![Page 1: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/1.jpg)
KOLOROWEukładanki
Majora P.A.MacMahona
RENATA JURASIŃSKA
11. Konferencja organizowana przezStowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej
„KOLORY MATEMATYKI”SIELPIA, 26-28 PAŹDZIERNIKA 2018
![Page 2: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/2.jpg)
Percy Alexander MacMahon(1854-1929)
Urodził się na Malcie, był synem generała brygady, uczęszczał do Cheltenham College i Królewskiej Akademii Wojskowej w Woolwich. Od 1873 roku byłoficerem artylerii w Indiach, najpierw w Madrasie,a następnie w Pendżabie na granicy z Afganistanemw Kohat. W 1877 r. zachorował i powrócił do Anglii w 1878 r., co uratowało go od udziału w krwawychkonfliktach w Afganistanie.
![Page 3: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/3.jpg)
W 1880 roku zapisał się do Advanced Class for Artillery Officers w Woolwich (dwuletni kurs
obejmujący przedmioty techniczne i język obcy).Po ukończeniu kursu otrzymał awans na stopień
kapitana i objął stanowisko instruktora w Królewskiej Akademii Wojskowej.
Tu poznał Alfreda George'a Greenhilla, profesora matematyki w Royal Artillery, pod którego wpływem
zainteresował się teorią niezmienników (zajmowali się nią Arthur Cayley, James Joseph
Sylvester i George Salmon).
MacMahon wycofał się z wojska w 1898 roku.
![Page 4: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/4.jpg)
W 1890 r. MacMahon został wybrany do Towarzystwa Królewskiego (Royal Society) w Londynie.
Otrzymał wiele medali (m.in. Royal Medal w 1900 r., Sylvester Medal w 1919 r., Morgan Medal w 1923 r.).
MacMahon był Prezydentem London Mathematical Society od 1894 do 1896, był także gubernatorem
Winchester College oraz jednym z sekretarzy Brytyjskiego Stowarzyszenia na rzecz Postępu
Naukowego. Otrzymał wiele tytułów honorowych, w tym Trinity College w Dublinie, Cambridge
i Aberdeen.
![Page 5: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/5.jpg)
MacMahon jest znany przede wszystkim ze swoich prac z zakresu kombinatoryki (P.A. MacMahon,
Combinatory analysis, 2 vols, Cambridge University Press, 1915-16). Pasjonowały go podziały liczb.
![Page 6: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/6.jpg)
Badanie podziałów (partycji) liczby naturalnej to jedno z najsłynniejszych zagadnień z pogranicza
kombinatoryki i teorii liczb. Podziały liczby naturalnej to wszystkie sposoby przedstawienia tej liczby w postaci sumy składników całkowitych dodatnich (umawiamy się przy tym, że porządek
składników nie gra roli i dopuszczamy sumy zawierające tylko jeden składnik).
Na przykład liczba 4 ma pięć podziałów: 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2, 1 + 3, 4
Liczbę wszystkich podziałów liczby n oznacza się tradycyjnie symbolem p(n), mamy więc np.
p(4) = 5
![Page 7: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/8.jpg)
Nietrudno sprawdzić, że p(5) = 7, a p(6) = 11.
Wartości p(n) rosną bardzo szybko, na przykład p(100) = 190569292,
a p(1000) to ogromna liczba 24061467864032622473692149727991.
Nie ma niestety żadnego prostego wzoru, który pozwalałby wyznaczyć p(n).
To utrudnia życie nie tylko matematykom; podziały wykorzystywane są również
w fizyce cząstek elementarnych.
