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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Primzahlen
Sascha Dame
Proseminar:Implementierung mathematischer Algorithmen
09.01.2014
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
2 PrimzahltestsSieb des EratosthenesSieb des AtkinFermatscher PrimzahltestMiller-Rabin-TestLucas-Lehmer-TestWeitere Primzahltests
3 Interessantes
4 Fazit
5 Quellen
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
GrundlagenWas ist eine Primzahl?
Definition (Primzahl)
Eine Zahl p ∈ N mit p > 1, die nur triviale Teiler besitzt,bezeichnet man als Primzahl .
Alternativ: Eine Zahl p ∈ N mit genau 2 Teilern heißtPrimzahl .
Definition (prim, zusammengesetzt)
Eine Zahl p ∈ N heißt prim, wenn sie eine Primzahl ist.
Andernfalls heißt sie zusammengesetzt.
Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt.
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GrundlagenEigenschaften von Primzahlen
Primzahlen lassen sich nicht als Produkt von zwei verschiedenennaturlichen Zahlen darstellen.
Bis die auf 2 sind alle Primzahlen ungerade.
Primzahlen > 3 haben eine der folgenden Formen:p = 4k + 3 oder p = 4k + 1p = 6k + 1 oder p = 6k − 1 mit k ∈ N
Allerdings ergeben diese Formeln nicht fur jedes k eine Primzahl!
Sei p prim und p = 4k + 1 ⇒ p = a2 + b2 mit a, b ∈ Z
Weitere Eigenschaften werden bei den Primzahltests ersichtlich.
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GrundlagenSatze, Lemmata, Vermutungen I
Satz (Satz von Euklid)
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
“Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl vonPrimzahlen“ (Buch der Elemente(IX, Proposition 20)
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik - Euklid)
Jede positive Zahl lasst sich als Produkt von Primzahlen schreiben.Diese Darstellung ist bis auf ihre Reihenefolge eindeutig.
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GrundlagenSatze, Lemmas, Vermutungen II
Lemma (Lemma von Euklid)
Ist ein Produkt zweier naturlicher Zahlen durch eine Primzahlteilbar, so ist mindestens einer der Faktoren durch sie teilbar.
Anmerkung: Diese Eigenschaft geht in den komplexen ganzenZahlen verloren!
Faktorisierungsverfahren
Rho-Methode
Polland p-1
(p+1)-Faktorisierung
Kettenbruchen
Elliptische Kurven
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GrundlagenSatze, Lemmas, Vermutungen III
Vermutung (Starke/binare Goldbachsche Vermutung)
Jede gerade Zahl großer als 2 kann als Summe zweier Primzahlengeschrieben werden.
Bisher bis 4 · 1018 bewiesen (Stand April 2012) [1].
Vermutung (schwache/ternare Goldbachsche Vermutung)
Jede ungerade Zahl großer als 5 kann als Summe dreier Primzahlengeschrieben werden.
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Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
2 PrimzahltestsSieb des EratosthenesSieb des AtkinFermatscher PrimzahltestMiller-Rabin-TestLucas-Lehmer-TestWeitere Primzahltests
3 Interessantes
4 Fazit
5 Quellen
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Primzahltest
Definition (Primzahltest)
Ein mathematisches Verfahren, um festzustellen, ob eine gegebene Zahln ∈ N prim oder zusammengesetzt ist, wird als Primzahltest bezeichnet.
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Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
2 PrimzahltestsSieb des EratosthenesSieb des AtkinFermatscher PrimzahltestMiller-Rabin-TestLucas-Lehmer-TestWeitere Primzahltests
3 Interessantes
4 Fazit
5 Quellen
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Sieb des EratosthenesWer hat es erfunden?
Das Sieb des Eratosthenes wurde nach dem griechischenMathematiker Eratosthenes von Kyrene benannt.
Er wird oft als der Erfinder dieses Verfahrens bezeichnet, dabeifuhrte er nur den Begriff “Sieb“ zu seiner Zeit ein.
Wer den Algorithmus entdeckt/erfunden hat, ist unbekannt.
