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G. N. BERMAN
Problemas y Ejercicios de
ANALISIS
MATEMATICO
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I
G. N. BERMAN
PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE
NÁLISIS
M TEMÁTICOTOMO 1 (CÁLCULO DIFERENCIAL)
Solucionarlopor: R. FIGUEROAG.
EDICIONES
M . F p j | LIMA - PERU
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LÍMITE Y CONTINUIDAD
DEFINICIONES PRINCIPALES1.1 Funciones de argumento entero 1331.2 Funciones de argumento continuo 141
MAGNITUDES INFINITAS
2.1 Criterios de existencia del Límite 144
FUNCIONES CONTINUAS 155
OPERACIÓN DE HALLAR LOS LÍMITES
4.1 Funciones de argumento entero 1714.2 Funciones de argumento continuo 1774.3 Límites de Funciones Trigonométricas 1914.4 Límites Exponenciales y Logarítmicas 2024.5 Diversos Límites 2104.6 Comparación de magnitudes Infinitesimales 2184.7 Algunos problemas de geometría 2274.8 Problemas de Cálculo 233
3DERIVADAL DERIVADA. VELOCIDAD DE VARIACIÓN 237
1.1 Algunos Problemas de Física 2381.2 Función Derivada 242
C o n t e n i d o _____________________________________________________ Y
1.3 Interpretación geométrica de la derivada 248
DIFERENCIACIÓN DE LAS FUNCIONES ____________________
2.1 Funciones Algebraicas 2532.2 Funciones Trigonométricas 271
2.3 Funciones Trigonométricas Inversas 2782.4 Furiciones Logarítmicas 2852.5 Funciones Exponenciales 2912.6 Funciones Hiperbólicas 2972.7 Derivación Logarítmica 3032.8 Derivadas de Funciones Diversas 3072.9 Funciones Inversas 3362.10 Funciones dadas en forma implícita 3402.11 Aplicación de la Derivada 345
DIFERENCIAL __________________________________________
3.1 Errores Pequeños 373
3.2 Interpretación geométrica de la diferencial 373
3.3 Diferenciabilidad de las funciones 387
LA DERIVADA COMO VELOCIDAD DE VARIACIÓN ___________ 394
4.1 Funciones dadas en forma paramétricas 3994.2 Velocidad de la variación del radio polar 4164.3 Velocidad de la variación de la longitud 4234.4 Velocidad del Movimiento 427
DERIVACIÓN SUCESIVA _______________________ _ ______________ 430
5.1 Funciones dadas en forma explícita 4315.2 Funciones dadas en forma implícita 4455.3 Funciones dadas en forma paramétrica 4495.4 Aceleración del movimiento 4545.5 Fórmula de Leibniz 4585.6 Diferenciales de órdenes superiores 464
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VI__________________________________________________________ Contenido
4ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES
i COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES __________________ 469
1.1 Valores máximos y mínimos de una función 4691.2 C riterio de monotonía de las funciones 4711.3 Determinación de los valores máximos y mínimos de
una función 472
APLICACIÓN DE LA PRIMERA DERIVADA____________________
2.1 Teorema de Rolle 4802.2 Teorema de Lagrange 4822.3 Teorema Cauchy 4832.4 Comportamiento de las funciones en el intervalo 4992.5 Valores máximo y mínimo de una función en un intervalo 5142.6 Desigualdades 5182.7 Problemas para hallar los valores máximos y mínimos
de las funcione s 522
APLICACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA ___________________
3.1 Valores extrem os 5223.2 Convexidad. Concavidad. Puntos de Inflexión 556
TAREAS COMPLEMENTARIAS ______________________________
4.1 La fórmula de Cauchy 5754.2 Regla de L’Hospital 5774.3 Variación asintótica de las funciones y asíntotas de laslíneas 5974.4 Análisis general de las funciones y de las líneas 610
FORMULA DE TAYLOR_________________________________ __
4.1 Fórmula de Taylor para los polinomios 6814.2 Fórmula de Taylor 4.3 Algunas aplicaciones de la fórmula de Taylor 694
1.1 FUNCIONES Y FORMAS DE SU EXPRESIÓN
C 3 3 2 & B B B Sean dados los conjuntos A={x} y 3={y}. El con-
junto formado por dos elementos {x,y}, xeA, yeB,
se llama pan de los elementos x e y.
El par de la forma {x,{x,yj}, donde xeA, yeB y {x,y}es un par da
elementos x e y se denomina pan. o/idenado de los elementos x e y,
que reciben, respectivamente, el nombre de primer y segundo ele-
mento del par ordenado. El par ordenado {x,{x,y}} se denota por
(x,y), de modo que:
(x,y) = {x,{x,y}}
El conjunto de todos los pares ordenados (x,y), xeA, yeB se lla-ma p/ioducío ca/iie-ólano de los conjuntos A y B, y se denota simbó
licamente por:
AxB = {(x,y)/xeA, yeB}
Cuando A=B, el símbolo A 2 designa el producto A*A.
Dados dos conjuntos A y B, se denomina ¿unción
de A en B, a cualquier conjunto fe AxB que aso-
cia un elemento x que pertenece a A (conjunto de partida), con
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2 Cavítulo 1: Función
uno y sólo un elemento y, que pertenece al conjunto B (conjunto
de llegada)t Esto es, un conjunto f es una función de A en B, q'
se denota f:A*B, si
i) fe AxB
ii) (x,y)ef y (x,z)ef *.y=z
El conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordena-
dos (x,y) de la función f se llama dominio o coa junio dedefini
ción de esta función y se denota por Df o Dom(f).
El conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordena-
dos (x,y) de f se llama /tango, neco/inido o conjunto de. imágenes
de esta función y se denota por: Rf o Ran(f).
En la Fig. 1.1 vemos que Dom(f)=D y Ran(f)=B. Si D=A, es decir,
cuando Dom(f)=A, se dice que f:A»B es unafuncióntotalmente de
finida o aplicación de A en B.
El conjunto de pares ordenados f={(x,y)} analizado como subcon
junto de AxB, se llama gnóifica de la función. El elemento xeA se
llama argumento de la función o va/iiatLle independiente, el ele-
mento y B, vaAiable dependiente.
Si f:A*B es una función, e? decir, un conjunto de pares ordena-
dos f={(x,y)/xeA, ycB}, que satisface las condiciones de la defi
nición 1.2, y (x.y)ef, entonces se escribe y=f(x), y se dice que
y es imagen de.x por f, es decir, f pone en correspondencia al e
lemento x el elemento y, o bien, el elemento y corresponde al e
lemento x por f.
Sección I: Nociones elementales sobre funciones 3
FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN
a) Por medio de Tablas. Una tabla es un cuadro a base de líneas
paralelas y perpendiculares donde se a
notan, en la parte superior, los valores del argumento, xi,x2
x 3, ... ,\x , y en la parte inferior, se escriben los valores
correspondientes de la función: yi,y 2,y 3, ... ,yn >
X Xi X2 X 3 Xn
y y i y2 ys yn
Ejemplo. Si f es una función de A en B tal que f:x+x2, confec-
cionar una tabla de valores para el conjuntode parti-
da A={1,0,1,2,3) y hallar la función f.
Solución, Según la definición 1.2, la ley de correspondencia de
la función es y=x2. En la parte superior de una tablacolocamoa los elementos del conjunto de partida A, y en la parte
inferior, los valores correspondientes del conjunto de llegada B
Esto es:
X 1 0 1 2 3
x2‘ 1 0 1 K 9
En consecuencia: f = { (1, 1), (0,0), (1, 1), (2,4.), (3,9)>
b) Por medio de Gráficas. Para construir la gráfica y represen-
tar una función dada se emplea un sis
tema de ejes rectangulares, en el que el eje de abscisas se u
tiliza para los elementos del dominio, y el eje de ordenadas,
para los correspondientes elementos del rango.
El conjunto de puntos (x,y) del plano XOY constituye lo que
se llama gráfica de la función dada.
c) Forma Analítica. Otra manera de expresar una función es por
medio de fórmulas o expresiones analíticas
a base de la dependencia fundamental: y=f(x).
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4 Capitulo 1: Función
Por ejemplo, si representamos por S el área del circulo y r el
radio del mismo, por geometría elemental sabemos que:
S = irr2
en la que r es un punto cualquiera del dominio y r 2 es la imagen
o punto del rango. Si designamos por f a la función S, entonces,
simbólicamente, la regla de correspondencia que rige a la ante-
rior función es:
f :r*Trr2
o sea:
Imagen de r = f(r) = irr2
f(r) es lo que llamamos S, luego:
f (r) = irr2
Otros ejemplos de funciones expresadas analíticamente son:
(1) y = /x24 , (2) y = Cosx , (3) y = XI
El dominio de una función expresada analíticamente es el conjun-
to de los valores de x para los cuales la función y adquiere un
valor real determinado. Así, para y~/x2-U , la función es real,
si: x2 ^ 0 x2 4 x^2 ó X2-2
Esto es: Dom(f) = 2] U [2, +«°>
Dado que la función es positiva ¥xeDom(f), entonces,
Ran(f) = C°*+0Í>
Es decir, la gráfica de la función (Figura 1.2) esta integramen-
te situada sobre el eje X (y^O).
Figura 1.2
Sección 1: Nociones elementales sobre funciones 5
PROBLEMAS RESUELTOS
Q La sum
no es
te esta función. Qué valores puede tomar el argumento?
So¿ación. En la figura se puede observar que uniendo el centro
del polígono convexo con todos sus vértices se forman
tantos triángulos como lados tiene
el polígono. Dado que la suma de los
ángulos interiores de ui^ triángulo
es 180° y si la suma de los ángulos
internos del polígono es S y el núme
ro de lados es n, entonces:
S = Trn (suma de los ángulos en
el centro)
o sea:
S = irn 2-n «■*■ S = 7r(n2)
El argumento n puede tomar todos los números de la serie natural,
excepto n=1 y n=2.
La función y de x está dada en. la siguiente tabla:
Argumento x 0 0. 5 1 1.5 2 3
Función y 1.5 1 0 3.2 2.6 0
Argumento x 5 6 7 8 9 10Función y 1.8 2.8 0 1.1 1.4 1.9 2.4
Construir su gráfica, uniendo los puntos con una línea ¿uaue.. Si
guiendo la gráfica y determinando los valores de la función para
x=2.5> 3.5» 4.5» 5.5, 6.5, 7.5, 8.5» 9.5» hacer la tabla mài com
p¿e.ta.
S o (.ación. Llevando el conjunto de puntos de la tabla dada sobre
un plano cartesiano XOY, obtenemos la siguiente apro-
ximación dela gráfica de la función. .
de los ángulos interiores de un polígono convexo pía
f^ción del número de sus lados. Expresar analíticamen
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6 Capítulo 1: Función
Los valores^aproximados de la función, obtenidos de la gráfica,
para los valores dados del argumento se dan en la siguiente ta-
bla:Argumento x 2.5 3.5 U. 5 5.5 6. 5 7.5 8.5
Función y 1.3 0.9 2.U 2 0.7 1.5 1.7
La función viene dada por la gráfica representada en la figu
ra 2. Atendiéndose a la gráfica contestar a las siguientes
Figura 2
Sección 1: Nociones elementales sobre funciones 7
a) Qué valares de la variable independiente hacen que la función
se anule?
b) Cuáles deben ser los valores de la variable independiente pa-
ra que la función sea positiva?
c) Cuáles deben ser los valores de la variable independiente pa-
ra que la función sea negativa?
So ¿uc¿6ri. a) La función se reduce a cero en aquellos puntos don
de la gráfica intercepta al eje X, esto es, en:
x=2 , x=1 y x=6
b) La función es positiva en aquellos puntos para los cuales la
gráfica está situada sobre el eje X, esto es, para: x<2 ,
2<x<1 y x>6.
c) La función es negativa en aquellos puntos donde su gráfica se
encuentra debajo del eje X, o sea para: 1<x<6.
U La fórmula de la ley de Coulomb expresa la relación de depen
dencia que existe entre la fuerza F de interacción de 2 car-
gas eléctricas e¡ y e¡ por una parte, y la distancia r que
media entre ellas, por otra:
P _ ei.e;
er2
Poniendo ei=e2=1 y e=1 formar la tabla de los valores de la
función dada para r=1,2,3,.•.,10 y construir.su gráfica unien
do los puntos con una línea suave.1
SoiaciAn. Si el=e2 = £=1i entonces: F = —p r
Determinamos los valores de la función F, en la sigui
ente tabla, para los valores dados dsl argumento r.
r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F 1 1/4. 1/9 1/16 1/25 1/36 1/49 1/64 1/81 1/100
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8 Capítulo 1: Función
0 Escribir la función que expresa la dependencia entre el ra-
dio r de un cilindro y su altura h siendo el volumen V=1.
Calcular los valores de r. teniendo h los siguientes valores
0.5. 1, 1.5. 2. 2.5. 3. 3.5. 4. 4.5. 5. Construir la gráfica
de la función.
Solución. Volumen del cilindro: V=Trr2h1Dado V=1, entonces:
\/ñh
Construimos una tabla con los valores del argumento h y los co-
rrespondientes valores de la función r:
h 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
r 0. 564 0.46 0.4 0.35 0.32 0.30 0.28 0.26 0.25
r
0. 5t
Expresar el área de un trapecio isósceles de bases a y b co-
mo función del ángulo a de la base a. Construir la gráfica
de la función para a=2 y b=1.
(1 ) b
So¿uc¿6n. Area del trapecio: S = ^(a+b)h
En la figura: x+b+x=a
de donde: x = ^(ab)
Pero h=xTga h = ( j jTgct
Luego, en (1): S = ( ' ^ jTgft
Para a=2 y b=1 tenemos: S = jTga
Al construir la grafica de la función debemos tener presente que
Sección 1: Nociones elementales sobre funciones 9
a 0 o o
45° O ov
O 90°
S 0 0.43 0.75 1.3 OÒ
J j E x p r e s a r la dependencia entre la longitud b de un cateto de
un triángulo rectángulo y la longitud de otro cateto, siendo
la hipotenusa constante e igual a c=5. Construir la grafica
de esta función.
Solución. Por el Teorema de Pitágoras: c2=a2+b2
Luego: 25=a2+b2 ** b = /25-a2
El cateto b es real •**■ 25a2>0 ■**■ a2<25 5<a<5
Pero como a>0 *■ 0<a<5
Dadas las funciones: a) f(x) = . b) g(x) =
hallar: f(0), f(1). f(2). f(2). f(1/2). f(/2), |f(1/2)| :
g(0), g(D , g(2). g(2), gU)..
Existen f(1) y g (1 )?
Solución. a) f(0) = 2 . f ( 2 ) = | j f = 0
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10 Capítulo 1: Función
f(1/2) = "1^2. ~ 2 = 5 , f(/2 ) = -■ = 43/21/2 + 1 /2 + 1
|±*(1/2) | = |1/2 ~ 2 | = | 1 | = 1'1 / 2 + 1 '
b ) g ( 0 ) = = 2 , g ( 1 ) = 1 = 1 , g ( 2 ) = -1.2 T 2 I = o0+1 1+1 ¿ 2+1
g(2) = ± £ * L = 4 . g U ) l £ £ L .4-2 +1 4.+1 5
No existen f(1.) y g(1) puesto que:
f(_D = z L = .» , g(_i)-1 +1 o
Q l Dada la función f(u)=u21, hallar f(1), f(a), f(a+1),
f(a1 ) y 2f{2 a).
So ¿lición. En cada caso determinamos la imagen de u por f, esto
es:
f ( D = ( 1 ) 2_1 = o , f ( a ) = a 2- 1 , f ( a + 1 ) = ( a +l ) 2- 1 =a 2+2a
f ( a - 1 ) = ( a - l ) 2- 1 = a2- 2 a , f ( 2 a ) =( 2 a ) 2- 1= 4 a 2- 1 , 2 f ( 2 a )= 8 a 2- 2
d Dadas las funciones F(x)=2x ' 2 y G(x)= 2¡x ^"2, hallar F(0),
F(2), F (3). F(1), F(2.5)» F(1.5) y G(0), G(2), G(1),
G(x), G(1)+F(1).
Solución. F (0) = 2^ ” 2 = 2- 2 = 7 , F(1) = 2' 1 ' 2 = 2- 3 = 4• 4 8
F (2) = 22 ' 2 = 2° = 1 , F (2.5) = 22 , 5 ' 2 = /2
F (3) = 2 3 " 2 = 2 , F (1.5) = 2 ' 1 , 5 ' 2 = 1 / / 3 2
G (0) = 20 - 2 = j- , G(2) = 2 I2 I~ 2 = 2° = 1 , G ( 1) =2 i~ 1 I" 2 = ^
Por definición de valor absoluto: Si x^O + |x|=x , x<0 + |x|=x
Í2 X ~ 2 , si xjOPor tanto: G(x) = < 0
( 2 x_ , si x<0
G ( 1) + F (1 ) = \ + 2 1 " 2 = \ + 1 = 1
1 - 1 - 2 1
-1 +1•2 = fCO0 +
V
|] J Dada la función G(x)=xax , hallar G(0), G(1), G(1), G(1/a),
G(á), G( a). i_a
Solución. G(0) = 0a° = 0 , G(1/a) = |(a1/a) = a a
G(1) = 1a1 = a , G(a) = a(a)a = aa+1
G(1) = 1a’1 ■=■! , G(a) = a(a)~a = a1_aa
O G(t) = t2+1, hallar G(t2) y [G(t)3 2
Solución. G(t2) = (t2)2+1 = t"+1
[jj(t)] 2 = [t2+1J 2 = t “ + 2t2 + 1
( Q F(x)= x‘*2x2 + 5. Demostrar que F(a)=F(a).
OcmoAisiación, En efecto, F(a) = a'*2a2 + 5
F ( a) = (a)"2(a)2+5 = a*2a2+5
F ( a) = F ( a)
O G(x)=x’5x. Demostrar que G(x)=G(x)
De.no¿ilación. En efecto: G(x) = (x)35(x) = (xs5x)
.\ G(x) = G(x)
H ¡ f(t)=2t2 + "^2 + \ + 5t. Demostrar que f(t) = f( )
Hcmostración. En efecto: f(i) = 2(x)2 + — — ---+ — — + 5(4)t t (1/t)2 1/t t
= + 2t2 + 5t + | = f(t)
f(t) = f(1/t)
( D f(x)=SenxCosx. Demostrar que f(1)>0.
Ormottnación. En efecto: f(1) = Sen(1)C os(1)
Como Sen( 1 )>Cos ( 1 ) * Sén( 1 )Cos ( 1 )>0
f■( 1 ) > 0
Sección 1: Nociones elementales sobre funciones ___________________________________11
C O F(x)=logx. Demostrar que F(x)+F(x1)=F£x(x+1)] .
/><nio.i¿/iación. En efecto: F(x)+F(x1) = logx + log(x1)
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12 Capítulo 1: Función
Por una de las propiedades de los logaritmos:
F(x) + F(x1) = logx(xl)
F(x) + F(x1) = F[x(x1)]
m F(x) = ax. 1) Demostrar que para cualquier valor de x es vá
lida la siguiente relación: F(x).F(x)1=0
2) Demostrar que: F(x).F(y) = F(x+y).
De.mo-i¿/iación. En efecto:
1) F(x)=a'x + F(x).F(x) = ax.a'x = a° = 1
F(x).F(x)1=0
2) F(x).F(y) = ax.ay = ax+y F(x).F(y) = F(x+y)
171 Dada la gráfica de la función y=f(x)y los valores de a y b de la varia-
ble independiente x (Figura 3), con
truir f(a) y f(b) en el dibujo. Cuál
es la interpretación geométrica dela relación: f(b)f(a)
ba Figura 3
Solución, Construimos f(a) y f(b) obte
niendo los puntos A[a,f(a)]
y B["b,f(b)3 de la función y=f(x).
En el AACB : Tga =
En la figura vemos que: BC = f(b)f(a)
AC = ba
Luego: Tga =D— 3.
Por tanto, la relación es igual a la tangente del éngu
lo formado entre la secante que pasa por los puntos A y B y el
sentido positivo del eje X.
Q Mostrar queScualquier cuerda de la gráfica de la función y=
f(x) está por encima del arco que aquella subtiende, se ve-
rifica la desigualdad: ■— ^ > f(2Ll+2_2.)
para todas las xi/x2.
Sección 1: Nociones elementales sobre funciones 13
De.nLo.ii*.ac¿6n. En efecto, sean A(xi.O) y B( x2,0) dos puntos cua-
lesquiera del eje X, tales que xi/x¡.
Sea la cuerda PQ de extremos P£xi,f(xj)l y Q[x 2»f(x2)] y que es-
tá por encima del arco PMQ.
Si D es punto medio de PQ, el seg
mentó DC es mediana del trapecio
APQB + GD
o bien:
s ñ = AP
gjj _ f(xi) + f(x2)
Pero C es punto de AB, entonces:
C(Sl£E*.0). luego: CM = f(Ü^lA)
y dado que: CD>CM, por tanto:
f ( X ! ) + f ( X 2 ) r f X l + X l }
2 2
Dada la función f (x)=x22x + 3, hallar todas las raíces de la
ecuación: a) f(x) = f(0)
b) f(x) = f(D
So¿uc¿6n. a) f(0) = (0)22(0)+3 = 3
Si f(x)=f (0) *• x22x+3 = 3
b) f(1) = (1)2 — 2(— 1)+3 = 6
Si f(x)=f(1) + x J2x+3=6
+ x22x3=0
2x = 0
x=1
x=0
x=3
x=2
f% l Dada la función f(x)=2x35x223x, hallar todas las raíces
de la ecuación f(x)=f(2).
Solución. f(2)=2(2)35(2)223(2)=10
Si f(x)=f(2) 2x 35xz23x = 10
+ 2x 3-5x 2-23x -10=0
Teniendo en cuenta que x=2 es una raíz de esta ecuación, por el
método de Ruffini podemos hallar las demás raíces, esto es:
2 5 23 10
2 -K 18 10
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14 Capítulo 1: Función
* 2 x 3 - 5 x 2 - 2 3 x - 1 0 = ( x + 2 ) ( 2 x 2 - 9 x - 5 ) = (x+2 )(x5)( 2 x + 1 )
Si 2x35x223x10=0x=2 6 x=5 ó x=1/2
son las raíces de la ecuación: f(x)=f(2 ).
O Dada la función f(x), hallar por lo menos una raíz de la e
cuación f(x)=f(a).
Solución. Si f(x)=f(a) ■*-*■ x=a
En consecuencia x=a siempre será una raíz de dicha e
cuación.
Señalar dos raíces de la ecuación f(x)=f(2Í?) si es sabido
que la función f(x) está definida en el intervalo f5 ,5}.
Hallar todas las raíces de la ecuación dada siendo f(x)=x2
12x+3.
Solución. Si f(x)=f( ~|) w x = |±i
de donde: x 22x8= 0 <»■ x=í ó x= - 2
Por otro lado: f(|±|) = (|±i)*12(frf)+3
Si f(x)=f(|±8 ) x 212x+3 = (í±8)2l2(|ͧ)+3
de donde obtenemos: x“U x 3+36x2+56x160=0
Dado que x=2 y x=i son dos raíces de la ecuación, podemos deter
minar las otras raíces por el método de Ruffini, esto es:
1 U 36 56 - 1 6 0
- 2 - 2 32 - 1 3 6 160
1 16 68 80 0
K 4 ¿ 8 80
1 - 1 2 20
x'*Ux3 + 36x2 + 56x160 = (x+2)(x4)(x 12 x+2 0 )
= (x+2 )(x4 )(x2 )(x1 0 )
Si x1* 1x3+36x2 + 56x 160 = 0 x= - 2 ó x - 2 ó x-U ó x=1 0
F(x)=x2+6 , G(x)=5x. Hallar todas las raíces de la ecuación:
F(x) = |G(x)|.
Solución. Si F(x) = |G(x) | *■ x2 + 6 = | 5x |
Sección 1: Nociones elementales sobre funciones 15
*-*■ x 2 +6 = 5x ó x 2+ 6 = 5*
*-* x 25x+6=0 ó x 2+5 x +6=0 +*•x=3 ó x=2 ó x= - 2 ó x=3
m f(x)=x+1 y g(x)=x2'. Resolver la ecuación:
|f (x) + g(x) | = |f(x) | + |g(x) |
Solución., Se tiene: | (x+1) + (x2) | = |x+l|+|x2|
|2x - 1 | = |x+ 1 1 + |x- 2 |Los valores críticos son: x=1, x=1/2 y x=2 _
Entonces, los intervalos de variación de dicha ecuación son:
x< 1 , 1íx<1 / 2 , 1/2Sx<2 , x»2
Si x<1 *• (2x1) = (x+1) (x2) **• 2x + 1 = 2x+1
Como la ecuación es válida ¥xeR *■Si = {xeR/x<1}
Si 1$x<1/2 ► (2x1) = (x+1)(x2) «> 2x+1 = 1 ♦ x=1
Pero como 1 i. Jj1 > 1 /“v> + S* = $ ,
Si 1/2íx<2 *■ (2x1) =(x+1)-(x -1) **■ 2x1 = 3 »x=2
Dado que 2 i £l/2,2 *• S 3 = í
Si xj2 *■ (2x1) = (x +1) + (x -2) ** 2x-1 = 2x1
La ecuación es válida VxeR *• Si. = {xeR/x>2}
S = S 1US2US 3US u = SiUS* = {xeR/xí1 ó x»2)
Hallar los valores de a y b en la expresión de la función:
f(x)=ax2+bx+5 para los cuales sea válida la identidad:
f(x+1)f(x) = 8x+3
Solución, Si f(x+1)f(x)=8x+3 + a(x+1)2+b(x+1)+5(ax2+bx+5)=8x+3
de donde: 2ax+(a+b) = 8x+3
Identificando coeficientes se tiene: 2a=8 , a+b=3
Resolviendo el sistema obtenemos: a=¿ y b=1
m Sea f(x)=aCos(bx+c). Cuáles deben ser los valores de las
constantes a,b y c para que se cumpla la identidad:
f(x+1)f(x)=Senx
Solución. Si f(x+1)f(x)=Senx ♦ aCos|b(x+1)+c|aCos(bx+c)=Senx
*• aCos (bx+b+c) aCos (bx+c)=Senx
Transformando a producto el primer miembro de esta ecuación se
tiene:
r '
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16 Capítulo 1: Función
- 2 a S e n ( ^ ± b ^ | + b x + c ) .S e n( ^ + b + ° -b x - c ) = Se n x
♦ -2 aS en (b x+ c+ -jj) .Sen (■£) = Sen x (1)
o bien: 2aS en( bx+ c+ | ) .Sen(|) = -Senx (2)
La igualdad (1) se verifica si: b=1 y 2aSen(|)=1
1 1Entonces: a = ---------- ------ !--- = 1,04.
2Sen(1/2) 2(0.48)
Luego, si: Sen(x+c+^) = Senx +*■ c + - =2kir
■'-* c = +2kTt , keZ
La igualdad (2) se cumple si: b=1 y 2aSen(1/2)=1
^ _ 1 = 1.042Sen(1/2)
Si Sen(x+c =■ Senx + c j = (2k+1)rr ** c = j + (2k+l)TT, keZ
*
1.2 FUNCIONES COMPUESTAS
Si f:A+B y g:B+C, entonces la función F:AK¡ defi
nida para cada xeA por la igualdad F(x)=g[f(x)j
se llama composición de las funciones f y g, o ¿unción compuesta
y se denota por gof.
De esta forma, por la definición de cada x.eA
(gof )(x) = g [f (x ) ] (1 )
J /
Kn la figura 1.3 se explica gráficamente el mecanismo de la com-
posición de dos funciones f y g, que transforman sucesivamente:
1) La función f: el punto xeDom(A) en la imagen f(x) del conjun-
to B.
,’) La función g: el punto f(x)eDom(B) en la imagen gff(x)] del
conjunto C.
I.n fórmula (1) es válida siempre que Ran( f) a Dom(g) <J>.
I.tt figura 1.3 muestra esta condición, además:
Dom(gof) = {xeDom(f)A f (x ) eDom(g)}
11n 1 mismo modo se tiene que:
(f og ) (x ) = fTg(x)] (2)
.ilompre que, Ran(g) A Dom(f y con dominio:
Dom(fog) = {xeDo m(g ) a g(x )eDom(f)}
observaciones:
(1) La composición'de funciones no es conmutativa, esto es:
(fog)(x) ¿ (gof)(x)
(■’) La composición de funciones es asociativa, es decir:
. £fo (goh)"J (x) = [(fog)ohj (x)
S <■<i ión 1: Nociones elementales sobre funciones ___________________________________12
PROBLEMAS RESUELTOS
m y = z2, z=x+1. Expresar y como función dé x.
Solución. Sean: y=f(z) y z = g,(x)
Según la fórmula (2): y=(fog)(x)=f|g(x)|=f(z)
+ y=(x+1)2=x2+2x+1
ID y=/z+1 , z=Tg2x. Expresar y como función de x.
Soiución, Si y=f(z) y z=g(x) + y=f [g(x)]=f(z)
y = /Tg 2x+1 = /sec2x = |Secx|
1 3 y = z2, z=Vx +1, x=a . Expresar y como función de t.
Solución. Si y=f(z) , z = g(x) , x=h(t) + y=[fo(goh)] (t)
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18 Cavítulo 1: Función
* y = [f°g(h(t))] = fl’g U 1)] = f (3/at + 1)
= ( 3 / a V l ) 2 = 3/ ( a t + 1 ) 2
y=Senx, v=logy, u=/l+v2. Expresar u cono función de x.
Solución. Sean: u=f(v), v=g(y), y=h(x) + u=(fogoh)(x)
+ u = fo[g(h(x))] = f[g(Senx)] =
= f[logSenx] = /l + (logSenx) 2
y=1+x, z=Cosy, v=/lz2. Expresar v como función de x.
Solución. Sean: v=f(z) , z=g(y) , y=h(x)
»■ v = (fogoh)(x) = f[g(h(x))J
> v = f[g(1+x)] = f[Cos(1+x)J = /lCos2(1+x)
= /Sen2(1+x) = |Sen(1+x)|
Presentar en forma de cadenas formadas a base de las princi
pales funciones elementales las siguientes funciones compu-estas :
(1) y=S en3x U) y = Sen2(2x+1)
(2) y = V( 1+ x) 2 (5)y = 5(3x +1)2
(3) y = log(tgx)
Solución. (1) Supongamos que: y=f(u) , u=g(x)
Si y=flg(x)] = Sen3x *• / f(u) = u>^g(x) = Senx
(2) Sean: y=f(u), u=g(x) y = f[g(x)] = 3/'(1+x)2
+ f(u) = 3/ü , g(x) = (1+x)2
(3) Sean: y=f(u) , u=g(x)
Si y = f[g(x)] = log(Tgx)
(4) Sean: y=f(u) , u=g(v), v=h(x)
+ Tf(u)=logu
|g(x)=Tgx
l'y=f (u)=u2
Si yf [g(h(x) )'J=Sen2(2x + l) -*■ i u=g(v)=Senv
I v=h(x)=2x+1
Sección 1: Nociones elementales sobre funciones 19
(5) Sean: y=f(u) , u=g(v) , v=h(x)
^ f y=f(u) = 5U
Si y=f[g(h(x))]=5í3x+1) + \ u=g(v)=v2
[v=h(x)=3x+1
f(x)=x3x, g(x) =Sen2x. Hallar: a) f [g(^/12)], b) g[f(x)],
c) g[f(2)] , d) fTgU) ] . e) f[f(x)] , f) f(f[f(x)]).
g) g f g ( x ) J .
Solución. a) f[g(ir/12)] = f[Sen(ir/6)] = f(1/2) = g ^
b) g[f(1)'J = g( 11) = g(0) = SenO = 0
c) glf(2)] = g(82) = g(6) = Sen12
d) ffg(x)] = f(Sen2x) = Sen32xSen2x = Sen2x(1Sen22x)
= Sen2xCos22x
e) f[f(x)’J = f(x3x) = (x3x) 3(x3x) = x 93x7 + 3x52x3+x
f) f[f(f(1))J = f[f(11)3 = f[f(0)] = 0
g) g[g(x)] = g(Sen2x) = Sen2(Sen2x)
0 Demostrar que es válida la siguiente forma de construir la
gráfica de la función compuesta y=f(g(x))=F(x), valiéndose
de las gráficas conocidas de las funciones correspondientes:
y=f(x), y=g(x). Del punto A de la gráfica de la función g(x) (Fi
gura 4), el cual corresponde al valor dado de la variable inde-
pendiente x, se traza una recta paralela al eje OX hasta que se
corte en el punto B con la bisectriz de los ángulos coordenados
primero y tercero. Del punto B se traza una recta paralela al e
je OY hasta que se corte con la gráfica de la función f(x) en el
punto C. Si del punto C se traza una recta paralela al eje OX,01 punto D de su intersección con la recta NN* será la gráfica
de la función F(x) correspondiente al valor tomado de x.
DemoAi/iación. En efecto, siendo Aeg •» A(x,g(x)).
Estando B en la misma horizontal que el punto A,
entonces: B(xj,g(x)). Como la ecuación de la bisectriz del pri-
mer y tercer cuadrantes es L:y=x y siendo BeL •» g(x)=x1( por tan
to: Bfxpxj). Estando Cef én la misma línea vertical que el pun-
to B, entonces: C (x i, f (xi ).), o bien: C [x i, f (g(x)) ]
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20 Capitulo 1: Función
El punto D es la intersección
de la recta horizontal que pa
sa por C con la recta verti-
cal NH1 que pasa por A, por
tanto, tiene la abscisa de A
y la ordenada de C, esto es:
D|x,f(g(x)) |. En el gráficovemos que D es la ordenada de
F(x), en consecuencia:
F(x) = (fog)(x)
NFigura U
1.3 FUNCIONES IMPLÍCITAS
Las funciones que hemos visto hasta ahora fueron las llanadas
funcione./, e.x.p llcita-i, definidas por la ecuación conocida y=f(x),
en donde f(x) era una función de una sola variable. Por ejemplo:
y = f(x) = 3x 3-5x 2+3
es una función explícita.
Si en una ecuación de dos variables tal cómo:
E(x,y):x2+y2=¿ (1)
despejamos y=f(x), obtenemos:
y = /i-x2 ó y = / 4x2
cada una de estas ecuaciones define una función de x si se espe-
cifica que a cada.número x, que pertenece al intervalo [2,2j,
le corresponde el número y=/i-x2 o bien el.número y=/¿x2, se
dice entonces que la ecuación (1) define una función implícita
de x.
I : No cio ne s e lem enta les sobr e f unc ion es 21
PROBLEMAS RESUELTOS
m Escribir en forma explícita la función y dada en forma im-
plícita mediante la siguiente ecuación:
(1) x2 + y2 = 1 . (5) 2*y = 5
(2) — 2— = 1 (6) logx + log(y +1) = 4á2 b2
(3) x 2 + y 2 =a2 (7) 2x+y (x22) = x2+7
U ) xy = C (8) (1+x)Cosy x2 = 0
\"¿uciin. Despejando y=f(x) en cada ecuación dada se tiene:
(1) y2 = 1x2 +-* y= /lx2 ó y = / Ti
(') y2 = r(x2a2) +»■ y = | /x2a2 ó y = | /x 2-e
x2
(3) y2 = a2x2 *>• y = /a2x2 ó y = /a2x2
(O xy = C *■ y X
(5) 2xy = 5 *■ xylog22 = log25 +-+ y =log25
x
1 n **(6) logx(y+1)=4 x (y +1) = 10 “ ■*>• y = —— - 1
(7) 2x+ y(x22)=x2+7 *■ (x+y)log22 + lo g2 (x22) = log2 (x2 + 7)
*■ x+y = log 2 (x2 + 7)log2 (x2 —2)
y = logz ) " x
X2 , X2v(8) (1+x)Cosyx2=0 Cosy = +*■ y=arcCos
Mostrarque para x>0 la ecuación y+|y|x|x|=0 determina la
función cuya gráfica será la bisectriz del primer ángulo co
ordenado, mientras que para son las coordenadas de todos los
puntos del tercer ángulo coordenado (incluidos sus puntos fronte
ra) las que satisfacen a la ecuación dada.
i)cino<it/iaci6n. En efecto, si x>0 s y>0 y+yxx=0 «* y=x
La gráfica es la bisectriz del primer ángulo coor
donado. Si x>0 e y<0 •* yyxx=0 x=0
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22 Capítulo 1: Función
La gráfica es el semieje negativo 01.
Si x$0 e y>0 ■+■ y+yx+x=0 +*■ y=0
La gráfica es el semieje negativo OX.
Si x^O e y<0 *■ yyx+x=0 0 = 0 , que es una identidad.
La gráfica es el conjunto de todos los puntos del tercer ángulo
coordenado.
PROPIEDADES MAS ELEMENTALES DE LAS FUNCIONES
2.1 FUNCIONES Y FORMAS DE SU EXPRESION
Anteriormente hemos visto que una función se define mediante una
regla que permite calcular para un x dado un número y (imagen de
x), mediante la ecuación y=f(x). Además, ya sabemos también, que
el conjunto de todos los valores posibles de x (argumento o va-
riable independiente) para los cuales la función queda definida
se llama dominio de definición o simplemente, .dominio de la fun-
ción.
Dado que el dominio de una función se expresa, por lo general,
en forma de intervalos, se requiere fundamentalmente el conoci-
miento de ciertos teoremas sobre desigualdades, que a continua-
ción sé da, como referencia, algunos de estos teoremas, que son
de suma utilidad para el cálculo del dominio de una función.
Tj: Si a>0 y x2<a *-*■ /a <x < /a
T2: Si a^O y x2>a <> x</aó x>/a
T 3: (xa) (xb)<0 *+ (x<a a x>b) v (x>a a x<b)Ti,: (xa)(xb)>0 (x>a a x>b) v (x<aAx<b)
T 5 : 4 0 ■*-*■ (xía a x>b) v (x>a a x<b)
T«: ^ ® (x$a A x< b) v (x>a a x>b)
T 7: Si una inecuación polinómica se descompone en factores linea
les, que no se repiten, de la forma:
(xa) (xb) (xc) (xd) S 0 (1)
ó (xa)(xb)(xc)(xd) < 0 (2)
¡i'in /, locio nes elementales sobre funciones 23
lua valores críticos, que resultan de igualar a cero cada
factor, se ubican en una escala numérica como sigue:
I,uego, se le asigna al intervalo <d,+<»> el signo positivo.
■Seguidamente se anotan, alternativamente, los signos () y
(+) sobre los intervalos contiguos a la izquierda de <d,+°°>.
K1 conjunto solución de (1) será la unión de los intervalos
positivos, y de (2). la unión de los intervalos negativos.
iu: | x | i a a x í a
T i o: |x|^a x£a 6 x^a
J 2 5 S E E B S Í IGU ALDAD DE FUNCIO NES
Dos funciones f y g se dice que son iguales, es-
to es, f=g, si se verifica que:i) Dom(f) = Dom(g)
ii) f (x) = g(x) , ¥xeDom(f)=Dom(g)
'Ejemplo. Determinar si son iguales las funciones:
f (x ) = /x+T + /x2 y g(x) = /x 2-x-2
Solución. Debemos hallar los dominios de f y g para determinar
si f=g.
f es real *► x+I O a x250 *•Dom(f) =.{xeR/x? 1 a x *2}
= {x eR/x?2} = [2,+<»)
■ es real «*■ x2x2í0 -*■ Dom(g) = {xeR/(x+1)(x2)s0}
= {x eR/x$-1 ó xS2) (Ti,)
= "0 U [2,
Como Dom(f) ^ Dom(g) *• f f g
E j^ S S E B S I ÁL GEBR A DE LAS FUNCIONES
Si f y g son dos funciones reales y tienen domi-
nios Dom(f) y Dom(g), entonces f+g, fg, f.g y f/g son funciones
definidas por las siguientes reglas de' correspondencia:
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24 Capítulo 1: Función
i) f+g = { (x,y)/y=f (x)+g(x), xeDom(f )ftDom(g)}
ii) fg = í (x,y)/y=f (x)g(x), xeDom(f)ODom(g)}
iii) f.g = { (x,y)/y=f (x).g(x), xeDom(f)flDom(g)}
iv) f/g = {(x,y)/y = lÁZl , xeDom(f)ODorn(g), g(x)/0}g(x)
Ejemplo. Dadas las funciones f={ (1,2), (2, 3). (3, 5). (4, 8)} yg={(0,5),(1,6),(2,1),(3.0)}. Hallar: f+g, f.g y f/g
Solución. Dom(f)={1,2,3,A) y Dom(g)={0,1,2,3)
Entonces: Dom(f) a Dom(g) = {1,2,3}
Luego, según la definición 1.5 se tiene:
f+g = {(1,2+6),(2,31),(3,50)} = {(1,8),(2,2),(3,5)}
f.g = {(1,2*6),(2,3X 1),(3.5X0)} = {(1,12),(2,3),(3,0)}
f/g = { (1,2:6), (2,3:1), (3, 5:0)} = {(1,1/3), (2,3)}.
Observe que 3¿Dom(f/g) porque g(3)=0.
PROBLEMAS RESUELTOS
Formar la tabla de lo.s valores de la función de argumentoi
entero y = jp , para 1<x$6
Solución. Recordando que: n! = 1.2.3...n , la tabla de los valo
res de la función dada para x=1,2,..,6, es:
x 1 2 • 3 4 5 6
y 1 1 / 2 1/6 1/24 1/120 1/720
O El valor de la función de argumento entero u=f(n) es igual
a la cantidad de números primos no mayores que n. Formar la
tabla de los valores de u para 1«n<20.
Solución, Si n=1 + u=f(.1)=0(No existe número primo < 1)
n=2 u=f(2) = 1 (Hayun número primo < 2)
n = 3 u=f(3)=2 (Hay. dos números primos < 3)
n=4 > u=f(A)=2 (Los números primos son 1 y 3)
i don 2: Propiedades más elementales de las funciones 25
Aunll/,ando la cantidad de números primos para los demás valores
i 11 obtenemos la siguiente tabla:
11 1 2 3 i 5 .6 7 8 9 10 11 12 13
u 0 1 2 2 3 3 í K k A 5 5 6
n U 1 16 17 18 19 20
u 6 6 6 7 7 8 8
C 3 El valor de la función de argumento entero u=f(n) es igual
al número de divisores enteros del argumento distintos de 1
y de la misma n. Formar la tabla de los valores de u para
1ín<20.
\<’fución. Para n=1,2 y 3 + u=0 (No existe divisores de 1,2 y 3)
n = 4 ■* u=1 (2 es divisor de 4)
n=6 *• u=2. (2 y 3 son divisores de 6)
Analizando los valores de la función para los demás valores de n,
"htenemos la siguiente tabla:
n 1 2 3 i 5 6 7 8 9 10 11 12 13
u 0 0 0 1 0 2 0 ; 3 2 0 í 0
n U 15 16 17 18 19 20
u 2 2 3 0 i 0 A
C D La figura 5 presenta una barra formada por tres segmentos
cuyas longitudes son iguales a 1:2:1 unidad de longitud, y
l peso es igual a 2,3,1 unidades de peso, respectivamente.
r’l peso del segmento AM cuya longitud es igual a x, es función, , t de x. Para que valores de x esta definida esta función? Presen-
tar su forma analítica y construir su gráfica.
1 M ■“ — 1 — 1 — 1
M M m ....” ■
'— »— ----------1 M W /M
--- V-------Y— 2g 3g lg
Figura 5
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26 Capítulo 1: Función
So¿ución. Si f(x) es el peso del segmento AM, se tiene:
2x , para 0<xí1
2 + ^(x1), para 1<x<3
x+2 , para 3<x^4
Por tanto, la función viene deter-
minada cuando 0$x$4.
o Una torre tiene la siguiente forma: Un cono circular trunca
do cuyos radios de base son 2R (inferior) y R (superior) y
cuya altura es R, sostiene un cilindro de radio R y de altura 2R.
Esta última sostiene, a su vez, una semiesfera de radio R. Expre
sar el área S de la sección transversal de la torre como función
de la distancia x que media entre la sección y la base inferior
del cono. Construir la gráfica de la función S=f(x).
So ¿ución. En el intervalo OíxsR,
sea DF=r el radio de la
sección transversal (círculo)
RAABC=ADEC ABDE
BCCF rR
. RRx
de donde: r=2Rx
S (x) =7r (2Rx) 2, para Oíx$R
En el intervalo R$x$3R, el área de
la sección transversal es constan-
te, esto es:
S(x )=ttR 2, para R$x^3R
En el intervalo 3R^x^4R« sea MK el
radio de la sección transversal.
En el AOMN : MÑ2=0Ñ20M2
Vi/ ' E
TR
2R
= R2(x3R):
.. S (x)=tt (6Rxx28R2), para 3R$xg4R
Fuera del intervalo [0,4R] la'
función S=f(x) no está deter-
minada.
2 = 6Rxx
S *
B
8R:
2R
tiR'\2R 3R 4R
Si’cción 2: Propiedades más elementales de las funciones 21
O Una esfera de radio R lleva inscrito un cilindro. Hallar la
dependencia funcional entre el volumen V del cilindro y su
altura x. Indicar el dominio de definición de esta función.
Vo¿ución, Volumen del cilindro: V=Tir2x (1)
donde r es elradio de
dicho cilindro.
En el AADC: (2R)2 =(2r)2+x2 y 2
de donde: r2= R2 -j
.".ustituyendo en (1) obtenemos:
V(x) = irx(R2 j ) , 0<x<2R
m Una esfera de radio R lleva inscrito un cono recto. Hallar
la dependencia funcional entre el área dela superficie la
i'iral S del cono y su generatriz x. Indicarel dominio de definí
i'lón de esta función.
So¿ación. Sea r=CD el radio del cono
S (x) = irrx (1)
Kn el ABDE: BE2 = BC2 + EC2
► (2R) 2=x2+ÉC 2 <* EC = / tR2x2
ABPT~APn? .BC lE . J L _ 2 RADCEACDE DC Ec r EC
x (EC ) x/ ¿R2-x 2r 2R 2R
2I.uogo, en (1): S(x) = ^ ^/¿ R2x2
Kntonces, S es real ■*-* 4R2x2>0 ** x2<4R2
.’. Dom(S) = {x eR/ x>0 a -2R<x<2R}
= {xeR/0<x<2R} = <0,2R>
tn los ejercicios 47 y ^8 hallar los dominios de definición
de las funciones que se indican.
y = 1 logx
S o ¿ación. La función y es real *-*■ x>0
.'. Dom(y) = {xeR/x>0} = ^0,+«=^
y = l o g ( x + 3 )
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28 Capitulo 1: Función
Solución. La función y es real **• x+3>0
Dom(y) = (xeR/x>3) = <3,+°°>
y = / 52x
Solución. La función y es real ■**■ 52x50 ■*•+ 2x^5
Dom(y) = {xeR/x$5/2} = <” ,5/23
y = /px , (p>0)
Solución. Si p>0, la función y es real +*■ x$0
Dom(y) = {xeR/xíO} = <<*>,0]
1
x21
Solución. y , la función y no está definida(x+1)(x1)
para x=1 , x=1. Don (y) =R{ 1,1}
x2 + 1
Solución. Dado que x2+1>0, V x e R Dom(y)=R
1
Solución. y = ----- , la función y no está definida para x(x1)
x=0 y x=1. Dom(y) = R{0,1}
2x
x23x+2
Solución. y 2x, la función no está definida pa
(x1)(x2)
ra x=1 y x=2. í)om(y) = R{1,2}
y = 1-/1 -X2
Solución. . La función es real «> 1x2 0 ■*>■ x2<?1
Dora (y) = {xeR/1^x^1} = [1,1]
1y =
/x24x
Solución. La función es real x2¿x>0 x(x4)>0
Si <rión 2: Prop iedades m ás elementales de las funciones 29
x<0 ó x>4 (T<t)
Dora (y) = {xeR/x<0 ó x>4) = <<», 0>U<4,+°°>
y = /x 2-4x+ 3
Solución. La función es real **• x 2-4x+ 3^0
«-+ (x -1) (x- 3) 50 *-*■ x$1 ó x^ 3
Dom(y) = <<*>; i"] U [ 3 ,+»>0\)
y =/x23x+2
(Tj
Solución. La función es real x 23x+2>0
«*■ (x1 )(x2)>0 •+• x<1 ó x>2
Dom(y) = <o», 1>U<2, +°°>
y = arcSen(^)
So lución. Sabemos que: 1^Seny$1 1 < ^ ^ 1
*•4 4- x 4 4
Dom(y) = 14,4]
y = arcSen(x2)
So lución. La función es real 1$x2<:1 ■*-*■ 1.sxs3
Dom(y) = [l,3j
y = arcCos(12x)
Solución. La función es real +-*■ 1¿12xi1 «*• 2$2x^0
*-*■ 0$x$1
Dora (y) = [0,1]
y = arcCos("~^X)
Solución. 3y ++ -1 4 ~^x ■$ 1 ■*-*■ 4í 12x<4
+-*■ 5í2xi3 ++ 3$ 2x^5
.*. Dora (y) = [3/2, 5/2]
y = arcSen/2x
Solución. La función es real + + 0 ^ /2x < 1 *»• 0¿:2xí1
Dom(y) = [0,3/2j
y = /í- Ix I
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30 Capitulo 1: Función
Solución. La función es real +* 1|x|£0
(T.)
Dom(y) = f1,l]
y =1
/|x|x
Solución. La función es real *-*■ |x|x>0
Si x>0 ■* xx>0
+ 0 > 0 No tiene sentido
Si x<0 •> * xx>0 ■*-*■ 2x>0 ++ x<0
Dom(y) = <°»,0>
1_______
y =/x |x|
Solución. La función es real +► x|x|>0
*-*■ |x|<x x<x A x>x
**• <t> a x>0 = <t>
Dom(y)=<í> , la función no tiene sentido.
l°g( 5xx
Solución. La función es real «*■ log( 0
Luego: -^=f- >, 1
Sabemos que si logN^O + N^1
*► x25x+4Í.O
+*• (x1)(x4)$0 1$x$4
Dom(y) = [1 ,K\
(T,)
y = logSenx
Solución. La función es real +-*■ Senx>0
Senx es positivo en el primer y se^umJo cuadran,
tes, entonces: 0 < x < ir , o bien:
2k7! < x < (2k+1)u , keZ
Dcm(y) = <2k , (2k+1)ir>, keZ
y = arcCos(2TSenx)
Solución. La función es real -t-r- - ,-------- 2+Senx
Las desigualdades se cumplen para Senx^O
+ O x ir. Dom(y) =_ f2kir, (2k + 1 )ir7 , keZ
Vi vi ¡on 2: Propiedades m ás elementales de las funciones 31
47.24
48.1
48.2
48.3
48.4
y = logx2
Solución. Como la base de todo logaritmo es positivo, di
ferente de 1, se sigue que:
Dom(y) = <0,+°°>{1}
y = 1-- ^ + /x+2* log(1x)
Solución. Sean f(x) = ]_og(lx) ^ s M = l/x+2
Si y = f(x)+g(x) *•Dom(y) = Dom(f) A Dom(g')
La función f es real «*■ 1x>0 y x^O «*■ x<1 y x^O
Dom(f) = <=>, 1> {0}
La función g es real *-*■ x+2>0 ■«*■ x$2 *• Dóm(g) = £2,+«>
Por tanto: Dom(y) = (<®>, 1 >{0} ) 0 [2,+«>>
- 2 . 0 1Dom(y) = r-2,0>U<0,1>
y = /3x + arcSen ( )
Solución. Sean: f(x) = /3x y g(x) = a r c S e n ( )
La función f es real «*• 3x 0 +*■ xg3
Entonces: Dom(f) = <“ ,3]
La función g es real ++ 1 í 3~gX S 1 +*• 5S32x<5
*-* 1 4: x U
Entonces: Dom(g) = E1»4]
Dom(y) = <°>, 3.]n [1, 4] = L1.3]
y = arcSen(^2) log(¿x)
Solución. Sean: f(x) = arcSen(^j^) y g(x) = log(Ax)
La función f es real <*■1 ^ ^ 1
■*-* 1 x< x í 5 * Dom(f) = f l . 5 jLa función g es real •*+ 4x>0 +*■ x<4 *■ í)om(g) = <<*>, 4>
Dom(y) = f l , 5]n< -“>, A > = D,4>
y = /x + ” lo g(2x3Í
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32 Capítulo 1: Función
Solución. La función y es real ** (x$0) A (x/2) a (2x3>0)
+*■ (xíO) a (x/2) * (x>3/2)
Dora (y) = <3/2,2>U<2,+°»
y = /x^T + 2/1x + /x2+1
Solución. La función y es real ■<»■ (x1^0)n (1x^0)fl (xeR)
(x»1) a (x«1) a (xeR)
.’. Dom(y) = {1}
E E I 1 y = 2 + log(x3x)4 -x 2
Solución, La función es real +*• (í-xz¿0) A (x3x>0)
<»■ (x¿±2) a (x)(x1)(x+1)>0
Los valores críticos de la segunda inecuación son:
x=0 , x=1 y x=1. Haciendo uso del Teorema 7 se tiene:
•+ 00
.'. Dom(y) = < 1, 0>U < 1, 2>U < 2, +<»>
y = logSen(x3) + /i 6x2
Sb Ilición. La función es real +-*■ (SenX3)>0) H (16x2 JO)
*-*■ (0<x3<tt ó 2tt<x3<tt) n (x2í16)
(3< x <tt + 3 ó 3-2it< x <3- tt) ^ (4<x¿4)
{3<x<rr + 3)n (4<x<4.) U (32tt<x<3 tt) 0
Dom(y) = <3277, 3-tt>U<3i 43
y = /Senx + /l6x2
Solución. La función es real ■*-+ (Senx:*0) (16x2^0)
*-* (0<xin ó 2tt^x<tt) a (x2 16)
■*-* (0gX¿7T ó 2tt$x^tt) a (4<x^4)
<»• (0$x<TT n4<X$4) u (2tt<x^-7t (1 -4í x<4)
Dom(y) = [4,-ttJ u [0,7tJ
1
/Senx+ Senx
Sí■( c ió / i 2: Pro pie dad es más ele me nta les de las fun cio nes 33
So Ilición. La función y es real «*■ Senx>0
«*■ 0 <X<7T
Dom(y) = <2kn, (2k+1)ir> , keZ
y =.log(--------- ) >yx+5x210x+2¿
Solución, La función está definida x5 > 0
x5x 2 IOx+24
> 0(x4)(x6)
Ubicando los números críticos x=4, x=5 y x=6 en una esca-
la real, por el teorema 7 se tiene:
► + 00
* - m - ñ/ í +j
Solución, Sean f(x) = y g(x) = ■A ;1'"*i /1+xx+2
La función f es real x2x+2 i- 0
+*■ x<2 ó xj.2 (Ts)
*■ Dom(f) = <00,2>U £2 , +oo>
La función g es real +-+ (1x .O) a (1+x>0)
(x^1) a (x>1) + Dom(g) = <1,ll
Dom(y) = Dom(f)'(1 Dom(g) = (*>
Dado que Dom(y) = $, la función y no está definida en par
te alguna.
y = /x3x+2 +/3+2xx2
Solución, La función es real +>• (x23x+2 5 p) A (3+2xx2>0)
+■+ (x1)(x2)$0 a (x3)(x+1)<0
ir* (x$1 ó x^2) A ( 1<x<3) " (T„ y T s)
.*. Dom(y) = <1, 1]U[2,3>
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34 Capítulo 1: Función
y = (x2+x+1 ) ' 3 / 2
S o ¿uctón. El discrimínate de la expresión x 2+x+1 es:
A = (1)24(1)(1) = 3<0 ► x 2+x+1>0, VxeR
.'. Dom(y) = R
y = log(/x- 4 + / 6x)
Solución. La función es real ■*+•/x-~A + /6x > 0
<*■ x4^ 0 a 6x^0 •**■ 4íx^6
Dom(y) = [4,6]
y = log[llog(x25x+l6)j
Solución. La función es real 1log(x25x+16)>0
*-* log(x25x+l6)< 1
Si Iog(x25x+l6)<log10 **■ x25x+16 < 10
<* (x2 )(x2 ) < 0
2<x<3 (Ts)
Dom( y) = <2, 3>
© Son idénticas las funciones:
(1) f (x) = — y g(x) = j (3) f(x) = x y g(x) = /x2x2 x
(2 ) f (x) = y g(x) = x (4 ) f (x) =logx2 y g(.x)=2 1ogx
Solución. (1) f(x) = ^ , x¿0 , g(x) = j , x O
Luego, f y g son idénticas.
(2 ) f(x) = •— = x , x^O , g(x)=x
f y g son idénticas en cualquier intervalo que no contenga
al punto x=0 .
(3) g(x) = /x2 = |x J
Si x£0 *• |x|=x , entonces:g(x) = f(x) = x
x< 0 < |x|=x *• g(x)=x
Por tanto, f y g son idénticas en el intervalo [p,+°°>
(4) f(x)=logx = 2 1ogx
Luego, f y g son idénticas en el intervalo <0,+»>.
V, i ción 2: Propiedades más elementales de las funciones 35
Pensarun ejemplo de la función dada en forma analítica.
(1 ) definida sólo en el intervalo 2<x^2
(2 ) definida sólo en el intervalo 2<x<2 y no definida para
x=0 .
(3 ) definida para todos los valores reales de x, a excep-
ción de x=2 , x=3 , x=4.
Solución. (1) Por ejemplo f(x) = /¿x 2En efecto, 3f <*• 4x2^0 ■*-*■ x24í
*-*■ -24x42
(2) Por ejemplo: f(x) = 7 + --“--x /Z^x7
En efecto, 3f •<*• x¡¿0 a ¿x2>0 +*■ x¿0 A 2<x<2
(3) Por ejemplo, f(x) = ^ 5 +
En efecto, la función f es real *->■ xcR{2,3,4)
6 ) Hallar los dominios de definición de las ramas unívocas de
la función y=f(x)dada mediantela ecuación:
(1 ) y 21+log2 (xD =0 • , (2 ) y 1,2xy 2+x 2x=0
Polución. (1 )y 2=1log2 (x1 ) = log22 log2 (x1 )
+ y = ± /log2 (J7 y) + 3 f ■<>■ log2 ("y) £ 0
~ * 1 o
'**■ 1 < x g 3 (T5)
Dom(f) = <1,3]
y2 = x ± S x2- (xzx) = x ± /x . y = ± /x ± /xLa función f es real «*■ (x + /x >, 0) u (x /x 5. 0)
Para las primeras dos ramas:x + /x ^ 0 +*■ xíO Dom(f) = £0,+“>>
Para las otras dos ramas:
x /x £ 0 **■ x >y /x
«+■ (xÿb A x2>x)
<*• (x£0 A x(x1)^0)
*-*■ (xÿO a x£1 )
Dom(f) = £l,+®>
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36 Capitulo 1: Función
2.2 CARACTERÍSTICAS DEL COMPORTAMIENTO DE FUNCIONES
5 2 2 2 S 2 S B B I FU NCIONES PARES
Una función f se dice que es una {.unción pan. si
se verifica lo siguiente:
i) xeDom(f) *■ xeDom(f)
ii) f(x) = f(x)
Observación. La gráfica de una función par es simétrica respec-
to del eje I, pues la regla de correspondencia no
se altera al sustituir x por x.
Por ejemplo, las funciones cuyas ecuaciones son de la forma y=xn
para n par, son funciones pares y sus gráficas son parábolas si-
métricas respecto del eje Y.
En particular, si n=2 y xeQ2,23,
entonces, f(x)=x2 es una función par.
En efecto, según la definición 1.6:i) xe[2,2 ] ■**■ 2íx<2
++ 2>x>2 +-*■ 2£x¿2
Luego, xe[2, 2j *■ xe £2,
ii) f(x)=(x)2=x2=f(x) + f(x)=f(x)
ÉiflflffMIftÉ FUNCIONES IMPARES
Una función f se dice que es una /unción irnpan.
si se verifica lo siguiente:
i) xeDom(f) + xeDom(f).
ii) f (x ) = f(x)
Observación. La gráfica de una función impar es simétrica res
pacto del origen de coordenadas, pues.la regla de
correspondencia no se altera al sustituir simultáneamente x por
x e y por y.
Por ejemplo., la función f(x)=xn , para n impar, es una función im
par. En particular, si n = 3 y xef1,1] f(x)= x3 , xe[1,l].
,V<•<cián 2: Propiedades más elementales de las funciones 37
Kn efecto, según la definición 1.7:
l) xe[1, 1] w 1 x 1
1 x >, 1
+*■ 1 í x 1
+*• xe [1,1.]
If) f (x) = (x)3=x3=f(x)
+» f(x) = f(x)
FUNCIONES PERIÓDICAS
Un función f se dice que es / unción pe.n.iódica si
nxiste un número T^O tal que:
i) Si xeDom(f) + (x+T)eDom(f)
ii) f(x+T) = f(x) , ¥xeDom(f)
Observación. La gráfica de una función periódica es tal que su
forma, en el primer intervalo de longitud T, se re
pite periódicamente a la derecha y a la izquierda de este inter-
valo. Por ejemplo, f(x)=Senx es una función periódica de período
T = 2tt, ya que, como se sabe: Sen(x+2ir) = Senx , ¥xeR.
PROBLEMAS RESUELTOS
___ 2 .
|.tl f(x) = ---- , indicar el dominio de definición de la función1+x2
f(x) y mostrar que dicha función es no negativa.
Solución. Como 1+x2>0 , ¥xeR, la función f es real en R, esto esDom(f) = <“ ,+«>>.
Si x<0 •> x2>0, y si x>0 + x2>0.
Además, f(x) ■= — — = — — = f(x)1 + ( x ) 2 1+x2
Luego: f(x) es una función par y f(x)^0 , •VxeR
f es una función no negativa
39
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38 Capítulo 1: Función
Hallar los intervalos de signos constantes y las raíces de
la función:
(1) y=3x6 (3) y=2x_2
(2) y=x25x+6 (4) y= x33x2+2x (5) y=|x|
Solución.. (1) Si y>0 *• 3x6>0 *-*■ x>2 (La función es positiva)
y<0 *• 3x6<0 *»■ x<2 (La función es negativa)
y=0 *• 3x6=0 ■«* x2 (Dna raíz de la fución)
(2) Si y>0■* x25x+6>0 (x2)(x3)>0
x<2 ó x>3 (La función es positiva)
Si y<0 •>x 2-5x +6<0 ■*>■ (x 2 )( x 3) <0
2<x<3 (La función es negativa)
Si y=0 x 2-5x +6=0 x=2 ó x=3 (Dos ceros de la función)
\ „(3) Si y>0 *• 2X_ >0. Como la desigualdad es válida VxeR,la
función es siempre positiva y no tiene ceros.
(4) Si y>0 x 33x2 + 2x>0 *-*■ x(x 1) (x2)>0
Ubicando los valores críticos x=0, x=1 y x=2 en unaescala
real y haciendo uso del teorema 7 se tiene:
~ 00 — . i" ..... o— ^ — — ► + oo
Luego, la función es positiva x e <0, 1>U<2,+°°>
la función es negativa +* xe<°°, 0>U< 1, 2>
y los ceros de la función son: x=0 , x=1 y x=2
(5) Si y>0|x¡>0 x>0 ó x<0 . La función es siempre positiva
Si y=0 * x=0 , es una raíz de la función.
0Qué funciones de las que se dan a continuación son pares,
impares y qué funciones no son pares ni impares?
y = x ‘*2x2
Solución. Si .f(x)=x,,2 x2 +f(x) = (x) l*2(x)2
=xl,2x2 = f(x)
.*. La función es par.
K U R y = x - x 2
mu Propiedades más elementales de las funciones 39
94,3
54 4
84.5
54.6
54.7
54.8
54.9
54.10
Solución. F (x) = xx2 *■ F(x) = x(x)2
= xx2 i F(x)
La función no es par ni impar.
y = Cosx
Solución. f(x) = Cosx ■* f(x) =Cos(x) = Cosx
.V Da función es par
y = 2X
Solución. Si f(x)=2X f(x) = 2'X = — j; t f(x)2X
La función no es par ni impar,
x 3 , x5y = x - v + í 2
3 5 3 5S o lución. Si f(x) == x r + *• f(x) =x + jr
+ f ( - X ) = - ( x -^ + f | ) = - f (X)
.*. La función es impar.
y = Senx
Solución. Si f(x)=Senx f(x)=Sen(x) = Senx = f(x) .
.'. La función es impar.
y = SenxCosx
Solución. Si f(x)=SenxCosx ■* f (x)=Sen(x)Cos(x)
=SenxCosx f(x)
.‘. La función no es par ni impar.
y = 1x2
Solución. Si f(x) = 1x2 *■ f(x)=1(x)2=1x2=f(x)
.*. La función es par.
y = Tgx
Solución. Si f(x) = Tgx + f(x) = Tg(x) = Tgx = f(x)
La función es impar.'
y = 2_xZ 2 2So lución. Si f(x)=2~x ■* f (x) = 2 x = f(x) .'. Es par
i 2 P i d d á l l d l f i 41
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40 Capitulo 1: Función
1 ! x . X\y = 2 ' a +a >
Solución. Si f(x) = Tj(ax+a x) f(x) = Tj(a’x+ax )
f(x) = f(x) La función es par.
1 /y = j ( t
So ¿uc¿6n, Si f(x) = f(x) = ^(a‘xax)
1, x X\ = ^( a a )
f(x) =f(x) La función es impar
y =
Solución. Si f(x) f(x) =
La función no eB par ni impar.
■ 1Solución. Si f(x) =■ f(x) = Ha*
1-ax
+ f(x) =
La función es impar.
= f(x)
X(Q. - 1\y = x(— — )
a +1
Solución. Si f(x) = x ( ) + f(x) = x(—— :— )
> f(x) = xí^S) =
1+ aLa función es par.
!) = f(x)
y = 2A"A
Solución. Si f(x) = 2x‘x2 +• 'f('x) = 2'x’("x^2= 2'x'x2
.'. f(x) t f(x) . La función no es par ni inpar
,, i,m 2: Propiedades más elementales de las funciones 41
Unción. Si f(x) = log(|jX ) ♦ f(x) = log(^S') = lo g( ^ )
f(x) = f(x) . La función es impar.
O Presentar cada una de las siguientes funciones como suma de
una función par y otra impar.
(1) y = x 2+3x+2 , (2) y = 1x3x*2x5
(3) y '= Sen2x + Gos| Tgx
• fuc¿6n. (1) Si f(x)=x2+2 f(x) = (x)2 + 2=x2+2 , f es par
g (x)= 3x *• g(x) = 3x = g(x) , g es impar
y = f(x) + g(x) = (x2+2) + (3x)
(.') Seaf(x) = 1x‘* ■* f (x) = 1 (x) =1xl*=f(x) , f es par
g(x)=x’2x5 > g(x)=(x)32(x)5 =x3+2x5=(x32x5)
•> g(x) = g(x) , g es impar.
y = f(x) + g(x) = (1x1*) + (x 32x5)
( l) Sea f(x)=Sen2x+Tgx ■* f(x)=Sen(2x)+Tg(x) = (Sen2x+Tgx)f(x) = f(x) , f es impar
g(x) = Cosí| 4 g(x) = Cos( &) = Costj = g(x) , g es par
y = f(x) + g(x) = (Sen2x + Tgx) + ( C o s t j )
0 Demostrar que f(x)+f(x) es una función par y que f(x)f(x)
es una función impar.
/).moAÍ/iaciin. Dada una función f(x) podemos expresarla de la si
guiente manera:
f(x) = |[f(x) + f(x)] + ^jf(x) f(x)] (1)
i llamamos: <J>(x) = •^[f(x) + f (x)J y \1j(x ) = ^[f (x)f (x)]
1 u tará probar que: <J>(x ) es par y ij)(x) es impar.
Kn ofecto: <t>(x ) = ^ff(x) + f(x)] = ~[S (x) +f(x)] = <¡>(x)
.*. (J)(x) es una función par
U<(x ) = |[f(x) f (x)]= - |[f (x) f (x)J = Ui(x.)
.'. i|j(x ) es una función impar
l
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42 Capítulo 1: Función
En (1) tenemos: f(x) = .<J)(x) + ijt(x)
lo cual demuestra que una función se puede expresar como la suma
de una función par y otra función impar.
m Presentar las siguientes funciones como suma de una función
par y otra impar.
(1) y = ax (2) y = (1+x) 10
Solución. Haciendo uso del artificio del ejercicio 56 tenemos:
t 1 , x , x% , 1t X X\(1) y = 2 + a > + 2 a " a '
(2) y = (H x ) 10 + (1x)10 + (1+x)10 (1x)10
2 2
m Demostrar que el producto de dos funciones pares es una fun
ción par, el de dos impares es una función par y el de una
par y otra impar es una función impar.
De.mo¿í/iación. En efecto, sea la función: .f(x) = tf>(x) .\p(x)
Entonces: f(x) = <!>(x) .\p(x) (1)
i) Si <!>(x) y iíj(x ) .son funciones pares, entonces:
<t>(x) = <t>(x) y vJj (x) = <|>(x)
Luego, en (1): f(x) = $ (x) .il> (x) = f(x) f(x) es par
ii) Si <t>(x) y ^(x) son funciones impares, entonces:
<t(x) = <t> (x) y i|>(x) = \p (x)
En (1): f(x) = [<t> (x)~J . f'Hx)] = <t> (x). (x)= f^x)
.’. f(x) es par
iii) Si <f>(x) es par -* 4>(x) = <t>(x)
vl)(x) es impar *• (— x) = <1j(x )
De modo que, en (1): f(x) = <í> (x). Ci|) (x)] = — (x) .\|j(x )
Entonces: f(x) = f(x) f(x) es impar.
Qué funciones de las que se dan a continuación son periódi-
cas?
(1) y = Sen2x (4) y = Sen(1/x) (7) y = j^xU
(2) y = Senx2 (5) y = 1+Tgx (8) y = x f[xj
(3) y = xCosx (6) y = 5
ion Propiedades más elementales de las funciones 43
fu, i ón. Según la definición 1.8 tenemos:
(1) Sea f(x) = Sen2x f(x+T) = Sen2(x+T)
= (SenxCosT+SenTCosx)2
: i í’(x) = f(x+T) •* Sen2x = (SenxCosT + SenTCosx)2
I.a igualdad se cumple fe' • CosT=1 y SenT = 0
T = 2tr y T = 2tt
Como el período es igual en ambos casos, la función es perío
dlca.
> Nea f(x) = Senx2 + f(x+T) = Sen(x+T)2
:U T(x) = f(x+T) *• Senx = Sen(x+T)2
l.u igualdad se cumple si T = 0, pero, según la definición 1.8
T ¿ 0, luego la función no es periódica.
i) Sea f(x) = xCosx *• f(x+T) = (x+T)Cos (x+T‘)
Si f(x) = f(x+T) *• xCosx = (x+T) (CosxCosT SenxSenT)
La igualdad se cumple si: T=0 , CosT=0 , SenT=0
«*• T=0 , T=n/2, T=27r
En consecuencia, la función no es periódica.
/,) Sea f(x)=Sen(1/x) *■ f(x+T) = Sen( ^j )
Si f(x) = f(x+T) Se n(~) = Sen (~)
La igualdad se cumple para T=0, por tanto, la función no es
periódica.
'.) Sea f(x) = 1+Tgx *• f(x+T) = 1+Tg(x+T) = 1 + Tgx * TgT1 TgxTgT
Si f(x) = f(x+T) *■ TgT = 0 ++ T=tt
Por tanto, lafunción esperiódica.
(<) Sea f(x) = 5 > f(x+T) = 5
Siendo f(x)=f(x+T), la función es periódica.7) Sea f(x) = jTxJ * f(x+T) = Qx+Tj = £xj + T
Siendo f(x) f f(x+T), la función no es periódica.
H) Sea f(x) = xfxj + f(x+T) = (x+T)|x+T]J = x+T([[xj + T)
= x HxJ
Siendo f(x)=f(x+T), la función es periódica.
44 Capítulo 1: Función Si P i d d á l t l d l f i 45
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44 Capítulo 1: Función
o Construir .la gráfica de una función periódica tal que su pe
ríodo sea T=1 y que en su intervalo semiabierto [0,1> sea
dada mediante la fórmula:
(1) y=x (2) y=x2
Solución, Dado que T=1, construiremos periódicamente las gráfi-
cas de (1) y (2) a la izquierda y a la derecha del in
tervalo [O,1>.<„ n (2):
z / y r / : 7 7 J 7 .
2 1 0 1 2 x 2 1 0 1 2
6 ) Indicar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los
intervalos en que la función dada es constante.
(1) y = Ix| (2) y = |x| x
Solución. Según la definición de valor absoluto tenemos:(1) Si xjO > |x|=x , y si x<0 *• |x'|=>
Entonces: y = f(x) 4 x , si x^O
x , si x<0
X>
y.
\ k0
Por tanto, en el intervalo <<»,0> la función f es decrecien-
te y en el intervalo <0,+°°> es creciente.
(2) Si x>0 s y=xx=0
x<0 y=xx=2x
0 , si x 0
y •
0-foo>
Entonces: y = g(x) =^2x, si x<0
Por tanto, la función g es decreciente
en el intervalo <«>,0> y constante en ¡JD,+<»>
Indicar los valores máximo y mínimo de las funciones:
(1) y=Sen2x . (3) y=1Senx
. (2) y=Cosx2 ^ y=2xZ
Solución. (1) Sabemos que 1<Senx<1 *■ 0s;Sen2x$1
Luego, el valor máximo de la función es 1, y el
Si . mu Propiedades más elementales de las funciones 45
vnlor mínimo es cero,
i hndo que 1<Cosx<_1 *• 1$Cosx2Sl
Luego., el valor máximo de la función es 1 y el valor mínimo
• 8 - 1 .
i 0 y1 = Senx ■**• 1y = Senx
Como: 1 Senx .g 1 *■ 1 S 1y í 1
+ 2 x< y ^ 0 0 v< y ^ 2Por tanto, el valor máximo de la función es 2 y el valor mí-
nimo es cero.
, x2i!, ) La función exponencial y=2 es positiva¥xeR, osea; no tie
ne un valor máximo. Para x=0 -> y=2° = 1, es elvalormínimo.
o Mediante la adición de gráficas construir la gráfica de la
función y=f(x)+g(x):
(1) Para las gráficas presentadas en la figura 6
(2) Para las gráficas presentadas en la figura 7.
•fución. Según la definición 1.5,sabemos que si: '
l'(x)+g(x) ► Dom (y ) =Dom(f) A Dom(g)
i. índonos en esta definición, por
ii i xeDom(f /\ g) se traza una línea
Mticál en donde de f+g en x se ob
• ■ne sumando los valores de f y g
• x (Ver figura). Uniendo todas
i ordenadas de f+g, con una línea
46 Capítulo 1: Función i 3 F i á i l 47
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46 Capítulo 1: Función
punteada, obtendremos la gráfica de la función yf(x)+g(x).
Conociendo la gráfica de la función y=f(x) construir la grá
fica de la función:
(1) y=|f(x)| (2) y = ¿Ilf(x) |+f(x)'J
(3 ) y = 4[|f(x)|f(x)]
Soíución, Supongamos que la gráfica
dada de y=f(x) sea la fi-
gura adjunta. Según la definición de
valor absoluto tenemos:
'f(x) , si f(x)50(1) y = |f(x)| ■
€ f(x), si f(x)<0
Como y>0, la gráfica de y f(x)
se encuentra integramente en el se
miplano superior y se obtiene a par-
tir.de la gráfica de y=f(x) reflejan
do hacia el plano superior todos los
puntos que se encuentran en el semi
plano infetior, permaneciendo idéntica la parte de y=f(x), que o
riginalmente se encontraba en el semiplano superior.
f( x) , si f(x)JO
t0 , si f(x)<0(2) y = ^rif(x)|+f(x)J
La gráfica
A
de y = -2 £ | f* (x ) |+f (x)]
se encuentra integramente sobre el
semiplano superior y es idéntica a
la gráfica de y=f(x), excepto en a
quellos intervalos en que la gráfi
ca de ésta se encuentra en el semi
plano inferior. En dichos intervalos la gráfica de y= 4£|f(x)| +
f(x)]
(3) y = gLIfU) lf(x)]_ =■/ 0l_f(x), si f(x)<0
La gráfica de y = [| f (x) | f (x)J
se halla sobre el eje X en aquellos
es constante y permaneciendo sobre el eje X.
si f(x)sO yi,
♦ x
•■i .m u 3: Funciones más simples 47
i ■mil.os de la gráfica de y=f(x) en el semiplano superior, refle
i nulo sobre este semiplano todos los puntos de la gráfica de y=
i(') situados en el semiplano inferior.
FUNCIONES MÁS SIMPLES
t 1 FUNCION LINEAL
La función lineal f:R>R está definida por la re-
gla de correspondencia:
f (x) = mx + b
l ' I" m y b son constantes y m^O.
!« r ni rica de esta función es una línea recta L cuyo coeficiente
éh(|'il'ir o pendiente es m=Tga. y cuya intersección con el eje X es'
( I' ¡ i;ura 1. 4)
||| i "i i i.cular, si m=1 y b=0, la función definida por la regla de
KPP' ".ipondencia:
f (x) = x
fH ;i llamada ¿unción idéntica, denotada por I:R>R y cuya gráfi
fl *• i mía línea recta que pasa por el origen de coordenadas (Fi
■ r * 1 . 5 ) .
Bu»1 I dominio de la función identidad está restringida a un
Ult piulo A R, entonces se denota:
IA (x) = x , VxcA
I »• . Ii/O, la función definida por la regla de correspondenK § l
f(x) = b , VxeDomCf)
I I ini /ida lunc ión constante., cuya gráfica es una línea hori
|hi>' ■ " una distancia b del eje X.
48 Capitulo 1: Función ion Funciones más simples 49
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48 Capitulo 1: Función
PROBLEMAS RESUELTOS
Sean la intensidad de corriente 1=0.8A y la tensión E=2.4V.
Aplicando la ley de Ohm, expresar analíticamente la depen-
dencia entre la intensidad de corriente y la tensión. Construir
la gráfica de la función hallada.
Solución, Según la ley de Ohm, el cociente entre la tensión o
fuerza electromotriz y la intensidad de corriente es
una constante llamada resistencia. Esto es:
de donde:
p 4 A _ o0. 8V ^
I = £1 3
>*E
Un vaso de forma cualesquiera contiene un líquido. A la pro
fundidad h=25.3cm la presión del líquido es p=18.4 gf/cm2.
a) Formar la función que expresa la dependencia entre la presión
y la profundidad.
b) Determinar la presión a la profundidad de h=14.5 cu.
c) A qué profundidad la presión resultará igual a 26.5 gf/cm2.
Solución. a) Como la presión es directamente proporsional a la
profundidad formamos la siguiente regla de tres:
p h \ * p = ^ H h = 0.727h>18.4--- * 25. 3J 25,3
b) Para h= U. 5 cm +p = 0.7 27( U.5 ) = 10.54gf/cm2
c) Para p= 26 .5 gf/cm2 *■ 26.5=0.727h + h=36.¿ cm/
m Determinar la función lineal y=ax+b, valiéndose de los si-
guientes datos:
1) X F M y 3) x y0 4 2 4.3 2.5 7.2
3 6 1.6 0 3.2 6.8
i 6 n. ) Para x= 0 , y=4 *■ 4 = a(0)+b »■ b=4
x=3 , y=6 6 = a(3)+b 1=2/3
. ion Funciones más simples 49
.\ y = |x + 4
I ■) l'ara x=2 e y=4.3 *•4.3 = 2a+b (1)
x=1.6 e y=00 = 1.6a+b (2)
¡tosolviendo (1 ) y (2) obtenemos: a=1.194 > fc=1.910
.‘. y = 1. 194x + 1.910
i «/ Para x=2.5 e y=7.2 + 7.2 = 2.5a+b (1)
x = 3.2 e y=6.8 6.8 = 3.2a+b (2)
íicsolviendo (1) y (2) obtenemos: a=0,571 , b=8.63
y = 0.51x + 8.63
j j | Un cuerpo efectúa movimiento rectilíneo bajo la acción de
la fuerza F. Partiendo de la ley de Hewton escribir la fun
I ”;i que exprese la dependencia entre la fuerza y la aceleración
m1 se sabe que cuando el cuerpo se mueve experimentando una a
1"iación de 12 m/seg2, en su trayecto S = 15 cm se realiza un tra
I•n j.> igual a W=32 'julios.
\t‘fución. Según la ley de Newton: F = mu (1)
El trabajo W es igual al producto del desplazamiento
|.nr La fuerza a lo largo del desplazamiento, esto es:
32 _ 8Vi = FxS = mtoS
■ l'O, en (1) : F =
12x15 45
I Cierta cantidad de gas ocupó el volumen de 107 cm3 a la tem
peratura de 20°C, para uña temperatura igual a 40°C el volu
"'ii llegó a ser igual a 114 cm3.
ii) Aplicando la ley de GayLussac formar la función que exprese
I a dependencia entre el volumen V y la temperatura t.I') Cuál sería el volumen a 0°C?
¡unión, a) Según la ley de GayLussac, el volumen de una masa
de gas a’ presión constante, es directamente propor
i nal a su temperatura, o sea: |r = constante
ndo el volumen una función lineal de la temperatura se tiene:
V = a+bT (1)
i a V = 107 y T = 20 107 = a+20b (2)
V=11 4 y T=40 11,4 = a+ 40b (3)
50 Capítulo 1: Función 1 / ' i á i l 51
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50 Capítulo 1: Función
Resolviendo el sistema (2) y (3) obtenemos: a=100 y b=0.35
Luego,’en (1): V = 100+0.35T
b) Para T=0, entonces: V=10Ó cm 3
CD Al comenzar un punto su movimiento uniforme a lo largo de u
na recta, al cabo de 12 seg. alcanza un punto que dista +
32.7 cm de un cierto punto de dicha recta, mientras que al cabode 20seg la distancia llegó a ser igual a +¿3.4cm. Expresar la
distancia S como función del tiempo t.
Soiución. Siendo el movimiento uniforme, el espacio recorrido
por el punto es una función lineal del tiempo, esto
es: S = a+bt (1)
Luego, para t = 12 y S = 32.7 ■* 32.7 = a+12b (2)
t=20 y S=43.¿ + O . A = a+40b (3)
Resolviendo el sistema (2) y(3) obtenemos: a=l6 . 6 y b=1.34
Por tanto, en (1): S = 16.6+1.34t
CD En' un circuito la tensión va disminuyendo uniformemente (de
' acuerdo con la ley lineal). Al comienzo del experimento la
tensión era igual a 12V y al final del mismo experimento, que du
ró 8seg, la tensión descendió hasta 6 .4.V. Expresar la tensión V
como una función del tiempo t y construir la gráfica de esta fun_
So ¿ación. Sea: V = a+bt (1)
Si t=0 y V=12 + 12=a+b(0)
t=8 y V= 6 .K ■* 6 . 4=12+8b
Resolviendo el sistema obtenemos:
a= 1 2 y b=0 .7
Luego, en (1): V = 120.7t
CD Hallar el incremento de la función lineal y=2x7 al pasar
la variable independiente x del valor Xj=3 al de x 2=6 .
Soiución., Si Ax es el incremento del argumento *• ix=x 2x 1 = 3
y si Ay es el inermento de la función, entonces:
y+Ay = 2(x+Ax)7 Ay = 2x+2Ax7> (2x7) Ay = 2Ax
.’. Ay=6
1 /■'unciones más simples 51
O »•> lar el incremento de la función lineal y=3x+1 correspon
11 ''lite al incremento de la variable independiente Ax=2.
Un . Si y=3x+1 *■ y+Ay = 3(x+Ax) + 1
■+• ( 3x+ 1) +Ay = 3x3Ax+1
((" i rulo: Ay = 3Ax = - 6
O u función y=2.5x+4 tuvo el incremento Ay=10. Hallar, el in-cremento del argumento.
\>fnrión. Si y=2.5x + 4 + y+Ay = 2.5(x+Ax)+¿
*• (2. 5x+4) +10 = 2. 5x+2. 5Ax+4
il" >l>,nde obtenemos: Ax = 4
CD Dados la función — y el valor inicial de la variaa b
ble independiente x t=ab, hallar el valor finito x 2 de la
variable independiente x para el cual el argumento Ay = — !— a b
fución. Si y —"a > y + Ay = x+Axaa b a b
xa + 1
a'b2
xa , X 2Xi
ab a b2 a2b 2
> 1 =a+b a+b
donde: x 2=2a
La función g(x) viene dada así: g(x)= | + 2 para »<x<2,
g(x)=5x para 2$x<+<». Hallar analíticamente y gráficamente,
las raíces de la ecuación g(x)=2x 4.,
W fución. Para x<2,'.si g(x) = § + 2
■+■ 2x4 = ^ + 2 x=4 i <co,2>
Pura XJ2, si g(x) = 5x 2x-U=5-x 3.
!<■ donde; x= 3 e[2 ,+»>
i'"f tant,o, x=3 es la raíz buscada.
52 Capitulo I Fun ción i.’/ir* litas simples 53
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52 Capitulo I . Fun ción
m Construir la gráfica de la función:
(1) y = |x+1 |+|x1 |
(2 ) y = |x+1 | |x- 1 |
(3 ) y =I x - 3 I - 2 lx+ 1 | +2 | x | - x +1
Se ¿ución. Los números críticos de la función (1) son: x=1,
y los intervalos de definición 'del dominio son:
X< 1 , 1<X<1 , X>1
Luego, según la definición de valor absoluto tenemos:
Si x<1 + ’y=(x+1)(x1 = 2x
1$x<1 + y = +(x+T)(x1 ) = 2
x^1 •> y = +(x+1 )+(x1 ) = 2x
x- 1
y =
si x< - 1
si 1$x<1
si xi-1
\ '■ /
/1
1 0 1
(2 ) y = Ix +1 | | x1 ]
Como en el caso anterior, los intervalos de definición del
dominio de la función son:
x<1 , 1 Sx< 1 x5.í
Si x<1
x5‘1 y = +(x +1 ) - (x -1 ) =
, si x<-1
, si -1íx<1
, si xi 1
y i
2
t
? / .
/3 1
________/función son: x= - 1 , x=0 y x=3
(3 ) y = | x -3 1-2 J x+1 | +21x | -x+1
Los números críticos de 1?
y los intervalos de definición del dominio son:
x<1 , 1$x<0 , 0gx<3 , x>3
Si x<1 •+■ y. = (x3)+2(x+1)2xx+1 = 2x+6
1.<x<0 + y = - (x3 )2 (x+ 1 ) 2xx+ 1 6x+2
0^x <3 * y = (x3 )2 (x+1 )+2xx + 1 = 2x+2
x>3 + y = (x3)2>(x+1 ) + 2xx+1 = -A
Luego, la regla de correspondencia de la función es:
i. /ir litas simples 53
i •t> , x< - 1
11 ,1$x<0
it.’ , 0^x< 3
■/. . xÿ3
i i) P*r. qué valores de x es válida la desigualdad:
I f (X ) + g (X ) J < | f (X ) | + | g (X ) I
i f (x)=x3 y g(x)=4x _
|< /...Se tiene: | (x3) + (A-x) I < |x3|+Ux| (Pero |a|=|a|)
► 1 < |x3|+|x4l
i< 3 * 1 < (x3) (x4) ++ 1<2x+7 ++ x<3 (1 )
Mi 1 < (x3)(x4) ■<"*■ 1 < 1 No es válida
/ jK * 1 < (x3) + (xi) 1<2x7 •*-*■ x>4 (2)
r t.'into, de (1) y (2): S = {xe R/x<3 ó x>4)
f D Para qué valores de x es válida la desigualdad:
|f(x) g (x)| > |f(x)| |g(x)|
si f(x)=x y g(x)=x- 2
'itinción. Sustituyendo la imagen de cada función se tiene:
I x (x2 ) | > | x| — | x—2 | **• |x | | x —2 | < 2
M x<0 *■ x + (x2 ) < 2 «+ 2< 2
La desigualdad es válida ¥xeR{0} ■+ Sj = {xeR/x<0}
i (Kx<2 x+(x2)<2 ■**■ x<2 *• S 2 '= {xeR/0<x<2}
x^2 ■* x(x2)<2 *-*■ 2 < 2 No es válida la desigualdad
r<>r lo tanto: S = Si U Sz = {x;eR/x<2}
C D La función f:(x) está definida así: en cada uno de los inter
valos n<x<n+1 , donde n es un número entero positivo, f(x)
varía linealmente, siendo .f(n)=1, f(n+1/2)=0, Construir la
54Capítulo 1: Función I / 'uncio ne s m ás s im ple s 55
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54
gráfica de esta función.
Soiuciin. Si n=0 > 0$x< 1 + f(0 ) = - 1 y f (1/2 ) = 0
n=1 »■ 1íx< 2 ♦ f(1 )=1 y f (3 /2 ) = 0
n=2 -y 2íx<3 + f(2 )=1 y f(5/2)=0
n=3 -> 3$x<¿ *• I
I 1_______
i
y f(7 / 2 )=0
3.2 FUNCIÓN CUADRÁTICA
J| gj ]J ¡2 ECnj ¿P Una función cuadrática está definida por 1 a regla de correspondencia:
f(x) = ax2+bx+c (D
donde a, b y c son constantes y a^O.
La gráfica de la función cuadrática es una parábola, la cual se
abre hacia arriba si a>0 y hacia abajo si a<0 .
Figura 1.6 figura 1.7
Si escribimos la ecuación (1) de la forma:
y = ax2+bx+c
* i ■■. |.Iutamos el cuadrado en x, se tiene:
7 = + + 71 + °
i',, i :: la ecuación de una parábola de la forma
yk = a(xh) 2 (2 )
»■i , ' vórtice es: V(h,k) = V(
....rvaciones:
( i) i a>0 (Figura 1.6), la parábola tiene su punto mínimo que
na el vértice V(h,k), es decir, k es el valor mínimo de la
['unción (1). Además, la función f decrece para xe<°°,h> y
crece para xe<h,+”>.
( ') Si a<0 (Figura 1.7), la parábola tiene tiene un punto máximo
en V(h,k), es decir, k es el valor máximo de la función (1).
Además, la función es creciente en xe<®,h> y decreciente en
xe<h,+°°>.
( l) Si f(x)=0, la función (1) tiene raíces reales siempre que el
discriminante A=b24ac£0.
a) Cuando A>0, la función f tiene dos raíces reales distin-
tas: xi^X2 (Figuras 1.6 y 1.7)., o
b) Cuando A = 0, la función f tiene una raíz doble: x]=x2=h
El vértice de las parábolas en las Figuras 1.6 y 1.7 es
tan sobre el eje X.
I/,) Si f(x)¡¿0, la función no tiene raíces reales y ocurre cuando
A = b2<5ac<0 (la gráfica de la función f no intercepta al eje
X).
PROBLEMAS RESUELTOS
C D Construir la gráfica e indicar los intervalos de crecimien-
to y decrecimiento de la función:
(1) y = jx2 (2 ) y=x2- 1 (3) y= |x21 | U) y=1x2
56 Capítulo 1: Función ■mu l Funciones más simples 57
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(8) y=2x2+3
(9) y=2x26x+¿
(1 0 ) y= 3x2+6x- 1
(11) y=|3x2+6x1|
(1 2 ) y=x|x|
y = 4 x 2
(5) y=x2x+¿
(6) y=xx2
(7) y=|xx2 |
Solución. (1) n ~ 2
Como a=1/2 (a>0), la
gráfica de la función tiene laforma que la figura 1.6, pero
con vértice en el origen.
La función crece para xe<0,'+«»
y decrece para xe<“,Q>
(2) y=x2 1 +* y+1 = (x0) 2
de donde: h=0 y k = 1 ■* V(0,1)
Siendo a=1>0, la pará’oola se abre
hacia arriba.
La función decrece para xe<“,0>
y crece para xe<0,+“>.
(3) y= ¡x 2-1 |Por definición de valor absoluto sabemos que si
x 2£1 *■ y ~x 2 1
x 2<1 *■ y = (x2 1)
fx21 , si x^1 ó x51
y = < | x2 + 1, si 1 <x< 1
La gráfica de y=x21 *->■ y + 1 = (x0)2
es una parábola con vértice en
V(0,1), pero como yjO, ¥xeR, la
porción de parábola comprendida en
1<x<1 (línea punteada) se reflejasobre el semiplano superior coinci
diendo con la gráfica de y=x2+1.
La función decrecepara xe<*>,1>U<0,1> y crece para
x e<- 1, 0>U< 1, +°°>.
(4) y=1 y 1=(x0 ) 2
Luego, h=0 y k=1 V(0,1)
Como a=1<0, la parábola se abrehacia abajo.
(9)
( 1 0 )
( 1 1 )
Completando el cuadrado para x
y.1/4. = (x1 / 2 )2 ^ y (^,|)
::iendo a=1<0 , la parábola se
ibre hacia abajo.
I.a función crece para xe<“ ,1/2>
y 'decrece para xe<1/2 ,+°°>.
» x
y^|xx*|
Por definición de valor absoluto:
Si xx2ÿ0
xx2< 0
y=xx
y=x2x
si 0<x<1• i " ’.. y = i
I x2x, si xíO 6 x£1
La gráfica de la función es simi-
lar a la del ejercicio (3 ).
La función crece para xe<0, 1/2>U< 1,+“>>,
y decrece para xe<“,0>U<1/2 ,1>
y=2x 26x+4
Completando el cuadrado para x se
tiene: y+1 / 2 = 2 (x3/2 ) 2
de donde: V(3/2,1/2)
Siendo a=2>0, la parábola se abre
hacia arriba. La función decrece
para xe<”,3/2> y crece para
xe<3/2,+">.
y=3x2+6x1
Completando el cuadrado para xobtenemos: y2 = 3(x1) 2 *■ V(1,2)
Siendo a=3<0, la parábola se ex
tiende hacia abajo.
La función crece para xe<",1> y
decrece para xe<1 , +<»>..
y=|3x 2+6x 1 |
Dado que la función es positiva VxeR, se tiene:
58 Capitulo 1: Función '/i I / 'uncio nes más simpl es 59
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Si y>0 y=3x2+6x1 ó y=3x26x+1
«*• y2 =3 (x 1 )2 ó y+2 =3 (x1 )2
De donde, los vértices de cada parábo
ia son: Vj(1,2) y V 2(1,2)
Trazamos la gráfica de la función de
la misma forma que en los ejercicios
(3) y (7).
Si y=0 •+• 3x 2-6x +1=0 **• x =
La función crece para x e < ,1>U<
y decrece para xe<°°,~ j^>ü<1 ,
(1 2 ) y=x|x|
Si x?0 , |x|=x + y=x(x)=x2
x<0 , |x|=x *■ y=x(x)=x 2
' 2 si x>0rx . si
y H 2 .L X z, SI x<0
La función es decreciente VxeR.
m Escribir en forma analítica la función unívoca definida enel intervalo <«,6]], si se sabe que su gráfica consta de
los puntos del eje OX cuyas abscisas son menores que 3. de los
puntos de la parábola que es simétrica respecto al eje 01 y que
pasa por los puntos A(3,0), B(0,5)> y de los puntos del segmen-
to CD cuyos extremos son C(3«0) y D(6,2).
Solución, Se sabe que los puntos sobre el eje OX tienen ordena-
da cero, entonces: y=0 , para X£<°°,3>.
Una parábola simétrica respecto al eje 0Y tiene su vértice en di
. cho eje, y su ecuación es de la forma: y=axa+c
Si A(3.0)ef + 0=a(3)2+c ■*-*■ 9a+c=0 •+• 9a=c
B(0,5)ef + 5=a(0) 2 + c «*■ c=5 a=5/9
y =|x2 + 5 , si xe[3,3]
El segmento CD,es representado por la función: y=ax+b
Si C(3,0)ef + 0 = 3a+b (1 )
D (6 ,2 )ef + 2 = 6a+b (2 )
i v W m d o el sistema' (1 ) y (2 ) obtenemos: a= 2/3y b= - 2
y = -|x 2 , x e < 3 ,6j
'■nito, la forma analítica de la función es:
0 '
9
i y
!iLlar el valor máximo de la función:
(1 ) y = 2x 2+x- 1 (3 ) y=5x 2
(• ) y= x23x+2(A) y=2x2+axa (5) y= a2x b2x 2
i" Un. Transformando cada ’¿na de las ecuaciones dadas a la
forma: yk ^a íx h ) 2 , se tiene:
-2x 2+x -1 + y = .2(x2 ix + ^ ) 1 + 1
~ y + 1 = _2(x - I) * ♦ V(i -1)! nogo, el valor máximo de la función es: y=7/8 , para x= 1/'¿
y i| = _(x + 1)2 + V(|,1I)y = x 3 x+2 i
v.'ilor máximo de la función: y=17tí, , para x= 3 / 2
5x2 y 5 = (x0)4¡ ■+ V(0,5)
V.'ilor máximo de la función:y^Sy para x=0
v 2x2+axS2 «*■ y + |a2 = 2£>. |)2 + V( |a2)
v.iLor máximo de la función: y = ja2 , para x=a/4
y -b 2x 2 + a2x «*■ y —? = b2 (x — 2 — )ib2 2 b2
valor máximo de la función: y=a"/4b2 , para. x=a2/2b2
Hallar el valor mínimo de la función:
(1 ) y= x* Ux - 2 (3 ) y=i3x+6x 2
(.’) y=2x21 .5x +0 .6 (4.) y=a2x2 + a2 (5 ) y= (ax + b) (ax2 b)
60 Capitulo I: Función iKtunes más simples 61
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Sotucióa. Procediendo en forma similar al ejercicio anterior
se tiene:
(1 ) y=x 2+¿x2 y+6 = (x+2)2 + V(2,6)
Valor mínimo de la función: y=6 , para x=2
(2) y = 2x2 |x + | y T| l = 2(x |)2 * V (8* 16 )
Valor mínimo de la función: y ^ , para x=3/8
(3) y = 6x 2-3x +1 +*• y g = 6(xj)2 *• ^¿»s)
Valor mínimo de la función: y=5/8 , para x=1/4
(A) y = a2x2+a2 ya 2 = a2 (x0)2 V(0,a2)
Valor mínimo de la función: y=a2 , para x=0
(5) y = a2x 2abx2b2 ** y + jb2 = a2(x j |)2 + v (2Í»*fb2)
Valor mínimo de la función: y = |t>2 , para x=b/2a
m Presentar el número a como una suma de dos sumandos tales .
que su producto sea el mayor posible.
Solución., Sea x uno de los sumandos y ax, el otro sumando.
Entonces: y=x(ax) es el producto de ambos sumandos.2
Luego: y = x2 + ax y £ = (x^)2
Vemos que el valor máximo dela función es y=a2/4, para x=a/2
Por tanto, la suma buscada es: a = ^
Presentar el número a como suma de dos números tales que 1
suma de sus cuadrados sea la menor posible.
Solución. Sean los sumandos: x y ax *• S = x2+(ax)2
* S = 2x22ax+a2 **■ S ^ = 2(x~jj)2
Luego, el valor máximo de lafunción és S=a2/2 , parax=a/2
m Se debe levantar una valla de madera al lado de un muro de
piedra para cercar un terreno rectangular. La longitud to
• luí valla es igual a 8m. Cuál debe ser la longitud de
■ pared paralela al muro para que la valla abarque la
ni posible.
Sea x la longitud de la pared paralela al muro.
Longitud de la valla: x+2y=8
y = ¿(8x)
i ¡ terreno : S xy = §(8x)
1.+ 4x S8 = ■
12„ . ^ -----
• 1/2 (a<0), el valor máximo de la función es S=8, pare
111 ■ i es la longitud pedida.
O L. :;uma de los lados de un ángulo dado de untriángulo es
ii'ual a lOOm. Cuánto deben medir loslados para que el área
•l>■ 1 triángulo sea la mayor posible?
> ión. Sea a el ángulo dado del AABC.
Si AB=x + AC=100x
* (AABC) = S = ■g(AC) (BH)
* 4(100x)(xSena) = ^Sena(100xx2)
^Sena(x2100x+2500) + 1250Sena A;
donde : S1250Sena = |sence(x50)2
■ ino a<0, el valor máximo de la función es S = 1250Sena, para x=50
■ i tanta, los lados deben medir 50m cada uno.
m Cuál de los cilindros cuyo perímetro dado de la sección a
xial es igual a p=100cm tiene la mayor área lateral?
■rfución. Sean x e y las dimensiones de la sección axial del ci
lindro. x
i p = 100 2x+2y=100 +■+ y=50x (1)
.'rea lateral del cilindro: S = 27rrb
l'nro: x=2r y h=y + S = irxy = 7rx(50x)
►S = -7r ( x 2- 50x + ó2 5) + 62 5 tt
• i S - 6 2 5 it = n ( x - 2 5 ) 2
62 Capítulo 1: Función i"ti I Funciones más simples 63
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Luego, la mayor área lateral es S=625 cm2, para x=25cm
En (1): y=5025=25cm
Por tanto, el cilindro buscado es aquel cuya sección axial es un
cuadrado.
Cuál de los conos cuyo perímetro de la sección axial es i
gual a p, tiene la mayor área lateral?
Soiución. Sean x e y, las dimensiones de la sección axial del
cono. Entonces: p=2x+y **■ y=p2x
Area lateral del cono: S=2Trrg
S = irxy = irx(p2x.) = u(2x2px)
+» s íp = 2tt(x £) 2
Como a<0, la función S tiene un máximo
para x=p/4 *■ y=p2(p/4)=p/2 »• r=p/4
Por tanto, la función S alcanza su va-
lor máximo cuando el radio de la base es r=p/'4, es decir, cuando
el cono degenera en un disco plano.
G) Consideremos un sólido cuya forma es la de un cilindro cir-
cular recto y que tiene colocado encima de él un cono (de
la misma base). El ángulo del vértice del cono es igual a 60°.
El perímetro de la sección axial es igual a 100cm¿ Cuál d'ebe ser
el radio del cilindro para que su superficie lateral sea la ma-
yor posible.
Solución. Sea x el radio del cilindro
y del cono, sea y la altura
del cilindro.
En el ACFD: CD=xCosec30°=2xPerímetro de la sección axial:
100 = AB+BC+CD+DE+AE
■* 100 = y+2x+2x+y+2x -*-*■ y=503x
Area lateral del sólido:
S = (2TTxy) + (Tix.2x) = 27rx(503x)+2TTx2 A
*■ S = (x2 2 5x) «* S6257I = ¿ff(x25/2)2
Como a<0, el valor máximo de la función es S = 62 57rcm2, para
x=12.5cm que es el radio buscado.
63
f U Un triángulo isósceles de base a y altura h lleva inscrito
un rectángulo de la manera representada en la figura 8.
1 '"i dobe ser la altura del rectángulo para que su superficie
“•■n la mayor posible?
'•■fin ión. Sean x e y las dimensiones
del rectángulo cuya área es:
S = xy ( 1)
¿DBE _ACDE
.BEBF
hhy
■•»:<>. en (1): S = f(hyy2) = f(y2hy)
'ionde ss - — - h(y - ) 22
bserva que la función tiene el valor máximo S= , cuando
» .ltura del rectángulo es la mitad de la altura del triángulo,"f.o es: y = h/2
(Q) Un cono recto dado lleva inscrito un cilindro de manera que
los planos y los centros de las bases circulares del cilin
.li" y del cono coinciden. Cuál debe ser la relación de los radi
.lo las bases del cilindro y del cono para que la superficie'
luí, ral del cilindro sea la mayor posible?
11'tución. La figura muestra la sección
axial del cono y.del cilindro.
■ mu r y h, el radio y la altura del cono
Indo. Sean x e y las dimensiones del ci-
l i n d r o inscrito cuya área lateral es:
S = 27rxy
AEFC > BHEF
h _ y
JííLFC
rrx
(1 )
y = y(rx)
en (1): S = ^^(rx) = 2lLÍ?(x2_
If"-- r -- *|
rx)
'onde: S
irhr
— (x \ ) . La función tiene el valor
S 2 ’ euana° x=r/2, es decir, el radio del cilindroser la mitad del radio del cono.
64 Capítulo 1: Función ft)!l l /■luic ione s má s simp les 65
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o Sea dado un cono recto circular cuyo radio de la base es i
gual a R y su altura H. Lleva inscrito un cilindro de mane-
ra que los planos y los centros de las bases circulares del cono
y del cilindro coinciden. Cuál debe ser el radio del cilindro pa
ra que la superficie total del mismo sea la mayor posible? Consi
derar los casos H>2R y H<2R.
Solución. La figura muestra la secciónaxial del cono y el cilindro
inscrito. Sea x e y el radio y la altu-
ra del cilindro, respectivamente.
Area lateral del cilindro:
2itx + 2irxy ( 1 )
ABGC = AEFCJ3GEF
Hy
GÇ‘ FC
RRx
Luego, en (1): S = 2ttx2 +
,HR
y = p(Rx)
2ttx.^(R-x )
= -2tt (-
■ S ' . t W x
>[*
I
■]
i RH,
' HR
- (— SS)x +HRR2H2
ttRH-2tt (-
HR.R ■
4 ( H—R ) 2
rx . _ m _ ] 2L 2 (HR)J
*irRH
2(HR)
2 (HR) n * 2 (H
Vemo"S que para H>2R, ’el radio del cilindro debe ser x
Para H<2R la superficie total del cilindro inscrito será tanto
mayor cuanto mayor sea el radio de su base.
RH2 (HR )
Cuál debe ser el radio de un círculo para que el sector cu-
yo perímetro es igual a un número dado p tenga la mayor su-
perficie posible?
Solución. Perímetro del sector: p = 2r+S
1 Pero S=ra *■ p = 2r+ra ■* a= ^(p2r)
1 1Area del sector: A = ^(r2a) = :jj(pr2r2)
= (r2 |r + E|) +
.". El radio del círculo debe ser: r=p/4
m Nim ventana de forma rectangular está rematada en la parte
mporior por un triángulo equilátero. El perímetro de la
t.MlruiM es igual a p. Cuál debe ser la base a del rectángulo pa
I.» '|m> la ventana tenga la mayor superficie posible?
(i f,,, ión. Perímetro de la ventana:
p=3a+2y » y = l(p3a)
inipurficie de la ventana es:
ay + | 2/3 = f(p3a) + f /?
donde: S 2p
6/? J
■orapletando el cuadrado en el corchete
6/3T
(a 4(6/?) 4 6/?
■i tanto, la base del rectángulo debe ser: a6/3
G) Una ventana de forma rectangular está rematada en la parte
superior por un semicírculo. Cuál debe ser la base del rec
I nnfjulo para que la ventana tenga la mayor superficie siendo el
l">rímetro igual a 2m?
'lución. Sean x e y las dimensiones
del rectángulo. El períme-
tro de la ventana es: p = x+2y+ ^(2n.^)
2 = x+2y+(f)x y = {2-x- fx)
Superficie de la ventana: S = xy + ^('g)2
(2x 5x) + jjx2 = jl(7T + 4)x2+x
Completando el cuadrado para x se tiene:
S = ^ U + 4)fx2 - ^ x + + - 2 -* + 4)11
Ty
1
* * s - i T T - $ < » *> < « - •
Por tanto, la longitud de la base del rectángulo es: x = 4ÎT+4
m De un cartón de forma rectangular de dimensiones 30*50
66 Capítulo 1: Fundón / mu 'iones más simples 67
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se deben cortar cuadrados de manera que doblando la hoja a lo
largo de las líneas punteadas (Fig.9) se obtenga una caja de su
perficie lateral máxima. Hallar el lado de los cuadrados corta-
dos.
Solución. Si x es el lado de los
cuadrados cortados,, la
superficie lateral de la caja es:
S = 2(502x)x + 2(302x)x
de donde: S = 8(x220x)
. + S = 8(xz20x+100)+800
++ S 800 = 8(x10)2
de donde obtenemos: x=10 cm
CE1 Es necesario fabricar un modelo de paralelepípedo recto de
base cuadrada con un alambre que mide 120cm.Cuánto debe me
dir la cara de la base para que la superficie total delparalela
pípedo sea la mayor posible.
Solución. Si x e y son las dimensionesdel paralelepípedo, su perí-
metro es: p=8x+4y *■ 120=8x+4y
+ y = 302x
y su superficie total es:
, S = 2x2+4xy = 2x2+4x (302x) = 6x2 + 120x
+ S = 6(x220x+100)+600 «*■ S600 = 6(x10)2
Vemos que la función tiene un máximo de S=600cm2, para x=10cm,
en consecuencia, la cara de la base debe medir 10x10cm2.
ÍTTil Se debe cortar un alambre de longitud a en dos partes. Una
parte estará destinada para hacer un cuadrado, la otra, pa-
ra un triángulo equilátero. De qué manera debe ser cortado el a
lambre para que la suma de las áreas de las figuras obtenidas
sea la menor posible?
Solución. Sea x el perímetro del triángulo equilátero y ax el
del cuadrado.
Entonces, la suma de las áreas _ _ _ _ _ _ ^ _ _ _
de las figuras a obtener es: _____ x ____ ______ a_x _____J
« S - | 2 i 4 f ) x ’ - f x * £
indo cuadrados se tiene:
r> U / 3 rv 2 _J8a 81a2 1 a2 9a2
L 9+4/3 (9+4/3) 2J 15i u L 9 + 4 /3 ( 9 + 4 / 3 ) 2J 1 6 ( 9 + 4 / 3 )
a2 + 9a2 = 9 + 4/3 ( x ____9a_ )
16(9+4/3) 144 9+4/3
2
Iu.■, en el 2do miembro, el coeficiente del paréntesis es
i/n, entonces la función S tiene un valor mínimo para
, es decir, el lado del triángulo debe ser: Z = — — —'H V3 9 + 4/3
a/3I cuadrado: L9 + 4/3
cm !•:n la recta y=x hallar un punto tal que la suma de los cua
Irados de la distancia que media entre éste y los puntos
Al <4. i)), B(a,0) y C(0,b) sea la menor posible.
Wftmi&n, Sea P(x,x)eL:y=x, el punto buscado.Si S = AP2 + BP 2 + CP2
+ S = (x+a)2+x 2+(xa)2+x2+x2+(xb)2 = 6x22bx+2a2+b2
= 6(x2 ^x + jg) + 2a2 + b2 ^
S 2a2 gb2 = 6(x g)2
t'.Mi" 6>0, la función S tiene un valor mínimo en x=b/6, por tanto,
^(l'/<), b/6) es el punto requerido.
En larecta L:y=x+2 hallar un punto tal que la suma de los
cuadrados de la distancia que media entre éste y las rec
i,!:3x4y+8=0 y L2:3xy1=0 sea la menor posible.
i’m ¿ón. Sea P(x,y)eL, el punto buscado •+■ P(x,x+2).
S = [dfP.Lj)] 2+[d(p,L2);
T3x 4 (x+2 ) + 8]2 + px(x+ 2 ) - 1
L /9 + 1 6 I L /9+1 IC * ) 2 + ( ¿2 z2 )
3 /Tó
H X 2 . 6X + _ 9 = l l ( x 2 . i o + 2 2 5 ) + _ 9 _ 92 5 5 10 2 5 V 11 12110 11
2
68 Capítulo I: Función A ti1!"'( 1 Fu ncio nes más sim óle s 69
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de donde: S = 25^x ” 11^
Como li>0, la función S tiene el valor mínimo para x=15/11.
Por tanto, el punto buscado es: P(15/11>37/11)•
Trazar la parábola y=x 2 y, valiéndose de ella, resolver
gráficamente las siguientes ecuaciones:(1) x2x2.25=0 (3) 3.1x2Ux+5. 8=0
(2) 2x23x5=0 (4.) 4x2.12x+9=0 ,
Solución. (1) x 2-x -2. 25=0 x
Supongamos que: y = x
y = x+2.25
Evidentemente, la solución gráfica de la
ecuación (1) se halla en los puntos de in
tersección de las gráficas de la parábola
y=x2 y la recta y=x+2.25.
Trazando ambas gráficas vemos, aproximada
mente, que: xi~1.1 , x í -2.1
(2) 2x 23x5=0 2x2 = 3x+5
Se an : y = 2x2
y = 3x+5.
Trazando las gráficas de ambas ecuaciones
observamos que las abscisas de sus puntos
de intersección son:
xj=1 y x2=5/2
(3) 3.1x2 Ux +5 . 8=0 >■ 3.1x2=14x5. 8
Sean: y = 3.1xz
y = Hx5.8
El trazado de las gráficas de ambas ecuaciones se deja como eje
cicio. Las abscisas dé los puntos de intersección son, aproxima
damente: Xj=0.5 y X2~4.1
4x2 = 12x9
, y = 12x9
(4) 4x 2-12 x +9=0 -►
Sean: y = 4x?
01 ii'i/.udo de las gráficas de ambas ecuaciones también queda co
1 |h l' rol ció. Las gráficas s.e interceptan enun solopunto, esto
• l. i" ocuación dada tiene una raíz doble: x¡ = x2 a 3/2
I I M 'i *8x + 7=0 3x2 = 8x7
,inan: y = 3x2
y = 8x7
f I * *i' 'imíIo las gráficas de ambas ecuaciones
I •<I x»,cvaraos que no tienen puntos de inter
I* ¡ón, es decir, la ecuación (5) no tie
tif infcos reales. En efecto:
A bJ4ac = (8)24(3)(7) = 20<0
I L U La función g(x) viene dado así: g(x)= para -“<x £11/3,
g(x)=1+x para 11/3<x<+®. Analítica y gráficamente hallar
todas las raíces reales de la ecuación [g(x)]2=7x+25.
Uu (m Un , Si g(x) = | i , x<11/3 + (|i)2=7x+25de donde: x230x99=0 **■ Xi=3 ó x2 = 33
<.. 33>11/3, se deduce que: x=3 es una raíz real
|M k (x )=1+x , x^11/3 >■ (x+1)2 = 7x+25 <*■ x25x24.=0
*->■ xj = 8 ó x 2=3
'■"mu 3< 11/3 , Xj = 8 es otra raíz real.
fu la solución gráfica se busca el
I Hit,o de intersección de la gráfica
v ,'(x) y de la parábola y2=7x+25.
(‘»ira x<11/3, la recta Li:y= ^ -
i i''.'Tcepta a la parábola en xj = 3
I x£ 1 1/3 , la recta L2:y=x+1, in
i■iccpta a la parábola en x2 = 8.
KE9 Señalar el dominio de definición de la función:
y = log(ax2+bx+c)
ución. La función y es real <+ ax2 + bx + c>0
Completando el cuadrado para x se tiene:
70 Capitulo 1: Función - a m .1: Funciones más simples 71
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— a(x2 + ■—x + — — ) + o — — > 0¿a 2 4a
r . b \2 b24ac~ a <x + 2 i } > ~ ~ á —
Si b24ac>0 y a>0, la función está definida en todo el eje real,
excepto el intervalo: xi<xíx2, donde xi y xa son las raíces del
trinomio ax2+bx+c=0
Para b24ac>0 y a<0, la función está definida sólo cuando:
X 1<X<X2,
Si b2¿ac<0 y a>0, la función está definida en todo el eje real.
Si b24ac<0 y a<0, función no está definida en parte alguna.
Para b24ac=0, la función está definida en todo el eje real, ex-
cepto un punto, a saber: x=b/2a, si a>0; pero si a<0, la fun-
ción no está definida en parte alguna.
H T Q Hallar f(x+l), dada la función f(x1)=2x23x+1.
So£uc¿6n. Si £(x1)=2x23x+1 + f[(x+1) = 2(x+1)23(x+1)+ 1
*• f(x) = 2x2+x
Luego: f(x+1) = 2 (x+1)2+(x+1) = 2xz+5x+3
lliül Mostrar que la función f(x) = --------- toma cualquier vax2+¿x+3c
lor real tsí, 0<c$1 .
3C 'f2 0De.mo-itn.ac¿6n. En efecto, sea: ----— ?■— m , donde m es cual
x2+4x+3c
quier número real, entonces:
(m1)x2+2(2m1)x+c(3ml)=0
El argumento x debe ser un número real, por consiguiente:
4(2m1) 24(m1) (3mcc) 5 0
de donde: (43c )m2 + 4( c1 )m(c1) >, 0
Pero como m es un número real esta desigualdad, a su vez,, es va-
lida sólo cuando: (43c)>0 y 16(c1)2+4(43c)(c1)^0
**• (c<4/3) a (c2cí0)
(c<4/3) a (O^cO) 1* 0 c S 1
Pero como c¡¿0 •+• 0 < c í 1
13 FUNCIÓN HOMOGRÁFICA
EZ2HHSEEESS1 Ona función homográfica es aquella definida por
la regla de correspondencia:
f(x) = bx + cdx + e
I mis b, c, d y e son constantes y dx+e^0. además be^cd:n gráfica dé una furición homográfica es la de una hipérbola e
i|h !latera, la cual puede tomar cualquiera de las formas siguien
Figura 1.9
Figura 1.10
observaciones. (1) En todas las formas dadas, el valor del para
metro t=a2/2, siendo a la distancia del cen-
tro al vértice de la hipérbola (a=semieje transverso o real)
72 Capítulo 1: Función i"ii Funciones más simples 73
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(2) Las asintotas.de las gráficas de una función homógráfica son
rectas verticales y horizontales. Así, en las figuras 1.8 y
1 .9 , las asíntotas son los ejes coordenados: x =0 , y=0 .
En las figuras 1.10 y 1.11 las asíntotas son x=h, y=k.
PROBLEMAS RESUELTOS
Aplicando la ley de Boile y Mariotte, hallar la función q 1
expresa la dependencia entre el volumen del gas y la pre-
sión a temperatura t constante si es sabido que a la presión de
760 mmHg el volumen del gas es igual a 2.31. Dibujar la gráfica
de esta función.
Soiución. Según la ley de BoileMariotte,
el. volumen de una masa de gas
a temperatura constante es directamente
proporcioñal a la presión sometida, esto
es: PV = PiVi = 760x2.3 = 1748Siendo positivos el volumen y. la presión
la gráfica de la función es una rama de
la hipérbola xy=t.
B|í| La variable x es inversamente proporcional ay: y es inver
sámente proporcional a zj z a su vez, es inversamente pro-
porcional a u. Qué dependencia existe entre x y u.
Soiución. Sea t el factor de proporcionalidad. Entonces :
xy = ti (1 )
t2 . En (1): x(— ) = ti + x = (í z = mzZ . « 2
= ¿i
yz 1 2 *• y
Pero: zu = t 3 + zU
Sustituyendo en (2) se tiene: x = m(^“3) '*‘+ xu = mt 3 = t
Por tanto, la variable x es inversamente proporcional a u.
(2 )
■ La variable x es inversamente proporcional a y: y es direc
tamente proporcional a z, z es directamente propocional a
u, que es a su vez inversamente proporcional a v. Que dependencia
.. ■ ! ¡i to entre x y v?
