PRAKATA
Alhamdulillahirabbilβaalamin, segala puja dan puji syukur penuli spanjatkan
kepada Allah Swt. Tanpa karunia-Nya, mustahillah buku ini dapat terselesaikan secara
cepat dan tepat waktu mengingat tugas dan kewajiban lain yang ada.
Buku ini ditulis dan disusun dengan urutan penyajian sedemikian rupa sehingga
pembaca akan merasa senang untuk mendalaminya. Dalam pembelajarannya, buku ini
menuntut pembaca untuk aktif dan bertindak sebagai subjek pembelajaran. Maka
dengan adanya buku ini diharapkan dapat memberikan kontribusi yang positif terhadap
peningkatan kualitas pelajaran matematika di sekolah.
Kami menghaturkan terima kasih kepada Bapak Dede Trie Kurniawan S.Si,. M.Pd
selaku dosen program komputer I yang telah memberikan bimbingan sehingga buku ini
dapat selesai, para penulis yang telah dapat menyelesaikan penulisan buku ini tepat
pada waktunya dan kepada khayalak pembaca. Secara khusus, penulis berharap semoga
buku ini dapat berguna dan bermanfaat bagisiswa. Penulis menyadari bahwa buku ini
belum sempurna baik dari segi teknik penyajian maupun dari segi materi. Oleh karena
itu, kritik dan saran dari para pembaca sangat kami harapkan.
Cirebon, Oktober 2014
Penulis
i
DAFTAR ISI
PRAKATA .......................................................................................................................... i
DAFTAR ISI ...................................................................................................................... ii
KATA-KATA MOTIVASI .................................................................................................... iii
TUJUAN PEMBELAJARAN ................................................................................................ iv
PEMBAHASAN MATERI
A. PENGERTIAN SUKU BANYAK ................................................................................ 1
B. NILAI SUKU BANYAK DAN OPERASI ANTAR-SUKUBANYAK.................................... 1
C. PEMBAGIAN SUKUBANYAK .................................................................................. 2
D. TEOREMA SISA..................................................................................................... 4
E. TEOREMA FAKTOR ............................................................................................... 5
F. AKAR-AKAR RASIONAL DARI PERSAMAAN SUKUBANYAK ..................................... 6
G. PENERAPAN SUKUBANYAK DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI ............................. 7
CONTOH SOAL................................................................................................................. 8
APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI .................................................................. 10
LATIHAN SOAL ............................................................................................................... 11
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................... 12
BIODATA KEOMPOK ..................................................................................................... 13
ii
Menjadi sukses itu bukanlah suatu kewajiban, yang menjadi kewajiban adalah perjuangan kita untuk menjadi sukses.
Bila kegagalan itu bagai hujan, dan
keberhasilan bagaikan matahari, maka
butuh keduanya untuk melihat pelangi.
iii
TUJUAN PEMBELAJARAN
1. Menentukan nilai sukubanyak dengan metode subtitusi dan metode sintetik (metode
horner).
2. Menghitung hasil bagi dan sisa pembagian pada suku banyak dengan menggunakan
algoritma pembagian sukubanyak.
3. Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah.
iv
A. PENGERTIAN SUKUBANYAK
Suku bnyak atau polynomial dalam x berderajat n mempunyai bentuk umum;
ππππ π₯π₯ππ + ππππβ1 π₯π₯ππβ1 + ππππβ2 π₯π₯ππβ2 + . . . + ππ2 π₯π₯2 + ππ1 x + ππ0
dengan :
β’ ππππ , ππππβ1 , ππππβ2 , . ., ππ2, ππ1, ππ0 adalah konstanta real. β’ ππππ , koefisien π₯π₯ππ , ππππβ1 koefisien π₯π₯ππβ1, ππππβ2 koefisien π₯π₯ππβ2 , dan seterusnya. β’ ππ0 disebut suku tetap. β’ ππ bilangan cacah yang menyatakan derajatsukubanyak.
