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I. DATOS GENERALES
1.1. Título del Proyecto.
Expresión generalizada de las Series de Fourier de funciones no periódicas
en la recta a funciones no periódicas en el espacio euclídeon-dimensional
1.2. Tipo de Investigación
Básica
1.3. Área de Investigación
Análisis funcional
1.4. Responsable del proyecto y miembros del equipo investigador
Equipo
investigador
Docente
Labor a desarrollar
Investigador
principal
Msc. Jhony Alfonso
Chávez Delgado
Transformada de Fourier en L1
Transformada de Fourieren L2
Investigador
colaborador
Lic. Luis Méndez
Avalos
Serie de Fourier reales y
complejos
Investigador
colaborador
Lic. Augusto
Becerra Castañeda
Espacios medibles
Investigador
colaborador
Lic. Eduardo
Rodríguez Delgado
Integración y espacios Lp
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1.5. Localidad o institución donde se realizará la investigación
Universidad Nacional Jorge Basadre Grohman-Tacna
1.6. Entidades o personas con las que coordina el proyecto
Dr. Milton Cortez Gutiérrez
1.7. Duración del Proyecto
12 meses
II. PLANTEAMIENTO TEORICO DE LA INVESTIGACIÓN
2.1. Planteamiento del problema
2.1.1. Descripción del Problema
Las series e integrales de Fourier constituyen un tema clásico del
análisis matemático. Desde su aparición en el siglo XVIII en el estudio de las
vibraciones de una cuerda, las series de Fourier han sido una piedra de toque
para el desarrollo de los conceptos básicos del análisis (función, integral, serie,
convergencia...), y la evolución de estos conceptos ha ido abriendo a su vez
nuevos rumbos en el análisis de Fourier. Así lo expresa Zygmund en el prólogo
de su famoso libro sobre series trigonométricas (1958): Esta teoría ha sido una
fuente de nuevas ideas para los analistas durante los dos últimos siglos y
probablemente lo será en los próximos años. Muchas nociones y resultados
básicos de la teoría de funciones han sido obtenidos por los matemáticos
trabajando sobre series trigonométricas. Es concebible pensar que estos
descubrimientos podían haber sido realizados en contextos diferentes, pero de
hecho nacieron en conexión con la teoría de las series trigonométricas. No fue
accidental que la noción de función aceptada ahora generalmente fuera
formulada en la celebrada memoria de Dirichlet (1837) que trata de la
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convergencia de la serie de Fourier, o que la definición de integral de Riemann
en su forma general apareciese en el Habilitationsschrift de Riemann sobre
series trigonométricas, o que la teoría de conjuntos, uno de los desarrollos más
importantes de las matemáticas del siglo XIX, fuera creada por Cantor en su
intento de resolver el problema de los conjuntos de unicidad para series
trigonométricas. En épocas más recientes, la integral de Lebesgue se
desarrolló en estrecha conexión con la teoría de series de Fourier y la teoría de
funciones generalizadas (distribuciones) con la de las integrales de Fourier
(Javier Duoandikoetxea)
El Análisis de Fourier que es el estudio de las series, de las integrales y
de la Transformada de Fourier; se llama así en honor a Joseph Fourier (1768- 1
830), un matemático francés que vivió durante la época napoleónica. Aunque
Fourier ha sido justamente reconocido al darle su nombre a esta importante
rama del análisis, muchos de sus contemporáneos y predecesores inmediatos
contribuyeron a sus logros. Es por ello que podemos encontrar a la
transformada en los primeros escritos de Cauchy y Laplace, a partir de1782.
Para comenzar con su estudio podemos decir que las series de Fourier
representan funciones definidas un intervalo de la recta, o equivalentemente
, funciones periódicas en la recta. Para representar funciones definidas en toda
la recta y no periódicas, se sustituye por la Transformada de Fourier.
Formalmente se puede deducir la expresión de la Transformada de Fourier a
partir de la serie. Supongamos que f es una función periódica de período 2L,
entonces su serie de Fourier en forma compleja se escribe en la forma: Todo lo
que hicimos anteriormente fue puramente formal y con el único objetivo de
sugerir la definición de la Transformada de Fourier. A continuación daremos
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una definición precisa: Siendo f una función integrable en el sentido de la
integral de Lebesgue definida en ℝ, su Transformada de Fourier será la
función definida ℝ y con valores complejos. Igual que las series de Fourier en
el caso de funciones periódicas, la Transformada de Fourier realiza una
descomposición o análisis de f en componentesahora en lugar de presentar
sólo frecuencias discretas formando una sucesión aparece un rango continuo
de frecuencias (todo ℝ ). A cada frecuencia ξ le corresponde un coeficiente
𝑓 (𝜉)que será, en general, un número complejo. Su módulo es la amplitud y su
argumento es la fase.Sólo para mencionar algunas aplicaciones, digamos que
la Transformada de Fourier se aplica en el estudio de señales ysistemas, así
como en óptica, aparece en los aparatos sofisticados modernos como los que
se usan para tomar una tomografía, también surgen en las técnicas analíticas
como la resonancia magnética nuclear, y en general, en todo tipo de
instrumentación científica que se use para el análisis y la presentación de datos
. También tienemuchas aplicaciones en la teoría de probabilidad, en la teoría
de los números, en la combinatoria, en el estudio de las ecuaciones
diferenciales, en la física y en la propagación de ondas (Mariana Valeria Pérez
[18]).
La transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una
transformación matemática empleada para transformar señales entre el
dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas
aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de
transformaciones de cualquiera de los dominios al otro. El propio término se
refiere tanto a la operación de transformación como a la función que
produce.En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un
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sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada
de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de
amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos
representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a
una función f de valores complejos y definido en la recta, con otra función g:
donde f es L1, es decir, f tiene que ser una función integrable en el sentido de la
integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el
enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier.
Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más
comúnmente adoptada, no es universal. La transformada de Fourier así
definido goza de una seriede propiedades de continuidad que garantizan que
puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de
funciones generalizadas. Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia
e ingeniería como la física, la teoría de los números, la combinatoria, el
procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la
estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento
de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la
descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es
decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f. (Transformada de
Fourier.pdf)
Las series e integrales de Fourier constituyen un tema clásico del
análisis matemático. Desde su aparición en el siglo XVIII en el estudio de las
vibraciones de una cuerda, las series de Fourier han sido una piedra de toque
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para el desarrollo de los conceptos básicos del análisis (función, integral, serie,
convergencia...), y la evolución de estos conceptos ha ido abriendo a su vez
nuevos rumbos en el análisis de Fourier.
2.1.2. Delimitación del Problema.
En la facultad de ciencias, específicamente en la escuela de
matemática, se han presentado problemas en cuanto a generalizar la series de
Fourier.Sabemos que las series de Fourier representan funciones definidas en
ℝo, equivalentemente, funciones periódicas en el espacio ℝ .En este proyecto
investigaremos funciones definidas no periódicas en la recta y luego
generalizaremos a todo el espacio ℝ𝑛 que no son necesariamente periódicas
en ℝ𝑛 ; siendo la necesidad de formalizar y ordenando cada uno de los temas
a desarrollarse con la rigurosidad lógica de las definiciones y las propiedades
de la teoría del análisis funcional, asícomo la contrastación mediante las
ejemplificaciones haremos que el presente proyecto sea más atractivo y de fácil
acceso a los docentes universitarios de otras áreas, así como a los mismos
estudiantes de la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.
2.1.3. Formulación del Problema.
2.1.3.1. Problema general
a) ¿Es posible conseguir una expresión generalizada de las Series de Fourier
de funciones no periódicas en la recta a funciones no periódicasdefinida en el
espacio euclídeo n- dimensional?
2.1.3.2. Problemas específicos.
a) ¿Es posible conseguir una expresión generalizada de las Series de Fourier
de funciones no periódicas enℝ a funciones no periódicas en el espacio
𝐿1(ℝ𝑛)?
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b) ¿Es posible conseguir una expresión generalizada de las Series de
Fourierde funciones no periódicas en ℝ a funciones no periódicas en el
espacio 𝐿2(ℝ𝑛) ?
2.2. Justificación o importancia de la investigación.
El siguiente proyecto de investigación es una expresión generalizada de
las Series de Fourier no periódicas definidas en la recta, a funciones no
periódicas definidas en el espacio ℝ𝑛 , la que se justifica porque permite
investigar series de Fourier de funciones no periódicas, sin embargo, si estas
funciones son tratadas como funciones integrables en el sentido de Lebesgue
definidas en ℝ es posible generalizar las series de Fouriera funciones no
periódicas en el espacio en ℝ𝑛Así mismo, se ha aplicado en áreas tales como
conducción de calor, óptica, procesamiento de señales y probabilidad, y recibió
importantes contribuciones de N. Wiener, quien desarrolló lo que hoy en día se
conoce como análisis armónico generalizado. También se ha vuelto más
abstracta , algunas de las principales figuras fueron E. Cartan, H. Weyl, y
Harish-Chandra.Las series de Fourier fueron ideadas para estudiar un
problema físico; no sorprende entonces que hayan encontrado tantas
aplicaciones. Como muestra este breve resumen de los intentos para
comprender el comportamiento de estas series que sentaron las bases del
análisis armónico. A pesar que la expresión generalizada de la serie de Fourier
ha captado la atención de muchos investigadores queremos mostrar una teoría
clara y coherente, para que sea más atractiva y de fácil acceso a los
investigadores de otras áreas, así como a los mismos estudiantes de
matemática.
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2.3. Objetivos de la investigación.
2.3.1. Objetivo General.
a) Ejemplificar las Series de Fourier de funciones no periódicas en la recta a
funciones no periódicas definidas en el espacio ℝ𝑛 .
2.3.2. Objetivos específicos.
a) Ejemplificar las Series de Fourier de funciones no periódicas en ℝa
funciones no periódicas en espacio 𝐿1(ℝ𝑛)
b) Ejemplificar las Series de Fourier de funciones no periódicas en ℝa
funciones no periódicas en espacio 𝐿2(ℝ𝑛)
2.4. Hipótesis de la investigación
2.4.1. Hipótesis general
a) Una expresión de las Series de Fourier de funciones no periódicas en la
recta a una función no periódica en el espacio ℝ𝑛es posible generalizarla por
medio de funciones integrables en el sentido de Lebesgue definida en ℝ y
luego se extiende esta definición a ℝ𝑛 .
2.4.2. Hipótesis específicas
a)Una expresión de las Series de Fourier de funciones no periódicas en la
recta a una función no periódica en el espacio ℝ𝑛es posible generalizarla por
medio de funciones integrables en el sentido de Lebesgue definida ℝ y luego
se extiende esta definición al espacio L1(ℝn ) por medio de propiedades
algebraicas y analíticas.
b)Una expresión de las Series de Fourier de funciones no periódicas en la
recta a una función no periódica en el espacio ℝ𝑛es posible generalizarlo por
medio de funciones integrables en el sentido de Lebesgue definida ℝ yluego
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se extiende esta definición al espacio L2(ℝn ) por medio de la isometría sobre
ese espacio.
2.5. Variables de estudio e indicadores.
2.5.1. Variable independiente e indicadores
a) Expresión generalizada de las Series de Fourierde funciones no periódicas
en la recta.
