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5/26/2018 Problemario de Transferencia de Masa Aplicada a La Ingeniera Qumica
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA
DE MXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES
CUAUTITLN
Problemario de Transferencia de Masa Aplicadaa la Ingeniera Qumica
TESISQUE PARA OBTENER EL TITULO DE:
INGENIERA QUIMICA
PRESENTA:
ALEJANDRA LOZANO RAMREZ
ASESOR: I.Q. FERNANDO OROZCO FERREYRA
CUAUTITLAN IZCALLI, EDO. DE MEX. 2006
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Agradecimientos:
Tere y Polo:
Gracias por brindarme su infinita
paciencia, amor y apoyo
incondicional en todo momento.
Gracias por creer en m. Este logro
es ms suyo que mo.
Adriana:
Gracias por ensearme que la vida
es cuestin de actitud. (Que ese
beb que est en camino mi
sobrino- complete tus sueos).
Gracias a todos aquellas personas(profesores, familia, amigos,
compaeros) que me privilegiaron
con tocar mi vida y dejar en ella
enseanza.
Finalmente, un agradecimiento con
toda mi admiracin y respeto a mi
asesor, Ing. Fernando Orozco,
quin me acompao a lo largo de
la elaboracin de este material.
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363 de 364BIBLIOGRAFIA
1. Cussler E.L., Diffusion. Mass Transfer in Fluid Systems, 1a Ed; Cambridge
University Press, USA, 1988
2. Crane, Flujo de Fluidos, 1aEd; Mc. Graw-Hill, Mxico D.F., 1992
3. Foust Alan S, Principios de Operaciones Unitarias, 2a Ed; Ca. Editorial
Continental, Mxico D.F., 1987
4. Geankoplis, Chistie J., Procesos de Transporte y Operaciones Unitarias, Ca.
Editorial Continental, 3era. Ed, Mxico, 1988
5. Holland, Charles, Fundamentos y Modelos de Procesos de Separacin:
Absorcin, Destilacin, Evaporacin y Extraccin, Prentice Hall, 1981
6. Holland, Charles, Fundamentals and Modeling of Separation Processes, Prentice
Hall, 1981
7. King C. Judson, Procesos de Separacin, Reverte, Espaa, 2003
8. Lange, Norbert Adolph, LANGES Handbook of Chemistry, NY, 13 Ed, Mc. Graw-
Hill, 1985
9. Ludwing, Ernest E., Applied Process Design for Chemical & Petrochemical
Plants, Gulf Publishing Co; Texas, 1977
10. Marks, Standard Handbook for Mechanical Engineers, 8aEd; McGraw-Hill, N.Y.
11. Maron & Prutton, Fundamentos de Fisicoqumica, 1aEd; Limusa, Mxico D.F.,
1977
12. Mc Cabe, Warren L. Operaciones Bsicas de Ingeniera Qumica, 4a Ed; Mc
Graw-Hill, Mxico D.F., 1991
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364 de 364
13. Ocon, Joaqun, Problemas de Ingeniera Qumica, Editorial Aguilar, Madrid, 1980
14. Perry, Robert H, Manual del Ingeniero Qumico, Mc. Graw-Hill, 1992
15. Rase & Barrow, Project engineering of process plants, John Wiley & sons Inc,
New York, 1968
16. Rase & Barrow, Ingeniera de proyectos para plantas de proceso, Ed.
Continental, 1973
17. Sherwood Thomas K & Pigford Robert L., Absorption & Extraction, Mc Graw-Hill,
USA, 1952
18. Smith Buford D., Design of equilibrium Stage Processes, Mc Graw-Hill, USA,
1963
19. Treybal Robert E., Operaciones de transferencia de masa, Mc Graw-Hill, 2da.Ed,
Mxico D.F., 2001
20. Welty Engineering Heat transfer NY, John Welty, 1978
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TABLA DE CONTENIDO
I) OBJETIVOS Y ALCANCE.. 1
II) INTRODUCCIN... 2
Captulo 1. DIFUSIN MOLECULAR
1.1. Generalidades. 5
1.2. Difusin molecular en estado estable (estacionario o rgimen permanente) en
fluidos sin movimiento y en rgimen de flujo laminar... 7
1.2.1 Sistema Binario.. 7
1.2.2 Sistema Multicomponente. 9
1.3. Obtencin de Difusividades (D)... 10
1.3.1. Mtodo de Wilke-Lee... 10
1.3.2. Mtodo de Wilke-Chang.. 12
1.4. Difusin en slidos 12
1.4.1. Difusin en slidos en estado estable (estacionario o rgimen permanente). 12
1.4.2. Difusin en slidos en estado inestable (no estacionario o transciente) 14
1.4.2.1. Soluciones de Newman 15
1.4.2.2. Soluciones de Gurney-Lurie. 15
1.4.3. Difusin en slidos porosos. 16
1.4.3.1. Enfoque Difusional 16
1.4.3.2. Enfoque Hidrodinmico. 19
1.5. Evaluacin de algunas propiedades de mezcla... 19
Seccin de Problemas Resueltos... 20
Nomenclatura del Captulo 1..... 59
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Captulo 2. DIFUSIN TURBULENTA. TRANSFERENCIA DE MASA.
2.1. Generalidades 62
2.2. Coeficientes de transferencia de masa, tipo k y F 62
2.3. Analoga entre transferencia de masa y calor.. 63
Seccin de Problemas Resueltos. .. 65
Nomenclatura del Captulo 2. ..... 103
Captulo 3. TRANSFERENCIA DE MASA INTERFACIAL.
3.1. Generalidades..... 107
3.2. Balance de Materia y Energa. 108
3.2.1. Lnea Operante. 108
3.2.2. Lnea de Fuerzas Impulsoras. 109
3.2.3. Coeficientes globales en funcin de los individuales . 111
3.3. Determinacin del nmero de etapas tericas.. 112
3.3.1. Mtodo de McCabe-Thiele.. 112
3.3.2. Ecuaciones de Kremser-Brown-Souders......... 114
3.4. Altura de lecho empacado 115
3.5. Eficiencia de etapa. 115
3.6. Eficiencia puntual... 116
Seccin de Problemas Resueltos. . 117
Nomenclatura del Captulo 3. .. 184
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Captulo 4. TORRES DE PLATOS PERFORADOS Y EMPACADAS.
CONTACTO GAS-LQUIDO.
4.1. Generalidades. . 188
4.2. Diseo de Torres . 193
4.2.1 Diseo de Torres de Platos.. 193
4.2.2 Diseo de Torres Empacadas.. 193
4.2.2.1 Relacin entre alturas individuales y globales 196
4.3. Altura equivalente de un plato terico (HEPT) 196
Seccin de Problemas Resueltos. 197
Nomenclatura del Captulo 4. 289
Captulo 5. OPERACIONES DE HUMIDIFICACIN.
5.1. Generalidades. . 296
5.2. Conceptos bsicos 297
5.3. Ecuaciones de Diseo. 299
5.4. Mtodo de Mickley 301
5.5. Equipo empleado.. 304
Seccin de Problemas Resueltos. 306
Nomenclatura del Captulo 5. 357
Captulo 6. CONCLUSIONES 362
BIBLIOGRAFIA.... 363
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OBJETIVOS
Proporcionar a los estudiantes, a los profesionistas del rea de ingeniera qumica y a
todos aquellos interesados en operaciones de separacin que involucran transferencia de
masa, una herramienta til que provea una descripcin clara de las aplicaciones de este
fenmeno en la ingeniera atendiendo a la resolucin de problemas.
Elaborar un manual para que los alumnos desarrollen sus habilidades en la resolucin de
problemas de transferencia de masa teniendo como base un anlisis de los mismos a fin
de evaluar la ruta ptima a seguir.
Se pretende que este manual llegue a ser considerado como una opcin ms para el
estudio de las operaciones de transferencia de masa como apoyo a la enseanza.
ALCANCE
Bajo la premisa de que se pretenden proporcionar ejemplos concisos y entendibles, la
presente tesis se limita a la resolucin de los mismos, por lo que no resultan de inters en
el presente trabajo: a) el desarrollo de las ecuaciones o de las correlaciones a emplear, b)
la determinacin respecto a qu metodologa proporciona el resutado ms exacto; ni c)
el proporcionar informacin respecto a propiedades fisicoqumicas de las sustancias
involucradas en los ejemplos.
Por lo tanto se utilizarn las expresiones ya establecidas en la bibliografa, pretendiendo
enfatizar el anlisis del modelo o caso concreto y las alternativas de solucin. Asimismo la
tesis est pensada como un complemento de una clase terica por lo que el lector deber
consultar otros manuales y libros existentes a fin de profundizar en los conceptos e
informacin que aqu se maneja.
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INTRODUCCION
La transferencia de masa es el fenmeno que constituye la base de las principales
operaciones de separacin en la ingeniera; siendo ejemplos de ellas: la destilacin y la
absorcin gaseosa, la adsorcin y la desorcin, las operaciones de humidificacin, el
secado, la extraccin lquido-lquido, etc.
El presente problemario pretende apoyar a los alumnos que se encuentran en los
primeros contactos con el tema de transferencia de masa y que requieren una gua
sustentada en ejemplos o casos prcticos a fin de comprender la metodologa de
resolucin y el porqu se eligi tal metodologa como la apropiada para resolver un caso
especfico. A travs de las pginas de este material, el alumno y el profesional de la
Ingeniera Qumica visualizarn las etapas que conlleva un problema de transferencia de
masa, resaltando, como parte principal el anlisis inicial del mismo que proporcionar la
pauta para el desarrollo de su resolucin.
Si bien es posible atender un problema de transferencia de masa de diversas maneras,
sin un entendimiento claro del mismo es factible que se resuelvan un cmulo de
ecuaciones que conduzcan a nada Adems considerando que las metodologas a
emplear toman un tiempo considerable, y dado que el futuro profesionista no puede darse
el lujo de desperdiciar tan preciado recurso, es importante desarrollar la capacidad de
anlisis, el juicio y la toma de decisiones, recordando que si bien el raciocinio es una
virtud que ha sido proporcionada al ser humano se tienen que sacar ventaja de ella; ya
que esta capacidad de anlisis desde la abstraccin hasta lo tangible es la que
proporciona la vala de tan noble profesin como lo es la Ingeniera Qumica.
