Download - Problemas Geometricos Ana Cabrera
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
1/35
PROYECTO NVELES MAESTROSrea Magisterial de la
Direccin de Formacin yPerfeccionamiento Docente
GEOMETRA: PROBLEMAS
Prof. Ana CabreraI.F.D. Florida
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
2/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
EL RADIO DEL CRCULO
Teniendo en cuenta la figura, hallar elradio del crculo
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
3/35
SOLUCIN
Dado que la diagonal de 8 cm. tiene lamisma longitud que el radio del crculo, larespuesta es 8 cm.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
4/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
EL LADO DEL ROMBO
En una plaza circular de R=9 m. sequiere construir un estanque deforma rmbica, segn la figura.
Cunto mide el lado del rombo?
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
5/35
SOLUCIN
Basta con darse cuenta de que ellado AC es el radio de lacircunferencia y AE y BD son
diagonales de un rectngulo.Por lo tanto, son iguales en
longitud. Lado del rombo = 9 m.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
6/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
EL NGULO DE LAS DIAGONALES
Cuntos grados mide el ngulo queforman las dos diagonales de las
caras del cubo?
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
7/35
SOLUCIN
60. Basta observar de que se trata deun tringulo equiltero ABC trazandola diagonal BC de la otra cara.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
8/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
CIRCUNFERENCIAS SECANTES
Dos circunferencias secantes tienenpor centros P y Q. El segmento PQmide 3 cm. Por uno de los puntos (O)donde se cortas las circunferenciastrazamos una recta paralela alsegmento PQ. Sean M y N los puntosdonde corta dicha recta a lascircunferencias. Cunto mide MN?
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
9/35
SOLUCIN
MN = 6 centmetros. Trazando desdeP y Q perpendiculares al segmentoMN, obtenemos los puntos R y S.
Como MR=RO y NS=SO y RS=PQ,surge la respuesta.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
10/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
EL NGULO OBTUSO
. Cunto mide el ngulo obtusoABC? A, B y C son los puntos medios
de los lados.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
11/35
SOLUCIN
120. Slo hace falta terminar dedibujar el hexgono regular ABCDEF.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
12/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
EL NGULO EXTERIOR
En el tringulo issceles ABC elngulo A mide 50
Cul es la medida del ngulo x?
.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
13/35
SOLUCIN
Puesto que es issceles: B = C =(180-A)/2 = 130/2 = 65.
Por lo tanto: x= 180-C = 180- 65 =
115.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
14/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
SEMEJANZA DE RECTNGULOS
A una circunferencia puedeninscribirse y circunscribirse
cuadrados como muestra la figuraadjunta.
Sabiendo que el rea del cuadradoinscrito es de cuatro unidades de
superficie, qu rea tiene elcuadrado mayor?
.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
15/35
SOLUCIN
Hagmoslo girar 45 hasta la posicinque muestra la figura siguiente.
Se observa que el rea del cuadrado
mayor es el doble que la del inscrito;es decir, 8 unidades.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
16/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
NUEVE NGULOS
Calcula el valor de todos los ngulosde la figura sabiendo que el ngulo 1
vale 70..
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
17/35
SOLUCIN
El ngulo 2 mide 20.Por tratarse de un tringulo issceles(dos lados son radios) los ngulos 4y 5 son iguales.La suma de los ngulos 2, 3 y 4 es90, pues el ngulo total abarca el
dimetro.De estas dos condiciones se obtieneque la suma de los ngulos 2 y 4 esigual al ngulo 7. Y el ngulo 7 esigual a dos veces el ngulo 4. Dedonde el ngulo 2 es la mitad del
ngulo 7.Por tanto el ngulo 7 mide 40, losngulos 4 y 5 miden 20 cada uno, elngulo 6 mide 140, el ngulo 7 mide50 y los ngulos 8 y 9 son rectos
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
18/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
DE UN SOLO TRAZO, POSIBLE O IMPOSIBLE?
Un vrtice es impar si de el parten un nmero impar de caminos. Un vrticees par si de el parten un nmero par de caminos.
El problema es imposible si en la red hay ms de dos vrtices impares.