2.5.1.2. Indicadores
A1) Funciones no periódicas en ℝ
A2)Funciones no periódicas en ℝ𝑛
2.5.2. Variable dependiente e indicadores
2.5.2.1.Variable dependiente
b)Funciones no periódicas en el espacio euclídeo n- dimensional
2.5.2.2.Indicadores
B1) Función no periódica definida en el espacio 𝐿1(ℝ𝑛)
B2) Función no periódica definida en el espacio 𝐿2(ℝ𝑛)
III. MARCO TEÓRICO DE LA INVESTIGACIÓN.
3.1. Antecedentes del problema.
Cuando se hace alguna consulta histórica sobre los llamados métodos de
Fourier y su influencia en la historia de la Matemática, un aspecto común suele
ser el comentario que se refiere al procedimiento usado por Fourier en el
cálculo de los coeficientes del desarrollo considerado. Es más o menos, así:
Para calcular los coeficientes, Fourier Jean Baptiste J. Fourier (1768-1830)
usóel desarrollo en serie de potencias de la función dada y de las funciones
trigonométricas consideradas. Reordenó estos desarrollos con objeto de igualar
los términos que multiplican a las respectivas potencias y llegóa un sistema
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lineal de infinitas ecuaciones con infinitas incógnitas. Entonces consideró un
sistema lineal finito con m ecuaciones y m incógnitas (sistema formado con las
primeras m filas y las primeras m columnas del sistema infinito original).
Resolvió este sistema finito e hizo tender m al infinito. Después de un análisis
largo y complicado, alcanzó su célebre fórmula para los coeficientes.
Uno de los problemas más interesantes del que se ocuparon los cientificos del
siglo XVIII (y que posteriormente motivó el estudio de muchos otros similares)
fue el problema de la cuerda vibrante. Si tomamos como referencia el
estupendo texto de M. Kline ([7]), el primer matemático que elaboró un modelo
apropiado para estudiar este problema fue Jean Le Rond D’Alembert en 1747
(para esta breve sección puede consultarse el texto citado para documentarse
de manera muy precisa sobre fechas, revista científica donde se realizaron las
publicaciones, volumen, páginas, etc. También son útiles [3] y [11]).
En su versión más sencilla, D’Alembert demostró que si la función u(x, t)
representa el desplazamiento vertical de la cuerda, en la coordenada x
(suponemos 0 ≤ x ≤ π por simplicidad) y el tiempo t, entonces, si la posición
inicial de la cuerda viene dada por una función f y la velocidad inicial de la
misma es cero, la función u satisface un problema de tipo mixto de la forma
∂2U x,y
∂t2 =∂2U x,y
∂x2 ; 0 < 𝑥 < 𝜋, 𝑡 > 0, 𝑡 > 0
u x, 0 = f x = ut x, 0 = 0 ,0 ≤ x ≤ π (1)
u 0, t = u π, t = 0 , t ≥ 0
D’Alembert demostró además que la solución de (1) viene dada por
u x, t =1
2 f x + t + f x − t (2)
dondef es la extensión a R, impar y 2π− periódica de la función f.
La fórmula (2) fue también demostrada por Euler en 1749. Euler difería de
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D’Alembert en el tipo de funciones iniciales f que podían tenerse en cuenta. De
hecho, estas diferencias pueden considerarse como una de las primeras
manifestaciones escritas sobre los problemas que ha llevado consigo la
definición Fourier y sus coeficientes de la noción de “función”, un concepto que
hoy en día presumimos de tener muy claro. Mientras que para D’Alembert, f
debería tener una fórmula concreta (una única expresión analítica), Euler
defendía que no había ninguna razón física para no admitir como posiciones
iniciales f a aquellas que, en diferentes partes de [0, π], tuviesen expresiones
distintas, siempre que al considerarlas unidas la posición inicial resultante
tuviese una apropiada regularidad. Pareceser que tal discusión entre
D’Alembert y Euler provenía del hecho de que en su tiempo se admitía que
cada función daba lugar a una gráfica, pero no recíprocamente (cuando la
gráfica considerada tenía diferentes expresiones en distintos intervalos). En
resumen, Euler defendía que cualquier gráfica podía considerarse como curva
inicial, tesis que no era compartida por D’Alembert. A este respecto puede
consultarse la versión castellana de un interesante artículo de Luzin sobre el
concepto de función ([10]).
Otra manera de obtener la solución del problema (1), completamente distinta
(al menos a primera vista), fue propuesta por Daniel Bernoulli en 1753. La idea
clave es obtener la solución de (1) como superposición de ondas más sencillas,
concretamente aquellas que son de la forma
un x, t = sen nx cos nt ,∀n ∈ ℕ, (3)
donde N es el conjunto de los números naturales. Para cada tiempo t fija, la
anterior función es un múltiplo de la función sen (nx), que se anula
exactamente en n − 1 puntos del intervalo (0, π). Así, si pudiésemos observar
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la vibración de la cuerda correspondiente a las ondas un, tendríamos n − 1
puntos, llamados nodos, en los que la cuerda se mantendría constantemente
fija en el eje de abscisas (como en los extremos del intervalo [0, π]). Entre
dichos nodos, la cuerda oscilaría de acuerdo con (3).
u x, t = 𝑓𝑛∞𝑛=1 sen nx cos nt , (4)
donde los coeficientes fn han de elegirse adecuadamente para que se
satisfagan todas las relaciones de (1). Si la solución propuesta por Bernoulli
fuese correcta, ello implicaría que
f x = fn∞n=1 sen nx ,∀x ∈ 0 ,π , (5)
para una adecuada elección de los coeficientes fn. Este punto de vista expuesto
por Bernoulli no tuvo aceptación en su tiempo. En particular, recibió´ duras
contestaciones por parte de D’Alembert y Euler quienes no admitían que una
función inicial f, más o menos arbitraria, pudiera representarse en la forma (5).