■ fución. Si k es el factor de proporcionalidad, tenemos:
xy = ki (1 )
t k2z , sustituyendo en (1 ): x(k2z) = ki *■ xz = = m (2 )JÍ2
• k3u , sustituyendo en (2 ): x(k3u) = a + xu = f = ki, (3 )K 3
" ■ ks »• u = ^ , en (3): x(^J*) = k* .+ x = (p*)v *■ x = kv
r tanto, la variable x es directamente proporcional a v.
cm Durante la electrólisis la cantidad de sustancia que se
desprende en el electrodo es directamente proporcional a
in intensidad de corriente: ésta es proporcional a la conductibi
i'lud del electrolito, esta última es proporcional a la concen
iración del electrolito. Dada cierta cantidad de sustancia, la
i"ricentración es inversámente"proporcional al volumen del gas
liLvente. Qué dependencia existe entre la cantidad de sustancia
'l'3prendida en el electrodo y el volumen del solvente.
V<>lución. Sean: S = Cantidad de sustanciaI = intensidad de la corriente
C = Conductibilidad del electrolito
Q = Concentración del electrolito
V = Volumen del gas solvente. .
.".ngún el enunciado: S = kil
¡'oro: I = k2C *■ S = ki(k2C) = aC
C k 3Q S = a(k3Q) = 0Q
Q = jp + S = 6 ( ) <■»• SV = k
l.n consecuencia, la cantidad de sustancia desprendida es inversa
mente proporcional al volumen del. solvente.
| Construir la gráfica de la función homográfica:
^ y x^2 ^ v = 3x7 5
^ y 3rx (4) y = ~~1T' (5) y = 3_2¿Z5x
Solución. Transformamos cada una de las ecuaciones dadas a la
forma (xh)(yk)=t, efectuando la división indicada.
74 Capítulo I: Función • rióii 3: Funciones más simples 75
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= i
i+ y - 1 = ^
+ (x2)(y1) = 1
De donde, las asíntotas de la curva
son h=2 y k=1. Pues.to que t=1>0, la
gráfica de la función es similar al
de la figura 1.10.
6 . _ 6(2) y = = 2
y*3x ' y+2 = 3x
de donde: (x3)(y+2) = 6
Asíntotas de la curva: h=3 y k=2
Como t=6<0, la gráfica de la fun
ción es similar al de la fig.1.11-2
r- - > X
To'III
Antes de efectuar la división en el segundo miembro observe-
mos que: 2(7.5) = 3(5)
No se cumple la condición de la definición 1.11* luego, la e
cuación (3) no corresponde a una función homográfica.
En efecto:
„ _ 2 (x2.5)
y*
3(x2.5)
La gráfica de la función es una
recta horizontal.
y=2/3
>x
(4) y y+2 = 2 ^
(5 )
2x 9 , 42x * 2x
(x2)(y+2) = -A
Siendo t=4<0, la gráfica de la
función es similar al de la fig.
1 . 11 .
v = ■ 47 3x.y . 32.25x
La función no es homográfica pues: 4(2.25) =.3(3)
En efecto:
y*43x _ 1612x _ A(A-3x)
32.25x ' 129x “
y = 2 » s i x¿A /33U3x)
y = 4/3
>x
Siguiendo, la gráfica hallar los valores máximo y mínimo de
la función homográfica en el intervalo indicado.
y = é . C1.5J(1 )
(2 ) y = 2x5 * (3) y = . ro a ]
•tución. En cada caso construimos una tabla de valores en el
intervalo indicado:
( 1 )= i
X 1 2 3 K 5
y A 2 A/3 1 4/5
Valor máximo: y=4 > para x=1Valor mínimo: y=4/5» para x=5
■’) y = 23^5 ’ xeC1«2j
X - 1 0 1 2
y 1 / 7 0 1 / 3 -2
Valor máximo: y=1/7 , para x=1
Valor mínimo: y=1 , para x=2
1x
X 0 1 2 3 A
y 1 0 1 / 3 1/2 3/5
Valor máximo: y=1 , para x=0
Valor mínimo: y=3/5, para x=¿
115 Demostrar: (1) si las abscisas de los cuatro puntos:
Mi(xi.yi), Mj(x2 *y2)* Mj(x3*y]), de la gráfica
de la función y=k/x (Fig. 11) se hallan en .la proporción:
76 Capitulo 1: Función a ni I . Fun cio nes má s sim ple s 77
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xi:x2 = x 3 :x'i. , los trapecios rectilíneos MiM 2N2Ni y M 3Mi,Ni»N3
son equivalentes. (2) Si los puntos Mi y M2 pertenecen a la grá-
fica de la función y=k/x (Fig. 12), las áreas de las figuras:
AiMiM2A 2 y BiMíM2B 2 son equivalentes entre si.
Demo^i/iación. (1) En efecto:
a(M iM2N2N i ) = + M2N2)(NiN2)
= 4(yi + yi) (x2 X!)
X n
i(M3Mi,NhNj
_ k (x2 + xi)(x2______2 x ix2
■ ( ÍÍ 3 M 3 '+ NuM » ) (N sN * ) = ( y 3 + y O í x * x 3)
¿(— + — )(x,2 xj xi,
x3)
Pero : 2U = ÜX 2 X *
2 2 X 2 - X l
- £ (x* + x 3 ) (x . , - X3)2 x 3xi,
2 2 2 2 2X 3 . . X 2 - X i _ X » - X 3
X ?2
Xa x?x.
de donde:X 3X<,
X 3 ) _ x 3 (x2 + X l ) (x2 X l ;X l X l X i ,
Sustituyendo en (2): a(M3Mi,N*N3 ) = £ x 3 (x2 + x t)(x2 X l )X i X i X i *
x 3 ( x 2 + X l ) ( x 2 - X l . )
X l X 2 X 3
( x 2 + X l ) ( x 2 - X l )
(1 )
(2)
(3)2 X 1X2
Comparando (1) y (3) se deduce que: a(MiM2N 2Ni) = a(M3Mi,Ni,N3)
Los trapecios rectilíneos M 1M2N 2N 1 y MsMuNuNj son equivalentes
Imi la figura 12 se tiene:
m( A i Mi M2A2) = ^ (aT m . + Á¡M2)( a Ta 2 )
= ^ ( y i + y 2 ) ( x 2 - X l ) = ) ( x 2 - X l )
= ¿ ( X 2 + X l ) ( x 2 - X l )2 xix2
u(BiMiM2B2) = ^(bTMi + b7m2)(b Tb2 ) = 4 ( x 1 + x 2 ) ( y » - y 2 )
(1)
= ^ ( x 2 + x , ) ( Í j k_ ) _ k ( x 2 + x i ) ( x 2 - x i ) ( 2 ) x 2 ~ 2 Xi x2
iíiiLmente, de (1) y (2) se deduce que:
a(A iM iM2A2) = a(BiMiM2B2)
Construir la gráfica de la función y =
dición gráfica.
mediante là a
fucíin. Si y =X T 1
x +1
x - X
Haciendo: f(x)=x y g(x)=1/x *■ y = f(x)+g(x)
■> Dom(y) = Dom(f) Dom(g) = RA(R{0}) = R {0}
Construimos, con trazo punteado, las gráficas de f(x)=x y la hi-
pérbola g(x)=l/x. Sobre un punto del eje X, tal como A, levanta'
nniH una perpendicular que intercepte a dichas gráficas en los
untos B y C respectivamente. Siendo AB=ordenada de f y AC=orde
nnda de g, sobre esta perpen
dlcular construimos:
y = AP = AB + AC
► y = f(x) + g(x)
Procediendo asi, para otros
puntos del eje X, obtendre-
mos la gráfica de la función
ilada.
78 Capítulo 1: Función • ■i ion 4 Funció n inversa 79
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FUNCIÓN INVERSA
Sea la funci°n f:A+B> donde B es el conjunto de
valores (rango). El conjunto de todos los posi_*1
bles pares ordenados de la forma (y,f (y))» yeB, forma la fun-
ción que se denomina /unción invesiAa a la función f y se denotapor f_1 ó f #, esto es, f#:B+A. La función inversa f* pone en co-
rrespondencia a cada elemento yeB su imagen f^fy), es_ deir., un
conjunto de elementos. Por esta razón, la función inversa es, en
general, una función multiforme.
Si la aplicación f:A*B es inyectiva, entonces la aplicación in-
versa, definida como siempre sobre B, es una función unívoca y
transforma B sobre A, es decir, f’*:B»A. En realidad, en este ca-
so, las imágenes de todos los puntos yeB están compuestos exacta
mente por un punto xeA (Fig. 1.12).
O b s e r v a c ió n . S i y = f ( x ) x = f * ( y ) , ¥ x e D o a ( f ) , e n t o n c e s :
a ) f*[f(x)‘J = x , V-xeA = Dom(f)
b ) f [ f » ( x ) j = y , ¥ y £ B = R a n ( f )
En e f e c t o : f * [ f ( x ) 3 = f * ( y ) = x , ¥ xe A
f [ f * ( x ) j = f ( x ) = y , Vy eB
o bien:
f * o f = I , (Identidad sobre A)
fof* = Ig (Identidad sobre B)
PROBLEMAS RESUELTOS
Hallar la función
(1) y=x (7)
(2) y=2x (8)
(3) y=13x (9)
U) y=x2+1 (10)
(5) y=l/x (11)
(6) y = ¿ x (12)
.6 n. Para determini
y = x 2 - 2 x
y-3/ x 2 +1
,._1nX1
(13) y - ^ £ 1 + 11 0 x + 1 0 ' x
(1¿) y=2Sen3x
(15) y=1+2Sen(^J)
(16) y=4arcSen/lx2
1 +2
i ! a b l e s .
( 1 ) y = x
despejar x en función de y, luego intercambiar las va
x = y + + f * ( x ) = x ó y = x
x = 1 xx 2 y 2
(3 ) y=1 -3x x = y = 1^2
(/,) y=x2 + 1 +*• x=±/y- 1 »• y=±/xí
(5) y =1/x ■» x = 1/y y = 1/x
- „ . J f c l * „ . > * 2
( 7 ) y = x 2 - 2 x ■*-*■ x = 1± /1 +y ■+■ y=1± /1+x
(8 ) y = 3/ x 2 + 1 x = ± / y 3 - 1 -►y = ±/x311 * *
(9) y = 10X ■■(> x - 1 = l o g y + y = 1 + l o g x
( 10 ) y = 1 + l o g ( x + 2 ) x + 2 = 1 0 y- 1 y = - 2 + 1 0
(11 ) y= l og 2 <-» x y=2 + yx = 2 ++ y = 2 1//x
( 1 2 ) y =1+2
2 X =
(13) y1 1 0 x - 1 0 ~ x
1 0 x + 1 0 ‘ x ^ 1 + 102x = -¿L- + 2x = lo g( ^)10 X+1 2_ y 2- y
80Capitulo 1: Función ' . i rió» 4: Función inversa 81
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( U ) y = 2 Se n 3 x ++ 3 x = a r o S e n ( ^ ) + y = ^ a r c S e n ( 2 )
1 + a r c S e n
(15) y=1+2Sen(§^) ~ ^ = arcSen(*§) x = ^ „ c S e n ^ T
„ ,x1 ,
y =l + arcSení5 )
larcSen(^p)
(16) y=4.arcSen/lx2 <+ ,/lx2 = Sen(p + x ±/lSen2( )
+ X = ±Cos(*) + y = ±Cos(2) , 0<xS2tt
R Q Demostrar que la función inversa a la función homografica
= ax+b (considerando que adbcj¿0 ) es también homográfica.^ cx+d
DzmotUación, En efecto, despejando x en función de y se tiene:
bdycxy+dy = ax+b + x =
, bdxIntercambiando variables: y - cx_g
La función inversa es también una función homografica siempre
que: abcd/0.
Cuál debe ser la condición para que la función homografica
del ejercicio 118 coincida con su inversa.
. ax+b _ bdxSo ¿ación. Si I = I *■ cx+d cxa
La igualda se cumple para a=d
Mostrar que si f (x)=nv//axn , x>0, se tiene f [f(x)]x. Ha
llar la función inversa a la f(x).
De-mo-ii/iación. En efecto: _____________
f [ f ( x ) ] = f ( V £ ? * ) = V a - (n/ ¡ ^ ? ) n
« V ¡ T ( I ^ ) = = x
Despejando x en función de y se tiene: ' _________
ax11 = [f(x)]n + xn = a[f(x)]n «*• x = n/a[f(x)]n
Intercambiando variables: fíf(x) = n/ax
|[ j| Cuál es ia característica de la gráfica de la función idén
tica a su inversa.
\<>¿ución. Sabemos que f(x)=x es la función idéntica, y como:
f[f*(x)l = f*[f(x)] = f*(x) = X
la gráfica de la función idéntica coincide con la gráfica de su
Inversa.
La función y de x viene dada por la ecuación y 21+log2(x1)
=0. Hallar el dominio de definición de la función dada y
escribir la función inversa a la dada.
Solución. y2 = 1log2 (x1) + y = /llog2 (x1)
La función y es real 1log2 (x1) >, 0
*-*■ log2 (x1) 1 *-*■ 0 < x1 í 2
1 < x ^ 3
.'. Dom(y) = 0,3]
Despejando x en funci'ón de y sé tiene:
log2 (x1) = 1 y2 «<• x = 1 + 21'y21x2
Intercambiando variables: y = 1+2 , es la función inversa.
123 La funció y.de x viene dada mediante la ecuación:
y2+Sen2xy+2=0. Hallar la función inversa a' la dada,.
Solución. Despejando x en función de y se tiene:
Sen2x = yy 22 + x = arcSen/yy22
fntercambiando variables obtenemos: y = arcSenv/xx22
4.1 FUNCIÓN POTENCIAL
CS3HBEI Una función potencial está definida por la re-
gla de correspondencia:
y = f(x ) = xn
donde n puede ser un número entero positivo, negativo o un núme-
ro racional .fraccionario.
(1) Si n es un número entero positivo, la función potencial está
82 Capítulo 1: Función •Vi ’<<ion 4: Función inversa 83
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definida en R. En este caso, cuando n es par o impar, la.grá
fica de la función toma las formas de las figuras 1.13 y
1 .H respectivamente.
(2) Si n es un número entero negativo par o impar, la función po
'tencial está definida en R{0}, y su gráfica toma la forma
de las figuras 1.15 y 1.16, respectivamente.
(3) Cuando n es un número racional fraccionario, la grafica dela función potencial toma la forma de las figuras 1.17, 1.18
y 1.19.
PROBLEMAS RESUELTOS
(1) y = ^x 2(6) y = 2x V 2
(7) y = í x3/"
Construir la gráfica de la función:.
5 ’
(2) y = ¿x2 C7) y ^
(3) y = x 3 + 3x2 (8 ) y = X 0 , 2
(4) y = x ’x+1 (9) y = x 2,1
(5) y = x $+2x2 (10)y = x 0,02
(11) y = ^x’»2
(12) y = 5x2* 5
(13) y = 1/|x|
Sotuciin. Las gráficas de las funciones (1) y (2) son parábolas
con vertice en el origen. Se deja como ejercicio*
(3) y=x3+3x2
Como el Dom(y)=R , expresamos
" función mediante la siguiente
l.nbla de valores:
X 3 2 1 0 1
y 0 i 2 0. K
■I" la gráfica de la función (3), por lo que se dejan como ejer
Oicio.
(6) y = 2x3/ 2 = 2 Á T
Como el índice del radical es un número par, la función es
real xj.0 , o sea: Dom(y) = [p,+«>>.
Su grafica tiene la misma forma que la figura 1.18.
(llj y = x0’2 = x 1/ 5
Dado que el Índice de la raíz es un número impar, entonces,
Dom(y)=R. Su gráfica tiene ,1a misma forma de la Fig. 1.19.
Al convertir los exponentes decimales a su fracción generatriz
las funciones (9) y (10), vemos que estos tienen índice par,
v i lo que sus gráficas tienen la misma forma que la Fig.1.18.
84 Capitulo 1: Función ■V<cción 4: Función inversa 85
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(1 2) 7 .
Siendo el indice de la raíz un
número par, la función es real, si y
sólo si: x>0 4 Dom(y) =<0, +°°>.
Para construir su gráfica expresamos
la función mediante la siguiente ta-
bla:
X 0 1 2 3
y <x> 5 0.88 0.32
( 13 ) y = 1 - / | x |
La función es real «>• x£0
Entonces: Dom(y)= [o»c+">
sí / j x T = i - y 1 -y *0 + + y S l
Luego: Ran(y)=<®, i]
X 0 ±1 ±4
y 1 0 1
Hallar gráficamente los valores aproximados de las raíces
reales de la ecuación: x+3 = ¿3/x2.
So¿uci6n. Sean las funciones:
y = x+3 (a)
y = (b)
La gráfica de la función (a) es una
recta y la de (b) es similar al de
la figura 1.17.
Trazando ambas gráficas vemos quelas abscisas de los puntos de inter
sección son, aproximadamente,
x i = - 0 . 5 y x 2 = 1Otro punto de intersección que, por falta de espacio, no figura
en el dibujo es x 3=54.5 . Por tanto,, dichas abscisas son las raí
ces de la ecuación dada.
125
Dibujar la parábola cúbica y=x3 y utilizarla para resolver
gráficamente las ecuaciones:
(1) x’+x4=0
(2) x 33x*x+3=0
(3) x 36x5+9x4=0
(4) x 3+3x2+6x+4=0
VoCución. (1) x 3+x4=0 *■ x 3=4x
Sean las funciones:
y=x3 y L:y=4x
A.L trazar las gráficas de la parábola
cúbica y=x 3 (ver Fig.1.14) y la recta
l>, vemos que se interceptan en un pun
l.o de abscisa: xj=1.4
l'or tanto, una solución real de la e
'■uación dada es xi = 1.4, las otras dos
r/ifces son imaginarias.
( . ' ) xs3x2x+3=0
En este caso es necesario hacer el cambio de variable: x=x'+h
aleccionando h de tal modo que el coeficiente de x'2 se reduzca
».cero, esto es: (x'+h)33(x1+h)2(x1+h)+3=0
11" donde: x 13 + 3(h1)x12+(3h26h1)x'+h 33h2h+3=0 (a)
Unciendo: h1=0 *• h=1
y sustituyendo en (a) obtenemos: x ,34x'=0
■'¡ii/tn las funciones: y = x'3 y L:y=4x'
Al trazar, en el sistema X'OY, las grá
llnas de la parábola cúbica y la recta
I. vomos que se interceptan en los pun
i"M de abscisas: x'=2, x'=0 y x'=2
■i'o como x=x'+h + -1x, = 2+1
X 2 =0 +1 = 1
x 3 = 2 + 1 = 3
"i las raíces reales de la ecuación dada.
0 x s-6 x 2+9 x -4=0
igualmente, haciendo el cambio de variable: x=x'+h se tiene:
(x'+h)36(x'+h)2+9(x'+h)4=0
■ londe: x' 3 + 3(h2)x.' 2+( 3h s12 h+9 )x' +h 6h 2 + 9h4= 0 (b)
1 ■ l 'indo : h2=0 >• h=2
' !i1 tuye ndo en (b) obt ene mos : x ' 33x' 2=0 + x ' 3 = 3x'+2
86 Capítulo 1: Función . i n i / i 4: Función inversa 87
Im gráfica de (a) es una parábola
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Sean las funciones: y = x13
L:y = 3x'+2
Al trazar las gráficas de la parábola
cúbica y la recta L, observamos que se
interceptan en el punto de abscisa
x'=2 y son tangentes en el punto de ab
scisa x'=1 (raíz doble). En consecuen
cia, si x=x'+2 , entonces:xi = 2+2 = A'
X 2 = x 3 = 1 + 2 = 1
son las raíces reales de la ecuación dada.
U) x 3+3xJ+6x + ¿=0
Según el cambio de variable: x=x'+h , se tiene:
(x'+h)3+3(x'+h)2+6(x'+h)+4=0
de donde: x '3+3(h+1)x'2 +(3h2+6h+6)x'+h +3h2+6h+A=0 (c)
Haciendo h+1=0 h=1
Sustituyendo en (c) obtenemos: x,3+3x'=0 x 13 = 3x'
Sean las funciones: y = x'3L:y = 3x'
Trazando las gráficas de ambas ecuacio
nes vemos que tienen un sólo punto de
intersección: x'=0, por tanto, si:
x = x ' + h *■ x = 1
es la única raíz real, las otras raí-
ces son imaginarias.
De acuerdo con la condición dada formar la ecuación y re
soverla gráficaaente.
(1) SI cuadrado de qué número es igual al mismo número sumado a
su valer inverso?
Solución. Sea x el número buscado
Según el enunciado:x2 = x + ^
Sean las funciones: y = x2 (ct)
y = x + ~ (6 )
127
I.m gráfica de (a) es una parábola
■• <>n vértice en el origen,
nIwiilrvese en (S) que cuando x*“>,
ni.unces, ^ *■ 0, por lo que y=x es
niin asíntota oblicua de la curva.
A.l.<más, la función no está defini
ln pora x=0, es decir, x=0 es una
(üiíntota vertical de la curva. Es
i m.", dos líneas y los puntos que se
dan en la siguiente tabla nos sir-
ven de guía para trazar la gráfica
ile dicha función.
x 0 1 2 1 2
y 00 2 2.5 2 2. 5
Las gráficas se intersectan, aproximadamente, en el punto de abs
nisa x i =1.¿65. Por tanto, el número buscado es x=1.í65
(2) Un globo de madera cuyo radio mide 10cm y cuya densidad es i
gual a 0.8g/cm3, flota sobre la superficie del agua. Hallar
la altura del segmento hundido. Rp. x = H. 2 6cm
(3) Un cubo y una pirámide de base cuadrada, ambos de madera, pe
san juntos 0.8 kgf. La arista del cubo es igual al lado de
la base de la pirámide. La altura de la pirámide mide 45cm. Ha-
llar la arista del cubo. El peso específico de la madera es 0.8
gf/cm3.
So ¿ución. Sea x la arista del cubo.
Volumen del sólido = Volumen del cubo + Volumen de la
pirámide.
*■ V = x3 + x2h = x3 + 15x2
Peos = Vxd + 800 = (x3+1$x2)0.8
da donde: x3+15x21000=0
Haciendo: x=x'+h se tiene:
(x'+h)3+15(x'+h)21000=0
de donde obtenemos:
88 Capítulo 1: Función '!jción 4: Func ión inve rsa89
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x 13+(3h+15)x 12+(3h2+30h)x1+h3+15h21000=0 (1)
Si 3h+15=0 + h=5
Sustituyendo en (1): x '$7 5x 1750 = 0
Sean las funciones: y = x'3
y = 75 x '+750
La construcción de las gráficas de ambas funciones'se deja como
ejercicio (Sug. Elegir para las ordenadas una escala de 1/100).
Dichas gráficas se interceptan en un punto cuya abscisa es, a
proximadamente, x!=11.8
Pero: x=x'+h *■ x=11.85 x=6.8cm
BR Í1 Sea dada la función y=xn, x>0. Para qué valores de x esta
función tiene valores mayores que las de la función inver-
sa y para qué valores de x tiene valores menores?
Solución. Supongamos que: f(x) = xn , y su inversa f*(x)=n/x
Veamos los casos cuando n es positivo y negativo.
Para 0<x<1 f(x) < f*(x)
Para 1<x<“> *■ f(x) > f*(x)Cuando ne<1,+°°>
Cuando ne<0, 1>Para 0<x<1 f(x) > f*(x)
Para 2<x<°° *■ f(x) < f*(x)
o j , , n, i'Para 0<x<1 + f(x) < f*(x)Cuando ne<1,0> ‘ ■, rara 1<x<“>, *■ f(x) > f*(x)
Cuando ne<»,1> <¡’Para 0<x< 1 f(x) > f»(x)Para 1<x<°° •» f(x) < f*(x)
4.2 FUNCIONES EXPONENCIALES E HIPERBÓLICAS
La función f:R*H + , cuya regla de corresponden-
cia es:
f(x) = ax
s» denomina /unción exponencial de base a, donde a es un número
positivo y diferente de 1.
A una función exponencial también se le denota por:
sxpa = ((x,y)eRxR/y=ax)
Observaciones:
(1) Si a>1. la función exponencial es en todo su domi-nio (Fig.1.20), pues:
x i < x2 >• f(xi) < f (x2 )
(2) Si 0<a<1, la función exponencial es d e c i e n t e en todo sudominio (Fig.1.21), pues:
Xl < X2 •> f(Xl) > f(x¡,)
(3) Dado que a°=1, la gráfica de toda función
por el punto P(0,1).exponencial pasa
Figura 1.21
PROBLEMAS RESUELTOS
Construir la gráfica de la función:
(D y = 2X (2) y=2x + 3
¡x3U ) y = 13
"Pudóri, (1) y =r 2X
(5) y=(^)lx l
Como 2X>0 t 2X<0
+ y < 0, ¥xcRdecir, la gráfica de la función es
"■■nejante al de la figura 1.20 refleja
11 en el semiplano inferior. Además p¡
' por el punto P(0,1).
(3) y = j(3x )
(6) y = 2‘x2
90 Capítulo I: Función
(2 )
Sección 4: Función inversa 91
<°°,0> . Observe que la unión de las gráficas de ambas funciones
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(2 ) y = 2 X + 3
Haciendo x'=x+3, desplazamos el
eje Y paralelamente 3 unidades a su
izquierda. Como la base a=2>1, la
y Igráfica de y ' = 2 tiene la forma se
mejante al de la figura 1.20. Obser
ve que en el sistema X'O'Y 1 el pun-to P tiene coordenadas (0,1).
(3) y = j(3x) = 3X " 1
Haciendo x'=x+1, desplazamos el
el eje Y una unidad a su derecha y
siendo la base 3> 1, la gráfica de
y 1=3X', tiene también el aspecto de
la figura 1 .2 0.
>x
U ) y = 13,x3 y- 1 = 3
,x3
Haciendo x'=x3 , y'=y1
trasladamos los ejes coordenados al
nuevo origen 0'(3*1) y cómo a= 3>1,
la gráfica de y'=3X tiene la mis
misma forma que la gráfica de la fi
gura anterior pero reflejada en el
semiplano inferior del sistema X'Y'.
(5) y = ( ^ ) |x|'
a) Si x>0 + |x|=x *■ y = ( )X
Siendo 0 < < 1, la gráfica' de es
ta función es decreciente y tiene
el aspecto de la figura 1 . 2 1 en el
intervalo [0 ,+°°>.
b) Si x<0 > |x|=x y = (^)”X ■=
Siendo a=2>1, la gráfica de estafunción es creciente y tiene
la forma semejante al de la figura 1 .2 0 , en el intervalo
, q
coinciden en el punto P(0,1).
(6 ) y=2 - x 2
En este caso, la gráfica de la
función tiene la forma de la gráfi
ca de la función del ejercicio (5 ),
pues, para xe<°°, 0> la función escreciente y decreciente en el Ínter
valo |0,+”>. Además, para x=0 y=1
Valiéndose de la gráfica de la función y=2x y sin recurrir
a otros cálculos, construir la gráfica de la función:x- 1
(1 ) y = 2X_1 (2 ) y = ^(2 ) x / 2 (3 ) y = 3 (2 ) 2 + 1
Soiuciin. Construyamos la gráfica de la función y=2x y veamos
algunas de sus caracterís,
ticas principales.
a) Es creciente ¥xeR, con Dom(y)=R y
Ran(y)=|0,+»>.
b) Intercepta al eje Y ón (0,1).
c) Tiene por asíntota el eje X (y=0).
Según estas observaciones construya-
mos las gráficas de las funciones dadas.
(1 ) y = 2X_1
La gráfica de esta función se con
sigue desplazando horizontalmente la
gráfica de y=2x una unidad hacia la de
recha. En efecto, haciendo el cambio:
x *x 1 = x - 1 , se obtiene: y = 2 .
( 2) y = ^ ( 2 x / 2 )
Dado que el coeficiente
0<1 /1 2<1 , la gráfica de esta función s
obtiene encogiendo la gráfica de y=2x
verticalmente un factor 1/1 2 , de aquí
130
g
92 Capítulo 1: Función
que su intersección con el eje I sea el punto (0,1/12).
Sección 4: Función inversa 93
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Además como el exponente 0<1/2<1, la gráfica de (2) se obtiene
estirando horizontalmente la gráfica de y=2x en el factor 1/2.
x- 1 x- 1
(3) y = j ( 2 ) 2 + 1 + y- 1 = 1 (2 ) 2
Haciendo en cambio de variables:
x'=x1 y y'=y1 , obtenemos:
y -
Es el mismo caso del ejercicio ante-
rior. Obsérvese que en el sistema
X'O'I 1 la gráfica pasa por el punto
(0,1/3).
La gráfica de la función y=ax §s una línea. Mostrar que la
gráfica de la función y=kax (k>0) es la misma línea pero
desplazada paralelamente al eje de coordenadas.
Mediante la adición gráfica construir la gráfica de la fun
ción: (1 ) y=x2+2x , (2 ) y=x22x
Solución, (1) y=x2+2X
Los pasos a seguir son:
a) Sean las funciones: f(x)=x2 y g(x)=2x
b) Dibujar, con líneas punteadas, las
gráficas de f y g.
c) Para un número finito de puntos del
eje X trazar las ordenadas corres-
pondientes de f y g.
d) Construir la suma de dichas ordena-das y uniendo, con trazao lleno, to
das estas sumas obtendremos la grá
de la función requerida.
(2) y = x 2- 2x
Considerando las funciones: f(x)=x2 y g(x)=2x, y siguiendo
los pasos dados en el ejercicio anterior obtenemos la gráfi-ca:
132
131
i Resolver gráficamente la ecuación 2x2x=0
Solución. Sean las funciones: y=2x
y=2x
Trazando la gráfica de ambas funciones
vemos que se interceptan en los puntos
cuyas abscisas son:
xi=1 y x 2=2
Construir la figura limitada por las líneas:
,x _ 1+xy=2 x=3
Hallar por la gráfica y de manera aproximadalas coordena-
das de los puntos de intersección de laslíneas indicadas.
Solución. Trazando la gráfica de
cada una de las líneas
liadas, la figura limitada por es-
tas es la región achurada.
I.as coordenadas de los puntos deintersección son: (1,2), (3,8),
( 3» 4 / 3 ) y ( - 1 . 5 , 1 / 3 ) .
Hallar el mayor valor posible de n para el cual 2 >x para
todas las xí100 (n es un entero). Rpta: n=15
94 Capítulo 1: Función Sección 4: Fu nción inverna95
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i .H i f f l f t M U U FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Haciendo uso de ciertas combinaciones de las
funciones exponenciales y=ex, y=e x aparecen frecuentemente o
tras funciones trascendentes elementales que se conocen con el
nombre de /unciones hipe.A.lí.6 ¿ica-i. Estas son:
(1) Función Seno Hiperbólico. Está definida por:
Senhx = ^(ex e x)
y cuyo dominio y rango es R.
(2) Función Coseno Hiperbólico. Está definida por
Coshx = 'j(eX + e x)
cuyo dominio es R y cuyo rango es D»+°°> *
La gráfica de esta función se llama cate-
naria.
(3) Función Tangente Hiperbólica. Está definida por y.
Tanhx =_ , x xSenhx e e
Coshx ex + ex
Su dominio es R y su rango es <1,1>
(4) Función Cotangente Hiperbólica.
Está definida por:
Cotghx =«il. x . xCoshx e + e
X xe eSenhx
Su dominio es R y su rango es R£1,.l]
(5) Función Secante Hiperbólica. Está definida por y
1 2Sechx =
n u x , xCoshx e + e
Su dominio es R y su rango es <0,l]
(6) Función Cosecante Hiperbólica. Está definida por
Cosechx = 1/Senhx = 2/(exex)
C ü Demostrar que y=Senhx e y=Tanhx son funciones impares,
mientras^que y=Coshx es una función par. Son estas funcio-nes periódicas?
D*moU*aci6n. En efecto, si f(x) = Senhx = l( ex e'x ) , enton-
ces: f(x ) = Senh(x) = ^(exex) = l( exex )
f(x) f(x) .’. y=Senhx es una función impar
Si f(x) = Tanhx = s l z £ l + f(x) = (eXe~x )
e e" e'x+ex ex+e“x ~ ”
•• yTanhx es una función impar
:U g U ) * Coshx = l ( e x+e-x ) + g( .x ) = I ( e- x+ex) = g(x)
•• y=Coshx es una función par
i’na función es periódica <* f(x+T)=f(x ) . ¥xeDom(f) , T¿0
Kntonces, si Senh(x+T) = Senhx i(ex+T_ xTi _ J, x _x2 '
'“ Pl» <<lo par. T0, ,n con..o«.nol. noperiódica. .. ¿
y Tanhx no son funciones periódicas.
K E 3 Demostrar la validez de las siguientes igualdades:
( . ) U) s . n h ( (6) , ■_ ^
Cosh x+Sonh*x=Co.Ii2x U C o t ^ - C , ^
U; 2SehxCoshx=Senh2x
(4) Senh(a±6)=SenhaCosh6±Senh6Cosha
(5) Cosh(a±8)=CoshaCosh6±SenhaSenh6
'•"K'ói/iación. En efecto:
(1) Cosh2xSenh2x = l(ex+e'x)2 _ J.(ex.ex)24 4 *
•) i:"sh2x+Senh2x = i( ex+ex )* + l( ex_ex)2 = l[;2(e2x+e2x)j
2^e \ + e X) = Cosh2x
1 1 •’•"onhx. Coshx = (-£?-te~X) l ( 2 x 2xv2 > 1 2 > ~ 2 (e e *) = Senh2x
i •'* nh(o + B) = l|_e“+S . e-a-sJ = _ e-ae-6j
96 Capítulo 1: Función Sección 4: Función inversa97
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Pero Senhx = ^(eX e x ) ex e x = 2Senhx
Coshx = ^(ex + e"x ) *• ex + e'x = 2Coshx
del sistema obtenemos: ex = Senhx + Coshx
e"x = Coshx Senhx(b)
Luego: Senh(a+B) = ^(jcosha+Senha)(CoshB+SenhB)
(CoshaSenha)(CoshBSenhB )J
Efectuando las operaciones en el corchete obtenemos:
Senh(a+B) = Senha.CoshB + SenhB.Cosha
Del mismo modo se demuestra que:
Senh(aB) = Senha.CoshB SenhB.Cosha
(5 ) Cosh(a+B) = [ea+e + e'°“ BJ = |[ e“e6 + e'ae_B]
Según las igualdades (b) se tiene:
Cosh(a+B) = ^^(Senha + Cosha) (SenhB + CoshB) +
(Cosha Senha)(CoshB SenhB )J
de donde:Cosh(a+8 ) =■ Cosha.CoshB + SenhaSenhB
Análogamente se demuestra que:
Cosh(aB) = Coshct.CoshB Senha.SenhB
X - X / X , - X M / X — X \ 2
(6 ) 1Tanh2x = 1 (e ~ e )»= (e , x ! x ^ = A e + e x (e +e )(ex+ex ) 2
2___ 12 _= (— — — ) 2 = Sech2xe +e
x , - X / X . " X \ 2 / x , - X \ 2
(7) 1 Cotgh2x = 1 (e +e x ) 2 = ( , l ~ ^ 8e e (e e x ) 2
----------- = .(— £ ) 2 = Cosech2x(exe~ x ) 2 exe‘x
4.3 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
GBBKZ3 La función logaritmo es la función inversa de
la función exponencial y cuya regla de corres-
pondencia es:
f :R+»R/)>=log x , x>0 , aí!l
En efecto, esta regla de correspondencia se obtiene de:
f (x) = ax , a> 0‘ , a¿1
Puesto que: fof* = I . (fof*) (x ) = I(x ) = x
+ f[f*(x)] = x
af* W ='x
Aplicando logaritmos de base a en ambos extremos se tiene:f*(x) = logax «*• y = logax
Observaciones :
(1) Si a>1, la función logaritmo es creciente en todo su dominio(Fig. 1.22), pues:
xi < x2 * f(xi) < f(x2 )
(?) Si 0<a<1, la función logaritmo es decreciente en todo su do-
minio (Fig. 1.23), pues:
xi < x 2 + f(xi) > f(x2)
3) La gráfica de toda función logaritmo de la forma y=klog x pa
sa por el punto P(1,0). a
y/ l .\ 0 <a <1
\ > x0
V
\ y= io g ax
--------------------- y
Figura 1.23
PROBLEMAS RESUELTOS
Construir la gráfica de la función:
(1 ) y=log 2x. (4 ) y=iog 2|x |
(2 ) y=log(i¿) (5) y= 1+log(x+2 )
(3) y=llogx| (6 ) y=log )1-X¡
(7) y=alogax
(8) y=logx2
98 Capítulo 1: Función
Solución. (1) y = log2x y = log2x
•V<1cció n 4: Fun ció n inv ersa 99
figura 1.22.
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Siendo la base 2>1, la
función es decreciente ¥xeR+, luego,
si 0<x< 1 »■ *y<0 y>0 (la gráfica
se halla sobre el eje X)
Si x>1 y>0 <*■ y<0 (la gráfica se
encuentra debajo del eje X).
1logx
r iog
(2) y = log(^) = log10logx
Observe que para x=10 *■ y=0
Si 0<x<10 y>0 (La gráfica es-
ta sobre el eje X)
Si x>10 *y<0 (La gráfica se halla de-
bajo del eje X)
(3) y = |logx|
Por definición de valor absoluto
se tiene:
logx si logx>Q <*■ xe[l,+<=>
sgx si logx<0 *>■ x e <0, 1®>
Como y>0, ¥xeDom(f), la gráfica de la
función se halla integramente sobre el
eje X (Primer cuadrante).
(4) y = log2 |x|
Por definición de valor absoluto
se tiene:
flog2 (x) , si x>0
\log2 (x), si x<0
Como |x| = |x|, la gráfica de la
función es simétrica respecto al eje X
(5) y=1+log(x+2) y1 =log(x+2)
Haciendo: x'=x+2 , y'=y1
se tiene: y'=logx' , cuya gráfica en
el sistéma X' Y 1 tiene la forma de la
x
>x
(6) y= log2 |1x]=log2|x1 |
Haciendo x'=x1 + y ,=log2 |x'|
La gráfica de esta función es seme-
jante a la del ejercicio (i), pero
desplazada una unidad a la derecha
del eje Y.
(7) y = alo®ax
Tomando logaritmos de base a en
ambos extremos se tiene:
l°g„y = l°g x ■**• y=x , x>0o, cL
Lu gráfica de esta función es la grá
fica de la bisectriz del primer cua-
drante.
Valiéndose de la gráfica de la función y=logx, construir
la gráfica de la función:
(1) y = ^l og(x+1) ,
Solución. Sea f.(x)=logx
(1) y = ^log(x+1)
Paciendo x'=x+1 y = ^logx1
i(i gráfica de esta función se obtiene
I" la gráfica de f encogiéndola vertí
•límente el factor 1/2 y desplazándo-
la una unidad a la izquierda del eje Y.
(2) y = 21og(^±!)
x + 1 ■- 2 ■
Haciendo x'=x+1
(2) y = 21og(^|!)
y=21og(f~)
■i gráfica de esta función se obtiene:
n) Desplazando la gráfica de f una uni
dad a la izquierda dél eje Y.
i) Kstirando verticalmente la gráficado f un factor 2.
100 Capitulo 1: Función
c) Estirando horizontalmente la gráfica de f en un factor 1/2.
Sección 5: Funciones Trigonométricas 101
!'ara determinar la inversa de la función intercambiemos las va-
i bl
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140. Sea dada la función y=x+log(l). Mediante la adición gráfi-
ca construir la gráfica de la función dada y por la gráfi-
ca hallar el valor mínimo de dicha función en el semiintervalo
<0,2].
Soiución. y = x + log(^) = x logx
Sean: f(x)=x y g(x)=logx
Trazamos, con líneas punteadas, las
gráficas de f y. g; luego, mediante
la diferencia y=f(x)g(x) construi-
mos un cierto número de ordenadas.
Sig.uiendo un orden, unimos con tra-
zo lleno cada una de estas ordena-
das obteniendo de esta manera la
gráfica de la función dada.
Según el gráfico vemos que el valor
mínimo de la función está en el intervalo <0,1], luego,
si: x=0.1 y = 0. 1log0.1 = 0.1(1) = 1.1
x=0.4 y = 0.4 log0 . U = 0. 4 (0 .A) = 0.8
x = 0 . 8 ■+■ y = 0. 8log0.. 8 = 0.8 ( 0. 1) = 0.9
x=1 *• y = 1 — 1 o g 1 = 1
*’* ymin = 0,8 para x= 0*4
KfjSH Mostrar que la gráfica de la función y=.loga(x+/x2 + 1) es si-
métrica respecto al origen de coordenadas. Hallar la fun-
ción inversa.
de.nio¿tn.ac.ibn. Una función es simétrica respecto del origen si
se cumple que: F(x,y) = F(x,y)Entonces, F(x,y): y = log (x+/x2+1) y = log (/x2+1x)
Pero, log(j) = logx logl[/x2 + 1x]
loe’£
/X T1+X^ = r — | = íog r ü ü l i ? ]x2+1+x)J L x2+1-x2J(/x2+1x)(/x2+1
F(x,y) = F(x,y)
log (/x2+1+x)Si
riable :
x =l o e a ( y + Z y2 +1 ) -M- y + Zy2 + 1 = ax (1 )
X =loga(y + /y2 + 1) II y + /y2 + 1 = a'X (2)
Restando (1) (2) se tiene: 2y = axa"x * y = |(ax ax)
m j Demostrar que la ordenada de la gráfica de la funcióny=logax es igual a su correspondiente de la gráfica de la
•función y=logan(x) multiplicada por n.
Demoói/iaciin. En efecto,si y=loga n(x) (an)7 = x
any = X
Aplicando logaritmos de base a en cada extremo se tiene:
nylogaa = logQx ny = loSax
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
G S H K E 9 si x e y son variables reales, entonces se defi
a) Función Seno: Sen = { (x, y )eRXR/y = Senx}, cuyo dominio y rango
son: Dom(Sen)=R y Ran (Sen)= C1,1]
b) Función Coseno: Cos = { (x , y ) cRxR/y =Cosx } , cuyo dominio y ran-
go son: Dom(Cos)=R y Ran(Cos) = [1, i]
o) Función Tangente: Tan = {(x,y)eRx r /y=Tgx}, para el cual:
Dom(Tan)=R(x/x= ■^+kir, keZ) y Ran(Tan)=R
d) Función Cotangente: Cot = { (x,y)eRXR/y=Cotgx), para el cual:
Dom(Cot)=R{x/x=kTT, keZ) y Ran(Cot)=R
e) Función Secante: Sec = {(x,y)eRx r /y±Secx), para el cual:
Dom(Sec)=R{x/x= ^fkTr, keZ}, R^íy/ | y | > 1}
f) Función Cosecante: Csc = { (x,y )eRx r /y=Cscx}, para el cual:
Dom(Csc)=R{x/x=k7T, keZ), Rf={y/ I y 151}
102Capítulo 1: Función ■Sección 5: Func iones Trigonom étricas 103
(Fig.1.24), es idéntica a la gráfica de f(x)=Senx en xe [2tt, 4tt] o
on xeC2TT,O], Las otras funciones trigonométricas cuyo período T
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y
y=Secx
\ f
iV
] W
y=Cscx .
----- Ti2
71
r \
i* 2«
J \
0' TC 712
-1-Tn 2U\
r \ 1
Observaciones: (1) Todas las funciones trigonométricas son pe-
riódicas. Por ejemplo, el período de la fun-
ción seno es T=2u, es decir, la gráfica de f(x)=Senx en xt [O, 2ttJ
on xeC 2TT, O], Las otras funciones trigonométricas cuyo período T
iis 2ir son el coseno, la secante y la cosecante. El período para
1.a tangente y la cotangente es T=n.
(2) Si el período de la función trigonométrica y=f(x) es T, enf * A T
tonces el período de la función trigonométrica y=f(ax) es — .
Por ejemplo, si y=Cos3x *■ T=2tt/3
y=Sen(^) + T = = ¿tt
Gráficamente significa lo siguiente:
Si a>1, la gráfica de.y=f(ax) se obtiene encogiendo horizontal-
mente la gráfica de y=f(x) en a unidades.
Si 0<a<1, la gráfica de y=f(ax) se obtiene estirando horizontal-
mente la gráfica de y=f(x) en a unidades.
(3) Si la regla de correspondencia de la función trigonométrica
tiene la forma t=Af(x), entonces se dice que A es la ampli
tud. de ía función.
Por ejemplo, si y=2Tg3x A=2 y T=tt/3
y= (1 /3)Sen5x * A=1/3 y T=2tt/5Gráficamente significa lo siguiente:
Si A>1, la gráfica de y=Af(x) se obtiene estirando verticalmente
la gráfica de y=f(x) en un factor A.
Si 0<A<1, entonces la gráfica de y=Af(x) se obtiene encogiendo
verticalmente la gráfica de y=f(x) en un factor A.
So A<0, la gráfica de y=Af(x) se refleja en el semiplano inferi-
or todo lo que está en el semiplano superior de la gráfica de y=
Af(x) si fuera A>1 ó 0<A<1, y viceversa.
(.*) Si la regla de correspondencia de la función trigonométrica
tiene la forma y=Af(axh), entonces se dice que a=h/a radia-
nes es el ángulo de. ¿ate. y que <t=h es la inicial.
Por esta razón se dice que las gráficas de y=Af(x) e y=Af(axh)
están d&£a¿ada¿ o que sus abscisas difieren en a=h/a radianes.
Por lo tanto, la gráfica de y=Af(axh) se obtiene desplazando ho
rizontalmente la gráfica de y=Af(x) en un ángulo a=h/a radianes:
hacia la derecha si h>0 o hacia la izquierda si h<0.
I’or ejemplo si y=2Sen (3x7r), entonces el ángulo de fase es a=ir/3 .
104 Capítulo 1: Función
Como h>0, la gráfica de y=2Sen(3xir) se obtiene desplazando hori
zontalmente la gráfica de y=2Sen3x un ángulo cftt/3 hacia la de-
Sección 5: Funciones Trigonométricas 105
U) y^Sení^^) = Sen(j| +
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zontalmente la gráfica de y 2Sen3x un ángulo cftt/3, hacia la de
recha.
Indicar la amplitud y el período de la armónica:(1) y=Sen3x (3) y=4SenTrx (5) y=Sen(^p)
(2) y=5Cos2x (A) y=2Sen(^) (6) y=3Sen(5x/8)
Solución. Según las observaciones (2) y (3) se tiene:
(1) y=S.en3x ■* A = 1 y T=2ir/3
(2) y=5Cos2x A=5 y T = 2?r/2 = 71
(3) y^Sen^x + A=A y T=2tt/tt = 2
(4) y=2Sen(x/2) + A=2 y T=2 it/(1/2) = ¿ir
(5) y=Sen(2|i) + A=1 y T ----^ -- = ■§ A (3ir )/4
(6) y=3Sen(5x/8) ■> A=3 , T = ^ = ^
144. Indicar la amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase i
nicial de la armónica:
(1) y=2Sen(3x + 5) (3) y = ^Sen2iT(u g)
(2) y=Cos(^r1) (4) y = Sen(Z¡r±2)
Solución. Según la observación (A) tenemos:
(1) y=2Sen(3x+5) + A=2 , T=2n/3 , f=1/T=3/2Tr, <(,= 5(2) y= Cos (^ 4 . Dado que Sen(|7r + a) = Cosa, se tiene:
y=Sen('|ir + ^ p ) = Sen(rj + )
de donde: A=1 , T = j = Air , f=1/T = 1/4ir > _<t> ^,1Tg'
(3) y = •jSen(2jrco |) A=l/3 , T=2tj/2tt = 1 , f=1 , <t>=ir/3
143
PROBLEMAS RESUELTOS
de donde: A=1 , T = = 6tt2 , f=1/6tt2 , <J>=1/ 2 tt
| Construir la gráfica de la función:
(1) y=Senx (8) y=2Sen(x|)
(2) y=1Senx
(3) y=1Cosx
(A) y=Sen2x
(5) y=Sen(x/2)
(6) y=2Sen(x/3)
(7) y=Cos2x
S o l u c i ó n . (1) y=Senx
Dado que A=1<0, se
gún la observación (3), la gráfica
ile la función (1) se obtiene por
reflexión de la gráfica de y=Senx(Fig. 1.24).
(2) y=1Senx ■* y1 = Senx
Haciendo: y'=y1 ■* y'=Senx
Se observa claramente que la gráfi
ca de (2) se obtiene desplazando
verticalmente en una unidad la grá
fica del ejercicio (1).
(3) y=1Cosx > y1=Cosx
Haciendo: y'=y1 y'=Cosx
Como A=1<0, la gráfica de (3) se
obtiene por reflexión de la gráfi
ca de y=Cosx (Fig. 1.25) y luego
desplazándola verticalmente una u
nidad.
(15) y=|Tgx|
(9) y2Sen(3x+ |w) (16) y=|Cotgx
(10) y= Tj3en(.2irx1.2) (17) y=Secx
(11) y=2+2Sen(^| + g) (18) y=Cscx
(12) y=2Cos(Sj I)
(13) y=|Senx| (19) y=
(U ) y= ICosx |
Cosx
1
1/x
-7TgX$0
0<X< 1
1íxs2
106 Capítulo 1: Fundón
U) y=Sen2x
■Y. '<c ión 5: Funciones T rigonométricas ___________________________________________ 107
(9) y=2Sen(3x + -|it) = 2Sen3(x + j) ^
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Como a=2>1, segur, la observa
ción 2, la gráfica de esta fun-
ción se obtiene encogiendo la grá
fica de y=Senx en un factor 2.
El período de la función es T=ir
(5) y=Sen(x/2)Siendo la amplitud A=1 y como
0 < — < 1, la gráfica se obtiene
estirando horizontalmente la grá-
fica de y=Senx en un factor 2.
(6) y=2Sen(x/3)
La gráfica de esta función se
obtiene por reflexión (2<0):
a) Estirando horizontalmente la
gráfica de y=Senx en un factor3, dado que el período es
T = 2u/ (1/3 ) = 6tt
b) Estirando verticalmente la grá
fica de y=Senx en un factor 2,
ya que la amplitud es A=| — 2 |=2.
(8) y=2Sen(xir/3)
Dado que la fase inicial es
h = ir/3» la gráfica de esta función
se obtiene de la gráfica de y=Sen
a) desplazándola horizontalmente
en h = 7r/3 unidades a la derecha
b) estirándola verticalmente en u:
factor 2.
(7) y=Cos2x
Dado que a=2>1, la gráfica de
esta función se obtiene encogien-
do la gráfica de y=Cosx en un factor 2.
Siendo la fase inicial h=ir/4
v ni período T=2ir/3» la gráfica de
tinta función se obtiene de la gráfi
cu de la función y=Senx:
m ) Encogiéndola horizontalmente en ,
3 unidades.
I') Estirándola verticalmente en un
factor A=2
■) Desplazándola horizontalmente en
ti/4 unidades hacia la izquierda.
(10) y= ^Sen(2irx6/5) = ^Sen27r(x
Siendo h=3/5tf y T=2ir/27r=1, la
i.ráfica de esta función seobtiene
ilo la gráfica de y=Senx:
n) Encogiéndola horizontalmente en
un factor a=2ir.
i) Desplazándola horizontalmente a
3/5tt hacia la derecha (h>0).
■) Encogiéndola verticalmente en
el factor A=1/2.
(11) y2 = 2Sen|(x + j)
Siendo h=1/3, T=2 it/( tt/2) = U y* \y
i<i gráfica de esta función se ob
I. tono de la gráfica de y=Senx
n) Desplazándola verticalmente 2
unidades y horizontalmente 1/3
unidades hacia la izquierda (h<0)I') Encogiéndola horizontalmente
un factor a=7j/2 .
■) Estirándola verticalmente un
factor A=2.
I.') y = 2Cosj(xir)
Siendo h=ir y T=2w/(1/3) =6tt, la gráfica de está función se
108 Capitulo 1: Función
obtiene de la gráfica de y=Cosx
a) Estirándola horizontalmente
ni i Funciones Trigonométricas 109
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un factor de 3 unidades.
b) Desplazándola horizontalmente
ti unidades a la derecha (h>0)
c) Estirándola verticalmente en
un factor A=2 unidades.
(13) y = I Senx |
Por definición de valor absoluto
{Senx, si SenxSO , x e [0,ttJ
Senx, si, Senx<0 , xe<Tr,2u3
Como y^O, ¥xeDom(y), la gráfica
de y=Senx es el reflejo de la
gráfica de y=Senx para xeíTr.Zir]
(14) y = | Co sx |
Por definición de valor absoluto
Cosx, si Cosx^O, xe [0, J ü 2ir]
>A
y= 7T 3Cosx, si Cosx<0, xe<2 >'g'ir>
La gráfica de y=Cosx es el reflejo
de la'gráfica de y=Cosx en
( 1 5 ) y = . | T g x [ y/fv
Por definición de valor absoluto
T g x , si Tgx%.0 , xe [0, ~>I I [ir,-|ir>
y=-Tgx, si Tgx<0 , xecj, ir>U<Jir, 2ir>
Aquí también, la gráfica de y=Tgx ®
es el reflejo de la gráfica de
y=Tgx’ , xe<'j, ir>ü<|ir, 2ir>
(17) y=Secx (Ver Figura 1.28)
(18) y=CScx (Ver Figura 1.29)
2 \ / 271 271
>x
na l.os lados de un triángulo miden 1cm y 2cm, respectivamente
Construir la gráfica del área del triángulo como función
di I tíufjulo x comprendido entre dichos lados. Hallar el dominio
i>. Inl'lnición de esta función, y el valor del argumenro x para
m ■11 /i 1 el área del triángulo sea máxima.B
v. furión. El área del triángulo es:
1S = gbh , pero h=aSenx
1 "1 — b(aSenx) = gabSenx
4(l)(2)Senx = Senx , xe<0,ir>2 1
i™ gráfica del área del triángulo es
mia ¡ircada de la sinusoide, que como
vm cubemos tiene su valor máximo pa
l>n x»ir/2
Un punto efectúa movimiento uniforma a lo largo de una cir
cunferencia de radio R, con velocidad lineal v cm/seg, con
■ iLo al de las agujas del reloj. En el momento inicial ’la abs
i, i de dicho punto era a. Formar la ecuación de la oscilación
nórtica de la abscisa de dicho punto.
9 t.U din., Una partícula está en movimiento armónico simple cuan
do su desplazamiento x respecto al origen decoordena
11■ está dada por la relación:
x = Rsen(iot + a) (1 )
mío a es la fase inicial, R es la amplitud del movimiento y ui
¡ la velocidad angular. (v=0)R)
147
110 Capítulo 1: Función
En el momento inicial: t=0 y x=a
Entonces en(1): a=Rsena
y>k
— \ p
inti ' Funciones Trisonométricas 111
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Pero en la figura vemos que: a=RcosB
*• Rseno = Rcos3 ** Sena = Cos0
a = + 6
*-*■ a = 5 + arcCos(^)
Sustituyendo en (1) obtenemos:
R / A ! i >
V 0 -— a — 1
x = Rsenj—t + ^ + arcCos ( f > ]
Un punto efectúa movimiento uniforme a lo largo de la cir-
cunferencia x2+y2=1. En el momento t 0 su ordenada era y0,
en el momento ti, yi. Hallar la dependencia entre la ordenada
del punto y el tiempo, hallar también el período y la fase ini-
cial de la oscilación.
Rp. y = Sen (arcSeny iarcSeny0 ) +arcSeny oj
T =2ir(titp)
arcSenyiarcSenyot iarcSen;
&tparcSenyiTo
iE£l La figura 13 muestra un mecanismo de manivela. El volante .
es de radio R, la biela es de longitud a. El volante gira
uniformemente en el sentido de las agujas del reloj dando n vuel
tas en un segundo. En el momento t=0 en que la biela y la manive
la formaron una misma recta (posición del.punto muerto), la cru
zeta (A) ocupó el punto 0. Hallar la dependencia entre el despla
Solución. Las figuras adjuntas, muestran la posición del punto
muerto (t=0) y cuando la cruzeta (A) se ha desplazado
x unidades.
" observa claramente que: x = xoxi (1)
'•t o s xo = a+R
Xi = AB + BC = /a2BP2 + RCos<!
= /a2R2Sen2<J) + RCos<!>
i11, i tuyendo en (1) se tiene:
x = a+R i/a2R2Sen2<t> RCosiJi
= a + R(1Cos<t>) /a2R2Sen24i
n donde, para n vueltas en un tiempo t, <{i=27rnt.
Mediante la adición gráfica construir la gráfica de la fun-
ción:
(1) y = Senx + Cosx
(2) y = Sen2irx + Sen3nx
/Xl X,
(¿) y = x+Senx
(5) y = xSenx
(6) y = 2x+Cosx(3) y = 2Sen(|) + 3Sen(|)
Solución. (1) y = Senx + Cosx
Sean: f(x)=Senx
g(x)=Cosx
Hado que el període f y g es 2tt,
I.razamos, con líneas punteadas,
un ciclo de ambas funciones. Es
•vidente que cada ordenada de (1)
i‘3 la suma de las ordenadas de f
y g.
(2) y = Sen2Trx + Sen_37íx
Si f(x) =Sen2iTX + T = 27r/27r=1
g(x)=Cos3Trx T=2tt/3tt=2/3
Como las gráficas de f y g tienen igual amplitud (A = 1) y diferen
112 Capítulo 1: Función
te período, construimos un ciclo
de f y, un ciclo y medio de g.
Sección 5: Funciones Trigonométricas 113
I Hallar el período de la armónica compuesta:
(1) y=2Sen3x + 3Sen2x
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de y, u c c o y ed o de g.
Luego, cada de (2) será la suma
de las ordenadas de f y g.
(3) y = 2Sen(|) + 3Sen(|)
Si f(x)=2Sen(|) * T = V T = ^
g(x)=3Sen(|) + T = jj -j
Siendo las amplitudes y los perío
dos diferentes, construimos un ci
cío para g y, un ciclo y medio pa
ra f. Luego, cada ordenada de (3)
será la suma de las correspondien -2
tes ordenadas de f y g.
(4) y = x '+ Senx
Sean: f(x)=x y g(x)=Senx
Construimos con trazo punteado
las gráficas de la función i
dentidad f y la función seno g,
para xeC-2-rr, 2tt] •Luego, cada ordenada de (4)
es la suma de las ordenadas
correspondientes de f y g.
(5 ) y = x Senx . Se deja como ejercicio.
Nota. La gráfica de esta función se obtiene por reflexión de
la gráfica de la función (4). respecto de la recta y=x.
3X(6 ) y = 2 X + C osx . Se deje como ejercicio.
(2) y=Senx+Cos2x
( 3 ) y = S e n ( j r x / 3 ) + Sen(T7x/4)
( 4 ) y = Sen(27rx+7r/3) + 2Sen(3irx +u / 4 ) + 3Sení>irx
Solución. (1) y=2Sen3x+3Sen2x
Si f(x)=2Sen3x + T!=27r/3g(x)=3Sen2x + T2=27t/2=ti
Cuando los períodos de las armónicas simales son números fraccio
narios o enteros y fraccionarios, se procede del siguiente modo:
i) Se reducen a común denominador los períodos: |ir y -¿ít
b) Se obtiene el común múltiplo de los numeradores:
m. c.m. (2u, 3^) = 6tt
<■) Se divide el m.c.m. entre el denominador común.
El cociente es el período de la armónica compuesta.
T = 6i r /3 = 2tt
(2) y = Senx + Cos2x
Los períodos de las armónicas simples son: Ti=2ir y T 2=it
Cuando los períodos de las armónicas simples son números enteros
"1 período de la armónica compuesta es el m.c.m. de éstos.
T = m.c.m. (Ti,T2 ) = 2tt
(3) y = Se n ( 7 r x / 3 ) + S e n ( i r x / 4 )
Los períodos de las armónicas simples son:
T » = 77J = 6 * T 2 = ^JJ~= 8 * T = mcm(T i ,T2) = 24
(4) y = Sen2ir (x + 1 /6) + 2Sen3ir (x+1/12) + 3Sen5wx
Los periodos de las armónicas simples son:
T - 2 ]L - i t - ¿ E - 2 _ _ 2tt _ 21 Oír ' » -i 2 “ o_ ~ o t 1 J -2ñ - * 2 ~ J ñ ~ 3 ’ s = ~5ñ ~ 5
a) Reducción a común denominador: ~ , -~
b) mcm(1 5 ,1 0 ,6 ) = 30
c) Por lo tanto: T = 30/15 = 2
153 Presentar en forma de armónica simple:
(1) y=Senx+Cosx (2) y=Senx+2Sen(x+TT/6)
114 Capitulo 1: Función
Solución. (1) y=Senx+Sen(tj + x)
Transformando a producto se tiene:
lia Llar el dominio de definición y explicar el aspecto de
ln gráfica de la función:
h a l ó n f u n ci o ne s t ri go no mé tr ic as ____________________________________ 115
ISO
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y = Sen(§ + x)+Senx = 2Sen . Cos )
= 23en(| + x).Cos(^) = /2Sen(x +
(2) y=Senx+2Sen(x+ir/6) Rp. y=/5+2/3Sen(x+d>), <t>=arcSen(/5+2/J
Indicar el período de la función y construir sfl gráfica.
v h |Senx| _Senx_\V " Cosx( 1 ) y = | Senx| + | Cosx
Soluciór
| SenxI =
Cosx
(1) Por definición de valor absoluto se tiene:
r Senx , Senx^OCo sx
Senx , Senx<0 (Cosx , CosxjO
Cosx , Cosx<0
Luego, sobre el intervalo [Ó»2tt], la regla de correspondencia de
la función es:
f Senx+Cosx , xe[0,rr/2]
SenxCosx , xe [tr/2, ir]
SenxCosx , xe[jr, 3tt/2]
Senx+Cosx , xe [3ir/2, 2tt]Í:ÍEn la gráfica vemos que el pe
ríodo de la función es T=tt/2.
(?) V = J_SenxJ.y p^ r.n síSenx
2 S Cosx |CosxI'
Análogamente, como en el ejercicio anterior, sobre el inter-
valo [0,27t3 la función es .susceptible de ser representada de
la forma:
Tgx , si x e £ o ,7 t / 2 >
0 , si x £ < tt/ 2 , 7 t]
Tgx , si xe [ir, 3tt/2>
0 , si xe<3ir/2, 2tt]
En la gráfica vemos que el pe
ríodo de la función es T = 27r.
ín 2n
- » x
(1) y=logSenx (2) y=/logSenx (3) y=Áog ("[g^y)
í f ni ión. (1) y=logSenx
La función es real <+ Senx>0, o sea si xe<0,7r>.
tu r• mral, el dominio de definición está compuesto de una infi
#i * • >i■I ilo intervalos de la forma: <2mr, (2n+1 )tt>, ¥neZ.
|li , 11u(' f(x)¿f(x) y f(x)^f(x), la función no es par ni impar
f«#|inil.ivamente. Su período es T=2rr. En el intervalo <0,u/2> el
». un .roce de 0 hasta 1, por tanto, logSenx crece hasta 0 sin de
I"r ilo ser negativo. En el intervalo <n/2,ir> el seno decrece de
I rmlu 0, por consiguiente, decrece logSenx..En el intervalo
ül seno tiene valores negativos, por tanto, la función
II 11 x no está definida.
I 1 ) y /logSenx
I.íi función es real ■*-*■ logSenx^O. El dominio de definición es
t.á compuesto de puntos separados de la forma: x = ^ + 27in ,
Vm'/.. F.n estos puntos y=0. La gráfica son puntos sueltos del eje
< o y =v/i3g(js^irr)
l.a función está definida ¥xeR, excepto los puntos para los
cuales Senx=0 x=irn , neZ
!. 1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
lni'lii que las funciones trigonométricas son funciones periódicas,
um ilocir, no son inyectivas en todo su dominio, éstas no poseen
invorsa. Sin embargo restringiendo a intervalos establecidos se
. mu lo conseguir la inyectivilidad y de este modo permitir que la
iiiniLón trigonométrica admita inversa. En tales restricciones o
litorvalos principales damos las siguientes definiciones.
i ) I u n c i ó n S en o I n v e r s o ( A r c o S e n o ) E s a q u e l l a f u n c i ó n d e f i n i d a
por:
arcSen: + []— tt/2, tt / 2j
x *• y=arcSenx
116 Capítulo 1: Función
tal que si: y=f(x)=arcSenx *• x=Seny
Observe que el intervalo restringido
•‘n i/i 5: F unciones trigonométricas 117
x ■*• y=arcSecx
im l que pi y=f (x)=arcSecx x=Secy
a o Dom (f ) < “ ij [1 +°°> Ran (f) [O n/2>U<7r/2 ir]
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para que la función y=Senx tenga in-
versa es
Luego, Doa(f ) = [1, ij y Ran(f) = [
(Figura 1.30)
b ) F u n c i ó n C o s e n o I n v e r s o ( A r c o C o s e n o )Es aquella función definida por:
arcCos: C“1*1] * [0, ttJ
x+ y = arcCox
tal que si y=f(x)=arcCosx +*• x=Cosy
cuyo Don (f) = E1,1J y Ran(f )= [o, tt]
(Figura 1.31)
c ) F u n c i ó n T a n g e n t e I n v e r s a ( A r c o T a n g e n t e )
Es aquella función definida por:
arcTg: <“>,+“> ■+■ < —tt/2»ti/2>
x *■ y = arcTgx
tal que si y=f(x)=arcTgx +»■ x=Tgy
cuyo Dom(f)=R y Ran (f) =<ir/2, ti/2>
(Figura 1.32)
Figura 1.30
d ) F u n c i ó n C o t a n g e n t e I n v e r s a ( A r c o C o t a n g e n t e )
Es aquella función definida por:
arcCotg: <<», +<»> ■* <0,tt>
x > y=arcCotgx
tal que si y=f(x)=arcCotgx ■*+ x=Cotgy
cuyo Dom(f)=R y Ran(f )=<0, ir>
(Figura 1.33)
e ) F u n c i ó n S e c a n t e I n v e r s a ( A r c o S e c a n t e )
Es aquella función definida por”
arcSec: <«>,ljü [1,+<*» *• [0 ,ir/ 2>U<n/ 2, tÍJ
ayo Dom (f )=<“ ,iju [1, + > y Ran (f )= [O, n/2>U<7r/2, ir]
(KLgura 1.34)
r ) F u n c i ó n C o s e c a n t e I n v e r s a ( A r c o C o s e c a n t e )
Es aquella función definida por:
arcCosec: <“ , 1J U [i,+“ > *■ [n/2, 0>U<0, tt/2]
x + y = arcCosecxtal que si y=f(x) = arcCosecx *>■ x=Cosecy
cuyc Dom (f )=<“ ,l]ü£l,+°°> y Ran(f) = [n/2,0>U<0, tt/2]
(Fugura 1.35)
PROBLEMAS RESUELTOS
Construir la gráfica de la función:
(1) y = arcTgx
(2) y = 2arcSen(x/2)
(3) y = 1+arcTg2x
Solución, (1) y=arcTgx. Ver figura 1.32
(2) y=2arcSen(x/2)
La gráfica de esta función se
obtiene de la gráfica de y=arcSenx
estirándola horizontal y vertical
mente en dos unidades.
Rsto es, Dom (f) = |I2, 2]
y Ran(f) = C7r,7r]
(4) y = j arcCos2x
(5) y = arcSen(i^)
118 Capítulo 1: Función
(3) y=1+arcTg2x y1=arcTag2x
La gráfica de esta función se
-h 11 ion 5: Funciones trigonométricas 119
I Un cuadro de altura a cuelga de la pared de modo inclinado,
formando un ángulo diedro 4> entre la pared y el cuadro. Un
'Mervador que se encuentra frente a la pared a la distancia l
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obtiene de la gráfica de y=arcTgx
a) Desplazándola verticalmente ha
cia arriba en una unidad.
b) Encogiéndola horizontalmente
en dos unidades.
Esto es: Dom(f)=R
Ran(f )=<1+7t/2, 1-tt/2>
TTy 2(4) y = 2 ~ arcCoS2x
La gráfica de esta función se
obtiene de la gráfica de y=arcCosx
(Reflexión de la Fig. 1.31)
a) Desplazándola verticalmente ha
cia arriba en tt/2 unidades.
b) Encogiéndola horizontalmente
en dos unidades.
Esto es: Dom(f) = [j 1 /2, 1/2]
Ran (f ) = [-tt/2, tt/2]
arcCos2x
y*
V 1/2
- n / 2
k /2■ > x
H>x
£(■ i Un sector circular de ángulo central a se arrolla engen-
drando un cono. Hallar la dependencia entre el ángulo üj en
el vértice de dicho cono y el ángulo a, y construir la gráfica.
S o ¿ución. Sea el sector circular de radio r y ángulo central oí.
La longitud del sector
circular es:
S = ra , ae<0, 2tt> (1)
La longitud de la circunferencia
de la base del cono de radio ri
es: S=27rri, pero n=rSen(j)
+ S = 2TTrS_en(|)
De (1) y (2) se deduce que:
(2)
ra = 2iTrSen(^)
de donde 2arcSen(jj“)
. Mervador que se encuentra frente a la pared, a la distancia l,
i •• ni borde inferior del cuadro por encima de la altura de su vi
iu (la diferencia es igual a b). Hallar la dependencia entre el
/mgulo Y (formado entre la vista del observador y el cuadro) y
■ i ángulo í>,
W>(ución. Sea BC=a la altura del cuadro
y 0 el ojo del observador.
Kn el AOEC: TgB = l£ =AD
05 “ OAEA
TV0 = AB+BDOACD
b+aCos£aSen
ABKn el AOAB : Tga = bi
londo: y = Ba •» Tgy = Tg(Ba)
► Tgy =
b+aCosJlaSen
bl
1 , b/b+aCos<i>\' i í.aSen4>
a(bSen<l>+l,Cos(t>)
b2+2.2 + a(bCos<t>Í.Sen(j>)
Y = arcTg a(bSen<t>+g.Cosi|>) ~j
lb2+Jl2 + a(bCos<t>£Sen<t>)J
■TTÍ1 Indicar la dependenciá entre el ángulo de la vuelta que
da la manivela (véase el ejercicio 149) y el desplazamien
i" x de la cruzeta.
'•ifución. En el ejercicio 149 se determinó la ecuación:
x = a+R (1 Cos(j>)/a2R2Sen2it>
/a2R2 ( 1Cos2i,b) = ( ax)+R ( 1Cos<i>)
i:i ovando al. cuadr"a2o ambos extremos se tiene:
' R2+R2C os2d) ,= a22ax+x2+2R(ax)2R(ax)Cos<t>+R22R2Cos<*>+R2Cos2<í>in donde: 2R(ax+R)Cosó = 2R(ax+R) x(2ax)
x(2ax)Cos42R(a+Rx) arcCos^l 2r [a+Rx)]
Hallar el intervalo en que varía x para el cual sea válida
la identidad.
(1) arcSenx + arcCosx = § (2) arcSen/x + arcCos/x = ^
120 Capítulo 1: Función
y ______- -I„2
(3) arcCos/1x2 = arcSenx (7) arcCos (tj^r) = 2arcTgx
(¿) arcCos/lx2 = arcSenx (8) arcCos(!j— i) = 2arcTgx
<<>/i 5: Funciones trigonométricas 121
1 5 4 1 ++ (^fr + 1 0) a 1 0)
2 2x_25. 0 ) A ( -í+x2 * '• M + x 2 0)
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(5) arcTgx = arcCotg(1/x) (9) arcTgx + arcTgl = arcTg(j^)
(6) arcTgx = arcCotg(1/x)ir (10) arcTgx+arcTgl = ií + arcTg.(jÍj)
Sotución. (1) arcSenx + arcCosx = ir/2
Si .arcSenx = A x=SenA xe f1, 1 ] y Ae [-|,|]
arcCosx = B x=CosB xe[1,lj y Be[b,ujLuego, la identidad es válida para: 1^x<1
(2) arcSen/x + arcCos/x = w/2
Si arcSen/x = A +*■ /x = SenA xe[0,l"J y Ae ]]0,i:/2J
arcCos/x = B /x = CosB •* xe[0,l] y Be[0,irj
Por tanto, la identidad es válida para: 0^xí1
(3) Si arcCos/lx2 = A ■**■ /lx2=CosA >• 1x2}0 «>■ 1«x<1
arcSenx = B *>■ x = SenB ■> O xí.1
Si A = B +-*■ (1<xí1) A (0sx.f1) «>■ 0¿x< 1
(i) Si arcCo s/lx2 = A «*• /lx2=CosA *• 1x2j0 +* 1$x^1
.arcSenx = B ■*-*■ x=SenB 1fxf1Si A = B ■<-*’ ( - 1íx<1) A ( - 1<x<0) -<-*■ 1sxs0
(5) Si arcTgx = A *-*■ x=TgA *■ xsR yAe £7F/2,ir/2]
arcCotg(1/x) = B <* ^ = CotgB *■ xeR{0}y Be<0,it>
Si A=B, entonces A debe ser positivo, ya que B siempre lo es,
es decir, Ae£o,ir/2] para x>0.
Luego, la identidad es válida si (x>0) A (xeR{0}) *■ xe<0,+=»>
(6) arcCotg( 1/x)arcTgx = rr
Si arcCotg( 1/x)=A -*-*■ = CotgA xeR{0} y Ae<0,tt>
arcTgx=B +* x=TgB + xeR y Be<-tt/2,ir/2>
Si AB=7t , entonces B debe ser negativo ya que A siempre es
positivo, es decir, Be<tt/2,0>, para xíO
Luego, la identidad es válida si: (xeR{0}) a (x$0) ■+■ xe<«>,0>
(7) Si arc Cos (^ 2 ) = A +-*■ = CosA + )e [ - 1. i ]
í+x2 * • M + x 2 0)
■«* (xeR) A (xeR) ++ xeR y Ae[0,ir]
I arcTgx=B «>• x=TgB + xeR y Be [tt/2,71/2]
Dado que A es positivo y si A=2B *• Be[0,rr/2j y xíO
Luego, la identidad es válida si xe£o,+>»>.
1 ¡2(h ) arcCos(j^r) = 2arcTgx
Si arcCoS ( ^ ) = A ~ ^1-x2 — j = CosA
■l^r > 1 «-*• xeR y Ae[b,ir]
Si arcTgx = B ■** x=TgB *■ xeR y Be [-tí/2, tt/2]
Para que B sea negativo, entonces: Be £-tt/2,0] y x.í0
Luego, la identidad A=2B es válida para xe<“,cf]
(0) arcTgx + arcTgl = arcTg(|~)
(10) arcTgx + arcTgl = tt + arcTg(j^)
Rp. xe<°°, 1>
Rp. xe< 1, +“>>
Valiéndose de las identidades del ejerciólo 161, hallar él
dominio de definición y construir la gráfica de la función
(1) y=arcCos/lx2,
(2) y=arcSen/lx+arcSen/x (4) y=arcTgxarcCotg(1/x)
(3) y=arcCos(ij~£i)
’-o-lución. (1) y=arcCos/lx2
La función es real
.'. Do¡n(y) = [1,l]
"iraglin el ejercicio (3) de 161,
rcCos/1x2 = arcSenx, xefo.lj
Entonces podemos trazar la grá-
fica de y=arcSenx para xe[p,lj.
I’ara xef1,0], trazamos ,1a re-
flexión de la misma función.
1x2%0
~>x
122 Capítulo 1: Función
(2) y=arcSen/1x + arcSen/x
La función es real *-*■ 1x?0 A xSO
• ■' " 5: Funcione s trigonométricas 123
"/•'\x<37r/2, hacemos: z=xir *• x=7r + z , -tt/2í zStt/2
i"i"nces: y=arcSen(Senx) =arcSen[Sen(TT+z)]=arcSen(Senz)
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xg 1 A xjo Dom(y)= [0. 1]
Según el ejercicio (2) de 161, arcSen/x + arcCos/x =
para xe[0,1 j. Pero arcSen/1x = arcCos/x , si xe[b,l]
Entonces, en (1):
arcSen/x + arcSen/1x =
Por tanto', y=u/2 , para xe[o,í]
Esto es, la gráfica de la función
(2) es una recta horizontal.
(3) y = arcCos(^p)
Por definición:, 1 - x -
' 1 +x'
.. . 1X2 . ..1 < ñ ? * 1
y e [ 0 , i r ]
y e [ '0 , ti]
(1)
Según el ejercicio (7), la desigualdad es válida ¥xeR.
dy2Además, arcCos(~, 1+x¿)=2arcTgx , si xe<0,+°°>
Luego, si y=2arcTgx , xe<0,+°°>
la gráfica de la función se obtiene
de la gráfica de y=arcTgx estirándo
la verticalmente en un factor 2.
Esto es, Ran(y)= [0,7r>.
(4) y=arcTgxarcCotg(1/x)
Por definición: ( x e R ) a (xeR{0}) + Dom(y)=R{0}
Pero según el ejercicio (5)' de 161, arcTgx=arcCotg(1/x).
Por tanto: y=0 . La función está definida por todas partes, ex-
cepto para x=0. Su gráfica es el eje X.
v 3 Construir la gráfica de la función y=arcSen(Senx). Demos-
trar que la función indicada es periódica y hallar su pe-
ríodo.
So ¿ación. Sobre el intervalo ir/2£x$7r/2, según la definición de
la,función arcSenx se tiene: y=arcSen(Senx)Ex
Para obtener la gráfica de, la función sobre el intervalo:
Construir la gráfica de la función y=arcCos(Cosx)
f'ución. Por definición sabemos que si:
y=arcCosx *->■ x=Cosy *■ 04yí--n
1ti Unces so br e el intervalo 0$x<:ir
mm tiene: y = arcCos(Cosx) = x
l ira el intervalo [ff,27r], hacemos
z=2tt-x -*■ x =2tt-z
• y arcCos rCos(2Trz)J =arcCos(Cosz)
• y a ■*■+ y=2Ttx , xe jjr, 2tt]
i'irn el intervalo [n, 0] hacemos: z=x
y arcCosfCos(z)]=arcCos(Cosz)Hz
■ y=x , xe[7r,0] , etc.
Construir la gráfica de la función y=arcTg(Tgx)
■ ución. Por definición sabemos que si:
y=arcTgx — x=Tgy .+ ye<ir/2, ir/2>
"l.onces, para trazar la gráfica de la función sobre el interva
i i nces: y=arcSen(Senx) = arcSen[Sen(TT+z)]=arcSen( Senz)
*• y=a rcSen(Senz) =z y= (x7r)=irx , xe [tt/2, 37t/2]
Análogamente, para xe [3tt/2, 5tt/2] •, hacemos: z=x -2tt y obtenemos:
y=x2?r , xe [3tt/2, 5tt/2]' , etc
Im l'unción es periódica puesto que:
f(x+T) = arcSen [Sen(x +T)j = arcSen( Senx) = f(x), ¥xeR!i período de la función es T=2 tt.
124 Capítulo 1: Función
•lo 7r/2<x<Tr/2, se tiene: y = arcTg(Tgx) = x
Para el intervalo <ir/2,3n/2>, hacemos:
z = x iT *■ x = it + z > ir/2<z<ir/2
•• •‘ am 5: Funciones trigonométricas 125
I xe fir/2, 3^/2] y=x(irx)=2xtr
xe 5ir/2] ■* y=x(x2ir)=27r
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z = x- iT -*■ x = it + z > ir/2<z<ir/2
Entonces: y = arcTg [Tg (ir + z)] arcTg (Tgz ) = z
y = xir , xe<ir/2,3n/2>
para el intervalo: xe<3ir/2,tt/2>, hacemos: z=x+ir *• x = z -tt
y=arcTgl"Tg(zir)]=arcTg[Tg(irz)J =arcTg(Tgz)=z
y = x +tt , si xe< 3n7 2 ,u/2> , etc
Construir la gráfica de la función:
(1) y=xarcTg(Tgx) (3) y=xarcSen(Senx)
(2) y=xarcSen(Senx) (4) y=arcCos(Cosx)arcSen(Senx)
Soiución. (1) y = xarcTg(Tgx)
Valiéndonos de la gráfica del ejercicio 165 se
tiene: y,
Si xe<ir/2,tt/2> *• y=xx=0. n
xe<it/2, 3tt/2> > y=x(x7r)=n
xe<37r/2,tt/2> *■ y=x(x+ir)=3T
____ __i
271 jItt ti12
111
£ 02
7t
5 71 I tt 2jc2 2 71
(2) y=xarcSen(Senx)
valiéndonos de la gráfica del ejercicio 163 se tiene:
Si xe [-3ít/2,7r/2_| •* y=x(-tt-x )=2x +it
xe [ir/2 ,ir/2j ■* y=x -x =0
( 0 y=xarcSen(Senx)
Valiéndonos de la gráfica del ejercicio 163 se tiene:
Si xz\_-3ti/2,-i\/2] * y = x(irx) = - tt x - x 2
x e [rr/2 ,Tr/2] + y = x(x) = x2
xe [tt/2, 3ir/2] *• y = x(irx) = 7rxx2
x e [3tt/2, 5ir/2] *• y = x(x2u) = x 22irx
ifizando la gráfica de cada parábola en los intervalos indicados,
"M.enemos: *
(/,) y = arcCos (Cosx)arcSen(Senx)
Según la construcción de las gráficas de los ejercicios 163
y 16 4. se tiene:
Si xe [ir, 7r/23 y = -x -(-x-ti) = ir
126 Capítulo 1: Función
Si xe<ir/2,0] + y = x(x) = 2x
xe<0,7r/2] *• y = xx = O
xe<ir/2,7r] *■ y = x(irx) = 2x7r
■■.. ion 6: Problemas de cálculo 127
•i) kn el intervalo C3,2j: =15 , para x=2IÜS.X
ymin=5’5’ para x=0‘6i i l.n función pasa del crecimiento al decrecimiento en x=2
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xc<-n, 3tt /23 + y = 2 x(irx) = ir
x e<3'H'/2p 2rr] *• y = 2irx(x-2it) = 4tt-2x
PROBLEMAS DE CÁLCULO
Trazar la gráfica de la función y=x3+2x24x+7 en el inter-
valo 2], tomando los valores de x con intervalo de 0.2
En el eje de ordenadas elegir la escala .20 veces menor que la del
eje de abscisas. Hallar los valores máximo y mínimo de la función
en el intervalo C_3,2j de acuerdo a la gráfica. En qué punto pa-
sa la función del crecimiento al decrecimiento? Hallar la raíz de
la función en el intervalo [4,2]. La exactitud del cálculo debe
ser 0.1.
Solución, Construimos una tabla de valores según las condiciones
dadas.
X -4 - 3 . 8 - 3 . 6 - 3 . 4 - 3 . 2 -3 - 2 . 8 - 2 . 4 - 2 . 2
y -17 - 3 . 8 0 . 2 4 . 4 7. 5 10 12 13.4 14.3
X -2 - 1 . 8 - 1 . 6 - 1 . 4 - 1 . 2 -1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2y 15 14 .8 14 .4 13 .8 13 12 11
10.8 .9 7 .9
X 0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1. 2 1- 4 1 .6 1 .8 2
y 7 6 . 3 5 .8 5. 5 5. 6 6 6 .8 8 9 .8 12 15
Según la escala sugerida trazamos la gráfica de la función, de
donde obtenemos:
167
1 I.a raíz de la función es aproximadamente: x=3.6
di Al estudiar las leyes de dispersión de la metralla (en la
teoría balística del tiro) es necesario construir la grá
l'irn de la función y=e*cos a, e=2.718. Efectuar esta operación
(1 ni*m A=2, dando a a los valores desde 0o hasta 90° con interva-
lo 1I0 5°. El cálculo debe ser efectuado con exactitud hasta 0.01
•fución. Para A = 2 y=e2o0S a
Construimos la siguiente tabla de valores con una pre
InIón hasta 0.01.
a 0o 5° 10° 15° O
. O cv 2 5°
O O OA 35° 40°
7 .39 7 .33 7 . 2 8 6. 89 6. 52 6 .07 5 .54 4 .96 4.34
n 45° 50° 55° 60° ■ 65 ° 70° 75° 80° 85° 90°
3 .70 3 .06 •2. 53 1. 85 1.32 0. 87 0 .49 0 .22 0 .05 1
instrucción de la gráfica se deja como ejercicio. Usar papel
iImntrado.
128 Capítulo 1: Función
Sean dados tres puntos Mj(1,8), M 2O . 6 ), M 3 (9,3). Trazar
la parábola y=ax2+bx+c que atraviese estos tres puntos. Ha
llar las raíces de la función ax 2+bx+c. La exactitud del cálculo
Si.. h uí <>: P rob lem as d e c álcu lo 129
’i» tulo cortado? La exactitud del cálculo debe ser 0.01.
' turión. Sea x el lado del cuadrado recortado.
Es evidente que xe<0,15>
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debe ser 0 .0 1 .
Solución. Sea la función: f(x)= ax2+bx+c
Si M 1(1,8)ef + 8 = a+b+c (1)
M2 (5,6)ef 6 = 25a+5b+c (2)
M s(9,3)ef + 3 = 81a+9b+c (3)
Resolviendo el sistema obtenemos: a=1/32 = 0.0312
b=5/l6 = 0.3125
c=267/32 = 8.3440
/. y = (2 6 710 xx2) ó y = 0.0312x20.3125x+8.344
Los coeficientes han sido calculados con una exactitud de 0.0001.
Construimos una tabla de valores, hallando las ordenadas con una
exactitud de 0 .0 1 .
x - 2 0 - 1 5 - 1 0 5 0 1 5 9 10
y 2 . 1 0 6 8. 34 8.. 81 8.34 8 6 3 2.21
XJ22.09 y x 2=12.09
T7íl Una lámina de hojalata de 30x30 cm2 ha de servir para fa-
bricar una caja de 1600 cm 3 de capacidad, recortando de e
11a cuadrados iguales'. Cuánto debe medir el lado x de cada cua
1 h liase B de la caja tiene por lado
£=302x
ti1 li x es la altura de la caja, en
1 "a: V=B*h=£2h * 1600=4(15x)2x
!■ ilonde: x 330x2+225x400=0 (1)
nn la función: y=x330x2+225x400
l.nu raíces de (1) son los ceros de
111 función en xe<0,15>. Entonces vea
mu¡1 para qué valores de x la función
i' ninbia de signo.
f!l x=1 y=130+225400 = 204
x=2 »• y=8120+ 450400= 62 1Cambia de
x = 3 >• y=27270+675400=32 J
X I I *> y=64480+900400=100
x=7 >• y=3431470+1575400 = 48¡> Cambia
x = 8 y=5121900+1800400 = - 3 J
Luogo, la primera raíz, x i £ < 2 . 3 > , y la segunda
A hora, si x=2.5 * y=15.625187.50+562.50400
x=7. 8
x = 7 . 9
"9.37
<=2.6 + y=17.576202.8+585400 = 0.22
x 1=2.61
► y = 474.5521825.20+1755400 = 435
► y = 493.0391872.30+1777.50400 = 1.76
/. X 2-1. 87
Comprobar lo siguiente: si en la ecuación x ‘*+px2+qx+s = 0 p_o
y, dicha ecuación será sustituida por el sistema:neaos x
donde: y0
{ 2x -y(yyo)2+(xx0)2=r2
= ■!=£2 x 0 = . a r 2 = yo+Xo£
Valiéndose de este procedimiento, resolver gráficamente la ecua
"n x l*3x28x29=0. La exactitud del cálculo debe ser 0.1.
'in/iJtoiación. En efecto, restando y sumando x2 a la ecuación dada se tiene:
130 Capítulo 1: Función
(x*+px2x 2) + (x2+qx) = s
En el primer paréntesis hacemos: x =y
íy2(1p)y]+(x2+qx) = s
h uí (< Problemas de cálculo 131
e!■ • 1 liando las potencias indicadas y agrupando términos obtene
■"« 1
« 1 '1 (/,h + a)x1 3+(6h 2 +3 ah + b)x|2+(4h ,+3ah 2 +2bh + c)x, + (h1, + ah> + bh 2 + ch+
1
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Completando cudrados para ambas variables se tiene:
y2(1p )y+ (^ )2 + x2+qx+(f)2 = (^E )2+(|)2s
♦ (y - ^ ) 2 + ( x + § ) 2 = ( ^ E ) 2 + ( § ) 2 - a
Haciendo: y 0 = , Xo = | , r2 = yf+xjjsObtenemos: (yyo)2+ ( x - x o)2 = r2
En la ecuación x ‘*3x28x29 = 0, tenemos: p=3, q = 8 , s=29
r2 = 4+16+29 = 49
Sustituyéndola por el sistema:
(y2)2+(x4)2=49
Trazamos las gráficas de la pará
bola y la circunferencia de cen-
tro C(4,2) y radio r=7. Ambas se
intersectan en los puntos de abs.
cisa: xi=2.3.y X2= 3
que son las raíces reales de la
ecuación propuesta. Las otras dos
raíces son imaginarias.
Utilizando el procedimiento del ejercicio 171 demostrar lo
siguiente: al efectuar un cambio complementario de la vari
able x=xl+h, las raíces reales de la ecuación de cuarto grado
x'* + ax3+bx2 + ex+d=0 pueden ser halladas gráficamente encontrando
los puntos de una cierta circunferencia con la parábola y=x2.
Valiéndose de este procedimiento resolver gráficamente la ecua-
ción xi, +1 . 2 x 3 - 2 2 x 2 - 3 9 x + 3 1 = 0 . La exactitud del cálculo debe ser
0 . 1.
Solución. En efecto, sustituyendo x=x'+h en la ecuación dada se
tiene:(x,+h)‘, + a(x,+h) 3 + b( xl+h)2 + c(x'+h)+d=0
172
+ d )= 0 (1)
A1,iit rimos el término en x ' 3 haciendo: 4h+a =0 ■* h=a/ 4
intuyendo en (1) resulta:
1 ' t (b a2 )x1 2+ (ga3 ^ab+c )x1 j? |ac + d = 0
(tiiunclón de la forman x 1 l*+ax1 2 +6x !+y = 0I 1 acudiendo como en el ejercicio 171 se tiene:
(x1 l|+ax 1 2x 1 2 ) + (xl2+Bx']t = y
II >ii'l undo x |2=y'[y'2(1a)y 'J + (x,2+ x 1) = y
1'• ■ ni]•Letando los cuadrados para ambas variables se tiene:
y'2( 1a)y' + (lfS)2+ x'2+B x'+(f )2 = y + ( ± ? ) 2 + ( § ) 2
(y' - ^ ) 2 + (x* + | ) 2 = r 2 (2 )
i,1 la ecuación de una circunferencia, en donde:
" b * I a2 • B= b 3~ b h+c ’ 7= ■ ifs + t t * ~k + d *
r2 = ( l ^ )2 + (|)2y (3)
.I x“ + | x 322x239x+31=0 *• a=6/5, b=22, c=39 y d=31
'.iimtituyendo en las igualdades (3 ) obtenemos:
a=2 2.54 , 6=25.6 , y=41 , r2 = 2 6 2 + r= 1ó . 2
I.tingo, en (2 ), la ecuación de la circunferencia es:
(y1 11.8)2 + (x'12.8)2
Kn el sistema X'O'X' trazamos
las gráficas de la parábola
y'=x ' 2 y la circunferencia de
(.•entro 0 (1 2.8,1 1 .8) y radio
i' = T6.2, y vemos que ambas seinterceptan, aproximadamente,
on los puntos de abscisas:
xJ=3 .3 , xJ= 2 .6 , xJ=0 .9 y
xj=5.1. Dado que x=x'+h y h=
•< sea h=0 .3 , entonces:
xi=3.6, x 2=2.9, x 3=0.6, xii=4.8
non las raíces de la acuación original.
132 Capítulo 1: Función
Hallar gráficamente las raíces de la ecuación exSenx=1, e=
2.718, comprendidas entre 0 y 10. Indicar la fórmula gene-
ral aproximada para los valores de las raíces restantes. La exacLÍMITE Y
CONTINUIDAD
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titud del cálculo ha de.ser 0.01.
Solución. Si e Senx=1 ■<+ e
Sean las funciones: y=e
Ya
= Cosecxx y=Co secx
Trazando las graficas de
'antas funciones en el in-tervalo <0,10>, vemos q'
se interceptan en los pun
tos de abscisa: xi=0.59,
x.2=3.10, x 3=6.29, xi,= 9.43
Estos valores son las raí
ces aproximadas de la e
cuación dada.
Como 2tr = 6.28 y 3^=9.42;
entonces podemos escribir:
xs=2tt y xt,- 3v con una á
proximación de 0.01.En consecuencia, la fórmula general aproximada para los valores
de las raíces restantes es:
x = Trn , n>2
Resolver gráficamente el sistema:
x+y2=1 , l6x2+y=4
Rp. (0.57,1>26), (0.42,1.19), (0.46,0.74), (0.54,0.68)
1¡¥| Construir la gráfica de la función (en el sistema de coor-
denadas polares) para los valores del ángulo polar 0 con
el paso igual a tt/12.
(1) r=a9 (espiral de Arqúímides)
(2) r=a/0 (espiral hipperbólica)
(3) r=ea® (espiral logarítmica)
(5) r=aCos20 (rosa de 2 pétalos)
(4) r = aSen30 (rosa de 3 pét. ,
(6) r=a(1Cos8) (cardiode)
Efectuar los cálculos con exactitud hasta 0.01. Conviene ele
gir cualquier constante a>0.
CONTINUIDAD
DEFINICIONES PRINCIPALES&
I 1 FUNCIONES DE ARGUMENTO ENTERO
Dada una sucesión {un)=ui,u2, ...,u , se dice q'
el número L es el límite de la sucesión, o bien
lim u = Ln+co
«i i''ira cualquier e>0 existe un número K (que, en general, depen
• fi* do e), tal que:
|un L| < e , ¥n>N
"K'in esta definición diremos que la sucesión conve./ige a L.
Bfi" .úgnifica que, tomando L como punto medio del intervalo de
Ji ‘ii it,ud 2e, todos los términos de la sucesión, excepto un núme
f*■ ilaito de ellos, deben estar dentro de este intervalo.
¡* 2e ---------O — — — o
L- e L L+e
II 2.1 Si {unJ y son dos sucesiones convergentes ta-
les que: lim u =Li y lim v =L2, entonces:n -> oo n + > n
■■ 1 I tm (u ± v ) = Li ± L2>,►« n n
134 Capítulo 2: Límites y Continuidad
b) lim (u •v ) = L 1 .L2n - v a . n n
:) lim (£) = r 1 , si v ¡¿0 y L2f 0rx» n n
1mu I: Definiciones principales 135
í'nr tanto, en (1): |rn | < np
• 1 1 * 1 1 1fin que: — = ’(— )(— )■ y — = 0 , cuando n+<» — =0 cuando n+«>
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TEOREMA2.2 El limite de una constante es la misma constante,
es decir, si un=k, ¥n, entonces:
lim u = lim k = knjoo n-+<x>
TEOREMA2.3 Si'{u }, {v } y {x } son tres sucesiones tales quev„,. n n " n
un ^ vn *n * ¥n >N * si
lim u = lim x = L *■ lim v = Ln*® n*°° n n*>®
demostración. En efecto,, si e>0, y como lim u =L , entonces sen - w o n
gún la definició 2 .1 ,
3Ni(e)>0/ Le<un <L+£ , ¥n>Ni(e) (1)
Además, lim x =L *■ 3N2 (e)>0/ Le<x <L + e , ¥n> N2 (e) (2)n+» n n
Si consideramos N(e)=max{N1 (e),N2 (e)} , ¥n>H(e) , de (1) y (2)
se tiene: Le<un^v n^xn<L+E , ¥n>N(e)
es decir, Le<vn<L+e ■<»• |"v L| < e , ¥h>N(e)
lim v = Ln>°°
Por ejemplo, lim(k í ) = 0 , pues: ^ 3 ?■!££ ^ i y lim(^)=0n~+c° n+°°
TEOREMA2.4 Si 0<|r|<1, entonces la sucesión {r } tiene por li-
mite cero, cuando n>°o.
Demostración. En efecto, si |r|<1, podemos escribir:
|r| = 'Y?p" • *P>°
Entonces: |rn0| = jrn | = --- — (1)(1 +p)n
Por el teorema del binomio: (1+p)n = 1+np+ ^ ^ ,~ p2 + .
1 „ 1
n• + P
Como cada término es positivo (1+p)n > np ----- — <(.1+p) np
i• ún el teorema 2 . 3 se concluye que |rn |>0 , o sea: rn +0
lim(rn ) = 0 , si 0<| r | < 1n*»
■ ■ n u i i n H i r f Una sucesión (u l se dice que es cr.ec¿ente, si se
cumple que: un < un+^, ¥neN
Una sucesión {un> se dice que es dec/iecie-nte. si
se cumple que: u^ > VneN
PROBLEMAS RESUELTOS
m La función de argumento entero toma los valores
u i = 0 . 9 , u 2 = 0 . 9 9 , U3=0. 9 9 9 , — , u n = 0 . 9 9 9 . . . 9 9 ,
n veces
i .| iió es igual lim(u )? Qué valor debe tener n para que el valorn**° n
ii 'iluto de la diferencia entre un y su límite no sea mayor que
> . 0,00 1 ?
fución. Si Ui = 0.9 ui = 1 yg
u 2 =0. 99 *■ u 2 =1 _ L _ 1 _ 1 •1 00 1 TcT7
• u 3 0.999 *■ u 3 =.1 1000 1 1Q
u„ = 0.999...9 + u — 1 — — !— n 1o
■ i'o, haciendo uso de los teoremas 2.1 y 2.A tenemos:lim(u ) = li m (1 — L) = lim( 1 ) lim(— !— ) = i_q = 1n **o° n*» 10 n-x° n*00 10
I u LI < e |1 1| < 0.000110x
— | < 10'^10n
1 0 ' n < 10- ¿ n= 4
136 Capítulo 2: Límites y Continuidad
mwfm La función u toma los valores■A 1 B n
u i=1 t u 2= 1/ A * u 3= 1/9 » • • • • t u^ —1/n
Hallar lim(u ). Qué valor debe tener n para que la diferencia enn**> n
i mu I: Definiciones principales 137
iiu os, si n=2k+1, keN *• L = £ = 0
i.i n par: Co s (n7r/2) =1 ó Cos(mr/2) = 1
. . (i, si n=2k , keN + L = ~ = 0
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tre uR y su límite sea menor que un número dado positivo,e?
Solución. Por el teorema 2.4: lim(u ) = lim(1/n2) = “ = 0n*00 n*»
Si I- 2 oí < e ** n 2 > 7 <* n > — — In | /l
ET77I Demostrar que u = nru tiende a 1 al crecer n en forma lin n+t
mitada. A partir de qué valor de n el valorabsoluto de la
diferencia entre un y 1 no es mayor que 10 **?
de.mostn.aci6n. En efecto, consideremos la diferencia: u 1
n1 1 _ 2n+1 n+1
Valorando su magnitud absoluta, según la definición 2.1,tenemos
IÜT 1 = 'ñTT + "ñTT_< e ‘
+* n > | 1 = N( e)
Así, para cada número positivo e sepuedeencontrar un número
N = — 1 tal, que si n>N se cumpla ladesigualdad (a). Por tan-
to, el número 1 es el límite de la sucesión: un = 2pj .
Si Iun11 < 10* + _|_ < _ M l > . 10^
'«*■ n > 200001 = 19999
Cf £l La función v toma los valores:■ m n
' Cos(tt/2) Costt „ _ Cos(3ti/2)Vi , V2 - 2 * V 3 — , ....
_ Cos (nír/2) Hallar lim(v ). Cuál debe ser el valor de nn n . „ ' nn+oo
para que el valor absoluto de la diferencia entre v^ y su límite
no sea mayor que 0.001? Toma la función v^ el valor de su propio
límite?
Soiución. Sea L = lim(v ) = lim Cos(nu/2_)_n>■<*> n nx» n
Vemos que para n impar: Cos(mr/2) = 0
.’. lim(v ) = 0n«0
di |vn0k0.001 + Cos(nTr/2) ^ 0>001 ^ n ^ i000Cos(mr/2)
i ii■ (¡ue: 0 < Cos(n7f/2) .$ 1 *• n 1000
»nitud de la función v^
caso de que n=2k+1, keN
Magnitud de la función vn toma el valor de su propio límite
n a El término general u^ de la sucesión: ui = 1./2 , U 2= 5/.£ ,2n *i
u 3= 7/8 , u i ,= 17/16 , ... , toma la forma — — , si n es un2n
2 +1 *mu ro impar, y — — si n es un número par. Hallar lim(u ). Cuál
2 n» n
11• •"• ser el valor de n para que la diferencia entre ufi y el va
i"r absoluto de su límite no sea mayor que 10"4, qUe un número
1 i In positivo e?
¡"fusión. Si n es un número impar entonces:
lim ?— l = lim( 1 ---i) = 1 1 = 1„ co 2P n— 2n
/ 1 "Im os un número par lim — — = lim(1 + —~) = 1
lim(u ) = 1n»>
1| ^ 10"4 + | ^ 1 1| ,< 10'4 | i| io‘42 2
■ l" nde: 2n >, 10 4 , pero como: 213 < 1o4 < 214 ( entonces:
2n >, 2^4 ++ n U
|unl|<e + 1 $ e 2n >;1
n/indo logaritmos de base 2 en ambos miembros obtenemos:
n í - l o g 2 ( 1 / e )
138 Capítulo 2: Límites y Continuidad
Q Q Demostrar que la sucesión un= 3^ 2+2" ’ a^ crecer n infinita
mente, tiende al límite igual a 4/3 creciendo de modo mono
tono. A partir de qué valor de n, la magnitud u^ no es mayor que
/1’ii I: D efiniciones principales 139
lurii determinar el caracter de u^ supongamos que:
. >/n 2 + a2 . /(n+1 )2 + a2'i n+1 n n +1
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un número dado positivo £.
De.mo¿tn.ac¿6n. En efecto, según la definición 2.1 formamos la di.
4n2+1 4 _ 5ferencia: ^ +2 " 3 " * 9n‘ +6
Valorando su magnitud absoluta tendremos: < e
de donde: 9n2 > ; ~^e *■* n > j \j N(c)
De esta forma, para cada número e>0 se puede hallar un numero
H = 1 1 / ?6e tal> que si n>fj se cumpla la desigualdad (1 ).
¿n +1Por tanto, el número 4/3 es el límite de la sucesión un= ^n 2 +2
Si 3 * un « e + 3 ’ 3^ T 2 « e + 9 ^ * e
de donde: n >, / ¿E, si £<5 / 6
Demostrar que u =+ a tiene por límite 1, al crecer n
infinitamente. A partir de qué valor de ,n la magnitud
|1_u | no es mayor que un número dado positivo e? Qué caracter
tiene la variable u ? Es creciente o. decreciente.n
de.mo¿t/iaa¿6n. Vamos a probar que: lim— n = 1(1)n+oo '
~ A » • i /n2+a2nEn efecto, la diferencia: un1 = ---- ---
Según la definición 2._1, si lim(u )=1 3e>0/ |unl|<£, ¥n>Nn*» .---
+ |/n_2íaf.* | < e (2)
<*■ /n2+a 2 < n(£ + l) n > — --- = N(e)/e (2 + e)
Así, para cada número £>0 se puetie hallar un número N= ■ a ■/ e ( 2 + e )
tal, que n>N se cumple la desigualdad (2). Por tanto, se verifi-
ca la fórmula (1 ).
Æ 2?Si | 1 u | s E 7— s £, de donde: n >. . a n n /e(2+e)
•+ (n+1 )2(n2 + a2) > n 2 (n2+2n +1+a2) +* 2a2n+n2 > 0
¡ i ilosi'gualdad as válida VnEN y ¥a£R. Por tanto, según la défini
•lón 2.3, la sucesión u es decreciente.n
IMl. La función vn toma los valores de coeficientes binomialesvi=m , v2 = , v, = , ....
ÜL1 3 ^ ¿ n~1 , donde n es un entero positivo.
i' » l I at lim ( v ).n*“
“ íución. Sea L = lim(v ) = lim Lm~ n ~ 1 .?. = lim !n>œ n n»°o n ! n+°> n !
Unciendo n=m+1 , vemos que si n>“>, entonces, m+1*»
I.licito, L = lim ! = lim — — — (Pero 0! = 1 )m+<» (m + 1)! m«» (m+1 ) !
lim -- ---n+00 (m + 1 ) !.’. L = lim -- --- = 1 = 0
■ 1 l1 Demostrar que la sucesión: un=1+(l)n no tiene límite cuan
do n crece infinitamente.
!>>■ mo4tn.ac¿6n. Demostraremos el ejercicio a,uponiéndo que la suce
sión tiene límite LeR, tal que:
lim (u ) = L * ¥e>0, 3N>0/ 11 +(1 )nL |<e , Vn>?J n+»
+ £ < 1 + ( 1)nL < E
+ L-e < 1+(1)n < L+e , ¥n>N (e ) (1 )
•ni" LeR, entonces ocurre que: a) L=0 , b) L<0 , c) L>0Analicemos cada caso:
n) ::í L=0 y elegimos, en particular, e ^ I / 2, tenemos:
" \ < 1+(1)n < \ > VnENÍEj)
Si n es un número par * - < 2 <, lo cual es falso.
I') Si L<0 y elegimos e 2 = L, entonces, en (1):
140 Capítulo 2: Límites v Continuidad
2L < 1+(1)n < 0 , ¥n >N (e2)
Si n es un número par2L < 2 < 0 , lo cual es falso
c) Si L>0 y elegimos e¿=L,entonces, en (1) se tiene:
". ruin I: Definiciones principales 141
i Ü J Demostrar el teorema: Si la sucesión ui,u2, ...,u y
vi,V 2,.••,v ,.. tienden al mismo límite común a, la suce
hi'm U|,vi,u2,v2> •••••u v tienden al mismo límite.
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0 < 1 + ( D n < 2L , ¥n>N(e 3)
Si n es un número impar 0<0<2L , lo cual también es falso.
En consecuencia, no existe ningún número real L, tal que
lim(u )=L , es decir, la sucesión u ='1 + (1 ) no tiene límite, on-s-oo n
sea, un es divergente.
|y 23 Demostrar que al crecer n infinitamente la sucesión
2n + ( - 2 ✓ / 2n + ( -2 )nu = --- — — — no tiene límite, y la sucesión v = ---- n 2^ 3
si lo tiene. A qué es igual éste?
2n+(-2)n (-2)nDe.mo¿¿/iaci¿n, En efecto, u = ----- -------------- = 1 + - —
xi 2 2
un = 1 + (1 )n
En el ejercicio anterior ya se demostró que esta sucesión es di-
vergente, es decir, no tiene límite.
_ 2n+(2 )n/2 \n + / 2 ^nn " yi K 3
Si lim(vn ) _ L + ¥ e > 0 3 N>o/ |v L|<e , ¥n>Nn °° n
+ I ( | )n+ (" | ) n - Ll < e
Si n es unnúmero impar *■ | — L |<e *■ |L | <e
La desigualdad se se cumple para L=0
Si n es un número par +|2( )n L| < e
2(|)n L < e «*■ (|)n < (1)
de donde: n > log2/ 3(^p) . Si L=0 + n > log2/ 3(|) = N(e)
De esta forma, para cada e>0 se puede hallar un número N=log2 (|)3
tal, que n>N se cumpla la desigualdad (1).
Por tanto, L=0 es el límite de la sucesión v
(JJj Demostrar el teorema: si la sucesión ui,u2,...»u ,.. tien-
de al límite a, cualquier subsucesión suya (por ejemplo Uj
Ua.Us,.. ) tienden al mismo límite.
KE3 La sucesión Ui,u*,...,u ,.. tiene por límite a/0. Demostrar
que lim = 1. Qué se puede decir sobre este límite sin*» n
a=0 ? (Citar ejemplos). Rpta. Cuando a=0 este límite
puede ser igual a cualquier número o no existir.
1 2 FUNCIONES DE ARGUMENTO CONTINUO
G n n n a z B Sea y=f(x) una función definida en un intervalo
abierto I, que contiene al número a. Se dice que
* I I imite de f(x) es L, cuando x tiene hacia a, y se escribe:
l i m f ( x ) = Lx->-a
f Vi >0, 3ó>0/¥xeI, 0<|xa|<6 *■ |f(x)L|<e
C B S Sea f:<a,+°°><R una función y LeR, se dice que L
es el límite de f(x) cuando x tiende a +°°, y se
i Di' rl be
l i m f ( x ) = L.x ■*■+«>
fi y nólo si, dado e>0, existe N>0 tal que si x>N •> |f(x)L|<e
E H Sea f a>_>R una función y LeR, se dice que L
es el límite de f(x) cuando x tiende a <*>, y se
riba i
l i m f ( x ) = L
■ I , Mi'lo si, dado e>0, existe M>0, tal que si x<.H |f(x)L|<£
142 Capítulo 2: Límites v Continuidad
Estas, dos últimas definiciones se puede resumir en la siguiente
Sea í’:R‘>'R una funci°n tai tiue si i^m f(x)=L* en"
d d i ú ( d
■¡'ni I: D efiniciones principales 143
¡' u:¡ l, j tuyendo (2) y (3) en (1) se tiene: l|x2|<e + |x -2|<5e
i.'M'iro, dado E= 0.1, tomamos <5=min{ 1, 5e)
/. 5 = 5(0.1) = 0.5
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t.onces, dado e>0 existe un número N>0 (que depen
de de e ) tal que sis |x |>N(e ) + |f(x)L|<e
PROBLEMAS RESUELTOS
Sea y=x2. Cuando x+2, y+4. Cuál debe ser el valor de 6 pa-ra que |x2|<6 dé por resultado |y- A 1<e=0.001?
So ¿lición. Según la definición 2.4. l ú x2 = A , entonces:x+2
¥e>0, 3ó>0/0< |x2 |<6 + !y4 I<e
Tenemos que: |y-A\= |x2A I = Ix+2|. | x2 | . (1)
Para un 6 i dado, con |x2|<ói, tomaremos 6 1 = 1 y. mayorar | x + 21,
buscando un número M>0 tal que |x+2|<M, para 0<|x2|<1.
Luego, si Si=1 + |x2|<1 1<x2<1+3<x+2<5
Por transitividad: 5<x+2<5 ** Ix + 21< 5 (2)
De (1) y (2) se sigue que: |x+2|. |x2| < 5Ix2 |
< 5Ix2| lx2| < | = 6i
Dado e=0.001, tomamos: ó=min{ 1,e/5). Luego, <5 = g(0.001)=0. 0002
x 2 1Sea y= • Para x+2, tenemos y+3/5 Cuál debe ser el va
lor de 6 para que |x21<6 dé por resultado |y3/5|<0.1 ?
= |x+2 x
| y - 3 / 5 | = - | |
Para un <5 j dado, con |x2 J < 6 x, tomamos 6 i = 1 y buscamos un número
Solución, Si lim(^TT^) = 5 ¥e>0> 36>°, tal <lue :
x_>' 2 0< | x- 2 | <6 + | y3/5 1 <e
'2 -i - ¿I = 3lííii.|x-2¡
51x2+1 |
(1)
M>0, tal que: — ¡Í L< M.51 x 2 +1 |
Luego, si: |x21< 1 ++ 1<x2<1 +*• 3<x+2<5 + |x+.2_|<5
+ 2 |x+2|<10 (2)
De otro lado, si 1<x<3 + 1<x2<9 1* 2<x2 + 1<10 **■ jx2 +1 |< 10
<-+ 5|x 2 + 1 ] <50 (3)
m m w b x1■ I')'* Sea y = 2fx+’l) * Para tenemos y+1 /A. Cuál debe ser el
valor de 5 para que |x3 I <6 dé por resultado || — y |<0.01 ?
X 1 1'■• ración. Si lim ---- _ = y , entonces, según la definición 2.A
x+3 2 (x+1) 4¥e>0, 35>0/0< |x3 I<<S + |y1/¿|<£
1 ' ■ ' « Si l - 1 ' ■ 7Ü Í Ti n I x3 I<6 i elegimos 6 i = 1 para mayorar el factor y bus
ir el número M>0 tal que ^|x + | J < M
i.n i.onces, si | x31 1 «*• 1<x3<1 <+ 3<x+1<5 <>■ 4 < — — < 5 x+1 3
r transitividad: 4 < — tt <!!<+ — 777 < i <*ti— ~rr < — = M3 x+1 3 |x+1 | 3 4I x+1112 "
i.nMgo, en (1): | x3 I < £ + | x3 | < 12e
I 'I £=0.01, tomamos: S=min{1,12e] + 6 = 12(0.01)=0.12
MEK1 Demostrar que Senx tiende a la unidad si x + tt/2. Qué con-
diciones debe satisfacer x en el entorno del punto x= 7í/ 2
I i que se verifique la desigualdad 1Senx<0.01?
ll'El Si x crece infinitamente, la función y = tiende a ce-
ro. lim(^r^7y)~0 . Cual debe ser el valor de N para que
l‘|>N dé por resultado y<£ ?
'‘ ilición. Según la definición 2.7, si lim (^r)=o", entonces:
x+co x 1dado £>0, 3N>0/ | x (>N + \~r^r 0j < e + — ¿rr < e
x + l x + 1
1 lionde: x 2 > ~ - 1 ++ | x | > ] J 1 . 1
i'n consecuencia, por transitividad: N 5. v T 1 , si £^1
g r.ra o • x21M lU x *■ «o, y ~ 2 .j 1. Cual debe ser el valor de N para
144 Capítulo 2: Límites y Continuidad
que |x|>N dé por resultado Iy— 1 |<e ?
x21Solución. Según la definición 2.7, si lira (---- ) = 1, entonces:
x-h» x2+3
dado e>0, 3N>0/|x|>N > 1 I < e
i•'/i Magn itudes infinitas 145
.Una función f se dice que es acotada ¿upe,nion-
me.ntc sobre un conjunto ScDom(f), si existe un
.. ero M tal que:
f(x) .< M , ¥xeS
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dado e 0, 3 0/| | e' x2+3 I
de donde: | 1 < ’e *• j— > ■£ *■ x2 > 3x2+3l
x > 3 / F
Luego, si |x|>N y \x\> yj; 3 , por transítividad:
3 , si eíU/3
MAGNITUDES INFINITAS
CRITERIOS DE EXISTENCIA DEL LIMITE
8 3 B E 9 Una sucesión u^ es una magnitud muy grande, es
decir, diverge a °° y se denota lim(un)=<x> , si pan+oo
ra cualquier k>0 (generalmente de magnitud muy grande) es posi '
ble hallar un número N>0, que depende de k, Jal que:
u^ > k > 0 , ¥n>N(k)
Sea f una función definida en algún intervalo I
que contiene al número a, excepto a a, se dice
que limite de f(x) tiende a o° cuando x*a, y se denota:
lim f(x) = oo x+a
si para unnúmero cualquiera N>0, tan grande como se desee, exis
te 6>0, que depende de N, tal que si0 < |xa| < 6 *■ | f (x ) | > N ,VxeDom(f)
Si lim f(x) = ", entonces para cada número N>0,x-h»
existe un número M>0 tal que si xsDom(f) y
x > M ■* f (x) > M
C3ISB9 Una función f se dice que es acotada in¿e/LÍo/i-
me.ntc sobre un conjunto ScDom(f), si existe un
■m real m tal que:
f(x) 5 m , Vx eS
CZBSE1 Una función f se dice que es 'acotada sobre un
conjunto ScDom (f), si existe un número real M
i'i'iynr que cero, tal que:
|f(x) | M , ¥xeS
■• "i|uivalentemente, si existen números reales m y M tales que:
m í f(x) ^ M , ¥xeS
CHBSEBBES El ¿up/ie-mo de f sobre un conjunto S es el núme-
ro (si existe): Supf(x) = sup{f(x )/xeS}
m m m El intimo de f sobre un conjunto S es el número
(si existe): Inff(x) = inf{f(x)/xeS}
PROBLEMAS RESUELTOS
La función u toma lo.s valores: ui=3, U2=5. U3=7, ,.u =2n+1n n
Demostrar que u^ es una magnitud infinitamente grande cuan
■l'i n ■*■ “. A partir de qué valor de n la magnitud un se hace mayor
>l ue N?
i'cmoit/iación. Vamos a probar que: lim (2n + 1) = °°
n+“En efecto, según.la definición 2.8, ¥k>0, 3N>0/
i > k > 0 , ¥n>W + 2n+1 > k «» n >i 2
'lemos elegir N=k>0 * n >, ■ . De esta forma se ha probado q'
"n es una magnitud infinitamente grande, es decir: lim u = <*
magnitud u >N a partir de n > ^(N1).
196
146 Capítulo 2: Límites y Continuidad
Demostrar que el término general un de cualquier progresión
aritmética es una magnitud infinitamente grande cuando n**>
(Cuándo es positiva? Negativa?). Es válida esta aserción en el
caso de cualquier progresión geométrica?
ion ' Ma gnit ude s infin itas 147
■<íto, según la definición 2.9
¥N>0, 36>0/0<|x3 |<5 + > N
N>0 + 1^ 1 > N ** x3 ' X 1 1 ~ í <1
Vx
1 1K
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Dcmo¿í/iac ión. En efecto, el término general de una P.A. es:
un=ui+(n1)d. Según la definición 2.8
si lim(u ) = oo ¥k>0, 3N>0/u > k > O , ¥n>Nn+°° n
Entonces: ui + (nl)d > k n > ^+du¡
Eligiendo N=k>0 + n > — — ■1, hemos demostrado que ufi es una
magnitud infinitamente grande, es positiva cuando d>0 y negativa
cuando d<0.• ' ' x - n " 1En una progresión geométrica: un = uir
Aplicando la definición 2.8: ujr > k ■* r“ ’ > — n1 . ^ „n1 „ k
Ul
+ n 1 > logr(fe')
Si k=N>0 >■ n > 1+l.ogr ( )
La aserción es válida sólo cuando |r|>1
Cuando x+0 tenemos y= + “ • Qu® condiciones debe satis
facer x para que se verifique la desigualdad J y | > 10 ** ?
S o ¿ación. Según la definición 2.9, si li m(^+2x) = “ , entonces:x+0 x
¥N>0, 3<5>0/0< |x0 |<6 •> > N
Luego, si 0< | x | < 6 + | | > n ■*-*■ ^ + 2 > N ó ^ + 2 < N
~ X ó X >
Como ¡ y | > 10 ** + N=10lf. Por tanto: o +2 < x < 10 ' 2
Denostrar que la función y = es infinitamente grande
cuando x*3. Cuál debe ser el valor de x para que la magni-
tud |v| sea mayor que 1000?