[B1]
Eratosthenes von Kyrenezwischen 276 und 273 v. Chr. in Kyrene; † um 194 v. Chr
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Sieb des EratosthenesWas macht es?
Das Sieb des Eratosthenes “siebt“ bis zur einer beliebigen Zahl nalle nicht-prim-Zahlen aus.
Dadurch entsteht eine Liste mit Primzahlen.
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Sieb des EratosthenesWie funktioniert es?
1 Zahlen von 2 bis n notieren.
2 Alle Vielfachen von 2 markieren.
3 Zur nachsten unmarkierten Zahl gehen.
4 Beim Quadrat dieser Zahl beginnend alle Vielfachen markieren.
5 Wiederholen der Schritte 3 und 4 bis einschließlich√n.
6 Jede unmarkierte Zahl ist prim.
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Sieb des EratosthenesZeig mal!
Beispiel: n = 30
2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
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Sieb des EratosthenesImplementierung
1 void eratosthenes2 (unsigned __int64 max , bool numbers [])
2 {
3 unsigned __int64 limit = sqrt(double(max ));
4
5 numbers [0] = numbers [1] = false;
6 numbers [2] = true;
7
8 for(unsigned __int64 i = 3; i <= max; i+=2)
9 numbers[i] = true;
10
11 for(unsigned __int64 i = 4; i <= max; i+=2)
12 numbers[i] = false;
13
14 for(unsigned __int64 i = 3; i <= limit; i+=2)
15 for(unsigned __int64 j = i; numbers[i] && i*j <= max; j+=2)
16 numbers[i*j] = false;
17 }
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Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
2 PrimzahltestsSieb des EratosthenesSieb des AtkinFermatscher PrimzahltestMiller-Rabin-TestLucas-Lehmer-TestWeitere Primzahltests
3 Interessantes
4 Fazit
5 Quellen
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Sieb von AtkinWer hat es erfunden?
Das Sieb von Atkin wurde im Jahr 2004 von A.O.L Atkin und Daniel J.Bernstein entwickelt.
Arthur Oliver Lonsdale Atkin
* 31. Juli 1925; † 28. Dezember 2008.
War ein britisch-US-amerikanischer Mathematiker.
Daniel Julius Bernstein:
* 29. Oktober 1971.
Ist ein deutsch-amerikanischer Mathematiker, Kryptologe undProgrammierer.
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Sieb von AtkinWer hat es erfunden?
[B2] [B3]
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Sieb von AtkinWas macht es?
Das Sieb von Atkin ist eine verbesserte Form des Siebs vonEratosthenes.
Hier werden anfangs bestimmte Modulo 12 Reste aussortiert undanschließend alle Vielfachen von Primzahlquadraten gestrichen.
Am Ende verbleibt wieder eine Liste mit Primzahlen.
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Sieb des AtkinWie funktioniert es?
1 Zahlen von 2 bis n notieren.
2 Bis auf 2, 3 und 5 werden alle markiert.
3 Berechne fur jede Zahl z > 5 : Rest = z mod 12.
Wenn der Rest 1 oder 5 ist, wird die Markierung fur jedeLosung der Gleichung z = 4x2 + y2 geandert.Wenn der Rest 7 ist, wird die Markierung fur jede Losung derGleichung z = 3x2 + y2 geandert.Wenn der Rest 11 ist, wird die Markierung fur jede Losung derGleichung z = 3x2 − y2 mit x > y geandert.
4 Von vorne beginnend: Nachste unmarkierte Zahl wahlen.
5 Diese Zahl quadrieren und alle Vielfachen davon markieren.
6 Wiederholen der Schritte 4 und 5 bis einschließlich√n.
7 Jede unmarkierte Zahl ist prim.
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Sieb des AtkinZeig mal!