Representativo de esto que decimos puede ser el artículo de D’Alembert
titulado “Fundamental” contenido en el volumen séptimo de la famosa
“Enciclopedia”. La controversia se prolongódurante años.
Parece ser que las ideas de Bernoulli fueron fuente de inspiración para
Jean Baptiste-Joseph Fourier, matemático y físico francés y profesor de
análisis de la Escuela Politécnica. Fourier se interesó por la teoría de la
conducción del calor en los cuerpos sólidos. En 1807 envió un artículo a la
Academia de Ciencias de Paris (Mémoire sur la propagation de la chaleur), que
trataba sobre dicho tema. En su versión más elemental (véase de nuevo [25]),
Fourier se interesó por un problema de tipo mixto para la ecuación del calor de
la forma
∂2U x, y
∂t2=
∂2U x, y
∂x2 ; 0 < 𝑥 < 𝜋, 0 < 𝑡 < 𝑇,
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u x, 0 = f x ,0 ≤ x ≤ π, (6)
u 0, t = u π, t = 0 ,0 ≤ t ≥ T.
Como Bernoulli, Fourier buscó las soluciones más sencillas que puede
presentar este problema usando el método de separación de variables y afirmó
que la solución de (6) viene dada como superposición de ellas. Más
precisamente, Fourier propuso como solución de (6) a la función u dada por la
serie
u x, t = 𝑓𝑛∞𝑛=1 exp −𝑛2𝑡 sen nt ,
donde
𝑓𝑛 =2
𝜋 𝑓(𝑥)
𝜋
0
sen nx dx,∀n ∈ ℕ.
Sin duda, el hecho de haber alcanzado la fórmula anterior para los coeficientes
fnes una de las contribuciones fundamentales de Fourier, y marca una
diferencia significativa respecto del trabajo previo de Bernoulli sobre este tema.
El artículo de Fourier fue estudiado por los miembros de la Academia
Francesa y, en términos generales, recibióserias críticas de los mismos, siendo
su principal objeción la falta de rigor. No obstante, los cientificos de tan
prestigiosa institución estaban convencidos de la importancia que tenían los
problemas relacionados con la propagación del calor y, los resultados
teóricospresentados por Fourier tenían una gran concordancia con diversos
experimentos llevados a cabo previamente. Por este motivo, convocaron un
premio sobre el tema. Dicho premio fue otorgado a Fourier en 1812, pero a
pesar de esto se continuo´ criticando su falta de rigor, de tal manera que
aunque obtuvo el citado premio, Fourier no consiguióel propósito de publicar su
trabajo en Fourier y sus coeficientes la célebre serie “Mémoires”de la Academia
Francesa. Fourier público por su cuenta su famoso libro Théorie Analytique de
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la Chaleur, en 1822 en París, donde incorporo parte de su artículo de 1812
prácticamente sin cambio. Este libro es actualmente una de las obras clásicas
en matemáticas. Dos añosmástarde consiguióel cargo de Secretario de la
Academia Francesa y al fin pudo publicar el mencionado artículo en la serie
“Mémoires”.
Riemann también se interesó por el tema afirmando que era importante,
al menos para los matemáticos aunque no necesariamente para las
aplicaciones físicas, establecer lascondiciones más amplias posibles bajos las
cuales tienen sentido las fórmulas de los coeficientes de Fourier. Introdujo así
lo que llamamos hoy en día integral de Riemann, cuya idea básica es por una
parte no asumir necesariamente que f es continua, y por otra establecer
condiciones lo más generales posibles para que las sumas de Riemann tengan
un único límite cuando las longitudes de todos los subintervalos de la partición
considerada tienden a cero. Esto le permitió integrar funciones con un número
infinito de discontinuidades. No obstante, hubo que esperar a los trabajos de
Lebesgue sobre la medida de un conjunto, para tener una caracterización
precisa de las funciones que pueden integrarse según Riemann. De hecho, la
que se considera actualmente como integral definido en muchos aspectos, es
la introducida por Lebesgue en 1902 en su tesis doctoral: “Intégrale, longueur,
aire”. El punto de partida, respecto de la noción de integral de Cauchy o de
Riemann es completamente diferente, pues lo que se intentaba era medir, de
alguna forma, el conjunto de puntos de discontinuidad de una función dada
(véase [1]). La noción de integral de Lebesgue permitió probar con gran
generalidad muchas conclusiones sobre series de Fourier que, con anterioridad
a Lebesgue, eran conocidas para tipos particulares de funciones (lema de
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Riemann-Lebesgue, igualdad de Parseval, criterios de convergencia puntual,
etc.). Además, muchos resultados de la teoría de integración de Lebesgue se
expresan con una gran simplicidad y claridad respecto de las teorías de
integración anteriores (teoremas de convergencia, teorema de Fubini, etc.), de
tal forma que el conocimiento de la teoría de la integral de Lebesgue es, hoy en
día, imprescindible, para poder entender y presentar adecuadamente la teoría
de series de Fourier (Antonio Cañada Villa [4]).
3.2.Fundamentos teóricos
3.2.1. Integral de Lebesgue
3.2.1.1. Espacio de Medida
Definición 1. Sea X un conjunto, se dice que A ⊂ P(X) es σ−álgebra si
verifica:1.𝑋 ∈ 𝒜,
2. 𝒜 es cerrada por complementación i.e. 𝐴 ∈ 𝒜⇒𝐴𝑐 ∈ 𝒜 ,
3. A es cerrada por uniones numerables, finitas o no, i.e.
𝐴𝑛 ⇒ 𝐴𝑛𝑛≥1 ∈ 𝐴.
Observación 1.𝒜 = 𝒫 𝑋 ,es siempre σ−álgebra.
Lema 1. Si Aα α∈D es una colección arbitraria de σ−álgebras, entonces
𝐴𝛼𝛼∈𝐷 es σ−álgebra.
