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Prctica 11Singularidades
y Residuos
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Problema 1.
Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
195
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Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
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Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
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Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
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Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
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Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
195
Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
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Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
195
Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
195
Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
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Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
195
Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
195
Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
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Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
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Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
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Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
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Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
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Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
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Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
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Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
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Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
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Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
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Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
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Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
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(e)
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Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
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Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
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Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
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Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
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Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
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Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
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(e)
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Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
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Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
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Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
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Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
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Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
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Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
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Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
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Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
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Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
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16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
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Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
195
Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
195
Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
195
Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
195
Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
195
Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
195 9
-
Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
16.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solucin
(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe
finito. Por lo tanto, no es polo simple.
Veamos si es polo doble: y es polo doble de .
(b)
Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada
en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .
(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin
aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos que no es finito.
Estudiemos que no es finito.
Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden para .
(d)
Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples
(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
195
Ejercicios
10
-
Problema 2.
por continuidad de la funcin racional.
Por lo tanto, es polo doble de .
Demuestre que tambin es polo doble de .
(e) son singularidades aisladas de .
es polo simple de .
es polo simple de .
(f)
no es acotada en y no existe
Luego, , que es una singularidad aislada de , es una singularidad esencial de .
Problema 2
Demostrar que tiene en un polo simple.
Solucin
es singularidad aislada de
es polo simple de
Problema 3
Calcular los residuos respectivos para las funciones de los ejercicios y .
Solucin
Del ejercicio .
(a) se demostr que es polo doble de . Luego, por las frmulas del clculo de residuos,
frmula (b):
(b) se demostr que es singularidad esencial para , luego, para calcular el residuo de ennecesitamos desarrollar en serie de Laurent:
con que ser el coeficiente de
196
por continuidad de la funcin racional.
Por lo tanto, es polo doble de .
Demuestre que tambin es polo doble de .
(e) son singularidades aisladas de .
es polo simple de .
es polo simple de .
(f)
no es acotada en y no existe
Luego, , que es una singularidad aislada de , es una singularidad esencial de .
Problema 2
Demostrar que tiene en un polo simple.
Solucin
es singularidad aislada de
es polo simple de
Problema 3
Calcular los residuos respectivos para las funciones de los ejercicios y .
Solucin
Del ejercicio .
(a) se demostr que es polo doble de . Luego, por las frmulas del clculo de residuos,
frmula (b):
(b) se demostr que es singularidad esencial para , luego, para calcular el residuo de ennecesitamos desarrollar en serie de Laurent:
con que ser el coeficiente de
196
11
-
Problema 3.
Calcular los residuos respectivos para las funciones de los problemas 1 y 2
por continuidad de la funcin racional.
Por lo tanto, es polo doble de .
Demuestre que tambin es polo doble de .
(e) son singularidades aisladas de .
es polo simple de .
es polo simple de .
(f)
no es acotada en y no existe
Luego, , que es una singularidad aislada de , es una singularidad esencial de .
Problema 2
Demostrar que tiene en un polo simple.
Solucin
es singularidad aislada de
es polo simple de
Problema 3
Calcular los residuos respectivos para las funciones de los ejercicios y .
Solucin
Del ejercicio .
(a) se demostr que es polo doble de . Luego, por las frmulas del clculo de residuos,
frmula (b):
(b) se demostr que es singularidad esencial para , luego, para calcular el residuo de ennecesitamos desarrollar en serie de Laurent:
con que ser el coeficiente de
196
por continuidad de la funcin racional.
Por lo tanto, es polo doble de .
Demuestre que tambin es polo doble de .
(e) son singularidades aisladas de .
es polo simple de .
es polo simple de .
(f)
no es acotada en y no existe
Luego, , que es una singularidad aislada de , es una singularidad esencial de .
Problema 2
Demostrar que tiene en un polo simple.
Solucin
es singularidad aislada de
es polo simple de
Problema 3
Calcular los residuos respectivos para las funciones de los ejercicios y .
Solucin
Del ejercicio .
(a) se demostr que es polo doble de . Luego, por las frmulas del clculo de residuos,
frmula (b):
(b) se demostr que es singularidad esencial para , luego, para calcular el residuo de ennecesitamos desarrollar en serie de Laurent:
con que ser el coeficiente de
196
12
-
por continuidad de la funcin racional.