B. NILAI SUKU BANYAK DAN OPERASI ANTARA-SUKUBANYAK
1. Nilai SukubaNyak
Sukubanyak dalam x berderajat n dapat diuliskan dalam fungsi sebagai berikut : f(x) = ππππ π₯π₯ππ + ππππβ1 π₯π₯ππβ1 + ππππβ2 π₯π₯ππβ2 + . . . + ππ2 π₯π₯2 + ππ1 x + ππ0
Nilai dari sukubanyak f(x) untuk x = k adalah f(k).
Nilai dari f(k) dapat ditentukan dengan dua strategi, yaitu:
a. strategi substitusi b. strategi skema (bagan)
a. Strategi substitusi Nilai sukubanyak f(x) = ππππ π₯π₯ππ + ππππβ1 π₯π₯ππβ1 + ππππβ2 π₯π₯ππβ2 + . . . + ππ2 π₯π₯2 + ππ1 x + ππ0 untuk x = k, dengan k β¬ R dapat ditentukan dengan menggunakan cara substitusi sebagai berikut:
f(k) = ππππ ππππ + ππππβ1 ππππβ1 + ππππβ2 ππππβ2 + . . . + ππ2 ππ2 + ππ1 k + ππ0 b. Strategi skema (Bagan)
Misalkan suatu suku banyak f(x) = ππ3 π₯π₯3 + ππ2 π₯π₯2 + ππ1 π₯π₯ + ππ0. Nilai sukubanyak f(k) dapat ditentukan dengan menggunakan operasi perkalian dan operasi penjumlahan yang di sajikan dalam model skema (bagan).
1
Pada baris atas skema dituilis nilai x = k, kemudian di ikuti oleh koefisien-koefisien sukubanyak yang disusun berurutan dari koefisien pangkat tertinggi sampai dengan koefisien pangkat terendah. x = k ππ3 ππ2 ππ1 ππ0
ππ3 k ππ3 ππ3 + ππ2 ππ2 ππ3 ππ3 + ππ2 ππ2+ ππ1 k
+
Tanda βmenyatakan βkalikan dengan kβ. Jadi, nilai sukubanyak untuk x = k adalah f(k) = ππ3 ππ3 + ππ2 ππ2 + ππ1 ππ + ππ0. Cara yang digunakan untuk menghitung nilai sukubanyak tersebut di namakan cara skema (bagan).
2. OperaSi aNtar-SukubaNyak
a. Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian suku banyak
b. Kesamaan Sukubanyak
C. PEMBAGIAN SUKUBANYAK
1. peNgertiaN pembagi, HaSil bagi, daN SiSa pembagiaN
a. Pembagian Sukubanyak dengan Strategi Pembagian Bersusun Misalkan sukubanyak f(x) = ππ2 ππ2 + ππ1 ππ + ππ0 dibagi dengan (x - k) memberikan
hasil bagi untuk menentukan hasil bagi H(x) dan sisa S, sehingga diperoleh hubungan: f(x) = (x - k) H(x) + S
Misalkan terdapat sukubanyak f(k) = + + + . . . +
+ k + dan sukubanyak f(k) = + + + . . . +
+ k + . Jika f(x) β‘ g(x) maka haruslah β‘ , Cara pengerjaan
demikian dinamakan sebagai koefisien tak tentu.
Jika f(x) dan g(x) berturut-turut adalah sukubanyak berderajat m dan n maka
1. f(x) Β± g(x) adalah sukubanyak berderajat maksimum m atau n. 2. f(x) Γ g(x) adalah sukubanyak berderajat ( m + n )
Teorema
Teorema
+ + + = f(K)
+ k +
+ k +
k
x = k
2
untuk menentukan hasil bagi H(x) dan sisia S digunakan sukubanyak dengan cara pembagian bersusun berikut ini:
Jadi hasil bagi dari H(x) = ππ2 π₯π₯ + ππ2 ππ + ππ1 dan sisa S = ππ0 + ππ1k + ππ2 ππ2 .