![Page 9: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/11.jpg)
![Page 12: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/15.jpg)
![Page 16: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/16.jpg)
Srinivasa Aiyangar Ramanujanodkrył między innymi następujące zależności:
𝒑 𝟓𝒌 + 𝟒 ≡ 𝟎 (𝐦𝐨𝐝 𝟓)𝒑 𝟕𝒌 + 𝟓 ≡ 𝟎 (𝐦𝐨𝐝 𝟕)𝒑 𝟏𝟏𝒌 + 𝟔 ≡ 𝟎 (𝐦𝐨𝐝 𝟏𝟏)
Zauważył to, oglądając tablicę wartości p(n) dla n mniejszych od 200. Potem zaś
udowodnił, że to ogólna prawidłowość, a nie tylko dziwny przypadek.
![Page 17: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/21.jpg)
Gian-Carlo Rota (amerykański matematyk i filozof) napisał we wstępie do I tomu
dzieł zebranych MacMahona:
„It would have been fascinating to be present at one of the battles of arithmetical wits at Trinity College,
when MacMahon would regularly trounceRamanujan by the display of superior ability for fast mental calculation”
![Page 22: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/22.jpg)
Percy Alexander MacMahon był też autorem wielu artykułów dotyczących matematyki rekreacyjnej oraz książki z rozrywkami matematycznymi wydanej w Cambridge
w 1921 r.
![Page 23: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/23.jpg)
W książce tej rozważa między innymi układanki powstałe na bazie wielokątów
foremnych, podzielonych na przystające części odcinkami łączącymi wierzchołki odpowiedniego wielokąta ze
środkiem okręgu opisanego na nim. Powstałe w ten sposób części
wielokątów kolorujemy 𝒏 kolorami, otrzymując zestawy kolorowych
„klocków”, „płytek” (lub „kamieni” –w nawiązaniu do kamieni domina)
![Page 24: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/24.jpg)
W książce „kolory” zastąpione zostały liczbami.
![Page 25: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/25.jpg)
MacMahon podaje wzory na liczby kamieni w zestawach, w zależności od
liczby boków wielokąta foremnego oraz liczby dopuszczalnych kolorów.
Odwołuje się przy tym do podręcznika Eugene Netto, „Lehrbuch der
Combinatorik” (Leipzig, Verlag von B.G.Teubner, 1901)
![Page 26: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/26.jpg)
Jeśli użyjemy 𝒏 kolorów, to otrzymamy układanki składające się odpowiednio z
𝟏
𝟑𝒏 𝒏𝟐 + 𝟐
kamieni w przypadku trójkąta,
𝟏
𝟒𝒏 𝒏 + 𝟏 𝒏𝟐 − 𝒏 + 𝟐
kamieni w przypadku kwadratu,
![Page 27: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/27.jpg)
𝟏
𝟓𝒏(𝒏𝟒 + 𝟒)
kamieni w przypadku pięciokąta,
𝟏
𝟔𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝒏𝟒 − 𝒏𝟑 + 𝒏𝟐 + 𝟐)
kamieni w przypadku sześciokąta,
𝟏
𝟕𝒏(𝒏𝟔 + 𝟔)
kamieni w przypadku siedmiokąta.
![Page 28: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/28.jpg)
Jak pisze MacMahon: znający się na matematyce czytelnik z pewnością
zauważy, że jeśli wielokąt ma 𝒑 boków, gdzie 𝒑 jest liczbą pierwszą, to liczba
kamieni w układance wynosi
𝟏
𝒑𝒏(𝒏𝒑−𝟏 + 𝒑 − 𝟏)
![Page 29: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/29.jpg)
Nie odwołując się do żadnych podręczników, można wzory podane
przez MacMahona wyprowadzić „na piechotę”.
Na przykład rozważając kamienie trójkątne i używając 𝒏 kolorów
otrzymujemy:
![Page 30: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/30.jpg)
𝒏 kamieni jednokolorowych
𝟐 ∙𝒏𝟐
kamieni
dwukolorowych
𝟐 ∙𝒏𝟑
kamieni
trzykolorowych
![Page 31: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/31.jpg)
Zliczając wszystkie trójkątne kamienie otrzymujemy więc:
𝑛 + 2 ∙𝑛2
+ 2 ∙𝑛3
= 𝑛 + 2 ∙𝑛!
