Download - Principles of Least Squares
-
Principles of Least SquaresPrinciples of Least Squares
-
P e n d a h u l u a nP e n d a h u l u a n
Dalam surveying, setiap pengamatan harus memenuhipersyaratan geometrikpersyaratan geometrik
Syarat Geometrik Dalam Pengukuran Poligon: (n-2) x 180 = 0 ( untuk poligon tertutup) Jumlah jarak absis dalam satu loop harus sama dengan nol Jumlah jarak ordinat dalam satu loop harus sama dengan
nol Syarat Geometrik dalam pengukuran waterpass:
Jumlah beda tinggi dalam satu loop harus sama dengan nolgg p g
-
Jika syarat tersebut tidak terpenuhi maka hasilJika syarat tersebut tidak terpenuhi, maka hasilpengukuran harus di-adjust!
Kesalahan dalam surveying sebagaimana Kesalahan dalam surveying, sebagaimanakesalahan-kesalahan lain, akan mengikuti teoridistribusi normaldistribusi normal
-
VLL)Nilai definitif adalah nilai ukuran ditambah koreksi
VLL u +=Jika Nilai suatu obyek diukur beberapa kali, maka akan
LLV)
y p ,didapat beberapa persamaan koreksi
LLVLLV
==
)22
11
LLV)
Mnn LLV =
-
( ) 22 2/21 xeyxf ==2
( ) 22 2/1 veyvf ==( )2 eyvf ==
-
xyP =i
xyP i .
LLVLLV
==
))
11
vyPvyP==..
22
11
LLV =)
M22
P
y
22
Mnn LLV =
) vyP nn = .
-
( ) 22 2/21
veyvf ==
veP v = 1 221 2/ 2
P
veP
v
=1
.2
222 2/
1
veP v = .2
2 2/2
M
veP nvn = .21 22 2/
M
2
-
ii n
1 2 n
= veveveP nvvv .1...1..1 22222221 2/2/2/ L 222
1 ( ) ( )nvvv veP n = +++ .21 222
221 2/
L
2
-
( ) ( )nvvv veP n = +++1 222221 2/ L ( )veP .2
( )222( )22221 nvvv +++ L2222 vvvv +++ 21 nvvvv +++= L
-
222
21
2 vvvv +++= L21 nvvvv +++11 LLV =
)
( ) ( ) ( )2222 LLLLLLv +++= )L))11
( ) ( ) ( )21 nLLLLLLv +++=
0=dy 0=dx
-
Menyusun Persamaan normal,dengan melakukan diferensial
( ) ( ) ( )222212 nLLLLLLv +++= )L))( ) ( ) ( ) ( )
022
22
12
=+++= LLdLLdLLdvd n)L)) 0=+++=LdLdLdLd)L)))
( ) ( ) ( ) ( )2vd ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 01..21..21..2 21 =+++= nLLLLLLLd vd )L)))
( ) ( ) ( ) 0. 21 =+++ nLLLLLL )L))
-
( ) ( ) ( ) 0. 21 =+++ nLLLLLL )L))LLLLn +++= L) 21. nLLLLn +++ 21.
LLL +++n
LLLL n+++= L) 21n
-
( )1 ( ) ( )nvvv veP n = +++ .21 222
221 2/
L
2Bila koreksi memiliki bobot maka probabilitasnya menjadi
( ) ( )1 2222Bila koreksi memiliki bobot,maka probabilitasnya menjadi
( ) ( )nvwvwvw veP nn = +++ .21 222
22211 2/...
L
-
( ) ( )nvwvwvw veP nn = +++1 22222211 2/... L ( )veP .2
n +++==
2222
211
2
1.... nni
ii vwvwvwvw L minimum
( ) ( ) ( )222n ( ) ( ) ( ) +++==
2222
211
2
1.... nni
ii LLwLLwLLwvw
)L))
M l
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )0
. 22222
112
=+++= LLwdLLwdLLwdvwd nnii )L))Menyusun persamaan normal
0+++LdLdLdLd))))
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0121212 =+++ LLwLLwLLw )L))( )( ) ( )( ) ( )( ) 01..21..21..2 2211 =+++ nn LLwLLwLLw L
-
( )( ) ( )( ) ( )( ) 01..21..21..2 2211 =+++ nn LLwLLwLLw )L))
( ) ( ) ( ) 0... 2211 =+++ nn LLwLLwLLw )L))( ) ( ) ( )2211 nn........ 221121 nnn LwLwLwLwLwLw +++=+++ L
)L))
( ) ...... 221121 nnn LwLwLwwwwL +++=+++ LL) ( ) 221121 nnn
LLL( ) nnwww
LwLwLwL ++++++= L
L)21
2211 ..... ( )nwww +++ 21
-
LwLwLw +++ L( )n
nn
wwwLwLwLwL +++
+++= LL)
21
2211 .....
n Lw== ni
ii LwL 1
...
