Princip inercije
Ako tijelo ostavimo na nekom mjestu ono će
ostati mirovati ili se gibati jednolikom brzinom
po pravcu.
Razvio koncept dinamike
Pretpostavio je da je gibanje tijela nečim
uzrokovano
Definirao tri osnovna zakona gibanja
Gravitacija
Elektro-magnetska sila (Lorentz-ova)
Jaka sila
Slaba sila
+ 38Elektromagnetska sila
10Gravitacijska sila
proton
elektron
Jaka sila veže
protone
i
neutrone
u atomskoj
jezgri
n
Slaba sila:
Raspad neutrona
+
proton
elektron
Opis gibanja u klasičnoj mehanici uključuje izbor
referentnog sustava.
Uključuje izbor:
◦ Prostorno ishodište,
◦ Prostorne koordinate koje odreĎuju poziciju tijela
◦ Vremensko ishodište – mjerenje vremena.
Dva referentna sustava se mogu razlikovati na više načina
◦ Različita vremenska ishodišta (istovremenost)
◦ Različita prostorna ishodišta i orijentacija osi
◦ Relativna brzina ili akceleracija
Mudar odabir referentnog sustava može jako pomoći pronalaženju
riješenja odreĎenog problema.
Svi referentni sustavi nisu fizikalno ekvivalentni.
◦ Zakoni mehanike mogu biti formulirani u jednostavnoj formi u
inercijalnim sustavima.
◦ Zakoni mehanike neovisni su o upotrijebljenom inercijalnom
referentnom sustavu.
Masa tijela je mjera inercije, tj. otpor tijela promjeni
brzine (akceleraciji).
Mjerna jedinica (SI): kilogram
Mjerenja mase
◦ Troma masa
◦ Teška (gravitaciona) masa
Inercija (tromost) je tendecija tijela da nastavi s gibanje kakvo je imalo prije promjene
Masa je mjera tromosti, tj. otpor tijela da promjeni stanje svog gibanja uslijed djelovanja sile
Zaštitni pojas
Inercija (tromost) je tendecija tijela da nastavi s gibanje kakvo je imalo prije promjene
Masa je mjera tromosti, tj. Otpor tijela da promjeni stanje svog gibanja uslijed djelovanja sile
Neformalno: mjera djelovanja na tijelo koje uzrokuje njegovo pokretanje.
Formalno: mjera akcije potrebne da se tijelo referentne mase (npr. jedinične mase) pokrene s odreĎenom akceleracijom.
Mjerna jedinica (SI): njutn (N)◦ Newton je definiran kao sila potrebna da ubrza masu jednog
kilograma akceleracijom od 1 m/s2.
2
kg mN
s
“Tijelo će ostati u stanju mirovanja
ili jednolikog gibanja po pravcu ako
na njega ne djeluje niti jedna sila ili
ako je zbroj svih sila koje djeluju na
njega 0”
To u stvari ponavlja Galileovu ideju inercije (tromosti).
Prvi zakon je poznat i kao princip inercije.
“Akceleracija tijela je direktno proporcionalna
ukupnoj sili koja djeluje na to tijelo, a inverzno
proporcionalna njegovoj masi.”
F m a
Demo: povlačenje stolnjaka
stolnjak
vaza s
cvijećem
naglo povući
Zbog svoje tromosti vaza ostaje na mjestu jer skoro nikakva sila ne djeluije na vazu
ako stolnjak povučemo brzo.
TakoĎer se može primijeniti i u 3 - dimezije◦ Akceleracija može takoĎer biti uzrokovana promjenom
smjera brzine
prikazuje vektorsku sumu svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo.
raspisano po komponentama u 3D
Što je veća sila koja djeluje na objekt, veće je
ubrzanje tog objekta.
Sila
mala sila
velika sila
ubrzanje
malo ubrzanje
veliko ubrzanje
Što je veća masa objekta, manje je njegovo ubrzanje,
ako djelujemo na njega istom silom.
mala masa
velika masa
veliko ubrzanje
malo ubrzanje
Newtonov drugi zakon objašnjava zašto teški i laki
predmeti padaju s istim ubrzanjem.
Ubrzanje slobodnog pada
Omjer sile
teže i mase
je uvijek isti
(sila teža
ovisi o masi)
• Svatko može sigurno leći ili sjesti
na krevet od čavala, dok god ima
dovoljno čavala da je sila po čavlu
mala.
