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5/9/2018 Problema Viga 2GDL Voladizo - slidepdf.com
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Universidad Central de Venezuela
Facultad de IngenieríaDepartamento de Comité Académico de Postgrado.
Elementos Finitos aplicado al Diseño de Sistemas de TuberíasFecha: 11/07/2011Prof. Asdrúbal Ayestarán
Para la viga mostrada en la f igura, determine:
a) Desplazamientos nodales ante el estado de cargas planteadob) Esfuerzos máximo en el empotramiento.
c) Desplazamiento vertical en el punto más alejado del empotramiento.
Nota: Desprecie el efecto por peso propio de la viga.
Numeración nodal global y elemental propuesta para resolver el problema: 2 elementos tipo viga
La numeración de los grados de libertad se obtienen con la expresión:
GDLN NumeracionNodal( ) GDLN kk ( )
Donde "NumeraciónNodal" es el número del nodo, "GDLN" es el número de grados de libertad global por nodo en
el modelo (en este problema = 2, 1 desplazamiento vertical y 1 rotación) y kk es un coeficiente que varía desde 1
hasta GDLN (en este problema = 2)
Ejemplo: Como asignar los Grados de libertad GLOBAL para el nodo #3
GDLN 2 Grado de libertad "kk=1" local para el nodo 3
GDLN NumeracionNodal( ) GDLN kk ( ) 2 3( ) 2 1( )= 5=
Grado de libertad "kk=2" local para el nodo 3
GDLN NumeracionNodal( ) GDLN kk ( ) 2 3( ) 2 2( )= 6=
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Al nodo #3 le corresponden los grados de libertad 5 y 6, siendo estos los desplazamientos horizontales y verticales
respectivamente.
Recuerde que el orden de los grados de libertad por convención es:
1) Desplazamiento x 2) Desplazamiento y 3) Desplazamiento z
4) Rotación x 5) Rotación y 6) Rotación z
Datos de entrada del problema
Nnode 3 Número de nodos globales
Nelem 2 Número de elementos
GDLN 2 Grados de libertad global por nodo NNELEM 2 Número de nodos por elemento
Coordenadas X-Y de los nodos Exponente del
coeficiente de
penalización
Dimensiones de
la sección
transversal
Vector Módulo de Young de
cada elemento
b 50mmE 200
1
1
GPaX
0
1
2
m Y
0
0
0
mTol 10 h 100mm
Vector de áreas e Inercia de cada
elementoArea b h
1
1
5 103
5 103
m
2 Inercia
1
12b h
3
1
1
4.167 106
4.167 106
m
4
Carga Puntual P 1000N
Matriz de conectividadCada fila representa los nodos globales en su posición 1 y 2 respectivamente para cada
elemento. Fila "i" corresponde a la conectividad del elemento "i". Revisar esta información
con dibujo de la malla seleccionada para este problemas
CN1
2
2
3
Se eliminan las unidades de "TODOS" los valores de entrada, definiéndolos nuevamente igual a su valor original divididos
entre la unidad correspondiente del sistema que deseamos trabajar.
