-
Betonske konstrukcije u visokogradnji vežbe - 2. primer
Primer 2 - zadatak sa kolokvijuma (januar 2018.)Za dispoziciju prikazanu na slici potrebno je:a) dati analizu opterećenja (5%)b) dimenzionisati (GSN) ploču POS 1 za dobijene vrednosti uticaja (15%)c) dimenzionisati (GSN) grede POS 2 i POS 3 (25%)d) odrediti naprezanja, prsline i ugibe za POS 3 (30%)e) dimenzionisati (GSN) stub POS 4 (25%)f) prikazati šeme armiranja ploče POS 1 i grede POS 3 (25%)
POS 1 je kontinualna ploča na 2 polja, oslonjena na proste grede na ivicama POS 2 i u sredini POS 3. Grede su zglobno vezane za stubove POS 4, koji su na donjem kraju takođe zglobno oslonjeni.
POS 1
POS 2, POS 3
POS 4
≔hpl 20 cm ≔l1 4 m
≔br 25 cm ≔hr 40 cm ≔l2 5.5 m
≔bs 25 cm ≔hs 25 cm ≔Htot 4.5 m
beton C 30/37
armatura B 500 B
≔γab 25 ――kNm3
Opterećenje: sopstvena težina elemenata
podna obloga cementna košuljica ≔ρck 2000 ――kgm3
≔dck 6 cm ≔g 10 ―ms2
keramičke pločice ≔ρkp 2200 ――kgm3
≔dkp 1 cm
korisno opterećenje (skladišni prostor E) ≔q 7 ――kNm2
Mr Jasmina Todorović, d.g.i - 1 -
-
Betonske konstrukcije u visokogradnji vežbe - 2. primer
a) analiza opterećenja i statički uticaji
ostalo stalno opterećenje - težina podne obloge
cementna košuljica ≔gck ⋅⋅g ρck dck =gck 1.2 ――kNm2
keramičke pločice ≔gkp ⋅⋅g ρkp dkp =gkp 0.22 ――kNm2
ostalo stalno opterećenje ≔gost +gck gkp =gost 1.42 ――kNm2
Statički uticaji
POS 1 - ploča ploča koja nosi u 1 pravcustatički sistem - kontinualni nosač na 2 polja jednakog raspona
≔b 1 m=l1 4 m
≔gst.1 ⋅⋅hpl b γab =gst.1 5 ――kNm
sopstvena težina nosača crteži!!!
stalno i korisno opterećenje za POS 1
≔g1 +gst.1 ⋅gost b =g1 6.42 ――kNm
≔q1 ⋅q b =q1 7 ――kNm
reakcije na krajnjim osloncima - opterećenje za gredu POS 2
≔Rg.1 ⋅⋅0.375 g1 l1 =Rg.1 9.63 kN ≔Rq.1 ⋅⋅0.375 q1 l1 =Rq.1 10.5 kN
reakcije na središnjem osloncu - opterećenje za gredu POS 3
≔Rg.2 ⋅⋅1.25 g1 l1 =Rg.2 32.1 kN ≔Rq.2 ⋅⋅1.25 q1 l1 =Rq.2 35 kN
moment savijanja u polju nosača - zategnuta donja zona
≔Mg.1.p ⋅⋅0.07 g1 l12 =Mg.1.p 7.19 ⋅kN m ≔Mq.1.p ⋅⋅0.07 q1 l1
2 =Mq.1.p 7.84 ⋅kN m
moment savijanja nad osloncem nosača - zategnuta gornja zona
≔Mg.1.o ⋅⋅0.125 g1 l12 =Mg.1.o 12.84 ⋅kN m ≔Mq.1.o ⋅⋅0.125 q1 l1
2 =Mq.1.o 14 ⋅kN m
POS 2 - greda na ivici ploče statički sistem - prosta greda =l2 5.5 m
≔gst.2 ⋅⋅hr br γab =gst.2 2.5 ――kNm
sopstvena težina nosača crteži!!!
