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8/18/2019 Problemas de Masa Capitulo 18 y 25
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IQ-20311
Problemas
Universidad de Guanajuato
División de Ciencias Naturales y Exactas
Campus Guanajuato
Departamento de Ingeniería Química
Transerencia de masa
IQ!"#$$
Dr% &gustín '% Uri(e 'amíre)
*+ro(lemas de distri(uciones de concentración en
sólidos y lujo laminar,+resentan-
.ar(a +i/a 0os1 2oren)o &lejandro
'odrígue) .adillo 31ctor 3ugo
2ópe) Gon)ales 2uis &rturo
4u/o) 'ui) 5rancisco
Esco(ar 'i)o 6mar 7alles Ga(riela
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Problemas
INDICE +8gina
I% 'esumen99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999: a #;
II% Distri(uciones de concentración en sólidos y lujo laminar
$=%&$99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999:;9#?
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$=%&;999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999:#
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$=%.!999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999:;
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$=%.$=999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999?"
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$=%C!99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999?#
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$=%C:99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
$=%CA99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999?@
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III% 5undamentos de la transerencia de masa
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!:%!999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999=;
!:%#999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999=?
!:%:999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999==
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RESUMEN
Ecuaciones Diferenciales de la Transferencia de Masa.
Balance total de masa (Ecuación de Continuidad)
.alance microscópico de masa total para un elemento dierencial de volumen
estacionario y ijo en el espacio aplicando la expresión general-
Salidas-entradas + eneración ! acumulación
En este caso no ay t1rmino de generaciónB por el principio de conservación de materia%
Esto es cierto excepto en el caso de reacciones nucleares en las ue la masa puedeconvertirse en energía y viceversaB pero en todos los sistemas de inter1s en Ingeniería
Química se puede admitir ue la masa se conserva como tal%
2a deducción se ar8 en coordenadas rectangulares y un volumen de control Euleriano de
dimensiones ∆xB ∆y y ∆)% la viscosidad del luido en un puntoB ρ y 7xB 7yB 7) las
componentes de la velocidad%
y yVy
Λ+ ρ
z z Vz
Λ+ ρ
xVx ρ
z Vz ρ
yVy ρ
x xVx
Λ+ ρ
y
x
z
zy
x
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Cantidad de masa de entrada al elemento diferencial:
t x yV t z xV t z yV z z y y x x
∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆ ρ ρ ρ
Cantidad de masa de salida del elemento diferencial:
t x yV t z xV t z yV z z z y y y x x x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆ ∆+∆+∆+ ρ ρ ρ
Cantidad de masa acumulada en el volumen de control en t:
z y x z y xt t t
∆∆∆−∆∆∆∆+
ρ ρ
Cantidad de masa generada en el elemento diferencial:
Generación F "
Entradas 9 alidas H generación F acumulación
+ara este caso-
Entradas alidas acumulación F "
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t x yV t z xV t z yV z z y y x x
∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆ ρ ρ ρ 9
t x yV t z xV t z yV z z z y y y x x x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆ ∆+∆+∆+ ρ ρ ρ 9
z y x z y xt t t ∆∆∆−∆∆∆ ∆+ ρ ρ
F"
'eagrupando t1rminos-
Dividiendo la expresión anterior por- ∆xB ∆yB ∆) y ∆t-
0)()()()(
=∆
−+
∆−
+∆
−+
∆−
∆+∆+∆+∆+
t z
V V
y
V V
x
V V t t t z z z z z y
y y y
y x x x x x
ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ
tomando el limite cuando ∆xB ∆yB ∆) y ∆t tienden a cero-
0)()()()(
0000=
∆−+
∆−+
∆−+
∆− ∆+
→∆
∆+
→∆
∆+
→∆
∆+
→∆ t Lim
z
V V Lim
y
V V Lim
x
V V Lim t t t
t
z z z z z
z
y y y y y
y
x x x x x
x
ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ
0)()()( =∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
z y x V z
V y
V xt
ρ ρ ρ ρ
Esta Jltima expresión es el (alance microscópico total de masa o la llamada ecuación de
continuidadB en su orma vectorial se escri(e-
0)( =⋅∇+∂∂V
t ρ ρ
Donde-
ρ F densidad del luido
7 F velocidad del luido %
0)(
)()()(
=∆∆∆−+
∆∆∆−+∆∆∆−+∆∆∆−
∆+
∆+∆+∆+
y z x
t x yV V t z xV V t z yV V
t t t
z z z z z y y y y y x x x x x
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ ρ ρ
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El primer termino de esta ecuación es el termino de acumulaciónB y nos da la variación
con el tiempo de la masa < por unidad de volumen> dentro del elemento dierencial de
controlB y el segundo termino nos indica la velocidad neta de masa < por unidad de
volumen> ue atraviesa los limites del volumen dierencial de control% El termino de
generación% Como ya se a(ía mencionadoB es igual a cero%
2a ecuación deducidaB se puede expresar en orma 2agrangianaB reali)ando las derivadas
parciales de los productos ρ7i-
0=∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
z V
z
V
yV
y
V
xV
x
V
t z
z y
y
x x ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ
&grupando t1rminos-
0=
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
z
V
y
V
x
V
z V
yV
xV
t
z y x
z y x ρ ρ ρ ρ ρ
Que en orma vectorial nos ueda-
0=⋅∇+∇⋅+∂∂
V V t
ρ ρ
ρ
&plicando el concepto de derivada sustancial-
0=⋅∇+ V Dt
D ρ
ρ
Que es la ecuación de continuidad en orma 2agrangiana%
Caso "articular.Una orma muy importante de la ecuación de continuidad es la ue corresponde a un
luido incompresi(leB para el cual la densidad es constanteB es decirB no varia ni con la
posición ni con el tiempo% En este casoB la ecuación de continuidad se reduce a-
0=⋅∇ V luidos incompresi(les%
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#$ ECU$C%&N D%'ERENC%$# DE TR$NS'ERENC%$ DE M$S$
&nali)ando el volumen de control z y x ∆∆∆
B a trav1s del cual est8 luyendo una me)cla%
7olumen de control dierencial
Az z z n
+∆
y∆ Ax xn
z ∆
Ay y yn
+∆ Ay yn
z
x∆
Ax x xn
+∆
y Az z n
x
2a expresión de volumen de control para la conservación de masa es-
( ) 0.
.
=∂∂+⋅ ∫∫∫ ∫∫ vcS C
dV t
dAnv ρ ρ
2a cual en pala(ras se puede escri(ir como
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Rapidez neta de Rapidez neta de flujo de
acumulación de masa dentro masa que sale del 0
del volumen de control volumen de control
+ =
i se estudia la conservación de especie determinadaB resta relación de(e incluir un
t1rmino ue corresponde a la producción o desaparición de & pro medio de una reacción
uímica ue ocurra dentro del volumen%
2a relación general para el euili(rio de la masa de la especie & es-
Rapidez neta de Rapidez neta de flujo de Rapidez neta de producción
acumulación de masa de A dentro masa de A que sale del de A dentro del
del volumen de control volumen de control
+ −
volumen 0
de control
=
2a rapide) neta de lujo de masa del volumen de control se puede calcular tomando en
cuenta la masa transerida a trav1s de la supericie de control%
2a masa de & transerida a trav1s del 8rea z s∆∆
B en xB ser8 x x A A
z yv ∆∆. ρ B o en unción
del lujo B A A A vn ρ =
B sería x x A
z yn ∆∆,% +or lo tanto la rpide) de lujo de masa de la
especie &B ser8-
En la dirección de x- x x A x x x A
z yn z yn ∆∆−∆∆∆+ .,
En la dirección de y- y y A y y y A
z x yn y xn ∆∆−∆∆∆+ .,
En la dirección de )-
z z A z z z A x yn x yn ∆∆−∆∆
∆+ .,
+or lo ue la acumulación de & en el volumen de control es
z y xt
A ∆∆∆∂
∂ ρ
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i & se produce dentro del volumen de control por medio de una reacción uímica a una
rapide) r &B donde r & tiene la unidades L B por lo
ue el t1rmino de rapide) de producción de & es-
z y xr A
∆∆∆
i se suman cada uno de los t1rminos de lujo y acumulación se o(tiene la ecuación-
0,,
,,,,
=∆∆∆−∆∆∆∂
∂+∆∆−∆∆+
∆∆−∆∆+∆∆−∆∆
∆+
∆+∆+
z y xr z y xt
y xn y xn
z xn z xn z yn z yn
A A
z z A z z z A
y y A y y y A x x A x x x A
ρ
Dividiendo la ecuación anterior entre el volumen z y x ∆∆∆
del elemento dierencial se
o(tiene la expresión%
0,,
,,,,
=−∂
∂+
∆
−+
∆
−+
∆
−
∆+
∆+∆+
A A z z A z z z A
y y A y y y A x x A x x x A
r t z
nn
y
nn
x
nn
ρ
Tomando el límite cuando z y x ∆∆∆
tienden a ceroB se o(tiene
0,,, =−
∂∂
+∂
∂+
∂
∂+
∂∂
A
A z A y A x A r t z
n
y
n
x
n ρ
Ecuación de continuidad del componente &
En la cual se o(serva ue z A y A x A nnn ,,,
son las componentes recatangulares del vector de
lujo de masa n & y la ecuación de continuidad se puede escri(ir como
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0=−∂
∂+•∇ A
A A r
t n
ρ
+ara un componente . se o(tiene una ecuación semejante siguiendo el mismo
procedimiento%
0,,, =−
∂∂
+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z y x r t z
n
y
n
x
n ρ
0=−∂
∂+•∇
r
t n
ρ
Donde el termino r . representa la rMpide) con la ue se producira . dentro del volumen de
control por una reacción uímica%
umando las ecuaciones de continuidad para componente & y .
