Przekształcenia całkowe
Wykład 1
Przekształcenia całkowe
Tematyka wykładów:
1. Liczby zespolone- wprowadzenie,- funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej,- funkcja zespolona zmiennej zespolonej.
2. Przekształcenie Laplace’a- przekształcenie Laplace’a i jego podstawowe
własności,- wyznaczanie obszaru (transformaty Laplace’a) gdy
znany jest oryginał,- przekształcenie odwrotne względem przekształcenia
Laplace’a i jego własności,
Przekształcenia całkowe
- wyznaczanie oryginału gdy znana jest transformata Laplace’a (metoda rozkładu na ułamki proste, metoda splotu),
- wyznaczanie rozwiązania równań różniczkowych rzędu n oraz układów równań różniczkowych liniowych przy danych warunkach początkowych,
- równania całkowe (układy) typu splotu.3. Szeregi Fouriera
- wprowadzenie,- rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera.
Przekształcenia całkowe
Literatura:
1. Kącki E., Siewierski L. „Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami” Warszawa 1975.
2. Kącki E. „Równania rócznikowe cząstkowe w elektrotechnice” Warszawa 1971.
3. Ditkin W.A., Prudnikow A.P. „ Przekształcenia całkowe i rachunek operatorowy” Warszawa 1964.
1. Wprowadzenie
Liczbą zespoloną nazywamy liczbę postaci:
gdzie: a - część rzeczywista (realis – Re) liczby zespolonej,b – część urojona (imaginarius – Im) liczby zespolonej,i – jednostka urojona.
np.:
z a bi= +
2 2 , 3 , .z i z i z i= + = − − =
Liczby zespolone
Liczby zespolone
Postać liczby nazywamy postacią algebraiczną lub kanoniczną. Podstawowa własność jednostki urojonej:
Interpretacją geometryczną liczby zespolonej jest punkt na płaszczyźnie zespolonej, którego odcięta równa jest wartości części rzeczywistej liczby zespolonej, a rzędna –części urojonej tejże liczby.
z a bi= +
2 1 1i i= − − =
Liczby zespolone
Wartością bezwzględną (modułem ) liczby zespolonejnazywamy następującą liczbę:z a bi= +
Położenie punktu (a, b) jest również wyznaczone przez długość r promienia wodzącego punktu (a, b) i kąt φ jaki ten promień tworzy z osią odciętych.
Liczby zespolone
2 2z a bi a b r= + = + =
2 22 2 2 2 8z i z= + → = + =np.
Liczby zespolone
Własności wartości bezwzględnej liczby zespolonej
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
11
2 2
z z z z z zz z z z
zzz z
− ≤ ± ≤ +
⋅ = ⋅
=
Liczbę sprzężoną do liczby zespolonej nazywamy liczbę:
np.
z z a bi= +
z a bi= −
2 2 2 2 , 3 3z i z i z i z i= + → = − = − − → = − +
Liczby zespolone
Własności sprzężenia liczb zespolonych:
2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 12
2 2
, 0
z z
z z z
z z z z
z z z z
z z zz z
=
⋅ =
± = ±
⋅ = ⋅
⎛ ⎞= ≠⎜ ⎟
⎝ ⎠
Dla liczb zespolonych w postaci kanonicznej działania wykonujemy tak, jak na wielomianach W(i) nad ciałem liczb rzeczywistych , zatem zakładając istnienie dwóch liczb zespolonych oraz działania arytmetyczne definiuje się następująco:
2. Działania algebraiczne na liczbach zespolonych
1z a bi= + 2z c di= +
Dodawanie:
Liczby zespolone
( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ + + = + + +
np.
( ) ( ) ( )1 2
1 2
2 2 , 1 32 2 1 3 2 1 2 3 1
z i z iz z i i i i
= + = − −
+ = + + − − = − + − = −
Liczby zespolone
Odejmowanie:
( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ − + = − + −
np. ( ) ( ) ( )1 2 2 2 1 3 2 1 2 3 3 5z z i i i i− = + − − − = + + + = −
Mnożenie:
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1a bi c di ac ad i bci bd i
ac ad bc i bd ac bd ad bc i+ ⋅ + = + + + =
= + + + ⋅ − = − + +
Liczby zespolone
( ) ( ) ( )1 2 2 2 1 3 2 6 6 2 4 8z z i i i i⋅ = + − − = − + + − − = −⋅np.
Dzielenie:
Przy dzieleniu musimy wyrugować urojoność z mianownika poprzez pomnożenie licznika i mianownika przez liczbęsprzężoną z mianownikiem.
( )( )
( )( )
( )2 2 , 0
a bi c di ac bd bc ad ia bi c dic di c di c di c d
+ − + + −+= ⋅ = + ≠
+ + − +
( )( ) ( )
12 2
2
2 6 2 62 2 2 2 1 31 3 1 3 1 3 1 3
8 4 8 410 10 10
iz i i iz i i i
i i
− − + − ++ + − += = ⋅ = =− − − − − + − + −
− += = − +
Liczby zespolone
np.
Liczby zespolone
3. Postaci liczb zespolonych
Postać algebraiczna liczby zespolonej:
Re Imz a bi
a z b z= +
= =
2 3z i= −np.