stalno i korisno opterećenje za POS 2
≔g2 +gst.2 ――Rg.1
b=g2 12.13 ――
kNm
≔q2 ――Rq.1
b=q2 10.5 ――
kNm
reakcije oslonaca - transferzalne sile za POS 2 i opterećenje za stub POS 4/1
≔Rg.2 ――⋅g2 l22
=Rg.2 33.358 kN ≔Rq.2 ――⋅q2 l22
=Rq.2 28.875 kN
momenti savijanja u polju nosača - zategnuta donja zona
≔Mg.2 ―――⋅g2 l2
2
8=Mg.2 45.867 ⋅kN m ≔Mq.2 ―――
⋅q2 l22
8=Mq.2 39.703 ⋅kN m
Mr Jasmina Todorović, d.g.i - 2 -
-
Betonske konstrukcije u visokogradnji vežbe - 2. primer
POS 3 - greda u sredini ploče statički sistem - prosta greda =l2 5.5 m
≔gst.3 ⋅⋅hr br γab =gst.3 2.5 ――kNm
sopstvena težina nosača
crteži!!!
stalno i korisno opterećenje za POS 3
≔g3 +gst.3 ――Rg.2
b=g3 35.858 ――
kNm
≔q3 ――Rq.2
b=q3 28.875 ――
kNm
reakcije oslonaca - transferzalne sile za POS 3 i opterećenje za stub POS 4/2
≔Rg.3 ――⋅g3 l22
=Rg.3 98.608 kN ≔Rq.3 ――⋅q3 l22
=Rq.3 79.406 kN
momenti savijanja u polju nosača - zategnuta donja zona
≔Mg.3 ―――⋅g3 l2
2
8=Mg.3 135.586 ⋅kN m ≔Mq.3 ―――
⋅q3 l22
8=Mq.3 109.184 ⋅kN m
POS 4 - stub statički sistem - obostrano zglobno oslonjen nosač =Htot 4.5 m
POS 4/1 - stubovi u uglovima ploče, ispod grede POS 2POS 4/2 - stubovi u sredini ploče, ispod grede POS 3 crteži!!!
≔Gst.4 ⋅⋅⋅hs bs Htot γab =Gst.4 7.031 kN sopstvena težina nosača -koncentrisano opterećenje na donjem osloncu
stalno i korisno opterećenje za POS 4 - deluje na gornjem kraju stuba
≔G4.1 Rg.2 =G4.1 33.358 kN ≔Q4.1 Rq.2 =Q4.1 28.875 kN
≔G4.2 Rg.3 =G4.2 98.608 kN ≔Q4.2 Rq.3 =Q4.2 79.406 kN ϕ
normalne sile pritiska u nosaču
≔Ng.4.1 G4.1 =Ng.4.1 33.358 kN ≔Nq.4.1 Q4.1 =Nq.4.1 28.875 kN
≔Ng.4.2 G4.2 =Ng.4.2 98.608 kN ≔Nq.4.2 Q4.2 =Nq.4.2 79.406 kN
Podaci potrebni za dimenzionisanje
beton C 30/37 ≔Ecm 33 GPa ≔fctm 2.9 MPa
≔fck 30 MPa ≔αcc 0.85 ≔γc 1.5 ≔fcd ⋅αcc ――fckγc
=fcd 1.7 ――kN
cm2
armatura B 500 B ≔Es 200 GPa
≔fyk 500 MPa ≔γs 1.15 ≔fyd ――fykγs
=fyd 43.478 ――kN
cm2
raspored armature u preseku
≔cnom 2 cm klasa izloženosti XC1
≔dg 32 mm ≔smin max ⎛⎝ ,,ϕ +dg 5 mm 2 cm⎞⎠ =smin 3.7 cm
Mr Jasmina Todorović, d.g.i - 3 -
-
Betonske konstrukcije u visokogradnji vežbe - 2. primer
b) POS 1 - dimenzionisanje GSN
=hpl 20 cm =b 1 m pretp. ≔d1 2.5 cm ≔d -hpl d1 =d 17.5 cm
presek u polju ploče - zategnuta donja zona
≔MSd +⋅1.35 Mg.1.p ⋅1.5 Mq.1.p =MSd 21.467 ⋅kN m
≔μSd ―――MSd
⋅⋅b d2 fcd=μSd 0.074 iz tabele za dimenzionisanje se očitava
εs1 / εc2 = 20 / 2.7 ‰≔ω 0.076
≔As1 ⋅⋅⋅ω b d ――fcdfyd
=As1 5.2 cm2 usvaja se Ø10/15cm ≔As1.stv 5.5 cm
2
≔As.pod ⋅0.2 As1.stv =As.pod 1.1 cm2 usvaja se Ø6/25cm ≔As.pod.stv 1.13 cm
2
crtež!!!
