Objetivo
Obtener la conductividad termica de el cobre, aluminio y pyrex con el metodo de plato caliente en estado estacionario.
Marco teórico
La conductividad termica “k” es la medida de la capacidad de un material para conducir calor. Un valor elevado para la conductividad termica indica que el material es un buen conductor del calor y un valor bajo indica que es un mal conductor o que es un aislante. La conductividad termica tambien es una propiedad importante en el analisis de transferencia de calor, se define como la cantidad de calor que se transmite en una direccion, por unidad de tiempo y de superficie cuando el gradiente de temperatura es unitario.
Segun la ley que rige la transferencia de calor en los solidos (Ley de Fourier de la conduccion), una vez que se ha alcanzado el regimen permanente o estado estacionario, la velocidad de transmision calorifica unidireccional (direccion x) a traves de un material es:
Donde qx es la velocidad de transferencia de calor en la direccion x, A es el area de corte transversal normal a la direccion del flujo de calor, T es la temperatura, x es la distancia y k es la conductividad termica.
La conductividad termica puede ser medida por metodos en estado estable o estacionario (placas paralelas o plato caliente) los cuales estan fundamentados en la ecuacion (1) y no estacionarios (disipacion del calor transitorio). Utilizando los metodos en estado estacionario, solo se requiere conocer el flujo de calor y la caida de temperatura a traves de la muestra para obtener la conductividad termica. Esta es una tecnica bien establecida para materiales volumetricos, aunque siempre se debe de tener especial cuidado en mantener un flujo de calor unidireccional y evitar las perdidas laterales de calor.
Ademas de la conductividad termica k, definida en la ecuacion (1), se usa ampliamente una cantidad conocida como difusividad termica () y es la relacion entre la conductividad termica y el calor especifico por su densidad.
Se define como:
donde Cp es la capacidad calorifica a presion constante; el acento circunflejo (^) sobre el simbolo indica una cantidad “por unidad de masa”.
La difusividad termica () tiene las mismas dimenciones que la viscosidad cinematica \nu, (m2/s).. Cuando se hace la suposicion de propiedades fisicas constantes, las cantidades \nu y \alpha aparecen en forma semenjante en las ecuaciones de variacion para el transporte de cantidad de movimiento y de energia en el sistema de flujo. Esta razon adimencional es:
y se denomina numero de Prandtl.
Método experimental.
Para poder determinar el coeficiente de transferencia de calor de los distintos materiales que utilizamos en este experimento fue necesario contar con el siguiente equipo:
Vaso pyrex de 2L para calentar agua. Parrilla electrica para calentamiento de agua. Cilindro de Pyrex. Cilindro de Cobre. Cilindro de Aluminio. Parrilla electrica con agitador magnetico para agitacion de agua dentro de cilindros. Dos termometros digitales. Vernier para medicion de radios internos y externos. Unicel como aislante termico para prevenir la fuga de calor por conveccion. Bascula digital. Embudo. Cronometro.
Para la determinacion del coeficiente de transferencia de calor de los distintos materiales analizados en el laboratorio fue necesario contar con tres cilindros de distintos materiales, en este caso vidrio, cobre y aluminio. Fig.1 a) Cilindro de cobre b) Cilindro de vidrio y c) Cilindro de aluminio. Despues fue necesario preparar la base en donde colocamos a nuestros cilindros. La base paredes y tapa fue hecha de unicel (fig. 2.) ya que este material tiene la peculiaridad de tener un coeficiente de transferencia de calor muy bajo lo cual nos brindo una proteccion en contra de la fuga de calor provocada por corrientes de aire en forma de conveccion natural o forzada, permitiendo controlar el experimento y medir adecuadamente los cambios en la temperatura del cilindro y su exterior. En el interior de los cilindros se coloco un agitador que mantenia el fluido en constante movimiento para asegurar que no se crearan gradientes de temperatura que manifestaran conveccion natural dentro del cilindro y asi mantener las condiciones de operacion lo mas apegadas a las suposiciones de nuestro modelo matematico. Utilizamos agua precalentada a una temperatura de 65°C, elemento que nos sirvio de fuente de calor para llegar a un estado estacionario de flujo de calor de parte del interior del cilindro hacia el exterior.
Fig. 1. a) Cilindro de cobre b) Cilindro de vidrio c) Cilindro de Aluminio.
Para la realizacion del experimento fue necesario contar con las siguientes suposiciones.