Definición 2. σ−álgebra de Borel. En ℝ se define la σ−álgebra de Borel,ℬℜ
como aquella generada por los intervalos abiertos
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ℬℜ = 𝑎, 𝑏 :𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 < 𝑏
La definiciónℬℜ de también funciona con intervalos cerrados, semi abiertos o
incluso infinito como [a, ∞).
Definición3. (Función medible). Diremos que 𝑓:𝑋 → ℝ, es 𝒜−medible
si ∀𝑎 ∈ ℝ se tiene
𝑓−1 𝑎, ∞ = 𝑥 ∈ 𝑋:𝑓 𝑥 > 𝑎 ∈ 𝒜
Ejemplo1. Veamos unos cuantos ejemplos.
1. f x = const. = c.
f −1 a,∞ = ℝ si a < 𝑐ϕ resto.
2. Las funciones continuas son medibles. Observar que (a, ∞)⊂ R es un
intervalo abierto y por lo tanto f −1 ((a, ∞)) es otro abierto al ser f continua y
como sabemos tales conjuntos son medibles
3. La función indicatriz
χA x = 0 , xϵ A1 , x ∉ A
viéndose que, 𝐴𝜖𝒜 ⟺ 𝜒𝐴 𝑥 es medible,
χA−1 a, ∞ =
ℝ si a < 𝑜A si aϵ [0,1)ϕ si a ≥ 1.
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3.2. 2.Espacios de Lebesgue
Comenzamos el estudio de los espacios de Lebesgue haciendo un breve
resumen de los espacios de Lp y de algunas de las propiedades que serán
utilizadas más adelante.
Sea Ω un abierto no vacío de ℝ𝑛 . Recordemos que 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ𝑛 fes una
función medible si el conjunto 𝑥 𝜖 ℝ𝑛 ∶ 𝑓 𝑥 < 𝑎 es medible (respecto de la
medida de Lebesgue en ℝ𝑛 ) para cualquier valor de ℝ . Como es habitual,
identificaremos funciones que son iguales salvo un conjunto de medida
(Lebesgue) nula (iguales casi por doquier). Para la integral de Lebesgue
usaremos la siguiente notación
dxxff )(
3.2.2.1. Espacios LP.
Definición4. Para p ∈ [1, ∞), Lp (Ω) (abreviatura de Lp (Ω, µ), cuando µ es la
medida de Lebesgue en ℝ𝑛 ) es el espacio de (clases de) funciones u,
medibles en Ω y que son p-integrables en Ω, es decir,
.
pu
En el caso p = ∞, se tiene que L∞ (Ω) es el espacio de (clases de) funciones u,
medibles en que están esencialmente acotadas en Ω, es decir, tales que
existeM > 0 y N ⊂ Ω con medida nula verificando |u(x)| ≤ M para cada x ∈ Ω \
N.
Los espacios vectoriales anteriores son normados para las normas:
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),,1[
/1
;
pparauuu
p
P
Lp P
𝑢 ∞;Ω = 𝑢 𝐿∞ Ω = 𝑢 =Ω𝑠𝑢𝑝𝑒𝑠
𝑖𝑛𝑓 𝑀 > 0: 𝑢(𝑥) ≤ 𝑝. 𝑐. 𝑡. 𝑥 ∈ Ω
Es conocido que (Lp (Ω), || · ||p;Ω) es un espacio de Banach para cualquier valor
de p ∈ [1, ∞).En el caso particular de p = 2, es decir, (L2 (Ω), || · ||2;Ω) es un
espacio de Hilbert.
3.2.2.2. Desigualdades
Desigualdad de Young. Si p ∈ [1, ∞), denotaremos q al exponente conjugado
de p, es decir, q ∈ [1, ∞) y
1
𝑝+
1
𝑞= 1 𝑆𝑖 𝑝 = 1, 𝑞 = ∞, 𝑞 = 1 .
Sean p ∈ 1,∞ y q ∈ 1, ∞ su exponente conjugado, entonces
ab ≤1
pap +
1
qbq ∀a, b ∈ 0, ∞ .
Desigualdad de Holder.Sean p ∈ [1, ∞) y q ∈ [1, ∞) su exponente conjugado,
entonces
19
)(),(;;
qp
qpLvLuvuuv
para p y q en (1, ∞) la desigualdad del Holder se escribe:
).(),(
/1/1
qp
q
q
p
pLvLuvuuv
En particular si p=q=2 se tiene la desigualdad de Schwartz
).(),( 22
2/12/1
2
LvLuvuuvq
Desigualdad de Minkowsky
).(),(
/1/1/1
pp
p
p
p
p
p
pLvLuvuvu
También se tiene
Teorema 1.
1. Lp (Ω) es un espacio de Banach, ∀p ∈ [1, ∞). Para p = 2 se tiene que L2 (Ω)
es un espacio de Hilbert para el producto
).(,,)()(),( 2;0
Lvudxxvxuvu
2. Lp (Ω) es separable si p ∈ [1, ∞). De hecho, D (Ω) es denso en Lp (Ω) para p
∈ [1, ∞). Por otro lado, L∞(Ω) no es separable.
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3. Teorema de representación. Sea p ∈ [1, ∞) y L ∈ [Lp (Ω)]’. Entonces, existe v
∈ Lp’ (Ω) tal que
).(,)()()(
pLudxxvxuuL
Además,
𝑣 𝑝′ ;Ω = 𝐿 [𝐿𝑝 (Ω)]´ . De este modo podemos identificar al espacio dual
de 𝐿𝑝 (Ω) con 𝐿𝑝′ (Ω).