presek nad srednjim osloncem ploče - zategnuta gornja zona
≔MSd +⋅1.35 Mg.1.o ⋅1.5 Mq.1.o =MSd 38.334 ⋅kN m
≔μSd ―――MSd
⋅⋅b d2 fcd=μSd 0.041 iz tabele za dimenzionisanje se očitava
εs1 / εc2 = 20 / 1.75 ‰≔ω 0.042
2.874≔As1 ⋅⋅⋅ω b d ――
fcdfyd
=As1 2.874 cm2 usvaja se Ø6/10cm ≔As1.stv 2.83 cm
2
≔As.pod ⋅0.2 As1.stv =As.pod 0.566 cm2 usvaja se Ø5/25cm ≔As.pod.stv 0.79 cm
2
c) POS 2, POS 3 - dimenzionisanje GSN crtež!!!
POS 2
=hr 40 cm ≔b br =b 25 cm pretp. ≔d1 4 cm ≔d -hr d1 =d 36 cm
Dimenzionisanje prema momentima savijanja
≔MSd +⋅1.35 Mg.2 ⋅1.5 Mq.2 =MSd 121.475 ⋅kN m
≔μSd ―――MSd
⋅⋅b d2 fcd=μSd 0.221 iz tabele za dimenzionisanje se očitava
εs1 / εc2 = 5.5 / 3.5 ‰≔ω 0.268
≔As1 ⋅⋅⋅ω b d ――fcdfyd
=As1 9.431 cm2 usvaja se 4Ø18
raspored 4+0≔As1.stv 10.18 cm
2
crtež!!!
raspored armature u preseku ≔ϕ 18 mm ≔ϕu 8 mm
≔d' ++cnom ϕu ―ϕ2
=d' 3.7 cm usv. ≔d' 4 cm ===stvd1 d' pretpd1 4 cm
≔sh ―――――--br 2 d' 3 ϕ
3=sh 3.867 cm >sh smin =smin 3.7 cm
Mr Jasmina Todorović, d.g.i - 4 -
-
Betonske konstrukcije u visokogradnji vežbe - 2. primer
Dimenzionisanje prema transferzalnim silama
≔VSd +⋅1.35 Rg.2 ⋅1.5 Rq.2 =VSd 88.345 kN ≔l01 ―l22
=l01 2.75 m
≔ρs1 ――As1.stv
⋅b d=ρs1 0.01131 ≔ρmin 0.0011 ≔cRd.c ――
0.18γc
=cRd.c 0.12
≔k +1‾‾‾‾‾‾‾‾―――200 mm
d=k 1.745 ≔vmin ⋅⋅⋅0.035 k
―32 MPa
‾‾‾‾‾――
fckMPa
=vmin 0.442 MPa
≔ν ⋅0.6⎛⎜⎝
-1 ――――fck
250 MPa
⎞⎟⎠
=ν 0.528 ≔αcw 1 ≔θ °45 ≔α °90 ≔fywd fyd
≔VRd.c ⋅⋅
⎛⎜⎜⎜⎝
⋅⋅⋅cRd.c k MPa⎛⎜⎝
⋅⋅100 ρs1 ――fck
MPa
⎞⎟⎠
―13
⎞⎟⎟⎟⎠
b d =VRd.c 61.026 kN