Estado estacionario. Propiedades termo-fisicas constantes. Flujo de calor en una direccion.
Una vez que nuestro cilindro se encontro con el agua caliente dentro de su volumen y que fue aislado para disminuir las perdidas de calor al maximo se procedio a encender el cronometro y registrar las temperaturas internas y externas cada minuto hasta que la temperatura dejaba de variar considerablemente con respecto al tiempo. Una vez con los datos registrados a lo largo de 45 minutos, procedimos a obtener el grafico mostrado en la seccion de resultados y discusion, y con el mismo tener los valores reales para dT/dt y poder contar con todos los elementos para nuestro modelo matematico.
Fig. 2 Preparación de base y tapas de unicel para controlar el experimento.
Fig.3 medición de las temperaturas interna y externa de nuestro sistema.
Modelo Matemático
Para poder calcular eficazmente el valor de la conductividad termica tenemos que hacer un balance de energia dentro de nuestro volumen de control
{ flujo decalor queentra haciael elemento de
volumen }−¿
Para mantener el analisis matematico sencillo recordemos las suposiciones que mencionamos en la seccion anterior.
Estado estacionario. Propiedades termo-fisicas constantes. Flujo de calor en una direccion.
Nuestro sistema de referencia y volumen de control esta configurado en coordenadas cilindricas y se representa por el siguiente elemento de volumen Fig. 4.
Fig. 4 Coordenadas Cilíndricas como volumen de control para este estudio.
De nuestro balance de energia, despreciando el termino de acumulacion y el de generacion o consumo por nuestra suposicion de estado estacionario y el hecho de que no hay reaccion quimica queda.
q (2 πr ∆ L ) entrada−q (2 πr ∆ L ) salida+0=0
Dividiendo entre las constantes de nuestro volumen de control obtenemos.
q (2πr ∆ L ) entrada−q (2πr ∆ L ) salida2 πr ∆ L∆r
=0
−d (qr )dr
=0
Despejando e Integrando ambos lados de la ecuacion.
∫ d (qr )=∫ 0dr
qr=c1
q= c1r
Igualando a q con la ley de Fourier de la transferencia de calor obtenemos.
c1r
=−KAdTdr
Despejamos nuevamente y procedemos a integrar de nuevo los terminos diferenciales
∫T 2
T 1
dT= c1KAr
∫r1
r21rdr
Obtenemos:
(T 1−T 2 ) (2πrLK )=c1 lnr2r1
Para obtener el valor de la constante de integracion c1, despejamos.
c 1=(T 1−T 2 ) (2 πrLK )
lnr 2r 1
Sustituyendo el valor de la constante de integracion c1 en la anterior ecuacion obtenemos la expresion.
q= c1r:
q=
(T 1−T 2 ) (2πrLK )
lnr 2r 1r
Eliminamos los terminos que desaparecen y nos queda la expresion matematica de donde despues procedemos a despejar a “k”, la conductividad termica.
q=(T 1−T 2 ) (2 πLK )
lnr 2r 1
Despejando K, se tiene:
K=q ln
r 2r 1
(T 1−T 2 ) (2πL )
Para poder conocer el flujo de calor que existe a traves de los respectivos cilindros metalicos lo calculamos con la siguiente expresion matematica, en donde tomamos una medida precisa de la masa del agua Fig.5, investigamos el calor especifico de la misma y la pendiente dT/dt que se construye con las mediciones que realizamos y explicamos en la seccion de metodo experimental
˙q=
˙mcp
dTdt
Donde:Cp: calor especifico. m: la masa del fluidodTdt
= cambio de temperatura con respecto al tiempo.
Por ultimo si sustituimos la anterior ecuacion en la expresion obtenida para la conductividad termica obtenemos al fin la ecuacion que nos dara la informacion deseada para nuestro experimento.
K=mcp
dTdt
lnr 2r 1
(T 1−T 2 ) (2πL )
Datos obtenidos
Tabla 1: Datos de radio interno y externo del vaso utilizado, así como la masa y longitud de agua utilizada para los diferentes materiales.
Pyrex Aluminio CobreRadio Interno [cm] 4.295 6.6 3.15Radio Externo [cm] 4.535 6.61 3.81
Masa [Kg] 0.3711 0.379 0.237
Longitud [cm] 7.5 13.4 9.8
Tabla 2: Datos de temperatura interne y externa para los diferentes materiales.
