![Page 1: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/2.jpg)
Pertemuan I
![Page 3: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/3.jpg)
Secara Teknis Kalkulus adalah metode matematika yang menggunakan proses infinite untuk menyelesaikan masalah2 finite.
Tujuan utama Kalkulus adalah menganalisa dua masalah fundamental:
- problems of change (e.g. motion) - problems of content (e.g. area, volume)
![Page 4: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/4.jpg)
Bilangan Real dan Notasi Selang
Bilangan real : meliputi bilangan rasional (seperti ½ dan 2)
dan irasional (seperti √2 dan π).
Bilangan rasional: meliputi semua bilangan bulat (positif, nol,
dan negatif) dan pecahan murni.
Himpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R.
![Page 5: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/5.jpg)
Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap operasi penjumlahan dan perkalian), sifat urutan (tentang <, =, dan >), dan sifat kelengkapan.
Sifat kelengkapan memungkinkan kita menyatakan R sebagai suatu garis (yang tak berlubang), yang disebut garis bilangan real.
![Page 6: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/6.jpg)
Pada garis bilangan real, setiap titik menyatakan sebuah bilangan real. Sebaliknya, setiap bilangan real dapat dinyatakan sebagai sebuah titik pada garis bilangan real. (Sebagai perbandingan, himpunan semua bilangan rasional tidak dapat dinyatakan sebagai sebuah garis.) Untuk selanjutnya, R menjadi himpunan semesta kita.
![Page 7: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/7.jpg)
Notasi selang di bawah ini akan sering dipakai:
(a,b) = { x є R | a < x < b }[a,b] = { x є R | a ≤ x ≤ b }[a,b) = { x є R | a ≤ x < b }(a,b] = { x є R | a < x ≤ b }
(-∞,b)= { x є R | x < b }(-∞,b]= { x є R | x ≤ b }(a,∞) = { x є R | x > a }[a,∞) = { x є R | x ≥ a }
![Page 8: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/8.jpg)
Buat macam – macam selang dan Gambarkan
Presentasikan sesuai urutan kelompok Siapkan Pertanyaan untuk kelompok
lainnya Kerjakan Beberapa soal yang berkaitan
![Page 9: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/9.jpg)
N : bilangan asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
R : bilangan real
N : 1,2,3,….Z :…,-2,-1,0,1,2,..
0,,, bZbabaq
Q :
IrasionalQR
,3,2
Contoh Bil Irasional
![Page 10: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/10.jpg)
Bilangan
Nyata Khayal
Irrasional Rasional
Bulat Pecahan
2; -2; 1,1
24
0,126827684340------
0,1236
1; 8 ;4 ½; 2/7 10
![Page 11: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/11.jpg)
Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional, tapi tidak semua bilangan rasional berupa bilangan bulat
Semua bilangan pecahan adalah bilangan rasional, tapi tidak semua bilangan rasional berupa bilangan pecahan
Semua bilangan irrasional adalah bilangan berdesimal, tapi tidak semua bilangan berdesimal adalah bilangan irrasional.
Bilangan Asli : Semua bilangan bulat positif, tidak termasuk nol. A = {1,2,3,4,5,6,…..}
Bilangan Cacah : Semua bilangan positif atau nol. A = {0,1,2,3,4,5,6,…..}
Bilangan Prima : bilangan asli yang besarnya tidak sama dengan satu dan hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri. P = {2,3,5,7,11…..}
11
![Page 12: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/12.jpg)
Pertemuan II
![Page 13: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/13.jpg)
Sifat-sifat urutan :Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti
berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < zPerkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz <
yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
![Page 14: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/14.jpg)
0 1
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebutdengan garis bilangan(real)
-32
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
Selang
![Page 15: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/15.jpg)
Himpunan selang axx a,
axx a,
bxax ba,
bxax ba,
bxx ,b
bxx ,b
xx ,
Jenis-jenis selang
Grafik
a
a
a b
a b
b
b
![Page 16: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/16.jpg)
Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan.