En nuestro caso MKS: m, kg, s,N
bb
m h
h
m X
X
m Y
Y
m Area
Area
m2
InerciaInercia
m4
EE
Pa P
P
N
En Mathcad 15 se tiene que hacer esto, pues este software no acepta componentes dentro de una matriz con unidades
diferentes: La matriz de rigidez de un elemento viga tiene componentes de rigidez angular con rigidez por
desplazamientos. En un paso posterior luego de resolver, las unidades se reasignan a las variables
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Matrices elementales y ensamblaje
he
hei
XCNi 1 X
CNi 2 2
YCNi 1 Y
CNi 2 2
he
i 1 Nelemfor1
1
Determina la longitud de
los elementos (en m)
Matriz de rigidez elemental
pp 18/26 de teoríak x( )
Inerciax
Ex
hex
3
12
6 hex
12
6 hex
6 hex
4 hex
2
6 hex
2 hex
2
12
6 hex
12
6 hex
6 hex
2 hex
2
6 hex
4 hex
2
Matriz de rotación (Función) elementos vigas con 2 GDL/nodo. Para este problema NO es necesaria y no se utiliza
R x( )
YCNx 2 Y
CNx 1
hex
0
0
0
XCNx 2 X
CNx 1
hex
0
0
0
0
1
0
0
0
0
YCNx 2 Y
CNx 1
hex
0
0
0
XCNx 2 X
CNx 1
hex
0
0
0
0
1
kxy x( ) R x( )T
k x( ) R x( ) Función para obtener la matriz de rígidez de cada viga rotada
kxy x( ) k x( ) Para este problema y para no alterar el algoritmo Kt, cada matriz elemental
es la matriz elemental sin rotar
Ejemplo: Matriz de rigidez de los elementos 1 y 2
Matrices de rigidez elemental 1 y 2. En N/mkxy 1( )
12.5
6.25
12.5
6.25
6.25
4.17
6.25
2.08
12.5
6.25
12.5
6.25
6.25
2.08
6.25
4.17
8 105
En este problema se llaman kxy(x) en lugar de k(x) solo como
un cambio de variable. Revisar algortimo Kt
kxy 2( )
12.5
6.25
12.5
6.25
6.25
4.17
6.25
2.08
12.5
6.25
12.5
6.25
6.25
2.08
6.25
4.17
8 105
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Kt
Kti j
0N
m
j 1 GDLN Nnodefor
i 1 GDLN Nnodefor
Nodo
ii
CN
elem ii
ii 1 NNELEMfor
p 1
GDLGp
GDLN Nodoii
GDLN kk ( )
p p 1
kk 1 GDLNfor
ii 1 NNELEMfor
m GDLGiii
n GDLG jjj
Ktm n
Ktm n
kxy elem( )iii jjj
jjj 1 GDLN NNELEMfor
iii 1 GDLN NNELEMfor
elem 1 Nelemfor
Kt
Algoritmo general para el ensamblaje de la
matriz de rigidez global
Nótese que es igual al algoritmo empleado en
problemas de elementos tipo barra. Este
algoritmo se utiliza hasta que se diga lo
contrario
Matríz de rigidez ensamblada, sin
modificación por condiciones de borde.
En N/m
Kt
12.5
6.25
12.5
6.25
0
0
6.25
4.17
6.25
2.08
0
0
12.5
6.25
25
0
12.5
6.25
6.25
2.08
0
8.33
6.25
2.08
0
0
12.5
6.25
12.5
6.25
0
0
6.25
2.08
6.25
4.17
8 105
Funciones de forma
A diferencia de los elementos barra, las matrices de interpolación con las funciones de forma se utilizan
posteriormente para la aplicación de las cargas y para el postprocesamiento.
Se listas las componentes "H" sin derivar, primera derivada Hp (ver pp 12/26 de teoría) y segunda derivada Hpp
H1 ξ( )1
4
2 3 ξ ξ3
Hpp1 ξ( )1
4
6ξ( )H
p1ξ( )
1
43 3ξ
2
Hpp2 ξ( )1
42 6ξ( )
H2 ξ( )1
41 ξ ξ
2 ξ
3 Hp2 ξ( )
1
41 2ξ 3ξ
2
Hpp3 ξ( )1
4 6ξ( )
H3 ξ( )1
42 3ξ ξ
3 Hp3 ξ( )
1
43 3ξ
2
Hpp4 ξ( )1
42 6ξ( )
H4 ξ( )1
41 ξ ξ
2 ξ
3 Hp4 ξ( )
1
41 2ξ 3ξ
2
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Matriz H sin derivar. Se utiliza para interpolar lo
desplazamientos verticales. Ver pp 11/26 de teH elem ξ( ) H1 ξ( )
heelem
2H2 ξ( ) H3 ξ( )
heelem
2H4 ξ( )
Matriz H derivada 1 vezHp elem ξ( ) Hp1 ξ( )
heelem
2Hp2 ξ( ) Hp3 ξ( )
heelem
2Hp4 ξ( )
Matriz H derivada 2 veces. Se utiliza para
obtener el momento flector.Hpp elem ξ( ) Hpp1 ξ( )
heelem
2Hpp2 ξ( ) Hpp3 ξ( )
heelem
2Hpp4 ξ( )
Hppp elem ξ( )6
4
heelem
2
6
4
6
4
heelem
2
6
4
Matriz H derivada 3 veces. Se utiliza para
obtener la carga cortante.
