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8/12/2019 Primer Trabajo Metodos Numericos
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PRIMER TRABAJO DE MTODOS NUMRICOS
CAMILO GOMEZ GOMEZ - C.C. 1152685754
FEDERICO PEREZ MESA - C.C. 1037626390
DANIEL RAMREZ SALAZAR - C.C. 1036659069
PROGRAMACIN ESTRUCTURADA Y MTODOS NUMRICOS
FELIPE ANDRS OBANDO
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA
MEDELLIN
2014
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CONTENIDO
Pg
1.Introduccin......... .......4
2.Objetivo general....................................................................5
2.1.Objetivos especficos5
3.Justificacin... ..............6
4.Presentacin del problema...... ...............................7
5.Solucin primer punto........................................10
5.1. Solucin mediante el mtodo grfico........................10
5.2.Solucin mediante los mtodos cerrados...11
5.2.1.Solucin mediante el mtodo de la biseccin.11
5.2.2.Solucin mediante el mtodo de la falsa posicin..................................11
5.2.3.Anlisis de resultados mtodos cerrados.11
5.3.Solucin mediante los mtodos abiertos.12
5.3.1. Solucin mediante el mtodo de iteracin de punto fijo.12
5.3.2. Solucin mediante el mtodo de Newton Raphson.12
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5.3.3. Solucin mediante el mtodo de la secante.13
5.3.4.Anlisis de resultados mtodos abiertos...13
6.Solucin segundo punto.14
6.1.1. Regresin polinmica variable pensamiento vs velocidad.14
6.1.2. Regresin polinmica de la variable frenada vs velocidad.16
6.2.1. Polinomio de Newton para la relacin pensamiento vs velocidad....17
6.2.2. Polinomio de Newton para la relacin frenada vs velocidad..186.3. Valores distancia de frenado del vehculo de acuerdo al pensamiento.19
6.4. Valores distancia de frenado del vehculo de acuerdo a la variable frenada....19
6.5.Anlisis de resultados..20
7. Solucin tercer punto..21
7.1. Solucin mediante el mtodo de Gauss-Seidel..23
7.2. Solucin mediante el mtodo de Jacobi..23
7.3.Solucin mediante el mtodo de Newton....23
7.4. Solucin radio de la placa a 500Lb...24
8. Conclusiones...26
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1. INTRODUCCIN
Existen diferentes alternativas para solucionar problemas matemticos, se pueden obtener soluciones
a travs de mtodos analticos, mtodos grficos, con el uso de calculadoras o reglas de clculo. Pero
tambin existe una metodologa que parte del uso de operaciones matemticas bsicas realizando
clculos puramente aritmticos y lgicos, esta metodologa se conoce como anlisis numrico.
Se pretende con este trabajo obtener, a partir de la implementacin de diferentes mtodos, la solucin
de ecuaciones de una sola incgnita para describir posibles fallas que se tienen en cuenta durante e
diseo de vehculos, as como estimaciones del tiempo de frenado en base a pruebas realizadas y
expresando los resultados a partir de un polinomio que se obtiene como resultado de una regresin
Tambin se obtendrn soluciones de sistemas de ecuaciones usando los mtodos de Gauss-Seide
Newton-Raphson y Jacobi con el fin de predecir la presin necesaria para enterrar objetos en suelo
blando con base en un suelo ms duro.
Todos estos mtodos y anlisis mencionados anteriormente se realizaran contando con la ayuda de
programa MATLAB para la solucin matemtica y contaran con el posterior anlisis de parte del grupo
de trabajo teniendo en cuenta la teora ya conocida en cursos anteriores, as como la teora
desarrollada en clase.
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2. OBJETIVO GENERAL
Resolver problemas matemticos por medio de mtodos numricos de tal forma que puedan
resolverse usando operaciones aritmticas bsicas, es decir, adicin, sustraccin, multiplicacin y
divisin
2.1. OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar a travs de distintos mtodos de solucin de ecuaciones y con la ayuda de software
especializado (matlab) el ngulo que se relaciona con la falla por colisin de la defensa
delantera de un vehculo todo terreno.
