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Universidad Simón BolívarDepartamento de MatemáticasPuras y AplicadasMA-2113
Problemario 4
Temas: Teorema de Gauss. Repaso de Números Complejos. Funciones Complejas Elementales.
1. Sea V el sólido comprendido entre la super�cie de un cono y el grá�co de una función suave y acotada
0 < f(x, y) < 5 para todo (x, y) ∈ IR2, esto es
V = {(x, y, z) ∈ IR3 |√
x2 + y2 ≤ z ≤ f(x, y)}
Sea S la porción del grá�co de z = f(x, y) dentro del cono z =√
x2 + y2.
(a) Dibuje una representación grá�ca del sólido V y la super�cie S.
(b) Muestre que G(x, y, z) = (x, y, z) es tangente al cono.
(c) Sabiendo que el volumen de V es igual a 6, halle el �ujo a través de S del campo G.
(Resp: 18)
2. Calcular∫S F·ndS siendo S la super�cie S = {(x, y, z)|x2+y2 = z2, 0 ≤ z ≤ 1}∪{x2+y2 ≤ 1, z = 1}
y F = (xy + sen(z3), ex2 − xy, z2/2). (Resp: π/2)
3. Sea S el sólido cilíndrico limitado por x2 + y2 = 4, z = 0, z = 3 y sea n la normal unitaria exterior
a la frontera ∂S. Sea F = (x3 + tan yz, y3 − exz, 3z + x3). Encuentre el �ujo de F a través de ∂S.(Resp: 108π)
4. Hallar∫S(x, y, z) · ndS siendo S una super�cie cerrada y n la normal unitaria exterior.
(Resp: 3Vol(S))
5. Sea S el borde y D el interior del cubo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1. Usar el teorema de Gauss
para calcular∫S F · ndS, donde F = x2i + y2j + z2k y n es la normal unitaria exterior. (Resp: 3)
6. Hallar las soluciones reales de las ecuaciones:
(a) (4 + 2i)x + (5− 3i)y = 13 + i. (Resp: x = 2, y = 1)
(b) (3x− i)(2 + i) + (x− iy)(1 + 2i) = 5 + 6i. (Resp: x = 20/17, y = −36/17)
7. Presentar el número 1(a+ib)2
+ 1(a−ib)2
en forma Cartesiana. (Resp: 2(a2 − b2)/(a2 + b2)2)
8. Demostrar que√
1+x2+ixx−i
√1+x2
= i, si x es real.
9. Hallar el módulo y el valor principal del argumento de:
(a) z = − sen π8 − i cos π
8 (Resp: (1,−5π/8))
(b) z = 4 + 3i (Resp: (5, arctan 3/4))
(c) z = −2 + 2√
3i (Resp: (4, 2π/3))
(d) z = −7− i (Resp: (5√
2, arctan 1/7− π))
10. Calcular
(a) (−1 + i√
3)60 (Resp: 260)
(b) (1+i√
31−i )40 (Resp: −219(1 + i
√3))
(c) (2− 2i)7 (Resp: 210(1 + i))
(d) (1−i1+i)
8 (Resp: 1)
1
11. Resolver
(a) z4 = 1− i (Resp: z0 = 21/8(cos(π/16)− i sen(π/16)))
(b) z4 = −i (Resp: z0 = (cos(π/8)− i sen(π/8)))
(c) z2 = i (Resp: ±(1 + i)/√
2)
12. Demostrar que uno de los valores de ii es e−π/2.
13. Interpretar geométricamente Re(iz̄) = 2.
14. Representar en el plano xy los siguientes conjuntos:
(a) |z − 2 + i| ≤ 1
(b) |2z + 3| > 4
(c) Im(z) > 1
(d) |z − 4| ≥ |z|(e) zz̄ + i(z − z̄)− 2 = 0
(f) 1 ≤ |z + i| ≤ 2
2