Se pretende presentar ejemplos significativos, claramente desarrollados, que abarquen
las operaciones tpicas de ingeniera para un curso inicial en Transferencia de Masa, a fin
de que el lector sea capaz de generalizar las metodologas y llevar esto un grado mas
all, desarrollando la capacidad para entender el planteamiento de un problema,
reconociendo al anlisis del mismo como base fundamental de su solucin y ms
importante que el efectuar los clculos que arrojen valores numricos. Bajo esta
perspectiva, se tendr que el anlisis del problema ha de contemplar tres cuestiones
fundamentales que son: Qu se requiere?, Qu informacin se tiene? y De qu
manera es posible alcanzar el objetivo?.
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Existen no pocos libros dedicados a la enseanza de los fundamentos de la transferencia
de masa, libros en los que se trata tanto teora como problemas; no obstante, debido a la
amplitud del tema, son pocos los problemas que se presentan resueltos, adems que en
la mayora de los casos los autores dan por sentada la comprensin de los mismos,
entrando de lleno a la solucin sin antes explicar la metodologa a seguir y las alternativas
de otras soluciones posibles.
Lamentablemente para la resolucin de los problemas de transferencia de masa no
existe una metodologa estricta debido a la variedad de casos que se pueden presentar,
por lo que cabe aclarar que ningn libro o manual proporcionar la respuesta a todos los
problemas, sin embargo; la respuesta a ellos se podr hallar cuando los conocimientos
bsicos se hayan adquirido y adems se tenga la habilidad de aplicarlos a cualquier
sistema.
La transferencia de masa forma parte fundamental de los fenmenos que se observan
diariamente, siendo la difusin el proceso mediante el cual molculas, iones u otras
partculas pequeas se mezclan espontneamente, movindose de regiones de
relativamente alta concentracin hacia regiones de baja concentracin. Este proceso
puede ser analizado desde dos perspectivas. Primeramente puede ser descrito mediante
la ley de Fick y un coeficiente de difusin; o bien, puede ser explicado en trminos de
coeficientes de transferencia de masa, una idea aproximada de ingeniera que provee una
simple descripcin.
La tesis ha sido dividida en 6 captulos. El primer captulo plantea ejemplos sobre difusin
molecular tanto en sistemas gaseosos, lquidos como slidos; sobre estos ltimos se
incluyen algunos de los desarrollos matemticos tpicos como los de Newman y de
Gurney-Lurie para el caso de slidos con geometra regular; cubriendo de esta manera el
primer enfoque que contempla los coeficientes de difusin o difusividades.
Desde el segundo captulo en adelante se abarca la perspectiva del uso de coeficientes
de transferencia de masa. Concretamente en el captulo 2 se emplean analogas entre la
transferencia de masa y calor a fin de evaluar dichos coeficientes, expresndolos en
trminos de grupos adimensionales que se emplean en este rubro. El capitulo 3 se
concreta a la determinacin de coeficientes de transferencia de masa tanto individuales
como globales, as como su interrelacin.
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En el capitulo 4 no es el inters primordial el diseo de equipo, especficamente de
columnas de platos, sin embargo se presentan algunos ejemplos sobre esta temtica ya
que representan la base sobre la cual han de desarrollarse otros conceptos que ataen a
nuestro tema de estudio, como es el caso de la eficiencia hidrodinmica. Asimismo en
este mismo capitulo se presenta la metodologa para evaluar los nmeros y alturas de
unidades de transferencia de masa en columnas empacadas.
Las operaciones de humidificacin se presentan en el captulo 5, como un ejemplo ms
de la transferencia de masa en un sistema lquido-gas, siendo en este caso representativo
el efecto de la transferencia de calor que se presenta simultneamente. Finalmente, el
captulo 6 presenta las conclusiones generales del presente escrito.
Por otra parte, cabe aclarar que, la presente tesis est pensada como un complemento de
una clase terica, pues contiene bsicamente ejemplos de problemas resueltos, por lo que
el lector deber consultar otros manuales y libros existentes a fin de profundizar sobre los
conceptos que aqu se manejan. Adems el diseo del presente problemario parte sobre la
base de que el alumno posee conocimientos previos sobre balances de materia y energa,
as como conocimientos bsicos sobre reacciones qumicas, transferencia de momentum y
calor.
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CAPITULO 1 DIFUSION MOLECULAR
1.1. Generalidades
Existe para todas las combinaciones de fases, una condicin llamada equilibrio, para lacual el intercambio neto de propiedades (masa y energa en procesos qumicos), es igual
a cero. Para todas aquellas combinaciones que no se encuentran en equilibrio, la
diferencia de concentracin de alguna propiedad entre la que tiene en la condicin
existente y la que tendra en las condiciones de equilibrio, constituye una fuerza impulsora
que tiende a alterar el sistema conducindolo hacia el equilibrio.
La fuerza impulsora para la difusin molecular de masa la proporciona la diferencia de
potenciales qumicos; sin embargo, debido a que para una misma fase el potencialqumico es directamente proporcional a la concentracin, se emplea este segundo
concepto a fin de determinar los coeficientes de difusin ya que puede ser evaluado ms
fcilmente. Adems aunque la causa habitual de la difusin es un gradiente de
concentracin, la difusin tambin puede ser originada por un gradiente de presin, un
gradiente de temperatura o por la aplicacin de una fuerza externa como en el caso de la
centrifugacin. Siendo en todos los casos la velocidad de transferencia proporcional al
cociente entre la magnitud de la fuerza impulsora y la resistencia a tal transferencia.
sistencia
impulsoraFuerzaciatransferendevelocidad
Re
La difusividad es una propiedad dual de un componente frente a otro, siendo funcin de:
temperatura, presin, concentracin, direccin de la difusin y naturaleza de los
componentes. De manera general, de acuerdo al estado de agregacin del sistema
estudiado, alguno o algunos de los anteriores parmetros presentar una mayor
importancia, tal y como lo muestra la tabla 1.1
Tabla 1.1 Parmetros que afectan significativamente a la difusividad
Fase Difusividad es funcin de:
Gases temperatura, presin y naturaleza de los componentes.
Lquidos temperatura, concentracin y naturaleza de los componentes.
Slidostemperatura, concentracin, direccin de la difusin y naturaleza de los
componentes.
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En todas las operaciones de transferencia de masa, la difusin ocurre por lo menos en
una fase, y con frecuencia en dos fases. En absorcin de gases, el soluto se difunde a
travs de la fase gaseosa hacia la interfase y a travs de la fase lquida desde la interfase.
En destilacin el componente ms voltil se difunde a travs de la fase lquida hacia la
interfase y desde sta hacia el vapor. El componente menos voltil se difunde en sentidocontrario y pasa a travs del vapor hasta el seno del lquido. En humidificacin no hay
difusin a travs de la fase lquida debido a que sta es un componente puro y no existe
gradiente de concentracin en ella; pero en la fase gaseosa, el componente se difunde
hacia o desde la interfase gas-lquido hacia fuera o hacia adentro de tal fase. En el
secado, el agua lquida se difunde a travs del slido hasta la superficie del mismo, se
evapora, y despus se difunde como vapor en la fase gaseosa.
Este captulo muestra que los coeficientes de difusin o difusividades en gases y enlquidos pueden ser estimados con cierta exactitud mediante el empleo de correlaciones
empricas o bien por el ajuste a las condiciones del sistema estudiado (Presin,
Temperatura, Concentracin) de los valores obtenidos de tablas. Sin embargo en slidos
no es posible la estimacin de tales coeficientes, salvo por mtodos experimentales; las
teoras permiten que los datos sean correlacionados pero raramente predecibles.
Ley de Fick
Cada especie tiene cierto grado de movilidad respecto a otra, lo cual es representado
mediante
z
cJ AA
(ec.1.1)
donde AJ es la velocidad o flujo difusional de A en B, en relacin a la velocidad media del
sistema A+B y se mide como moles de A que se difunden por unidad de tiempo y unidadde rea normal a la direccin del flujo.