Por lo tanto, es polo doble de .
Demuestre que tambin es polo doble de .
(e) son singularidades aisladas de .
es polo simple de .
es polo simple de .
(f)
no es acotada en y no existe
Luego, , que es una singularidad aislada de , es una singularidad esencial de .
Problema 2
Demostrar que tiene en un polo simple.
Solucin
es singularidad aislada de
es polo simple de
Problema 3
Calcular los residuos respectivos para las funciones de los ejercicios y .
Solucin
Del ejercicio .
(a) se demostr que es polo doble de . Luego, por las frmulas del clculo de residuos,
frmula (b):
(b) se demostr que es singularidad esencial para , luego, para calcular el residuo de ennecesitamos desarrollar en serie de Laurent:
con que ser el coeficiente de
196
por continuidad de la funcin racional.
Por lo tanto, es polo doble de .
Demuestre que tambin es polo doble de .
(e) son singularidades aisladas de .
es polo simple de .
es polo simple de .
(f)
no es acotada en y no existe
Luego, , que es una singularidad aislada de , es una singularidad esencial de .
Problema 2
Demostrar que tiene en un polo simple.
Solucin
es singularidad aislada de
es polo simple de
Problema 3
Calcular los residuos respectivos para las funciones de los ejercicios y .
Solucin
Del ejercicio .
(a) se demostr que es polo doble de . Luego, por las frmulas del clculo de residuos,
frmula (b):
(b) se demostr que es singularidad esencial para , luego, para calcular el residuo de ennecesitamos desarrollar en serie de Laurent:
con que ser el coeficiente de
196
Por lo tanto,
(c) aqu demostramos que es un polo de orden para .
Por lo tanto, por la frmula (b) del Clculo de Residuos:
Ahora,
Por lo tanto,
(d) y son polos dobles de . Por lo tanto,
Demuestre que
(e) Ya se demostr que y son polos simples de y que
utilizando la frmula del Clculo de Residuos.
(f) Demostramos que es singularidad esencial de y que
Luego, (frmula (d) del Clculo de Residuos).
Del ejercicio . se demostr que tiene polo simple en y que
Problema 4
Utilizar explcitamente la definicin : con curva de Jordan y para el clculo
de los residuos de los ejercicios (a) y (c).
Solucin
(a) Sabemos que es singularidad aislada de . Sea una curva de Jordan en orientada
197
13
-
Por lo tanto,
(c) aqu demostramos que es un polo de orden para .
Por lo tanto, por la frmula (b) del Clculo de Residuos:
Ahora,
Por lo tanto,
(d) y son polos dobles de . Por lo tanto,
Demuestre que
(e) Ya se demostr que y son polos simples de y que
utilizando la frmula del Clculo de Residuos.
(f) Demostramos que es singularidad esencial de y que
Luego, (frmula (d) del Clculo de Residuos).
Del ejercicio . se demostr que tiene polo simple en y que
Problema 4
Utilizar explcitamente la definicin : con curva de Jordan y para el clculo
de los residuos de los ejercicios (a) y (c).
Solucin
(a) Sabemos que es singularidad aislada de . Sea una curva de Jordan en orientada
197
Por lo tanto,
(c) aqu demostramos que es un polo de orden para .
Por lo tanto, por la frmula (b) del Clculo de Residuos:
Ahora,
Por lo tanto,
(d) y son polos dobles de . Por lo tanto,
Demuestre que
(e) Ya se demostr que y son polos simples de y que
utilizando la frmula del Clculo de Residuos.
(f) Demostramos que es singularidad esencial de y que
Luego, (frmula (d) del Clculo de Residuos).
Del ejercicio . se demostr que tiene polo simple en y que
Problema 4
Utilizar explcitamente la definicin : con curva de Jordan y para el clculo
de los residuos de los ejercicios (a) y (c).
Solucin
(a) Sabemos que es singularidad aislada de . Sea una curva de Jordan en orientada
197
Por lo tanto,
(c) aqu demostramos que es un polo de orden para .