Postać trygonometryczna liczby zespolonej:
( )cos sinz z iϕ ϕ= + ( )cos sinz r iϕ ϕ= +lub
gdzie: - moduł z liczby zespolonej (długość promienia
wodzącego), φ - kąt pomiędzy osią biegunową a promieniem wodzącym
(argument liczby zespolonej).
z
Liczby zespolone
2 2cos a a a
r z a bϕ = = =
+
2 2sin b b b
r z a bϕ = = =
+
Przykład 1Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną
1 .z i= +
2 21 1 2
1 2cos22
41 2sin22
z
ϕπϕ
ϕ
= + =
⎫= = ⎪⎪→ =⎬
⎪= = ⎪⎭
Liczby zespolone
2 cos sin4 4
z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
Liczby zespolone
Postać wykładnicza liczby zespolonej:iz z eϕ= iz r eϕ= ⋅lub
Przykład 2Przedstaw w postaci wykładniczej liczbę zespoloną
1 3.z i= +
( )221 3 4 2z = + = =
3
1cos2
33sin2
2i
z eπ
ϕπϕ
ϕ
⎫= ⎪⎪→ =⎬⎪= ⎪⎭
=
Liczby zespolone
Liczby zespolone
4. Wzory Moivre’a
Wzory Moivre’a opisują mnożenie , dzielenie i potęgowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Zakładając istnienie dwóch liczb zespolonych
orazodpowiednie działania algebraiczne definiuje się następująco:
( )1 1 1cos sinz r iϕ ϕ= + ( )2 2 2cos sinz R iϕ ϕ= +
Mnożenie:( ) ( )
( ) ( )[ ]1 1 2 2
1 2 1 2
cos sin cos sin
cos sin
r i R i
rR i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ ⋅ + =
= + + +
Liczby zespolone
Dzielenie:
( )( )
( ) ( )[ ]1 11 2 1 2
2 2
cos sincos sin
cos sinr i r iR i R
ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ+
= − + −+
Potęgowanie:
( )[ ] ( )1 1 1 1cos sin cos sinn nr i r n i nϕ ϕ ϕ ϕ+ = +
Przykład 3Obliczyć korzystając ze wzorów Moivre’a( )101 i+
Liczby zespolone
Liczby zespolone
( )[ ]
2 2
101010
1
1 1 2
1 2cos22
41 2sin22
cos sin 2 cos sin4 4
z i
z
z z i i
ϕπϕ
ϕ
π πϕ ϕ
= +
= + =
⎫= = ⎪⎪→ =⎬
⎪= = ⎪⎭
⎡ ⎤⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
1012
5
5
5 5
0 1
10 102 cos sin4 4
5 52 cos sin2 2
2 cos 2 sin 22 2
2 cos sin 2 322 2
i
i
i
i i i
π π
π π
π ππ π
π π
⎛ ⎞ ⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅ + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
Liczby zespolone
5. Wzory Eulera
Wzory Eulera określają zależność między izie sin , cos .z z
Liczby zespolone
cos sin
cos2
sin2
zi
zi zi
zi zi
e z i ze ez
e ezi
−
−
= +
+=
−=
6. Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną, której n-ta potęga równa się tejże liczbie zespolonej z .
Liczba 0 ma przy dowolnym n jeden pierwiastek n-tego stopnia równy 0.
Jeżeli i , to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków n–tego stopnia z liczby zespolonej z.
( )cos sin 0z z iϕ ϕ= + ≠ Nn∈
Liczby zespolone
Liczby zespolone
Są nimi liczby:
dla
2 2cos sinnk
k kw z in n
ϕ π ϕ π+ +⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
0,1,2,..., 1k n= −
Pierwiastkami n-tego stopnia z jedności są liczby:
2 2cos sinkk kin nπ πε = +
0,1,2,..., 1k n= −dla
Liczby zespolone
Wyciąganie pierwiastka stopnia n, gdzie daje zawsze n różnych wartości. W interpretacji geometrycznej punkty wk są wierzchołkami n-kąta foremnego mającego środek w punkcie (0,0).
Przykład 4Wyznaczyć wszystkie pierwiastki zespolone oraz podać ich interpretację geometryczną.
4 1−
40
11
cos 1sin 0
2 2cos sin , 4, 0,1,2,3
2 21 cos sin4 4 2 2
nk
zz
k kw z i n kn n
w i i
ϕϕ π
ϕϕ π ϕ π
π π
= −
=
= − ⎫→ =⎬= ⎭
+ +⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
Liczby zespolone
41
42
2 2 3 31 cos sin cos sin4 4 4 4
2 2cos sin cos sin4 4 4 4 2 2
4 4 5 51 cos sin cos sin4 4 4 4
2 2cos sin cos sin4 4 4 4 2 2
w i i
i i i
w i i
i i i
π π π π π π
π π π ππ π
π π π π π π
π π π ππ π
+ +⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − = − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ +⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = − − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Liczby zespolone
Liczby zespolone
43
6 6 7 71 cos sin cos sin4 4 4 4
2 2cos 2 sin 2 cos sin4 4 4 4 2 2
w i i
i i i
π π π π π π
π π π ππ π
+ +⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Liczby zespolone
Interpretacja geometryczna
Liczby zespolone
Wszystkie pierwiastki zespolone tworzą czworokąt foremny – kwadrat, którego środek znajduje się w punkcie (0,0) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej (tzw. płaszczyźnie Gaussa). Długość boku tego kwadratu wynosi . Promień okręgu, w który wpisany jest ten kwadrat równy jest
czyli 1.
4 1−
2
z
Przekształcenia całkowe
Dziękuję za uwagę