4. Lp (Ω) es un espacio reflexivo si p ∈ (1, ∞). Ni L1 (Ω) ni L∞ (Ω) son espacio
reflexivo
Definición5. Denotamos por Lploc (Ω) el espacio vectorial de las funciones
reales medibles y localmente p-integrables en Ω, es decir,
U: Ω ⊂IRn → IR medible tal que u ∈ Lp(Ω’), ∀Ω’⊂⊂ Ω.
Observación.2.1. Cuando escribimos Ω’⊂ Ω queremos decir
Ω′
es un compacto contenido en Ω. Por otro lado, Lploc (Ω) no es un espacio
normado (es lo que se llama un espacio de Fréchet) aunque podemos definir
una noción de convergencia para sucesiones en Lploc (Ω): Dada un n≥1 ⊂
21
Lploc(Ω) y u ∈ Lp
loc (Ω), diremos que un converge hacia u en Lploc (Ω) (un → u en
Lploc (Ω)) si un →u en Lp (Ω’) para cada Ω’⊂⊂ Ω.
Ejemplo 2.2.
𝑓 𝑥 = 1 ,𝑥𝜖 ℚ
0 , 𝑥 ∉ ℚ
Para Riemann no es integrable, pero para Lebesgue si es integrable.
3.3. Marco conceptual
3.3.1. Series trigonométricas y polinomios trigonométricos
Se llama serie trigonométrica de periodo 2π a toda serie de funciones de
la forma
𝑎𝑜
2+ (𝑎𝑘
∞
𝑘=1𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝑏𝑘𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥). (1.1)
Se llama polinomio trigonométrico de grado N y periodo 2π a toda
expresión de la forma
𝑎𝑜
2+ (𝑎𝑘
𝑁
𝑘=1𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝑏𝑘𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥). (1.2)
Si al menos uno de los coeficientes aN y bN es distinto de cero se diceque
elgrado del polinomio es N. Observase que las sumas parciales de las series
trigonométricas (1.1) son polinomios trigonométricos.
3.3.2. Series de Fourier
Dada una función periódica de periodo 2π buscamos una serie trigonométrica
que la represente, es decir, que coincida con ella en algún sentido.
Ortogonalidad del sistema trigonométrico.
22
La familia de funciones 1, cos x, cos 2x,. . ., sen x, sen 2x,. . . que interviene
en la serie (1.1) satisface la siguiente propiedad de ortogonalidad:
φ1
π
−π
x φ2 x dx = 0,
para cualquier par 𝜑1 𝑦 𝜑2 de funciones distintas de la familia. Si𝜑1 = 𝜑2la
integral es π, salvo para la función 1 en cuyo caso es 2π.
Los coeficientes de Fourier.
Los valores de ak, bk que se obtienen son los siguientes:
ak =1
π f x cos kx dxπ
−π , (1.3)
bk =1
π f x sen(kx)dxπ
−π
Definición1.Dada una función integrable f, los números ak, k = 0, 1, 2,. . .y
bk, k = 1, 2,. . . dados por las fórmulas (1.3) se llaman coeficientes de Fourier
de f. La serie trigonométrica (1.1) construida con estos coeficientes se llama
serie de Fourier de f.
Los coeficientes dependen de la función y cuando intervienen simultáneamente
coeficientes de varias funciones distintas, conviene hacer explícita esta
dependencia; en esos casos escribiremos ak (f) y bk (f).
Observemos que si f es un polinomio trigonométrico, el intercambio de sumas e
integrales está perfectamente justificado por la linealidad de la integral y
deducimos que los coeficientes del polinomio trigonométrico (1.2) vienen dados
por las fórmulas (1.3).
3.3.3. Propiedades elementales de los coeficientes
23
1. Las sucesiones ak, k = 0, 1, 2,. . . y bk, k = 1, 2,. . .están acotadas; en
efecto,
ak , bk ≤1
π f(x) dxπ
−π
2. Linealidad:
ak(f + g) = ak(f) + ak(g) , bk(f + g) = bk(f) + bk(g) .
3. Si f’ existe y es continua,
ak f = −bk f ′
k , b f = −
ak f ′
k ,𝐾 = 1,2,…
Aquí la continuidad y la existencia de derivada se entienden referidas a la
función extendida periódicamente. Esta propiedad se demuestra integrando por
partes; en realidad, si f es continua, es suficiente con que sea derivable a
trozos y f’ continua a trozos. Hay otras versiones para cuando f tiene
discontinuidades.
4. Si f es par (es decir, f(−x) = f(x)), se tiene bk(f) = 0 para todo k y la fórmula ak
se puede escribir:
ak =2
π f x cos kx dxπ
0
Cuando f es impar (es decir, f(−x) = −f(x)), tenemos ak(f) = 0
para todo k y la fórmula bkse puede escribir
bk =2
π f x sen(kx)dxπ
0 .
Teorema1. (Desigualdad de Bessel). Si f2 es integrable,
a0
2
2+ (ak
2∞k=1 + bk
2) ≤1
π f 2π
−π.
En particular, para las funciones de cuadrado integrable deducimos que las
sucesiones de sus coeficientes de Fourier ak y bk convergen a cero
(condición necesaria de convergencia de la serie). Obsérvese que aunque no
toda función integrable es de cuadrado integrable, sí lo es si está acotada.
24
3.3.3 ¿Qué son funciones integrables?
Deliberadamente hemos dejado el término integrable sin calificar de modo que
podemos dudar si hablamos de la integral de Riemann o de la de Lebesgue.
Desde la aparición de ésta a principios del siglo XX, es el marco natural para
las series de Fourier. Pero toda la teoría clásica se desarrolló en el siglo XIX en
términos de laintegral de Riemann, así que quien no conozca la teoría de la
integral de Lebesgue puede considerar que en todos los enunciados referidos a
series de Fourier hablamos de funciones integrables Riemann. Sólo hay que
hacer una observación: para la integral de Riemann de funciones no acotadas
se consideran integrales impropias y en ese caso los resultados se limitan a las
que son absolutamente convergentes.