El coeficiente de difusin o difusividad (DA,B), es aqul elemento que cubre la
proporcionalidad planteada en la ec. 1.1
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z
cDJ ABAA
= , (ec.1.2)
Ahora bien, a fin de determinar la masa que se difunde en relacin a una porcin fija del
sistema (concepto de ingeniera), se introduce el trmino NAque tambin es una velocidadde flujo difusional. Ambos conceptos se relacionan tal y como lo muestra la ec. 1.3
Nc
cJN AAA += (ec.1.3)
donde
=
=n
Ai
iNN
1.2. Difusin molecular en estado estable (estacionario o rgimen permanente) en
fluidos sin movimiento y en rgimen de flujo laminar
1.2.1. Sistema Binario
La condicin de estado estable considera que la concentracin es funcin de la posicin y
no del tiempo. Entonces, el gradiente de la concentracin es constante:
=
z
cA constante
por lo que de la ec. 1.3, se obtiene
=
c
c
N
Nc
c
N
N
zDc
NNN
AA
AA
BAAA
1,
2,
, ln (ec.1.4)
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Se tienen dos casos bastante comunes
a) Difusin de A en B no difusible
implica NA0 y NB=0 siendo N=NA+NB NA/N = 1
por lo que de la ec. 1.4
=
c
cc
c
z
DcN
A
A
BA
A1,
2,
,
1
1ln (ec.1.5)
para sistemas gaseosos, de acuerdo a la ley de gases ideales, recordando que:
PV= nRT yP
p
c
c
n
ny AAAA ===
la ec. 1.5 puede ser reescrita como:
=
=
1,
2,,
1,
2,, ln
1
1ln
A
ABA
A
ABA
A
pP
pP
RT
P
z
D
y
y
RT
P
z
DN (ec.1.6)
donde los subndices 1 y 2 indican el principio y fin de la trayectoria de la difusin
por definicin de media logartmica:
=
1,
2,
1,2,
,
lnB
B
BB
MB
yy
yyy
=
1,
2,
1,2,
,
lnB
B
BB
MB
pp
ppp (ecs.1.7 y 1.8)
De lo anterior, la ecuacin general (ec. 1.6) tambin puede ser expresada como:
( ) ( )2,1,,
,
2,1,
,
, 11AA
MB
BA
AA
MB
BA
A pppRT
P
z
Dyy
yRT
P
z
DN == (ec.1.9)
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De manera anloga, la ec. 1.5 es expresada para sistemas lquidos como:
( )2,1,,
,
AA
MB
BA
A xxx
c
z
DN = (ec.1.10)
donde ( )212
1ccc +=
b) Contradifusin equimolar
implica NA= NB N=NA+NB N=NA+(-NA)=0 NA/N
por lo que, para un sistema gaseoso, la ec 1.4
( ) ( ) ( )2,1,,
2,1,
,
2,1,
,
AA
BA
AA
BA
AA
BA
A yyzRT
PDpp
zRT
Dcc
z
DN
=== (ec.1.11)
en tanto que para un sistema lquido
( ) ( )2,1,2,1,,
AAAB
AA
BA
A xxz
cDcc
z
DN
== (ec.1.12)
1.2.2. Sistema Multicomponente
=
c
c
N
Nc
c
N
N
z
Dc
N
NN
ii
ii
Miii
1,
2,
,ln (ec.1.13)
Para la difusividad de A en una mezcla (M) de componentes
( )=
=
n
Ai
iAAi
iA
AAMA
NyNyD
NyND
,
,1
(ec.1.14)
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1.3. Obtencin de Difusividades
Hasta ahora, se ha tratado el coeficiente de difusin como una constante de
proporcionalidad, el parmetro de proporcionalidad que aparece en la ley de Fick.
Para calcular valores de difusividad particulares de un flujo y perfil de concentracin se
requiere saber el valor de las difusividades para estas situaciones particulares. Por lo cual
se depende ampliamente de las medidas experimentales de estos coeficientes, debido a
que ninguna teora universal permite un primer clculo exacto. Coeficientes de difusin en
gases y lquidos pueden ser estimados con una buena exactitud, pero en slidos esto no
es posible.
Existen diversas fuentes de informacin a las cuales se puede recurrir a fin de obtenervalores de difusividades, entre las principales fuentes se encuentran:
1) Tablas (consulta bibliogrfica)
2) Correlaciones empricas (modelos matemticos fruto del trabajo experimental)
En general se debe optar por conseguir datos mediante consulta bibliogrfica ya que
estos datos son obtenidos de manera experimental y en caso de que no se encuentren
han de emplearse las correlaciones.
A continuacin se presentan dos de las correlaciones empricas que pueden emplearse
1.3.1. Mtodo de Wilke-Lee, ecuacin para sistemas gaseosos
Restricciones: por lo menos uno o ambos componentes gaseosos deben ser no-polares
( )
( )
+
+
=
BABAT
BABA
BA
kTfrP
MMT
MMD
,
2
,
23
4
,
1111249.0084.110
(ec.1.15)
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donde
DAB= Difusividad de A en B, kmol m2/s
T= Temperatura Absoluta, K
PT= Presin absoluta, N/m2 o PaMA, MB= peso molecular de A y B respectivamente
rA,B= (rA+rB)/2 =separacin molecular guante el choque, nm
== BABA, energa de atraccin molecular
k= constante de Boltzman
BA
kTf,
= Funcin de choque, figura 2.5 Treybal(19)
Para un sistema dado se pueden realizar correcciones debidas a la presin y temperatura.
De acuerdo con la ec. de Wilke-Lee
=
BA
TBA kTfT
PD
,23
, constante
por lo que
IIBA
TBA
IBA
TBA kTfT
PDkTf
T
PD
=
,23
,
,23
, (ec.1.16)
siendo I y IIlas condiciones de presin y temperatura del sistema
*Nota. Para otro tipo de gases, consltese la bibliografa
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1.3.2. Mtodo de Wilke-Chang, ecuacin para sistemas Lquidos
Restricciones: para soluciones diluidas
( )( )6.0
5.018
,
103.117
A
BBA
v
TMD
=
(ec.1.17)
donde
DA,B= Difusividad de A en solucin diluida con solvente B, kmol m2/s
T= Temperatura Absoluta, K
PT= Presin absoluta, N/m2 o Pa
MB= peso molecular B
= viscosidad de la solucin. Kg/m s
=Av volumen molar de A lquido a Tb(temperatura de ebullicin normal), m3/ kmol
= factor de asociacin del disolvente
Para un sistema dado se pueden realizar correcciones debidas a la concentracin y
temperatura:
II
BA
I
BA
T
D
T
D
=
,, (ec.1.18)
1.4. Difusin en Slidos
El fenmeno difusional en slidos es tratado bajo los mismos conceptos de la difusin en
lquidos y gases, siendo la velocidad de flujo difusional de la sustancia A a travs del
slido por unidad de seccin transversal (NA) proporcional al gradiente de concentracinen la direccin de la difusin que se analiza, normal al flujo difusional. Sin embargo, en
sistemas slidos solo se presenta difusin de tipo molecular, no turbulenta ni convectiva.
Adems la mayora de los procesos difusionales que se presentan en slidos son en
estado inestable, siendo la concentracin una funcin del tiempo; como ejemplo tpico de
ello puede considerarse un proceso de secado de una partcula inicialmente con humedad
uniformemente distribuida que es sometida a la accin de un secador rotatorio.
-
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No existen correlaciones empricas que permitan estimar el valor de los coeficientes de
difusin de sistemas slidos debido a que la direccin de la difusin y la naturaleza del
componente juegan un papel importante en estos sistemas. No obstante algunos
investigadores se dieron a la tarea de estudiar la difusin en ciertos slidos de geometrasregulares especficas y considerando ciertas trayectorias, generando soluciones grficas
que es posible emplear para obtener valores aproximados, si bien no de las difusividades,
si de las concentraciones que se esperaran despus de un tiempo determinado pasado el
inicio del fenmeno difusional. Dentro de estos anlisis geomtricos se encuentran dos
vertientes, la primera analiza los sistemas en estado estable y la segunda en estado
inestable. Dos de los trabajos ms reconocidos que se refieren a soluciones grficas para
sistemas slidos fueron proporcionados por Newman y por Gurney-Lurie, cada uno de los
cuales estableci sus condiciones de frontera, que a continuacin se mencionan.
Las correlaciones y grficas proporcionadas por Newman parten de ciertas restricciones
del sistema considerando que no existe reaccin qumica, y que se conocen las
concentraciones promedio en el lugar en que ha de iniciar su trayectoria el flujo difusional,
as como la concentracin promedio del cuerpo slido estudiado; siendo dichas
concentraciones constantes. Asimismo implica que no existe resistencia a la difusin del
fluido que rodea al slido; es decir, la nica resistencia a la transferencia de masa se
encuentra en el slido mismo.
De acuerdo a lo anterior, Newman ha resumido los resultados que se encuentran a
manera de grficas de acuerdo a las geometras mas comunes que l estudi; para los
casos que se requiera, el planteamiento para alguna otra geometra implica la integracin
de la ecuacin de continuidad que expone el cambio de concentraciones en funcin de la
posicin y del tiempo.
1.4.1. Difusin en Slidos en Estado Estable (Estacionario o Rgimen Permanente).
Como se mencion con anterioridad, es poco comn encontrar estado estable en
sistemas slidos, sin embargo para el caso en que hubiese que tratarlo de esta manera,
se emplean relaciones en funcin de la geometra del slido estudiado. Recurdese que
cteNA=
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En general la forma de la expresin a emplear, resulta:
( )2,1,,
AA
BA
A ccz
DANA = (ec.1.19)
donde A representa el valor promedio del rea normal a la direccin del flujo difusional.
Para difusin en la pared de slidos cilndricos con:
1a = radio interno, 2a =radio externo y L = longitud del cilindro.
lrA = 2
=
1
2
12
lna
a
aar
Para difusin en la pared de slidos esfricos con 1a = radio interno, 2a =radio externo
214 aaA = 21 aaa =
1.4.2. Difusin en Slidos en estado Inestable (No Estacionario o Transciente) -
concentracin en funcin del tiempo y de la posicin-.
Existe movimiento tridimensional, transferencia de masa que conlleva a balances
infinitesimales de materia contemplando el efecto de la difusin en las coordenadas
tridimensionales (x, y, z).
2
2
,,2
2
,,2
2
,,z
cD
y
cD
x
cD
c AzBA
AyBA
AxBA
A
+
+
=
(ec.1.20)
Como se supone la anterior ecuacin es bastante ms compleja que el considerar una
sola direccin de flujo, por lo que se han propuesto ciertas soluciones grficas basadas en
la anterior expresin que permiten realizar una estimacin de la concentracin y el tiempo
en sistemas slidos; tal es el caso de las soluciones de Newman y Gurney-Lurie.
-
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1.4.2.1. Soluciones de Newman para slidos de geometra regular
Las soluciones grficas pueden encontrarse en la figura 4.2 Treybal(19)
Emplea concentracin promedio.
Restricciones: Difusividad constante
No hay reaccin qumica
La concentracin del componente A permanece constante en la superficie del slido
para cualquier tiempo, concentracin de equilibrio ( ,Ac ).
Concentracin de A promedio en el slido para un tiempo especifico ( ,Ac ).
Concentracin inicial de A constante en cualquier punto del slido ( 0,Ac )
No hay resistencia a la difusin de A fuera del slido.