De.mo¿t/iación, Debemos probar que lim ( Xa) = <»x>3 x
1+N‘ N
<V
x1 1N
N
N1N
3X
. N + 1N
Ñ+f 4X < M
N1 (1) 3 < 3 < _JK .
’ N+1 J J N1 3 «*3
N + 1 < x3 < 3N1
I x3 1
l>:.i r i endo 6 = tAt ,hemos demostrado que lim (—^ 5 ) = =>JN I x .3 XJ
(I..11..1 | y | > 1000=N, en (1), obtenemos: K. x <
K ' M Cuando xM, la función y = ----- crece infinitamente. CuáJ(x1)2 -
debe ser el valor de 6 para que |x1|<6 dé por resultado
> n = 1 0 ?
•itinción. Si lim --- = °°, entonces:
x+1 (x1)2
¥N>0, 3 6>0/0< | je1 ¡<6 »■ f(x)>N
I.tingo, -- --- > N ■**■ (x1 ) 2 < i I x- 1 | < — — (x1)2 N /Ñ
::i 6 1/VfT , para »=10“ + 6 = 0.01
1 ■ -J
La función y = ---- es infinitamente grande para x*0. Qué2X1
desigualdades debe satisfacer x para que |yJ sea mayor que
1 00 ?
1 ^'" ¿.lición. Si lim (--- ) = ■», entonces:
x>0 2X1
¥N>0, 36>0/0<|x|<ó + |y|>N=100
,„„Eo, > N* |2X 1 | < ¡ 1 < 2 X- 1 < 1
148 Capítulo 2: Límites y Continuidad
H1 . x . H + 1N N
Tomando logaritmos de base 2 se tiene: log2(^^) < x < log2 '
Para N=100: log 20.99 < x < log 21.01
........... ' Ma gnit ude s in finit as 149
( I.m l'unción tangente no es acotada en todo su dominio, pues
i f(x)=Tgx, xeR {x= (2n+1 ) '} y S=|0,tt>, no existe los núme
»i>« mi y M tales que:
■i. f(x) M , ¥xeDom(S)
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202. Para x»«1 tenemos, y=logx *• °°. Cuál debe ser el valor de M
para que x>M dé por resultado y>N=100?
Soíuciin, Según la definición 2.10, lim logx = <*>x-m °
Si x>M ■+■ logx > K ■<*• x > 10N
.‘. M >.. 10W = 10lo°
Cuáles de las principales funciones elementales son acota-
das en todo el dominio de su definición?
Solución, (1) La función Seno es acotada en todo su dominio. En
efecto, si f(x)=Senx, xeR y S=<0, 2ir> c Dom (f), se-
gún la definición 2.13, existe
números: m=1 y M=1 tales que:
1 í f (x) .$ 1 , ¥xeD(S) .
es decir, el conjunto de imáge-
nes f(S) es acotado superiormen
te e inferiormente en todo su
dominio. Esto es, f(S)=[1,lJ,
donde: Supf(S)=Sup [1,1J=1 y
Inff(S)=inf £1, 1]=1
(2) La función Coseno es acotada en todo su dominio. En efecto,
si f(x)=Cosx, xeR y S=<0, 2tt> c Dom(f), según la definición 2.
13, existe los números m=1 y
M=1 tales que:
1 f(x) ^ 1 , ¥xeDom(S)
El conjunto de imágenes f(S)=
[1,1] es acotado superiormen
te e inferiormente en todo el
dominio de f, esto es:
Supf(S) = sup[1,1] = 1
Inff(S)=inf[1, 1]=1
> J
Lr, el conjunto de imágenes
H ) no está acotado superiormente
■ I n l'nriormente, ya que la función
. t,á definida en x=ir/2eS
() I ni! funciones Cotangente, Secante y Cosecante no son acota-
ría en todo sú dominio.
('■i Todas'las funciones trigonométricas inversas son acotadas en
iodo su dominio de definición. Veamos la función arcoSeno.
flt f(x)=arcSenx , xe£1,l] y
I 1,1J cDom(f), existen los núme
ni 7i/2 y K=7t/2 tales que:
■ ¡i í f(x) ^ | , ¥xeDom(S)
m dncir, el conjunto de imágenes
f(:!) es acotado superiormente e
i 'i i f Lormente en todo el dominio
•i• r. Esto es:
■ ni>r(S) = sup [-tt/2,tt/2] = tt/2
1ii [' r (S ) = inf [-tt/2, tt/2] = -tt/2
E 3 Demostrar que la función y =
je numérico.1+x
es acotada en todo el e
K, ¡i/iación. En efect®, como lim y = 0, la curva se extiende aX+oo
lolargo del eje X, es decir, su dominio es R. A
y^O, ¥x eF.. Eligiendo S=<<u,+«i> cDom(f) trazamos la gráfica
La función y vemos que:
x=0eS ■+■ y=0=m
x= 1 eS t=1/2 = M f
" go, existen los números m y M
> I o3 que: aSf(x).<;M , ¥xeDom(S)
150 Capítulo 2: Límites y Continuidad
Es acotada la función y = en todo el eje numérico? SeW x 5
ría acotada en el intervalo <0,“>?
Solución. La función no está definida en x=1, pues lim (y) = “, , „ . ✓ x+1
es decir, la fu nc un
i n'in 2: Magnitudes infinitas 151
n una sucesión x para la cual y >•“).
) :'erá infinitamente grandes estas funciones?
! ■) Construir sus gráficas.
mu it/iación. En efecto, sean f(x)=xSenx y g(x)=xCosx.
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es decir, la fu nc un
es infinitamente grande en x=1,
luego, no existen los números m
y M tales que:
m .< f(x) 4 M , ¥xeR
En consecuencia, la función no
es acotada en todo el eje numé-
rico .
Si S=<0,+“>>, existen los núme-
ros: m=0 (para x=0 *■ y=0)
M=í/2 (para x = 1 y=1/2)
tales que:
m 4- f (x) ^ M , xeS
Por lo tanto, la función si es acotada en el intervalo <0,+°°>.
0
■4Ü J Es acotada la función y=logSenx en todo su dominio de exis
tencia? La misma pregunta sobre la función y=logCosx.
Solución. Si y=logSenx *• 9y +*■ 0<Senx$1 ^
x e <0, h >
Como limf(x) = linf(x) = » , la funciónx+O X+7T
crece y decrece sin cota en x = 0 y x =tt,
es decir, no existen los números m y M
tales que: m f f (x) .< M , Vx eScD (f )
Si y=logCosx. ■* 3y ■*-* 0*<Cosx$1
-*-*■ x e [0,tt/2>
Como lim f(x) = , la funciónx +tt/2
decrece sin cota en x=ir/2, por lo
tanto, dicha función no está aco-
tada en S= IjD,tt/2> e Dom (f)
207 (1) Demostrar que las funciones y=xSenx e y=xCosx no son a
cotadas cuando. x«° (Indicar para cada una de ellas, por
y g
Dado que: 1$Senx^1 y 1í¡Cosx$1 , -VxeR, entonces:
I ni f(x) = lim g(x) = °°. Luego, según la definición 2.10x«o
VH>0 , 3M>0/ xeDom(f) y x>M *• M>f(x)
i ', según la definición 2.13, f es acotada sobre ScDom('f) siiM>0/|f(x)|<M , ¥x eS.
'r tanto, la función f(x) no es acotada cuando x*«>. Del mismo,
"•'lo se demuestra que g(x) no es acotada cuando x««,
ir:i la función y=xSenx: si Xo=ir/2 ■ ■+ y0=Tr/2
x i =tt/2 + 2 w + yi=7r/2 + 2u
x = + 2irn *•n ¿ yn = 2 + 2irn , nzZ
ili.mrve que: lim(y )n+“> n
mismo modo se determina xn=2wn para la función y=xCosx.') Las funciones f y g no son infinitamente grandes, pues no e
xiste un número finito x=a para el cual limf(x) = limg(x)= *x*a
0 Gráficas:
x+a
152 Capítulo 2: Límites y Continuidad
Rftl Construir las gráficas de las funciones f(x)=2xSenx y
f(x)=2_xSenX. Para cada una de estas funciones indicar dos
sucesiones x y x 1 dé los valores de x tales que: lim f(x)= yn n n*»
, mi i 2: Magnitudes infinitas 153
I,migo, si n>N y n> ( ^ N = ^(/5 + 1), con lo cual queda pro
I ni ilo que lim(u )=0 , y por lo tanto,, u es infinitesimal cuandon+co n
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lim f(x')=0nw>
ETíTl Para qué valores de a la función y=axSenx no es acotada
cuando x*+°° (x+°°)?
Solución. Consideremos los sigiuentes casos:
(1) Si 0<a<1, según el Teorema 2.4
cuando x>+“ , entonces ax»0
cuando x*°° , entonces ax+“>
La función no es acotada, tampoco es infinitamente grande,
puesto que 1$Senx^1 , ¥xeR.
(2) Si a=1, la función toma la forma y=Senx, que como ya sabe-
mos es acotada en todo su'dominio.
(3) Si a> 1, cuando x*+“ , entonces ax+“>, la función no es acota
da (tampoco es infinitamente grande). Cuando x*~o° ,enton-
ces ax>0.
Será infinitamente grande la función no acotada:
(1) f(x) = “Cos(^) , para x*0 Rp. No
(2) f(x) = xarcTgx , para x*» Rp. Si
(3) f(x) = 2xarcSen(Senx) , para x*+“ Rp. No
(4) f(x), = (2+Senx)logx , para X++" Rp. Si
(5) f(x) = (1+Senx)logx , para x++“> Rp. No
Wiim La función u toma los valores:Ul=2 , U2 =3/4 , Us = 4/ 9 , ■ ■ • Un = ^'i , ...
Demostrar que u es infinitesimal cuando n*°°.^ n
de.mo¿t/iación. En efecto, si lim(u ) = 0, entonces,n+°°
dado un e>0, 3N>0/si n>N |un~L|<e
in+1 „i _ n+1 , _ .. n2 _ .. _ ^ r/5+1\
1I La función,u toma valores: ui=7, U 2 = 1/2, u3=1/27, ui,=
n on2 _ o
...., Ujj = — ¿p — , ... Demostrar que u^ es infinitesimal
cuando n+co.
I 1 H Demostrar que y = *■ 0 cuando x 0. Qué condiciones
debe satisfacer x para que se verifique la desigualdad:
y 1 0 - ?
/>• ■ 'st/iación. En efecto, si lim (— tt) = 0 , entonces:x+0 x+ '
3S>0/0< |x01<6 + 0 | < e(Def.2.4)
I >>..,/(>, si IX I < 6 + |~f I < e *->■ — LiL < e (1)x ' ¡x+1 |
6'mho la función presenta una asíntota en x=1, y se está traba
)mulo con los valores de x próximos
•i i 1 ■ro (x 0); para mayorar el fac
1x + 1
de (1), debemos tomar unO
y|r1 'i fin de que la asíntota x=1 1 0
i'iit.é en el intervalo <1,0>.
> ndo 6i = 1/2 •* ¡ x | < 1/2 <>■ — < x < ^ ■*-+ ~ < x+1 <
2 1 0 , 1 i 03 < T ñ K 2 ^ •I7 +1 1 < 2
Itni i I l.uyendo en (1): 2 1 x | < e |x| < e/2 = 6j
|t i* min{ 1/2, e/2> y 0<|x|<6 l^pjl < e
fi i hallar las condiciones que debe satisfacer x de modo que seMr ir iqu e la desigualdad | y | < 10~ *•, partimos de:
“ 1 < e ~ e < xTT < ■ “ 1 < *± 1
X< I
e
< 1 + <e x
i ~ 1e < 1 . J± £e e x < e
10001 < x < M
c" 1+e
< X< T^e
r o K j j
154 Capítulo 2: Límites v Continuidad
w ñ Mostrar que la función y/x+1 /x tiende a cero cuando x>“ .
Cuál debe ser el valor de N para que y<e cuando x>N? .
Demo-iiyiaciin. En efecto, si lim (/x+1/x) = 0 , entonces:
Dado e>0 , 3N>0/x>H *• |/x+í/í| < £ ' (Def. 2.7)
. ion J: Funciones continuas 155
& FUNCIONES CONTINUAS
Sea f una función definida en el intervalo <a,c>
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Dado e>0 , 3N>0/x>H |/x+í /í| < £ (Def. 2.7)
-*■ i/x+1 < E+/x
Elevando al cuadrado: x+1 < e 2+2e/x+x
* ^ > U 2Í x > (1 )2
Si x>N *• N >, f1# » ’
Demostrar que si la función f(x) tiene por límite a para
X»00, 1 a función f(x) es susceptible de ser representada en
forma de la suma f(x)=a+g(x), donde g(x) es infinitesimal para
x+ro.
Presentar en forma de suma las siguientes funciones:
y3(1) y = x (2) y = f
t 1x2(3) y = --- -
x 31 2x +1 1+x2
¡}e.mo-it/iaci6n. En efecto, si lim f(x) = a , entonces:
xw°dado £>0 , 3N>0/x >N *• |f(x)a| < E (Def. 2. 7)
Si escribimos: f(xj = a+g(x) + lim f(x) = lim |a+g(x)|X*>co X"*’00
Entonces, dado e>0, 3N>0/x>N *■ | a+g(x) a| < £ *■ |g(x)|<E (1)
Pero como g(x) es infinitesimal, esto es: lim g(x) = 0xwo
Entonces, dado e>0 , 3K>0/x>N I g(x) 0 1 < £ » |g(X) |< £ (2)
De (1) y (2)’ se'deduce que: lini |a+g(x)| = aX+co
f(x) = a + g(x)
(1) y = x3
_ x 31+1 _ 1 + 1
x 31 X 3 1 X 3 1
(2) y= x2 = 2x2 _ 2x2 +11 = I +1
2x2 + 1 2(2x 2 +1 ) 2 (2x2 + 1) 2 2(2x2 + 1)
(3 ) y = 1~x2 = ( 1+x 2 ) + 2 _ _ 1 +x 2 +2 _ _ 1 +2
1+x2 1+x2 1+x2 1+x2 1+x2
el límite dé f(x) cuando x+a por la derecha es
I. y oe denota:
lim f (x) = Lx+a
ni ilndo £>0, 3ó>0/a<xa<6 |f(x)L|<£, ¥x£<a,c>
Sea f una función definida en el intervalo <c,a>
el límite de f(x) cuando x+a por la izquierda
mi I. y se denota: .
1 i m _ f (x ) = Mx+a"
ni .lado e>0, 36>0/6<xa<0 *■ |f (x) — M | < e, ¥x£<c,a>
II OREMA2.5 El límite de una función en el punto a, existe, si
y sólo si existen los límites laterales y son igua
Ii d, esto es:lim f(x) = L + lim+f(x) = L y lim_f(x) = L
Si n es un número positivo cualquiera, entonces
a) lim, (—i) = +“>x+0 xn
■5 ) iim (— ) = / n es un n^mero imparx+0 xn L+» , si n es un número par
Una función f(x) se dice que es continua en un
punto x=a si y sólo si, se satisfacen las tresn udiciones siguientes:
i) Existe f(a), es decir, f está definida en x=a
ii) Existe el lim f(x)x+a
iii) f(a) = lim f(x)x+a
156 Capítulo 2: Límites y Continuidad
Si una de estas tres condiciones no se cumplen para el punto x=a>
se dice que la función f no es continua en a o que f es d¿¿coní¿
nua en a.
"" i I: Funciones continuas 157
EE3 Los radios de las bases de tres cilindros superpuestos mi-
den 3, 2 y 1m, respectivamente. La altura de cada uno de
|nw t,res cilindros es igual a 5m. Expresar .el área de la sección
|i'universal del cuerpo engendrado como función de ladistancia
Iun mndia entre la sección y la base inferior del cilindro que o
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PROBLEMAS RESUELTOS
f(x) =
La función f está definida de la manera siguiente:
' 0 , para x<0
x , para CUx<1
x 2+4x2 , para "Ux<3
4x , para x^3
Es esta función continua?
Solución. Según la definición 2.19, analicemos d* continuidad
de la función en los puntos x=0, x=1 y x=3*
Para x=0: i) Si f(x)=x + f(0)=0 , existe
ii) Si f(x)=0 + lim f(x) = 0x+0“
Si f(x )=x + lim.f(x) = 0
x+0
+ lim f(x)=0, existex+0
ii i) f(0) = lim f(x)x+0
.’. f es continua en x=0
Para x=1 : i) Si f(x)=x2+4x2 + f ( 1) = 1 +42=1 , existe
ii) Si f(x)=x + lim f(x)=1x+1*
f(x)=x2+4x2 + lim f(x)=1x+1
+ lim f(x) = 1, existex+1
iii) f (1) = lim f(x) = 1x+1
.". f es continua en x~1
Para x=3: i) Si f(x)=4x + f{3)=43=1 , existe
ii) Si f(x)=x2+4x2 + lim f(x)=1
x+3‘f(x)=4x + lim ,f(x) = 1
x+3
+ limf(x)=1, existex+3
iii) f(3) = lim f(x) = 1 f es continua en x=3x+3
En consecuencia, f es una función continua en todo su dominio de
definición.
u d a e t e a secc ó y a base e o de c d o que o
• > •11 r > la parte baja del cuerpo. Será esta función cpntinua? Cons
I iulr bu gráfica.
\i /lición. La sección transversal de cada
cilindro es un círculo de radioi , im , r 2=2m y r 3=1m
¡i I área de cada sección en función de la
illntancia x que media entre la sección y
lo buae inferior de cada cilindro es:
Î
í'i(x) = irr 2 = 9 r m 2,
f ,(x) =
f,(x) =
:> fntesis:
■nr
nr ¡
22 4ïï m 2,
TT m 2 ,
0ÍXÍ5
5<x^10
10<x$15 _L
r(x)97T
4 TT
7T
o ^ x ^ 5 .
5 < x 10
10 < x ^ 15
*i!i<' podemos observar en la gráfica,
> función es discontinua en x=5 y
>10 .
i'E'El Sea: f(x) == i"x+113a>
si x 1
ax* , si. x>1
Como debe ser elegido el número a para que la función f(x)
continua? Construir su' gráfica.
las condiciones de continui(ución. Según la definición 2.1Í
dad en el punto x=1 son:
l ) Si f(x)=x + 1 .+ f (1)=2
¡i) Si f(x)=3ax2 + lim f(x) = 3ax+1
En esta condición no se ha tomado límites laterales, dado
Que, por hipótesis, 1.a función es continua en x=1.
ii) Si f(1) = lim f(x) + 2=3a «+ a=1x+1
158 Capítulo 2: Límites v Continuidad
Construimos las gráficas de las fun-
ciones: fi(x)=x+1 , si x^1 (recta)
y fz(x)=3x2, si x>1 (parábola)
En la figura observamos que las grá-
ficas de las funciones fi y f2 se
■ión 3: Funciones continuas 159
E S En qué puntos sufren discontinuidades las funciones y=x2
e y ? Construir las gráficas de las dos.(x+2)2
' i'licar la diferencia en el comportamiento de esta funciones
‘"rea de los puntos de discontinuidad.
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ficas de las funciones fi y f2 se
juntan en el punto x=1, lo que de-
muestra gráficamente la continuidad
de la función f.
^ ^ S e a : |2Senx , si x í ir/2
f(x) = ■< ASenx + B , si ir/2 < x < ti/2
I Cosx , si * ^ ti/2
Elegir los números A y B de tal modo que la función f(x) sea con
tinua. Construir su gráfica.
So ¿ación. Analicemos las condiciones de continuidad en los pun-
tos x =- tt/2 y x =7t/2
Para x =- tt/2: i) f(-ir/2) = 2Sen(7r/2) = 2 , existe.
ii) lim f(x) = lira (ASenx+B) = A+B
x+ïï/2x-*--
tt/2
iii) f(-n/ 2) = lim f(x)x +- it/2
A+B
Para x=+/2: i) f (tt/2) = CoS (tr/2) = 0
ii) lim f(x) = lim (ASenx + B) = A+Bx + tt/2 -x + it/2
iii) f (tt/2) = lim f(x) A+B = 0x+ir/2
P.esolviendo (1) y (2) obtenemos: A = 1 y B = 1
Por tanto: y.
2Senx , si x ^ - tt/ 2 o
(1)
(2)
rea de los puntos de discontinuidad.
'•'•lución. Las funciones dadas no están definidas en los puntos
x=2 y x=2 respectivamente, por tanto, safren discon
i i unidad en tales puntos.
t 1 >>i’/ir/i la función y = , tomando límites laterales en x=2 se’
I.; .me:1 1
i x>2 >• lim+(^ j) = — = + “ . La curva se extiende infinita-
mente en el semiplano superior.
1 1 "lim_(^3 p) = = » > . La curva se extiende infinita-
mente en el semiplano inferior.
x<2
x+2
x+2 0
.úiogamente para la función y
1
(x+2)2
= +00
= +oo
, tenemos:
I x>2 ■* lim ,f(x) =X + - 2 ( 0 T ) 2
x<2 ■*■ lim f(x) = --------- — x+2* (O)2
■i tanto, la función se extiende infinitamente sobre el senipla
. :;uperior en el entorno del punto x=2. Esto es, y>0, VxeR{2}
»Kl La función f(j■1
■1no esta definida para x=1. Cual de
be ser el valor de f(1) para que la función completada con
i... valor llegue a ser continua para x=1?
•fueión. Se debe verificar que: f(1) = lim f(x)x+1
160 Capitulo 2: Límites v Continuidad
x+1Esto es: f(1) = lim --(x + 1)(x: lL = li
x+1 (x1)(x2+x+1 ) x+1 x 2+x+1
Luego, la función completada se define como:
x 2 1f(x)
, si x/1
mu .i: Funciones continuas 161
Decir si es continua la función dada del modo siguiente:
I xlpara x^O , y=0 para x=0. Construir su gráfica.
( l i c i ó n . Por definición de valor absoluto sabemos que si:
x>0 + ¡x| x ■*+ y 1
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f(x)
si X=1
Observáciones. (1) En los casos en que f(a) ^ lim f(x) y existex+a
el límite, la discontinuidad es de primer ge
ñero y se llama di-ic.oniinui.dad ncmovi i. le., e.uitaüle o iupe.n.a-
lle, Para tal efecto es suficiente redefinir la función f en
a,»de manera que, f(a) = lim f(x)x+a
(2) Si la discontinuidad es de 2do género, es decir, no es remo
vible se llama discontinuidad esencial o ine.uitai.le..
tTTM Qué género de discontinuidad sufren las funciones y = ■ ?. x
e y = para x=0?. Mostrar el caracter de las gráficas
de estas funciones en el entorno del punto x=0.
Solución. La función y = no está definida en x = 0, pero co .
lim (?) = 1, entonces la función puede redefinirsex+0
de la forma: f(0) = lim (§£22£) = ]x+1 x
Por tanto, la función y = tiene en x = 0 una discontinuidad
superable»
La función'y no está definida en x = 0, y como lim (— )x+0
^ = °°, no se puede redefinir f(0). Por tanto, dicha función pre-
senta una discontinuidad esencial o de 2do género para x=0.
x>0. + ¡x|=x ■*+ y = — = 1
x<0 I x | —x *+• y = - 1
Iih /;o, la regla de correspondencia de la función es
1 , si x>0
\ 1 , si x<0
0 , si x=0
i'muios las condiciones de continuidad:
l) f(0)=0 , existe (dato)
iI) Si x>0 + lim.f(x) = 1x+0
x<0 + lim f(x) = 1x+0
Como lim+f(x) ¿ lim_f(x) + ^lim f(x)x+0 x+0 x+0
Mi) Siendo f(0) i- lim f(x) , la función es discontinua en x=0.
x+0
Cuántos puntos de discontinuidad (y de qué género) tiene
la función y =
'fución. Si x>0
x<0
1
loglxl•? Construir su gráfica.
logx
1log(x)
lim f(x) = ^ = +oox+1+ U
*■ lim f(x) = i = +»x+1' u
Imi x=0,.logx no existe, la discontinuidad es removible.
l"t tanto, hay tres puntos de discontinuidad.
■ f(x) =
>x
162 Capítulo 2: Limite y Continuidad
La función y=arcTg(1/x) no está definida en el punto x=0.
Es posible completar la función f(x) en el punto x=0 de
tal modo que llegue a ser continua en este punto? Construir su
gráfica.
Solución Los límites laterales en el entorno x=0 son:
/1>ii 3: Fun cione s con tinuas 163
3 Construir la gráfica de la función f (x)=xSen(7r/x). Qué va-
lor debe tener la función f(0) para que la función f(x)
sea continua por todas partes?
i'urión. Los límites laterales de la función f en x=0 son:
lim.f(x) = lim ,xSen (tt/x ) 0. Sen(°>) = 0. (a) = 0
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Solución. Los límites laterales en el entorno x=0 son:
lim,f(x) = lim,arcTg(l/x)x*0 x>0
arcTg(+°°) = tt/2
lim_f(x) = Jiin_arcTg(1/x) = arcTg(«°) = - tt/2
x*0 x»0
Como lim+f(x) i lim_f(x) + j<lim f(x) ji /2
x+0 x*0~ x>0 '
Por tanto, no es posible completar
la función dada en x=0.
Decir si es continua la función definida de la manera si-
guiente: f(x) =. Sen(ir/2x), para x/0 ; f ( 0 )=1
Construir la gráfica de esta función.
Solución. Veamos las condiciones de continuidad:
i) f(0) = 1 , existe (dato)
ii) lim,f(x) = li m, Sen(7r/2x) = Sen(+«=) = +a < 1x»0 x*0
lim_f(x) = lim Sen(7r/2x)x+O" x*0~
Sen(“>) = a >
Como lim.f(x) jí lim f(x)x*0 x+0"
^lim f(x)x*0
iii) Siendo f(0) ^ lim f(x) , la función f no es continua en x=0x+0
lim.f(x) lim , xSen (tt/x ) x*0 x*0
lim f(x) = lim xSen(Ti/x)x+0" x+0"
0. Sen( >) 0. (a) 0
O.Sen(<») = O.(a) = 0
'■onsecuencia: f(0) = lim f(x) = 0
Demostrar que la función y =1+2T7>
tiene discontinuidad
de primer género en el punto x=0. Construir de modo esque-
mático, la gráfica de esta función en el entorno del punto x=0.
moói/iación. En efecto, los límites laterales de la función en
el punto x=0 son:
1 i m ( :rrx+0 1+2
•) =1
limx+0" 1+2 17 :) =
1 + 2
1
1 + 2 '
= ¿ = 000
= 1 .
1+0
l’uBsto que, .lim.f(x) / lim_f(x)x +0 ' x*0~
i’omo ninguno de los límites laterales
':■ infinito, la función tiene discon
'inuidad de primer género en x=0.
164 Capítulo 2: Límite y Continuidad
Analizar el caracter de la discontinuidad de la función
y = 22 en el punto x=1. Se puede definir y, cuando
x=1, detal modo que la función llegue a sercontinuapara x=1?
Solución. Según la definición 2.18, los límites laterales de la
n ni 3. Fu ncio nes continu as 165
■m i'l intervalo -2£x 42 la función f(x) toma todos los valores,
■¡ii excepción, comprendido entre f(2) y f(2), y, sin embargo,
un discontinua (en qué punto precisamente?). Construir su gráfi
• ‘’I .
¡>. mo ói/iación. En efecto, por definición de valor absoluto sabe-
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función y, en el punto x=1, son:
?(1/1x) 1/0“) j» 0lim, 2‘¿ = 2"¿ = 2" = 2 u = 1x"M
p(1/1x) p(1/0+) + »lim 2'¿ = 2"¿ = 2'¿ = 2"=0x+1"
Dado que, lim.f(x) / lim_f(x) ■+■ jílim f(x)x 1 x+1 x*1
En consecuencia, no se puede redefinir la función de modo que sea
continua en x=1.
Analizar el caracter de discontinuidad de la función:
21/x _iy = — zr-j--- en el punto x=0.
2 / x + 1
Solución. Haciendo uso de la definición 2.18, los límites late-
rales de la función y, en el punto x=0, son:
> \ 2 1/0 1 2"” 1 0 1 ,a) lim f(x) = --------- = ------ = --- = 1
x+0* 21/0 + 1 2‘” +1 0 + 1
Para.calcular el límite lateral por la derecha de 0,escribi
f(x) 2 -1
X
21/X +1 , 1/ x M , _ 12 ( 1 + fr:) 1 +
2T7x 2 i /x
•b) lim+f(x) = 1/2°° = 1 0
x+0T 1 + 1/2°° 1 + 0= 1
Dado que lim f(x) / lim.f(x) *• jílim f(x)x*0" x+0 x+0
Por lo tanto, la función tiene una discontinuidad esencial en el
punto x=0.
ka función f(x) está definida del modo siguiente:
+ i)
f(x) = (x+1).2 lx l x para x/0, y f(0)=0. Demostrar que
¡ / , p
mos que: si x^O ■* |x¡=x y si x<G + |x|=x
1 i .'o, en el intervalo 0<x<2, la función dada está definida por:
(— + 1)f,(x) = (x+1).2 x
un el intervalo 2<x<0:
( J + i)V X X
(x +1).2"2/x
f2 (x) = (x+1).2 A A = x+1
Kntunees, la regla de correspondencia
iiu La función es:
31 /x
I ( x ) = •
(x+1).2"
x+1
0
si 0<x^2
si 2^x<0
si x=0
íi .iLicemos las condiciones de continuidad en el punto x=0»
í) f(0) = 0 , existe por definición.
- 1/ 0 = (0+1).2 = 0.) lim.f(x) = (0+1).2x+0
lim f(x) = 0+1 = 1x+0"
Como lim.f(x) / lim f(x) + ^lim f(x)x>0 x+0” x+0
i I i) f(0) / lim f(x)x+0
.'. f(x) es discontinua en x=Ú.
Decir si es continua la función y
caracter de su gráfica.1+2
Tgx *Esclarecer el
•fución. Por trigonometría sabemos que la función tangente no
etá definida en los puntos x=(2k+1)^ , kgZ. Luego, a
11■■11 icemos las condiciones de continuidad de la función en x=ir/2.
) f(ir/2) = 1/(1+2°°) = 1/(1+°o) = 0 , existe
1___ _ 1I) lim , f (x) =Cf) + 1 +
= o
166 Capitulo 2: Límite y Continuidad
' 7 ^ ' ™ = 1
Siendo: lim ,f(x) lim_ f(x) ■* jílim 'f(x)x*(f) xif/ 2
Por lo tanto, la función es discontinua en x=ir/2
..•a I. I-unciones continuas 167
lim+ (x[x]) = nn = 0x+n
lim_(x.[x]) = n(n1 ) = 1x>n”
^lira f(x)x*n
Dado que, lim.f(x) j* lim_f(x)x+n x+n
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En general, la gráfica de la función tiene discontinuidad esen-
cial o inevitable en los puntos x=(2k+1)^ , keZ.
g¡££g La función f está definida del modo siguiente: si x es unnumero racional, f(x)=0 ; si x es un número irracional,
f(x)=x. Para qué valor de x es continua esta función?
S o lución. La regla de correspondencia de la función es:
f(x ) _ i 0 , si x es un número racional
lx , si x es un número irracional
Un húmero racional es de la forma: ^ , b/0
y un número irracional es de la forma: , b/ 0
En ambos casos, si a=0 0esun número racional e irracional.
Luego: i) f(0) = 0 , existe
ii) lim £ (x) = lim (x) = 0x->-0 x+Q
iü) £(0 ) = lim f(x) f es continua en x=0x->-0
Para cualquier otro número irracional, por ejemplo, x=/2:
i) f(/2 ) = 0 , existe
ii) lim f(x) = lim (x;) = / 2 •> f(/2 ) / lim f(x)
x +/ 2 x*/5 x+/?
En consecuencia, cuando xj¿0, la función es discontinua.
K££l Decir si es continua la función y construir su gráfica:
(1 ) y = x[x] (2 ) y = — 7 — (3 ) y = (1 ) Mx W
Solución. Por la definicióndel número entero máximo no mayor
que x sabemos que si: Í M = n <► n x < n+1
QVQ = n 1 +»n1 ^ x < n
Respecto a las funciones dadas sus límites laterales en el punto
n son:
La función es discontinua cuando x es igual a un entero (po
uitivo o negativo) o a cero..
Luego, trazamos su gráfica en los intervalos siguientes.
■2<x< - 1 , [x] = - 2 > y = x +2
1¿x<0 , [x] = - 1 ■+ y = x+1
0<x< 1 , [x] = 0 > y = x
1jx<2
2^x<3
[x] = 1
[x] = 2
2 y
: 77777 .2 - 2 -1 o 1 2 3
[x]
y =y = x- 2
'lim+(— jrr) = — =x*n xjpcj nn
>x
lim_(--
x+n xLxJ)
jílim f(x)/ xrn
nn+1
La función es discontinua cuando x es igual a un numero
entero (positivo o negativo) o a cero. Considerando los in-tervalos del ejercicio (1 ) y teniendo en cuenta que la fun
,ción es asintotica cuando x=[x], obtenemos:
' 1
(x) = <
x+2
x +1
x X
1X 1
1x - 2
, si xe< 2 ,1>
, si xe < 1 ,0>
, si xe<0 ,1>
, si xe<1 ,2>
si xe<2,3>
3) y = (1)1 )W ,
Ü m +(1 )W »'(.i)“x>n
lim (1 ) M = (1 ) n " 1
Venos que sifn = número par *■ n - 1 = número impar
1 n = numero impar + n - 1 = numero pax
Entonces, los límites laterales son 1 y 1, luego,;no exis-
te el limf(x) cuando x»n. Por tanto, la función es disconti
168 Capítulo 2: Límite y Continuidad
nua cuando x es un número entero (positivo o negativo) o cero.
Luego, si:
2«x<1 , [x]=2 y=(1)
1$x<0 , [x]=1 + y= (1)“
0Sx< 1 , [x]=0 y= (1)°=
ion 3: Funciones continuas 169
C E I Valiéndose de las propiedades de las funciones continuas
comprobar que la ecuación x 33x=1 tiene, por lo menos, una
raíz comprendida entre 1 y 2.
\ ,• f nci¿n. Sea la función f(x)=x3
y sean: a=1 y b=2.
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0Sx 1 , [x] 0 y ( 1)
14x<2 , [x] = 1 y = (1)1 =
2íx<3 , [x] =2 y=(1)2=1
TEOREMA 2.6 T e o r e m a d e l v a l o r i n t e r m e d i ot¿ ■■ : Oí _ _
Sea f:[a,b]*R y f continua sobre [afbj y ke[f(xi),
f(x2)] con xi,x2e[a,b]. Entonces keRan(f) y existe ce[xi,x2] o
ce[x2,xi] tal que k=f(c).
de.moitn.ac.i6a. En efecto,
supongamos que xi<x2,
como f es continua sobre £sl, t>] enton
ces Ran(f)={f(x)/xe[a,b]} es un in-
tervalo cerrado y acotado, es decir,
el conjunto de valores de la restric.
ción de f a Ixi,x2] es un intervalo
que contiene a f(xi) y f(x2) y, por
tanto, el punto k entre f(xi) y f(x2).
Así, existe una imagen c e [ x j , x 2 ] tal
que f(c)=k.
>x
TEOREMA 2.7 Teo rema de] ce ro .
Sea f:[a,b]*R y f continua sobre [a,bj y f(a).f(b)<0
Entonces existe re<a,b> tal que f(r)=0.
de.moAtn.ad 6n. En efecto,
si f(a) y f(b) difieren
en signo, entonces puede ocurrir que
f(b)<0<f(a) o que f(a)<0<f(b). Si se
hace que a, 0, b y r desempeñen el pa
peí de xi, k, x2 y c respectivamente,
en el teorema del valor intermedio,
queda demostrado.
l'niunces: f(a) =f(1) = 131 = 3
f(b)=f(2)=861 = 1
i >■ un i la función es continua en el
intervalo [1,2] y dado que:I ( !).f(2)<0, según el teorema 2.7,
n«Inte un punto re<1,2> tal que
l(r)0, o sea: r ’3r1=0
I,« solución gráfica de esta ecua
"i'ín da aproximadamente: r=1.88
3 Mostrar que: a) El polinomio de grado impar tiene por lo
menos, una raíz real; b) el polinomio de grado par tiene,
r lo menos, dos raíces reales, si toma, al menos, un valor cu
HÍgiio sea contrario del que tiene el coeficiente de su térmi
11o grado más elevado.AÍA-aciin, a) Sea el polinomio de grado impar: .
P(x) = a0xn + ajx11 + .... + a^
l'(xl) = aoXo + aix? + ... + a = x^(a0 + ~ i + ... + ~~)Ii X o Jl
mudo x0 +“» entonces:si ao<0
f P ( x 0 ) >0 ,
” | p (x o.)<0 ,
xo
absorberá todos .los términos negativos o positivos con
ixponente menor que n.
(xo) = a o ( > o) + a 1 (x o) ••• + a_na
= a0x0 + ajx0 + •• a = x0(a0 + — 1 ... + —— )n xo x o
,: Í P (- X\ p (-x
. i i v-a o) < 0 , si a„>0indo x0 ■* +“ , entonces: <¡ 0 0
c0) > 0 , si a0<0
¡ Xo absorberá todos los términos negativos y positivos con
mente menor que n.
170 Capitulo 2: Límite y Continuidad
Así, en cualquier caso,. P (xo) • P (xo) <0 y, según el teorema 2.7,
habrá por lo menos un re<xo,xo> tal que f(r)=0.
2¿2. Mostrar que la ecuación x.2x=1 tiene, por lo menos, una
raíz positiva no mayor que 1.
1ion 4: Operación d e hallar los límites 171
OPERACIÓN DE HALLAR LOS LIMITES
4.1 FUNCIONES DE ARGUMENTO ENTERO
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De.mo¿tJiac¿6n, En efecto, sea f(x) = x.
que es continua VxeR.
Entonces: f(0) = 0.2°1 = 1
f (1) = 1.21 1. = 1Como f(0).f(1) = 1<0 , entonces por
el teorema del cero, queda probado
que existe una raíz re<0,1> tal que
f(r)=0.
243. Mostrar que la ecuación x=aSenx+b, donde 0<a<1, b>0 tiene,
por lo menos,, una raíz positiva siendo no mayor que b+a.
2UA- Mostrar que la ecuación a? + ■■— ?■■■ + ~ ?. = 0n x A1 x A2 x A 3
donde ai>0, a 2>0 , a3>0 y Ai<A2<A3 , tiene dos raíces rea-
les comprendidos en los intervalos <Ai,A2> y <A2,A3> .
(Sugerencia: Construir, de modo esquemático, la gráfica de la
función y = — §4" + " ? analizando su comporX - A i X —A 2 X - A 3 “
tamiento en los entornos de los puntos Ai,A2 y A3).
ITOREMA2.8 Se,an f y g , £uncione.¿ n.eale.¿ taleó que.:
lim f(x)=L y lim g(x)=M . Entonces:
x+a x+a■i lim (c) = c , c es una constante
x+a
ti) lim [cf(x)~| = cflim f(x)] = cLx+a x+a
■■) lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lin g(x) = L ± Mx+a x+a x+a
il) lim[f(x).g(x)J = lim f(x) . lim g(x) =L.Mx+a x+a x+a
x+a g(x)
IEOREMA2.9 Si lim f(x) = L , entonces:m m m x^a
lim ”/f(x) = y/lim f(x) = \/~L x+a x+a
,t L>0 y n cualquier entero positivo par o impar
I L<0 y n cualquier entero positivo impar.
tl;OREMA2.10 Sean f y g funciones definidas en <a,+“> y <b,+«>>,
respectivamente. Si lim f(x)=L y lim g(x)=M, entonx++t» x++°°
ces:
m ) lim [c.f(x)] = c.lim f(x) = c.L , c es una constante.x++°° ' x++°°
i i lim [f (x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = L ± MX++00 x++OT x++°°
r ) lim [f(x).g(x)] = lim f(x) . lim g(x) =L.MX++00 x++°° x++°°
limx++“
f(x)
g(x)
172 Capítulo 2: Límite v Continuidad
PROBLEMAS RESUELTOS
En los ejercicios 245287 hallar los límites.
h m , . ,nf 1 \lim b r )n *co
vi ion 4: Operación de ha llar los límites 173
'•■flición. Dividiendo el numerador y denominador entre n*, mayor
potencia de n, se tiene:
1000/n + 3/n 2 _ 0+0L = lim
n+» 0.001 100/n + 1/ n“ 0.0010+0
(n+1) “ (n1) 11
= 0
lim
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n.co
Solución. Sea L = lim = lin (1 + ~)>co n~*co
Por el Teorema 2.10, se tiene:
L = lim (1) + lim ( ) = 1 + 0 = 1n -Mo n -**>
w m lim .lililí.2n*00 2n
Solución. Sea L = lim = 4 lim (1 + )2n .oo ¿ n n+co
* T 1(1 + — } 2 = ■ • L 2n »' 2
E n lim (n+1)S (n‘1)3n*<» (n+1)2 + (n1)2
Solución. Efectuando las operaciones indicadas se tiene:L = lim 2(3n2Í12 = lim (ialílj
n*° 2(n2 + 1) n2 + 1
Obsérvese que al sustituir el valor del argumento n, el límite
toma la forma no determinada ^ . Para obviar esta indeterminación
se divide el numerador y denominador entre n2 (mayor potencia de
n), y obtenemos:
L = lim t3 + = 3 A = 3n - «o ( 1 + 1 / n 2 ) 1 + 0
n3 100n2 +1WZlM lim
n+® 100n2+15n
Solución. Aquí dividimos el numerador y denominador entre n 3, ma' *yor potencia de n, entonces:
T ,. 1 100/n + 1/n3 1 0 + 0 1L = lim --------— --- — = ------ — = yr = ■»n+» 100/n + 15/n2 0 + 0 u
1000n3+3n2
n+°> 0.001n“ 100n3 +1lim
limn^00 (n+1) “ + (n1)
.fución. Dividiendo cada término del numerador y denominador
entre n “, se tiene:
L = lim
i) n
n+» (1 + M
_ (1+0) “(10) “
(1+0) “+(10)“
1-11 + 1
= o
lim(2n+1)“ (n1)1
n>°° (2n+1)“ + (n1)“
'c(ución. Dividimos cada término del límite entre n “ y obtenemos
d b-(2 + *)“L = lim
_ (2+ 0) (1 0 )“ = 15
n+oo (2 + — )1 (2+0)“+(10)1 17
limnx»
3/n3+2n1n+2
Sulución. Dado que n toma valores infinitamente grandes, enton-
ces, n= 3 , por tanto, se debe dividir el. numerador
y denominador entre n, esto es:
j ,. 3/l + 2/n2 1/h3 3/l + 0 0 ,L = lim ---- ----:---------- = ----------- = 1
n+“ 1 + 2/n 1 + 0
limn*”
3/^~hT
n+1
" fución. Dividiendo el numerador y denominador entre n='/n
se tiene:
L = lim .' ^ / n...Í J /A 1. = V & J J P =• on+oo 1 + 1/n 1 + 0
llm n)„:n+“> 3/n s + 1
174 Capitulo 2: Limite y Continuidad
Solución. Dividiendo el numerador y denominador entre n:
se tiene:
L = lim (/l + 1/n* + 1> = (/¡T° + = 4n+°> 3/i + 1/n6 3/í + 0
/
/ <m 4: Operación de hallar los limites 175
flfl lim ----- — nwo (n+1) ! n!
\ h(ación. Por definición de factorial se sabe que:
(n+1.)! =(n+1)n! . Entonces:
L = lim ----- — ----- = lim — — — = lim (— ) = 0n+0° (n+1)n! n! n*«> n! [ (n+1)l] n«» n
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. . /n 32n2 + 1 + V n H 1lim --------------- - — — X X JU . . ------ ---- r ----------------------
nw V n 6+6ns+2 V n 7+3n3+1
Solución. Al dividir la mayor potencia de n, de la cantidad sub
radical, eritre el Índice del radical obtenemos:
En el numerador, | y ^ ; en el denominador: y
Como ¿ > | > ^ , se debe dividir el numerador y denominador en-
tre n3/2, mayor potencia de n, entonces:
/n32n2+1 + «/(nSl)
L = lim
2
9 / 6
n«¡, '*/n6 + 6n5+2 1 °/(n7+3n3 + 1)2
i«/* n15/ "
n*»ys s» * =»>*
. T = / 10+ 0 + 6/oíno )2 = 1
V 1+0+ 0 10/o(i+o+o)2
r r n "/TTi 3/ í 2Tl yWil lim — ._______ 7^~'
n+m 5/n‘*+2 >/n3 +1
Solución. Procediendo en forma similar al ejercicio anterior ve
raos que 3/2 es el mayor exponente de n, entonces:
“/n5 + 2 6/(n2 +1) 2 „/T7TT s/iíJ. + 1 \ 2
n 6/ ■+ n 9 / 6 v n n! v n na n ;L = lim ---2---------- S---- = iim
v7(n■*+1 )2 _ /^+i n+o0 /i + —
n : i s / i o n 3 / 2
= + 0 6/o(o+o) 2
l 0/0(1+0) 2 - /1+0
n+0 (n+1)n! n! n*«> n! [_(n+1)l] n«» n
(n+2)! + (n+1)!fTfl lim
n*“ (n + 3) !fución. Según la definición de factorial tenemos:
L = lim(n+2) (n+1)! + (n + 1)! = lim (n+1) ! [_(n + 2) + l]
n>«>(n + 3) (n + 2) (n+1) ! n+“> (n+1 )! (n + 3) (n+2)
■ ^ - °
lim (n+2)! + (n+1)!
n*» (n+2)! (n+1) !
w .lución. L = lim(^2) (n + 1)! tiíLtlIl=lim (n+1.l!. Jn*” (n+2) (n+1)! (n+1)! n»“ (n+1) ! [(n+2)1J
, . n+3 ■ 1 + 3/n 1 + 0= lim -t t * = li™ ----~ -------- — = 1n+0° n+«* 1 + 1/n 1 + 0
. 1 + 5 + 7 + ... + 1/2nl ( M lim ---- 3--- fÍP
n¡co 1 + j + 1 + ... + 1/3
i o(,ución. El numerador y denominador son sucesionesgeométricas
de razones 1/2 y 1/3 respectivamente. Haciendo uso de
I11 fórmula: S = — —í|j— í.— i , se tiene:
u_ = i a j í . m w > , 2 ( 1 J )
n 1 = 0 2 1 - 1 / 2 . 2 n
v = j ( l )1 - = ¿(1 . - 1 )n i=0 3 1 1/3 3n
ngo, lim u = 2(10) = 2 ; lira v = 2(10) = Jn>co 11 n°° ^
.'. L = i = A3/2 3
176 Capitulo 2: Límite y Continuidad
lira — <1 + 2 + 3 + ... + n)n
Solución. Recordemos que: l (i) = 1+2+3+ ...+n = ^(n+1)i = 0
+ L = lim §(n+1 ) = lim 1(1 + ;) = 4n+oo n+o>
1•"i 4: Operac ión de halla r los límites 177
('Mitificando coeficientes se tiene: AB=1 y A+B=0
r> donde: A=1/2 y B1/2
ii.onces: u = [ (a.) = f f---11___1i=1 1 1=1L2(211) 2 (2i+1)J
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n+oo n+o>
lim (
n*00
1 + 2 + 3 + ... + n5+5 2
Solución. Según la fórmula anterior se tiene:
lim (n+co
L , u , . *1 .n*°> L n+2 J
.*. L = 1/2
1 2 + 3 4 + . . 2ni
n +1
llm 2 ^n+2 ‘ 2 llm^n+“ n+<» 1 +
' ”1 1 1 iii“ (i72 + 273 + --- + n'(n+1)5n>oo
Solución. Sea: an= T J = f + 77T * 1 = (n+1)A + B+ 1 = (A+B)n + A
Identificando coeficientes obtenemos: A=1 y B=
1 1+ an ~ n ” n+1
Según la propiedad: £ D? (i )F (i1 )J = F(n)F(0) ,i = 1
donde F(i) = rpj , se tiene:
,\ L '= lim(u„) = lim (~pj") = lim (n+oo n+“> ) = 1n+<» 1 + 1 /n
t ü J n+” \ y * + 375 + ” • • • + "(2n1)(2n+1)]
Solución. Sea an = (2n1)(2n + 1 ) = 2n^T + 2n+1
Entonces: 1 = A(2n+1) + B(2n1) = 2(A+B)n+(AB
---)2/n
Rp. 1
' - i ■
L- ’ ii: <?m> ■¡a<rrV■ íÍ'(M limnta. 2n + 1
'■ fución. L = lim — — ^ ~ ~ 1/2'1 _ 1 Q _
n+oo 2n (1 + 1/2n ) n+°° 1 + 1 /2n 1 + 0
n a Tim i_1/n -1n h» 2 1 /n +
1
•fución. Sustituyendo directamente n=«° , obtenemos
L = — ——— — = — I— 1 = o2° + 1 1 + 1
-I 2 FUNCIÓN DE ARGUMENTO CONTINUO
En los ejercicios 268304, hallar los límites.
Ü M lim x 2+5
x+2 x 23
fución. Sustituyendo el valor de la variable se tiene:
L = H I Í + Í = 1+5 = 9(2)23 43
E l lim ( ^ * ± 1 + 1)x+0
'■ fución. L = + 1 + 1 = i + 1 1
lüll 1S“ ^ iT^^ Rp » 271. lim __x2~3X + / I X - + X 2 +1
2n+1
1
Rp. 0
178 Capítulo 2: Limite y Continuidad
Observación. Al evaluar límites de funciones de argumento conti
nuo se presentan, con frecuencia, los siguientes
casos de indeterminación:
0“ 1 00 o
Para evitar tales indeterminaciones existen diversos procesos o
i'Ui 4: Operación de hallar los límites 179
tución. El límite toma la forma indeterminada t
L = lim(x1)(x+2)
limx+2 1 =
x+1 (x1) (x1) (x+1) x+1 (x -1)(x +1)
t u j 11. ( J ----- 2;)x+1 v1 x 1 — x /
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p
artificios que se explican en la solución de los ejercicios que
siguen.
x22x+1WffM limx+1 . x 3x
Solución, Al sustituir el valor de la variable, el límite toma
la forma indeterminada . Para obviar esta dificul
tad debemos factorizar el numerador y denominador de modo que se
pueda eliminar el factor causante de la indeterminación, esto es
(x1) _ x1 _ 11lim = limx+1 x(x1) (x+1) x+1 x(x+1) 1(1+1)
= 0
limx+2
x +3x +2x
x 2x6
Solución, El límite del numerador y denominador es cero, e'nton
x(x + 2) (x+1) _ x(x + i;L = lim
x+2 (x+2)(x3)limx+2 x3
m i limX+1
Solución
(x -1)/2->
x 21
El límite toma la forma ^ ', entonces:
lim. (x1)/2x
x+1 (x+1)(x1)
8x31
limx+1
/2x
x+1
Wik 1 limx+1/2 6x25x+1
Solución. El límite del numerador y denominador es cero, enton
L = lim(2x 1) Ux 2 + 2x+1) 4x2+2x+1
x+1/2 (2x1)(3x1)limx+1/2 3x1
x2+x2lim ---------x+1 x 3-x 2-x+1
,1 ■(nción. En este caso el límite tiene la foriffa: <*>a>
Debemos efectuar las operaciones indicadas para tra
•m do eliminar el factor (x1), esto es:1+x+x23
L = limx+
im r..i+x+x2r.3_ _ i = iim r . (x1 ) (x+2 ) i
+1 L(1x)(1+x+x2)J x+1 L(x 1 )(x2+x+1 )J
x+2limx+1 x 2 +x+1
= -1
17 71 lim í _ 1 — --- 1 — 1x+2 J_x(x2)2 x 23x + 2j
. inción. El límite toma la forma indeterminada: <*><»
+ L im r— i-i— i = iin r,zi.í_3xi
+2 ,l_x(x2)2 (x2)(x1)J x+2 J_x (x2) 2 (x1 )limx+2
_ 4+61
limx+1
2 (0 )2(1)
x+2 , x4
>]x 25x+4 3(x23x+2)J
lución. Sustituyendo en valor de la variable obtenemos:
L
x+2 , x4L = lira [---x+1 [(x1
= lim Hx+1 L
X 4 ~[
(x 1) (x2 )J) (x4) 3(
3(x+2 )(x 2) + (x4)(x4)
3(x1)(x4)(x2)
¿(x1)
!] = li mJ x+1x+1 3(x1)(x4)(x2)
L = limx+1 3(x4)(x2)
j • A “ Ilim -------x+1 xn 1
, m y n son números enteros.
•í’ución. Como el límite del numerador y denominador es cero se
tiene:
180 Capítulo 2: Limite y Continuidad
. (x-1) (xra_1 + x“ -2 + ... + 1) -1 . xm '1 + x m' 2 + .. + 1ll“ --------- -----:-r---- llm, n1 , ' n2.I TX* 1 (x-1+(xn‘1 + x11'2 + ’.. .+ 1) X" 1 X + X + v + 1
1 + 1 t ti veces 1 . «L =
i + 1 + ... n veces 1
3
11 ni 4: Operación de hallar los límites 181
r r a ü m i ------ sL.)x+0° '2x2 - 1 2x +1 /
fui' ión. El límite tiene la forma: ®°» . Efectuando la opera-
ción se tiene:
x 3+x2 “lim r*3(2x+1) x»(2x2JI)| = lir
x yœ L (2x21)(2x +1) -* x*«xs“ (2x 21 )(2x+1 )
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lira x 3+x
x+oo x‘*3x2 + 1
Solución. El límite tona la forma indeterminada — . Para salvar00
la indeterminación, dividimos el numerador y denomina
dor entre xMmayor potencia de x).
y | . 1/X + 1/X3 1 0 „L = l i m I T órQ = 0
lim x"*" xx+oo x 2-3x +1
Solución. Dividiendo numerador y denominador entre x1* se tiene:
L üir 1 5 / x 3 1 ~ 0 = ooi 1 / 2 'Q / 3 X 1 / * 0 0 + 0x*“ l/x“1 3 /x + 1/x
lim — x+°° 2x 2 + 1
Solución, Dividiendo el numerador y denominador entre x2 se tie
T i . 1 1/x 2 1 - 0 1--------- = ----- = j
xK» 2 + 1/x 2 2 + 0
lim 1 + x 3x 3
x+o° 1 + x + 3x
Solución, Dividiendo numerador y denominador entre x 3 se tiene:.
L = lim .l¿x3,±..V x! 3 = .0 f..0 J =x5“ 1/x3 + 1/x + 3 0 + 0 + 3
I l im í - i l - - Á Xmo \ x2 + 1 /X‘
Solución. El límite toma la forma indeterminada a><® . Efectuan-
do la operación indicada obtenemos:
L = lim (Z2L_ ) = i ÍD1 .1/.x— = 0 . = QX+co x + 1X->-<» 1 + 1/x2
x yœ L (2x21 ) (2x + 1 ) -* x*«xs (2x 2 1 ) (2x +1 )
livWüendo cada término del numerador y denominador entre x3, ob
. . . . 1 + 1/x 1+ 0 1i. liemos: L = lim ------------- ------- = -------- — = 7
x+» (2 1/x2 ) ( 2 + 1/x) (2 0 )(2+0 ) 4
U J I llm f j x ! - (2x- 1 ) ( 3 x2+x+_1 ) x>.<» |_2x+1 4x 2
t fución. Siendo el límite de la forma <*>“ , efectuamos la ope-
ración indicada y obtenemos:
12x 2 U x 21)(3x2+x+2) _ 4.x3 5x2+x + 2 _ “i = lim ---------------------- iim --- ---------
x+“ . 4x 2 (2x+ 1 ) x+“> 8x 3 +4.x2
) dividiendo el numerador y denominador entre x 3 resulta:
- 4 5/x + 1/x 2 + 2/x3 _ 4 * - 0 + 0 + 0 _ 11 lim — .. — -------------- — — —— — — — — — ~ 9
X*00 8 + k! x 8 + 0
(x +1 )10+(x +2) 10+ ... + (x+1 0 0)1p
íución. Dividiendo cada término del numerador y denominadori n *v
entre x , se tiene:
(1 + 1) 10 + (1 + |) 10+ ... + (1 + ^ ) :limX + c o
y 10X
( 1 + 0 ) l o + ( 1 + 0 ) 1 0 + . . . + ( H - O ) 1 0 _ 1 0 0 (1 +0 )10 = 100
1 + o
■ m /x2+i + /x■ I I I ■»/ 3 , X -Kx> V x +X X
'. fución. Dividiendo el numerador y denominador entre x ^ / x 1*,
se tiene :
L = lim ^ + 1 / x 2 + = 1/1 + 0 + ^ = 1
x+” “/1/x +' 1/ x3 1 1,1/0 + 0 1
182 Capitulo 2: Limite y Continuidad
lim»£*+7 - 3v£I7Í
x~ ” v £ ñ i - v ^ ñ T
Solución. Dividiendo cada término del numerador y denominador
entre: x = /x = 3/x 3 = Vx"‘* = 5/x"* , se tiene:
/i + 1/ 2 3/l/ + 1/ 3 /l+0 V0 +0
"ii 4: Operación de hallar los limites 183
Imii/, i6n. El límite toma la forma indeterminada . En este ca-
so debemos racionalizar el numerador a fin de elimi
iiit' ni factor x causante de la indeterminación, esto es:
l l m ( / ü x 2 - i ) ( A t i L t . J . ) = lín 2) - i
x(/l+x2 + 1) x+0 x(/l+x2 + 1)
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/i + 1/x2 3/l/x + 1/x3 _ /l+0 V0 +0L = lim
*/| + 1/x1* 5/ í1/x + 1/x5 'no 5/ ho
= 1
lim 5v'x7 + 3 + "/2x31
x~ ” 6/x 8+x7 + 1 x
S o ¿uci&n. Al dividir las potencias más altas de x en cada subra
dical entre el índice de la raíz respectiva, vemos q'
1 > 4 > 4 , entonces debemos dividir cada término del numerador5 i 4
y denominador entre x 7 5, esto es:
s/x 7+3 , 2 °/(2x31)!
L = liaXH»
r7/ 5 2 8/2 0
30/(x8+x7+1)íx “2/ 3 0
L =
_x,7/S
= limX-KO
\3/i + 2 + 2 °/ — ( 2 1:V x7 V x13 x3
*«/J(i+ i + L).V x «
<2/ 53/T+5 + o
/o(<¡+o+o)5o
limXHx>
3/x ‘*+3 - *.6*+Z
3/x 7+1
Solución. Dividiendo el numerador y denominador entre x 7/3 se
tiene:
L = lira
x+oo
3/x“+3
V 7/ 3/(x3+4);.35/15
lira
x*“
3/Í + 2 . “ /V ... 3 7 V (1 _i)3
3
L '0 + 0 f r 0(1+0);Í - »
3/l+0
- Vlin_ 1 + x2 1
/. L = lim .x--- = 0x>0 /1+x2 + 1
E U limx+0 x2
iriin. El ejercicio es similar al anterior, luego, procedien
do en igual forma se tiene:
Hln (/1~^ 1) (/T+x + 1) = 1± m (1+x)' 1,
x2 (/i +x + 1) x"*’° x2(/V+x + 1)
L = lim
Él'IÉ lim
x+0 x(/T+x + 1)
/x2 + 1 1
x>0 /x 2+16 - 4
fuciin. El límite toma la forma indeterminada ^ . En este ca-
so se debe multiplicar y dividir el numerador y deno
mdor por sus respectivas conjugadas, esto es:
I (/x2 +1 1)(/x2 + 1 +'1) f/x2 + l6 + 4]
x‘*0 (Zx2 + 16 4)(/x 2+16 + 4)[/x* + 1 + 1]
(x2 + 1 1)(/x2 +16 + 4 ) i • /x2 +16 + 4 1/0 + 1 6 + 4 ,1 im — i-------- — — ■■---- — = lim — -- --- = 4.
x"'0 (x 2 + 16-16 )(/ x 2 + 1 + 1) x+ 0 + 1 + 1
u n 1 i» Æ Txm-----x+5 x5
ilición. Por simple inspección vemos que el límite toma la for
ma ^ . Luego, racionalizando el numerador se tiene:
llm +2) = llm ---- 1--- = 1
x + 5 (x5) (/x1 +2) x»5 /x1 + 2 4
184 Capítulo 2: Límite v Continuidad
lim ■ /x
So¿ación. Por simple inspección vemos que el límite toma la for
na | . En este caso, para racionalizar el numerador y
denominador, conviene hacer un cambio de variables, esto es:
Si u=/x + u^x2. Si 3?+1, entonces: u ■+■ /T = 1
i"/i ■!: Opera ción d e halla r los límites 185
I 1 m : 3A 7 x ) 3 (a/ix)3
I I m
>0 x(3/(1tx)J + 3/(1+x )(1-x ) + 3/(1x)2)
2
0 3/(1+x)2 + 3/(1+x )(1-x ) + 3/(1x)2
/ /
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T T , . u“u . u(u1 ) (u2 + u+1)Luego, L = lim — -— t = lim --------------
u+r
/x+h
u1
■ /i
u+1u1
lim u(u2+utl)u+1
limh+0 ' h
Solución. El límite del numerador y denominador es cero, enton-
ces racionalizando el numerador se tiene:
1L = lim /xH/ x+h W x ) = lim .
h+0 h(/x+h + /x) h+0 /x+h + /xi
Si x>0 L = --- , y si x=0 *■ L = <*>2/x
Vï+j 1limx+0 x 2
Solución. En este caso se racionaliza ei numerador haciendo uso
de la identidad: a 3b 3 = (ab)(a2+ab+b2) , donde el
factor racionalizante es a2+ab+b2. Entonces:
r _ (3/l T ^ - 1)( 3/(1 +X 2)2 + 3/l +T 2 + 1) j j — n m ...................- ■ — ...................— — —■———— —— —
x+0 x2(3/(1+x2)2 + 3/ U x i + 1)
= lim^/ l+ x2)3 (1): lim
x+0 x2(3/(1+x2)2 + 3/l+x2 + 1)' x+0 3/( 1+x2 ):
de donde: L = 1/3
3/lTx 3/ úx
3/l+x2 + 1
frlOl limx+0
Solución.
L = limxvO
Como el límite toma la forma ^ , racionalizamos el nu
merador siguiendo el método del ejercicio anterior,
(3/ ñ x 3/ Ñ x ) ( 3/(1+x)2+ 3/(1+x)(1x) +■ 3/(1-x )2)
x(3/(1+x)2 + 3/(1+x)(1x) + 3/(1x)2)
/xb /ablinx+a
(a>b)
/< ión. Por simple inspección vemos que el límite toma la for00ma indeterminada . Entonces, racionálizando el nume
so tiene:
(xb) (ab)(/xb /ab)(/xb + /ab)I lm------------- = = --------- — = lim — __ .__/*a (x+a) (xa) (/xb + /ab) x+a (x + a) (xa) {/x^b + /ab)
-------------- i____. _ L _»♦a (x+a)(/xb + /ab) 4a/aVb
BTÍT1 lim — — --- 1 (n y m son números enteros)x+1 n/x . 1
t- nu ión. Dado que el límite toma la forma , racionalizamos
el numerador y denominador mediante un cambio de va
i t »• i■l os, e sto es :
mnn/7 = um
m /— n^ /x = u
ii.■!') x+1 , entonces, u + mn/x
(mn = común'índice)
= 1
L = lim ~ ~ 1 = lim .(u 1)(uro 1 + u"'2 + ••• + 1u+1 u
n1 u+1 (u1 ) (u11'1 + un_2 + ... + i ;
lim ul° + um 2 + • • • + 1 _ 1 + 1 + . m vece s 1 _ m
u+1 u11"1 + un_2 + ... + 1 1 i 1 + ... n veces 1 ” n
I T T I 14m-x+0
3/1+x2 Vl 2x
X + X 2
*ón. El limite toma la forma , entonces, para racionali
limx+0
zar el numerador empleamos el siguiente artificio:
3/l+x2. 1 + 1 i/l2x
x + x 2 x+0 x + x2= lim 1 t llB 1 */Ñ2^
x+ 0 x + x 2
186 Capítulo 2: Límite v Continuidad
, . 3/1+x2 1 y , .1,,/l2xSean Li = li m----------- y L2 - lim
+ Li = lim
x+0 x(1+x) x+0 x(1+x)
( 3Ä T T 2 - 1 ) ( 3v/TT+ TT2 + 3/l+x2 + 1)
x+0 x(1 +x)(3/(1+x2)2 + 3/l +7 2 + 1)
li O
¿fi , 1 , 1 1 1 4: Operación de hallar los límites 187
i., = lim --- — S J-JL Z -i------- = 1 + 1 + 1 = I4
X+1 3/(7+x3)2 + 2 3/Í 7 7 3 + 4 4 + 4 + 4
l ( „ ll m (2 - / 3+x2)(2 + / 3+x2) _ l im ____ 4 - ( 3 + x 2 )
X* 1 (x1) (2 + / 3+x2) x>1 (x1) (2 + /3 +x2)
lim ---(?x)(1+x)--- = lim z M l i = 1
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= lim ---------------------- ---- ---- O
x*° (1+x)(3/(1+x2)2 + 3/l+X2.+ 1)
Para racionalizar el numerador de L2 hacemos uso de la identidad
a'b1* = (ab) (a+b) (a2 + b2)
,. (1 Vl2x )(1 + Vl 2x)(1 + /l2x)L 2 = lim ----------------------- —— ------------- —
x+0 x (1+x)(1 + Vl2 x) (1 + /12x)
(1 - /1 -2 x )(1 + /1-2x)lim ---------------- — -------------
x+0 x(1+x)(1 + V ì i 2x)(1 + /l-2x)
2-------------------------------_ 1 lim ----------------------- — — jTx+0 (1+x ) (1 + V 1+2x ) ( 1 + / 12x)
L = Li + L 2 = |
, . 3/7+x3 =•■ /3+x 2lim --------------x+1 x 1
Solución. Dado que lim ( V7+x3) = lim (/3+x2) = 2 , empleamosx+1 x+1
el mismo artificio del ejercicio anterior, esto es:
L = lim ^3+x 2 = lim + limx+1 x 1 x+1 x1 .x+1 x1
n t -1 • 3/7+x3 2 r _ u., 2 /3+x2Sean: Lj = lim y L2 = lim
x+1 x1 x+1 x1
L = lin] (3/?+x3 2 ) ( 3/(7+x3 ) 2 + 2 3/7+x3 + 4)x+1 (x -1)(3/(7+x 3)2 + 2 3/7+x3 + 4)
lim _______ (3/7+x3)3 2 3
x+1(x1)(3/(7+x3)2 + 2 3/7+x3 + 4)
= lim _______ (x1)(x2+x+1)___________
X+1 (xl)(3/(7+x3)2 + 2 3/7+x3 + 4)
lim ---(?x)(1+x)--- = lim z M l i = 1X+1 (x1)(2 + /3 +x2) X+1 2 + /3 +x2
. T _ 1 1 1
'• L " 4 ‘ 2 ~ ‘ 4
H'I1 De qué manera varían las raíces de la ecuación cuadrada
ax2+bx+c=0 cuando b y c conservan sus valores constantes
(b/0) y la magnitud a tiende a cero?
'■■ •'lición. Las raíces de una ecuación cuadrática son:
xi = ~b + '/^4ac y X2 = b /b24ac
2a 2a
1:0 : Lj = lim (xi) = lim /b 24ac b = 0a+0 a+0 2a
= lim (x.) = n m l/b24ac b)(/b24ac+_b La+0 a+0 2a(/b24ac + b)
= l ü ---£2.4*°b2--- = l lm ----i2c---- = . £
a+0 2a(/b24ac + b) a+0 /b 24ac + b
■ lo tanto, xj tiende a c/b cuando a+0
!,, = l'im(x2) = lim — Lb+./b2^ae) = zl.b+_q) =a+0 a+0 2a
1 n consecuencia, x2 tiende a °° cuando a tiende a cero.
ffül lim (/x+a /x)x+00
‘"fución. Por simple inspección vemos que el límite toma la for
ma co-00 . En estos casos, para evitar la indetermina
ii, se expresa el límite en forma de ooc'iente multiplicando y
idiendo por la conjugada de la función, esto es:
1 lim (/x+á /x)(/x+a + /x) = liffl x+ax a
/x+a + /x x+00 /x+a + /x
188 Capitulo 2: Límite v Continuidad
lim (/x2+1 /x21 ¡x*"
So¿uci6n. Para evitar la indeterminación , usamos el método
del ejercicio anterior:
L = i im (/ x2 + 1 -/ x ^ l ) (>/x 2TÍ + A 2^)) = lim (x2+1) - (x2- D
x->.a> / x 2 + 1 + /x-2- 1 X->"» / x 2 + 1 + / x 2-1
i i"ii 4: O peración de hallar los límites 189
x
lim (— = = ) = lim ■■■■;~1 ---x»co\ /x n í1 , _x / x+°° /1 + 1/x2 1 11
x
lim (/(x+a)(x+b) x)
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.*•'L = lim 2/= = = 1 = 0X+oo /x +1 + VX 1
lim (/x2 + 1 x)X-*-±°°
Solución. Evaluando los límites por separado se tiene:
Lx = lira ( / ^ x) = lim ( / x ~ x K ^ + x)x>■+<» x*+°° /x2 + 1 + X
= 1ÍB ,_x.l = lim ---- „ 1 = oX*■+“> /x2 + 1 + x x*+°° /x2 + 1 + x
1= lim (/x2+1 x) = lira
X co x-^“ 00 /X2+1 + X
Teniendo en cuenta que x toma valores negativos, entonces x=/x2o bien, /x 2=x. Según e.ste argumento, el denominador del, límite
L2 tiende a cero.
.'. L2 = “>
lim x(/x2 + 1 x)X + ±oo
Soíuciin. Considerando los línites ppr separado se tiene:
xlim x(/x2+1 x) = liímx>+°° x++“ voc2 + 1 + x
Dado que x crece sin límite.para valores positivos, dividimos el
numerador y el denominador entre x= y obtenemos:
1 ’ 1 1Li = lim — ..... — ---- = — ---- -óxs+o° /1 + 1/x2 + 1 /1+0 + 1
L2 = lim x(i/x2 + 1 x) = lim — x----X- > - oo X- V- oo /x2+1 + X
Aquí x decrece sin .límite para valores negativos, entonces debe-
mos dividir el numerador y el denominador entre x=/x2 ó /x2=x
i'uriin. Evaluando los límites por separado se tiene:
Li = lim (/(x+a)(x+b) x)X>+oo
(/x2+(a+b)x+ab x)(/x2+(a+b)x+ab + x)
x<+“> /x 2+(a+b)x+ab + x
(a+b)x+ablim — ' ■ ■ ----x»+oo /x2 +(a+b)x+ab + x
ilvtdiendo el numerador y denominador entre obtenemo s:
_____ (a+b) + (ab)/x____ _ a+b + 0 a+blim — = ----
x++oo / 1 + (a+b)/x + (ab)/x2 + 1 /1+0+0 + 1 ¿
lim (/(x + a) (x+b.) x) = lim (a+A)x+abX+" x*“ /x2 + (a+b)x + ab + x
Mdiendo el numerador y denominador entre x = / x s e tiene:
lim (a+b) + (ab)/x_____ _ a+b + 0 _ a+b
x+°° /1 + (a+b)/x + (ab)/x2+ 1 /1+Q+0 + 1
lim (/x22x - 1 /x27x+3)X-»-±oo
’fuciórt. Sea: Lj = lim (/x22x1 /x27x+3)X + +co
'+ Ll = lira (/x 2-2x -1 - ✓x 2-7x +3)(/x 2-2x -1 + /x27x+3)
x>+«> /x22x 1 + /x 2-7x+3
= lim (x22x1)(x27x+3)x*+<» /xz2x1 + /x27x + 3
5x¿= limx>+°> /x22x 1 + /x 27x +3
.idiendo el numerador y el denoainador entre x=/x2, se tiene:
190 Capitulo 2: Límite y Continuidad
5 4/x_______________ _____ 50 ....
' S í . /1 2/x 1/x2 + /1 7/x + 3/x 2 /100 + /10+0
L i = 5/2
Sea: L 2 = lim (/x22x1 /x27x + 3) = lim , — ^ ¿ — x>_«, X+® /x 2x1 + /x 7x+3
Di idi d l d d i d t / 2 ti
n i<i 4 / Operación de hallar los límites 191
Hvldiendo el numerador y denominador entre x 3/ 2, obtenemos:
-L-J-111 . ■■■ : --- —"
x+co / 1 + 1/x3 + /1 1/x3 /T+Ô + / M )
•1 i LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
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Dividiendo el numerador y denominador entre x=/x2, se tiene:
5 A/x = 5 0
x+=° /i 2/x 1/x2 /1 7/x + 3/x2 /100 /10+0
L 2 = 5/2
L 2 = lim
KT T1 lim (3/(x+1)2 3/(x1)2)x**00
Solución. En este caso el límite se multiplica y se divide por
el factor racionalizante: a2+ab+b2, donde a=3/(x+1)2
y b= 3/(x 1)2. _____ _____ _______ .-----
+ L _ liffl (3/(x+1)2 3/(x1)2H 3/(x+1) 4 + 3/(x2l)2 +
x*“3/(x + 1)'* + 3/(x21)2 + 3/(x1)‘*
_ ________ fx+1)2 (x1)2________ _
" xi» 3/(x +1)‘* + 3/( x21)2 + 3/(x1)
H . ----------------- ^xi» 3/(x+1 )" + V( x 2-1 ) 2 + V( x- 1 )“
Dividiendo el numerador y denominador entre x1*/3, mayor potencia
de x, se tiene:
; ,. 4/x1/ 3 ___________ __L = lim = ---- , . ■ ■— u
■ x+co y (i +1)1' + yo - + yd - ^
KTTl lim x 3/ 2 (v^ +1 x>“>
Solución. Multiplicando y dividiendo por la conjugada del parentesis se tiene:
L = lim x 3/2 (yx^r? /x3 1)(/x3+1 + yx31)
X- -oo /x 3 + 1 + / X 3 -1
= l i n x j/ _2 r ( x H 1 ) - (x 3- 1 ) j = l in j -^ x 3/ .2XMo i/x3 + 1 + /x 3 1 X"*"“ /x+1 + /x 3 1
1‘Miil’ IEDADES. Para el cálculo de los límites trigonométricos se
requiere el conocimiento de los siguientes límitesMnicos:
lim Senx = 0 (3) lim (^X) = 1 (5) lim (^ L) = 1x+0 x x+0 xx+0
1 imx+0
(•') lim Cosx = 1 U) lim ( h £ ° M ) = ox+0 x
i'i "|i ledades de los límites de las funciones trigonométricas in
vi i *.üs :
i lim (arcSenx) = 0x+0
( 7 1 1 im (arcCosx) =tj
x+0
(8) iin (arcSenx} = 1
x+ 0 x
(9) lim (JSESliï) = 1x+0 x
'* ‘'nción. Dado que x '* 0 , entonces, 3 x >• 0 . Según la propie-
dad (3): L = lim (S©S3X) = 31im (Sen3x} = 3 (1 ) = 3
x+0 x+0 Jx
m lim (Tankx)
x+0 xfución. Si x + 0 , entonces, kx *■ 0 . Luego, por la propiedad
ranli"ToT
(5): L = lim ( ^ ) = klim (“ ) = k(1) = kx+0 x x+0
H1 <§Sif>
ilición. Si x + 0 , entonces: ax »■ 0 , y Bx * 0
192 Capítulo 2: Límite v Continuidad
, . /Sen'axi
x+0/SenaX\ _ /<*, _______________íl\ (_11 «
Luego: L = lim (g) ^ (SenBx) ' W ' (1) " 6x+Q
x+0
Tan2x\
6x
EO (Sen5x'So¿ación Según Tas propiedades (3) y (5) se tiene:
Si. i n 'ii 4: Operación de hallar los límites 193
. i, ü m ?.f~e.n2 í?/.?,) = ¿ lim fS">(x./.2>V = 1 (1 )2 = 1 x+0 x2 4 x+0 L x/2 J ¿
It tl f 1Cos 3X nE 3 x+0 xSen2x
J fueión. Factorizando el numerador se tiene:
t n » (1 Cosx) (1+Cosx+Cos2x)
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So ¿ación. Según Tas propiedades (3) y (5) se tiene:
Tan2x ,, . _ fTan2x
z f Ü V 2 = (f)iÜ = |xÍ0 5\ ^e n¿ x/ 5 lira{Sen|x) (1)
5X x+0 5x
lim ( n y m son números enteros positivos)x+0 (Senx'‘m
Soiución. Haciendo uso de la propiedad (3) tenemos:
n Q„ n — 1 l i m f ^ e n x )
/x"* x+0 xn . (1) _ nmT - 1 • X _ , X n x+U X _ ,X_} _L — lim \ . Scnv. m * m '
limx+0
_ ' m , . /Senxa ' nr m ix+0 ..a/Senxjm x lim (-- — ) x {1)
Dado que x *■ 0, pueden ocurrirlos siguientes casos:
a) Si n>m -*■ L=0 b) Si n<m + L= c) Si n=m L=1
■,FM| , . /2arcSenxiKjLkJÍ lim (— tí— >
x+0 JX
Sotuci&n. Según la propiedad (8) se tiene:
> T2 , . /arcSenxí 2,-\ _ 2L = tj lxm (-------) = (1) = 5
^ x+0 x ^ ^
, . 2x arcSenxEKjJ lim -------------
x+0 2x + arcTanx
So ¿ación. Dividiendo cada término del numerador y del denomina
dor entre x, se tiene:0 arcSenx
r * . ¿ ~ x _ 2 1 _ 1J. 1 ni m — — — — —x>0 2 + arcTanx 2 + 1 3
X
E S I ü m (1z££25)x+0 x2
Solución. Recordemos que: 1Cos2A = 2Sen2A
t n » (1Cosx) (1+Cosx+Cos2x)L — 1171 .... —.......i ■ —..........-
x+0 2xSenxCosx
ljLm f2Sen2 (x/2)1 (1+Cosx+Cos2x ) _ 1 fSer>2| , HCosx+Cos2x4 Cos*x+0 4,xS8n(^)Cos (^)Cosx x>0 — J Cos Cosx
I’, r las propiedades (2) y (3): L = 1) (1 *1 v
Cffl lim Tanx
í)
x+0 3/( 1 Cos x) 2Tanx
J..fu ció n. L = lim — = lim
lim
x+0
/Tanx
^/(2Sen2f)2 x*° S e n M x / 2 )
x » 0 ____________ 1 _ 1
ü ; y is.„f •' 0 ‘ ’
14_ 1 + Senx Cosx1 1 ni----------------x*0 1 Senx Cosx
■ ilición. Dividiendo el numerador y denominador entre x se tie-
ne :
/ 1CosX', , Senx, lim (1~Cosx) + lim (£§S£)x x x>0 X" Ó ^
x+0 (~^osx) (^22) lim (l^ogX) . lim (Senx}x x x+0 x+0 x
■<’r las propiedades (3) y (4) obtenemps: L = .¡j = - 1
■ i Tanx Senx^ ■ lim--------- --x+0 x 3
Senx senx),t ación. L = lim .Senx (1Cosx)
x^ x+0 x 3Co sx
194 Capítulo 2: Límite y Continuidad
L = lim 2Ser. (x/2)Cos(x/2)l]2Sen2 (x/2)]
x+0 ‘x 3Cosx
, * ü . Iísen(x/2)"|1 [cos(x/2)l , , 1
x *0 8L x/2 I L COSK J 0 1 2
, . 1 Cosxlim------------x+0 Tan x Sen x
\ ( 1' mn 4: Ope ración de hallar los límites 195
= U n Cos(u + ir/2) = lla Senu
u+0 3/[lSen(u + tt/2)]2 u+0 3/(1Cosu)2
2Sen^.Cos^ 2Cost|Senu _ 2 2 . ¿■ lim — ------- n ® ----------------
u+0 3/( 2S en ^) 2 u+0 Senf 3A¡ en ¡ u>0 3A¡ ¡n f
- - - g i l í =3ATÖ)
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Solución. L = lim --- 1 Cosx = lim Co3»x( 1CobxJLx+0 Se n3x c 3 x+0 Se n3x{1Co s3x)
----- ben xCos 3x
Cos3x _ 1 _ 1 _L = lim = -------- “ Ti _
x+0 Sen3x(l+Cosx+Cos2x) 0(1+1+1)
x+o (senx ' Tanx )x+0
Soíuci&n. Por simple inspección vemos que el límite tona la for
ma indeterminada. <*>“ , entonces:
1Cosx\ n
0
/ tUOSX \, . / 1 Cosx\_,.( x \ _ 0
x+0 ' Senx Senx/ x^O \ / 1
» • 1 Senxlirax+tt/2 x) 2
So ¿ución. Si x + | , entonces, x + 0
Haciendo el cambio: x = u , vemos que u + 0
+ L = lim +J L } = 1ÍB l^ os u = liffl 2Sen2 (u/2)
u+0 (u)2 u+0 u2 u+0 u2
= .1 lim 2 (1)2 1
A u+0 L u/2 I K 2
limx+tt/2
( Co sx \
\ 3/( 1Senx)2 /
Solución. Si x + ^ , entonces: x + 0
Haciendo el cambio: u = x ^ , vemos que u + 0
Luego, en el límite se tiene:
)
/ Sen3x \
' Sen2x '
>M'l lim
x+ir \ Sen2x '
(ución. Si x + ir, entonces: x7r + 0
Haciendo el cambio: x -tt =u , se tiene que, u + 0
Sen3(ir+u) _ Sen3ul.imgo, L = lim --- — --- — = lim *—
u+0 Sen2(ir+u) u+0 Sen2u
,,Sen3u\
_ lim 3U 2 (1) 1u+0 2(S2|2a) 2 (1) 2
jtHÉ lim (■?■ x)Tanxx + tt/2
'cíución. Por simple inspección vemos que el límite toma la for
ma indeterminada'0.“Como x + , entonces: x ? + 0
* itHaciendo el cambio: x 2 = u > se tiene que, u + 0
!,migo, L = lim (u)Tan(5 + u) = lim (u)(Cotgu) = lim — — u+0 u+0 u+0 Tanu
v por la propiedad (5): L = 1
S «ii» . . SenxHcfrJ lim
X+1T ^ X 2TT
, , ■, t n . w2SenxSolución. L = limX+7T ( TT+X ) ( TTX )
Si x + tt, entonces x - tt + 0
Haciendo el cambio: x - tt = u , se tiene que: u + 0
Luego, L = lim JLÍSen(aiu). = lim ( r¡±_) (Senu ) = (*i)(1>u+0 (tt+tt + u) (u) u+0 27r+u u 2n
196 Capitulo 2: Límite y Continuidad
EtEl lira (1x)Tan(Tix/2)x+1
Solución. Por simple inspección vemos que el límite tona la for
ma indeterminada 0." . Dado que x+1, entonces x1 + 0
Haciendo el cambio: x1=u , se tiene que, u+0.
Luego, L = lim (u)Tan?(u+1) = lim uCotg(5u) = lim-------u+0 u+0 u+0 Taní^u)
. ion Operación de hallar los límites 197
2Sen(S) .Cos(tj)liB -------Senu---------- = 1ÍB -------_ 2_^---- 2---
u+0 Cos(^) Cos(u + ) u+0 2Sen(g + gJ.Sení ^)
Cos(u/2) 1 _ 1 _ > lim ----¿--- — ----- --- ¿u+0 Sen(g + ■*>) Sen(ir/6) 1/2
1Sen|li ' “
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^u2 , . 2 2 M n _ 2
" * iio Tan(fu) ‘
lim (Sen^^ •x+a
Solución. Si x+a , entonces, xa+0
Haciendo el cambio: xa=u , vemos que u+0
+ L = lim Sen(^).Tan^(a+u) . Pero Tan(? + a) = Cot'gau+0* ¿ ¿
+ L = lim Sen(^). Cotg(?“)■ = limu+0 u+0 Tan(7ru/2a)
Sen(u/2)
_ * a llm u/2 _ _ a (1) _ _ a
71 u+0 Tan(iru/2a) 71 (1) 77
Tru/2a
Cosx SenxJcMjJ limx + tt/4 Cos2x
Solución. Por simple inspección vemos que el límite toma la for
ma indeterminada . Entonces, multiplicando el nume-
rador y denominador por la*conjugada del numerador, se tiene:
r n . (CosxSenx)(Cosx+Senx) _ , . Cos2xSen2xu — ■1 1 ................— .. — J.1D1 ...... ■■■:-------- — x+tt/4 Cos2x(Cosx+Senx) x+tt/4 Cos2x(Cosx+Senx)
. T _ 1;. 1 _ /2• • ~ J. i lii ■px+tt/4 Cosx + Senx
lim Sen (x tt/6 )
x W 6 q _ Cosx
Solución. Si x + 7r/6 , entoncesxtt/6 + 0
Haciendo el cambio:x-tt/6 = u , vemos que u+0
lim ' “x+ir Costj(Cos j Sen )
'■•■fución. Multiplicando y dividiendo por la conjugada del deno-minador se tiene:
(1Seni)(Cosy + Seny) (1Sen|)(Cosy + Seny)> jjj — lim -- —. .. ....
x+ir Cos| (Cos^j Senz|) x + tt Cos| (Cos|)
_x , „_x(1Senf)(Cosy + Seny) Cosy + Seny ^
lim ------ — ----------5 = lim ----i------¿i- = — x+tt 1 Sen I x + tt 1 + Sen-2
lim (2xTanx — — )x+tt/2 Cosx
/ 2xSenx tt \V Cosx /
•o(ución. Sea: L = limx + tt/2
Si x + tt/2 , entonces: x tt/2 + 0
11rciendo el cambio: x tt/2 = u , se tiene que: u + 0
2(f + u)Sen(f + tí) * (rr + 2u)Cosu irL = lira ------------ = lira ---------- :-------
u+0 Cos(^ + u) u+0 Senu
lia ( ^(lCosu) + 2uCosu \
u+0 \ Senu Senu/
1Cosu
= l i l K n ■ 2 u+S ( )'Cosu = “ 2(1)(1) = ~2
I M¡| Cos(a+x) Cos(ax)
x+0 x
\n(.ución. Transformando a producto el numerador se tiene:
t - i -í „ 2Sen(a). Sen (x) . . ,SenxiL lira --------------- = 2Sena lim (—Siü) = _2Senax+0 x x+0 x
198 Capítulo 2: Límite y Continuidad
C£ ni i _ Cosax CosbxE H J lim — -------------
x+0 x2
Solución. Transformando a producto el numerador se tiene:
_2Sen(S4bX).Sen(J^)
L = limxK) x2
S (^4 ^) S ( ^5^)
ni ■!: Operac ión de halla r los límites 199
„/Senb\ ,„\ / \ 2SenbCo sb _ Sen2b■ = 2b~ • ' ' .Cosb. 11 ; ------ 2b ~ 2b^
V Sen(a+2h) 2Sen(a+h) + Sena
h+0 h2
„ T . [Sen(a+2h) + SenaJ 2Sen(a+h)ión. Sea L = lim — ---i---------------------------
h+0 h 2
Transformando a producto el corchete se tiene:
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Sen(^4^)x Sen(^5^)x= 2 lim------1--- . ---- J~---
x>0 x x
O 2i (a+bx Sen(á2^)x /ab\
x+0
L = 2 ( ¿ ^ ) = ±(b2a2)
Btfíl 1im Sen (a+X) ~ Sen(ax)x»0 Tan(a+x) Tan(ax)
Solución. Transformando a producto el numerador y el denomina-
dor se tiene:
L = lim 2Cosa.Senx _ ^ 2Cosa. Senx.Cos (a+x).Cos(ax)
x+0 Sen (a+xa+x) x>0 2Senx.GosxCos(a+x).Cos(ax)
_ j •Cosa.Cos(a+x).Cos(ax) _ Cosa.Cosa. Cosa „ ,iim ------------------------ = ----------------- = Cos3ax+0 Cosx 1
R n ■ _ Sen2a - Sen2b■Cf-¥M lim --------------a*b a2b2
Solución. Sea L = ~n m (Sena + Senb)(Sena Senb)
a*b (ab)(a+b)
Si a ■* b , entonces ab 0
y haciendo el cambio: ab = u , se tiene que: u 0
+ L = lim CSen(b+u) + SenbJ] ¡J3en(b+u) SenbJu+O u(b+u+b)
[ 2Sen(-S±M6 ) . c o s ( f ) ] [ 2C0S ( M | ± Í ) . S en ( | ) ]
u+0 (2b+u)u
a_/'_2b + U'iSen ( ry )= lim 2 ------ ±— . Cos(^) . C
u+0 2b+u|) . Cos(2M“ ). ( Sen (u/2 ) \
V u/2 '
1 , m [2Sen(a+h).Cosh_l 2Sen(a+h) _ lim 2 (1Cosh). Sen (a+h)
1,tO h 2 h*0 h2lim 2p Sen. ^ l Sen(a+h) = lim — 1 Sen(a+hjh+0 * h2 h>0 * h/2
.’. L = (1)2Sena = Sena
Tan(a+2h) 2Tan(a+h) + Tana
h2
Cución. Ordenando los términos del numerador se tiene:
§ E *1 i 1® .h+0 h2
limh+0
lim
r [Tan (a+2h)'T an(a+ll)3 IT.
h+0 h 2
Sen(a+2hah) Sen(a+ha)Cos(a+2h)Cos(a+h) Cos(a+h)Cosa
h2
Senh Senh
Cos(a+2h)Cos(a+h) Cos(a+h)Cosa
hK) h2
Senh TCosa Cos(a+2h)l= lim [
Cosa Cos(a+2h)1
Cosa.Cos(a+2h) Jh+0 h2Cos(a+h)
Senh p2Sen(a+h).Sen(h)I= lim
J~2Sen(a+h).Sen(h)1
h+0 h2Cos(a+h)|_ Cosa.Cos (a+2h) J
, / Senh \2= lim 2(— r— )h+0 n [
Sen(a+h)_7 2 ( 1 ) 2 f SenaCosa.Cos(a+h).Cos(a+2h) [cosaCosaCosaJ
200 Capítulo 2: Limile y Continuidad
Solución. Por simple inspección vemos que el límite toma la for
tiene :
ma indeterminada0 Racionalizando el numerador se
L = lim 1+Cosx ) (✓?+/1 +Cosx)
x+0 (/2+/l+Cosx).Sen2x
= lim 1Cosx= lim
2Sen2(x/2)
x+0 (/2+/l+Cosx) Sen2x x+0 Sen2x(/2+/l+Cosx)
i,in ■!: Ope ración d e halla r ¡os limites 201
lim (^~ osx os^x^x+0 ' x2 /x+0
¿6n. Racionalizando el numerador se tiene:
(1Cosx/Cos2x)(1+Cosx/Cos2x)L = lim . v,_
x+0 x 2 (1+Cosx/Cos2x)
1 Cos2xCos2x _ . 1Cos2x(12Sen2x)= lim---------- ------ = lim ---------- — —
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lim2(|)(1)2 /2
x+0 (.££22)2 (/2 + / 1 +Cosx) ( 1 ) 2 (/2+/T+7) 8
limx+0
/1+xSenx /Cos2x
Tan2(x/2)
Solución. Dado que el límite tiene la forma , racionalizamos
L = limx+0
= lim
el numerador:
(/l+xSenx /Cos2x)(/1+xSenx + /Cos2x)
(/l+xSenx + /Cos2x)Tan2(x/2)
______ xSenx + 2Sen2x
x+0 (/l+xSenx + /bos2x)Tan2(x/2)
= lim y x+0 (/1+xSenx + /Cos2x)Tan2(x/2)
Dividiendo el numerador y denominador entre x 2, se tiene:
Senx)[ 1+2 (■Senx )]
x+0 y (Tj"x/ 2)2 (/l+xSenx f /cïï1(1+2)
</2s2x) f( 1 )2 (/T+/T)
im {+0 \
lix+0
/1 +Senx /1Senx
Tanx /
Solución. Racionalizando el numerador se tiene:
L = iin (l/'î~+Senx /lSenx) (/l+Senx + /lSenx)
x+0
limx+0 Senx
Co sx
(1+Senx)
Tanx(/1+Senx + /1Senx)
(1Senx) _ i._ 2Cosx
(/1+Senx + /1Senx)
L ----------- 211 )
= lim
' 1+0 + /1 -0
x+0 /1+Senx + /lSenx
= 1
lim lim x+0 x2 (1+Cosx/Cos2x) x+0 x2 (1+Cosx/Cos2x)
1Cos2x+2Sen2xCos2x ,. Sen2x + 2Sen2Cos2x lim ---------- - — ---- — = lim ------ — -- . -- - — x+0 x 2(1+Cosx/Co s2x x+0 x2 (1+Cosx/Cos2x)
lim ( Sen2S)2 r.„;H 2 Ç ^ ==~] = (1)2 ^ fx+0 M+Cosx/Cos2xJ
1+2 _ 2
(TT1 l i m í 3/''+arc'Tan 3x Vl arcSen3x ^
x+0 V /larcSen2x /l+arcTan2x /
finlución. Con el objeto de facilitar el proceso de racionaliza-
ción, del numerador y denominador, supongamos que:
n1 lurcTan3x , b=1arcSen3x , c=1arcSen2x ,d=1 + arcTan2x
yiliaervemos que: lim a/a = lim 3/b = lim /c = lim /d = 1x+0 x+0 x+0 x+0
(3/a 3/b) (3^ J + 3/ab + 3/b^) (/o + /d)i, —■ 3 m ** *.. *' * ' ~ " j—— "
x+0 (/c /d) (/c + /d) ( 3/a^ + 3/ab + 3/bI)
= n m (ab) (/c + /d)~L-L ili ... .„i.,, _____ i
x+0 (cd)(3/a2 + 3/ab + 3/b2)
(arcTan3x + arcSen3x)(/T + /T)______
x+0 (arcSen2x arcTan2x)( 3/T + 3/T + 3/T )
arcTan3x , arcSen3x- 3x~ + jx = 1 + 1 = _ 1
.5 arcSen2x arcTan2xx+0----23E--------- 2x 1 1
i i m : /¥ /arcCosx 'T U lim ---- ----------
x+-1 /T+x
fución. Sea: arcCosx = y . Si x + -1 , entonces y + tt, o sea
que y-ir+0 . Haciendo el cambio: y-7r = u , vemos que u+0
iii consecuencia:
202 Capítulo 2: Límite y Continuidad
L = iin /i /ÍT+5 _ =
u+0 /1 + Cos(w+u) u+0 /1-Co s u
Racionalizando el numerador se tiene:
L = lim ■...11 ' --------- = iimu+0 /2Sen2 (u/2) (/¥ + /tt+u ) u+0 /SSenïj (/ir + /ir + u)
L = * lim f— 2— ^ ---- = 2 ( 0 L = — —
ion 4: Operación de hallar los limites 203
( .tu. 3. Si lim f (x) = 1 y lim g(x) = ±“>, el límite L tiene lax+a x+a
±03
forma indeterminada: 1
ln usté caso se supone que: f(x) = 1+a(x) , donde lim a(x) = 0x+c°
/, por consiguiente:
L = limx+aim ÎC1 + «(XÏ]T O |+a L J
1 ». / \ , , lim a(x).g(x)rril «(x).g(x) x^a s
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/2 u+0f 2 2 ( 0 L \ Sen§ / Æ + /ÍTÍ /2 2/Ï /2?
4.4 LÍMITES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
denomina número e (número de Neper), al lími
te de la sucesión {(1 + ~)n) , cuando n crece
infinitamente. Esto es:
e = lira (1 + — )nnn+co
y cuyo valor aproximado es: e2.7182...
TEO RE MA 2.8 Si f:R+R es una función tal que f(x) = (1 + ~)X> eQ
tonces:
lim (1 + ) x = eX + ± ° °
y" si f(x) = (1+x)1/x, entonces: lim (1 + x ) ^ X = ex+0
Observación 1. Al hallar los límites de la forma:
lim [f(x)]g(x) = Lx+a
se debe tener en cuenta los siguientes casos:
Caso 1. Si existan los límites finitos: lim f(x) = A
x+ay lim g(x) = B , entonces: L = A®
x+a
Caso 2. Si lim f(x) = A / 1 y lim g(x) = ±oo, entonces el límix+a x+a
te se resuelve directamente, pues si:
A>1 + A+ = +<» y A” = 0 ; 0<A<1 + A+°°=0 y A~“=+<»
ül..ervación 2. Para evaluar límites de funciones exponenciales
y logarítmicas es necesario tener presente lo si»ulonte:
a)x
lim e = +“>X++co
e) ln(e) = 1
b) lim ex = 0 ' f) ln(1) = 0
X+œg) lim,(Inx)
c) ln(ex ) = xx+0
d)Inx h) lim (inx)e = x X++o>
■ Si lim f(x) = L > 0, entonces:x+a
lim logb [f(x)] = logb [lim f(x)J = logfc(L)
x+a x+a
PROBLEMAS RESUELTOS
ÜÍ| limXKX>
• “ ¿uc¿6n. Si f (x) = -z£- y g(x)=x + lim f(x) = 1 y lim g(x) =X + t » X - * * >
El límite tiene la forma indeterminada 1°°.
iactuando 1^ división: = 1 + , expresamos f(x)=1+a(x)
x+1,i 1 \'"gún el caso 3: L = lim (1 +
x+°°
r el teorema 2. 8, el corchete es el número e v L = e
linde: u = lim (~pp)X + “ >
1 ► L = e- 1 1
204 Capitulo 2: Límite y Continuidad
lim (1 tH»
Solución. Para aplicar directamente el teorema 2.8, escribimos:
L = lim [(1 + = W " 1 = |fcK»
X+1
Si-i ción 4: Operación de h allar los límites 205
n a i im ( í l !ü ) x2X+oo X21
„ 2 + 1 2• •• fución. Sea: T(x) = --- = 1 + ---- , por el caso 3, escribi
x 21 x21
X 2_ 1 ! /__L ) y 2X 2 1
L = lim (1 +x+“
2x 2
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lim (1 +^) xX+oo
x+1
Solución. Sea: L = lim [(1 + ^)X] X * , entonces, por el teoremaX+eo
2.8 , L = e11 , donde u = lim (2¿i) = 0x*° x2
.'. L = e" = 1
lim (1 + *) fflxx+»
Solución. Sea: L = lira [(1 + £) kJ X-HX,
Por el teorema 2.8: L = emk
K m n • / X + 1 \ 2 X - 1tEfrl lim hr-j)X+»
Solución. Por simple inspección el límite toma la forma indeter
minada 1°°. Según el caso 3, escribimos:
)íf ^ < 7 ^ ) ( 2x - 1 ;1* l í A i S \ J I Aira [<’ * Á ^ ] ^X o
y por el teorema 2.8: L = e11 , donde: u = lim ( = ^
XVoo
X-í-oo
/. L = e€
lim 3
X>=° + ¿
Solución. Sea f(x) = = 1 + ’ ^ t 011083 según el caso 3
x+1
3x+T
[ (1 + 3x +escribimos: L = lim
X->co
Por el teorema 2.8: L = eu , donde u = limx>°°
L = e’2/3
?x+2
2
•2(x +1 )
3x + 2
2x 2y por el teorema 2.8: L = eu, donde: u = lim (— — ) 2
X+oo x21
m irm , . , x + 1\X* 2 3 *+„(2x^V
x+±°°
'i f ución. Sea L = lim (¿x'i *x+±oo
Si f(x) = — 4 > A = lim f(x) = 4 / 1x+±°°
g(x) = x *■ lim g(x) = ±®Xv±co
lio que: 0<A<1 , según el caso 2: si x»+=, entonces: L=(1/2)°°=0
y :>i x+“>, entonces: L=(1/2) ”=+»>
r m ü m |)xx+±“>
Polución. Si f(x) = + 1 »■ A = lim f(x) = 2 / 1x~ x*±°°
g(x) = x *■ lim g(x) = ±==x + ± oo
in.|o que A=2>1, según el caso 2, se tiene:
-feox ■> +°°, entonces, L = 2 = +«
x + 00, entonces, L = 2 °° = 0
1\*lim (1 + — )x+°° x2
•fución. Sea L = lim |(1 + — -j** 1/xX+oo L X 2 IX+oo
Por el teorema 2.8: L = e11, donde u = lira (— ) = 0x+» x
.'. L = e° = 1
206 Capítulo 2: Limite y Continuidad
lim ( 1 + MXX+±<»
Solución. Sea L = lim f(1 + — )x|Y+ + 00 L. x 4
I xI V i t T.)
X+±°°
Por el teorema 2.8: L = eu , donde u = lim (x) = ±°>+ oo x+±°°
Luego, cuando: x + +=° , entonces: L = e = +=>
x + <*>., entonces: L = e“°° = 0
n I ()i>cración de hallar los límites 207
ITT! nix*0
ln (1 + kx)m ----------
I Ón Sea L = lim ln(1 + kx) = lim ln(1 + kx)1/,xx+0 x x+0
Según la definición 2.21, escribimos:
L =ln("lim {1 + kx)1/kx~|k = ln(e)k = k•■x+0 J
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KTT1 lim (* Íl Ml )x
x+oo x 2|x+2
Solución. Si f(x) = —— ^xf 1 = ] 4 ---1--- t según el caso 3 sex24x+2 x 24x+2
x 2¿x+2 / 2x- 1 stiene: T, = l í in I M + — "~~ ) 2x1 | x 24x+2
y por el teorema 2.8: L = eu donde u = lim (— Í2l!z2£) = gX+ oo x 2¿x+1
KESl lim ( 1 + Senx)Cosecx
x+ 0
Soiución. Se tiene: L = lim (1 + Senx)^//' enxx+0
Sea u=Senx . Si x+0 , entonces, u + SenO = 0
Por tanto: L = lim (1 + u)”'//u = eu+0
KT71 lim (1 + Tan2/?)1/2xx+ 0
Solución. Como el límite toma la formaindeterminada 1°°, según
el caso 3, podemos escribir:
--- - — " (Tan2/x)(1/2x)L = lim I(1 + Tan2/?)TanVx = eu
x+ 0 J
donde: u = lim Ign .2>/x = lim ^( Tarn ^p = J ( 1 ) 2 = 1
x+0 2x x+ 0 /x
L = e 1/ 2 = /e
i m lim ln(a+X^ —
x+0 x1/x
___ , JLX1V I T — y
x+0 XL a J x+0
ai 1
,6n. Sea: L = lim i f l n ^ ) ] = lim ln(1 + f) 1yx+0 xL a J x+ 0 a
+ L = Inílim (1 + ~)xl a = lnfe]”1 = — Lx+0
E Q J 1 1 m xíln(x+a) lnx]X+oo L
Un. Sea: L = lim ¡ln(^)"|X = lim ln(1 + f)5x ->co L - X -J x-* »
+ L = ln [lim (1 + f)x/al a = m [ e ] a =
Lx+<x> *
n a n. (isiji)x+e
•tía ión. Si x+e, entonces, xe+0. Haciendo: u=xe, entonces u+0
Luego: L = lim [ln<etul ÍSe] = lim ¿[ln(^)]11+0 L u J u+0 e Ju+0 L u u+0
i li. [l„(l * f,l/»] , ln [ii. (1 * _ i n W ,/2 _ ,
tlíl lim (— í— í)" h+0 n
\i'/ui l6n. Sea a 1 = u + a'1 = 1 + u
Aplicando logaritmos: hlna = ln(1+u) + h ln(1+uf * lna
Si h+0, entonces, u+a°1 = 0
ü m u lna _ _____lna_____ _ lna
u+0 ln(1+u) ln^lim (1+u)”*/UJ ln Ce}u+0
208 Capítulo 2: Limite y Continuidad
2x A e 1lim -----
Solución, Seas e2x1 = u + e = 1+u
Aplicando logaritmos: 2x = ln(1+u) + x = jjlnO+u)
Sí x + 0, entonces, u + e°1 = 0
? r ,1 "I 2 . 1 2 1 _ 2Luego: L = lim rrf------ = ^ lim — — _ ~ 3 . , 3
u+0 [ln(1 +u)J u+0 lnriin (1+U)1/’J ln^e)
<>n 4: Ope ración de ha llar los límite s 209
/ Sen2x \ /„Senx Sen2x 1 Senx, i in. JLs----- :.lL:_Í£---- z H = n » .5----- ii iin i---- 11
xH) x x+0 x x +0
Sen2x_ 1 Sen2x ,eSenx1u Senx^■ • "Sen2x )(~ ^ T } ‘ ^ { Senx')(~ r ) '
i’i:ún el ejercicio 3 6 9 y la propiedad 3 , se tiene:
L = 2(lne)(1) (lne)(1) = 1
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[ ( ) ( ) / )
Lu+ 0 J
lim ( ¿ ^ )x+1 X 1
Solución. Si x+1, entonces, x1+0 . Haciendo x1=u + u+0
L = = li = e li ¿ Vu+0 ' u ' u+0 u u+0 u
Pero: lim (-— - lna (Ver ejercicio 369)x+0 x
L = elne = e
____ x2R E I , . e Cosx
lim ---------x+0 x2
Solución Sumando y restando la unidad al numerador obtenemos:
L = lim eX'1+ = lim * 2 ^ 1 ) + llnx+0 x2 x+0 x2 x+0 x2
Comparando los sumandos con los ejercicios 369 y 321, respectiva
mente, resulta que:
L = lne + 1 22 2
, . e elim --------x+0 Senx
ex . i/ex . e2x 1S o ¿ación.♦ Sea: L = lim --------- = lim -- ----
x+0 Senx x+0 e Senx
L = u “ -i{e ■■2x‘J) {s ^ r ) = = 2x+0 e eu
* Sen2x SenxKfTl . e eE2¿J lira --------------
x+0 x
Solución, Sumando y‘restando la unidad al numerador se tiene:
lim (§--- =S— )
ax _bx
('x+ 0
\‘ i'ué.i6n. Sumando y restando la unidad al numerador se tiene:
ax 1 1 bx .ax * bxt i •/ e ~ i T i — e \ , e — i \ . / e 1 \i, = iim (----- _------ ) = i1Dl (— _— ) . i1Hl (— _— )x+0 x x+0 x x+ 0
ax 1 bx 1= a lim (-1— ) b lim (-------r— — )
x+ 0 ax x+0 bx
V |>or el límite del ejercicio 3 6 9 , obtenemos:
L = alne bine = ab
lim x ( e ^ x 1 )X+oo
1/x n . e1/x 1'•elución. Sea: L = lim x(e 1) = limx + oo x + oo 1 / X
Haciendo: u = ^ , vemos que s:i x+°°, entonces, u+0
u _ 1L = lim (---- — ) = lne = 1 (Ver ejercicio 369)
u+0 u
| lim (Coshx Senhx)X + ± o o
\o¿ución. Se sabe que: Senhx = ^(exe x) y Coshx = (ex+e~x )
L = lim |(ex +e'x ex+e"x ) = lim(e'x )X + ± a > X + ± o o
'uando x + +oo , entonces, L = e"“ = 0
x +'a» , entonces, L = e+”° = oo
378 lim TanhxX + ± a >
210 Capitulo 2: Limite y Continuidad
x x 2x 1 2xSoiución. Si Tanhx = ■ ■■ = ■ + L = lin — ÖZ-- ’ Llra 2x
e X+1 . x*±°> e + 1
1 1/e2x _ 1 0Cuando x *■ +<», entonces: L = lim ---— — ------ 1
1/<~¿ x
2x
X++CO 1 + 1/e 1 + 0
t 1 e 1 _ 0 1 _x ► entonces: L = lim — ---- = — — ----- = i
x - > - - c o + 1 e + 1 0 + 1
.. uní 4: Operación de hallar los límites 211
il M lim x(/x2+/x‘*+1 x/2)
(’lición. Racionalizando el paréntesis obtenemos:
L = lim x ( x 2 + ^ x » +1 ~ 2 x 2 ) = l i m . x .O V t l .. . - . x2J _
x ~ /x2 + /xk + 1 + x/2 x*» /x 2+/x * + ] + x / 2
¡onalizando nuevamente el numerador se tiene:
x
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4.5 DIVERSOS LÍMITES
En los ejercicios 379401 hallar los límites:
K m lim .i..ax., ,t..JJ . Considerar respectivamente los casos en q'X+oo xn + A
n es (1) un número entero positivo, (2) un número entero
negativo, (3) cero.
Soiuciin. (1) Dividiendo el numerador y denominador entre xn se
1 \n\ a t —
tiene: L = lim
! i I .(a +¿ _ _ (a + 0)n _ n
X+co 1 + 4 ' 1 + 0xn
(2) Si n es un número entero negativo:
T . lít, (ax+ 1)n _ -m -. (ax+ 1)nL = lim --- ----- lim -- ------ = lim x
x*oo + A x**> (ax+1)n (1+An )x
donde n es positivo. Consideremos los siguientes casos:
a) Si A>0 ó A<0, y a^O, el grado.del numerador es menor que
el grado del denominador, por tanto: L=0
b) Si A=0 y a 0 L = lim ax ^ — x+“ x¿
Aquí, el numerador y denominador son del mismo grado.
Por tanto: L=an.
c) Si A=0 y a=0 L = lim —^ = 0n 00X»“00 x
(3) Si n=0 + L = lim ° = — — x+t» x°+A 1+A
xL = lim
x+±” (/x2+v ^Vl + x/2)(/x“ + 1 + x2)
'mío que el grado del numerador es menor que el grado del denomi
ui'lor (grado impar), ocurre que:
Si x + +“ , entonces, L = 0
x + oo , entonces, L = «
xtü | lim — — — , a>0
x*±oo a + 1
• tución. Considerando separadamente los’ límites cuando x++°° y
x»00, se tiene:
.) :!i a> 1 L = lim — = lim --- ----- = -1 - = 1
L = lim -- 2-- = — 5— = o0 + 1
Si 0<a< 1 + L = lim ---2--- = — 2— = o
ax + 1
ax
ax + 1
Xa
ax + 1
ax*
ax + 1
ax
ax + 1
1+0
0 + 1
f -i . a. "1 1 .L = lim ------ = ----------------- = ---- = 1
1 + 1/ax 1 + 0
Si a=1 »• L = lim --- --- = — — = 41 + 1 ¿
3 3 lim ax ' ■ ax (a>0)X++0O a +. a
ax a"x a2x 1'tildón. Sea L = lim --------- = limx - y ? Y
x-**±oo a + a x->±oo a +1
2x .i ) l'ara a>1 -► L = lim — -— -- = lim —— I— liÜ 1 "0
+ 1 X+ 1 + 1/a2x " 1+0
212 Capítulo 2: Limite y Continuidad
,a2x 1, 0 1 1+ L = 1iB 2x~~~ Z ~ TT TT "1
x+°° a + 1
2xb) Para 0<a<1 ■* L = lim f e --- —)■ = q+ 1 =
x++oo a + 1
,a2x 1, . n;. ,1 l/a2x' _ J^ O _ ,"*■ L = lim (— 5 — ---) - lim \ 2x' ~ 1 + 0
x co a + 1 x**®5 1 + 1/a
2x
1mil 4: Operación de ha llar los límites 213
i TT l limh+0
Sen(a+3h) 3Sen(a+2h) + 3Sen(a+h) Sena
¡i/ución. Agrupando términos convenientemente.se tiene:
T _ -1 • _ CSen(a+3h)Sena] 3 [Sen(a+2h)Sen(a+h)ILi— 11ra —.........................•........1 . . 1 1 .1 —......... ...1.1.,1- .—.,
h+0 h 3
[2C0 S(a + |h).Sen(2|)] 3[2Cos(a + |h).Sen(|)J= lim ------------------------------------------------h+0 h3
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c) Para a=1 L = lim ( % v----) ' 4vr = 0x*±“ a + 1
E m , . /Senx,lim (— — ) .x+oo
Solución. Dado que: lim (Senx) = a , siendo 1<a<1, y lim(x) = =>XH» XK»
Entonces: L = lim (-■— -) = ¿ = 0 x-h» x
l ü lim (?rc£SS3) X+co
Solución. Sea arcTanx = y *■ x = Tany
Si X+"5, entonces, Tany >»+>■ y *tt/2, o sea: y7r/2 >0
Haciendo el cambio: yir/2 = u , vemos que u+0
Luego: L = lim — ”/2 + u = lim ¥/2 * — = lim (| + u)Tanuu+0 Tan(2 + u) u+0 Cotgu x+0
L = (| + 0)0 = 0
. /X+Senx,wm iiz( )Solución. Dividiendo el numerador y denominador entre x se tie
1 , Senx, . x 1 + 0 ■
ne: L = li a--- r — = i" v "y," = ixh» 1 + Qggy 1 + 0
v m v n ■ arcSenxÍ M l l imx+1 Tan(^|)
Solución. Si x+ 1, entonces, x1+0. Haciendo: x1=u * u+0
T , . arcSen(1+u) . arcSen(l+u)L = lim---- =— ---- = lim ------- ---
u+0 Tanj(1+u) u+0 Cotg(^v)
= lim arcSen (1+u). Tan (5u) = (ir/2).(0) =0u*0
2Cos (a + |h)(sen(-2|) - 3Sen(|)J= lim --------------------------------
h»0 h 3
■ la identidad: Sen3A = 3SenA ¿Sen3A , se tiene:
. 2Cos(a + |h)[3Sen(|) 4Sen3(|) 3Sen(|)]: U n --------------------------------------------
h+0 h3
lim. -8Cos(a + |h) I S?n -i?/-2 I = - lim Cos(a+ |h) 3h+0 ¿ L h3 J h+0 ¿ L h/2 J
L = -Cosa(l)3 = -Cosa
I lia Tan2x(/2Sen2x + 3Senx + A - *^3enJx+6Senx+2)x-*n/Z
/"/ación. Racionalizando la expresión entre paréntesis se tiene
_____tan2x(Sen2x3Senx+2)_______
i T T l limx+0
L = lim — — _____________ _____________x+tt/2 /2Senzx+3Senx+4. + /Sen2x + 6Senx+2
_ Sen2x(Senx1)(Senx+1) ________
x+ir/2 (1Senx)(1+Senx)(/2Sen2x+3Senx+4_ + /Sen2x+
a 2 /n -,1 6Senx+2)___________ Sen2x(Senx 2)________________ _
x+Tr/2 (1+Senx)(/2Sen2x+3Senx+4 + /sen2x+6Senx+2)
(1)2(21 ) = _J
(1+1)(/2+3+4 + /1+6+2) 12
1 Cos(lCosx)
ración. Sea L = lim..1 ~ Cos (2Sen2x/2) = lim 2Sen2 (Sen2x/2)
x+0 x 1* x>0 x 1*
Multiplicando y dividiendo por Sen‘‘(x/2), se tiene:
214 Capítulo 2: Límite v Continuidad
L = 1 x
im i fSenCSen2x/2)1 2l~Sen(x/2)~| 11 _ i(|) 2
;+0 Se n2x / 2 J L x / 2 J( 1) - = 4
Cos^ . . . . Cos—^)2
= Cos(—^)2
+ un
Cos(~~).Sen(~~)____ 2^______ 2
Sen (—r )2
ion 4: Operación de hallar los límites 215
¿jy(usión. Transformando a producto la diferencia de cosenos se
tiene:
, . llB .2Sen(^±I + iI ). se n (^ ÍI ^)X+oo
2 limX+c»
Sen(/x^ +/5?)
/x +1 + /x----2----
O ... ,/x + 1/Sen \ 2 J
/x+1 /x
(/x+1+/5} (/x +1/^
"i lim ( 5PX) = o (Ver ejercicio 383)
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2n'1¡
Sen(^)2
'2nS
2i'1Sen(I2T )2
+ Cos$ . C0 S7 . . . . C os -r = T T r2 4 2 i=1 2 Se n( ~)
2
Según la propiedad: TT ~ ~ — ~ = ^ » sá tiene:i=1 F(i) F(n)
Si F(i) = 21 Sen(4) + ,2
F(n) = 2nSen(~~)2
F(0) = 2°Sen (— ) = Se
v 20n
Luego, L = lim TT u„ =Senx Senx
1 u xxw — — ----- „„n+«> 1 =1 n+OT 2 Sen(— —) lim 2 Sen(—— )
2 n+» 2
(1)
Sea: Li = lim 2nSen(|) . Haciendo: = u , vemos que si n + »,nK» 2” 2
x,„ \ j _ ,Senu) = xentonces, u + 0 . Luego: L, = lim ^(Senu) = x lim
u+ 0 u+ 0
/ \ t SenxEn consecuencia, en (1;: L —
E E U ■ ^ os x^X+oo
•1Solución. Haciendo: — = u , vemos que si: x+<», entonces, u+0
r t . 1 / .\ /1—COSU\Luego: L = lim — (1Cosu) = lim (-- ) = -5
u+ 0 u2 u+0 u2
(Ver ejercicio 321)'
lim (Cos/x+1 Cos/x)X + c o
"i lim ( —5PX) = o (Ver ejercicio 383) X+ oo
.’. L = 2(0) (0) (x + |~x) = 0
H f l ü m x(arcTan|^ j)
B.'fue.ión. Sustituyendo: ■£ = arcTanl y haciendo uso de la iden
atidad: arcTana arcTanb = arcTanC~|'' )» obtenemos:
l. limxíarcTan— l arcTanl)■= lim x TarcTan (0~] 0)1x+oo x+¿ x+» L 2x +3J
*un: nrcTaní^jj) = u + Tanu = ¿x+J ** x = (Cotgu + 3)
*1 * + 00, entonces, Tanu + 0 , o sea: u + 0
l,>" : L = ü m ¿(Cotgu + 3)u = - i lim (m 77) | lim (u)u+ 0 ¿ 2 u+0 Tanu 2 u+0
” 1 = 1(1) f(0) = \
JJ2J lim xíarcTan^i arcTan— ^)
¿1'turión. Valiéndonos de laidentidad del ejercicio 393 se tie
ne que: L = lim x[arcTan(— £¿2----- )] (1 )x+co L 2x2 + 5x+4 I
pi n : u = arcTan(-- Tanu = ---------------- 2Í2— (2 )
2x2+5x+¿ 2x2+5x+4
i, ,|,,nde • x2 = x + 2 . 5x +A + x + 2 5x + ¿2Tanu 2 2xTanu " 2x
dn (.’) vemos que si x+“ , entonces, Tanu + 0 *+ u + 0
í 1 ¡'ii, en (1): L = lim [~gx + 2 ux + o o L 2xf anu 2x J
lim (2 g.)\ lira (■fi^ r) lim (i§±¿). lim (u) = 1X+» ¿x u+0 lanu x+oo 2x u+0 2
216 Capítulo 2: Límite y Continuidad
limx+0
arcSenx arcTanx
Soluciin. Haciendo uso de la identidad: arcSenA = arcTg(
L = lix+0
arcTg(^===) arcTgx.