• Težina od 100 kg(!?) se distribuira
na preko 300 čavala. Sila po čavlu
je 1/3 kg.
• Trebate 5kg po čavlu da bi
probušitl kožu.
• Jedina stvar koju nikad ne želite
učiniti s krevetom od čavala je
skočiti u krevet!
• Veliko usporavanje znači
veliku silu!!!!
Tijelo se pod djelovanjem sile giba na takav način da je vremenska promjena (derivacija) njegovog momenta jednaka sili.
dpF
dt F
Vektor koji opisuje veličinu i smjer sile
koja djeluje na tijelo
pVector koji opisuje veličinu i smjer
impulsa (momenta) ili “količine
gibanja” tijela.
p mvImpuls ili “količina gibanja”
m Skalarna veličina koja opisuje količinu materije (ili tromost)
nekog tijela.
v Vektorska veličina koja opisuje brzinu i smjer gibanja
nekog tijela.
Definicija sile je kompletna i točna samo onda kad definiramo što je to “masa”.
drv
dt
rVektorska veličina koja opisuje položaj i udaljenost tijela
relativno prema odabranom ishodištu i osima našeg
referentnog sustava.
Uobičajena formulacija Newtonovog drugog zakona
Pretpostavimo li da je masa, m, tijela konstantna veličina možemo pisati:
dp d dv
F mv mdt dt dt
Uobičajena formulacija Newtonovog drugog zakona:
F ma
dva
dt
Gdje je vektor akceleracije definiran kao
vremenska promjena brzine
a
Uvodimo simboličku pokratu:
drr
dt
F mv
v r
a v
2
2
d rr
dt
Newtonov drugi zakon i mnoge druge veličine mogu biti pisane na slijedeći način:
a r
F mr
F p
Newtonov drugi zakon je vektorska diferencijalna jednadžba
drugog reda.mr F
U jednoj dimenziji reducira se na
x(t) F(t) /mŠto se može integrirati
x(t) 1
mF(t)dt ( ) ( )x t x t dt
Za konstantne sile dobivamo poznate izraze
( ) ( ) o
Fv t x t t v
m x(t)
F
2mt 2 vot xo
“Ako tijelo A djeluje silom na tijelo B (akcija), tada tijelo B djeluje istom silom na tijelo A ali suprotnog smjera (reakcija). Ove dvije sile su iste veličine ali suprotnog smjera. Ovaj zakon vrijedi u zatvorenom sustavu”
(Budite pažljivi s minus predznakom!
Ovo je vektorska jednadžba!)
A B B AF F
2
1
F12
F12 rF21
n i n’◦ n je normalna sila , sila kojom
stol djeluje na TV
◦ n je uvijek okomita na podlogu
◦ n’ je reakcija - TV djeluje na stol
◦ n = - n’
Fg i Fg’
◦ Fg je sila kojom Zemlja
djeluje na tijelo (TV)
◦ Fg’ je sila kojom tijelo
djeluje na Zemlju
◦ Fg = -Fg’
Pretpostavimo da dva tijela tvore idealan izolirani sustav.
Pretpostavimo konstantne mase
Akceleracije tih dvaju tijela su u suprotnom smjeru.
Omjer akceleracija jednak je inverznom omjeru masa tih dvaju tijela.
1 2
1 2
F F
dp dp
dt dt
1 1 2 2
1 21 2
d dm v m v
dt dt
dv dvm m
dt dt
m2
m1a1
a2
Mjerimo relativnu akceleraciju tijela nepoznate mase i referentne (jedinične) mase.
Usporedba težina na vagi.
◦ upotrebljavano F= ma & G=mg
◦ g je novisno o masi tijela.
◦ ekvivalencija trome i teške mase !!
a1
a2 m2
Pretpostavke
◦ Objekti se ponašaju kao čestice (sva masa je koncentrirana u
jednoj točki)
Možemo ignorirati rotaciono gibanje (za sada)
◦ Mase opruga ili niti (njihalo) su zanemarive
◦ Zanimaju nas samo sile koje djeluju na tijelo
Troma masa:
◦ Masa tijela odreĎena akceleracijom koju tijelo dobiva pod
djelovanjem vanjske sile.
Teška masa:
◦ Masa odreĎena gravitacionim privlačenjem meĎu tijelima.