( ) ( )
( ) )1.....(..........0=+−∂+∂
++•∇ A A
A r r t
nn ρ ρ
+ara la me)cla (inaria & y . se tiene
A
A
A A A
r r
vvvnn
−==+
=+=+ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
ustituyendo estas ecuaciones en $ se o(tiene
0=∂
∂+•∇
t
ρ ρν
Ecuación de continuidad para la me)cla
la ecuación de continuidad de la me)cal y de una especie dada B se pueden escri(ir en
unción de la derivada sustancial%
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0=+•∇ Dt
D ρ ν ρ
la ecuación de continuidad de la especie & en unción de la derivada sustancial es
0=−•∇+ A A A r !
Dt
Dω ρ
para unidades molares es de modo semejanteB donde ' & representa la rapide) de
producción molar . por unidad de volumenB las ecuaciones se expresan%
Componente A:
0=−∂
∂+•∇ A
A A "
t
c #
componente B:
0=−∂
∂+•∇
"
t
c #
para la mezcla
( ) ( )
( ) 0=−−∂−∂
+−•∇ A A
A " "t
cc # #
por lo ue la para las me)cla (inaria de & y . se tienen las relaciones%
ccc
cvvcvc # #
A
A A A
=+=+=+
cuando la esteuiometría de la reacción es
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Problemas
A ⇔
en la cual se esta(lece ue se produce una mol de . por cada mol de & ue desaparece
( ) 0=+−∂∂+•∇ A " "t
ccV
Ec% de continuidad de la me)cla en unidades molares
'M$S ES"EC%$#ES DE #$ ECU$C%&N D%'ERENC%$# DE TR$SN'ERENC%$ DE
M$S$
2as ormas especiales de la ecuación de continuidad v8lidas en situaciones especiales B
aparecen a continuación% +ara utili)arlas se rempla)an los lujos n & y N &
( ) )1.(.......... A A A A A # # y ycD # ++∇−=
ue es euivalente a
)2.....(....................V c ycD # A A A A +∇−=
para la ecuación( ) )3..(.......... A A A A A nn Dn ++∇−= ω ω ρ
su euivalente es
)....(....................v Dn A A A A ρ ω ρ +∇−=
al sustituir la ecuación # en-
0=−∂
∂+•∇
r
t n
ρ
se o(tiene
)!...(....................0. =−∂
∂+•∇+∇•∇− A
A A A A r
t v D
ρ ρ ω ρ
-
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Problemas
al sustituir ecuación $ en
0=−
∂
∂+•∇ A
A A "
t
c #
se o(tiene
)"...(....................0. =−∂
∂+•∇+∇•∇− A
A A A A "
t
cV c ycD
cualuiera de las ecuaciones Ay ; se pueden usar en la descripción de periles de
concentración dentro de sistemas de diusión% Estas dos ecuaciones son completamente
generalesB sin em(argo son relativamente complejas%
2as anteriores ecuaciones se puede simpliicar aciendo suposiciones restrictivas%
Si la densidad * el coeficiente de difusión se ueden suoner constante la
ecuación se transforma en.
)#.(..........0.2 =−∇•+•∇+∇− A A A A A r vv D ρ ρ ρ
dividiendo la ecuación entre el peso molecular de & y se reordena se o(tiene%
)$.....(..........2 A A A A
A "c Dt
ccv +∇=
∂∂
+∇•
si no ,a* trmino de roducción R$! * si los coeficientes de densidad * difución
se suonen constantes la ecuación anterior se reduce a/
)%(..........2 A A A A c Dcvt c ∇=∇•+∂
∂
como
-
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Problemas
A A cv
t c ∇•+
∂∂
es la derivada sustancial de c &B por lo ue la ecuación se reduce a-
)10.(..........2 A A A c D
Dt
Dc∇=
ue es una ecuación an8loga a la de transerencia de calor%
)12)......(11.......(22 $ $ c
%
Dt
D$
&
∇=∇= α ρ
dondeα
es la diusividad t1rmica% 2a semejan)a entre estas dos ecuaciones sirve de
(ase para las analogía se/aladas entre transerencia de calor y masa%
En una situación en la cual no e0ista mo1imiento del fluido 1! ni trmino de
roducci2+on R$! ni 1ariación aluna en la difusi1idad o en la densidad. #a
ecuación
)13.........(2
A A A A c Dcvt
c∇=∇•+
∂∂
se reduce a-
A A A c Dt
c 2∇=∂
∂
Ley de Fick de la difusión
la ecuación de la ley de 5ic es an8loga a la segunda ley de conducción de calor-
$ dt
d$ 2∇= α
-
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las ecuaciones =B@ y $# se pueden simpliicar B cuando el proceso esta en estado
permanenteO es decir0=∂∂ t c A
y la ecuación correspondiente a una densidad constante
y una diusión constante%
A A A A "c Dcv +∇=∇• 2
cuando la densidad es constante B lo mismo ue la diusividad y no ay producción
uímicaB se o(tiene%
A A A c Dcv 2∇=∇•
si adem8s vF" la ecuación se reduce a
02 =∇ ac Ecuación de Laplace
todas las ecuaciones descritas anteriormente estan en su orma vectorial B por lo cual
todas son v8lidas en cualuier sistema ortogonal de coordenadas
para reali)ar la transormación se reali)a escri(iendo el operador 2aplacianoB
2∇B en su
orma adecuada%
+or lo ue la segunda ley de 5ic de la diusión
#e* de 'ic3 en Coordenadas Rectanulares
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂2
2
2
2
2
2
z
c
y
c
x
c D
t
c a A A A
A
#e* de 'ic3 en Coordenadas Cil4ndricas
-
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∂∂
+∂∂
+∂
∂+
∂∂
=∂
∂2
2
2
2
22
211
φ θ Aa A A
A A cc
r r
c
r r
c D
t
c
#e* de 'ic3 en Coordenadas Esfricas
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
=∂
∂2
2
22
2
2 sin
1sin
sin
11
φ θ θ θ
θ θ A A A
A A c
r
c
r r
cr
r r D
t
c
Ecuación de Continuidad de $ en Coordenadas Rectanulares
A z A y A x A A "
z
#
y
#
x
#
t c =
∂∂+∂∂+∂∂+∂∂
,,,
Ecuación de Continuidad de $ en Coordenadas Cil4ndricas
( ) A
z A A x A A " z
# #
r r
r#
r t
c=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂ ,,, 11
θ
θ
Ecuación de Continuidad de $ en Coordenadas Esfricas
( ) ( ) A A
Ar A A "
#
r #
r # r
r r t
c=
∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂
∂φ θ
θ θ θ
φ
θ sin
1sin
sin
112,2,
2
2
CND%C%NES DE 'RNTER$ ENCNTR$D$S USU$#MENTE
-
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2a condición inicial en los procesos de transerencia de masa es la concentración de la
especie en diusión la principio del intervalo de tiempo (ajo estudioB expresada ya sea en
unidades molares o en unidades de concentración de masa
0
0
A A cc
t
==
en unidades molares
las condiciones de rontera ue generalmente se encuentran
e puede especiicar la concentración de una supericie% Esta concentración
puede estar en unción de la concentración molarBc &Fc &B de racciones molaresB
y &Fy &$ en gases o x &Fx &$B en líuidos y sólidosO de concentración de masaB
1 A A ρ ρ = o de racción de masaB1 A A ω ω =
El lujo de masa en la supericie puede estar especiicadoB por ejemplo1 A A ! ! = o
1 A A # # =
En ingeniería los casos de inter1s incluyen auel en el ue el lujo es cero
de(ido a una supericie impermea(le y auellos en los ue el lujo se especiica
como-
0
,
=
−= z
A A ' A
dz
d D !
ω ρ
2a rapide) de la reacción uímica puede estar especiicada B por ejemplo% i &
desaparece en la rontera de(ido a una reacción uímica de primer ordenB se
puede escri(ir
111 A A c% # =
% Cuando la especie en diusión desaparece en larontera de(ido a una reacción instant8nea B la concentración de la especie se
suponeB a menudo igual a cero%
Cuando un luido luye en la ase para la cual est8 descrita la ecuación de masaB la
especie puede perderse de la ase de inter1s por medio de la transerencia
convectiva de masa% El lujo de masa en la rontera se deine como-
-
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( )∞−= A A A cc% # 11
Donde∞ Ac
es la concentración de la corriente de luido adyacente a la supericie
y el coeiciente de transerencia de masa de convección%
ESTUD% DE C$SS DE TR$NS'ERENC%$ DE M$S$.