2! 𝑛 − 2 !+ 2 ∙
𝑛!
3! 𝑛 − 3 !
= 𝑛 + 𝑛 − 1 𝑛 +𝑛 − 2 𝑛 − 1 𝑛
3
=3𝑛 + 3 𝑛 − 1 𝑛 + 𝑛 − 2 𝑛 − 1 𝑛
3
=𝒏 𝒏𝟐 + 𝟐
𝟑.
![Page 32: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/32.jpg)
Jeden z rozdziałów, pod tytułem „SQUARE PASTIMES”, poświęcony jest
w całości układance powstałej na bazie KWADRATU, podzielonego przekątnymi na
cztery części, które są odpowiednio pokolorowane z użyciem 𝒏 kolorów.
Ze wzoru 𝟏
𝟒𝒏 𝒏 + 𝟏 𝒏𝟐 − 𝒏 + 𝟐 wynika,
że dla kolejnych 𝒏 otrzymujemy
1, 6, 24, 70, 165, 336…
kwadratowych kamieni w komplecie.
![Page 33: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/33.jpg)
Układanka złożona jedynie z 6 kamieni byłaby mało ciekawa,
z kolei 70 kamieni - to zdecydowanie za dużo…
![Page 34: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/34.jpg)
…i pewnie dlatego MacMahon wybrał wersję z trzema kolorami i tym samym z 24 kamieniami.Niektóre z kwadratówsą jednokolorowe(jest ich 3), niektóre dwukolorowe(jest ich 12), a niektóre trzykolorowe(jest ich 9).
![Page 35: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/35.jpg)
MacMahon rozważa różne sposoby zestawiania ze sobą kamieni:
- system 𝑪𝟏,𝟏,𝟏 oznacza, że stykają się ze sobą boki jednakowego koloru, tzn. 1 z 1,
2 z 2, 3 z 3,
- system 𝑪𝟏,𝟐 oznacza, że boki stykają się ze sobą według zasady: 1 z 1, 2 z 3,
- system 𝑪𝟐,𝟏 oznacza, że boki stykają się ze sobą według zasady: 1 z 2, 3 z 3.
![Page 36: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/36.jpg)
W każdym z tych systemów bez problemu można wyłożyć wszystkie kamienie, budując
wieloboki o przeróżnych kształtach.
Przykład: wieloboki zbudowane
w systemie 𝑪𝟏,𝟏,𝟏
![Page 37: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/37.jpg)
MacMahon proponuje jednak układanie nie dowolnych wieloboków, ale
kwadratów o wymiarach 6 x 4.
Przy 24 kwadratach mamy 24 x 4 = 96 części, co nam daje 96 : 3 = 32 części w
każdym z trzech użytych kolorów. Ponieważ 32 jest liczbą parzystą, a prostokąt 6 x 4
ma 20 „części brzegowych”, więc w systemie 𝑪𝟏,𝟏,𝟏 każdy z trzech kolorów musi się pojawić na brzegu
parzystą liczbę razy.
![Page 38: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/38.jpg)
MacMahon rozważa więc w systemie 𝑪𝟏,𝟏,𝟏14 typów brzegów:
![Page 39: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/39.jpg)
Prostokąty o brzegach w każdym z tych typów są możliwe do ułożenia, choć nie
wszystkie są równie łatwe.
Jako przykład MacMahon podaje prostokąto brzegu typu
𝑩𝟏𝟎,𝟏𝟎,𝟎.
![Page 40: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/40.jpg)
MacMahon twierdzi, że czytelnik nie powinien mieć problemów z ułożeniem
prostokąta z brzegiem typu 𝑩𝟐𝟎,𝟎,𝟎, czyli jednokolorowym, ale będzie to na pewno
wymagać namysłu oraz sprytu i pomysłowości!
Takich prostokątów o całkiem różnych trzykolorowych wzorach jest aż 13 328, ale
wcale niełatwo ułożyć którykolwiek z nich!
