Download - Princip virtualnih pomaka
PRIMJENA KINEMATIČKIH METODA
Princip virtualnih pomaka Virtualni pomak je bilo koji beskonačno mali pomak omogućen vezama u sustavu.
A Bδϕ
x
y
A B
A’
B’
δx
δy δϕ
Disk u ravnini može imati tri virtualna pomaka:
δx − virtualni pomak u smjeru osi x δy − virtualni pomak u smjeru osi y δϕ − virtualni kut zaokreta
P
α
t
δt
Rad sile na virtualnom pomaku:
αδ=δ⋅=δ cosPPW tt
rr
Elementarni virtualni rad izražen u komponentama sile i pomaka:
zyx ZYXW δ+δ+δ=δ
Idealne veze – veze kod kojih je suma elementarnih radova reaktivnih sila na bilo kojem virtualnom pomaku jednaka nuli.
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 98
Princip virtualnih pomaka glasi: Nužan i dovoljan uvjet ravnoteže krutog sustava s idealnim vezama je da suma radova aktivnih sila na bilo kojem virtualnom pomaku bude jednaka nuli. Dokaz:
Pi – rezultanta aktivnih sila koje djeluju na čvor i; Pix, Piy, PizRi – rezultanta reaktivnih sila koje djeluju na čvor i; Rix, Riy, Riz
Uvjeti ravnoteže čvora:
ziziz
yiyiy
xixix
0RP
0RP
0RP
δ⋅=+
δ⋅=+
δ⋅=+
+
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
0RRRPPP zizyiyxixzizyiyxix =δ+δ+δ+δ+δ+δ→
Suma po svim čvorovima: ( ) ( ) 0RRRPPP
0
zizyiyxixzizyiyxix =δ+δ+δ+δ+δ+δ
=
∑∑44444 344444 21
( ) 0PPP zizyiyxix =δ+δ+δ⇒ ∑
Ako je na sustavu s idealnim vezama suma radova aktivnih sila na virtualnim pomacima jednaka nuli, onda je sustav u ravnoteži.
Primjena principa virtualnih pomaka u određivanju sila kod punostjenih i rešetkastih nosača
- Pretvaranje statički određenog sustava u mehanizam
A
A
A
A
A
A
MA
S
S
t
t
Mt Mt
Tt
Tt Nt
Nt
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 99
Primjeri: Određivanje reakcije u ležaju B za Gerberov nosač
DA B C
a
P1 P2 P3
A B C bl2
l1/2 0.3 l2
1,2
A B C
1 2
I II
l1
D’ B’I’ II’δϕ1 δϕ2δD δB δ2δ1δ3
0PPPB0W 332211B =δ+δ−δ−δ→=δ
( )a
a2
1122211 +
δϕ=δϕ→+⋅δϕ=⋅δϕl
lll
a2
21122B +
⋅δϕ=⋅δϕ=δ
lll
l
B2
2111 2
a2
δ⋅+
=δϕ=δl
ll ; B2 7.0 δ=δ ; B
23
b δ=δl
32
212
2 PbP7.0P2
aB
lll
−+⋅+
=⇒
Inicijalni jedinični pomak: 1B =δ
δϕ≈δϕ=δϕ≈δϕ tgsin ; 1cos
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 100
Određivanje momenta savijanja u presjeku t-t na gredi s prepustima
A B
P2 P3 P4
A Bba
0.3 l
1,2A B
1 2
I II
l
I’ II’δϕ1 δϕ2
δ3δ2
δ4δ1
x = 0.4t l
t
t
P10.25 l
M
0.4 l0.6 l
Mt Mt
δMtl δMt
dδMt = 1
( ) 0MPPPPM0W 144332211d
tMtMt =δϕ−δ+δ−δ−δ+δ+δ→=δ l
1tMd
tMtM =δ=δ+δl →
M6.0Pb4.0P12.0P15.0Pa6.0M 4321t +−++−= ll
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 101
Određivanje horizontalne komponente reakcije u ležaju B za složeni nosač
Inicijalni jedinični pomak na mjestu i u smjeru HB
332211B PPPH0W δ+δ−δ=→=δ
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 102
Određivanje sile u štapu rešetkastog nosača
Inicijalni jedinični pomak na mjestu i u smjeru sile S
332211 PPPS0W δ−δ−δ−=→=δ
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 103
Koristeći plan mogućih pomaka i princip virtualnog rada, odrediti silu u označenom štapu nosivog sustava opterećenog prema crtežu.
S = ?
F
aaa
a
a
a
a / 2
I
II
III
2
1
3
1,2
1,3
F
SS
S
SS
S
H
H
VV
1', 2' 3'
I'
II'
III'
δ
δϕ 1 δϕ2 δϕ3 = 0
δSVF
a a a
a
a
a
a
3"
1"
2"
I"
II"
III"
δϕ1
δϕ2
δϕ3 = 0
δSH
/2
SV = SH = S √ 2 2
aS 1H ⋅δϕ=δ a2S 2H ⋅δϕ=δ 12 21 δϕ=δϕ⇒
a21aS 12V ⋅δϕ=⋅δϕ=δ a2F 1 ⋅δϕ=δ
0SSSSFF0W HHVV =δ⋅+δ⋅+δ⋅−→=δ
a:0a22Sa2
122Sa2F 111 =⋅δϕ⋅+⋅δϕ⋅+⋅δϕ⋅−
( ){
0F2S243
01
0
=δϕ⋅−⋅≠=
44 344 21 F3
24S ⋅=⇒
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 104
Konstruiranje apsolutnih i relativnih polova na mehanizmu za određivanje uzdužne sile u odabranom poprečnom presjeku lučnog nosača sa zategom
I
II
III
IV
1
4
3
2
1,4
1,2
3,4
2,3 → ∞
1,3
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 105