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Reflexão
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Tarefa
Num parque de campismo pretende-se colocar um pequeno contentor de lixo igualmente distanciado de duas tendas aí existentes.Considera que os pontos A e B representam as tendas.
Dos pontos assinalados na figura, identifica aqueles onde pode ser colocado o contentor.
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Mediatriz de um segmento de reta
Mediatriz de um segmento de reta num dado plano é a reta perpendicular a esse segmento no respetivo ponto médio.
Ponto médio
Mediatriz
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MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO DE RETA
À reta perpendicular a um segmento, no seu ponto médio, dá-se o nome de mediatriz m do segmento e todos os seus pontos se encontram equidistantes dos extremos do segmento.
Propriedades da mediatriz de um segmento de reta:
•Os pontos da mediatriz de um segmento de reta são equidistantes das respetivas extremidades;
•Um ponto equidistante das extremidades de um segmento de reta pertence à respetiva mediatriz.
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Como desenhar a mediatriz de um segmento de reta?
1. Traça um segmento de reta [AB];
2. Com o compasso, mantendo sempre a mesma abertura, traça dois arcos de centro em A e dois de centro em B;
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Como desenhar a mediatriz de um segmento de reta?
3. Assinala os pontos J e K, que são equidistantes de A e de B;
4. Traça a reta que passa por J e K – mediatriz do segmento de reta [AB];
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Praticar
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Tarefa
No teu caderno, assinala dois pontos O e M.
Determina o ponto M’ pertencente à reta OM, tal que 'OMOM
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Dizemos que M’ é a imagem de M pela reflexão central de centro O.
Dados dois pontos O e M, o ponto M’ é a imagem de M pela reflexão central de centro O, quando O for o ponto médio do segmento de reta [MM’].
A imagem do ponto O pela reflexão central de centro O é o próprio O.
Os pontos M e M’ são colineares, ou seja pertencem à mesma reta.
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REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM PONTO
Sendo O, o ponto médio de [MM’], M’ é a imagem do ponto M, reflexão central de centro O.
A imagem do ponto O pela reflexão central de centro O é o próprio O.
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Praticar
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REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM SEGMENTO DE RETA
No teu caderno, desenha um segmento de reta [AB], com 2 cm de comprimento.
Marca um ponto O que não pertença ao segmento de reta.
Traça uma reta que passe por A e por O.
Com a ajuda do compasso, marca na reta o ponto A’, de modo que 'AOAO
Repete os passos anteriores para marcares o ponto B’.
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REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM SEGMENTO DE RETA
A imagem de um segmento de reta por uma reflexão central é um segmento de reta com o mesmo comprimento, cujas extremidades são as imagens das extremidades do segmento de reta original.
[A’B’] é a imagem de [AB] pela reflexão central de centro O.
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REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM SEGMENTO DE RETA
Pelo critério LAL, de igualdade de triângulos, os triângulos [AOB] e [A’OB’] são iguais.
Pois,
Considera os triângulos [AOB] e [A’OB’]:
][BB' do médio ponto o é O ,'
][AA' do médio ponto o é O ,'
opostos ente verticalmsão ,'ˆ'ˆ
BOOB
AOOA
AOBBOA
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REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM ÂNGULO
No teu caderno, assinala os pontos O, A, B e C e determina as suas imagens por uma reflexão central de centro O.
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REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM ÂNGULO
C''B e A''BC,BA,B semirretas as Traça
Os ângulos ABC e A´B´C´ serão iguais?
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REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM ÂNGULO
]C'[A' e [AC] Traça
Pelo critério de igualdade geométrica de ângulos, podemos afirmar que os ângulos são iguais.
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REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM ÂNGULO
Uma reflexão central transforma um ângulo noutro com a mesma amplitude.
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Construção do transformado de uma figura por reflexão central utilizando régua e compasso
Desenha um triângulo [ABC] e um ponto O que não pertença ao triângulo.
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Construção do transformado de uma figura por reflexão central utilizando régua e compasso
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Construção do transformado de uma figura por reflexão central utilizando régua e compasso
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Construção do transformado de uma figura por reflexão central utilizando régua e compasso
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• Uma figura geométrica é transformada numa figura geometricamente igual.
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Tarefa
Traça uma reta r e assinala um ponto P que não pertença à reta r.
Determina um ponto P’ tal que r seja a mediatriz do segmento de reta [PP’].
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Tarefa
Podemos considerar P’ como imagem do ponto P em relação à reta r.
P’ é a imagem de P pela reflexão axial de eixo r.
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Praticar
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2. Reflexão AxialA reflexão é a transformação geométrica de uma figura ou de um ponto a ser refletido em relação a uma reta que funciona como um espelho.
Para definir uma reflexão é necessário fixar o eixo de reflexão.
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Clica para ver a
reflexão.
Reflexão Axial
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Eixos de Reflexão
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Em qual das situações está representada uma reflexão?
Que condições devem existir para que ocorra uma reflexão?
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A reflexão à reta r (eixo de reflexão), transforma um ponto P num ponto P’, tal que:
Q
O P
Q'
P' O'
r[ [d d
• os pontos P e P’ estão numa reta perpendicular ao eixo r;
• os pontos P e P’ estão à mesma distância da reta r.
Os comprimentos e as amplitudes dos ângulos mantêm-se, mas o sentido dos ângulos é invertido.
Propriedades da reflexão axial
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Propriedades das reflexões
• Um segmento de reta é
transformado num segmento de reta com o mesmo comprimento.
• Uma reta e uma semirreta são transformadas numa reta e numa semirreta respetivamente.
• Um ângulo orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso.