b. Pembagian Sukbanyak dengan Strategi Pembagian Sinetik (Strategi Horner)
β’ Pembagian Sukubanyak dengan (x β k) Misalkan sukubanyak f(x) = ππ2 ππ2 + ππ1 ππ + ππ0 dibai dengan (x β k) memberikan
hasil bagi H(x)dan sisa S, sehingga diperoleh hubungan f(x) = (x β k) H(x) + S
untuk menentukan hasil bagi H(x) dan sisia S digunakan pembagian sukubanyak denagn cara skematik yang dinama kan strategi pembgian sintetik (Strategi Horner) berikut ini.
Jadi, hasil bagi dari H(x) = ππ2 x + ππ2 k + ππ1 dan sisa S = ππ2 ππ2 + ππ1 ππ + ππ0
Kesimpulan
1. Jika sukubanyak f(x) di bagi dengan (x β k) maka sisanya S = f(k). 2. Jika sukubanyak f(x) dibagi dengan (x β k) memberikan sisa S = 0 maka f(x) habis
dibagi dengan (x β k) atau dikatakan (x β k) merupakan factor dari f(x).
β’ Pembagian Sukubanyak dengan (ax + b)
Misalkan k = - ππππ
adalah bilangan rasional, sehingga bentuk (h β k) menjadi (x + ππππ
).
+ + =
k
( k)x - ( k)k
-
x β k + +
x + ( + k) = H(x)
( k)x +
+ k + = S
3
Jika sukubanyak f(x) dibagi dengan (x + ππππ
) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S
maka terdapat hubungan:
f(x) = οΏ½π₯π₯ + πππποΏ½ H(x) + S = (ax + b) οΏ½ π»π» (π₯π₯)
ππ οΏ½ + S
Dengan demikian, suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) memberikan hasil bagi π»π» (π₯π₯)ππ
dan sisa S. koefisien-koefisien H(x) dan S ditentukan dengan menggunakan strategi
pembagian sintentik (strategi Horner) dengan mengganti k = - ππππ
.
c. Pembagian Sukubanyak dengan ax + bx + c β’ Bentuk ax + bx + c yang Didak Dapat Difaktorkan
Pembagian sukubanyak f(x) oleh ax + bx + c, dengan a β 0, a, b, c β¬ R, yang tidak dapat difaktorkan dapat ditentukan dengan menggunakan strategi pembagian bersusun atau kesamaan sukubanyak.
β’ Bentuk ax2 + by +c yangDapat Difaktorkan Pembagian sukubanyak f(x) oleh ax2 + bx + c, dengan a β 0, a, b, c β¬ R, yang dapat difaktorkan dapat ditentukan dengan menggunakan strategi pembagian bersusun , sedangkan untuk menentukan hasil bagi dapat menggunakan kesamaan sukubnyak.
D. TEOREMA SISA (DALIL SISA)
Misalkan sukubanyak f(x) dibagi dengan P(x)memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S(x), maka diperoleh hubungan f(x) = P(x) H(x) + S(x)
Jika f(x) sukubanyak berderajat n dan P(x) adalahpembagi berderajat m, dengan m β€ n maka: 1. H(x) adalah hasil bagi berderajat (m β n). 2. S(x) adalah sisa pembagian berderajat maksimum (m β 1).
a. Pembagian dengan (x β k )
b. Pembagian dengan (ax + b)
Jika sukubanyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x β k) maka sisanya S= f(k). sisa f(k) adalah nilai sukubanyak untuk x = k yang dapat di tentukan dengan strategi subsitusi atau strategi skema (bagan)
Teorema Sisa (Dalil Sisa) 1:
Jika sukubanyak berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka sisanya S = f (- ).
Sisa f(- ) adalah nilai sukubanyak untuk x = - yang dapat ditentukan dengan
stategi substitusi ataustrategi skema (bagan).