Por lo tanto, por la frmula (b) del Clculo de Residuos:
Ahora,
Por lo tanto,
(d) y son polos dobles de . Por lo tanto,
Demuestre que
(e) Ya se demostr que y son polos simples de y que
utilizando la frmula del Clculo de Residuos.
(f) Demostramos que es singularidad esencial de y que
Luego, (frmula (d) del Clculo de Residuos).
Del ejercicio . se demostr que tiene polo simple en y que
Problema 4
Utilizar explcitamente la definicin : con curva de Jordan y para el clculo
de los residuos de los ejercicios (a) y (c).
Solucin
(a) Sabemos que es singularidad aislada de . Sea una curva de Jordan en orientada
197
14
-
Por lo tanto,
(c) aqu demostramos que es un polo de orden para .
Por lo tanto, por la frmula (b) del Clculo de Residuos:
Ahora,
Por lo tanto,
(d) y son polos dobles de . Por lo tanto,
Demuestre que
(e) Ya se demostr que y son polos simples de y que
utilizando la frmula del Clculo de Residuos.
(f) Demostramos que es singularidad esencial de y que
Luego, (frmula (d) del Clculo de Residuos).
Del ejercicio . se demostr que tiene polo simple en y que
Problema 4
Utilizar explcitamente la definicin : con curva de Jordan y para el clculo
de los residuos de los ejercicios (a) y (c).
Solucin
(a) Sabemos que es singularidad aislada de . Sea una curva de Jordan en orientada
197
Que ocurre en -i?
15
-
Por lo tanto,
(c) aqu demostramos que es un polo de orden para .
Por lo tanto, por la frmula (b) del Clculo de Residuos:
Ahora,
Por lo tanto,
(d) y son polos dobles de . Por lo tanto,
Demuestre que
(e) Ya se demostr que y son polos simples de y que
utilizando la frmula del Clculo de Residuos.
(f) Demostramos que es singularidad esencial de y que
Luego, (frmula (d) del Clculo de Residuos).
Del ejercicio . se demostr que tiene polo simple en y que
Problema 4
Utilizar explcitamente la definicin : con curva de Jordan y para el clculo
de los residuos de los ejercicios (a) y (c).
Solucin
(a) Sabemos que es singularidad aislada de . Sea una curva de Jordan en orientada
197
Por lo tanto,
(c) aqu demostramos que es un polo de orden para .
Por lo tanto, por la frmula (b) del Clculo de Residuos:
Ahora,
Por lo tanto,
(d) y son polos dobles de . Por lo tanto,
Demuestre que
(e) Ya se demostr que y son polos simples de y que
utilizando la frmula del Clculo de Residuos.
(f) Demostramos que es singularidad esencial de y que
Luego, (frmula (d) del Clculo de Residuos).
Del ejercicio . se demostr que tiene polo simple en y que
Problema 4
Utilizar explcitamente la definicin : con curva de Jordan y para el clculo
de los residuos de los ejercicios (a) y (c).
Solucin
(a) Sabemos que es singularidad aislada de . Sea una curva de Jordan en orientada
197
Por lo tanto,
(c) aqu demostramos que es un polo de orden para .
Por lo tanto, por la frmula (b) del Clculo de Residuos:
Ahora,
Por lo tanto,
(d) y son polos dobles de . Por lo tanto,
Demuestre que
(e) Ya se demostr que y son polos simples de y que
utilizando la frmula del Clculo de Residuos.
(f) Demostramos que es singularidad esencial de y que
Luego, (frmula (d) del Clculo de Residuos).
Del ejercicio . se demostr que tiene polo simple en y que
Problema 4
Utilizar explcitamente la definicin : con curva de Jordan y para el clculo
de los residuos de los ejercicios (a) y (c).
Solucin
(a) Sabemos que es singularidad aislada de . Sea una curva de Jordan en orientada
197
Ejercicios 2.
Clculos restantes p1. f y p2.
16
-
Problema 4.
positivamente y con
Por definicin :
Pero, aplicando la frmula integral de Cauchy para las derivadas: es entera, es curva de Jordan y
resultado qu ecoincide con el obtenido
en el ejercicio (a).