Beispiel: n = 30
2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
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Sieb des AtkinImplementierung I
1 void atkin(unsigned int max , bool numbers [])
2 {
3
4 unsigned int limit = ceil(sqrt(double(max )));
5 unsigned int n;
6
7 for(unsigned int i = 0; i <= max; i++)
8 numbers[i] = false;
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Sieb des AtkinImplementierung II
10 for(unsigned int x = 1; x <= limit; x++)
11 {
12 for(unsigned int y = 1; y <= limit; y++)
13 {
14 n = 4*x*x + y*y;
15 if((n <= max) && (n % 12 == 1 || n % 12 == 5))
16 numbers[n] = !numbers[n];
17
18 n = 3*x*x + y*y;
19 if(n <= max && n % 12 == 7)
20 numbers[n] = !numbers[n];
21
22 n = 3*x*x - y*y;
23 if(x > y && n <= max && n % 12 == 11)
24 numbers[n] = !numbers[n];
25 }
26 }
Sascha Dame
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Sieb des AtkinImplementierung III
28 numbers [3] = true;
29
30 for(unsigned int k = 5; k <= limit; k+=2)
31 {
32 if(numbers[k])
33 {
34 unsigned int i = 1;
35
36 while(i*k*k <= max)
37 numbers [(i++)*k*k] = false;
38 }
39 }
40 }
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
2 PrimzahltestsSieb des EratosthenesSieb des AtkinFermatscher PrimzahltestMiller-Rabin-TestLucas-Lehmer-TestWeitere Primzahltests
3 Interessantes
4 Fazit
5 Quellen
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Fermatscher PrimzahltestWer hat es erfunden?
Der Fermatsche Primzahltest basiert auf den “kleinen Satz von Fermat“(im 17. Jahrhundert formuliert von Pierre de Fermat).
Pierre de Fermat
* in der zweiten Halfte des Jahres 1607; † 12. Januar 1665.
War ein franzosischer Mathematiker.
[B4]
Pierre de Fermat
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Fermatscher PrimzahltestWas macht es?
Satz (Kleiner Satz von Fermat)
Sei a ∈ Z und p eine Primzahl, dann gilt folgende Kongruenz:ap ≡ a (mod p)
Sollte a kein Vielfaches von p sein, gilt außerdem: ap−1 ≡ 1 (mod p)
Definition (a-PRP-Zahl)
Eine Zahl n ∈ N heißt a-PRP Zahl (engl. probable prime), genaudann, wenn sie zu a teilerfremd ist und folgende Bedingung erfullt:an−1 = 1 (mod n)
Eine a-PRP Zahl ist wahrscheinlich eine Primzahl.
Definition (a-Pseudo-Primzahl)
Eine Zahl n ∈ N die a-PRP-Zahl aber zusammengesetzt ist, nenntman a-Pseudo-Primzahl.
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Fermatscher PrimzahltestWie funktioniert es?
1 Bestimmen der zu untersuchenden Zahl n.
2 Basis a mit 1 < a < n wahlen.
3 Wenn n und a nicht teilerfremd ⇒ n ist zusammengesetzt.
4 Wenn an−1 (mod n) 6= 1 (Kleiner Satz von Fermat)
Dann: n ist zusammengesetzt.Sonst: n ist a-PRP.
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Fermatscher PrimzahltestFehlerwahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit fur eine a-Pseudo-Primzahl liegt bei hochstens 12 .
Wenn man dies mit genugend vielen Basen erfolgreich wiederholt,sinkt die Wahrscheinlichkeit auf hochstens 1
2s .
Ab s > 25 ist die Wahrscheilichkeit von einem Blitz getroffen zuwerden großer als dass der Test ein falsches Ergebnis liefert.
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Fermatscher PrimzahltestZeig mal!
Beispiel: n = 11 und n = 9
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Fermatscher PrimzahltestImplementierung
1 bool fermat(BigInteger number , BigInteger base)
2 {
3 BigInteger check;
4
5 if(number < 2)
6 false;
7
8 check = powMod(base , number -1, number );
9
10 if(check != 1)
11 return false;
12
13 return true;
14 }
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Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
2 PrimzahltestsSieb des EratosthenesSieb des AtkinFermatscher PrimzahltestMiller-Rabin-TestLucas-Lehmer-TestWeitere Primzahltests
3 Interessantes
4 Fazit
5 Quellen
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Miller-Rabin-TestWer hat es erfunden?
1974 entdeckte John L. Selfridge diesen Algorithmus.