Difusión a tra1s de una el4cula aseosa estancada.
Consideremos el sistema de diusión ue se muestra en la igura% El líuido & se evapora
en el seno del gas .B e imaginemos ue mediante un artiicio es posi(le mantener el nivel
del líuido en )F)$% la concentración de la ase gaseosaB expresada en racción molarB
exactamente en al interase líuido9gasB es x &$% se admite ue la concentración de & en la
ase gaseosa es la correspondiente al euili(rio con el líuido de la interaseO es decir Bue x &$ es la relación entre la presión de vapor de & y la presión totalB + vapLpB suponiendo
ue & y . orman una me)cla gaseosa ideal% 5inalmenteB se supone ue la solu(ilidad de
. en el líuido & es desprecia(le%
+or la parte superior del tu(o circula lentamente una corriente de me)cla
gaseosa &9. cuya concentración es x &!B de orma ue la racción molar de & en la parte
superior de la columna permanece constante e igual a x &!% se supone ue todo el sistema
se mantiene a temperatura y presión constanteB y ue los gases & y . se comportan como
ideales%
Cuando el sistema alcan)a el estado estacionarioB existe una movimiento neto de &
alej8ndose de la supericie de evaporaciónB mientras ue el vapor . permanece
estacionario%
-
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Solución. De(ido a ue se trata de se utili)an ejes ijos se puede utili)ar la siguiente
ecuación%
F H
( ) ' A' A A
A A' # # x z
xcD # −+
∂∂
−=
De(ido a ue la densidad de lujo molar de . en dirección ) es muy peue/a se puede
despreciar por lo cual la ecuación nos ueda%
z
xcD # x # A
A A' A A' ∂
∂−=−
)1...(..........1 z
x
x
cD # A
A
A A' ∂
∂−
−=
&ensidad de flujo
con resulta del flujo
'loal
&ensidad de flujo
que resulta de la
difusión
&ensidad de flujo
con respecto a ejes
estacionarios
-
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Problemas
&plicando un (alance de materia en el elemento dierencial
( )2..................0=−∆+ z z A' z A'
S# S#
Dividiendo la ecuación dos entre el volumen y tomando el límite cuando0→∆ z
ueda inalmente la ecuación
)3.(..........0=−dz
d# A'
ustituyendo la ecuación 5 en la ecuación 6 se o(tiene
01
=
− dz
dx
x
cD
dz
d A
A
A
+ara me)clas gaseosas idealesB a T y + constantesB c es una constante la diusividad es
independiente de la concentración% +or consiguiente cD &. puede salir uera de la derivadaB
uedando%
01
1=
− dz
dx
xdz
d A
A
Integrando una ve) con respecto a ) se o(tiene
11
1C
dz
dx
x
A
A
=
−
7olviendo a integrar se o(tiene%
-
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dz C x
dx
A
11
=
−
( ) ).(..........211ln C z C x A +=−−
+ara encontrar el valor de las constantes se tiene las siguientes condiciones límite
C%2% $ cuando )F)$ x &Fx &$
C%2 ! cuando )F)! x &Fx &!
De acuerdo a estas las condiciones limite tenemos
( ) )!.(..........211ln 11 C z C x A +=−−
( ) )".(..........211ln 22 C z C x A +=−−
De la ecuación A se tiene
( ) )#.(..........11ln2 11 z C xC A −−=
ustituyendo la ecuación ? en la ;
( ) )$.(..........1)1ln(11ln 1122 z C x z C x A A −−=−
Despejando C$ se tiene
)%.(....................1
1ln
11
1ln
11
2
122
1
2
1
−−
−
=−
−−
= A
A A
A
x
x
z z z z
x
x
C
-
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D%'US%&N CN RE$CC%&N 7U8M%C$ 9ETER:;NE$
Consideremos un reactor catalíticoB tal como se indica en la iguraB en el ue se reali)a la
reacción de dimeri)ación22 A A → % Un sistema de este arreglo de complejidad no puede
descri(irse exactamente mediante un desarrollo teórico% in em(argoB se puede o(tener
cierta inormación anali)ando un modelo altamente simpliicado%
Cada partícula esta rodeada por una película gaseosa estancada a trav1s de la cual
diunde para alcan)ar la supericie del catali)ador% uponiendo ue la reacción2
2 A A →
se produce instant8neamente en la supericie catalíticaB y ue el producto &! diunde
despu1s en sentido contrario a trav1s de la película gaseosa asta alcan)ar la corriente
tur(ulenta del gas ue consta de & y de &! % se trata de encontrar una expresión para lavelocidad local de conversión de & en &!B cuando se conocen el espesor eectivo de la
película gaseosa δB y las composiciones glo(ales x &" y x &!" de la corriente% e supone ue
la película gaseosa es isot1rmica B aunue para mucas reacciones catalíticas no se pude
despreciar el calor ue se genera en la reacción%
Solución
De acuerdo a la esteuiometría de la reacciónB se mueve un mol de & ! en la dirección )
negativa por cada dos moles de & ue se mueven en la dirección P positiva% +or
consiguiente se esta(lece la siguiente relación en estado estacionario%
-
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)1........(2
12 A' z A
# # −=
De acuerdo con esto y utili)ando la ecuación
( ) )2.(.......... ' A' A A
A A' # # x z
xcD # −+
∂∂
−=
Considerando .F&!
ustituyendo la ecuación $ en !
)3......(..........23
z xcD # # A A Az A' ∂∂−=−
( ) )......(..........
211 dz
dx
x
cD # A
A
A A'
−
−=
&plicando aora un (alance de materia para la especie & a una delgada l8mina de la
película gaseosa de espesor ∆)%
( )!..................0=−∆+ z z A' z A'
S# S#
Dividiendo la ecuación dos entre el volumen y tomando el límite cuando0→∆ z
ueda inalmente la ecuación
)".(..........0=−dz
d# A'
&ora suponiendo en la ecuación : ue cD &&! es una constante se o(tiene%
-
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Problemas
)#.(..........0
211
1=
− dz dx
xdz
d A
A
Integrando con respecto a ) se o(tiene
)$.(..........1
211
1C
dz
dx
x
A
A
=
−
Integrando nuevamente
)%.(..........1
211
dz C x
dx
A
A =
−
)10.(..........21
2
11ln2 C z C x A +=
−−
De acuerdo a las condiciones límite siguientes
C%2 $ para )Fo x & F x &"
C%2 ! para )Fδ x &F "
&plicando condiciones limite a ecuación $"
Condición límite $
( ) )11.(..........2012
11ln2 0 C C x A +=
−−
-
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Problemas
)12.(..........2
11ln22 0
−−= A xC
Condición límite !
( ) )13.(..........2102
11ln2 C C +=
−− δ
( ))1(..........
2
11ln2
10
δ
−
= A x
C
ustituyendo ecuación $! y $: en $" se tiene
)1!(....................2
11ln2
2
11ln2
2
11ln2 0
0
−−
−
=
−−
A
A
A x
z x
xδ
)1"(....................2
11
211
ln12
11ln
0
0
−
−
−=
− A
A
A
x
x z
x δ
&plicando antilogaritmo se o(tiene inalmente
−
−=
−
δ
z
A A x x
1
02
11
2
11
+ara o(tener la densidad de lujo molar a trav1) de la película se o(tiene a partir de la
ecuación : integrando entre los límites de )F" )Fδ y xF" xFx &"
-
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Problemas
( ) ( ) )1.....(...........
