtica / CEPREVAL Ciclo C 2015 / Semana 2
Autor : Rmulo Wilder PACHECO MODESTOEditor : Ediciones G & LDiseo grfico : Gustavo PACHECO HUAYANAYFacebook : Repaso CEPREVAL
CEPREVAL Ciclo C 2015Primera edicin: enero de 2015
-
- 3 -
Prof: PACHECO
LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..
11.. Si: )b(log)a(logba 22 +=Calcula: 423E =
A) 64 B) 3 C) 9D) 27 E) 720
Sabemos que balogblogalog =+ , entoncesbalogba 2 =
Efectuando 423E =82log3E =322log3E =
33E = 27E =
22.. Si: 4nmn2)nm(nm 22 ++=Calcula:
M = 1 [2 (3 (4 (... (99 100)... )))]
A) 7 B) 6 C) 5D) 3 E) 9
Reduciendo previamente trminos de la regla dedefinicin
4nmn2)nm(nm 22 ++=
4nmn2nmn2mnm 222 +++=
4mnm 2 +=
Observamos que la regla de definicin nodepende del segundo elemento (n), es decir
n
)))]100)...(99(...(4(3[21=M
n1=M
41=M 2 + 5=M
33.. Si definimos: x # y = x + y 1a b = 2a + b
Halla x en:(4x) 4 = 10 # (8 x)
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
Efectuando de acuerdo a la regla de definicin decada operador
)x16(#104x8 +=+1)x16(104x8 ++=+
21x7 = 3x =
44.. Si: nQP )x(n)x( += y3x4xQ 2)x( +=
Halla: 3)2(
2)1(
3)1(
2)2(
PPPPZ
+
+=
-
- 4 -
Prof: PACHECO
AAPPTTIITTUUDD MMAATTEEMMTTIICCAA
A) 3/4 B) 4/5 C) 1D) 1 E) 6
De las operaciones, se deduce
n3x4xP 2n)x( ++=
Analizando por partes
23)2(42P 22)2( += 3P 2)2( =
33)1(41P 23)1( += 3P 3)1( =
23)1(41P 22)1( += 2P 2)1( =
33)2(42P 23)2( += 4P 3)2( =
Reemplazando
66
4233
PPPP
Z 3)2(
2)1(
3)1(
2)2(
=
=
+
+=
1Z =
55.. Si:1m)1m(m 22
+= , calcula el valor de:
A) 5 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
Observamos que se puede reducir trminos en laregla de definicin
)1m)(1m()1m)(1m(m
+
++=
1m1mm
+=
Luego, analizando lo que nos pide
1 cuadrado 312122 =
+=
2 cuadrados 2131332 =
+==
3 cuadrados 3121222 =
+==
4 cuadrados 2131332 =
+==
Se observa que cada 2 cuadrados el resultado es2, como hay 152 cuadrados (es par), entonces elresultado ser 2.
66.. Se define:
21 = 125,0
35 = 7,2
52 = 625
16
Calcula: E = 3 + 2
A) 60 B) 59 C) 58D) 49 E) 57
Analizando el nmero de operadores
21 = 8
1 =3
21
2 152 cuadrados
2 operadores
-
- 5 -
Prof: PACHECO
LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..