Ea
Df
cc
cc BA
AA
AA =
=
2
,
,0,
,, (ec.1.21)
donde
= ,, AA cc cantidad de A que aun existe a un tiempo
= ,0, AA cc cantidad de A que tericamente puede difundirse
a = mxima longitud del camino de la difusin de A en el slido
1.4.2.2. Soluciones de Gurney-Lurie, soluciones para slidos de geometra regular
Las soluciones grficas de estos autores pueden ser encontradas en el apndice F del
Welty (20)
Restricciones: Difusividad constante
No hay reaccin qumica
Ac Concentracin de A en un punto y tiempo determinados
0,Ac Concentracin de inicial de A uniforme en el slido
SAc , Concentracin de equilibrio de A en la superficie del slido
-
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Considera resistencia fuera del slido (m= resistencia relativa dentro y fuera del slido)
SAA
SAA
cc
ccY
,0,
,
=
( )21
,
x
DX
BA = 1x
xn=
1
,
xk
Dm
c
BA=
n= posicin relativa
x= distancia del centro del slido al punto considerado
x1= mxima longitud del camino de la difusin.
= tiempo
kc= coeficiente de transferencia de masa convectiva en el fluido fuera del slido.
1.4.3. Difusin en slidos porosos
Otro caso que es de inters considerar es la difusin en sistemas slidos porosos,
destacando que existen dos perspectivas o enfoques desde los cuales puede ser
estudiado el fenmeno en estos sistemas:
a) Enfoque Difusional. Considera el movimiento del fluido en virtud de un gradiente de
concentraciones
b) Enfoque hidrodinmico. Considera el movimiento del fluido en virtud de una
diferencia de presiones totales.
1.4.3.1 Enfoque Difusional
En el caso de un soluto difundindose a travs de poros llenos de fluido pertenecientes a
un slido, la difusin tiene lugar solamente a travs de los estrechos y tortuosos poros.
Debido a que los poros no son rectos, la difusividad es mucho menor por la propia
naturaleza tortuosa de los poros: variacin de longitud, dimetro, forma. Es por ello
necesario emplear una difusividad efectiva.
Da
Def 2
= (ec.1.22)
-
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Siendo D el coeficiente de difusin convencional, en el cual representa la fraccin
vaca, y a es la longitud real del poro relacionada con la distancia en la direccin de la
difusin. En otros casos, este coeficiente de difusin efectivo es definido menos
explcitamente, como:
DDef= (ec.1.23)
donde es la tortuosidad que procura ser tomada en cuenta para reducir el rea de poros
largos.
Difusin de Gas a baja Presin: Difusin de Knudsen.
El concepto de tortuosidad es una aproximacin aplicable a cualquier poro medio. Para
una geometra ms especifica, un poro cilndrico recto (poro ideal) en el cual la difusin de
molculas individuales de soluto se presente de manera que la molcula particular
colisionar mucho ms seguido con las paredes del poro, no colisionando frecuentemente
con otras molculas, este tipo de transporte es llamado difusin de Knudsen. Siendo
importante siempre que las distancias libres promedio entre choques moleculares sean
ms grandes que el dimetro del poro. Esta relacin de distancias es definida como un
grupo adimensional, el nmero de Knudsen (Kn):
dKn
= (ec.1.24)
en el cual es la distancia libre promedio entre choques moleculares y d es el dimetro
del poro. Sobre la anterior relacin, pueden presentarse tres casos particulares:
si 20>d existe flujo difusional tipo Fick (D)
si 202.0
-
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Para lquidos, el valor de la trayectoria libre es comnmente unos cuantos Anstrongs; as
que el nmero de Knudsen no es tan pequeo, y la difusin de Knudsen no es importante.
Por otra parte, en gases, el valor de la trayectoria libre puede ser estimado mediante la
siguiente expresin:
21
2
2.3
=
Mg
RT
P c
(ec.1.25)
y el valor de es mayor, por lo que el nmero de Knudsen disminuye y la difusin tipo
Knudsen s es importante.
Una vez siendo introducido el trmino de de difusividad efectiva (DA,B,ef), que es el
resultado del trabajo experimental, se define la velocidad de flujo difusional tipo Fick
como:
=
c
c
N
N
c
c
N
N
z
cD
N
NN
AA
AA
efBAAA
1,
2,
,,ln (ec.1.26)
Para un slido dado
efBi
Bi
efBC
BC
efBA
BA
D
D
D
Dcte
D
D
,,
,
,,
,
,,
,...... ====
siendo evaluada la difusividad tipo Knudsen como:
21
.8
3
=
A
cAK
MRTgdD
(ec.1.27)
y la velocidad promedio del flujo difusional para poros reales
( )2,1,,
AA
AK
A ppzRT
DN
= (ec.1.28)
-
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1.4.3.2. Enfoque Hidrodinmico
Se consideran los poros como si se tratasen de pequeas tuberas, para los cuales son
aplicables las siguientes relaciones:
Ecuacin de Hagen Poiseuille
( )212
32PPP
RTl
gdN cA
=
(ec.1.29)
para poros reales
( )21 PPPRTz
KNA = (ec.1.30)
1.5. Evaluacin de algunas Propiedades de Mezcla
Gaseosa
21
21
2121
BBAA
BBBAAAG
MyMy
MyMy
+
+=
(ec.1.31)
RT
MP GG= (ec1.32)
= iiG yMM (ec.1.33)
Lquida
= iiL xMM (ec.1.34)
-
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SECCIN DE PROBLEMAS RESUELTOS
CAPTULO 1. DIFUSIN MOLECULAR
PROBLEMA 1.1
ENUNCIADO:
En una mezcla gaseosa de oxgeno-nitrgeno a 1 atm y 25C, las concentraciones del
oxgeno en dos planos separados 2 mm son 10 y 20% en volumen, respectivamente.
Calcular la velocidad de flujo difusional del oxgeno para el caso en que:
a) El nitrgeno no se est difundiendo
b) Existe una contradifusin equimolar de los dos gases
ANLISIS DEL PROBLEMA:
La velocidad de flujo difusional (N), cuantifica la rapidez con la cual un componente, con
un gradiente de concentracin en un punto y direccin dada, se mueve en cualquier punto
y en cualquier direccin y es expresada a travs de la difusividad (DAB) que es una medida
del grado de movilidad de una sustancia respecto a otra. La difusividad es una
caracterstica de un componente y de su entorno, siendo por tanto afectada por la presin,
temperatura y concentracin.
Este problema plantea la existencia de un gradiente de concentraciones que presenta una
mezcla gaseosa en la cual fueron cuantificadas las concentraciones en dos planos
separados una distancia (z); lo cual propicia una difusin de masa desde el plano de alta
concentracin hacia el de baja concentracin. El mecanismo mediante el cual se efecta
este movimiento de masa es la difusin molecular, ya que este es el mecanismo que se
presenta en fluidos estancados o fluidos que se mueven nicamente en flujo laminar.
Adems, el sistema aqu tratado ha de analizarse como un sistema en estado estable o
estacionario, es decir, las concentraciones en cualquier punto del equipo permanecen
constantes con el paso del tiempo; siendo la concentracin nicamente funcin de la
posicin. As pues, las concentraciones no variarn en los puntos de inicio y fin de la
trayectoria de los componentes que se difunden.
-
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La primera pregunta se refiere a la evaluacin de la velocidad de flujo difusional
considerando que la nica sustancia que se difunde es el oxgeno. Siendo en este caso la
velocidad de flujo difusional del nitrgeno igual a cero debido a que no se difunde.
La segunda pregunta considera que existe una contratransferencia de masa equimolar, es
decir, por cada molcula de oxgeno que se difunde en un sentido, existe una molcula de
nitrgeno que se difunde en sentido opuesto y con la misma velocidad; por lo que ambas
sustancias poseen la misma velocidad de flujo difusional siendo constante debido al
estado estacionario del sistema.
SOLUCIN PROPUESTA:
Caso a)
Difusin molecular de A en B no
difusible
siendo
A = Oxgeno B = Nitrgeno
Figura 1.1 Difusin molecular de Oxgeno en Nitrgeno
Para este caso, de difusin de un componente (A) en otro (B) que no se difunde para
gases en estado estable, una expresin que resulta adecuada para evaluar la velocidaddel flujo difusional de A
( )2,1,,
,
AA
MB
BA
A pppRT
P
z
DN = (ec.1)
donde
=
1,2,
1,2,
,
lnB
B
BB
MB
pp
ppp (ec. 2)
De acuerdo a la ecuacin para gases ideales molespresinvolumn %%% == , por lo
que se tiene:
P
p
V
Vy ii == P
Vpi
100
%=
-
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( ) atmatmpA 2.012.01, == ( ) atmatmpA 1.011.02, ==
( ) atmatmpPp AB 8.02.011,1, === ( ) atmatmpPp AB 9.01.012,2, ===
de la ec.2
( )( )
atm
atmatm
atm
p MB 849.0
8.09.0ln
8.09.0, =
=
Evaluacin de la difusividad de la mezcla gaseosa oxgeno -nitrgeno (A-B), a las
condiciones de operacin, CatmBAD 251,
*NOTA
El valor de las difusividades puede ser obtenido de varias formas siendo eleccin personal
el seleccionar que mtodo ha de emplearse. Sobre esto se destacan dos opciones:
a) Consulta bibliogrfica, para este caso, tanto en la tabla J.2 del apndice J del
Welty(20), tabla 2.4 del Treybal(19) y tabla 2-371 del Perry(14), entre otros; se
encuentran reportados diversos valores de la difusividad.b) Empleo de correlaciones empricas, dentro de las que destacan para sistemas
lquidos las correlaciones de Wilke Chang y para sistemas gaseosos las
correlaciones de Wilke Lee.
En general, se recomienda la consulta bibliogrfica obteniendo valores directo de tablas,
para luego, en los casos que resulte necesario, corregir dichos valores ajustndolos a las
condiciones de operacin. Por otro lado, para aquellos casos en que no se cuente con
informacin bibliogrfica han de emplearse las correlaciones empricas.
de la Tabla 2.1 Treybal(19) ===Ct
atmPBAD 0
1, 1.81(10-5) m2/s
Empleando las ecuaciones de Wilke-Lee a fin de realizar un ajuste al valor de difusividad
encontrado y llevarlo a las condiciones de nuestro sistema
-
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IIBA
BA
IBA
BA kTf
T
PDkTf
T
PD
=
,
2/3
,
,
2/3
, (ec.3)
Siendo I (0C,1atm) y II(25C, 1 atm) las condiciones de referencia y las del problema,respectivamente.
de la Tabla 2.2 Treybal(19), se obtiene:
Tabla 1.2 Relacin entre la Energa de atraccin molecular/ constante de Boltzman.