Establecer una ecuacin polinmica que determine la relacin existente entre el pensamiento y
frenado de un vehculo respecto a su velocidad
Identificar un sistema de ecuaciones que permita predecir la presin requerida para enterrar un
objeto grande y pesado en el suelo blando
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3. JUSTIFICACION:
Este trabajo se realiza con el fin de profundizar y analizar a fondo lo visto en el curso de programacin
estructurada y mtodos numricos, es decir, reconocer los tres tipos de solucin para ecuaciones de
una incgnita (mtodo grfico, mtodos cerrados y mtodos abiertos). Comprender el uso de
algoritmos para la solucin de sistemas de ecuaciones con los mtodos de Gauss Seidel, Jacobi y
Newton Raphson.
De igual manera se desea entender y saber aplicar el concepto de regresin lineal y de polinomio de
newton para encontrar la relacin existente entre variables anteriormente medidas de manera
experimental.
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4.PRESENTACIN DEL PROBLEMA:
1. En el diseo de los vehculos para todo tipo de terreno, es necesario tener en cuentalas fallas cuando se trata de librar dos tipos de obstculos. Una es la falla por
rozamiento, y ocurre cuando el vehculo intenta cruzar un obstculo que hace que su
fondo toque el suelo. La otra recibe el nombre de falla por colisin de la defensa
delantera y ocurre cuando el vehculo desciende por una zanja y la defensa delantera
toca el suelo.
Figura 1: Modelo simplificado de un vehculo
La figura 1 muestra los componentes asociados al segundo tipo de falla. En ella se
indica que el ngulo mximo que puede alcanzar un vehculo cuando es el ngulo
mximo en que no ocurre la falla por rozamiento satisface la ecuacin:
Asen cos+ B sen2C cos
E sen = 0 (1
Dnde:
A = l sen 1
B = lcos1
C = (h + 0,5D) sen 1 0,5D tan 1
E = (h + 0,5D) cos1 0,5D
(2)
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Para este problema se pide:
a) Elabore uno o varios algoritmos en matlab que permita calcular el valor delngulo cuando se conocen los dems parmetros. Para esto implementetodos los mtodos para el clculo de races vistos en clase.
b) Calcule el valor de cuando l = 89pul g, h = 49pul g,1 = 11,5 y
1) D= 55pul g
2) D= 30pul g
c) Compare los resultados obtenidos y el nmero de iteraciones realizadaspor cada mtodo
d) Analice los resultados.
Nota: Como mtodo de parada utilice un nmero mximo deiteraciones o un error relativo porcentual igual para todos los
mtodos.
2. La distancia requerida para detener un vehculo consta de loscomponentes pensamiento y frena- da cada uno de los cuales es funcin
de la velocidad. Los siguientes datos experimentales fueron recolectados
para cuantificar esta relacin
Tabla 1: Datos distancia de frenada
a) Grafique los datos dados
b) Realice una regresin polinmica que mejor represente cada una de lasrelaciones. Grafique los datos y las ecuaciones obtenidas.
c) Use estas ecuaciones para estimar la distancia de frenado para unvehculo que viaja a110km/hr.
d) Obtenga una polinomio de Newton o Lagrage que mejor represente cadauna de las relacio- nes. Grafique los datos y las ecuaciones obtenidas.
e) Use estas ecuaciones para estimer la distancia de frenado para unvehculo que viaja a110km/hr.
f) Analice los resultados obtenidos.