(c)
Aplicar de nuevo frmula de integral de Cauchy para las derivadas con (Verifique las condiciones
correspondientes).
Por lo tanto,
y
Problema 5
Sea
(a) Clasificar las singularidades de .
(b) Hallar los residuos de en sus singularidades respectivas.
(c) Calcular ,
Solucin
(a) Las singularidades aisladas de son claramente y (puntos donde no es analtica).
Ahora bien, pareciera que es doble para , pero no podemos descartar la posibilidad de que sea simple. A
tal efecto estudiamos que no es finito (por lo tanto decimos que no existe) no es
polo simple.
Estudiemos por lo tanto es polo doble de .
Ahora con , es un polo simple de .
(b)
(c) . Dom y es analtica en A que es un conjunto abierto conexo. es una curva de
Jordan en , el y , singularidades de estn en . Luego, aplicando el Teorema de los
residuos se tiene:
198
positivamente y con
Por definicin :
Pero, aplicando la frmula integral de Cauchy para las derivadas: es entera, es curva de Jordan y
resultado qu ecoincide con el obtenido
en el ejercicio (a).
(c)
Aplicar de nuevo frmula de integral de Cauchy para las derivadas con (Verifique las condiciones
correspondientes).
Por lo tanto,
y
Problema 5
Sea
(a) Clasificar las singularidades de .
(b) Hallar los residuos de en sus singularidades respectivas.
(c) Calcular ,
Solucin
(a) Las singularidades aisladas de son claramente y (puntos donde no es analtica).
Ahora bien, pareciera que es doble para , pero no podemos descartar la posibilidad de que sea simple. A
tal efecto estudiamos que no es finito (por lo tanto decimos que no existe) no es
polo simple.
Estudiemos por lo tanto es polo doble de .
Ahora con , es un polo simple de .
(b)
(c) . Dom y es analtica en A que es un conjunto abierto conexo. es una curva de
Jordan en , el y , singularidades de estn en . Luego, aplicando el Teorema de los
residuos se tiene:
198
17
-
positivamente y con
Por definicin :
Pero, aplicando la frmula integral de Cauchy para las derivadas: es entera, es curva de Jordan y
resultado qu ecoincide con el obtenido
en el ejercicio (a).
(c)
Aplicar de nuevo frmula de integral de Cauchy para las derivadas con (Verifique las condiciones
correspondientes).
Por lo tanto,
y
Problema 5
Sea
(a) Clasificar las singularidades de .
(b) Hallar los residuos de en sus singularidades respectivas.
(c) Calcular ,
Solucin
(a) Las singularidades aisladas de son claramente y (puntos donde no es analtica).
Ahora bien, pareciera que es doble para , pero no podemos descartar la posibilidad de que sea simple. A
tal efecto estudiamos que no es finito (por lo tanto decimos que no existe) no es
polo simple.
Estudiemos por lo tanto es polo doble de .
Ahora con , es un polo simple de .
(b)
(c) . Dom y es analtica en A que es un conjunto abierto conexo. es una curva de
Jordan en , el y , singularidades de estn en . Luego, aplicando el Teorema de los
residuos se tiene:
198
positivamente y con
Por definicin :
Pero, aplicando la frmula integral de Cauchy para las derivadas: es entera, es curva de Jordan y
resultado qu ecoincide con el obtenido
en el ejercicio (a).
(c)
Aplicar de nuevo frmula de integral de Cauchy para las derivadas con (Verifique las condiciones
correspondientes).
Por lo tanto,
y
Problema 5
Sea
(a) Clasificar las singularidades de .
(b) Hallar los residuos de en sus singularidades respectivas.
(c) Calcular ,
Solucin
(a) Las singularidades aisladas de son claramente y (puntos donde no es analtica).
Ahora bien, pareciera que es doble para , pero no podemos descartar la posibilidad de que sea simple. A
tal efecto estudiamos que no es finito (por lo tanto decimos que no existe) no es
polo simple.
Estudiemos por lo tanto es polo doble de .
Ahora con , es un polo simple de .