35 = 9
25 =2
35
52 = 625
16 =4
52
Se observa que el nmero que va dentro deloperador esta elevado al nmero de operadoresaumentado en 1
E = 3 + 2 = 53 23 + = 59
77.. Si: m n = p + 1 mp = n 1Calcula x en: (2x) + (310) = 7
A) 6 B) 5 C) 7D) 4 E) 8
Despejando p de: 1nmp = m1np =
Se tiene m n 1m1n
+
= , entonces
(2x) + (310) = 7
71311012
1x=+
++
221x
=
5x =
88.. Si: 19981997
x1x2x +=+
Halla: E = 1
A) 2 B) 2 C) 0D) 1 E) 1
Asumiendo que 1x = , se tiene
19981997
)1(1)1(21
+=+
1111 +=
111 += 01 =
99.. Si: 2b2a3ba =Halla: = ......999T
A) 3 B) 1 C) 2D) 4 E) 6
Elevando al cuadrado
T
2 ......9999T =
T9T2 =
Por definicin22 T2)9(3T =
27T3 2 = 3T =
1100.. Si: N = 2N + 6; N > 0 ; adems:
666x2 =Calcula: 2x
A) 12 B) 14 C) 22D) 24 E) 18
3 operadores
1 operador
-
- 6 -
Prof: PACHECO
AAPPTTIITTUUDD MMAATTEEMMTTIICCAA
Interpretando la definicin 6N2N +=
Entonces 666x2 =
306x2 =
126x2 =
De ah 36x2 =9x2 = 3x =
2x = 6 = 2(6)+6 = 18
1111.. Se define: 2x1x =Halla z en:
z = 100
A) 3 B) 2 C) 3D) 2 E) 12
Interpretando la definicin 2x1x =
Entonces z = 100
z = 9
z = 2
De ah z = 12
1122.. Si: 30x11x)5x(P 2 ++=+ , ademsP(P(y)) = 930
Halla y.
A) 5 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
Factorizando el segundo miembro)6x)(5x()5x(P ++=+
Observamos que el valor del operador P estdado por el producto de 2 nmeros consecutivos
Luego )31(30930))y(P(P ==
)6(530)y(P ==
Comparando y = 5
1133.. En el conjunto de los nmeros realesdefinimos el operador de la siguiente manera:
( )
+
>+
=
0absi,ba
0absi,ba1
ba
Halla r1 (r2 r3), sabiendo que )rrr( 321
-
- 7 -
Prof: PACHECO
LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..
Factorizando la ecuacin0)2x3x2)(1x2( 2 =
0)2x)(1x2)(1x2( =+
De ah
=
=
=
2r21r21r
3
2
1
Luego r1 (r2 r3) =
22
121
Como 0ab > =
+
2211
21
=
5
221
Como 0ab =
+ 52
21
=
10
1
= 101
1144.. Si: 2x x2 =
368m =
Calcula: m2m2
A) 32 B) 16 C) 49D) 25 E) 36
De la definicin x2 = 2x
Entonces m8 = 36
m32 = 26 6m3 =2m =
Reemplazando
m2m2 )2(2)2(2 = 2552 25 ==
1155.. Se define ab)ba( 2 =Calcula:
A = 1 2 + 2 3 + 3 4 +..+ 99 100
A) 100 B) 92 C) 99D) 64 E) 45
De la expresin dadaab)ba( 2 = (1)
Cambiamos el orden de los elementosba)ab( 2 = (2)
Reemplazando (1) en (2)
ba))ba(( 22 =ba)ba( 4 =
1)ba( 3 = 1ba =Luego
10099+..+43+3 2+21=A
veces99
1+..+1+1+1=A
99=A
2x1x2
-
- 8 -
Prof: PACHECO
AAPPTTIITTUUDD MMAATTEEMMTTIICCAA
1166.. Se define xy)xy(2yx 22 =Calcula: A = 15 * 9
A) 100 B) 92 C) 99D) 64 E) 45
Por definicinxy)xy(2yx 22 = (1)
Por analogayx)yx(2xy 22 = (2)
Reemplazando (2) en (1)
xy]xy)yx(2[2yx 22 =
xyxy2)yx(4yx 22 =
Reduciendo trminos tenemos xyyx 2 =
Piden 45)3(15315915A 2 ====
1177.. Sabiendo que: bcaddcba
= , halla x
en:
x345
281x3
=
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
Efectuando segn la regla de definicin)12(x5)8(x6 =
12x58x6 +=+4x =
1188.. Si:nn
251
10535
251
10535n
+
+
+
=
Halla: 2 1
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
Analizando por partes
Clculo de 222
251
10535
251
105352
+
+
+
=
+
+
+
= 253
10535
253
105352
2051430
20514302 ++=
32 =
Clculo de 1
+
+
+
= 251
10535
251
105351
205820
2058201 ++=
21 =
2 1 = 3 2 = 1
1199.. Si es un operador que transforma a y bsegn la regla: a b = a! (b 1)!Calcula: )1b(*)1a(
a*bb*aE
+=
A) a B) b C) )ba)(1b( +D) ab E) 1b
-
- 9 -
Prof: PACHECO
LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..