+0 \ x 3 >
'1-A 2
y según la identidad del ejercicio 393, obtenemos:
1 <>l’t' ración de halla r los límites 217
i n i lim (Cosx)1/Senxx+o
| .... f>n. Sea: L = lim (Cosx)1/Senx = lim (12Sen 2* ) 1 /Senxx+0 x+0
Supongamos que 2 = 2Sen2^
■ l lim [~(1 + z)^/z"jsenx _ gu donde: u = lim (5 — ■)x- 0 L J x+ 0 Senx
í /
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L = lim — arcTan — 2== — —— = li® ~ arcTan---- .
x+0 x3 , /lx2+x2 x+0 x3 (x2+/lx2)(1+/1X2)
(1)
Sea u = arcTan(x2+/lx2)(1+/lX2) (x2+/lx2)(1+/lx2)
de donde: x 3 = (x2+/1x2 )(1+/1x2)Tanu
Si x + 0 , entonces , u arcTan(0) = 0
Luego, en (1): L = lim ~
o bien:
x+0 (x2+/Tx2)(1+/1X2)Tanu
: L = f"lim ---- j = ~ --------- Ì [~lim (¡frrrr)"!l_x»0 (x2+/lx2) (1+/lx2 )J |_u+ 0 J
L =1
(0+/T)(1+/T)(1) = i
KITJ lim (1 + — )X (n>0 )x+°° xn
Solución, Consideremos los casos siguientes para valores de n:
a) Si 0<n< 1 ♦ L = lim (1 + ~4)X = lim F( 1 + "4)* lU"X-»-00 V V-K» L X JXoo
*• L = e11 , donde u ■= lim (~)x*«> x
1 nComo n<1 t 1n>0(, luego,'u = lim (x " ) = °°
X+ oo
T “.. L = e = ®
b) Si n- 1 + L = limx-k» (1 + ¿)x = e
c) Si n> 1II lim
[(1
ni / n+ l)x ]x/x = e
X11X->co L
donde : u = liraX+ co (í>
= lim (—~— r) = 0 + L = e° = 1X-Voo X
ISeíix/2 \ 2
\ x / 2 /11 = lim :.2Sen.2x//2 = ¿ lim y c¡x/2 = 4 — ‘1'2 = 0x+0 Senx 4 x+0 ®(1)
L = e° = 1
t m lim lnCosxx0 x 2
jj|. í... ¡An. Sea L = lim *r! .0sx= ^.im IníCosx)^^x+0 x 2 x+0
L = lim ln(1+Cosx1)1//x = lim ln["( 1 +z )1 Z1z^x 2x+0 x*0
= ln(e)u = u
i. : u = lim 2— = lim ?°sx~ ' = lim "^osx = \ (Ver 321)x+0 x x+0
L = u = 1
Senx
m i l i m 1S e n x ' x " S e n xx+0
a i in. Sea: L = 1 íb ( §2 2* )¿ Üs x = l i m í n ^ - 1 ) l ^ f ~ xx+0 \ x / x-*-0L x J
Supongamos que: _ 1 = z
zSenx
mees: L = lira F( 1+ z)1^Z1x ~Senx = eu , donde: u=iim zSenxx+0 J x>0 xSenx
+ u = lim (Se|x,_ 1)(_§¡S2) = llB .(SeffiE) = ^x+ 0 x . x benx x+0 x
L = e ' 1 = 1
218 Capitulo 2: Limite y Continuidad
lim (Cosx + Senx)"^xx+0
Solución. Sea: L = lim Pl + (Cosx+Senx1)11/xx+0 *
Haciendo: z = Cosx + Senx 1, se tiene:
L = lim f (1 + z ) 1 / z l z / x = [e]u = eu , donde: u = lim (f)x+0 x+0 x
♦ u = iim (Cosx+Senx 1) = liffl (Senx} . llffl (ICogxj = ,_0 = 1
( >i k ración de ha llar los límites 219
Si f(x) y g(x) son infinitésimas cuando x+a, y
limJíül = Lx+a g(x)
entonces puede ocurrir lo siguiente:
i i !, i 0, las funciones f(x) y g(x) reciben el nombre de
.n f in itísimas de. un mismo o/iden.
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x+0 X x+0 x x+0
L = e
(1/3lim (Cosx + aSenbx )1 xx+0
Solución. Sea: L = lim ["i + (Cosx+aSenbx1 )"] 1 xx+0 L J
Haciendo: z = Cosx+aSenbx1 , se tiene:
L = lim f( 1+z )1/z] z/x = e11 , donde: u = lim (f)x+0 U x+0 x
... /Cosx + aSenbx1 \ 1+ u = 1 im ( ■ ■■■■■■ ■ —— j , , . /benbx\ i _ / iuosx^v+0 x ' = ab lam (--g— ) lim (--- — )x 0 x+0 bx x+0 x
= ab(1)(0) = abT ab
.. L = e
4.6 COMPARACION DE MAGNITUDES INFINITESIMALES
Si lim f(x) = 0, esto es, six+a
¥e>0, 36>0/0<|xa|<6 + |f(x)|<e
la función f(x) se llama infinitésima (infinitamente pequeña)
cuando x + a .La suma y el producto de un número limitado de infinitésimas,
cuando x+a, es también un unfinitésimo cuando x+a.
( S i S B E E B Si lim f(x) = 0, es decir, six+’=°
¥e>0, 3K>0/x>N + |f(x)|<e
la función f(x) se llama infinitésima (infinitamente grande)
I) i I, = 0, se dice que la función f(x) es una infinitísima de.
■ ./«vi supe.n.ion. respecto a g(x).
|) l 1, las funciones f(x) y g(x) se llaman equivalentes
■ Minndo x+a: f(x) = g(x)
I’(.i* ejemplo, cuando x+0, Senx = x , Tanx = x , etc.
f| i i llm— ÍIÍíl}— . = l > donde 0< |L|< +<=° , entonces la funciónf(x)x+a [g(x)]n
un denomina infinitísima de o/iden n respecto a la función g(x)
Olí■,i rv .i ci on es : ^ ,
( i I l.n suma de dos infinitésimas de orden distinto, equivale al
mimando cuyo orden es inferior.
( ) !■: 1 límite de la razón de dos infinitésimos no se altera si
los términos de la misma se sustituyen por otros cuyos valo-
res respectivos sean equivalentes..
Según esta observación, al hallar el límite de la fracción
x+a g(x.)
donde f(x)+0 y g(x)+0, cuando x+a, al numerador y denomina.
lor de la fracción se le pueden sumar o restar infinitésimas
de orden superior, elegidos de tal forma, que las cantidades
resultantes sean equivalentes a las anteriores.
„ . . 3/ x3+ ax“ , . 3v/x"3~ 1
Por ejemplo: l i m ---------= lim ----- = — x+0 ln(ax+1) x+0 ax
La magnitud infinitesimal un toma los valores:
u, = 1 , u ¿ = 1 / 2 , us=1/3 ... , 1 / » ...
y la magnitud infinitesimal v^ respectivamente:
vi1 , v 2 = 1/2! , v 3 = 1/3! , ... , vn=1/n!
402
220 Capitulo 2: Límite y Continuidad
Compara y vfi. Cuál de las dos es de orden infinitesimal supe-
rior?v
Solución. Sea: L = lim = lim ' = lim — 2 = lim —— --- = 0n+°° n n+°° 1/n n+“> n! n+°° (n1)!
Como L = 0, según la definición 2.24b, vn es de orden
infinitesimal superior.
E hk I La. función u , toma los valores:
. no n 4: Operación de hallar los límites 221
f i n Dada la función y=x3, mostrar que Ay y Ax cuando ¿x+0 y
Ax/0, son infinitesimales del mismo orden. Comprobar que
Ii magnitud Ay es infinitesimal de orden superior.que Ax cuando
K' (i. Para qué valor de x son equivalentes los incrementos Ay y
¿"ilición. Si y = x 3 +. y + Ay = (x + Ax)3
+ x 3 + Ay = x 3 + 3(x 2+x A x )A x + A3x
do donde: = 3(x2+xAx) + A2x
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ui=0 , U 2 = 3 / 8 , u 3=8/27 , ... , un =(n21)/n3 , ...
y la función vn> respectivamente:
v i=2 , v 2= 5/8 , v 3 = 10/27 , ... , v = ( n 2+l)/n3 , ...nComparar estas dos magnitudes infinitesimales.
u 2 iSolución. Sea: L = li m— — = lim---- = 1
nH» vn n+°° n2 + 1
Según la definición 2.24c, uR y vn son infinitesima-
les equivalentes, esto es: un = v^.
La magnitud infinitesimal u , toma los valores:
ui=0 , u 2=1/4 , u 3=2/9...... , un=(n1)/n2, ...
y la magnitud infinitesimal v^, respectivamente:
vi=3 , V2=5/4 , v 3= 7/9 ...... vn=(2n+1)/n2 , ...
Comprobar que un y vn son infinitesimales del mismo orden, pero
no equivalentes.u
Solución. Si L = li m---, debemos prob,ar que L / 0n+<» vn
En efecto, L = lim / 0n+oo
Por tanto, un y vn son infinitesimales del mismo orden y como
L / 1, un y vn no son equivalentes.
Las funciones y = e son infinitesimales cuando
x+1. Cuál de las dos es de orden infinitesimal superior?
Solución. Sea: L = lim = l i m---- ^ 2 -----x+1 g(x) x+1 (1+x)(1/x)
L = lim ,(1~x) (H/x.) _ lim _l+/x_ _ 1
x+1 (1+ x )(1-x ) x+1 1+x
Por tanto, ambas funciones son del mismo orden e equivalentes .
Ax *
ti l. lim + L = 3(x2 + 0) + 0 =. 3x2Ax+0 Ax
fll x/0 + L/0, luego, las magnitudes Ay y Ax son infinitesima
1 o ¡i del mismo orden.
fli x=0 + L=0 , luego, Ay es infinitesimal de orden superior q1
A«. Ay y Ax serán equivalentes ■*■+ L=1, esto es, si 3x2 = 1
iln donde: x=±/3/3
Comprobar que las magnitudes infinitesimales: 1x y 13/x
son del mismo orden infinitesimal cuando x+1. Son equiva-
lentes?
'•• 'ución. Sean f(x) = 1x y g(x)=13/x+ L = linlí*! = lim = lim . (1x) (1 + 3/x+3 J )
x*1 g(x) x*1 1Vx x+1 (13/x) ( 1 + 3V/3c+3/x )
= lim (1x)(1 + 3 ) = liln (i + 3/j+3y 7) = 3
x+1 1 - X x+1
W1 nudo L/0 , las magnitudes f.(x) y g(x) son‘infinitesimales del
m> ni!> orden. Además como L^1 dichas magnitudes no son infinitesi
mnlns equivalentes.
Sea x+0. Entonces /a+x3/a (a>0) es una ma*gnitud infinite
simal. Determinar el orden respecto a x.
•• ilición. Si f (x) =/a+x 3/a + lim f(x) = 0x+0
Luego, f(x) es una magnitud infinitesimal.
, \ T t • f (x) , . /a+x3/ái| migamos que g(xj=x + L = lxm ---5— — — = li m----- ----
x+0 [g(x)j x+0 x
"finalizando el numerador obtenemos:
222 Capitulo 2: Límite v Continuidad
10
L = li m ----- * ...... . Para que 0<|L|<» + n=3x+0 xn (/a+x3 + /a)
es decir: L = lim ---- = — ~ (con a>0 y L>0)x+0 /a+x3 + /a 2/a
Por lo tanto, f(x) es de tercer orden respecto a x.
Definir el orden, respecto a x, de la función infinitesi-
mal para x+0.
a ’ii 4: Operación de hallar los límites 223
L = lim a(/x+Ax/50(/x+Ax+/x) = llBAx+0 bAx(2x+Ax)(/x+Ax+/x) Ax+0 b(2x+Ax)(/x+Ax+/x)
• L = a _ a
2bx(2/x) ib/x3”
" I., que: x>0 y a/0 , b/0 + L/0 . Por lo tanto, Ax y Ay son in
I I n¡te simales del mismo orden.
•níri equivalentes ++ L=1 , esto es: -- ^= r = 1 *-*■ x = 4 3/a2/2b24b/x3 ¿
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,10
Solución. (1) Sea L lim- — — — lim n
(1 ) x3+1000x2 (3) U )1+/x x 3+1
(2) 3/x2 /x
f(x) = lim x3+1000x2
x+0 r g ( x ) ] n x+0 xn
= lin.x2(x+10002 + 3L>0 ^ n=2
x+0 x11
/o\ o T -t ■ V ^ /x(2) Sea L = lim ------ ---
x+0 xn
Para racionalizar el numerador determinamos el común índice
n.c.m(2,3)=6 , entonces, haciendo:
✓ 3 E = u 3
3/5 = u2 + V i 2 = U*U ** U 3 u3(u il
Luego: L = lim---t — -- lim-------- gu+0 ubn u+0 uon
Entonces: 9L>0 *+3■ = 6n ■*-*■ n=l/2
(3) Sea L = lim ^ x + 1— + 3L>0 ++ n=1x+0 x (1+/x)
(4.) Sea: L = lim — — ----- + 3L>0 ** n=10x+0 xn (x3+1)
TE S Demostrar que los incrementos de las funciones u=ai/x y
v=bx2 para x>0 y para el incremento general Ax+0 son del
mismo orden infinitesimal. Para qué valor de x son equivalentes
(a y b son distintos de cero).
De.moA¿/iac¿ón, En efecto: u+Au = a/x+Ax + Ax = a/x+Ax a/x
v+Av = b(x+Ax)2 + Av = b(x+Ax)2bx2= (2bx+b¿x)Ax
L = lim = limAx+0 v(x) Ax+0 x(2bx + bAx) ,
{
EXD Mostrar que cuando x+1 las magnitudes infinitesimales 1x
y a(1v/"x), donde á/0 y k es un número entero positivo, son
i■ i mismo orden infinitesimal. Para qué valor de a son equivalen
'u- muAt/iación. En efecto, sean: f(x)=1x y g(x) = a( 1 ^x)
L = limíiül = lim --1=2---x+1 g(x) x+1 a(1v/x)
1c / ** kini'li'ndo: \/ x = u + x=u . Si x+1 , entonces, u+1
lim 1uk = lim (1u)(1+uk'1+uk'2+ ...+1)
u+1 a(lu) u+1 a(lu)
]■ 1+uk ^+u 2 + ... +1 1 + 1 + 1+ ... k veces 1 klim — ------------------- = — .■ ■■ — u+1 a a a
"uní n/0 y k>0, entonces L¿0. Por tanto, f(x) y g(x) son magnitu
(na infinitesimales, del mismo orden,
ti'r/ín equivalentes ** L=1, o sea, si ^ = 1 + a=k
3 3 Demostrar que las funciones SecxTanx y tt-2x son infinite-
simales del mismo orden cuando x+ir/2. Serán equivalentes?
hn o ¿ilación.. En efecto, sean f (x)=SecxTanx y g(x)=ir2x
+ L = lim J & Ü = lim (Le£.?.,Tanx,)x + tt/2 g(x) x + tt/2' tt-2 x /
i *■tt/2 , entonces, x7r/2+0. Si hacemos x -tt/2= u + u+0
■o: L = Sec^ / 2 +u)Tan(Tr/2 +u) = m Cscu + Cotgu
u+0 2u u+0 2u
■ l ' T Ü g i ) ■ ■ í i i ;u+0 2 uSenu u+0 uSenu 4 u+0 u/2 Senu
224 Capítulo 2: Límite y Continuidad
Como L/0 las funciones f(x) y g(x) son infinitesimales del mismo
orden. Además, no son equivalentes puesto que L/1.
{{¡J Demostrar que las magnitudes infinitesimales e2xex y
Sen2xSenx son equivalentes cuando x+0.O y v
De.mo¿t/iac.l&n. En efecto, sean f(x)=e e y g(x) =Sen2xSenx
+ L = lim = lim --Xx+0 g(x) x+0 Sen2xSenx
1ipcración de hallar los límites 225
ir1 onalizando el numerador se tiene:
[/l+2x(1+/x) |/l+2x+(1+/x)] /xCv x 2)i | m . — ■■... — x j.iu — x+0 xn (/1+2x + 1+/x) x+0 x (/1+2x + 1+/x)
.... existe jL | >0 -*-+ xn=x^2 *-*■ n=1/2
■in es, el orden de la función f(x) es 1/2 respecto a x.
y * 1un: f(x)=e’/x y g(x)=x + L = lim = lim— -- —
x+0 [g(x)J x+0 x
U i d / + 2 Si +0 t +0
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3X (ex1) _ * * 1 ^ )+ L = lim --- — .■ = limx+0 Senx(2Cosx1) x+0 ("■) (2Cosxl)
e°. lim(— ~ ) ^
= lim--- — ------ - liln (S— :_1) = ine = 1 (Ver 369)x+0 (1)[2(1)1j x+0 x
En consecuencia, f(x) y g(x) son magnitudes infinitesimales equi
valentes.
EiEl Definir el orden de la función infinitesimal respecto a x,
cuando x+0.
(1) 3/1+3/ x - 1 (5) ln(1+/xSenx) (9) Cosx 3/Cosx
(2) / 1+2x1/x (6) /l+x2Tan(~) (10) Sen(/1+x 1)
(3)/xe x 1 (7) ex Cosx (11) ln(1+x2)23/(ex
U)eSenx _ 1 V 2
(8) e Cosx (12) arcSen(/4+x22)
Soiución. (1) Sean : f(x )=3/l +3/?1 y g(x)=:X
+ L = lim = lim 3/r+ 3A 1
' x+0 [g(x)J x+0 nX
Multiplicando el numerador y denominador por el factor racio
nalisante a2+ab+b2, donde a=3/l+3/x1 y b=1, obtenemos:
L = lim------- :-- 3 x+0 xn (3/(1 + 3Æ ) 2 + 3/T+3/?+1)
+ 3 |L|>0 +■+ xn = x"^3 S+ n=1/3 (orden de f(x))
(2) Sean: f (x)=/l+2x-1-/x y g(x)=x + L = lim (x+0 V vn /
Unciendo: /x=u + x=u2. Si x+0, entonces, u+0
• I, l i m ( H ± ) = lim (£ M ) ( 1r) = linfj l^. )u+0 V u / u+0 u u2n~1 u+0 \ u )
Luogo, existe |L | >0 <+ 2n1 = 0 <+ n=1/2
f¡ ^ „Senxan: f(x) = eSenx1 y g(x)=x + L = lim = lim----- ~
x+0 [g(x)J x+0 xn
■ L = lim (s i i H J)(Äsr )("irri) = (1) (1)Ji" (i>x+0 Senx x x 1 x+0 xn
’intonces, existe |L|>0 <+x=xn *+ n=1
.';in : f (x) =l n(1 +/xSenx) y g(x)=x + L = lim
x+0lnra mayor claridad, supongamos que z=/xSenx
ln(1+/xSenx)
ln ( = lim ln(1 + z)1/x = lim ln f( 1+z )1/z] z/x► L.= limx+0 x x+0 x+0
, . i , >z/x t ! Zv _ í/xSenxi= lim ln(e) = lim (— )■ - li» (--- •=— )x+0 x+0 x x+0 x
x //Senx n x /./Senx , _ , x,= lim — (-----i - lim — (y— — ) lim ;
x+0 x /x x+0 x x+0 x
F.uego, existe |L |>0 **• x=xn *>■ n=1
Por tanto, f(x) es infinitesimal equivalente a x. (L=1)
Sean: f(x)=/í+x2Tan(^£) y g(x)=x + L = lim ^~*x Tan.(..?x/2)¿ x+0 xn
= lim X li m( Æ E Î )X+0 X11 \ 7TX/2 / ' x+0 V x /
+ L
Luego, existe |L|>0 *-* n1 = 0 ++ n=1 , esto es, el orden de
f(x) respecto a x es 1, pero no es equivalente a x ya q 1 L/1
226 Capítulo 2: Limite v Continuidad
(7) Sean: f(x)=exCosx y g(x)=x + L = lim— * * ^ ■ = limx+0 [g(x)]n x+0 xn
Sumando y restando la unidad al numerador se tiene:
L = lim f a ^ ) + (1Cr )l(~t) = D + O] lim (g)x+0 L x x J xn x+0 xn
Entonces, existe |L|>0 ■**• x = xn ++ n=1
X 2(8) Sean: f(x)=ex Cosx y g(x)=x + L = lira (— --- ^.°s.x )
x+0 V xn '
imi 4: Operación de hallar los límites227
) Sean : f ( x )=ln(1+x 2)23/(ex1 )2 y g(x)=x
+ L = limf(x) = lim
x+0 fg(x)Jn x+0
= limx+0
= lirax+0
|ln(1+
L x2/
+ x2 ) 2
ln(1+x2)23/(ex1)2
(eX1)2/ 3l (x 2/ 3
J xnx2/3 x~
+ X2) ' eX1 '■> ! « ! /X2/ 3 >Jx1*/3. ln( 1+x2 ) _2(^— ^ ) 2/ 3J (— — )
2/ 3
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Sumando y restando la unidad al numerador se tiene:
L = lira + l ^ x ] (4)' = [1 + i] lira (S¿)x +0L x 2 x 2 J xn L 2J x +0 x
Luego, existe |L|>0 *+ x2=xn n=2
(9) Sean: f(x)=Cosx’/Cosx y g(x)=x + L = lim -Cox+0 x
Sumando y restando la unidad al numerador se tiene:
= lira r h l ß s E 1zÇ££.x ~| (2d) (Dx+0 L x 2 X 2 J xn
1Cosx 1Por el ejercicio 321 'sabemos que: lim 2 .
o T 13/Cosx . (13/Cosx)(1+3/Cosx+3/Cos2x)Sea: Li = lim -------- = lira — ---------,------------------ -x+0 x2 x+0 x2 (1+3/C os x+ VCos 2x)
Tim t 1 Co SX \ ________ 1_____________________________ / 1 N 11
x+0 \ X2 / 1+ 3/Cosx+3/Cos2x 2 1+1+1
Luego, en (1): L = (4 ¿)li™ ( ~ r )b ¿ x+0 x11
Por tanto, existe |L|>0 ■**■ x2=xn +»■ n = 2
(10) Sea f (x)=Sen(/í+x1) y g(x)=x + L = lim ?f.n^ .1+x .7 .1)x+0 x11
Pero: Sen(/1+X1) = Sen (— — — )
✓1+X+1
/ Sen(— ~— ) \
Entonces: L = lim (---ü x.T.lí.1— ] ------ 1--- (— )x+0 \ ---- ^ + 1 xn
' ✓xTT + 1 '
+ L = (1 ) (~rpr) lira (£) = 1 lim (g) + 3 | L | >0 w n=1x+0 x 1 x+0 x
= r(or /3m 2(1)2/ 3] lira ( < 3) = 2 lim Ä* x+0 xn x+0 x
2/ 3
Por tanto, existe |L|>0 n=2/3
(I.1) Sean: f(x)=arcSen(/4+x22) y g(x)=x
f (x)+ L = lim lim
arcSen(/ ¿+x22)
x+0 fg(x)]n x+0
Pero: ar.cSen(/¿+x22) = arcSenA +x 2+ 2
arcSen(
+ L = limx+0
/¿+x2+2 (___ 1
A + x 2 + 2
.___ ) = 7 li“ (\ )A + x 2+ 2 x 4 x+0 x
Por tantö, existe |L|>0 <+ x2 = xn n=2
4.7 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRIA
m Con.Side.yie.mos un triángulo equilátero de. lado a. Sus tres
alturas sirven para engendrar un nuevo triángulo equitáte
¡o íj asi sucesivamente n veces. Rallar el ¿imite de la suma de
í . i áreas de todos ¿os triángulos cuando n+co.
'olución. En un triángulo equilátero
las alturas son también me
llanas, mediatrices y bisectrices de
l icho triángulo. Luego, cada triángu
1■' engendrado tiene por lado la mitad
ImI lado del triángulo que le precede.
228 Capítulo 2: Límite y Continuidad
S i An e s e l á r e a d e l t r i á n g u l o n - é s i m o , s e t i e n e :
La suma: S4 42 4 3
s u c e s i ó n g e o m é t r i c a d e r a z ó n 1 / 4
i'
■•<1
/Vi« 4: Operación de hallar los límites 229
1 vi—1
.*. Si = irR n d /2 )ni
L 1 / 2 J2ttR2 ( 1 ---4)
:(2 + 1 + 1 + ... + n^2 ) = R2 l (i)1’2 = 2R2_[ (1)lvi1
i = 1
S2 = 2Rf~1 (1/ 2)ríl =
* 11/2 J4R2(1
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Si S ■ * s .i'rs l > w « ) . nj - i ¿ g ( i - - i1r A 11/4 3 41 - 1 / 4
lim S =n«o
c m ün círculo de radio R lleva inscrito un cuadrado, éste,
lleva inscrito un círculo el cual, a su vez, tiene inscri-
to un cuadrado, y así sucesivamente n veces. Hallar el límite de
la suma de las áreas de todos los círculos y el de la suma de to
das las áreas de los cuadrados cuando n*“.
So íu.c¿6n. Sean u y v las áreas nésimas del círculo y el cua..... n n
drado respectivamente.Para él primer círculo: Ui = irR2
Para el primer cuadrado: l i=R/2
+ v x = 11 '= 2R 2
Para el 2do círculo: r 2 = ^ i = 2 ^
7 r ( ^ )2 = (§)R**■ u2
Para el 2do cuadrado il 2 = r2 / 2 = (^)/2
&2 = R + v2 = R2
Para el 3er círculo: r3 = 2 = ^ + u 3 = (|)R2
R 1Para el tercer cuadrado: i 3 - r 3/2 = ^ /2 v3 = gR2
Entonces tenemos las sucesiones geométricas:
1 1/2 J
■:11 consecuencia: lim Si = 2irR2 y lim S2 = 4Rn*“ n*°°
Un triángulo isósceles rectángulo cuyo cateto es igua a a,
tiene dividida su hipotenusa en n partes iguales. De los
puntos de división están trazadas rectas paralelas a los catetos
1'Multando una línea quebrada, AKLMNOPQRTB (véase la figura 16),
uya longitud es igual a 2a para cualquier n. De ahí que el lími
I.» de su longitud es igual a 2a. Pero, por otra parte, la línea
piobrada va aproximándose infinitamente a la hipotenusa del trián
rulo cuando n crece infinitamente. Por consiguiente la longitud
■I>* la hipotenusa es igual a la suma de las longitudes de los cáintos. Este razonamiento encierra un error. Hallarlo. B
' oíación. El error, en el razonamiento es
el siguiente:
1 1 línea quebrada viene aproximándose a
Im recta en el sentido de que sus puntos
aproximan, pero de ello no se deduce
¡mi.' la longitud de la línea quebrada ti-
ntilla a la longitud del segmento.
Figura 16
El segmento AB cuya longitud es a, está dividido en partesiguales por n puntos, desde las cuales se han trazado ra
11; 1 en ángulos ir/2n (véase la.figura 17). Hallar el límite de la
licitud de dicha línea quebrada cuando n crece infinitamente.
Hipara con el resultado del ejercicio anterior..
•Pación. La longitud de cada división es ^
230 Capítulo 2: Límite y Continuidad
Sea AP — , una división,n
♦ AM = -jjAP•a
2n
AAAAAAAB
En el AAMC: i = AMseca
+ í = gl sec^2n> + 2ní = aSec(^)
Como por cada división consideramos dos
rayos de longitud i,- entonces el límite
de la longitud de la línea quebrada es:
Figura 17
-M a _ Jn *1
ion 4: Operación de ha llar los límites231
ungo, en (1): S aarcSen(^) = a( )
L lim S = — n+00
EE9 Dos círculos de radios R y r respectivamente (R>r) tocan
al eje Y en el origen de coordenadas y están colocados a
l"iocha del eje (véase la fig. 20). De qué orden respecto a x,
■u ol segmento infinitesimal MM1 y el ángulo infinitesimal a
i d ?
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L = lim n(2S.) = lim aSecí^) = aSec(O) = an+00 n+"
I El segmento AB cuya longitud es a está dividido en n par -
tes iguales. Los pequeños segmentos resultantes, sirven de
cuerda.s y subtienden arcos de circunferencia, cada uno de los cua
les es igual a ir/n radián (véase la figura 18). Hallar el límite
de la longitud de la línea resultante cuando n+“>. Como cambiaría
el resultado si las cuerdas subtendiesen una semicircunferencia.
Solución. Supongamos un arco de
circunferencia de lon_
gitud s=AP y cuyo ángulo central
es . Como AB=nAP
Entonces: MP = x =
Dado que s = ra +
+ AP =
a2n
TTra =
Figura 18
En el AOMP: Sen(§) = ¿ = 2*n
de donde: a = 2arcSen(2^n)
La longitud S de la línea resultante es la suma de todas las cu
erdas, esto es: S = ns = nra + S 2nrarcSen(2^ ) (1)
Si L es el límite de dicha longitud cuando n+c“, entonces:
L = lim 2rnareSen(jjj)nn»
o „ arcSen(^r)L = lim (— —)arcSen(^) = a l i m---- — ---- = a( 1) = a
u+ 0 u 2r u+0 •(■§£■)
En el caso de que las cuerdas subtiendan una semicircunferencia,
entonces: x=r , o sea, r=a/ 2n *-*■ a=2nr
imndo x+0 ?
Solución. Sean M'(x,y') y M(x,y)
La ecuación de la circunfe
ronda de centro C' es:
( H ) 2+y2=R 2 + y'=/2Rxx2
, do la circunferencia de centro C es
(« r)2+y2=r2 + y = /2rxx2
MM' y'y = /x(/2Rx /2rx)
ílndn f(x)= /x(/2Rx/2rx) y g(x)=x
lim f(x) = lim ~(/2Rjfí’/2rx)Figura 20
x+0 rg (x )] n x+0 xn(/2R /2r) lim — . Luego, existe |L|>0 ++
x+0 x
1 donde: n=1/2 , es decir, MM! es de orden 1/2 respecto a x.
WI m(f0PM' ) = e* y m(^0PM)=e -----°» Q 'p'~ Tan0,Tan8
_ x(y1y) _
x 2+y'y x2+x(/2Rx)(2rx))
f/x(/2Rx /2rx)
l'X X
1V 2
a = e ' - 0 •+• Tana =
_ x( y*-y ) _ x/ x( /2 R- x - /2r-x )
ilcinde: a = arcTan-x).J
lineemos u
x + /(2Rx)(2rx)
/2Rx /2rx
x+0
/2R /2r _ „lim u ----------- > 0x + /(2Rx)(2rx) x+0 2/Rr
itiponiendo que: a=f(x)=arcTan(/xu) y g(x)=x , se tiene:
f(x)lim ___x+0 [g(x)Jn x+0
arcTan(/xu)U n = iim r^rcTan(^u)j(/i)u
x+0 L /xu J xnn
232 Capítulo 2: Límite y Continuidad
de donde: L = K — •-zí}-- ) lim\ 2/Rr ' x+0 x
Luego, existe |L | >0 *»• /x = xn n1/2
Por tanto, el ángulo a es del orden 1/2 respecto a x.
fEC T El segmento lineal OP une el centro de una circunferencia
con el punto P, que se halla fuera de aquella. De éste tra
zamos una tangente PT a la circunferencia. Del punto T bajamos u
r ■a / Operación de hallar los límites 233
A Ti QB = 2rSena (2)
ffi ■ RI‘ = AB2x = 2rSena2x (3)
A1 .1' ADFB , por tener sus lados
i nti|."divamente perpendiculares.
» ni ({DBF) = a + x = BD(Cosot)
fi roí BD = DM ■* x = DM(Cosa)
■ i, en (3): CD=2rSenaCDCosot
dn donde:
■^CD(Cosa)
jTg _ 2rSena
c /
/ 1 \' 1 \
1 \11¡M \ D
/y*00* 111 l \
1 x\iQ
1+Cosa
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na perpendicular, TN, sobre la recta OP. El punto de intersección
de la recta OP con la circunferencia es A. Demostrar que los seg
mentos AP y AÑ son. infinitesimales equivalentes cuando P + A.
De.moAt/iac¿6n, Según la definición 2.24c, debemos probar que:
lim (■P+A
AP)AN
En efecto, sea r el radio de la circunferencia.
Por geometría elemental sabemos que:
PT2 = BPxÁp = (2r+AP)AP
En el ABTA: TN 2 = BÑxÁÑ = (2rAÑ)ÁÑ B
En el ATNP: PT2 = TÑ2 + ÑP2 (Pitágoras)
+ (2r+AP)AP = (2rAÑ)AÑ + (AÑ + AP)2
de donde: rAP = rAN + ANxAPAPAN
T T * tAP \L = llla ÜÑ
P+Alim (1 + )P+A r
1 + 0
C ' 3 E» i°s puntos extremos y medio del arco AB de una circunfe
rencia se han trazado las tangentes y los puntos A y B se
han unido por una cuerda. Demostrar que la razón de las áreas de
dos triángulos resultantes tiende a i, disminuyendo infinitamen-
te el arco AB.
De.mo¿i/iación.. En efecto,, sean las tangentes AP , BP y CD , y el
arco AMB cuyo ángulo central es 2a.
Por ser CD|¡AB + AAPB = ACPD
Si designamos por Sj=a(AAPB) y S2=a(ACPD) , entonces:
Si : S2 = ÁB2 : CD2 (1)
1+Cosa
ii I nuces, en (1) : — =S2
Ar Sen a _/2rSena \ 21+Cosa
a*0(ÍÍS2
lim (1+Cosa)2a*0
(1+Cosa)2
(1+1)2 =
4.8 PROBLEMAS RESUELTOS
i m Partiendo de la equivalencia de las funciones /1+x1 y x,
cuando x+0, calcular aproximadamente:
(1) /Í05 (3) /250 (5) /0.31
(2 ) / 9 1 2 U ) yTSyz (6) /0 . 0 2 1
\ ofución.. Sean f (x)=/1+x1 y g(x)=x/2
. L = 1 im I M = lim - llm 2 (/T+x1) (i/T+x + 1)
x0 g(x) x+0 x/2 x+0 x(/1+x + 1)
2= lim ------1
x+0 /1+x + 1
i uego, f(x) y g(x) son funciones infinitesimales equivalentes,
isto es: f(x) g(x) /1 +x1 - 7;+► /
So debe advertir que esta aproximación solo es posible cuando x
loma valores muy pequeños, es decir, cuando x+O.
(1) /Í05 = /100 + 5 = 1 0 / 1 + = 10'/'l+0*°5
Según (a): /i + 0.05 = 1 + N p = 1025
.‘. /T Ó J = 1 0 ( 1 . 0 25 ) = 10.25
234 Capítulo 2: Límites y continuidad
(2) /9 Ï2 = / 900+Ï2 = 30 < j 1 + = 3 0 /l + 0.0 13
Según (a): /Ï + 0.013 1 + — ~ 1.0065
/. /9Ï2 = 30(1.0065) = 30.195 = 30.2
(3) / 26ÏÏ = /25 6 + 4 = 16 y 1 + 255 = 16/ 1+0.0156
Según (a): /Ï + 0.0156 1 + = 1.0078
’ /2 6Ô = 16(1 0078) = 16 125
1ión 4: Operación de h allar los límites 235
, n (u1 ) , ... n(n- 1 )L = lím _ _ ----- llB ------ ¿A".. — u+1 u - 1 u+1 (u1 )(un_ ,+u“”‘‘e+ ... + 1 )
n n n= lim 1--— 5-------- = ------------------- — = 1
u+1 u +u + ... +1 1+1+1+ .. n vec
. '. VT+x - 1 a S +♦ VTTx - 1 + ^ (a)
(I) Vl047 = 3/100C + 47 = 10\/l" + lélü = 10 3/l + 0.047
Según (a): V i + 0.047 = 1 + = 1.016
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.. /2 6Ô = 16(1.0078) = 16.125
(4)
(5)
''I63 2 = / 1 6 0 0 + 3 2 = 40 /i + = 40 /l + 0 . 0 2
Según (a): /Ï + 0.02 = 1 + ^ 1.01 >
/ 1 6 3 2 = 1 0 (1 .0 1 ) 4 0 . 4
/ O T = /31ÔÏÏ = ^02 5 + 75 =
= 0.55/1 + 0.025
Según (a): /i + 0.025 = 1 + °'Tg ^ = 1.0125
.’. /0 .31 = 0. 55(1.0125) = 0.557
3025
(6 )
= O.U /Í + 0.0 7U
Según (a): /i + 0.0714 = 1 + 0,° ^
.'. /0.021 = 0.14(1.0357) 0. 145
1.0357
gp TÜ Mostrar que las funciones V 1+x_1 y x/n son infinitesima-
les equivalentes cuando x+0. Valerse de ello para calcular
aproximadamente las raíces:
(1) Vl 04 7 (2 ) V81 44 (3) s/l7í (4) V i o 80
Hallar el valor de las referidas raíces en la tabla de logarit-
mos. Comparar los resultados.
Demost/iaciin, En efecto, sean: f(x) = VT +x l y g(x)=x/n
T ,. f (x). VT + x 1+ L = lim — — '■ ~ l i m----------x+ 0 g(x) x+0 x/n
Sea 1+x = u + un1 . Si x+0 , entonces, u + 1
.". J/1047 = 10(1.016) = 10.16
(;>) 3/8144 = 3/8000 + 144 = 2 0 l / 7 7 = 203/l +0.018
Según (a): 3/ l + 0.018 = 1 + -0--3— =1.006
.*. 3 / 8 1 4 4 = 20 (*1.006) = 2 0 .12
( )) V108 0 = V1 02 4 + 56 = 4' V 1^+ itÜ% = 4(S/1 + 0.054)
Según (a): Vi + 0.054 = 1 + = 1 . 0 1
S/1080 = 4(1.01) = 4.04
Valiéndose de la equivalencia de ln(1+x) y x cuando x+0,
calcular aproximadamente los logaritmos naturales (neperia
11■■n) de los siguientes números: 1.01, 1.02, 1.1, 1.2. Hallar los
logaritmos decimales de los mismos números y compararlos con los
(lutos presentados en la tabla.
Soíuci&n. Sean: f(x)=ln(1+x) y g(x)=x
+ L = lim = lim iüÜtgj = lim ln(1+x)1//xx+0 g(x) x+0 x x+0
Inflim ( 1 + x ) 1 / x 1 = InLx+0 J
(e) = 1lx+0
.’. ln(1+x) = x
Aplicando esta aproximación para los números dados se tiene:
(1) ln(1.01) = ln(1 + 0.01) = 0.01
(2) ln(1.02) = ln(1 + 0.02) = 0.02
(3) ln(1.1) = ln(1 + 0.1) = 0.1
(4) ln(1.2) = ln(1 + 0.2) a 0.2
236 Capítulo 2: Limites y continuidad
r m Una circunferenciacuyo radio es R está dividida en n pun-
tos Mi, M2 , . . . , en partes iguales. Cada uno de los re
feridos puntos sirve para trazar desde él un arco de circunferen •
cia (cuyo radio es r) hasta que se corte con otros arcos traza-
dos desde los puntos vecinos (véase
la figura 19)* Hallar el límite de
la longitud de la línea cerrada re
sultante cuando n crece infinita-
mente.
DERIVADACÁLCULO DIFERENCIAL
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So lu.c¿6n. Separemos un elemento
diferencial de longitud
s cuyos ángulos centrales son a y 8.
+ *CD = R8, pero: CD=M iM2=M 2M j= ...
+ nCD = 2ttR •*» nR8 = 2nR + 8=2ir/n
Supongamos que: h=0B
En el AOEB: x=hSen(^) x=hSen(^)
En el AMiEB: x=rSen(|) + hSen(^)=rSen (|)
de donde: a = 2arcSen
s = 2rarcSeSi s=ra
Siendo S la longitud de la línea cerrada,
entonces: S = ns
L lim S = lim 2arcSenn +00 n+<”
lim h = R+rnvoo
Luego
Pero:
+ L = lim 2rn. arcSen í(^*— )Sen ( )ln->-co L r n Jnx»
Haciendo: — = u ■*n
Si n + 00, entonces:
7Tu
L = lim S = 2n(R+r) limu+0 u+0
arcSen f(R+r ■X.-
Senul
(R+£)Senu
^Senuj
L = 2ir(R+r) (1) (1) = 2ir(R+r)
V i -DERIVADA, VELOCIDAD DE VARIACIÓN
Si xi y X 2 son valores del dominio de la función
/ l'(x), mientras que yi=f(xi) e y2=f(x2) son los correspondien
1. valores de dicha fTmción, entonces:
Ax = x 2 - Xi (1)
un llama incremento del an.gume.nto
• ile. la van.ia6.le. x en el segmento
I x 1 ,x2 |, y
Ay = y 2 - yi (2)
Ay = f (x2 ) - f (x ! > = f (x j + A x ) - f (x ! )
recibe el nombre de incremento de
ía (.unción en el mismo segmentoT 0
I<1,x2 I (En la fig.3.1 Ax=PiA y Ay=AP2)
razón: = Tan$ U)
■'presenta el coeficiente angular de la secante PjPj de la gráf_i
m de la función y=f(x), y se llama velocidad media de variación
' la función y en el segmento <xi,xi+Ax>.
238Capítulo 3: Derivadas
1.1 ALGUNOS PROBLEMAS DE FÍSICA
Dada la ecuación del movimiento rectilíneo del punto:
s = 5t+6
hallar la velocidad media del movimiento: a) en los primeros 6
seg. b) en el intervalo de tiempo transcurrido entre el final
del tercer segundo hasta el final del sexto segundo.
Solución. a) Sea s=f(t), entonces, según la definición 3.1 se
.’/i / De riva da - Velocidad de variación 239
i > ('imndo: ti=240 seg. y t2=420 seg ■* At=t2ti = 180 seg.
Kntonces, en (1 ): v = 8°' = °55 ra/s
i ) Kn el intervalo [ti,tí}: v = 1+ 2~^ 1 m/s1200 1200
C H 3 Dada la ecuación del movimiento rectilíneo: s=t3+ , ha-
llar la velocidad media del movimiento en el intervalo de
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) ( ), , g
tiene: As = f(t i+At)f(tj)
= 5(ti+At)+6 (5t i + 6) = 5At
"*• ff = 5 ' ¥t
Esto es, la velocidad media de variación de la función s es cons
tante en todo tiempo.
BÍ EU El punto M va alejándose del punto inmóvil A de modo que
la distancia AM aumenta, siendo proporcional al cuadrado
del tiempo. Al.transcurrir 2 minutos desde que comenzó el movi-
miento, la distancia AM era igual a 12m. dallar la velocidad me-
dia del movimiento: a) en los primeros 5 minutos, b) en el inter.valo de tiempo desde t=4min hasta t=7min, c) en el intervalo de
tiempo desde t=ti hasta t=t2.
So¿uc¿¿n. Sea s=AM la distancia dirigida al desplazarse el pun
to M desde A en t seg.
Entonces s es la función definida
por: s = kt 2 t, = 0 t, t3 to— ^ — o
Si AM=12m para t=2min=120seg. ^ g
12 = k( 120)2 k --- — L1200t2
Luego, la ecuación del movimiento es: s = "^ qq
y cuya velocidad media es: v = ff
donde: As = f (ti+At)f (ti) = k(ti+At)2 ktf = k(2ti+At)At
de donde: ff = '"^500^ (1 ]
a) En los primeros 5x60=300seg., ti=0 y t2=300 + At=t2t!=300
llar la velocidad media del movimiento en el intervalo de
u. Nipo desde t=4 hasta t=4+At, poniendo At=2 , 1 , 0.1 , 0.03.
■ur ión. Si As = f(t+At) f(t) , entonces:
As = (t+At)3 + (t3 + \)
= 3t2At + 3tA2t + A 3t 3Att(t+At)
— ■ = 3t2 + 3tAt + A21 3Att(t+At)
l'nia t=4 y At=2 + ff = 3(4)2+3(4) (2) + (2)2 = 75.875
w y At=1 + ff = 3(4)2+3(4)(1)+(1)2 = 60.85
t=4 y At=0.1 ff = 49.03
t=4 y At=0.03 •> ff = 48.18
[ Q J Dn cuerpo efectúa la caida libre de acuerdo con la ley:
s = jS 2> donde g (9.80m/seg2) es la aceleración de la
gravedad. Hallar la velocidad media del movimiento en el interva
I» de tiempo desde t=5 seg. hasta (t+At) seg.»poniendo At=1s,
u.1s, 0.05s, 0.001s,hallar la velocidad del cuerpo en caida li
lue al final del quinto y del décimo segundo. Obtener la fórmula
'lo la velocidad del cuerpo en caida libre para cualquier momento
de tiempo t. ;
solución. Si As = |g(t+At)2 igt2 = g(t + ^At)At
+ ff = S(* + ÍAt)
rara t=5 y At=1 + ff = 9.8(5+0.5) = 53.9 m/s
240 Capitulo 3: Derivadas
Para t=5 y At=0.1 41 = 9.8(5+0.05) 49.49 m/sAt
t=5 y At=0.05 * ff = 9.8C5+0.025) = 49.245 m/s
t=5y At=0.001*■ || = 9.8(5+0.0005) = 49.005 m/s
Si v (t) = lim = lim g(t+ =At+0 At+0 ¿
entonces, para t=5s , v(5) = 9.8(5) = 49 m/s
t=10s , v (10) = 9.8(10) = 98 m/s
■< ióii I: Derivada - Velocidad de variación 241
i111 del punto A, b) en el mismo punto A, c) en el extremo de la
t u r r a ,
\ •> f.ución, Incremento de la función:
Am = 3U+A£)2+5U+AiO(3J!.2+5S.) = AÍ,(6£+5+3ASL)'
<ii' donde: = 6A + 5+3AÍ. A ¿ P BO.. 111.. . ......I...... . .....o
l,n densidad lineal en cualquier ^ ____________*|
1'unto.P de la barra AB es:
.1(4) = lim (xf) = lim (6H + 5+3AS.) = 6JI + 5A*+0 X AJl+0
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y para cualquier tiempo t segundos: v(t) = 9.8t m/s
1 Consideremos una barra delgada de estructura heterogénea
AB cuya longitud L=20cm. La masa de un segmento AM aumenta
proporcionalmente al cuadrado de la distancia entre el punto M y
el punto A, siendo la masa del segmento AM=2cm igual a 8g. Ha-
llar: a) la densidad^media lineal del segmento AM=2cm de la ba-
rra, b) de toda la barra, c) la densidad de la barra en el punto
M.
Solución. Sea x la longitud del segmento AM
Si m=f(AM) *■ m=kx2 .nA x M B
Para AM=2cm y m=8g 8=k(2) T
de donde:k=2 + m=2x2 I" L — 20cm*|
Incremento de la función:
Am = f(x+Ax)f(x) = 2 (x +Ax )2-2x 2 = 4xAx + 2A2x *■ ¿f = ¿x+2Ax
La densidad ..media lineal de la barra en un punto x es:
d = lim^ = lim (4x+2Ax) = 4xAx+0 x Ax+0
ga) Densidad media del segmento AM=2cm es: d = g = 4 g/cm
b) Densidad de toda la barra (L=20cm): x = íf = 10cm
.'. d = 4(10) = 40 g/cm
c) densidad de la barra en el punto M: d = 4x g/cm
KfcJI La masa (en g) de una barra delgada de estructura heterogé
nea AB, que mide 30cm, está distribuida de acuerdo con la
ley m=3£2+5$,, donde SL es la longitud de un segmento de la barra
medida a partir del punto A. Hallar: 1) la densidad media lineal
de la barra, 2) la densidad lineal: a) en el punto que dista £=5
(1) La densidad media lineal de la barra es: d(lj)=6(15) + 5 = 95 g/cm
(2) a) d(5) = 6(5)+5 = 35 g/cm
b) d(0) = 6(0)+5 = 5 g/cm
c) f(30) = 6(30)+5 = 185 g/cm
La fórmula Q=t+0.00002t2+0.0000003t3 establece la cantidad
de calor Q (en calorías) necesaria para que la temperatura
de 1g de agua pase de 0o a t°C. Calcular la capacidad calorífica
del agua para t=30° y t=100°.
Solución, El incremento de la función es:
AQ = (t+At)+2x10'5(t+At)2+3x10'7(t+At)3
(t+2x10"5t +3x10"7t 3)
3t = 1+¿x'lo"5t+9x10“ 7t2 + 2x10'5At+9x10‘7tAt+3x10'7A2t
Si C es la capacidad calorífica del agua, entonces:
Para t=30° >• C = 1+4*10" 5 (30) +9x10* 7 (30):
C = lim (|§) = 1+4x10'5t+9x10'7t 2At+0
1+0.0012+0.0081 = 1.00201
1 > 0 0 2 Salorias a ^ Julio ag.grados ^ Kg.grados
0 V r — u iyin'síiníi\iQ(íin'7íirmU 1 m o calor i asPara t=100° •> C = 1+4x 10'5 (100)+9x10'7 (100) 2 = 1.013 g.grados
La velocidad angular de la rotación uniforme es definida
como la razón del ángulo de giro respecto al correspondien-
te intervalo de tiempo. Dar la definición de la velocidad angular
ríe la rotación no uniforme.
242Capítulo 3: Derivadas
1.2 FUNCIÓN DERIVADA
Sea f:A+R una función real definida en cierto in
tervalo A. Se llama de./iivada de la función y con
respecto al argumento x, al límite de la razón ^ , cuando Ax »O
es decir:
f ' ( x) = l i m (*E) = l i m f ( x+ ¿x ) - f ( x > ( 5)Ax+0 Ax+0 Ax
. 1<ion I: D erivada - Velocidad de variación 243
f'(Xl) = li;f(x2) f('Xl)
x2*x.i X2X 1
’ l sustituimos a x2 por el punto genérico x, y x¡ por el punto a
■Muñár emos otra forma de exprezar la derivada de una función en
ni punto a, esto es:
f(x) f (a)f ' (a ) = 1 ira
x+a(8)
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si dicho límite existe.Simultáneamente con la notación f 1 (x) para la derivada se emple
an, también, otras designaciones, tales como:
y' , , Df(x) , ^f(x) . etc
Sea f:A+R una función real definida en el punto
acA. Sé dice que f es derivable en el punto a,
si y sólo si, el, . f(a+Ax.) f(a)xim ■- ■Ax+0 Ax
existe y es único, y cuyo valor concreto se designa por f'(a),
esto es:f 1(a) =
Ax+0 Axf ' ( a ) = l i m f ( a i A x ’ '-1 -1 (6)
Observaciones. (1) A cada valor de x le porresponde un valor de-
terminado de f'(x), es decir, la derivada es.
también función de x.
(2) La operación que tiene por objetó hallar la derivada de la
función f(x), se llama de.nivac.L6n de esta función.
(3) Por comodidad se emplea la letra h para designar al incremen
to de x, es decir, si h=Ax, entonces en (5) se tiene:
f'(x) = lim £lx+h L.~. Ii*? (7)h+ 0 ' h
(4) Como: Ax = X 2X 1 + x¡ = Xi+Ax + f(x2) = f(xi+Ax)
Si Ax + 0, entonces, X 2X 1 + 0 ■**■ x¡ +
Luego, la fórmula (5) se puede escribir:
PROBLEMAS RESUELTOS
I Hallar el incremento de la función y=x3 en el punto Xi=2,
poniendo el incremento Ax de la variable independiente X-
gual a: (1) 2 , (2) 1 , (3) 0.5 , (4) 0.1
■ elución. Si y=x 3 + Ay = f(xí+Ax)f(x1 ) (Def.3.1)
(1) Para x a=2 y Ax=2 + Ay = f(2+2)f(2)
= 4 3 2 3 = 56
(.’) Para Xi=2 y Ax=1 + Ay = f(3)f(2)=332 3 = 19
(3) Para Xl=2 y Ax=0.5 + Ay = f(2.5)f(2) = (2.5}32 3 = 7.625
(4) Para Xi=2 y Ax=0.1 + Ay = f (2.1)f(2) = ( 2 . D 3 2 3 = 1.24
Hallar la razón ^ para las siguientes funciones:
(1) y = 2x3x2+1 , para x=1 , Ax=0,1
(2) y = — , para x=2 , Ax=0.01
(3) y = /x , para x=4 , Ax=0.4
Mostrar que cuando Ax+0, el límite de la referida razón en el
primer caso es igual a 4., en el segundo, 1/4 , en el tercero, -7
'•elución. Según la definición 3.1 se. tiene:
(1) Ay = f(x+Ax)f(x) = 2(x+ Ax) 3(x+Ax)2+1(2x3x2+1)
= Ax(6x22x+6xAx+2A2xAx)
+ = 6x 22x+6xAx+2A2xAx
i /ira x=1 y Ax=0.1 + ^ = 62 +6 (0. 1)+2 (0. 1) 2(0.1) = 4 . 5 2
244Capítulo 3; Derivadas
Si L = lim (4^) = 6x22x , para x = 1 + L = 62 = 4Ax+0 üx
(2) y = — + ¿y x+¿x x x(x+Ax) + Ax x(x+Ax)
Para x=2 y x=0.01 + ^ = 2'(¿'j'oi'T =
+ L = lim = J— , para x = 2 + L = 1/4.Ax+0 Ax x2
(3) y = /x + Ay = /x+Ax /x = Ax---- + Ax =/x+Ax + /x Ax /x+Ax + /x
ion I: Derivada - Velocidad de variación 245
Knlonces: f'(1) = 3(1)2 = 3 , f'(0) = 3(0)2 = 0
f«(/2) = 3(/2)2 = 6 , f 1 (1/3) = 3 (1/3) 2 = 1/3
f(x)=x2. En qué punto f(x)=f'(x)?
'"lución. f'(x) = lim f(x+Ax)f(x) = liffl Jx +Ax^x» = 2x
Ax+0 Ax Ax+0 Ax
Si f(x) = f'(x) + x 2=2x ++ x=0 ó x=2
C U Comprobar la siguiente aserción: para la función f(x)=x2
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Para x=4 y x=0 .4 + ^ = .0 .244
+ L = lim ( ^) = — — , para x=4 + L = 1/4Ax+0 2/x
j : J Dada la función y=x2, hallar los valores aproximados de la
derivada en el punto x=3, poniendo sucesivamente Ax igual:
a) 0.5 b) 0.1 c) 0.01d)0.001
So¿uc¿6n. Según la definición 3.3 se tiene:
f 1 (a) = lim fU+ Ax) fjx) = llm (a+Ax)2
Ax+0 Ax Ax+0 Ax
= 2a + Axa) Para a=3 y Ax=0.5 + f1(3)=6+0.5=6.5
b) Para a=3 y Ax=0.1 + f ’(3)=6+0.1 = 6.1
c) Para a=3 y Ax=0.01 + f'(3) = 6+0.01 = 6.01
d) Para a=3 y Ax=0.001 + f'(3) = 6+0.001 = 6.001
EFE1 f(x)=x2 . Hallar f'(5) , f ’(2) , f»(3/2)
c e -a if i f(a+Ax)f(a) , . (a+Ax)2a2 _ _ .Soíucton, f'(a) = lim — — -- -- — = lim ---- ---- = 2aAx+0 Ax Ax+0 Ax
Por tanto: f1(5)=2(5)=10 , f'(2)=2(2)=4
f '( 3/2)=2( — 3/2)=3
E J J f(x)=x3. Hallar f'(1), f1 (0) , f'(/2) , f • (1/3)
Solución. f1 (a) = lim £l?.tSx >f <a> = lim (L+**■\ *'~x' = 3 a2Axt0 Ax Ax+0 Ax
es válida la relación f'(a+b) = f'(a)+f'(b). Es válida es
ta identidad para la función f(x)=x3?
., \ . f(x+Ax)f(x) t . _ (x+Ax)2x2 „\nfuctón» f'(x) = lim — ----¿ 1— = lim i---- ---- = 2xAx+0 Ax Ax+0 . Ax
Entonces: f'(a+b) = 2(a+b) (1)
i'(a)=2a y f'(b)=2b +f'(a)+f'(b) = 2a+2b = 2(a+b) (2)
l.nogo, de (1) y (2): f'(a+b) = f'(a) + f'(b) Es válida
:l f(x) = x 3 + f'(x) = lim = 3X2Ax+0 Ax
Kntonces: f ' (a+b) =3( a+b)2 , f'(a)=3a2 y f'(b)=3b2
Como 3(a+b)2 / 3a2+3b2 + f'(a+b) ^ f'(a) + f'(b)l'or tanto, no es válida la identidad.
Hallar la derivada de la función y=Senjc para x=0.
solución. f 1 (x) = limf(x+Ax)f(x)' = lim^ i .x+Ax 2 ~SenxAx+0 Ax Ax+0 Ax
lim SenxCosAx + SenAxCosx Senx
Ax+0 Ax
= lim íSa nxdCosAx) + (SenAx)f,ng
Ax+0 L Ax Ax
= Senx lim (1^ff ^) + lim ^SSáx)CosxAx+0 Ax+0 Ax
= Senx(0) + (1)Cosx = Cosx
.“. f'(0) = CosO = 1
Hallar la derivada de la función y=logx para x=1
Solución. f ' (x) = lim f.(x+A.x> f (xj = lim log(x+Ax) logxAx+0 Ax Ax+0 Ax
246 Cavítulo 3: Derivadas
f.w , n . r ' ^ 1 * 11 * ^ )x/‘x] ’Ax+0 L Ax J Ax+O
/x
= log(e)1/,x = -loge
f ' (1) = loge = 0. 4343
Hallar la derivada de la función y=10x para x=0.
Solución. f'(x) = lim f(x+¿x ) ~f(x = H »Ax+0 Ax Ax+0
1Qx+Ax _ 1Qx
Ax
Vi i ión 1: Derivada - Velocidad de variación247
Análogamente se demuestra que: lim JlÍÍLL = g'(0)x+0 x
y como g'(0) ^ 0, dividiendo los extremos de ambas igualdades
i" tiene:
l i m J ^
- x* ° , x . = I l i o ) l iB f W = I l i o )lim x g ' (0 ) x+0 g (x) g'(0)
Demostrar lo siguiente: si f(x) tiene la derivada cuando
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i r»ÀX 1= lim 10x ( 1'
Ax+0 Ax
Dado que: lim ( '■•)=lna (Ver ejercicio 369) + f1(x)10xln10h +0 n
Luego, para x=0 + f1 (0) = 10°ln10 = ln10 = 2.303
É W J Es sabido que la función f(0)=0 y que existe el límite de
la expresión "•£— para x+0. Demostrar que este límite es
igual a f1(0). . > . f(x+Ax)f(x)
De.mo4¿/iact6n. En efecto, si y=f(x) ¿je = ----- Ax-----
f(x+Ax)f(x)
Ax
Para x=0 + f'(0) = .lim f(Ax)~f = lim £ i Ax 2 , ya que' f(0)=0Ax+0 Ax Ax+0 Ax
Como y=f(x), en el límite podemos intercambiar Ax por x, en con-
secuencia:
lim JLÍ*2 = f ' (0)x+0 x
Según la definición 3.2: f'(x) limAx+0
Demostrar el siguiente teorema: Si f(x) y g(x) son iguales
a cero, cuando x=0 [f(0)=0 , g(0)=0] y tienen derivadas pa
ra x=0, siendo g !(x)/0, se tiene:
f(x) _ f'(0)limx+0 g(x) g'(0)
De.mo¿í/iaci6n. En efecto, según el ejercicio anterior:
lim f(x) = f'(0)x+0
x=a, se tiene: lim x (a)~aí,(x ) _ f(a)af'(a)x+a xa
ihmo¿¿/iaci6n. En efecto, sumando y restando af(a) al numerador
del límite dado, se tiene:
lim xf(a) ~af(x) _ limxf(a) af(a) af(x) + af(a)
x+a x a x+a ’ x a
= lim (x~a)f(a) a[f(x)f(a)]
x+a x a
= lim íiL: f(a) a lim f(xJ'f(a)x+a xa x+a xa
= f(a) af1(a)
Demostrar que la derivada de una función par es una función
impar, mientras que la derivada de una función impar es una
función par.
i)c.mo¿t/iación. En efecto, sea y=f(x) una función par, cuya deri-
vada, según la definición 3.2, es:
f'(x) = lim £i xtAx >f<x> + f.(x) = ii0 f(xAx)f(x)Ax+0 Ax Ax+0 Ax
= lim f [(x+¿x)3~f(x)Ax+0 Ax
loro como f(x) es una función par + f(x)=f(x) , ¥xeDom(f)
+ f'(x) = lim = lim £íx.^x,)f(x ),= _f ,(x)Ax+0 Ax Ax+0 Ax
Kn consecuencia, f!(x) es una función impar.
Análogamente se demuestra que si y=f(x) es una función entonces,
r'(x) es una función par.
248Capítulo 3: Derivadas
1.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
funci°n y=f(x) es derivabtLe en el punto Xj,
entonces la recta tangente a la gráfica de f en
punto Pi(xi.yi) es la recta que pasa por P que tiene pendiente
m definida como:
f (x a+Ax) f (x i)limAx +0
(9)Ax y iL / /
/<’ m I: Velocidad de variación 249
/ación. Si f(x)=x2 ■*f 1 (x 1) = lim f + [*}lAx>0 Ax
= lim (x 1 + Ax )2xt _ 2xi
Ax*0 Ax
M"i;ún la definición 3.4: m = 2x 1
I.>1 n|'o: (1) Para xj=0 *■ m=0 ; (2) EnXj=3 + m=2(3)=6
(3) En xi=2 > m=2(2)=4
(/,) (y=x2) A (y=3x2) = (1,1) ó (2,4)
En xi=1 ♦ m = 2 ( l ) = 2
xi=2 ■* m = 2(2) = 4
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si el límite existe.
En efecto, según la definición 31,
fórmula (4), sabemos que él coefi-
ciente angular de 1a secante P 1P 2
es: Tg* = fí = ¿L XlíAxif.U , ,)
En la figura 3.2 podemos observar
que cuando Ax+0, los puntos P 2 se a
proximan a Pi, es decir, las pendien
tes de las rectas secantes P 1P 2 se a
proximan a la pendiente de la recta
tangente L, o sea: lim Tgi¡> = Tga = mAx+0
(10)
Vr / / ' ' / / 'Ay //^\-\ Ip, 1 i
^ 7 T ' ~ T j A\ ! 1 *
"f 0 / X, x; X<
H — Ax — H
Figura 3.2
Aplicando límites en (10) se tiene
f(x í+Ax )n = lim
Ax+0
lim Tg<J> =Ax+0
f (xi )
limAx+0
f(xi+Ax)f(xt)
Ax
Ax
y por la definición 3.3: m = f'(xi)
Por tanto, la derivada f'(xi) es la pendiente de la recta tangen
te a la gráfica de f en el punto xi.
PROBLEMAS RESUELTOS
Hallar el coeficiente angular de la tangente a la parábola
y=x2 : 1) en el origen de coordenadas, 2) en el punto (3,9)
3) en el punto (2,4), 4) en los puntos de intersección de la pa
rábola con la recta y=3x2.
45 4
f En qué puntos es igual a 3 el coeficiente angular de la
tángete a la parábola cúbica y=x3?
Solución. Si f(x)=xJ f 1 (xj) = limf 1xL+a_xL ^ 1 ^Ax+0 Ax
. . = lim = 3xfAx*0 .Ax
I f'(xi) = m + 3x2 = 3 x2 = 1 «+ Xi = 1 ó Xi=1
l'nr tanto, los puntos buscados son: (1,1) y (1,1)
B U En qué punto la tangente a la parábola y=x2: (1) es parale
la al eje OX, (2) forma un ángulo de 45° con el eje OX?
Vo¿ación. Según el ejercicio anterior, si f(x)=x2 * f'(xl)=2xl.
(1) Para m=0 2xi=0 x ^ O
Luego, en (0,0), la tangente es paralela al eje 0X.
( 2 ) Param=Tan45° = 1 + 2Xl = 1 Xj = 1/2 .*. P(l/2,1/4) es el
punto requerido.
f¡!tl Una tangente a la parábola cúbica y=xJ puede formar un án-
gulo obtuso con el eje 0X?
Salación. Según la definición 3.4, se sabe que:
m = Tana = f'(xj) = lim .L(xi*Ax)~f )Ax+0 Ax
+ Tana = lim <x V " X1 = 3x2Ax>0 Ax
como x2>0 , ¥xieR, se deduce que: Tana>0, VxjeDomíf)
l’or tanto, la tangente a la curva y=x3, no puede formar un ánguloobtuso con el eje 0X.
250 Capítulo 3: Derivadas
Qué ángulos forman al cortarse la parabola yx 2 y la recta
3xy2 =0 ?
50 ¿ución.. Si f (x)=x2 + f'(xi) = lira (xi+Ax) ~x_i = 2xiAx*0 Ax
(y=x2) a ( 3xy2=0 ) = (1 ,1 ) y (2,4)
Luego, los coeficientes angulares de las tangentes en tales pun-
tos son: Para Xj = 1 Tanai=2(l) = 2
Xj=2 *■ Tana2=2(2) = 4
51 L:3xy2=0 *■ m=Tana =3
" ' i ión 1: Velocidad de variació n251
l'nra xi = 1 m i=1
í c(x)=/x + g'(x) = lim — X+AX ~ Sx =
l 'nra x i =1 -
I,tingo: Tan0
m 2
Ax+0
: ' ( x i ) = 5
Ax
m2mi _ 1/2 + 1
1+mi • ni2 1 - 1/2
Ax+0 /x+Ax + /x 2/x
0 = a r c T a n ( 3 )
Escribir la ecuación de la tangente y de la normal a la
curva y=x3 en el punto cuya abscisa es 2. Hallar la subtan
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Sean 0i y 02 los ángulos que lormanla recta L con las tangentes+ Tan0i = Tana Tanai = 3J2 = 1 _0j= arcTan(1/7)
1 + Tga.Tgcii 1+6
Tan02 = Tanot2 ~ Tana = = -A ^ 0 2= arcTan( 1/13)1 + Tga.Tga2 1+12
Qué ángulos forman al cortarse lasparábolas y=x2 e y 2=x?
Solución. (y=x2)a (y2=x) = Pi(1,1) y P 2 (0,0)
Si y=x2 f'(xi) = lira (xi +Ax)2~.- I = 2xjAx+0 Ax
Para xi=1 + mi=Tanai=2(1)=2
x2=0 + mi=Tancti = 0
/— r..! ■> */x 1+6x /*! _ „.Si y = A f (xi) = l i m - linJLAUi --- --- __
Ax+0 Ax Ax+0 /xi+Ax + /xi
= 1/2/xT
Para xi = 1 Tana 2 = 1/2 , para x=0■*■m2=°>
_ ,\ _ „ tanaiTana2_ 2 1/2 _ ¿Luego, en P (1,1): Tan0i--------------- — ¿
1+TgaiTga2 1+2(1/2) 4
0i = arcTan(3/4)
En P 2 (0,0)., Tan02= « + 02=ir/2
PfrfU Qué ángulo. forman al cortarse la hipérbola y=1/x y la parabola y=/x?
Solución. (y=l/x) A (y=/x) = P i (1,1) ^
Si f(x) = ± f'(X l) = lim Xl+¿---£» = - 7x Ax+0 Ax xí
gente y la subnormal.
' fución. Para x=2 y=(2) 3 =8, entonces, el punto de tangencia
es T(2,8 ).
« I (x) = lira = iim (x+Ax)3x s= 3x
Ax+0 Ax Ax+0 Ax
l'nra x=2, la pendiente de la tangente es: m = f'(2) = 3(2)2 = 12
y la pendiente de la normal es: n = 1 / 1 2
lonación de la tangente.: y- 8 = 1 2 (x2 )
i'.ouación de la normal: y- 8 = y¡j(x2 )
Li :12 xyl6 =0
L2 :x+12y98=0
longitud de la tangente:
TR i _ | f(xi)'i::T = PR =
ST 1—8 1 = 2112 1 3
f ‘ (x, )l
longitud de la subnormaL:
:¡N = | AQ | = | TR.Tana |. = |f(
.’. SN = |(8 ) (12)| = 96
T £YM Para qué valor de la variable independiente son paralelas
las tangentes a las curvas: y=x2 e y=x3?
Solución, Si f(x)=x2 y g(x)=x3, en anteriores ejercicios, se hadeterminado que los coeficientes angulares de las tan
i.untes a ambas curvas son, respectivamente:
i '(xi)=2xj y g 1(xi)=3xf
¡.■ i:i tangentes a ambas curvas serán paralelas *>■ f 1 (xi)=g' (xi)
Koto es: 2xi = 3xf xi=0 ó xi=2/3
252 Capítulo 3: Derivadas
En qué punto la tangente a la parábola y=x2: (1) es parale
la a la recta Lj:y=4x5 » (2) es perpendicular a la recta
L2:2x6y+5=0 , (3) forma un ángulo de 45° con la recta L 3:3xy=0.
Solución. El coeficiente angular de la recta L, tangente a la
parábola y=x2 en el punto Pi(xi,yi), es:
m = f'(x>) = lim (*i+¿x)2 xj = 2xiAx+0 Ax
(1) Si L| |Li i =m **■ 2xi = 4. ■* Xi=2
Para xi=2 yi = (2)2=4 • Pi(2,4)
463
¡un 1: Diferenciación de las funciones 253
<1 •• I ííngulo formado entre el radio focal del punto y la recta pa-
rí. 1" la al eje de la parábola y que pasa por el punto dado.
0rmn-\t/iaci6n. En efecto, sea la parábola P:y 2=4ax *• y=2/i3T
y sea T(xi,yi) el punto de tangencia.
ni;ún la definición 3.2
r • (x) limAx>0
= lim
2/a(x+Ax) 2/ax
Ax
2a 2a
Ax+0 /ax+aAx + /ax 2/ax
2
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(2) Si L L2 + m = 1/m2 2xi=3 + Xi=3/2
Para xi = 3/2 *■ yi = (3/2)2 = 9/4 P2(3/2,9/4)
(3) Si L3:3xy=0 + m 3=3
Tan45° = --"fll. + 1 = 2 x i ~'~ , de donde: Xi = -1l+m.nia 1 + 6xi
Para xi=1 + y=(1)2 = 1
Demostrar que la subtangente correspondiente a cualquier
punto, de la parábola y=ax2 es igual a la mitad de la absci
sa del punto de tangencia. Valiéndose de esta circunstancia, for
nular el método para trazar la tangente .a la parábola en el pun-
to dado.
De.mo¿t/iaci6n, En efecto, si f(x)=ax2, entonces por la definición
3.2 , se tiene:
f« (x) = lim ,f(x+Ax)f_(x) = lim a(x+Ax) 2 ,ax2 = 2ax
Ax*0 Ax Ax>0 A
+ f'(xi) = 2axi
Si ST =* I.JSULO I ST = I XL. IIf1(xi)I I2axiI
st = = i|xi |I 2axi I
El método para trazar la tangente a la
parábola en el puntp P(xi,yi) dado, con.
siste en ubicar el punto T(xi/2,0) sobre el eje OX y luego unir
éste con el punto P de tangencia mediante un trazo continuo.
464
465 Demostrar que la normal a la parábola en cualquier, punto
que pertenezca a ésta desempeña la función de bisectriz
m f'(xi) = 2a2/axi
.... T(xi,yi)EP + y i=2/ ax i + m
l '•n.líente de la recta normal: n =
m nm i■ m.no: Tana = r •i+n.m i
JU _ yi2a xia _ y i (a+xi ) _
2a
Tanß = , como m2 = 0 Tanß = n = ^
tanto, de (1) y (2): Tana = Tanß *-*■ a=B
(1)
(2)
DIFERENCIACIÓN DE LAS FUNCIONES
2.1 FUNCIONES ALGEBRAICAS
NI GLAS DE DERIVACIÓN. Si f:A+R y g:A»R son dos funciones deriva
bles en un punto xjeA, y ceR, una constan
'.i, entonces se cumplen las siguientes propiedades o reglas de
.!.. ri vación.
Ii,: Derivada de una constante. Si f(x)=c + f'(x)=0
La derivada de una constante es 0
En efecto, según la definición 3.3 se sabe que:
254Capítulo 3: Derivadas
fi(x,) = lim fUx) = lim f(x)f(xx)_
Ax+O Ax x+xj xxi
Paro: f(x) = c y f(xi)=c f'(xi) = lim —— — = 0X+Xi XXl
D2 : D e r i v a d a d e l a f u n c i ó n i d e n t i d a d : S i f ( x ) = x -*■ f ' ( x ) = l
En efecto, f'(x) = lim ~ f(xi) = ü m (í_Z_2Ll) = 1X+Xi x Xi X+Xi x Xl
D 3 : D e r i v ad a d e l a f u n c i ó n p o t e n c i a . S i f ( x ) = x n *► f ’ ( x ) = n x
u ’ii 2. Diferenciación de las funciones 255
n. si F (x) = — — ■* F'(x) -----f '(x)f ( x ) [ f ( x ) ] 2
Kn efecto, F»(x) = lim Si*)---X+X X XX X
= lim nr(x)f(x1n ____ i V - Y , J -P (Y ) i X+X 1 L XXx J f(x).f(xx)
Poro comi f es continua en xx *■ lim f(x) = f(xx)X +X x
Por tanto, F'(x) ----- x ^
Tf( )]2
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n xnEn efecto, f 1 (xi)= lim x 1
X+X1 XX1
= lim (xn1+xn2x l+xn3x?+ ... + x r 1)X+X l
= nxí" 1 *■ f '(x) = nxn_ 1
Di , : S i F (x ) = c f (x ) -*■ F 1 ( x ) = c f ' ( x )
D5 : S i F (x ) = f (x ) + g (x ) F ' ( x ) = f ’ (x ) + g ' ( x )
En efecto, 4fr(x)+g(x)l = lim > (x)+g(x)f(xx)g(x_Jax X+Xi XXl
. F,.(X) = lim [£MzIÍ£ill lim [g(x)-e,(xjjlX*XlL XXxJ X+XxL XXx J
= f '(x) + g 1(x)
D e : S i F ( x ) = [ f ( x ) ] n + F ' ( x ) = n [ f ( x ) J n _ 1 . f ' ( x )
D 7 : D e r i v a d a d e u n p r o d u c t o .
S i F ( x ) = f ( x ) . g ( x ) + F ' ( x ) = f ( x ) . g ' ( x ) + g ( x ) . f ' ( x )
En efecto, dado que f y g son funciones derivables en xlP o
sea que son continuas en Xx, entonces lim g(x)=g(xx)
X+Xx
F 1(x) = lim ff(x).g(x) f( x1).g(x1)|
X + X 11 X X l J
= lim ff(x) í*.1.? + g(x) _X+ Xl L XXl XXl
= f(x).g'(x) + g(x).f'(x)
f (x)f (xx )1
Tf(x)]21 1
En particular, si F(x) = — + F'(x) =
D* i D e r i v a d a d e u n c o c i e n t e .
Si F ( x ) = ^ (x ) 4 . F 1 (x ) = " f ( x ) %g l (x^
g(x) Ígíx)]2
En efecto, F'(x) Aplicando De Se tiene:
p , ( *> ■ ■ É b i í r ] * i r i r •
= f(x)[~ +--
L ,f'(x)L l g ( x ) ] 2J g ( x )
_ g(x).f'( x ) - f ( x ) . g 1 ( x)
[g(x)j 2
D i o: D e r i v a d a d e l a s F u n c i o n e s C o m p u e st a s ( R e g l a d e l a Cadena)
Si F , f y g s o n f u n c i o n e s d e r i v a b l e s , t a l e s q u e:
F (x ) = (f og ) (x ) = f[ g( x) J
e n t o n c e s l a d e r i v a d a d e l a f u n c i ó n c o m p u e st a F e s t á d e f i n i
da por:
- F ' ( x ) = f ' f g ( x ) ] . g ' ( x )
De esta propiedad podemos dedudir lo siguiente:
a) Si F=f(u). § = f ( u ) . g , y siu=g(x) +f = gI(x)
de modo que: ^ = f ' jj(x)J.g '(x) = (fj)(ff)
b) Si F(x) = [f(x)]n + F'(x) = n[f (x)Jn'1. f' (x)
256 Capítulo 3: Derivadas
Dj i : S i f e s un a f u n c i ó n d e r i v a b l e , e n t o n c e s :
a) 4 - ( / f ( x )) =dx
b) ^ ( V f ó ó ) =
2/f(x)
r'A*Ln - ¡y [ f ( x )"]
n - i
PROBLEMAS RESUELTOS
E l j i i d t á f t i
i“i¡ 2: Diferenciación d e las funciones 257
f'(x) = a(2x) + b(1) + 0 (D3 y D2)
= 2ax+b
(/,) f (x) = 3/x + 3/2
► f'(x) = | (V £) + f (3/2)= — + 0 = 4 t=- (fin y Di)dx dx 3 3/^2 3 3/^
•'} f(x) = 2/x 1 + */3
• f W - a f e l / í ) * i e / 3) (0 , y o . )
= 2(_L) +J + 0 = — L + 1 (Dll y D.)
2/x x2 2/x x2
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En los ejercicios de este párrafo x,y,z,t,u,v,s son varia
bles independientes, a,b,c,d,m,n,p,q son constantes.
Derivar la función:
(1) f(x)=3x25x+1 (9) f(«> = mz2+mz+ipp+q
(2) f(x)=x“ 1x 3+2.5x 20.3x+1 (10) f(t) = 0.1t*2/3 5‘
(3) f(x)=ax2+bx+c(11) f(x) = (x0.5)2 t
U) f(x)=3/x + 3/2 (12) f(x) = /x(x3/x+1)
(5) f(x)=2/x 1 + “/I(13) f(v) = (v+1)2(v1)
(6) f (x)=0. 8“/x ^1 +
1
5x2 ( (14) f(x) = 0.53(ax)2
(7) f(x )= x B +m x m
m2(15) f(x) = ax3+bx2+c
x (a+b)
(8) _ mx2 + rax/x
~/5 3/i
p/ xX
(16) f(u) = /mu + n u P
Solución. (T) f(x) = 3x25x+1
d
(.2) f(x) =
f'(x) = 3 |;(x2) 5 &(x ) + ^(1 )
= 3(2x) 5(1) + 0
= 6x 5
4x3 + 2.5x2 0.3x + 1 .
(Dif y Ds)
(D3,D2 y. D i)
f '(x) ~ d x ^ ^ " 3 dx 3 +‘ 2,5 d x ^ ^ " 0,3 dx^x^ + d x ^
= U 3 j(3x2) + 2. 5(2x) 0.3(1) + 0 (D3,D2 y D j
= /ix’ax2 + 5x0.3
(3) f(x) = ax2 + bx+c f'(x) = a f^(x 2) + b f^(x) + fj(c.)
2/x x2 2/x x2
(<,) f(x) = 0.8 V i Ó7 J + 5^
• f W 0.8 0;3 £(, •> * \ (0, y 0.)
= 0. 8(----- 1 = ) - ■!§( 3x2) + i ( - — ) (Dl l , D3 y D.)U /x3 3 5 x
5 V x 3 5x
m f(x) = x + £ + xi + sí'n 1 m x m 2 x2
* f ’<*> ■ i f e<* > * ■ s< í> * * " ’ fe * ; - <D> » » ■>= 1(1) ■ £ + £ * (D2, D 8 y D,)
x2 m2 x3
(H) f(x) 52L* + Sx£x . j/x/x 3/5f x
Efectuando operaciones con las potencias de x obtenemos:
f(x) = mx!/2 + nx7^6 px~1/2
f'(x) = m f^ (x 3/2) + n ^ ( x ’/s) p fj(x” l/2) (D„ y Ds)
= ¡m x 1/ 2 + gnx1/6 + •x ~3^2 (D3)
= |m/x + gn 6/x + 2¿x 7
J
f,(z) = ?fe[n h {z2) + n fi(z) + i7Up )] y D=>
(9) f(z) =
258 Capitulo 3: Derivadas
+ f ,( x ) + “ (D + o) = ^ 4 ^
(10) f(t) = 0.1t2/3 ---+ Sil = 0.1t2./'35.2t‘7/ 5+2.5t'l/5t1/“ 5/t
+ = Tü ft(t_2/3) * |í<t7/‘) + | ^ ( t / 5)
= ( §)t*/3 . 2 6(. 2)t*lz/ s + |( l)t6/5
= yl t5/3 + 1||' t’ 12/5 1 t'6/5
(11) f(x) = (x0.5)2
Si, i ión 2: Diferenciación de las funciones 259
FT5 1 f(x) = 3x2/x . Hallar f(1), f'(D , f(4) , f'U) , f(a2) y
f*(a2)
aolución. f'(x) = 3 (x) 2 dx^1 ) = ~
= 3 1//x
l'or tanto: f(1) = 3(1')2/T = 1 > f'(1) = 3 1//T = 2
fU ) = 3(4)2/4 = 8 , f'(4) = 3 1//I = 5/2
f(a2) = ,3a22/a^ = 2a22|a|
f 1 (a2 ) = 3 1/v 1 = 3 1 / I a |
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f'(x) = 2(x0.5) §j(x) = 2x1 (Ds)
(12) f(x) = /x(x3/x+1 ) = x7/2 x + /x
+ f« (x ) =^ (x 7/*) jj(*) + &( ✓* )• (Ds)
= 2 x5/2 1 + — — (D3 , D2 y Djí)¿ 2/x
* f1 (x) = (v+1)2 (v 1 ) + (v1) §^(v+1)2 (D,)
(13) *f(v) = (v+1)2(v1)
fy(v1) + (v1) f
= (v+1)2(1) + (v1)2(v+1) |^(v) (D2 y D,)
= (v+1)2 + 2(v21) = 3v2+2v1
CU) f(x) = 0.5 3(ax)2
+ f'(x) = |^(0.5) 3 fj(ax)2 = 0 3(2)(ax) |j(x) (D6)
= 6x(a,x)
<” > t M = = íÍí<«2 + bx +
+ f,(x) = i?b[a k ^ 2) + b f^(x) + <D y
= I+b ra(2x) +b(1) + "x^] (D3.D2 y De)
! _ 2ax3 + bx2 c
(1.6) f(u) = (ÜUL±_«)3 + . f((x) = 3(lH+n)i á_(JÍLü±£.) (d 6)
f.(u) = 3(™± n y ¡ M á - (u) + d.(|)j _ÍH(mu + n)a
f(t)= t'2~5t~1 . Hallar: f(1), f(1), f'(2) ,f'(1/a)t
■ fución. f(t) = l - 'i- - — f'(t) = ~ 5(~)(.2^)t t2 t3 t2 f
. -L . I 2 + 2 .t2 t3 f
l'or tanto : f(_i) = Jlübl = - 5 , f«(1) = 4 + \ = í-1
f ,(2) = . 1 + 1| + _3 = J|
f i (1/a) = --- — + — — + — — = a2 + 10a3 + 3a1*1/a2 1/a3 1/a"
■ f (z) = 2z3 3z 4 . Hallar f * ( 1/4)z
.Solución. f(z) = 2z23+z1/2 iz
f'(z) = 2(2z) 0 + ( \ z3/2)' ( i»)
Az __ 1_ + J_
2/z"3 z2
intonces: f ’ (1 /4) = 4(1 /4) — 7 = = = + — --- = 1 4 + 1 62/n7TT3 ( 1/4) 2
.'. f1 (1/4) = 13
f^TíE f(x)=45x+2x3x5. Mostrar que: f 1(a)=f1(a)
Solución. f'(x) = 05(1)+2(3x2)(5x*) = 5+6x25x1*
*• f'(a) = 3+6a25a“ y f(a) = 5+6(a) 25 ( ■‘•a)1
260 Capítulo 3: Derivadas
* f'(a) = 5+6a25a f'(a) = f'(a)<
En los ejercicios 471489 derivar las funciones que se in-
dican.
gTIi (1) y=(x2*3x + 5) (x2+2x1 ) (2) y= (x 33x+2) (xHx!1 )
(3) y=(/5+1)(1//5 1) (4) y=(— /3)(4x .3/5 + ^ E )/x 3x
(5) y= (3/5+2x) (1 + 3/x"2+3x) (6) y=(x21)(x24)(x29)
(7) y=(1+/5)(1+/55)(1+/15)
¿l ■■mu 2: Diferencia de funciones261
* y' = (3/x+2x ) (0 + | x ’ l / 3 +3) + (1+ 3/x"2 + 3x) (-- ^==r + 2)3 3. 3A *
= 3 + 4. 3/x + 3/x"* + — + 1 2x3 3. V k 2
= ---(1 + 12x+9. 3/x 2+10x. 3/x +3 6x . 3/x 2)3. V x 2
(».) y = (x 21) (x 24) (x 29) = (x ‘*5x2 + 4) (x 29)
y 1 = (x" 5x2 + 4)| (x29) + (x29 ) |^ (x 5 x2 + 4) ( D 7 )
= (x ‘*5x2 + 4) (2x -0) + (x2 9)’(4x 310 x+ 0)
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So ¿Lición. (1) y = (x23x+5) (x2+ 2x 1)
y' = (x 2-3x +5)^( x 2+ 2x1) + (x2+2x1 )^ (x23x + 5)
= (x23x+5)(2x+20) + (x 2+2 x -1)(2x -3+0)
= (2x3-4 x2+ 6) + (2x 3+x2 8x+3) = 4x33x28x+9
(2) y = (x33x+2)(x“+x21)
y* = (x33x+2)^(x*+x21) + (x+x21)^(x33x + 2) (D7)
= (x 3-3 x +2)(4x 3+2x -0) + (x^+x2! )(3x23+0) (D3)
= 7x610x"+8X312x 2 + 4x +3
(3) y = (/x+1)(l 1) = (1 +/ 5) (1 ^) = = *' l/2 /*/5 /x /x
■* y I = - 1 x1/2 ---1 ------ — --- — = ----- (— + 1 )2 2/5 2x/5 2/5 2/5 x
(4 ) y = (I . / J ) U x . 3/5 + X5) = (2x"»/*/3)(4x*/* + lx 1/3)/x 3x
y» = (2x1/2/3)|^(4x“/3 + x 1/3) + (4x"/3+ x 1/3)|^(2x1/23)
= (2x1/2/3)(1| x1/3 - ■IxVb.) t _ ( ¿ x ‘. / 3 + Ix'1/3)(xV20)
= 20 x-x/t I^x*11/ 6 ^ | / 3 X 1/ 3 + x“ */3
= 1(_60 . +
9 6/5 x. V x 5 X. 3/5
(5) y = (3/x+2x)(1+3/£2+3x)
y' = (3/x +2x )^( 1 + 3/^ + 3x ) + (1+3/£* + 3x )^ ( */x+2x)
= 2x (3 x‘*28x2 + 49)
('/) y = (1+/x)(1+ /2x)(1 +/3x) = (1+/Sx+/x +/5x) (1+/5x )
y' = (1+/2x +/5+/2x ) ^ ( 1+/35) + (1+/3x)g^(1+/I5+/5+/2x)
Aplicando la propiedad Du se tiene:
y' = (1 +/2x+/x+/2x) (— 2_) + (1+/3x)(— — + — + /5)2/3x 2/55 2/5
= (1+/25+/5+/2x )(— 1) + (1+/J5) (£1+1 1^25^
2/x 2/5
= — L(1+/2+/3+2/25+2/3x +2/55+2x/5)
2/x
mvrm .. _ x+1.
(x1)~(x+1) (x+1)4(x1)solución. y' = ----- 22---- _ _ _ ---¿x----- (D#)
_ (x1)(1+0) (x+1)(10) _ 2
(x 1)2 (x 1)'
x2+1(x2+1 )f(x) x|(x2+1 )
Solución. y' = ------ 25------- ax------ (Do)( X 2 + 1 )2
(x2+1 )(1 ) x(2x+0 ) _ 1x2
(x2+1 ) 2 ~ (x2+1 ) 2
w m e 3t2t1L2 kl s t1
■ , , (t1)ft( 3 t 2 + 1) (3t2 + 1 )4r(t1)Solución. s1 = ----- Si------------------ SÍ_____ ( D o )
(t1 )*
262 Capítulo 3: Derivadas
_ (t+1 )(6 t+ 0 ) (3 t 2+ 1 )( 1 0 ) = 3 t 2+6t - 1
(t1 ) 2 (t 1 ) 2
v 32vu =
---- v 2+v+1
(v 2+v+ 1 )4r( v 32v) (v 32v )| ( v 2+v+1 )Solución. u 1 = ------------------- -- ---------------- (Dg)
■ (v2+v+1 ) 2
= (v 2+v +1)(3v 22) (v 32v)(2v+1 ) (Dj)
(v2+v+1)2
_ v 1>+2v 3 +5v2 - 2
(v2+v+1)2
i' iii 2: Diferenciación de funciones 263
•* i = (1+x3) (03x2) (1x3) (0+3x2) _ 6x2
y (1+x3)2 (1+x3)2
FTEIx 31
'■11 fución. y 1 = 2r ^ (x3~1)] _.
L (x3i)2J
6x2
(x31):(Da)
3 1 u =jdzv±i
a23
>fución. u 1 = -- — 4:(v2v+1) = i Ü La 3 a 3 (D„)
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ax+b
..............(cx+d )^(ax +b) (ax+b)f^(cx+d) ^ ,Solución. y' = — — ------ (Dg;
(cx+d ) 2
(cx+d)(a+0 ) (ax+b )(c+ 0 ) _ adb c
(cx+d) 2 (cx+d ) 2
n a z = + (x 2-d (i-x )3(x 21)
Solución. z 2— tl_ + (x 3+x 2 +x 1)
3(x21)
. I(x21)fj(x2+1) (X2 + 1 4 ( X 21)
+ (3x2+2x+1)3(x21)2
(x21)(2x+0) (x2 + 1)(2x0) + ^ +2X3x2
3(x21)2
= — ZÁ1--- + 1 + 2x3x23(x21)2
v 5u
. . .. ' . v ^ ( V 2 )So ¿LLC-LÓn, u 1 = -------- -------------------
(v 32)2
= (v32)(5v‘t) v5(3v20) = 2v‘,(v35)
(v 32) 2 (v32) 2
E S I y1+x /< I„3\d /i __ 3 \ „ 3 \d
(1+X 3)|( 1X3 ) (1X3)| (1+X 3)
Solución. y' = ------ a*----- ( T + F P--- ------
a 3 a 3
L£fl y =
)fución.*
1 - x 3
/tt
y = 3x2/ tt /ñ
( „)
(D„)
1
t 2+t +1
V olución. z 1 It(t2+t+1) = __________
(t 2 +t + 1 ) 2 (t2+t+ 1 ):
2 t + 1
1
t 2 3 t+6
2x
2t3
b x
'olución. y 1 = 2
ft(*23t+6)
(t2 3 t+6 ) 2 (t 23 t+ 6 )
'(b2 2) ^ * ) (x“4 ( b 2x2 )J
(b2x2)2
= 2 R b 2x 2) U x 3). x “ (02x)~] = 4x 3 (2b2
L (b2x2)2 J rb2x2
x2)
y =
Solución.
x 2+x - 1
x 3 + 1
(De)
(De)
(Ds
(x3 + 1 )f^(x2+ x 1) (x 2+x - 1 ) ^ ( x 3 + 1)
(x3+1)2
(x 3 + 1)( 2x+1) (x 2+x1)(3x 2) = 1+2 x+3 x22x3xi<
(x 3 + 1)2 (x 3 + 1)2
(D9)
264 Capitulo 3: Derivadas
y (1x2)(12x3)
4 —( 1x2) ( 12x3)1 'Solución. y 1 = 3 ------------------ (De)
(1 -x2) 2(1-2x 3) 2J■Er ( 1 - X 2 ) ^ ( 1 - 2 X 3 ) + ( 1 - 2 X 3 ) ^ ( 1 - X 2 n
L" (1x2)2(12x3)2 J
(1x2)(6x2) + (12x3)(2x)
(D,)
(1x2)2 (12x3)2
= 6x(1+3x5x3)
(1x2)2(12x 3)2
V • n 'ti 2: Diferenciación de funciones 265
*fflición. Aplicando la regla del ejercicio anterior se tiene:
F ' (x) = (x1) (x2)^(x3) + (x 1) (x3)^(x2) +
+ (x2)(x3)fj(x1)
= (x1)(x2) + (x1)(x3) + (x2)(x3)
• F'(0) = (01)(02) + (01)(03) + (02)(03) = 11
I ’ • (1) = (11)(12) + (11)(13) + (12)(13) = 2
K1(2) = (21)(22) + (21)(23) + (22)(23) = 1
f u F(x) = ^ 2 + TTTl <• hallar F'(0) y F'(1).
4—(x+2) 4—(x2+1)
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y =
(1 x2)2(1 2x 3)2
ax + bx2
am + bm2
Solución. y' = -- ---- 4(ax+bx2) = (Di,)am+bm2 m(a+bm)
a2b2c2
(xa) (xb) (xc)
p ^(xa) (xb) (xc).Solución. y 1 = a2b2c2 -------------------------------------- (D8)
L (x-a)2(x-b)2(x-c)2J
Debido a la asociatividad de la derivada de un producto, siF(x)=f(x).g(x).h(x), entonces, de la propiedad D7 se sigue que:
F 1 (x) = [f (x).g(x)]h!(x) + [f(x).h(x)]g'(x) + fg(x).h(x)]f'(x).
„i _ (xa) (xb) (10) + (xa) (xc) (10) + (xb) (xc) (1)1
y L — (x a) 2"("xb) 2~x"c) 2J
• yt _ a2b2c2 j[(xa) (xb) + (xa)(xc) + (xb)(xc)J
(xa)2(xb)2(xc)2
f( x) = (x2+x+1)(x2x+1), hallar f'(0) y f 1 (1)
Solución. f'(x) = (x2+x + 1 )^ (x 2x+1) + (x2x+1 )^(x2+x+1) (D7)
= (x 2+x +1).(2x -1) + (x2x+1) (2x+1)
Para x=0 *■ f'(0) = (0+0 + 1)(01) + (00+1)(0+1) = 1 + 1 = 0
x= 1 )• f'(1) = (1 + 1 + 1) (21) + (11 + 1) (2+1) = 3 + 3 = 6
Í F H F(x)=(x1)(x2)(x3) : hallar F'(0), F'(1) y F'(2).
4—(x+2) 4—(x2+1)\'f ución. F ' ( x ) = ^ ----- ------ (D a)
---- (x+2)2 (x2 +1)2
1 2x
(x+2)2 (x 2 +1)2
l.m.go, F 1 (0) = | ; F 1 (1 ) = 1 + | = \
S(t) = ~ ; hallar s!(0) y s!(2).
3 xr(5t) . , ,ración. s> (t) = — — ----- + - — (t2) = — ¿ f ~
(5t)2 5 dt (5t)2 5
s ' ( 0 ) = '25 ; s ' ( 2 ) = ^ + - | = y |
g(x) = (l+x3) (5 1/x2) ; hallar g'd) y g'(a)
'"ución. g'(x) = d + x 3)^(5 p ) + (5 x2^fx^1+x^
= (1+x 3)(0 + — ) + (5— “) (0+3x2) (DB y D 3)
= 15x2 + f3 1
i(1 ) = 15+21 = 16 ; g1 (a) = 15a2 + 1a
I p(4>) = ---- , hallar p !(2) y p»(0)i<t2
¿ución. P'U) = ------ a*-------- -------- = .L# > - <H24>)d<t>2)2 d4»2)2
donde: p ' (<t>) = ■— ----- + p ' ( 2 ) = í ; p ' (0) = 1(1*2)2 9 '
266Capítulo 3: Derivadas
'l'(z) = jjf , hallar *'(1)
(1 + z)^( a z) (az)|^(1 + z)
(1+z):
_ (1+z)(1) (az)(1) = . 1 + a
(1+z)2 (1+z):
Soiución. ' (z ) = 2 (D<
t i / i \ 1 + a.. \l)' (1) ----- —
yHQI = + "Ot : hallar z'(0).
Solución z(t) = t5/2+t + z'(t) = ft3/2+1
r i ii'm 2: Diferenciación de funciones267
( 0 f(x)=(lx) 20 + f 1 (x)=2 0 (1x ) 19 f^O x) (D6)
=2 0 (1x ) 1 9(01 ) = 2 0 (1x) 19
U) f(x) = (1+2x) 30 •> f ' (x) = 30(1 + 2x) 29 ^(1+2x) (D6)
= 3 0 (1+2x ) 2 9(2 ) = 60(1+2x)2 9
('.) f(x) = (1x2 ) 10 ■+' f'(x) = 10(1x2 ) 9 f^(1x2) (D6)
= 10(1x2)9(2x) = 20x(1x2)9
((.) f(x)=(5x3+x24)5 f'(x) = 5(5x3+x24)‘*|j(5x3+x2.4) (Ds)
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Solución. z(t) = t5/2 + t + z'(t) = ft3/2+1
/. z 1 (0) = 1
En los ejercicios 498513 derivar las funciones que se in
dicaji.
E 3 (1)
(2) f(x)
= (xa)(xb)(xc)(xd)
= (x 2+1) u
(7) f(x) = (x3x)6
(8) f(x) = (7x2 ¿ + 6)6
(3) f(x) (1x)20 (9) f(x) = (x3 J, + 3)"
(4) f(x) = (1+ 2x)30 (10) y = (f ^ )2
(5) f(x) = (1x2)10 (11) y = (}£ )5
(6) f(x) = (5x 3+x 2-4)5 (12) y = (2x3 + 3x2 + 6x + 1)11
Solución, (1) f(x) = (xa)(xb)(xc)(xd)
Según la propiedad asociativa de la derivada de
un producto se tiene:
f 1 (x) = (xa) (xb) (xc)|^(xd) + (xa) (xb) (xd)^(xc) +
(xa) (xc) (xd)^(xb) + (xb) (xc) (xd)^(xa)
= (xa)(xb)(xc) + (xa)(xb)(xd) + (xa)(xc)(xd)
+ (xb)(xc)(xd)de donde: f'(x) = 4x33(a+b+c+d)x2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x
(abc+abd+acd+bcd)
(2) f(x) = (x2 + 1),t + f'(x)=4(x2+1)3f^(x 2+1) (Ds
= 4(x 2 + 1)3(2:c) = 8x(x2 + 1) 3
= 5(5x3+x24)(15x2+2x)
= 5x( 1 5x+2) ( 5x3+x24) *
(7) f(x) = (x3x) f'(x) = 6 (x3x ) 5 -f ^(x3-x)
= 6 (x3x)5 (3x21 )
00 f(x) = (7x2 - 1 + 6)6 + f ' (x) = 6(7x2- -i +6) 54—(7x2- ± +6)X Q X X
f'(x) = 6(7x2 4 +6 )5(Ux + K ) .x x
= 1 2 (7x + f 2)(7x 2 + 6) 5
( 9 ) f(x) = (x3x"3+3)* + f'(x) = 4(x 3x~3+3 )3 |_(x 3x" 3+3 )
= 4(x3x~3+3 ) 3 (3x2.+3x" 11)
, T 1 W„. 1
tí£±J'l2 -v „1 _ ofX±l\ d ,x + 1
= 12,(x2 + ~k)(,x3- ^ 3 + 3)
<’0 )y = ( ^ ) 2 * y = 2(|±1) (Di)
= (x1 )(1+0 ) (x+1 )(10 )*“■> (x.1)2 • s)
= _ 4(x+l)
(x1 ) 3
" D y = * y (D§)
= 5 (]+x2) <. (1+x) ( 0 +2x) (1+x2)(0 +1 )
1+X (1+x ) 2
= 5 (x2 +2x1) (1+x2)11
(1+x ) 6
268 Capítulo 3: Derivadas
(12) y = (2x3+3x2+6x+1 )11 + y ' = 4(2x 3 + 3x2 + 6x+1)3 ^ ( 2 x 3 + 3x2 + 6x+1)
=4(2x 3+3x 2+6x +1)3(6x2+6x+6)
= 24(x2+x+1)(2x3+3x2+6x+1) 3
E a v . i g f
S'tucU,. V , ~ (,U)‘ f e — . (D.)(s+3) 2
= (s+3)2(s+4) (s+4)2 (1) = (s+4)(s+2 )
(s+3) 2 (s+3) 2
- 1 mi Diferenciación de funciones 269
I M l y = lx2
J .1 t u r i i n . ' Según 1.a regla de derivación Bjia, se tiene:
y ' =. 0 2x
2/ 1x1 /ix2
m y = (12x1 2 ) **
¿ t n ci ón . y = (12/x) + y 1 = 4(12/x)3 4-( 12/7)dx
4(12/x)3(22/7
(D6)
(Diia)
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m P = t3dt)2
dt)5 f^ít3) . t3 i d t ) 2Solución. s1 = ------------------------------ (D9)
(1-t)*
= (1-t)2(3t2) - t32(1-t)(-1) _ (3-t)t2
(1-t)* . (1-t)3
WTT9 .. .. 1+/x
1+/2x
( 1 + / S J ) ^ - ( 1 + / 3 E ) - ( 1 + / 7 ) f - ( 1 + / 2 l )Solución. y 1 = ---------------------------------- - (D9)
( 1 + / H ) 2(1+/2Í)(0 + — ) (1+/í)(0 + — )
2 / 7 2 / 2 7
(1+/2x)2
(1+/2x) (1+/x)/2 _ 1/2
2 / 7 ( 1 + / 2 7 ) 2 2 / 7 ( 1 + / 2 7 ) :
1 3/57
1 + 3/2J
(Bi.a)
(1+3/27)S(13/27) (13/27)£(1+3/2Í)Solución. y' = --------------- ---- — -------------- - “ (Ds)
(1+3/27)2
/ = ) (1 ----- ,-----3.3/ o E P _____________3. 3/(2x)2. (1 + 3/2x ) ( ---2_ „ ) (1 3/2x) (---^ = 0
(1 + 3/2x )2
-2(1 + 3/2x ) - 2(1-3/2x ) _______^
3 3/4x2 (1 + 3/5x) 2 3 3/4x2 ( 1 + 3/5x)2
4(12/x)3
/7
E U u = ( ^ ) m
loción. u' = m( ^ ) n * 1
(~ (lv)(1) v(01)l _
' 1_v L (1-v)2 J "
r m y = — 2-----(x2x+1)2
..ra 1
(1v)m+1
' lución. y = 2(x2x+1)2 y 1 = 2(2) (x2x+1)“ 3 ( x 2x+1)
= -4(x 2-x +1)"3(2x1)
= ¿(2x1)
(x2x+1)3
Polución, y = (a2x2)*1/'2 y 1 = |( a2x2)'xf 2 f^(a2x2)
= ;|(a2x2)~3/2 (2x)
= a/nV 1 +
/ u
1+x2
elución. y = (1+x2)"1/3 >• y' = ~(1+x2 ) ~ 11/3 'fjO+x2)
270 Capítulo 3: Derivadas
y' = 4(1+xi)"*/5(2x) --------,2X ---y 3V 3 3 / ( 1 + x 2 ) -
y =1
/1-X- -X8
Solución. y = (l-x'-x8)'1^2
y = - 2
12
1+x
y =
* = - (1-x"-x8)-3/í|^(1-x--xe)
- ¿(1- x,*-x8)'3/2(0-4x3-8x7) = 2/X^ 1!?---p-:¿ ' /(1-x“-x8)3
( d 6 )
•)Vi/»2 : Dife ren cia ción de func ion es 271
donde: y 1 = ------- ---- - — ---------- — 3(2x -1)‘,/3 2(x 2 + 2)7/‘
u(x) = (x2+x+2)3^2, hallar u'(1).
■ /ución. u'(x) = |(x2+x+2) 1/l<2 (2x+1) (D6)
*■ u 1 (1) = J(1+1+2)i/2(2+1) = 9
B Q *<*> = vfrr
'•••¿ución. y = (x+1) l/2(x1)‘ l/2
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Solución. y = (1+x)(1-x)~
+ y' = (1+x)C- 4(1-x)'3/2(-1)] + (1-x)*l/2(0+1 ) (D7)
= (1+x)[|(1-x)-3/2]+ (1-x)’1/2
- * (1-x)] - p f c íx):
/x2+a2
Solución. y = x2(x2+a2)"l¡2
u =
' = x2[- |(x2 + a2r 3/2(2x)] + (x2+a2)*1/2(2x) (D7)
= x2[-x(x2+a2)-3/2] + (x2+a2)‘l/2(2x)
= x(x2 + a2 )” 3/2 [*x2+2(x2+a2 )] - x(x +2&v (x2+a2)3
1
Solución
v - /a2+v2
ión. Racionalizando el denominador de la función obtenemos
+ u. = . ± [1 +a2 2/a2+v2
u = — — (v + /a2+v2)9
* u' i F i + - £ — 1
a2L 2/a2+v2J
v + /a2+v2
a2/!2^
3/1*Solución. y = (2x-1) 1 / 3 + 5(x2+2)
y' = - (2x-1)“ ‘/3(2) + 5(- ■2)(x2 + 2)‘7/,,(2x) (De)
¿ y ( ) / ( ) /
y' = (x + 1) 1/2 !: ¿( x 1) 3/2] + (x 1)"l/2 [l(x+1)l/2J
= |(xl)'3/2(x + 1)l/2 [:(x+1) + (x1)J
y 1 (2 ) J __ = . Ü./(x1)3./x+T (1)(/3) 3
i t M 1 (x) = 7 1~x , hallar y ’(0)" 1+x2
'•«¿ución. y(x) = ( 1x2 ) l//2 (1 +x2 ) ”l^2
y 1 (x) = (1x2)x/2 C ^(1+x 2)-3/2(2x )] +
+ (1+x2)l/2 [|(1x2)l/2 (2x)]
= x(1+x2)_3/2(1x2)l/2[(lx2) + (1+x2)]
2x
/(1+x2)3(1x2)y 1 (0 )
2.2 F U N C I O N E S T R I G O N O M É T R I C A S
REGLAS DE VARIACIÓN. Si u=f(x) es una función derivable con
respecto a la variable x, entonces se cum
¡ilen las siguientes reglas de derivación:
I D er iv ad a de l a fu n c ió n se no
Si y=Senu ^(Senu) = Cosu ( )
K’mostración., En efecto, según la definición de derivada:
272 Capítulo 3: Derivadas
dv f(u+Au)f(u) Sen(u+Au) Senur*4” = lim ------------ lim -----------------au Au+O Au Au+O Au
Senu.CosAu + Cosu.SenAu Senu= liraAu+O Au
SenAu.Cosu Senu(1CosAu)= limAu+O Au
= lim (S6nAU)Cosu _ lim (1~C°i*¿u) = (1)Cosu (O)SenuAu+O üu Au+O au
dv / dv dv du+ = Cosu , pero, según D10b: ^
|^(Senu) = Cosu (|^)
■iion 2: Diferenciación de funciones 273
l . : Derivada de la función Cosecante
^ \ — - U O l iU t u O t ^ U l d XSi y=Cscu + 4— (Cscu) = Cscu.Cotgu (4~)
PROBLEMAS RESUELTOS
En los ejercicios 517546 derivar las funciones que se in-
dican :
y = Senx + CosxS l ió S ú l l Ti T2 ti
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| (Senu) Cosu (| )
T 2 : D e r i v a d a d e l a f u n c i ó n c o s e n o
Si y=Cosu + ^(Cosu) = Senu ( ~)
de.rn.ostn.ac.ibn. En efecto:
•|j(Cosu) = |^[Sen(^ u)j = Cos(| u) |^(tj u)
= Cos(| u) • ( = Senu ( ~)
T3 : D e r i v a d a d e l a f u n c i ó n t a n g e n t e
Si y=Tanu + ^(T anu) = Sec2u (^)
Demostración, En efecto:
c Cosu 4(Senu) Senu 4— (Cosu)d n d íSenui . dx dxcS<Tanu> ïïx C o s u -------------- ^
Cosu.Cosu (•^~) + Senu.Senu (^~)
Cos2u
Cos2u + Sen2u /du\ _ 1 /duv
Cos2udx " Co s2 u dx
= Sec2u (^)
T , ; D e r i va d a d e l a f u n c i ó n c o t a n g e n t e
Si y=Cotgu + |^(Cotgu) = Csc2u (^
T 5 : D e r i v a d a d e l a f u n c i ó n S e c a n t e
^(Secu) = Secu.ia,.u VflxSi y=Secu + 4— (Secu) = Secu.Tanu (4 )
Solución. Según las reglas Ti y T2 se tiene:
y r = Cosx Senx
v = --- 2__* 1Cosx
Solución. Aplicando la regla D9 se tiene:
(1Cosx)^(x) x — (1Cosx)
(1Cosx)2
(1~0°SX)(1)x(0+Senx) _ 1CosxxSenx
(1Cosx)2 (1Cosx)2
Tanx
Solución. y'x ^j(Tanx) Tanx fj(x)
_ xSec2x Tanx x SenxCosx
(D,)
x Cos2x
n a p = <J>Sen<J) + Cos<t>
So¿ucíón» p 1 == (J) (Se mtO + Sen* J^U) + (Cosct) (D7)
= <í>Cos4> + Seni)) Sen* = <()Cos4)
Senx , xz = ----+ 7;----x Cosx
Solución. z1 = x 4(Senx) Senx 4(x) Senx(1) x(Senx)'Se n 2 x
xCosx Senx + Senx xCosx
(xCosxSenx)(
Sen x
1 X
274 Capítulo 3: Derivadas
Solución. s'
Sent1+Cost
(1+Cost) ^(Sent) Sent ^(1+Cost)
(1+Cost)2
_ (ncost)cost Sent(OSent) _ Cost+Cos2t+Sen2t
(1+Cost)2 (1+Cost)2
1+Cost _ 1
Senx + Cosx(Senx+Cosx)4^(x) x ^(Senx+Cosx)
'•ni ' Dife ren ciac ión de fun cio nes 275
Culi y = jTan’x Tanx + x
'■ tm-ión. y' = ^(3Tan2x)^(Tanx) Se c2x + 1
= (Tan2x)(Seo2x)Sec2x+1 = Tan2xSec2x(Sec2x1)
= Tan2xSec2x Tan2x = Tan2x(Sec2x1) = Tan2xTan2x
= Tan 'x
y = xSec2x Tanx
>. tildón, y' = X |^(Sec2x) + Sec2x f^(x) ^(Tanx)
(2S ) ^(S ) + S 2 S 2
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(Senx+Cosx)2
_ Senx+Cosxx(CosxSenx)
(Senx+Co sx)2
xSenx
So¿ución. y '
1+Tanx
(1+Tanx)^(xSenx) xSenx ^( 1+Tanx)
(1+Tanx)2
(1+Tanx)(xCosx+Senx) xSenxSec2x
(1+Tanx)2
y=Cos2x
So¿ución. y= (Cosx) 2 y 1 = 2Cosx ¿(Cosx) = 2Cosx(Senx)dx
2SenxCosx = Sen2x
y = ¿Tan'x
Solución. y = j(Tanx)“ + y ' = |(Tanx)3 ¿^(Tanx) = Tan3xSec2x
y = Cosx ^Cos3x
Salación. y' = ¿^(Cosx) Cos2x |^(Cosx) = SenxCos2x(Senx)
= Senx + Cos2xSenx = Senx(1Cos2x)
= Senx(Sen2x) = Sen3x
y = 3Sen2x Sen3x
Solución. y 1 =3(2)Senx “ (Senx) 3Sen2x ¿^(Senx)
= 6SenxCosx 3Sen2xCosx = ijSen2x(2Senx)
= x(2Seox) ^(Secx) + Sec2x Sec2x
= 2xSecxTanxSecx = 2xSec2xTanx
1 y = Sec2x + Csc2x
'•••tildón. y' = 2Secx ¿^(Secx) + 2Cscx g (Cscx)
= 2Seox(SeexTanx) + 2Cscx(CscxCotgx)
= 2Sec2xTanx 2Csc2xCotgx = ^Senx — 2SenxCos3x Sen3x
_ 2(Sen1|x Cos^x) _ 2(Sen2x+Cos2x) (Sen2xCos2x)
Sen3xCos3x (1/8)(2SenxCosx)3_ 16(1) (Cos2x) _ _ 1'6Cos2x
(Sen2x)3 Sen32x
na y = Sen3x
a, fución. y' = Cos3x ^(3 x) = 3Cos3x
1frEl y = aCos(^)
■■■/ución. y' = aSen(|) ^jj( ) = |Sen(|)
IK^j y = 3Sen(3x+5)
■ ■ (ución. y' = 3Cos(3x+5) |^(3x+5) = 9Cos(3x+5)
Ifr£l y = Tan(~)
'■ lución. y' = Sec2( |l) f ; ^ ) = Sec2(^)
IHj y = /l+2Tanx
276 Capítulo 3: Derivadas
(1+2Tanx)' _ O + 2Sec2x _ Sec2xSo ¿uc-LÓn. y* = — ,,,. — — — ---- - p = = ---
2/l+2Tanx 2/1+2Tanx /1+2Tanx
y = sen(^)
Soiuci'ón. y' = Cos(l) = “ ^"J^osC—)
y = Sen(Senx)
Salación. y' = Cos(Senx) |^(Senx) = Cos(Senx).Cosx
y = Cos34.xSolución. y' = 3Cos2¿x |j(Cos¿x) = 3Cos24x(Sen¿x) f^ Ux )
/ r>/» 2: Diferenciación de funciones 277
E 3 y = Cos (Í^|)1+/x
i of lición. y' = 2Co s( !^) |C os( I^) (D6)1+/x ax 1+/x
= 2Cos(.ll^) fSeníl^) |(l^í)l • (T2)1+/x L 1+/3c QX 1+/x J
. y. = ■2Sen(l^)Cofl (^)p ,n^ ).(1~ ^ V .rl1,,? M l ^ ,"|1+/x 1+/x L (1+/x)2 J
= ■S en 2(l^ i) r(l+/x)(.1./2<x) (1 ^H V2/x)| (D }
1+/Í L (1+/Í)2 J
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y ¿ |j( ¿ ) ( ¿ ) )
= 12Sen4xCos24x
y = /Tan(x/2)
. [Tan(x/2)]' _ Sec (2) d^(2} = Sec2 (x/2)S O C . LL C . 4 . 0 f ) . t V —- r *"T>//\
2/Tan(x/2) 2/Tan(x/2) ¿/Tan(x/2)
y = Sen/l+x2
Solución. y' = Cos/T+x^ (/í+x2) = Co s/l +x2 ( )
xCos/l+x2
/T+P'
y = Cotg( 3/l+x2)
Solución. y' = Csc2;(3/l+T2) |^( 3/l+x2 )
,.,77— 7, 0 + 2x 2xC se2 (3/l +x2).= Cscz (3/1+x'! 1---------- = — ---------- —
33/( 1+x2j 2 3 3/( 1+x2 )2
y = (1+Sen2x)lt
So ¿ución. y' = 4 (1 +Sen2x) 3 — (1+Sen2xj = 4( 1+Sen2x) 3 (2SenxCosx)
= 4.(1+Sen2x) 3Sen2x
|¡2J y = /í+Tan(x + ^)
[1+Tan(x + 1)]' Sec2 (x + ■£) |(x + j)So ¿ación. y' = X— = ---- X flX
2/l+Tan(x+ 1/x) 2/l+Tan(x+ 1/x)
Sec2(x+ 1/x)(1 1/x2) _ (x21)Sec2 (x+ 1/x)
2/1 +Tan(x+ 1/xj 2x2/l+Tan(x+ 1/x)
= Sen2(1 ^ x.)r~'l~>/x~1't'!/x| = ----1---- Sen2(l^)1+/x l.2/x(1+/x)2J /x (1+/x )2 1+/x
C U y = Sen2(Cos3x)
§•■ tur i ón. y' = 2Sen(Cos3x) ^ Sen(Cos3x) (D6)
= 2Sen(Cos3x).Cos(Cos3x) í^(Cos3x) (Ti)
= Sen(2Cos3x).(3Sen3x) = 3Sen3x.Sen(2Cos3x)
ca Deducir las fórmulas:
(1) (Sennx.Cosnx) ' = nSen11" 1x. Cos (n+1 )x
(2) (Sennx. Sennx) 1 = nSenn~1x.Sen(n+1)x
(3) (Cosnx. Sennx) 1 = nCos11" 1x. Cos (n+1 )x
(4) (Cosnx.Cosnx)1 = nCosn"lx.Sen(n+1)x
#i i'u, /ón. (1) Sea y = Sennx.Cosnx
y 1 = Senn_1x |^(Cosnx) + Cosnx^(Sennx) (D7)
= Sennx(nSennx) + Cosnx(nSenn~1xCosnx)
= nSennxSennx + nSen11" CosxCosnx
= nSenn_1x(CosnxCosx SennxSenx)
= nSenn‘1x.Cos(nx+n) = nSen111. Cos (n+1 )x
i 1 "■>n: y = Sennx.Sennx
► y' = sennx |^(Sennx) + Sennx |^(Sennx) (D7)
A
278 Capítulo 3: Derivadas
+ y ! = Sennx(nCosnx) + Sennx (nSenn"'x. Cosx)
= nSennx.Cosnx + nSennx. Sen11"'x. Cosx
= nSenn_1x(Sennx.Cosx + Senx.Cosnx)
= nSenn_^x.Sen(nx+x) = nSen11" "'x. Sen (n + 1 )x
(3) Sea: y = Cosnx.Sennx
y 1 = Cosnx “ (Sennx) + Sennx ^( Co snx)
= Cosnx(nCosnx) + Sennx[nCos111x(Senx)]
= nCosn_1x.Cosnx nSennx. Co sn~ "'x.Senx
11 ' ( )
.. ......... ’ / diferenciación de funciones 279
l'rnio que: Cosy>0 , ¥y e<7r/2, tt/2> *■ Cosy = /lSen 2y = /íu2
''""8°. en (1): = = =/1u
, i'<>r la regla de la cadena: = (|) (| )
doduce que: ^(a rcS enu) = ■ — . (g ) , |u |<1
Ali Hi rivada de la función arco coseno
I uf(x) es una función derivable, tal que.|u|<1, y si
y nrcCosu , entonces:
d r(arcCosu) = |u |<1
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= nCos11 'x (Cosnx. Cosx Sennx.Senx)
= nCos11"'x. Cos (nx+x ) = neos11 x.Cos(n+1)x
(4) Sea: y = Cosnx.Cosnx
* y 1 .= Cosnx í^(Cosnx) + Cosnx ~(Cosnx)
= Cosnx (nSennx) + Cosnx [nCosn~ "'x (Senx)]
= nCosnx.Cosnx nSennx.Cos11 x.Senx
= nCosn~^x(Cosnx.Cosx Sennx.Senx)
= nCosn" ”*x. Co s (nx+x ) .= nCos11^x. Co s (n+1 )x
2.3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
REGLA DE DERIVACIÓN
A Derivada de la función arco seno
Si u=f(x) es una función derivable, tal que: Iu |<1 y si
y=arcSenu, entonces:
(arcSenu) = — (4^)dx /1u2 dx
De.mo.6t/Lact6ri. En efecto, si y = arcSenu + u=Seny , ye<ir/2,
Derivando respecto de y se tiene:
— = Cosv àx = — 2 (1)dy Uosy du Cosy Vu
tt / 2>
d r(arcCosu) = , |u |<1dx
*♦> Orrivada de la función arco tangente
^(arcTa nu) = _ L _ ( H)dx 1+u2 dx
As Hirlvada de la función arco Cotangente
■^(arcCotgu) _L_ (lü) ' Wv }1 +u
h-,* Hirivada de la función arco secante
■j— (arcSecu) = --—= = dX u/u2l
1 /du. i l ,(dl) ’ ¡“l*1
U Urrivada de la función arco cosecante
•j— (arcCscu) = --- vj•dx u / ^ 7 d*
EJERCICIOS RESUELTOS
En los ejercicios 548572 derivar las funciones que se in-
dican.