Teorema Sisa (Dalil Sisa) 2:
4
c. Pembagi Berderajat Dua atau Lebih yng Dapat Difaktorkan Menjadi faktor-faktor Linear
Penerapan teorema sisa atau dalil sisa dapat dikembangkan untuk menentukan sisa pada pembagian sukubanyak dengan sukubanyak berderajat dua atau lebih yang dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor linear.
E. TEOREMA FAKTOR
Misalkan f(x) adalah sebuah sukubanyak. (x β k) merupakan factor dari f(x) jika dan hanya jika f(x) = 0.
Teorema faktor dapat dibaca sebagai berikut:
1. Jika (f β x) merupakan faktor dari f(x) maka f(k) = 0
2. Jika f(k) = 0 maka (x β k) merupakan faktor dari f(x).
a. Bentuk yag Habis Bibagi
b. Pembagian Istimewa
Pada pembagian istimewa diperoleh sisa S = 0 dan hasil bagi merupakan faktor dari f(x). pembagian istimewa yang dimaksud adalah:
1. ππππβ ππππ
ππβππ = an-1 + an-2b +an-3b2 + . . . +abn-2 +bn-1
2. ππ2ππβ ππ2ππ
ππβππ = a2n-1 β a2n-2 + a2n-3b2 - . . . β b2n-1
3. ππ2ππ+1β ππ2ππ+1
ππβππ = a2n+1 β b2n-1 + a2n-2b2 β . . . β b2n
c. Menentukan Suku ke-k dari Hasil Istimewa 1. ππππβ ππππ
ππβππ = an-1 + an-2 + . . . + abn-2 + bn-1
Suku ke - k: uk = an-k + bk-1
Misalkan (x β k) adalah suku banyak. F(x) habis bibagi dengan (x β k) jika dan hanya jika f(k) = 0.
Teorema:
5
2. ππ2ππβ ππ2ππ
ππβππ = a2n-1 β a2n-b2 +a2n-3b2 β . . . β b2n-1
β a2n-k bk-1, k genap Suku ke - k: uk =
a2n-kbk-1, k ganjil
3. ππ2ππβ1ππ2ππ+1
ππ+ππ = a2n β a2n-1b + a2n-2b2 β . . . + b2n
β a2n-k+1 bk-1, k genap Suku ke - k: uk = a2n-k+1 bk-1, k ganjil
F. AKAR-AKAR RASIONAL DARI PERSAMAAN SUKUBANYAK
Catatan :
1) Jika sukubanyak f(x) berderajat n maka persamaan f(x) = 0 maksimun memiliki n buah akar real.
2) Tafsiran geometri dari k menyatakan koordinat titik potongan grafik fungsi y = f(x) dengan sumbu X.
Sifat-Sifat akar SukubaNyak
1) Persamaan Kuadrat (Pangkat Dua)
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a β 0. a,b, c β¬ R maka:
a. x1 + x2 = βππππ
b. x1x2 = ππππ
1. Misalkan f(x) suku banyak.(x β k ) adalah faktor dari f(x)jika dan hanya jika k adalah akar dari persamaan f(x) = 0.
2. Misalkan f(x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0, dengan a1 β¬ B. jika p β¬ B (p β 0) adalah nilai nol f(x) maka p adalah pembagi a0.
3. f(x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0, dengan a1 β¬ B, memiliki akar p/q, dengan p, q β¬ B, dan β 0 maka p adalah pembagi a0 dan q adalah pembagi an(p/q adalah pecaahan murni).