Segn la definicin se tiene
)!2b()!1a()!1a(!b)!1b(!aE
+=
)!2b()!1a()!1a(!)2b)(1b(b)!2b)(1b()!1a(aE
+=
Factorizando )!2b()!1a(
)!2b()!1a(])1b(b)1b(a[)!2b()!1a(E
+=
)1b(b)1b(aE +=
)ba)(1b(E +=
2200.. Calcula: E = 4Si:
3x4x += ; 1x1x 2 =
A) 103 B) 80 C) 120D) 99 E) 100
Asumiendo que 5x = , se tiene
1515 2 = 244 =
Luego
E = 4 = 24 = 4(24) + 3 = 99
2211.. Si: 22 baba =)ba(logba 2 =
Halla: )2a22a3()35(
A) a B) 8a C) 3aD) 2a E) 4a
Efectuando segn la regla de definicin de cadaoperador
)2a22a3()35(E =)2a22a3(2log22 )35(E =
2a2log16E =2a2log4 )2(E =
8a2log2E = 8aE =
2222.. Se define la siguiente operacin para loscasos:
1xx += ; 3xx =
Calcula el valor de m en la siguiente ecuacin:
727m =
A) 9 B) 10 C) 19D) 5 E) 17
Haciendo un cambio de variable
1+= xx
1xx += 1xx 3 +=
-
- 10 -
Prof: PACHECO
AAPPTTIITTUUDD MMAATTEEMMTTIICCAA
13287m 3 +==
1237m 3 +==
Donde 27m = 9m =
2233.. Se define la siguiente operacin:x3xx 2 += ; x +
Determina el menor valor de n que satisface laecuacin:
172902n2 =
A) 2 B) 2 C) 9D) 15 E) 3
Interpretando la definicin )3x(xx +=
Entonces )133(130172902n2 ==
)13(101302n2 ==
)5(2102n2 ==
De ah 22n2 =
4n2 =
=
=
)valormenor(2n2n
2244.. Si: 6n7AA 2n =
Halla: 64 128
A) 2 B) 1 C) 3D) 5 E) 4
Transformando las cantidades en funcin de lascomponentes
76 2212864 =2726 22 =
277712 22
=
27712
7 22
=
2712
6712864 =
=
2255.. Si: x44x =
Adems ( )( ) 14xxR =Halla la suma de las cifras de R.
A) 7 B) 5 C) 12D) 10 E) 13
Piden4x
xR
=
x4x
44R
+=
44= 256R =
Suma de cifras de R = 2 + 5 + 6 = 13
3
3
3
3
-
- 11 -
Prof: PACHECO
LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..
Operaciones binarias
11.. Se define la operacin @ mediante lasiguiente tabla:
Calcula 50 @ 18.
A) 77 B) 89 C) 99D) 98 E) 96
La regla de definicin es de la forma
a @ b 321 kbkak ++=
Analizando la tabla
Luego, de la tablaa @ b 3kb32
a++=
8 @ 6 3k)6(328
++=
41 3k22 += 19k3 =
Entonces a @ b 19b32a
++=
50 @ 18 9819)18(3250
=++=
22.. Se define en N la operacin ,representada mediante la siguiente tabla:
Calcula 94 95.
