![Page 1: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/1.jpg)
PRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPredavanje IVj
dr Živojin Stamenković docentdr Živojin Stamenković, docent
![Page 2: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/2.jpg)
Mirovanje fluida u polju Zemljine teže• Posmatra se sud sa tečnošću koji miruje u polju
l žZemljine teže• Na jedinicu mase tečnosti deluje sila Zemljine teže, a zaz osu je usvojeno da je usmerena vertikalno naniže:
0, 0,X Y Z g
•Komponente sila se•Komponente sila sezamenjuju u osnovnujednačinu hidrostatike
1 dp Xdx Ydy Zdz
jednačinu hidrostatike
dp Xdx Ydy Zdz
![Page 3: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/3.jpg)
Jednačina rasporeda pritiskap p• Nakon zamene u osnovnu jednačinu hidrostatike dobija se sledeći raspored pritiska:
1 0 0d d d d1 0 0dp dx dy gdz
d ddp gdz
dp g dz p gz C
p g
0, 0 0p z C
p gz
![Page 4: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/4.jpg)
Izobarske površiIzobarske površi
I j d či d iti k klj č j d• Iz jednačine rasporeda pritiska zaključujemo dasu izobarske površi određene jednačinom:
O ši d lj j h i l i
z const
• Ove površi predstavljaju horizontalne ravni.• Takože, te izobarske površi i vektor g su normalni,št i ij klj čili kt k j išto smo i ranije zaključili; vektor g pokazuje i smernajvećeg porasta pritiska‐ vertikalno naniže.
• Izobarska površ na kojoj je relativni pritisak p = 0• Izobarska površ na kojoj je relativni pritisak p = 0tj. tamo gde vlada atmosferski pritisak naziva seslobodna površ;slobodna površ;
![Page 5: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/5.jpg)
Uticaj natpritiska i potpritiskaj p p p• Kako sada na površini iznad tečnosti ne vlada
t f ki iti k ć t iti k iliatmosferski pritisak, već natpritisak pm ilipotpritisak pv raspored pritiska se menja na sledećinačin:
• Izobare su i u ovom slučaju horizontalne ravni.
![Page 6: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/6.jpg)
Relativno mirovanje fluidaj• Razmatra se problem relativnog mirovanja fluida u poljuinercijalnih sila i sile Zemljine težeinercijalnih sila i sile Zemljine teže.
• Rezervoar se kreće po horizontalnoj podlozi konstantnimb j U j l i j d j biubrzanjem a. U stanju apsolutnog mirovanja sud je bio
napunjen do visine H. • Iz iskustva znamo da će tečnost zauzeti položaj prikazanna slici.
![Page 7: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/7.jpg)
Relativno mirovanje fluidaj• Na jedinicu mase tečnosti deluje sila Zemljine teže i
il i ij t d ktsila inercije usmerena suporotno od vektora ubrzanja a :
• Nakon zamene u osnovnu jednačinu hidrostatike dobija se sledeći raspored pritiska:j p p
, 0,X a Y Z g 1 0dp a dx dy g dz
dp adx adz dp adx gdz p ax gz C
0, 0, 0 0p z x C
p ax gz J‐na rasporeda pritiska
![Page 8: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/8.jpg)
Jednačina slobodne površinep• Jednačina slobodne površine određuje se iz uslova poznatog pritiskapoznatog pritiska.
• Pritisak iznad tečnosti je atmosferski te je relativni pritisak jednak nuli:
p ax gz
0 ax gz 0 ax gz
gz ax
az xg
g
![Page 9: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/9.jpg)
Izobarske površip
• Može se zaključiti da su izobarske površiMože se zaključiti da su izobarske površimeđusobno paralelne praveO kl j l d ći iti i• Ove prave zaklapaju sledeći ugao sa pozitivnimsmerom x ose:
aarctgg
g
![Page 10: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/10.jpg)
Vektor spoljašnjih sila i izobarep j j• Iz diferenijalnog oblika Ojlerove jednačine:
1
• Zaključuje se da su vektori normala izobarskih površi i
1 dp Xdx Ydy Zdz
Zaključuje se da su vektori normala izobarskih površi iukupan vekor f spoljašnjih sila kolinearni, tj. vektor f jeupravan na izobarske površi koje su nagnute pod uglom αupravan na izobarske površi koje su nagnute pod uglom α.
• Ugao α je proporcionalan inentzitetu ubrzanja a.
