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Introducción a la teoría de la computabilidad
Lógica y Computabilidad 2009/10Joaquín Borrego Díaz
Joaquín Borrego DíazCoordinador del programa de doctoradoDepartamento de Ciencias de la Computación e IAUniversidad de Sevilla
sábado 21 de noviembre de 2009
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Contenido
• Un problema
• Modelos de Computación
• Tesis de Church-Turing
• ¿Cómo resolvemos el problema?
• Guía de viaje por la T. Computabilidad
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Un problema en el trabajo
• Sr. Pérez, deseo que me programe un verificador automático de programas
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Escenario 1: El sr. Pérez no ha estudiado computabilidad
• ...(Dos meses de sufrimiento después)
• Jefe, a mí no me sale
• Bueno, Sr. Pérez, no se preocupe
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Escenario 2: El sr. Pérez ha estudiado computabilidad
• (Unas horas después):
• Jefe, he estudiado el problema y NO se puede resolver con un programa de ningún tipo
• Excelente análisis, Sr. Pérez
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Cuestiones
• ¿Existen problemas que no se pueden resolver mediante programas?
• ¿Qué tipo de análisis ha realizado en Sr. Pérez?
• ¿Cómo puede afirmar que no se puede resolver en ningún tipo de lenguaje de programación, modelo de computación etc.?
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Primera cuestión• Existen problemas que NO
se pueden resolver algorítmicamente
• Demostrado por A. Turing en 1936
• Matemático
• Rompió el código enigma
• Máquinas de Turing
• Test de Turing
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La máquina enigma
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Apuntes de Turing
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La máquina diseñada por Turing (Bletchley Park)
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Modelo formal de computación: la máquina de Turing
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Segunda Cuestión
• El análisis que ha realizado el Sr. Pérez está basado en el argumento diagonal
• Diseñado por Georg Cantor en 1834
• para demostrar que el cardinal de los reales es mayor que el de los naturales
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Tercera Cuestión• Tesis de Church-Turing
(versión informal):
• Cualesquiera dos modelos de computación resuelven los mismos problemas
• Se puede considerar un “axioma” en Informática
• Es cierto en todos los modelos creados
• Otra versión:
• Todo algoritmo o procedimiento efectivo es Turing-computable
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¿Cómo demostrar que un problema es indecidible?
• Demostramos, en primer lugar, que el problema no se puede resolver en un modelo de computación concreto
• Entonces, por la tesis de Church-Turing, no es resoluble en ningún modelo
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Guía de viaje por la computabilidad
El lenguaje GOTO
Definiciones por recursión
Codificación de programas
Programa Universal
El problema de la parada
El Teorema de Rice
Matemáticas
Computabilidad
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El lenguaje elegido: GOTO
Lenguaje de programación muy simple
Usa variables como registros
Es computacionalmente completo
Modelo de computación basado en lenguaje
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Sintaxis de GOTO
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Programa Universal en GOTO
• Entrada: datos +Programa
• Salida: Resultado de aplicar el programa al dato
• ¡ES UN ORDENADOR!
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Definiciones por recursión
• Necesitamos utilizar mecanismos de definición por recursión
• Potente herramienta de programación
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El problema de la parada• Entrada: Un programa y
un dato de entrada
• Salida:
• 1 (sí) si el programa para sobre ese dato
• 0 (no) si no para
• Se prueba usando el método diagonal (usando el programa universal)
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Teorema de Rice
• Método para detectar la no computabilidad de ciertos problemas. Por ejemplo lo aplicaremos para demostrar la indecidibilidad de:
• Equivalencia entre programas
• Reconocer los programas que siempre paran
• Clases de complejidad algorítmica
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Aplicaciones (I): imposibilidad de la corrección parcial
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Aplicaciones (II):imposibilidad de la verificación
automatizada de la equivalencia
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