PRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPredavanje IIIj
dr Živojin Stamenković docentdr Živojin Stamenković, docent
Jednačina mirovanja fluida (Ojlerova)• Posmatra se proizvoljna konačna zapremina V fluidakoja sadrži masu i koja je izdvojena iz ukupnekoja sadrži masu m i koja je izdvojena iz ukupnezapremine fluida koji miruje.
č k č• Posmatrana zapremina je ograničena konačnomspoljašnjom površinom A.
• Na delić fluida mase dm izapremine dV delujep jspoljašnja sila:
fdm fdV
• Gde je f zapreminska silakoja deluje na jedinicu
fdm fdV
koja deluje na jedinicumase fluida.
Jednačina mirovanja fluida (Ojlerova)
• Na fluid u celoj zapremini deluje sila: fdNa fluid u celoj zapremini deluje sila:
K č i V t ji d b k čV
fdV• Konačna zapremina V sastoji se od beskonačno mnogodelića zapremine dV koji se uzajamno dodiruju. Za dva
d d lić fl id lj i l ti d d disusedna delića fluida upravljeni elementi da dodirnepovršine su suprotnih smerova.
• Na svaku ovakvu površinicu deluju pritisne sile:
1 1dP pda
2 2dP pda
• Ove sile su istog intenziteta i pravca ali suprotnihsmerova. Površinske sile u unutrašnjosti zapremine V
1 1p 2 2p
smerova. Površinske sile u unutrašnjosti zapremine Vfluida uzajamno se uravnotežuju.
Jednačina mirovanja fluida (Ojlerova)• Od površinskih sila ostaju samo sile pritiska okolnogfl d k d l k l dA čfluida koje deluju na svaku element dA graničnepovrši.
• Svaka od elementarnih sila pritiska iznosi –pdA te jeukupna sila pritiska okolnog fluida određenaintegralom:
pdA
• Ovaj se integrla može transformisati u zapreminskiprimenom Gausove teoreme na osnovu koje važi:
A
primenom Gausove teoreme na osnovu koje važi:
gradpdA p dV
gradA V
pdA p dV
Jednačina mirovanja fluida (Ojlerova)
• Da bi posmatrana masa fluida bila u stanju mirovanja, potrebno je da zbir svih sila koje deluju na ovu masu bude jednak nuli.
• Uslov ravnoteže mase fluida dat je jednačinom:
K k j i j i lj i V h d i
grad 0V
f p dV
• Kako je u pitanju proizvoljna zapremina V, prethodni integral je neodređen, te podintergralna funkcija mora d b d j d k lida bude jednaka nuli:
1 gradf p
Ojlerova jednačina za mirovanje fluidagradf p
Ojlerova jednačina za mirovanje fluida
Skalarni oblik Ojlerove jednačineSkalarni oblik Ojlerove jednačine f Xi Yj Zk
p p p grad p p pp p i j k
x y z
i j kx y z
Hamiltonov operator ‐ nabla
• Jednačine za mirovanje fluida u skalarnom obliku:obliku:
1 pX 1 pY 1 pZ
Xx
pYy
Zz
Osnovna jednačina statike fluidaj• Ojlerove jednačine predstavljaju sistem od tri
ij l dif ij l j d čiparcijalne diferencijalne jednačine.• Za praktičnu primenu pogodno je odrediti jednu
k i l j d čiekvivalentnu jednačinu.
1 p p p 1 p p pXdx Ydy Zdz dx dy dzx y z
1 dp Xdx Ydy Zdz
• Iz ove jednačine, kao i iz Ojlerovih jednačina vidi seda pritisak i gustina upravljaju ravnotežom fluida.
p g p j j
Određivanje polja pritiska u nestišljivom i stišljivom fluidu
P lj iti k ( ) d đ j i Ojl j d či• Polje pritiska p(r) se određuje iz Ojlerove jednačine zazadato skalarno polje gustine ρ(r)
• i zadato vektorsko polje masenih sila f(r).
Specijalni slučajevi masenih sila važnih za mehaniku fluida
• Homogeno polje sila– Sila Zemljine teže 0,0,f g g
j
– Inercijalna sila pri trasnlatornom pravolinijskom kretanju konstantnim ubrzanjem a kretanju konstantnim ubrzanjem a.
• Nehomogeno polje sila inf a
– Centrifugalna sila pri rotaciji konstantnom ugaonom brzinom oko vertikalne ose z.
