Presentatie Machten,Wortels
& Ontbinden Deel 1
Gemaakt door J. Aarts
Theorie
• Rekenen met machten.
• Wortels herleiden.
• Ontbinden in factoren.
• Kwadratische vergelijkingen
• Einde presentatie
Als je mij ziet kun je op mij klikken om terug te keren
naar de inhoudsopgave!
InhoudsopgaveTIP: Pak
ook je boek er
even bij!!
Theorie
Rekenen met machten
Gelijksoortige termen met en zonder machten:
1. Optellen en aftrekken is toegestaan.
2. Vermenigvuldigen en delen is toegestaan.
Niet-gelijksoortige termen met en zonder machten:
1. Optellen en aftrekken is NIET toegestaan.
2. Vermenigvuldigen en delen is toegestaan.
Gelijksoortige termen met en zonder machten:
2a en -a
2a3 en -a3
Bijvoorbeeld:Optellen mag:
2a + -a =2a + -1a = 1a = a
vermenigvuldigen mag:
2a · -a =2 · -1 · a · a = -2 a2
Optellen mag:
2a3 + -a3 =2a3 + -1a3 = a3
vermenigvuldigen mag:
2a3 · -a3 =2 · -1 · a3 · a3 =2 · -1 · a·a·a · a·a·a = -2 a6
Niet gelijksoortige termen met en zonder machten:
2a en -b
2a3 en -b3
Bijvoorbeeld:Optellen mag niet:
2a + -b =2a – b = Kan niet
vermenigvuldigen mag:
2a · -b =2 · -1 · a · b = -2ab
Optellen mag niet:
2a3 + -b3 =2a3 – b3 = Kan niet
vermenigvuldigen mag:
2a3 · -b3 =2 · -1 · a3 · b3 =2 · -1 · a·a·a · b·b·b = -2 a3b3
Niet gelijksoortige termen met en zonder machten:
2a3 en -a5
Maar ook de onderstaande Termen zijn Niet gelijksoortig:
Optellen mag niet:
2a3 + -a5 =2a3 – a5 = Kan niet
vermenigvuldigen mag:
2a3 · -a5 =2 · -1 · a3 · a5 =2 · -1 · a·a·a · a·a·a·a·a = -2a8
Machten delenHet principe van wegstrepen
Bijvoorbeeld:
aaaaaaa
aaaaaaaaaaaa
a
a
7
12
aaaaaaa
aaaaaaaaaaaa
1
aaaaa
5712 aa
: a
: a
Machten delenHet principe van wegstrepen
Bijvoorbeeld:
aa
aaaaaaaa
a
a
3
36
3
362
8
aa
aaaaaaaa
3
36
1
12 aaaaaa
628 1212 aa
: a
: a
: 3
: 3
Een macht tot de macht…..
(-5x2)3
Bijvoorbeeld:
(-5x2)3 =
(-5x2) · (-5x2) · (-5x2) =-5 · -5 · -5 · x2 · x2 · x2 = -125 x6
(x2)3
(x2)3 =
x2 · x2 · x2 =
x·x · x·x · x·x = x6
Rekenen met machtenSamengevat!
Bijvoorbeeld:qpqp baba
Niet-gelijksoortig! Kan! niet
qpqp aaa qp
q
p
aa
a
qpqp aa )(
qpp baab )(
Rekenen met machtenSamengevat!
Bijvoorbeeld:qpqp baba
Niet-gelijksoortig! Kan! niet
qpqp aaa qp
q
p
aa
a
qpqp aa )(
qpp baab )(
Theorie
Wortels herleiden
3√6 + 2√6 = 5√6
3√6 + 2√7 = Kan niet.
Wortelgetallen optellen
en vermenigvuldigenGelijk soortige wortelgetallen
mag je samennemen.
Niet-gelijk soortige wortelgetallen mag
je niet samennemen.
Vermenigvuldigen mag wel!
√6 · √6 =
√(6 · 6) = √36 = 6
Wortelgetallen
vermenigvuldigen
√7 · √7 =
√(7 · 7) = √49 = 7
√8 · √11 =
√(8 · 11) = √88
√5 · √125 =
√(5 · 125) = √625 = 25
Als je 2 niet-gelijksoortige wortels vermenigvuldigd,
mag je ze onder één wortelteken schrijven.
√117 =
√ (9 · 13) =
√ 9 · √13 = 3√13
√80 =
√ (16 · 5) =
√ 16 · √5 = 4√5
Een wortelgetal uitschrijven als produkt en dan in twee
aparte wortelgetallen uitsplitsen mag ook!!
Wortels herleiden
√99 =
√ (9 · 11) =
√ 9 · √11 = 3√11
√525 =
√ (25 · 21) =
√ 25 · √21 = 5√21
(3√6)2 =
(3√6) · (3√6) =
3 · 3 · √6 · √6 =
9 · √36 =
9 · 6 = 54
Reken-
voorbeelden
AB2 + BC2 = AC2
(3√6)2 + 92 = AC2
54 + 81 = AC2
AC2 = 135
AC = √ 135 11,62A
C
B3√6
9?
Wortelgetallen en
Pythagoras.
Rekenen met wortelgetallenSamengevat!
Bijvoorbeeld:
onmogelijkba
eded pppp 2
Theorie
Ontbinden in factoren
Ontbinden in factoren ga je
straks gebruiken om
kwadratische vergelijkingen
op te lossen.