Definición2.Un espacio de Hilbert es un espacio Pre-Hilbert H en el que toda
sucesión de Cauchy converge con respecto a . =<. >1/2.
L2(Ω)es un espacio de Hilbert ,pues con respecto a la norma inducida por el
producto interno,L2(Ω) es un espacio de Banach
Definicion3.Si 𝜑 ∈ 𝐿1(ℝ) , la TRANSFORMADA DE FOURIER de f, denotada
por 𝜑 (𝑜 ℱ𝜑) se define como:
𝜑 𝜉 =1
2𝜋 𝑒−𝑖𝜉𝑥
+∞
−∞
𝜑(𝑥)𝑑𝑥
IV. DISEÑO METODOLÓGICO DE LA INVESTIGACIÓN.
4.1. Tipo de investigación y diseño de investigación.
La investigación corresponde a las ciencias formales del tipo básica y el diseño
es descriptivo que nos lleva a la búsqueda de conocimientos en el análisis
funcional.
25
4.2. Población y Muestra.
Población: Funciones periódicas y no periódicas definidas en el espacio
𝐿𝑃(ℝ𝑛)
Muestra:Funciones integrables en el sentido de Lebesgue definida en el
espacio 𝐿1(ℝ𝑛) y el espacio 𝐿2(ℝ𝑛)
4.3. Material de estudio.
.En el presente informe de investigación nuestro material de estudio son
funciones integrables 𝜑 en el sentido de Lebesgue tal que
𝜑 𝜉 =1
2𝜋 𝑒−𝑖𝜉𝑥+∞
−∞𝜑(𝑥)𝑑𝑥
4.4. Métodos y Técnicas
Se emplearán los métodos lógicos inductivo y deductivo respectivamente. El
método deductivo es utilizado para justificar matemáticamente las condiciones
necesarias o suficientes para la existencia de funciones integrables en el
sentido de Lebesgue el método inductivo es para contrastar el funcionamiento
de dichas condiciones, utilizando ejemplos conocidos de funciones no
periódicas.
4.5. Modelo de contrastación y verificación de hipótesis
Se define la Transformada de Fourier sobre ℝ para funciones integrables en el
sentido de Lebesgue y colocamos algunos ejemplos explícitos. A continuación
se extiende esta definición a ℝ𝑛 con algunas propiedades algebraicas y
analíticas de este operador. A continuación definimos la transformada de
Fourier sobre L2que será una isometría sobre este espacio.
26
V. ASPECTOS ADMINISTRATIVOS DE LA INVESTIGACIÓN.
5.1. Plan de Acciones y Cronograma.
TRIM 1 TRIM 2 TRIM 3 TRIM 4 M 1
M 2
M 3
M 1
M 2
M 3
M 1
M 2
M 3
M 1
M 2
M 3
I Planificación
1.1 Información básica x X
1.2 Información bibliográfica x X
1.3 Elaboración del marco teórico X X
1.4 Formulación del proyecto X X
1.5 Aprobación X
II Instrumentación
2.1 Series de Fourier reales y complejos X
2.2 Espacio medible X x
2.3 Integración y espacios Lp x x
III Ejecución / Trabajo de Campo
3.1 Transformada de Fourier x x
IV Análisis de datos
4.1 Transformada de Fourier en L1 x X
4.2 Transformada de Fourier en L2 X x
V Preparación del Informe Final
5.1 Redacción del borrador de informe x
5.2 Revisión del borrador de informe x
5.3 Aprobación del borrador de informe x
5.4 Edición final x
VI Presentación y/o sustentación
6.1 Presentación de informe final x
6.2 Sustentación x 5.2. Asignación de recursos.
5.2.1. Recursos Humanos.
Investigador responsable e Investigadores miembros.
5.2.2. Recursos Materiales.
Una computadora Pentium IV, una impresora y tinta para la impresión.
Útiles de escritorio-Bibliografía, Fotocopias y USB
5.2.3. Servicios.
Servicio de alquiler de equipos,Gastos de transporte y viáticos, Paquetes de
software y Servicio de apoyo.
27
5.3. Control y Evaluación del ProyectoLos avances parciales del PROIN
serán evaluados por el OGIN/UNJBG
5.4. Presupuesto y Financiamiento del Proyecto.
CUADRO DE FINANCIAMIENTO DEL PROYECTO
DESCRIPCION PRESUPUESTO
TOTAL
FINANCIAMIENTO
R.PROPIOS UNJBG
BIENES S/.1800 S/.900 S/.900
SERVICIOS S/.700 S/.350 S/.350
TOTAL S/.2500 S/.1250 S/.1250
% 100 % 50% 50%
Descripción
clasificador Unidad
de
medida
C aantidad
Valor
Unitar
io
Sub
Total
S/.
TTrim1
S/.
Trim2
S/.
Tri3
S/.
Tri4
S/.
Finan.
%
1
2
Bienes
a) Material de
escritorio
b) Material de
impresión
c) Material
bibliográfico
Servicios
a) Servicio
especializado
b) Servicio de
alquiler de
equipos
c) Gastos de
transporte y
viáticos
d) Paquetes de
y software
e) Servicio de
apoyo
231512
222344
231911
232738
232514
232121
266132
Libros
Asesor
Equipo
Pasajes
software
personal
8
1
1
40
4
1
50
600
300
5
40
250
250
350
400
600
300
200
150
250
75
75
150
150
50
50
36.5
50
75
75
150
150
50
50
36.5
50
75
100
50
150
100
50
36.5
75
75
100
50
150
100
50
36.5
75
Recursos
Propios
50%
UNJBG
50%
Total
S/.
2500
28
VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] J. Alaminos, C. Aparicio, P. Muñoz y A.R. Villena. Un recorrido histórico
del teorema fundamental del cálculo. Sometido a publicación.