Gas k (K)
B N2 71.4
A O2 106.7
( )( ) 28.874.717.106, ==
=
kkkBABA K
( ) KK
kT
I
=
15.27328.87
1=3.129 ( ) K
K
kT
II
=
15.29828.87
1=3.416
de la figura 2.5 Treybal(19)
( )==
129.3f
kTf
I
0.47 ( )==
416.3f
kTf
II
0.46
sustituyendo en ec. 3
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
II
BA
I
K
atmD
K
atms
m
=
46.015.298
147.0
15.273
11081.1
2/3
,
2/3
25
===Ct
atmPBAD 25
1, 2.11(10-5)
s
m2
-
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Sustituyendo en la ec. 1 los parmetros evaluados
( )
( )( )( ) ( )
sm
kmolatm
atmK
Kkmol
mNm
N
m
s
m
NA
=
=
2
52
25
10079.51.02.0
849.015.2988314
101325
002.0
1011.2
NA ( ) smkmol 2510079.5
Caso b)
Contradifusin Equimolecular
Para este caso, contradifusin
equimolecular en estado estable, una
expresin que resulta adecuada para
evaluar la velocidad del flujo difusional
de A es:
Figura 1.2 Contradifusin equimolecular de O2 N2
( )2,1,, AABAA ppzRTDN = (ec.4)
de donde ya evaluamos con anterioridad los parmetros requeridos en la ec. 4, por lo que
al sustituirlos se obtiene:
( )
( )
( ) ( )sm
kmolatm
mol
kmol
m
L
KKmol
Latm
m
s
m
NA
=
=
2
5
3
25
1031.41.02.01000
11000
15.2980821.0002.0
1011.2
NA ( ) smkmol 251031.4
-
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PROBLEMA 1.2
ENUNCIADO:
Calcular el flujo difusional de NaCl a 18C, a travs de una pelcula de agua estancada de
1 mm de espesor, cuando las concentraciones son 20 y 10% en peso, respectivamente,
en cada lado de la pelcula.
ANLISIS DEL PROBLEMA:
Este problema plantea la existencia de un gradiente de concentraciones que presenta una
mezcla lquida (solucin acuosa de NaCl) en la cual fueron cuantificadas las
concentraciones en dos planos separados una distancia z=0.001 m. El gradiente de
concentraciones, existente entre ambos planos, propicia una difusin de masa en lquidos
desde el plano de alta concentracin hacia el de baja concentracin. El mecanismomediante el cual se efecta esta transferencia de masa es la difusin molecular, ya que
este es el mecanismo que se presenta en fluidos estancados o fluidos que se mueven
nicamente en flujo laminar. Adems, el sistema aqu tratado ha de analizarse como un
sistema en estado estable o estacionario, es decir, las concentraciones en cualquier
punto del equipo permanecen constantes con el paso del tiempo; siendo la concentracin
nicamente funcin de la posicin. As pues, las concentraciones no variarn en los
puntos de inicio y fin de la trayectoria de los componentes que se difunden.
Debido a que la difusividad es funcin de la concentracin en lquidos, resulta necesario el
referirla a la concentracin promedio del sistema.
La pregunta se refiere concretamente a la evaluacin de la velocidad de flujo difusional
del NaCl en agua, siendo el NaCl el nico componente capaz de difundirse; asumiendo
que la velocidad de flujo difusional del agua es cero.
SOLUCIN PROPUESTA:
Difusin molecular de A en B no
difusible, en estado estable, en
lquidos
Sea
A= NaCl B= H2O
Figura 1.3 Difusin molecular de NaCl en solucin acuosa
-
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MA= 58.5kmol
kg MB=18.02
kmol
kg
Para este caso, de difusin de un componente (A) en otro (B) que no se difunde, para
lquidos en estado estable, una expresin que resulta adecuada para evaluar la velocidaddel flujo difusional de A es:
( )2,1,,
,
AA
MB
BA
A xxxz
cDN
= (ec.1)
donde
=
1,
2,
1,2,,
lnB
B
BBMB
xx
xxx (ec.2)
de la informacin proporcionada en el enunciado
0331.0
02.18
9.0
5.58
1.05.58
1.0
2,
2, =+
==n
nx
A
A 9669.01 2,2, == AB xx
0715.0
02.18
8.0
5.58
2.05.58
2.0
1,
1, =+
==n
nx
A
A 9285.01 1,1, == AB xx
de ec. 2
( ) 9476.09285.0
9669.0ln9285.09669.0
, ==MBx
por definicin, se puede decir que 0524.01 ,, == MBMA xx (ec.3)
-
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Evaluacin de la concentracin promedio del sistema c
2
21 ccc +
= (ec.4)
siendo 1 y 2 los subndices que hacen referencia a las concentraciones de 20 y 10 % en
peso, respectivamente.
( ) ( )kmol
kgMxM ii 914.2002.189285.05.580715.01 =+==
( ) ( )kmol
kgMxM ii 36.1902.189669.05.580331.02 =+==
i
ii
Mc
= (ec. 5)
de la tabla 3-87, Perry(14)se obtienen los siguientes datos de densidades para soluciones
de NaCl
Tabla 1.3 Densidad de NaCl acuoso
t 10C 25C
% peso Densidad g/ cm3
8 1.05907 1.05412
10 1.074265 1.068885
12 1.08946 1.08365
20 1.15254 1.14533
Interpolando tanto para la temperatura como % en peso requeridos, se obtienen:
2
%10
182 071395.1cm
gpesoC = 2
%20
181 14869.1cm
gpesoC =
de ec. 4 y ec. 5
( )3
3
3
1 924.54
914.20
1014869.1
mkmol
kmol
kgm
kg
c == ( )
3
3
3
2 34.55
36.19
10071395.1
mkmol
kmol
kgm
kg
c ==
( )3
3
13.552
34.55924.54
m
kmolm
kmol
c =+
=
-
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Evaluacin de la difusividad NaCl en agua Ct atmPBAD =
=18
1,
de la tabla 3-87, Perry (14), se obtienen los siguientes datos a 18C y 1 atm
Tabla 1.4 Difusividad de NaCl acuoso
[NaCl] kmol/m3
DAB(m2
/s) (109
)0.05 1.26
0.2 1.21
1 1.24
3 1.36
5.4 1.54
La concentracin a la que habr de referirse esta difusividad es la promedio, siendo de la
ec. 3
c
cx iMi =, ( ) 33, 89.20524.013.55 m
kmol
m
kmolxcc AMAA ===
Como se observa en los datos de la tabla anterior, no existe un valor de DAB que
corresponda precisamente a la concentracin requerida, por lo que se sugiere una
interpolacin. La interpolacin a emplear no ser de tipo lineal debido a que la variacin
de DABrespecto de la concentracin no es proporcional, por lo que conviene entonces una
interpolacin grfica, tal y como se presenta en la figura1.4.
DA,B
=1.352
cA
=2.89
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
1.5
1.55
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
Concetracin NaCl (kmol/m3)
Difusividad(109)[m
2/s]
Figura 1.4 Estimacin de la difusividad mediante interpolacin grfica
-
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De la figura 1.4 se estima la difusividad a la concentracin y temperatura de inters (2.892
kmolA/ m3y 18C), obtenindose un valor de
DA,B Ctmkmolc AA
=
=
18
89.2 3=1.352 (10-9) m2/s
Sustituyendo en ec. 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
sm
kmol
m
m
kmol
s
m
NA
==
2
63
29
1002.303305.00714.09476.0001.0
19.5510352.1
NA 3.02 (10-6) kmol/ m2s
PROBLEMA 1.3
ENUNCIADO:
Una gota de agua, con un dimetro inicial de 0.1 plg est suspendida en el seno de un
gran volumen de aire en reposo a 80F conteniendo una humedad que ejerce una presinparcial de vapor de agua igual a 0.01036 atm. Estimar el tiempo requerido para la
completa evaporacin de la gota, si la presin total es de 1atm.
Para las presentes condiciones, al evaporarse la gota de agua su temperatura cae a un
valor estable de 60F.
ANALISIS DEL PROBLEMA:
El mecanismo de la evaporacin es un proceso de difusin molecular del agua en fase
gaseosa en estado transciente en el seno de aire en reposo. Por lo cual, el dimetro de la
gota es una variable debido a que conforme transcurre el tiempo se va evaporando y por
lo tanto disminuye su tamao. Por lo anterior habr que plantear la ecuacin de velocidad
de flujo difusional (NA) en funcin de las variables incluyendo el dimetro.
-
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El nico componente transferible es el agua; por lo que la velocidad de transferencia de
masa del aire (NB) es cero.
El rea normal a la transferencia de masa es variable (rea de gota) y por lo tanto el valor
de NAtambin es variable.
Se considerar que la gota tiene forma esfrica y que permanece con esta geometra
hasta su evaporacin total.
SOLUCION PROPUESTA
Difusin de A (agua) en B (aire) no difusible en estado gaseoso, en pseudo estado estable
Figura 1.5 Gota de lquido inmersa en seno de aire
Aplicando la ecuacin de velocidad de transferencia de masa al sistema, se tiene:
( )BAAA
BAA NNP
p
dr
dcDN ++= , (ec.1)
Se observa que NB= 0 debido a que no se difunde aire hacia el agua.
AAA
BAA NP
p
dr
dcDN += , (ec.2)
En la ec.2, agrupando trminos semejantes y sustituyendo, de acuerdo a la ley de gases
ideales ,RT
p
V
nc AAA ==
-
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dr
pd
RT
D
dr
dcD
P
pN A
BAABA
AA
,
,1 ==
(ec.3)
de la ec. 3
( ) drpd
pPRT
PDN A
A
BA
A
= , (ec.4)
De la geometra de la gota, considerando que su forma es esfrica, se definen el volumen
y el rea de la misma como:
3
3
4rV = 24 rA =
incluyendo la expresin de rea en la ec. 4
( ) drpd
pPRT
PDrNr A
A
BA
A
= ,2
2 4
4
(ec.5)
agrupando trminos e integrando la ec. 5, considerando que el grupo
A
A
mol
Nr
2
4 si
es constante.