NN ξ( )1 ξ
2
1 ξ
2
Matriz de con funciones de forma, parametrización de la geometría.
Se usa para la fase de postprocesamiento. pp 8/26 de teoría
Vectores de cargas externas no ensamblados por cada elemento. Ver pp 15/26 de teoría
Fp elem ξ P( ) H elem ξ( )T
P Función de vector de fuerzas de cargas concentradas
Fm elem ξ M( ) Hp elem ξ( )T
M Función de vector de fuerzas por momentos puntuales
Nota : Se pueden definir los vectores de carga distribuida y carga por peso propio. En este problema no se definen
dichos vectores por existir solo una carga puntual "P" y el peso se desprecia.
El elemento 2 tiene una carga
puntual de valor "P" en su nodo
local (ξ=+1).
Comprobar con mallado y matri
de conectividad.
El elemento 1 no tiene cargas
puntuales ni momentos
F1
0
0
00
F
2
F
p
2 1 P( )
0
0
10000
Fxy x( ) Fx
Vector de fuerzas de cada viga.Cambio de variable para no modificar el algortimo de ensamble Ft de la siguiente página.
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Ft
Fti
0N
i 1 GDLN Nnodefor
Nodoii
CNelem ii
ii 1 NNELEMfor
p 1
GDLGp
GDLN Nodoii
GDLN kk ( )
p p 1
kk 1 GDLNfor
ii 1 NNELEMfor
m GDLGiii
Ftm
Ftm
Felem
iii
iii 1 GDLN NNELEMfor
elem 1 Nelemfor
Ft
Ensamble de vector de carga global.
Nótese que es igual al algoritmo empleado
en problemas de elementos tipo barra. Este
algoritmo se utiliza hasta que se especifíque
lo contrario o requiera ser modificado.
Ft
0
0
0
0
1000
0
Aplicamos penalización a los grados de libertad 1, 2 (ver dibujo)Condiciones de borde
a1 0m a2 0m
Constante de rigidez para penalización, sin unidadesC max Kt( ) 10Tol
2 1017
Kt2 2
Kt2 2
C Modifiación de las componentes de la
matríz de rigidez ensamblada donde
aplican las condiciones de borde.
Kt1 1
Kt1 1
C
Ft2
Ft2
C a2Ft1
Ft1
C a1
Matrices elementales y ensamblaje
Solución
Q Kt1
Ft mVector de grados de libertad (Solución). Multiplicamos por "m"
por que hemos sido consistentes con las unidades empleadas y
los resultados ya están en metros.Q
0
0
0.001
0.0018
0.0032
0.0024
m
Se asignan las unidades a los valores de entrada y poder postprocesar directamente con unidades.
Crot C N Nueva rígidez angular para obtener las reacciones de momentos
b b m h h mC CN
m E E Pa Inercia Inercia m
4 A A m
2 he he m
X X m Y Y m P P N
Reacciones en los vínculos
R1 C Q1
a1 1000N Reacción vertical en [N] GDL 1
Reacción momento en [N m] GDL 2R2 Crot Q
2a2 2000 N m
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q
Nodoii
CNelem ii
ii 1 NNELEMfor
p 1
GDLGp GDLN Nodoii GDLN kk ( )
qlocalp
QGDLGp
p p 1
kk 1 GDLNfor
ii 1 NNELEMfor
qelem
qlocal
elem 1 Nelemfor
q
Vector elemental de grados de libertad.