Eérst leer je HOEHOE ontbinden
in zijn werk gaat.
• Herken alleréérst de twee verschillende vormen bij kwadratische uitdrukkingen.
• Vorm 1: 2x2 + 4x
• Vorm 2: x2 + 5x + 6
De ontbinding is:…. · (…x + …)
Een factor vermenigvuldigd
met een “groepje”
De ontbinding is:(x + …) · (x + …)
Twee “groepjes” vermenigvuldigen
Het “losse” getal
maakt hier het
verschil.
Ontbindingen bij de éérste vorm. De ontbinding is:…. · (…x + …)
2x2 + 4x =
2x(x + 2)
… ·(… + …) =: 2x : 2x
2x x 2
Zoek een gemeenschappelijke
deelfactor
Ontbindingen bij de éérste vorm. De ontbinding is:…. · (…x + …)
3x2 – 12x =
3x(x – 4)
… ·(… – …) =: 3x : 3x
3x x 4
Zoek een gemeenschappelijke
deelfactor
Ontbindingen bij de éérste vorm. De ontbinding is:…. · (…x + …)
-x2 – 9x =
-x(x + 9)
… ·(… + …) =: -x : -x
-x x 9
Zoek een gemeenschappelijke
deelfactor
Ontbindingen bij de twééde vorm.
De ontbinding is:(x + …) · (…x + …)
x2 + 9x + 20 =
(x + 4) ·(x + 5)
(x + …)·(x + …) =
Zoek door te proberen twee
getallen:
? ?
? · ? = 20
? + ? = 94 5
4 5
Ontbindingen bij de twééde vorm.
De ontbinding is:(x + …) · (…x + …)
x2 – 5x + 6 =
(x – 2) ·(x – 3)
(x + …)·(x + …) =
Zoek door te proberen twee
getallen:
? ?
? · ? = 6
? + ? = -5-2 -3
-2 -3
Ontbindingen bij de twééde vorm.
De ontbinding is:(x + …) · (…x + …)
x2 – x – 2 =
(x + 1) ·(x – 2)
(x + …)·(x + …) =
Zoek door te proberen twee
getallen:
? ?
? · ? = -2
? + ? = -11 -2
1 -2
1
Ontbindingen bij de twééde vorm.
De ontbinding is:(x + …) · (…x + …)
x2 – 14x + 49 =
(x – 7) ·(x – 7)
(x + …)·(x + …) =
Zoek door te proberen twee
getallen:
? ?
? · ? = 49
? + ? = -14-7 -7
-7 -7
Theorie
Kwadratische
vergelijkingen
Het oplossen van een
vergelijking is het zoeken
naar getallen.
Een kwadratische
vergelijking kan 2
oplossingen voor de letter
opleveren.
Los de kwadratische vergelijking van de twééde vorm op.
x2 ─ 7x + 6 = 0
(x + …)·(x + …) = 0
Ontbindt het linkerlid van de
vergelijking.
? ?
? · ? = 6-1 -6(x ─ 1) ·(x ─ 6) = 0
? + ? = -7-6-1
Los de kwadratische vergelijking van de twééde vorm op.
x2 ─ 7x + 6 = 0(x ─ 1) ·(x ─ 6) = 0
De kwadratische vergelijking is nu
ontbonden in factoren
Het is nu heel makkelijk om de twee oplossingen
van de vergelijking te “raden”.x = 1 x = 6of
Controleer de twee oplossingen middels invullen!!!
Los de kwadratische vergelijking van de twééde vorm op.
x2 ─ 10x + 24 = 0
(x + …)·(x + …) = 0
Ontbindt het linkerlid van de
vergelijking.
? ?
? · ? = 24-4 -6(x ─ 4) ·(x ─ 6) = 0
? + ? = -10-6-4
Los de kwadratische vergelijking van de twééde vorm op.
x2 ─ 10x + 24 = 0(x ─ 4) ·(x ─ 6) = 0
De kwadratische vergelijking is nu
ontbonden in factoren
Het is nu heel makkelijk om de twee oplossingen
van de vergelijking te “raden”.x = 4 x = 6of
Controleer de twee oplossingen middels invullen!!!
Los de kwadratische vergelijking van de éérste vorm op.
5x2 ─ 10x = 0
5x(x ─ 2) = 0
Ontbindt het linkerlid van de
vergelijking.
:5x :5x
x = 0 of x = 2
Het is nu heel makkelijk om de twee oplossingen
van de vergelijking te
“raden”.
Los de kwadratische vergelijking van de éérste vorm op.
4x2 ─ 18x = 0
2x(2x ─ 9) = 0
Ontbindt het linkerlid van de
vergelijking.
:2x :2x
x = 0 of 2x - 9 = 0
Het is nu heel makkelijk om de twee oplossingen
van de vergelijking te
“raden”.
2x = 9
x = 4½
+9 +9
:2 :2
Los de kwadratische vergelijking van de éérste vorm op.
3x2 ─ 10x = 0
x(3x ─ 10) = 0
Ontbindt het linkerlid van de
vergelijking.
:x :x
x = 0 of 3x - 10 = 0
Het is nu heel makkelijk om de twee oplossingen
van de vergelijking te
“raden”.
3x = 10
x = 31/3
+10 +10
:3 :3
Einde
presentatie