211
A
A
A' cD x
dxdz # −
−=
( ) ( ) )2.....(..........211ln0
00
A x
A A' cD x z # A
−−=δ
( ( ) )3.....(..........2
11ln 0 A A A' cD x # −−=δ
( ) ( )02
11ln A A
A' xcD
# −−
=δ
-
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Problemas
D%'US%&N CN RE$CC%&N 7U8M%C$ 9M:;NE$
Consideremos el sistema ue se indica en la igura
En este caso el gas & se disuelve en el líuido . y diunde en al ase líuida% &l mismo
tiempo ue diundeB la sustancia & sure una reacción uímica irreversi(le de primer
orden- A A →+
Solución
'eali)ando el (alance de materia en el elemento dierencial
-
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Problemas
velociad de producción o desaparición de &B por lo tanto A
C % ∗1
representa el nJmero de
moles de & ue desaparecen por unidad de volumen y unidad de tiempo%
+ara simpliicar la ecuación anterior se divide entre un volumen ∆)B
)2........(..........01 =−∆
− ∗∆+ A
z z Az z Az
C % z
# #
Tomando el límite cuando0→∆ z
% e o(tiene inalmente
)1..(..........01 =+ ∗ A Az c% dz
d#
De acuerdo a la ecuación
( ) ' A' A A
A A' # # x z
xcD # −+
∂∂
−=
Dado ue & y &. estan en (ajas concentraciones o(teniendose
)2.....(..........dz
dc D
z
xcD # A A
A A Az −=∂
∂−=
ustituyendo la ecuación ! en $ se o(tiene
)3.....(..........012
2
=+− ∗ A A
A c% dz
cd D
2as condiciones límite para este pro(lema son
2a concentración en la supericie se mantiene en un valor ijo c &"
C%2 $ cuando )F" c &Fc &"
2a diusión en el ondo del recipiente es muy peue/aB por lo ue puede despreciarse %
C%2%! cuando )F2 N &)F"
-
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Problemas
'eacomodando la ecuación # se tiene
(
y
y
y y
ccC
andoensionaliz a
D
%c
z
c
A
A
A
A A
=
=
=
=∂
∂
∗
∗
η
0
0
2
2
dim
022
22
2
2
2
0
22
0
2
=−
=
−∂∂
−∂∂
∗∗
∗∗
ϕ
ϕ
η
η
m
D
%(
doconsideran
C D%( C
D
c%C
(
cC
A
A
A
A A
Donde
ϕ
ϕ
±=−=
=
m
b
a
2
0
+or tanto la solución se puede plantear
)...(..........21 ϕη ϕη −+= eC eC C
Condiciones límite
+ara
1
0
=
=
ϕ
ϕ
0
1
=
=
η d
dC
C
-
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Problemas
021 =+C C
ϕη ϕη
ϕ ϕ η eC eC d
dC
21 −=
ustituyendo condiciones límite
( )
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ φ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
−
−
−
−
−−
−
−
+−=
+=
=+−
=−−
−=
ee
eC
ee
eC
eC eeC
eC eC
eC eC
12
1
011
0111
210
ustiuyendo en la ecuación : se o(tiene
( )
( )( )
( ) ( )
)!...(..........
1
1
11
ϕ ϕ
η ϕ η ϕ
ϕπ ϕ ϕ ϕ ϕπ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕη
ϕ ϕ
ϕ ϕη
−
−−−
−−−−
−−
−
−
−
++
=
−++
+
=
+
−+
=
ee
eeC
eeeeee
ee
C
eee
ee
ee
eC
Tomando en cuenta el numero adimensional
A D
%( 2=ϕ
&sí como las relaciones
-
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2sin
2cos
x x
x x
ee x
ee x
−
−
−=
+=
ustituyendo en la ecuación A se o(tiene inalmente
( )( )
( ) )"....(..........
cos
1cos
ϕ
ϕ −=
)C
+ara calcular el lux diusivo se o(tiene a partir de la ecuación ;
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )ϕ ϕ
ϕ
η ϕ ϕ
ϕ
η
ϕ ϕ
ϕ η
sincos
1sincos
1sincos
0
0
00
(
c D !
(
C D
d
dC
(
c D !
)d dC
A A
y A
A A A A
=
−−=−
=
−=
=
)#(..........tan00
ϕ ϕ
(
c D ! A A
y A ==
-
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Problemas
D%'US%&N EN UN$ "E#8CU#$ #87U%D$ DESCENDENTE/ TR$NS'ERENC%$ DE
M$TER%$ "R CN
-
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Problemas
−=
2
1)(δ
xv xv m*x z
De acuerdo al pro(lema se o(serva ue c & variar8 con x y con )% por lo tantoB comoelemento dierencial para aplicara el (alance de materia se elige un volumen ormado por
la intersección de un espesor ∆) con otro de espesor ∆ x% por lo cual el (alance general
ueda representado con la siguiente ecuación%
0=∆−∆+∆−∆∆+∆+
z ( # ' ( # x( # x( # x x Ax x Az z z Az z Az
+ara simpliicar la ecuación anterior se divide entre un volumen
x z ( ∆∆
se o(tiene
0=∆
−+
∆
−∆+∆+
x
# #
z
# # x x Ax x Az z z Az z Az
Tomando el límite cuando0→∆ z
y0→∆ x
)1..(..........0=∂
∂+
∂∂
x
#
z
# Az Az
+ara la densidad de lujo molar se utili)a la ecuación
( ) ' A' A A
A A' # # x z
xcD # −+
∂∂
−=
De acuerdo al pro(lemaB el componente & se mueve en dirección ) de(ido principalmente
a la convección o lujoB por lo cual la contri(ución por parte de la diusión puede
considerarse desprecia(le% la densidad de lujo molar en dirección ) resulta%
-
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Problemas
( ) )2(.......... ' A' A A' # # x # −=
+or el contrario en la dirección xB & se transporta esencialmente por diusiónB y no existe
pr8cticamente transporte convectivo de(ido a ue & no es muy solu(le en .B por lo ue se
o(tiene%
( ) #x # x x
c D # Ax A
A A Ax −+∂
∂−=
)3.........(.......... x
c D # A A Ax ∂
∂−=
ustituyendo ecuaciones ! y # en $ se llega a la ecuación dierencial
)...(..........2
2
x
c D
z
cv A A
A
z ∂∂
=∂
∂
Esta(leciendo las condiciones límite%
ustituyendo el peril de velocidad de la película en la ecuación :
)!........(..........12
22
x
c D
z
c xv A
A
A
m*x ∂
∂=
∂∂
−δ
C%2%$
&l inicio del experimento cuando )F" la concentración de & es cero
Cuando PF" C & F"
C%2 !
En al dirección x B cuando inicialmente la película esta constituida por . puro y la
concentración del líuido en al interase ser toma como la solu(ilidad de & en . B ue se
designa como C &"
-
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Problemas
Cuando xF" C & FC &"
C%2%#
De(ido a ue la solu(ilidad de & es muy peue/a en . se esta(lece la condición
Cuandoδ = x
0=∂
∂ x
c A
in em(argo de(ido a ue la ecuación dierencial A es no lineal y de segundo ordenB la
solución es complicadaB por lo cual se de(en tomar en cuenta las consideraciones
siguientes v8lidas para acilitar su resolución%
2a sustancia & penetra una peue/a distancia en la películaB por lo cual la especie & tiene
la impresión de ue la película se mueve toda ella con una velocidad igual a vm8x%
Considerando ue la penetración de & no es muy grande B esta no llegara jamas a la
pared sólida situada enδ = x
% +or lo tantoB si la película tuviese un espesor ininito y se
moviera con la velocidad vm8xB el material ue diunde no notaría la dierenciaB con estas
consideraciones la tercera condición límite se modiica y la ecuación A se simpliica%
C%2%$
&l inicio del experimento cuando )F" la concentración de & es cero
Cuando PF" C & F"
C%2 !
En al dirección x B cuando inicialmente la película esta constituida por . puro y la
concentración del líuido en al interase ser toma como la solu(ilidad de & en . B ue se
designa como C &"
Cuando xF" C & FC &"
C%2%#
-
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Problemas
De(ido a ue la solu(ilidad de & es muy peue/a en . la concentración de & cerca de la
pared o en ininito es cero%
Cuando∞= x
0=aC
De(ido a & penetra muy poco
)"........(..........12
22
x
c D
z
c xv A
A
A
m*x ∂
∂=
∂∂
−δ
)"........(..........2
2
x
c D
z
cv A A Am*x ∂∂=∂∂
+or lo tanto
( )0
,=
∂∂
x
z c A δ
&dimensionali)ando ecuación ;
L
z
x
c
c
C A
A
=
=
=
ζ
δ ξ
0
ustituyendo en la ecuación ;
)#.......(..........02
2
2
0
2
0
=∂
∂
+∂
∂
− ξ δ ζ
δ cC c
L
C
D
v A A
A
m*x
Considerando
-
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Problemas
L D
va
A
m*x
δ =
)$.......(..........02
2
=∂∂+
∂∂−
ξ ζ cca
Condiciones límite
( )
0),(
0),0(
00,
=∞=
=
ζ
ζ
ξ
c
c
c
&plicando transormada de 2aplace
dz e z x + z x +
s x , z x +
sz −∞∫ ==
0),()),((
),()),((
ς
ς
),(),(
)0,(),(),(
s x , x x
z x +
x + s x s, z
' x ,
∂∂
=
∂∂
−=
∂∂
ς
ς
&plicando a ecuación =
( ) ( ) 0)0,),(2
2
=−Γ−Γ∂∂
ξ ξ ξ
cS sa
-
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Problemas
02
2
=Γ−Γ∂∂
asξ
0
0
2
2
2
=++
=++
bamm
e-.ivale
bydxdya
dx yd
oluciones reales y dierentes xm xm eC eC y 21 21 +=
oluciones real e igual
xm xm eC eC y 21 21 +=
oluciones complejas
)cos(2)(1 mxC mx senC y +=
asm
asm
±==− 0
2
ξ ξ asas eC eC −+=Γ 21
−∞∞ += eC eC 210
sC
C
C C s
12
01
211
=
=
+=
-
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Problemas
saase
se
s
211 ξ ξ −− ==Γ
( )( ) sc ,),( 1 ξ ς ζ ξ Γ = −
=
−
t
aer+c
s
e sa
2ς
=
= ζ
ξ ζ
ξ
ξ
2
22
2 L D
Vm*x
er+c
a
er+cc
A
=
z D
v xe+rcC C
A
m*x A A
20
-
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Problemas
"RB#EM$S
(5> $.5 R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)
-
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Problemas
e o(tiene-
−∂ N Az∂z
=0
Integrando se o(tiene-
Az=¿C 1 N ¿
eparando el lux total de & en la suma del lux diusivo m8s el convectivo se o(tiene ue-
*Az Az *Az *-z⋅+
ustituyendo 0 &) por la ley de ic-
− D AB∂C A∂ z + X A ( N Az+ N Bz )=C 1
uponiendo ue la velocidad de . es cero y ue la concentración total es constante-
−CD AB∂ X A∂ z
=C 1(1− X A)
eparando varia(les e integrando se llega a-
ln 1 A−( )/1
/ &A⋅ z⋅ /2+
2as condiciones límite utili)adas serian-
2a racción de & en )F)$ es W &"
2a racción de & evaluada en )F)! seria
El valor de las constantes o(tenido es-
A z z1( ) A1
A z z2( ) A2
/2 ln 1 A1−( )
/1
/ &A⋅
z2 z1− ln
1 A2−
1 A1−
⋅ *Az
-
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Problemas
Una ve) teniendo el lux de & puede o(tenerse la velocidad de evaporación de &%
/
.1
/ &.A⋅
z.2 z.1− ln
.2
.1
⋅! *
.Az
!