Toma los valores de Q y los distribuye (ordena) en vectores
individuales.
Esto es para facilitar la obtención de los resultados por
elemento
q
1
0
0
0.0010.0018
m Vector de grados de libertad
locales del elemento 1.
q2
0.001
0.0018
0.0032
0.0024
m Vector de grados de libertad
locales del elemento 2.
Desplazamiento vertical. Ver pp 11/26 de la teoría
v elem ξ( ) H elem ξ( ) qelem Función para obtener los desplazamientos del elemento "elem" en un punto "ξ"que comprende entre -1 y +1.
Como hemos sido consistente con las unidades obtenidas, podemos multiplicar
por "m" para que nos muestre los resultados con unidades.
v 2 1( ) 3.2 103
m Desplazamiento vertical [m] en el punto extremo en voladizo ( Nodo 2, ξ=+1) del
elemento 2. El signo indica el sentido (hacia abajo en este problema)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Pteor 1000 N Lteor 2m Eteor 200GPa I Inercia1
4.167 106
m4
Pteor Lteor3
3 Eteor I
3.2 10 3 m Verificación por teoría: deflexión en el punto más alejado del empotramiento
(este problema se encuentra resuelto en libros de mecánica de sólidos)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Se define un rango de ξ desde -1 hasta +1, con incrementos de 1. Se pueden obtener más puntos si
se coloca en el rango de ξ lo siguiente:
-1,-0.9...1 (el incremento es de 0.1 en 0.1). Esto es solo para visualización de resultados
elementales
ξ 1 1
Desplazamientos verticales del elemento 1, en tres puntos:
Nodo 1 -> ξ= -1Mitad del elemento -> ξ=0
Nodo 2 -> ξ=+1
v 1 ξ( )
0
0.00028
0.001
m
Desplazamientos verticales del elemento 2, en tres puntos:
Nodo 1 -> ξ= -1
Mitad del elemento -> ξ=0
Nodo 2 -> ξ=+1
v 2 ξ( )
0.001
0.00203
0.0032
m
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Momento Flector ξ 1 1 Se define un rango de ξ desde -1 hasta +1, con incrementos de 1. Se pueden
obtener más puntos si se coloca en el rango de ξ lo siguiente:
-1,-0.9...1 (el incremento es de 0.1 en 0.1).
M elem ξ( )
4 Eelem
Inerciaelem
heelem
2Hpp elem ξ( ) q
elem
Momento flector del elemento 1, en tres puntos:
Nodo 1 -> ξ= -1
Mitad del elemento -> ξ=0
Nodo 2 -> ξ=+1
M 1 ξ( )
2000
1500
1000
N m
Momento flector del elemento 2, en tres puntos:
Nodo 1 -> ξ= -1
Mitad del elemento -> ξ=0
Nodo 2 -> ξ=+1
M 2 ξ( )
1000
500
0
N m
Carga Cortante
V elem ξ( )
8 Eelem
Inerciaelem
heelem
3Hppp elem ξ( ) q
elem
Carga cortante del elemento 1, en tres puntos:
Nodo 1 -> ξ= -1
Mitad del elemento -> ξ=0
Nodo 2 -> ξ=+1
V 1 ξ( )
1000
1000
1000
N
Carga cortante del elemento 2, en tres puntos:
Nodo 1 -> ξ= -1
Mitad del elemento -> ξ=0
Nodo 2 -> ξ=+1
V 2 ξ( )
1000
1000
1000
N
Esfuerzos por flexión
Matriz B. Ver pp 14/26 de la teoría.