Vidrio Pyrex Aluminio Cobre
tiempo (min)
Temperatura interna [ºC]
Temperatura externa [ºC]
Temperatura interna [ºC]
Temperatura externa [ºC]
Temperatura interna [ºC]
Temperatura externa [ºC]
0 65.343.7 65.5 40.1
64 31.1
1 64.942.9 63.7 44.2
63.7 31.1
2 64.540.2 63.5 44.8
63.5 33.9
3 64.139.4 63.3 44.9
63.3 37.5
4 63.738.8 63 45.5
63.1 38.2
5 63.338.1 62.7 46
62.9 37.3
6 6337.5 62.5 46.3
62.6 38
7 62.637.2 62.3 46
62.4 37.4
8 62.336.5 62 45.9
62.2 37.9
9 6236.3 61.8 46.2
61.9 38.1
Fig. 5 Medición precisa dela masa del agua.
10 61.735.6 61.4 45.7
61.8 37.6
11 61.335.6 61.1 45.6
61.6 36.6
12 6137.3 60.8 45.9
61.3 36
13 60.637.8 60.4 44.7
61.1 36.1
14 60.236.9 60.2 45.6
60.8 36
15 59.834.2 60 47.7
60.6 35.7
16 59.433.4 59.8 45.6
60.3 36.2
17 5932.6 59.5 45.8
60 34.8
18 58.732.3 59.2 45.6
59.8 33.8
19 58.332.5 58.9 45.3
59.5 33.8
20 57.932.3 58.5 45.3
59.3 33.7
21 57.632 58.3 44.6
59 33.8
22 57.232 58 44.9
58.7 34.4
23 56.932.1 57.7 44.7
58.5 34.1
24 56.631.8 57.5 44.3
58.3 33.5
25 56.231.8 57.3 44.3
58 33.1
26 55.932.1 57 44.7
57.8 34.1
27 55.732.5 56.9 44.7
57.6 34.1
28 55.532.7 56.5 44.6
57.4 33.9
29 55.331.8 56.4 44.2
57.2 33.9
30 55.132.2 55.9 44.2
57 33.7
31 54.832.1 55.6 44.1
56.8 34.6
32 54.631.3 55.4 44.0
56.6 34.7
33 54.331.4 55.1 43.9
56.4 35.3
34 5430.9 54.8 43.8
56.2 34.56
35 53.830.7 54.5 43.7
56 34.5
36 53.530.7 54.3 43.6
55.8 33.9
37 53.230.7 54 43.5
55.5 33.3
38 52.931.3 53.7 43.4
55.4 34.4
39 52.730.6 53.4 43.3
55.2 34.4
40 52.431.9 53.2 43.2
55 34.4
41 52.231.5 52.9 43.1
54.8 34.9
42 5230.6 52.7 43.0
54.6 34.1
43 51.831.5 52.4 42.9
54.4 34.3
44 51.632.5 52.1 42.8
54.3 32.6
45 51.433.3 51.9
42.7 54 32.3
Resultados y discusión
Los datos de temperatura interna fueron graficados para cada material con la finalidad de encontrar el estado transitorio y estacionario, en dicha curva y posteriormente obtener la pendiente para el estado estacionario; la cual sera utilizado como el delta de temperatura utilizado en la ecuacion (….) .
6600tán28a5660
6600tán3a5660
6600tán7a5660
6600tán11a5660
6600tán15a5660
6600tán19a5660
6600tán23a5660
6600tán27a5660
6600tán1a5660
6600tán5a5660
6600tán9a5660
6600tán13a5660
6600tán19a5660
6600tán21a5660
6600tán23a5660
6600tán25a5660
6600tán27a5660
6600tán29a5660
6600tán1a5660
6600tán3a5660
6600tán5a5660
Vidrio Pyrex Aluminio Cobre
Tiempo [min]
Tem
per
atur
a in
tern
a [°
C]
Figura 1: Temperatura interna contra tiempo en minutos para los diferentes materiales con los que se trabajó durante la práctica.