Teorema
6
2) Persamaan Kubik (Pangkat Tiga) Jika x1, x2 dan x3 adalah akar-akar persamaan kubik ax3 + bx2 + cx + d = 0 maka:
a. x1 + x2 + x3 = βππππ
b. x1x2 + x2x3 + x1x3 = ππππ
c. x1x2x3 = βππππ
3) Perssamaan Pangkat Empat Jika x1, x2, x3 dan x4 adalah akar-akar persamaan ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 maka:
a. x1 + x2 + x3 + x4 = β ππππ
b. x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = ππππ
c. x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = ππππ
d. x1x2x3x4 = ππππ
G. PENERAPAN SUKUBANYAK Untuk menyelesaikan soal-soal dalam bentuk cerita, pertama-tama kita harus
menerjemahkan soal-soal tersebut ke dalam model matematika yang berupa persamaan atau pertidaksamaan. Selanjutnya kita menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan tersebut dengan hasilnya merupakan solusi dari masalah itu.
7
1. Tentukan nilai sukubanyak dari 3π₯π₯5 + 2π₯π₯2 β 6π₯π₯ + 4 untukπ₯π₯ = 2!
Jawab :
ππ(π₯π₯) = 3π₯π₯5 + 2π₯π₯2 β 6π₯π₯ + 4
ππ(2) = 3. (2)5 + 2. (2)2 β 6. (2) + 4
ππ(2) = 96
2. Dengan menggunakan metode sintetik atau metode horner tentukan nilai suku banyak
dari π₯π₯6 β π₯π₯3 + 2π₯π₯2 β π₯π₯ + 20 untuk π₯π₯ = β2!
Jawab:
Jadi, nilai dari π₯π₯6 β π₯π₯3 + 2π₯π₯2 β π₯π₯ + 20 untuk π₯π₯ = β2 adalah 102.
3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian π₯π₯3 + 3π₯π₯2 + 4π₯π₯ β 5 oleh π₯π₯ + 2!
Jawab:
Jadi, hasil baginya adalah π₯π₯2 + π₯π₯ + 2 dan sisa pembagiannya adalah β9
CONTOH SOAL
1 0 0 -1 2 -1 20
-2 4 -8 18 -40 82
-2
1 -2 4 -9 20 -41 102
8
4. Diketahui suku banyak 2π₯π₯3 β π₯π₯2 + 3π₯π₯ β 9 dibagi dengan 2π₯π₯ + 1. Tentukan hasil bagi
dan sisa pembagiannya!
Jawab:
Jadi, hasil baginya 2π₯π₯2β2π₯π₯+42
ππππππππππβ π₯π₯2 β π₯π₯ + 2.
5. Sukubanyak π₯π₯3 + 3π₯π₯ + 7 dibagi oleh π₯π₯2 + π₯π₯ β 2 tentukan hasil bagi dan sisanya!
Jawab:
π₯π₯2 + π₯π₯ β 2 = (π₯π₯ + 2)(π₯π₯ β 1)
Kemudian,
Jadi, hasil baginya (π₯π₯ β 1) dan sisa pembagiannya 6(π₯π₯ + 2) + (β7) = 6π₯π₯ + 12 β 7 =
6π₯π₯ + 5.
2 -1 3 -9
-1 1 -2
2 -2 4 -11
1 0 3 7
-2 4 -14
1 -2 7 -7
1 -2 7
1 -1
1 -1 6
9
1. PENERBANGAN PESAWAT
Semakin maraknya jatuhnya pesawat di Indonesia ini sebenarnya disebabkan oleh beberapa faktor yang mungkin bisa mempengaruhi terbangnya pesawat dan karena beberapa faktor itulah pesawat dapat jatuh. Beberapa faktor tersebut seperti kesalahan pilot, mesin pesawat, body yang tidak layak, cuaca, dan lain-lain. Dengan masalah seperti itu maka diperlukan inisiatif yaitu untuk menerapkan sukubanyak sebagai faktor-faktor tersebut jika faktor itu kita berinama suku x1, x2, x3, β¦.,xn maka terdapat banyak suku dalam satu kesatuan. Oleh sebab itu maka penerapan sukubanyak sangat diperlukan dalam penerbangan pesawat terbang. \
2. JARAK SEPEDA MOTOR
Saat kita berkendara dengan sepeda motor maka kita akan mengetahui kecepatan sepeda
motor kita melalui jarum pada spedo. Tapi pernahkah kita berfikir jika kita memisalkan
hubungan antara jarak yang ditempuh itu adalah x(t). Dan kita juga memisalkan waktu
untuk menempuh itu adalah (t). Maka akan terjadi persamaan gerak sebuah sepeda motor
itu dapat dinyatakan x(t) = 48t2 β 3t. Dalam hal ini, x(t) dalam meter dan t dalam menit.