23 y = xarcSenx
i'.'i ¿6n. y ' = x ^j(arcSenx) + arcSenx *j (x)
/lx2+ arcSenx
(D7)
(Ai)
280 Capitulo 3: Derivadas
_ arcSenxy ” arcCosx
arcCosx(arcSenx)1 arcSenx(arcCosx)1
(arcCosx) 'Solución. y' = -------r „ >2
a r c C o s x ) arcSenx( ■ — = _______________________ Z l Ü L ( A l
(arcCosx)2
arcCosx + arcSenx ^ j )
/lx2(arcCosx)2
Probaremos que: arcSenu + arcCosu = ^
En efecto, si Sen(| x) = u <+ § x = arcSenu
(D,)
y Ai)
n ’ Diferenciación de funciones 281
| | S i H ión. y' = xSenx(arcTanx)* + xarcTanx(Senx) ' +
+Senx.arcTanx(x)'
= xSenx(~Jxi) + xarcTanx(Cosx) + Senx.arcTanx
_ _£Senx + x>arcTanx.Cosx + Senx.arcTanx1+xa
I d y _ arcCosx
y' = x(arcCosx) ' arcCosx(x)1 (D^
= x (1//l~x* arcCosx x + /T^x2arcCosx
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Pero Sen(^ x) = Cosx * Cosx = u *>■ x = arcCosu
Sumando miembro a miembro estas igualdades obtenemos:
arcSenu + arcCosu =
Por tanto, en (1)2/1x2(arcCosx)2
y = (arcSenx)2
So ¿ución. y' = 2(arcSenx) |j(arcSenx)
. 1 > d / í 2( arcSenx)= 2 (a rc Se nx )( = ) ^( x) = _ S— =
HE TB y = xarcSenx + /1x2
Solución. y' = x |^(arcSenx) + arcSenx §^(x) +
r) + arcSenx + — ?x.— (Ai y1= x I , T a r U O c I I A T -- —
/ Ñ 7 2 2/Ì3X2
= arcSenx
■5T 1 = 1K££ÍS y arcSenx
Solución. y* = ------ ------ ^(arcSenx)(arcSenx)2
1
/lx2(arcSenx)2
(Ds)
(A j
(D,)
D x ia)
(De)
553 y = xSenxarcTanx
x ( 1//l x arcCosx _ _ x + /T x2arcCosx
x2 x2 /lx2
d i y = arcTanx
tutu, ión. y ' = /x |^(arcTanx) + arcTanx ^fj(/x) (d7)
= /x(‘i+ 72) + arcTanx(— L) (Aj y Diia)2/x
_ /x + arcTanx
1+x2 2/x
c u y = (arcCosx + arcSenx)n
ración. Dado que: arcSenx + arcCosx = j (Ver ejercicio 549)
Entonces: y' = (■j)11 •* y'=0
j 1ÍÁ y = arcSecx Rp. y 1 = — 1x/x21
ÍIi1 y = arcTanx
>■ tuciin. y' = Q + x 2)(x)' x(1+x2)' _ __1_
(1+X2 ) 2 1+x2
= (1+X2)(1) x(2x) _ 1 = _ 2x 2
(1+x2 ) 2 1+x 2 (1+x2 ) 2
IT T 1 y =/ 1x2 _
' "•ución. y' /i x2(arcSenx)1 arcSenx(/lx2)1
(/Ü72)2 (Ds)
282 Capitulo 3: Derivadas
/1xz(7==r) arcSenx( V— %) ,----- r/lx2 _____2/1x _ /1x2 + xarcSenx
(1x2) /V¡x2) 3
" arcTanx
. . . . . arcTanx(x2)1 x2(arcTanx)*Solución. y 1 = ■ -- —— -----
(arcTanx)
2xarcTanx - x2 ('-f+x2) 2x x2
(arcTanx)2 arcTanx (1+x2)(arcTgx)2
KjiJ y = arcSen(x-l)
St •""i Diferenciación de funciones 283
y = 2a rc Ta n( l/ x) [ ^] ^( i) (Aj)
= 2arcTan( 1/x) (._*L_)(— L ) = 2arcTan(1/x)X2 +1 x2 1+x2
K m y = 1 (arcCosx)2
.fu,-Un. Según D a: y' = = 2arcCosx(arcCosx)'2/1(arcCosx)2 2/1(arcCosx)2
arcCosx (-- — ■— )+ yt ______________ /lx2 . _ _____arcCosx
/1(arcCosx)2 /Í- x 2/1(arcCosx)2
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Solución. y' = ■ . I>x'1.?-W = .— L^r (Ai)-------- /1(X1)2 /2xx2
y =arcCos ( 1|)/3
y' = - 7 7 T ¿ T J 7 f e 1( = 1) (Az)
* " /3
_/3_____ (_2) = . /g ■
/3(2x1)2 /3 /l+2x2x2
Kj cJ y = arcTanx2
(y2 So¿uc¿6n, Según A3: y 1 = -------- = ------------- 1+(x2)2 1+x“
ü i l y = arcSen()
Solución. Según Ai : y' = — p======= . ===• ( - 72 )/i (2/x ) 2 A H Ü x
/ x2
(.£_)/x 2~4 |X|2 |x|/x24
J Ü J y = arcSen(Senx)
„ , „ , (Senx)' Cosx CosxSolución. Según Aj: y' = — = -7 :.r_ ---------------/I(Senx)2 /Co s2x |Cosx|
y = arcTan2(1/x)
Solución. y 1 = 2arcTan(1/x) J^arcTan (1/x )J (D3)
ti! j y = arcSen(/j^J)
¿> f''ri6n. Según Ai: y' = ----j-----
/ ' - í / M ) ’
= Si+x _ . /1+x f(1+x)(1) (1x) (1)1
/(1+x)(1x) 2/üx L (1+x)2 J
= 1+x j~1x1+x~| _ 1
L d+x)2J2 /2x /1x L (1+x )2J (1+x) /2 x(1x)
1 í'I'i y = | 11/arcSen ( /x2+2x)
Iv/i<£¿á5. Según Di ib: y' = ---- 1 .. ■ (st- ^ / y ^ P y )'
8 ‘‘S ’ arcSen/x2+2x)3
y' = --------y 1 ___ = r 1 = r - ( / x 2 + 2 x ) ' ( A j )
8 lf/(arcSen/x2 + 2x) V1( /x2+2x)2
= 1 ___________r 2x + 2 [
8 ^/í arcSen/x2 + 2x) 3 /l2xx2 *2/x2+2xJ
_ ___________ x+1
8 */'arcSen/x2 + 2x)"3 ./(12xx2)(x2 + 2x)
rYTl y = arc Sen (SgaSi. q x }'lCosa.Cosx'
’ f'“ ¿ón.. Según Ai se tiene:
284 Capitulo 3: Derivadas
1 Id / Sena. Senx i”] n\y' = ■:---- = l'dx 1Cosa.Cosx U '
,/1_/ Sena. Senx v2 l J* 1Cosa.Cosx
d / Sena.Senx x _ (ICosa..Cosx) (Sena.Senx) (SenaSenx)(1CosgCx) '
dx 1Cosa.Cosx ( 1CosaCosx)2
(1CosaCo sx)(SenaCosx)(SenaSenx)(CosaSenx)
(1CosaCosx)2
SenaCosx SenaCosaSos2x SenaCosaSen2x
» . (1Cos Cosx)2
SenaCosx SenaCosa(Cos2x+Sen2x)
(1CosaCosx)2
Sena(CosxCo sa)
'ni 1 I mi Dife ren cia ció n de func ion es 285
/( 111 IiiIobx) 2(b+aCosx) 2 = /(a2b2)(a2b2)Cos2x
= /(a2b2)(1Cos2x) = /(a2b2)Sen2x
= i/a2b2 |Senx j (3)
Anni, t tuyendo (2) y (3) en (1), se tiene:
la+bCor* = bCo sx i j~ (a2b2 )Senx~j _ a2b2
s2|Senx|[_ (a+bCosx)2J | a+bCosx |/ I ^ b 2
I ti'É y = arcTan(x/l+x2)
1 (m-ión. Según A 3: y 1 = ----- \___ |4(x/l+x2 )11+ (x -/1 +x 2) 2Ldx J!)¡
si Senx>0
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Luego, en (1) : y 1 =
y '
(1CosaCosx)2
_______ l 1CosaCosx |______
V ( 1CosaCosx)2Sen2aSen2x
________Sena(Cosx-Cosa) [Sena(Cosx-Cosa)
(1-CosaCosx)2 J
1-CosaCosx|/l-2CosaCosx+Cos2aCos2x-(1-Cos2a)(1-Cos2x)
_______ Sena(CosxCosa)_____ _ ____ Sena(CosxCosa)____
|1CosaCosx|/(CosxCosa)2 |lCosaCosx||CosxCosa|
-n i SenaSi Cosx>Cosa *■ y1 = --------------|1CosaCosx|
. __ SenaSi Cosx<Co3a
I 1Co saCo sx
/b+aCosxvy = arcCos(rvñ— •)a+bCosx
Solución, Según A2 : y ’
/, /b+aCosXy2
'ft+hfioñx' [d >b+aCosX'1dx a+bCo sx J
(1)
'a+bCosx
. _ __I a+bCosx|____ fd/b+aCosxri y “ r .—“TT----- rj— . ’7------ Táldx a+bCosx ■'I
/(a+b Cos x) (b+aCosx) L J
d /b+aCosX' _ (a+bCosx)(b+aCosx)1 (b+aCosx)(a+bCosx)1dx a+bCosx (a+bCosx)2
(a+bCosx)(aSenx) (b+aCosx)(bSenx)
(a+bCo sx)2
. (á2b2)Senx
(a+bCosx)2
;(1--- M=r)2 (1+X2) 2x/l+x2 2/ 1 +x2
1 r/i+x2xi ___ 1
ll /1 +x2J 2(1 +2/1+x2(/1+x2x)I (1+x2)
Ü.4 FUNCIONES LOGARITMICAS
MINCIÓN LOGARITMO NEPERIANO La función logaritmo neperiano es
aquella cuya base es el número
1. .’.718..., definida por:
f :R+*R/y=lnx
i!nmo se puede observar sn la figura
ii.IJunta, la función logaritmo es in
,. l.iva y creciente ■¥x e < 0 , + “» . Ade
w/Sb :
i) lia f(x) = +“x*■+»>
ii) lim f(x) = o»x+0
DI KIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO
1 u=f(x) es una función derivable, ¥xe<0,+“> y si y=lnu, enton
286 Capítulo 3: Derivadas
Demostración. En efecto, según la definición de derivada se tie
n6' i¿/U+AU)= lim f(u+^u)f(u) = lim ln(u+Au)lnu „ lin ---u _
du A u+0 Au
A U+ 0
1 = 1 u u
Por la regla de
Au+0 Au
Lu+0
A u+0 Au
. ii. in d * mi li , (i * A , 1 * 0 U * - A u + 0 J
Entonces: d i , \( 1\duâj(lnu) = () ^ (Li)
■■ Ion ' Dife ren cia ción de las func ion es 287
I3 ZI y =
\ '• f n , /f i n .
E n y =
Imturión.
ln2x
y = (lnx)2 + y' = 2(lnx)|^(lnx) (Ds)
= 2 lnx(|) =^i|2L) (Li)
x(logx)
yI = x dx^loSx) + logx d ^ x) (D 7 )
' TñTO T TñTcT
1 + lnxln 10
/
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DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE BASE a
Si u=f(x) es una función derivable ¥xe<0,+”> y si y=logau, enton
^ ( l o g au) = (logae) (¿)
demostración. En efecto, si y=logau , entonces, por la propie-
dad: logbN = logba.logaN , se sigue que:
y = (log e)lnu
y según (Li): ^ = (! \ 1 du°^a u dx
o bien: dx(log u) = (loge) (1 ) fü (L.)
Pero cono: logae.lna = 1 + Hx ^loSau ^ ~ ^lna ^u dx (Lj)
EJERCICIOS RESUELTOS
En los ejercicios 5735.97 derivar las funciones que se indican,
y = x 2log3x
Solución. y 1 = x 2 (logjx)' + lo g3x (x2)' (D7)
= X 2 (j^3> 1 + log3x (2x )
= + 2xlog 3X
(La
C E D y =
I”tur ión.
na y = fu f u e i ón .
tu y =ón .
E 3 y
'i' loción.
t i l y =
i nfue ión.
/lnx
Según la regla Du a: y 1 = Ck5x ) ' = -- J__2 / 1 nx
x - 1log2x
lnxSegún la propiedad: log2x = f se tiene:
y = (f=J)ln2 + y' = In2 p nx(x1)* (xO(lnx)'l* (lnx)2 J(lnx):
+ y. = ^ ¿ 12 _ [ L >X _ (X_ 1 ) ( i ) ] = ( h 2Í 2Í E ? ) i n 2
(lnx)2 L X J x!n2X
xSenxlnx
y' = xSenx(lnx)* + xlnx(Senx)' + Senx.lnx(x)'
1= xSenx() + xlnx(Cosx) + Senx.lnx
= Senx + xlnx.Cosx + Senx.lnx
1Lnx
Según Ds: y' = inx^ ^(lnx)2 xln2x
lnx
x11
„1 _ xn(lnx) 1 lnx(xn )1 _ xn (1/x) lnx(nxn_1)
2 a 7 " -----------
xIl~1(1 nlnx) _ 1nlnx
x2n xn+1
288 Capítulo 3: Derivadas
1lnx1+lnx
Solución. y 1 =(1+lnx)(1lnx)1 (1lnx)(1+lnx)1
(1+lnx) 2
(1+lnx)(1/x) (1lnx)(1/x) _ _ 2_____
(1+lnx) 2 x(1+lnx) 2
y =lnx
1+x2
Solución. y' =(1+x2)(lnx) 1 - (lnx)(1+x2 ) 1
(1+x2)2
_ (1+x2)(1/x) - lnx(2x) _ 1+x2-2x2lnx
(1+x2)2 x(1+x2)2
(D,)
Sv '“'i Diferenciación de las funciones 289
y = ln(Tanx)
1,,/iH tón. Según (Li): y' = ('fanx^ (Tanx) 1 = (¿g^X)Sec2x
1 2Senx.Cosx Sen2x
c m y = ln(arcCos2x)•1
1,'furión. Según Li: y' = (arcCos2x^ arcCos2x^ ' '
= (----3---W _ --- §^arcCos2x / ].(2X )2
2_______/l4x2(arcCos2x)
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(1+x2)2 _ x(1+x2)2
Solución. y' = xn (lnx)• + lnx(xn)'
= xn (1/x) + lnx(nxn_1)
= xn~^(1+nlnx)
/l+ln2xy =
Solución. c * n i (1+In2x)' _ 0+2lnx(1/x)Según Dua: y' =— 5---- — = ----------- 5--
2 / 1 +ln2xlnx
2/l+ln2x
(D,)
(Lj y D,)
x/ 1+ln2x
E 9 y = ln ( 1 2x)
Solución. Según Li: y' = (~_~g~ ) = (“ 2 x ^ “2 ^ = 2x^1
y = ln(x2¿x)
Solución. Según Li: y ’ = (-- ---) 4— (x22x) = |2x x 22 x x 24x
In(Senx)
Según La: y' = ^(Senx) = (si^)Cosx = Cotgx
lo g3 (x21 )
Según L3: y' = (5^) (^y^j) (x21)' = --------
B£Xf y =
S olución.
« j p i y =
Solución,(xz1 )ln3
IT Tl y = lnSenx
h fin ión, y = (lnSenx)1* *• y 1 = 4(lnSenx)5 (InSenx)1 (De)
y' = 4 ln ’Senx[(g^^ ) (Senx)'J (La)
= 4 ln3Senx(¿'1' )Cosx = 4Cotgx(ln3Senx)O 071X
y = arcTan fin (ax+b)J
fiirión. Según A 3 : y' = ----- ------ [lníax+bíj11+ln2 (ax+b)
1----- (— Ir;) (ax+b)' ----- ” y _ y J yo.-A. r uy —
1+ln2 (ax+b) ax (ax+b) |/l+ln2 (ax+b)J
i m y = (1+lnSenx)n
Ii'fución, y 1 = n(1+lnSenx)n ”^(1+lnSenx)1 (Ds)
= n(1+lnSenx)n_1 [o+(g^^) (Senx)'J (Li)
= n(1+lnSenx)n~^Cotgx
ca y- log 1 (íog3(log5x)]
''• fución. Sean: u=logsx , v=log3u , y=log2v
Derivando cada una de estas funciones, según L3 se
tiene:
= (Tn 5^ x^ ; du = : dv = (1^ 2^ v^
t I» regla de la cadena: = (ii) (ii) (|£)
290 Capítulo 3: Derivadas
* v' = PTí'ln2' v ln3 u ln5 x ” xu v' vln2 .In3.1n5
_________________ 1_______________
xlog2x.log3 (logsx).(In2.ln3.ln5)
R?E1 y = ln(arcTan/l+x2)
Solución. y 1 = (-----1 ----)(arcTan/l+x2)1 _(Li)arcTan/1+x2
= (----- 1, _.) --- 1 ... (/ ñT 2)' (A,)arcTan/1+x2 1+(/l+x2 ) 2
= --------- ---- (— yz..") (Dxia)(2+x2 )(arcTan/l+x2 ) 2/1+x2
¿t ■. u ’ii Diferen ciació n de las funcio nes 291
; 'i FUNCIONES EXPONENCIALES
FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE e. La función exponencial de base e
es aquella función definida por
la regla:
f:R+R+/y=ex
"iiyu liominio es R y rango, <0,+“>,
un Inyectiva y creciente VxeR.
A ■t < • tu A n se cumple:
i) lim f(x) = +“x++
ii) lim f(x) = » x
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(2+x2)/l+x2 (arcTan/1 +x2)
y = arcSen2 [ln(a3+x 3)J
Solución. y 1 = 2areSen fin (a 3+x 3 )] í^[arcSenln(a3+x3)J (De)
= 2arcSenln(a3+x3) ¡""— .. ^ ----- 4— ln( a3+x3)~]• L /lln2(a3+x3) dx . J
= 2areSenln(a3+x3) f~~7 ~~= (— — — )1 (Li)
L /lln2(a3+x3) a3+x3 J6x2arcSenln(a3+x3)
(a3+x 3)/l ln2(a3+x3)
^ ^ 3 y = 3/lnSen (^^)
So ¿lición, y
3 / ln2Sen(2£Í¿ )
■flnSení2 ) (Dn b)
------- — pr 4—Sen(^r^) (Li)
3 yin*S .n(^i 2) S"
Cotg(^P)
ii) lim f(x) » xx+“
OI KIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a.
ni nf(x) es una fynción derivable y si y=au, entonces:
^ < a U) = au(lna) (Ei)
l>, mo4¿/iación. En efecto, si y=au Iny = ulna
Derivando respecto a u: (~)^j = lna= ylna = aulna
l‘"i la regla de la cadena: = (jj£) (|)
/. ^ ( a u) = au(lna)(£)
DI RIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE e.
nl «n la fórmula Ei hacemos a=e + lne=1
(E2)
los ejercicios 598633 derivar las funciones que se indican:
x■TTil y 2
i'ución. Según Ei! y1 = 2x (ln2)(x)' = 2xln2
292 Capítulo 3: Derivadas
« * 1 y = 10*
Solución. Según Er: y' = 10x (ln10)(x)1 = 10x(ln10)
y = “x3
ln3Solución, y = 3~ • + y* = 3” (ln3)(x)f____ 3
C H S y = - f ¿x
Solución. y = x(4~x) y 1 = x(4 X) ' + 4 X (x)'
= xE4'x (ln4)(x)’] + 4'x
X 1X= x U “*)ln4. +' = U
(Ei)
(D,.)
(Ei y D2)
(1xln4)
nm 2: Diferenciación de las funciones 293
\ *'f uc ¿ón.
m i y =
' ■■(ución.
C U y =
y, _ Senx(ex )' ex (Senx)' _ Senx(ex) ex(Cosx)
(Senx)2 Sen2x
Sen 2x
Cosx
e (SenxCosx)
y = e”xCosx y ’ = e_x(Cosx)' + Cosx(e~x )
= e“x (Senx) + Cosx(e_x)
= ex(Senx+Cosx)
^x/lnx
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y = x(10x )
Solución. y1 = x(10X )’ + 10x (x)'
x(10 ln10) + 10x = 10 (1+xln10)
y = xe
Solución. y 1 = x (eX)' + eX (x)f
= xex + ex = ex (x+l)
Solución. y = xe”x y 1 = x(ex)' + e_x(x)'
:(e'x)(1) +
y =x 3+2x
Solución. y = (x3+2x)ex *• y 1 = (x 3+2x) (e_ x) 1 + e"
* y 1 = (x3+2x )[e X(x)'] + e~x [3x2+2xln2j
= ex[3x2x32x (1ln2)'J
y = exCosx
Solución. y' = ex(Cosx)' + Cosx(ex )'
= ex(Senx) + Cosx(ex ) = ex(CosxSenx)
(D,)
(Ei)
(D7)
(e 2)
(d 7)
(e 2)
X (x3+2X) '
(E2 y Ei)
i >■(ución,
U B I y =
! .C / (5/¡.
n a y =
í i*fue ión.
IXE I y =
i»» < (5n
G O y =
ft iión.
K m y =
í m(uc. ión.
Según E i: y' = 2x/lnx(ln2) í ^ ) '
_ 2x/lnx (in2) pnx ~ x(1/x)IL lnJx J
5x/lnx
i ¿ * r < l n x - 1)ln2
x 33x
y i = 3x23x(ln3)
Según Di ja: y 1 = liíü
(D9)
2/l +ex 2/1 +ex
(x 22x+3) ex
y 1 = (x22x+3)(ex)1 + ex (x22x+3)' (D7)
= (x22x+3)ex + ex(2x2) = ex(x2+1)
v' (1e )(1+e )' (1 + e )(1e )1 (D9)
(1ex)2
(1ex)(ex) (1+ex)(ex) _ 2ex
(1ex) 2 (1ex)2
1 - Í 0 X
y t = ( H ~ 1 0 ) ( 1 1 0 ) 1 - ( 1 1 0 ) 0 + 1 0 ) ' ( D s )
( 1 + 1 0 x ) 2
294 Capítulo 3: Derivadas
, _ (1 + 1Ox)(10xl n1 0) (110x )(10xln10) (Ei)
y " (1+10x)2
_ 10xln10 (1+10x+l10x ) _ _ 2.10xln10
(1+10x )2 (1+1ox)2
exy =
1+x2
y' = (^ x 2)(ex)' ex(1+x2V
(1+x2)2
(1+x2)ex ex (2x) _ eX (x1)2(1+x2)2 (1+x2)2
■1ii ■» 2: Diferenciación de las funciones 295
i11tildón.
H D y =
' 11tlición.
1ÍM y =
yi _ a^en x(ina)(Sen*x)' (Ei)
= aSen x (lna)(3Sen2x)(Senx)' (D6)
_ 3as©n x(jna )(sen2xcosx)
3arcSen2x
y, = earcSen2x(arcSen2x)' = earcSen2x(^ = l = )/i (2x)2
2earcSen2x
/ 1 - 4 x 2
3X2JX X
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y = xex (Cosx+Senx)
So¿u.c¿6n. y' = xex (Cosx+Senx) ' + x(Cosx+Senx)(ex )' +
ex(Cosx+Senx)(x)'
= xex (Senx+Cosx) + x(Cosx+Senx)ex + ex(Cosx+Senx)
= ex(2xCosx + Cosx + Senx)
liiri y = e‘x
Solución. y 1 = e x (x)' = e x .
E 3 y = i o2x" 3
Solución. Según Ei: y' = 102x'3(ln10)(2x3)' = 2.102x_3(ln10)
ft [.'* /x+1l i m y e
Solución. y' = e ^ f ^ M ) ’ = e/x?1 (— L = ) 2/x+1 2/xíí
y = Sen (2X)
Solución. y' = Cos(2X ).(2X)' = Cos(2X).(2xln2)
= 2x(ln2)Cos(2x)
.Senxr n w y = t
Solución. y' = 3SenX(ln3)(Senx)' = 3S®nX (ln3)Cosx
Sen’x( 2 £ J y = a
11 tildón.
n a y =
Ui Ilición.
t m y =
\ ttiuc ¿ón,
na y =i111 ni 1 ón.
l i l i y =
I«tni i6n.
y' = 23 (ln2)(3X)' = 23 (ln2)(3Xln3)
.X= 2 .3x(ln2)(ln3)
e/IS
y, = e ^ í / L ^ ) ' = e/rSx( ^ r) =2/1 nx 2x/lnx
Sen(ex2+3x2)
y' = Cos(ex2+3x2)(ex2 + 3x2)'
= Cos(ex2+3x'2)(ex2+3x'2)(x2+3x2)'
= Cos(ex2+3x2)(ex2+3x2)(2x+3)
101Sen“3x
yi = 101'Sen''3x(ln10)(1Sen‘,3x) ' (Ej)
= 101'Senl,3x(,4Sen33x)(Sen3x)' (D.)
= 4.101"Sen,,3x(ln10)(Sen33x)(Cos3x)(3)
= 12.101'Sen,,3x(ln10)(Sen33x.Cos3x)
p/ín(ax2+bx+c)
yl = e/ln(ax2 + bx+e)(^ - (7 x H bx + c)) ■
= e/ín(ax2+bx+c) [ln(ax2+bx+c)11
2/ln(axi+bx+o)
(E2)
296 Capitulo 3: Derivadas
eAn(ax2+bx+e) (ax2+bx+c) , = (2ax+b).e/ln(ax2+bx+c)
2/ln(ax2+bx+c) ax2+bx+c 2 (ax2 + bx + c) An( ax2+bx + c)
y = ln(Sen 3/arcTane )
Solución. Según (Li): y = (Sen 3/arcTane % »
Sen(3/arcTane^x)
y . . Cos( 3 rcTane^j (3/arcTane3x). (Tl)
Sen(3/arcTane3x)
= Cotg ( 3/arcTane3x) (arv.Ta.ne ) — (Djjb)
3 3/(arcTane^x)2
¿ i . 11, i» 2: Dife ren cia ció n d e l as f unc ione s 291
(D7)
(D, y Ei)
y.G FUNCIONES HIPERBÓLICAS
1,110 funciones hiperbólicas son funciones trascendentes que tieinn como regla, combinaciones de potencias de base e, tales como
Ji fución. y 1 = ax(xa)1 + xa (ax)'
= ax(axa_^) + xa (axlna)
= axxa (f + lna)
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= Cotg( s/arcTane^x) ---- 1r ... (— ) (A3)
3 3/(arcTane3x)2 1+6
(e3x)Cotg( 3y/arcTane^X)
(1+e^x)3/( arcTane3x)2
FST7V b2x21*1'! y = ae
Solución. y 1 = ae” b x (b2x2)' = 2ab2x(e b x
---- x2/a2y = x e
Solución. y' = x2(e”x )1 + ex (x2)1 ( D 7 )
= x2 (e“x2/a2)( |Í)' + ex2/a2(2x) (E.)
= x2ex2/a2(~|f) + ex2/a2(2x)
= f|(a2x2)ex2/a2
y = Ae"k xSen(tox+a)
1 2 . '2Solución. y' = Ae K x [Sen(oox + a)J 1 + Sen (cox+a). (Ae K x )1 (D7 )
= Ae~k x [Co s(wx+a). (tox + a)'3 + Sen(ux+a). Ae k x(k2)
= Ae~k x [ojCo s(lox+a)J + Sen(tox+a). (k2Ae A x )
= Ae_k x [a)Cos(tox+a) k 2Sen(u)x+a)J
y e"'x. Estas funciones son las siguientes:
il) l'unción Seno Hiperbólico. Es la funciónf:R*R, definida por
f (x) = Senhx = ^(ex e x)
(.') Función Coseno Hiperbólico. Es la función f:R+11, +<*», defi-
nida por:
f (x) = Coshx = ^(eX + e x )
A lagráfica de esta función se le denominacatenaria.
( i) Función Tangente Hiperbólica. Es la función f:R*<1,1>, defi
nida por:. T , Senhx ex e x
f(x) = Tanhx = ----- .= — --- — Coshx e +e
cuyo Dom(f) = R
y Ran(f)'= <1,1>
298 Capítulo 3: Der iva das
(¿O Función Cotangente Hiperbólica. Es la función definida por:
f(x) = Cotgx =Coshx ex+e x x xSenhx e e
cuyo Dom(f) = R{0}
y Ran(f) = R£1,ll
nida por:
f(x) = Sechx = X —XCoshx e +e
>»i ion 2: Diferenciación de las funciones 299
It . Senh2x = 2SenhxCoshx
I «: Cosh2x = Cosh 2x + Senh2x
i Senh(x) = Senhx
lio: Cosh(x) = Coshx
lii: Senhx + Senhy = 2Senh (^)Cosh
I1 2: Coshx + Coshy = 2Cosh (^i)Cosh ir— 1-)
l i j : S e n h ( -5f) = t —~ I i s = 2 S e n h 2x = C o s h 2 x - l
In: Cosh(i) = / Cos^ X 16: 2Cosh2x = Cosh2x+l
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Coshx e +e
cuyo Dom(f) = R
y Ran(f) = <0,l]
(6) Función Cosecante Hiperbólica. Es la función definida por.
1 2f(x) = Cschx =
Senhx exe x
>■ xcuyo Dom(f) = R{0}
v Ran(f) = R{0}
IDENTIDADES HIPERBÓLICAS considerarlo de interés, a conti-
nuación se da un cuadro de las más im
portantes identidades hiperbólicas, en donde se podrá observar
la analogía que existe con las identidades trigonométricas ele-
mentales. La verificación de las mismas se hace a base de las de
finiciones dadas para las funciones hiperbólicas, quedando éstas
como ejercicio para el lector.
Ij: Cosh 2x Senh 2x = 1I„:Senh(x±y)= SenhxCoshy±SenhyCoshx
I2: Sech 2x + Tanh2x = 1 Is:Cosh(x±y) = CoshxCoshy±SenhxSenhy
„ . , , Tanhx ± TanhyI 3 : Ctgh 2x Csch2x = 1 I 6 •' Tanh(x ± y) =.----- ----------
1 ± Tanhx.Tanhy
Ii?: (Senhx + Coshx)n = Senh(nx) + Cosh(nx)
DLRIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
i'rlvada de la función seno hiperbólico. Si u=f(x) es una fun-
ción derivable ey :;onhu, entonces:
His ^(Senhx) = Coshu (— )
iicmostn.ac.iin. En efecto,
fj(Senhu) = = ( ^ P ) ( ^ ) = Coshu (ff)
I.m:j derivadas de las otras funciones hiperbólicas se establecen
<ln la misma forma.
• I : j(Coshu) = Senhu ("j~)
111 = ^(Tanhu) = Sech2u ("^)
IU: — (Cotgu) = Csch 2u ( )
111 : ir(Sechu) = SechuTanhu (j )dx 'dx .
n‘: ^ ( Cschu) = CschuCotghu (~|~)
1
300 Capítulo 3: Derivadas
EJERCICIOS RESUELTOS
En los ejercicios 634649 derivar las funciones que se indican.
KC JI y = Senh 3x
Solución. y' = 3Senh2x(Senhx)1 = 3Senh2xCoshx (D, y H x)
E sQ y = ln^Coshx)
Solución. y' = - ) ( C o shx ) ' = ( ^ j ^ ) (Senhx)(L,yH2)
= Tanhx
y arcTan(Tanhx)
Si . . hm Diferenciación de las funciones 301
na y =lo fui- i ó n .
na y =' *■iución»
C 3 y =' nlución.
= eCosh2x(2Coshx)(Senhx) = eCosh2xSenh2x (H2 e I7)
Tanh(lnx)
y' = Sech2(Inx).(Inx)1 = Sech2 (lnx) (Hj y
xSenhxCoshx
y' = x(Senhx)' + Senhx(x)' (Coshx)'
= xCoshx + Senhx Senhx = xCoshx (Hi y H2)
“/(1+Tanh2x) 3
y = (1+Tanh2x) s/1' ♦ y' = |( 1 +Tanh2x)" l/"i 1+Tanh2x) '
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y arcTan(Tanhx)
Solución, y' = (---- — ) (Tanhx)' = (---- ---)Sech2x (A3 y H s)1+Tanh2x 1+Tanh2x
_ _____ 1_____ (_ _! _) Cosh2x
1 + Senh2x Cosh2x Cosh2x+Senh2x Cosh2x
Cosh2xr
= Sech2x (la)Cosh2x+Senh2x Cosh2x
y = Tanh(1x2)Solución. y' = Sech2(1x2).(1x2)' = 2xSech2(1x2) (H3)
y = Senh2x + Cosh2x
Solución. Por I8: y = Cosh2x ■+ y' = Senh2x (2x)' (H2)
= 2Senh2x
íC:, á y = Cosh( Senhx)
Solución. y1 = Senh(Senhx).(Senhx)' = Senh(Senhx)Coshx (H2)
y = /Co shx
. . . . , (Coshx) 1 Senhx ÍT. _ .. „ \
Solución. y 1 = — = — .. ID.na y H2)2/Coshx. 2/Co shx
m n cosh2xy = e
Solución. y' = eCosh2x(Cosh2x) 1 = eCosh2x(2Coshx)(Coshx)'
C U y =
' n/lición*
ca y =
'"/ución.
y' = |(1+Tanh2x)‘ ^"[^Tanhx íTanh x)'] (Ds)
= |( 1+Tanh 2x) ” 1/ 1* [2Tanhx (Se ch2x)] (H 3)
_ 3TanhxSech2x
2 */f+Tanh2x
|Tanh(|) gTanh3^)
y' = |sech2(§),(§)> £.3Tanh2(f).(Tanhf)' (H,yD,)
= |sech2 (§) |Tanh2(|) . Sech2(§).(¿)
= |sech2 (|) [lTanh2 (|)] = ¿Sech2 (§) [Sech2 (f)]
= jsechíf)
n/HTanhxy 1Tanhx
Pasando la Tanhx a Senhx y Coshx obtenemos:
y = = (CoshxSenhx)"V2/CoshxSenhx
y 1 = (CoshxSenhx)'3/2(CoshxSenhx)' (d 6)
= ^(CoshxSenhx)~ 3^2(SenhxCoshx)
= 4(CoshxSenhx)" 2= —■■■■ ^■2/Co shxSenhx
302Capítulo 3: Derivadas
m„ „ .i. i /2_ /1 +/2Tanhx\f? Tl y = Tanhx + l n t-- — ---- J
2 o i_/2Tanhx
Solución, y = Tanhx + ¿f|ln'1+/2Tanhxln(1/2íanhx)
1 , 2 /2 f/ 5Sec h2x /?Sech2x ~|y 1 jSech x ■ “ g[1+>/2Tanhx i/2Tanhx J
1 , /2 /Tro T 1/2Tanhx+U/?Tanhx 1
2Se0h X + Ӥ * /?SeCh X [(1+/2Tanhx)(1/?Tanhx)J
i r 1 1 1„ .2 r2(1Tanh2x)l
2S" h'*[1 * ,.2I„h“ J ' 5 "L 12T«nh>* J
Sech2r Seeh2x _ 1 r 1/Cosh2x
[l2Tanh2xJ Cosh2x _l 2Senh2x
Cosh2x
n i 11 2 : Dife ren cia ció n d é la s f unc ion es 303
¡1 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
fu los ejercicios 650666 derivar las funciones que se indican a
1 1 1 'rindo la regla de la derivación logarítmica.
r r a y = xx"
' ■tución. Aplicando logaritmos neperianos en ambos extremos se
x 2tiene: Iny = ln(x ) *■ Iny = x 2lnx
+ (Iny)1 = x2(lnx)< + (lnx)(x2)'
+ í ' = x 2( i ) + (lnx) ( 2x) *= x + 2x1 nx.2+ y ’ = xy (1+21nx) = x.xx (1+2lnx)
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.1 1Cosh2x(Cosh2x2Senh2x) (1+Senh2x)(1Senh2x)
1
1Senh‘*x
v = — Co sh2x + /xSenh2x•’ x
Solución. — (Cos2x)'+Cos2x(^)' + /x(Senh2x)1+Senh2x(/x)1X x
i(2Senh2x)+Cosh2x( ^ 2) + /x(2Cosh2x)+Senh2x(—
Senh2x — Cosh2x + 2/xGosh2x + 2^Senh2xx .. 2A
— 1— fx(4+/x)Senh2x + 2(2x2/71)Cosh2x]?v 2 L
)2/x
y = x2e Cschx
íán> y = x2e3x(Csehx)' + x2Cschx(e3x)' + e3xCschx(x2)'
= x 2e3x(CsohxCotghx) + x2Cschx (3e3x) + e33CCschx (2x)
= xe3xCsohx(xCotghx + 3x + 2)
xe3x r_„ Coshx + (3x+2)1
Senhx L Senhx >
3x
Senh2x[(3x +2)Senhx xCoshxj
.% y' = xx +^(1+2lnx)
ÍTTI y = x
\otución. Tomando logaritmos neperianos se tiene:
xIny = ln(xx ) *■ Iny = xxlnx
linrivando: = xx (lnx)' + lnx(xx)' = x.x (~) + lnx(xx )' (1)y x
il u = xx + Inu xlnx *■ — = x(lnx) 1 + lnx(x)' = T+lnx
+ u' = (xx) ' = xx (1+lnx)
l.migo, en ¿ + lnx xx (1+lnx) = xx (;; + lnx + ln2x)y x x
y' = xxX . xx ( l + lnx + ln2x)
w m y = (Senx)Cosx
'clución. Si y=(Senx)Cosx Iny = Cosx(lnSenx)
Derivando: ^ = Cosx(lnSenx)1 + InSenx(Cosx)1
= Cosx^Senx)(^enx)1 + lnSenx(Senx)
•1= Cosx(gnx)(Cosx) Senx.InSenx
•\ y 1 = (Senx)Co3X('~ggnX Senx.InSenx)
304 Capítulo 3: De riva das
w m y = (lnx)x
Sotación. Si y=(lnx)x + Iny = xln(lnx)
Derivando:^' = x[in(lnx)']' + ln(lnx).(x)'
= x(í ^) (l nx)' + In(lnx)
= x(l Í )(7 ) + ln <lnx > = TTx + ln<lnx>
y ' = (l n x ) x F ¿ + l n ( l nx ) J „
y= (x+1 )2,/x
So¿u.c¿6ri. Si y=(x+1)2//x lny = ~ ln(x+1)
D i d í [l ( +1)"j1 + l ( + 1) ( )'
. mu 2: Diferenciación de las funciones 305
U U y =
t Hfue i<3n.
i m y =
U C ¿<5/i.
11 r» i* 1 vando
xlnx
Si y = xlnx * lny = Inx.lnx = (inx)2
Derivando: JL = 2(lnx)(lnx)’ = 2(lnx)(—)y x
y' = 2xlnx(Í2 2 )X
(x +1 )3. 14
Tomando logaritmos neperianos se tiene:
lny = 3ln(x+1) + "|ln(x2) |ln{x3)
y' = J L + 1 « 2 _ 57x2-302x+361y x+T 4U2J * 5 (x3) 20(x+1)(x2)(x
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Derivando: í = ~ [ln (x +1)"j 1 + ln(x+1). (¿)'
y' = 2(x +1)2/xr— ----- Jln(x+1 )lLx(x+1) x2I
jj^^j y = x e Sen2x2
S o ¿ución, Si y = x 3ex Sen2x + lny = 31nx + x2lne + lnSen2>:
= 31nx + x2 +lnSen2x
. 1. 1Derivando: = 3(~) + 2x + (gen2x)(Sen2x)'
= ^ + 2x + 2Cotg2x
2y 1 = x2ex Sen2x(3 + 2x 2 + 2xCotg2x)
= _(x2)2.3AÍ 1
(x5)3
SoCución. Tomando logaritmos neperianos se tiene:
lny = 21n(x2) + ^ln(x+1) 31n(x5)
Derivando: X ’ = + - - ¿ jy
, = ( x - 2 ) 2 . 3/ x + l r 2x 22 2x- 2y'
(x5)3 I3(x2)(x+1)(x
2 (x2) (x2 + 11x+'l )
3(x5)‘,;3/(x+1)2
— 1c-5)J
n a y =
\ •fue ión ,
lier I vando :
1 0 3 y =
V ofue ión .
i1" 1v a n d o :
y
_ (x+l)3.“/ ^ f 5 7 x 2 - 3 0 2 x +3 6 1^ -j ~|
5/Tx-3)2 L20(x+1)(x2)(x3)J
= (x+1 )2(57x2.302x+361 )
20 -/ÜT2T1.V(x-3)7
>^cSenx/l ex
Tomando logaritmos neperianos se tiene:
lny = g|lnx + InSenx + ^ln(1ex )J
£ = i [ i + s - ¿ ^ x) +
y = |£ L + Gotgx e
2(1e )
0 r -a.*-1 —e P “ >-» u w a - ■■• i
2 L x 2(1 -ex)JxSenx /1 e I + Cctzx
Xe
/1arcSenx
1 + arcSenx
Aplicando logaritmos neperianos se tiene:
lny = \ Qln(1arcSenx 1n(HarcSenx)J
T = i O - ¿ r c S “ x ( 1 - a r cS e n x) ’ * 1 + a r c S e n " x ( 1 + a r c S e n x ) ' ]
= 1--- (7 = = ) ------- 1--- (7=^)1L1arcSenx /1x2 1+arcSenx /l_x2 J
306 Capítulo 3: Derivadas
y' _ 1 [~ 1+arcSenx+1arcSenx
y 2/IX2 L ( 1 arcSenx ) (1+arcSenx).,] _ ± _ f _______ 1 ______ I = -------------------1-----------------/lx2 L1(arcSenx) 2 J /lx2 [(arcSenx)21]
^1 x 2 £( arcSenx) 2 ij
1/xy = x
Solución. Si y=x^//x + lny = ^(lnx)
Derivando: = ^(lnx) 1 + lnx(^) 1y x a
= ^(^) + .lnx(^z) = ~ 2 ( 1 lnx)
•" ' / diferenciación de las funciones 307
= /í(l) + lnx(i) = _ L + =2/x /x 2/x 2/x
(2+lnx)
../xy 1 = —— (2+lnx) = x ^ ’^^ í 2+lnx)
/ x
y = (x2+1)Senx
/¿n. Si y = (x2H ) Senx + lny = Senx.ln(x2 + 1)
Derivando: =£ = Senx [ln(x2 + 1)] ' + ln (x2 + 1). (Senx) 1
= Senx( X ■ ) + ln(x2+ 1) .Cosxx2 + 1
y' = (x2 +1 )Senx 2xSenx
L x2+1+ Cosx.ln(x2 +1 )
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■1 = JL (1lnx)
y = XSenx
Solución. Si y=xSenx lny = Senx(lnx)
Derivando: = Senx(lnx)1 + lnx(Senx)1y -1
= Senx(— ) + lnx(Cosx)
y' = xSenx( ^ + Cosx.lnx)
v m / x \x E¿J y = (7 +3
Solución. Si y = (jf^)X + lny = x[lnx ln(1+x)]
Derivando: = x [lnxln(1+x)3 1 + [lnxln( 1+x)J (x) '
= x(^ fj) + lnx ln(1+x)
de donde: y' = ( ^ ) X + ln(y ^)]
V xy = 2x
/xSolución. Si y = 2x lny = ln2 + /x(lnx)
Derivando : = /x(lnx)' + lnx(Zx)1
L x2+1
G 3 y =V(x21)2
£r C.i. ìón. Tomando logaritmos neperianos se tiene:
lny = £lnx + ln(x2 + 1) 2ln(x21)J
Li l = i r (xl,+6x2 + 1)1
.. .1 j 3 L x(x 1 ) I
é
1 vando : = \ [£
" y [ 3x(1.x,J
+ 2x 2( ^xx 2 +1
x lf+6x2 + 1 /x(x2 +1 )(x21)
H DERIVACIÓN DE FUNCIONES DIVERSAS
t u l o s e j e r c i c i o s 667-770 de r i var l as func i one s que s e i nd i c an .
rm y=• (1+vx)Ilición. y' = 3(1+ 3/x) 2 (1+ 3/x) 1 = 3(1+ 3/£) (0 + — !— :)
3 ’/x2
de donde: y' =
308 Capítulo 3: Derivadas
y = /l+/2px
So éución. y 1 = -- — ¡--- (1+/2px) ' = — (0 + — 5E_)
2/l+/2px 2i/l+/2px 2/5px
______ 1________
2J 1 +/2px (/2px).
y = arcTan(x23x+2)
Solución. y' = = ---- 2x^3----1+(x23x+2)2 1+(x23x+2)2
L24I y = log(xCosx)
Solución y' (x Cosx) 1 ^
.,•/! V Dife ren cia ció n de las func ion es 309
m y = (Senx)eCosx
ii furión. y' = Senx(e^°“x ) ' + e^osx(Senx)'
= Senx (e^OK>x) (Cosx) 1 + e^os x(Cosx)
= Senx(e^osx)(Senx) + e^osx(Cosx)
= eCosx(CosxSen2x)
y y = xs . 3¡/x 6-F
■■"fución. Aplicando logaritmos neperianos se tiene
lny = 51nx + ^ln(xs8)
v 1 5 , 6x _ 7x6 40I»! 1 I vando: “ + ------ -------
y x 3(x68) x(xs8)
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Solución. y' = (xCosx) 1 =---^ -------x Cosx (xCosx)ln10
y = 3C o s 2x Cos3x
Solución. y' = 6Cosx(Gosx)' 3Cos2x(Cosx)'
= 6Cosx(Senx) 3Cos2x(Senx)
= óSenxCosx + 3SenxCos2x = 3Sen2x + ^Sen2xCosx
= ^Sen2x(Cosx2)
y = 5Tan(|) + Tan(^)
Solución. y' = 5Sec2(^).(^)1 + 0 = Sec2( )
w m 1L¿¿1 y ■
v w T
Solución. y = (x+Zx)“1/ 3 >■ y' = j(x+/x)""l*/3 (x+/x) 1
♦ y' = 4(x+/3fr*/*(1 + L ) = -- U2/x ,3 2/í 6/x(x+/x)1*/3
y = Sen(^)Sen2x
Solución. y' = Sen(^).(Sen2x)' + Sen2x.(Sen^)1
= Sen(|).(2Cos2x) + Sen2x.(^Cos|)
= 2Sen(|)Cos2x + |sen2xCos(|)
y x 3(x6 8) x(xs 8)
. . 7x6A0 , 5 3/~r~ny x“(7x6¿0)1. donde: y' = — (x . /x 8 ) = — 7 7=======-...........- \ A • r a ~ vj / — / ...................
x(x68) V ( x 68)2
X 2ifi1 y = e lnx
(tic.i6n* y f = e X (lnx)* + lnx(e X )f
= ex 2(^) + lnx(ex )(2x) = e”x
C ¡a y = * ) 10 ■
'"fución. y' = 10(/x + — )’.(/x + x" 1/ 2)'/x
1 \ 9 t 1 2 „ - J10(/5F + 1 )9. (L . ix' 3/2)/£ 2/x 2
= 10(/7 + 1 )\ ( _L — 1_) = Ikzll/x 2/x 2x/x x/x
■ ll| y = arcTan(|3 |)
'■.fución. y' = ---- 7rríT7(t n í'1 + (fff)2 X
= (x1 ) 2 _ (x 1 )( 1 )(x+1 )( 1 )
(x1 ) 2 + (x+1 ) 2 ' (x 1 ) 2
m y = e 2x +3 (x 2-x + i )
2xlnx)
(v^ + — i) 9/i
_1 __
1+x2
310 Capitulo 3: Derivadas
Solución. y' = e2x+3(x2x+ J) « + (x2x+ (e2x+3)*
= e2x+3(2xD + (x2x+ |)(e2x+3)(2)
= e2x+3(2x1+2x22x+1) = 2x22x+3
2Sen2x
* "* Cos2x
„ „ ., ,„ Cos2x(Sen2x)1 Sen2x(Cos2x)1Solución. y' = 2 -----------------------— — —
Cos22x
2 Cos2x(2SenxCosx) - Sen2x (-2Sen2x)
Cos22x
2 Sen2x(Cos2x + 2Senzx) _ 2Sen2x
Cús^2x Cos22x
' ■■i mu 2: Diferenciación de las funciones 311
y' = Sen2^C-Csc2|(|)] + Cotgf 02Sen|Cos|(l)]
= 4sen24Csc2$ + IcotgfSen2^
m - - 5’ 2y =3x
ÍO(uciin. Aplicando logarimos neperianos se tiene:
lny = ^ln(4x5+2) ln3 4.1nx
». . . - Ivando: = k-^) - 0 - ± = - ¿ ( 3 1 x 5 + 1 8)y y 4x5+2 x 9 x U x 5 + 2)
4(31x5+18) 9/¿x5+2 = _ ¿(31x5+18)
9 2) ' 3 “ " 27 5 (4 5 2)8
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y = — arcTan ( - x— )/3 1-x2
Solución
—1 [~ (1-x2)2 1 (1-x2)(x/3)1 - x/3(1-x2)’
” /3 L(1-x2)2+3x2J (1-X2)2
-1(--- --- )[(1-x 2)/3 x/3(2x)]/3 1+x2+x"
1+xs
1+x2+x*
Tan^ + CotgTj
Solución. Reduciendo el segundo miembro a Senx obtenemos:
y =xSenx x2Sen2x
■(xSenx)1
[x(Senx)' + Senx(x)'Jx2Sen2x
2(xCosx + Senx)x2Sen2x
y = Sen2^.Cotg|
Solución. y' = Sen2|(Cotg|)1 + Cotg|(Sen2|) 1
9 x U x s+2) ' 3x“ " 27x5. V (4 x 5+2)8
B y = ln(x + /a2+x2)
'• ión. y' = (---- ■) (v + /a2+x2 ) 'x + /a2+x2
= (----7 = ) ( 1 + £ )x + /a 2+x2 2/a^+x2
x + /a2+x2 /a2+x2/a2+xJ
y = xarcTan/x
vt ación. y* = x(arcTan/x)’ + arcTan/x(x)'
= x -- ----(/x)1 + arcTan/x1+(/?)2
X 1= --- (---) + arcTan/x = arcTan/x + /£
1+x 2/x 2(1+x)
11 11 y = /l+Tan2x+Tan'*x
'■■Sudón. y' (1+Tan2x+Tan‘‘x) ' _ 0+2Tanx.Sec2x + ¿Tan3xSec2x2/l+Tan2x+Tan‘*x 2/l+Tan2x+Tan‘*x
= TanxSec2x(1+2Tan2x)
/1+Tan2x+Tan‘,x
312 Capítulo 3: Derivadas
Solución. y' = Cos2x(lnx)' + lnx(Cos2x)'
= Cos2x(—) + lnx(2Sen2x) = 2Sen2x.lnx
§aroTanx + iarcTan(— — )3 3 1x2
Solución.. y 1 _j _) + \ r— i — i1+x2 3 1 + (_JL_)2
L • 1x2 J1X2
X
.2 , 1 f (1x2)2 ~ (1X2)(1) x(2x)
*[■3 (1+x2) J I (1x2)2+x2
2 , 1+x2 _ 1+x
(1x2)2\ 2
3(1+x2) 3(1-x 2+x '*) 1+x 6
Al ■i“" Diferenciación de las funciones 313
E l i y =
l »•fue ión.
i m y =
l•< f u e i ó n .
Cos(arc¿— )
y , = _SeB («e SenX ) (arcSenx),
2 / Ü P
2 ' 2
1 gen(arcSenx}
/x + /x + /x
Según la regla Diia, se tiene:
yi = — ... (x + /x + /x) 1
2/x + /x + /x
= — ("i + /— !-----1 (x + /x) •2y L 2/x + /x J
/ / 1 ^ 1 ^
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y = arcSen(nSenx)
„ . . , , 1 r r. \ i nCosxSolución. y 1 = ........ r— ínSenx] 1 /ln2Sen2x /ln2Sen2x
y = arcsen/seax
Solución. y ’ = —p= == r («''Senx) 1 = — = = = r ( "° )/lSenx /1Senx '2/Senx’
____ Cosx____
2/SenxSen2x
G 2 3 y = YgSen63x 2^Sen83x
Solución. y 1 = yg(6Sen53x).(Sen3x)1 TrjÍ8Sen73x).(Sen3x)1
= j(Sen53x). (3Cos3x) ^(Sen73x). (3Cos3x)
= Sen53x.Cos3x(1Sen23x) = Sen 53xCos33x
y = x/lx2arcSenx
Solución, y 1 = 1 [ A x2(arcSenx)1 + arcSenx( / T ^ 2)]= 1 /lv2 ( ■ ) arcSenx (— ik )
,/1x2 2/1x2
_ 1 _ i + xaroSenx _ xarcSenx
/i — x 2 /u¡
1 :1 n y =
\ t.fue ¿ón.
na y=< ¿ón.
B U y =
'ffución.
2/n + /x + 1 ~l + 1 ^
2/x + /x J 2/x= -1 f.
2y L
(2/x + /x + 1)(2/x + 1)
8y/x(/x + /x)
arcCos(/i-3x)
y’ = - V.. 1 (/ % * )• = T.1 ( ^ Lr )
/l ( / T 3 ó 2 /1'1 + 3x 2/T-3x
2/3x9x2
Sen2 (~ ~j ~)
y . = 2Sen(J^i2E)[sen{Í¿H*)]«
= 2Sen(^^).Cos( 1 4 M).(ÍlÍ2 X)'
= Sen2 ( b lM ) j~2LÍ°llM (1 lnx) j
= (Í2£r2)Sen2(^ÍM)
log 3 (x2Senx)
y . = _ L ( ---1---). (x2Senx) 1 = --- ?*rc°sx _ln3 x2Senx (x2Senx)ln3
314 Capílulo 3: Derivadas
Q Q y = arcTan (|/^ )
1So ¿ución. y' =
1 +
(Iii)21A' ~x* 1 +x
f e '
(1"x )1M + x ;
,1 +Xn / 1 +x r(1+x)( D (1 x)( 1 )~|
v ¿ 1x L ñTTi1 j
(JÍ2.) /1+X r 2
/1x
±£ r— — q
x Ld+x)2J
(1+x)2
i
= ln(x + /lx2
Ir i.'» ’ Dif ere ncia ció n de las func ion es
tlftnde:(1+ex)2
S ec 2 (i^L)
1+e
IHti,
y = Cosx(/l+Sen2x)
ión. y' = Cosx(/l+Sen2x)1 + i^1+Sen2x(Cosx) 1
= Cosx(^ ß ^ B ^ ) + /l+Sen2x(Senx)2/1+Sen2x
_ Senx(1Sen2x) Senx(1+Sen2) _ 2Sen3x
/1+Sen2x /l+Sen2x
| Q 3 y = 0.4 [Cos(2X|2'~*')SenO. 8xJ 2
W*in,¡ón. y' = 0.80Cos(^ ~)Sen 0.8x] £Cos (^~ ) Sen O. 8x] 1
315
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So ¿ución. yln(x + /lx2) Inx
1 : (x + /1x2 ) ' j> XX + /lx‘
____ 1_
X + /1X2
/i X 2
(1 +2x
2/ï^
^1x (x + '/lX2 ) ^1x2 (x + /lX2)
j7 ¿S y = xarcSen(lnx)
S o ¿ución, y' = x Ear cSen (Inx ) ] ' + arcSen (Inx ). (x) '
= y . ■ 1---- (Inx)' + arcSeji(lnx)/i(inx)2
(— ) + arcSen(lnx) --- — / ü ï 7- X
E J J y = T a n ( i ^ )1 + e
So¿ución. y 1 = Sec2(— ^ ) . (— 2_
/lln2x+ arcSen(Inx)
See2 (
= Sec2(
1+eA 1+e
X r (1+ex)(1ex ) 1 (1ex )(1 + ex)'1
(1+ex)2 J!=£)[■ J1 +ex L
k >p1+e L(1+eX )(e ) (1e )(e )
(1+eX)2
= 0.8 [(Ios(2x*1 ) SenO. 8x] [Sen(2^±1 )0. 8Cos0. 8x]
= 0.8[Cos(^|i)Sen0.8xJISen(^Íl)+0.8Cos0.8xl
p n y = x d o 1 )
Ir/./, ión. y' = x(10 Æ)' + lO^fx)' = xOO^UnlOÍ/í) ' + 10*
= x ( lO1 )ln10 (— — ■) + 10Æ = 10^( 1 + —ijlnlO)2/x ¿
c u1
Tan22x
,ón. y = Cotg22x + y 1 = 2Cotg2x(Cotg2x)1
= 2Cotg2x(Cotg2x.Csc22x)(2)
= 4Cotg22xCsc22x
P'11 y
f * fui i f)t I,
ln( arc Tan ^)
r I s 1 1------- (arcTanrr— ) 1arcTan(y^)
1
ar cT an (^ ) [i + (j^) 2] ' Ux )
1 r (i+x)2 ir 1 i
arcTan(r¡^) L(1+x)2 + 1 JL (1+x)2J
316 Capitulo 3: Derivadas
de donde: y' = . (x2+2x+2)arcTan(yj^)
Q H J y = ln(— /==)x+/x21
So ¿ación. y = In1 ln(x+/x2 1) y' = 0 -, (x+/x2!)'x+/x21
1 (1 + ---------—
x+/x21
1
2 /x 1r) =
c+/x21 /x2 1
✓x 2 ?
Q Q y = s/ 1 +x/xT3
1
Si 11 ion 2: Diferenciación de las funciones 317
+ y' = x 3(— L ) ( x3)' + arcTanx3(3x2)1+x6
= — — + 3x2arcTanx31+xs
|7 1 InSenxI A U y = ----------
InCosx
fui i(5/i y' = 3nC° sx(lnSenx) 1 InSenx(lnCosx) 1
(InCosx)2
. ln C o sx ( i f ü > - l nS en x^ i >
(InCosx)2
lnCosx(Cotgx) + lnSenx(Tanx)
ln2Cosx
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Soiución. y 1 = .(1+x/x+3)13 3/( 1+x/x+3)2
— 1 r o + x(/x+3)1 + /x+3 (x)n3 3/(1+x/x+3)2 L J
1
3 3/ (1+x/x+3)2 L 2/^+3
_______ x+2________
2/xTJ ,3/(1+x x+3)2
l 2A T 3 +
y = x"
S o ¿ación. y 1 = x2(/i +/x)1 + /i +/x (x2)>
(1+/x)' + /l+/x (2x)2í - - M12 / 1 +/xJX2 (0 + — L ) + 2x/T77f =
4 / 1 +/x2^1+/x 2/x
/1+Sen2x
So¿uci6n. y = (1+Sen2x)‘ J/2 *■ y 1 = ¿( 1+Sen2x )~3/2(1+Sen2x) 1
y ' = [•( 1+Sen2x)~ 3//2 (2SenxCosx) ------- Sen?x2(1+Sen2x)3'2
m ] y = x3areTanx3
S olución. y' = x 3(arcTanx3)1 + arcTanx3(x3) 1
y = ArcSenx + /1j
fueión y ' = 1 + 2x _ 1x _ .I 1x
1 x2 / 1 x 2 V 1+X
JL
/ 1x 2 2>/
■ m arcSen¿xM i i y
. turí¿n t _ (lAx)(arcSenAx)1 arcSen¿x(1¿x)1
(1 4x)2
(14x) ( 7 = = = r ) arcSen¿x(4)______ /116x2__________ ______
(14x)2
= ----( __ ■.:) + arcSen4X(1¿x)2 /(1¿x)(1+4x)
= (ü h )2(]/i rS + arcSen¿x)
y = e1/!™
\ o tución. y' = e1/lnx( ¿ ) ' = e1/lnx[ ÍL nxI ’] =
nx L ln2x J
1y = ln (~j~)
e
ifución. y = ln(1ex ) lnex = ln(lex )
e1/lnx
xln2x
318 Capítulo 3: La Derivada
y ’ = ( - L v ) 0 - e x ) ' - 1 = - ^ 4 - 1 =
xTanx
1 X i x X .1e 1e e1
mt'bM y = 10
Solución. y' = 10x 'L anx . In10. (xTanx) 1
,xTanx= 10xTanx.ln10 [x(Tanx)1 + Tanx(x)’]
= 10x^anx.ln10.(xSec2x + Tanx)
M A M y
Solución, y' = Sen2x(Senx2)1 + Senx2(Sen2x)•
= Sen2x [Cosx2(2x )3 + Senx2(2SenxCosx)
= 2xSen2xCosx2 + Senx2Sen2x
'.»i Dif ere ncia ción de las func ion es 319
2(1+x2)
. ir 1 n 1/ 1 \ _ 1/ix+i+x\+ y' = - t t x\ - 2(- > - 1 — — >
1+x2 (1x2) _ x2
2(1x2)(1+x2) 1x*
1 7 1 y = 2x/lnx
y' = 2x/lnx.ln2.(^_)' = 2x/lnx.ln2 f lnx(1 ] lnx ln2x J
= 2x/lnx(lnx1)ln2
ln2x
D 3 y = /(ax) (xb) (ab) arcTan\/|5
fi-fiición. y = /ax + bxx2ab (ab) ar cT an^| ^
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C Z n 2Cosx
/üos2x
Solución, y = 2Cosx(Cos2x)~*/2
y 1 = 2ÍCosx[(Cos2x)_1/ 2J • + (Cos2x)"l/ 2(Cosx)1}
= 2{Cosx[ ^(Cos2x)_3/2 (2Sen2x)] + (Cos2x)~ 1/ 2 (
= 2{ CcosxSen2x(Cos2x)3/2] Senx(Cos2x)~*/2}
= 2(Cos2x)3/ 2 [CosxSen2x Senx(Cos2x)}= 2(Cos2x)”3/ 2 [Sen(2xx)J = ---2Sg;Px ■
Cos2x/Cos2x
1x
1+x2
Solución, Tomando logaritmos neperianos se tiene:
lny = lnx + ¿fin (1x)ln( 1+x2)]
Derivando:
de donde:
K£¿J y =Solución.
y ’ 1 + irL 2x “I _ 1 1 [1+x2+2x2x2~y X • 2 jjx "
1 +x 2J x 2 L(1-x )(1+x 2).
_ 23xx3 ,h-x
2(1x)(1+x2) '1 1+x2
ln (j ) ^aroTanx
y = |[ln(l+x)ln(1x)j ■ ■aroTanx
Senx))
. , (ax+bxx2ab)' ab / /ax \ ,y __w__ n " 1 t M ^ x b )
xb
(ab)(xb) T 1 1 <aX',
xb+ax x‘b
2/(ax )(>:b)
a+b2x
2/(ax) (x■b)
á+b2.x
2/[ ax) (x■b)
a+b2x
2/Tax) (x■b)
a+b2x
á+b2x _ /xb f (xb)(1)(ax)(1)'
2/ax L (xb)2
f j~ (ab) ~|
l.(xb)2J
= = \ / ^xb) V xt
Sen3x
2Sen2xCosx
ración. y = 3Senx¿Sen3x = ---- 3_^_ . 2Senx = 3Csc2x.2Tanx
2Sen2xCosx 2SenxCosx Cosx
+ y 1 = 3Csc2xCotg2x(2) 2Sec2x
//__ L_wJ¿o s2x\ 2 _ 6Cos2x 2Sen2x Sen2x' Cos2j< Sena2x Cos2x
6Cos2xCos2x + 2Sen22x
Sen22xCos2x
6(2Cos2x1)Cos2x + 8Sen2xXos2x
Sen22xCos2x
320 Capítulo 3: La Derivada
+ , 6(2Cos2x D + 8(1Cos2x) = _ 2(2Cos2xH)
Sen22x Sen22x
y = eu , donde u =
Solución. y' = eU (u) '• = eU '
eu/T+x Iro+x)(-D - o-x)o)"iI eu/ l + x 1r _2- i2 /Toe IL o+x)2 J 2 / T -x |L 0+x)2J
( 1 + x ) / 1 - x 2
• u = \ / M
y = /a2x2 aarcCos(^)
J í i r ’ Dif ere ncia ció n d e la s f unc ion es 321
y _ Sen3x l . .Co_s321 = Sen 2x - S e n x C o s x + C o s 2 x
Senx + Cosx
= 1 ^ S e n 2 x y' = 0 jj ( C o s 2 x ) ( 2 ) = - C o s 2 x
ln(x + /x21) •.
(t/ilOión. y = ln(x+/x21 ) x(x21)1/ 2
y . xr(x21)l/ 2j ’ (x21)'l/2(x) 'x+/x21
X + / X1 = ( 1 + - xT- i'(x -1) / (2x)H -x2-1 2/!*3T L 2 J ,
(x21)1/2
---+ :L - = (x21)'3/ 2fx2 + (x2l)1
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Solución. y 1 = (-- j lía1 ?1 !1 + a( = -- ) . ( ) 1 2 / £ ^ 2 /l(x/a)2 a
2x + a(--- a .) (i) = a~x = / s U, a /r— , V a+x
y
2/a2x2 /a2x2 a /a2x2
/x2 + 1 - + \/1 + ~t )
;o¿uctiin. y = /x2 + 1 ln(1+>/'x + ) = /x* + 1 [ln( 1+/x2 + 1 )lnx]
y, (x/ +1)’ ("--- L = 0+/x*+Í) ' i]2/x2+1 L 1 + / x 2 + 1 J
= — ~ — (------1------ ) (0 + — 2x— ) +2 / x 2 + 1 1+/x2+1 2 / x 2 + 1
X
/ x 2 + 1 / x 2 + 1 ( 1 + / x 2 + 1 ) X
= x 2 ( 1 + / x 2 + D - x 2 + / ^ T i O + Z ^ h T )
X l / x 2 + 1 ( 1 + / x 2 + 1 )
, , , , ( 1 + / x 2 + 1 ) ( x 2 + 1 ) _ / x 2 + 1de donde: y' = ■ ______ 5 ..rrrj— = -----x / x 2 + 1 ( 1 + / x 2 + 1 ) x
y =Sen2x + Cos2x
1+Cotgx 1+Tanx
Solución. y = + Q°f2x. = Sen3x + . Cos3x
1 + 'Seff 1 + cftt Senx+Cosx Cosx+Senx
(x+/x21) /x 21
1 -1
/x21 (x21) /x 1 /(x21)3
Ei'H y = eax(aSenxCosx)
l Hf ución, y 1 = eax(aSenxCosx)1 + (aSenxCosx)(eax) 1
= eax(aCosx+Senx) + (aSenxCosx)aeax
= eax(aCosx+Senx+a2SenxaCosx) = (1+a2).eaxSenx
n n 1cosx■fll y = xe
Solución'. y> = x(e1Cosx)' + e1Cosx(x)'
= x[e1CosxOCosx)'] + e1Cosx
[’1Cosx/»,„ n , 1Cosx_\1Cosxe (0+Senx)J + e= (1+xSenx)e
ETT9 1k £ U y --------- ^
aroTane
selución. y 1 = ----- "ZoZ — (aroTane 2x) 1
(arcTane )2
L ’ 2 x) 2 [ l + ( i - 2 x )2 (e ’ 2X) ,J(aroTane )
1
(aroTane
_J_______ r2e~2x ~| _ 2e'2x_________
Tane2x)2 L1+e_^x J (1+e x )(arcTge'2x)2
322 Capítulo 3: La Derivada
y = e x ( S e n 3x - 3 Co 3 3 x
Solución, y ' = e x ( S e n 3 x - 3 C o s 3 x ) ' + ( S e n 3 x - 3 C o s 3 x ) ( e x ) '
= e x ( 3 C o s 3 x+ 9 S e n 3 x ) + ( S e n 3 x - 3 C o s 3 x ) ( e x )
de donde: y ' = 10exSe n3x
Q Q y = 3 x ’ a rc S en x + ( x 2+ 2 ) / l - x 2
Solución, y' = 3[x3(arcSenx)1+arcSenx(x3) 'J + (xz+2)(/1x2) 1
/ 1 - x 2 ( x 2 +2 ) 1
= d\-z=== + arcSenx(3x2)l + (x2+2) (— =p==)+/í^xl/ T ^ J 2/1x
?v3 , r (x3+2x)2x( 1x2)= — + 9 x a r c S e n x - — ----------. ■------------/i^T2
+
~(2x)
ln n ' I diferenciac ión de las funciones 323
, exSenx + exCosx + e"xCosx exSenx+ y' = ------------
exCosx + e xSenx
Senx(ex + e~x ) + Cosx(ex + e~x )
exCósx + e"xSenx
(ex + e~x )(Cosx Senx)
exCosx + e”xSenx
1 + xarcTanx
/ Ü x *
ifur.iin. y = (1+xarcTanx) (1 +x2)” V 2
. y' (1+xarcTanx) £ 1 +x 2) ~ 3/ 2 (2x) j + (1 +x 2) " V 2 (1+xarcTgx) 1
= (1+xarcTanx) £x(1+x2)” 3/z~\ + (1+x2)“ i/ 2 — + arcTanx~J
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d e d o n de : y ' = 9 x 2 a r c S e n x
t c U y =/ , ✓*/1 + e
Solución, y = (l+e1 ) ' 1/2 + y 1 = ^(1+e"1 ) 3/2(1+e '
y = 1(1+ e ^ r 3/*[0 + e‘/*(/3t)']
y = 2arcSen(^) /2+Ixx2✓5
. . . . .„ 1 rx~2\i (2+4xx2) 'Solución. y 1 2 ■ ■ 5 --- v— --- . —
2 /5 2/2+^xx2
2/5 (. 1 _ 42x __
/6(x2 ) 2 / 6 2/2+Axx2
2 2 x ________ x
/2 + 4xx2 /2+Axx2 /2+4xx2
(2 2J y = ln(exCosx + e“xSenx)
Solución. y' = (— ----- --- — ----) (eXCosx + e xSenx)'e Cosx + e” Senx
= (1+xarcTanx) £ x(1+x2) 3/z~\ + (1 +x2) i/ 2 + arcTanx~J
= (1+x2) 3/2fx(1+xarcTanx) + (1+x2) (— — + arcTanx)”]L 1+x2 J
= (1+x*) "V 2Q x x2arcTanx + x + arcTanx + x2arcTanxJ
arcTanx
(1+x2 ) 3/ 2
1y =Cos(xCosx)
W>(ación. y = Sec(xCosx) y 1 = Sec(xCox)Tg(xCosx) (xCosx)f
= Sec(xCosx)Tg(xCosx)(1+Senx)
= (1+Senx)Sen(xCosx)
Cos2 (xCosx)
M M | X 3|¿¿J y = e SenxCos x
'"f-ución. y 1 = exSenx(Cos3x) 1 + exCos3x(Senx) 1 + SenxCos3x(e x ) 1
= exSenx[[3Cos2x(Cosx)'J + exCos3xCosx +
+ SenxCos3x(ex)
= 3exSenxCos2xSenx + exCo sl,x + exSenxCos3x
= exCos2x[SenxCosx + Cos2x 3Sen2x]
= ex.qRnvrnRxnnR2v rSenxCosx * C°s2* ~ 3Sen2xlL SenxCosx >
32 4 Capítulo 3: La Derivada
de donde: y' = exSenxCos3x(1+Cotgx3Tanx)
I B I y = 1 r/9+6. 5/x*"
S o l u c i ó n . y = f9+6(x)*/sJ 1
- y . = y l ( 9 + 6x9/ 5) “ 1 “Z 1 1 ( 9 +6x * / 5 ) '
i 4 ( 9 + 6x 9 / s ) " 1 °/11(-^ éx 1* /5 ) = --------ILS^55 11/(9+ 5/ ^ ’)10
ln(2ex + 1 + >/e2x + 4.ex+1)
Solución. Sea u = /e 2x+4ex+1 *■ y = xln (2ex + 1+u)
y' = 1 (— 7T --- ) (2ex + u ' ) = 1 (— ^ ---)(2ex + 2e2X+¿e*2u
/ ></« u nciación de las funciones 325
oX + e”x
v , (eX + ex )(ex2)' (ex 2)(eX + e~x )'
(ex + e ~x ) 2
_ (ex + ex )(2xex2) ex 2(ex e~x )
(ex + e x )2
ex2
(ex + ex)2[2x(ex + e_ x) (ex e'x )]
y lnTan^ Cotgx. ln (1 +'Senx) x
>ón. y ’ = -- Í(Tan$)' Coygx 0Ln( 1 +Senx)] * ln(1+Senx).Tanf 4
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2u2x.^ x
= 1 . (__<--- ) (2eX + e .+2e.)2e +1+u u
_ u(2ex+1+u) (2uex+ e2 x+2ex ) _ u2+u e2x 2ex
(2ex+1+u)u (2ex+1+u)u
= (e2x+4ex+1) +ue2 x2 ex = ,2ex+1+ u = ±
(2ex+1+u)u (2ex+1+u)u u
1
/e2x+4ex+1
y _ earcTam/l +ln(2x+3)
Solución. Sea u = ar cT an /1 +ln(2x + 3) “*■ y ' = (1)
= ----. 1 = (/1 +ln (2x + 3) ) 'dx 1+(/l+ln(2x+3))2
1 ( 1...~-- )(— £_)2+ln(2x+3) 2/l+ln(2x+3) 2x+3
1
(2x+3)[2+ln(2x+3)l /l+ln(2x+3)
earcTan/l+ln(2x+3)Luego, en (1) se tiene: y 1 = --------
(2x+3) C2+ln(2x+3 )]/l+ln(2x+3)
4s eC2* (C°tgX)' * 1 Cotgx(£— ?_ ) ln(l+Senx)(Csc2x) 1
Tamj 1+Senx
1 Cos2x + ln(1+Senx) ^
2SemjCosí| Senx(1+Senx) Sen 2x
_1_ ^ 1Sen2x + ln(1+Senx)
Senx Senx(1+Senx) Sen2x
1Senx 1Senx + ln (1+Senx) _ ln(1+Senx)Senx Senx Sen2x Sen2x
á/ r| y = 21n(2x3/l4x2 )6arcSen2x
i . . t u c i ó n . y' = - = ( 2 x 3 / ü i x 1)' 6(~— 2 .. )2x3/l4x2 /14.X2
= 2 r2 _ 3(~8x) | _ 12
2x 3/1Ax2L 2/14x2J /l4x2
^ 2 ^^ / Ñ T x ^ + x ., _ 12
2x 3/T 4.x2 /14x2/l4x2
= 4/l4x2+ 24x 12(2x3/l4x2) = 40/14x2 (2x3/14x2) 2x3/l4x2
2llzl + ln/l+x2 + arcTanx3x 3
326 Capitulo 3: La Derivada
Solución, y = ~ 1 + ¿Ln(1+x*) + arcTanx3x ’ 2
- L - i ( - Í 2 Í) + i (J * _ ) + ^ _ x2 xs 1+x2 1+x2
1 , 1 . x x 1 - x 5+1
B t l y = ¿(3x)/l2xx2 + 2areSen(x*— )¿ /5
Solución. y 1 = 4f b x) (/ i 2xx2 )' + /l2xx2(3x)'1 +
* _ J ___
(Sil).X + 1 j 2 / 2
/2
- y' = i [ (3 x) - / l - 2x-x2] + ~r 2r T2(7=)
/ '</. nm ¡ación de las funciones 327
/x+2(3x)“
(x+1)s
Aplicando logaritmos neperianos se tiene:
lny = Tjln(x+2) + ¿ln(3x) 5ln(x+1)
f = + 4(T 7 ) = x232x73— y 2 x+2 3x 1+x 2(x+2)(3x)(x+1)
y I = /x+2 (3x)11 x232x73 _ (x232x73) (3x)3
(x+1)5 2(x+2)(3x)(x+1) 2(x+1)e./x+2
y 5/(1+xe/x) 3
y = (l+xe'^)3''5 ■* y' = |d +x e/x)'2/5(1+xe/x ) '
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y i [ (3_x) / l 2x x2] + r 2r T2(7 )2L 2/l2xx _ J /2(x+1) /2
.1f ( 3-x) (1+x) (12xx2) | 2
" ’ 2 /1-2x -x 2 /l2xx2
= . 1 r 42x2 | + 2 _ x2
2L/l-2x-x2J /l-2x-x2 /l-2x-x2
y = lníxSenx/ToT2)
Solución. y = lnx + InSenx + ^;ln(1x2)
y' = 7 + (Senx)' + ±( — -)(1-x2)'1x2.
x Senx 2 1x2 x 1x2
R 3 1 y = x/l +x2Senx ,
Solución. Aplicando logaritmos neperianos se tiene:
lny = lnx + ln(1+x2) + InSenx
+ j L - J + — — )(x2)' + (— — ) (Senx) 1y x ¿ 1+x2 Senx
— + x2 + Cosx _ (1+2x2 )Senx + x(1+x2)Cosx
x 1+x2 Senx x(1+x2)Senx
. _ (l+2x2)Senx + x(1+x2)Cosx* * y j
/l+x2
,• = |( 1 +xe'^x) “2/ 5 [o + xíe1 )* + e ^ x ) * ]
= ¿ ( l + x e ^ r ^ C x t e ^ H L ) + e ^ d ) ]2/x /—
= |(l+Xe/ x)2/5r| e^f/x + 2)1 = 3e (/x + 2
L J 10 5/ { U x ?
2)
‘)’
Vxión. Sea u = x 2arcTanx + ilnx +1 *• 4^ = 2x — — + -tt ---- . 2 dx 1 + x 2 2x
i , x1/ 2eu *• y' = 4x_3/,2eu + x_1/ 2eu (4 )2 ° c vdx'
oU 1 1e + — ( 2x ---— + — )
2x/x /x
(---- + 2/x 2x 1+x2 2x
— — ) — 1+x2 /x
= (. _J. + 2x _ + 1
= ( 2x - J — ) .- ^-
ETT1 y = + | ln(— —— — |)ACos^x 8Cos2x 1 Tan^
■ fue ión. y = ^TanxSec3x + ^TanxSecx + ^ ln ('*¿Q"g”X )
328 Capitulo 3: La Derivada
* y = iTgxíSec’x + |seex) + ^ £"ln( 1+Senx) InCosx]
+ y' = ^Tgxj^Sec’xTgx + •|secxTgxJ + (Sec3x + Jsecx) (•|sec2x) +
, ¿ r Cosx _ Senx~|8 Ll+Senx ’ CosxJ
= |sec3xTg2x + fsecxTg2x + ±Sec5x + |sec3x + | [ c ^ J
= ■•jSec 3x(Sec2x1 ) + ^Secx (Seeíx1 ) + ^Secsx + |seo3x + ^Secx
= ^Seo5x ^Sec3x + |sec3x |secx + ^Se csx + |sec3x + ^Secx
de donde, simplificando obtenemos: y 1 = See5x
ión 2: Diferenciación de las funciones 329
«Pilcando la regla de derivación Du a, se tiene:
y = /x 2(x2 + a2)3 + /Ç*+a2x 2 + ¿J\ln (x+/x2+a2 )
' y 1 = x2 D ( x 2+a2 )2(2x)j + (x2+a 2) 3(2x) + ¡a2|~ x 3+2a2x] +
2/ x2 (x2 + a2 )3 2 L2/x <. + a2x2J
+ — t= = ) ( i + , 2x )2 x+/x +a2 2/x2+a2
= 2x(x2+a2)2 p x 2 + (x2 + a2)] + 3af r2x(2x2 + a2)~[ +
2x /(x2+a2)3 2 L 2x/x 2+a2 J
+ 2fL* (__ 1 //x2 + a2+x 2 x+/x2+a2 /x2 + a2
= /x 2 + a2U x 2 + a2) + 3a2 /2x2 +a2 x + 3 a\ 1
2 /x2+a2 2 /x2+a2
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Solución. Aplicando logaritmos neperianos se tiene:
Iny = lnx + xlne + ln(arcTanx) 51n(lnx)
Derivando: = 1 + 1 + ( _ j __)(_!_) . 5(¿)(¿ )
y [ 1 + i + ____ 2----------- L.1L X ( 1 +x2)arcTanx xlnxj
[ ’exarcTanx + x + 1
ln 5x L (1+x2)arcTanx lnx.
y = ( 1 X1 ) e3x~ Cosx
(arcCosx)3
Solución. Aplicando logaritmos neperianos se tiene:
Iny = ln(1x2) + (3x1)lne + InCosx 31n(arcCosx)
Derivando : i ’ ÍJH J.) * 3 * ( ^ ) <=.»> J ^-X a
y I (1x2)e3x~ Cosx(arcCosx)3
r i^ x xf _ Tanx + _ ^_,3— i
1x2 /lx2arcCosxj
= x/(x2 + a2)3 + ¿ V ' /x2 + a2 + ln(x+/x2 + a2)y — A r VA. ra , J x --^ v TC* T —<5“
Solución. Introduciendo x en los dos primeros radicales y luego
____ 2 /x2 a2 2 /x2 a2
= /x2 + a2U x 2+a2) +iil2(2xll |Ha2) =2 /x +az
= /x2+a2 U x 2 + ¿a2) = 4 /(x2+a2)3
K H I y = X(arcSenx) 22x+2/lx2arcSenx
' ■ f u c i ó n . y' = x [(arcSenx ) 2j ' + .(arcSenx) 2 (x) 1 2 +
2 JVTx"2 (arcSenx) ' + arcSenx (/ix2 ) ']
y' x J~2 ( arcSenx) (—ü__) + (arcSenx) 2J 2 + .? |/l ::21 ) +
+ arcSenv (•— ?x )~12/lx2 J
= 2x ar ^e nx + (arcSenx)2 . 2 + 2 . = ( a r o S e n x ) 2
M M X - X
lili y = lnCosarcTan(2— — )
a c i ó n . Sea u = arcTan(^g~*) _> Tanu = (eX~e'X)^ 2
Derivando respecto a x se tiene:
áü = ______1_ /exe~x í . / „x ,.xdx ~ x (— T ) ’ = ---- A --------(áje )
e \? , ?v _ < 21 + — )2 4+(e2x2+e'2x)
_i____ ;ex+e'x.O /
(ex+e_x)2 2 ex+ex
330Capítulo 3: La Derivada
Si y=lnCosu + y' '= cosü^SenU^ dx ^ ~ ‘Tanu^dx^
„x xy. = .(« S)( x . a-Xe + e
x xe ex , _xe + e
y = -- L arcTan(emx \f$)y m/áb V b
Soiución. Sea u = erax V t * Í = «“ ñ = * ñ °
i , 1 ,__1_\ /■dU'.Si y = — — arcTanu + y 1 = — 7M dx'
m/ab m/ab 1+u1 ¡ 1 ) m/ab enix
m/ab 1 + fe2nlx b
de donde: y ’mx
I diferenc iaci ón de las fun cio nes 331
^1x2 (/í+x /1x) x
jL/JJ* + / i ^ ) 2 _ _ i + d+x)/T+^ r(i+x)(i)(ix)(i)
T T L1x2 [(1+x)(1x)3 x 2/1x L (1+x)2
, 1 - r _ o 11 + x + 2/1x2 + 1 x 1 + 1 r - 2 1
“ 75 " * 2 / T ^ L / h i J'1x2(2x)
1 + /1x2
x/lx2
J.rl.1x2 = ..1x = i/ ij
c/ n? X/ T 72 v 1+X
cu (Tan2x)Cotg2
<ín. Aplicando logaritmos neperianos se tiene:
lny = (Cotg^),in(Tan2x)
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de donde: y ’ , . 2mx “ “x , mxb + ae ae + De
y = lln( ,x+1— ) + ^arcTan i.n ; t — o*-----------------,3 /x2-x+1 /3 /?
Solución, y = ±[ln(x+1) iln(x2x+l)] + arcTan C2^ )
. 1 T 1 + _ L f ___3----1(22=1)1
+ y ’ 3 [x+1 " 2 x2x+1 J /3 |_ 1 + )2J 73/ 3
1 r 3 (1 x) i + 1 = ---ix+1+x----
~ Z l(x+1)(x2x+1)J 2(x 2x+1) 2(x+ 1)(x2x+1 )
x 3 + 1
g E E l y = in(/1_ ^ ~ / 1=1) + 2a r c T a n \ / ^/1+x + /1x
Solución. Racionalizando el denominador del logaritmo obtenemos
f 1x(/1+x_- /1 xj._ + ¿arcTan
2x= 21n(/í+x / W j ln2x + 2arcTa n\/{^
+ y’= 2( ____'1— t = ) ( — h= - 'X -1 ‘x + 2(T ~ v 1/ 1+x/ThT / ux 2/i+x 2/ u x 1 +
JLiX'i t
1+x
\ Cotg|[ln(Tan2x)] 1 + ln(Tan2x).(Cotg^)1
Cotgf (T ¿ 2 ^ )(Tan2x)' + Inían2x(Csc2|)(|)
Cotg| (Cotg2x)(2Sec22x) ■|csc2|.lnTan2x
2Cotgf (fSüf)í1__j _ lnTan2x
Cos22x 2Sec2|
= (Tan2x)Cotef í'Í£2ÍiñZ2. lnTan2x *|L Sen^x 2Sen2$J
na y = V;/x2+4
fución. Aplicando logaritmos neperianos se tiene:
lny = j£ln(x5) ^ln(x2 + 4)]
+ - f - K ¿ 5 - Í i“? ")] = -^ ° * +2°y 5 x 2+4 J 15 (x5) (x2+4.)
3x 2+10x +20> y > = 3x2 + 10x+20 3 / _____ __ ____________ _____________
15(x5) (x2+¿) s / ^ T ¡ 15(xiH ) m ,y
E3 y = l n V / V ^ + — J~arcTan(22±l) + arcTan (-2^ )1V x x+1 2/5 L / 3 /J J
•fución. Según la identidad: arcTana + arcTanb = areTanf a+b)1ab'
332 Capítulo 3: La Derivada
y = 4& n( x 2+x+Dln(x 2x+1)3 + — — arcTan(^£)4 ‘ 2 / 3 1 - x 2
- y . . 4 r . 2xJiL . JszLl + J L f — J --------
i- x 2+ x+ 1 X 2-X + 1J 2 / 3 L 1 | ( / 3 x 1 - x 2 J1 - x 2
- i f 2 - 2x 2 ~1 + _ 1 _ |~ ( 1 - x 2 ) 2 ~| ( 1 - x 2 ) /5 - /? x ( -2 x )
^ <-x 1,+x2+lJ 2/3 L (1 -x 2) 2+3x2J (1 -x 2)2
= 1 f 1~x2 ~l + Í (_ Ü 2 lL ) = 12 L x ‘,+x2+i J 2 x ‘*+x2+1 x'*+x2+1
v2n_1y = arcCos (— 5— )x¿n+1
1 2 n 1So ¿lición. y 1 = — (Xw— ) 1
~~^ñ- ¡ x +11 ) ‘‘
"i Diferenciación de las junciones 333
i U) = *2arcTg(Í£LL) f»(x ) = ¿2T.-- 1 _ — ](Í2zI)ib /? 6 Ll + (Íí^l)2J /3
/3
1
2(12x+4x2)
... . 1~l6x3 + 1 r 3(12x) -1 + 1
(1 + 8x3)2 ° L (1+2x ) (12x+¿x2)J 2(12x+4.x2)
. 116 x 3 + (12x )+(1+2x) = _ 116x 3 + 1
(1+8x3)2 2(1+2 x)(12x+4x 2) (1+8x3)2 1+8x3
donde: y> = — ^x3
(1+8x3)!
n a Pnmostrar que la fiínción y=ln(yj^) satisface la relación
xy * +1 = ey
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' 1- ) ‘‘x ‘ “ +1
/ 1 - ( 4 ^ -K x +1
x2n+1 r(x 2n +1)(2nx2n~1)(x2n1)(2nx2n‘1 )1
[■/(x2n+l)2(x2n+l)2 i (x2n+1)!
------ -- — [~2nx2n~1 (x2n+1x2n + 1)1
(x2n+1) A Z *
¿nx2n"1 _ 2nx2n~ 1(x2n+1)(2lx|n) fx|n (x2n+1)
n1n• ' i in n . , 2nxSi n es un numero par: |x| = x *■ y ' =
2n ,x +1
-1 0 n1/ . i in n 11 i . ¿nx
Si n es un numero impar: x = x x y' =
I x|(x2n+1)
+ 1 ln .+ *5 arcTan(Í2zl)12 t 2 O ./Q1+8 x3 12 X+A X2 /3
S o ¿ación. y = — — +(^21n( 1 +2x)ln( 1 2x+4x2 )]J +
+ ~gar cT an (“ ~ )
, = . (J. + 8x 1),-_x (24x 2) + 1 P 2( 2 }._ I2 + 8x_1+ fl(x)
(1 + 8x3)2 12 L 1 2x 1 2x+4x2
; ifin. En efecto, si y=ln(^;) «*■= ey «*■ x = llS?ey
Además: y = ln1ln(1+x) + y 1 = = ey
| *t‘ imito: xy' + 1 = (—~e' ) (~ey ) + 1 = eyey
u n Hnmostrar que la función:
= § + 4x/x2 +1 + ln(/x + /x2+1)y t t 2
■mtisface la relación: 2y = xy' + ln y1
\/t ación. En efecto:
y = + -jj / x ' + x 2 + ^ l n ( x + / x 2+1 )
. 3 ,
x + i < ~ ^ = f ) + — T = ) ( 1 + - p — )2/x +x ¿ x+/x2 + 1 2/x2 + 1
x + + i(_ u = r ) ( ^ ± x )/x2+1 x+/x2+1 /x2+1
x +&1H + ■■_L_ = x + >/x2+i
/x2 +1 2/x 2 + 1
xy' = x2 +x/x2 +1 , lny' = ln(x+/x2+í) = 21n ( ^ v P t T)
1 natas dos igualdades se tiene:
1 l n y ' = x2+x/x2+1+21n(/x+/x2+1) = 2y
334 . Capitulo 3: La Derivada
W R cE Demostrar que la función y = arc^e^— satisface la rela,l f< r1 X
eión: (1x2)y'xy = 1
DemoUsiaciin. En efecto: y = (1x2)"1 / 2 arcSenx
yi = (1x2 )' l / 2 (arcSenx) 1 + arcSenx[(1x2) J/2] 1
+ y' =(1x2)~1/2( ..1— ) + arcSenx f |( 1x2 )" V 2 (2x)]/1x2
1 r ,,,/i1 1 . xarcSenx= — + arcSenx lx( 1x2) 3/2J = -------- + — --7 7 7 = =
1x 2 L 1x2 (1x )/1x
= _L_ fl + xarcSenxl = J _ r, + xy1
1x2 / Ü 7 2 J 1x2* J
( 1 - x 2 ) y ' = 1 +xy -*-►(1 - x 2 ) y 1-xy = 1
fJ Zl Calcular las sumas:
<(ión 2: Diferenciación de las funciones 335
(1X) | ixi _ 1 = (1Xn ) n(1x)xn
X 1 = 1 x( 1x)
d. donde: \ ix1 ’ 1 = ( n * 1i- 1 (1x ) 2
n .• ') Kn este caso calculamos el valor de la suma £ i(i1)x
1 = 1
partiendo de la propiedad telescópica del ejercicio anterior,
o e t o es: \ F i d - D x 1'2 (i1 ) (i2 )xi3l = n(n1 )xn. 1 = 1 L J
2 0
1-2 nl i d - D x 1"2 - £ Ci(i-D-2(i-1)nxi'3 = n(n-1)xn'21=1 i=i
• J i d - D x 1'2 - l i d - D x 1'3 + 2 l (i.í)x1-3 = n(n-1)xn’2i1 1=1 1=1
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a) 1 + 2x + 3x2 + .... + nx11' 1
b) 2 + 2 .3x + 3 .4x2 + - + n(n1 )xn ' 2
So¿ación, a) Calcularemos la suma indicada mediante la sumato
n .ria: \ ix , haciendo uso de la propiedad te
i =1
lescópica: \ Tí (i)F(i1)J = F(n)F(0)1 = 1 _
donde: F(i) = ix1 " 1 + F(n) = nx11' 1 y F(0) = 0
Luego: \ [ix1 '1(i1 )x12] = nxn ' 1 0i = 1
+ { ix1 1 i ix12 .* f X11 = nxn1i=1 i=1 1 =1 ’
* fix 1 ' 1 i T ix1 " 1 + 1 y x1 - "1 = n x n ' 1i =1
i1 1 X
n i 1l ix +
i=11 i x1X i = 1
2 . i1l IX
i — 1
i n+ l(1'x )
x 1x
n -1= nx
? . i1I IXi = 1
n- 1= nx i ( l i )
x M x >
„ „ . . .. .. *. ___n- 1/X1 1
X i=1 x x x( 1x)
Multiplicando por 1 ambos miembros se tiene:
l i d - D x 1 "2 - 1 1 i d - D x 1'2 +‘2 f ix1*3 - 2 ? x1'3 =11 . “1=1 1=1 1=1
• (íf!) y itiDx 1 ' 2 + — f y ix1"1] 2 ? x1 * 1 = n(n1 )xn ' 21) i i d D x 1 - 2 + I i x 1] 2 j x1 - 1 = n(n- 1 )xEi = 1 x * 1 = 1 J X 2 1=1
•pn <>1 corchete aplicamos la fórmula obtenida en el ejercicio an
•«rlor:
♦ (S¿2) l i d Dx 1'2 + 2 - f~1" (n+1 )xn+nxnt1l _ l_/1xn} =i=1 x2 L (1x)2 J x2 1x
• (¿^) l i (i1:)x 1=1
xi2 + 2_ r 1 (n+1 )xn+nxn+1 (1x11) (1 x)~1 =
x2 L (1x)2 J
k ( ^ ) í i d - D x 1'2 = - f r i^? ,xD~1+nxn-xn~| + n(n. 1)xn - 21=1 X L (1-x )2 J
M'ill Iplicando por 1 ambos extremos se tiene:
(hx.) l id i )xi2 = 2( 1nxn~1+nxnxn ) n(n1 )xn'2( 1x)2
* i=1 x (1x)2
.1. <!nnde: f i d D x 1'2 = 2n(">1)xn'1+2(n21)xnn(n1)xn+11=1 (1x)3
336 Capitulo 3: La Derivad
2.9 FUNCIONES INVERSAS
S u p o n g a m o s q u e i l a r e g l a p a r a d e r i v a r l a f u n c i ó n p o t e n c i a l
f u l e s t a b l e c i d a s ó l o p a r a u n e x p o n e n te e n t e r o y p o s i t i v o .
D e d u ci r l a f ó r m u l a p a r a d e r i v a r l a r a í z , a p l i c a n d o l a r e g l a p o
r a d e r iv a r l a f u n c i ó n i n v e r s a .
Solución. S i y = f ( x ) e s u n a f u n c i ó n d e r i v a b l e y a d mi t e f u n c i ó n
i n v e r s a x = f * ( x ) , q ue ta m b ié n e s d e r i v a b l e , e n t o n c e s
dx _ 1dy _d£
dx
En efecto, dado que: x=f*(x) =
i
, ; i ■,/«/■n,u n ión de las funciones 337
m - í In ( , c ompr obar l a r e la c i ó n : = 1
16n. En e f e c t o , t i u = ^ D . n ( 1 + v ) - l n ( l - v ) ]
| * $ = iíik - t Í f ] = ( 1)
f a '"<-&> * i r í = e2u - (2)
, ( e 2 u- 1 ) 2 . ( e 2 u + 1 ) M e 2 u - l ) 2 _ ¿e2u
( e 2 u+ 1 ) 2 ( e ^ u + 1 ) 2 ( e 2 u + 1 ) 2
L u n ..... (1): (3)4©
* .i mlo (2) respecto a u se tiene:
lly (e2u+ 1) (e2u 1 )' (e2u 1) (e2u +1 )'
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a . d o na .: ! ; & * < * ) ] = i 0 *
dx
(1)
dx
Por la regla de derivación D6» si y
Luego, según (1): ^
dxII- I/UU\
nu fe*
n/ nn v y
(— )du
x=earcSeny, ¡la]_]_ar 2a expresión para ^ mediante y, median
te x.
Solución. Derivando respecto a y se tiene:
dx = earcSeny(arcSeny)I = earcSeny(^ = .) =
y /i y2
Luee°: fx = "TET
^arcSeny
d7 earcSeny
Para derivar mediante x, tomamos logaritmos neperianos, esto es:
Inx = arcSeny ■* y = Sen(lnx)
dy _ d /, \ Cos(lnx)•> £ = Cos(lnx).^dnx) ----------
j t=23s+ss, expresar ^ mediante s.
Solución. = 03+3s2 = 3(s21) + ff = 1
3 ( s2 1 :
( e 2 u + 1 ) 2
( e 2 u+ 1 ) ( 2 e 2 u ) - ( e 2 u- 1 ) ( 2 e 2 u ) _ ¿ e 2 u (l)
)|ttl l\ pl loando miembro a miembro (3) y (4) o b t e n e m o s :
(dUy/dV) = 1'dv du 1
■ 2 U T e n i en d o e n c u e n t a qu e l a s f u n c i o n e s a r c S e n / x y S e n 2 x s o n
r e c í p r o c a m e n t e i n v e r s a s y q ue ( S e n 2x ) ' = Se n 2x , h a l l a r
( a r c S e n / x ) ' .
if/uci¿n. S e a f ( x ) = S e n 2 x +• f ' ( x ) = S e n 2 x
Si f* (x)=arcSen/x •* ^;[f*(x)] = — -
i: ^(arcSen/x) = —
d x ’ • f ' ( x )
S e n 2 x 2 S e n x C o s x 2 S e n / l - S e n 2 x
l*nro, como x=Se nax -*■ /x= Se nx
.*. ^ ( a r c S e n / x ) = — — -------- 1
2 / x / 1 - x 2 / x - x 2
c u D es ig ne mo s l a f u n ci ó n i n v e rs a a l a f u n c i ó n p o t e n c i a l exp o
n e n c i a l y = x x , p o r e l s í m b o l o a ( x ) , e s d e c i r , s u po n ga m os q'
'I" y = x x s e d e d u ce x = a ( y ) . H a l l a r l a f ó r m u l a p a r a l a d e r i v a d a d e
. i f un ci ón y = a ( x ) .
338 Capítulo 3: La Derivada
Solución. S i y =x x , l a f u n c i ó n i n v e r s a l a o b t en e mo s i n t e r c a m
b i a n d o v a r i a b l e s , e s t o e s : x = y y , d o nd e y = a ( x )
A p l i ca n d o l o g a r i t m o s n e p e r i a n o s s e t i e n e : l n x = y l n y
D e r iv a mo s r e s p e c t o a x: ^ = y ( l n y ) ' + l n y ( y ) 1
* ~=y(£~) + y' lny = y'O+iny)x y
d e d o n d e :x(1+lny) x[l+lna(x)J
tT TB Las funciones que son inversas a las funciones hiperbóli-
cas son designadas por los símbolos arcSenhx, arcCoshx,arcTghx, Hallar las derivadas de estas funciones.
Solución.. Sea y=Senhx , intercambiando las variables se tiene:
x = Senhy •**• y = arcSenhx
fe ... • ’ / 1i/rn nciación de las funciones 339
■ 1 x -i E x p r e s a r 4 ^ m e d i a n t e x , m e d i a n t e y . M o s t r ar q ue1 +x“ ay
. .n v á l i d a l a r e l a c i ó n ( "j ) ( ^ ~ ) = 1
D e r i v a n d o y r e s p e c t o d e x s e t i e n e :
dx . (l+ X»)( ¿X3) (1X») (¿X3) _
( 1+ x " ) 2 ( 1 + x " ) 2
•8x
•I w
«ydxdy
( l + x " ) ;(1)
# Qy
| « l i ' | mi do x = f ( y ) o b t e ne m o s : x =
fun-. logaritmos se tiene: lnx = - [ln (1-y)-ln (1+y)]
. 1 r^i. i i ix dy ¿ L 1-y - TTyJ - - 2 ( 1 . y ) ( i + y )
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^ t^ x^ = f^ Senhy 1 = Coshy(l í )
de donde: = = 1 •— + 4(arcSenhx) = -j==~dx Coshy /l+Senh2y /l+x2
b) Sea y=Coshx, intercambiando las variables se tiene:
x = Coshy ■** y = arcSenhx
+ = ^( Co shy ) +*■ 1 = Senhy(|^)
de donde: = — — = , ^ ==~ + r( arcCoshx) = — dx Senhy /cosh2x1 , / x ^ T
r
c) Sea y=Tanhx , intercambiando las variables se tiene:
x = Tanhy y = arcTanhx
+ I7(x) = f^(Tanhy) ■” 1 = Secli2y(^)
de donde: = — ---- = ------- - + f^(arcTanhx) = — !— dx Sech2y 1Tanh2y dx 1x2
1 s=te ^ , hallar
So¿ución. = t(e ^ ) 1 ' + e (t) 1 = t(e ^)+e °
,, t• dt _ e" ds 1t
. 4S . _____ 1 _____ r M ü i =dy ?-d-y)(l+y) L-/T+7J
(2)y)(1+y) >/T+7J 2 "/(1—y)s(1+y)s
MmI U p l i can do miembro a mie mbro ( 1 ) po r l a i n v e r s a d e ( 2 ) s e t i e
m . (g)'(g) = */(iy)s(H y )s]
= 1 +x‘>)2[~2y*/(i . 18x3 L V 1+x" 1+x" J
. (1+x")2'
8x " ) 2 r 8 x - i
3 L d+ x" )2J
l+x’ = 1
□ x = y 34y+1 . H a l l a r ^
S a t u s . ión. D e r i v a n d o x r e s p e c t o d e y , s e t i e n e :
dxdy
= 3y 2 4 di =
3y24
Si t = a r c S e n 2 s , h a l l a r l a e x p r e s i ó n p a r a m e d i a n t e s , me
d i a n t e t .
: (nc-ión./l(2 S', 2
(2s)' =/i (2s)2
'122 s
dt 2 s l n 2
Ml tarcSen2s *■ 2s=Sent *■ sln2 = InSent
i1" i1 vando: (||)ln2= (g^tHCost) = Cotgt + = S2Í£Íln2
340 Capítulo 3: La Derivada
RÍ TH Comprobar la validez de la relación x e ^
se relacionan por la dependencia:
(1) y=x2+ax+b ; (2) y=x'n ; (3) y=ln(x21)
SoCuc¿in. (1) Derivando respecto á x: = 2x+a
Derivando respecto ay : 1 = 2x( ) +
de donde: — dy 2x+a
** ^dx^dy^ = (2x+a) (2x + a^ “ 1
(2) Si y=x“n *■ = nx‘n"1 =
Derivando respecto ay: 1 = nx n ”*(^) ’’ dy ~ ”
n+1
,St ión 2: Diferenciación de las funciones 341
2Sen2x1 Cosx(2Senx+1)-------- + ---- i---- ---- = Tanx
Cosx 1+Senx
P " i i Idénticamente iguales entre sí.
fitnnti/iaciAn, En efecto; sean: f(x) = 2Sen x1 + Sen2x+Cosx
Cosx 1+Senx
y g(x)Tanx
, r'(x) = Cosx(¿SenxCosx)(2Sen2xl)(Senx)
Cos2x
+ (1+Senx)(2Cos2xSenx)(Sen2x+Cosx)(Cosx)
(1+Senx)2
_ ¿Senx(1Sen2x)+2Sen3xSenx +
Cos2x
+ (1+Senx)(2Co s2xSenx)(2Senx+1)(1+Senx)(1Senx)
(1+Senx)2
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n 1• (^L)fÚZ.) = (. q ,„)(. 2---) = 1*• dx dy ' x n
(3) Si y=ln(x21) = ~ -nx x 1
_ . , , i _ / 2x wáx dx _ x21Derivando respecto ay: 1 l— — )I * dy ~ 2x
x 1 ^
... 1 '
2.10 FUNCIONES DADAS EN FORMA IMPLICITA
Aplicando la derivación mostrar que las derivadas de los
dos miembros de la igualdad Sen2x = 1Cos2x son idéntica-
mente iguales entre sí.
D&mosi/iac ¿6n. En efecto, sean: f(x)=Sen2x y g(x)=1Cos2x
*■ f' (x)=2Senx(Senx) 1 2SenxCosx = Sen2x
g'(x) = 02Cosx(Cosx)' = 2Cosx(Senx) = Sen2x
f 1 (x) = g 1 (x)
Aplicando la derivación mostrar que las derivadas de los
dos miembros de la igualdad:
788
787
3Senx2Sen3x , 12.Senx2Sen2x ' 1T ' ■«■.i • — s: Sec x
(1+Senx)(1Senx) 1+Senx Cos2x
f i n(x)=Tgx ■*• g 1 (x) =Sec2x ,
f 1 (x) = g 1 (x).
O H A qué es igual el coeficiente angular de la tangente a lav ^ -\r
ulipse “ + ¿ = 1 en el punto P(l,/2).
<f*" iin- Derivando implícitamente la ecuación de la elipse se
tiene: — + Sil.' = o *■ y' = 2(~)
■ para el punto P(1,/2): m. = 2(----) - /2/2
C U A qué es igual el coeficiente angular de la tangente a la
hipérbola xy=a (á/0) en el punto P(a,1).
Mi-f,,, i in. Derivando implícitamente la ecuación dela hipér
se tiene: xy1 + y = 0 y* = %■
|i.i ... .-.i, para el punto P(a, 1): m =1/a
A qué es igual el coeficiente angular de la tangente a la
.' Ircunferencia (x1)2 +(y+ 3)2 = 17 en el punto T(2,1)?
'•*’"• Derivando implícitamente la ecuación dada se tiene:
342Capítulo 3: La De riva da
2(x1) + 2(y+3)y' = 0 + Y ’ = 7 T T
21 _ 1_Para el punto T(2,1): m = 1+j = “ ¿
En los ejercicios 792812 hallar las derivadas de las fun-
ciones y dadas en forma implícita.
r m si + = 1
,2x , 2yy1 _ nSolución. Derivando implícitamente: — + — —
de donde : y 1 = —
b2
b2xa 2y
x l / 2 + y l / 2 = a l / 2
Solución. /x + /y = /a + — + = 0 + y ' " " \ x
'■<<i ni» 2: Dife ren cia ció n d e l as fun cio nes 343
j .if ución. ix3 + 4ysy' = x2 (2yy') + y2(2x)
2 y *y * - x 2y y ' =: x y 2 - 2 x 3 ♦ y 1 = x(y*-?x2) y(2y2-x 2 )
Ii í l - I x J + ax 2y + b x y2 + y 3 =0
Jv (ución. ( x 3 ) 1 + a ( x 2 y ) ' + b ( x y 2 ) ' + ( y 3 ) ' = 0
+ 3 x 2 + a£x 2y 1 + y ( 2 x ) ] + b j x ( 2 y y ' ) + y 2 ( 1 ) ] + 3 y 2 y ' = 0
y ' ( a x 2 + 2 b x + 3 y 2 ) = - 3 x 2- 2 a x y - b y 2
, = 3 x 2 + 2 a x y + b y2
a x 2
+ 2 b x + 3 y2
m S e n ( x y ) + C o s ( x y ) = T a n ( x + y )
f Ji 1(ución. D e r i v a n d o i m p l í c i t a m e n t e s e t i e n e :
Cos(xy).(xy)* Sen(xy).(xy)1 = Sec2(x+y).(x+y)*
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Solución. /x + /y /a + + 0 + y \ x2/7 2/y
^ 2 3 x’+y33axy=0
Solución. 3xi+3yíy'3a(xy'+y)=0 + x 2ay + (y2ax)y' = 0
- yy ax
y2Cosx = a2Sen3x
Solución, y2(Cosx)' + Cosx(y2)'= a2(Sen3x)'
y2(Senx) + Cosx(2yy’) = a2(3Cosx)
, 3a2Cos3x+y2Senxde donde: y 1 = ---------------
2 y C o s x
y 33y+2ax=02a
Solución. 3y2y 1 3y' + 2a = 0 + y 1 =3 ( 1 - y 2 )
y22xy+h2=0
Solución. (y2 )1 2 (xy)1 + (b2)' = 0 + 2yy' 2(xy'+y) = 0
+2(yx)y1 2y = 0 +•*• y' =
798 x'*+y‘‘=x2y2
-*• I C o s ( x y ) - S e n ( x y ) I ( x y 1+y) = Sec 2 ( x + y ) + y * S e c 2 ( x + y )
i .1» Monde : y' = _ S e c 2 ( x +y ) - y [ C o s ( x y ) - S e n ( x y ) ]
S e c 2 ( x + y ) - x £ C o s ( x y ) - S e n ( x y ) J
r m 2 x + 2y = 2 x+ y
“<■ ión. D e r iv a n do i m p l i c i t a m e n t e s e t i e n e :
2 * ( l n 2 ) + 2y ( l n 2 )y ' = 2 x + y ( l n 2 ) ( x + y ) '
+ 2 X + 2 yy ' = 2 x+y ( 1 + y 1) -*■ 2 y ( 1 - 2 x ) y ' = 2 x ( 2 y - 1 )
I « » donde : y' = 2 x - y ( l L l )1 - 2 X
2 y l n y = x
ión. D e r iv a n do i m p l i c i t a m e n t e : 2 [ y ( l n y ) 1 + lny (y ) ' ] ] = 1
+ 2 C y ( í - ) + y ' l n y ] = 1 + y 1 = ------- — y . 2(1+lny)
m xy = arcSenxarcSeny
jAi fa, ión. Derivando implícitamente: 1y1 = ~* — ¿LL_/1x2 /1y2
344 Cavitulo 3: La Derivad«
y xx í = y
Solución. Tomando logaritmos neperianos se tiene:
y l n x = x l n y -*■ y ( ^ ) + l n x ( y 1 ) = x ) + I n y
de donde: y' =x(xylnx)
Ü 2 3 y. = Cos(x+y)
Solución. y 1 = Sen(x+y).(x+y)' = Sen(x+y)(1+y')
, , , Sen(x+y)de donde: y = --- 2—
1+Sen(x+y)
Cos(xy) = x
• n-nr¡ación de las funciones 345
I — --- (aTSp' = 2f------ — ] (|Sec2|1 +m2Tg2^ J Ll+m2Tg2^J 2 2
llm2Tg2^ Cos2,f + ro2Sen27j (1m2 )Cos2tj + m2
1 . 1 = ---£k v rot,z2 _ 1+Cosx1 1+k 1+k y Cos 2 2
\f ( 1 xys \/Lii . —
V 1 +k____________ l1+l{,V 1+k /Tí
(y ) ( g~'~ ) + k+kCosx+1k 1+kCosx
'»nxCos(xy) = 0
m y ( S e n x ) ' + Senx(y') + Sen(xy).(xy)' = 0.
► yCosx + y 1 Senx + S„en (xy). (1 y1) = 0
, = yCosx + Sen(xy)
Sen(x y) Senx
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Solución. Derivando implícitamente: Sen(xy).(xy)' = 1
, „ . 1+Sen(xy)+ Sen(xy) (xy +y) = 1 ■* y 1 --------------- -— 7
xSen(xy)
f T Ü x 2 ' 3 + y 2/ 3 = a2 / 3
Solución. |x - 1 / 3 + |y‘1/3 = 0 «"*■ y1 = \/f
{JjJjl y = 1+xey
Solución. y' = x(ey )' + ey (x)' = x(eyy') + ey
eyde donde: y' = -----
1 xey
Eílíl xSenyCosy+Cos2y = 0
Solución. x(Seny)' + Seny(x)' (Seny)y' 2Sen2y(y') = 0
+ xCosy(y') + Seny + Seny(y') 2Sen2y(y') = 0
de donde: y 1 = -Seny-------2Sen2ySenyxCosy
B U Tanl Tan| _
Solución. Sea m = + Tan| = mTanf ► y =2arcTan(mTanX | ( M
Sen(xy) Senx
x+arcTany
( — 1- ) y ’ - y ' = — 1+y y
■»/><> <ón. y 1 = 1 + (-- — )y' *• y' = — tü. ■
III Mostrar que la función y definida por la ecuación xy—lhy=.1,
níitisface también la relación: y2+(xy1)y* = 0.
I '<ración. En efecto, derivando implícitamente la ecuación da
da se tiene:xy1 + y = 0
*■ xyy' + y2 y' = 0 y2 + (xy1)y' = .0
»11 APLICACiONES DE LA DERIVADA
C O En la parábola y=x2 se han marcado dos puntos cuyas absci-
sas son xj=1 y x 2=3. Por estoa puntos pasa la secante. En
Hhó punto de la parábola la tangente a ésta es paralela a la selum'.e trazada.
’<ic¿6n. Para xj = 1 yi = (1)2 = 1 y para x 2=3 ♦ y2=(3)2=9
Luego, P 1 (1,1) y P2 (3,9) son puntos por donde pasa la.. .'inte.
346 Capítulo 3: La I )<>|
Pendiente de la secante:
En el punto de tangencia T(xo,y o)e(y=x2) : m^
y como = f1 (xo) + K = 2xo x 0=2 *■ yo = (2) 2 = 4.
En consecuencia, T(2,4) es el punto buscado.
ISffcl Una cuerda está trazada dé manera que pasa por el foco do
la parábola y es perpendicular al eje de ésta. Por los p«i|
tos de intersección de la cuerda y la parábolapasan tangente«,
Demostrar que éstas se cortan en ángulo recto.
De.mo¿i/iac.¿&n, En efecto, sea la parábola y2=4px, cuyo foco tione por coordenadas F(p,0). La cuerda focalperpnjj
dicular al eje es el lado recto cuyo
valor es: LR = 14PI» entonces, por
simetría: L(p,2p) y R(p,2p).
ilición de las funciones 347
.m que el segmento de la tangente a la hipérbola xy=a
,u<!ido entre los ejes coordenados está dividido en 2
inlnn por el punto de contacto.
..'/i. En efecto, sea Po(xo.yo) el punto de contacto, esi
decir, si Po(x0,y o)e(xy = a) + y0 = — A0
l r . f .
\ a..yo) m. = —
ilo la tangente: y — = (xx0)xo x§
= — (xxo]•2
x=2xo
ay ---
xo(xo) y=2a/x0
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(p, p) y (p, p)
Si y2=4px + 2y y1 = 4p y ' =
Luego, las pendientes de las tangen-
tes en L y R son, respectivamente:
Bx= |£ =■ 1 y B2 = ^ = 1
Dado que nn.ma=1, las tangentes se
cortan en ángulo recto.
;| Escribir la ecuación de la tangente y de la normal a la hi_
pérbola xy = 1 en el punto cuya abscisa es x=1/2. Hallar la
subtangente y la subnormal.
Soíución. Para x=1/2 y=2 , luego T(1/2,2) es el punto
de tangencia.
Si y = xy. = _ 1
(1/2)=
Ecuación de la tangente: y+2 = 4(x + ) *+ Li:4x+y+4=0
1 "1Ecuación de la normal: y+2 = j(x + -z) L2:2x8y15=0.
Longitud de la subtangente:
Longitud de la subnormal:
g/p _ | f ( X o )
l~ |f '(x0)I
SN = |f(xó).f1(x„)| = | (2)(4)I = 8
xo
In hipérbola intercepta a los e.jes coordenados en los pun
il.’xo.O) y B(0,2a/x0).
>n punto medio de AB M = 0 + — ) = (xo>a/xo)2 2
|IH! M=Po» entonces Po divide al segmento AB por la mitad.
i i a Mostrar que respecto a la hipérbola xy=k el área del triáni'ulo formado por cualquier tangente y los ejes coordenados
■ k i i; nal al cuadrado del semieje de la hipérbola.
U,n, .\i/ia'ci¿n. En efecto, sabemos que una hipérbola equilátera
de la forma xy=k, cuyas dos ramas se extienden a
R| I ii i ó ticamente en el primer y tercer cuadrantes, tiene por ecua
pii'ii H:xy=a2/2, donde a es el semieje transverso.
IH'io, si Po(xo,yo) es el punto de tangencia,
* <oyo = a2/2 ■*-*■ y 0=a2/2x0 .". Po(x0,a2/2x0)
I"ilvando implícitamente la ecuación de la
hipérbola se tiene: xy'+y=0 •> y'= y/x
rnra P 0(x0,a2/2 x0) *■ m. = a2/2x2
í nación de la tangente: y ¿x0 2x„
(xx0)
348
Capítulo 3: La Derivada
Interceptando con los ejes coordenados obtenemos:
A(2xo.O) y B(0,a2/xo)
a(AAOB) = l|(2xo)(a2/xo)l = a2
Un punto móvil se desplaza sobre una recta de modo que su
d í i n c i . . del P»nto inicia! >1 «•>» ‘ "
„nal • , .) En momento .. .»contro ,n .1 P «
t. inicial .1 punto r.f.ridc » .cent. ^ l g ^ * «•”
su velocidad?
Solución. a) En el momento inicial s=0 , entonces:
4t* 4f+ l6t * = ¿t*(t8)2 = 0 tx0 ó t2=8
t3 i2t +32t t(t A)(t 8)
819
'•»a. .n 8 sgg. Hallar 1, velocidad „ e„ i „ „ al cabo ,
111 comenzar el movimiento. g*
"lución. Según el enunciado: a = kt 2
En una vuelta: o=2tt y t = 8
líntonces: 27r = k(8)2
dadt
k = _132
7Tt
a = — £+ 232
i.\ - n ^T5 * y Para t=32s - > ( 0 = 2* rad/seg.
1 1 3 l áT ; 6’ qUS 86 f°rma al dar Una VUelta Una alabo de t seg., es igual a e=at2bt+c, donde a.b.c son cons
• daos ; ; r Haiir ia veiocidad «”n qUe m0nlent0 es ^ ual “ « r o la velocidad angular?
I r.rión. La velocidad angular co en un tiempo de t seg, es:
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, w = ¿a = t3.i2t2+32t = t(tA)(t8)D> w dt
v=o -*■ t i = 0 , t 2 = A , t 3= 8
'i TCc? pfectúa movimiento recti| Un cuerpo cuya masa es de 3 ¿g. elecxua
lineo de acuerdo con la ley: s1+t+tj.* + /vo +■ pn segundos. Determinar la
s viene expresada en centímetros, t. en según
'*■ fJEXll del cuerpo al cabo de 5 seg. al iniciarenergía cinética (y) del cuerpo
el movimiento.