≔VRd.c.min ⋅⋅vmin b d =VRd.c.min 39.783 kN >VRd.c VRd.c.min
≔VRd.max.c ⋅⋅⋅⋅―12
ν fcd b d =VRd.max.c 403.92 kN
≔VRd.max.s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅αcw ν fcd b 0.9 d⎛⎜⎜⎝―――――+cot
((θ)) cot ((α))
+1 cot ((θ))2
⎞⎟⎟⎠
=VRd.max.s 363.528 kN
>VSd VRd.c potrebne su uzengije za prijem smičućih naprezanja
≔s1 ⎛⎝Asw⎞⎠ ⋅Asw ――――――――――――⋅⋅⋅⋅0.9 d fywd (( +cot ((θ)) cot ((α)))) sin ((α))
VSd≔s2 ⎛⎝Asw⎞⎠ ⋅Asw ―――
1⋅b ρmin
za UØ8 ≔Asw1 0.5 cm2 ≔m. 2 ≔Asw ⋅m. Asw1 =s1 ⎛⎝Asw⎞⎠ 15.945 cm
za UØ6 ≔Asw1 0.28 cm2 ≔m. 2 ≔Asw ⋅m. Asw1 =s1 ⎛⎝Asw⎞⎠ 8.929 cm =s2 ⎛⎝Asw⎞⎠ 20.364 cm
usvaja se UØ6 / 7.5cm
≔λ ⋅l01⎛⎜⎝
-1 ――VRd.cVSd
⎞⎟⎠
=λ 0.85 m
≔As.add ⋅VSd ――――――(( -cot ((θ)) cot ((α))))
⋅2 fyd=As.add 1.016 cm
2 usvaja se 1Ø12 ≔As.add.stv 1.13 cm2
POS 3
=hr 40 cm ≔b br =b 25 cm pretp. ≔d1 7 cm ≔d -hr d1 =d 33 cm
Dimenzionisanje prema momentima savijanja
≔MSd +⋅1.35 Mg.3 ⋅1.5 Mq.3 =MSd 346.817 ⋅kN m
≔μSd ―――MSd
⋅⋅b d2 fcd=μSd 0.749 >μSd 0.252 εs1 < 4.25‰
dvojno armiranje ≔μ'Sd 0.252 ≔ζ' 0.813 ≔d2 5.5 cm
≔MRd.lim ⋅⋅⋅μ'Sd b d2 fcd =MRd.lim 116.632 ⋅kN m
≔ΔMSd -MSd MRd.lim =ΔMSd 230.185 ⋅kN m
≔As2 ――――ΔMSd
⋅⎛⎝ -d d2⎞⎠ fyd=As2 19.252 cm
2 usvaja se 4Ø25raspored 3+1
≔As2.stv 19.64 cm2
≔As1 +―――MRd.lim
⋅⋅ζ' d fydAs2 =As1 29.25 cm
2 usvaja se 6Ø25raspored 3+3
≔As1.stv 29.45 cm2
Mr Jasmina Todorović, d.g.i - 5 -
-
Betonske konstrukcije u visokogradnji vežbe - 2. primerraspored 3+3
raspored armature u preseku ≔ϕ 25 mm ≔ϕu 8 mm
≔d' ++cnom ϕu ―ϕ2
=d' 4.05 cm usv. ≔d' 4 cm crtež!!!