Considerando al sistema como gas ideal-
&dem8sB usando las ley de las presiones parciales-
ustituyendo estos resultados en el lux de &-
*Az
R-
&A
z2 z1−( )⋅ ln
2
1
⋅
En PF! la presión total es la presión ejercida por .B de(ido a la corriente de . puro ue
pasa en la parte superior del tu(o% i se considera una temperatura am(iente de !ASCB losdatos necesarios para resolver la ecuación son-
nR-
1
1
R
-
n
/
##0mm':= cloropicrina 23.$1mm':=
2 ##0mm':= 1 cloropicrina−:=
R 0.0$2atm 4⋅
5 mol⋅:=
- 2%%5 :=&A 0.0$$
cm2
s:=
2
2
z2 z1− 11.1c:=
-
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Problemas
ustituyendo los datos en la ecuación del lux-
2a velocidad de evaporación es igual al lux por el 8rea-
+ara o(tener el resultado en gL se utili)a el peso molecular de la cloropicrina%
(5>$.A R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)
Sulimación de esferas de *odo en aire inmó1il % Una esera de yodo de $cm dedi8metroB esta situada en aire inmóvil a :"SC y ?:?mm 3g de presión% & esta temperatura
la presión de vapor del yodo es aproximadamente $%"#mm 3g% e desea determinar ladiusividad del sistema yodo9aire midiendo la velocidad de su(limación% +ara ayudar adeterminar condiciones experimentales ra)ona(lesB
a> Estima la diusividad del sistema yodo9aire a la temperatura y presión dadasBusando los par8metros de la uer)a intermolecular en la ta(la E$O
(> Estime la velocidad de su(limación (as8ndose sus c8lculos en la ec% $=%!9!?%
Este m1todo se a utili)ado para medir diusividadB aunue es suscepti(le de ser cuestionado de(ido a la posi(le importancia de la convección li(re%a>
*Az
R -⋅
&A
z2 z1−⋅ ln
2
1
⋅ 1.0!1 10 −×
mol
m2
s⋅=:=
A *Az A⋅ 2.0# 10$−×
mol
s=:=
A' 3.%!# 10"−
× '
s=
A' 0.01'
r =
-
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Problemas
0 313.1!
## 0.%$3
$ C /
& mm01 atm
= =
= =
o
2
2!3.$1
.%$2
!!0
A
A
A I
2
A
/ %
σ
ε
==
=
=
2$.%#
3."1#
%#.0
aire
2
A
/ %
σ
ε
==
=
=
&
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
.2%%!
!!0 %# 230.%$
A A
A
A A
A
A
A
% % %
/ %
σ σ σ
σ
ε ε ε
ε
= +
=
=
= =
&
,
313.1!6 1.3!"
230.%$1.2!3 D A
%$ ε = =
Ω =
(>
( ) ( )2
1 2 1
2
21
1
1
1ln
1 1 1
1 ln1
ln
A A A
A
A A A
A
A A
va&
cD x(
r r x
r
x( rcD x
&c
"$
&D &( r
"$ & &
π
π
π
−= ÷− −
→ ∞
−= ÷−
=
= ÷ ÷−
( ) ( ) ( )
( ) ( )$
0.%$3 0.0$$3 0.%$3 0.! ln
$2.0" 313.1! 0.%$3 1.03
2.%! 10 6
1.0" 10 6
A
A
A
( m
( 1 s
( 1 )
π
−
−
= ÷ ÷ ÷ −
= ×
= ×
(5>$.6 R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)
Estimación del error al calcular la 1elocidad de asorción. RCu8l es el error m8ximoposi(le al calcular la velocidad de a(sorción a partir de la ecuación $=%A9$=B si la
-
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Problemas
solu(ilidad de & en . se conoce con un error de y la diusividad se conoce con un
error de upóngase ue las cantidades geom1tricas y la velocidad se conoce conmayor precisión% 5igura de la ecuación $=%A9$= -
simpliicando la siguiente ecuación o(tenemos-
donde K es el producto de cantidades conocidas% Donde el error en resulta de
peue/os errores en y es-
Dividiendo por se o(tiene la expresión raccional error -
DondeB el porcentaje de error m8ximo a(solutoB en la calculación de (ajo lascondiciones o(tenidas es-
(5> $. R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)
$sorción del cloro en una el4cula descendente. e a(sor(e cloro de un gas en unapeue/a torre experimental de pared mojada %el luido a(sor(ente es aguaB ue se mueve
a una velocidad media de $?%? cmLs% RCu8l es la pro(a(ilidad de a(sorción en g9molLB sila diusividad en la ase liuida del sistema cloro9agua es $%!;x$" 9A B y si la concentraciónde saturación de cloro en agua es "%=!# g de cloro por $""g de agua < estos son losvalores experimentales a $;Sc >las dimensiones de la columna se proporcionan en laigura%
olución- 2a velocidad de a(sorción se predice por la ecuación% $=%A9$=B ue puede ser reescrita en t1rminos de la velocidad media de película mediante el uso de la ecuación%!B!9!"-
-
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Problemas
W A=W LC A 0√ 4 D AB V maxπL Ecuación $=%A9$=w A=2 πr LCA 0√
6 D AB (v z )πL
2a solu(ilidad es-C A 0= ρ ω A 0/ M A
≈(0.998 g soln/cm3)(0.00823 gCl2 /g soln) /(70.91 gCl2/ gmolCl2 )
¿1.16 x10−4
gmolCl2/cm3
Entonces la a(sorción predica es-
w A=2 π ( 1.4 x13cm2 ) (1.16 x10−4 gmolCl2/cm
3 )
√6 (1.26 x 10
−5
cm2
/ s) (17.7 cm/s )π (13 cm )
¿7.58 x10
−5gmol
s =0.273 gmol/hr
(5>. $ R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)Medición de la difusi1idad or el mtodo de la fuente untual
e desea dise/ar un sistema de lujo a in de utili)ar los resultados del pro(lema $=C%$para medir D &.% 2a corriente de aproximación de . puro de(e dirigirse verticalmente aciaarri(aB y la composición del gas se medir8 en varios puntos a lo largo del eje )%
a Calcular la velocidad de inyección del gas & en g9molLs necesaria para producir
una racción molar x &≈ "%"$ en un punto situado a $cm corriente de(ajo de la
uenteB en un sistema de gas ideal a $ atm y =""SCB si v"FA"cmLs y D &.≈ Acm!Ls
( RCu8l es el error m8ximo permisi(le en la posición radial de la sonda para o(tener muestras del gasB si la composición medida x & de(e estar dentro de un margen de$Y del valor de la línea central
Respuesta
a 2a solución a la ecuación dierencial es-−(v0/2 D AB)( s− z)
c A= W A
4 π D AB sexp ¿
-
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Problemas
Directamente corriente a(ajo de la uenteB la distancia s se reduce a )B por lo tanto
la ecuación toma la orma- c A= W A
4 π D AB z
Entonces
W A=4 π D AB s ( 0.01c )
¿4 π D AB s ( 0.01 p ! )
¿4 π (5 cm2
s ) (1 cm )(0.01 (1a"m )
(82.06 a"mcm3
mol# )$ (1073 % ) ) ¿7.1$ 10
−6 mol/s
( Expansión de s en potencias de r ! a ) constante nos da-
s=√ z2+r2= z √1+r2
z2= z [1+12 r
2
z2−&]
s− z= z [ 12 r2
z2−& ]
z
s= z [1−12 r
2
z2+&]
−(v0 /2 D AB)(s− z )
c A
(r ' z)= W A
4 π D AB z
z
sexp ¿
¿c A (0, z ) [1−12 r2
z2+&] [1−( v02 D AB ) z [ 12 r
2
z2−& ]+&]
-
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Problemas
1+( v0 z2 D AB )+((r
4
z4 )
1−1
2
r2
z2 ¿
¿c A (0, z )¿
c A(r ' z) y x A(r ' z) de(en ser menores al $Y de su valor de línea centralB
tan largo como el t1rmino de segundo orden sin ue el grupo al cuadrado exceda"%"$% 2a desviación de r s del colector de muestra del ejeB a las condiciones dadasde(e satisacer entonces-
rs )(0.01)2 z
2
1+v0 z/2 D AB
1+(50cm / s)(1 cm)/(2$5cm2/s )¿
¿ (0.02 )(1cm2)
¿
¿0.00333 cm2
rs=√ 0.00333 cm2=0.058 cm
(5>. $ R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)Determinación de la diusividad para un sistema 1ter9aire%2os datos siguientes so(re la evaporación de 1ter etílico ueron ta(uladospor 0ost% 2os datos son para un tu(o de ;%$;mm de di8metroB presión total de ?:?mm 3gy temperatura de !! ZC%
Disminución del nivel del 1ter TiempoB en segundosB necesarioB en mm niveldesde @ asta $$ A@"desde $: asta $; =@A
desde $@ asta !$ $$=Adesde !: asta !; $:="desde #: asta #; !"AAdesde :: asta :; !;AA
El peso molecular del 1ter es ?:%$!B y su presión de vapor a !! ZC es :=" mm 3g% +uedesuponerse ue la concentración de 1ter en el extremo a(ierto del tu(o es cero% 0ostproporcionó un valor de D &. para el sistema 1ter9aire de "%"?=; cm!Ls a " ZC y ?;" mm3g%
-
8/18/2019 Problemas de Masa Capitulo 18 y 25
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Problemas
Usar los datos de evaporación para encontrar D &. a ?:? mm 3g y !! ZCB suponiendo uela media aritm1tica de las longitudes de la columna de gas puede usar para )!9)$ en laigura $=%!9$% &dem8sB supóngase ue la me)cla 1ter9aire es ideal y ue la diusión puedeconsiderarse como (inaria%Convertir el resultado a D &. para ?;" mm 3g y " ZC usando la ecuación $?%!9$
'esultado
a>E% $=%!9$? da
"%! disminuye el nivel
7alores calculados para los ; intervalos de tiempo-B av%B cm $%" $%A !%" !%A #%A :%A[t para [)$F9"%! cm A@" =@A $$=A $:=" !"AA !;AAD &.B cm!Ls "%"?=" "%"??$ "%"??@ "%"??? "%"?=: "%"?="
El promedio de estos valores- "%"??=A cm!Ls
(>Usando la ecuación $?%!9$ en su orma polar da-
-
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Problemas
(5>$.F R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)
Densidad de fluGo de masa desde una uruGa en circulación.a> Usar la ec% $=%A9!" para estimar la velocidad de a(sorción de C6!