La velocidad d,l C.r po .1 c.Oo d, t . « « d o . ...
v = || _ 1 + 2t . Para t=5 seg. *■ v 1 + 1° 11 seg.
Luego, la energía cinética, e n ergios, del cuerpo al cabo de 5
Seg. es: Ec = |mv2 = ±(3000)(11 ) 2 = 181.5x10a erg.
El ángulo a de giro de una polea en funció n del tiempo t
v i e n e expresado por la función a=t2+3t5. Hallar la velo
cidad angular para t=5 seg.Solución. La velocidad angular de la pol ea en t seg. es:
o, = §£ = 2t+3 . Pa ra t=5 u>=10+3 = 13 rad/seg.
Una rueda gira de modo que el ángulo de giro es
nal al cuadrado del tiempo. La primera vuelta ha822
821
820
g p g,.. _ d9 .
dt ^ ü) = (2atb) rad/seg.
ocidad se reduce a cero cuando 2atb=0. es. decir, cuando:
t = 2i see
® n a r t l rT r ^ ele°trÍCÍdad Pasa P<~ un conductor a
■ Partir del momento de tiempo t=0, se calcula con la fóxmuImbuiente: Q=2t2+3t+1 (culombios). "
'a intensidad de corriente al final del quinto segundo.
I#". <6n. La intensidad de corriente I. en un tiempo t seg. es
ta dada por: I = || * j = ¿t+3
■ a t5a I = 20+3 = 23 amp.
linea y=x 2(x2)2 hallar los puntos en los cuales las
'"./rentes son paralelas al eje de abscisas.
Derivando la ecuación de la línea se tiene:
y = X L (X -2 )2j 1 + (X-2)*(-r*)t - O 21= 4.x(x2) (x1) } " 2x2(x2^ + ^ ) 2(2x)
"ün Paralelas al eje X cuando mt=f ' (Xo)=0.
•v'“0 + 4x (x1)(x2) =0 ~ x=0 , X=1 , x=2/
.y * ’ X2 1 + y 2'1(1-2 ) 2 = 1 ; x3= 2 + y 3=9 (2-2 ) 2 = 0• <>o puntos requeridos son: (0,0), ( 1 , 1 ) y ( 2 > 0 )
350 Capítulo 3: La Derivada
Mostrar que la línea y=xs+5x12 entodos suspuntos esta in
clinado hacia el eje OX, formándose entre ellosun ^ agudo.
Solución. En efecto, derivando la ecuación dada se tiene:
y' = 5x*+5 = 5(x*+1)
Dado que y’>0 , ¥xeR, la línea está inclinada hacia el eje OX,
es decir, las tangentes en cada punto de la línea forman ángulos
agudos con el eje OX.
. | En qué puntos de la línea y=x3+x2 la tangente a ella es
paralela a la recta y=4.x1 ?So¿uciin. Derivando la ecuación de la línea obtenemos:
f1 (x)=3x2 + 1 + mt = f'(xo) = 3x2 + 1
Si Li:y=4x1 + mi=4 y para los puntos Po(xo,yo) de la línea se
debe verificar que: mi =f'(xo) = A
" '' '"n 2-’Diferenciación de las funciones
351
t'nm x. 1 ♦ yo = (1)J+3(1)25=3 P.(1,3)
r.unción de la tangente: y+3 = 3(x+1) <+ L:3x+y+6=0
En l o s e j e r c i c i o s 8 3 0 - 8 33 fo r ma r l a s e c u a c i o n e s d e l a t a n
g e n t e y d e l a n or m al a l a s l í n e a s q u e s e i n d i c a n .
O J J y S en x ,en el punto M(xo#yo)
\»tuc¿6n. y- = f . ( x ) = Cosx + m = ff (x #) =
Ecuación de la tangente: yy0 = Cosx0(xx0)
yyo = (xxo)cosxof ' unción de la normal: yy„ = 1 v i
y ■yo ^o sx 5U 'XoJ
4~* yy0= (xxo)Secxo
C Q y = lnx ,en el puntoM(x0,y0)
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debe verificar que: mi f (xo) A
o sea: 3x^+1 4Xo =1 ó xo = 1
Para x0=1 .+ y o = (1)3+(1)2 = -i
x0 = 1 '+ yo = ( 1) 3+ (1 )2 = 0
Luego, los puntos requeridos son: (1,¿) y (1,0)
g¡2¡g Formar las ecuaciones de las tangentes a la línea y=x —
en los puntos de su intersección con el eje de abscisas.
S o ¿uciin. Si y=0 x = 0 *■ x21=0 ■*■+ * x = 1 ó x=1
Luego, los puntos de tangencia son Pi(1,0) y P2(1,0)
Derivando la ecuación de la línea se tiene: y 1 = 1 + 1/x2
Para x=1 mi = 1 + 1=2 , para x=1 *■ m 2=1+1=2
Por tanto, las ecuaciones de las tangentes son:
y0 = 2 (x 1) ++ L i :2xy2=0
y0 = 2(x+1) <*■ L2 :2xy+2=0
Formar la ecuación de la tangente a la línea y=x3+3x25
perpendicular a la recta Li:2x~6y+1=0
Soluciin. Si f(x)=x3+3x25 f'(x)=3x2 + 6x
y si Li:2x6y + 1=0 mi = 1/3
En el punto de tangencia Po(x0,yo)> = 3x2+6x0
Dado que: ii.m^ = 1 *■ mt=3 3 = 3x2+6x0, de donde: x 0=1
C Q y lnx ,en el puntoM(x0,y0)
u,(ación. y* = f.(x ), = 1 + fI(xo) = =Xo
Ecuación de la tangente: yy 0 = — (xxo)X o
""*■ Xo(yyo) = xxo
Ig mmción de la normal: y y0 = xn(xvn} / ij xovxxo; yyo+xo (xx0 ) = 0
y = 7 J +axV en el Punto cuya abscisa es 2a.
»»fución. Sea x0=2a y0, _ ?*3 = Po(2a a )Aa2U a 2 roUa.a;
y' = f'(x) = V t e x ) = 16a3xU a 2+x2)2 ( a2+x2 )2
| Cm« x0=2a >• f'(Xo) = m = 16a3(2a) = _ _1
(4a2+4a2)2 2
Sfi unción de la tangente: va = —(■* Te oo. y a 2u 2a; e+ Li :x+2y4a=0
*... l6n de lan°rnal: ya = 2(x2a) L2 :2xy3a=0
yí = 2 a ^ (Oisoide) en el punto M(x0,y0)
W»f»'ión. Derivando en forma implícita se tiene:
2yy1 = (2ax)(3x2) x 3(01) _ 6a2x2
(2ax)2 (2ax)2
352 Capítulo 3: La Derivada
de donde: y 1 = — 3a*x* . Para x=x0 m = f 1 (x0)y( 2ax) 2
3a2x?Ecuación de la tangente: yyo = -- — — (xxo)
yo(2axo)
* ^ i i y0 (2aXo) 2 / v „ \Ecuación de la normal: yyo ----j—5--- (,xxo/
3a xo
| Mostrar que la subtangente a una parábola denésimo orden
y=xn es igual a ^ parte de la abscisa del punto decontac-
to. Indicar el modo de construir la tangente a la línea y=x .
de.mostn.ac.L6n, En efecto, sea M(xo.yo) el punto de tangencia.
Si f (x) = xn + f'(x) = nxn_ 1
Para x=xo m = f'.(xo) = nx?
Longitud de la subtangente: ST = I —
834
- 2 23 a xp
y 0(2ax0)2
¿ 1 1 1 m u 2: Dif ere nc iac ión de las func ion es 353
.. .. 5 1 '
lulinormal: SN = | f (x0) . f1(x o ) I = |x í1 | / z( - ¿x ó 3 /2 ) | = —
- 1 / 2
2xo
m i Formar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la
parábola x2=¿ay en su punto M(x 0.yo). Mostrar que la tan
d»nl,e en el punto cuya abscisa es x 0=2am tiene la siguiente e
mmción: x = + am.Hl
[t<'fuci¿n,. 4ay = x 2 + ¿ay' = 2x ■<-* f'(x) = hi-
para el punto M(xo.yo): m = f'(xo) = ||
»unción de la tangente: yy0 = (xx0) (1 )2
lindo que: M (xo, y o ) e (x2=4ay) *■ xü = 4ay0 +">■ y0 = r24a
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g g
•** ST = l i l i = ¿|X»!A partir del punto T(xo,0), proyección del punto M(x 0,yo) sobre
el eje X, construimos el segmentó ST: = ^|x„|. Ubicado elpunto S,
unimos éste con el punto de contacto M, obteniendo de estaforma
la gráfica de la tangente.
| Hallarlas subtangentes y las subnormales a la línea y=x3,
y2=x3, xy2=1. Indicar el modo de construir las tangentes a
las líneas indicadas.
Solución. Sea M(xo.yo) el punto de tangencia de cada curva dada.
Si y=x3 y ' =3xz ■+■ m = f'(xo) = 3x§
Subtangente: ST = I ■ "7 — ? I = |_~ 2’| = 3¡x °If'(xo)' 3Xo'
Subnormal: SN = |f(xo).f1(xo) I = |x0.3x0| 31x0|
Para y2=x 3 y=x3 ^2 . Derivando: f'(x) = * f'(x0) = g/xo"
Subtangente: ST = | (xo)I = |xol
Subnormal: SN = |f(xo)•f 1 (xo)I = lxo^ ’2X°^ ^lxol
Para xy2 = 1 + y = x 1/ 2 ■* f'(x) = 3^2)
835
4a
Utii.onces en (1 ): y (xx 0) y = |i(x |í)
Ki’imción de la normal: yyo = — (xx0)x o2a/Xo
fnra x0=2am ♦ 4a2m2=¿ay0 yo=am2 M(2am,am2)
'nación de la tangente: yam2 = 2|S(x2am) x = * + ara
H U La cuerda de la parábola y=x22x+5 une los puntos cuyas abs
cisas son xi=1 y X 2=3 . Formar la ecuación de la tangente a
la parábola paralela a la cuerda.
\«tuci6n. Para xi = 1 ■* y 1 = (1) 22 (1) + 5 = 4
x 2=3 y2 = (3)22(3) + 5 = 8
l.iidRo, los extremos dela cuerda son: Pi(1,¿) y P 2 (3,8)
1 uya pendiente es: mi =4 ^4 = 25 i
Como f(x)=x 2-2x+5 ♦ f'(x)=2x2
'I M(xo.yo) es el punto de tangencia ♦ f'(x0) = m =2x0- 2
Mlntido la cuerda paralela a la tangente, entonces: m = mipul,o es: 2xo - 2 = 2 , de donde: x 0= 2 yo = (2 )z2 (2 ) +5= 5
l'"r tanto: M=(2,5), y la ecuación de la tangente es:
y5 = 2(x2) <*■ L :2xy+1 =0
354 Capítulo 3: La Derivada
. . . , , / x23x+6Formar la ecuación de la normal a la linea y x
en el punto cuya abscisa es x=3.
99+6 2Solución. Para x=3 + y ----g-- = 3
Luego, el punto de tangencia es: M(3,2/3)
Si f(x) = 1 \ + | 2 f'(x) = 2-- 12
3 12 1Pendiente de la tangente: = f'(3) = 9 " 2^ = ~ 9 "*■ mn=^
Ecuación de la normal: y2/3 = 9(x3) L:27x~3y79=0
Formar la ecuación de la normal a la línea y=/x+2 en elpunto de su intersección con la bisectriz del primer angu
lo coordenado.
Solución. Ecuación de la bisectriz del primer cuadrante: y=x
El punto,de tangencia es: (y=x)A(y=/x+2) = M(1,1)
■■ÉlH 1 l ' i h ..... un ión de las funcion es 355
M M 4 4
II f(tj
f i m # i
•mi
Los puntos de tangencia son: Pi(0,1), P 2(1,3) y
P s ( 5/2,19/
« n + f * (x) =2X - 1
• m 1 = f ’(0 ) = 2 (O) - 1 = - 1 + rn =1
* i>2 = f ’(1) = 2 (— 1) — 1 = 3 + n 2 = 1/3
► m 3 = f 1 (5/2) = 2 (5/2)1 = A n 3=1/4
11«> las normales: y1 = 1(x0) «* Lj:xy+1=0
y3 (x+1 )
y 12 = . l(x . 5)y A Ay . 2
L 2 :x3y+10=0
L 3 :2x+8y¿3=0
l|§«< •'* 11 1 ^2) * (xy+1=0) (x3y+10=0) =P(7/2,9/2)
Hfi'i.u 1 < mi 1;1 ahora que Pe L3.
■ . . . . ai PeL3 + 2 (7 /2 ) +8 (9/2 )43 = O
+ 7 +36 A3 = O
+ 0 = 0
ca
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p , g (y ) (y / ) ( , )
Si f'(x) = --- — * m , = f'(1) = 4 m = 22/7 11 ¿
Ecuación de la normal: y1 = 2(x1) L:2xy1=0
[¡ ¡J Formar la ecuación de la normal a la parabola y=x26x+ 6
perpendicular a la recta que une el origen de coordenadas
con el vértice de la parábola.
Solución. Pasando la ecuación de la parábola a su forma reduci
da se tiene: y+3 = (x3) 2 + V(3,3)
La ecuación de la recta que pasa por el origen tiene la forma:
Lx:y=mix . Si V(3,3)eLj + 3=m!(3) , de donde: rn 1
Siendo Li perpendicular a la normal a la parábola f(x)=x 26x+6,
entonces f'(xo) = «^ = «i *■ 2xo6 = 1 , de donde: Xo = 5/2
+ y 0 = (J) 26 (|) +6 = 11/4 . Luego, el punto de tangencia es:
M(5/2 , - 1 1 /4) y la ecuación de la normal:
y + = 1(x f) <► L:¿x4y21=0
í rirá Mostrar que las normsJ.es a la línea y=x2x+1, trazadas en
los puntos cuyas abscisas son x x=0, x2=1 , x 3=5 / 2 se cor-
tan en un solo punto.
ca !ím los puntos de intersección de la recta L:xy+1=0 y la
pnrábola y=x24x+5 están trazadas las normales a la parábo
1 «, Millar el área del triángulo engendrado por las normales y
I» ■ unrda que subtiende los referidos puntos de intersección.
S ju Lul. tón. Resolviendo (xy+1= 0)A(y=x 24x+5) , obtenemos:
Pi(1,2) y P 2 (4, 5)
#1 r(x)=x2¿x+5 ♦ f'(x)=2x41 ... n xi = 1 *■ mi=2(1)4=2 ni = 1/2
X 2-Í * m2=2(A)-A=A * n 2=1 / 4
inunciones de las normales:
y.’ = (x1) Li:x2y+3=0
|(x4) L 2 :x+4y24=0
Entonces: L 1 A L 2 = P( 6,9/2 )
1 2
6 9 / 2
A 5
1 2
Mostrar que las tangentes a la hipérbola y = en los
puntos de intersección con lo,s ejes coordenados son paralelas entre sí.
356 Capítulo 3: La Derivada
Be.mosiA.ac.ión. En efecto, los puntos de intersección de la hipér.
bola con los ejes coordenados son A(4,0) y B(0,2)
si f( x) = ü d : v f(x ) = (x2)(l)(x0(,l) =
x2 (x2)2 (x2) 2
Luego, las pendientes de las tangentes a la hipérbola en los pun
tos A y B son:
Para x = 4 mi = _ 2 _ = ¡ . Para x=0 + m 2 = = \
Por tanto, siendo ti=ii2, las tangentes son paralelas entre si.
Trazar la tangente a la hipérbola y = x .j de modo que atraviese el origen de coordenadas.
. . w n x+9 . fifvl (x+5)(1)-(x+9) (1) = _ __
Solución. Sx f(x) x+5 ( (x+5)2 (x+9):i
i(1 )Sea M(xo.yo) el punto de tangencia f'(xo)
11 >n 2: Difer encia ción d e las funci ones 357
t ' ilición. Derivando, en forma implícita, la ecuación de la lí-
nea dada se tiene:
«J;¡7 (x+y) + (x +y )^ (x 2) = a2|^(xy)
‘ <J(1+y') + (x+y)(2x) = a2(1y')
l'nra x=y=0 : 0 (1+ y 1)+(0+0)(0 ) = a 2(l-y'), de donde: y'=m =1
l^'iiación de la ta ngente : y= mx -*■ y=x ■*->■ x-y =0
g a Demostrar que las tangentes a la línea y = trazadas
en los puntos en los cuales y=1, se cortanen el origen de
coordenadas.
j ■ ■t/iación. En efecto, para y = 1 tenemos: 1 =3+x2
de donde: x2 = 1 «> x=1 ó x=1
I ni onces, los puntos de tangencia son: Ti (1,1) y T2 (—1,1)
jjil r(x) 1+3x2 + f»(x ) (3+x2)(6x)(1+3x2)(2x) 16x
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( y ) p g ( )(xo+5)
Dado que la tangente pasa por el origen, su ecuación es L:ymx ,
además M(xo,yo)£L + m = ü2 (2)Xo
De (1) y (2) se tiene: J± = - ---1 — + = ' 7--1771*xo (xo+5) xo(xo+5) (x0+5)
de donde: . xo+18xo+15=0 ■*-*■ xo=3 o xo=15Sustituyendo en (1) obtenemos: mi=1 o m2=1/25
Por tanto, las ecuaciones de las tangentes son:
y = -x ■**• Li :x+y=0 ó y j^x <*■ L 2:x+25y = 0
En la línea y = 1|x2 hallar el punto en el cual la tangen-
te sea paralela al eje de las abscisas.
Solución. Si f(x) = — --- f 1 (x) =1+x2 (1+x2)2
Dado que la tangente es paralela al eje X, su pendien
te m=0, esto es, f ' (x)=0 2x=0 +■+ x=0 y=1Por lo tanto, P(0,1) es el punto buscado.
Hí jH Hallar la ecuación de la tangente a la línea
x2 (x+y)=a2(xy) en el origen de coordenadas.
jjil r(x) 1+3x2 + f»(x ) (3+x2)(6x) (1+3x2)(2x) _ 16x
3+x2 (3+x2)2 (3+x2)2
fura xi = 1 mi = f'(1) = — — = 1(3+1)2
x 2=-1 + m 2 = f'(1 ) = _llá— = -1
(3+1)2
Kntmciones de las tangentes: y1 = 1(x1) ■*-*■ Li:y=x
y1 = 1(x+1) —* L2:y=x
.. Las dos tangentes pasan por el origen de coordenadas.
P J J Trazar la normal a la línea y=xlnx que sea paralela a la
recta L i:2x2y+3=0.
Jmtur ión. Como la normal es paralela a larecta L !:2x2y + 3=0,
entonces: m = 1 v hk = -1n J t
»1 r(x)=xlnx >• f 1 (x) = x f^( lnx ) + lnx |^(x) = x(^) + lnx
Pmn ol punto de tangencia T( x 0,y 0): f' (x 0) = 1+lnx 0 = -1
rt» ‘londe: lnxo = -2 + Xj = e 2 ■> y 0 = e” 2ln e " 2 = 2 e-2
C": T=(e 2,2e"2) y la ecuación de la normal es:
y+ 2 e”2 = 1 (xe 2 ) *-* xy 3 e" 2 = 0
358 Capítulo 3: La Derivada
f%j¡| Hallar la distancia que media entre el.origen y la normal
a la línea y=e2x+x2, trazada en el punto x=0.
Solución. Para x=0 •+ y=e°+0=1 .’. T(0,1)
Si f(x)=e2x+x2 »
*■ mt=f1 (0)=2e°=2
f '(x)=2e2x+2x
■ n- 1 / 2Para x=0
Ecuación de la normal: y1 = '~(x0) L :x+2y2=0
d(0,L)10+2(0)2| _ 2
/T+Z /F
Construir la gráfica de la función y =Sen(2x-tt/3) y hallarel punto de intersección de las tangentes a la grafica,
trazadas en los puntos cuyas abscisas son xi=0 y x 2 = 5ir/12.
Solución.. Para xi=0 yi=Sen(tt/3) = Sen(u/3) = /5/2
X2=5^/12 *■ y 2=Sen( 57i/6Tr/3)=Sen(Tr/2) = 1
■""i 2: Diferenciación de las funciones 361
m i Mostrar que la subtangente a la línea y=ae^x (donde a y b
son constantes) tiene longitud constante en todos los pun-
tos.
I /i» ót/iación. En efecto, sea f(x) = aetx *• f'(x) = abebx
Para el punto de tangencia H( x0,y0), la longitud
■ *1«. I/i subtangente está dada por: ST = I |
bx 'f’U o ) 1
ST = 1 1 = ^ constante' abe )
i m Mostrar que la subnormal a la línea y=xln(cx) (donde c escualquier constante) en cualquier punto de la línea referí
.... la cuarta proporcional a la abscisa, a la ordenada y a la
i «nina de la abscisa y de la ordenada del punto referido.
i li. »/o ¿tsiación. Recordemos que cuasita p/iopo/ic.ional es cualquiera
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Entonces, los puntos de tangencia son: Ti(0,/3/2), T 2 ( 5tt/ 12,1)
f'(x) = Co s (2x-ti/3) |^(2x-ti/3) = 2Cos(2xu/3)
Para xi=0 *■ mi = f®(0) 2Co s (-tt/3) = 2(1/2) = 1
x 2 =5tt/12 *• m 2 = f'(5ir/12) = 2Cos(n/2) = 2(0) = 0
Ecuaciones de las tangentes: y + = 1(x0) <
y1 = 0 (x 5tt /12)
L i A L 2 = (1 + , 1)
En eltrazado de la gráfica de ,y=Sen(2xn/3) podemos observar:
a) El periodo de la función es: T = 2ir/2 = v
b) La gráfica está desfazada 2x=tt/3 *-*■ x=ir/6 , a la derecha del ,
eje Y, respecto de la gráfica de y'=Sen2u.
c) El valor máximo de la función es 1 y su valor mínimo 1.
Li :y=x —
*■ L2 :y=1
de los cuatro términos de una proporción geométri
: "ii iliscreta. Asi, para los números a:b=c:d cualquiera de estos 4
K términos es cuarta proporcional respecto de los otros tres.
■ íni.onces, si T(a,b) es el punto de tangencia, debemos probar que
a a+bb = SN
I ►:n efecto, si f(x) = xlncx *■ b = f(a) = alnca (1)
' ' (y) = x (2) + lncx = 1+lncx *• f'(a) = 1+lnca
I l.migitud de la subnormal: SN = |f(a).f'(a)|
*■ SN = | (alnca) (1+lnca) | = |lnca(a+alnca) |
f Ili'i'ún la ecuación (1): SN = j (a+b)|
i iln donde, prescindiendo de las barras de valor absoluto, obtene
1 Ifrl Mostrar que cualquier tangente a la línea y = i /x¿x2 se
corta con el eje de ordenadas en un punto equidistante en• i ” el punto de contacto y el origen de coordenadas.
!>.■ mott/iación. Si P equidista de los puntos 0 y T, probaremos
que: 0P = PT
362 Capítulo 3: La Derivada
En efecto, sea T(a,b)el punto de tangencia y M(|,|) el puntó
dio de OT, cuya pendiente es: m i = a
Entonces, la ecuación de la mediatriz del segmento OT es:
t b _ a/ a*L i - y - 2 ' ' b ( x " 2)
Como PeLi, su ordenada la obtenemos in
terceptando Lj con el eje Y, esto es,
^ b _ a., avpara x=0 y— 2 ~ “tJV“ 2'
me
y = 2b(a2+b2) ( 1 )de donde
Pero T(a,b)e(y = j /x-ix2)
+ b = /a4 a2
Sustituyendo en (1) se tiene:
y = + |(a4a2)J , de donde
Vi . ión 2: Diferenciación de las funciones 363
'tira M(xo.yo): m = f'(x'o) = ““it5)a yo
ímmción de la tangente: yyo = - ~ t (“ )(x-x 0)a yo
* a2yoy a2y2 = b2x0x + b2x„ + b2x0x + a2y0y = b2x2+a2y£
'nro M(xo,yo)eE b2x 2 + a2y„ = a2b2
b2xox + a2yoy = a2b2 «*■ 2íí + = 1
I T H Mostrar que la tangente a, la hipérbola b2x2a2y2=a2b2, en
el punto M(xo,yo) tiene la siguiente ecuación:
xox _ yoy _ 1a2 " b2
H problema es similar al anterior, por lo que se deja como ejer
rielo para el lector.
i D t l l l li l i t
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y
Por otro lado: y' = —j= ■4/x4.x2
1 8a
i/a-¿a:
Ecuación de la tangente: yb =
Para x=0 obtenemos: yb
1 8a
4 , /a - ¿ a :
( 8a1) a
4./a4a2
(xa)
Luego, PT = /(0a) 2+ (yb) 2 = 7a 2 4 llí8a~ .1i2__________ __ I6(a4a2)
aJ 16(a¿a2)+(8a1) 2 _* _ í _ 9 A16(a4a2) 4/a4s ¿(2b)
a8b
De (2) y (3) se deduce finalmente que: OP = PT
(3)
X 2 v 2Mostrar que la tangente a la elipse E:— +, 1 en el
a2 b2punto M(xo,yo) tiene la siguiente ecuación:
2E± + liL°_ = 1a2 b2
De.mo-it/iac¿6n. En efecto, derivando implícitamente la ecuación
de la elipse obtenemos: y ' =bí(X)
a2 y
i m Demostrar que la normal a la elipse en cualquier punto que
le pertenece divide en dos partes iguales el ángulo entre
i " ■■ radios focales de este punto (véase la Fig. 21). Deducir el
procedimiento para construir la tangente y la normal a la elipse
/)<•mo¿t/iaci6n. En efecto, sea la elipse:
E:b2x2+a2y2=a2b2
miyos focos son: Fi(c,0) y F 2(c,0)
Mnrivando implícitamente la ecuación de
I« olipse obtenemos: y' = "¡Jl (y)
'nrfi el punto M(x 0,y0) de tangencia:
1 n = r,( 2.)yo
Tea = TTHii
á + c Figura 21
_ y°_ b 4o' ~ xo + c _ Xpyo(a2b2)+a2cyo
1 +2 2
a y 2 (b2x2+a2y2)+b2cx0
b2xo(xo+c)>i., M(xo,yo)eE *■ b2xjí+a2y2 = a2b2, además: c2 = a2b2
i ro:: Tga = x°y°c + a2gy° _ cxo(a2+cxo) _ cyo
a b + b 2c x 0 b 2 ( a 2+ c x o )(1 )
364 Cavitulo 3: La Derivada
Pendiente del radio focal MF i: mi = xoc
m in1 +
o2v 2a y a
xoyo(a2b2) + a2cyo
(b2xJ + a2y J) a2cx0
(xoo)b2xo
cyo(a2eyo) _ cyo
a2(a2cyo) a2(2)
Por tanto, de (1) y (2): Tgct = TgB *>• a = B
El procedimiento para construir la tangente y la normal a una e
lipse de ecuación dada es el siguiente:
a) Se hallan los focos de la elipse.
b) Se construye los radios focales correspondiente al punto de
tangencia M.
c) Se traza la bisectriz del ángulo formado por los radios foca-
les, que es precisamente la recta normal.
■
' 1ion 2: Diferenciación de las funciones365
" ' l l a r t o d o s l o s l u g a r e s g e o m é t r ic o s p a ra :
n ) L a p a r á b o l a y 2 = 2p x c ) L a c i r c u n f e r e n c i a x 2+ y 2=a 2
M l -a l o g a r í t m i c a y = l o g b x d ) L a t r a c t r i z y =Z r ?T 7 ?_ ^ n ( a -h /a2 - x 2 }
•"•roción. L a e c u a c i ó n d e l l u g a r g e o m é t r i c o e s d e l a f o r m a L :y =m x
S ab e m os q ue s i y = f ( x ) e s l a e c u a c i ó n d e u n a c u r v a da d a
x o . y o ) e s e l p u n to d e t a n g e n c i a , e n t o n c e s l a p e n d i e n t e d e l a
' in g en t e e s m = f ( X o ) . L u e g o, l a e c u a c i ó n d e l a r e c t a r e q u e r i d a e s
L : y = x f 1 ( x 0 )
U ocuación de la recta vertical que pasa porM(xo,yo)es L lSx=x„
consecuencia, la ecuació n del lugar geomét rico de lospuntos' L A Li) es de la forma: y = xf'(x) ■(1)
* *) y 2 = 2px 2y y' = 2p -*■ y» = ft(x) = E
Luego , en ( 1 ): y = x(2) y2=px
t i l u g a r g e o m é t r i c o e s u n a p a r á b o l a
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d) Por el punto M se traza la tangente perpendicular a la normal
fHrjá Formar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola 7x 2
2y 2=14 que sean perpendiculares a la recta L i:2x+4y3=0.
S o íución, Derivando en forma implícita la ecuación de la hipér.
*bola se tiene: y'
7x
2ym JS.mt ~ 2y
m, = = 2
i f r
7x22(|x) 2 = H , de donde: x 2= 16
mt = 2Si Li:2x+4y.3=0 ■+■
Luego: = 2
Sustituyendo en la ecuación de la hipérbola se tiene:
xi=4 ó x2=4
y 17 ó y2=7
Los puntos de tangencia son: Ti(4,7) y T2(A,7)
Hay dos soluciones: y7 = 2(xA) «+■ 2xyl=0
y+7 = 2(x+¿) 2xy+1=0
C Lv¥ Unarecta pasa por el origen de coordenadas y es paralela
a la tangente trazada a una curva en un punto cualquiera
M de la misma. Hallar el lugar geométrico P de los puntos de in
tersección de la recta referida con una recta que sea paralela
al eje de ordenadas y que pase por el punto M.
t i l u g a r g e o m é t r i c o e s u n a p a r á b o l a .
' l ° v * y' • (í>¡h . e„ (,), , , I(i, i , i... x Inb lnb
lugar geométrico es una recta paralela al eje X.
1 x +y = a2 2x + 2yy1 = 0 y» = .y
Luego, en (1 ): y = x (. p + x 2+y2=0
K1 1Ugar Se°métrico es el origen de coordenadas.
a[Ln(a+/a 2x2)lnx]
2x=? - a l* y' =
2/a2x2
+ a
F --- L r = ( ~ ^ = ) 1]L a + /a 2x2 2/a2x2 xJ
r x2 + a/a2x2 + a2v2~j
L x/a2x2(a + /a2x2)J
/a2x2----- T — ii...—= _
/a2x2 x/a2x2 x/a2x2 x
I.uogo, en (1): y = /a 2x2 x2+y2=a2
i lugar geométrico es una circunferencia.
N» lo. ej.r.lcio. 859.86< hall„ los ángílo> que s> ro ri m ^
l.arse las lineas que se indican.
E H (1) y =f p . y (2) y = ( x _ 2 ) 2 ^ y = /l x_ x 2 u
366 Capítulo 3: La Derivada
S o ¿lición. (1) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones dadas
obtenemos los puntos de tangencia:
Ti (0,1/2) y T2(6,5/4)
f ^x)'= fr Í f '^x ^ = g(x) ¿ -^( *2 + 4x+8) +g'(x) = - ^
Para xi=0 ■+ mi=f'(0) = 1/4 , y m2=g'(0) = 1/4
Como las pendientes son iguales, las tangentes en Tson parale
las, esto es, el ángulo que forman es 8=0°
Para x2=6 ♦ mi=f'(6) = 1/16 y m2=g'(6) = 1/2
• • • • r / ; 6 ; 1; a - $ ? * e ,
(2) (y=(x2)2)A(y= 4x x 2+4) = Ti(0,4) y T2(4,4)
f(x)=(x2)2 *■ f'(x)=2(x2) ; g (x) =4xx2+4 * g'(x)=42x
Para xi=0 ■+ mi=f'(0)=4 y m2=g,(0)=4.
1 «'<n 2: Dife renc iació n de la s funcione *367
Ta ñe , = Í-J U -111! ! - 11 /2 + 1 / 3 ,'T+munz! I" _ V6 j = 1 + 01=45°
l'nra T2 ( 3 , - 2 ) s e t i e n e : mi = 1 / 2 y m2 =3
T a n 92 = | T? i - m2| = 11 / 2 - 3 1 _ l+mim 2 1 11 + 3^2 | " V 3 0 2= a r c T a n ( 1/ 3 )
l i l i x 2 - y 2 =5 ; 4x2+9y2=72
( x 2+ y2 = 5) A ( 4 x 2 + 9 y 2 = 1 2) = T l ( 3 , 2 ) , Ta ( - 3 . 2 ) . T , ( 3 . - 2 )
y T j - 3 , - 2 )
" * - y2
= 5 + 2 x - 2 y y 1
=0 «-•*• y ' = 2yJ+9y 2 = 7 2 -»• 8 x + 1 8 y y ' = 0 +--► y i = . . Í S
. f - 9y1 nra T i (3 , 2 ) obt en em os: m'i = 3 / 2 y mz = -2/3
» - l o q u e ■1 . B , - _ 1 , I a a t a n g e n t e s s o n p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s i unl .o es : 0 1=9O°. ’
8/13/2019 Problemas y ejercicios de Análisis Matemático Tomo 1 - FL
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T“ 8 - ' It t S í I * I ñ é r i l * i f *
Para x2=4 *■ mi=f'(4)=4 y m2=g'(4)=4
Como los coeficientes angulares son los mismos, entonces:
02' = arcTan(8/l5)
t m (1) x2+y2=8 , y2=2x
(2) x2+y24x=1 , x2+y2+2y=9
Solución. (1) (x2+y2= 8) A( y2=2x) = T,(2,2) y Tz (2,2)
x2+y2 = 8 + 2x+2yy1 =0 y' = ^
y2=2x + 2yy' = 2 +» y1 = ~
Para T1(2,2) se tiene: y m2 = 1/2
Tan0‘ = I t t S 1 = rj 1 y l \ = 3 + 0 i=arcTan(3)
(2) (x2+y24x=1) A (x2+y2+2y=9) » T j d ^ ) y T 2(3,2)
x2+y24x=1 2x+2yy'4 = 0 «*■ y' = y
x2+y2+2y=9 *■ 2x+2yy1+ 2y1 =0 ■**■ y> =
Para Ti (1,2) obtenemos: mi=1/2 y m2=1/3
' ' - a l o s o t r o s p u n t o s s e o b t i e n e e l m ismo r e s u l t a d o , e s d e c i r
l o » c u r v a s d a d a s s e c o r t a n o r t o g o n a l m e n t e .
L U I x 2 + y 2 =8 ax , y 2= - 2 Í _ 2ax
I \»luci6n. ( x 2+y 2 =8 ax) A ( y 2 = - | i . ) = T l ( | a , J | a ) , T2 ( f a , - i | a )
y t 3 ( o , o )
| » ' Iy 2 =8 ax ->• 2x+ 2yy ' =8 a + y< - 4a- x
■ 2 Í T ^ * 2 y y 1 = l £ a - x ) 3 x 2 - x 3 ( - 1) ^ ,r, _ x 2 ( 3 a - x )
8 ,6r i ( 5 a , - j a ) o b t e n e m o s : m-i =3 / 4 y m2=7
T an © i = = I 3 / 4 - 7 i
1+mim2 lr + 21/J = 1 * '6l^ 5
[ >’ '>>•'! T 2 ( | a , ~ ± | a ) s e t i e n e : ¡ n ^ - 3/ 4. y m2=. ?
T a n 0 2 = 1 -»■ e 2 =4 5 °
1 1,1 T j ( 0 , 0 ) s e t i e n e: mi=«o y m2=o
1 " t a n g en t e s s on p e r p e n d ic u l a re s , e s t o e s : 8 3=9 0 °
ITEl x 2 = 4ay ; y = — -8a 3- x 2 + 4 a 2
I n t e r c e p t a n d o a m b a s c u r v a s o b t e n e m o s :
368 Capitulo 3: La Derivada
8a*
x2+4a2
,a) y T2(2a, a)
2x = ¿ay1 y = ú -
> v 1 =8a3(2x)
j (x2 + ¿a2)2
a) : mi = 1 y m2=1/2
1 mimj i = I1 + 1/2| = 3' 1 +ra j.m2 >1 1/2'
Por simetría, para T2Í2a,a): Tan02=3 0 102=arcTan(3)
y=Senx , y=Cosx , O^x^it
Solución.. Interceptando ambas curvas se tiene:
Senx = Cosx *• Tanx = 1 *■ x=ir/U
f(x)=Senx + f1(x)=Cosx : g(x)=Cosx g'(x)=Senx
Para x=ir/4 + mi=f1(tt/4) =/2/2 y m2=g 1 (ir/4)=>/2/2
mím 2 I = |/2/2 + /2/2 I 2 / 2 >■ 0=arcTan(2/J)
i l " ’ Dife ren cia ció n d e las func ion es 369
mil a a para todos sus puntos.
!', <<• \t/iación. Sea M(xo,yo) un punto de tangencia
Derivando implícitamente la ecuación dada obtene
t"1 1 y' = ■ y ? • Entonces, para el punto M: m. = - Jll u * Xo
Inunción de la tangente: yyo = /^ (x xo)f X o
, )"M ¡nterceptos con los ejes coordenados son:
(•mn y = 0 -*• x = xo + /xoyo
x=0 y = y0 + /xoyo
I» nurna de.estas igualdades nos da: x+y = x0+y0+2/x0yo (1)
limlii que .M. pertenece a, la curva ■* /x¿ + /y7.= /a
f liivnndo, al cuadrado, ambos extremos resulta: x0+yo+2/x0yo=a (2)
fm lanto, de (1) y (2) se deduce.que: x+y = a
m i Mostrar que el segmento de la tangente a la astro de
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Tan0 = Im ím 2
1 +miH2
I = |/2/2 + /2 /2 I _ 2 / 2 >■ 0=arcTan(2/J)
I I 1 - 1 / 2 1
EfCl Formar la ecuación de la tangente y de la normal a 1a. cur-
va: (^)n + = 1 , en el punto cuya abscisa es a.
Solución. Para x=a obtenemos y=b T(a, b)Derivando, en forma implícita, la ecuación dada se
tiene: n(f )n'1 (±) + n(*)n'1 < f > = 0 y ' = (J) ^
b n.” "1Para T(a,b) se tiene: = — (1)
Cuando n es un número impar: m^b /a y mn=a/b
Ecuación de la tangente: yb = |(xa) f + = 1
Ecuación de la normal: yb = g(xa) ■*-+ axby=a2b2
Cuandon es un número impar: m^ = ±b/a y mn = *a/b
Entonces, las ecuaciones de las tangentes y las normales son,
respectivamente: a * b = 1 ’ ax ± by = a2b2
KTjjTjJ Demostrar que la suma de los segmentos formados en los e
jes coordenados por la tangente a la curva /x + /y = /a es
x2/3+y2/3=az/3 limitado por los, ejes de coordenadas tiene
longitud constante e igual a a.
I ••tn.ación. En efecto, sea M(xo,yo) un punto de tangencia
Derivando implícitamente la ecuación dada sé tie
ii": y' = • entonces para el punto M:
inunción de la tangente: _yiyo = ^Í 2(x x0)
(■■i i nterceptos con los ejes X e Y son respectivamente:
(*”’ '* y=0 x = x° + 3‘/x7yf + x2 = x2 + 2xoVx„y2 + yo3/x2y0
x = 0 + y = y 0+ 3/xIy7 + y2 = y? + 2y0V x 2y0 + x03/x0y2
>: x2+y2 = x2 + y o + 3x0 3/x0y2 + 3yo3A|y"0 = (’/*! + 3^y§)3
M(xo,yo) pertenece a la curva •> 3/xJ + 3/y* = 3/eJ
fciiiunces: x2 + y2 = (3/a"2) 3 = a2
fli os la longitud del segmento de tangente comprendido entre
.
.....¡es coordenados, entonces: í = /x2 + y2 = a
T T 1 Demostrar que el segmento de la tangente a la tractriz:
370 Capítulo 3: La Derivada
limitado por los ejes de coordenadas y el punto de contacto, tie
ne longitud constante.
De-mo-it/iación. En efecto, sea M(xo,yo) el punto de contacto.
y = §[ln(a+/a2x2) ln(a/a2x2)] /a 2 x2
ar 1 f 2x \ 1____ ~2x — ll — ~2x -
" y = 2 L ¡ ^ P 2 ^ 2 ‘ a - A 1^ 2 / ^ T 2 J 2 ¿ ^ ?
a r _______2______ — _ — — x ~1 + x ■" 2 L /¡ ^^ ía +Z a2^ 2) /a2x2(a/a2x2)J /a2x2
fxr _ _ _ ¿ a --------q +
L /a2x2(a2a2+x2)J /a2:
a2__ * x = x2a2 = _ /a2x2
x/a 2x2 /a2x2 x/a 2x2x/a2.x2
Para el punto M(xo,yo): = —
/a2_x2 .
Ecuación de la tangente: yyo = ----'
" >n2: Diferenciación de las funciones 371
n.= 22t y0
l'nra M(xo,yo):
r: unción de la recta normal:
yyo - - | ^ (x -x 0 )A 0
m ,i y=0 •> yo = X 2( xx 0)Xo
tionde: x=2x0 N=(2x0,0)
MN = /(2xj¡
MN = r
uii) Mostrar que el segmento cortado en el eje de abscisas por
la tangente en un punto cualquiera de la curva + ¿,= 1x y
«■i proporcional al cubo de la abscisa del punto de contacto.
U/iaci6n. Si x es el segmento del eje X y M(x0,yo), el pun-
to de tangencia, probaremos que: x=kx^
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Si x = 0 yyo = J(xo) y = y o + A 2 - x 2
de donde: x = xo(
'•o
Xp
Si & es la longitud del segmento de tangente •» l /x2+y
£ 2 _ a2 o ay = „ryo+j V ^ ?Entonces:-------- '— ~ * 36 /—=--; v r~i 2
.,2 a2x 2 /a X« /a2 2
/, 2_ y2 ■ ,y 0+/a 2-X„\0 .+ yo = x'n (x~x0) + X = ^0 ( /f= T °J ' XO /a x;
y A 2 2
_+ x2+y2 = x2+a2x2 = a2
y2 a2x§ a2x2
y a xj /a x¡¡ * a *0
Mostrar que para cualquier punto M(x0,y0) de la hipérbola
equilátera x2y2=a2 el segmento de la normal desde el pun -
to M hasta el punto de intersección con el eje de abscisas es i
gual al radio polar del punto.
De.mOsiiA.aciín. En efecto, sea MN el segmento de la normal y r elradio polar del punto M.
Derivando implícitamente la ecuación de la hipérbola se tiene:
. = 22x 2yy' = 0 > y y
g , p q
(Su nfecto, derivando implícitamente la ecuación dada se tiene:
+ by 2 = 1 2ax"':i2by3y' b x
nra el punido M(x0,yo): m = r(^)3D X o
"unción de la tangente: yy0 = ■|(X? )3(xx0)
D X o«••« y=0 y„ = |(.|£)3(xxo) x = x„ + () (i 2
que Me ( - 2 - + - L = 1) > y 2 =
y x0a
bx?
,b'fx°2
yo(1)
I. Ltuyendo en (1): x = x 0 + ( - ) ( x ° ^x°~a^) =a , 2 ' 0
bxo
x = kxí
C O Demostrar que la ordenada de cualquier punto de la línea
2x2y2x“=c (donde c es una constante) es una media propor-
c i o n a l entre la abscisa y la subnormal trazada a la línea en el
» l >mo punto.
.........U/iac¿¿n. Sea M(x0,y0) el punto de tangencia y SN la subnor
mal trazada de M. Demostraremos que:
yo = xo(*o SN)
372 Capitulo 3: La Derivada
En efecto, derivando implícitamente la ecuación dada se tiene:
2 [x2 ( 2yy * ) + y2(2x)] 4.x3=0 y'. x2y2
xy
Para el punto M(x0,yo
Si SÑ
f'(xo) Vi
x 0yo
f ( x 0 ) . f ' ( xo ) |
yj = xo(xo - SN)
SN = + x0SN = xj y?Jv Oj O
U 3 Dadas las elipses b2x2+a2y2=a2b2 cuyo eje 2a es común,
mientras que los ejes 2b son diferentes (véase la fig.22),
demostrar que las tangentes trazadas en los puntos cuyas absci-sas son las mismas, se cortan en un mismo punto que pertenece al
eje de abscisas. Valiéndose de ello señalar el procedimiento sen
cilio para construir la tangente a la elipse.
De.mos¿yiací¿n. Sea M(x0.yo) el punto de tangencia de cualqiera
de las elipses mostradas en la figura 22.
s‘' ‘ión 2: Diferenciación de las funciones373
l') Ubicar el punto T(x,0), construyendo la magnitudx= a2/x0.
■) Trazar las tangentes uniendo los puntos M y T.
Mostrar que la línea y=ekxSenmx toca a cada una de las lí-
neas y=eKX, y=ekx en todos los puntos que son comunes pa-ra ellas.
l'*mo4Uaci¿n. Bastará probar que las pendientes de las tangen-
tes en todos los puntos que son comunes alas líiMwiri dadas, tienen el mismo valor.
.... resolviendo el sistema
y * eíxSenmx ; y = ekx
M tiene:
Il»nmx=1
ekxSenmx = ekx
► mx = nTT + (_i)n (I)
X = S I . + (l)n (»/2) , neZ
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de as e pses ost adas e a gu a
Derivando implícitamente la ecuación
de las elipses obtenemos':
i b2/Xiy' = -
Para los puntos M: m = •
Ecuaciones de las tangentes:
y - y0 = - - p ( ^ ) ( x - x 0)
2 2
Para y=0 ■+ x- x0 = "frí^-)
Dado que M(x0,y„) pertenece a cual-
quiera de las elipses, entonces: y2
a2-x2Luego, en (1), se tiene: xx„ = — — 2
Figmxá222
r(aJx§)
a2Xo
Como a y x0 son comunes para todas las elipses, se concluye afir
mando que T(x,0) es el punto de intersección, con el eje X, de
todas las tangentes trazadas de los puntos M.
El procedimiento para construir la tangente a la elipse es el si_
guiente:
a) Por el punto S(xo»0) levantar una perpendicular al eje X has-
ta su intersección con la elipse en M(xo,yo).
k todos los puntos de intersección,
j >n particular, para n=1, x0=ir/2m
I li«i 1 vando ambas ecuaciones obtenemos:
i ' (x)=eJtx(mCosmx+kSenmx) y g'(x)=kekx
i* » ' " « o =ir/2m + su=f ' (ir/2m)=ekx° [m(0)+k(1)] = k e kx °■+ m2=g' (ir/2m)=kelyCo
1. mi m2* las tangentes son coincidentes, esto es, la línea
»nmx toca a la línea y=eKX en todossus puntos comunes:
x0 = ( nEZ
[>• r'«mente se demuestra que la línea y=ekxSenmx toca a la 1 íkx . i _
í* ' " en 3US puntos comunes: Xi = ¿[nir + (1 )n(ïï/2)] , neZ
B D 1 ,ira construir la tangente a la catenaria y=aCosh(x/2) se
procede de la manera siguiente: en la ordenada MN del pun
1 pío sirve de diámetro, se traza una semicircunferencia
SM<la fig.23) y se marca la cuerda NP = a, la recta MP será la
■flu"",!" buscada. Demostrarlo.
374 Capítulo 3: La Derivada
DIFERENCIAL
Supongamos que la función f: [a, b] +R/yf (x) es u
na función derivable sobre el intervalo [a,b]•
En un punto xe [a, b] la derivada de esta función se determina por
la igualdad:
lim (4í) = f '(x)Ax+0 Ax
Cuando Ax+0, la razón tk tiende a un número determinado f'(x) y,
por consiguiente, se diferencia de la derivada f 1(x) en una mag-
nitud infinitamente pequeña, esto es:
£*.= f(x) + h
donde h+0, cuando Ax+0.
Despejando Ay de esta igualdad obtenemos:
A f'( ) A + h A (1)
■'"n 3-' Diferencial 375
■ln Ó3ta en una magnitud infinitamente pequeña, deorden superior
inipecto a Ax. Si f ’(x)¿0, h.Ax es un infinitesimal deorden su
i"wlor también respecto a dy, y, por consiguiente:
lim (4*3 = 1 + lim --M .* .. = 1 + lim -- — = •)Ax+0 * Ax+0 f'(x).Ax Ax+0 f'(x)
i ii.o nos permite utilizar, en los cálculos aproximados, la igual
•1 mi aproximada:Ay = dy (5)
0 bien:
f ( x+ A x) - f ( x ) * f ' ( x ) d y ( 6 )
1 ERRORES PEQUEÑOS Una de las aplicaciones de los diferen-
ciales es la de determinar la influencia
1 un tienen pequeños errores en los datos sobre el cálculo de mag
ni ludes. Si se mide una magnitud y el valor determinado es a, pe
' " hay un error h, se define el e.si/iosi a .ilativo o proporcional al
nuciente:
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Ay =f'(x).Ax + h.Ax (1)
Como podemos observar, el incremento Ay de la función se compone
de dos sumandos, dé los cuales el primero recibe el nombre [cuan
do f(.x)¿0] de pa/ite. pn.lnc.Lpal del incremento, que es lineal con
relación a Ax. El producto f'fx).Ax se denomina d.Ue.yie.ncial de
la función y se designa por dy o por df(x), de modo que:dy = fr(x).Ax (2)
Considerando la igualdad dx=Ax como definición de la diferencial
de una variable independiente, la fórmula (2) se puede escribir:
dy = f ' (x ). dx (3 )
de donde se desprende que:
f'(x) =
Por lo que, la derivada f'(x) puede ser considerada como la ra-
zón de dos diferenciales; la diferencial de la función respecto
a la diferencial de la variable independiente.
Introduciendo la fórmula (3) en la formula (1) tendremos:
Ay = dy + h.Ax (4)
como vemos, el incremento de la función difiere de la diferencial
nuciente:
6 = Üa
y el ¿n.n.OJi porcentual como: e = (■■jJx'lOO
Supongamos que f es una función de variable real x, la cual ha
nido objeto de medición en la que hay un error en la medida del
v/ilor de a, es decir, la función puede tomar el valor f(a+h) en
I upar de f(a). El error de la función es:
Af = f(a+h) f(a)
y el error relativo es simplemente:
, _ Af _ f(a+h)f(a)o f f
:¡ln embargo, en cálculos de este tipo es conveniente utilizar la
nproximación para el error relativo:
6 = d f = L H i M (7)
f f ( a )
I 2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DIFERENCIAL
Sea la función y=f(x) y su correspondiente gráfica,
limemos un punto P(xj,yi) cualquiera de la curva y=f(x) y trace
"">s una tangente T a la curva en este punto y designemos por a
376 Capítulo 3: La Derivada
e l á n g u l o f o rm a d o p o r l a t a n g e n t e T y e l e j e X .
I n c r e m e n t an d o a l a v a r i a b l e x i u n
i n c r e m e n t o A x =P S, e n t o n c e s l a f u g
c i ó n r e c i b i r á e l i n c r em e n t o Ay=SQ
E n e l APSR s e t i e n e :
Tana = • + SR = P S.Tana
D ad o q u e : Ta n a = f ' ( x i ) y P S= Ax
e n t o n c e s :
SR = f ' ( x j ) . A x
P e ro p o r d e f i n i c i ó n : d y = f ' ( x ) . A x
SR = dy
E s t a ig u a l d a d s i g n i f i c a q ue l a d i
f e r e n c i a l d e l a f u n c i ó n f ( x ) c o r r e s p o n d i e n t e a l o s v a l o r e s d’a d os
x i y Ax , e s i g u a l a l i n c r e m e n t o d e l a o r d e n a d a d e l a t a n g e n t e a
l a c u r v a y = f ( x ) e n e l p u n t o d ad o x i .
ión 3: Diferencial 377
ri. ol segundo caso: a=Ay=0.0201 y h=0.02010.02=0.0001
. I'<>r tanto, los errores relativos son, respectivamente:
A‘ = °°5 y = T t i § T = °00«
■*
0 0 Hallar el incremento Av del volumen v de una esfera al au-
mentar el radio R=2 en AR. Calcular Av, si AR=0.5, 0.1,
Cuál será el error en el valor de Av, si se limita al tér-
mino que contiene sólo el primer grado de AR?
'"f ación. El volumen de la esfera es: v = ttR3
Av = f (R +A R)- f(R ) = Í t t (R+AR ) 3 - | t t R 3
= AR(3R2+3RAR+A2R)
l'ra R=2 y AR=0.5 + Av = 0. 5(12+3+0.25) = 7.625
R=2 y AR = 0.1>• Av.= 0.1(12+0.6+0.01) = 1.261
R=2 y AR = 0.01 Av = 0.01(12+0.06+0.0001) = 0. 1206
f I id ól l té i ti l i d d
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E n l a f i g u r a s e o b s e r v a q ue A y> d y, p e r o n o s ie m p r e o c u r r e e s t o ,
h a y o c a c i o n e s e n q u e A y < d y .
PROBLEMAS RESUELTOS
Hallar el incremento de la función y= x2 correspondiente al
incremento Ax de la variable independiente, CaLcular Ay si
x=1 y Ax=0.1, 0.01; cuál será el error (absoluto y relativo) del
valor de Ay, si se limita al término que contiene sólo el primer
grado de Ax?
Solución. Si f(x)=x2 f(x+Ax} = (x+Ax)2 = x2+2xAx+A2x
Entonces: y = f(x+Ax)f(x) ” Ax(2x+Ax)
Para x=1 y Ax=0.1 + Ay — 0.1(2+0.1) 0.21
x=1 y Ax=0.01 *■ Ay = 0.01 (2+0.01) = 0.0201
Considerando sólo el término lineal de Ax, se tiene: Ay = 2xAx
Luego, para x=1 y Ax=0.1 + Ay = 2(0.1) = 0.2
x=1 y Ax=0.01 + Ay = 2(0.01) = 0.02
En el primer caso, la medida de la magnitud es a=Ay=0.21
y el error absoluto en la medida es h=0.210.2=0.01
877
f. I ae considera sólo el término que contiene el primer grado de
AH, entonces: Av = 3R2AR
I,lingo, para R=2 y AR=0. 5 t Av = 12(0.5) = 6
R=2 y AR=0.1 + Av = 12(0.1) = 1.2
R=2 y AR=0.01 *• Av = 12(0.01) = 0.12
r r tanto, los errores respectivos son:
h = 7.6256 = 1.625
h = 1.2611.2 = 0.061
h = 0.12060.12 = 0.0006
( 2 J Dada la función y= x3 + 2x, hallar el valor del incremento y
de su parte lineal principal que corresponden a la varia-
ción de x desde x=2 hasta x=2.1.
m (ución. Ay = f(x+Ax)f(x) = (x+Ax)3+2(x+Ax)(x3+2x)
= Ax(3x2 + 2 + 3xAx + A2x)
Para x=2 y x=2.12=0.1 se tiene:
Ay = 0.1(12 + 2 + 0.6 + 0.01) = 1.461
I.m parte lineal principal, según la fórmula (3) es: dy=f'(x)dx
dy = (3x2+2)dx
1 ira x=2 y dx=0.1+ dy = (12+4)0.1 = 1.^61
378 Capitulo 3: La Derivada
Mil Qué incremento recibe la función y=3xzx al pasar el valor
de la variable independiente de x=1 a x=1.02? Cuál es el
valor de la parte lineal principal correspondiente? Hallar la ra
zón entre los valores segundo y primero.
Sotuciin. Ay = f(x+Ax)f(x) = 3(x+Ax)2(x+Ax) (3x2x)
= Ax(6x1+3Ax)
Para x=1 y Ax=1.021 = 0.02 se tiene: Ay = 0.02(61+0.06)=0.1012
La parte lineal principal es: dy = f'(x)dx = (6x1)dx
Para x=1 y dx=0.02 *■ dy = (61)0.02 =0 .1
^ = 0.9881
gj Qg Dados la función y=f(x) y el incremento Ax=0.2 en un punto
x, hallar la derivada en el punto x, teniendo en considera
ción que la parte principal correspondiente del incremento de la
función resultó igual a 0.8.
So¿uciin Sabemos que: dy=f'(x)dx
-'»■i i ión 3: Diferencial 379
y al error relativo es: 6 = = 0.00 52
li JJ Hallar el incremento y la diferencial de la función y=/x
para x~A y Ax=0.41. Calcular los errores absoluto y relati
vo. Trazar la gráfica.
VDtuciin. Ay = /x+Ax /x = A+ 0. ¿1 /£ = 2.12 = 0.1
dy = f1 (x)dx = (■— L) dx = ( — )(0.¿1) = 0.10252/5 2/1
Krror absoluto: h = Aydy = 0.0025
Krror relativo: 6 = = 0.025
ll'irÍi “*x * para x=2 calcular Ay y dy, dando a Ax los valores
Ax—1 , Ax=0.1 , Ax=0.01. Hallar los valores correspondien-
t e al error relativo:6 = [Ax dy l
IA |
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So¿uciin, Sabemos que: dy=f (x)dx
Entonces, para dy=,0.8 y Ax=dx=0.2 , se tiene:
0.8 = f '(x)(0.1) , de donde: f'(x)=4
Sea dada la función f(x)=x2. Es sabido que en un punto al
incremento de la variable independiente Ax=0.2 le corres-
ponde la parte principal del incremento de la función df(x)=0.8
Hallar el valor inicial de la variable independiente.
Solución. Si dy=f'(x)dx + 0.8 = f'(x)(0.2) «+ f'(x)=4
Para f'(x)=2x ■* 4=2x x=2
FTjKg Hallar el incremento y la diferencial de la función y=x2x
para x=10 y Ax=0.1. Calcular los errores absoluto y relati
vo que se obtienen al sustituir el incremento por la diferencial
Trazar la gráfica.
So ¿uciin. Ay = f(x+Ax)f(x) = (x+Ax)2(x+Ax) (x2x)
= Ax(2x1+Ax)Para x=10 y Ax=0.1 *■ Ay = 0.1(201+0.1) = 1.91
dy = f'(x)dx = (2x1)dx = (201)0.1 = 1.9
El error absoluto es: h=Aydy = 1.911.9 = 0.01
I Ay |
'‘■‘(uciin. y = (x+Ax) s(x+Ax) (x3x) = Ax(3x21 + 3xAx+A2x)
dy = f'(x)dx = (3x21)dx
l'ua x=2 y Ax=1 > Ay = 1 [12 1 + 3(2) (1) + 1 2] = 18
*■ dy = (121) (1) = 11
' |Ay dy | = j 1811 | = 7 *• 5 = = 0.39
l'«ra x=2 y Ax=0.1 + Ay = 0.1(121+0.6+0.01) = 1.161
dy = (121)(0.1) = 1.1
1 |Ay dy I = |1.161 1.11 = 0.061 > 6 = 0.0526
l'Mia x=2 y Ax=0.01 + Ay= 0.01(121 + 0.06+0.0001) = 0. 110601
■> dy = (121) (0.01) =0.11
I' |Ay dy| = 0.000601 + 6 = = 0.0055
ll IJ Para la función y=2x, cuando x=2 y Ax=0.4, hallar gráfica-
mente (trazando la gráfica en papel milimetrado a gran es
,l) incremento y la diferencial y calcular los errores abso
■ y relativo al sustituir el incremento por la diferencial.
(uciin. Ay = 2x+Ax 2X = 22' k 22 = 5.2784 = 1.278
dy = 2xln2dx = 22 (0. 69) (0. 4) = 1.104.
380 Capítulo 3: La Derivada
Error absoluto: h = |Aydy| = 0.174
Error relativo: 6 = JAL lÉZÍ = ,Pr.!7A. = 0.136I Ay i 1.278
La solución gráfica se deja como ejercicio.
El El lado de un cuadrado mide 8cm. En cuanto aumentará su á
rea si cada lado se prolonga en: a) 1cm , b) 0.5cm , c)
0.1cm . Hallar la parte lineal principal del incremento del área
del cuadrado y valorar el error relativo (porcentual) al susti-
tuir el incremento por su parte principal.
Solución, Si x es el lado del cuadrado, la función que define
el área es: f(x)=xz
El incremento de esta función es: Af = (x+Ax)2x2 = Ax(2x+Ax)
y su parte principal: df = f'(x)dx = 2xdx
a) Para x=8 y Ax=1 *• Af =1 (16+1) =17 , df=2(8) (1) =16
Error porcentual: e = 1005 = 100(■' ^ ^ ) = 5.88$
i .... < / diferencial 381
II) 0,25/x (9) i¡¡~% (17) 2_1,/Cosx x *(¡O (10) mfii (18) lnTan(| |)
°*2
(1) _ 1 _ (11) (x2+¿x+2)(x2-/x ) (19) Cosx 0.5x2 1x2
(4 ) —— (12) x— (20) /arcSenx+(arcTgx)4X1* x 31
I M - i - (13) 1(21) 3arcSenx4arcTgx+
1 7. ' / x 1t2 garcCosx ^arCtgx
(fe) 1 (U ) (1+xx2)3 (22) 31/x + 3x 3. ^
_ Z La+b (15) Tan2x
E (16)x
q
,lnTanx
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b) Para x=8 y Ax=0.5 •*■ Af =0. 5(16+0. 5) =8. 25 , df=l6(0. 5) = 8
Error porcentual: e = 1 0 0 ( ^ = 3.03Í
c) Para x=8 y Ax=0.1 *• Af=0.1 (16+0. 1) =1.61 , df=16(0.1) = 1. 6
Error porcentual: e. = 100 (^ * = 0.62?
Es sabido que al aumentar cada lado de un cuadrado en 0.3
cm la parte lineal principal del incremento del área cons-
tituye 2.¿cm2. Hallar la parte lineal principal del incremento
del área que corresponde al incremento de cada lado en: a) 0.6cm
b) 0.75cm , c)1.2cm.
Solución. Sea x el lado del cuadrado y f(x)=x2 la función que
su área.
Dado que df=f1 (x)dx + df=2xdx ' 2.4=2x(0.3) ■*"*■ x=4
a) Para x=4 y dx=0.6 df = 2(4)(0.6) = 4. 8 en2
b) Para x=4 y dx=0.75 df = 2(4) (0.75) = 6 cm2
c) Para x=4 y dx=1.2 + df = 2(4)(1.2) = 9.6 cm2
889 Hallar la diferencial de la función:
¿uamencia. El uso de la fórmula dy=f'(x)dx para determinar la
diferencial de una función se reduce en realidad al
* 4l< uLo de la derivada, ya que, al multiplicar ésta por la dife
I* nlal de la variable independiente se obtiene la diferencial
rt•. I/i función. Por tanto, siendo bastante fácil el cálculo de c¿
■1 , 'iirivada, se deja al lector como ejercicio.
m i Calcular el valor de la diferencial de la función:
(1 ) y = — _ _ al variar la variable independiente des(Tanx+1) 2
de x = n / 6 hasta x = 6 1 tt/ 3 6 0
I ) y=Cos2iJ) al variar iti desde 60° hasta 60 030'
I ) y=Sen2<li al variar i|> desde ir/ 6 hasta 61tt/360
I .) y=Sen3>l> al variar íji desde tt/ 6 hasta 61tt/360
('0 y=Sen(8/3) al variar 0 desde ff/ 6 hasta 61tt/360
' i'nción. y=(1+Tgx)”2 *• dy = 2(1+Tgx)~^(Sec2x)dx = ^ e°2x dx(1+Tgx) 3
Para x=ir/ 6 y dx = (61tt/360) (ir/6) = tt/360 se tiene:
382 Capítulo 3: La Derivada
dy = . ^ (2 //5 )2 (JU ) ------------- 2------- = .0.0059(1 + / 5 / 3 ) * ^ 2 0( 3 + / 5 ) *
(2 ) y=Cos*<li ♦ dy=-2CosHiSenil( dO = -Sen24id'l>
Pa ra i» = ^ y d\|> = 30* = * d y = - ( S e n ^ j )
dy = -(£f)(35ó> = -°-0075
( 3 ) y=Sen2i| > ♦ dy = 2Cos2<|>di|>
P ar a <p=ir / 6 y d y = ( 6 l i r / 3 6 0 ) - ( * / 6 ) = i r / 3 6 0 -* d y =2 C o s | ( 3| 5 )
.% d y = 2 < ^) ( 3^5 -) = 0.00872
(A) y=Sen3^ •+■ dy = SCosS d»!)
S i vp=ir / 6 y d^=ir/360 * dy = 3(C os^ ) (-jg^) = 0
(5 ) y= Se n( 0 /3 ) ♦ dy = -^Cos í^JdO
P a r a e=u/6 y de= i í /360 + dy = ^(Coffyg ) ( 3 5 5) = 0 . 0 0 2 8 7
Si i mu .i: Diferencial 383
U2J H a l l a r e l v a l o r a p r ox im a do d e l i n c r e m e n to d e l a f u n c i ó n
y = i - 5 o s x a l v a r i a r * d e s d e 3 h a s t a j + ^
I n/ iic ión. f 1 ( x ) - ( 1 - C o s x ) ( - S e n x ) - ( H - C o s x ) ( S e n x ) _ _ 2 S e n x
( t - C o s x ) 2 ( 1 - C o s x ) 2
2 S e n x d xA y = d y = f • ( x ) d x = -( 1 - C o s x ) 2
„ x = i y dx = 1 + Ay „ 2Sen<»/3) (1/100) = _ V ?
3 W ( 1 - C o s i ) 2 ^
= 0.0693
t m p = k Cos2i|i , hallar dp\ ■•Ilici ón. dp = f 1(ip)dp = k — 2..??n 2ltl dUJ = kSen2^ dtJj
2 Cos20 Co s2i|j
1 i Í~1 y = 3 ^ x + 2 ^ 2x + (/*, Calcular dy para x=1 y dx=0.2
■■■■tución. f'(x) = 31/xln3(±)' + 21/2xln2(2^)' + ó^lnóí/Sc) 1
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B H H a l l a r e l v a l o r ap ro xi m ad o d e l i n cr e m e nt od e l a f u n c i ó n
y = S e n x a l v a r i a r x d e s d e 3 0 ° h a s t a 3 0 ® 1 ' .A q u e e s i g u a l
S e n 3 0 ° 111
Solución. S i f ( x ) = S e n x + d f = C o s xd x
P ara x = \ y d x = 1 ' = ( ~gj ) ( ^ = . s e t i e n e
A f - d f = ( c o s f K - ^ W ) - * ° * 0 0 0 2 5
S e g ún l a f ó r m u l a ( 6 ) : f ( x + A x ) = f ( x ) + f ' ( x ) d x
E s t o e s : S e n ( 3 0 ° + 1 ' ) = S e n 3 0 ° + A f = \ + 0 . 0 0 0 2 5 = 0 . 5 0 0 2 5
B C T H a l l a r e l v a l o r a p ro x im a d o d e l i n c r e m e n t o de l a f u n c i ó n
y =T a nx a l v a r i a r x d e s d e ¿ 5 ° h a s t a 4 5 ° 1 0 ' .
Solución. A y = d y = f ’ ( x ) d x = S e c 2 x d x
Si x = | y dx = 10» * 5 ^ ) =
E n t o n c e s : A y = S e c 2 ( ^ ) ( jq^q~) - ( /? ) 2 ( - |oA0^ ~ ° *° °5 82
tuc ó ( ) / ( ) / ( ) ó ó /Sc)
= 31/xln3( — ) + 21/2xln2(---1) + L)x2 2x2 2/x
o1/x ,1/2x ¿/x= --- ln3 ----ln2 + -— ln6
x2 2x2 2/x
Knlonces: f'(1) = -31n2 - ln2 + |ln6
= -3(1.0986) - (0.707)(0.6981) + 3(1.7918)
= -3.2958 - 0.49 + 5.375A = 1.5896
.’. dy = f' (1)dx = (1.5896) (0.2) = 0.31792
T T 1 Calcular aproximadamente Sen60°3' , Sen60°18'. Comparar
los resultados obtenidos con los datos tabulares.
••tución. Sea la función f(x)=Senx + f'(x)=Cosx
Según la fórmula: f(x+Ax) = f(x) + f'(x)dx
"" donde: x = 60° = | , dx = 3' = ( •)(j§ó) = 3S0Ó *se tiene:
(' (60° +1 ') * f(l) + f.(|)dx .S en* + C o s * ^ ) = + 1(-^_)
i- donde: f(60°1») = Sen60°1' = 0. 8 6 6 4 5
• ’i’ún los datos tabulares: Sen60°1' = 0.8664.61
384 Capítulo 3: La Derivada
Si dx = 18' (■gó~)(18C>) 600
f(60° + 18') = Sen(^) + Cos(|). (g gO = + ■|('6oÓ^
de donde: f(60°+18') = Sen60 °18'.= 0.8686
Según los datos tabulares: Sen60018' = 0.868776
rC TM Comprobar que la función y = satisface la relación
2x2dy = (x2y2+1)dx.
Compn.óHac.l6n., En efecto, diferenciando la función dada se tiene
(xxlnx)(j) (1+lnx) [lx(^)lnx]dy = — dx
(xxlnx)2
* dy = _! +i n! x_ dx . x2dy * 1+ln^dx (1)x2(1lnx)2 (1lnx)2
1+lnx . í„2 + i . (1Hnx)2, 1 _ 2(1Un2x)
' " 1lnx (1lnx)2 (1lnx)2
+ x2y 2+1 Hln2x (2)
■" " i J : Dif ere nc ial 385
AIi't o bien: f(1) = e0,1^11^ = e° = 1
f'(x) = e°*l(x_x2)£0.1(12x)] * f'(1) = e°[0.1(12)]= 0.1
l.uoKo, en (1): f(1.05) = 1(0.1) (0.05) = 0.995
I H 3 Calcular arcTan1.02 y arcTan0.97
i mfución. Si hacemos f (x.)=arcTanx, el objetivo será calcular
f(1.02) y f(0.97) mediante la aproximación:
f(x+Ax) e f(x) + f'(x)dx
..i 1(1.02) = f (1 + 0. 02) = f(1) + f * (1) (0.02)
1(1) = arcTand) = \ ; f'(x) = ^ f'(1) = = 1
.*. f (1.02) » I+ |(0.02) = 0.795
•') f (0. 97) = f (10.03) = f(1) + f ' (1) (0.03)
= 0. 785 5 (0 .0 3 ) = 0.770
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y _
2 (1lnx)2
Al sustituir (2) en (1) obtenemos: 2x2dy = (x2y2+1)dx
Comprobar que la función y definida por la ecuación
arcTan(*) = ln/x2+y2 satisface la relación:
x(dydx) = y(dy+dx)
Compn.oi.ad6n, En efecto, derivando implícitamente la ecuación
dada se tiene:
---1----(i). = ---- 2---(x2+y2)'1+(x/y)2 x 2(x2+y2) .
* < - ^ ¡ ) < ^ > ■ ~ * < g > - y ■ * ♦ ( g ) yx +y x 2(xz+y‘!)
de donde: x(dydx) = y(dy+dx)
f(x) = e°*1x(1_x), Calcular aproximadamente f(1.05).
Solución. Si f (1.05) = f(1+0.05) , utilizaremos la aproximación
f(x+Ax) ■= f(x)+f'(x)dx f (1 + 0.05)=f(1)+f1(1)dx (1)
Calcular aproximadamente ./■ (^»037)_y (2 .0 3 7 )2+
- 3
5
/x 2 3---- , en este caso debemos calcular
x 2 + 5
f(2.037) utilizando la aproximación:f(2+0.037) f (2) + f 1(2)(0.037) (1)
(•')f O 2 4. Z 322+5
Tic „2_,i(x) = /x z+5 (xZ~3 ), = f (x 2+5)(2x ) - (x 2-3)(2x )1
2/x23 x2+5 2/x23 L (x2+5) 2 J
----- — ------- - f' (2)------ 16 163(x 2 + 5)3/2 / T 3 U + 5 ) 3/2 27
i.uogo, en (1): f(2.037) = j + ^(0.037) = 0.355
l'I'frJ Calcular aproximadamente: aróSenO. 4983
"Iución. Haciendo f(x)=arcSenx, nuestro objetivo será calcular
f(0.4983 ) valiéndonos de la aproximación
f(x+Ax) = f(x) + f1(x)dx
I"’i’0 teniendo cuidado en elegir x y dx. Por ejemplo, si elegimos
386 Capítulo 3: La Derivada
x=1 y dx=0.5017, la comparación entre las magnitudes entre x y
dx no es muy grande; pero, si elegimos x=0.5 y dx=0.017, la cojn.
paraclón es notoria.
Por tanto: f(0.50.017) f(0.5) + f 1(0.5)(0.017) (1)
f(0.5) = arcSen(0.5) = £
f'(x) = f1 (0.5) =1
/ 1 - 1 / 4 /5 .
Luego, en (1): f(0.4983) = ? + (— ) (0.017) = 0.52164° n
, | 3 Si la longitud de un hilo pesado (cable, cadena) (véase la
fig.25) es igual a 2s, el medio tramo es í, y la flecha es
igual a f, se tiene la igualdad aproximada:
s = {. (1 + ill)312
a) Calcular qué cambio sufre la Ion |.
gitud del hilo al variar su fle-
1'<>» 3: Difer enc ial 387
Jf nn
n ii
: Axs y Axt los errores producidos al calcular el ángulo por
•iono y tangente, respectivamente.
>ntunees, por definición de diferencial:
¿y = (InSenx) 'Ax ■**■ Av = (- °s x1ay s Senx s
¿xs = (Tanx)Ay
Az = (lnTanx)'Ax. <+ Az = (§ f° f* Ux = / 2 >t ' Tanx t ~ (S Í 5 S M x t
_ Axt = |sen2x.Az (2)
"ludiendo (1) entre (2) se tiene: ¿Xg Sec2:c(Ay )
Axt AzI Oflilo que: Ay = Az (dato) _ xs Sec2x
Axt
I1". tanto, la exactitud obtenida para el ángulo con ayuda del lo
i «ritmo de su tangente es mayor que la obtenidamediante el log¡i i i'ino de su seno.
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cha en la magnitud df. ^
b) Tomando en consideración la va-
riación ds que sufre la longitud
del hilo (por ejemplo, al alterar
se la temperatura o la carga), de
cir qué cambio opera en la flecha debido a ello.
Solución. a) El cambio que sufre la longitud del cable es 2ds.2 f 2
Luego, si s = £ (1 + ---)3¿2
2ds = (|§)df
ds = í. (0 + Í L )df3a.2
(1)
b) El cambio operado en la flecha es df.
Luego, en (1): df = (|f)ds
' "fCT Cuando se calcula un ángulo por su tangente y por su seno
con ayuda de tablas logarítmicas, se cometen errores. Ha-
cer un paralelo entre éstos, es decir, comparar la exactitud de
los resultados obtenidos para el ángulo x con las fórmulas
lnSenx=y y lnTanx=z, si y y z son dadas con errores iguales.
Solución. Sean Ay = dy y Az dz, los errores de y y z.
H E I Al efectuar cálculos técnicos sa, recurre, muy a menudo, a
la reducción de tt y (g es la aceleración de la gravedad)
... . °aSO e" que uno de estos números está en el numerador y el
en el denominador. Cuál es el error relativo que se comete.
____ Rp. 0.3*
m i Expresar la diferencial de la función compuesta por medio
de la variable independiente y su diferencial.
(3) z=arcTgv , v =
U) v = 3 1/x , x = inTanx
(5) v = ez , z = lnt , t=2u23u+1
(6) y = lnTan(~) , u=arcSenv , v=Cos2s
J* ¿ución. (1 ) Segúm la regla de la cadena se tiene:
dy = (l ^ (f r ) d t ( a)
+5 = 2 f 1 3 + 2 t + + *>
3 3/(x2+5x) 2 33/[(t3 + 2t+1)2 + 5(t3+2t+ 1 )]2
388 Capítulo 3: La Derivada
- £ =2t3+¿t+7
3 */[(t*+2t+1) (t’+2t+6)]2
4| = 3t2 + 2dt
, . . ( 2 t s + ¿ t + 7 ) ( 3 . t £ ± 2 l d t _ Luego, .» «0 : d, - ,/[{t,t2t,l)(t,42t,¿ip
(2) ds . <$} ><$ {>« (8)
3 = C o s 2 z + = - 2 C o s z S e n z = - S e n 2 z = - S e n ( — g - )
t 2 - 1 , dz _ tz - T d t ~ 2
x + 2 — j
L u eg o , e n ( 3 ) : d s = - T jS en (— ) d t
(3 ) z=arcTgv , v=C otgs + dz = ds
-► d z = ( — — ) ( - C s c 2 s ) d s = - ( ------ --------- ) ( C s c 2 s ) d s1 +v 2 1 + C o t g 2 s
= - (------— ) (C s c 2 s ) d s -<-*■ d z = - d sC s c 2 s
■i ■■ 3: Diferencial 389
(>■) y=ln(Tg?j) , ü=arcSenv , v=Cos2s
♦ & . (- X ) (S e c 2| ) (l ) = — 1 — u = 1 1Tang
1
2Sen^Co¿ 2Senu v ~ Cos2s
d u ___________________ ______
/lv2 /lCos22s Sen2s
dvds = 2Sen2s
dy = <& )( £> (£ > = (ñ7rk>(5Í) (2Sen2s)ds = Cos2s Sen2s2ds
Cos2s
J.3 DIFER ENCIA BILIDAD DE LAS FUNCIONES
J * S¡ D1 2I 3E GÍ Si f es una función definida en el punto xi ,
las expresiones:
fj(x) = lim f(xi+Ax) f(xi)Ax*0 Ax
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C s c 2 s
U ) V = 3 ' 1 / x , X = InTgs ’
-1/x42 = 3” 1 / x l n 3 ( - 1)' = r 1 / x l n 3 ( J ) = — l n 3ax x x x
a l = ( f i i ) S e c2 s = S e n2 s
S i d v = t f | > ( 4 f ) d s - d v = - y / } ^ -------dsdx ds 3 ' x Sen 2x
_ 21 n3 ds ________
3 ^ l n T g s ( ln T g s) 2S e n 2 s
( 5 ) s = ez , z = | l n t , t = 2 u z - 3 u+1
4 a - = e z = e l n 1 = t = / 2 u 2 - 3 u+1dz
.dz = 1(1) = ______ 1---------- ; ái = 4.u-3d t 2 t 2 ( 2 u 2 - 3 u + 1 ) u
ds = ( ' f l X ^ O d u = (/2u 2-.3u + 1) ( 2 ( 2 J utT )) ( ^ 3 ) d u
_ U u - 3 )d u
2 / 2 u 2 - 3 u+1
y f 1(x) = limf(xi+Ax) f(xi)Ax*0” Ax
I »•> llaman respectivamente de.A.¿vada a ¿a de./ie.c.ha o a ¿a izq.uie./ida
I ilt. la función f(x) en el punto xj. Para que exista f'(x) es nece
I mulo y suficiente que:
fj(x) = f^(x)
in,.ervación. Las expresiones anteriores para las derivadas late
rales de una función suelen escribirse equivalente
■ mite en la forma:
fj(x,) = 1 1 ^ f(x) ~X + X l X - X l
fj(x ) = n m_ f(x) x + x l X - X l
mm' "íí3s®Si una función f es derivable en xi, entonces es conti
nua en xi.
/'* n)4ÍA.ac¿ón, En efecto, si f es derivable en x 1# entonces exis
te lira f( xi) , o sea existef'(xi)x+x.
390 Capitulo 3: La Derivada
Si f(x) = f(x) f(xi) + f(xi) = (xxi) f(x> I + ¡C(xi)
Aplicando límites a ambos extremos, cuando x+xi, se tiene:
lim f(x) = lim (xxi) . lim f(x)"f(xii + lim f(xi)x+xi x+xt x+xi xxi x+x,
= ( 0 ) f ' (x) + lim f(xi) = f(xi) x+x
En consecuencia, f es continua en x=xi*
Observación. El recíproco del teorema no siempre es verdadera
pues ocurre que existe funciones que son continuas
en un punto pero no derivables en dicho punto.
PROBLEMAS RESUELTOS
E i B La función f(x)=|x| es continua para cualquier x. Compro-
bar que no es derivable cuando x=0
>i '"11 Diferencial 391
H•»«<in la definición 3.6 se tiene:
tfj(O) = li» ( ¿U & ) = lim (x2) = 0x+0 x u x+0
,*(()) . lim (xl~ °) = lim (x2) = 0 y = ‘xx+0 x‘° x+0'
BI mido f|(0)= f* (0) , entonces existe
f'(0) y por tanto, f es derivable en x=0
^a función f(x) está definida de la manera siguiente:
f(x)=1+x para x<0 , f(x)=x para 0<x<1 , f(x)=2x para
y f(x)=Oxx2 para x>2. Averiguar si si la función f(x) es
("■ut.inua y aclarar la existencia y continuidad de f'(x).
'■ '«<■ ión. La regla de correspondencia de la función f es:
1+x , si x .0 y
f(x) = x * si 0<x<12x , si 1*x*2
3xx2, si x>2
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bar que no es derivable cuando x=0.
De.m.0¿ttiac.ión. En efecto, la definición de valor absoluto esta-
blece que si x»0 + f(x)=x
y si x<0 + f(x)=x
Luego: f'(0) = lim f(x) ' =lim+ ( M ) = lim+ (f) = 1
+ x+0 x0 x+0 x x+0
f'(0) = lim (Jx ^ = lim(— ) = 1x + 0 “ x - 0 x + 0 x
Como f|(0) t f1(0) , entonces la función f no es derivable en x=0
KjTíTJ Efectuando un análisis, decir si la función y=|x3| para x0
es continua y derivable.
Solución. Sea f(x) = |x3 j = x2|x| (|x2 |=x2)
Si x>0 + f(x)=x2(x)=xs , x<0 + f(x)=x2(x)=x>
Veamos las condiciones de continuidad en x=0
i) f (0) = O3 = 0 ,existeii) lim.f(x) =lim f(x) = 0 + limf(x) = 0 , existe
x+0 x+0" x+0
iii) f (0) = lim f(x) + f es continua en x=0x+0
_3x x2, si x 2
Analicemos las condiciones de continuidad
«ii los puntos x=0 , x=1 y x=2»
f«ra x=0 : i) f(0) = 1+0 = 1
ii) li = lim+f(x) = 0 ; L2 = lim f(x) = 1 + 0 = 1
x+0 x+0"Lj ^ L2 + ^lim f(x)
x+0
iii) f(0) / lim f(x) .. f es discontinua en x=0x+0
l'nra x=1:i) f(1) = 1+0 = 1
ii) L T = lim f(x) = 21 = 1 , L2= lim f(x) = 1x+1 x+1"
Como Li=L2 , entonces existe L = lim f(x) = 1x+1
iii) f (1) = L .*. f es continua en x=1
lira x=2:i) f(2) = 22 = 0
ii) L 1=lim+f(x)=3(2)22=2 , L 2=lim f(x) = 2 2 = 0x+2 . x+2"
Como L x / L2 , no existe lim f(x)x+2
iii) f(2) ¿ L .'. f es discontinua en x=2
392 Capítulo 3: La Derivada
En consecuencia, f es continua en todas partes excepto en los
puntos x=0 y x=2.
Analicemos ahora la existencia y continuidad def'(x).
En x=0 : f*(0) = lim+ (|=$) = 1 ; £'_(0) = lin = »
fj(0) / f^(0) + no existe f'(0)
En x= 1: f! (1) = lim,(2~x~ (?~12) =1 ; f'(1) = lim (^4) = 1+ x+1 X_1 " x+1' x 1
fj(l) i f^(1) + no existe f'(l)
En x=2: f'(2) = li m. (3x~xM 2'2 !) = +« ; f'(2) = lim (2'x¿ )=1
x+2 x¿ ‘ x+2 x"¿ff(2) ¿ f^(2) + no existe f'(2)
En consecuencia, f'(x) existe y es continua en todas partes ex-
cepto en los puntos x=0, x=1 y x=2, donde no existe.
5'.^ '■! La función y=|Senx| es continua para cualquier x. Mostrar
d i bl d 0 E i t t l d
Jn <ion 3: Diferencial 393
■P:si x*0
si x<0f(x)
i) f(0) = e"° = 1
H) x+0+f(X) = v+ñ+e"X = 1 ; li”f(x) = e° = 1 + lim f(x) = 1x u x+0 x+0 x+0
') f (0) = lim f (x) f es continua en x=0x+0
1íTÚn la definición 3.6, las derivadas laterales en x=0 son:
, J(0) = xÍS+('2^ I) = = •>x+0* x‘ü xi5+ e>
3 X ~
x*0" x"u: x+0"' x'(0) = = lini = Ine = 1
x+0 x u x+0 x
' irao fj(0) f2(0) + f'(0) no existe, es decir, f no es deriva
•■lo en x=0.
E 3 f(x)=x2Sen(1/x) para x=0, f(0)=0 Es derivable la función
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que no es derivable cuando x=0. Existen otros valores de
la variable independiente para los cuales la función no seaderi
vable?
Solución. En efecto, según la definición de valor absoluto:
f(x) = Senx , si Senx>0 ■**■ xefo.ir]
f(x) = Senx , si Senx<0 ■** xe<w,27i>
Luego, las derivadas laterales en x=0 son:
f 1(0) = lim ■ (— "x0~ °) = 1 ,• f 1 (0) = lim (~SexV ) = 1+ x+0 x*u * x+0“ x"u
Como f|(0) i f^(0) , la función f no es derivadle en x=0
Los ángulos que tienen el mismo seno están dados por la formula
x = kir + (1)ka, keN
Por tanto, si a=0 + x=kir, keN, son otros valores de x para los
cuales la función f no es derivable.
_ _ _ j j|i l| Averiguar si la función y=e 1 1 es continua y derivable pa
ra x=0.
Solución. Veamos si f es continua en x=0, escribiendo para ello
E 3 f(x) x2Sen(1/x) para x 0, f(0) 0. Es derivable la función
f(x) cuando x=0?
Solución. Según la definición 3.6 se tiene:
f+ (0) = lim+ (xl^n (1/x)f(0)) = (1) =
x+0 x0 x+o x
f(o) = ii¡.(^( i / x ) f ( o ) ) = liB xSen(i}.= Qx+0 x0 x+0‘ x
1 í (0) = f'(0)=0 , esto es, la función f es derivablenn x=0.
O O f (*) =J^ " 1 Para x=0 • f(0)=0. Es derivable y continua
la función f(x) cuando x=0?
Solución. lim f (x) = lim ~ 1 =ii m _______/x _ Q
x+° x+0 i/x x+0 (/x+1 + 1)
Como f(0)=lim f(x) =0 + f es continua en x=0x+0
:;(o) ■ ^ — a — ..x 0 x*0 x/x x+0 /x(/x+1 + 1)
394 Capítulo 3: La Derivada
f^(0) = lim_ = lim_----- — L ----x+0” x0 x+0~ /x(/x+1 + 1)
íM(0) no existe, ya que ¿0^ es imaginario
Dado que fj(0) ¿ f^(0) + ^f'(O) , esto es, f no es derivable
en x=0.
t Q Dada la función f(x) =1+V (x1 )2, demostrar que la parte li
neal principal del incremento de la función no es suscepti
ble de ser despejada cuando x=1 y, por lo tanto, la función f(x)
no tiene derivada para x=1. Dar la interpretación geométrica del
resultado.
De.mo.ii/Lac.i6n. En efecto, f'(x) = 0 + ^(x1)"1 3 =
Las derivadas laterales en x=1 son:
2 2 /______1
'x1
f 1(1) = lim. i. ,__+ x+1 + 3 3/TTÍ ■ ■ 4"
f'(1) = lim (---1" 3 3/ 1
) = 4( o3 ' 3/ F
Vi i mn 3: Diferencial 395
i l ) l i m f ( x ) = lim ( x a r c T a i t ) = 0 " ( - 5 ) = 0 x+ 0 ' x+ 0 '
P u e s t o q u e: l i m . f ( x ) = l i m _ f ( x ) + l i m f ( x ) = 0x+0 x+ 0 ” x+0
III) f(0) = l im f ( x ) f e s c o n t i n u a e n x =0
x+0
l ' ( x ) = x T ---------1 ( ' + a r c Ta n ( -i ) = ( — — ) ( - — ) + a r c Ta n ( -i )L 1 +0 / x) 2J x x 1+x2 x 2 x
= - — — + a r c T a n ( ^ )1 + x 2
|. ni.onces: f|(0) = lim+ I”------- ---- — + arcTan( )l = 0 + 5 =5x+0 L 1+x2 *
f ' ( 0 ) = l im (" - - i — + a rc Ta n( -l )' ] = 0 + ( - § ) = - 5x+0” L 1+x2 x J ¿ ¿
i).uno f|(0) ^ f'(0) + f no es derivable en x=0.
1[.| f(x) = — x1r para x^O y f(Ó)=0. Es continua lafunción f1+e l/x
cuando x=0? Es derivable?
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x+1" 3 3/x1 3 ' 3/ F
Dado que: fj(l). i ‘f'(.1) + f ’(1) no está determinada, esto es:
para x=1 , luego, dy no es susceptible de ser despejada.
y, por lo tanto, la función f(x) no tiene derivada enx=1.
Interpretación geométrica:
Como lim ( ) = «» , los incrementosx+1 Ax
Ay y Ax son magnitudes de distinto
orden infinitesimal.
f(x) =xarcTg(1/x) para Xj O, f(0)=0. Es continua la función
f(x) cuando x=0? Es derivable? Dar la interpretación geom¿
trica del resultado.
Solución. Veamos las condiciones de continuidad en x=0
i) Por definición: f(0)=0 , existe
•J \ i.» f m 1 n+ /ff^
\..lución. Las condiciones de continuidad en el punto x=0 son:
i) f(0) = 0 , existe
II) L i = lim.f(x) = lim.x(— W ) =0(— *) = 0(¿) = 0x+0 x+0 1+e» 1+e»
L2 = lim f (x) = lim x (-------- = 0(— — ) = 0(sJñ) = 0x+0' x+0' 1+e 1+e"“ 1+U
Como Lj = L2 ■+ L = lim f(x) = 0x+0
lll) f(0) = L ■+ f es continua en x=0.
r'(.) = (1+e1/x)(1) x(e1/x)(1/x2) = 1 e1/x
(1+e1/x)2 1+e x(1+e1/x)2
i i : derivadas laterales de la función f , en el punto x=0, no
tsten, por tanto, no es derivable en dicho punto.
396 Capitulo 3: La Derivada
LA DERIVADA COMO VELOCIDAD DE VARIACIÓN
Si s es una línea' definida por la ecuación:
s = f(t)
y una partícula se mueve a lo largo de una linea recta tal que
el número de unidades en la distancia dirigida de la partícula
desde un punto fijo en t unidades de tiempo, entonces laveloci
dad de la partícula al tiempo de t segundos es v(t)unidades de
velocidad donde:
= i t
o sea, la velocidad es la razón de cambio del espacio s con res
pecto al tiempo t.
Hay muchos problemas relacionados con la razón de cambio de dos
o más variables afines con respecto al tiempo.
Por ejemplo, si x=x(t) e y=y(t) , entonces:
ion 4: La derivada como velocidad de variación 397
'•••fución. La velocidad de variación de p respecto de 9 es ^d0
Luego, si p = a8 ^ = a
no Un punto se mueve sobre la espiral logarítmica p=ea6. Ha-
llar la velocidad de variación del radio polar si se sabe
que gira con velocidad angular u.
'••■fución. Derivando ambos miembros respecto del tiempo se tiene
ᣠ= ea0dt e (ae)'
a0(4ír) = aea0(w) = aojea0
n a Un punto se mueve sobre la circunferencia p=2rCos8. Hallar
la velocidad de la variación de la abscisa y la ordenada
•I"! punto si el radio polar gira con velocidad angular u>. En es
i" caso el eje polar desempeña la función del de las abscisas, y
i* I polo como origen del sistema de coordenadas cartesianas.
'•■•fución. Las coordenadas del punto P(x,y) en términos del argu
ménto 0 son, respectivamente:
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v _ es la velocidad de variación de la abscisa respectox dt
al tiempo.
v = es la velocidad de variación de la ordenada respectoy dt
al tiempo. *
Si estas dos variables x e y están ligadas mediante la ecuación
E(x,y)=0 y se conoce la razón de cambio de una de ellas respec-
to del tiempo, para determinar la razón de cambio de la otra va
riable con respecto al tiempo, essuficiente derivar implícita-
mente la ecuación E(x,y)=0 con respecto al tiempo y sustituir
los valores dados de la misma.
PROBLEMAS RESUELTOS
91 7 Un punto se mueve sobre la espiral de Arquimides p=a6. Ha-
llar la velocidad de variación del radio polar respecto al
ángulo polar 0.
* pCos0 = (2rCos0)Cos0 = 2rCos20
y pSen0 = (2rCos0)Sen0 = rSen20
flnrivando ambas ecuaciones respecto del
ii
’rapo y, teniendo en cuenta que tu =
tiene: •*
2r(2Cos0Sen6) (“jpr) = 2rioSen20
,d0,
d0dt
¡j 2rCos28(^) = 2r<uCos20
^ circalo de radio R rueda, sin deslizarse, sobre una rec
ta. El centro del circulo se mueve con velocidad constante
v. Hallar la velocidad de la variación de la abscisa x y la orde
"'"la y para un punto que pertenece al límite del círculo.
' n,c/ie.ncia. Sea P(x,y) un punto de la circunferencia (límite
del círculo) y sea el ángulo formado entre el eje
'i” ordenadas y el radio polar del punto F. Entonces:
v = v( 1+Costy) , v = vSeniJJ
398 Capítulo 3: La.Derivada
La presión barométrica p sufre alteraciones al variar la
altura h de acuerdo con la función ln(£)=ch , donde po esPo
la presión normal y c es una constante. A la altura de 5540m
la presión alcanza la mitad de la normal. Hallar la velocidad de
variación de la presión barométrica en función de la altura.
Solución, En la función: ln(£—) = ch , para h=5540m la presiónP 0
barométrica es: p = ♦ l n ^ = c(55¿0)
de donde: c = > entonces: lnp lnpo = (
Derivando p respecto de la altura h se tiene:
0 = w + & = 0.000125P
Entre x e y existe la relación y2=12x. El argumento x cre-
ce uniformemente a una velocidad de dos unidades por según
do. A qué velocidad aumenta y cuando x=3?
Solución. Para x=3 + y2=l6 «*■ y=6 ó y=6
" 11 U)n 4: La derivada como ve locidad de variación399
| 2 | En q ué p un to de l a e l i p s e 1 6x 2 + 9 y 2 = 40 0 l a o r d e n a da d e c r e c e
c o n l a m is ma v e l o c i d a d c o n q ue c r e c e l a a b s c i s a ?
elución. D e r iv a n do r e s p e c t o d e l t ie m p o l a e c u a c i ó n de l a e l i p
s e s e t i e n e :
'•’x(f-£) +1 8 y ( | £ ) = 0 + 1 6 X( | | ) = - 9 y ( | i )
1 a f = I f * 16x = 9y — y = Í|x
l.'ingo, en la ecuación de la elipse: 16x 2 + 9(^|x)2 = 400
d0nde: x2=9 ~ x=3 x=3 + y=l6/3 ó y=l6/3
I'"' tanto, los puntos requeridos son: (3,16/3) y (3,16/3)
C U El lado de un cuadrado aumenta con velocidad v. Cuál es la
velocidad de la variación del perímetro y del área del mis
. °n 61 momento en que su lado llega a ser igual a a.
ción. Sean p y A el perímetro y el área del cuadrado respecti t
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Solución. Para x 3 + y2 l6 « ■ y 6 ó y 6
Derivando implícitamente, respecto del tiempo, la e
cuación dada, se tiene: 2y("g^ = 12(|jíf) * y ^3t^ = ^d t^
Luego, para y=6 ó y=6 , = 2 u/seg , obtenemos:
g| = 2 u/seg ó |£ = 2 u/seg
KM cl La ordenada del punto que describe la circunferencia x2+y2
=25 decrece con una velocidad de 1.5 cm/seg. A qué veloci-
dad varía la abscisa del punto cuando la ordenada llega a ser i
gual a í cm?
Solución, Para y=4 + x 2 + 16=25 x=3 ó x=3
Por derivación implícita, respecto del tiempo, se tie.
».= 2 » # * 0 * (í)(f)• V *.
Para el punto (3, i) y = ~ \ cm/seg * = |( |) = 2cm/s
y para el punto (3,4): ^ = |( = 2cm/seg
tivamente.
P = a * *<Sf> ~ f? = 4v
A = a2 + t = 2*(ft) * 2av
E J El radio de un círculo cambia con velocidad v. Cuál es la
velocidad de la variación de la longitud de su circunferen
■y. y del area en el momento en que su radio llega a ser igual ¡
ijíiüción. Sea C la longitud de la circunferencia
Si C=27rr * M = 2ir(— ) ♦ * £ £ bdt ¿7 d t ; Tt 27rv
A, del círculo: A= r2 + M = 2lrr(^ ) = 2*rv
_ *
E J El radio de una esfera cambia con velocidad v. Con qué ve-
locidad varía su volumen y su superficie?
'Jr/»r¿6n. Volumen de la esfera: V= ^ r 3 + = 4 ^ 4 (Í£)
• áZ , 2•• dt - 2nr v
400 Capítulo 3: La Derivada
Area de la esfera: A=¿rrr2 * = 8wr(; ) = 8irrv
Para qué valor del ángulo su seno varía dos veces más len-
to que el argumento?
Solución.. Sea la función: y=Senx ^ = Cosx(^)
Dado que: ff = ±2(f£) f* = ±2Cosx(f*)
de donde: Cosx = ±1/2
Para Cosx = 1/2 > x = 2ku ± ir/3 , keZ
Cosx 1/2 x =2kir ± 27r/3 • keZ
tB l Para qué valor del ánguloson iguales las velocidades de
la variación de su seno y de su tangente?
Sot.uc.t6n.. Sean: y=Senx , z=Tanx
Derivando, respecto del tiempo, ambas ecuaciones se
t i e n e : = C o s x ^ a i^ 1 = Se° 2 x f | f '
f■H*c°#
a "i 4: La derivada co mo ve locidad de variación 401
|i mi diámetro, entonces: V = kDJl’nrlvando respecto del tiempo se tiene: = 3kD2( )
(1 unrido D=90cm = 3k(90)2(|£)
D=18cra. * = 3k(18)2(f)
lilvidiendo ambos extremos de estas igualdades obtenemos:
dVx _ (90\2{dV 2 \ _ ocr dV 2 \dT (— 8> 25(d F }
4.2 FUNCIONES DADAS EN FORMA PARAMÉTRICA
i f y g son funciones que tienen un dominio co-
mún D, entonces x=f(t) e y=g(t) se denominan las
*• naciones pan.am¿tnica¿ de la curva yf(x), con parámetro t y cu
y n gráfica es:
G = { (x, y)e R2/x= f(t) , y=g(t ) , teD}
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S1 f ■H*c°«#- ■ 1Cosx = 1 +~+ X=2k7T
pR il La velocidad del crecimiento del seno aumentó en n veces.
Cuántas veces aumentó la velocidad del ..crecimiento de la
tangente?
Solución. Si y=Senx *■ = Cosx(jj r)
Pero ^ = n(|f) + Cosx = n
1 _L fdxvT” dt a'dt'
js*x n
Luego, la velocidad de la tangente aumentó en 1/n2 veces.
Sea y=Tanx *• 4? = Sec2x(4ir) = — — =* dt dt Cos2x dt n2 dt
Supongamos que el volumen del tronco de un árbol es propor
cional al cubo de su diámetro y que éste crece de año en a
ño uniformemente. Mostrar que la velocidad del crecimiento del
volumen, siendo el diámetro igual a 90cm, en 25 veces mayor que
la del crecimiento para el caso del diámetro igual a 18cm.
Solución. En efecto, si V es el volumen del tronco del árbol y
J E S S Ü S B E O I DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
Si la dependencia entre la función y y el argu-
mento x viene expresada por medio del parámetro t, esdecir:
■ f(t) e y=g(t) , entonces:
d1dy _ dt _ g 1 (t )
dx " I T ‘ f ’ >
observación. Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva
x = f(t) , y = g(t) (1)
'i I eliminar el parámetro t, se obtiene una ecuación cartesiana
E(x,y) = 0 (2)
'•iiLonces, todopunto obtenido de (1) es punto de la gráfica de
Sin embargo, la recíproca de la observación no siempre es
verdadera.
Probar si un punto dado por las coordenadas cartesianas es
tá en la línea cuya ecuación se da en forma paramétrica:
■i) Está el punto P (5, 1) sobre la circunferencia C:x=2+5Cost ,
402 Capitulo 3: Derivadas
y = - 3 + 5 S e n t
b ) E s t á e l p u n to P ( 2 , 3 ) s o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a C : x = 2C o s t,
y = 2 S e n t
o „« vtc i i r . / 5 = 2 + 5 C o s t -*■ C o s t = 3 / 5Solución, a ) S i P ( 5 » 1 )e Cf 5 = 24
U « 3
b ) S i P ( 2 , / J ) e C
*{:
- 3 + 5 S e n t S e n t = 4 / 5
V ea mo s s i e s t o s v a l o r e s d e l a s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s s a
t i s f a c e n l a i d e n t i d a d : S e n 2 t + C o s2t = 1
(¿ )2 + (|). = , <> 2? + |f = 1
«+ 1 = 1
E n c o n s e c u e n c i a , P ( 5 >1 ) e s t á s o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a C .
2 = 2Co st + Co st = 1 ♦+ t=0
✓3 = 2Se nt + Se nt = /J /2 -<-* t =ir/2
Como t n o e s ú n i c o , e n t o n c e s , P n o e s t á s o b r e l a c i r c u n f e r e n
c i a C .
E C T C o n s t r u i r l a s g r á f i c a s d e l a s f u n c i o n e s d a d a s e n f or m a p a
'< 4: La derivada como velocidad de variación 403
t X y
2 8 0
3 15 3
I.« grafica de la ecuación paramétrica
"ii una parábola. En efecto, restando
ambas ecuaciones se tiene: yx=4t
y Humando: x+y=2t2 ■> ‘ x+y = 2 ( ^ ) 2 — x2xy+y28x8y=0
i r una rotación de ejes según un ángulo de 6=45° obtenemos:
*■ x
y '2 = 4x1
E J J De las ecuaciones que dan la función en forma paramétrica
eliminar el parámetro.
< i) x=3t # y=6tt 2 (4) x=4)Sen<t) , y=1Co
(.') x=Cost , y=Sen2t(5) x=Tant , y=Sen2t + 2Cos2t
( ') t3+1 6t t2
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r a m é t r i c a .
a ) x = 3 C o s t , y = 4 S e n t c ) x = C o s t , y = t + 2 S e n t
b ) x = t 2 - 2 t , y = t 2 +2 t d) x= 2 t _ 1 , y = j ( t 3+ 1 )
Solución. S e gú n l a d e f i n i c i ó n 3 . 8 , c o n s t r u i m o s u na t a b l a d e v a
l o r e s p a r a l a s v a r i a b l e s t , x e y de c a da c u r va .
a ) x = 3 C o s t , y = 4 3 e n t
t X y
0 3 0
n/2 0 4
L a g r á f i c a d e l a e c u a c i ó n e s ' u n a
e l i p s e , e n e f e c t o , s i ^ = C o s t ,
-*■ = C o s 2t + S e n 2t = 1
b) x=t22t , y=t2+2tt X y
0 0 0
1 1 3
t X y
2 0 8
1 3 1
( ') x=t3+1 , y=6tt2
In/ución. (1) De la primera ecuación: t = | , sustituyendo en
la segunda ecuación: y = 2x (|)2
de donde: x218x+9y=0
(.’) x=Cost , y=Sen2t
En la segunda ecuación: y2=4Sen2tCos2t •* y2=4<1Cos2)Cos2t
+ y2=4x2(1x2)(3) x=t3+1 , y=t2
Si y=t2 + y 3=t =(t3)2 y 3 = (x 1)2
U) x=<!>Sen<|>, y=1Cos<t)
Si y=1Cos<í> Cos0 = 1y ► 4>=arcCos(1 y)
Co s2(J>=(ly)2 1Sen2<i> = 12y+y2 Sen2* = 2yy2
*-*■ Sen* = ±/¡2yy2
.’. x = arcCos (1y) ± /2yy2
x=Tant , y=Sen2t+2Cos2t *■ y=2SentCost + 2(Cos2tSen2t)
2(7=S=r)(74 ^ ) + 2 ( — — +.ÍÍ/i +x 2 /i +x 2 1+x2 1+x2
2 ( 1+ x - x 2 )
1+x 2
404 Capítulo 3: Derivadas
I Hallar el valor del parámetro que corresponde a las coorde
nadas dadas del punto sobre la línea cuya ecuación se da
en forma paramétrica.
(1) x=3(2CostCos2t) , y=3(2SentSen2t) , (9,0)
(2) x=t2+2t , y=t 3 + t , (3,2)
(3) x=2Tant , y=2Sen2t+Sen2t , (2,2)
U) x=t21 ,y=t3t , (0,0)
Solución. (1) 9=3(2CostCos2t) A 0=3(2SentSen2t)
3=2Cost(2Cos211) a 2Sent2SentCost=0
Cos2tCost2=0 A 2Sent (1Cost) =0
(Cost+1) (Cost2)=0 A Sent(lCost)=0•*■+ Cost=1 ó Cost=2 A Sent=0 ó Cost=1
•*■+ t=2kir+ir ó t = 4> A t=2ku+7r ó t=k7r
t=(2k+1 )tt
(2) 3=t2 + 2t A 2=t3+t «*■ t2 + 2t3=0 A t3+t2=0
. <+ (t+3) (t1 )=0 A (t1) (t2+t+2)=0
<> t=3 ó t=1 A t=1 ó t=d>
‘" 'ig /1 4: La derivada como velocidad de variación405
g ' = "li'= 3bSen2<i>(Cos<t>) = 3bCo s<t>Sen<¡>& d<J>
di = g' U) _ bT• • d x ------- ■ TTan<S>
f ’(<¡>) a
U i i l x=a(<t>-Sen<i>) , y=a(l-Cos<t¡)
Solución. f.(*) = M , a(1Cos*) ; gU) = g = a(0+Sen<t>)
+ = g 1 (<ti) _ Sen¡t> = 23en(4>/2)CosU/2)
X f ' (<t>) 1Cos<t> 2Sen2 (<J?/2)
•'* fí = Co tg(f)
EE9 x=1= t2 , y=t -t3
Solución. f . ( t ) = H = _ 2t ¡ g'(t) =| | » l_3t*
+ áz. = g*(t) = 1 3t2 _ 3t2 1
dX f'(t) 2t "
H 3 3 x = ±+1 ( y = t -1
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La solución común al sistema es: t = 1
(3) 2=2Tant A 2=2Senzt.+ 2SentCost
*+ 1=Tant A 1=1Cos2t+SentCost
Tant=1 A Cost (CostSent) =0
Tant=1 A Cost=0 ó Tant=1 •<*• Tant = 1 ■*•» t = kir +
U) 0 = t21 A 0=t 3t (t+1)(t1)=0 A t(tl) (t+1)=0
(t = 1 Ó t = 1) A (t=0 Ó t=1 Ót = 1)
t=1 ó t=1
En los ejercicios 936945 hallar las derivadas de y respecto
a x.
I x = aCos<l> , y=b3ení>
Solución. f ' (<t>) = = aSen<t ; g' (<}>) = = bCos(t>
♦ p.
= g ' t ») = bCos<i> = - J2cotg4>dx f'(<t>) aSeniJ> a
x=aCos3(t> , y=bSen3¡¡)
Solución. f '(<)>) = = 3aCo s2<í> (Seniji) = 3aSeni)>Cos2il
Solución. x = 1 + 1 + fi(t) = 1/t2
t
• di _ g'(t) _ „d x - ---------------------- = - 1
f'(t)
x~ln(l+t2) , y=tarcTant
Solución. f'(t) = g'(t) = 1
1+t 1+t2 1+t:dx g*(t) _ t
x<t)(1 Senct1) , y=(J)Cos<f)
f.(*) = = «K-Co b *) + (ISen*) = 1Sen**Cos*
df = <t>(Senct>) + Cos<i> = <()Sen<t)+Cos
d
= g 1 ( 3 Co s<t><t>Seri(l>dx ————— i
£'($) 1 Sen<¡>iJjCo s cf>1lt3 _ 1
y =t21 t21
406 Capitulo 3: Derivada\
_ . .. dx (t21)(3t2)(1+t3)(2t) _ t( t33t_2|Solución. ^ = jT (t2.1)2
2tái ___________d t ( t 2 - D 2
dy _ r ' (t) _ 2t
dx ~ f'(t) t(tJ3t2) (t2)(t+1)‘
x=etSent , y=etCost
Solución. f'(t) = ff = e^Cost + Sentíe*) = e1 (Cost+Sent)
gt(t) = 4* = et(Sent)+Cost(et)= e*(CostSent)
3at
1+t3
* ái R 1(t) CostSent 1Tantdx f 11(t) Co st+Sent 1+Tant
3at2
1+t 3
dx (1+t3)(1)t(3t2) . 3a(12t3)dt
(1+t3)2 (1+t3)2
S¡ Mii '/i I. La der iva da com o vel oci dad de vari ació n 407
Puní t=0 y t = 1 , obtenemos: nu=0 y m 2 = 1/3
IÜ TI x=t3+1 , y=t2+t+1 en el punto (1,1).
Solución, Si x=1 *■ 1=t3+1 + 't=0
§ = 3t2 , 4í = 2t+1 +& = 2t+ldt dt dx -^ 2
Para t=0 +■ m = = » (no existe)
c u x2Cost , y=Sent en el punto (1,/5/2)
Solución. Para y=/J/2 /J/2 = Sent t=?i/3
it = 2Sent , = Cost j g =_2§f§| •Jctgt
Luego, si t=u/3 *■ m = ^Cotg(7r/3) = |( ^|) = ^
na Para la línea dada paramétricamente mostrar la relación en
tre el parámetro t y el ángulo a que forma la tangente a
la línea con el eje de abscisas.
(I) x=Cost + tSerit ■|t2Cost , y=SenttCost lt2Sent
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dy (1+t3)(2t)t2(3t2) 3a(2tt)
dt.pa ■
(1+t3)2 (1+t3)2
, £z = ? * (t) _ t(2t3)dx f ’(t) 12t3
En los ejercicios 946949 hallar los coeficientes angula-
res de las tangentes a las líneas que se indican.
x=3Cost , y=4Sent , en el punto (^S 2/2)
Solución. Para x = ~ 3Cost *• Cost = — g
*-*■ t = tt/¿
|f . 3Sent 4Coat * £ ■ rf ff t
Luego, para t=u/4 *■ m = ^(Tan^) = 3
x=tt** , y=t2t3 , en el punto (0,0)
Solución. Si y=0 + 0=t 2(1t) <+ t=0 ó t = 1
|f !«• , & 2t3f * g
y
(.') x = aCos3t , y=aSen3t
( i) x=aCost(/2Cos2t) , y=aSent(/2Cos2t)
ínfución. (1) = Sent+(tCost+Sent) [t2(Sent)+2tCost]
= Sent+tCost+Sent + ^t2SenttCost = jt2Sent
= Cost[t(Sent)+Cost] |(t2Cost + 2tSent) = lt2Cost
Entonces: = |§f± = Cotgt '
Poro: m = ^ = Tana Tana = Cotgt = Tan(t |)
a = t j *>• t = - + a
* ) = 3aCos2tSen't > ¿t = 3aSen2tCost + ^ Sen 2tCostx Cos2tSent
de donde: Tana = Tant = Tan(irt) «*• a = irt *■ t=ira
( 0 x = a/zCo s2tCo s2t + ~ = ¿(20° s2tCos2tJJ[
2/2Cos2tCos2t
408 Capitulo 3: Derivadas
dx _ 2a¡~Cos2t(2Co stSent)+Cos2t(2Sen2t)Jdt 2Cost/2Cos2t "
¿aCost(SentCos2t+Sen2tCost) _ _ 2aSen(2t+t)
2Cost/2Cos2t /2Cos2t
_ 2aSen3t
/2Cos2t
y = a/2CoS2t Se n~ 4* = a(2Cos2tSen»tlLdt 2/2Cos2tSen t
dy _ 2a[Cos2t(2SentCost)+Sen2t(2Sen2t)]
dt 2Cost/2Cos2t
_ ¿a Sent(Cos2tCostSen2tSent) _ 2aCos(2t+t) _ 2aCos3t
2Sent/2Cos2t /2Cos2t /2Cos2t
Luego: 4* = S l M = 2aCos3t. . = Cotg3tdxf'(t) 2aSen3t
Si Tana = Cotg3t = Tan(3t |) + a = 3t j
• + - 1 4. “• • * - z + 3
f c t t ' " " L ¿ a derivada como velocidad de variación 409
.... ros: y = 4* = iií*2 = (3+2t)/t3 = t
JÜL vh3 = 1J+. >• vvt3 =
dx f'(t) (3+2t)/t *•
P*i'<: x = IT 0 *■ xt3 = 1+t xy'3 = 1+y'
m i Comprobar que la función dada en forma paramétrica median-
te las ecuaciones x=Cosht , y=Senht satisface la relación
yy1x=0.
■'«»i/v/toiaciin. En efecto, = Senht , = Cosht
+ v » = ái = Cosht ' ■ y dx Senht
yy' x = Senh't(g^ j ^ ) Cosht = 0
na Comprobar que la función dada en forma paramétrica median
,. 1 /1 +i/í +t2 tte las ecuaciones: x = — = = ln( '
/1 +t 2 t ’ /1 + t2
satisface la relación: y/l+y12 = y 1
'1/,/ioíaciin. En efecto: x = (1+t2)1^2 ln( 1 +/1 +t2) + lnt
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K? CT Comprobar que la función dada en forma paramétrica median-
te las ecuaciones: x=2t+3t2, y=t2 + 2't3 satisface la relación
y=y' +2y' (la prima denota la derivación con respecto a x, esto
es, y' = g )De.mo-itA.ac¿6n. En efecto, = 2+6t ,= 2t+6t2
di _ , _ t(2+6t) _ t
dx 2+6t
Luego, y 12 + 2y13 = t2+2t3 = y
Comprobar que la función dada en forma paramétrica median-
te las ecuaciones: x = lü. , y = 2 + — satisface la reíat3 2t2 t
ción: xy13=1+y'.
Comp/iolaci6n. En efecto, x = t3+t~2 + 'ft = ‘*2t 3 = —
y = | f 2+2t> + = 3t* 32t"2 = 2Í2 L
t"
+ # = ±(1+t2)*3'2(2t )---- 5 = |dt 2 1+/l + t2 2/ 1+t2 %
t______t2 /l+ t2(1+/l+t2)
/(1+t2) 3 t/l+t2(1+/l+t2)t , 1 1
/(1 + t2)3 t/1 + t2 t/(1+t2j3
= t[ Jd + t * r » ' 2(2t)] + (1
= (i+t2)_3/2Ct2+(i+t2)] =
t d + t 2)'1/2 + = t[ J(i+tír » ' 2(2t)] + d + t 2)i/2( D
/(i+t2);
'.n i.unces: y' = ^ = tf'(t)
n"i;o: y/1+y1 2 = ( . ■ )( / 1 + t2 ) = t ■** y/l+y1 2 = y 1/1 + t2
na Comprobar que la función dada en forma paramétrica median
Unt _ 3+21rt2 ’ y " tte las ecuaciones x = ''"í g'*' » y = satisface la reía
ción yy'=2xy,2+1.
.notación. En efecto: dx g t2(1/t) (1+lnt)(2t) = . 1 + 21ntdt . ,
410 Capitulo 3: Derivadas
¿x = t(2/t) (3+21nt) _ _ 1+21ntdt t2
dv (1+2lnt)/t _ *Entonces: y 1 = --- --- — ~ 1
dx (1+2lnt)/t
Luego: yy' = )t = 3+21nt (1) (1)
2x y' 2 + 1 = 2('H *2)t2 + 1 = 2+2lnt+1 = 3+21nt (2)
Por tanto, de (1) y (2) se tiene: yy’ = 2xy,2+1
Hallar los ángulos que forman al cortarse las líneas:
(1) y=x2 y x = |cost , y = |sent
at2 y _ at/5
1+t2 ’ 1+ts
at(2) x=aCos<i) , y=aSen<¡> y x = — -- , y =
Solución. (1) Interceptando ambas líneas se tiene:
■|sent = ^ C o s 2t *■ ^Sent = 1Sen2t
de donde: 20Sen2t+9Sent20=0 «* Sent=4/5 ó Sent=5/¿
ión 4: La derivada como velocidad de variación 411
rn Pi(^
at2
a/3\
1+t2
at/3
1+t2
= f'(t) = a
/3
(1+t2)(2t) t2(2t) _ 2at
(1+t2)2 (1+t2):
dü _ g i (t) = a/3 (1+t2)(1) t(2t) _ a/3(112)
dt (1+t2)2
n tunees: y i = g 1 (*) = a/3(1 12)
f'(t) 2at
(1+t2)2
Para t=1
■iro : Tan0 i i2mi
1+m¡m2
o + /5/3 = £2
1+0 3
► m 2=0
= 30°
a a/Tl'ni'i Pzf'j »-------- ° t = 1, se obtiene el mismo resultado: 02=3O°
Mostrar que cualquiera que sea la posición del círculo ge-
nerador de una cicloide, la tangente y l a normal en el pun
tu correspondiente de la cicloide pasan por su punto superior e
Inorior, respectivamente.
Ilritioii/iación. Determinemos las ecuaciones paramétricas de la ci
cloide, sabiendo que ésta es una curva generada
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Para Sent = *■ y = = 1 x2 = 1 x=±1
Luego, los puntos de intersección son: Pi(1,1) y P*(1.1)
Si y=x2 *• y ’=2x ; para x=1 *■ mj=2
á5 = ¿Sent , = fcost y =(5/*¿g°5Í= ¿Cotgtdt 3 dt U _(5/3)Sent 4
Para Sent=¿/5 *■ Cotgt=3/¿ + mj=(3/¿) (3/4) = 9/16
Si Tan01 = m2~Bl' ■+ TanBi = ~9/>16 JL = ¿1/21+mim2 1 18/16
0 j = arcTan(¿1/2) = 87°22'
Para elpunto P2(1,1) se halla el mismo resultado: 02=87°22'
(2) Interceptando ambas líneas se tiene:
xz+y2 = a2(Cos2<l>+Sen2<!>)=a2 ■* — — --- + 3a — = a¡(1+t2)2 (1+t2)2
de donde: t2 = 1 **■ t=1 ó t=1
Los puntos de intersección son: P i(j; > y ~^
x 2+ y 2= a 2 -*• 2x+ 2yy ' = 0 -*■ y 1xy
I*"'' un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin deslizar,
<i"lire una recta.