Hipoteza da su te dvije mase ekvivalentne naziva se
“princip ekvivalencije”.
1. Prvi test principa ekvivalencije izveo je Galileo (Pisa).
2. Newton je razmatrao taj problem koristeći njihala iste duljine imase ali načinjenih od različitih materijala.
3. Recentni eksperimenti daju jednakost do na nekoliko djelova u 1012.
U stvarnosti je nemoguće imati izolirani sistem
ipak…
Treći Newtonov zakon implicira:
1 2
1 2
0
constant
dp p
dt
p p
Implicira zakon očuvanja količine gibanja
Vjeruje se da striktno vrijedi pod svim uvijetima.
Esencijalno se koristi kao postulat/osnova moderne fizike.
Zakoni gibanja imaju smisla samo u inercijalnim referentnim sustavima.
Referentni sustav smatramo inercijalnim ako se u njemu tijelo na koje ne djeluje nikakva vanjska sila giba jednoliko po pravcu ili miruje.
Ako Newtonovi zakoni vrijede u datom referentnom sustavu onda vrijede u bilo kojem referentnom sustavu koji se giba jednolikom brzinom relativno prema prvom sustavu.
Promjena referentnog sustava koja uključuje konstantnu brzinu nemijenja jednadžbe.
( ( ) ) ( )od v t v dv tF m m
dt dt
Ovo se naziva Galilejeva invarijantnost ili princip Newtonovske relativnosti
Ne postoji nešto što bi mogli proglasiti
“apsolutnim mirovanjem” ili “apsolutnim
inercijalnim referentnim sustavom”
I prostor i vrijeme se
pretpostavljeju/zahtijevaju da su homogeni.
Drugi zakon za fiksno tijelo:
dpF
dt
d mv dvF m mr
dt dt
( )r r t
Diferencijalna jednadžba drugog reda.Ako znamo F (silu) i početne i rubne uvijete ta jednadžbu možemo integrirati da bismo našli položaj tijela kao funkciju vremena:
Sila općenito može biti funkcija bilo koje kombinacije položaja, brzine
i vremena.
Općenito ju označavamo kao:
Uz podsjetnik:
• Bez vanjske sile tijelo ostaje na miru ili se giba jednoliko po pravcu. Činjenica da je vanjska sila jednaka nuli može takoĎer značiti da je suma svih sila koje djeluju na tijelo jednaka nuli.
• Uz djelovanje vanjske sile tijelo dobiva akceleraciju koja je u smjeru sile i ovisi o masi tijela.
• Svakoj akciji suprostavlja se reakcija jednaka po iznosu ali suprotnog smjera.
, ,F r v t
0i
i
F
Fa
m
Neke osnovne informacije
Normalna sila, N:
Kada se primjenjuju Newtonovi zakoni, interesiraju nas samo vanjske sile!
Zašto?Jer, kao što je opisano Newtonovim prvim zakonom, objekt će zadržati svoje
sadašnje kretanje, sve dok na njega ne djeluje neka vanjska sila.
Napetost, T:
Sila reakcije koja reagira na gravitacijsku silu. Njezin
pravac je okomit na površinu tijela.
Sila reakcije opruge na vanjsku silu na nju.
Grafički alat koji je dijagram vanjskih sila na objekt te je
izuzetno koristan analizu snaga i pokreta! Crta se samo na
objektu. Dijagram slobodnog
tijela
45
Dijagram slobodnog tijela• Dijagram sila koje djeluju na tijelo
1. Odaberite točku na objektu (hvatište)
2. Identificirajte sve sile koje djeluju samo na odabrani objekt
3. Definirajte referentni sustav s određenim pozitivnim i negativnim osima
4. Nacrtati strelice koje predstavljaju vektore sila u odabranoj točki
5. Izrazite jednadžbu sila
6. Izrazite sile po komponentama
Što mislite koje sile djeluju na objekt?
Gravitaciona sila Sila otpora koja dolazi od podloge
Koje sile djeluju u dizalu?
Gravitaciona sila Sila kojom dižemo dizalo (napetost)
Što je s paketom u dizalu?Gravitaciona
sila
Normalna
sila
M
gMFG
NFNF
gMFG
TF
gMFG
NF
gmF BG
Me
m
TF
gMFG gmFGB
NF
MeĎusobna privlačna sila izmeĎu bilo koja dva tijela
Izražena Newtonovim zakonom univerzalne
gravitacije:
1 2
2g
m mF G
r
Ne mogu čitati
jer moji nisu
uplatili račun za
gravitaciju
Iznos gravitacione sile koja djeluje na tijelo
mase m u blizini Zemljine površine naziva se
težina tijela G.