)
=
n
iiw
1i 1
-
Persamaan pengamatanPersamaan pengamatan
Persamaan pengamatan adalah persamaan yang Persamaan pengamatan adalah persamaan yang menghubungkan nilai pengamatan dengan parameter
independent beserta residu yang besarnya tidakdik h idiketahui.
S t di k t k hk t t tid k Satu persamaan digunakan untuk memecahkan satu parameter yang tidakdiketahui.
Untuk mendapatkan nilai yang unik/konsisten, maka jumlah persamaanh d j l h tharus sama dengan jumlah parameter.
Biasanya , persamaan yang digunakan lebih banyak daripada parameter yang ingin dipecahkan
-
512321 =+ xx
( )1KKKKKK2.05.12
21
21
==
xxxx
( )21
-
321 =+ xx5.12 21 = xx 5.11 =x 5.12 =x
5.12 21 = xx2.021 = xx 3.11 =x 1.12 =x
321 =+ xx2.021 = xx 6.11 =x 4.12 =x
-
Pemecahan persamaan dengan prinsip kuadrat terkecil
121 3 vxx =+ ( )( ) 22
21
221 3 vxx =+
321
221
2.05.12
vxxvxx
== ( )
( ) 2322122
221
2.0
5.12
vxx
vxx
==
3 ( ) ( ) ( )22122122131
2 2.05.123 +++==
xxxxxxvi
i
( )2( )2KKKKKKKK
-
( ) ( ) ( )2223 2 205123 +++ ( ) ( ) ( )2121211
2 2.05.123 +++==
xxxxxxvi
i
( ) ( ) ( ) ( )22122122131
221 2.05.123, +++==
=xxxxxxvxxf
ii
-
( ) ( ) ( ) ( )22122122131
221 2.05.123, +++==
=xxxxxxvxxf
ii
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 01.2.0.22.5.12.21.3.2, 2121211
21 =+++= xxxxxx
xxxf
1
( )f ( )( )
04.022648622, 2121211
21
=+++=
f
xxxxxxxxxf
( )02626
04.124.12, 211
21 == xx
xxxf
( )02.6.2.6 21 = xx ( )3KKKKKKKK
-
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 01.2.0.21.5.12.21.3.2, 2121212
21 =+++= xxxxxx
xxxf
2
( ) 04022324622, 21 +++++ xxf ( )( ) 06264,
04.0.2.23.246.2.2,
21
2121212
21
+=+++++=
xxf
xxxxxxx
f
( ) 06.2.6.4, 212
21 =+= xxxf
( )4KKKKKKKK03.1.3.2 21 =+ xx
-
02.6.2.6 21 = xx ( )4( )3KKKKKKKK
didapat
03.1.3.2 21 =+ xx51431=x 44291=x
( )4KKKKKKKKdidapat
Nil i t b t di kk d l (1)
5143.11 =x 4429.12 =xNilai tersebut dimasukkan dalam persamaan (1)
121
5123 vxx =+
321
221
2.05.12
vxxvxx
==
0857.05.14429.15143,1.20428.034429.15143.1
2
1
====+v
v
1286.02.04429.15143.1 3 == v
-
085700428.01
==
vv
007344490
00183184.02
21
==
vv
1286.00857.0
3
2
==
vv
01653796.0
00734449.023
2
==
vv
23
22
21
2 ++= i vvvv02571429.001653796.000734449.000183184.02 =++=
iv
-
5.11 =x 5.12 =xMasukkan nilai dan1
121 3 vxx =+
2yang didapat dari cara eliminasi biasa ke persamaan (1)
221
121
205.12
3
vxxvxx
vxx
==
+
321 2.0 vxx =
03515105.15.15.1.2
035.15.1
2
1
====+v
v
2.02.05.15.1 3 == v
-
05151512035.15.1 1==
==+v
v121512
3vxx
vxx=
=+
2.02.05.15.105.15.15.1.2
3
2
====
vv
321
221
2.05.12
vxxvxx
==
2
0
022
21
==
vv
04.023 =v23
22
21
2 ++=
i vvvv
04.004.0002 =++= iv
-
kesimpulankesimpulanJumlah koreksi kuadrat dengan menggunakan metodekuadrat terkecil lebih kecil daripada metode pemecahankuadrat terkecil lebih kecil daripada metode pemecahansistem persamaan linear biasa
02571429.001653796.000734449.000183184.02
23
22
21
2
=++=
++=
i
i
v
vvvv
2222 ++ vvvv
0 57 9.00 653796.00073 9.000 83 8.0 iv
04.004.0002
321
=++=
++=
i
i
v
vvvv
-
tugastugas
Buktikan bahwa pemecahan persamaan linear Buktikan bahwa pemecahan persamaan linear dengan menggunakan prinsip least squares lebihbaik daripada cara subtitusi biasabaik daripada cara subtitusi biasa
5.22 321 =++ xxx7347.2
21
21
==+
xxxx
1521035.22
321
321
=+=++
++
xxxxxxxxx
121 = xx 2043152
321
321
=+=+
xxxxxx