≔d'' ++d' ϕ smin =d'' 10.2 cm usv. ≔d'' 10 cm
≔sh ―――――--br 2 d' 2 ϕ
2=sh 6 cm >sh smin =smin 3.7 cm
gornja - pritisnuta zona 4Ø25 - raspored 3+1
≔stvd2 ――――+⋅3 d' ⋅1 d''4
=stvd2 5.5 cm ==stvd2 pretpd2 5.5 cm
donja - zategnuta zona 6Ø25 - raspored 3+3
≔stvd1 ――――+⋅3 d' ⋅3 d''6
=stvd1 7 cm ==stvd1 pretpd1 7 cm
Dimenzionisanje prema transferzalnim silama
≔VSd +⋅1.35 Rg.3 ⋅1.5 Rq.3 =VSd 252.23 kN ≔l01 ―l22
=l01 2.75 m
≔ρs1 ――As1.stv
⋅b d=ρs1 0.0357 ≔ρmin 0.0011 =cRd.c 0.12 =k 1.745
=vmin 0.442 MPa =ν 0.528 ≔αcw 1 ≔θ °45 ≔α °90 ≔fywd fyd
≔VRd.c ⋅⋅
⎛⎜⎜⎜⎝
⋅⋅⋅cRd.c k MPa⎛⎜⎝
⋅⋅100 ρs1 ――fck
MPa
⎞⎟⎠
―13
⎞⎟⎟⎟⎠
b d =VRd.c 82.055 kN
=VRd.c.min 39.783 kN =VRd.max.c 403.92 kN =VRd.max.s 363.528 kN
>VSd VRd.c potrebne su uzengije za prijem smičućih naprezanja
≔s1 ⎛⎝Asw⎞⎠ ⋅Asw ――――――――――――⋅⋅⋅⋅0.9 d fywd (( +cot ((θ)) cot ((α)))) sin ((α))
VSd≔s2 ⎛⎝Asw⎞⎠ ⋅Asw ―――
1⋅b ρmin
za UØ8 ≔Asw1 0.5 cm2 ≔m. 2 ≔Asw ⋅m. Asw1 =s1 ⎛⎝Asw⎞⎠ 5.12 cm
za UØ10 ≔Asw1 0.79 cm2 ≔m. 2 ≔Asw ⋅m. Asw1 =s1 ⎛⎝Asw⎞⎠ 8.089 cm =s2 ⎛⎝Asw⎞⎠ 57.455 cm
usvaja se UØ10 / 7.5cm
≔λ ⋅l01⎛⎜⎝
-1 ――VRd.cVSd
⎞⎟⎠
=λ 1.855 m
≔As.add ⋅VSd ――――――(( -cot ((θ)) cot ((α))))
⋅2 fyd=As.add 2.901 cm
2 usvaja se 1Ø19 ≔As.add.stv 2.84 cm2
d) POS 3 - GSU
=hr 40 cm ≔b br =b 25 cm ≔d1 7 cm ≔d -hr d1 =d 33 cm
=Mg.3 135.586 ⋅kN m =Mq.3 109.184 ⋅kN m =l2 5.5 m =cnom 2 cm (XC1)
zategnuta armatura 6Ø25 =As1.stv 29.45 cm2 =d1 7 cm ≔ϕ 25 mm
pritisnuta armatura 4Ø25 =As2.stv 19.64 cm2 =d2 5.5 cm ≔ϕ 25 mm
Mr Jasmina Todorović, d.g.i - 6 -
-
Betonske konstrukcije u visokogradnji vežbe - 2. primer
≔αe ――Es
Ecm=αe 6.061 ≔MEd +⋅1.0 Mg.3 ⋅1.0 Mq.3 =MEd 244.77 ⋅kN m
položaj neutralne linije - ravnoteža unutrašnjih sila u betonu, pritisnutoj armaturi i zategnutoj armaturi
≔f ((x)) -+――⋅b x2
2⋅⋅αe As2.stv ⎛⎝ -x d2⎞⎠ ⋅⋅αe As1.stv (( -d x)) ≔x root (( ,f ((x)) x)) =x 13.891 cm