"y" es la distancia desde el eje neutro de la sección hasta el punto de
medición del esfuerzo. Para este caso el esfuerzo máximo está en
y=h/2=100mm /2 = 50 mm
B elem ξ y( ) y4
heelem
2 Hpp elem ξ( )
σf elem ξ y( ) Eelem
B elem ξ y( ) qelem
Función para los esfuerzos normales por flexión de un elemento viga
"elem", ubicación longitudinal "ξ", en un punto "y" sobre la sección
transversal. Ver pp 15/26 de la teoría.
σf 1 1h
2
24MPa Esfuerzo por flexión del elemento 1, en el nodo 1 (ξ=-1) con y=50 mm
El resultado es positivo, la fibra superior en el punto del
empotramiento está en tracción.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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velem p 1
ξ 1 j( ) Incremento
velemp
v i ξ( )
p p 1
j 0 N puntos 1for
i 1 Nelemfor
velem
0
0.00
0.000.00
0.00
0.00
Melem p 1
ξ 1 j( ) Incremento
Melemp
M i ξ( )
p p 1
j 0 Npuntos 1for
i 1 Nelemfor
Melem
2000
1500
1000
1000
500
0
N m
Mmax P N 2 m 2 103
NN m
οteoria
Mmaxh
2
Inercia1
24NMPa Esfuerzo obtenido por formulación clásica (teoría) en el empotramiento
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gráficas
Npuntos 3 Número de puntos por interpolación elemental
Incremento2
Npuntos 11
α 3 Factor de amplificación de desplazamientos verticales para la gráfica
Interpolación del momento flector "Melem", deflexión vertical "velem" y carga cortante "Vcorte"
Interpolación de coordenadas nodales iniciales en "x" y "y"
Vcorte p 1
ξ 1 j( ) Incremento
Vcortep
V i ξ( )
p p 1
j 0 Npuntos 1for
i 1 Nelemfor
Vcorte
1000
1000
10001000
1000
1000
N
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Xelem p 1
X1 XCNi 1
X2 XCNi 2
ξ 1 j( ) Incremento
Xelemp
NN ξ( )X1
X2
p p 1
j 0 N puntos 1for
i 1 Nelemfor
Xelem
0
0.5
1
1
1.5
2
m Yelem p 1
Y1 YCNi 1
Y2 YCNi 2
ξ 1 j( ) Incremento
Yelemp
NN ξ( )Y1
Y2
p p 1
j 0 Npuntos 1for
i 1 Nelemfor
Yelem
0
0
0
0
0
0
Se modifican las coordenadas "Y" originales con la deflexión
correspondiente.
Ynew Yelem α velem
0
0.000830.003
0.003
0.00608
0.0096
m
Estos factores son OPCIONALES y se usan solo para
adecuar los límites máximos y mínimos del rango de
puntos a mostrar en las gráficas posteriores
Xmin 1.2 min Xelem( ) 0 m
Xmax 1.1 max Xelem( ) 2.2m
Ymin 1.1 min Ynew( ) 0.011 m
Ymax Ymax0.1
αm max Ynew( ) 10
3mmif
Ymax 1.1 min Ynew( ) otherwise
0.011 m
Mmax Mmax 1N m max Melem( ) 103N mif
Mmax min Melem( ) otherwise
2 103
N m
Mmin Mmin 1.1 min Melem( ) min Melem( ) 0N mif
Mmin max Melem( ) otherwise
2.2 103
N m
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0 1 2
0.01
0
0.01Original
Deformada
Posición original Vs. Deformada
Longitud de la viga [m]
D e s p l a z a m i e n t o s v e r t i c a l e s [ m ]
0 1 2
2000
1000
0
1000
3000
2000
1000
0
1000
2000
Original
Momento Flector
Carga cortante
Diagrama Momento Flector
Longitud de la viga [m]
M o m e n t o f l e c t o r [ N m
]
C a r g a c o r t a n t e [ N ]
Y
MelemVcorte
X Xelem Xelem