(b)
(c) . Dom y es analtica en A que es un conjunto abierto conexo. es una curva de
Jordan en , el y , singularidades de estn en . Luego, aplicando el Teorema de los
residuos se tiene:
198
con y . As la integral vale .
Figura 16.3:
Problema 6
(a) Clasificar las siguientes singularidades y hallar residuos de en ellas, para
(b) Calcular , C descrita por
Solucin
(a) Las singularidades aisladas de son los puntos en donde no es analtica, estos son los ceros de (por ser
un cociente de funciones analticas)
Ahora
pero para y .
Por lo tanto, para cada . son polos simples de y
(b) es una circunferencia de centro 0 y radio 4, recorrida en sentido antiorario. Adems entre los , los nicos
que estn en son para
As
y por Teorema de los residuos:
Problema 7
Sea
(a) Calcular las singularidades de .
199
con y . As la integral vale .
Figura 16.3:
Problema 6
(a) Clasificar las siguientes singularidades y hallar residuos de en ellas, para
(b) Calcular , C descrita por
Solucin
(a) Las singularidades aisladas de son los puntos en donde no es analtica, estos son los ceros de (por ser
un cociente de funciones analticas)
Ahora
pero para y .
Por lo tanto, para cada . son polos simples de y
(b) es una circunferencia de centro 0 y radio 4, recorrida en sentido antiorario. Adems entre los , los nicos
que estn en son para
As
y por Teorema de los residuos:
Problema 7
Sea
(a) Calcular las singularidades de .
199
18
-
positivamente y con
Por definicin :
Pero, aplicando la frmula integral de Cauchy para las derivadas: es entera, es curva de Jordan y
resultado qu ecoincide con el obtenido
en el ejercicio (a).
(c)
Aplicar de nuevo frmula de integral de Cauchy para las derivadas con (Verifique las condiciones
correspondientes).
Por lo tanto,
y
Problema 5
Sea
(a) Clasificar las singularidades de .
(b) Hallar los residuos de en sus singularidades respectivas.
(c) Calcular ,
Solucin
(a) Las singularidades aisladas de son claramente y (puntos donde no es analtica).
Ahora bien, pareciera que es doble para , pero no podemos descartar la posibilidad de que sea simple. A
tal efecto estudiamos que no es finito (por lo tanto decimos que no existe) no es
polo simple.
Estudiemos por lo tanto es polo doble de .
Ahora con , es un polo simple de .
(b)
(c) . Dom y es analtica en A que es un conjunto abierto conexo. es una curva de
Jordan en , el y , singularidades de estn en . Luego, aplicando el Teorema de los
residuos se tiene:
198
positivamente y con
Por definicin :
Pero, aplicando la frmula integral de Cauchy para las derivadas: es entera, es curva de Jordan y
resultado qu ecoincide con el obtenido
en el ejercicio (a).
(c)
Aplicar de nuevo frmula de integral de Cauchy para las derivadas con (Verifique las condiciones
correspondientes).
Por lo tanto,
y
Problema 5
Sea
(a) Clasificar las singularidades de .
(b) Hallar los residuos de en sus singularidades respectivas.
(c) Calcular ,
Solucin
(a) Las singularidades aisladas de son claramente y (puntos donde no es analtica).
Ahora bien, pareciera que es doble para , pero no podemos descartar la posibilidad de que sea simple. A
tal efecto estudiamos que no es finito (por lo tanto decimos que no existe) no es
polo simple.
Estudiemos por lo tanto es polo doble de .
Ahora con , es un polo simple de .
(b)
(c) . Dom y es analtica en A que es un conjunto abierto conexo. es una curva de
Jordan en , el y , singularidades de estn en . Luego, aplicando el Teorema de los
residuos se tiene:
198
con y . As la integral vale .
Figura 16.3:
Problema 6
(a) Clasificar las siguientes singularidades y hallar residuos de en ellas, para
(b) Calcular , C descrita por
Solucin
(a) Las singularidades aisladas de son los puntos en donde no es analtica, estos son los ceros de (por ser
un cociente de funciones analticas)
Ahora
pero para y .