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3. La presin requerida para enterrar un objeto grande y pesado en un
suelo blando homogneo que se encuentra sobre una base de suelo duro
puede predecirse a partir de la presin necesaria para enterrar objetos
ms pequeos en el mismo terreno. En concreto, la presin p requerida
para enterrar una placa circular de radio r a una distancia d en el sueloblando, donde la base dura se encuentra a una distancia D > d debajo
de la superficie, puede aproximarse mediante una ecuacin de la forma:
p = k1 ek2 r + k3 r
Donde k1 , k2 y k3 son constantes, con k2 > 0 que depende de d y de la
consistencia del terreno pero no del radio de la placa.
a) Calcule los valores de k1 , k2 y k3 si suponemos que una placa cuyo radioes de 1pul g requiere una presin de 10l b/pulg2 para enterrarse 1pie en uncampo fangoso, una placa cuyo radio es de 2pul g requiere una presin de
12l b/pulg2 para enterrarse 1pie y una placa de 3pul g de radio requiere
una presin de 15l b/pulg2 para enterrarse esta distancia (suponiendo que
el lodo tiene una profundidad de ms de 1pie). Para esto implemente en
matlab el mtodo de Gauss-Seidel, Jacobi y Newton-Raphson para resolver
el sistema de ecuaciones resultante. Analise las diferencias obtenidas con
los mtodos.
b) Use los resultados obtenidos anteriormente para predecir el tamaomnimo de la placa circular que necesitar para sostener una carga de 500l
b en este campo, con un hundimiento menor a 1pie.
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5. SOLUCION PRIMER PUNTO
5.1. SOLUCIN MEDIANTE EL MTODO GRFICO
Procedemos a ingresar el algoritmo a matlab y grficos para encontrar el cero de
la raz visualmente
Vemos entonces con la grafica que la raiz de la ecuacin es aproximadamente
0.58
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5.2 SOLUCIN MEDIANTE LOS MTODOS CERRADOS
5.2.1. Solucin mediante el mtodo de la biseccin
Al realizar la solucin de la siguiente ecuacin mediante el mtodo de la biseccin
en matlab
El valor de la raiz obtenida mediante el algoritmo es : c=0.5750
El numero de interaciones fue 10
5.2.2. Solucin mediante el mtodo de la falsa posicin
Al realizar la solucin de la siguiente ecuacin mediante el mtodo de la falsa
posicin en matlab
El valor de la raiz obtenida mediante el algoritmo es : c=0.5773
5.2.3. Anlisis resultados mtodos cerrados
Podemos observar que al realizar la solucin de la ecuacin mediante los mtodos
cerrados y el mtodo grfico los 3 resultados son aproximadamente iguales lo que
nos lleva a pensar que los mtodos estn convergiendo al valor real de la raz,
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5.3. SOLUCIN MEDIANTE LOS MTODOS ABIERTOS
5.3.1. Solucin mediante el mtodo de la iteracin de punto fijo
Al realizar la solucin de la siguiente ecuacin mediante el mtodo de la falsa
posicin en matlab
Al igual que en los mtodos cerrados y partiendo de los datos suministrados, la
raiz resultante es c=0.46046. El nmero necesario de iteraciones para llegar al
resultado es de 1 que parte de un valor semilla de 0.3
5.3.2. Solucin mediante el mtodo de Newton Raphson
Al realizar la solucin de la siguiente ecuacin mediante el mtodo de la falsa
posicin en matlab
Al igual que en los mtodos cerrados y partiendo de los datos suministrados, la
raiz resultante esc=0.564641 El nmero necesario de iteraciones para llegar al
resultado es de 6 que parte de un valor semilla de 0.3
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5.3.3. Solucin mediante el mtodo de la secante
Al realizar la solucin de la siguiente ecuacin mediante el mtodo de la falsa
posicin en matlab
Al igual que en los mtodos cerrados y partiendo de los datos suministrados, laraz resultante esc=0.5085.El nmero necesario de iteraciones para llegar al
resultado es de 6 que parte de un valor semilla de Xo= 0.3 y X1=0.6
5.3.4. Anlisis de resultados mtodos abiertos
Obsrvese que en los mtodos abiertos para lograr el mismo resultado que se
obtuvo en los mtodos cerrados, se requiere de un valor semilla muy cercano a la
raz real y un nmero bajo de iteraciones.