A) 564 B) 753 C) 754D) 749 E) 758
Analizando la tabla
Luego, de la tablaa b 3kb2a6 ++=1 1 3k)1(2)1(6 ++=3 3k8 += 5k3 =
Entonces 5b2a6ba +=
7495)95(2)94(69594 =+=
9 1276@50 594441851 6045421053 6247441457 66514822
3 4217 953113 15119219 211715325 2723214
9 1276@50 594441851 6045421053 6247441457 66514822
2
48
1
2
4
6 93
2 31
3k2 = 39
26
13
==
21k1 =
21
42
84
==
3 4217 953113 15119219 211715325 2723214
212k2 ==
616k1 ==
1
11
6
66
2 22
1 11
-
- 12 -
Prof: PACHECO
AAPPTTIITTUUDD MMAATTEEMMTTIICCAA
33.. Se define:
Calcula: S = (333 9) + (344 16)
A) 2006 B) 2004 C) 2005D) 2002 E) 2003
Analizando la tabla
Luego, de la tablaa b 3kba3 +=2 2 3k2)2(3 +=4 3k4 += 0k3 =
Entonces a b ba3 =
S = (333 9) + (344 16) = 2006
44.. Dada la siguiente tabla:
Halla: 3123 1132
A) 2023 B) 2223 C) 3023D) 2323 E) 2003
Efectuando cifra por cifra en forma vertical
1ra columna 3 2 = 12da columna 2 3 = 23ra columna 1 1 = 1 0
4ta columna 1 (3 1) = 2
3123 1132 = 2023
55.. Si a b 7ba += ; donde 1a es elelemento inverso de a.Calcula: E = 13 15
A) 20 B) 17 C) 11D) 9 E) 13
Calculando el elemento neutro (e)a e a=
a7ea =+ 7e =
Calculando el elemento inverso ( 1a )a ea 1 =
77aa 1 =+ a14a 1 =
Luego
==
==
95145113143
11
4322342567389104
321321012203230323
4322342567389104
111k2 ==
313k1 ==
1
1
3
3
-1-1
11
16)334(3
9)333(3
llevase
1321323113202
-
- 13 -
Prof: PACHECO
LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..
Piden E = 13 15E = 11 9E = 11 + 9 7 E = 13
66.. Si: a b = a + b + 2Halla: E = ( 3 12 ) 13Si 1a es el elemento inverso de a.
A) 5 B) 6 C) 4D) 3 E) 1
Calculando el elemento neutro (e)a e a=
a2ea =++ 2e =
Calculando el elemento inverso ( 1a )a ea 1 =
22aa 1 =++ a4a 1 =
Luego
==
==
73436242
11
Piden E = ( 3 12 ) 13
E = ( 3 (6) ) (7)E = 1 (7)E = 1 7 + 2 6E =
77.. Se define: a b = b + a 4Halla: 1111 )86()42(E =Donde 1a es el elemento inverso de a.
A) 1 B) 2 C) 3D) 0 E) 4
Calculando el elemento neutro (e)aea =a4ea =+ 4e =
Calculando el elemento inverso ( 1a )eaa 1 = 44aa 1 =+ a8a 1 =
Luego
==
==
26866282
11
Piden 1111 )86()42(E =11 )82()46(E =
11 66E =22E =
422E += 0E =
88.. Se define la operacin mediante la tabla:
Calcula: 2005 2006
A) 10025 B) 4012 C) 14037D) 14033 E) 14041
Observamos que los elementos del cuerpo de latabla forman sucesiones lineales, es decir la reglade definicin es de la forma
a b 321 kbkak ++=
3 4217 953112 14108217 191513322 2420184
-
- 14 -
Prof: PACHECO
AAPPTTIITTUUDD MMAATTEEMMTTIICCAA
Se observa
Luego, de la tablaa b 3kb2a5 ++=1 1 3k)1(2)1(5 ++=3 3k7 += 4k3 =
Entonces 4b2a5ba +=
033144)2006(2)2005(520062005 =+=
99.. Si:
Calcula: M = 100 200
A) 694 B) 794 C) 700D) 800 E) 400
Analizando los elementos del cuerpo de la tablase deduce que la regla de definicin es de laforma
a b 321 kbkak ++=
Observamos que las razones internas y externasson constantes
Luego, de la tablaa b 3kb2a3 ++=1 1 3k)2(2)1(3 ++=1 3k7 += 6k3 =
Entonces 6b2a3ba +=
6946)200(2)100(3200100 =+=
1100.. Sea la operacin definida en el conjuntoA = {1, 2, 3, 4} mediante la tabla:
Observacin: 1a , es el elemento inverso de aHalla el elemento neutro y 11 14 + .