Sehingga dengan persamaan tersebut kita dapat menerapkan sukubanyak dalam
menghitung misalnya jarak sepeda motor setelah 3 menit, 6 menit, maupun 1 jam ( 60
menit ).
10
1. Diberikan sukubanyak ππ(π₯π₯) = 2π₯π₯3 β 5π₯π₯2 + 4π₯π₯ + 3, carilah hasil bagi dan sisanya
jika ππ(π₯π₯) dibagi dengan (π₯π₯ β 2)!
2. Diberikan sukubanyak ππ(π₯π₯) = 2π₯π₯3 β π₯π₯2 β 5π₯π₯ + 6, tentukan hasil bagi dan sisa pembagian jika
ππ(π₯π₯) jika (π₯π₯ + 3)!
3. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian π₯π₯3 β 4π₯π₯2 + 3π₯π₯ β 5 dengan π₯π₯2 + π₯π₯ + 2!
4. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian 2π₯π₯4 β 3π₯π₯3 + 5π₯π₯ β 2 dengan π₯π₯2 β π₯π₯ β 2!
5. Carilah sisa pembagi sukubanyak 8π₯π₯3 β 2π₯π₯2 + 5 dengan (π₯π₯ + 2)!
6. Carilah sisa pembagian sukubanyak ππ(π₯π₯) = 27π₯π₯3 β 6π₯π₯ β 8 dengan (3π₯π₯ + 1)!
7. Tentukan sisa pembagian sukubanyak π₯π₯4 + π₯π₯2 β 1 dengan π₯π₯2 β π₯π₯!
8. Carilah hasil bagi dari π₯π₯3βπ¦π¦3
π₯π₯βπ¦π¦ !
9. Carilah akar-akar persamaan π₯π₯4 + 4π₯π₯3 + 2π₯π₯2 β 4π₯π₯ β 3 = 0!
10. Jika ππ(π₯π₯) dibagi dengan π₯π₯ + 1 dan π₯π₯ β 4 maka sisanya berturut-turut adalah β3 dan 17.
Tentukan sisanya jika ππ(π₯π₯) dibagi dengan π₯π₯2 β 3π₯π₯ β 4!
11
DAFTAR PUSTAKA
Tampomas, Husein 2008. Seribu Pena Matematika, Bogor. PT Erlangga
12
Motto : kuantitas itu nomer 2 yang terpenting adalah kualitas
Hoby : sepakbola, music, ceng-cengan, nonton anime
Deskripsi kerja : Edit desain, bulletin, printing.
Nama : Gilang Fikasa Adhisty Adi Negoro
NPM : 113070036
T.T.L : Cirebon, 06 july 1993
No. Hp : 087829862629
Alamat : desa karang malang kec. Kr.sembung
β¦β¦β¦β¦β¦β¦. kab. Cirebon rt/rw 003/007
13
Motto : Fokus untuk satu tujuan.
Hoby : Membaca.
Deskripsi Kerja : pengetikan materi, mengumpulkan materi ajar.
Nama : Yulia Rahmawati
NPM : 113070189
T.T.L : Cirebon
No Hp : 082317397602
Alamat : Desa Karang Tengah, kec.Karang sembung
14
Motto : Enjoy this life! My life my attitude!
Hoby : Game online, Membaca.
Deskripsi Kerja : Pengetikan materi, edit desain, printing.
Nama : Yudrick Maulana Fiqri
NPM : 113070181
T.T.L : Cirebon, 23 Januari 1996
No. Hp : 085724534269
Alamat : Losari, Cirebon
16