( ) =
finalA
inicialA
p
p A
ABA
r
ApP
pd
RT
PD
r
drNr
,
,
,
2
2 4
4
( )inicialA
finalABA
r
A
pP
pP
RT
PD
rNr
,
,,2 ln41
4
=
( )inicialA
finalABA
ApP
pP
RT
PD
rNr
,
,,2 ln11
=
(ec.6)
-
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por definicin
dM
drN
A
A
= (ec.7)
sustituyendo en ec.6 la ec.7, se obtiene:
inicialA
finalABA
A
ApP
pP
RTr
PD
dM
drN
,
,,ln
=
=
(ec.8)
Agrupando trminos e integrando en la ec. 8, cuando =0 r=r0 y cuando = r=0
=0
,
,
, 0ln r
inicialA
finalA
BAA
rdr
pP
pP
PDM
RT
inicialA
finalA
BAApP
pP
PDM
rTR
,
,
,
2
0
ln2
=
(ec.9)
La ec. 9 es aquella expresin que permitir determinar el tiempo requerido para la
completa evaporacin de la gota.
De la Tabla 2-5 del Perry(14) atmmmHgp CFTA 1744.025.1355.1560 ====o
De la Tabla 2-28 del Perry(14)33
55.15
1 3664.62014.999pie
lb
m
kgCTatmPA ==
==
De la Tabla 2-317 del Perry(14) ( )s
m
s
cmD KCT atmPAireAgua
25
215.2730
1, 102.222.0 ==
= ==
Realizando el ajuste del valor de la difusividad a las condiciones del proceso
(80F=26.67C), se tiene:
II
BA
I
BA
T
PD
T
PD
=
23
,
23
, (ec.10)
-
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Siendo en la ec.10 las condiciones I [0C,1 atm] y II[26.67C, 1 atm]
( )( )
23
67.26
1,
25
15.27367.26
15.273102.2
+
=
==
K
K
D
smCT
atmPBA
( )s
mD
FCT
atmPBA
256055.15
1, 1053.2 ==
= =
( )h
pies
s
mD FCT atmPBA
2258067.26
1, 98036.01053.2 == ==
=
Sustituyendo en ec. 9 los parmetros conocidos, se obtiene:
( )
( )01744.01
01036.01ln198036.002.182
lg12
1
lg05.067.5397302.03664.62
2
23
3
=
atmh
pies
lbmol
lb
p
pie
pRRlbmol
pieatm
pie
lb
=1.682 h
=6055.03 s
6055.03 s
PROBLEMA 1.4
ENUNCIADO:
Se esta fraccionando amonaco sobre un catalizador slido, de acuerdo con la reaccin:
2 NH3 N2+ 3 H2
En cierta zona del aparato, en donde la presin es 1 atm y la temperatura es 200C, el
anlisis del gas es 33.33% NH3 (A), 16.67% N2 (B) y 50% H2 (C) en volumen. Las
condiciones son tales que el NH3se difunde desde la corriente del gas hasta la superficie
del catalizador; adems, los productos de la reaccin se difunden en sentido contrario,
como si hubiese difusin molecular a travs de una pelcula gaseosa de 1mm de espesor,
bajo rgimen laminar. Calcular la rapidez local de fraccionamiento, kg NH3/ s m2 de
superficie de catalizador que se presentara si la reaccin es controlada por difusin
-
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(velocidad de reaccin qumica muy rpida) con la concentracin de NH3 sobre la
superficie del catalizador igual a cero.
ANLISIS DEL PROBLEMA:Se trata de un proceso de reaccin qumica con difusin del NH 3, desde el seno de la
corriente gaseosa hasta la superficie del catalizador donde se da la reaccin de
descomposicin del NH3a gran velocidad y luego transferencia de los productos formados
(N2 y H2), que se desprenden tan rpido como se producen, desde la superficie del
catalizador hacia el seno de la fase gaseosa.
En este problema, y atendiendo al enunciado, solo se contempla el mecanismo de
difusin molecular, a travs de una pelcula gaseosa de 1 mm de espesor, adyacente a la
superficie del catalizador, considerando que las concentraciones dadas de los
componentes gaseosos estn justamente en la cara exterior de dicha pelcula y en esa
cierta zona del reactor.
Por otra parte se considera que el mecanismo cintico de la reaccin qumica es tan
rpido (instantneo) que no influye en la velocidad de fraccionamiento. El proceso
completo para la descomposicin del NH3 involucra dos etapas: primero elevar el NH3
hasta la superficie del catalizador (difusin molecular) y luego la reaccin qumica
(descomposicin del NH3 y formacin de los productos). Este segundo paso es
instantneo y por lo tanto la velocidad de fraccionamiento es prcticamente igual a la
velocidad de la difusin molecular del NH3(NA).
Luego entonces, bajo las suposiciones establecidas, se trabajar con el proceso de
difusin molecular en estado estable en gases en el cual el NH3se difunde en un sentido
y el H2y N2lo hacen en sentido contrario, pero no equimolarmente.
SOLUCIN PROPUESTA:
De acuerdo con la composicin gaseosa, sea
NH3= A 33.33% =Ay 1/3
N2 = B 16.67% =By 1/6
H2 = C 50.00% =Cy 1/2
-
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La expresin general de la velocidad de flujo
difusional para gases en estado estacionario, ser:
=1,
2,
, lnA
A
AA
mAAA
yN
N
y
N
N
zRT
PD
N
NN (ec.1)
donde
CBAi NNNNN ++== (ec.2)
donde las Ay de la ec. 1 se refieren a laconcentracin de A respecto a su trayectoria de flujo
difusional, o bien:
3
11, =Ay fraccin de A en la cara exterior de la
pelcula gaseosa
02, =Ay por tratarse de la concentracin de A en la interfase del sistema estudiado, es
decir, sobre la superficie de la partcula de catalizador en donde la reaccin es tan rpida(instantnea) que A desaparece tan pronto como toca el catalizador, descomponindose
en los productos B y C.
Velocidad de flujo difusional (N)
2 NH3 N2+ 3 H2 o bien, 2 A B + 3C
La estequiometra de la reaccin y su consecuente interpretacin, expresada en moles de
productos en funcin de moles de reactivos iniciales, representa una base conveniente a
la cual pueden referirse las velocidades de flujo difusional de los diferentes componentesque intervienen en la reaccin.
Recordando que la velocidad de flujo difusional (N) es expresada dimensionalmente como
mol / (tiempo rea); para una misma rea y un mismo recorrido (1mm) en el mismo tiempo
se tendrn distintos flujos molares para los distintos elementos de la reaccin.
Figura 1.6 Fraccionamiento de
amoniaco a travs de un lecho
empacado
-
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As se puede tomar como base arbitraria un flujo inicial de 10
moles A / h que entran por un canal cuya seccin transversal
es 1 m2, para lo cual NA= 10 mol / h m2. Ahora bien por cada
10 moles de A que ingresen, una vez ocurrida la reaccin de
descomposicin de A, se producen 5 moles de B, siendo lavelocidad de B referida a la misma seccin transversal NB= 5
moles B / h m2. Finalmente por cada 10 moles de A que se
ponen en contacto con el catalizador se producen 15 moles de
C, por lo que nuevamente refirindose a la misma rea se tiene
NC= 15 moles C / h m2.
Estableciendo una relacin entre las velocidades de flujo
difusional de los tres componentes, NB/NA= 5 /10 = 1/2 y NC/NA=
15/10 = 3/2; por lo tanto la velocidad de flujo difusional de B es
la mitad de la velocidad de flujo difusional de A y la velocidad de flujo difusional de C
equivale a 1.5 veces la velocidad de flujo difusional de A, sin importar cual sea la base de
flujo inicial de A. En resumen, se tiene:
NB= -1/2 NA NC= -3/2 NA
Ntese que el signo de la velocidad es funcin de la direccin del flujo de cada
componente.
de la ec. 2
AAAAAi NNNNNNN =
=
+
+==
2
312
2
3
2
1 =
N
NA -1
sustituyendo en ec. 1 los valores conocidos
( ) ( )
=
=
311
01ln
15.4738314001.0
101325
1ln2,
,
1
2
KKkmol
mNm
mND
yN
N
yN
N
zRT
PD
N
NN
mA
AA
AA
mAAA
simplificando la parte numrica de la anterior expresin, se obtiene
=AN 7.41 mADm
kmol,4
(ec. 3)
Figura 1.7 Relacin develocidades de flujodifusional
-
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Difusin de A en una mezcla multicomponente, DA,m
( )
=
=
= n
Ai
iAAi
iA
n
Ai
iAA
mA
NyNyD
NyN
D
,
,1
(ec. 4)
planteando la ec. 4 en trminos de una mezcla de tres componentes (A,B y C)
( )
( ) ( ) ( )CAACCA
BAAB
BA
AAAA
AA
AAmA
NyNyD
NyNyD
NyNyD
NyND
++
=
,,,
, 111 (ec.5)
sustituyendo en la ec. 5 las fracciones mol y los flujos difusionales, se tiene;
( )
( )
+
=
AA
CA
AA
BA
AA
mA
NND
NND
NN
D
2
3
3
1
2
11
2
1
3
1
6
11
3
1
,,
,
( )
( ) ( )CABA
A
CA
A
BA
A
mA
DDN
DN
D
ND
,,,,
, 31
4
1
3
11
34
+
=
+
= (ec.6)
Evaluacin de las difusividades, DA,By DA, C
Para evaluar las difusividades de las mezclas gaseosas a continuacin se emplea la ec.
de Wilke Lee
( )
+
+
=
iA
iA
iAiA
iA
kTfrP
MMT
MMD
,
2
,
23
4
,
1111249.0084.110
(ec.7)
-
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de la tabla 2.2 Treybal(19)
Tabla 1.5 Caracterizacin de reactantes y producto.