A) 1; 2B) 2; 3C) 3; 4D) 4; 3E) 3; 6
8 115213 1971125 311913537 433125949 55433713
3 4217 953112 14108217 191513322 2420184
8 115213 1971125 311913537 433125949 55433713
3 4211 23412 14323 42134 3124
1
11
5
5
5
2 22
1 11
212k2 ==
515k1 ==
4
44
12
1212
6 66
3 33
236k2 ==
3412k1 ==
-
- 15 -
Prof: PACHECO
LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..
Determinando el elemento neutro y los elementosinversos
3e =
=
=
2144
11
Por lo tanto El elemento neutro es 3 614 11 =+
1111.. Se define en el conjunto R una operacinsimbolizada por de la siguiente manera:
Calcula: )84()57()38(A
+
=
A) 1/5 B) 61/28 C) 25/36D) 4/27 E) 9/22
Analizando filas y columnas en el cuerpo de latabla se deduce que
b2a3ba +=
Luego
=+==+==+=
28)8(2)4(38431)5(2)7(35730)3(2)8(338
2861
283130
)84()57()38(A =+=
+
=
1122.. Se define en R la operacin ( )
Calcula: [ ] 11111 4)32(M =Donde 1a es el elemento inverso de a.
A) 1 B) 2 C) 1/2D) 0 E) 4
Determinando el elemento neutro y los elementosinversos
3e =
=
=
=
=
24334211
1111
En la expresin[ ] 11111 4)32(M =
3 4219 1175112 14108215 171311318 2016144
3 4211 24312 31423 42134 1324
3 4211 23412 14323 42134 3124
3 4211 23412 14323 42134 3124
3 4211 24312 31423 42134 1324
3 4211 24312 31423 42134 1324
-
- 16 -
Prof: PACHECO
AAPPTTIITTUUDD MMAATTEEMMTTIICCAA
[ ] 11 2)34(M =[ ] 11 24M =[ ] 122M =
11M = 1M =
1133.. Se define en A = {1, 2, 3, 4}
Calcula x en:[ ] ( )[ ] 133)24(x)32( 11111 =
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6
Determinando el elemento neutro y los elementosinversos
2e =
=
=
=
=
44132231
1111
En la igualdad[ ] ( )[ ] 133)24(x)32( 11111 =
[ ] ( )[ ] 133)24(x)32( 111 =
Entonces 12)x3( 111 =
12)x1( 1 =
De la tabla 1x1 1 = 2x 1 =2x =
1144.. Se define en:72 @ 10 = 5648 @ 15 = 54100 @ 1 = 52
Calcula 12 @ 40.
A) 60 B) 79 C) 63D) 65 E) 86
Observamos que
72 @ 10 = 56)10(2272
=+
48 @ 15 = 54)15(2248
=+
100 @ 1 = 52)1(22100
=+
Del cual se deduce que
a @ b b22a
+=
12 @ 40 86)40(2212
=+=
3 4212 31413 42124 13231 2434
3 4212 31413 42124 13231 2434
3 4212 31413 42124 13231 2434
3
231
34
-
- 17 -
Prof: PACHECO
LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..