Gravitaciona sila daje akceleraciju od g=9.81
m/s2 što znači da je sila oblika
Specijalni slučaj drugog Newtonovog zakona
Primjer: gimnastičarka mase 51kg ima težinu od 500N
(jedinice!!!).
G mg
Težina nije inherentno svojstvo tijela
◦ masa je inherentno svojstvo
Težina ovisi o lokaciji
Bez težine?
• da li stvarno?
(NASA)
Težina djeluje tako kao da joj je hvatište u težištu tijela
Njoj se suprotstavlja normalna sila koja dolazi od podloge.
Da li težina i normalna sila predstavljaju par akcija -
reakcija?
Normalne sile dolaze zbog
odbijanja atoma
Normalne sile su okomite na
površinu
Napetost nit dolazi kod užadi ili
opruga i ovisi o pojedinačnoj
konfiguraciji sila.
Za niti bez mase napetost je
konstantna duž cijele dužine niti.
Pretpostavimo da imamo nit s masom, te je
potrebno u računu uzeti u obzir i njezinu
težinu. U statičkom slučaju:
Zapamtite, težina je sila te je njen smjer
važan!!
1 2 RT T w zašto?
Razbijte problem na
manje dijelove.
Definirajte sile na manjim
dijelovima problema.
Obratite pažnju na parove
akcija – reakcija.
(VAŽNO).
Kolica mase mass m1
postavljena su na kosinu
nagiba 15o. Užetom su
vezana s kantom pijeska
kao na slici. Koju masu
pijeska m2 moramo objesiti
da bi se kolica gibala
jednolikom brzinom?
(pretpostavite da nema
trenja)
Primjer dijagrama slobodnog tijela
Problem:
Dijete drži sanjke na snježnoj
padini (nema trenja) kao na
slici. Ako sanjke imaju
težinu od 77.0 N, naĎi
napetost užeta T i normalnu
silu n kojom sanjke pritišću
podlogu.
• Odaberite koordinatni sustav takav da je x – os orijentirana duž kosine, a y-os je okomita na podlogu
• Zamjenite gravitacionu silu s njenim komponentama
Početni podaci:
kut: a=30°
težina: w=77.0 N
Napetost užeta T=?
Normalna sila n=?
1. Uvodimo koordinatni sustav:
Oy: y – okomito na podlogu
Ox: x – duž kosine
NNmgT
mgTFOx x
5.38)30(sin0.77)30(sin
,0sin:
a
0F
NNmgT
mgnFOy y
7.66)30(cos0.77)30(cos
,0cos:
a
Sanduk mase M se nalazi na kosini bez trenja koja je
nagnuta pod kutom q.
a) Odrediti ubrzanje sanduka nakon što je otpušten.
F
Dijagram
Slobodnog
tijelaq
x
y
Fg
n
n
F= -Mgq
Pretpostavimo da je sanduk
pušten na vrhu kosine duljine d.
Koliko dugo treba sanduku da
dođe do dna i kolika je njegova
brzina pri dnu?
d
yF
xF
qsingax
qsin
2
g
dt
xfv
x
y
nFgam
xMa gxF qsinMg
yMa gyFn qcosmgn 0
2
2
1tatv xix
2 sin2
1tg q
tav xix
sin
2sin
g
dg qsin2dg
qsin2dgvxf
Mikroskopski površine nisu
idealno glatke već se satoje
od neravnina.
Te neravnine uzrokuju trenje.
Koja sila u stvari uzrokuje
trenje?
Metali imaju mnogo
kompliciranije trenje.
Kako površine dolaze u bliski
kontakt atomi podliježu
hladnom varenju. Razbijanje
tih struktura doprinosi trenju.
Broj atoma u kontaktu definira
kako su jako plohe pritisnute
jedna o drugu.
http://www.physics.usyd.edu.au/~gfl/Lecture
Eksperimentalno je otkriveno da je iznos trenja proporcionalan komponenti težine normalnoj (okomitoj) na podlogu.
Statičko trenje: sila trenja opire se sili koja nastoji pomaknuti tijelo.