En la figura 1 observamos la caida de temperatura para los diferentes materiales con los que se trabajaron. En el caso del vidrio Pyrex el estado estacionario se da a partir del minuto 26 con un valor de 55.9°C hasta el minuto 45 con un valor de 51.4°C, lo que nos da un valor de la pendiente de -0.2368; en el caso del aluminio alcanza el estado estacionario despues del primer minuto con un valor de temperatura de 63.7°C hasta el minuto 45 con un valor de 51.9°C, lo que nos da un valor de la pendiente de -0.2681; en el caso del cobre despues de 45 minutos no se llego al estado estacionario, por lo que no se cuenta con un valor de pendiente para este estado, sin embargo el valor de la pendiente para el estado transitorio es de -0.2222.
Utilizando la ecuacion (…) el valor de ( dTdx ), tendra el valor de la
pendiente que se observa en la figura 1.
VidrioPyrex q=mCp( dTdx )=( .3711) (1003 ) (.2368 )=88.14 J
Aluminio q=mCp( dTdx )= (.379 ) (1003 ) ( .2381 )=90.51J
Cobre q=mCp( dTdx )=( .237 ) (1003 ) (.2222 )=52.81J
Utilizando la ecuación (….) obtenemos la conductividad térmica para cada material, en cada instante.
Tiempo [min] Pyrex K [J/mK]
Aluminio K [J/mK]
Cobre K [J/mK]
0 0.4809 0.0064 0.4959
1 0.4722 0.0083 0.5005
2 0.4275 0.0087 0.5512
3 0.4206 0.0088 0.6324
4 0.4172 0.0093 0.6552
5 0.4122 0.0097 0.6373
6 0.4074 0.0100 0.6632
7 0.4090 0.0100 0.6526
8 0.4026 0.0101 0.6714
9 0.4042 0.0104 0.6855
10 0.3980 0.0104 0.6742
11 0.4042 0.0105 0.6526
12 0.4383 0.0109 0.6449
13 0.4556 0.0104 0.6526
14 0.4458 0.0111 0.6579
15 0.4058 0.0132 0.6552
16 0.3995 0.0115 0.6770
17 0.3935 0.0119 0.6474
18 0.3935 0.0120 0.6275
19 0.4026 0.0120 0.6348
20 0.4058 0.0123 0.6373
21 0.4058 0.0119 0.6474
22 0.4122 0.0124 0.6714
23 0.4189 0.0125 0.6686
24 0.4189 0.0123 0.6579
25 0.4257 0.0125 0.6552
26 0.4365 0.0132 0.6884
27 0.4478 0.0133 0.6942
28 0.4556 0.0137 0.6942
29 0.4420 0.0133 0.7002
30 0.4536 0.0139 0.7002
31 0.4576 0.0142 0.7349
32 0.4458 0.0143 0.7450
33 0.4536 0.0145 0.7732
34 0.4497 0.0148 0.7539
35 0.4497 0.0151 0.7588
36 0.4556 0.0152 0.7450
37 0.4617 0.0155 0.7349
38 0.4809 0.0158 0.7769
39 0.4700 0.0161 0.7844
40 0.5067 0.0163 0.7920
41 0.5018 0.0166 0.8198
42 0.4854 0.0168 0.7958
43 0.5117 0.0171 0.8117
44 0.5439 0.0175 0.7518
45 0.5739 0.0177 0.7518
Promedio 0.4426 0.0127 0.6873
Valores de Conductividad Térmica reportados.
Existe una amplia variedad de sitios y referencias bibliograficas que nos dan valores pre-calculados de los coeficientes de conductividad termica. Es importante saber a que condiciones estuvieron sujetos los experimentos para que el valor que desees usar sea el mas adecuado para tu sistema.
La conductividad termica tiene unidades de [W/mK].
En el cuadro 1 se puede observar un listado de materiales con sus respectivos valores de conductividad termica.
Veremos que tan aproximado fue nuestro experimento en contraste con los valores reportados para los materiales
Material W/m.KAceroAguaAireAlcoholAlpacaAluminioAmiantoBronceCincCobreCorchoEstañoFibra de VidrioGlicerinaHierroLadrilloLadrillo RefractarioLatónLitioMaderaMercurioMicaNíquelOroParafinaPlataPlomoVidrio
47-580,580,020,1629,1209,30,04116-186106-140372,1-385,20,04-0,3064,00,03-0,070,291,70,800,47-1,0581-116301,20,1383,70,3552,3308,20,21406,1-418,735,00,6-1,0
Vidrio, cobre y aluminio.
Conclusiones
Referencias
Ref: http://www.fisicanet.com.ar/fisica/termodinamica/tb03_conductividad.php
Cuadro 1.- Conductividades térmicas para distintos materiales.