desde una (ur(uja de dióxido de car(ono de "%A cm de di8metro ue asciende enagua pura a $=SC y una presión de $ atm% +ueden usarse losdatos siguientes-D &.F$%:;x$"9A cm!LsB C F"%":$ g9molLlitroB \F!! cmLs%
(> 7olver a calcular la velocidad de a(sorcion usando los resultados experimentalesde 3ammerton y GarnerB uienes o(tuvieron una c media con respecto a lasupericie de $$?cmL
3 3
0.01 6 0.01 10 6c 1 mol litro 1 mol cm
−
= − = × −a>
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
0
!
3
" 2
3
1." 10 220.01 10
0.!
1.1# 10 6
A t A Amedia
A media
A media
D # c
D
#
# 1 mol cm s
υ
π
π
−−
−
=
×= ×
= × −
(>11# 6 0.032! 6c% cm ) cm s= =
( ) ( )
( ) ( )
( )
0
3
" 2
0
0.032! 0.01 10
1.33 10 6
A c A Abmedia
Ab
A media
A media
# % c c
c
#
# 1 mol cm s
−
−
= −
=
= ×
= × −
(5>. B5 R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T) Deducción alternati1a de la difusión a tra1s de una el4cula estancada. En laecuación $=%!9$: del pro(lema $=%! se o(tuvo una expresión para calcular la velocidad deevaporación al deerencial el peril de concentración ue se encontró unas líneas antes%Demostrar ue los mismos resultados pueden deducirse sin tener ue encontrar el perilde concentración% Nótese ue en estado estacionario N &P es una constante segJn laecuación $=%!9#% 2uegoB la ecuación $=%!9$ puede integrarse directamente para o(tener laecuación $=%!9$:
-
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Teniendo la ecuación $=%!9$1
1
A A'
A A
d3 #
3 dz cD= −
−
+odemos dejarlo expresado en t1rminos de W.1 A'
A
d3 #
3 dz cD− = −
+or el m1todo de varia(les separa(les integrando desde los limites ue son W.$ y W.$B P$ yP!%
2 2
1 1
3b '
A'
A 3b '
# d3bdz
3b cD=∫ ∫
2 1
1ln ( )
1
A'
A
# 3b ' '
3b cD= −
2 1
2ln
1
A A'
cD 3b #
' ' 3b=
−
& lo cual llegamos a la misma ecuación $=%!9$:
(5>B.A R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T) Error al desreciar el trmino de con1ección en la e1aoracióna) 7olver a tra(ajar el pro(lema planteado en el texto en el tema $=%! despreciando elt1rmino W & en la ecuación $=%"9$% Desmostrar ue así se llega a
N A z=
c D AB
z2− z1 ( x
A1− x
A 2)
]sta es una aproximación Jtil si A est8 presente sólo en concentraciones muy (ajas%) 6(tener el resultado del inciso a>B a partir de la ecuación $=%!9$: aciendo laaproximación apropieda%c) RQu1 error se comete en la determinación de D &. en el ejemplo $=%!9! si se usa elresultado del inciso a>Respuesta:a) Usando la ecuación $=%"9$ despreciando el termino convectivo ueda de esta manera
N A z=−c D AB*x A*z
Ecuación 5>.-5Despues se utili)a la ecuacion $=%!9$
N A z=−c D AB1− x A
*x A*z
Ecuación 5>.A-5ustituimos la ecuación $=%!9$ en la ecuación $=%!9#
-
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Problemas
−*N A z*z
=0
Ecuación 5>.A-6
*
*z
(
c D AB
1− x A
*x A
* z
)=0
e reduce a esta expresión*
2 x A
* z2 =0
eparamos e integramos
∫* (*x A*z )=∫0*z
*x A*z
=C 1
∫* x A=C 1∫ * z
x A=C 1 z+C 2
& continuación aplicamos las condiciones limite x A1=C 1 z1+C 2
x A2=C 1 z2+C 2
Estas ecuaciones se puede resolver simult8neamente para dar C$ y C!
C 1=− x A1− x A2
z2− z1
C 2= x A 1+ x A1− x A2
z2− z1 z1
+or lo tantoB en la aproximación ue se considera auíB el peril de concentracion en elsistema est8 dada por
x A1− x A x A1− x A 2
= z− z1 z2− z1
)+ara o(tener el resultado en a> de la ecuación $=%!9$:B podemos ampliar este Jltimo entreotras cosas una serie de TaylorB como se i)o en o(tener la ecuación $=%!9$;
N Az ¿+ =+ 1=−c D AB1− x A 1
* x A
*z ¿+ =+ 1
-
8/18/2019 Problemas de Masa Capitulo 18 y 25
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IQ-20311
Problemas
N Az ¿+ =+ 1=c D AB
x B1
* xB
*z ¿+ =+ 1
N Az ¿+ =+ 1=c D AB∫
X B 1
X B 2 * xB xB
∫+ 1
+ 21
*z
N Az ¿+ =+ 1= c D AB z2− z1
ln( xB2 xB1
)
Ecuación 5>.A-5Com(inamos las ecuaciones $=%!9$# y $=%!9$:B se o(tiene inalmente
xB' m,*-a= xB2− xB1ln ( xB2− xB1)
Ecuación 5>.A-561
x B2− xB1= x A1− x A2
e o(tiene esta ecuación xB¿ln¿
( z2− z1)¿
N Az ¿+ =+ 1=c D AB¿
Ecuación 5>.A-5 &l desarrollar la solución de la ecuación $=%!9$A en una serie de TaylorB puede o(tenerse
N Az ¿+ =+ 1=c D AB( x A1− x A2)
( z2− z1) [1+1
2( x A1+ x A 2 )+13 ( x A1
2 + x A1 x A 2+ x A22
)+&]
c)7F "%"!"= m#
ρ F $%A@ gLcm#
4F $A: gLmol &F "%=! cm!
tF $" V)F $?%$ cm
pF ?AA mm de 3gTF "SC
N A= Vρ MA"
N A=
(0.0208 cm3)(1.59 g
c m3)
(154 g/mol)(0.82 c m2)(3.6 X 104 s )
-
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IQ-20311
Problemas
N A=7.26 X 1 0
−9g /mol
c m2s
D AB= N A z !