Kinetičko trenje: Sila trenja koja dolazi zbog gibanja tijela.
Kako se tijelo ne giba → nema sile
gdje je s koeficijent statičkog trenja
Sila trenja Ff uravnotežuje vanjsku silu do trenutka kad je F=Ff.
Empirijska formula
Sila otpora koja djeluje na tijelo sve do neposredno prije početka gibanja
Što nam kaže
ova formula? Sila trenja raste dok ne dosegne
neku graničnu vrijednost!!!
Kinetičko trenje suprostavlja se gibanju tijela
gdje je K koeficijent kinetičkog trenja
Za razliku od statičkog trenja, kinetičko trenje ima fiksnu
vrijednost i ne ovisi o vanjskoj sili.
(Da li je to stvarno točno?)
Izvan granične vrijednosti, nema više statičkog trenja, već imamo kinetičko trenje
(trenje gibanja).
Općenito, s je veći od K (npr. čelik - čelik; s=0.74 and K=0.57)
Nema
relativnog
gibanja
Relativno gibanje
Nema klizanja
Samo što nije došlo do klizanja Klizanje
y
O Nf
G mg
q
x
sin
cos 0
x
y
F mx mg f
F my N mg
q
q
ali f N
N mgcosq
sin cosmx mg mgq q
x g sinq cosq
x g sinq cosq t
x 1
2g sinq cosq t 2
Početni položaj x(0) = 0
Početna brzina v(0) = 0
Konj tvrdi da “zbog trećeg Newtonovog zakona kako god ja jako vukao kola i kola
će mene vući istom silom. Kako uopće ja mogu povući kola?!?”
Sila na
sanjke
kojom vuče
čovjek
Sila kojom
sanjke
djeluju na
čovjeka
Sila trenja
na sanjke
zbog
podloge
Sila trenja na
čovjeka zbog
podloge
Sila na
podlogu
zbog
sanjki
Sila na
čovjeka
zbog
podloge
Newtonovi zakoni djeluju savršeno u inercijalnim sustavima
Za promatrače koji miruju ili se gibaju jednolikom brzinom u odnosu na situaciju koju promatraju svi Newtonovi zakoni su isti premda su neke veličine koje opisujemo (npr. brzina) relativne.
Ako pretpostavimo da imamo akcelerirajuće (ili rotirajuće) sustave (neinercijalne) tada Newtonovi zakoni više ne vrijede!!!
ALI mi možemo učiniti da Newtonovi zakoni vrijede i u neinercijalnim sustavima ako izmislimo fiktivne sile koje u stvari ne postoje (pod time smatramo da ne postoji fizikalni izvor sile).
Tako u rotirajućim sustavima možemo dodati centrifugalnu silu da uravnotežimo centripetalnu silu!
Općenito sile nisu konstantne. Primjer toga je Hooke-ov zakon za oprugu, gdje je sila dana izrazom:
- k je konstanta opruge
Da bi izračunali Newtonove zakone s ne-konstantnim silama, potrebno je integrirati
razne vektorske veličine što je pipkav posao. U slijedećim predavanjima vidjeti ćemo da
se takvi problemi mnogo jednostavnije rješavaju koristeći koncepte rada i energije.
Elastična svojstva tijela
sila naprezanjaModulu elastičnosti
deformacija
Mi smo do sada pretpostavljali da tijela ne mijenjaju svoj oblik kada na njih
djeluju vanjske sile. Dali je to realno?
NE. U stvarnosti, tijela se deformiraju kako vanjske sile djeluju na njih, iako se
unutrašnje sile odupiru deformaciji.
Deformaciju tijela možemo promatrati kao:
Naprezanje i deformaciju
Naprezanje: veličina proporcionalna sili uzrokuje
deformacije.
Deformacija: Mjera za stupanj deformacije
To je empirijski poznato da je za mala naprezanja, deformacija proporcionalna sili naprezanja
Konstante proporcionalnosti se zovu moduli
elastičnosti
Tipovi modula elastičnosti1. Young-ov modul: mjeri elastičnost u jednoj
dimenziji (duljina)
2. Shear-ov modul: mjeri elastičnost u ravnini
3. Volumni modul elastičnosti
Young-ov modul elastičnosti
Vlačno naprezanje exF
A
Uzmimo šipku površine poprečnog presjeka A i početne duljine Li.