Benannt wurde er allerdings nach Gary L. Miller und Michael O.Rabin, die diesen 1976 veroffentlichen.
John Lewis Selfridge
* 17. Februar 1927; † 31. Oktober 2010.
War ein US-amerikanischer Mathematiker.
Gary Lee Miller
* 20. Jahrhundert.
Ist ein US-amerikanischer Informatiker.
Michael Oser Rabin
* 1. September 1931.
Ist ein israelischer Informatiker
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Miller-Rabin-TestWer hat es erfunden?
[B5] [B6]
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Miller-Rabin-TestWas macht es?
Definition (a-SPRP-Zahl)
Eine Zahl n ∈ N mit n = d · 2exp + 1 heißt a-SPRP Zahl (engl.strong probable prime), genau dann, wenn sie zu a teilerfremd istund eine der folgenden Bedingungen erfullt:ad = 1 (mod n) oder ad·2
r
= −1 (mod n) mit 1 ≤ r ≤ exp
Eine a-SPRP Zahl ist sehr wahrscheinlich eine Primzahl.
Definition (Starke a-Pseudo-Primzahl)
Eine Zahl n ∈ N die a-SPRP-Zahl aber zusammengesetzt ist, nenntman starke a-Pseudo-Primzahl.
Jede starke a-Pseudo-Primzahl ist auch eine a-Pseudo-Primzahl.
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Miller-Rabin-TestWie funktioniert es?
1 Bestimmen der zu untersuchenden Zahl n.
2 Basis a mit 1 < a < n wahlen.
3 Setze: d = n − 1 und exp = 0
4 d wird halbiert, bis es ungerade ist.exp wird dabei jedes mal um 1 hochgezahlt.
5 Wenn ad mod n = 1 oder −1 ⇒ n ist a-PRP.
6 Sonst wenn ∀r ∈ N, 1 ≤ r ≤ exp : ad·2r
mod n 6= −1
Dann: n ist zusammengesetztSonst: n ist a-PRP.
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Miller-Rabin-TestFehlerwahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit fur eine a-starke-Pseudo-Primzahl liegt beihochstens 1
4 .
Wenn man dies mit genugend vielen Basen erfolgreich wiederholt,sinkt die Wahrscheinlichkeit auf hochstens 1
4s .
Ab s > 12 ist die Wahrscheilichkeit von einem Blitz getroffen zuwerden großer als dass der Test ein falsches Ergebnis liefert.
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Miller-Rabin-TestZeig mal!
Beispiel: n = 11 und n = 21
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Miller-Rabin-TestImplementierung I
1 bool millerRabin(BigInteger number , BigInteger base)
2 {
3 BigInteger d = number -1;
4 BigInteger exp = 0;
5 BigInteger check;
6
7 if(number == 2)
8 return true;
9
10 if(number < 2)
11 return false;
12
13 if(number % 2 == 0)
14 return false;
15
16 while(d % 2 == 0)
17 {
18 d /= 2;
19 exp ++;
20 }
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Miller-Rabin-TestImplementierung II
22 check = powMod(base , d, number ); //a^d mod n
23
24 if(check == 1 || check == number -1)
25 return true;
26
27 for(BigInteger k = 1; k < exp; k++)
28 {
29 //a^{d*2^k} mod n
30 check = powMod(base , d*bigPow(2,k), number );
31
32 if(check == number -1)
33 return true;
34 }
35 return false;
36 }
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
2 PrimzahltestsSieb des EratosthenesSieb des AtkinFermatscher PrimzahltestMiller-Rabin-TestLucas-Lehmer-TestWeitere Primzahltests
3 Interessantes
4 Fazit
5 Quellen
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Lucas-Lehmer-TestWer hat es erfunden?
1930 von Derrick Lehmer formuliert
Geht auf Edouard Lucas zuruck.
Derrick Henry Lehmer
* 23. Februar 1905; † 22. Mai 1991
War ein US-amerikanischer Mathematiker, spezialisiert aufZahlentheorie.
Francois Edouard Anatole Lucas
* 4. April 1842; † 3. Oktober 1891.
War ein franzosischer Mathematiker.
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Lucas-Lehmer-TestWer hat es erfunden?