![Page 11: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/11.jpg)
Mirovanje fluida u poljut if l ilcentrifugalne sile
• Posmatra se jedan cilindričniPosmatra se jedan cilindričnisud, prečnika D koji je napunjentečnošću gustine ρ do visine H.tečnošću gustine ρ do visine H.Neka se sud počne obrtatikonstantnom ugaonom brzinomkonstantnom ugaonom brzinomω oko vertikalne ose, i neka seta osa poklapa sa osom suda.ta osa poklapa sa osom suda.
Usled dejstva viskoznosti delići tečnosti koji se nalaze nazidu suda će se obrtati zajedno sa sudom; ti delići će utom kretanju sa sobom povlačiti i ostale deliće, a ovi sebisusedne na manjem radijusu, sve do ose cevi.
![Page 12: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/12.jpg)
Mirovanje fluida u poljucentrifugalne sile
P l i t t d ć b t ti• Posle izvesnog vremena sva teqnost u sudu će se obrtatizajedno sa njim ‐ možemo smatrati da se tečnost obrćek k t t lkao kruto telo.
• U koordinatnom sistemu vezanom za sud, tečnost miruje,pa će za nju važiti Ojlerova jednačina statike fluida.
![Page 13: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/13.jpg)
Jednačina hidrostatike pri rotacijiJednačina hidrostatike pri rotaciji• Pošto tečnost rotira konstantnom ugaonom brzinom• Pošto tečnost rotira konstantnom ugaonom brzinom,na svaki fluidni delić koji se nalazi na rastojanju r odose rotacije deluje centrifugalna sila (po jediniciose rotacije, deluje centrifugalna sila (po jedinicimase) usmerena ka osi rotacije:
2c x yf f i f j xi yj
• Da bi se odredile projekcije zapreminske sile kojadeluje na fluid, za usvojeni koordinatni sistem važi:
• z osa se mora poklapati sa osom rotacije, zbognačina definisanja centrifugalne sile; r osa se moženačina definisanja centrifugalne sile; r osa se možeusvojiti bilo gde na osi rotacije.
![Page 14: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/14.jpg)
Jednačina hidrostatike pri rotacijip j
• Projekcije zapreminske sile sada glase:j j p g2
xf x 2yf y zf g
• Njihovom zamenom u osnovnu jednačinu hidrostatike dobija se:dobija se:
2 21 dp xdx ydy gdz dp xdx ydy gdz
2 21 dp xdx ydy g dz
![Page 15: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/15.jpg)
Jednačina hidrostatike pri rotacijiJednačina hidrostatike pri rotaciji
• Nakon integraljenja osnovne jednačine hidrostatike dobija se:j
2 22 2x yp gz C 2 2
p g
22 2p x y g C
22
r
p x y gz C
22
2p r gz C
2
![Page 16: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/16.jpg)
Jednačina hidrostatike pri rotacijiJednačina hidrostatike pri rotaciji
• Konstanta C se određuje iz graničnih uslova. Zausvojeni koordinatni sistem, taj granični uslov je:
22
2p r gz C
2
0, 0 0r z p 0, 0 0r z p
0C 2
2
2p r gz
2
![Page 17: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/17.jpg)
Jednačina slobodne površi i izobarep
• Polje pritiska je nelinearno po koordinati r a• Polje pritiska je nelinearno po koordinati r, alinearno po koordinati z.
• Jednačina slobodne površi (pritisak je jednaatmosferksom, tj. relativni pritisak jednak je nuli)određena je izrazom:
22
2 22
202r gz
2
2gz r 2
2z r
g
• Izobarske površi su obrtni paraboloidi
![Page 18: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/18.jpg)
Korisne relacijej• Ukoliko pri obrtanju suda ne dolazi do prosipanja t č ti l k t t ti i ži t l ditečnosti, uslov konstantnosti zapremine važi, te sledi:
2 2 21D D D 10
14 4 2 4 rD D DH H H
012 rH H H
![Page 19: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/19.jpg)
Uticaj natpritiska i potpritiskaj p p p• Ukoliko iznad tečnosti deluje pritisak gasa koji je j d k ( t iti k) ili ( t iti k) j i tijednak pm (natpritisak) ili pv (potpritisak) on je isti u svim tačkama iznad tečnosti
22
2p r gz C
0, 0 mr z p p
Dmp C
0,2 r mDr z H H p p
2 2D 02 4m rDp g H H C
![Page 20: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100214/6074bc1d7551b63bca752030/html5/thumbnails/20.jpg)
Uticaj natpritiska i potpritiskaj p p p• Kada je sud pun tečnosti i nema gasa iznad tečnosti,natpritisak je različit u različitim tačkama, i običnoje definisan za neku tačku (slede dva primera):
p ax gz C p ax gz C
L L1, ,
2 2mL Lp p x z tg
2 , ,2 2mL Lp p x z tg 2 2