Fex=Fin
Young-ov modul definiran
je kao
Koja je jedinica Youngovog modula?
Eksperimentalna
zapažanja
1. Za fiksne vanjske sile, promjena u dužini je proporcionalna
samoj dužine
2. Sila potrebne za generiranje deformacije proporcionalna je
površini poprečnog presjeka
Li
površina poprečnog presjeka
Vlačno naprezanje
Lf=Li+DLFex Nakon rastezanja Fex
Vlačna deformacija Vlačna deformacijai
L
L
D
Sila po površini
Koristi se za
karakterizaciju
deformacije štapa
ili žice kad ih
rastežemo ili
komprimiramo
Granica elastičnosti : Najveće naprezanje koje se može primijeniti na tijelo prije
nego što se trajno deformira
YVlačno naprezanje
Vlačna deformacija
i
ex
LL
AF
D
i) Razumijevanje osobine valnog gibanja, posebice sinusne valove i jednostavna
harmonička gibanja, te razumjeti matematički opis takvih valova;
ii) Razumijevanje važnosti jednostavnog harmoničkog gibanja u velikom broju
različitih fizikalnih situacija;
iii) Razumijevanje principa linearne superpozicije valova i što se podrazumijeva
pod konstruktivnom ili destruktivnom interferencijom; koherencija;
iv) rješavanje jednostavnih problema putujućih valova.
Ciljevi:
• Mehanički valovi (vidi http://library.thinkquest.org/27948/waves.html):
• Mehanički val je poremećaj koji putuje kroz neki materijal.
• Čestica se u mediju giba na način koji ovisi o vrsti vala.
• Transverzalni val: pomaci okomito (poprečno) na smjer putovanja vala, tj. val
na niti.
• Longitudinalni val: pomaci su u istom smjeru kao i smjer putovanja vala, tj.
valovi u plinu (zvuk).
•Plin u ravnoteži – nema poremećaja
Zajedničke značajke valova:
dobro definiran uvjet ravnoteže (npr. opruga ispružena u ravnoj liniji ili plin u
cijevi ima konstantnu gustoću)
Medij kao cjelina se ne miče: poremećaj putuje s dobro definiranom brzino v,
brzina vala.
mora se primijeniti energija na sustav da bi se generirao poremećaj.
Poremećaj prenosi energiju iz jedne pozicije na drugu.
Periodički valovi:
Periodički valovi se generiraju ako se sila koja djeluje varira u vremenu na
periodičan način. Oni imaju dobro definiranu:
a) Frekvencija f: broj puta koliko seu sekundi uzorak ponavlja. (Jedinica: 1
Hertz = 1 ciklus / s = 1 s-1)
b) kružna frekvencija: (rad / s)
c) Period: vrijeme izmeĎu ponavljajućih uzoraka.
1 2 (s)T
f
f 2
Kada je x pozitivan
F je negativna
Kada je u ravnoteži (x = 0)
F = 0;
Kada je x negativna,
F je pozitivna
F kx
QuickTime™ and aAnimation decompressor
are needed to see this picture.
xF kx
• Hooke-ov zakon: Sila opruge je proporcionalna produljenju ili kompresiji opruge od
ravnotežnog položaja (za male x).
ravnotežni
položaj
FX = 0 x
x=0
gdje je x pomak iz
položaja ravnoteže i k
konstanta
proporcionalnosti.
(konstanta opruge)
zamislite gibanje objekta (bez trenje) obješenog na idealnu
oprugu (ona koja se ponaša u skladu sa Hookeovim zakonom).
Kako se pomak, brzina i ubrzanje objekta mijenjaju s
vremenom?
Analogija:
jednostavno harmoničko gibanje duž x
↔ x komponenta jednolikog kružnog gibanja
A : amplituda (duljina, m)T : period (vrijeme, s)
A
T
Sinusni valovi: kontinuirani slijed transverzalnih
sinusoidalnih poremećaja.
Valna duljina (l): duljina periodičnog oblika (m).
Točka se pomiče gore-dolje uz period T, a križić
pomaknut za t - x/v. To znači da križić ima isti obrazac kao
u ranije vrijeme t - x/v.
Marker se pomiče uzduž osi za udaljenost l u vremenu T.