p(−* x A*z
)
D AB= N A
z ! ( z2− z1)
p ( x A 1− x A2)
D AB=(7.26 X 1 0−9)(82.06)(273)(17.1)
(755760 )[(33
755 )−0] D AB=0.0641 c m
2/ s
.rror=0.0641−0.0636
0.0636 ∗100=0.79
-
8/18/2019 Problemas de Masa Capitulo 18 y 25
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Problemas $rans+erencia de masa Ca&5t.los 16 ird y 27 (elty
.rror=0.79
(5>B6 R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)Efecto de la 1elocidad de transferencia de materia sore las erfiles deconcentración.
a Com(inar el resultado de la ece $=%!9$$ con el de la eca%$=%!9$: para
o(tener
1
1 ( 1)e7p
1
A A'
A A
x # z z
x cD
− −= −
6(tener el mismo resultado por integración directa de la ecuación $=%!9$Busando el eco de ue N &P es constante%
c 6(s1rvese lo ue ocurre cuando la velocidad de transerencia de materiase vuelve peue/a% Expanda la ecuación $=%.#9$ en una serie de Taylor yconserve solo dos t1rminosB como es apropiado para N &P peue/a% R ueocurre con las líneas ligeramente curvas en la igura $=%!9$ cuando N &P esmuy peue/a
Resuesta a)
11 ( 1)
e7p1
A A'
A A
x # z z
x cD
− −= −
ustituyendo la ecuación $=%!9$$( )16 2 1
1
1 ( 1) ( 1)e7p e7p
1
z z z z
A A' A'
A A A
x # z z # z z
x cD cD
− − − − −
= = − RES"UEST$ B)
2
1 1
1
1 A
x z A'
A x z
A A
# dx dz
x cD= −
−∫ ∫ Evaluando las integrales o(tenemos
1
1
ln ( 1)1
A A'
A A
x #
z z x cD
−
− = − −−Despejando el logaritmo y eliminando los signos negativos llegamos a la solución a>
1
1 ( 1)e7p
1
A A'
A A
x # z z
x cD
− −= − Resuesta C)
1
1 ( 1)1 ...........
1
A A'
A A
x # z z
x cD
− −= + + −
1
( 1) A' A A
A
# z z x x
cD
−= −
ue tiene la ecuación de una línea recta%
(5>B. R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)
$sorción con reacción Hu4mica.a 7olver a tra(ajar el pro(lema ue se anali)o en el texto en s$=%:B pero tomando enPF" como el ondo del vaso de precipitado y )F2 como la interace gas9liuido%
2a solución de pro(lema es similar al ejercicio $=%:B considere el planteamientoigual asta la ecuación $=%:9:
!"
-
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Problemas $rans+erencia de masa Ca&5t.los 16 ird y 27 (elty
D AB*2
*z2− % 1CA=0
e esta(lecen las condiciones límite de la siguiente manera-C%2%$ en PF2 C &FC &"C%2-! en PF" N &PF"
&dimensionali)amos la ecuación para tra(ajarB multiplicamos por L2/C A0 D AB
o(tenemos-*
2 /
* 0 2 −ϕ2 / =0
Donde / =C A /C A0 Es una concentración a dimensional
0 =+ / L Es una longitud a dimensional
ϕ=√ % 1 L2/ D AB Es un grupo adimensional llamado modulo de tiele
&ora nuestras condiciones limite son-C%2%$ en F$ F$
C%2-! en F"*/ *0 =0
Esta ecuación tiene una solución general ue es- / =C 1Cosh 0 ϕ +C 21,nh 0 ϕ
llegamos a dos ecuaciones simult8neas-1=C 1Coshϕ+C 21,nhϕ
0=0+C 2 ϕ ∴ C!F"
e o(tiene-
/ =cosh 0 ϕcosh ϕ
7olviendo a la notación originalB llegamos a -
C A
C A0=
cosh √ % 1 L2
D AB
+
L
cosh√ % 1 L2
D AB
Despejando C&B y aplicando la ley de ic
!#
-
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Problemas $rans+erencia de masa Ca&5t.los 16 ird y 27 (elty
N A+ ¿+ = L= D AB*CA*+
¿+ = L
Tenemos-
N A+ ¿+ = L= D AB **z C A 0
cosh
√ % 1 L2
D AB
+
L
cosh √ % 1 L2
D AB
=C A0 D AB L */ *0 ¿0 =1=C A 0 D AB L 1,nh
ϕ 0 ϕcosh ϕ ¿ 0 =1
¿C A 0 D AB
L !anhϕ ϕ
e llega al mismo resultado ue en el ejercicio $=%:
( &l resolver la ecuación $=%:9?B la solución se tomo como la suma de dos uncionesiper(ólicas% Trate de resolver este pro(lema usando la solución igualmente valida
/ =c1exp ( 0 ϕ )+c2exp (− 0 ϕ )
+artimos de la ecuación-*2 /
* 0 2−ϕ2 / =0
Esta(lecemos nuestras condiciones de ronteraB ue ser8n las mismas ue en el casoanterior%C%2%$ en F$ F$
C%2-! en F"*/ *0 =0
Con estas condiciones llegamos a dos ecuaciones simult8neas-1=c 1+C 2
0=C 1ϕ,ϕ−C 2ϕ ,−ϕ
'esolvemos y o(tenemos el valor de las constantes-
C 1=1
1+,2 ϕ=
,−ϕ
,ϕ+,−ϕ
C 2= ,
2ϕ
1+,2ϕ=
,ϕ
,
ϕ
+,−ϕ
ustituyendo las constantes-
/ = ,
−ϕ,ϕ0
,ϕ+,−ϕ
+ ,
ϕ,−ϕ 0
,ϕ+,−ϕ
=
1
2 [,ϕ (1−0 )+,−ϕ(1−0 )]
1
2[,ϕ+,−ϕ ]
!$
-
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Problemas $rans+erencia de masa Ca&5t.los 16 ird y 27 (elty
Usando las deiniciones de las unciones iper(ólicas podemos expresarlas de lasiguiente manera-
/ =cosh [ϕ (1−0 )]
Coshϕ
Esta es la misma expresión ue se o(tuvo antes%
c REn u1 sentido se simpliican los resultados en las ecuaciones $=%:9$" y $=%:9$!para 2 muy grande y para 2 muy peue/a Interprete ísicamente los resultados%
e escri(e la ecuación $=%:9$! de la siguiente manera%
N A+ ¿+ =0= D ABC A0
L √ % 1 L2
D ABtan h√ % 1 L
2
D AB
+ara 2 muy grande tenemos ue la Tan < 2 >F $ por lo tanto nuestra expresión
se reduce a- N A+ ¿+ =0=
D ABC A0
L
√ % 1 L2
D AB
2uego reducimos a < 2! sale de la raí) y se elimina con 2 B y el termino de &. entraa la raí) como &.! y nos ueda>-
N A+ ¿+ =0=C A0√ D AB % 1
3acemos un an8lisis similar para 2 muy peue/o
-
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Problemas $rans+erencia de masa Ca&5t.los 16 ird y 27 (elty
C A
C A0=√ % 1 D AB z−tanh 2sinh √ % 1 D AB z
C AC A0
=√ % 1 D AB z−sinh√ % 1 D AB z+or lo tanto-
C A
C A0=exp [−√ % 1 D AB z ]
+ara 2 tendiendo a cero tenemos ue la Tan < 0 >F "B por lo tanto%
C A
C A0=cosh √ % 1 D AB z
(5>B.B R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)$sorción de cloro or ciclo,e0eno% El cloro puede ser a(sor(ido de me)clas Cl!9airepor oleinas disueltas en CCl:% e encontró ue la reacción de Cl! con cicloexeno Demuestre ue el peril de concentración esta dado por
c A 0c A
=[1+√ # 2c A 06 D AB z]2
(> 6(tenga una expresión para la velocidad de a(sorción de Cl! por el liuido%c> uponga ue una sustancia & se disuelve en y reacciona con una sustancia . de
modo ue la velocidad de desaparición de & por unidad de volumen es alguna
unción ar(itraria de la concentraciónB 4 (C A ) 5 Demuestre ue la velocidad de
a(sorción de & esta dada por
N A+ | z=0=√2 D AB∫0
c A0
4 (C A ) * c A
Usar este resultado para compro(ar el resultado del inciso (>%olución
"0
-
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Problemas $rans+erencia de masa Ca&5t.los 16 ird y 27 (elty
a>
Conocemos ue D AB*2 c A*z2
−# 1 c A=0
De(ido a ue tenemos una reacción de segundo ordenB la ecuación anterior tiene ue ser rempla)ada por
.c6ac-7n1 D AB*
2c A
*z2 −# 1 c A
2=0
3aciendo un an8lisis dimensional
c= c Ac A0
Ϛ =√ # 2c A06 D AB zustituyendo en nuestra ecuación Ecuación $B o(tenemos una ecuación dierencial de laorma siguiente%
*2c
*Ϛ 2−6c2=0
Condiciones límite%c (0 )=1 8 c (2 )=0
+or lo tanto
*! *Ϛ
= p (c ) *,"almo*o96, *2 c
* Ϛ 2=
*p*Ϛ
=( *p*c )( *c*Ϛ )= p( *p*c ) p
*p*c
=6c2
Ecuación dierencial de primer orden y de varia(les separa(les%Tomando nuestros limites de integraciónB tomaremos condiciones tales ue-
Ϛ =2 'c=0 8 "am:-,n *c
*Ϛ = p (c )=0