Componentek
(K) r (nm) Mi
A NH3 558.3 0.29 17
B N2 71.4 0.3798 28
C H2 59.7 0.2827 2
de acuerdo a la metodologa propuesta para la ec. 7 , de Wilke Lee
Evaluacin de la difusividad de Amonaco-Nitrgeno, DA,B
( ) nmnmrrr BABA 3349.023798.029.0
2, =+=+=
( )( ) KKKkkk
ABA ==
=
65.1994.713.558
, B
( ) 37.215.47365.199
1
,
=
=
KK
kT
BA
de la figura 2.5 Treybal(19) ( ) 52.037.2,
==
f
kTf
BA
sustituyendo en la ec. 7
( )
( ) ( ) =
+
+
=
=
= 52.03349.01
28
1
17
115.473
28
1
17
1249.0084.110
2
234
200
1,
Ct
atmPBAD 5.3945(10
-5
) s
m2
Evaluacin de la difusividad de Amonaco-Hidrgeno, DA,C
( )nm
nmrrr CACA 28635.0
2
2827.029.0
2, =
+=
+=
-
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( )( ) KKKkkk
CACA 56.1827.593.558, ==
=
( ) 59.215.473
56.182
1
,
=
=
KK
kT
CA
de la figura 2.5 Treybal(19) ( ) 46.059.2,
==
f
kTf
CA
sustituyendo en la ec. 7
( )
( ) ( ) =
+
+
=
==
46.0286.01
2
1
17
115.473
2
1
17
1249.0084.110
2
234
200
1,
Ct
atmPCAD 1.8 (10-4
) s
m2
retomando la ec. 6
( ) ( )
=+
=+
=
==
45
,,
200
1,
108.1
3
103945.5
1
4
31
4
CABA
Ct
atmPmA
DD
D 1.136 (10-4)s
m2
sustituyendo en valor de DA,men la ec. 3
( ) ( )sm
kmol
s
m
m
kmolD
m
kmolN mAA
=
==
2
42
4
4,4 1042.810136.141.741.7
NA 8.42 (10-4) kmol / m2s
Finalmente, la velocidad de descomposicin (S), ser:
( )sm
kg
kmol
kg
sm
kmolMNS A
A
AAAA
=
==
22
4 01431.0171042.8
S =0.01431 kgA/ m2s
-
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PROBLEMA 1.5
ENUNCIADO:
Se ha demostrado que la eliminacin del aceite de soya que impregna una arcilla porosa
por contacto con un disolvente del aceite, es ocasionada por difusin interna del aceite a
travs del slido. Una placa de arcilla, 1/16 plg de espesor, 1.80 plg de longitud y 1.08 plg
de anchura (1.588mm x 45.7mm x27.4mm), con los lados estrechos sellados, se
impregno con aceite de soya hasta una concentracin uniforme de 0.229 kg aceite/kg
arcilla seca. Se sumergi en una corriente en movimiento de tetracloroetileno puro a
120F (49C), en donde el contenido de aceite de la placa se redujo a 0.048 kg de
aceite/kg arcilla seca en 1 h. La resistencia a la difusin puede considerarse que reside
completamente en la placa; el contenido final de aceite en la arcilla puede considerarse
como cero cuando se pone en contacto con el solvente puro durante un tiempo infinito.
a) Calcule la difusividad efectiva
b) Un cilindro de la misma arcilla, 0.5 plg de dimetro, 1 plg de longitud, contiene una
concentracin inicial uniforme de 0.17 kg aceite/kg arcilla seca. Cuando se
sumerge en una corriente en movimiento de tetracloroetileno puro a 49C, a qu
concentracin descender el contenido en aceite despus de 10 h si las dos caras
extremas estn selladas?
c) Vuelva a calcular (b) para los casos en que nicamente una de las puntas del
cilindro este sellada y en que ninguna de las puntas este sellada.
d) En cuanto tiempo descender la concentracin hasta 0.01 kg aceite/ kg arcilla
seca para el caso (b) cuando ninguno de los extremos este sellado.
ANLISIS DEL PROBLEMA:
La difusin en slidos, contempla el movimiento que puede efectuar la sustancia que se
difunde en el volumen del slido, siendo esta difusin del tipo molecular ya que las
caractersticas del sistema mismo no permiten que exista flujo turbulento apreciable. Engeneral, el fenmeno difusional en slidos es tratado bajo los mismos conceptos que para
la difusin en lquidos y gases, siendo la velocidad de flujo difusional de la sustancia A
(NA) a travs del slido proporcional al gradiente de concentracin en la direccin de la
difusin que se analiza. La constante de proporcionalidad es el coeficiente de difusin o
difusividad (DA).
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En el caso de la difusin en slidos, el proceso se realiza en condiciones transcientes (en
estado inestable). La velocidad de flujo difusional es variable en virtud de que el gradiente
de las concentraciones dentro del slido cambia.
Un balance diferencial de masa proporciona el modelo matemtico que involucra la
variacin de la concentracin en funcin del tiempo y de la posicin en el slido. As se
obtiene una expresin diferencial (ecuacin de continuidad) como la siguiente:
2
2
,2
2
,2
2
,z
cD
y
cD
x
cD
c AzAB
AyAB
AxAB
A
+
+
=
en la direccin z, se tiene:
2
2
,z
cD
c AzAB
A
=
Para slidos de formas geomtricas muy comunes, Newman presenta soluciones grficas
a la anterior ecuacin diferencial bajo las siguientes condiciones de frontera:
No hay reaccin qumica
No hay resistencia a la difusin de A fuera del slido.
Concentracin promedio inicial en el slido, 0,Ac en un tiempo 0=
Concentracin promedia en el slido, ,Ac en un tiempo =
Concentracin en la superficie del slido, constante, ,Ac en un tiempo =
(concentracin de equilibrio).
Las soluciones numricas que desarroll Newman son de la forma:
=
=
2
,0,
,,
z
Df
cc
ccE
AA
AA
donde
=D difusividad de A en el slido
= tiempo
=z mxima longitud del camino o trayectoria difusional dentro del slido.
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La figura 4.2 de Treybal(19) presenta la solucin grfica para slidos paraleleppedos,
cilndricos y esfricos.
En este problema se pide calcular la Difusividad Efectiva primeramente. Esto significa que
deber estimarse tal difusividad del aceite de soya mencionado en el tetracloroetileno
puro a esa temperatura (49C) y caracterizada por la particular estructura porosa de la
arcilla indicada.
Si fuera otra arcilla con diferente estructura porosa o si la temperatura cambiara, la
difusividad del mismo aceite de soya en el mismo solvente sera distinta. Es por eso que
tal difusividad que se pide, es la efectiva para las caractersticas establecidas.
La segunda y tercer pregunta requieren de la determinacin de la concentracin promedio
que se espera tenga un cilindro de arcilla despus de transcurrido cierto tiempo, lo cual
puede determinarse nuevamente mediante las soluciones grficas de Newman. La ltimarequiere la determinacin del tiempo que habr de transcurrir para que la concentracin
promedio en un cilindro de arcilla disminuya hasta un valor dado.
SOLUCIN PROPUESTA:
A= aceite de soya, B= arcilla seca
Para la placa de arcilla porosa
Figura 1.8 Caracterizacin dimensional de placa de arcilla.
-
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Figura 1.9 Difusin de aceite en placa de arcilla, con extremos sellados, para diferentes tiempos.
de donde se observa que el camino de la difusin sigue la direccin de las y, por lo que:
lg
16
12 pa= piespa
384
1lg
32
1==
adems se tiene disponible la siguiente informacin
B
AA
Kg
kgc 229.00, = h1=
B
AhA
kg
kgc 048.01, ==
B
AA
Kg
kgc 00.0, =
para placas rectangulares con extremos sellados
=
=
2
,0,
,,
aDf
ccccE ef
AA
AA (ec.1)
sustituyendo:
( )
=
==
=
h
piesDf
pies
hDfE ef
ef2
2 147456
384
1
12096.0
0229.0
0048.0 (ec.2)
de la figura 4.2 Treybal(19) para la geometra de placas rectangulares 54.02096.0
2 ==E
losaa
D
por lo que de ec.2h
piesDef
2
14745654.0 = ( )h
piesDef
2610662.3 =
Def 3.662 (10-6) pies2/h
-
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Para el caso en que ambos extremos del cilindro se encuentran sellados. La trayectoria
que puede seguir A, es radial nicamente,
lg2
12 pa= piespa
48
1lg
4
1==
Figura 1.10 Difusin de aceite en cilindro de arcilla, con extremos sellados, para diferentes tiempos.
adems se tiene disponible la siguiente informacin
B
AA
Kg
kgc 17.00, = h10=
B
AA
Kg
kgc 00.0, =
Para cilindros con extremos sellados
==
2
,0,
,, "a
DfccccE ef
AA
AAr
(ec.3)
Del desarrollo para la placa rectangular se obtuvo Def= 3.662 (10-6) pies2/h , por lo que
sustituyendo los parmetros conocidos en ec. 3, se tiene:
( )( ) ( )0844.0"
12
25.0
1010662.3"
017.0
02
6,
ffc
E A
r =
=
=
(ec.4)
De la figura 4.2 Treybal(19) 45.00844.0 ==fcilindrorE
-
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de la ec. 4:
017.0
045.0
,
= A
c ( )
B
AA
kg
kgc 0765.017.045.0, ==
,Ac 0.0765 kgA / kgB
Para el caso en que ninguno de los extremos del cilindro este sellado
Figura 1.11 Difusin de aceite en cilindro de arcilla, para diferentes tiempos.
El componente A puede difundirse en la direccin radial y en direccin axial (eje del
cilindro).