Prema tome brzina vala:
Mi ćemo pretpostaviti da se v ne mijenja s l i f. Ovo ne vrijedi
i za svjetlost koja putuje kroz medij jer brzina ovisi o frekvenciji
(disperzije svjetlosti).
fT
v
Primjer: Kolika je valna duljina zvučnog vala, ako je
frekvencija f = 262 Hz (srednji C na glasoviru)?
Brzina zvuka = 344 m / s m
s
ms
f
v31.1
262
3441
1
Amplituda: A
Period: T
Frekvencija: f = 1/T
Kutna frekvencija:
A
T
x Acost
T 2
T 2
, f
2
Transverzalni valovi:
Vertikalni pomak vala varira s vremenom.
U odreĎenom vremenu, val ima dobro definiran profil a pomaka je različit za
različite čestice.
Amplituda A je maksimalni pomak u smjeru y (m)
Matematički opis valova
tAtT
Atxy
sin2
sin),0(
y
T3T/4T/2T/4 t
- A
A x=0
Vertikalni pomak s vremenom. Profil vala u t = 0.
kxAtxy sin)0,(
y
l3l/4l/2l/4 x
- A
At=0v
Valni dijagram (val s lijeva na desno):
Sinusoidalni val je najjednostavniji primjer periodičnog kontinuiranog vala i može se koristi za
konstrukciju složenijih valova
Definiramo valni broj k: (radian/m)
2k
)sin(),( kxtAtxy
Valna funkcija (val putuje s desna na lijevo):
Vremenski pomak je t + x/v.
Dakle, valna funkcija je:
Faza valne je: (u radijanima)
)sin(2sinsin),( kxtAx
T
tA
v
xtAtxy
kxt
Valna funkcija (val putuje s lijeva na desno):
Općenito valna funkcija ovisi o x i t:
y = y (x, t)
U trenutku t, čestica je pomaknuta od x = 0 za t-x/v
x
T
tA
v
xtAtxytAtxy 2sinsin),(sin),0(
Valna funkcija
pretpostavlja da je vertikalni pomak y nula u x = 0 i t = 0, a na to ne mora biti slučaj.
Ako nije, izražavamo općenitu valnu funkciju u obliku
Često se faza φ uključuje da se brijeg (vrh) vala prebaci vremenu:
sin( )y A kx t
sin( )y A kx t
Faza od 90-stupnjeva mijenja sinus u kosinus
cos t
2
sin t
Kad je ubrzanje objekta proporcionalno njegovom pomaku iz ravnotežnog
položaja i usmjereno je u smjeru suprotnom od pomaka, objekt se giba
jednostavnim harmoničkim gibanjem.
Položaj x jednostavnog harmonijskog oscilatora mijenja periodično u
vremenu prema izrazu
cos( )x A t
22
2
2 2
sin( )
cos( )
dxv A t
dt
dv d xa A t
dt dt
v A x
• Brzina i ubrzanje jednostavnog harmoničkog oscilatora su:
a
x
v Brzina je 90° “izvan faze” s
x: Kad je x u maksimumu, v
je u minimumu ....
Ubrzanje je 180° “izvan
faze” s x
F ka x
m m
T
T
T
kx ma
kAcost mamax cost
amax Ak
m
x Acost
v vmax sint
a amax cost
Nađite vmax pomoću zakona očuvanja E
Nađite amax koristeći II Newtonov zakon F = ma
1
2kA2
1
2mvmax
2
vmax Ak
m
kružno gibanje sa stalnom
kutnom brzinom
Jednostavno
harmoničko gibanje
Projekcija na os
f 1
T
2 f 2
T
x Acos(t )
v Asin(t )
a 2A(cost )
k
m
• Progresivni val giba se u odreĎenom smjeru i pritom se energija prenosi sa
čestice na česticu.
• Stojni val je takav val kod kojeg neke čestice titraju, a neke stalno miruju.
Suprotno progresivnom valu, pri stojnom se valu energija ne širi prostorom.
• Valni paket je valno gibanje ograničeno na odreĎeni dio prostora Dx.
• Dok čestica napravi jedan puni titraj, val prevali odreĎeni put koji zovemo
valna duljina .
• Fazna brzina vala (njom se širi odreĎena faza vala) povezana je s valnom
duljinom i frekvencijom, v=f.
• Brzina vala ovisi o osobinama sredstva kroz koje prolazi. Brzina i valna
duljina se mijenjaju, ali frekvencija ostaje ista.
• Brzina širenja energije zove se grupna brzina.