Integrando
∫0
p
p*p=∫0
c
6c2*c
1
2 p2=2c3 o tam(i1n se puede expresar como
1
c=(1+Ϛ )2
2a expresión inal del peril de concentraciones es
"1
-
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Problemas $rans+erencia de masa Ca&5t.los 16 ird y 27 (elty
c A 0c A
=[1+√ # 2c A 06 D AB z]2
(> a partir del resultado de a> se o(tiene la velocidad de a(sorción en la interase gas9líuido%
N A+ | z=0=− D AB* c A
*z | z=0=√23
# 2c A3 D AB
d> 2a ecuación a resolver
− D AB*2c A* z2
+ 4 (c A )=0 o p *p* c A
=4 (c A ) D AB
e o(serva ue igual ue antes se introduce la varia(le pB aora integramos y se o(tiene
ue
∫0
p
´ p* ´ p=1
D AB∫
0
c A
4 ( ć A ) * ć A o p=* c A*z
=−√2
D AB∫
0
c A
4 ( ć A ) * ć A
egunda integración%
∫c A(
c A * ć A
√(2
D AB )∫0ć A
4 (ć A ) * ć A
=−∫0
1
*z=− z
Dierenciando am(os t1rminos con respecto )
1
√(2
D AB )∫0ć A
4 ( ć A ) * ć A
*c A*z =−1 8
*c A*z | z=0=−√(
2
D AB )∫0c A 0
4 ( c A )* c A
(5>-B. R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)Experimento con dos (ul(os para medir la diusividad de un gas- &n8lisis en estado casiestacionario%
Una orma de medir las diusividades de un gas por medio de un experimento con dos(ul(os% El (ul(o i)uierdo y el tu(o desde )F92 asta )F"B se llenan con el gas &% el (ul(odereco y el tu(o desde )F" asta )FH2 se llenan con el gas .% En el instante tF" se a(rela llave de paso y empie)a la diusiónO luego las concentraciones de & en los dos (ul(os
(ien agitados cam(ian% e mide A x
+
como una unción del tiempoB y a partir de esto se
deduce A
℘% e desea deducir las ecuaciones ue descri(en la diusión%
"2
-
8/18/2019 Problemas de Masa Capitulo 18 y 25
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∞ ∞
Lave de paso
Z=-L Z=LZ=0Volumen V Volumen V
La fracción molar en el bulbo izquierdo Todo el sisema !aseoso es" en p y T consanes#La fracción molar en el bulbo de
ura 18B.6. %osque&o de un aparao de dos bulbos para medir difusividades de !ases# Los a!iadores en los dos bulbos m
Problemas $rans+erencia de masa Ca&5t.los 16 ird y 27 (elty
De(ido a ue los (ul(os son grandes en comparación con el tu(oB A x
+
y A
x−
cam(ian muylentamente con el tiempo% +or lo tantoB la diusión en el tu(o puede tratarse como un
pro(lema en estado casi estacionarioB con las condiciones límite de ue A x
F A
x−
para )F9
2$ y ue A x
F A x+
para )FH2%
Escri(ir un (alance molar con respecto a & so(re un segmento V) del tu(o y demostrar ue1 Az
# C = es una constante%
0 Az z Az z z S# S# +∆− =
a> Demostrar ue la ecuación $=%"9$ se simpliica para este pro(lema a-
(>
A Az A
dx # c
dz = − ℘
A Az A
dx # c
dz = − ℘
División por V)B tomando como límite V)F"B dandoB
0 Az d# dz =ó
Az # constate=
% 2aecuación $=%"9$ de este pro(lema y esto se simpliica así-
( ) A A Az A A Az z Az A
dx dx # c x # # # c
dz dz = − ℘ + + = − = − ℘
"3
x t +1 A A x x− += −
-
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Problemas $rans+erencia de masa Ca&5t.los 16 ird y 27 (elty
Desde Az z
# # = −B esto es verdadB porue en el sistema en la constante c para toda
mol1cula de & se mueve acia la dereca y la mol1cula de . se mueve acia la i)uierda%a> Integrar esta ecuaciónB usando el inciso % sea C! la constante de integración%
2a ecuación de ( con Az
# constate=con
( ) Az A A
# d# dz c= − ℘
B cuando se integra pasa-
1 Az
A
A
# x C
c= − +
℘
(> Evaluar la constante reuiriendo ue A A x x
+=para
z L= +
En z L=
y A A x x
+=así ue-
1 Az
A
A
# x L C
c
+ = − +℘
'estando las siguientes dos ecuacionesB entonces-
( ) Az A A A
# x x L z
c
+− = − −℘
c> 2uegoB acer
( 1 ) A A A x x o x− += −
para z L= −
despejar Az #
y o(tener inalmente-
1( )2
A Az A c # x
L+ ℘= −
Con z L= −
sa(emos ue-
1 A A A x x x− += = −
O por lo tantoB
(1 ) ( ( )) Az A A
A
# x x L L
c
+ +− − = −℘
d> 3acer un (alance de materia para la sustancia & so(re el (ul(o dereco parao(tener-
1( )2
A A A c dxS x Vc
L dt
+
+ ℘− =
En el (alance de masa o(tenido el estado del (ul(o dereco con una velocidad decam(io de moles con 7 con la ecuación m8s exacta con la velocidad de moles de 7por diusión y inalmente en el tu(o% Entonces-
"
-
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Problemas $rans+erencia de masa Ca&5t.los 16 ird y 27 (elty
( ) A Az d
Vcx S# dt
+ =
ó
1( )2
A A A
dx S Vc S x
dt L
++ ℘= − =
Donde-Fsección transversal conectando al tu(o%
c> Integrar la ecuación del inciso > a in de o(tener una expresión para A x
+
ue
contenga A
℘
1
2ln( ) ( )1
2
A A
xS
t LV
+− ℘= −
2a ecuación se integra así-
21
2
A A
A
dx S dt C
LV x
+
+
℘= +−
∫ ∫
^
2
1ln( )
2
A A
S x dt C
LV
+ ℘− − = +
2a constante de integración posi(lemente se o(tiene mediante el actor tF"B sa(emos ue
la racción molar de & en el (ul(o dereco es igual a ceroB o
2
1ln( 0)
2C = − −
%
+ara ello-
1 1ln( ) ln
2 2 A
A
S x t
LV
+ ℘− − = −
^
1( )2 e7p( )
1
2
A A
xS
t LV
+− ℘− −
d> ugerir un m1todo para graicar los datos experimentales a in de evaluar A
℘
Graicamos esta ecuación-1
2ln( )1
2
A x
LV S
+−
−
vs t(5>B.F R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T) Difusión desde una otita susendida% Una gotita de liuido &B de radio r $B est8suspendida en una corriente del gas .% e postula ue ay una película de gas estancadaes1rica de radio r ! ue rodea a la gotita% 2a concentración de & en la ase gaseosa es W&$para rFr $ y W&! para el (orde exterior de la película rFr !
"!
-
8/18/2019 Problemas de Masa Capitulo 18 y 25
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Problemas $rans+erencia de masa Ca&5t.los 16 ird y 27 (elty
a> +or medio de un (alance de envolturaB demostrar ue para diusión en estado
estacionario r2
N&r es una constante en el interior de la película de gasB e
igualar al constante a r 12
N&rB el valor en la supericie de la gotita%
(> Demostrar ue la ecuación $=%"9$ y el resultado en el inciso a> llevan a la siguiente
ecuación para W&- r 12
N&r $ F−cDAB1− XA
r2*XA*r
c> Integrar esta ecuación entre los limites r $ y r ! para o(tener N&r $ F
r 2
r 1
cDAB
r2−r1 ¿
>ln
XB2
XB1
a> :_ r2
N&r r 9 :_ (r+ ;r)2
N&r r HVr F "
Dividiendo todo entre :_Vr y aplicando el limite4 π r
2 NAr r−4 π (r+ ;r)2 NAr r+ ;r
4 π;r F "
r2 NAr r−(r+ ;r)2 NAr r+ ;r ;r F "
lim ;r3 2
( r2 NAr r−(r+ ;r)2 NAr r+ ;r
;r )1
F"
*
*r < r2
N&r> F "
'esolviendo la ecuación dierencial¿ r2
* ¿∫¿N &r > F ∫0*r
r 12 N &r F C$
(> Como N &r F 9cD &. *XA
*r H W&
uponiendo ue N.r no est8 en movimiento se considera ceroB
""
-
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Problemas $rans+erencia de masa Ca&5t.los 16 ird y 27 (elty
N &r W& F 9cD &. *XA
*r
N &r F 9cD &. *XA
*r
N &r F−cD AB(1− XA)
*XA
*r
i multiplicamos am(os lados de la ecuación por r2
r2 N &r F−cD AB(1− XA)
r2
*XA
*r
c> r2
N &r *r
r2 F−cD AB(1− XA) dW &
∫r1
r2
r2 N Ar
*r
r2 F ∫
XB1