[2]Ayant, Borg. M. (1974). Funciones especial. Editorial Alhambra, S.A.
[3] Cañada. A. (2000) Una perspectiva histórica de las series de Fourier: de las
ecuaciones de ondas y del calor a los operadores compactos y autoadjuntos.
Relime, Revista Latinoamericana de investigación en Matemática educativa,
3, 293-320.
[4] Cañada Villar Antonio. (2006). Fourier y sus coeficientes .Universidad de
Granda España.
[5] EidelmanYuli.(2004). Functional Analysis and Introduction. Editorial
American Mathematical Society. New York.
[6] Kesavan, S. (2009).Nonlinear Functional Analysis. Edit. Hindustan Book
Agency. London.
[7]Kline.M (1972).Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford
University Press.New York. . Versión española en Alianza Editorial,
Madrid, 1992.
[8] Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications .Edit.
Wiley.Toronto.
[9]Kolmogorov a. and Fomin s.(1972).Elementos de la Teoría de funciones y
del Análisis Funcional .Editorial Mir. Moscú.
29
[10] Luzin.N.N. (2003).Función. Gac. R. Soc. Mat. Esp., 6, 201-225.
[11] M. de Guzmán. Impactos del análisis armónico. Discurso de ingreso en
la Real Académica de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid.
http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/impactoanalisisarmonico.htm,
1983.
[12] Rudin, W,(2002),Análisis funcional.Edit. Reverte S. A. España.
[13]Rudin, W. (1986).Real and Complex Analysis.Terceraedition McGraw-Hill.
New York.
[14]Rudin W. (1976).Principles of Mathematical Analysis.Terceraedition
McGraw-Hill. New York.
[15] Siu Ah Ng N. (2010).Onstandard Methods in functional Analysis, Edit.
World ScientificPublishing Co. Pte.Ltd.Singapur.
[16]Stein E. and Shakarchi R. (2003).Complex Analysis, Princeton University
Press.
[17] Zeidler, Eberhar. (1995). Applied Functional Analysis, Edit. Springer. New
York
[18] Valeria Pérez Mariana, (2009), La definición de la transformada de Fourier
y sus desigualdades en norma de pesos .Universidad de Buenos Aires.
Argentina
30
VII. ANEXOS
MATRIZ DE CONSISTENCIA
TITULO: Expresión generalizada de las Series de Fourier de funciones no periódicas en la recta a funciones no periódicas en el espacio
euclidiano n- dimensional
PROBLEMA OBJETIVO HIPÓTESIS VARIABLES INDICADORES MUESTRA DISEÑO INSTRUMENTO
GENERAL: a)¿Es posible
conseguir una
expresión
generalizada de las
Series de Fourier
de funciones no
periódicas a
funciones no
periódicas definida
en el espacio
euclidiano n-
dimensional?
GENERAL: a) Ejemplificar las
Series de Fourier
de funciones no
periódicas en la
recta a funciones
no periódicas y
definidas en el
espacio ℝ𝑛 .
GENERAL: a) Una expresión de
las Series de Fourier
de funciones no
periódicas en la recta
a una función no
periódica en el
espacio ℝ𝑛es posible
generalizarla por
medio de funciones
integrables en el
sentido de Lebesgue
definida en ℝ y luego
se extiende esta
definición a ℝ𝑛 .
Variable
independiente
a) Expresión
generalizada
de las Series
de Fourier
de funciones
no periódicas
en la recta.
Variable
dependiente
b) Funciones
no periódicas
definida en el
espacio
euclídeo n-
dimensional
a1) Funciones no
periódicas en ℝ
a2) Funciones no
periódicas en ℝ𝑛
b.1) Función no periódica definida en el espacio 𝐿1(ℝ𝑛) b.2) Función no periódica definida en el espacio 𝐿2(ℝ𝑛)
POBLACIÓN: Funciones periódicas y
no periódicas definidas
en el espacio 𝐿𝑃(ℝ𝑛)
MÉTODO LÓGICOS: Inductivo y deductivo
Análisis funcional
MUESTRA : Funciones integrables
en el sentido de
Lebesgue definida en
el espacio 𝐿1(ℝ𝑛) y el
espacio 𝐿2(ℝ𝑛)
DISEÑO: Descriptivo
ESPECIFICOS: a) ¿Es posible
conseguir una
expresión generalizada
de las Series de
Fourier definidas en ℝ𝑛
a funciones no
periódicas en el
espacio 𝐿1(ℝ𝑛)?
b) ¿Es posible
conseguir una
expresión generalizada
de las Series de
Fourier definidas en ℝ𝑛
a funciones no
periódicas en el
espacio 𝐿2(ℝ𝑛) ?
ESPECIFICOS: a) Ejemplificar las
Series de Fourier de
funciones no periódicas
en ℝ a funciones no
periódicas en espacio
𝐿1(ℝ𝑛)
b) Ejemplificar las
Series de Fourier de
funciones no periódicas
en ℝ a funciones no
periódicas en espacio
𝐿2(ℝ𝑛)
ESPECIFICOS: a)Una expresión de las Series de
Fourier de funciones no
periódicas en la recta a una
función no periódica en el
espacio ℝ𝑛es posible
generalizarla por medio de
funciones integrables en el
sentido de Lebesgue definida ℝ
y luego se extiende esta
definición al espacio L1(ℝn ) por
medio de propiedades
algebraicas y analíticas.
b) Una expresión de las Series
de Fourier de funciones no
periódicas en la recta a una
función no periódica en el
espacio ℝ𝑛es posible
generalizarlo por medio de
funciones integrables en el
sentido de Lebesgue definida ℝ
y luego se extiende esta
definición al espacio L2(ℝn) por
medio de la isometría sobre ese
espacio.