1155.. Si:
Calcula: K = 1331 # 3133
A) 13311 B) 31113 C) 13331D) 31131 E) 11331
Efectuando cifra por cifra en forma vertical
1ra columna 1 # 3 = 32da columna 3 # 3 = 3 1
3ra columna 3 # (3 # 1) = 3 1
4ta columna 3 # (1 # 3) = 31
1331 # 3133 = 31113
1166.. En el siguiente conjunto M = {1, 2, 3, 4, 5}se define la operacin @ de acuerdo a la tablaadjunta.
Determina el valor de verdad de las siguientesproposiciones.I. El elemento neutro es 1II. El elemento inverso de 3 es 5
III. No es una ley de composicin internaIV. Cumple con la propiedad conmutativaV. 111 532 =+ , siendo 1a el elemento
inverso de a.
A) VFVFV B) VFFVF C) VFFFFD) FFFFV E) VVVVV
Analizando cada proposicinI. Verdadero
El elemento neutro es 1.
1e =
II. FalsoEl elemento inverso de 3 es 4.
III. FalsoLa operacin @ es una ley de composicininterna debido a que todos los elementos delcuerpo de la tabla pertenecen al conjuntoM = {1, 2, 3, 4, 5}
@ 1 2 3 4 51 1 2 3 4 52 2 3 4 5 13 3 4 5 1 24 4 5 1 2 35 5 1 2 3 4
@ 1 2 3 4 51 1 2 3 4 52 2 3 4 5 13 3 4 5 1 24 4 5 1 2 35 5 1 2 3 4
31#3113133
@ 1 2 3 4 51 1 2 3 4 52 2 3 4 5 13 3 4 5 1 24 4 5 1 2 35 5 1 2 3 4
llevase
llevase
3 4211 24312 31423 42134 1324
@ 1 2 3 4 51 1 2 3 4 52 2 3 4 5 13 3 4 5 1 24 4 5 1 2 35 5 1 2 3 4
3 3133133133113
#
1
-
- 18 -
Prof: PACHECO
AAPPTTIITTUUDD MMAATTEEMMTTIICCAA
IV. VerdaderoLa operacin @ es conmutativa debido a quesus elementos estn ubicados simtricamente
IV. Falso
Verificando 21
41
51 532 +
VFFVF
1177.. Se define ab)ba( 2 = ; 0ba >Calcula: S = 40 * 800
A) 1 B) 50 C) 99D) 10 E) 100
De la expresin dadaab)ba( 2 = (1)
Cambiamos el orden de los elementosba)ab( 2 = (2)
Reemplazando (1) en (2)
ba))ba(( 22 =ba)ba( 4 =
1)ba( 3 = 1ba =
180040S ==
1188.. Se define en N la operacin ()3ba22
ba ++=Indica el valor de verdad de las siguientesproposiciones.I. La operacin es cerrada en N .II. La operacin es conmutativa.III. Su elemento neutro es 3.
A) VVF B) VVV C) VFFD) VFV E) FFF
La operacin matemtica es equivalente a3b2a2ba ++=
I. VerdaderoLa operacin matemtica es cerrada en N
N
NNNNN
++=
3b2a2ba
II. VerdaderoLa operacin matemtica es conmutativa
abba =3a2b23b2a2 ++=++
III. FalsoLa operacin matemtica no tiene elementoneutro
aea =a3e2a2 =++ 2
3ae =
VVF
1199.. Determina el valor de: b a64 25 = 13100 49 = 1749 1 = 8ab 4 = 8
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
@ 1 2 3 4 51 1 2 3 4 52 2 3 4 5 13 3 4 5 1 24 4 5 1 2 35 5 1 2 3 4
-
- 19 -
Prof: PACHECO
LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..
Observamos que
64 25 = 132564 =+
100 49 = 1749100 =+
49 1 = 8149 =+
Del cual se concluye que
ab 4 = 884ab =+6ab = 36ab =
336ab ==
Hunuco, 12 de enero de 2015