Bentuk umum pertidaksamaan :
dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
xExD
xBxA
![Page 17: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/17.jpg)
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (Hp)
Cara menentukan Hp :1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
, dengan cara :0)()(
xQxP
![Page 18: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/18.jpg)
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan
menyederhanakan bentuk pembilangnya2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang
dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul
![Page 19: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/19.jpg)
53213 x
352313 x
8216 x48 x
84 x
8,4Hp = 4 8
1
![Page 20: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/20.jpg)
8462 x248 x
248 x842 x
221
x
2,
21
22
1
Hp 2
![Page 21: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/21.jpg)
3,
21
0352 2 xx
0312 xxTitik Pemecah (TP) :
21
x dan 3x
3
++ ++--
21
3
Hp =
![Page 22: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/22.jpg)
637642 xxxxx 7642 6376 xxdan
4672 xx dan 6637 xx
4
109 x 010 xdan
910
x 010 xdan
910
x dan 0x
![Page 23: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/23.jpg)
Hp =
,0
910,
09
10
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Hp =
910,0
![Page 24: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/24.jpg)
0131
3
xx
x
132
11
xx
013
21
1
xx
0131
2213
xxxx
5.
TP : -1, 31
, 3
3
++ ++--
-1
--
31
Hp =
3,
311,
![Page 25: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/25.jpg)
xx
xx
321
032
1
xx
xx
0
32231
xx
xxxx
032322 2
xxxx
6.
![Page 26: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/26.jpg)
Untuk pembilang 322 2 xx mempunyai nilaiDiskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP : 2,-3Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
-3 2-- ++ --
,23,Hp =
![Page 27: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/27.jpg)
Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.
Definisi nilai mutlak :
0,0,
xxxx
x
![Page 28: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/28.jpg)
Sifat-sifat nilai mutlak:
yx
yx
yxyx
2xx axaaax 0,
axaax 0, atau ax
yx 22 yx
6. Ketaksamaan segitiga
12
3
4
5
yxyx
![Page 29: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/29.jpg)
5432 xx
2221 2 xx
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
3232 xx
1
2
3
xx
x
1242
4
312
2
xx
xx
5
23 xx6
![Page 30: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/30.jpg)
Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan
![Page 31: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/31.jpg)
Sistem koordinat Cartesius untuk bidang terdiri dari dua sumbu koordinat, sumbu x dan sumbu y, yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik asal (0,0).
![Page 32: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/32.jpg)
![Page 33: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/33.jpg)
Bidang Cartesius terbagi atas empat kuadran. Setiaptitik pada bidang Cartesius dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan (x,y), dan sebaliknya pasangan bilangan (x,y) menyatakan titik tertentu pada bidang.Jarak antara dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) adalah d(P,Q) = [(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2]1/2.Persamaan lingkaran yang berpusatdi (a,b) dan berjari-jari r pada bidangAdalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2.
![Page 34: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/34.jpg)
(x – a)2 + (y – b)2 = r2.
![Page 35: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/35.jpg)
Persamaan umum garis lurus pada bidang adalahAx + By + C = 0
dengan A, B tak keduanya nol. Jika B ≠ 0, persamaan
tadi dapat dinyatakan sebagaiy = mx + c
dengan m menyatakan gradien atau kemiringan garis
tersebut. Persamaan garis lurus yang melalui P(x0,y0)
dengan gradien m adalahy – y0 = m(x – x0)
![Page 36: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/36.jpg)
Diberikan suatu persamaan (dalam x dan y), seperti y =x2
menggambar grafiknya pada bidang Cartesius. Perhatikan bahwa grafik y = x2 simetris
terhadap sb-y. (Buat dengan menghitung beberapa titik y sebagai ordinat, setelah menetapkan titik x
sebagai absis)
![Page 37: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/38.jpg)
Gambarkan Garfik Persamaan Berikut :
x2 + (y – 7)2 = 12.6x – 5y = 8.
x = y2.
![Page 39: [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020305/5c83c6a509d3f290718c08ca/html5/thumbnails/39.jpg)
Selesaikan soal di Buku PurcellTiap sub Bab berikut : 1.2 no. 14,15, 17. 1.3 no. 3,5, 7, 13, 17, 21 1.4 no. 3, 11, 17, 21, 25 1.5 no. 7, 10, 12. 1.6 no. 9, 13, 17, 23 1.7 no. 1, 11, 17, 19.