![Page 41: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/41.jpg)
Przy układaniu powstają małe jednokolorowe kwadraty, obrócone o 45 stopni w stosunku do wykładanych, zwane są one diamentami.
![Page 42: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/42.jpg)
Diamenty, które są otoczone odmiennymi kolorami, to diamenty-enklawy.
![Page 43: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/43.jpg)
PROBLEMY
![Page 44: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/44.jpg)
Ile diamentów może być w zapełnionym
prostokącie 4 x 6?
Czy zawsze tyle samo?
![Page 45: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/45.jpg)
W zapełnionym prostokącie z jednokolorowym brzegiem jest zawsze 38 diamentów, po 16 w dwóch kolorach
oraz 6 w trzecim (brzegowym).
![Page 46: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/46.jpg)
Czy diamentowe konfiguracje mogą być
symetryczne?
![Page 47: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/47.jpg)
W żadnym z 13 328 różnych układów rozmieszczenie kolorów nie jest symetryczne!
![Page 48: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/48.jpg)
Jak duże mogą być
jednobarwne wieloboki złożone z diamentów?
![Page 49: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/49.jpg)
Jednobarwne wieloboki, które pojawiają się w zapełnionych prostokątach, złożone są z co
najwyżej 12 diamentów.
![Page 50: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/50.jpg)
Tylko nieliczne z tych „ekstremalnych”
wieloboków są symetryczne!
![Page 51: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/51.jpg)
Jaka może być liczba diamentów-enklaw
(otoczonych odmiennymi kolorami)?
![Page 52: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/52.jpg)
Liczba pojedynczych diamentów-enklaw, czyli otoczonych
odmiennymi kolorami, nie może być mniejsza niż 3 i większa niż 13.
![Page 53: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/53.jpg)
Na bazie kwadratów MacMahona amerykański inżynier i matematyk Wade Edward Philpott(1918-1985) stworzył układankę Multimatch I.
Był on pionierem w wykorzystywaniu programów komputerowych do znajdowania
prostokątów 6 x 4 o jednokolorowym brzegu, badał również symetryczne
kształty, które mogą się pojawiać w takich prostokątach.
![Page 54: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/54.jpg)
W.E.Philpott spółpracował z firmą KADON ENTERPRISES, która w roku 1982
rozpoczęła masową produkcję tekturowej wersji układanki Multimatch I, w roku 1989
zastępując ją wersją akrylową.
Układanka była sprzedawana wraz z książką, która opisywała 30 lat badań W.E.Philpotta
nad trzykolorowymi kwadratami MacMahonaoraz zawierała zasady kilku gier, opartych na
zestawie tych kwadratów.
![Page 55: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/55.jpg)
![Page 56: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/56.jpg)
PRZYKŁADOWA GRA
Dwaj gracze po kolei umieszczają kamienie na planszy 5x5. Krawędzie muszą się zgadzać, a pierwszy kamień umieszczony na krawędzi
planszy określa kolor tej krawędzi. Gracz wykładający na planszę ostatni
kamień – wygrywa.
![Page 57: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/57.jpg)
Układankę uczniowie mogą zrobić samodzielnie: wydrukować na grubym papierze (np. wizytówkowym) i wyciąć…
![Page 58: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/58.jpg)
…lub pomalować drewniane płytki (wersja na pewno znacznie trwalsza, ale wymagająca dużo więcej pracy)
![Page 59: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/59.jpg)
Kwadraty MacMahona służą jednak nie tylko do zabawy!
W 1900 roku David Hilbert zaprezentował 23 fundamentalne problemy matematyczne.
Jedną z części 18. problemu można sformułować w postaci pytania: Czy istnieje
wielobok pokrywający nieskończoną płaszczyznę tylko w sposób nieokresowy?