En promedio la raz obtenido fue 0.5112 que corresponde a 29.28 grados
sexagesimales. Este grado de inclinacin es el que tiene la lnea que une los dosejes de las ruedas del vehculo (L). Para un ngulo Beta mximo y para un valor
de alfa mayor o igual a 29.28 grados ocurre una falla por colisin de defensa
delantera
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6. SOLUCIN SEGUNDO PUNTO
Para resolver el segundo punto del taller primero cabe anotar que las variables
pensamiento y frenada estarn en funcin cada uno de la velocidad del vehculo,
es decir, cada una de ellas tendr su propia ecuacin
6.1.1. Regresin polinmica variable pensamiento vs velocidad
Ecm=0.0989 (Error cuadrtico medio)
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A partir de la grfica y el error que se tiene de la obtencin del polinomio, se pude
ver que dicho polinomio de grado 2 representa de manera fidedigna la relacin
existente entre la variable pensamiento y la velocidad del vehculo
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6.1.2. Regresin polinmica de la variable frenada vs velocidad
Ecm= 0,1198 (error cuadrtico medio)
Se observa en la grfica obtenida del polinomio de grado 2 y del error cuadrtico
medio, la relacin de dependencia que tiene la capacidad de frenado respecto a lavelocidad del auto. Se ve claramente que la ecuacin satisface punto a punto la
funcin y muestra un error mnimo.
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6.2.1. Polinomio de Newton para la relacin pensamiento vs velocidad
De acuerdo con el polinomio de newton obtenido, se observa que para describir
punto a punto la funcin que relaciona la variable pensamiento con la velocidad
del vehculo es necesario un polinomio de grado 5
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6.2.2. Polinomio de Newton para la relacin frenada vs velocidad
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6.3. Valores distancia de frenado del vehculo de acuerdo al pensamiento
Reemplazando el valor de 110Km/h en la ecuacin obtenida al realizar la
regresin lnea para la variable pensamiento (6.1.1) obtenemos:
20.098978
Reemplazando el valor de 110Km/h en el polinomio de newton que mejor
representa la relacin de la variable pensamiento con la velocidad del vehculo
(6.2.1) obtenemos:
6.4. Valores distancia de frenado del vehculo de acuerdo a la variable
frenada
Reemplazando el valor de 110Km/h en la ecuacin obtenida al realizar la
regresin lnea para la variable frenada (6.1.2) obtenemos:
Reemplazando el valor de 110Km/h en el polinomio de newton que mejor
representa la relacin de la variable frenada con la velocidad del vehculo (6.2.2)
obtenemos:
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6.5. Anlisis de resultados
Variable pensamiento vs velocidad:De los resultados obtenidos tanto de
la regresin polinmica como del polinomio de newton se puede decir que
son coherentes con la distancia intuitiva que se esperara a la reaccin
humana, es decir que el tiempo de reaccin segn ambos polinomios es de
aproximadamente medio segundo para una velocidad de 110km/h.
Variable frenada vs velocidad: se ve claramente que de la misma manera
en que la relacin terica pensamiento-velocidad muestra concordancia con
lo esperado en un resultado real, la relacin frenada-velocidad manifiestaasimismo un comportamiento aproximado a lo esperado. Entonces para
una velocidad de 110km/h el vehculo luego de la reaccin del conductor
tarda aproximadamente 70 m en detenerse.
Tericamente se conoce que el teorema de newton es ms exacto y se observa
que en ambos casos, tanto pensamiento como frenado, este polinomio presenta
una reduccin de distancia para reaccionar y detener el vehculo.
Por ltimo cabe sealar que para la velocidad de 110 km/h se requieren para
frenar, en promedio y de acuerdo a los polinomios obtenidos segn ambos
mtodos, 19.11 m por pensamiento y 69.425m de espacio recorrido durante el
frenado, para un total de 88.535m.