Ograničenje napona u preseku
≔σc.lim ⋅0.6 fck =σc.lim 1.8 ――kN
cm2≔σc ――――
⋅2 MEd
⋅⋅b x⎛⎜⎝
-d ―x3
⎞⎟⎠
=σc 4.969 ――kN
cm2>σc σc.lim
≔σs.lim ⋅1.0 fyk =σs.lim 50 ――kN
cm2≔σs ―――――
MEd
⋅As1.stv⎛⎜⎝
-d ―x3
⎞⎟⎠
=σs 29.297 ――kN
cm2
-
Betonske konstrukcije u visokogradnji vežbe - 2. primer
e) POS 4 - dimenzionisanje GSN
=hs 25 cm ≔b bs =b 25 cm pretp. ≔d1 4 cm ≔d -hs d1 =d 21 cm
POS 4/1 ≔NSd.1 +⋅1.35 Ng.4.1 ⋅1.5 Nq.4.1 =NSd.1 88.345 kN ≔M0.Sd ⋅0 kN m
POS 4/2 ≔NSd.2 +⋅1.35 Ng.4.2 ⋅1.5 Nq.4.2 =NSd.2 252.23 kN ≔M0.Sd ⋅0 kN m
Vitkost
≔li Htot =li 450 cm ≔ib ――b‾‾12
=ib 7.217 cm ≔λi ―liib
=λi 62.354
≔A 0.7 ≔B 1.1 ≔C 0.7 ≔Ac ⋅bs hs =Ac 625 cm2
POS 4/1 ≔n1 ―――NSd.1
⋅Ac fcd=n1 0.083 ≔λlim ――――
⋅⋅⋅20 A B C‾‾n1
=λlim 37.385 >λi λlim
POS 4/2 ≔n2 ―――NSd.2
⋅Ac fcd=n2 0.237 ≔λlim ――――
⋅⋅⋅20 A B C‾‾n2
=λlim 22.125 >λi λlim
≔ν1 ――――1
⋅100‾‾‾‾――Htotm
=ν1 0.005 ≔c 10 ≔kR 1 ≔kφ 1
≔εyd ――fydEs
=εyd 0.00217 ≔κ ――――⋅⋅kR kφ εyd⋅0.45 d
=κ 0.00023 ――1
cm
≔ei ――⋅ν1 li
2=ei 1.061 cm ≔e0 ――
M0.SdNSd
=e0 0 cm
≔e2 ⋅⋅―1c
li2 κ =e2 4.658 cm ≔etot ++ei e0 e2 =etot 5.719 cm
POS 4/1 =NSd.1 88.345 kN ≔MSd.1 ⋅NSd.1 etot =MSd.1 5.052 ⋅kN m
POS 4/2 =NSd.2 252.23 kN ≔MSd.2 ⋅NSd.2 etot =MSd.2 14.425 ⋅kN m
kontrola centrično pritisnutog preseka stuba
≔εs 0.002 ≔σs ⋅εs Es =σs 400 MPa
≔Ac.pot ―――――NSd.2
+fcd ⋅0.003 σs=Ac.pot 138.588 cm
2 >Ac Ac.pot
≔As ⋅0.003 Ac =As 1.875 cm2 ≔As.min ⋅0.15 ――
NSd.2fyd
=As.min 0.87 cm2
kontrola ekscentrično pritisnutog preseka stuba
≔νSd ―――NSd.2
⋅⋅b d fcd=νSd 0.283 sa interakcionog dijagrama za dimenzionisanje ekscentrično
pritisnutih, simetrično armiranih preseka se očitava
≔μSd ―――MSd.2
⋅⋅b d2 fcd=μSd 0.077 ≔ω 0.05 ≔As2 As1
≔As1 ⋅⋅⋅ω b d ――fcdfyd
=As1 1.026 cm2 usvaja se 2x2Ø12 ≔As.add.stv ⋅2 2.26 cm
2
crtež!!!
Mr Jasmina Todorović, d.g.i - 8 -