Trayectoria radial lg2
12 pa= piespa
48
1lg
4
1==
Trayectoria axial lg12 pc= piespc24
1lg
2
1==
adems se tiene disponible la siguiente informacin
B
AA
Kg
kgc 17.00, = h10=
B
AA
Kg
kgc 00.0, =
para cilindros sin extremos sellados
rc
efef
AA
AAEE
a
Df
c
Df
cc
ccE =
=
=
22
,0,
,,"
(ec.5)
-
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Del desarrollo para la placa se obtuvo Def= 3.662(10-6) pies2/h, por lo que sustituyendo los
parmetros conocidos en la ec. 5
( )( ) ( )( ) ( ) ( )0844.0"0211.0
48
1
1010662.3"
24
1
1010662.3
017.0
02
6
2
6,
ffffc
E A =
=
=
(ec.6)
de la figura 4.2 Treybal(19) 45.00844.0 ==fcilindrorE y 85.00211.0 ==fplacacE
por lo que:
( ) 3825.045.085.0017.00, ==
= AcE ( )
B
AA
kgkgc 065025.017.03825.0, ==
,Ac 0.065025 kgA / kgB
Para el caso en que solo uno de los extremos del cilindro est sellado
Figura 1.12 Difusin de aceite en cilindro de arcilla, con un extremos sellado, para diferentes tiempos.
El componente A puede difundirse en la direccin radial y en direccin axial (eje del
cilindro).
Trayectoria radial lg2
12 pa= piespa
48
1lg
4
1==
Trayectoria axial piespc12
1lg1 ==
adems se tiene disponible la siguiente informacin
-
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B
AA
Kg
kgc 17.00, = h10=
B
AA
Kg
kgc 00.0, =
Para cilindros con solo un extremo sellado
rc
efef
AA
AA EEa
Df
c
Df
cc
ccE 222
,0,
,, " =
=
=
(ec.7)
sustituyendo los parmetros conocidos en ec. 7
( )( ) ( )( )( ) ( )0844.0"0053.0
48
1
1010662.3"
12
1
1010662.3
017.0
02
6
2
6,
ffffc
E A =
=
=
(ec.8)
de la figura 4.2 Treybal(19) 45.00844.0 ==fcilindrorE y 9.00053.0
2 ==f
placacE
de lo anterior:
( ) 405.045.09.0017.0
0, ==
= A
cE ( )
B
AA
kg
kgc 06885.017.0405.0, ==
,Ac 0.06885 kgA / kgB
Ninguno de los extremos sellados
Figura 1.13 Difusin de aceite en cilindro de arcilla, para diferentes tiempos.
-
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El componente A puede difundirse en la direccin radial y en direccin axial (eje del
cilindro).
Trayectoria radial lg212 pa= piespa 48
1lg41 ==
Trayectoria axial lg12 pc= piespc24
1lg
2
1==
adems se tiene disponible la siguiente informacin
B
AA
Kgkgc 17.00, = h?=
B
AhA
kgkgc 01.0?, ==
B
AA
Kgkgc 00.0, =
Para cilindros
rc
efef
AA
AAEE
a
Df
c
Df
cc
ccE =
=
=
22
,0,
,,"
(ec.9)
sustituyendo los parmetros conocidos en ec. 9
( )( ) ( )( )
==
=
2
6
2
6
48
1
10662.3"
24
1
10662.30588.0
00.017.0
00.001.0 ffE
( ) ( ) 00844.0"00211.0 ffE =
Por lo que se requiere de un proceso iterativo para el cual se supone y se determinan
sus respectivas funciones a fin de estimar E; el proceso iterativo concluye cuando, de
acuerdo a la expresin anterior, el producto de las funciones EC Erse iguala a E=0.0588
-
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Tabla 1.6 Obtencin de tiempo mediante proceso iterativo.
(h) ( )00844.0"f
figura 4.2
Treybal(19)
00844.0=fcilindrorE
( )00211.0f
figura 4.2
Treybal(19)
00211.0=fplacacE
cr EE
10 0.0847 0.45 0.0211 0.85 0.3825
20 0.1687 0.26 0.0422 0.78 0.2028
30 0.253 0.17 0.0633 0.72 0.1224
40 0.337 0.10 0.0844 0.68 0.068
41 0.346 0.090 0.0865 0.68 0.0612
42 0.354 0.085 0.0880 0.67 0.057
El resultado se encuentra entre 41-42 h, considrese 41 h debido a que por tratarse de
un mtodo iterativo no es posible determinar con exactitud la solucin.
41 h
PROBLEMA 1.6
ENUNCIADO:
Una tablilla de arcilla de 5 cm de espesor se coloca sobre una banda dentro de un
secador de flujo de aire continuo, restringindose el secado a solo la superficie superior
de la tablilla que se encuentra en contacto con el flujo de aire. El contenido inicial de agua
en la tablilla es 15% en peso y el contenido en la superficie, bajo condiciones de secado
constante, se mantendr en 4% en peso. Determinar el tiempo necesario para reducir el
contenido de humedad en el centro a 10% en peso.
efD = 1.3 (10-4) cm2/ s del agua a travs de la arcilla.
ANLISIS DEL PROBLEMA:Los investigadores Gurney & Lurie desarrollaron las soluciones matemticas a la ecuacin
diferencial de balance de materia en los slidos con condiciones de frontera incluyendo
valores para la resistencia relativa ( m ), as como la posicin relativa ( n ) de un punto
dentro del slido; adems incluyeron las condiciones consideradas por Newman.
Estas condiciones establecen que:
-
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sAA
sAA
cc
ccY
,0,
,
=
( )21x
DX
ef=
1x
xn=
1xk
Dm
c
ef=
donde:
=Ac Concentracin del componente A, en un punto y en un tiempo .
=0,Ac Concentracin de A promedio inicial en el slido.
=sAc , Concentracin de A en la superficie del slido, constante: concentracin de
equilibrio.
=1x Mxima longitud de la trayectoria difusional.
= Distancia desde el centro a un punto determinado (posicin determinada).
=ck Coeficiente de transferencia de masa convectivo en el fluido que rodea al slido.
Las soluciones grficas correspondientes a las mismas geometras comunes del slido:
placas, cilindros y esferas, se pueden consultar en el apndice F de Welty (20).
SOLUCIN PROPUESTA:
Sea A= Agua B= Arcilla seca
Figura 1.14 Secado de tablilla de arcilla en contracorriente con aire, a diferentes tiempos.
de las concentracionesB
AA
kg
kgc 1765.0
15100
150, =
=
B
AsA
kg
kgc 04166.0
4100
4, =
=
B
AA
kg
kgc 111.0
10100
10?, =
==
-
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De acuerdo a la nomenclatura empleada para las soluciones de Gurney- Lurie:
cmx 51= cmx 5.2= 5.05
5.2
1
===cm
cm
x
xn
1
,
xk
Dm
c
BA= 0
debido a que no se tiene informacin sobre la resistencia a la difusin en el fluido fuera
del slido, se asume que conforme la humedad sale del slido es desplazada por una
corriente que renueva el entorno y por lo tanto la resistencia relativa ser cero.
( )
( )5142.0
04166.01765.0
04166.0111.0
,0,
, =
=
=
B
A
B
A
sAA
sAA
kg
kg
kgkg
cc
ccY (ec.1)
( )
( )
( ) ( )
6
2
24
2
1
,102.5
5
103.1
===cm
s
cm
x
DX
BA (ec.2)
Se requiere determinar el valor para X para n= 0.5 , m0 y Y=0.5142 por lo que de la
figura F-1 o F-7 del Welty(20) y dado que no existe el valor directamente para n=0.5 se
obtiene la siguiente informacin
3.05142.0
04.0 ====
Y
mnX 17.05142.0
06.0 ====
Y
mnX
Interpolando entre los valores obtenidos arriba, el que correspondera a n= 0.5, sera:
235.05142.005.0 ====
Y
mnX
Sustituyendo en la ec. 2
( )6102.5235.0 ==X = s45192 12.553 h
12.553 h
-
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PROBLEMA 1.7
ENUNCIADO:
Una placa de porcelana sin vidriar, de 5 mm de espesor, tiene un dimetro de poro
promedio de 0.2 micra. Gas oxgeno puro a una presin absoluta de 20 mmHg, 100C, en
un lado de la placa pasa a travs de ella con una rapidez de 0.093 cm 3 (a 20 mmHg,
100C) por segundo por cm2 cuando la presin corriente abajo es tan baja que puede
considerarse despreciable. Calcular la rapidez de paso del gas hidrgeno a 25C y a una
presin de 10 mmHg abs; desprciese la presin corriente abajo.
ANLISIS DEL PROBLEMA:
Este problema plantea un caso de difusin a travs de slidos porosos, describiendo en
primer lugar el comportamiento de un gas A para un arreglo fsico determinado,
resultando posible caracterizar el material del slido para este componente mediante la
determinacin de su difusividad. Con esta informacin de la placa porosa, se requiere
estimar la velocidad de flujo de otro gas (hidrgeno) a travs de la misma placa pero a
otras condiciones de temperatura y presin.
Es importante que para cada gas (oxgeno e hidrgeno) se determine qu mecanismo de
difusin pudiera darse, difusin tipo Fick o tipo Knudsen, dependiendo del valor del
numero de Knudsen (Kn) en funcin del dimetro promedio del poro y de la longitud de la
trayectoria media molecular ().
Por otra parte, primeramente habr que estimar si el movimiento de los fluido obedece a
un flujo difusivo (gobernado por un gradiente de concentraciones) o a un flujo
hidrodinmico (gobernado por una diferencia de presiones totales).
En principio parecera que el movimiento molecular a travs del slido se debe a una
diferencia de presiones absolutas totales, esto es: un movimiento hidrodinmico. Pero
pudiera ser originado tambin por un gradiente de las presiones (concentraciones) de los
gases entre ambos lados de la placa de porcelana, como si fuera un movimiento
difusional. Se trabajar por lo tanto bajo ambos puntos de vista.
-
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SOLUCIN PROPUESTA 1: Movimiento Hidrodinmico
Sea A= oxgeno B= hidrgeno
Figura 1.15 Paso de Oxgeno y Nitrgeno a travs del mismo arreglo en placa plana sin vidriar.
Para un slido poroso co