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7. SOLUCIN TERCER PUNTO
Para solucionar dicho punto se procede primero a montar el sistema de
ecuaciones de acuerdo a los datos entregados en el problema obteniendo lo
siguiente:
Para expresar el sistema de ecuaciones bien, procederemos a sacar logaritmo
natural a ambos lados obteniendo:
Teniendo as el sistema, obtendramos la siguiente matriz que nos ayudara a
resolver el problema:
=
x
En base a esta matriz, obtendramos las funciones que piden los mtodos al
momento de resolverlo matemticamente, es decir, g1(y,z) , g2(x,z) , g3(x,y)
Cabe anotar que para nuestro caso en la solucin de las ecuaciones:
; ;
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Luego de definir a x, y, z definiremos a g1, g2 y g3 de la siguiente manera:
Tomaremos los valores x=1, y=1,z=1 para hallar el valor semilla de cada variable
y reemplazando estos valores en las ecuaciones anteriores obtenemos:
; ;
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7.1. Solucin mediante el mtodo de Gauss-Seidel
Reemplazando los valores obtenidos, en el algoritmo del mtodo de Gauss Seidelobtenemos que:
; y ;
Es decir, recuperando la sustitucin hecha:
; Obteniendo que
; Obteniendo que
7.2. Solucin mediante el mtodo de Jacobi
Reemplazando los valores obtenidos, en el algoritmo del mtodo de Jacobi
obtenemos los siguientes valores:
; y ;
Obteniendo que ; ;
7.3. Solucin mediante el mtodo de Newton
Reemplazando los valores obtenidos, en el algoritmo del mtodo de Newton
obtenemos los siguientes valores:
; y ;
Obteniendo que ; ;
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7.4. Solucin radio de la placa a 500 lb
Mediante el mtodo de Gauss-Seidel
p = k1 ek2 r + k3 r
Con los valores obtenidos gracias al mtodo de Gauss-Seidel y
despejando r de la ecuacin anterior obtenemos la siguiente expresin:
Resolviendo dicha ecuacin con el mtodo de la biseccin
obtenemos un valor de r=8.61 pulgadas
Mediante el mtodo de Jacobi
p = k1 ek2 r + k3 r
Con los valores obtenidos gracias al mtodo de jacobi y despejando r de la
ecuacin anterior obtenemos la siguiente expresin:
Resolviendo dicha ecuacin con el mtodo de la biseccin
obtenemos un valor de r=5.4 pulgadas
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Mediante el mtodo de Newton
p = k1 ek2 r + k3 r
Con los valores obtenidos gracias al mtodo de Newton y despejando r de
la ecuacin anterior obtenemos la siguiente expresin:
Resolviendo dicha ecuacin con el mtodo de la biseccin
obtenemos un valor de r=5.2499 pulgadas
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8. CONCLUSIONES
Gracias al software matemtico, para este caso MATLAB, es posible
implementar rpidamente mtodos numricos para la solucin de
problemas complejos de ingeniera que de otra manera requeriran una
inversin de tiempo y de recursos relativamente altos y sin garanta de
obtener resultados satisfactorios que permitan aplicaciones acertadas en
aplicaciones de considerada relevancia en distintas reas de trabajo.
Para la solucin de ecuaciones con una incgnita existen dos grupos de
mtodos, abiertos y cerrados. Con los mtodos cerrados la posibilidad deencontrar la solucin que aplica a la realidad del problema es alta, mientras
que para los mtodos abiertos es necesario un conocimiento ms profundo
del problema que se trata de solucionar para evitar as incurrir en
soluciones no acordes a la realidad o incongruencias matemticas como
divergencias en el valor solucin. A pesar del mayor gasto de recursos, los
mtodos cerrados cuentan con mayor confiabilidad a la hora de obtener
resultados positivos.
De acuerdo a la teora, al anlisis y a los resultados obtenidos se evidencia
que los mtodos implementados satisfacen correctamente con lo requerido,
y concordando con la teora, el mtodo de newton es el ms acertado y
preciso en la prctica, dejando claro que es el mtodo ms confiable para la
solucin de ecuaciones polinmicas