[B7] [B8]
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Lucas-Lehmer-TestWas macht es?
Definition (Mersenne-Primzahl)
Sei p prim. Eine Primzahl der Form Mp = 2p − 1 heißt dannMersenne-Primzahl.
Definition (Lucas-Folge)
Eine Folge mit s1 = 4 und sk+1 = s2k − 2 wird als Lucas-Folgebezeichnet.
siehe auch Definition im Vortrag Goldener Schnitt von DarioJotanovic.
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Lucas-Lehmer-TestWie funktioniert es?
1 Bestimmen einer Primzahl p > 2.
2 Setze Mp = 2p − 1.
3 Berechne sp−1.
4 Wenn sp−1 mod Mp = 0, dann ist Mp prim .
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Lucas-Lehmer-TestZeig mal!
Beispiel: p = 5 und p = 11
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Lucas-Lehmer-TestImplementierung
1 bool lucasLehner(BigInteger prim)
2 {
3 BigInteger m = bigPow(2, prim) - 1;
4 BigInteger s = 4;
5
6 for(BigInteger k = 2; k <= prim -1; k++)
7 {
8 //(a+b) mod m = [(a mod m) + (b mod m)] mod m
9 s = (powMod(s,2,m) - (BigInteger (2)%m)) % m;
10 }
11
12 if(s == 0)
13 return true;
14
15 else
16 return false;
17 }
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Lucas-Lehmer-TestTop 10 Mersenne-Primzahlen
Zahl Anzahl der Ziffern Jahr
23.021.377 − 1 909.526 1998
26.972.593 − 1 2.098.960 1999
213.466.917 − 1 4.053.946 2001
220.996.011 − 1 6.320.430 2003
224.036.583 − 1 7.235.733 2004
225.964.951 − 1 7.816.230 2005
230.402.457 − 1 9.152.052 2005
232.582.657 − 1 9.808.358 2006
243.112.609 − 1 12.978.189 2008
257.885.161 − 1 17.425.170 2013
[2]
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Weitere Primzahltests
Probedivision
APRCL-Test
Solovay-Strassen-Test
Lucas-Test
Pocklington-Primzahl-Test
AKS-Methode (mit polynomieller Laufzeit)
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
2 PrimzahltestsSieb des EratosthenesSieb des AtkinFermatscher PrimzahltestMiller-Rabin-TestLucas-Lehmer-TestWeitere Primzahltests
3 Interessantes
4 Fazit
5 Quellen
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
InteressantesBegriffe
Elitare Primzahlen
Fastprimzahlen
Gluckliche Primzahlen
Gute Primzahlen
Pierpont-Primzahlen
Prothsche Primzahlen
Schwache Primzahlen
Sophie-Germain-Primzahlen
Wall-Sun-Sun-Primzahlen
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
InteressantesThemenbereiche
Primzahllucken
Primzahl-Zwillinge, -Drillinge etc.
“Primzahlformeln“
Symmetrische und vollstandige Primzahlen
Riemannsche Zeta-Funktion
Zusammenhang zwischen Natur und Primzahlen [Z1]
Zikaden und Primzahlen [Z2]
Primzahlen im chemischen Aufbau der Natur [Z3]
Primzahlen im Aufbau der DNS [Z4]
Verschlusselung: RSA-Verfahren [Z5]
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
2 PrimzahltestsSieb des EratosthenesSieb des AtkinFermatscher PrimzahltestMiller-Rabin-TestLucas-Lehmer-TestWeitere Primzahltests
3 Interessantes
4 Fazit
5 Quellen
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Fazit
Primzahlen ubernehmen ahnliche Rolle, wie die chemischenElemente im Periodensystem.
Eventuelle Moglichkeit eines auf Primzahlen basierendenZahlensystems.
Weiterentwicklungen bzw. Optimierungen von Primzahltests werdenstandig fortgefuhrt.
Zusammenhange zwischen Natur und Primzahlen sind ersichtlich.
Primzahlen sind und bleiben eine mathematische Spielerei.
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Alles hat ein Ende, nur die Wurst hat zwei!
VIELEN DANK!(wer das liest, muss klopfen!)