2 2 2 2 2, ,0f r xi yj x y
Mirovanje fluida u polju Zemljine teže• Posmatra se sud sa tečnošću koji miruje u polju
l žZemljine teže• Na svaku jedinicu mase tečnosti deluje sila Zemljineteže, pa je za z osu usmerenu vertikalno naviše:
0, 0,X Y Z g
• Sila Zemljine teže jekonzervativna sila te jegustina isključivo funkcijapritiska.
Mirovanje fluida u polju Zemljine teže
11 dp Xdx Ydy Zdz
1 dp gdz
dp gdz
dp g dz p gz C Podsetnik: =const, g=const
dz z
Mirovanje fluida u polju Zemljine težeMirovanje fluida u polju Zemljine teže
p gz C
0p z H
C H
za
C gH
p g H z
• Zaključci:
p g H z
• Zaključci:• H‐z je vertikalno rastojanje od slobodne površine• Horizontalne ravni su ravni konstantnog pritiska
Mirovanje fluida u polju Zemljine teže
• Prema prethodnom dobijenom izrazu statički pritisak p j pje jednak proizvodu gustine fluida, ubrzanja Zemljine teže i vertikalnog rastojanja od slobodne površine do g j j ptačke u kojoj se određuje pritisak.
• Pritisak u tačkama M M i u• Pritisak u tačkama M0, M i u prizvoljnoj tački na dnu suda.
0 0Mp gz
Mp gz
dp gHdnop gH
Uticaj potpritiska i natpritiskaj p p p• Statički pritisak ili pritisak kod
mirovanja fluida na osnovumirovanja fluida na osnovuprethodno izvedenih izraza zavisiod gustine, visine stuba tečnosti ig ,gravitacionog ubrazanja.
• Slobodna površina fluida je uslučaju mirovanja fluida uvekhorizontalna linijaU d đ i l č j i k d j• U određenim slučajevima kada jesud koji posmatramo zatvoreniznad tečnosti može da delujeiznad tečnosti može da delujenatpritisak pm ili potpritisak pv, ane atmosferski pritisak kao uprvom slučaju.
Uticaj potpritiska i natpritiskaj p p p• Pri dejstvu natpritiska ili potpritiska
k fl dpritisak u fluidu se menja.• Pri dejstvu natpritiska:
0 0M mp p gz
M mp p gz
p p gH dno mp p gH
0 0M vp p gz
P i d j t t iti k
0 0M vp p g
M vp p gz Pri dejstvu natpritiska:
dno vp p gH
Piezometarska visinaPiezometarska visina
• Svaki pritisak nekog fluida može se izrazitinjegovom ekvivalentnom visinomj g
• Kako je gustina tečnosti konstantna (nestišljivfluid) a takođe i gravitaciono ubrazanje g sledi:fluid), a takođe i gravitaciono ubrazanje g sledi:
• Piezometarska visina
3N
2 2 2 32p Pa N mmh kg m kg mg
2
3
skg m
2sN kgkg
2
ms
2skg
m
3 2 3 2m s m s
g
Granična površina između tečnosti koje se ne mešaju
• Ako se u sudu nalaze, naprimer, dve tečnosti koje se nemešaju i različitih su gustina1 i 2 tada će se one rasporediti jedna iznad druge.Ispod (na dno) uvek ideIspod (na dno) uvek idetečnost veće gustine
• Za obe tečnosti se mogu• Za obe tečnosti se mogunapisati jednačine ravnoteže:
1dp gdz 2dp gdz
Granična površina između tečnosti k j š jkoje se ne mešaju
• Na graničnoj površini obe jednačine moraju da budu• Na graničnoj površini obe jednačine moraju da budu zadovoljene (fluid je kontinum, pritisak u jednoj tački ima samo jednu vrednost)ima samo jednu vrednost)
1 2dp gdz gdz
1 2 0g dz
Granična površ između dve1 2 0dz z const Granična površ između dvetečnosti koje se ne mešaju, amiruju u polju Zemljine težemiruju u polju Zemljine težepredstavlja horizontalnu ravan.
Statički pritisak – dva fluida koji se ne mešaju
• Isto kao i u prethodnomslučaju svaka horizontalnaravan predstavlja ravankonstantnog pritiska.
• Pritisak i sada zavisi samo od visine stuba tečnosti
1 1 1Mp gz
1g gp gz
1 2dp gz g H z 1 2dno g gp gz g H z 2 1 2 2M g gp gz g z z