Por lo tanto, para cada . son polos simples de y
(b) es una circunferencia de centro 0 y radio 4, recorrida en sentido antiorario. Adems entre los , los nicos
que estn en son para
As
y por Teorema de los residuos:
Problema 7
Sea
(a) Calcular las singularidades de .
199
con y . As la integral vale .
Figura 16.3:
Problema 6
(a) Clasificar las siguientes singularidades y hallar residuos de en ellas, para
(b) Calcular , C descrita por
Solucin
(a) Las singularidades aisladas de son los puntos en donde no es analtica, estos son los ceros de (por ser
un cociente de funciones analticas)
Ahora
pero para y .
Por lo tanto, para cada . son polos simples de y
(b) es una circunferencia de centro 0 y radio 4, recorrida en sentido antiorario. Adems entre los , los nicos
que estn en son para
As
y por Teorema de los residuos:
Problema 7
Sea
(a) Calcular las singularidades de .
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19
-
Problema 5.
con y . As la integral vale .
Figura 16.3:
Problema 6
(a) Clasificar las siguientes singularidades y hallar residuos de en ellas, para
(b) Calcular , C descrita por
Solucin
(a) Las singularidades aisladas de son los puntos en donde no es analtica, estos son los ceros de (por ser
un cociente de funciones analticas)
Ahora
pero para y .
Por lo tanto, para cada . son polos simples de y
(b) es una circunferencia de centro 0 y radio 4, recorrida en sentido antiorario. Adems entre los , los nicos
que estn en son para
As
y por Teorema de los residuos:
Problema 7
Sea
(a) Calcular las singularidades de .
199
con y . As la integral vale .
Figura 16.3:
Problema 6
(a) Clasificar las siguientes singularidades y hallar residuos de en ellas, para
(b) Calcular , C descrita por
Solucin
(a) Las singularidades aisladas de son los puntos en donde no es analtica, estos son los ceros de (por ser
un cociente de funciones analticas)
Ahora
pero para y .
Por lo tanto, para cada . son polos simples de y
(b) es una circunferencia de centro 0 y radio 4, recorrida en sentido antiorario. Adems entre los , los nicos
que estn en son para
As
y por Teorema de los residuos:
Problema 7
Sea
(a) Calcular las singularidades de .
199
con y . As la integral vale .
Figura 16.3:
Problema 6
(a) Clasificar las siguientes singularidades y hallar residuos de en ellas, para
(b) Calcular , C descrita por
Solucin
(a) Las singularidades aisladas de son los puntos en donde no es analtica, estos son los ceros de (por ser
un cociente de funciones analticas)
Ahora
pero para y .
Por lo tanto, para cada . son polos simples de y
(b) es una circunferencia de centro 0 y radio 4, recorrida en sentido antiorario. Adems entre los , los nicos
que estn en son para
As
y por Teorema de los residuos:
Problema 7
Sea
(a) Calcular las singularidades de .
199
con y . As la integral vale .
Figura 16.3:
Problema 6
(a) Clasificar las siguientes singularidades y hallar residuos de en ellas, para
(b) Calcular , C descrita por
Solucin
(a) Las singularidades aisladas de son los puntos en donde no es analtica, estos son los ceros de (por ser
un cociente de funciones analticas)
Ahora
pero para y .
Por lo tanto, para cada . son polos simples de y
(b) es una circunferencia de centro 0 y radio 4, recorrida en sentido antiorario. Adems entre los , los nicos
que estn en son para
As
y por Teorema de los residuos:
Problema 7
Sea
(a) Calcular las singularidades de .
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-
con y . As la integral vale .
Figura 16.3:
Problema 6
(a) Clasificar las siguientes singularidades y hallar residuos de en ellas, para
(b) Calcular , C descrita por
Solucin
(a) Las singularidades aisladas de son los puntos en donde no es analtica, estos son los ceros de (por ser
un cociente de funciones analticas)
Ahora
pero para y .
Por lo tanto, para cada . son polos simples de y
(b) es una circunferencia de centro 0 y radio 4, recorrida en sentido antiorario. Adems entre los , los nicos
que estn en son para
As
y por Teorema de los residuos:
Problema 7
Sea
(a) Calcular las singularidades de .
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