Üiwt P(x,y) el punto fijo des
|nmn de haber girado la cir
ii imferencia, de radio a, un¿unido t=m (^BCP).
liM.iu que la circunferencia
.. . sin deslizar, entonces
"A AP = at
« 0D = OADA = OAPB
ataSent = a(tSent)
j - PD = AB = ACBC = aaCost = a(1Cost)
dx= a(1Cost) , 4? = aSent
dxSent
1, 1 llVyCO• J l —LAVI—Vu ü u / • TI —U.UD1Iu . ---- — — ----- — ------------dt ' ’ dt dx 1Cost
1 M(xo,yo) el punto de tangencia + x 0=a(tSent)
yo=a(1Cost)puntos superior e inferior de la circunferencia tienen por
leñadas E(at,2a) y A(at,0), respectivamente.
molón de la tangente Li:yy0 = * (xx°)
412 Capítulo 3: Derivadas
*■ Lis ya( 1Cost) = (xat+aSent)
Si E(at, 2a)eL i ■*■ 2aa+aCost = rj ^^ (a t at +a Se nt )
a( 1+Cost) 1C osH = Se nH
Es una identidad, en consecuencia, la tangente Li pasa siempre
por el punto superior del círculo.
1Cost, \Ecuación de la normal L2: yyo = Señt 'x'x°'
L 2: ya(lCost) = 1^° ° * (xat + aSent)
Si A(at,0)eL2 * 0a+aCost = 'sent^^
a(1Cost) = a(1Cost)Por tanto, la normal L2 pasa siempre por el punto inferior del
círculo.
Kt ül Hallar las longitudes de la tangente, la normal, la subtan
gente y la subnormal a la cardiode:
x = a(2CostCos2t) , y = a(2SentSen2t)
en un punto cualquiera de ésta.
¿i i ' '‘‘ii -I: La derivada como velocidad de variación 413
p 1."licitud de la tangente: T = /y 2+ST2 = /y 2+y2Cotg2Jt= |yCsc|t|
,i■■11, • i t u d de la normal: N = /y2+SÑ2 = /y2+y 2Ta n2|t = .|ySec|t|
m Hallar las longitudes de la tangente, la normal, la subtan
gente, la subnormal a la astroide: x=aSen3t , y=aCos3t
en un punto cualquiera de ésta.
[i fución. — = 3aSen2tCost , ^ = 3aCos2tSent
y , a g'(t) = Qa Co sH Se nt = _Cotgt
f'(t) 3aSen2tCost
I."licitud de la sub'tangente: ST = |— | = | __Z__ ¡ = |yTant|y 1 Cotgt
I."licitud dela subnormal: SN = lyy'l = lyCotgt)
I."licitud dela tangente: T = /y 2 + ST2 = /y 2+y2Tan2t = |ySect|
I,"licitud de la normal: N = /y2+SN2 = /y2+y2Cotg2t = |yCosect|
m Demostrar que la tangente a la circunferencia x2+y2=a2 es,
al mismo tiempo la normal a la evolvente de la circunferen
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Sofución. f'(t) = = a(2Sent+2Sen2t) = 2a(2SentCostSent)
= ¿aSen|cos|[2(2Cos2| 1) 1]
= 4aSe n| UC os 3| 3Cos|) = ¿aSen|cos|t
g'(t) = = a(2Cost2Cos2t) = 2a¡Cost(12Sen2t)J
= 2a C (1Cost) + 2(Sen|Cos|)2]
= 2a[2Sen2| + 2 USen2|co s2|)J
= ¿a[Sen2| + ¿Sen2|(1Sen2|)]
= ¿aSen|(3Sen| 4Sen3|) = 4aSen|sen|t
Luego: y 1 = g ■■■■ = Tan|tf'(t) 2
Longitud de la subtangente: ST = |í_ | = |yCotg^t|y'
Longitud de la subnormal: SN = lyy'l = lyTani|t|
al mismo tiempo, la normal a la evolvente de la circunferen
cia: x=aCCost+tSent) , y=a(SenttCost)
f'IIl Hallar las longitudes de la tangente, la normal, la subtan
gente y la subnormal a la evolvente de la circunferencia:x=a(Cost+tSent) , y=a(SenttCost)
'••fución. f'(t) = ff = a( Sent + tCost + Sent) = atCost
g'(t) = = a[Cost (tSent + Cost)] = atSent
y , = sHt) = atSent = Tant
f '(t) atCost
l.' ncitud de la subtangente: ST" = 1 = |yCotgt|
I.' ncitud de la subnormal: SN = |yy'| = |yTant|
i 'licitud de la tangente: T =/ y 2+ST2 = V y 2+y2Cotg2t = |yCsct|
' •ncitud de la normal: N = /y2+SÑ2 = /y 2+y2Tan2t = |ySect|
ITTl Demostrar que el segmento de la normal a la curva
x=2aSent+aSentCos2t , y=aCos3t
41 4 Capitulo 3: Derivados
limitado por los ejes coordenados, es igual a 2a.
Demosi/iación. En efecto, sea P(xo.yo) el punto de tangencia.
♦ f'(t) = = 2aCost+a[Sent(2CostSent)+Cos2tCostJ
= 2aCost2aSen2tCost+aCos3t
= 2aCost(lSen2t)+aCosst = 3aCos3t
g'(t) = = 3aCos2t(Sent) = 3aSentCos2t
Entonces: y' = ,ilíÍ> = 3aSentCos2t. = ?antf'(t) 3aCosst
Ecuación de la recta normal: yyo = Cotgt(xxo)
Para x=0 •> yyo = XoCotgt •+■ y = yo+XoCotgt • (1)y=0 *• y0 = Cotgt(xxo) + x = xo+yoTant (2)
Pero, P(xo,yo) pertenece a la curva dada, entonces:
xo = 2aSent+aSentCos2t , yo = aCos’t
Luego, en (1) y (2) se tiene: ,
y = aCos3t + (2aSent+aSentCos2t)Cotgt
= aCos3t + (2aCost+aCos3t) = 2aCost
x = 2aSent+aSentCos2t aSentCos2t = 2aSent
" ‘l: La derivada como v elocidad de variación 415
[ f <<nl.o de tangencia: T(1/2,1/2)
f ¡Tt = Cost * fí = 2Sen2t g » 4Sent
I *|| fi t = 7i/6 *• m=4Sen(ff/6) = 4(1/2) = 2 ♦ n=1/2
f’ f ■unción de la tangente: y1/2 = 2(x1/2) *>■ L,:¿x+2y3=0
■*'M,nción de la normal: y1/2 = |(x1/2) <+ L2:2x4y+1=0
C 3 x=2ln(Cotgt) + 1 , y=Tant+Cotgt , para t=ji//t
Solución. Para t=ir/4 obtenemos: x = T e y2 •>• T(1,2)
dx _ ^/Csc2t,
dt ' Cotgt ' 4Csc2t
^ =. Sec2tCsc2t = — !— .. — 1 _ = /,Cot«atCsü2tCost Ses2t
l>n loncos: y 1 = .~4Cotg2tCse2t _ t
4C sc2t
!•' I t=ir/4 *■ m = Cotg(it/2) 0 n (no ¿Kiste)
■ Melón de la tangente:y2 O(xl) •*>•L 3:y2=0
n.ición de la normal: y2 = "(x1) .■«» L':xs1=Q
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x 2aSent+aSentCos2t aSentCos2t 2aSent
Si I es el segmento;de la normal limitado por los ejes coordena-
dos *• í = /x2+y2 = /K a2 (Cos2t+Sen2t) = 2a
En los ejercicios 963966 formar las ecuaciones de la tangen-te y la normal a las líneas que se indican en los puntos cita
dos.
x=2et , y=e~^ , para t=0
Solución. Para t=0 •> x=2e°=2 , y=e°=1
Luego, el punto de tangencia es: T(2,1)
¿2 = 20 * ¿i = e_t + v' = 4* = ~e~ = dt dt y dx 2et 2e2t
Para t=0 *• m=1/2 y n=2
1Ecuación de la tangente: y1 = ^(x2) *■* Li:x+2y4=0
Ecuación de la normal: y1 = 2(x2) *-+ L2:2xy3=0
| K | x=Sent :, y=Cos2t. , para Jt=ir/6
S o l u c i ó n . S i t = i r / 6 •> x = S en (ir /6 ) = 1 / 2 , y = C o s ( n / 3 ) = 1 / 2
y
d | ( 1 ) x = M . , y = 3a!2. 21+t2 1 + t2
l ii/ación. Para t=2, el punto do tangencia es T( a , ^a)
f(t) = 4f = 3a Á'l^ 2)(1)fc(2t) = 3a.( lt2)
(1+t2)2 (1+t2 )2
K .(t) = 4f = ^ (1+ i2) (2t)t2(2t) _ 6at
(1+t2)2 (1+t2)2
+ y 1 = = 6at _ 2t
f( t) 3a(1t2) ~ 1t2
l,n"go, para t=2 obtenemos: m = 4/3 + n=3/4
nación de la tangente: y i|a = j(x | a) — L,:4x+3y12a=0
■■ nación de la normal: y 2|a = |(x |a) ~ L2: 3x4y+30a=0
1 > x=t (tCost2Sent) , y=t(tSent + 2Cost) para t=7r/ 4
Solución. Para t=ir/¿, las coordenadas del punto de tangen
cia son: x = /Z(tt8) e y = /2(n + 8)
416 Capítulo 3: Derivadas
= t(tSent+Cost2Cost) + tCost 2Sent = (2+t2)Sent
= t(tCo st+Sent2Sent) + tSent + 2Cost) = (2+t2)Costa t
_ , . (2+t2)Cost _ r + +Entonces: y' --------------- Cotgt
(2+t2)Sent
Luego, para tir/4 se tiene: ra=1 + n=1
Ecuación de la tangente: y (tt + 8) = l[x ^/2(ir8)]
de donde, Li: l6x+l6yir2/5=0
Ecuación de la normal: y + = 1 [x
de donde: L2 :2x2y+ir/5=0
(3) x=Sent , y=a^ , para t=0.
Solución. . Para t=0, el punto de tangencia es: T(0,1)
rtv dv t, • a lnadf = Cost • dt = a lna y = “ cóat
Luego, para t=0 se tiene: m = lna + n = 1/lna
Ecuación de la tangente: y1 = lna(xO) ■*■+ Li :xlnay+1=0
i derivada como velocidad de variación 417
»11 ■■ ión. En efecto, sea P(xo.yo) el punto de tangencia.= 3aSen2tCost , ^ = 3aCos2tSent
, 3aCos2tSent „ . .---------- _ = Cotgt3aSen2tCo st
| I . le la tangente:
| ,. ;,y0 = Cotgt(xxo)
f i |mrtenece a la curva,
* .....n 3t , y o =aCo s 3t
lu«| <>, , aCos3t = Cotgt(xaSen3t)
i n ■li>, Li :xCotgt+yaCost = 0
* .11 ■ .1(0,Lx) = A ^ M L/Co tg t + 1
* 'iSen2t ■<-*■ 4-OT2 = a2Sen22t
i ni. .n de la normal: yyo = Tant(xxo)
* y t = Tant(xaSen3t) xTant y + aCos3t a(~i^ i) = 0CO S"t
xTanty+aSect (Co s2tSen2t) =0
xTanty + aSect(Cos tSen t)(1) = 0
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Ecuación de la normal: y1 = Tna^x<^ L2 :x+ylnalna=0
Mostrar que en dos puntos de la cardiode:
x=a(2CostCos2t) , y=a(2SentSen2t)
los cuales corresponden a los valores del parametro t que2
se diferencian en tt , las tangentes son paralelas*
De.moAtn.ación. En efecto, en el ejercicio 958 hallamos:
y* = m = Tan(^t)
Suponiendo que: t l=n/6 > m 1=Tan(n/4) = 1
y para t2 = + j* = |tt + m2 = Tan(|Tr) = Tan(n + |) = Tan| = 1
.*. ii = m2 +~* L11 IL2
Demostrar que si las líneas OT y ON son las perpendiculare
bajadas desde el origen de coordenadas hasta la tangente yla normal a la astroide. x=aSen3t , y=áCos3t , en cualquiera de
sus puntos, se tiene:
4.ÓT2 + ÓÑ2 = a2
968
967
L2 :xTanty+aSectCos2t=0
* d(0, L2) = I aSect£o£2t [ = aCos2t + qÑ2 = a2Cos22t/Tan2t+1
I. r Umto: ¿OT2 + 0N 2 = a2 (Sen22t+Co s22t) = a2
m i Hallar la longitud de la perpendicular bajada desde el ori
gen de coordenadas hasta la tangente a la línea:
2x = a(3Cost+Cos3t) , 2y = a(3Sent+Sen3t)
Mmitrar que: ¿p 2=3p2 + 4.a2, donde p es el radio polar del punto da
do y p es la longitud de dicha perpendicular.
\a f.uciin. Sea P(xo,yo) el punto de tangencia.
2x=a(3Cost + 4Cos 3t3Cost) *•' x=2aCos3t
2y=a(3Sent + 3Sent4.Sen 3t) y=a(3Sent2Sen 3t)
^ = 6aCos2tSent = 3aSen2tSent
^ = a(3Cost6Sen2tCost) = 3aCost(12Sen2t) = 3aCostCos2t
>• ■ -- j & a b ü • -
418 Capítulo 3: Derivadas
Ecuación de la tangente: yyo = Cotg2t(xxo)L: xCotg2t+yXoCotg2tyo= O
Pero P(xo,yo) pertenece a la curva dada, entonces:
xo=2aCos,t , y0=a(3Sent2Sen3t)
L: xCotg2t + y 2aCos3tCotg2t a(3Sent2Sen3t) = 0
.x I2aCos 3tCote2t + a(3Sent3Senst) L
pí(°L) * P --------- /Cotg23t * 1
+ p = Sen2t[2aCos3t(|f ^) + a( 3Sent2Sen3t)]
= 2aCos3tCos2t + 3aSentSen2t 2aSen3tSen2t
= 2aCos3t(2Cos2t1) + 6aSen2tCost 4aSenl*tCost
= 4aCo35t 2aCos3t + 6aSen2tCost 4aSen*tCost
= 4aCo st(Co s'tSen"t) 2aC os3t + 6a(1Cos2t)Cost
= 4aCost(Cos2tSen2t) 2aCos3t + 6aCost 6aCos3t
= 4aCost(Cos2tSen2t) 8aCos3t + 6aCost
= 4aCost(Co s2tSen2t2Cos2t) + 6aSent
= 4aCost(Sen2t+Cos2t) + 6aCost
p = 2aCost
Demostraremos ahora que: 4p2 = 3p2+4a2
¿p i cion ■): La derivada co mo ve locid ad de variación 419
I la regla de la cadena: = Cos0(f£) pSen0
fe = Sen (fg) + pCose
(1)
(2 )
P' 1 “ la medida en radianes de la inclinación de la recta tangen
i I , ontonces:
Tana = = S^ j ) * P0°<*
x Cos0(^ ) pSen0
!|iI vIdiendo cada término del numerador y denominador del segundo
mlnmbro entre Cos0 se tiene:
T,n. - 41 -
dfi PTanS (3)
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q p p
En efecto, si p es el radio polar de P(x0,yo) + P 2 = xj + yj¡
+ p 2 = 4 2(3Cost+Cos3t)2 + 72(3Sent+Sen3t)24 *+
+ 4p2 = a2(9Cos2t+6CostCos3t+Cos23t) + a2(9Sen2t+6SentSen3t+Sen231= a2 [9(Sen2t+Cos2t) + (Cos23t+Sen23t) + 6(Cos3tCost+Sen3tSent)]
= a2 T9 + 1 + 6Cos(3tt)] = 2a2 (5 + 3Cos2t)
= 2a2 13 + 3(2Cos2t1)] = 2a2(6Cos2t + 2)
= 12a2Cos2t + 4.a2 = 3(2aCost)2 + 4a2
4p2 = 3p2 + 4a2
4.3 VELOCIDAD DE LA VARIACIÓN DEL RADIO POLAR
P e n d i e n t e d e u n a r e c t a t a n g e n t e a u n a c u r v a p o -
1 a r .Sea p=f(e) una ecuación polar de la curva: x=pCos8 , y=pSen0
donde x e y son consideradas como funciones de 6 toda vez que
p = f(e)
i'i fórmula (3) es generalmente complicada de aplicar. Ona fórmu
Ii más simple se obtiene al considerar el ángulo entre el radio
i."lar 0P y la recta tangente t. Este ángulo tendrá como medida <¡>
y ;ie mide desde la recta 0P, en sentido antihorario, a la tangen
i' . de modo que: 0 <J> < tt
Kklaten dos casos posibles:
Kn la figura 1: a>0 y 4> = a-Q
I'11 la figura 2: a<0 y $ =.ir(ea)
Mi cada caso: Tan<t> = Tan(a0) = ^ana ~ ?an9
1 + Tana.Tan0■i::tituyendo (3) en (4) obtenemos: Tan* = — =£—
0£d0
(4)
(5)
420 Capítulo 3: Derivadas
PROBLEM AS RESUELTOS
Dada la circunferencia p=2rSen0, hallar el ángulo <t> forma-
do por el radio polar y la tangente, y el ángulo a que for
man entre sí el eje polar y la tangente.
= 2rCos0Solución, Si p=2rSen9
Tan't’ = lido
m , 2rSen9 m ._.nTan<tl = "2rCo’¥0 Tane
Dado que: 4> = ot—0 a. = <}>+8 **■ a=2it>
i>=0
Demostrar que para la parábola p=aSec2 (0/2) la suma de losángulos formados por la tangente con el radio polar y el e
je polar es igual a dos ángulos rectos. Valiéndose de esta propie
dad construir la tangente a la parábola.
dcmoit/iación. Vamos a demostrar que: + a = 2(n/2) = tt
En efecto, si p=aSec2 (j)
■*■§§ 2 S (|) S (|) T (|) (|) S (|) T (|)
i ion 4: La derivada como velocidad de variación 421
■»>1 Dada la línea p=aSen3(0/3) (Concoide), mostrar que a=4.ij>(las designaciones son las que se dan en el ejercicio 970)
IUmn¿i/iación. En efecto, f^ = 3aSen2(0/3)Cos(8/3)(1/3)
= aSen2(0/3)Cos(0/3)
Mni;ún la fórmula (5): Tan<!> = --- aSen (0/3)------ _ Tan(|)a£
83
mio: <t> =a- 8 •>• t¡> = a3<!> a = 4<t>
aSen2(0/3).Cos(0/3)
Mostrar que las parábolas: p=aSecz(0/2) y p=bCsc 2(0/2) se
cortan formando un ángulo recto..
!.‘urina ción. En efecto, intersectando ambas curvas se tiene:
r§\ ^ o.i_/0 \ _ I a ■aSec2 ( ) = bCsc 2 (tj) +* Cotg^) y b
:i p = aSec2(|) + fe = 2aSec(|) ,Sec(|) .Tan(|). (|)
= aSec2(^) .Tan(|)
bC 2(|) >■ 2 C (|) C (|) C t (|) (1)
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■*■§§ = 2aSec(|).Sec(|).Tan(|). (|) = aSec2 (|) .Tan(|)
Según la fórmula (5): TaniJ) = — &^ t ? 0 — g~ = Cotg( j)aSecM^.Taníg)
Entonces: Tan<í> = Tan( jj)
Por otro lado, se sabe que: t|) = a0 ■* 9 = a<¡>
Por tanto, de (1) y (2) se sigue que: a4> =
(1 )
(2)
«*• <J>+a = tt
En la figura adjunta se tiene:
a + m(^OTP) = tt, (suplementarios)
Pero: a+<& = ti •+■ m(^OTP) = <)>
Como la m(40PT)=4> (opuestos por el vert.)
entonces el AOPT es isósceles, por tanto,
haciendo centro en el polo 0 y con radio
igual al radio polar del punto P, traza-
mos un arco hasta interceptar al eje po-lar en el punto T. Uniendo P y T tendre-
mos construida la tangente.
\ y' l /
y /
Í v t - n/e \ \ A
o'f / T
p = bCsc2(|) >■ = 2aCsc(|).Csc(|).Cotg(|). (1)
= aCsc2 (|) .Cotg(|)
luciendo uso de la fórmula (5 ) tenemos:
.. . aSec2 (0/2) „ .,0,_,n 0N , ir 0I un<|)i = ---- ------ -------- = Co tg(■*) = Tanfe 3 ) + <J>1 = ~ f
aSec2 (0/2)Tan(0/2) 2 2 2 2 2
1‘nro: «ti = a1- 0 di - 0 = ■§ “1= + §
I.ucgo, Tana 1 = Tan(^ + |) = Cotg(|) = ^ + m = -
T'in<¡>2 = ----- a2L?.Ü .g/.2J----- = Tan(|) = TanU f)aCsc2 (0/2)Cotg(0/2) ¿ ¿
0 0Kntonces: <t>2 = ir - *-* a2-0 = 17 - 2 a 2 = n + ~
negó: Tana2 = Tan(n + §) = Tan(|) = + 1112 = ^
mi . m2 ( =
1n consecuencia, las parábolas se cortan perpendicularmente.
422 Capítulo 3: Derivadas
tiVIl Hallar el valor de la tangente del ángulo formado entre eleje polar y la tangente a la línea p=aSec 2 6 en los puntos
en que p=2a.
Solución. Sip=2a + 2a = aSec20 + Sec20= ±/2
*-*■ 0i = ir/¿ ó 02 =
Por la fórmula (5): Tan<t> = ----aSee_9------ _ _cotg02aSec0.Sec0.Tan0
1 3 1Para: 0 1 = Tamt i = * para 02 = * Tan4>2 =
... _ Tan<i>+Tan0Dado que: a = <i>+0 Tana = 1_TanlJ).Tan¿
.*. Tana i = ■ 1./.?— -- = 3 ; Tana2 = — ~1/2 = 31(1/2)(1) 1(1/2)(1)
gyni Hallar la tangente del ángulo formado entre el eje polar y
la línea tangente en el origen de coordenadas: (1 ) a la li
nea p=Sen50, (2) a la línea p=Sen39 .
Solución. (1) Para p=0 '+ Sen30=O ■**• 0 = 0
Tan<t ■= -- Se — ---- =ÍTan03S 0 C 0 J
i mu 4: La derivada como velocidad de variación 423
l’r la fórmula (5): Tandi =a(OCos0) Sen0
Tanií)2 = a(1Cos0) _ 1Cos0
a(0+Sen6) Sen0
I1 ma 0i=u/2 *■ ‘ Tan<t>i = = 1 <*• <¡>i = ti
+ Tarntj = y— = 1 ■*>■ <t>2 = '7• *+
I a=it>+0 + ai = jtt + = ■|if ; a2 = ^ j
l.uego: mi = Tanai = Tan(|/T) = Tan(?i + = Tan(ir/4.) = 1
m2 = Tana2 = Tan(|7i) = Taníir = Tan(Tt/¿) = 1
Kntonces: mi.m2 = - 1 i por tanto, ambas cardiodes se cortan en án
iulo recto en el punto 0 i=7t/2.
Análogamente se demuestra para 02=tt/2. '
I La ecuación de la línea en las coordenadas polares es dada
en forma paramétrica: p=fi(t), 0=f2 (t). Expresar la tangen
U) del ángulo 4> entre la línea tangente y el radio polar. como
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3Sen20.Cos0 J
Si 0=0 + Taní> = 1/3(0) = 0 <► $=0
Como a=^>+0 * a=0 Tana = 0
(2) Sip=0 + Sen30 =0 —*• 30 = 0 > 0=0+*■ 3 6 = TT + 0 = 7 l /3
-*-> 3 0 = 2 tt -*■ 0 = 2 7 t/ 3
* Sen36 _Tan<i> '3Cos30 3Tan30
Siendo Sen38=0 *■ Tan36=0 , o sea Tan<i>=0 ■*-*■ 4>=0
Luego, si ot=<t>+0 *► a=0
Tanai=0 ; Tana 2=Tan(u/3)=/'3 ; Tana 3=Tan ( 2tt/3) = /?
fTT^I Mostrar que dos cardiodes p=a(1+Cos0) y p=a(1Cos0) se cor
tan formando un ángulo recto.
De.mo.ii/iac-ión. En efecto, interceptando ambas curvas se tiene:a(1+Cos6) = a(1Cos0)
de donde: Cos0=O ■*-+ 0 i=tt/2 ó 02=tt/2
función de t.
solución. Según la fórmula (5): Tan<¡> = (1 )
d0
Por la regla de la cadena: |§ = (|£) (|f) = ) = tTTT
dt f2tW
.ustituyendo en (1) obtenemos: Tan<t> = £.2.1.!' f{(t)
Una línea viene dada mediante las ecuaciones p = at 3 y 0=bt2.
Hallar el ángulo entre el radio polar y la tangente.
solución. fj(t) = = 3at2 ; f>(t) = || = 2bt : f i (t) =at3
Aplicando la fórmula obtenida en el ejercicio anterior
:;e tiene: Tan* = (ati)(2bt) = 2fet2
3at‘.2 3
= arcTan ( bt2) = arcTan(^0)
979 Dada la elipse x=aCost , y=bSent expresar el radio polar p
424 Capítulo 3: Derivadas
y e l á n g u l o p o l a r 0 c o mo f u n c i ó n d e l p a r á m e t r o t . V a l i é n d o s e d e
l a f or m a a s í o b t e n i d a p a r a d a r ,1 a e l i p s e , c a l c u l a r e l á n gu l o f o r
mado e n t r e l a t a n g e n t e y e l r a d i o p o l a r .
Solución. p = >/ x í +yz = /a 2 Cos2t + b 2S e n 2 t
* -
Tan0 = i = fe—r = Tant + 6 = arcTan(^Tant)x aOost a a
dp _ 2a2CostSent+2b2SentCost: _ (b2a2 )Sen2t
d6
2v/ a 2C o s 2 t + b 2S e n 2 t
1
2 / a 2C o s 2 t + b 2S e n 2 t
(¿Tant)'(b/a)Sec2t _ ab
1+(^Tant)2 a 1+(b/a)2Tan2t a2Cos2t+b2Sen2t
Haciendo uso de la fórmula obtenida én el ejercicio 977 se tiene
( /a2Cos2t+b2Sen2tTan*
f b2a2)Sen2t
2/a2Gos2t+b2Sen2t
<J> = arcTan
____ ab________
a 2Co 8 2t + b 2S e n 2t (
2ab
2 ab
( b 2 - a 2 ) S e n 2 t
|_(b2a2 )Sen2tJ
*ama ‘iu.itange.níe. polar a la proyección del
Sección 4: La derivada como velocidad de variación 425
¡j Mostrar que la longitud de la subtangente polar de la espi
ral hiperbólica p=a/0 es constante.
Demostración. En efecto,
“ st ' | * st ' | i ^ | ' i - l ' ■
Mostrar que la longitud de la subnormal polar de la espi-
ral de Arquímides p=a6 es constante.
Demostración. En efecto,
si Sn = fe Sn = fé(ae) = “
Hallar la longitud de la subtangente polar de la espiral
logarítmica p=a®
Solución. 4q = a9lna = pina *■ S. = = —2— = £— de K t d£> pina Ina
d6
K ü J Hallar la longitud de la subnormal polar a la espiral loga* —
f i 0rítmica p=a
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segmento de la tangente desde el punto de con-
tacto hasta su intersección con la perpendicular levantada al ra
’ dio polar en el polo, sobre dicha perpendicular. De igual forma
se define la subnormal potan. Tomando esto en consideración re-solver los problemas de los ejercicios 98098jÍ.
Deducir la fórmula para la subtangente polar y la subnor-
mal polar de la línea p=f(e).
Solución. Según la definición 3.11
OT = subtangente (S^.)
ON = subnormal (S )
En el ATOP: OT = pTan<t>2
Por la fórmula (5): =
En el ANOP : ON = pTanui
PCote* = tïïïï
dïï dïï
pTan(^ 4>)
S = âe.n de
So lución. S = *• S = a®lna = pinan ao n
4.4 VELOCIDAD DE LA VARIACIÓN DE LA LONGITUD
C 3 B E & B La diferencial de la longitud del arco s de una
curva plana, dada su ecuación en coordenadas car
tesianas x e y, se expresa por la fórmula:
ds = J( dx)2 + (dy)2 (I)
Si la ecuación de la curva tiene la forma:
a) y = f(x) + ds = ^1 + (g ) 2dx , para dx>0
b) x = g(y) + ds =^/l + ( 0 ) 2dy , para dy>0
c) x=f(t), y=g(t) + ds = J(^L)2+ (^.)2dt , para dt>0
(2 )
( 3)
426 Capitulo 3: Derivadas
I 2y F |2 + F li 7 + F 1 ■d) F(x,y)=0 »• ds = — - Idx ¡ — — L I dy | (5)¡F| |F'|
e) En coordenadas polares:
ds = / (d 6) 2 + (p d0 )2 = / p 2 + (^§>2de (6)
Si 4) es el ángulo formado por el radio polar de un punto de la
curva y. la tangente a la curva en este misno punto, tenemos:
g , Sen « = p(* f) (7)Cosí) =
Si a es el ángulo que forma la dirección positiva de latangente
(es decir, dirigido en el sentido del crecimiento del arco de la
curva) con la dirección positiva del eje OX, tendremos:
5ena = ^ , Cosa = (8)
PROBLEMAS RESUELTOS
Sección 4: La derivada como velocidad de variación 427
sí di = j r T l M y * 4a = A + ¿"y 2 =y * dy dy / bx2 b2 |x |
La parábola y 2 =2px, hallar ds.
Solución. Derivando implícitamente se tiene:
2yy1 = 2p •> y' = p/y
Entonces: ds = /i + (ff)2dx = /i + (p/y)2dx = j^ HÉ Jd x
i y I
I Ü J La parábola semicúbica: y2=ax 3 , hallar .
Solución. 2yy
1 =
3ax
2 g = 3
| £ 2 ff =
3 ^ 2
ÜÜL - f T J Ü 9a2x‘* * 9axy2
= /i +dsdy Y 9ax
La sinusoide y=Senx , hallar ds.
Solución. = Cosx ds = / 1 + y|2dx = Á + Cos2x dx
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En los ejercicios 985999, s designa la longitud del arco
de la línea correspondiente.
d sLa recta y=ax+b , hallar
Solución, = a * según fórmula (2): =/l+a2
La circunferencia x2+y2=r2, hallar .
Solución. Por derivación implícita se tiene:
2x + 2yy 1 = 0 *
.. 4 f ■ f T W ? ■ / 7 7 ^Entonces:
dy _ xdx ~ " y
7
y
ds
+y _ _r_
yl
La elipse b x +a y a b , hallar ^Solución. Por derivación implícita se tiene:
dy _ b2 /X\
/ y
x , xLa catenaria y = ---^2— (y=Coshx) , hallar
Solución. y' = ^(ex e”x )
= /l + y - 2 = /i + l(exe- x ) 2 = i/ ^( exe- x ) 2
= \ 'j(ex+e” x ) 2 = l(ex+ex ) = y
La circunferencia: x=rCost , y=rSent : hallar 4| .
Solución. 42 = rSent , = rCost
* Ü = /c|f ) 2 + ( ^ ) 2 = V r 2Sen2t + r2Cos2t = r
La cicloide: x=a(tSent) , y=a(1Cost) , hallar
So¿uc¿&n.= a(lCost) , —^ = aSent
dsdt
d s _ / ( ¿ X ) 2+ ( d i )2 - / a 2 ( 1 - C o s t ) 2+ a 2S e n 2 t = a / 2 - 2 C o s tdt Y dt dt
/ 2 { 1 - C o s t ) = a /iS e n 2 ( t / 2 ) = 2 a S e n ( | )
428 ___________________________________________ Capítulo 3: Derivadas
= a
L a a s t r o i d e : x = a C o s 3t , y = a S e n 3 t , h a l l a r d s .1
So¿uc¿6n. = - 3 a C o s 2 t S e n t , | | = 3 a S e n 2t C o s t
d s = ^ ( á | ) 2 + ( ¿ X ) 2 = / 9 a 2C o s ‘‘ t S e n 2t + 9 a 2S e n ‘, t C o s 2 t
= / 9 a 2 S e n 2t C o s 2 t ( C o s 2t + S e n 2t ) d t
= 3 a S e n t C o s t d t
L a e s p i r a l d e A r q u í m i d e s : x = a t S e n t , y = a t C o s t , h a l l a r d s .
Solución. = a ( t C o s t + S e n t ) ,~ | | = a ( - t S e n t + C o s t )
ds = Se.2( tC o s t + S e n t ) 2 + a 2 ( C o s t - t S e n t ) 2 d t
= a / t 2 ( C o s2t + S e n 2 t ) + 1 d t = a / l + t 2 d t
L a c a r d io d e : x = a ( 2 C o s t- C o s 2 t) » y = a ( 2 S e n t - S e n 2 t ) , h a l l a r d s
Sección 4: La derivada como velocidad de variación 429
|| = a(Sent + ^ ) = a(S||Í) = aCostCotgt
|| = aCost + (||)2+(||)2 = a2Cos2t(Cotg2t + 1)
= a2Cos2t(Csc2t) = a2Cotg2t
ds = /(||)2 + (|f)2 dt = aCotgt.dt
La evolvente de la circunferencia:
x=a(Cost+tSent) , y=a(SenttC.ost) . hallar ||
dxSolución. ^ = a(Sent + tCost + Sent) = atCost
|| = a(Cost + tSent Cost) = atSent
■* + ^|t^2 = a2t2(Sen2t + Cos2t) = a2t2
* ¿2 = at• • dt
La hipérbola: x=aCosht , y=aSenht ; hallar ds.
Solución. || = aSenht , || = aCosht
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Solución. | | = a ( - 2 S e n t + 2 S e n 2 t ) , | | = a ( 2 C o s t - 2 C o s 2 t )
* ( | S ) 2 = ¿ a 2 ( S e n 2t - 2 S e n t S e n 2 t + S e n 2 2 t )
a t= ¿ a 2 ( C o s2t - 2 C o s t C o s 2 t + C o s 2 2 t )
U"t>
( | | ) 2 + ( | | ) 2 = ¿ a 2 [ 1 - 2 ( S e n 2 t S e n t + C o s 2 t C o s t ) + 1 ]
= 4 a 2 [ 2 - 2 C o s ( 2 t - t ) ] = 8 a2 ( 1 - C o s t )
= 8 a 2 ( 2 S e n 2 | ) = l 6 a 2Sen2-g
ds = 4 .aSen(^)dt
La t r a c t r i z : x = a ( C o s t + l n T a n | ) , y = a S e n t j h a l l a r d s .
Solución. 4 r = a f - S e n t + ------ --------( S e c 2 ¿ ) ( ^ ) " |d t l T a n ( t / 2 ) ¿ ¿
= a f - S e n t + ------------------------------------- ----------~|2Sen(t/2).Cos(t/2)J
+ (|f)2+(||)2 = a2(Senh2t + Cosh2t) = a2Cosh2t
• • ds= / (H) 2+ (||) 2 dt = a /Co sh2t dt
4.5 VELOCIDAD DEL MOVIMIENTO
UÜÜJ Una escalera, que mide 10m de longitud, tiene apoyado su
extremo superior contra una pared vertical. Su extremo in-
ferior se halla apoyado en el suelo y se desliza apartándose de
la pared a 2 m/mln. A qué velocidad va descendiendo el extremo
■ uperiorde la escalera cuando el inferior dista 6m de la pared?
Cuál es la dirección del vector de la velocidad?
Solución. Sean A y B las posiciones de la parte inferior y superior de la escalera, respectivamente, en un determina
lo momento. En cualquier posicion de A y B se debe verificar:
x2 + y2 = 100 (Pitágoras)
430 Capítulo 3: Derivadas
Derivando respecto del tiempo se tiene:
■ o ■ °'dt' dt
Cuando x=6
''dt'
y = /10036 = 8
Dado que: vx = ^ = 2 m/min
Entonces :
o sea: v
6(2) + 8( &) = 0 = Idt
= 1.5 m/min
El vector de velocidad está dirigido verticalmente hacia abajo.
TI Un tren y un globo aerostático parten de un mismo punto
simultáneamente. El tren se traslada a unavelocidad uni-forma de 50 km/h. El globo sube (tambiénunifórmente) a 10km/h.
A qué velocidad se aparta el uno del otro? Cuál es la dirección
del vector de velocidad?
50 ¿ución. En una hora, el tren recorre
una distancia PT = 50 km, y el
globo sube la altura PG=10 km.
51 z es la distancia entre el tren y el
ni 4. La derivada c omo veloc idad de variación 431
2
1.7
2 - x - y
3 ~ 1.71. donde: 1.3x = 3y + 1.3(|^)=3('^)
34
dxdt U. 63 km/h
3(6. 34)
la velocidad co que se traslada la som
■11 que proyecta la cabeza del hombre.
¡J1 La figura 26 muestra, de manera esquemática, el mecanismo
de manivela de una máquina a vapor: A es la cruceta, BB 1
"ti las correderas de la cruceta, AP es la biela, P es el gorrión
i manivela, Q es el volante. El volante, de radio R, gira unifor
«mínente con velocidad angular oj. La longitud de la biela es igual
m d. Cuál es la velocidad que tiene la cruceta al desplazarse, en
I momento en que el volante ha girado un ángulo a.
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globo en t horas, entonces:
z2=(50t)2+(10t)2=2600t2 ■+ z=10/2St
i =Luego, se apartan uno del otro a una ve
locidad de: v = 10/2E = 51 km/h
El vector de velocidad sigue la dirección de la hipotenusa del
triángulo rectángulo uno de cuyos catetos es horizontal e igual
a 50 km, y el otro es vertical e igual a 10 km.
Un hombre de 1.7m de estatura se aleja, a 6.34 km/h, de
una fuente luminosa que se encuentra a 3m de altura. A q'
velocidad se traslada la sombra que proyecta su cabeza?
Solución, Sea y la distancia horizontal que separa al hombre de
la fuente luminosa, z la longitud de la sombra, x la
parte más alejada de la sombra.
Por semejanza de triángulos se tiene:
¿ución. Las figuras adjuntas muestran la posición inicial del
gorrión P y la posición final del gorrión cuando el
volante ha girado un ángulo a.
y en la posición final: = a + AD + DO
= a + /í,2PD2 + RCosa
= a + R Sen a + RCosa
432 Capítulo 3: Derivadas
Dado que: x = x„ xf x = ¡L + R A 2R2Sen 2oc RCosa
Derivando respecto del tiempo* con i y R constantes, se tiene.
, -2R 2Seno¡Co sa(4r) <3«U ■— p + RSena(ff) ; pero: ff = udt 2/j. 2R2Sen2a dt
.*. = Rufsena + — ^ = = = = " 1dt |_ 2A 2-R 2Sen2aJ
DERIVACIÓN SUCESIVA
Anteriormente habíamos señalado que dada una función derivable f,
su derivada es otra función f'(x) y que por lo tanto es suscepti
ble de volver a derivarse, esto es:
t e ' ( x ) ] = lim f1(x+Ax) f’(x)x Ax>0 Ax
si existe el límite.
Entonces a esta nueva función se le da el nombre de segunda de/ii
Sección 5: Derivación sucesiva 433
1006
■1007
1008
1009
FUNCIONES DADAS EN FORMA EXPLÍCITA
y =x 2 - 3 x + 2 , hallar y".
Solución. y' = 2x3+0 = 2x3 + y" = 2
y = 1x2xi* , hallar y"'
Solución. y 1 = 02X4X3 y" = 212x2
.*. y'" =-2íx
f(x) = (x+10)6 , hallar f"'(2)
Solución. f'(x) = 6(x+10)5 *■ f"(x) = 30(x+10)1*
f'"(x) = 120 (x+10) 3
.". f" 1 (2) = 120(2+10) 3 = 207,360*
f (x) = x 6 - 4 x 3 + 4 , hallar fiv(1)
Solución. f 1 (x) = 6x512x2 + f"(x) = 30xl*2¿x
+ f"’(x) = 1 2 0x 3—2 ¿ fiv (x) = 3 6 0x2 '
i
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Entonces a esta nueva función se le da el nombre de segunda de/ii
vada de f, que se denota por:
y« , f..(x) , D2f(x)
dx2 XEn forma similar, la te./iae./ia de./L¿vada de f es:
fi?» (x) = lim f" (x+Ax) f"(x) f si existe el límite
Ax+0 Ax
la cuasita de/iivada de f es:
fiv (x ) = lim f' Cx +A x) f11' U ) > si existe el límite
Ax^0 Ax
y así sucesivamente, la derivada n-ísima de f es:
fn (x) = lim fn~1 (*+Ax)
Ax*0si existe el límite.
Ax
1010
1011
1012
fiv(1 ) = 3 60
y = (x2+1 )3 , hallar y"
Solución. y 1 = 3 (x 2+1)2 (x2 +1) 1 = 6x(x2+1)2
y" = 6 [2x(x2 +1)(2x) + (x2 + 1)2 (1)]
= 6[¿x2 (x2+1) + (x2 + 1)2;|
= 6(x2+ 1)(¿x2+x2+1) = 6( 5x‘*+6x2 + 1)
y = Cos2x , hallar y "1
Solución. y ’ = 2Cosx(Senx) = 2SenxGosx = Sen2x
y" = 2Co s2x ♦ y"1 = 4Sen2x
f(x) = e2x~ 1 , hallar f"(0).
Solución. f'(x) = e2x"1(20) = 2e2x“ 1
f"(x) = 2e2x1(20) = 4e2x"1 f»(0) = ¿/e
434 Capítulo 3: Derivadas
f(x) = arcTanx , hallar f"(1)
Solución. f'(x) = — 2— + f»(x) 2x1+x2 (1+x2)2
+ f"(1) = 2 12 2
(1+ 1):
f(x) = , hallar f'(x).
Solución. f(x) = (1x) - 1 + f'(x)=(1x)”2(1)=(1x) ” 2
f»(x) = - 2 { 1 - x ) ' j ( - 1 ) = 2 ( 1x)” 3
f'"(x) = 2x3(1x)‘"(1) = 2x3(1x)"*
fiv(x) = 2x3x4(1x)_s(1) = 2x3x4(1x) ' 5
fv (x) = 2x3x^x5 ( 1x)”6(- 1 ) = 2x3x^x5(lx )t
fV (x) = 5!
(1x)(
x 3lnx , hallar yiv
Solución. y 1 = x 3(^) + lnx(3x2) = x2(1+3lnx)
y" = x2(0 + ^) + (1+3lnx)(2x) = x(5+6lnx)
Si'<rión 5: Derivación sucesiva 435
y = * h a l l a r y ( n ) -Solución, y 1 = (1+x)(1)(1x)(1) = »2(1) (1+x)**2
(1+x)2
• *• y" = 2(1) (2) (1+x)~ 3 = 2(1X2) (1+x)**3
yin = 2( 1x2x3) (1+x)""lf
= 2(1)n(n !)d +x) '(n+1) = SÍrll^nL(1+x)n+1
En los ejercicios 10191028, hallar las segundas derivadas
de las funciones.
] y = xex
Solución. y' = x(ex .2x) + ex (1) =ex (2x2+1)
y" = ex (¿x+0) + (2x2 + 1)ex (2x)
= ex (4X+4x3 + 2x ) = 2x{2x2 + 3)ex
»
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y = x2(0 + ) + (1+3lnx)(2x) = x(5+6lnx)
y'" = x(O + f ) + (5+6lnx)(1) = 11+6lnx
yiv = ^J X
f(x) = , hallar f"(x).x
Solución. f(x) = ax“n *■ f'(x) = nax*"n_1
+ f" (x) = n(n+1 )axn**2 =
j l|p = aSen20 , hallar —
de*, 2 ,
Solución. 4# = 2aCos26 + ¿2 = 2a(2Sen2e) = ¿aSen20dH d02
+ — - = 4a(2Cos20) = 8aCos20d03
plv = 8a(2Sen20) = l6aSen26
Solución. y = (1+x2)** *■ y' = 1 (1 +x3) **2 (3x2)
*■ y" = 3[x2(2)(1+x3)‘3(3x2) + (1+x3)”2(2x)j
= S f óx Vl +x 3)'3 + 2x (1 + x3)" 2j
= 3(2x)(1+x3)"3[3x3+(1+x3)] = 6x (2x 3-1)(1+x3)2
| y = (1+x2)arcTanx
Solución. y' = (1 + x2)(-- — ) + arcTanx(2x) = 1+2xarcTanx1 + x2
y" = 2fx(— — ) + arcTanx"]= — ■+2arcTanxL 1+x2 J 1+x2
y = /a2x2
Solución. y 1 = -,2 x■ ■ = x(a2x2 )” J/2
2 y ¡ ^ 7 2y" = {x[x(a2x2)~3/2J + (a2~x2)1/2}
= { ( a2x2 ) 3/2 [x2 + (a2x2 )] } = a2 (a2x2 ) ~ 3/ 2
436 Capítulo 3: Derivadas
y = ln(x + /1+x2)
So¿ución. y' = — 1 = ( 1 + - & = ) = — ^ ± 2 ^ = x+/l+x2 2/1+x2 /1+ x 2(x +/1+x 2)
y 1 = (1+x2)"1/2
* y" = i(1+x2)*3/2 (2x)2 /( 1+x2 ) 3
1y- =
a + /x
So ¿ación. y=(a+/x) _1 y 1 =(a+/x) ~ 2 (— — ) =\ 1.— — 2/x 2 /x
^ /3?[2(a+'/;)~3(1/2/i)] (a+/^)~2 (1/2/5E)j
i f (a+/x) ~ 3[2/x + (a+/x)]1
" 2 l 2x /J J
a+ 3/x
¿x/x(a+/x)3/?
y = e • /i?
Sotución. y' = e^(— !— ) = ¿(--)2/x /x
* 1 ✓J(e/ *) (1/2/5) e/3r(l/2/3í) _ e ^ / x Uy •2 -.... ..... ~ — —:---
c<ión 5: Derivación sucesiva 437
y = arcSen(aSenx)
So tac ión. y 1 = = ---(af!nsy) = aCo sx (1 a 2Sen2x) " x 2/la2Sen2x
y" = aCosx£ j(1a2Sen2x)” 3/ 2(2a2SenxCosx)J +
+ (1a2Sen2x)"l//2(aSenx)
= a( 1a2Sen2x) ~ 3/ 2 [ a2Sen2xCosx Senx( 1a2Sen2x)]
= a(1a2Sen 2x )"3/ 2 £a2SenxCos2x Senx + a 2Sen3x]
= a(1a2Sen 2x)" 3/2 [a2Senx(1Sen2x) Senx + a2Sen3x]
a(a21)Senxde donde: y" = — ' ■■— / (1a2Sen2x ) 3
y = xx
So ¿ación. Aplicando logaritmos neperianos se tiene:
lny = xlnx + ^ = x(l) + lnx ■* y'=y(1+lnx)y x
+ y" = y ( 0 + ^) + (1 +lnx)y 1 = I (1 +lnx)y (1 Hnx)
* + y (1+lnx) 2 = xx[ l + (1 +1 nx)2J
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x 4 x/x
y = /lx2arcSenx
S o ¿ución. y' = /lx2(, ^ •■) + aroSenx(— ~S = = )1x2 2/T 2
= 1 (— 7=== )areSenx/ W 2
= ( ; x„ ..) (arcSenx) 1 arcSenx [x( 1x2)“ 1/JQ 1/1x2
= (===) (7==) arcSenxjx( ¿) (1x2)"3^2 (2x) +/Ñ3 C2 /1 X2 L 2
+ (1x2)_l/2(1)J
arcSenx[x2(1x2)”3/2 + (1x2)"1/2]1x2
x
1x2 (1x2)3/2 [x2+ 0 x 2)]arcS enx
x _ arcSenx _ _ x/lx2 + arcSenx
1X* ( 1 —X 2 ) 3 / 2 /(1X2)3
En los ejercicios 10291040 hallar las expresiones comu-
nes para las derivadas de nésimo orden de las funciones.
axy = e
So ¿ución. y 1 =i ea x(a) = aeax + y" = aeax(a) = a2eax
y"' = a2eax(a) = a 3eax
.’. y (n) = aneax
xy = e
So ¿uc ión. y' = e X + y "= ( )e X = e X
ii1 »x . (n) / ,\n xy — — e + y = (1 ) e
y = Senax + Cosfcx
S o ¿ución. y' = aCosax bSenbx(1)
Antes de proseguir con la segunda derivada re
cordemos que:
438 Capítulo 3: Derivadas
Sen(A + = CosA y Cos(A + ^) = SenA
Según estas identidades: y ’ = aSen{ax + tj) + bCos(bx +
Derivando (1): y" = a2Senax b2Cosbx (2)
Según Xas identidades: Sen(A+7r) = SenA y Co s (A+tt) = CosA
podemos escribir: y" = a2Sen[ax+2(^)J + b2Cosfbx+2{^)]
Derivando (2): y"' = a ’Cosax + b’Senbx
Según las identidades: Sen(A +Jtt) = CosA , Cos(A +ir)=SenA
se tiene: y"' = a3Sen[ax+3(^)] + b3Cosfbx+3(^)J
Analizando las derivadas y* , y" , y"1 , se deduce que:
y(n) = anSen[ax+n(^)] + bnCo s [ax+n (^)J
m j j y = Sen2x
Solución, y 1 = 2SenxCosx = Sen2x = 2°Senx
y" = 2Cos2x = 2lSen(x +
y'" = 2(Sen2x)(2) = 22Sen2x = 22Sen[2x+2(|)J
7
Vc( ción 5: Derivación sucesiva _______ 439
1035
1036
1037
y(n) = (l)n (n2) !x_(n‘1) = ~7 ’ * n>2
__1_^ ax+b
Solución, y = (ax+b)'1 y 1 = a(ax+b)“2
•+■ y" = +a2 ( 1x2) ( ax+b) ” 3
*■ y'" = a3(1x2x3) (ax+b)"“
y<n > = (1)nan(n!)(ax+b)(n+1^ =(ax+n)
y = ln(ax+b)
Solución, y' = — ■ = a(ax+b)_1
y" = a(ax+b)"2(a) = a2(ax+b)2
y"' = a2(2)(ax+b)"3(a) = +a3(1x2)(ax+b)3
ylv = a3(1x2) (3) ( ax+b) "11 ( a) = a" ( 1x2x3) ( ax+b) " *
y (») = (1)n1an (n1)!(ax+b)n =(ax+b)n
y = loga(x)
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yiv = 22Cos2x(2) = 2aCos2x = 23Sen [2x+3(§)]
.*. y (n) = 2n_lSen[2x + (n1)|]
Solución. y' = xeX + eX = eX(x+1)
y» = ex(1+0) + (x+1)eX = ex(x+2)
y"' = ex (x+0) + (x+2)ex = ex(x+3)
/. yU) = ex(x+n)
y = xlnx
Solución, y' = x(i) + Inx = 1+lnx *• yn = J. _ 1x x
= - K x ) ’= 1.2(x)"»
En este caso, la función de la derivada nésima se obtie
ne a partir de la segunda derivada, esto es:
1038
y g
Solución. y * = 1^(1) * JLUi)
y" = - i f a (x '2) - y"' - +
y (n) = (l)n1(n1.)!,„n} = (1)n~1(n1) I
Ina xnlna
Solución, y = ----- 21— --- = — (|)(x+1)(x—1) x+1 x1
x = A(x1) + B(x+1)
= (A+B)x + B A
Identificando coeficientes: 1 = A+B , 0 = BA
de donde obtenemos: A = B = 1/2
Luego, .» (,): y . _ i _ , _ L _ . ' ( « „- 1 * . „ - 1
440 Capítulo 3: Derivadas
1039
+ y> = I(x+1)'2 |(x1)'2
+ y" = ^ ( 2 ) ( x + 1 ) ' 3 + ^ ( x - 1 ) ' 3
♦ y ' " = - ! ( 2 x 3 ) ( x + 1 ) ' 4 •- -1(2X3) ( x - 1 ) ' 4
. .. y ( n ) = ^ ( . 1 ) n ( n ! ) ( x + l ) - (n + l ) + Í ( - D n ( n ! ) ( x - i r ( n+ l)
- ( - 1 ) n ( n l ) r ___ i_____ + ____ 1____ 1
2 L( x+l)n+1 (x -1)n+l !
1y =
x23x+2
So ¿ación. y = ----- = —— + --
(x2)(x1) x2 x1
+ 1 = A(x1) + B(x2)
= (A+B)x A2B
Identificando coeficientes: A+B=0 , A2B=1
de donde obtenemos: A=1 , B=1
Luego, en (1): y = 7 ^ 2 “ ¿ í = (x2^ “
+ y' = (x2)'2 + <x1)2
Vi 'i <ión 5: Derivación sucesiva 441
Derivando (2): y'" = 4Sen4x(4) = 42Sen4x
Pero: Cos(A + |ir) = SenA + y"' = 42Cosfix+3(^)J
y(n>' = 4n 1Cos[4x + n(f)]
CIO Demostrar que la función y=(x21)n satisface la relación
(x21)y(n+2> + 2xy(n+1> n(n+1)y<n> = 0
' ifemostrar que la función y=exSenx satisface la relación
y"2y'+2y=0 , mientras que la función y=e"xSenx satisface
la relación yn+2yf+2y=0.
th\mo¿i.A.ac.¿6n. En efecto:
y=exSenx *• y' = exCosx + e'xSenx = ex (Senx+Cosx)
*• y" = ex(CosxSenx) + (Senx+Cosx)ex =ex (2Cosx)
y"2y1 +2y = 2exCosx 2exSenx 2exCosx + 2exSenx = 0
y=e‘xSenx *■ y 1 = e'xCosx e'xSenx = e'x (CosxSenx)
+ y" = e'x (SenxCosx) (CosxSenx)e'x
( ) 2 "
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1040
+ y (x 2) 2 + <x 1) 2
+ y" = +2(x2)"3 2(x1)~3
► yiii = 2*3(x2) + 2x3(x1)"^
* y(») = (1)nn!(x2)(n+1) (1)nn!(x1)(n+1)
y<n > = (1)n<n! ) [ (x_2)n+1 ' (x.,)n+l]
y = Sen^x + Cos^x
Solución., y = Sen'x + Cos^x +2Sen2xCos2x 2Sen2xCos2x
= (Sen2x + Co s2x) 2 2(^SenxCo sx)2
= 1 |s en22x
+ y' = |(2)Sen2xCos2x(2) = Sen4x (1)
Como: Cos(A + §) = SenA + y' = CosUx + -j¡)
Derivando (1) se tiene: y" = 4Cos4x (2)
Según ia identidad: Cos(A+tt) =CosA + y" = 4Cos[4x+2( w
N
= e~x (SenxCo sxCo sx+Senx) = 2e"xCosx
•• y +2y +2y — 2e Cosx + 2e Cosx 2e xSenx + 2e xSenx = 0
0 2 3 Demostrar que la función y = satisface la relación
2y'2 = (y1)y".
i'ie.moAtA.ac.ión. En efecto: y' = 1 (x3) 1 _ 7(x+^)“2(x+4)2
♦ y" = U( x+4 )'3
l.uego: 2y'2 =2[7(x+4)'2] 2 = 98(x+4)‘ (1 )
(yDy" = (f^| D [ - U ( xH ) ' sJ
= ( ■^ )I 1 4( x+ 4) 3] = 98 (x+4)" 11 (2)
l'iir tanto, de (1) y (2) se deduce que: 2y'2 = (y1)ylr
U J J I Demostrar que la función y=/2xx2 satisface la relación
y3y" + 1 = 0 .
442 Capitulo 3: Derivadas
de.moAtn.ac.ión. En efecto, y' = ,2~2* r = (1x) (2xx2)“ 1/2
2/2xx2
* y.. = (1x)C ^(2xx2)"3^2 (22x)] + (2xx2)'l/2(1)
= (1x) [(1x)(2xx2)3/2] (2xx2)”*/2
= (2x -x 2)_3/2[-(1-x )2-(2x -x 2)] = (2xx2)“ 3/2
y 3y"+1 = /(2xx2) 3 ( ■. 1 ■■■■:•) + 1 = 1 + 1 = 0/(2xxz)3
Demostrar que la función y=e^x+2e x satisface la relación
y" 1 13y112y=0
De.moAtn.ación. En efecto: y 1 = 4e^X2e x
y" = l6eAx+2e'x + y"' = 64e4x2e'x
Luego: y'"13y'12y = (6 4e^x2ex)1 3(4eix2e_x)12(eAx+2e_x)
= e^x (644212) + e‘x(2+2624) = 0
Demostrar que la funcióny=e' x+e x satisface la relación
xy" + jy1 |y = 0
DemoAtn.ac ión. En efecto: y 1 = e ^ í — L) + e ---1— )2/x 2/7
Si i . ión 5: Derivación sucesiva 443 ..
y" = ex LSenex(ex)Cosex (ex)] + (CosexSenex )ex
=e2x(Senex+Cosex ) + ex (CosexSenex)
y"y’+ye2x = e2x (Senex+Cosex) + ex(CosexSenex)
ex(CosexSenex) + e2x (Cosex+Senex)
= 0
|U£jJ Demostrar que la función y=ASen(tút+w0 ) +BCos(íot+ü)0 )
(A, B, u y u 0 son constantes) satisface la relación:
y” + <o2y = 0
¡U’moAtn.ación. En efecto:
y 1 = AiüCos(wt+Uo) Bu)Sen(ut+u)o)
y" = Aü)2Sen(cot+too) Büo2Co s(u)t+(jj0)
= cj2 [ASen(ut+u)0) + BCos (ut+o)0)] = (o2y
y" t- u)2y = 0
Demostrar que la función y=aienx+a2e“nx+a3Cosnx+ai,Sennx
(ai, a2, a 3, a«, n son constantes) satisface la relación
iv uy = n y
E f t
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2/x 2/7
1 */X 1 o>/x= k — ) 4(— )
2 / 7 2 / 7
y„ = 1 /xe'/x( 1/2/x) el/ ( 1/2/x)j _ 1 |V7 e ‘^ (1 /2/7) e ' ^ (1 /2/7)j
= e^ C/ x O + e/x(/x+1)
4x/x 4x/x .
. i , . . i * . " ^ p t j £ . d í . j £ . d i^ 4,/x ¿/x ¿/x ¿/x 4- 4
de donde: xy" + gy1 |y = 0
Demostrar que la función y=Cosex+Senex satisface la rela-
ción: y"y1+ye2x=0
DemoAtnación. En efecto:
y 1 = Senex (ex)+Cosex(ex ) = ex(Cosex Senex )
OcmoAtnación. En efecto:
y ’ = naienx naje nx na 3Sennx + nai,Cosnx
y" = n2aienx + n2a2e~nx n2a3Cosnx n2a<,Sennx
y" 1 = n 3aienx n3a2e~nx + n3a3Sennx n 3ai,Cosnx
* ylv = n'ajeM + n “a2e"nx + n'asCosnx + n'a^Sennx
= nl,(aiellx + a2e nx + a3Cosnx + anSennx) = n'y
Demostrar que la función y=Sen(narcSenx) satisface la re-
lación: (1x2)y"xy1+n2y=0
iiemoAtnación. En efecto: y 1 = Cos(narcSenx(~^==r)/ Ñ ^ 2
= n(1x2)~1/2Cos(narcSenx)
y" = n( 1x2)' l/2 fSen(narcSenx) (==)] +/1x2
+ Cos (narcSenx) £- 2( 1x2 ) '3/2 (2x)J
444 Capítulo 3: Derivadas
+ n n2Sen(narcSenx) + nxCos(narcSenx)
1x2 (1x2)/lx2
+ (1x2)y" = n2Sen(narcSenx) + "xCoS(narcSenx)/1x2
(1x2)y"xy'+n2y = n2Sen(narcSenx) + nxvOs( naicS enx)
. nxCo3 (narcSenx) + n2Sen(narcSenx)
/1x2
= 0
JJJ23 Demostrar que la función y=eaarc^enx satisface la rela-
ción: (lx2)y"xy'a2y=0.
De.mo¿ta.ac ¿6n. En efecto:
yt = e°‘arcSenx(_^ L _ ) = o (,_x2) i/2e°iarcSenx
/1 x2
y» = a(1x2)l/2CeaarCSenX(7=S=)] + eaarcSenx[ §( 1x2)'3/2(2x)J/1x2
a2eaarcSenx axe¡aarcSenx
1x2 (1X2)/1X2
„ aarcSenx „ aarcSenx/„ „ , _i aarcSenx , axe oxe(1xz)y"xy'ay = a^e +
a ni 5: Derivación sucesiva 445
,,,, donde: y" k2 (x+/x2+l)k _ kx(xjVx^7í¿
x2+1 (x2+1)/x2+1
. (1+x2)y"+xy1 k2y = k2( x+ ATñ ) k kx (x^ xHÍ ).k + kx(x+ZgT i).*l/x2 + 1 /x2+1
k2(x+/£*+Í)k
(1 + x2 )y"+xy'k2y = 0
•m m / y i* i 3 vn 2i[iMcl Demostrar que la expresión S = ¿ ) no vana si
y' ¿ y'
sustituimos y por — ,esto es, si suponemos y = 4 > sey ^ i
tiene: y i ií-Lü2 = S
y í y í
i’cmoAt/iac L&n. En efecto: Si y = — *• y' - — y J y ~2
y" = y J (2y~ 3y J ) + y;2(y'J) = - l i ( 1 )'
y\ y*- y" = 2 y j 3 ( y J ) 2 - y~*(y")
.v"’ = 2y j 3 ( 2y J y " ) + (y *) a ( - 6y j* y Í) - y ^ y ? ’ ) - y 'j ( -2y ; 3y ¡)
.In donde: y"' = - 6^ i )3 + Sïll l - ili. , (2)
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.. (1 xz)y xy ay a e +/íx2
a2eaarcSenx
= 0
Etifcftl Demo strar'que la función y=(x+/x2 + 1 )k satisface la rela-
ción: (1+x2)y"+xy'k2y=0
De.mo¿t/iac¿&n., En efecto:
y' = k(x+/x2 + 1 )k~^ (1 + — j — — )__2/x2+1
= k (x +Z ^M )k"1( ^ @ ^/x 2 + 1
= k(x2+ D ’ 1/2 (x+/x2TT)k
y” = k(x2 + i r V 2fk(x+.'x2+Í)k'1(1 + — ===)! +
L / x 2 +1 J
+ (x+/^2TÍ)k (: |( x2 + 1)"3/2(2x)‘J
y : y¡i’Lvidiendo (1 ) y (2 ) entre y' se tiene:
_ y ! = . 2 (ül-) + H _y 1 y 2 yí
y " 1 = 6 (y l l 2- 6 i i + z l Ly ' y i y x y}
Il I
?■2(y )2 = 6(y?)2- 6yí + y"' . i r_ 2 (y¡) +2 l l -2 y' y2 yx y[ 2 L y; y; J
vil ! / V v v» * •} / V » V .. donde: Z— ^(i_)2=Zj— ç(Ll.)2 = S
y 1 y ' y } y j
Sea dado y=f(x). Expresar mediante y Mostrar
, (i+v i2 )3 /2que la formula R = -- y " --- es susceP'tible de ser redu
cida a la forma: R2/ 3 = ,2.! + — rj(ÉZI)z/ 3 /• d X' 2 / 3M x 2' dy 2
446 Capítulo 3: Derivadas
( f í >3 = y ’ 3 = - T a f e ^ * y'2 = ^ t t " )2/3
Solución. Si y=f(x) ^ = ~ + >
dx dx
Por la regla de la cadena se tiene:
áÍ2(¿X) = _ _1— d_(dx} _ jc£x = _ 1_
dy2 dx (f*)2 dx dx dy2 T ^ T 3dx2
Dado que: R = ílílLfill2 R2/3 = — L _ + — 1— (y• 2)(1)y" (y" ) 2 / 3 (y" ) 2 / 3
De la fórmula obtenida anteriormente:
. r ^ B 1 ’ * ■'cssr«/dy2 dy2
Sustituyendo en (1) obtenemos:p í / 3 _ ___ _J _______ + -------- J -----------
y W a ( Ü í ) V 3dx2 dy2
E íiW jJ Sea F (x) = f(x).<t>(x) siendo f 1 (x). 4’’ (x)=c. Demostrar que:
F" f» ^ 2c_ F _¿ f J. , ü lF ~ f <¡> f. <t> y F f <t>
de.mostn.ación. En efecto: F'(x) = f'(x).<t>(x) + f(x).<t>'(x)
»■ F" (x) = f"(x).<t>(x) + f ’ (x).*1 (x) + f'(x).<t>'(x)
'•>¡ción 5: Derivac ione s sucesivas 447
5.2 FUNCIONES DADAS EN FORMA IMPLÍCITA
b2x2+a2y2=a2b2, hallardx2
Soiución. Por derivación implícita se tiene
b2 /x2b2x + 2a2yy1 = 0 + y' =
b 2x \
». . - tí(JL ja lì) . b‘p x| Ì 4 1]
2 a2 L v 2 I2 2a y aL y2 . =2„2it,2v2.= _ b (a y +b x ^
a2 a2y 3
i) li.'iérvese que el numerador de la expresión entre paréntesis es elprimer miembro de la ecuación dada. Esto ocurre, generalmente, al
obtener la segunda derivada de una función algebraica cuya ecua-
ción se dá en forma implícita.
/. y" = £Í(±ÍSÍ) = . b*a2 a2y 3 a2y 3
x2 + y2 = r2, hallardx2
Soiución. Por derivación implícita se tiene:
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+ f(x).lt>"(x)
+ F11 (x) = f"(x).d>(x) + <t"(x).f(x) + 2c (1)
Dividiendo ambos extremos de (1) entre F(x) se tiene:F" (x) _ f"(x).»(x)+ <t>"(x).f(x) + 2c
F (x) f(x).ij>(x) f(x).<l)(x) f(x).<f>(x)
• II f" 4. ü!. 4. 2cF f <t> f. <t>
Derivando nuevamente la ecuación (1) se tiene:
F" ' (x) = f" 1 (x).<t>(x) + f’'(x).<t>'(x) + 4)'" (x) .f (x) + <¡>"(x).f' (x)+0
= f'"(x).<í)(x) + d>"'(x).f(x) + [f"(x).d>'(x) + <t>" (x). f' (x)3
Pero: f1 (x). 4> * (x)=c *■ f" (x). d>' (x) + f 1 (x). <fi" (x) = 0
Entonces: F"'(x) = f" 1 (x). <¡> (x) + <t>" 1 (x). f (x)
Dividiendo ambos extremos de la igualdad entre F(x) obtenemos:F" * f" 1 <t>» i
So uc ó o de ac ó p c ta se t e e
2x + 2yy * = 0 y» = |
t v" = y xy ' = y x(x/y) _ _ y2 + X22 2 3y y y.
Obsérvese el numerador del segundo miembro de y". Obviamente la
sustitución por el segundo miembro de la ecuación dada facilita-
rá el cálculo de otras derivadas superiores, esto es:
y" = — = r2y"3 + y" 1 = 3r2y/*y' = 3r2y_,*( ) = y 3 y y5
y = Tan(x+y) , hallar y"'.
Solución. y' = Sec2(x+y).(1+y') = (1+y') jj+Tan2(x+y)]
= (1+y')(1+y2) de donde: y 1 = y_2_1
*• y" = 2y~ 3y' = 2y'3(y_2l) = 2y's2y3
+ y'" = 10yGy' + ^y’^y1 = 10y"6(y‘21)+6y~*(y'21) *
448 Capítulo 3: Derivadas
de donde: y"1 = = — (1+y2) ( 5+3y2 )dx3 y0
n?EÜl s = 1 + tes , hallar
dt2Solución. s' = 0 + teS(s') + es *■ s' = gf
+ sii (2s) ess1 es(s1) _ es( 3s) s1
(2s)2 . " (2s)2
. g„ _ d2s _ es (3s)^ es^ _ (3s)e2s
dt2 (2s)2 2s (2s)3
y3 + x3 3axy = 0 , hallar y".
Solución. Por derivación implícita se tiene:3y2y'+3x23a(xy'+y)=0 + y 1 =
y2ax
+ ytt _ (y 2 ax) ( ay1 2x) (ayx2) (2yy 1a)
(y2ax)2
(y2ax)[a(|^|^)2x] (ayx2 ) [2y (f%5|^)a]
(y2ax)2
(y2ax)(a2y+ax22xy2) (ayx2)(ay2+a2x2yx2)
(y2ax)3
... i ión 5: Derivación sucesiva 449
donde: y" [lCos(x+y)] 2 £lCos(x+y)l 2
.*. v" = [lCos(x+y)J:
ex+y = Xy , hallar y".
Solución. Derivando .implícitamente se tiene:
ex+y(1+y') = xy'+y xy(1+y') = xy'+y
* y ' = y~xy + yti = (xyx) (y'xy'y) (yxy) (xy'+yl)
xyx (xyx)2
= (*?*) x ( ^ ) y ] (y xy )[ x( ^) + y1]
(xyx)2
»educiendo términos en el"numerador obtenemos:
„ _ x3y+2x2yxy3+2xy22xy _ xy(x22x + y22y + 2)
x 3(y1)3 x3(y1)3
• ■ . y[(x1)2+(y1)2]
x2(y1)3
Deducir la fórmula para la segunda derivada de la función
inversa a la dada y=f(x).
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2a3xy 2x‘*y 2xy‘* + 6ax2y2
(y2ax)3
_ 2a3xy 2xy(x3+y33axy)(y2ax)3
Obsérvese el paréntesis del numerador y la ecuación dada.
• y» = 2 a3xy 2x y(0) _ _ 2a 3xy
(y2 ax )3 (y 2 a x) 3
y = Sen(x+y) , hallar y".
Solución. y' = Co s (x+y ) . (1+y ' ) *• y 1 = . Oo s (x+y)_1Cos(x+y)
y" = D0os(x+y)] j'Sen(x+y). (1 + y1)] Cos(x+y) ¡Sen(x+y). (1+y' )J
[1 Cos(x+y)J 2
_ [lCos(x+y)] L'yd+y1 )] Cos(x+y) Cy(1 + y')]
[lCos(x+y)]2
^ y xr HSolución. Ver ejercicio 1054. Rp. ---- = —¿—
dy2 y'3
ey + xy = e , hallar y"(x) para x=0.
Solución. Para x=0 + ey=0 •<* y=1
Por derivación implícita se tiene:•k
eyy' + xy1 + y = 0 (1)
Para x=0 e y = 1 •> ey' + 1=0 +*■ y' = 1/e
Derivando (1): eyy" + y'(eyy')+xy" + y' +y 1 = 0
+ eyy" + y ,2ey + xy" + 2y' = 0
l’ara x=0 , y=1 , y'=1/e , se tiene:
ey" + ( )2(e) + ( “ ) = 0, de donde: y"(0) = 1/e2
y2=2px , hallar la expresión k =/(1+y12)3
450 Capítulo 3: Derivadas
Soiucibn. Por derivación implícita se tiene:
2yy' = 2p + y' = py"1
y" = -py " 2y ' = -py ‘ 2 (py-1 ) = - p2y ' 3
Luego: K =2 “ 3 2
p y __ _____ es
/ ( 1 + p V 2 )* A y 2+P2 )' :
Comprobar que de y2+xz=R2 se deduce k=1/R , donde
k =
/ ( 1+y ' 2 ) 3
Demostración. En efecto, por derivación implícita se tiene:
2yy1 + 2x = 0 y' = x/y
i y» = y xy1 = y x(x/y) _ _ y 2+x2 .. _ R 2y 2 y 2 y 3 y 3
Luego : k '= l -R 2/ y 31 = ' Rz R2 _ J.
/T¡ + x2/y2)3 /(x 2+y2)3 /(R2)3 R
Demostrar que si: ax +2bxy+cy +2gx+2fy+h=0 , se tiene:
dy; ax+by+g d2y _ A_____dx y
bx+cy+f dx2 (bx+cy+f)3
donde A es una constante que no depende de x e y.
11 in 5: Derivación sucesiva 451
ilonces, si A=h(acb2)af2+2bfgcg2, queda demostrado que:
d2y _ ____ A_____dx2 (bx+cy+f)3
Demostrar que si (a+bx)ey/,x=x se tiene: x 3(¿i)=(x|^ y)2dx
De.mostsiac.i6n. En efecto, aplicando logaritmos neperianos
en la ecuación dada se tiene:
n (a+bx) + l = inx + H l ^ L = 1 + x ( f * ) - y = <1)x a+bx x2 x ax a+bx
inrLvando nuevamente obtenemos:
(a+bx)a ax(b) _ a2y" + y' - y'
(a+bx)2 (a+bx)2
Multiplicando por x2 se tiene: x3(— í.) = (¿fg)2 (2)dx2
iomparando (1) y (2) se ha demostrado que:
‘».3 FUNCIONES DADAS EN FORMA PARAMETRICA
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Demost/iaciónEn efecto, por derivación implícita se tiene:
2ax+2b(sy1+y)+2cyy1+2g+2fy1 = 0
+ yi = _ ax+by+gbx+cy+f
y» = (bx+cy+f ) (a+by ' ) ( ax+by+g) (b+cy')
(bx+cy+f)2
Sustituyendo en el numerador el valor 'de y' y luego reduciendo
términos obtenemos:
y" = (acb2) [ax2 + 2bxy+cy2 + 2gx+2fyl+af22bfg+cg2
(bx+cy+f)3
Comparando la expresión entre corchetes con la ecuación dada se
deduce que: y" = 1*2^? ,h2...+.af22bfg+cg2(bx+cy+f)3
_ h(acb2)af2+2bfgcg2(bx+cy+f)3
Vemos que el numerador es una expresión que no depende de x e y,
Anteriormente habíamos visto que si la dependencia entre la fun
■iñn y y elargumento x viene dada por medio del parámetro t, es
i 'i es: x = f (t) , y = g(t)
" .i tonces: = |Í_ = X M ,(1)
dt 1
. una función de t, es decir, = y 1 = h(t) (a)
ih(t) es derivable, la segunda derivada de y respecto de x se
dy 1
• ibtiene de: y" = ¿íi , f(Íi) = |JLÍ =J , 2 dx dx dx _dx
ax dt
/ según (a): 1 1 1 = Ali*) (2)dx2 f( t)
'i sea: y" = H(t) (8)
452 Capítulo 3: Derivadas
Si H(t) es una función derivable, la tercera derivada de y res-
pecto de x se obtiene de:dy 1
v'" = íLÜl = = áfv") dty — dx T~ 2 dx y ' dxdx 3 QX dx2
dt
qué según (S): = JLLÍll (3 )dx 3 f'(t)
Así sucesivamente, para el cálculo de la nésima derivada de yf n 1)
respecto de x, si y Gft) es una función derivable, entonces
d (n1)
(n) = _d\ _ d_f dn~ 1y ■. _ dy (n~1) = _dt^ _ G' (t)
dxn dx dx11' 1 dx ' |f ' f'(t)
PROBLEMAS RESUELTOS
x=at2, y=bt3, hallar .— 2.dy 2
Solución. Si x=f(t) + f'(t)=2at
y=g(t) + g '(t)=3bt2
Entonces: = JLIÍÍÍ = _¿a_ = + h'(t) 2a
■n'in 5: Derivación sucesiva 453
intución. Si x=f(t) f'(t) = aSent
y=g(t) g'(t) = bCost
l.ni.onoefl: y' = ■ = ^Cotgt = h(t) h'(t)= —C sc2tdx ft ^tj a a
I,migo: y.. „ ifjr , h'(t) = (b/a)Csc2t = _ b Csc3t
dx2 f'(.t) aSent a2
1 H(t) = — Csc3t -*■ H*(t) = sc2t (C sctCotgt)a2 a2
+ H*(t) = — Csc3tCotgta2
Ü = ¡ L Ü Ü = (3b/a2)Csc3tCotgt = _ ib CsctCotgt
dx 3 f 1 (t) aSent a3
i[iW'l x=a(tSent) , y=a(lCost) , hallar Y.dx 2
Solución. Si x=f(t) * f'.(t) = a(1Cost)
y=g(t) + g 1 (t) = aSent
Luego: = IiíÍ2 = ^ S £ l h(t)X f'(t) 1Cost
*■ h'(t) ^ 1Cost)Cost Sent(Sent)
(1Cost) 2 1Co st
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_ _dy g'(t) 3 bt ’ ' 3bt2
2a
Luego: Üf = *lU1L = 3bt2 = _ 2ady 2 gl(t) 3bt 2 9b2t“
« M » d 2 VKlinj x=aCost , y=aSent , hallar
dx2
Solución. Si x=f(t) + = f'(t) = aSent
y=g(t) + = g'(t) = aCost
Entonces: y ' = = J L Ü H = Cotgt = h(t) + h' (t )= C sc 2tax f'(t)
y» = Ü Z = h>(t) = = . —C sc3tdx 2 f 1 (t) aSenta
CTjJJl x=aCost , y=bSent , hallar ÜlZ.dx 3
d2y _ h 1 (t) _ 1/(1Cost)
dx 2 f 1 (t) a(lCost) a(1Cost) 2
(1) x=aCos3t , y=aSen3t , hallar d y
dx3Solución. Si x=f(t) *■ f'(t) = 3aCos2tSent
y=g(t) *■ g'(t) = 3aSen2tCost
iitonces: 4^ = JL_lÍl = Tant = h(t) h'(t) = Sec2tdx f'(t)
uogo: Ü Z = Ü líÜ = ■ = ( Se cH Cs ct ) = H(t)dx2 f'(t) 3aCos2tSent
• H'(t) = ^^Sec HfSe ctTa nt ) + See “t (CsctCotgt)]
=— r__L. (4 Sent Co styi _ 4Sen3tCos2t
3a LCos‘‘t CostSen2t J 3aCos5t.Sen2t
. d3y _ H 1 (t) _ Cos2t4Sen3t
dx 3 f'(t) 9a2Cos7tSen3t
454
/
Capítulo 3: Derivadas
(2) x=aCos2t , y=a.Sen2t , hallar — Z
dx2So ¿lición. Si x=f(t) +f'(t)= 2aCostSent = aSen2t
y=g(t) g'(t) = 2aSentGost = aSen2t
Luego: = g',(t.) = _,aSen2t , ^ + £ y = Q
x f'(t) aSen2t dx2
r m (1) x=lnt , y=t 21 , hallardx2
So ¿ución. Si x=f(t) *■ f'(t) = jr
y=g(t) + g 1(t) = 2t
Entonces: 4^ = i— í_ = 2t2 = h(t) •>h'(t)=4tdx f'(t) 1/t
¿2y = h 1 (t) = 4t _dx2 f'(t) 1/t
(2) x=arcSent , y=ln(1t2) , hallar d .ydx2
S o ¿ución. Si x=f(t) *■ f'(t) =
= 4t2
/lt2
y=g(t) *■ g 1 (t) = ~2tlt:
Entonces: 4^ = £— — = 2t(1t2)"x 2 = h(t)
. i i inn 5: Derivación sucesiva 455
fluctuando y reduciendo términos en el numerador obtenemos:
h'(t) = 2(Sen2t+Cos2t) + t2(Sen2t+Cos2t) _ 2+t2(CosttSent)2 (CosttSent)2
. h'(t) = 2+t2
dx2 f'(t) a(CosttSent)3
nes paramétricas: y=e^C9 St , x=e^Sent , satisface la reía
j[iMÍ Demostrar que la función y=f(x) dada mediante las ecuacio
nes paramétricas: y=e^C9 st ,
ción: y"(x+y)2 = 2(xy'y).
ih-moit/iación. En efecto: Si x=f(t) *■ f 1(t)=6^(Cost+Sent)=x+y
y=g(t) g ' (t)=et(CostSent)=yx
. y i = e' W =lzli+ y" =(x+y) (y'1)(yx ) (1+y') _ 2(xy'y)f'(t) x+y (x+y)2 (x+y)2
Mu donde: y"(x+y)2 = 2(xy'y)
t U M l Demostrar que la función y=f(x) dada paramétricamente me-
diante las ecuaciones: y=3tt3, x=3t2 satisface la rela-
ción 36y"(y/3x)=x+3.
W>¿ución. En efecto, si x=f(t) •*• f'(t) = 6t
y=g(t) g'(t) = 33t2
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Entonces: 4 £ 2t(1 t2) x 2 h(t)dx f'(t) / ü t J
* h'(t) = 2t[ |(1t2)‘ 3/2(2t)] + (1t2)_l/2(2)
= (1t2)3/2 U~2t2 2 (1 t2 )] = 2(1t2)3/ 2
• Éll = h 1(t) =2(1t2)~3/2 = _ 2■
dx2 ~ f'(t) ~ (1t 2)"1/2 " 1t2
fTO1 x=atCost , y=atSent , hallar i1. .ydx2
So ¿ución. Si x=f(t) +f ’(t) =a(tSent+Cost)
y=g(t) +g'(t) =a(tCost+Sent)
Entonces: ^ , tCost+Sent = h(t)
f'(t) CosttSent tCostSent)
*• h 1 (t) = (Q°s^~^Sent)(tSent+Cost+Cost) (tCo st+Sent) (Sent
(CosttSent)2
y g g
Kntonces: 4* = y 1 = 3.— = 2 — = h(t)ax f'(t) 2t
+ h'(t)= 1 t(2t) (1t2)(l) = _ 1+t2
2 t2 2t2
Luego: y 11 d2y h.'(t? 1+t2 (Hx/3) x+3dx 2 f'(t') 12t3 12 (3ty) 36(y3t)
l'oro: 3t2=x *■ 9t2=3x + 3t = /3x
y" = --------- t~> 36y"(y/3x) = x+336(y/35c)
Demostrar que la función dada paramétricamente mediante
las ecuaciones x=Sent ■, y=Senkt , satisface la relación:
(1x2) Ü Z x(|Z) + k2y = odx2 ax
¡‘.■moitn.ación. En efecto, si x=f(t) + f 1 (t) = Cost
456 Capítulo 3: Derivadas
y = g(t) + g' (t )= kCoskt
Entonces: = ¿lili = = h(t)ax f'(t) Cost
*■ h'(t) ]: Cost(kSenkt)Coskt(Sent) kSentCosktk2SenktCost
Cos2t Cos2t
„ h'(t) kSentCosktk2SenktCost Sent/kCosktv k2Senkt-*• y" = — — - = ------------------------------------- - = ----- — l---------- 1 ----------- - —
f'(t) Cos3t Cos2t Cost Cos2t
*■ (1Sen2t)y" = Sent(y') k2Senkt
/. (1x2) Ü Z x(|*) + k2y = 0dx2 ax
Demostrar que si: x=f(t)Costf1(t)Sent, y=f(t)Sent+:
+f'(t)Cost, se tiene:ds2 = dx2+dy2 = [f(t)+f"(t)J2dt2
De.mo¿t/iac¿6n. En efecto
dxdt
= [f ’(t)Costf(t)Sent]{f"(t)Sent+f* (t)Costl
+ dx = Sent ff(t)+f"(t)]dt
= [f'(t)Sent + f(t)Cost] + [f"(t)Cóst f'(t)Sent]
dy = Cost[f(t) + f"(t)Cost]dt
L d 2 d 2+d 2 (S 2t+C 2t)[f(t) + f"(t)]2dt2
■■■(<ión 5: Derivación sucesiva 457
ii partir de t, la velocidad se incrementará en un Av.
Kntonces, se denomina ace.ZeA.adin en un instante dado al límiterio la razón del incremento de la velocidad respecto al incremen
i.u del tiempo, cuando éste tiende a cero, esto es:
a = —a dt
ds . d /ds> d2s «„/i\o 9ue: v = dt + a = dt (dt} = 7^7 = f (t)
Un punto efectúa movimiento rectilíneo cuando s= ^t3t+5.
Hallar la aceleración al finalizar el 2do segundo (s está
expresado en metros; t, en segundos).
dtPolución. En t segundos la velocidad es: v = = ¿t21
y la aceleración: a = — — = 8tdt2
Luego, para t=2seg. *• a = 16 m/seg2
Un movimiento rectilíneo se efectúa de acuerdo con la fór
muía s=t24t+1. Hallar la velocidad y la aceleración del
movimiento.
Solución. Si v = + v = 2t¿ ; a = 5—5. *■ a = 2
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Luego: ds2 = dx2+dy2 = (Sen2t+Cos2t)[f(t) + f"(t)]2dt2
ds2 = [f(t) + f»(t)l2dt2
5.4 ACELERAC ION DEL MOVIMIENTO
El espacio s que recorre un cuerpo en movimiento de traslación
en función del tiempo t, se expresa como:
s = f(t)
La velocidad v del cuerpo en un instante, dado es igual a la pri-
mera derivada del espacio recorrido respecto al tiempo:
ds
v “ dtSupongamos que en cierto instante t la velocidad del cuerpo era
v. Si el movimiento no es uniforme, en el intervalo de tiempo At
¿ ;dt dt2
]T¡y Un punto efectúa movimiento rectilíneo, siendo
s = •^Sen(^|) + so. Hallar la aceleración al finalizar el
primer segundo (s está expresado en cm; t, en segundos).
S o (ución. v = = ^(^)Cos(^|) + •Jj-(so)
Para t=1 *■ v = ^Cos(^) + v0 ■* vo=0
ds T í„ / TTt \ . d2sTí /TT\ c ,TT t\uego: dt = Tjí0013 ^ + a = — =
d t2
Inra t = 1 •» a = yg cm/seg2
Un punto efectúa el movimiento rectilíneo, siendo s=/t.
Demostrar que el movimiento del punto es retardado y que
la aceleración a es proporcional al cubo de la velocidad.
458 Capitulo 3: Derivadas
De.mo¿í/iación. En efecto, si s=/t +
* - a i ■ - l * ' ' 7 ' - -
ds _ _1_ _ Í+ 1/ 2dt
12/t . 2L
4/t:
Como la aceleración a<0, en todo tiempo,' el movimiento del punto
es retardado.
1Por otro lado: 2 ( — ■— ) 32/t
= kv3
Sljljíl Una viga pesada, que mide 13m,
se hace deslizar hacia el suelo
de la manera siguiente (Véase Fig.28):
su extremo inferior está sujeto a una
vagoneta, mientras que el superior semantiene fijo en un cable devanado en
un cabrestante. El cable va desenro-
llándose a 2m/min. Qué aceleración ex
perimenta la vagoneta cuando se apar-
ta rodando, en el momento en que dista
5m del punto 0?
So ¿ación. Sea x la distancia de la pared a
la vagoneta; y , la altura del
punto superior de la viga
Figura 28
ion 5: Derivación sucesiva 459
E S La cubierta de una barcaza se encuentra ¿m más abajo de
la altura del muelle. Tirando de la barcaza, la hacen a"rcarse para que se ponga al lado del muelle, mediante un cable
I cual va devanándose en un cabrestante a 2m/seg. Qué acelera
• Ión experimenta la barcaza al moverse, en el momento en que dis
i 8m del muelle (en línea horizontal).
"¿ución. Sea x la distancia de la
barcaza al muelle y, z la
i'.ugitud del cable .
u.mdo x=8 *• z = /I6+64. = 4/5
nogo, si: z 2 + 1 6 = x 2
= 2x^dt^
ira: = 2 m/seg
(1 )
4 / 5 ( - 2 ) = 8 ( f f ) = /5 m/seg
wivando, respecto al tiempo, 1¿ ecuación (1) se tiene:
/d2z\ , /dzwdz \ _ /d2x\ , dx/dx\z(^ } ' (dt)(dt} = x(— i> + dt(dt5
>mo la barcaza se tira uniformemente d2z
dt2= 0
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punto superior de la viga.
/l3252 = 12Dado que: x = 5 , {.=13 + y
Si x2+y2=132 dt
x(¿£)dt'
0
(1)
Para ft = W m/ses + |
. dx 2 /* dt = 25 m/seg‘
Derivando, respecto al tiempo, la ecuación (1) se tiene:
/d x\ , ax/QX\dx/dx\ _,d2y\ dy/dyv
, uogo :
! • • donde
(|f)2 = x ( H X) +dt dt2
(ff)2 (2)2 = 8 ( ^ ) + (/5)2t d2x^
dt2
d x
dt2
I / 2= - -ñ m/seg*
KmJ Un punto efectúa movimiento rectilíneo de manera que su
velocidad varí proporcionalmente a la raiz cuadrada del
i1 lyecto recorrido. Mostrar que el movimiento se efectúa al ac
i uiir una fuerza constante sobre el punto indicado.
/'• mo-it/iación. En 'efecto, sea x el trayecto recorrido por el pun
to. Si v es su velocidad, entonces:
■— = k(L) (|f) = k(1dts 2/x 2/ x
■)k/3E = h 2
¡’ i lo que : F = ma ■* F = ^nik2 constante
460 Capitulo 3: Derivadas
5.5 FÓRM ULA DE LEIBNIZ
Las reglas de derivación Di*: [cf (x)] 1 =cf1 (x) ,
Ds :.[f (x)+g(x)] ' = f'(x)+g'(x)
y D7:[f(x).g(x)]1 = f '(x).g(x)+f(x).g'(x)
se pueden generalizar para cualquier orden de derivadas.
Así, para las reglas Di* y Ds son evidentes las fórmulas:
[c(x)3(n) = c[f(x)](n) y [f(x).+g(x)](n) = [f(x)](nM g ( x ) ] (n)
Demostraremos la fórmula de Leibniz suponiendo que son dadas dos
funciones u(x) y v(x) derivables hasta el orden n, y que el pro-
ducto y=uv es derivable también hasta el orden n. Hallemos prime
ro varias derivadas consecutivas y estudiemos luego la ley gene-
ral aplicable para el cálculo de una derivada de cualquier orden
y = uv
y 1 = u 1 v + uv 1
y" = u"v + u1v 1 + u'v1 + uv" = u"v + 2u'v1 + uv"
yin = un iv + u iiv i + 2u"v' + 2u'v" + u'v" + uv"1
= u"'v + 3u"v' + 3u'v" + uv "1
y^v = uivv +u",v l + 6u"v" + ¿u'v"1 + uv^v
Podemos observar que la ley de obtención de las derivadas esvá-
lid d i d d l i d i
i// V De riva ció n s uce siva 461
(n) ,rr s (n) ,n> (n-1) , ,n. (n-2) „= (q )u 'v + (j)u 'v! + (2)u 7v" + ....
+ (n)u(n-k)v(k) + _ + (n)uv(n) (II)
= ¿ (")u(nk)v (k)k=0 K
id cada coeficiente binimial se calcula por la fórmula:
(£) = c” =
uyno propiedades son:
k k!(nk)!
B 1 ! ( ? ) = ( n ) = 1 B * : < k> * ( k - 1 > - ( n k 1 )
(£) = ^nk^ B ": ^k+1) = k + 1 ^
PROBLEMAS RESUELTOS
Aplicar la fórmula de Leibniz para calcular la derivada:
(1) [(x2+1)Senx]^20^ (2) (exSenx)^n) (3) (x3Senax)^n)
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lida para derivadas de cualquier orden y es como sigue:
Se desarrolla la expresión (u+v)n por la fórmula del binomio de
Newton y en la serie obtenida se sustituyen los exponentes de u
y v por los índices del orden de las derivadas: además, los expo
nentes cero, u ^^ y v ®) que entran en los términos extremos del
desarrollo, se sustituyen por las propias funciones, esto es:
(0) ' (0)u = u , v = v *
Entonces:
y (n) =( u v ) ( n ) = u ( n ) v + n u < n - 1 } v ' + u < n "2 } v" + . . .
+ n v ( n ) ( I )
Es la llamada fórmula de Leibniz.
Esta fórmula también se puede expresar como:
•■í„ci6n. (1) [(x2+ 1 ) S e n x J = [Senx.(x2 + 1)]^20)
Supongamos que: u(x)=Senx y v(x)=x2+1
ITii I, enees: u' = Cosx = Sen(x + íj) , v ' = 2x
u" = Senx = Sen[x + 2(^)J , v" = 2
u"'= Cosx = Sen¡.x + 3(|)] , v"1 = 0• •• •• •
u(n) = Sen£x + n(^)] , v^n^ = 0
■i:ún la fórmula (I) se tiene:
y(n ) = u ^ v + nu n_ 1) v 1 + |n(n1)u^n"2^v" + 0 + ...
. y ( 2 ° ) _ u ( 2 0 ) v + 2 0 u ( 1 9 ) v > + 1 0 ( 1 9 ) u ^ ® ) v "
462 Capítulo 3: Derivadas
+ y (20) = Sen(x+107r). (x2+1) + 20Sen[x + . (2x) + 190Sen(x+9ir) ( 2)
= (x2 + 1)Senx + 40x[Cosx] + 380(Senx)
[(x2 + 1 )Senx] = (x2379)Senx 4OxCosx
(2) (exSe n x ) ^
So¿ución. Sea: u = ex , v = Senx
u' = ex , v 1 = Cosx = Sen(x + 75)
u" = ex , v" = Senx = Sen(x + 2(^)• •* •• » •
u(n) = ex , v (n) = Sen [x + n(f)]
Según la fórmula (II) se tiene:
(uv)(n) = (“)exSenx + (")exSen(x + §) + (^e^enLx + 2(|)] +
+ ... + (^)exSen[x+n(|)]
= ex [(£)Senx + (”)Sen(x + f) + (”) Sen [x+2 (£)] + ... +
+ (”)Sen[x+n(^)]J
(exSenx)(n) = ex ¿(£)Sen[x + k(|)]k=0 K 4
\¡ <<ión 5: D eriva ción s ucesiv a 463
(x3Senax) = anx 3Sen[ax+n(:|)] + 3nx2an”^Sen[ax+ (n1 )S|] +
3n(n1)an2xSen[ax+(n2)^] +
+ n(nl) (n2)Sen[ax+(n3)^]otn”^
02 19 Mostrar que si y= (1 x) ”ae~“x , se tiene: (1x)| = axy
Aplicando la fórmula de Leibniz mostrar que:
(1x)y(n+1> . (n+ax)y(n) na y(n1) = 0
,\noitn.aci6n. En efxcto,
& (1x)arae“xj + e“x [a(1x)“1(1)]
= a(1x)aeax + (l.x)“eax
= -“y + ^ x - n
•** (1*x)fx = “xy
Horivando, sucesivamente, esta fórmula se tiene:
(1x)y" y 1 = a(xy'+y) ■> (1x)y" = (1+ax)y! + ay (1 )
(1x)y,M y" = (l+ax)y" + ay 1 + ay1
(1x)y"' = (2+ax)y" + 2 ay' (2)
( ) ^ " ( ) "' " "
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k=0 K 4
(3) (x3Se na x) ^ = (Senax.x3) ^So¿u.ci6n. Sea: u = Senax , v = x.3
u 1 = aCosax = aSen[ax +, v 1 = 3x2
u" = a2Senax = a2Sen[ax+2 ( )] , v" = 6x
u"' = a3Cosax = a JSen [ax+3 (í;) j , v"1= 6
u(n) = anSen[ax+n(|)] , v(n) = 0
Según la fórmula (II) se tiene:
^(n) _ (^)ansen[ax+n(^)]x3 + (“) an”"*Sen £ax+(n1 ) ] (3x2) +•
+ (^)an~2Sen[ax+ (n2)^] (6x) + (^)an%e n[ax + (n3) ] (6 )
(1x)y^v y " 1 = (2+ax)y"' + ay" + 2ay"
+ (1x)yiv = (3+ax)y" 1 + 3ay" (3 )
Luego, de (1), (2) y (3) se establece la fórmula:
(lx)yvn+^ (n +a x) y^ nay^n1^ = 0
(E J J La función y=eaaroSenx satisface la relación
(1x2 )y"xy,a2y=0 (véase el ejercicio 1051). Aplicando
la fórmula de Leibniz y 'derivando esta igualdad n veces, mostrar
■iue: (1 x2 )y^n+2 ^ (2n+ 1 )xy n+ 1^ (n2 + a2)y^n^ = o
;ic.moj¿/iac¿6n. En efecto:
(1x 2)y" = xy' + a2y (1 )
’ (1x2)y"' 2xy" = xy"+y'+a2y'
■+' (1x 2)y’" = 3xy" + (l + a2)y! (2 )
464 Capítulo 3: Derivadas
(1x2)yiv 2xy"' = 3xy"' + 3y" + (1+a2)y"
(1x2)yiv = 5xy''' + (22+o¡2)yn (3)
(1x2}yv 2xyiv = 5xyiv + 5y"' + (22+a 2)y"'
+ (1x2 )yv = 7xyiv + (32 + a2)y'" (A)
Analizando las relaciones (1), (2), (3) y (4) obtenemos:
(lx2)y(n+2) = (2n+1)xy(n+1) + (n2+a2)y(n)
Q H J ] Mostrar que: (eaxC o s b x ) = r neaxCos(bx+n0) , donde
r=/a2+b2, Tan9 = .
Aplicando la fórmula de Leibniz, llegar a las siguientes fórmu-las: rnCo s( n6 ) = anC2an'2b 2+C^an ’"^bl‘......
rnSen(n9) = C^an"1b c \ n"3b 3 + C^an'5b 5 ___
dem.ostn.ac ¿6 n. En efecto, sea: u=eax , v=Cosbx
u ’ = aeax , v 1 = bSenbx
u" = a2eax , v" = b2Cosbx
u"1 = a3eax , v"1 = b3Senbx
Sección 5: Derivación sucesiva 465
’ * Mostrar que la función y=arcSenx satisface la relación
(1x2)y"=xy' . Aplicando a ambos miembros de esta ecuaciónla fórmula de Leibniz, hallar y^n ^(0), (n>2).
ne.mostn.ac.i6n. En efecto, y 1 = — =■=== = (1x2) 1 /2/ Ü P
y" = 4(1x2)"3/2(2x) =2 (1x2) ( / W )
de donde: (1x2)y" = x( ■. ,•) *■* (1x2)y" xy1/lx2
En el primer miembro: sea u=y" , v=1x2
u' = y" i »■ v» = -2x
U " = y i v . v" = -2
u'" = Vy t v"'= 0
->• = y(n+2) , v (n) = 0
u(n)v + nu(n-
1)v' + u (n-2)v" + 0 + ...
y (n+2) (1-x 2) + ny<n+1>(.-2x) + S Í § = H y (n)(-2)
= (1x2)y(n+2) 2nxy(n+l) n(n1)y(n)
En el segundo miembro, sea: u = y' , v = x
+ u' = y" , v' = 1
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u(n) = aneax ^ v (n) = b«C os[bx+n(:|)]
Según la fórmula de Leibniz se tiene:
(uv)(n) = (q )aneaxCosbx (“)an1eaxbSenbx (“)an2eaxb2Cosbx +
(^)a11 3eaxb3Senbx + (^)a11 ^eaxb1,Co sbx + ....
+ eaxbnCos £bx+n(^)J
= eaxCosbx [(")an (£)an’2b2 + ( p a n' V ........ ]
, T/nv n1, ,n\ n 3v s i /D> rí5v5 T e Senbx I (j)a b [j) a. b + b •• I
= eaxCosb£rnCosn0^ e axSenbx [rnSenn9"]
= rneax[CosbxCosn0 SenbxSenn9j
(eaxCosbx) = rneaxCo s(bx+n6)
U " = y t t l , v ' l = 0
* U<n > = y ( n + 1 > , v (n) = 0
* (uv) n^ = u ^ v + nu ^' ^v ' + 0 + . . . .
= y (n+l)x + ny(n)(1) = xy (n+1) + ny (n)
Luego: (1x2)y(n+2) 2nxy(n+1) n(nDy(w) = xy(n+1) + ny (n)
de donde: (1x2)y^n+2^ (1+2n)xy^n+^ n2y^n^ = 0
1094 Aplicando la fórmula de Leibniz n veces, mostrar que la
función y=Cos(marcSenx) satisface la relación:
(lx2)y(n+2)(2 n+ Dx y{n+1) + (m2n2)y(n) = 0
466 Capitulo 3: Derivadas
Si y=(arcSenx)2, se tiene:
(1x2)y(n+1)(2n1)xy(n)(n1)2y{n'l)=0
Hallar: y*(0) , y»(0) , ..... ,y(n)(0)
Rpta: y(2n'1 )(0)=0 , y(2n)(0) = 2 [2.4.6.,.(2n2)J2
5.6 DIFERENCIALES DE ÓRDENES SUPERIORES
*
Sea la función f :A*R/y=f (x), derivable sobre*el intervalo
A=<a,b>. Como ya sabemos, su diferencial:
dy = f 1 (x) dx
que sedenominatambién su p/iime/ia dii.ereac.iat, depende de dos
variables x y dx. Si f*(x) es a su vez diferenciable én cierto
punto xo£<a,b>; entonces la diferencial en este punto de la fun
ción dy analizada como una función sóio de x (es decir, para al
gún dx dado), tiene la forma:
d(dy) = d[f'(x)dxl = [f'íxjdx]'!X— X. 0 | X“A0
++ d2y = f" (x0)dx2 (I)'
De forma similar, en el caso de que la derivada de(nl)ésimo
1095
Si <ción 5: Derivación sucesiva 467
n bien, utilizando la escritura simbólica:
dn(uv) = (du + d v ) ^
✓ (n)ilonde la expresión (du + dv)v ' se escribe según la fórmula del
binomio de Newton, es decir, es una suma de la forma:
Jl.
JkvZ C"(dn'ku)(dkv) , y además, para cualquier función u se consik=0
,0 (0), (0); n ii = 11' ' nv ' ' =ilura: d u = u dx = u.
observaciones. (.1) En la fórmula (I), por dx2 se denota (dx)2y
en general dx11, neN, se denota (dx)n y no
d(xn ).
(2) Las fórmulas (II) y (III) son válidas en general para n>1,
si y sólo si x es una variable independiente.
(3) Veamos el caso de diferenciales de orden superior para funcio
nes compuestas.
Supongamos y=f(u) , u=g(x) dos funciones que son dos veces de
rivables. Entonces:
dy = f1(u)du
diferenciando nuevamente:
d( dy) = d[f'(u)du] d2y = f'(u)d(du) + d[f'(u)]du
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, q ( )
orden yn~"' es derivable en el punto xo» o seacuando x=x0 existe
la derivada de nésimo orden y _ , se define la diferencial de.
n-¿¿imo orden dny de la función y=f(x) en el punto x=xu como la
n "1diferencial de la diferencial de (nl)ésimo orden d " y, esto
es: dny = d(dn_1y) = y (n)dxn (II)
de donde se deduce que: y^n^ = —— ^ (III)dx11
Propiedades de las diferenciales de orden superior
P i f i / \ ,n .ni: d (u + v ) = d u + d v
P 2 : dn (cu) = cdnu , c es una constante
P 3 : dn (uv) = l (?)dn"kudkvk=Ó K
= f'(u)d2u + [f"(u)dujdu
d2y = f'(u)d2u + f"(u)du2 (IV)
PROBLEMAS RESUELTOS
y = 3/x2" , hallar d 2y.
Solución. Si f(x)=x2/3 f'(x) = fíx' 1/3)
f"(x) = f(x-"/3)
2dx2
9x.3/x
9 x . 3 / x
y=x , hallar d3y.
468 Capítulo 3: Derivadas
Solución, Si f(x) = xm *■ f'(x) = mxm^
f"(x) = m(m1)xni"2
*• f"'(x) = m(m1)(m2)xm_^
d3y = f"'(x)dx3 ■* d3y = m(m1) (m2)xm^dx3
J U 2 3 y = (x+1)3 (x_ ^ ) 2 » hallar d2y.
Solución. f«(x) = (x+1) 3 |j2 (x1) J + (x1)2 [3(x+1)2J
= (x -1)(x +1)2[2(x +1)+3(x -1)]
= (x+1)2(5x 26x +1 )
+ f"(x) = (x+1)2 [l0x6j + (5x 26x +1 )[2(x+1 )]
= (x+1) r(x+1)(1 0x-6)+2(5 x2-6x+1)]= (x+1)(20x28x¿)
d2y = f" (x)dx2 = 4(x+1) ( 5x 2-2x-1 )dx2
y = 4’x , hallar d2y.
Solución, Aplicando logaritmos se tiene: lny = x2ln4
"*■ y' = (2x)ln¿ ■* y' = 21n¿(xy)
y" = 21n4(xy'+y) = 21n4 [x(2xyln¿) +y I
= 2yln4( 2x2ln4 + 1)
Sección- 5: D erivación sucesiva 469
1102
1103
ü /*) 1,521+
f r. ^ 1 = L ¿---------------------------------x2(/Í^Ti)2
ln3x¿lnx+4 + ¿2^ _ (ln3x¿lnx+¿)dx2
x2/(ln 2x¿) 3 x2/(ln2x4)3
y = Sen2x , hallar d 3y.
Solución. Si f(x)=Sen2x f 1 (x) =2SenxCosx=Sen2x.
*■ f"(x) = 2Co s2x *■ f'"(x) = 4Sen2x
d3y = f" 1 (x)dx3 = 4Sen2x.dx3
r !Co s30 a2Se n30 = 0 , hallar d2r.
Solución. r2 = — kJ0n 9 = a2Tan30 ■* r = ±a(Tan0)3/2Gos 30
f'(0) = ± |a(Tan0)1/2Sec20
f"(0) = ± |a[j(Tan0)_1/2Sec20.Sec20+(Tg0) 1/2(2Sec20Tg0)]
= ± | a f ~ = r + /Tan0(2Sec20Tan9)l¿ L2/Tan0 J
= ± ,3aSg?Íe (Sec20+¿Tan2O )4/Tan6
d2r = f "(0)d©2 = ± 3a ec20(H5Tan20)d02
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= 2yln4(2x2ln4 + 1)
d2y = 2 U ' x2)ln4.(2x2ln4 1)dx2
y = arcTan(—Tanx) , hallar d2y.3.
abSolución, f'(x) = ["■*— tt------1 — (Sec2x) =
L1+(—Tanx)2J a a2Cos2x+b2Sen2x
>• f"(x)
d2y =
a
ab(2azCosxSenx + 2b2SenxCosx)
(a2Cos2x+b2Sen2x) 2
ab(a2b2)Sen2xdx2
(a2Cos2x+b2Sen2x)2
y = /ln2x4 > hallar d 2y.
Solución. f'(x) =2 / l n 2x - 4 x / l n 2 x-4-
1104
1105
d2r = f (0)d©2 = ± .3a ec20(H5Tan20)d02¿/Tan0
x2/3+y 2/ 3=a2/ 3, hallar d2y.
Solución. Por derivación implícita se tiene:
|x *1/3+ fy '1/3y' = 0 + y' = (^)1'3
- y" = - l ( i ) - 2/ 3(SLL.^_y) = . 1 ( | ) 2/ 3[ ^ ^ 1 _ ljl J
V 2 / 3 ( X 2 / 3 y 3 + y } = a / S )
* * 3 v 23y2/ 3 x2 3y2/x
a2/3 d2y = a1/3dx23xV 3 y l/3 3x'/3yl/3
y = ln(~x ) , x=Tant, expresar d2y mediante:1 + x2
(1) x y dx , (2) t y dt
470 Capítulo 3: Derivadas
Solución. (1) Según la fórmula (IV): d2y = f'(x)d2x + f"(x)dx2
2x 2xf(x)=ln(1x2)ln(1+x2) + f ’(x) =1x2 1+x2
de donde: f' (x) = + f"(x) = A = lili!x“1 (x1)2 (x*1)2
d2y = (_^í_)d2x 1 4 dx2X1 (x*1)2
(2) x=Tant + f(t) = ln(1Tan2t )ln(1+Tan2t)
= ln(1Tan2t)ln(Sec2t)
+ fi(t) = 2TantSec2t _ 2SeetTant _ 2Tant( Se° 2t + 1)
1Tan2t Sect • 1Tan2t
= 2( 2Tant ) = 2Tan2t + f"(t) = ¿Sec22t1Tan2t
d2y = f" (t)dt2 = ¿*Sec22t. dt2
M U * y=Senz , z=ax , x=t3 , expresar d2y mediante:
(1) z y dz (2)x y dx (3) t y dt
Solución. (1) f(z) = Senz * f ’z) = Cosz , f"(z) = Senz
Por la fórmula (.A)' d2y = f'(z)d2z + f"(z)dz2
d2y = (Cosz)d2z (Senz)dz2
ANALISIS DE LAS FUNCIONES
■
COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES
VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
G B B 5 D Sea f una función, de dominio D, definida en el
intervalo [a,b]. Se dice que la función f tiene
un valor máximo nclativo o local en un punto ce<a,b>, si para to
da x£<a,b>cD, se cumple que:
f( ) 5 f( )
8/13/2019 Problemas y ejercicios de Análisis Matemático Tomo 1 - FL
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(2) Sea f(x) = Senax *• f'x) = Cosax (axlna) = axlna(Cosax )
*• f"(x) = axlna QSenax (axlna)3 + InaCo sax [axlna]
= axln2a(axSenax + axln2aCosax
= axln2a(axSenax Cosax )
d2y = (axlnaCosax )d2x axln2a(axSenaxCosax )dx2
(3) Sea f(t)=Sena^ f't) = Cósa^ [a lna(3t2)H
= 31na(t2a^ Cosa*1 )
*■ f"(t) = 31na t2a^ [Sena^ . a^ lna(3t2)3 +
+ t2Cosa^ [a lna(3t2)] + a^ Cosa^ (2t)
= 3a^ lna[(2t + 3t'*lna)Cosa^ Sf'lna.a*' Sena*’ J
d2y = 3a't lna[t(2 + 3t3lna)Cosat 3t‘‘lna.at S ena ^J dt 2
f (c) 5. f (x)
Las figuras ¿.1 y i.2 muestran cada una, una porción de las grá-ficas de una función f que tiene un valor relativo.
472 Capítulo 4: Análisis de las funciones
C 2 H 2 X E 9 Sea f una función con dominio D y definida en el
intervalo £a, bj . Se dice que la función f tieneun valor mínimo /ie.laiivo o ¿ocaí en el punto ce<a,b> si para to-
da xe<a,b>crD, se cumple que:
f (c) < f (x )
Las figuras A. 3 y A. A muestran una porción de la gráfica de una
función que tiene su valor mínimo en c.
Figura 4.3 Figura 4.4
Observación. Si la función f tiene un máximo o un valor mínimo
relativo en el punto c, entonces se dice que f tie
ne un e x t/ie mo /ie lativo en c
Sección 1: Comportamiento de las funciones 473
Si x se aproxima a c por la izquierda »■ xc<0, y por tanto:
■g(xI f(?) < o + lim ,f(x) ^ c) < o (2)Xc x+c xc
Dado que f'(c) existe, los límites (1) y (2) deben ser iguales y
además ambos deben ser iguales a f'(c). Así de (1) y (2) tenemos
respectivamente:
f '(c) > 0 y f '(c) < 0
Ya'que éstas desigualdades se toman como ciertas, éstas se cum-
plen simultáneamente solo cuando: f'(c)=0
La interpretación geométrica del Teorema 4.1 es que si f tiene
unextremo relativo en c y si f'(c) existe, la gráfica de y=f(x)
debetener una recta tangente horizontal en el punto x=c(Figu-
ras 4.1 y A.3).
Existen casos en que f puede tener un extremo relativo en c, y
f'(c) puede no existir. Esto se ilustra en las figuras A.2 y A. A
donde las tangentes a las gráficas de y=f(x) en el punto c son
rectas verticales cuyas pendientes no están definidas.
En conclusión, si una función f está definida en un número c, u
na condición necesaria, pero no suficiente, para que f tenga un
extremo relativo en c es que f'(c)=0 ó f'(c) no exista.
Si c es un número en el dominio de la f
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ne un e.x.t/ie.mo /ie.lativo en c.
El teorema siguiente nos permite localizar los posibles valores
de c para los cuales existe un extremo relativo.
TEORÍMA41 ®ea ^ una función definida en el intervalo <a, b>.* , .. ... ~ s £ ^^ene un extremo relativo en ce<a,b>, y si
f'(c) existe, entonces f'(c)=0.
Dem.o¿t/iación. El teorema será demostrado suponiendo que la fun
ción f tiene un valor mínimo relativo en c.
f(x)-f (c)En efecto, por la definición 3.3: f'(c) = lim ----- ----
x+c xc
Dado que f tiene un valor mínimo relativo en c, si x está sufi-
cientemente cerca de c resulta que: f(x)f(c) 5 0
Si x se aproxima a c por la derecha *■ xc>0
Por tanto, f U) f(c ) ^ 0 llm+ f ^x^~f.í.c) » 0 (1)xc x+c xc
y si f'(c)=0 ó f'(c) no existe, entonces c se de
nomina un níme/io c/iítico de f.
CRITERIO DE MONOTONÍA DE LAS FUNCIONES
CSBBB Una función f definida en un intervalo cerrado
[a, bj se dice que es caleciente, si para dos númg
ros xj y x 2e;|.a,b] con:
X i < X j ■* f (x i) < f (x2)
Es decir, una función es creciente sobre ra>bj, si al crecer el
argumento x los valores de la función también crece (Figura A.5)
o viceversa, si:
X 1 > X2 -*• f ( x i ) > f ( x 2 )
474 Capitulo 4: Análisis de las funciones
83EIBES Una función f definida en un intervalo cerrado
(]a, b] se dice que es de.c./ie.cie.nte. si para dos nú-meros xi, X2c[a, b] con:
X i > X 2 + f(xj) < f(x2)
Es decir, una función f es decreciente sobre [a,b], si al crecer
el valor del argumento x, lps valores de la función decrecen (Fi
gura 4.6), o viceversa:
X 1 < X 2 +
y i
f(x2)
f(x,)
i
y=t(*y/
i r l ia x, x, b" x
Figura 4.5
Si una función es creciente o decreciente en el intervalo cerra-
do | a, b| entonces se dice que f es monitoria en el intervalo.
f (x i) > f (x2)
Y*
f( x2)f(x,)
i
1 1 I I, 1 1 1 1 w
o'«
a x2 Xj b x
Figura 4 6
Sección 1: Comportamiento de las funciones 475
mínimo en el punto xi, si su valor, f(xi), es menor que en cual-
quier otro punto del entorno que corresponde al punto xj, Es de-
cir la función tiene un mínimo en x=xi si se cumple la desigual-
dad :
f('xi + Ax) > f(xi)
para cualquier valor de Ax (positivo o negativo) suficientemente
pequeño en valor absoluto. En la figura 4.8, la función y=f(x)
tiene mínimo cuando x=xi.
Figura 4.7 Figura 4.8
*
Observaciones. (1) La función definida en un intervalo £a,b]
puede alcanzar su valor máximo o mínimo sólo
l t did d t d l t id d
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DETERMINACIÓN DE LOS VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LA FUNCIÓN
Sea la función f definida en cierto entorno del
punto xo. Se dice que la función f(x) tiene un
máximo en el punto xo, si su valor, f(x0), es mayor que en cual-
quier otro x del entorno que comprende el punto Xo. Es decir, la
función tiene un máximo en x=xo si se cumple la desigualdad:
f(xo + Ax) < f(x0)
para todo valor de Ax (positivo o negativo) suficientemente pe -
queño en valor absoluto. En la Figura 4.7, la función y=f(x) tie
ne máximo cuando x=x0.
Sea la función f definida en cierto entorno del
punto xi. Se dice que la función f(x) tiene un
en los puntos comprendidos dentro del entorno considerado.
( 2 ) Es un error suponer que el máximo y el mínimo de una funciónen un intervalo |_a, b] son respectivamente el mayor y menor
valor de la misma en este intervalo. En el punto del máximo,
la función tiene el mayor valor sólo en el entorno E(x0,<5)
al punto delmáximo. En el punto del mínimo, la funcióntie-
ne elmenorvalor sólo en el entorno E(xi,6) al punte del mí
nimo.
Así, en la Figura 4.8 se presenta una función definida en el
intervalo fa,bj , que tiene:
máximo , cuando x=x0 y x=x2
mínimo , cuando x=xi y x=x3
Obsérvese que el mínimo de la función en x=x3 es mayor queel máximo en x=x0.
476 Capítulo 4: Análisis de las funciones
PROBLEMAS RESUELTOS
Mostrar que el punto x=0 es el punto del mínimo de la fun-
ción: y = 3xl*4x 3+12x2+ 1
De.rn.oit/iac ¿6 n. En efecto, según la definición 4.7, f(x) tiene un
valor mínimo en xi=0 si se verifica ladesigualdad
f(0 + Ax) > f(0) +•*• f(Ax) > f(0)
Esto es: f(Ax) = 3Al,x 4A3x + 12A2x + 1
f (0) = 3(0)* 4(0)3 + 12(0)2 + 1
+ A2x (3A2x 4Ax + 12) + 1 > 1
La desigualdad es válida tanto para Ax>0 como para Ax<0.
+ f(Ax) > f(0)
Por tanto', x=0 es el punto del mínimo de la función dada.
Partiendo de la definición de la funcióncreciente y de-
creciente y de los puntos del máximo y del mínimo, mostrar
que la función y=x33x+2 crece en el punto x í=2, decrece en el
punto x2=0, alcanza su máximo en el punto X 3 = - 1 y su mínimo en el
punto x*=1.
De.moAt/iación, Probaremos que: xi<x f(xi) < f(x) (Def.4.4)
En efecto, si xi=2 y x=3
1108
1107
Sección 1: Comportamiento de las funciones 477
lida. Por tanto, en x 3 = 1 la función f tiene un máximo.
<l) Probaremos que: f(1+Ax) > f(1) (Def.4.7)En efecto, f(1+Ax) = (1+Ax)33(1+Ax)+2 = A2x(Ax+3)
f( D = ( D 33(1) + 2 = 0
Entonces: A2x(Ax+3) > 0 , la desigualdad es válida.
Por tanto, para Xi, = 1, la función f tiene un valor mínimo.
1109. Igual que en el ejercicio 1108, mostrar que la función
y=Cos2x crece en el punto xj = (3/4)’f. decrece en el punto
x2=u/6 , alcanza su máximo en el punto x 3=0 y su mínimo en el pun
to Xi,=7r/2.
i)amojt/iac¿¿n. a) Probaremos que: xi>x ■+ f(xi) > f(x)
En efecto, si x = tt/2 f(x) = Cosn = 1
xi = + f(x) = Cos(|w) = 0
Luego: ^ > \ + 0 > 1 , la desigualdad es válida
Por tanto, la función f es creciente en xi=(3/4)u.
b) Probaremo#s que: x2<x ■+ f(x2) > f(x)
En efecto, si x 2=tt/6 * f(ir/6) = Cos(tr/3) = 1/2
x =ir/4 + f(Tr/4) = Co s (tt/2) ■= 0
Luego: g c ^ + f(tt/6) > f(n/4) . la desigualdad.es válida
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e ecto, s y 3
+ f(2) = 86+2 = 4 y f(3) = 279+2 = 20
Dado que: 2<3 ■* 4<20 ,la desigualdad es válida
Por tanto, f(x) es creciente en xi=2.
b) Probaremos que: x2 < x f(x2) > f(x) (Def.4.5)
En efecto, si x2=0 y x=1 , entonces:
f(0) = 03(0)+2 = 2 y f(1) = 1 3+ 2= 0
Como 0<1 * 2<0 , la desigualdad es válida
Por tanto, f(x) es decreciente en x2=0.
c) Probaremos que: f(1+Ax) < f(1) (Def.4.6)
En efecto: f(1+Ax) = (1+Ax)33(1+Ax)+2 = A2x(Ax3)+4
f (1) = (1)33(1)+2 = 4
Entonces: A2x (Ax -3) + 4 < 4Como Ax<0 (está en el entorno de x3=1) la desigualdad es vá
Por tanto, la función fes decreciente en x2=7r/6.
c) Probaremos que: f(0+Ax) < f(0) ■*-*■ f(Ax) < f(0)(Def.4.6)
En efecto, f(2Ax) = Cos(2Ax) y f(0) = Cos‘0 = 1
Luego: Cos(2Ax) < 1 , la desigualdad es válida para todo va
lor de Ax, por tanto, la función f tiene un máximo enx 3=0.
d) Probaremos que: f(^ + Ax) > fííj) (Def. 4.7)
En efecto, f(^ + Ax) = Co s (tt + 2Ax ) = Cos(2Ax)
f (tt/2) = Co s (tt) = 1
Entonces: Cos(2Ax) > 1 Cos(2Ax) < 1
La desigualdad es válida para todo valor de Ax, por tanto, la
función f alcanza un mínimo en xi»=tt/2.