Q
O P
Q'
P' O'
r
[ [
d d
• Qualquer ponto do eixo de reflexão transforma-se em si próprio.• A distância de um ponto original ao eixo de reflexão é igual à distância
da imagem desse ponto ao eixo.
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Assinala a figura em que os triângulos representados são simétricos em relação à linha traçada.
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PRATICANDOPRATICANDO
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Construção da imagem de uma figura geométrica por uma reflexão axial
Dada a figura original e o eixo de reflexão
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Construção do transformado de uma figura…
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Desenha a imagem de C por reflexão em r .
PRATICANDOPRATICANDO
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Constrói o transformado da figura por reflexão em relação à reta r.
PRATICANDOPRATICANDO
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Observa a figura que se encontra a seguir. 1.1- Desenha o transformado da letra E por reflexão segundo o eixo vertical e. 1.2- Desenha o transformado de E’ por reflexão segundo o eixo vertical e’.
PRATICANDOPRATICANDO
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PRATICANDOPRATICANDO
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Construção da imagem de uma figura geométrica por uma reflexão axial
Dada a figura original e a imagem de um dos seus pontos
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NOTA
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Simetrias de Reflexão ou axial
Esta figura tem 5 eixos de simetria.
e1
e2
e3
e4
e5
Uma figura tem simetria axial quando existe pelo menos uma reta que a divide em duas partes que se podem sobrepor ponto por ponto por dobragem. Essa reta chama-se eixo de simetria.
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Simetria axial
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Symmetry exists in architecture all around the world. The best known example of this is the Taj Mahal.
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As figuras serão todas simétricas?
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a. b. c. d. e.
As figuras seguintes têm eixos de simetria? Se sim, quantos eixos?
1 1 2 2 4 4 22 00
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Quais as letras que possuem simetria axial?
A B C D E FG H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Infinite number
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Quais destas bandeiras têm eixos de simetria?
USA Canadá
Maryland Inglaterra
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Quais os sinais de trânsito que têm eixos de simetria?
Clica para ver os eixos de simetriaClica para ver os eixos de simetria
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Descobre todos os eixos de simetria de cada um dos polígonos regulares.
Observando a tabela que preencheste, a que conclusões podes chegar?
Simetria axial de polígonos regulares
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Quantos eixos de simetria possui um triângulo equilátero?
1
2 3
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1 23
4
Quantos eixos de simetria possui um quadrado?
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2
3 4
5
1
Quantos eixos de simetria possui um pentágono?
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1 2
3
4
5
6
Quantos eixos de simetria possui um hexágono?
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Observa os polígonos...
Sugeres alguma regra?
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Quantos eixos de simetria?
Heptágono Octógono
Observa os polígonos...
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7 8
Heptágono Octógono
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Descobre todos os eixos de simetria de cada um dos polígonos regulares.
Observando a tabela que preencheste, a que conclusões podes chegar?
Um polígono regular de n lados tem n eixos de simetria, ou seja, o número de eixos de simetria é igual ao número de lados do polígono regular.
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Quantos eixos de simetria têm os polígonos regulares?
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Simetria axial em triângulos
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TAREFA
Existe uma relação entre as medidas dos lados de um triângulo e o número de eixos de simetria. Traça o(s) eixo(s) de simetria e descobre a relação.
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1
2 3
Quantos eixos de simetria possui um triângulo equilátero?
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Tem 3 lados congruentes;
Tem 3 ângulos congruentes;
Cada ângulo tem 60o ;
Tem 3 eixos de simetria;
É um polígono regular.
Propriedades de um triângulo equilátero
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1
Quantos eixos de simetria possui um triângulo isósceles?
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Tem 2 lados congruentes;
Tem 2 ângulos congruentes;
Tem 1 eixo de simetria;
É um polígono irregular.
Propriedades de um triângulo isósceles
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Nenhum!
Quantos eixos de simetria possui um triângulo escaleno?
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Propriedades de um triângulo escaleno
Não tem nenhum lado congruente;
Não tem nenhum ângulo congruente;
Não tem eixos de simetria;
É um polígono irregular.
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Um triângulo equilátero tem 3 eixos de simetria, um triângulo isósceles tem 1 eixo de simetria. Um triângulo escaleno não tem eixos de simetria.
Simetria axial em triângulos
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Um circulo tem uma infinidade de eixos de simetria, uma vez que qualquer reta que passe no seu centro é um eixo de simetria.
E um círculo, quantos eixos de simetria tem?
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Partindo dos pontos indicados, constrói a figura geométrica na sua totalidade, sabendo que esta é simétrica em relação à reta r.
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Descobre o termo seguinte desta sequência:
88
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A imagem de baixo é reflexão da imagem de cima?
Não, porque …
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Uma folha foi dobrada e furada com uma tesoura. A figura mostra essa folha desdobrada depois de ter sido furada. Descobre por onde foi dobrada a folha.
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Bissetriz de um ângulo
A bissetriz de um ângulo é a semirreta que o divide em dois ângulos com a mesma amplitude. Logo, a reta que contém a bissetriz de um ângulo é um eixo de simetria desse ângulo.
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Observa a imagem seguinte. Nota que a reta r é um eixo se simetria que bisseta o ABC.
Completa os espaços:
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Transformações geométricas — reflexão — verifica dinamicamente o resultado de uma reflexão
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_297_g_2_t_3.html?open=activities&from=category_g_2_t_3.html
Alphabet Symmetry Tool
http://www.misterteacher.com/alphabetgeometry/reflection.html (aplicação interativa para quadro interativo)
EXPLORANDO NA REDEEXPLORANDO NA REDE
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Applets
Simetria de reflexão
Reflexão I
Reflexão II