![Page 60: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/60.jpg)
W 1961 roku Hao Wang(amerykański logik, filozof i matematyk pochodzenia chińskiego)rozważał kwadratowe domina (czyli kwadraty MacMahona) i postawił hipotezę, że każdy skończony zestaw kamieni domina pokrywający płaszczyznę może pokryć ją także w sposób okresowy.
![Page 61: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/61.jpg)
Pierwszy kontrprzykład pojawił się w 1996 roku i jest autorstwa
Roberta Bergera (studenta Hao Wanga).
Zaprojektował on 20 426 kamieni pokrywających płaszczyznę tylko
w sposób nieokresowy. Wkrótce udało mu się zredukować
liczbę kamieni do 104.
![Page 62: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/62.jpg)
Kolejne kontrprzykłady (z coraz mniejszą liczbą kamieni):
1977 - Robert Amman (matematyk amator, programista)16 kamieni
w 6 kolorach
![Page 63: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/63.jpg)
Nieokresowe pokrycie płaszczyzny kamieniami Roberta Ammana
![Page 64: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/64.jpg)
1996 - Jarkko Kari (fiński matematyk i informatyk)
14 kamieni w 6 kolorach
![Page 65: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/65.jpg)
1996 - Karel Culik II (amerykański matematyk pochodzenia czeskiego)
13 kamieni w 5 kolorach
![Page 66: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/66.jpg)
Nieokresowe pokrycie płaszczyzny kamieniami Karela Culika II
![Page 67: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/67.jpg)
2015 - Emmanuel Jeandel (francuski informatyk i matematyk) i Michaël Rao
(francuski matematyk)
11 kamieni w 4 kolorach
![Page 68: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/68.jpg)
Nieokresowe pokrycie płaszczyzny kamieniami Emmanuela Jeandela
i Michaëla Rao
![Page 69: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/69.jpg)
Panowie udowodnili również, że 10 kamieni lub 3 kolory są
niewystarczające, aby zapewnić nieokresowość!
Tym samym zakończyło się wykorzystywaniekwadratów MacMahona do rozwiązywania
jednego z problemów Hilberta…
![Page 70: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/70.jpg)
Kwadraty MacMahona są też inspiracją dla twórców!
Margater Kepner, amerykańska niezależna artystka z Waszyngtonu, mająca
wykształcenie matematyczne, pisze o sobie: „Mój twórczy proces polega na poruszaniu
się pomiędzy koncepcjami matematycznymi, które mnie intrygują, a tworzeniem obrazów wizualnych, które interpretują te koncepcje
w interesujący sposób”
![Page 71: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/71.jpg)
![Page 72: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/72.jpg)
MARGARET KEPNERBroken Dishes, Mended Edges
6" x 16"Archival Inkjet Print
2011
![Page 73: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/73.jpg)
Nie tylko kwadraty…
![Page 74: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/74.jpg)
Pięciokątne płytki z Kairu…
![Page 75: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/75.jpg)
Kostki MacMahona
![Page 76: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/76.jpg)
Korzystałam z
1) P.A.MacMahon, „New mathematical pastimes”, Cambridge, 1921
2) M.Penszko „Łamigłówki. Podróże w krainę matematyki rekreacyjnej” Prószyński i S-ka, Warszawa, 2009
3) Wikipedii
4) strony firmy Kadon Enterprises http://www.gamepuzzles.com/
5) strony Wirtualny Wszechświat http://www.wiw.pl/
6) strony Gazety Wyborczej http://wyborcza.pl/1,145452,19125823,genialny-wiesniak-matematyczne-formuly-zsyla-mu-bogini.html
7) strony Mathematical Art Galleries http://gallery.bridgesmathart.org/
8) filmu „Człowiek, który poznał nieskończoność”
![Page 77: Prezentacja programu PowerPoint - SEMsem.edu.pl/konferencja-2018/materialy/KOLORY_MATEMATYKI.pdf · Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej „KOLORY MATEMATYKI” ... - system](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050121/5f51586de5f918157102c493/html5/thumbnails/77.jpg)
Na zakończenie…