Es posible: a) Cuando todos los vrtices son pares, y entonces el punto departida puede ser cualquiera. b) Cuando no hay ms de dos vrticesimpares, y entonces el recorrido comienza por uno de ellos y termina en el
otro.
.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
19/35
SOLUCIN
Se pueden dibujar de un solo trazolos de la fila superior. Es imposiblepara los de la fila inferior.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
20/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
LOS TRES CUADRADOS.
Tenemos tres cuadrados iguales dispuestos como se muestra en la figura.Usando solamente geometra elemental (no trigonometra) demostrar que
el ngulo C es igual a la suma de los ngulos A y B..
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
21/35
SOLUCIN
La siguiente construccin muestra lasolucin del problema
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
22/35
SOLUCIN
Esta otra construccin tambin muestra la solucin del problema.Los tringulos APO y OQR son semejantes, por lo que los ngulos A y Oson iguales. Y como C=B+O, C=B+A.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
23/35
SOLUCIN
Usando trigonometra: tgA=1/3, tgB=1/2, tgC=1.tg(A+B) = ... = 1 = tgC. Luego A+B=C.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
24/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
POSAVASOS Y SERVILLETA.
Tenemos un posavasos circular y una servilleta cuadrada. Hallar el centrodel posavasos con la ayuda nicamente de la servilleta y un lpiz.
.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
25/35
SOLUCIN
Colocamos uno de los vrtices de la servilleta sobre cualquiera delos puntos de la circunferencia del posavasos.
El ngulo definido por ABC es un ngulo recto, luego elsegmento AC es un dimetro de la circunferencia. Trazamoscon un lapicero la lnea AC y repetimos la misma operacin
eligiendo como B cualquier otro punto del permetro delposavasos. Una vez trazado el segundo dimetro ya esthallado el centro de la circunferencia.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
26/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
TRINGULOS
En la figura adjunta, cunto mide B?.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
27/35
SOLUCIN
B puede tener cualquier valor.Sean x e y las dos partes en que se divide B, x la mayor.x/6 = B/10 x = 6B/10y/6 = B/15 y = 6B/15Como B = x+y. Sustituyendo:B = 6B/10 + 6B/15; o bien:
B = 3B/5 + 2B/5. Igualdad que siempre se cumple para cualquier valorde B.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
28/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
TRINGULOS y CUADRILTEROS
En la figura adjunta el tringulo rectngulo tiene el vrtice en centro delcuadrado. Cul es el rea de la parte sombreada?
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
29/35
SOLUCIN
Observe que los tringulos sombreados de la figurason iguales por ser el tringulo rectngulo. El rea
de la sombra es la cuarta parte del rea delcuadrado.
Es decir, 36/4 = 9.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
30/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
La Mediana
Probar que cada mediana de un tringulo es menor que el promedio de loslados adyacentes. En la figura adjunta, probar que x < (a+b)/2.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
31/35
SOLUCIN
Slo hay que repetir un tringulo igual al primitivo, opuesto por labase, como se muestra en la figura adjunta.
Es evidente que la diagonal de un cuadriltero no puede sermayor que la suma de dos lados consecutivos. Dividiendo pordos la diagonal queda la mediana del tringulo, que por tanto
no puede ser igual o mayor que la semisuma de los mismoslados.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
32/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
rea
Las reas rayadas de la luna y el tringulo, son iguales?
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
33/35
SOLUCIN
S, son iguales. Veamos:(AB)2 = R2 + R2 = 2R2rea del cuadrante = PiR2/4rea del tringulo = R2/2rea del segmento de arco AB = PiR2/4 - R2/2rea de la luna = Pi(AB)2/8 - (PiR2/4 - R2/2) = PiR2/4 - PiR2/4 + R2/2 =
R2/2.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
34/35
PROBLEMAS DE GEOMETRA
SUPERFICIE
La zona sombreada representa un lago. Cul es la superficie del lago?Los terrenos que lo limitan son cuadrados.
-
8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera
35/35
SOLUCIN
El lago es un tringulo rectngulo. Parahallar su rea, basta saber la longitud de loscatetos: rea = 5x12/2 = 30 m.