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
2 PrimzahltestsSieb des EratosthenesSieb des AtkinFermatscher PrimzahltestMiller-Rabin-TestLucas-Lehmer-TestWeitere Primzahltests
3 Interessantes
4 Fazit
5 Quellen
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
QuellenAllgemein
http://primzahlen.zeta24.com/
http://primzahlen.zeta24.com/de/primzahltests.php
http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl
http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:
_Zahlentheorie:_Warum_1_keine_Primzahl_ist
http://did.mat.uni-bayreuth.de/~wn/ss_01/beller/
Seminar/HTML/pz4.htm
http://www.primzahlen.de/
http://www.mathematische-basteleien.de/primzahl.htm
[1] http://de.wikipedia.org/wiki/Goldbachsche_Vermutung
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
QuellenPrimzahltests - Siebe
Eratosthenes:
http://www.imn.htwk-leipzig.de/~jahn/Cprog/
Alg_Inf_Jahr_pdf/eratosth.pdf
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bc/
Eratosthenes.jpg
Atkin:
http://de.wikipedia.org/wiki/A._O._L._Atkin
http://de.wikipedia.org/wiki/Daniel_J._Bernstein
http://de.wikipedia.org/wiki/Sieb_von_Atkin
http://dotnet-snippets.de/snippet/das-sieb-von-atkin/
1426
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
QuellenPrimzahltests - Fermat, Miller-Rabin
Fermat:
http://primzahlen.zeta24.com/de/
fermatscher_primzahltest.php
http://de.wikipedia.org/wiki/Fermatscher_Primzahltest
http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/
Fermatscher_Primzahltest.html
MillerRabin:
http://primzahlen.zeta24.com/de/
miller_rabin_primzahltest.php
http://de.wikipedia.org/wiki/Miller-Rabin-Test
http://miller-rabin.appspot.com/
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
QuellenPrimzahltests - Lucas-Lehmer
Lucas-Lehmer:
[2] http://de.wikipedia.org/wiki/Mersenne-Primzahl
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/
mersenneprim.html
http://de.wikipedia.org/wiki/Derrick_Lehmer
http://de.wikipedia.org/wiki/Lucas-Lehmer-Test
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
QuellenBilder
[B1] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Eratosthenes.jpg/200px-Eratosthenes.jpg
[B2] http://www.riverforest.com/ArchiveImages/18157a.jpg
[B3] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dan_Bernstein_27C3.jpg
[B4] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pierre_de_Fermat.jpg
[B5] http://de.wikipedia.org/wiki/Michael_O._Rabin
[B6] http://www.cs.cmu.edu/~glmiller/Pictures/bust.jpg
[B7] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Derrick_Henry_Lehmer.jpg
[B8] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elucas_1.png
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
QuellenProgrammier-Hilfe
BigInteger:
http://de.wikipedia.org/wiki/Integer_(Datentyp)
https://mattmccutchen.net/bigint/
Modulo:
http://community.topcoder.com/tc?
module=Static&d1=tutorials&d2=primalityTesting
http://www.infler.de/forum/viewtopic.php?
t=6427&sid=91b1704fe4bbf932f589fcf42d3bcb62
Sascha Dame
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Grundlagen Primzahltests Interessantes Fazit Quellen
QuellenInteressantes
http://www.faz.net/aktuell/wissen/physik-chemie/
hardys-vermutung-primzahlen-ohne-ende-1172066.html
[Z1] http://www.3sat.de/page/?source=/hitec/156496/index.html
[Z2] http://www.heise.de/tp/artikel/28/28863/1.html
[Z2] http://www.envipro.de/Ausbildung/PrimzahlenZikaden.pdf
[Z2] http://wwwb.sixbreak.de/quizfrage/die-biologie-der-primzahlen-warum-ist-die-zahl-der-jahre-die-zwischen-zwe
[Z3] http://www.primzahlen.de/primzahlen/chemie.pdf
[Z4] http://www.primzahlen.de/primzahlen/dns.pdf
[Z5] http://www.scoberlin.de/content/media/http/informatik/rsa/rsavollmer.pdf
Sascha Dame