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Probabilidad y Estadí stica II
1. Conjunto y Técnicas de Conteo
1.1. Definición y notación de conjuntos
Definición
Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos
pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos
ejemplos son:
A es el conjunto de los números naturales menores que 5.
B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.
C es el conjunto de las letras a, e, i, o y u.
D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.
Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que
componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al
conjunto y se denota mediante el símbolo ∈ la expresión a ∈ A se lee entonces como «a
está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el
símbolo ∉. Por ejemplo:
3 ∈ A , ♠ ∈ D
amarillo ∉ B, z ∉ C
Notación
Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los
conjuntos A y D se usa una definición intensiva o por comprensión, donde se especifica
una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos B y C se
usa una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente. Es habitual
usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que:
B = {verde, blanco, rojo}
C = {a, e, i, o, u}
Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de
forma intensiva mediante una propiedad:
A = {Números naturales menores que 5}
D = {Palos de la baraja francesa}
Otra notación habitual para denotar por comprensión es:
A = {m : m es un número natural, y 1 ≤ m ≤ 5}
D = {p : p es un palo de la baraja francesa}
F = {n2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10},
En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F es el
conjunto de «los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10
(ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números
naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua
«/». Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
1.2. Operaciones y leyes de conjuntos
Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:
Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B. Se nota A U B.
La disyunción V, se utiliza en el sentido inclusivo, es decir, significa “y/o”.
Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que
contiene todos los elementos comunes de A y B. La intersección de dos conjuntos
A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B.
Se nota A B.
Si A y B no tienen elementos en común, es decir, si A B = , entonces diremos
que A y B son conjuntos disjuntos.
Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que
contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. La diferencia entre dos
conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen
a A y no pertenecen a B. Se nota por A \ B.
El conjunto A \ B se lee “A menos B” y recibe también el nombre de
complementario relativo del conjunto B respecto del conjunto A.
Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto Ac que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A. El complementario de un conjunto A
es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal que no
pertenecen a A. Se nota Ac.
Obsérvese que el complementario de A es igual a la diferencia entre U y A, es
decir, Ac = U \ A.
Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer
elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.
Ejemplos:
{1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
{5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
{5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}
{♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
{1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}
Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_conjuntos
Leyes de los conjuntos
Ley de Idempotencia:
Ley conmutativa:
Ley asociativa:
Ley distributiva:
Ley de identidad:
Ley involutiva:
Ley de complementario:
Ley de De Morgan:
1.3. Diagrama de Venn Euler
Una representación gráfica para los conjuntos son los diagramas de Venn. El conjunto
universal se representa por el interior de un rectángulo y todos los demás conjuntos se
representan por regiones cerradas incluidos en el mismo.
1.4. Principios aditivo y multiplicativo
Principio Aditivo:
Principio Multiplicativo:
1.5. Permutaciones
1.6. Combinaciones
1.7. Ejercicios de aplicación
2. Teoría de la Probabilidad
2.1. Espacio muestral
2.2. Eventos
2.3. Axioma y teorema de la probabilidad
2.4. Espacio finito y equiprobable
2.5. Probabilidad condicional
2.6. Probabilidad total y teorema de Bayes
2.7. Independencia
3. Introducción a la estadística
3.1. Estadística en los negocios: qué y para qué
3.2. Descripción del uso de la estadística en los negocios, uso actual y uso potencial
3.3. Principales análisis estadísticos usados en los negocios
4. Definición de estadística y probabilidad
4.1. La estadística como un proceso generador de información
5. Recolección de datos
5.1. Muestreo y encuestas
5.2. Registros administrativos
5.3. Investigaciones especiales
6. Gráficas básicas
6.1. Principios generales de las gráficas estadísticas
6.2. Histogramas, gráficas de pastel
6.3. Gráficas de relación