478 Capítulo 4: Análisis de las funciones
Sin recurrir al concepto de la derivada, analizar el com-
portamiento de la función dada en el punto x=0.
(1) y=1xl* U) y = 3/x* (7) y = ¡ln(x+1)|
(2) y= x5x3 (5) y = (8) y = e'lx|
(3) y = 3/x (6) y = |Tanx | (9) y = /x3+x2
SoCuciin. (1) Sean f(x) = 1x'* ,xo=0 ,y xi=1 , X 2 = 1 dos puntos
en el entorno de xo.
Entonces: f(0) = 1 0 = 1 , f(1)=11=0 , f(1)=11=0
Podemos observar que: x0 > xi *• f(x0) > f(xi)
o sea que f es creciente en Xo=0
Además: xo < x2 f(xo) > f(x2) f es decreciente
Puesto que una función no puede ser creciente y decrecientea la vez en un mismo punto, éste debe ser un extremo.
Veamos si se cumple la desigualdad: f(xo+Ax) <f(xo)
f(0 + Ax) < f(0) +*■ 1 A“x < 1
Como Ax •*. 0, la desigualdad es válida, por tanto, x0=0 es un
punto del máximo de la función, (y =1)max
(2) Sean f(x)=x5x3 = x3(x21) , Xo=0
En este caso no podemos elegir xi=1 y x2 = 1 en el entorno de
x o , puesto que la función toma el mismo valor para x o = 0 .
Entonces, si xi=1/2 y x2=1/2 se tiene:
1110
Sección I: Comportamiento de las funciones 479
Vemos que: x 0 > Xi *■ f(xo) < f(xi) , f esdecreciente en xo
xo < x2 f(x0) < f(x2) > f es creciente en x0
La función debe tener un mínimo en x0. En efecto:
f (xo+Ax) > f(xo) ■+ |Tan(0+Ax) | > |Tan(0) | «+ |Tan(Ax) | > 0
Siendo la desigualdad válida para Ax>0 y Ax<0, según la defini-
ción ¿.7, la función’ tiene un mínimo en x0=0.
(7) f(x)= |ln(x+1) | , sean x0=0 y xi=1/2 , x2=1 dos puntos en el
entorno de x0. Entonces:
f(x0)=|ln1|=0 ; f(xi)=|ln(1/2)| =|ln1ln2|= ln2 , f(x2)=ln2
Vemos que: x0 > xi * f( x0) < f(xi) , f es decreciente en x0
xo < x2 ■+■ f(xo) < f(x2 ) , f es creciente en x0
La función debe tener un mínimo en x0. En efecto, sif (xo.+Ax) > f (x o) »■ |ln(0+Ax+D| > |ln(0+1)| <*• |ln(1+Ax)| > 0
Siendo la desigualdad válida para Ax>0 y Ax<0, la función tiene
un mínimo en Xo=0.
(8) f(x) = e” x l ; sean xo=0 y xi=1 , X2=1 dos puntos en el en-
torno de xo. Entonces:
f(x0)=e°=1 : f(xi)=f(xj)=e‘ != 1/e
Vemos que: xo > xi f( x0) > f(xi) , f es creciente en xo
xo < X 2 ■* f (x0) > f (x2) , f es decreciente en x0
L f ió d b t á i 0 E f t ú l d fi
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f(x0) =0 : f(x,■)=■(- | ) M - | ) 3 = 3 I ; f ( * 2 ) = = - 3 !
Vemos que: xo > x¡ *■ f(xo) < f(xj)
Xo < x2 •* f(xo) > f(x2 )
Por tanto, según la definición A.5, la función es decreciente
en Xo=0.
En los ejercicios (3), (A) y (5) se procede enidénticaforma que
en el ejercicio (1). Las respuestas son: En (3), lafunción es
creciente en x=0, en (A), la función tiene un mínimo en x=0, en
(5), la función tiene un máximo' en x=0.
(6) f(x) = |Tanx| , sean x0=0 y Xi = —n/A , x2=ir/A dos puntos en el
entorno de xo.Entonces: f(xo)=0 ; f(xi)=1 , f(x2)=1
La función debe tener un máximo en x 0. En efecto, según la defi-
nición A-6: f(x0 + Ax) < f(xo) e l()+Axl < e” 1
+ e"^Ax < 1 <*■ e^úx > 1
Siendo la desigualdad válida tanto para Ax>0 como para Ax<0, la
función tiene un máximo en xo=0.
1 Mostrar que la función y=ln(x2+2x3) crece en el punto
xi=2 , decrece en el punto xz~-A y no tiene puntos esta-
cionarios.
SoCución. En efecto, sea f (x) =.ln(x+3) (x1)
*■ 3f ■*-*■ (x+3)(x1)>0 (x>1)v(x<3)
Dom(f) = <—c°,3> U <1,+oo>
Si xi=2eDom(f) , también x 3=3eDom(f) . Entonces:
480 Capitulo 4: Análisis de las funciones
f ( x i ) = l n ( 2 + ' 3 ) ( 2 - 1 ) = l n 5 y f ( x 3 ) = l n ( 3 + 3 ) ( 3 -1 ) = l n 12
Se cumple que; xi < x 3 .+ f(xi) < f(x3)Por tanto, la función es creciente en xi=2
Si x2 = 4.eDom(f), también xi, = 5eDom(f) , entonces:
f ( x 2 ) = l n ( - ¿ + 3 ) ( - ¿ - 1 ) = l n 5 y f ( x j = l n ( - 5 + 3 ) ( - 5 - 1 ) = ln 1 2
Se cumple que: x¡ > x* *■ f(x2) < f(x*)
Luego, la función es decreciente en x2 = ¿
p 2x + 2Derivando la ecuación dada obtenemos: f'(x) = -------
x2+2x3
Según el Teorema K.1> el valor extremo de una función se obtiene
haciendo f'(xo)=0 ■+■ 2xo + 2=0 +*■ xo=1
Como x0=1¿Dom(f), entonces la función no tiene puntosestaciona
rios.
Esclarecer el comportamiento de la función y=Senx+Cosx en
los puntos xi=0 , x2=2 , x 3=-it/3 > x'*=2.
Solución. Sea f(x)=Senx+Cosx *• f 1 (x) =CosxSenx
Posteriormente demostraremos que una función es cre-
ciente en xo si f'(xo)>0 , y es decreciente en Xo , si f(xo)<0
Luego, para xi=0 *■ f'(0) = CosOSenO = 1>0 , f es creciente
Para x2 = 1 *• f 1 (1) =Cos1Sen1
Dado que Cos1<Sen1 *•f ’ (1)<0 , entonces , f es decreciente
Para xj=u/3 f'(ir/3) = Cos (rr/3) Sen(ir/3) = 1/2(/3/2)>0
l f ió i
1112
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 481
Para xi,1 + f’(1) = 11 = 0 , xu es un punto extremo
Para determinar si la función tiene un máximo o mínomo en este
punto, veamos si se cumple la desigualdad: f(xi,+Ax) > f(x*)
+ f (1+Ax) > f(1) (1+Ax)ln( 1+Ax) > 1ln1
+ Axln(1+Ax) > 0 ln(1+Ax) < Ax
La desigualdad es válida, tanto para Ax>0 como para Ax<0, por lo
tanto, la función alcanza un mínimo en xi, = 1
Si x=a f'(a) = 1 “ , como 1 > 4 > ¥a>1 + f'(a)>0, cuandoü el
a>1, entonces la función es creciente en x=a.1
Si x=1/a + f'(— ) = 1a ■+ f'(1/a)<0 cuando a>1; por tanto, la
función es decreciente cuando x=1/a.
Esclarecer el comportamiento de la función y=xarcTanx en
los puntos: xi=1 , x2 = 1 y x 3=Ó.
Solución. Si f(x)=xarcTanx •+• f'(x) = —— + arcTanx1+x2
Para xi = 1 f'd) = + arcTan(l) = 1 + i > 0
La fuición es creciente.
Para x2=1 *• f'(1) = + arcTan(l) = ~ j < 0 ,
La función es decreciente.
Para x3=0 f'(0) = + arcTan(O) = 0 x3 es un valor extre
1114
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entonces, la función es creciente.
Para x^=2 >• f ' (2) =Cos2Sen2 (2 rad = 1U°12')Como Cos2<0 y Sen2>0 *■ f'(2)<0, entonces la función es decre-
ciente.
Esclarecer el comportamiento de la función y=xlnx en los
puntos Xj= 1/2 , x 2=2 , x3 = e y x,, = 1 y mostrar que si la fun
ción dada crece en el punto x=a, en cambio, decrece en el punto
1/a (a>0).
Solución. Si f(x)=xlnx *■ f ' (x) = 1 ^
Para xi=1/2 + f 1(1/2)=12=1<0 , f es decreciente
Para xj=2 f'(2) = ^ es creciente.
Para x 3=e ■* f'(e) = 1 1/e > 0 , f es creciente.
1113
Para x3=0 f'(0) = + arcTan(O) = 0 , x3 es un valor extre-
mo. Veamos si se cumple la desigualda: f(x3+Ax) > f(x3)(0+Ax)e.rcTan(0+Ax) > OarcTanO >■ AxarcTan(Ax) > 0
Siendo la desigualdad válida para Ax>0 y para áx<0, la función
alcanza un valor mínimo .en Xj=0.
Esclarecer el comportamiento de la función
Senx — — , para x^O
1 , para x=0
en los puntos xi=1/2 , x2=1/2 y x3=0
Solución. Si f(x) = §££* f .(x) = xCo sxSenx > para xjíQ
■v
1115
482 Capítulo 4: Análisis de las funciones
1 1 1■^Cos-^ - Sen-~ . ,1 1
p a r a x i = 1 / 2 + f ' ( x i ) = ------------ ---------- = 2 ( C o s — - 2 Se n7 j)
A 1 1
Dado que CoS'j < Senjj •+■ f ' ( x i ) < 0 f es d e c r e c i e n t e e n x j .
P a r a x 2 = - 1 /2 * f ( x 2 ) g _ ( -1 / 2) C o B( - 1 / 2 ) - S e n ( - 1 / 2 )
Mí
= 2 ( -C os | + 2Sen-Í )
+ f ( x 2 ) > 0 .". f e s c r e c i e n t e e n x 2 .
P a r a . x 3 =0 , f ( x ) = 1 + f ' ( x 3 ) = 0 , x 3 e s u n v a l o r e x t r e m o .
V e am os s i s _e c u m pl e l a d e s i g u a l d a d : f ( x 3 + Ax ) < f ( x 3 )
f ( 0 + Ax ) < f ( 0 ) + < 1
Como Ax-*-0 , l a d e s i g u a l d a d e s v á l i d a , p o r t a n t o , l a f u n c i ó n a l
canza un va lor máx imo en x 3 =0 .
APLIC ACIÓN DE LA PRIMERA DERIVADA
2.1. TEOR EMA DE ROLLE
T EOR EMA 4 . 2 S i f e s u n a f u n c i ó n p a r a l a c u a l :
Sección 4: Aplicación de la primera derivada 483
t e d e a y de b , y a q u e s e gú n l a c o n d i c i ó n f ( a ) = f ( b ) = 0 ( F i g . í.9)
S i f ( c ) e s e l v a l o r m áx imo de l a f u n c i ó n , e n t o n c e s :f(c) = üm ClxI~lL?J
x +c x ' c
Da do qu e f t i e n e s u v a l o r m áx imo e n c, y s i x e s t á s u f i c i e n t e m e n
t e c e r c a d e c , r e s u l t a q u e :
f ( x ) - f ( c ) < 0
C ua nd o x - c > 0 , o s e a s i x + c + , e n t o n c e s :
l i m f ( x ^ , ~ f ( c ) » 0 f ' ( c ) ^ 0 ( 1 )x+c X - C
y c u a n d o x - c < 0 , o s e a s i x + c " , e n t o n c e s :
l i m ¿ o «->• f ' (c ) < 0 ( 2 )x+ c
P u e s to qu e f ' ( c ) e x i s t e , l a s d e s i g u a l d a d e s ( 1 ) y ( 2 ) s on c o mp a ti
b l e s s ó l o p a r a e l c a s o . e n q u e f ' ( c ) = 0 .
En c o n s e c u e n c i a , d e n t r o d e l i n t e r v a l o f a , b ] h ay un p u n to c , e n
e l c u a l l a d e r i va d a f ' ( x ) = C .
La i n t e r p r e t a c i ó n g e o m é t r i c a d e l T eo r em a d e R o l l e e s muy s e n c i
l l a . S i u n a c u r va c o n t i n u a c o n t a n g e n t e e n c ad a u no d e s u s p u n
t o s , c o r t a a l e j e 0 X e n l o s p u n t o s d e a b s c i s a a y b, e n t o n c e s e n
e s t a c u r v a e x i s t i r á p o r l o m en os u n p u n to d e a b s c i s a c e < a , b > , e n
e l c a l l a t a n g e n t e e s p a r a l e l a a l e j e OX ( F i g A 9 )
8/13/2019 Problemas y ejercicios de Análisis Matemático Tomo 1 - FL
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i ) f e s c o n t i n u a e n e l i n t e r v a l o c e r r a d o [ a , b ]
i i ) f e s d e r i v a b l e e n e l i n t e r v a l o a b i e r t o < a ,b >
i i i ) f ( a ) = f ( b ) = 0
e n t o n c e s e x i s t e p o r l o m e n o s u n n ú m e r o c e < a , b > t a l q u e
f ' ( c ) = 0 .
de.mostA.ac.ibn, En e f e c t o , p u e s t o q u e l a f u n c i ó n f e s c o n t i n u a s o
b re e l i n t e r v a l o [ a , b ] , de b e t e n e r e n e s t e i n t e r
va lo su va lo r máximo M, y su va l or mínimo m. En ton ces para tod os
l a s x e [ a , bj s e c u mp le l a d e s i g u a l d a d : m ^ f ( x ) < K
a ) S i M=m o c u r r e q ue f ( x ) e s c o n s t a n t e y p or l o t a n t o f ' ( x ) = 0 s o
b r e [ a , b } . E n r e a l i d a d e l p u n t o c s e p u ed e t o ma r en c u a l q u i e r
p u n t o d e l i n t e r v a l o < a , b > , y e l t e o r e m a q u e d a d e m o st r a d o .
b ) S i M /n , s u p o ng a m os q u e M>0 y q u e l a f u n c i ó n t i e n e s u v a l o r má
x i mo c u an d o x = c , e s t o e s , f ( c ) = M . O b s e r ve m o s q u e c e s d i f e r e n
e l c u a l l a t a n g e n t e e s p a r a l e l a a l e j e OX ( F i g . A.9 ) .
O b s e r v a c i ó n . E l Te o r em a d e R o l l e e s t a m b i é n v á l i d o p a r a u na f u n
c i ó n d e r i v a b l e q u e en l o s e x t r e mo s d e l i n t e r v a l o
[ a , b ] n o s e r e d u z c a a c e r o , s i n o t om e v a l o r e s i g u a l e s : f ( a ) = f ( b )
( F i g . 4 . 1 0 ) .
484 Capítulo 4: Análisis de las funciones
2.2. TEOREMA DE LAGRANGE
TE OR EM A4.3 TEOREMA DEL VALOR MEDIOW&Msmm&SiS&sm v/''.Z'aví
S i f e s u na f u n c i ó n t a l q u e :
i ) e s c o n t i n u a e n e l i n t e r v a l o c e r r a d o £ a , t j
i i ) e s d e r i v a b l e e n t o d o s l o s p u n t o s d e < a ,b >
p o r l o m e no s un nú m er o c e < a , b > t a l q u e :
e n t o n c e s e x i s t e
f ' ( c ) f ( b ) - f ( a ) b - a
de.moitn.ac Un. En e f e c t o , a n a l i c e m o s l a f u n c i ó n a u x i l i a r :
F ( x ) = f ( x ) - Xx ( 1 )
y d e f i n a m o s e l n úm er o X d e f o r m a t a l q u e F ( a ) = F ( b ) , e s t o e s :
f ( a ) - X a = f ( b ) - A b , d e d o n de : X = ( 2 )
P a ra l a f u n c i ó n F ( x ) s e c um p le n t o d a s l a s c o n d i c i o n e s d e l t e o r e
ma d e R o l l e . En e f e c t o , f ( x ) e s c o n t i n u a s o b r e [ a , b ] , y l a f u n
c i ó n Xx, a l s e r l i n e a l , e s c o n t i n u a V-cR, p o r t a n t o , t a m bi é n l a
f u n c i ó n F ( x ) = f ( x ) - X x s e r á c o n t i n u a s o b r e £ a , b ] .
L a f u n c i ó n f e s d e r i v a b l e e n t o d o s l o s p u n t o s d e < a , b >* y l a f u n
c i ó n Xx e s d e r i v a b l e e n t o d o s l o s p u n t o s d e l e j e r e a l , p o r t a n t o
s u d i f e r e n c i a , F ( x ) t a m b i én e s d e r i v a b l e s o b re < a , b > . F i na l m e n t e ,
e n l o s e x t r em o s d e l s e g m en t o £ a , b ] , p o r e l e c c i ó n d e X, l a f u n c i ó n
Sci ción 2: Aplicación de la primera derivada 485
K nt o n ce s: ^ =¡ TanB
y c omo l a d e r i v a d a f ' ( c ) e s l a t a n g e n t e d e l á n g u l o a d e i n c l i n a
c i ó n d e l a l í n e a t a n g e n t e a l a c u r va e n e l p u nt o d e a b s c i s a c ,
n 3 d e c i r , f ' ( c ) = T a n a . S eg ú n e s t o , l a i g u a l d a d ( 3 ) p u e de s e r e s
c r i t a d e l a f o rm a:
Tana = Tan6
De e s t a f o r m a , e l T e or e ma d e L a g r a n ge m u e s t r a q u e e n e l i n t e r v a
l o < a, b > d e b e e n c o n t r a r s e u n p u n t o c e n e l c u a l l a t a n g e n t e a l a
g r á f i c a e s p a r a l e l a a l a c u e r da AB.
2.3 TEOREMA DE CAUCHY
TEOREMA 4.4 S e an l a s f u n c i o n e s f y g
i ) c o n t i n u a s en e l i n t e r v a l o c e r r a d o [ a , b ]
i i ) t i e n e n d e r i v a d a s e n c a d a p u n to d e l i n t e r v a l o a b i e r t o < a ,b >
l i i ) g 1 f 0 e n t o d o s l o s p u n t o s d e l i n t e r v a l o < a , b > .
E n t o n c e s e x i s t e u n p u n t o c e < a, b > , t a l q u e :
f ( b ) - f ( a ) = f ' ( c )
g ( b ) - g ( a ) g 1 ( c )
Tle.moitn.ao.iin.. En e f e c t o , a n a li c e mo s l a f u n c i ó n a u x i l i a r
F (x ) = f (x ) - Xg (x ) (1)
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F ( x ) a l c a n z a v a l o r e s i d é n t i c o s : F ( a ) = F ( b ) . P or e s t o , e x i s t e a l me
n o s u n pu n t o c e < a , b> t a l q u e F ' ( c ) = 0 .
De (1 ) s e t i e n e : F ' ( x ) = f ' ( x ) - X -*■ F ' ( c ) = f ' ( c ) - X
S u s t i t u y e n d o a q u í X d e ( 2) o b t e n e m os :
f ( c ) = £í -b ) ~
f ' ( c ) = X
b - a( 3 )
E l s e n t i d o g e o m é t r i c o d e l t e o r e
m a d e L a g r a n g e c o n s i s t e e n l o
s i g u i e n t e :
S e an A [ a , f ( a ) ] ' y B [ b , f ( b ) ] l o s
e x t re m o s d e l a g r á f i c a d e l a f u n
c i ó n f , y AB l a c u e r d a q u e u ne l o s p u n t o s A y B ( F i g . 4 . 1 1 ) .
d o nd e e l n úm er o X s e h a e l e g i d o d e t a l f o r m a q u e F ( a ) = F ( b ) , e s t o
es:
f ( a ) - X g ( a ) = f ( b ) - X g ( b ) + X = ) ~.f ( a ) ( 2 )g ( b ) - g ( a )
La f u n c i ó n F s a t i s f a c e t o d a s l a s c o n d i c i o n e s d e l T eo re ma d e R o
l l e , p o r / t a n t o , e x i s t e u n p u n t o c' e<a , b >, t a l q ue F ' ( c ) = 0 .
Pero de ( 1 ) : F ' ( x ) = f ! ( x ) - X g ' ( x) + - F' ( c) = f ' ( c ) - X g '( c )
de d on de : - X = Sc ( 3 )g' (c)
d e ( 2 ) y ( 3 ) ob te ne mo s: JLliLÍ—I—£(g ( b ) - g ( a ) g ' ( c )
O b s e r v a c i ó n . L a f ó r m u l a d e C a uc h y , a l i g u a l q u e l a f ó r m u l a d eL a g r a ng e e s v á l i d a n o s ó l o s i a < b, s i n o t a m b i é n pa
ra a>b.
486 Capítulo 4: Análisis de las funciones
TEOREMA4.5 ( 1 ) S i un a f u n c i ó n f ( x ) e s c r e c i e n t e e n e l i n t e r v a
l o [ a , b] y e s d e r i v a b l e s o b r e e l i n t e r v a l o < a , b> , e n t o n c e s s u d e r i va d a e s f ' ( x ) >0 s o b r e < a , b > .
( 2 ) S i l a f u n c i ó n f ( x ) e s c o n t i n u a e n e l i n t e r v a l o [ a , b j .yd e r i
v a b l e s o b r e e l i n t e r v a l o < a , b > c u a n d o f ' ( x ) >0 , ¥ x e < a , b > , e s
t a f u n c i ó n e s c r e c i e n t e s o b r e e l i n t e r v a l o [ a, b ] .
de.moitA.ac.L6n, L a d e m o s t r a c i ó n d e l t e o r e m a c o m p r e n d e d o s p a r t e s :
l a n e c e s id a d y l a . s u f i c i e n c i a .
( 1 ) Necesidad. S i l a f u n c i ó n f ( x ) e s c r e c i e n t e s o b re [ a , b] , e n
t o n c e s p a r a u n i n c r e m e n t o A x d e l a r g u m e n t o x c o n
s i d e r e m o s l a r a z ó n : . .f ( x t A x ) - f ( x ) ( - |)
AxS e g ún l a d e f i n i c i ó n 4 . 5 : f ( x + A x ) > f ( x ) , p a r a Ax >0
y f ( x + A x ) < f ( x ) , p a r a Ax <0
. f ( x + A x ) - f ( x ) ^ n (2)En ambos casos : ------------- u
f ( x + A x ) - f ( x ) s nv. po r lo t a n t o : li m --------------------------------------- — ¿ uJ Ax+0 Ax
e s d e c i r, f ' ( x ) * 0 , l o q ue s e t r a t a b a d e de m o s t r a r .
( 2 ) Su¿ ic lene la. S e a f ’ ( x ) > 0 , ¥ - x e< a, b > y s e a n x i , x 2 e < a , b > t a
les que a<Xi<X2<b
Entonces, por el teorema de Lagrange:
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 487
( 1 ) S i l a f u n c i ó n e s c/iec lente, s o br e e l i n t e r v a l o Ca, b ] , l a l í
n e a t a n g e n t e a l a g r á f i c a d e y = f ( x ) e n c ad a p u n to d e l a m i s ma, f orma con e l e je X un ángulo agudo a, o e n a l g u n o s p u n
t o s p u e d e s e r p a r a l e l a a l e j e X. L a t a n g e n t e d e e s t e á n gu l o
e s p o s i t i v o : f ' ( x ) = Tanc tj O ( F i g u r a 4 . 1 2 ) .
( - í ) S i l a f u n c i ó n f ( x ) e s dec/iec lente, s o b r e e l i n t e r v a l o £ a, b } ,
e l á n gu l o a de i n c l i n a c i ó n d e l a l i n e a t a n g e n t e s e r á ob t u so
( e n a l gu n o s p u nt o s l a l í n e a t a n g e n t e p u e de s e r p a r a l e l a a l
e j e X ) . L a t a n g e n t e d e e s t e á n g ul o e s n e g a t i v a : f ' ( x ) = T a n a $ 0
( F i g u r a 4 . 1 3 ) .
iEOREMA 4 7 ( C o n d i ci ó n n e c e s a r i a p a r a l a e x i s t e n c i a d e un va l o r
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f'(c) - X-~ , X l < C < X 2X 2 X 1
Dado q u e: f ’ ( c ) > 0 f ( x * ) - f ( x i ) > 0
l o q ue s i g n i f i c a q ue f ( x ) e s u na f u n c i ó n c r e c i e n t e .
T EO RE MA 4. 6 ( 1 ) S i u n a f u n c i ó n f ( x ) e s decreciente e n e l i n t e r v a
l o [ a , b ] y e s d e r i v a b l e s o b r e e l i n t e r v a l o < a , b >
e n t o n c e s s u d e r i v a d a e s n e g a t i v a , e s d e ci r , f , ( x )< 0 s o b r e e l
i n t e r v a l o < a , b > .
( 2 ) S i l a f u n c i ó n f ( x ) e s c o n t i n u a e n e l i n t e r v a l o [ a , b ] y d e r i
v a b l e s o b r e e l i n t e r v a l o < a , b > c u a n d o f ' ( x ) <0 , ¥ -xe<a ,b> , es
t a f u n c ió n e s d e c r e c i e n t e s o br e e l i n t e r v a l o [ a , b ] .
O b s e r va c i ó n. L os T eo re ma s 4 . 5 y 4 . 6 t i e n e n l a s i g u i e n t e i n t e r
p r e t a c i ó n g e o m é t r i c a .
iEOREMA 4.7 ( C o n d i ci ó n n e c e s a r i a p a r a l a e x i s t e n c i a d e un va l o r
e x t r e m o )S i x o e s u n p u n t o d e ex t r e m o de l a f u n c i ó n f , d e f i n i d a e n c i e r t o
e n t o r no d e l p u n to x 0 . E n t o n c e s , o b i e n l a d e r i v a d a f ' ( x 0 ) =0 , o
b i en f ' ( x o ) no e x i s t e .
±H 9At/iact¿n. E n e f e c t o , s u p o n g a m o s q u e e n e l p u n t o x o l a f u n
c i ó n t i e n e u n m áx im o, o s e a s i x 0 e s un punto de
" xt r em o p a r a l a f u n c i ó n f , e n t o n c e s e x i s t e u n e n t o r no E ( x o , A x ) ,
L a l q u e e l v a l o r d e l a f u n c i ó n f e n e l p u n t o x 0 s e r á e l m a y o r e n
' ■s te e n t o r n o , e n t o n c e s s e v e r i f i c a r á :
f ( x o + A x) < f ( x 0 ) -*■ f ( x o + A x ) - f ( x o ) < 0 ( D e f . 4 . 6 )
Kñ e s t e c a s o , e l s i g n o d e l a r az ó n : f ( x p + A x ) - f ( x o )Ax'■ d e t e r m i n a p o r e l d e Ax .
488 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Cuando Ax<0 + f ( x 9 + A x ) - f ( x o ) > 0
y cuando Ax>0 + K Q Ax
f ( x o + A x ) - f ( x o )P or d e f i n i c i ó n d e d e r i v a d a : f ' ( x o ) = l i m
Ax+0 Ax
S i A x + O- , s i e n d o n e g a t i v o Ax f ’ ( x o ) 5- 0
S i Ax + 0 + , s i e n d o p o s i t i v o Ax + f ' ( x o ) < 0
L a s d o s d e s i g u a l d a d e s s o n c o m p a t i b l e s ú n i c a m e n t e c u an d o
f ' ( x o ) =0
A n á l o g a m en t e s e d e m u e s t r a e l t e o r e m a c u an d o s e t r a t a d e l m ín i mo
d e l a f u n c i ó n .
TEOREMA 4 .8 ( C o n d i c i o n e s s u f i c i e n t e s p a r a l a e x i s t e n c i a d e un
v a l o r e x t r e m o )
S up on ga mo s q u e l a f u n c i ó n f ( x ) e s c o n t i n u a s o b r e u n c i e r t o i n t e i
v a l o , a l c u a l p e r t e n e c e e l p u n t o , d e ex t rB m o x o , y e s d e r i v a b l e
e n c a d a p u n t o d e l m i sm o ( e x c e p t o , p o s i b l e m e n t e , e l m is mo p u n t o
c r í t i c o xo). S i , a l p a s a r p or e s t e p u n t o de i z q u i e r d a a d er e c h a ,
e l s i g n o d e l a d e r i v a d a c a m b i a d e mía a menoA, e n t o n c e s l a f u n
c i ó n a d m i t e m áx i mo e n x = x o . S i , a l p a s a r p o r e l p u n t o x o , d e i z
q u i e r d a a d e r e c h a , e l s i g n o d e l a d e r i v a d a c a m b ia de me.no<¡ a mí.
l a f u n c i ó n a d m i t e u n mí n im o e n e s t e p u n t o .
De modo que s i:
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 489
f ( x ) - f ( x 0 ) = f 1 ( c ) ( x - x 0 )
d o n de c e s e l p u n t o c o m p r e n d i d o e n t r e x y x 0
( 1 ) Se a x < x c e n t o n c e s se t i e n e :
c < x o + f ' ( c ) > 0 , l u e g o : f ' ( c ) ( x - x 0 ) < 0
y p o r t a n t o , f ( x ) - f ( x o ) < 0 +-► f ( x ) < f ( x 0 ) ( 1 )
(2) S e a x>x0» o s e a xXo>0, e n t o n c e s s e t i e n e :
c > x o + f ' ( c ) < 0 , l u e g o : f ' ( c ) ( x - x o ) < 0
y , p o r t a n t o : f ( x ) - f ( x 0 ) < 0 f ( x ) < f ( x o ) ( 2 )
L as d e s i g u a l d a d e s ( 1 ) y ( 2 ) m u e s t r a n q u e p a r a t o d o s l o s v a l o r e s
d e x , e n e l e n t o r n o d e x o, l o s v a l o r e s d e l a f u n c i ó n , s o n m en or e s
q ue e l v a l o r d e é s t a e n e l p u n t o x o . E n c o n s e c u e n c i a , e n e s t e p un
t o l a f u n c i ó n f ( x ) t i e n e u n m áx im o.A n á l o ga m e n t e s e d e m u e s t r a l a s e g u n d a p a r t e d e l t e o r e m a , e s d e c i r ,
l a c o n d i c i ó n s u f i c i e n t e p a r a e l v a l o r m í n i m o .
8/13/2019 Problemas y ejercicios de Análisis Matemático Tomo 1 - FL
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De modo que s i:
.).f f f ( x ) > 0 , para X < Xo En e l p un to xo l a f un ci ón
f 1 ( x ) < 0 , para X > Xo t i e n e máximo
b> .\f f ( x ) < 0 , para X < Xo * En e l p un to xo l a f un ci ón
^ f ' ( x ) > 0 , para X > xo’ . t i e n e mínimo
De.mo.it/iaci6n.. V e a mo s p r i m e r o e l c a s o e n q u e e l s i g n o d e l a d e r i
v a d a c a m b i a d e mí¿ a me.no/>, e s d e c i r q ue p a r a t o
d o s l o s p u n t o s x , s u f i c i e n t e m e n t e p r ó x im o s a l p u n t o x o» s e t i e n f
f ' ( x ) > 0 , pa ra x < x 0
f 1 (x) < 0 , pa ra x > x 0
En e f e c t o , a p l i c a n d o e l t e o r e m a d e L a gr a n ge a l a d i f e r e n c i a
f ( x ) - f ( x o ) > o bt en em os :
La s f i g u r a s ¿ . 1¿ y ¿.15 n o s i l u s t r a n c l a r a m en t e e l s i g n i f i c a d o
d e l T e o r e m a ¿ . 8 .
S u po n ga m os qu e e n e l p u n t o x = x j t e n e m os f ' ( x l ) = 0 , y , p a r a t o d o s
l o s v a l o r e s d e x e n e l e n t o r n o de x ¡ , s e c u mp l en l a s d e s i g u a l d a
d e s: f ' ( x ) >0 , p a r a x < x x
f 1 ( x )> 0 , p a r a x > x j
e n t o n c e s , s e d i c e qu e l a f u n c i ó n e s cAe.cle.nte t a n t o p a r a x < x t co
mo p a r a x > x j . P o r t a n t o , p a r a x = x l t l a f u n c i ó n n o t i e n e n i m á xi -
n i m í n i m o .
S i e n e l p u n t o x = x 2 t e n e m o s f ' ( x 2 ) =0 , y , p ar a t o d o s l o s v a l o r e s do x e n e l e n t o r n o d e x ¡ , s e c u m pl e n l a s d e s i g u a l d a d e s :
490 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
f 1 ( x )< 0 , p a r a x < x 2
f ' ( x )< 0 p a r a x > x 2
e n t o n c e s s e d i c e q ue l a f u n c i ó n e s decreciente f-x. P o r t a n t o , p a
r a x = x 2 , l a f u n c i ó n n o t i e n e n i m áx imo n i m í n im o .
PROBLEMAS RESUELTOS
V e r i f i c a r l a v a l i d e z d e l t e o re m a d e R o l l e p a r a l a f u n c i ó n
y = x 3+ 4 x 2 - 7 x - 1 0 e n e l i n t e r v a l o [ - 1 , 2 j .
Solución. S e a f ( x ) = x 3+ 4 x2 - 7x - 10 y [a , b] = [ -1 , 2]
Da do qu e f e s c o n t i n u a e n [ - 1 , 2 ] y d e r i v a b l e e n < - 1 , 2 >
l a s p r i m e r a s c o n d i c i o n e s d e l t e o r e m a d e R o l l e s o n s a t i s f e c h a s . V e a m o s l a t e r c e r a c o n d i c i ó n :
i i i ) f ( a ) = f ( - 1 ) = - 1 + 4+ 7 - 10 = 0
f ( b) = f ( 2 ) = 8 + 1 6 - U - 1 0 = 0
f 1 (x ) = 3x 2 + 8 x - 7 + f ' ( c ) = 3 c 2+ 8 c - 7
S i f ( a ) = f ( b ) ■* a c e <- 1 , 2 > / f 1 ( c ) = 0
♦ 3c2 +8c- 7= 0 - 6 C2 = r i V l 2
+ c i = 0 . 6 9 e < - 1 , 2 > ó c 2 - - 3 . 3 6 i < - 1 , 2 >
P o r t a n t o , p a r a c i - ^ 3 7 - 4 e s v á l i d o e l t e o r e ma de R o l l e .
1116
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 491
i ) f e s c o n t i n u a en [ b. Tr ]
i i ) f ' ( x ) = 4 ^e nXl n ¿ ( C o sx ) -*• f e s d e r i v a b l e e n < 0 , 7r>
i i i ) f ( 0 ) = ¿S e n0 = = 1 ; f (tt) = 4Senlr = 4 o = 1
-*• f ( a ) = f ( b ) = 1 + 3 ce < 0 , ti> / f ' ( c ) =0
-*■ 4 ^ e n c l n ¿ ( C o s c ) = 0 + C o s c = 0c=tt/2 e<0 ,7t>
P or t a n t o , e s v á l i d o e l t e o r e ma de R o l l e p a r a c =i r/ 2
V e r i f i c a r l a v a l i d e z d e l t e o re m a de R o l l e p ar a l a f u n c i ó n
y= 3/x 23 x+ 2 e n e l i n t e r v a l o C l , 2 j .
Solución. S i f ( x ) = 3/x23x+2 -*• f ' ( x ) = - ........ . - ,£#72, ---------------3 3/ ( x - 1 ) 2 ( x-'2> 2
f e s r e a l p a r a x > 0 y par a x<0 + Dom{f)=R No e x i s t e f 1 p a r a x = 1 y x= 2
E n t o n c e s : i ) f e s c o n t i n u a e n [ 1 , 2 ]
i i ) f e s d e r i v a b l e e n < 1 , 2 >
i i i ) f ( l ) = f ( 2 ) = 0 + 3 c e < 1 , 2 > / f 1 (c ) = 0
+ 2 c - 3= 0 +-*• c= 3 /2
2 - x 2L a f u n c i ó n y = -------- t o ma v a l o r e s i g u a l e s e n l o s e x t r e m o s
x 4
d e l i n t e r v a l o [ I- 1, 1J . M o s t r a r q ue l a d e r i v a d a d ed i c h a
f u n c i ó n n¡j s e r e d u c e a c e r o e n p a r t e a l g u n a d e l i n t e r v a l o [ - 1 , 1 ]
1120
1119
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V e r i f i c a r l a v a l i d e z d e l t e or e m a de R o l l e p a ra l a f u n c i ó n y = l n S e n x e n e l i n t e r v a l o [ t t/ 6 , 5 n / 6 j .
Solución. S i f ( x ) = l nS e nx 3 f *~+ Senx>0 +-+■ x£<0 , ir>
i ) L u e go , l a f u n c i ó n e s c o n t i n u a e n | jr r/6 , 5tt/6]
i i ) f ' ( x ) = - § § f § = T an x , no e x i s t e f 1 ( x ) p a r a x = i r / 2
o s e a , l a f u n c i ó n f no e s d e r i v a b l e e n <7r/ 6 , 5 tt/ 6 >
Como l a s e g u n d a c o n d i c i ó n n o e s s a t i s f e c h a , e l t e o r e m a d e Ro
l i e n o e s v á l i d o p a r a y =l n S e n x .
V e r i f i c a r l a v a l i d e z d e l t e o r em a de R o l l e p a ra l a f u n c i ó n
y =4 ° e nx e n e l i n t e r v a l o [ 0 , t t ] .
S o l u c i ó n . S i f (x )= 4 ^ enX + 3 f -w- Senx>0 ó Senx<0 *-*■ xeR
1118
1117 y e x p l i c a r e s t a d e s v i a c i ó n d e l t e o r em a de R o l l e .
So Ilición. En e f e c t o , s i f ( x ) = f | ( x ) = x ~ 4)x" x 5
f ' ( x ) =0 -*■ x 2 - 4 =0 •<-*■ x=± 2 ¿ [ - 1 , 1 j
Vemos que para x=0e [ - 1 , 1 J , t a n t o f ( x ) c omo f ' ( x ) n o e s t á n d e f i n i
d a s, p o r t a n t o , a l n o c u m p l i r s e l a s d o s p r im e r a s c o n d i c i o n e s d e l
t e o r e ma de R o l l e , n o e x i s t e ce<1,1> / f ' ( c ) =0.
La d e s v i a c i ó n d e l t e o r e m a de R o l l e s e e x p l i c a e n e l h e c h o de qu e
l a c u r va e s a s i n t ó t i c a e n x= 0 , o s e a e s d i s c o n t i n u a e n x =0 ; ade
má s, l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s s i m é t r i c a r e s p e c t o a l e j e Y, d e
a l l í q ue ? ( - 1 ) = f ( 1 ) = 1 .
1121 La f u n c i ó n y = | x | t om a v a l o r e s i g u a l e s e n l o s e x t re m o s d e l
i n t e r v a l o [ - a , a ] . M o s t ra r q ue l a d e r i v a d a de d i c h a f u n c i ó n
492 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
n o s e r e d u c e a c e r o e n p a r t e a l g u n a d e l i n t e r v a l o [ - a , a ] , y e x
p l i c a r e s t a d e s v i a c i ó n d e l t e o r em a de R o l l e .
Solución. E n e f e c t o , s i f ( x ) = | x | f ( - . a ) = | - a | = a
f ( a ) = I a | = a
L a f u n c i ó n f t o m a l o s m i s m o s v a l o r e s . _ __ — 2 x x
Da do qu e | x | = ^ c * , s i h a ce m os f ( x ) = / x 2 * f ' ( x ) = — -j= ~ ^
P a r a x >0 , | x | = x + f ' ( x ) = | = 1
P a r a x <0 , | x | = - x + f ' ( x ) = — = -1
S i en d o l a s d e r i v a d a s c o n s t a n t e s f 1 ( x ) ^ 0 e n [ - a , a ]
L a d e s v i a c i ó n d e l t e o r e m a de R o l l e s e e x p l i c a e n e l h e ch o d e q ue
l a d e r i v a d a de l a f u n c i ó n n o e s t á d e f i n i d a e n x = 0 e [ - a , a ]
D e m os t ra r e l s i g u i e n t e t e o r e m a : S i l a e c u a c i ó n
a 0x n + a i x n _ 1 + . . . '+ an ^ x=0 , t i e n e r a í z p o s i t i v a x = x0 , l a
e c u a c i ó n n a o X 1 1 - * + ( n - 1 ) a i x n _ 2 + . . . + a n _-i = 0 , t a m b i é n l a t i e n e ,
s i e n d o e s t a r a í z m e no r q u e x o .
Demostración, En efecto, sea f(x )=a oX +aiX *an iX
y g(x )=n aox n l+(n 1) aix n 2+ ... + an_j
Como f y g son funciones pol inómicas, ambas son continuas y d e r i
1122
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 493
E n t o n c e s : g ( x ) = x ^ í x - l ) 15
A mb as f u n c i o n e s f y g s o n p o l i n ó n i i e a s p o r l o q ue s o n c o n t i n u a s y
d e r i v a b l e s e n t o d o s u d o m i n i o.
S i g ( x ) = 0 ■* x = 0 ó x = 1 s o n l a s r a í c e s d e g ( x )
A de más g , ( x ) = f ' ( x ) -*■ g ' ( c ) = f ' ( c )
E n t o n c e s , p o r e l t e o r e ma de R o l l e , 3 c e < 0 , 1 > / g 1 ( c ) = f 1 ( c ) = 0
P or t a n t o , f ' ( x ) = 0 t i e n e p o r l o m e no s u na r a í z ce<0,1>
M o s t r a r q u e l a e c u a c i ó n x 5 - 3 x + c = 0 n o p u e d e t e n e r d o s r a í
c e s d i s t i n t a s e n e l i n t e r v a l o < 0 , 1 >.
Demostración. En e f e c t o , s e a f ( x ) = x 3 - 3 x + c .
P o r s e r f u na f u n c i ó n p o l i n ó m i c a , l a s d o s p r i m e r a s
h i p ó t e s i s d e l te o r em a d e R o l l e s e c u mp l en , e s d e c i r , f e s c o n t i
n u a y d e r i v a b l e e n < 0 , 1 >.
S u p o n i e n d o q u e f(a)=f(b) e n t o n c e s 3ce<0,1>/f1( c ) =0
S i f ' (x)=3x23 f ' (c )=3c23=0 -<-► c = - 1 ó o=1
Como - 1 ¿ < 0 , 1 > y 1 ¿ < 0 , 1 > , ' e n t o n c e s l a e c u a c i ó n d a da no p u e d e t e n e r
d os r a í c e s d i s t i n t a s e n <0 , 1 >.
S i n c a l c u l a r l a d e r i v a d a de l a f u n c i ó n
f ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 )
e s c l a r e c e r c u á n t as r a í c e s r e a l e s t i e n e l a e c u a ci ó n f ' ( x )=0
e i n d i q u e e n q u é i n t e r v a l o s e s t á n .
Solución, S i e nd o f u na f u n c i ó n p o l i n ó m i c a , é s t a e s c o n t i n u a y d e
1125
1124
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y y
v a b l e s p a r a t o d o x c R. A d em as s e t i e n e q u e .
f 1 (x) = naoxn " 1+(n l )a 1xn2 + ... + a n _ ^
o s e a: f ( x ) = g ( x ) f ’ ( o ) = g ( c ) ( 1 )
S i x = x 0 e s . u n a r a í z p o s i t i v a d e f ( x ) , s up on ga mo s q ue t i e n e o t r a
r a í z p o s i t i v a x = x i t a l . q u e x i < x 0 . E n t o n c e s p or e l t e o r e m a d e R o
l l e , H c e < x i, X 2> t a l q ue f ' ( c ) = 0 , e s t o e s , s e g ú n ( 1 ) : g ( c ) - 0
En c o n s e c u e n c i a , g ( x ) t a m b i é n t i e n e u na r a í z p o s i t i v a : c < x 0 .
S e a d ad a l a f u n c i ó n f ( x ) = 1 + x m( x - 1 ) n , d o nd e m y n s on núme
r o s e n t e r o s p o s i t i v o s . S i n c a l c u l a r l a d e r i v a d a m os ur ar
q ue l a e c u a c i ó n f ' ( x ) = 0 t i e n e , p o r l o m e no s un a r a í z e n e l Í n t e r v a l o < 0 , 1 > .
de.moi tn.ac ión . En e f e c t o , s u p on g am o s q u e : g ( x ) = f ( x ) - 1
1123
, p , y
r i v a b l e e n t o d o s u d om i n io A de má s, e v a l u a n d o d i r e c t a m e n t e e n l a f u n c i ó n d a da ob t e n e m o s :
f ( 1 ) = f(2) = f ( 3 ) = f U ) = 0
.'le c u mp l en l a s t r e s h i p ó t e s i s d e l t e o r em a de R o l l e e n l o s i n t e r v a
l o s : [ 1 , 2 ] , [ 2 , 3 ] y [ 3 , 4 ]
E n t o n c e s , e x i s t e : Cje<1,2> t a l q ue f ’ ( c 1 ) =0
c2e<2,3> t a l q ue f ' ( c 2 )=0
c 3e<3,4> t a l que f ' ( c 3 )=0
Po r t a n t o , f ' ( x ) = 0 t i e n e t r e s r a í c e s r e a l e s : Cj , c 2 y c 3 .
M o s t r a r q u e l a f u n c i ó n f ( x ) = x n + p x + q n o p u e d e t e n e r m á s d e
d o s r a í c e s r e a l e s , s i e n d o n p a r , y má s de t r e s r a í c e s s i e n
do n impar.
1126
494 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
DemosiJiactin. En e f e c t o , s i e nd o - f un a f u n c i ó n p o l i n ó m i c a , é s t a
e s c o n t i n u a y d e r i v a b l e V- xe R.
S u po n ga m os qu e p a r a n p a r , l a f u n c i ó n t i e n e p o r r a í c e s x i y x 2
t a l e s q u e x i < x 2 , es t o e s : f ( x i ) = f ( x 2 )=0
E n t o n c e s p o r e l t e o re m a d e R o l l e e x i s t e c e < x i , x 2 > / f ' ( c ) =0
A h or a : f ' ( x ) = n x n ' 1 +p * f ' ( c ) = n c n _ 1 +p
D ad o q u e n e s p ar + n - 1 e s i m p ar , l u e g o p a r a f ’ ( c ) = 0 s e t i e n e :
c = n~i/-p/n e s un n ú me r o r e a l .
S i n es impar + n-1 es par + c = ± i/-p / n
H ay d o s r a í c e s : c i = - n k/-'p/n y c 2 = n - í / -p7 n
En c o n s e c u e n c i a , c u an d o n e s p a r l a f u n c i ó n t i e n e d o s r a í c e s r e a
l e s t a l e s q u e : x i < c < x 2 , y , c u an do n e s i m pa r l a f u n c i ó n f t i e n e t r e s r a í c e s r e a l e s t a l e s q ue : x i < c i < x 2 < c 2 < x s
i EK fr j E s c r i b i r l a f ó r m u l a , d e L a g r a ng e p a r a l a f u n c i ó n y = S en 3 x
e n e l i n t e r v a l o [ x i , x 2] .
Solución. S i f ( x ) =S en 3x -*■ f ' ( x ) = 3 C o s 3 x
S u p on i e nd o a f c o n t i n u a y d e r i v a b l e e n [ x i , x 2] , e n t o n
c e s , p o r e l t e o r e m a de L ag r a n g e , e x i s t e c e < x ? i , x 2> t a l e s q u e :
f , („ ) , ' f ( * 2 ) - f ( x x ) + 3 C o s3 c = S e n 3 x 2 - S e n 3 x iX 2X 1 X 2Xl
+ S e n 3 x 2 - S e n 3 x i = 3 ( x 2 - x i ) C o s 3 c , d o n d e : x i < c < x 2
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 495
S u p o n i e n d o f c o n t i n u a e n [ x o , x o + A x ] y d e r i v a b l e e n < x o, x ¡>+ Ax >,
e n t o n c e s p o r e l t e o r e m a d e L a g r a n g e e x i s t e c e < x o , x c + A x > t a l q u e
f ' ( c ) - f ( x 0 + A x ) - f ( x p ) + 2 _ f ( x 0 + A x ) - f ( x 0 )
x o+ A x- x o / l - ¿ c 2 Ax
d e d o n d e : a r c S e n 2 ( x 0+Ax)-arc Sen2x<> = ■y — — *1 - 4 c 2
,J V e r i f i c a r l a v a l i d e z d e l t eo r em a de L ag ra ng e pa r a l a f u n
c i ó n y =x n e n e l i n t e r v a l o [ 0 , a ] , n>0 , a> 0 .
Solución. L a f u n c i ó n f ( x ) = x n e s c o n t i n u a e n [ 0 , a ] y d e r i v a b l e
e n <0 , a > , e n t o n c e s 3 c e < 0 , a > / f ' ( c ) =
S i f ' ( x ) = n x n * 1 n o 11" 1 = , de donde: c = a /n~¿ /ñ~
a y
V e r i f i c a r l a v a l i d e z d e l t e o r e m a d e L a gr a n ge p ar a l a f u n
c i ó n y = ln x en e l i n t e r v a l o [ l , e ] .
Solución.. S i f ( x ) = l n x f ' ( x ) = 1 / x
E n t o n c e s , f e s r e a l ■*->■ x >0 . D o m( f ) =<0, +■»>
f e s r e a l ■*-*■ x / 0 -*• D o m ( f' ) = R- { 0}
L as d os p r i m e r a s h i p ó t e s i s d e l t e o r e m a de La g ra n ge s o n s a t i s f e
c h a s p u e s t o q u e f e s c o n t i n u a e n [ l , e ] y d e r i v a b l e e n < 1 , e > .
L u eg o , e x i s t e c e < 1 , e > t a l q u e : f ' ( c ) = 1 ■* — =© “ I C 6 — i
de don de: c = e -1
8/13/2019 Problemas y ejercicios de Análisis Matemático Tomo 1 - FL
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S e n 3 x 2 S e n 3 x i 3 ( x 2 x i ) C o s 3 c , d o n d e : x i c x 2
r r n i E s c r i b i r l a f ó r m ul a d e L ag r an ge p a ra l a f u n c i ó n y = x ( 1 - ln x )
e n e l i n t e r v a l o [ a, b j . .
Soluc ión. S i f ( x ) = x ( 1 - l n x ) -*• f ’ ( x ) = x ( 0 - l ) + ( 1 - l n x ) = - l n x
S i e n d o f c o n t i n u a e n [ a , b ] y d e r i v a b l e e n <a , b >, p o r
e l t e o r e m a de L a g r an g e , e x i s t e c e < á , b > t a l q u e :
' f , ( c ) = f ( b ) - f ( a ) + _l n c = b (1 - l n b ) - a (1 - , lna),_ D-a d- ci
d e d o n d e : a ( 1 - l n a ) - b ( 1 - l n b ) = ( b - a ) l n c
K J K j E s c r i b i r l a f ó r m u l a de L a gr a n ge p ar a l a f u n c i ó n
y = a r c S e n 2 x en e l i n t e r v a l o ' [ x o >x o+ Ax j .p
S o l u c i ó n , S i f ( x ) = a r c S e n 2 x f ' ( x ) =/ l - ¿ x 2
de do de: c e
M e d i a n t e l a f ó r m u l a d e L a g r a n g e d e m o s t r a r l a s d e s i g u a l d a
d e s : 4 l n ( ^ ) , p a r a 0 <b^a
De.moittiación. En e f e c t o , s u po n g am o s q u e : f ( x ) = l n x + f ' ( x ) = 1 / x
D ad o q u e 0 < b <a , l a s d o s p r i m e r a s h i p ó t e s i s d e l
t e o r e m a d e L a g r an g e s e c u mp l e n, e n t o n c e s , e x i s t e c e < b , a > t a l q ue
f l ( c ) = + 1 = l . n a - l n b > d e d o n de ; l n ( a } = a ^b ( 1 )
S i c e< b, a> + b < c < a -*• — < 1 < 4 (2)a c b
S i e n d o a ^b a - b ^0 , m u l t i p l i c a n d o ( 2 ) p o r a - b s e t i e n e :
ab a — b ab t * \ a — b -> / a \ ci—b — « — * — > luego, en (1): — « ln(f) ^ ^
496 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
t Ele E l M e d i a n t e l a f ó r m u l a d e L a gr a n g e d e m o s t r a r l a s d e s i g u a l d a
d e s : -- - - - - <Tana-TanB < ■■ , s i en do 0<B <cK tt/ 2C o s 2 6 C o s 2 a
dcmost/iac¿ón. En e f e c t o , s e a l a f u n c i ó n f ( x ) =T a n x + f ' ( x ) = S e c 2 x
L a f u n c i ó n f e s c o n t i n u a y d e r i v a b l e e n <0 , tt/ 2>
\ f ( a ) - f ( B ) c 2 Tana-TanB* 3 c e < B, c t > / f 1 ( c ) = ->• S e c c = -------------------a-B a -B
de don de : T ana-TanB = ■a ■ ( 1 )C o s 2 c
Si ce<B,ct>•+■ B<c<a -*■ Cosa < Cose < CosB
1 . 1 _ ■ 1 (2 )C os 2B C os 2c Co s 2a
Como: 6< a -> a -B ^O • M u l t i p l i c a n d o ( 2 ) p o r ( a - B ) s e t i e n e :
s ...üzL. * ^ Tana-TanB «C o s 2B C o s 2c C o s 2a C o s 2 B C o s 2a
P a r a a >b d e m o s t r a r m e d i a n t e l a f ó r m u l a d e L a g ra n g e l a v a
l i d e z d e l a s . d e s i g u a l d a d e s :
n b n ” 1 ( a - b ) < an - b n < na n _ 1 ( a - b )
s i n> 1 , y l a s d e s i g u a l d a d e s o p u e s t a s , s i n<1
de.rn.0At/iac ión. En e f e c t o , s e a f ( x ) = x n -*• f ' ( x ) = n x n ^
L a f u n c i ó n f e s c o n t i n u a e n [ b , a j y d e r i v a b l e e n
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 497
e l l a l a f ó r m u l a de La g r an g e en e l i n t e r v a l o [ b , ir ] :
f ( x ) - f ( 0 ) = x f ' ( c ) ( 0 <c<x)
1 1 1o b t e n d r e m o s : x 2S e n — = x ( 2 c S e n — - C o s—)
1 1 1i ie d o n d e : C o s— = 2 c S e n — - x S e n — . H ac e m o s a h o r a q ue x t i e n d a aC C X n
c e r o , e n e s t e c a s o c t a m b i é n t e n d e r á a c e r o , y de e s t e m od o l l e
g am os a : l i m Cos - = 0 . E x p l i c a r e s t e r e s u l t a d o p a r a d ó g i c o . c +0 c
explicación. C u an d o x t i e n d e a c e r o , c t i e n d e a c e r o t o m an d o no
t o d o s l o s v a l o r e s i n t e r m e d i o s s i n o t a l s u c e s i ó n de
é s t o s p a r a l a c u a l C os -jj t i e n d e a c e r o .
¿XxA p l i c a n d o l a f ó r m u l a : f ( x 0+ Ax ) = f ( x 0 ) + f ' ( x o + ^ ) &x
a l a f u n c i ó n f ( x )= a r c T a nx en e l i n t e r v a l o [ 1 , 1 . 1 ] , h a l l a r
e l v a l o r a p r o x i m a d o d e a r c T a n l . 1
Solución. f ( x ) = a r c T a n x * f ' ( x ) =
f ( x o + A x) = f ( 1 + 0 . 1 ) = a r c T a n l . 1
K n to n ce s : a r c T a n l . 1 = f ( 1 ) + f ' ( l + - ^ - b ( O . l )
= arcTanl + ( -------- ----------) ( 0 . 1 ) = y + 0 . 0 4 81+( 1 .0 5)2 4
/ . arcTanl - . 1 = 0 . 83 3
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< b , a > . P o r e l t e o r e m a d e L a g r a n g e : 3 c e < b , a > / f 1 (c ) = -
n -1 a n - b n / n - 1 n , n / \■+ nc= —— r- * n ( a - b ) c = a - b ( 1 ;
a - b
D ad o q u e c e < b , a > -*• b < c < a
P a r a n >1 , o s e a : n - 1 > 0 s e t i e n e : bn ^ < cn < a11 ( 2)
S i a >b -*• a -b >0 , l u e g o : n ( a - b ) > 0
M u l t i p l i c a n d o p o r n ( a - b ) l a s d e s i g u a l d a d e s ( 2 ) o bt e n e mo s :
n a n - 1 ( a - b ) < n ( a - b ) c n _ 1 < n ( a - b ) b n -1
L u e g o, s e gú n ( 1 ) : n a11 ^ ( a - b ) < an - b n < n b n ^ ( a - b )
j x 2Sen (^) , para x O
|_ 0 , p a r a x =0
E s d e r i v a b l e p a r a c u a l q u i e r v a l o r d e x. E s c r i b am o s p ar a
A n a l i c em o s l a f u n c i ó n : f ( x )
E n l o s e j e r c i c i o s 1 13 7- 11 4- 1 a p l i c a n d o l a f ó r m u l a:
f ( x o + A x ) = f ( x o ) + f 1 ( x o + ^ f ) A x
c a l c u l a r l o s v a l o r e s a p r o x im a d os d e l a s e x p r e s i o n e s q u e s e i n
d i c a n .
arcSenO. 54
Solución. S e a f ( x )= a r e Se n x ■+ f ' ( x ) = — -------/ T T 2
S i x 0 = 0 . 5 y A x = 0 . 0 4 , s e t i e n e :
( ' ( 0 . 5 + 0 . 0 4 ) - f ( 0 . 5 ) + f 1 ( 0 . 5 + 0 . 0 2 ) ( 0 . 0 4 )
- arcSeni + (---- ----- )(0.04) - t + 0.04761 - ( 0 . 5 2 )2 6
. *. f ( 0 . 5 4 ) = 0 . 5 7 1 1
498 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
L o g1 1 . C om p ar a r c o n l o s d a t o s t a b u l a r e s .
1 1
Solución. S e a f ( x ) = l o g x f ' ( x ) = (]_n - jo)
H a c i e n d o : x 0 +A x = 1 0+ 1 , s e t i e n e :
f ( 1 0 + 1 ) - f { 1 0 ) + f T (10 + ^ ) ( 1 ) = f ( 1 0 ) + f 1 ( 1 0 . 5 )
. -. Log 11 = lo g io + ( i^ Tó) ("toTT) = 1+ 0 *4 U 3 = 1 -0414-3
En u na t a b l a d e l o g a r i t m o s h a l l a m o s : L o g 1 1 =1 . 0 ¿ 1 3 92
Q £ £ J l n ( x + / l + x 2 ) p a r a x = 0 . 2 R p ta : 0 . 1 9 9 0
l o g 7 , s a b i e n d o q u e l o g 2 = 0 . 3 0 1 0 y l o g 3 = 0 . ¿ 7 7 1 . C o mp ar ar
e l r e s u l t a d o c on l o s d a t o s t a b u l a r e s .
Solución. S i f ( x ) = l o g x -*• f ' ( x ) = ( Xn 10^ ^
f ( 7 ) = f ( 6 + 1 ) -*■ x 0 = 6 y A x= 1
-> f ( 6 +1 ) = f ( 6 ) + f ' C 6 + i ) ( 1 ) = f ( 6 ) + f 1 ( 6 . 5 )
- f ( 7 ) - l o g ó + ( x ~ f o ) ( - g fj ) = l o g 2 + l o g 3 + ( 6 > 5 i n 1 0 )
l o g 7 = 0 . 3 0 1 0 + 0 . ¿ 7 7 1 + 0 . 0 6 6 8 = 0 . 8 ¿ ¿ 9
' n i l o g 6 l . Co mp ar ar e l r e s u l t a d o co n l o s d a t o s t a b u l a r e s .
1 1Solución. S e a f ( x ) = l o g x •+■ f ' ( x ) = (^ ^ ^ q) ( —)
T o ma n d o: x - = 6 0 y x = 1 s e t i e n e :
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 499
2.4 COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EN UN INTERVALO
U £ j J M o st r ar q ue l a f u n c i ó n y = 2 x 3+ 3 x 2 - 1 2 x +1 d e c r e c e e n e l i n
t e r v a l o < - 2 , 1 > .
úamoAt/iación. En e f e c t o , s e a f ( x ) = 2 x 3 + 3x 2 - 12 x +1
f ’ ( x ) = 6 x 2 + 6 x - 1 2
P a ra x = 0 e < - 2 , 1 > se t i e n e : f ’ ( 0 ) = - 1 2 <0
S e gú n e l t e o r e m a ¿ . 6 , f e s d e c r e c i e n t e s o b r e < - 2 , 1 >
M o s tr a r q ue l a f u n c i ó n y = / 2 x - x 2 c r e c e e n e l i n t e r v a l o
< 0 , 1 > y d e c r e c e e n e l i n t e r v a l o < 1 , 2 > . C o n s t r u i r l a g r á f i
c a d e l a f u n c i ó n .
De.moAtA.ación. En e f e c t o , s e a f ( x ) = / 2 x - x 2 •* f ' ( x ) = —p j ~ ^
P a r a x = 1 / 2 e < 0 , 1 > + f * ( -1) = 1/ 2
/ 2 x - x ‘
1
2 / l - 1 / ¿ / J
E n t o n c e s , p o r e l t e o r e m a ¿ . 5 , f e s c r e c i e n t e s o b r e <0 , 1>
i
> 0
P a r a x = 3 / 2 e < 1 , 2 > •+■ f ' ( | ) = ■ = - — < 0/ 3 - 9 / ¿
L u eg o , f e s d e c r e c i e n t e s o b r e < 1 , 2 > .
L a f u n c i ó n e s r e a l *-*■ 2 x - x 2 > 0
+ x 2 - 2 x < 0 ** 0 < x < 2 -*■ D o m ( f ) = [ 0 , 2 ]
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y
f ( x „+ A x ) = f ( 6 0 ) + f 1 ( 60 + | ) ( 1 ) = f ( 6 0 ) + f * ( 6 0 . 5 )
+ lo g 6 l = lo g6 0 + ( 'x 'n i o ) ('¿ó '1 5 ) = l ° g ' i 0 + l ° g 2 + l ° g 3 + 0 . 0 0 7 2
= 1 + 0 . 3 0 1 0 + 0 . ¿ 7 7 1 + 0 . 0 0 7 2 ^ 1 . 7 8 5 3
C o n fi r ma r qu e ap l i c a n d o l a f ó r m u l a f ( b ) = f ( a ) + ( b - a ) f 1 ( a ^~)
p a r a c a l c u l a r e l l o g a r i t m o d e N + 0 .0 1 N , e s d e c i r , p o n i e n d o
l o g ( N + 0 . 0 1N) = l o gN + — k á ¿ á 2 9 0 . 0 1 a = logN + SLÁ2J£1N + 10 0. 5
c o m e t e m os un e r r o r m e no r q u e 0 . 0 0 0 0 1 , e s d e c i r , o b t e n e m o s c i n c o
c i f r a s e x a c t a s d e s p u é s d e l a c om a s i e s q u e l o g N v i e n e d a do c o n
c i n co c i f r a s e x a c t a s .
Pa ra x=0 •* y =0x =1 -*• y =1
x = 2 -*• y =0
L a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s u n a s e m i c i r c u n f e r e n c i a .
m ¡ j M o st r ar qu e l a f u n c i ó n y = x 3+x c r e ce p or t o d a s p a r t e s
De,mo¿tn.ación. En e f e c t o , s i f ( x ) = x 3 +x -*■ f ' ( x ) = 3 x 2 +1
Da do qu e f e s c o n t i n u a y d e r i v a b l e e n t o d o s u d o
m i n i o , e n t o n c e s , p a r a x> 0 y p a r a x< 0 , s i e m p r e f ' ( x ) > 0 .
En c o n s e c u e n c i a , . p o r e l t e o r e m a ¿ . 5 , l a f u n c i ó n e s c r e c i e n t e e n
t o d a s p a r t e s .
1146 M o st r a r qu e l a f u n c i ó n y = a r c T gx - x d e c r e c e p o r t o d a s p a r t e s
500 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
x 2de.moiin.ac.Un., En e f e c t o , s i f ( x ) = a rc T an x - x + f ' ( x ) = - ----- -
1+ x¿
L a f u n c i ó n f 1 e s n e g a t i v a t a n t o p a r a x >0 c omo p a
r a x < 0, e s t o , e s , f ' ( x ) < 0 , V xe D om ( f ) . P o r t a n t o , l a f u n c i ó n f e s
d e c r e c i e n t e p o r t o d a s p a r t e s .
r r m M o s t r a r q ue l a f u n c i ó n y = -x c r e c e e n c u a l q u i e r I n t e r
v a l o q u e n o t e n g a a l p u n t o x = 0 .
Demo-it/iac¿6n. E n e f e c t o , s i f ( x ) = x - — * j- 1 ( x ) - 1 + —-
V e m o s q u e l a s f u n c i o n e s f y f 1 t i e n e n u n p u n t o d e
d i s c o n t i n u i d a d e n x = 0. , ad e m á s, l a f u n c i ó n f 1 e s p o s i t i v a p a r a x >0
y p a r a x <0 ; en c o n s e c u e n c i a , l a f u n c i ó n f e s c r e c i e n t e p or t o d as
p a r t e s e x c e p t o e n e l p u n t o x = 0 .
M o s t r a r q u e l a f u n c i ó n y = S e n ( x +— v a r í a d e ma n e ra m on ó- • l i Ü J S e n ( x + b )
t o n a e n c u a l q u i e r i n t e r v a l o q u e n o e n c i e r r e p u n t o s de d i s
c o n t i n u i d a d d e l a f u n c i ó n .. . S e n ( x + b ) C o s ( x + a ) - S e n ( x + a ) C o s ( x + b )
De.mo-it/iací6n. En e f e c t o , f ^ x ) -------------------------- — —■ ■S e n ( x + b )
+ f i (x ) Se n^ x + b)~^x+ a^ =e n ( b - a )
S e n 2 ( x + b ) S e n 2 (x+b)
E l d e n o m i n a d or e s p o s i t i v o V - x e Do i n( f ) , y , e l n u m er a d o r e s p o s i t i
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 501
H a l l a r l o s i n t e r v a l o s d e m o no t o n ía de l a f u n c i ó n
y = x ’ - 3 x 2 - 9 x+ 1 4 y c o n s t r u i r l a g r á f i c a e n e l i n t e r v a l o <-2,i> s i g u i e n d o s u s p u n t o s .
Soluci&n.. f 1 ( x ) = 3 x 2 - 6 x - 9 = 3 ( x + 1 ) ( x - 3 ) ( 1 )
S e g ún e l t e o r e m a 4 . 7 , s i f ' ( x ) = 0 + X x= - 1 y x 2 = 3 s o n
l o s p u n t o s c r í t i c o s o e xt r e mo s de l a f u n c i ón f , e n t o n c e s l o s i n
t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n : < - o o, _ i > , < - 1 , 3 > , <3 ,+o»>
E l i g i e n d o u n p u n to e n c ad a i n t e r v a l o y s u s t i t u y e n d o e n ( 1 ) o b t e
n em os e l s i g n o d e f ' ( x ) , e s t o e s :
S i x = - 2 e < - " , - 1 > f ' ( - 2 ) = 3 ( - 1 ) ( - 5 ) = 1 5>0 f e s c r e c i e n t e
x= 0e <- 1 , 3> ■* f 1 ( 0 ) = 3 ( 1 ) ( - 3 ) = - 9< 0 + f e s d e c r e c i e n t e
x = 4 e < 3 ,+ “ > f 1( 4) =3( 5) ( 1 ) = 15> 0 -*■ f e s c r e c i e n t e
P ar a t r a z a r l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n
c o n s t r u i m o s u na t a b l a d e v a l o r e s t e
n i en d o e n c u en t a l o s i n t e r v a l o s de
m o n o to n í a de l a f u n c i ó n :
< - 2 , - 1 > U < - 1 , 3 > U < 3 , 4 >
X -2 -1 0 1 2 ' 3 4
y 12 19 14 3 -8 -13 -6
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E l d e n o m i n a d or e s p o s i t i v o V x e Do i n( f ) , y , e l n u m er a d o r e s p o s i t i
v o s i ( b - a ) e 10,tt | y n e g a t i v o s i (b - a ) e < i r , 2ir> E n c o n s e c u e n c i a , l a
f u n c i ó n c r e c i e n t e y d e c r e c i e n t e e n c u a l q u i er i n t e r v a l o e n q ue
(x+b)¡¿kir , k=0 , 1 , . .
U R i l D e m o s t r ar l a d e s i g u a l d a d Ta nx- 2- > s i e n d o 0< xx <x 2< tt/ 2T a n x i x i
• ¿-i \ TanxD e m o s t r a c ió n . En e f e c t o , s e a l a f u n c i ó n f ( x ; = x
y s e a n X i , x 2 e < 0 , tt/ 2 >
S i x x . x 2e f - f ( x x ) = ^ p y f ( x a ) = ^
D ad o q u e l a f u n c i ó n T a n g e n t e e s c r e c i e n t e e n < 0, t t / 2 > , e n t o n c e s
s e g ú n l a d e f i n i c i ó n 4 . 4.: xx < x 2 + f ( x i ) < f ( x 2 )
TanXl < Tanx2 , i Tanx2 > x¿_Xx x 2 Tanx i xj
H a l l a r l o s i n t e r v a l o s d e m o n ot o n ía de l a f u n c i ó n :
f (x )= x h -2 x 2-5
Soíuci&n. f ' ( x ) = 4 x 3 - 4 x = 4 x ( x + l ) ( x - 1 ) ( 1 )
S i f 1 ( x ) = 0 •+ x =0 , x = - 1 , x= 1 , s o n l o s p u n t o s c r í
t i c o s d e l a f u n c i ó n f , y l o s i n t e r v a l o s d e m o n ot o n ía s o n:
<-CO, - 1 > , < - 1 , 0 > , <0 , 1 > , < 1 ,+°o>
K l i g i e n d o u n v a l o r e n ca d a i n t e r v a l o y s u s t i t u y e n d o e n ( 1 ) o b t e
n em os e l s i g n o d e f ' ( x ) , e s t o e s :
S i x = - 2 e < -«>, - 1 > + f 1 ( - 2 ) = ( - ) ( - ) ( - ) =-. - <0 -*■ f e s d e c r e c i e n t e
x = - 1 / 2 e < - 1 , 0 > + f 1 ( - 1 / 2 ) = ( - ) ( + ) ( - ) = + >0 + f e s c r e c i e n t ex = 1/ 2 e < 0 , 1 > + f 1 ( 1¡2) = ( + ) ( + ) ( - ) = - <0 + f e s d e c r e c i e n t e
x = 2 e< 1 , +°°> ■+■ f ' ( 2 ) = ( + ) ( + ) ( + ) = + >0 ■+■f e s c re ci en te
502 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
En l o s e j e r c i c i o s 1 1 52 - 1 16 4 h a l l a r l o s i n t e r v a l o s d e m o no t o
n í a d e l a s f u n c i o n e s
ÍIEE1 y = (x2)5(2x+1 )"
Solución. f ' ( x ) = ( x - 2 ) 5 [ 4 ( 2 x + 1 ) í ( 2 ) J + ( 2 x + 1 ) ‘* [ 5 ( x - 2 ) ‘*]
= ( 2 x + 1 ) 3 ( x - 2 ) ‘, [ 8 ( x - 2 ) + 5 ( 2x + 1 )]
= ( 2 x + 1 ) 3 ( x — 2 ) ■*(1 8 x — 1 1 ) ( 1 )
S i f ' ( x ) = 0 x=1/2. , x = 1 1 / 1 8 , x= 2 so n l o s p u n t o s c r í t i c o s y
l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n :
< - “ » - 1 / 2 > , < - 1 / 2 , 1 1 / 1 8 > , < 1 1 / 1 8 , 2 > , <2 , + » >
E l i g i e n d o u n v a l o r d e x e n c a d a i n t e r v a l o y s u s t i t u y e n d o e n ( 1 )
o b t e n e mo s :
S i x = - 1e < - “ , - 1 / 2 > -v , f * ( _ l ) = ( _ ) ( + ) ( _ ) = t + f e s c r e c i e n t e
x = 0 e < - 1 / 2 , 1 1 / 1 8> ■*■ f 1 ( 0 ) = ( + ) ( + ) ( - ) = - f e s d e c r e c i e n t e
x = 1 e< 1 1 / 1 8 , 2 > f ’ ( 1 ) = ( + ) ( + ) ( + ) = + -*■ f e s c r e c i e n t e
x = 3 e < 2 , +° >> -*■ f ' ( 3 ) = ( + ) ( + ) ( + ) = + ♦ í e s c r e c i e n t e
Q g j g ] y = 3/ ( 2 x - a ) ( a - x ) , a >0
Solución. D e r i va n d o l a f u n c i ó n o b t e n em o s :
f ' ( x ) ------------2 ( ^ a~-3?Ü---------3 3/ ( a - x ) ( 2 x - a ) 2
P a r a f ' ( x ) = 0 2 a - 3 x = 0 -*-»• x = 2 a / 3
f 1 ( x ) =“ a - x =0 ó 2 x - a =0 -<-*■ x=a ó x=a / 2
S<cción 2: Aplicación de la primera derivada 503
ft(ir) - 2 ( x +1 ) ( x - 1 )
(1+X+X2)2
S i f ' ( x ) = 0 -*■ x =- 1 ó x =1 s on l o s p u n t os c r í t i c o s de l a f u n c ió nI n t e r v a l o s d e m o n o t on í a : < -= » ,- 1 > , < - 1 , 1 > , < 1 ,+a>>
S i x = - 2 e < - ° ° , - 1 > ■* f ' ( - 2 ) = — — — — 1 = + -»• f es c r e c i e n t e( + )
x= 0 e < - 1 , 1 >f 1 ( 0 ) = lLLLÍ zI = - ■+■ f e s d e c r e c i e n t e( + )
x =2 e< 1 , + »> ' + f ’ ( 2 ) = f e s c r e c i e n t e( + )
B E S y = - — 10
4 x 3 - 9 x 2 +6 x
Solución. D er iv a nd o s e t i e n e : f ’ ( x) = - ~ P ( ) ( x~~Ux 2 ( 4 x 2 - 9 x + 6 ) 2
S i f * ( x ) = 0 x = 1 / 2 ó x =1 , y s i f ' ( x ) = ° ° -*■ x =0
Lo 8 i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n :
< - ° ° , 0 > , <0 , 1 / 2 > , < 1 / 2 , 1 > , < 1 ,+»>
S i x = - 1 e < - “ >, 0 > + f 1 ( —1) = — —Lí — 1 s _-*■f e s( + ) ( + )
x = 1/ 4 e < 0 , 1 / 2 > -*■f 1 (1 /4-) = — —Lí — ) = • + f e s d e c r e c i e n t e( + ) ( + )
x = 3 / 4 e < 1 / 2 , 1 > •* f ' (3 /4 ) = ^^ ^ } = + + f e s c r e c i e n t e( + ) ( + )
x =2 e < 1 ,+°°> -*• f ' ( 2 ) = 60 ( -I-) (+ ) - -> f e s d ec re c i e n t e
8/13/2019 Problemas y ejercicios de Análisis Matemático Tomo 1 - FL
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L u e g o , l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n :< - » , a / 2 > , <a/ 2 , 2 a / 3 > , < 2 a / 3 , a> , < a ,+“>>
■S i x = 0 e < - “ , a / 2 > * f ' ( 0 ) = ------ — = + -*■ f e s c r e c .3 3/ ( + ) ( - ) 2
x = 7 a / 1 2e < a / 2 , 2 a /3 > £ '( ■? §) = — ^ ¿ L = r = + f e s c r e c1 2 3 V ( + ) ( + ) 2
x = 5 a / 6 e < 2 a / 3 , a> + f ' ( x a ) ----------= - ■*• f es dec reC :6 3 3/ ( + ) ( + ) 2
x = 2 a e<a ,+°°> -*■ f ' ( 2 a) = ------^ ........... — = + f e s c r e c i e n t e3 * / ( - ) ( + ) *
g n ri y = l- *+x21 + x + x2
So¿ución. D e r i v an d o l a f u n c i ó n o b t e n em o s :
x 2 e < 1 ,+ > f ( 2 ) 60 ( I ) (+ ) _ > f e s d ec re c i e n t e( + ) ( + )
m ¿ | y = x - e x
Solución. f ' ( x ) = 1 - e x
Si f ' (x ) =0 + ex =1 +■+ x=0
I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < - c ° , 0 > , < 0, +t » >
S i x = - 1 e < - ° ° , 0 > f * ( —1 ) - 1 - e 1 > 0 f e s c r e c i e n t e
x = 1e < 0 , +<»> ■+ f 1 ( 1 ) = 1 - e < 0 f e s d e c r e c i e n t e
D E J y = x 2 e - x
Solución. f 1 (x ) = x 2 ( - e ' x ) + e _ x ( 2 x) = - x e ‘ x ( x - 2 )S i f ' ( x ) = 0 -*■ x =0 ó x =2
504 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < - c» , 0> , < 0 , 2 > , < 2, +° ° >
S i x = - 1 £<- =>, 0> f * ( - 1 ) ' = - ( - ) ( + ) ( - ) = - f e s d e c r e c i e n t e
x = 1 e < 0 , 2 > f 1 ( 1 ) = - ( + ) ( + ) ( - ) = + -*■ f e s c r e c i e n t e
x = 3 e < 2 , +“>> + f ' ( 3 ) = - ( + ) ( + ) ( + ) = "+ + f es cr ec ie n te
xy " lnx
Solución. f (x ) = + 3f +•+ x>0, x/í1
E n t o n c e s : D o m ( f ) = < 0 , + “ > - {' 1 }
D e r i va n d o l a f u n c i ó n o b t e n e m os : f 1 (x ) = ±£HL_1l n 2 x
S i f ' ( x ) = 0 > l n x = 1 +-+ x =e
f ' ( x ) = > -*• l n x =0 -*-*■ x =1 ( p u n t o d ed i s c o n t i n u i d a d )
L o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n : < 0 , 1 > , < 1 , e > , < e, +° ° >
S i x = 1 / 2 e < 0 , 1 > ■+■ f * ( 1 / -2 ) = Sz} f e s d e c r é c i e n t e( + )
x = 2 e < 1 , e> f ' ( 2 ) = - i i i = - f e s d e c r e c i e n t e( + )
x = 3 e < e , + “>> f ' ( 3 ) = — ==+ * f e s c r e c i e n t e( + )
y = 2 x 2 - l n x
S o l u c i ó n . f ( x ) = 2 x 2 - l n x -*• 3 f +-»• x >0 ■* Do m( f) =<0,+ “>>
f ■ (x ) = (2x - D ( 2 x +-Q
1159
1158
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 505
/7J-Si x=Ti /4 e <0 ,Tr/3 > . * {'(u/i) = 1 - 2 ( — ) = - . • * • f e s d e c r e c i e n t e
x = 2i r / 3 e <7 T / 3, 5 i r / 3> f ' ( 2 i r / 3 ) = 1 - 2 ( ^ ) = + + f e s c r e c i e n t e
x = 7ir/4e< 5w/3. 2tt> -*■ í *1 ( 7 t t / 4-) = 1 - 2 ( í | ) = - * f e s d e c r e c .
Q j ] y = 2 Se nx +C os 2x , 0< x<2 tt
Solución, f ' ( x ) = 2 C o s x - 2 S e n 2 x = 2 C o s x ( 1 - 2 S e n x )
S i f ' ( x ) = 0 ■*-*■ C o s x =0 ó S e n x = 1 / 2
Cosx=0 ■*-*■ x = 7r / 2 ó x=3tt/2
S e n x = 1 / 2 +-*■ x =,rr / 6 ó x = 5 n / 6
L u e go , l o s i n t e r v a l o s d e m o n oy o n ía s o n :
<0,t t/ 6> , < tt / 6 , i t / 2 > , < tt /2 ,57 t /6> , ’} n / 2 > , < 3 t t / 2 , 2 it>
: ! i x = 7 t / 1 2 e < 0 , i r / 6 >f ' ( w / 1 2 ) = 2 ( + ) ( + ) = + •* f e s c r e c i e n t e
x= ir /3e<Tr/6 , i r /2>-*• f ' ( i r /3') = 2 ( + ) ( - ) = ■ - - * ■ f e s d e c r e c i e n t e
x = 2 h / 3 £<tc/2 , 5t / 6 > -> f 1 ( 2t t/ 3 ) =2 ( —) ( - ) = + -*• f e s c r e c i e n t e
x=tte< 5 tt /6 , 3u/2> f ' ( 7r) = 2 (—) (+ ) = - f es de cr ec ie nt e
x=5tt /3e< 3it/ 2 , 2tt> f • ( 5 /3) = 2 ( + ) ( + ) = + f e s c r e c i e n t e
y=x+Cosx
Solución. f ! ( x ) = 1 - S e n x
S i f ' ( x ) = 0 S e nx = 1 x =tt/ 2
I n t e r v a l o s d e m o n o t o n ía : < 0 , u / 2 > , <tt/ 2 , 2 7 i>
S i x = t r / 3 £ < 0 , i r / 2> + f 1 ( i r / 3 ) = 1 - 1 / 2 = 1 / 2 > 0 + f e s c r e c i e n t e
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S i f ' ( x ) = 0 + x = 1 / 2 ó x = - 1 / 2 i D o m ( f )
f i ( x) = « > -*• x =0 ( P un t o d e d i s c o n t i n u i d a d )
I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < 0 , 1 / 2 > , < 1/ 2 ,+ =» >
S i x = 1 / 4 e<0 , 1 / 2 > -> f ' ( 1/ 4. ) = f e s d e c r e c i e n t e( + )
x = 1e < 1 / 2 , +<»> ■* f ' ( 1 ) = i - t l l i i = + * f e s c r e c i e n t e( + )
y = x - 2 S e n x , x e [ 0 , 2 ttJe*
So tación. f 1 ( x ) = 1 - 2 C o s x
S i f ' ( x ) = 0 -*• 1 - 2 C o s x = 0Cosx = 1/2 -«-» x =tt/ 3 ó x =5 tt/ 3
I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < 0 ,7 r / 3> , < i r / 3 , 57 i / 3 > , < 5 ^ / 3 , 2 n >
1160
x=5’t / 6e <h /2 , 2 ir> f 1 ( 5 ^ / 6 ) = 1 - 1 / 2 = 1 / 2 > 0 ■* f e s c r e c i e n t e
P or t a n t o , l a f u n c i ó n f c r e c e d e ma ne r a m o nó t on a .
B E 9 y = l n ( x + / l + x 1 )
Solución. D e r i v a n do l a f u n c i ó n o bt e n e m o s:
f ' ( x ) - 1
/ 1 + x 2
V em os q u e f ' ( x ) > 0 , ¥ x £ Ü o m ( f ) -*• f c r e c e d e m a n e ra m o nó t o n a.
y = x / a x - x 2 ( a > 0 )
Solución. D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f ' ( x ) = ,.x ^ 3a - 4 x )2 / a x - x 2
506 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
La fu nc ió n f es re a l -*-*• ax -x 2>0 *-*■ 0<x<a Don ( f ) - Q) , a ]
S i f ' ( x ) = 0 x =0 ó x = 3 a / 4
f 1 (x)=»> •*■ x =0 ó x=a
L u eg o , l o s i n t e r v a l o s de m o n o to n í a s o n : < 0 , 3 a / 4 > , < 3 a / ¿ , a >
S i x = a / 2 e < 0 , 3 a / 4 > + f ' ( a / 2 ) = + > 0 -*■ f e s c r e c i e n t e
x=7a/8e<3a/4,a> -»• f'(7a/8) = - l i l i l í = - + f e s d e c r e c i e n t e( +)
En l o s e j e r c i c i o s 1 1 65 - 11 8 4 h a l l a r l o s v a l o r e s e x tr e m os d e
l a s f u n c i o n e s .
Q £ £ | y =2 x 3- 3 x 2
Solución. f '( x ) = 6 x 2-6x = 6 x ( x - 1 )
S i f ' ( x ) = 0 + x =0 ó x =1A n a l i ce m o s e l c o m po r t am i e n to d e l a f u n c i ó n f ' ( x ) e n l o s e n t o r n o s
a l o s v a l o r e s c r í t i c o s x =0 y x =1
S i x = - 1 e < - oo, 0 > -*• f 1 ( —1) = 6 ( - ) ( - ) = + + f ' ( - 1 ) > 0
x =1 / 2 e < 0 , 1> + f 1 ( 1 / 2 ) = 6 ( + ) ( - ) = - - f 1 (1 / 2 ) < 0
x= 2 e< 1 , +»>> + f ' ( 2 ) = 6 ( + ) ( + ) = +-*-f ' ( 2 ) > 0
S e g ú n e l t e o r e m a 4 . 8 , p a r a x = 0 l a f u n c i ó n t i e n e u n m á x i m o ,
y p a r a x =1 l a f u n c i ó n a l c a n z a u n mí n im o .
L u e g o , s i x = 0 ■+ y ma x= 2 ® 3 —3( 0) 2 = 0
* = 1 * yrain=2 ( l ) 3 - 3 ( 1 ) 2 = - 1
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 507
x 2 + x +1
Solución. f ' ( x ) = --------( x 2 + x + 1 ) 2
S i f ' ( x ) = 0 x =0 ó x = -2 ( V a lo r e s c r í t i c o s )
I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : - 2 > , < - 2 , 0 > , < 0 , +" >
A n a l i c e m o s e l c o m p o r ta m i e nt o d e f ' ( x ) e n l o s e n t o r n o s d e l o s v a
l o r e s c r í t i c o s .
S i x = - 3e < - ° ° , - 2 > + f » ( - 3 ) = —
“Mínimo en x=0
x = - 3 e< - ° ° , - 2 > ->■ f ' ( - 3 ) = ' = - .
( + > > M Í
s = - 1e < - 2 , 0 > f * ( - 1 ) = + = + ^
^+ Máximo en x=0
x = 1e < 0 , +« > + f ' d ) = .zitlLt). = - ^( + )
P o r t a n t e : y . = = | ; y = M ü = ¿m l n ( - 2 ) 2 + ( - 2 ) + 1 3 max 0 +0+ 1
y = 3/ c 3 - 3 x 2 +8
Solución. f ' ( x ) = ■ x ( x - 2 j ----- ( 1 )3/ ( x 3 - 3 x 2 + 8 ) 2
S i f ' ( x ) = 0 x =0 ó x= 2 ( V a l o r es c r í t i c o s )
I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < - °° , 0 > , < 0 , 2 > , < 2, +■ »>
A n a l i c e m o s , e n ( 1 ) , e l . c o m p or t a m ie n t o d e f ' ( x ) e n ca d a i n t e r v a l o
8/13/2019 Problemas y ejercicios de Análisis Matemático Tomo 1 - FL
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J J J J J y = 2 x 3 - 6 x 2 - 1 8 x + 7
Solución. f 1 ( x ) = 6 x 2 - 1 2 x - 1 8 = 6 ( x + 1 ) ( x - 3 ) ( 1 )
f ' ( x ) = 0 X =- 1 ó x = 3 ( V a l o r e s c r í t i c o s )
L o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n : <- <*>, - 1 > , < - 1 , 3 > , < 3, +“>>
E l i g i e n d o v a l o r e s d e x e n l o s e n t o r n o s a l o s v a l o r e s c r í t i c o s y
s u s t i t u y e n d o e n ( 1 ) ob t e n e m o s e l s i g n o d e l a d e r i v - a d a, e s t o e s :
S i x = - 2e < - ° °, - 1> -*• f 1 ( —2) =6 ( - ) ( - ) = + -Máximo en x=-1
x=0e<-1, 3> -*• f ' (0) = 6( + ) (-) = -Mínimo en x=3
x=4e<3,+° °> + f *(4-) = 6 ( + ) ( + ) = . +
L u e go , y mfi x = 2 ( - 1 ) 3 - 6 ( - 1 ) 2 - 1 8 ( - 1 ) + 7 = 1 7
y = 2 ( 3 ) 3 - 6 ( 3 ) 2 - 1 S ( 3 ) + 7 = - 4 7
Si x = - 1 e < - « , 0 > f » ( - 1 ) = S íll = +
K=1e < 0 , 2 > -> f ' ( x ) = l i l i l í
^ M á x i m o e n x =0
( + ) \
+ )( + ) .
' Mínimo en x =2
x= 3 e < 2 , + » > -*•f 1 (x ) = ( + ) = +( + )
P o r t a n t o : y m a x = 3/ 8 = 2 ; y min = 3/ 8 - 1 2 + 8 = 3/ J
r r m 1l iufcl y = ---------------------------
l n ( x ‘* +4 x 3 + 3 0 )
S o lución. f 1 ( x ) ----------- --------- - 4 x 2 ( x + 3 ) -----------------
(x 1,+4 x3+ 30 ) l n2 ( x ‘*+4x3+30)S i f ' ( x ) = 0 ■* x =0 ó x = - 3 ( V a l o r e s c r í t i c o s )
I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < - o0 j _ 3 > ( < -3 ,0> , < 0 ,+<»>
508 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
A n a l i c e m o s e l c o m p or t a m ie n t o de f ' ( x ) e n c a d a i n t e r v a l o .
Si x=-4e<-“.-3> *f 1 (x) = ZÜ rj — bi = + ^>Máximo en x=--3
x=- 2e<-3 .0> +f 1 (-3 ) = -LAlrU JJ = -( + H + ) ^> ^M áx im o ni mínimo
x= 1e<0, +°°> -*■ f i (1) = -lÜ lLlí l = -( + ) ( + )
Obsérvese que en el entorno de x =0 la derivada no cambia de signo,
f'(x)< 0 en xe<-3 ,0>U<0 ,+«», por.esta razón la función no tiene má
ximo ni mínimo en x=0, es decir, la función decrece de manera mo
nótona.1 1
E n t o n c e s , s i x=-3 * -------------r =max ln(81 -10 8+3 0) ln3
= - x 2 / x 2 +2
Solución. f ' ( x ) = - x ( 33l l ! ,/ I/x 2+2
S i f ' ( x ) = 0 ■* x =0 ( U n i co v a l o r c r í t i c o )
Si x= -1 e< -£°, 0> + f ' (-1 ) = - lililí = +
( + ) ^ > M á
x= 1e<0,+"> + f 1(1) = - {+)(+) - ^
Máximo en x=0( + ) ( + )
( + )
Luego , si x=0 -» ymax=0
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 509
P o d e m o s o b s e r v a r q u e e n e l e n t o r n o d e x = 7 / 6 l a d e r i v a d a d e l a
f u n c i ó n no ca m b ia d e s i g n o , f ' ( x ) > 0 , p o r l o q u e l a f u n c i ó n c r e c e
de manera monótona .
L u eg o , s i x =0 ♦ y = 4 ( 0 ) * . Vo -7 = 0max 3
2in " 3
w i
x = i - = i d ) 2 . 5« ^ = - 2 / 3
U X U y _ ___
9 x / 1 - x
Solución. La fu nc ió n e s re a l -*-*■ 1-x> 0 A x/ 0 -*-► x<1 , x^O
E n t o n c e s : D o m ( f ) = < - " , 1 > - { 0 }
D e r iv a nd o l a f u n c i ó n o b t e n e m os : f ' ( x ) = —2 / J ( 3 x - 2 ) _ 9 x 2 ( 1 - x ) 3/2
S i f 1 ( x ) = 0 x = 2 / 3 , y s i f ' ( x ) = » -*■ T x =0 ¿ Dom(f)f x=0
lx=1 i Dom(f)
L u e g o , l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n : < - <» , 0> , < 0 , 2 / 3 > , < - j , + ro>
S i x = - 1 e < - “ , 0 > + f 1 ( - 1 ) = — — ( - ) 2 ( + ) \
- ) _ X
+ ) * ( + ) \
+ X
No ex i s te máx imo ni
x= • j e < 0 , 2 / 3 > ♦ f'(^) = -— — r = - ^ mínimo.
x = | e < 2 /3 , 1 > f ' ( | )
Mínimo en x=2/3
( + ) * ( ♦ )
Como p o d e m os o b s e r v a r , l a f u n c i ó n d e c r e c e d e ma n e r a m o n ó t on a en
x e < - » , 0 > U < 0 , 2 / 3 > .
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y = yx 2 . V o x - 7
Soiución. f ' ( x ) = 2 8x 3 ( x - I )— 3 V ( 6 x - 7 ) 2
S i f 1 (x )= 0 + x=0 ó x=1 ; f ' (x )=<» -»■ x=7 / 6
I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < - o o, o > , < 0 , 1 > , < 1 , 7 / 6 > , < 7 / 6 , +°°>
S i x = - 1 e < - t», 0> f ' ( - 1 ) = l e l i l í = +
Máximo en x=0( + ) ( - ) _ /x= 1/2e<0,1> f * (1/2 ) = VT'1- - =
x=2e<7/6, +=»> + f ' (2) = *-■* = +( + )
Por t a n to , p ar a x = 2/ 3 + y m4„ = — = 2v n:Ln 6 /1 /3
ma y=—/Z+5 2
Solución. D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f ' ( x ) = —= ~ = = / ( 4 + 5 x 2 ) 3
S i f ' ( x ) = 0 -*• x = 12 / 5 ( Un ic o v a l o r c r í t i c o )
S i x = 1 e < - » , 1 2 / 5 > ♦ f 1 ( 1 ) = I t l = +
Máximo en x=12/5- ) /x = 3 e < 1 2 / 5 , +“ > f ' ( 3 ) = 1 ^ 1 - -
( + )Luego , si x=12/5 + y = 1.13(12/5)_. = / 2 p
/¿+5(12/5)2
510 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
y = 3/ ( x 2 - a 2 ) 2
Solución. D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f ' ( x ) =
_l 2L_
3 ’ / ( x + a) ( x -a )
P ar a f ' ( x ) = 0 x =0 , y p a r a f ' ( x ) = “ > -*• x = - a ó x =a
D a d o q u e e l D o m ( f ) = R , l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n :
< - » , - a > , < - a , 0 > , <0 ,a> , <a,+°°>
S i x = - 2 a e < - " , - a > f ' ( - 2 a ) = - —| \ = -
^ M í n i m o e n x = -a
> Máxi mo e n x =0
x = a / 2 e < 0 , a> ■+ f ' ( a / 2.) - — ^( + ) ( - ) Mínimo en x=aJ ± L _ - , ^
x=2
a e< a, +»> •+• f ' ( 2
a) = ( + ) ( + )
P o r t a n t o , s i x = - a + y m i n =0 : x = 0 ♦ y m a x= 3> ^ r ! x = a - y m i n =0
y = x - l n ( 1+x )
So lución. La fu nc ió n e s r e al ■*■+ 1+ x>0 -«-*■ x>-1
Dom(f) = < -1 ,+">
f 1 ( x ) = 1 - _ — = ■■■x1 w 1 1 +x 1 +x
S i f ' ( x ) = 0 -*• x =0 ( U ni c o v a l o r c r í t i c o )
L ue g o, s i x = - 1 / 2 e < - 1 , 0> + f ’ ( - 1 / 2 ) = —— = -
^+ Mínimo en x=0
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 511
i U U y = ( x - 5 ) 2 . 3/ ( x + 1 ) 2
Solución. D e r i v an d o o b t e n e m o s: f ' ( x ) = ( 2 x - 1)_ 3 3/ x + 1
S i f ' ( x ) = 0 + x=1/2 ó x= 5
f 1 (x )=°° -*■ x =- 1
Como e l D o m ( f ) = R , l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a so n :
< - » , - 1 > , < - 1 , 1 / 2 > , < 1 / 2 , 5 > , < 5 , +°°>
A n a l i c e m o s e l c o m p or t a m i en t o d e l a d e r i v a d a e n c a da i n t e r v a l o :
S i x = - 2e < - ° °, - 1 > + f ' ( - 2 ) = = -
^ ^ ■ M í n i m o e n x =- 1
- ( - ) ( - ) _ ^x = 0 e < - 1 , 1 / 2> + f ' ( 0 ) = .Í111Z1 = +( + )
x = 1 e < 1 / 2, 5 > + f ' ( D = idlll = ¿Mí
=6 c < 5,+”> + f 1(6) = li li lí = +x( + )
L u e g o , s i x=-1 -*• y mi n= ( - 1 - 5 ) 2 . s/ ( - 1 + 1) 2 = 0
x = 1 / 2 + y m a x = ( 1 / 2 - 5 ) 2 - V ( 3 / 2 ) 2 = 1 § - 3*/ TS
x =5 •> y m, n = ( 5 - 5 ) 2 . 3/ ( 5+1 ) 2 = 0
y = ( x 2 - 2 x ) l n x - -lx2+ 4x2
Solución, L a f u n c i ó n e s r e a l ■*-*■ x > 0 -*■ D om ( f ) = < 0 , + “ >
D e r i v a n do o b t e n e m o s : f '2
1) 1)
8/13/2019 Problemas y ejercicios de Análisis Matemático Tomo 1 - FL
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x = 1 e < 0 , + = » + f 1 ( 1 ) = J l i = +
( + )
P o r t a n t o , p a r a x = 0 y . = 0 - l n ( 1 + 0 ) = 0* min
| U y y = x - l n ( 1+ x 2 )
( x - 1 ) 2Solución, D e r i v a nd o o b t e n e m o s : f ' ( x ) - " -1+ x 2
S i f ' ( x ) = 0 + x = 1 ( U n ic o v a l o r c r í t i c o )
P ara x=0e<-°° , 1> f 1 ( 0 ) = - i i i = +
^ J ^> No e x i s t e m áx im o n i m ín im o
x = 2 e < 1 ,+°°> + f ' ( 2 ) = - i í l = +
( + )Co mo f ' ( x ) > 0 , V -x e Do m( f ) , l a f u n c i ó n c r e c e d e m an e r a m o n ó to n a .
(x)'=2(x (lnxS i f ' ( x ) = 0 * x=1 ó l nx =1 -*•x= e
L o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n : < 0 , 1 > , < 1 , e > , < e, +° ° >
A n a li c e mo s e l s i g n o de l a d e r i v a d a e n e s t o s i n t e r v a l o s :
x = 1/ 2 e < 0 , 1 > + f 1 ( 1 / 2 ) ■= 2 ( - ) ( - ) = +Máximo en x=1
x = 2 e < 1 , e> •>f ' ( 2 ) = 2 ( + ) ( - ) = - CTMínimo en x=e
x = 3 e < e, +“ > ■> f ' ( 3 ) = 2 (+■)( +) = +
L u e g o , p a r a 34=1 + ^max^ 2 ' y pa i -a x=e + ymin =
y = ¿ ( x 2 + 1 ) a r c T a n x - t ¡ x 2 -
Solución, D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f 1 ( x ) = x ( a r c T a n x - i r /U)
S i f ' ( x ) = 0 -»• x =0 ó a r c T an x =7r / 4.
x=0 ó x=1
512 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
Co mo e l D o m ( f ) =R , l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n :
< - 00, 0 > , <0 , 1 > , < 1 t+°o>
S i x = - 1 e < - » , 0 > f ’ ( - 1 ) = ( - ) ( - ) = + ,Máximo en x=0
x = 1 / 2 e < 0 , 1 > + f • ( 1 / 2 ) = (+ )( -> = -
x=2e< 0 ,1> ♦ f ' ( 2 ) = ( + ) ( + ) = + —— Mínimo en x=1
L u e g o , p a r a x = 0 •> y r aax= 1 / 2 : p a r a x = 1 - yfflin=*/8
y = ^ | ( x 2 - ■ j ) a r c S e n x + ^ / l - x 2 - j | x
Solución. La fu nc ión es rea l +-*• 1 - x2>0
«-*• -1^x<1+ Dom(f ) = [ - 1 , 1 ]
D e r i v a n do l a f u n c i ó n o b t e n e m o s : f ' ( x ) = x ( a r c S e nx - T r /6 )
S i f 1 (x ) =0 -*■ x=0 ó arcSenx=Tr / 6
•* x =0 ó x = 1 /2
I n t e r v a l o s d e m o n ot o n í a: < - 1 , 0 > , < 0 , 1 / 2 > , < 1 / 2 , 1>
A n a l i c e m o s e l c o m p o r t a m i e n to d e l a d e r i v a d a en c ad a i n t e r v a l o :
S i x=1/2e<1,0> *• f »(1/2) = ()() = + ..>Maximo en x=0
x = 1 / 4 e< 0 , 1 / 2 > ♦ f ' ( 1 / 4 ) = ( + ) ( - ) = .Mínimo en x=1/2
x =3 / 4 e < 1 / 2 , 1 > - f 1 ( 3 / 4 ) = ( + ) ( + ) = +3 / 5 - 2
L u e g o , p a r a x= 0 + y m a x= c » y P a r a x = 1 / 2 + y m i n = j g -
1 2y = x S e n x + C o s x - jx , - •g
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 513
S i x= 0 * y m i n =0 • y p a r a x = n / 3 * y max = -6 ^ - 3r 1 8 “ 1 - 13
C E U y= ^5 “ x )C osx + Senx - X—^x , 0 $ xítt/ 2
Solución. D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f ' ( x ) = ( x - ■ j M Se n x - ry)
S i f ' ( x ) = 0 + x = 1 / 2 ó S e n x = 1 / 2 + x=tt/ 6
I n t e r v a l o s d e m o n o t o ní a : < 0 , 1 / 2 > , < 1 / 2 , t t / 6 > , < t t /6 , 7t / 2 >
A n a l i z a n d o e l s i g n o d e l a d e r i v a d a e n c a d a i n t e r v a l o s e t i e n e :
x = t t / 1 2 e < 0 , 1 / 2 > -*■ f ' ( t i / 1 2 ) = ( - ) ( - ) = + ^
/ ■ M á x i m o e n x = 1 / 2
x = 0 . 5 1 e < 1 / 2 , u / 6 > + f ' ( 0 . 5 1 ) = ( + ) ( - ) = - CT/ M í n i m o en x =u / 6
x=Tr/3 e < i r /6 , 7r / 2 > -*• f 1 ( t t / 3 ) = ( + ) ( + ) = +
L u e g o , p a r a x =1 /2 * y ma x = S en ^ + T 5
x=tt/ 6 -> y ml n = y ^ ( 3 6 / 5 - 1 2 t t /3 + 7 2 - t t 2+6ti)
I t i a y = a ep x + b e *p x
Solución. D e r i va n d o l a f u n c i ó n s e t i e n e :
f ' ( x ) = a p e px - b pe "p x = p ( a e p x - b e - p x )
S i f 1 ( x ) = 0 + a e p x = b e _ p x + e 2 p x = ¿ ( 1 )a
2 l ^ }
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Solución. D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f ' ( x ) = x ( C o s x - -jj)
S i f 1 ( x ) = 0 -*■ x =0 ó C o s x = 1 / 2
+ x =0 ó x=±tt/3
I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a :
< - r r / 2 , - i r / 3 > , < - i r / 3 . 0 > , < 0 , i r / 3 > . <tt/ 3 , it/ 2 >
x = - W l 2 e < - 7r / 2 , - t t / 3 > + f 1 ( - 5 tt /1 2 ) = ( - ) ( - ) = + ^,„^>Maximo en x = - it/ 3
x = - u / 6e < - u /3 , 0 > -*■ f ' ( - 7r / 6 ) = ( - ) ( + ) = - _ ___ Mínimo en x=0
x= 7r / 6 e <0 , i r / 3 > + f ' ( i r / 6 ) = ( + ) ( + ) = + — Máximo en x =tt/ 3
x = 5 ^ / 1 2 £ < t t/ 3 , u / 2 > +f 1 ( 5Tr/ 12 ) = ( + ) ( - ) = -
/o 6 tt /3 - n 2 +18 . „Luego , pa ra x=-t t /3 + ymax = ---------- 3 3 ------- = 1. 13
+ x = 2p l n ^ a}S u s t i t u y e n d o e n l a e c u a c i ó n d a da , y t e n i e n d o e n ' c u e n t a , d e ( 1 ) ,
q u e : e p x = / J y e ‘ p x = / 1
S e t i e n e : y = aJ¿ + b i / f = a +b J— = - 1 / 1 5 + -L/aE 'a b U 2 «b 2 ¡a | |b |
P ue d en o c u r r i r l o s s i g u i e n t e s c a s o s , r e s p e c t o a l s i g n o de a y b .
a ) S i a b< 0 , n o e x i s t e n v a l o r e s e x t r e m o s
b) S i a b >0 y a >0 , s e t i e n e : | a | = a y | b | = b .
E n t o n c e s : y n i n = 2 / a b , p a r a x = 2^ 1 n ( | )
c) S i a b >0 y a <0 , s e t i e n e . : | a | = - a , | b | = - b
E n t o n c e s : y max = - 2 / a E , p a r a x = ^ l n ( | )
514 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
2.5 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO•
S e a f : [ a > b]-»-R u n a f u n c i ó n c o n t i n u a s o b r e [ a , b ] .
S i f ( x ) t i e n e u n v a l o r m áxi mo a b s o l u t o M y u n v a
l o r m ín imo a b s o lu t o m e n e l i n t e r v a l o | a , b | , e n t o n c e s e x i s t e pu n
t o s x i y x 2 e n [ a , b ] t a l e s q u e :
M=f (x i ) y m=f (x2 )
s e c u m p l e :
f ( x ) 4 M , V x e [ a , b ]
En 1.af i g u r a ¿ . 1 6 s e o b s e r v a qu e M y m a l c a nz a n s u v a l o r e n e l i n
t e r i o r d e l i n t e r v a l o [ a , b ] , y e n l a f i g u r a ¿ . 1 7 s e m u e s t r a q ue M
y m a l c a n z a n s u v a l o r e n l o s e x t re m o s de d i c ho i n t e r v a l o .
De h e ch o s e i n f i e r e e n l a s i g u i e n t e r e g l a p a r a c a l c u l a r l o s v a l o
r e s m á x i m o y m í n i m o a b s o l u t o s d e u n a f u n c i ó n e n u n i n t e r v a l o .
a ) H a ll a r l o s v a l o r e s e x t r e m o s de l a f u n c i ó n ( x i , x 2 , e t c ) y l ú e
go c a l c u l a r l o s p u nt o s c r í t i c o s f ( x i ) , f ( x 2 ) . e t c .
b ) D e t e r mi n a r l o s v a l o r e s d e l a f u n c i ó n e n l o s e x t r e m o s d e l i n
t e r v a l o [ a, b ] , e s t o e s , f ( a ) . y f ( b ) .
c ) E l e g i r c o m o :
M=mayor de la s orde nada s en (a ) y (b)
m=menor de la s orde nada s en (a ) y (b)
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 515
PROBLEMAS RESUELTOS
En l o s e j e r c i c i o s 1 1 8 5- 1 1 97 h a l l a r l o s v a l o r e s m áx im os y m ín i
mos de l a s f u n c i o n e s d ad a s en l o s i n t e r v a l o s q ue s e i n d i c a n .
i iKf r l y = x ‘* -2x 2 + 5 , [ - 2 , 2 ]
Solución. a) f 1 ( x ) = ¿ x 3 - ¿ x = ¿ x ( x + 1 ) ( x - 1 )
S i f 1 (x ) =0 + x i = -1 , x2=0 , x 3 = 1
E n t o n c e s : f ( x i ) = ( - 1 ) “ - 2 ( - 1 ) * + 5 = ¿ ; f ( x 2 ) =0 - 0 + 5 = 5
f ( x 3 ) = ( 1 ) **-2 ( 1 ) 2 + 5 = 4
b ) f ( a ) = f ( - 2 ) = ( - 2 ) ‘* - 2 ( - 2 ) 2 + 5 = 13
f ( b ) = f ( 2 ) = ( 2 ) **-2 ( 2 ) 2+ 5 =■ 13
c) En co ns ec ue nc ia : H=13 y m=¿
y = x+2/x , ( 0 , ¿]
Solución. a) f 1 (x) = 1 + . S i f ' ( x ) = x i =0
L u e g o : f(xj) = 0+2/0 = 0
b) f ( a ) = f{0 ) = 0
f (b) _= f(¿) = ¿+2/¿ = 8
c ) P or l o t a n t o : M=8 y m=0
ITEfl y = x 55x“+5x3+1 , [1,2]
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Solución. a) f'(x) = 5x‘*20x3 + 1 5x2 = 5x2 ( x - 1 ) (x3)
S i f 1(x) =0 *• x i =0 ,x2 = 1 , x 3= 3 i [ - 1 , 2 ]
E n t o n c e s : f(xi) = f(0) = 1
f(x2) = f(1) = 15+5+1 = 2
b) f (a) = f (1 ) = 1 5 5+ 1 = . 1 0
f ( b ) = f ( 2 ) = ( 2 ) s - 5 ( 2 ) "+ 5 ( 2 ) 3 +1 = - 7
c ) P o r l o t a n t o : M = f ( x2 ) = 2 ym = f ( a ) = - 1 0
l U J y = x 3 - 3 x 2 + 6 x - 2 , [ - 1 , 1 ]
Solución. a ) f ' ( x ) = 3 x 2 - 6 x + 6 = 3 ( x 2 - 2 x + 2 )
f ' ( x )='0 +
x 2 - 2 x+ 2= 0 -(-* x = 1± i ( i m a g i n a r i o )
No e x i s t e v a l o r e s e x t r e m o s.
516 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
b) f ( a ) = f ( - 1 ) = - 1 - 3 - 6 - 2 = - 1 2
f ( b ) = f ( 1 ) = 1- 3 +6 - 2 = 2
M=2 y m= - 1 2
y = / l O O - x 2 , - 6 ^ x < 8
Solución. a ) f ( x ) = -
b)
c )
/ Í O O - x 2
S i f 1 ( x ) = 0 + x = 0
f i ( x ) = «> -*■ x =±10 i [ - 6 , 8 ]
L u e g o, p a r a x i = 0 f ( 0 ) = 10
f ( a ) = f ( - 6 ) = / 1 0 0 - 3 6 = 8 ; f ( b ) = f ( 8 ) = / 1 0 0 - 6 4 = 6
. ’ . M. = f (x i) = 10 , m = f (b) = 6
n j y = 2 ^ 1 , 0 « X « 1
1 + x - x 2
2 ( 2 x - 1 )Solución. D e r iv a nd o o b t e ne m o s : f ( x ) = -------------- ——
( 1 + x - x 2 ) 2
Si f I ( x ) =0 + 2x -1 =0 +•+ x= 1 / 2
L u eg o, p a r a x i = 1 / 2 o b t e ne m o s : f ( x i ) = 3 / 5
b) f ( a ) = f ( 0 ) - i + 0 _ o
M= 1 y m=3/5
= 1 f ( b ) = f ( 1 ) = = 1
y = , 0 4 x 4 i
S i f ' ( ) " + 1 i [O i]
'«■¡rión 2: Aplicación de la primera derivada 517
n i f ( b ) .
■•) Como (a + b ) 2 > a 2+ b 2 s e r í a u n e r r o r c o n s i d e r a r M = ( a+ b) 2 y m=a2 +b 2
p u e s n o s a b e m o s s i x j y xi s o n v a l o r e s e x t r e m o s e n <0 , 1>.P ar a s a lv a r e s t a d i f i c u l t a d , d em os v a l o r e s p a r t i c u l a r e s a a y b
l ura a>b : a =2 y b =1 -*• x i = 2 / 3 £< 0 , 1 > : x 2 =2 ¿< 0 , 1 >
a =3 y b=1 -*■ x i = 3 / 4 e < 0 , 1 > ; x 2 =3 / 2 i <0 , 1 >
l’ara a<b , x 2 r e s u l t a si e mp r e n e g a t i v o , e s d e c i r , x 2 i < 0 , 1 >
En c o n s e c u e n c i a , x 2 n o e s u n v a l o r e x t r e m o d e f e n < 0 , 1 >
l ' nr a d e t e r m i n a r s i x i e s u n v a l o r d e l m á x im o o d e l m í n i mo d e l a
P u n c i ó n , c o n s i d e r e m o s : a =2 , b=1 -*■ x i = 2 / 3 e < 0 , 1 >
E n to nc es : f ' ( x ) = - — +x 2 ( 1 - x ) 2
S i x = 1 / 3 e < 0 , 2 / 3 > ♦ f 1
(1 /3 ) = . -3 6 + -2 < 0 - Mínimo en x= 2 / 3
x = 5 / 6 e < 2 / 3 , 1 > f • ( 5 / 6 ) = 3 6 > 0
P or l o t a n t o , e l v a l o r m í ni m o a b s o l u t o d e f e s : m = ( a +b ) 2
E l v a l o r m á x i m o a b s o l u t o n o e x i s t e .
y = S e n 2 x - x , -tt / 2 4. x 4 tt/2
Solución. a ) f ' ( x ) = 2 C o s 2 x - 1
{2x=n/3 + xi=ir/ 6
2x=tf/3 x 2= - tt/6
f ( x i ) = S e n ( 5 ) - t - = 3 - ? ; f ( x 2 ) = S e n ( - 4 ) + . -z = - ^-5 +
S i f ' ( x ) = 0 + Co s2 x=
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Solución. a ) f ' ( x ) =( x + 1 ) 2
b ) f ( a ) = f ( 0 ) = -1 ; f ( b ) = f U ) = |
c ) M=3/5 y m=-1
f c e h y = f - + í t I ( a > 0 y b>0) > 0 - s x ^ 1
Solución. D e r i va n d o o b t e n e m os : f ' ( x ) =
. S i f ' ( x ) = " + x = -1 i [O, i]
( b 2 - a 2 ) x 2 +2 a 2x - a 2
x 2 ( 1 - x ) 2
S i f 1 (x ) =0 + (b 2 - a 2 ) x 2 + 2 a 2 x - a 2=0 +-> Xi = ó x 2 = -£Tb
L u e go , f ( x j ) = ( a + b ) 2 y f ( x 2 ) = a 2 + b 2
b ) Como x= 0 y x= 1 s o n p u n t o s d e d i s c o n t i n u i d a d , n o e x i s t e n f ( a )
b) f (a) = f (tt/2) = S e n ( - i r ) + j = j
f ( b ) = f ( i r / 2 ) = S e n ( ir ) - | = - |
c ) M = f ( a ) =, m = f ( b ) = - ^
y = 2Tanx-Tan2x , 0 x 4 ir/2
Solución. a ) f ' ( x ) = 2 S e c 2x ( 1 - T a n x )
S i f ' ( x ) = 0 S e c 2x= 0 ó Tan x=1 ■<-*■ x=<t> ó x=irlk
E n t o n ce s : f ( x i ) = 2 ( 1 ) - ( 1 ) 2 =1
b ) f ( a ) = f ( 0 ) = 2 ( 0 ) - ( 0 ) 2= 0 , p a r a x =0 no e x i s t e f ' ( x ) .
c ) P o r t a n t o , e l m á x im o a b s o l u t o e s M= 1. E l m í ni m o a b s o l u t o n o e x i s t e .
518 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
QT?EI y =xx , 0 . 1 < x < “
Solución. D e r iv a n do o b t en e m os : f ' ( x ) = x x ( 1 + l n x)
S i f ' (x ) = 0 + ln x = - 1 ++x = e " 1 = 1/e
P ue s to que xx>0 , V-xeR , ob sé rv es e que en:
<0 . 1 , 1 / e > , 1+ l n x <0 -*• f 1 ( x )< 0
1, 1 s-ii Mínimo en x=1 /e< 1 / e , .+ “ > , 1 + l n x >0 + f ' ( x ) > 0 " ^
L u e g o , p a r a x i = 1 / e ■*f ( x i ) = ( 1 / e ) ^ e
b ) P ar a x = 0 . 1 f ( a ) = ( 1 / 1 0 ) ^ ^
c ) P o r t a n t o , e l m í ni m o a b s o l u t o e s : m= ( 1 / 1 0 ) 1 ^
E l m á x i m o a b s o l u t o n o e x i s t e .
y =3/ ( x 2 - 2 x ) 2 , 0 « x ^ 3
Solución. f 1 (x) = ------3 V x ( x - 2 )
S i f 1 (x ) =0 x=1 ;f 1 (x ) = 00 + x =0 ó x=2
E n t o n c e s : f ( x i ) = f ( x j ) = 0 : f ( x 2 ) =1
b ) f ( a ) = f ( 0 ) = 0 ; f ( b ) = 3/ ( 9 - 6 ) = 3/9
c ) m=0 y M=3/ ^
| ¡ ^ | y = a r c T a n (j ^ ) , 0 x ^ 1
-|Solución. a ) D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f ’ ( x )
1 + x 2
Gomo f 1 ( x ) <0 ¥ x e [ 0 l ] l a f u n c i ó n e s d e c r e c i e n t e o s e a no
, <ión 2: Aplicación de la primera derivada 519
r(x) = 2/73 + x (X>D + f ,( x ) = L 1 =x S x X 2 X 2
L u e g o , s i f ’ ( x ) = 0 x / x - 1 = 0 x=1l iado q ue l a f u n c i ó n f e s r e a l x >0 , l o s i n t e r v a l o s d e m o n ot o
n í a d e é s t a , s o n : <0 , 1 > , < 1 ,+®>
= . - M =
Mínimo en x=1
I x = 1 / 2 e < 0 , 1 > f f 1 ( 1 / 2 ) = = ( . )( + )
x = 2 e< 1 . +°°> ->• f 1 ( 2 ) = i i i = ( + )( + )
l 'nr t a n t o , l a f u n c i ó n f t i e n e u n m i n in o ú n i c o , q u e e s : f ( l )= 0
E n t on c e s, s e gú n l a d e f i n i c i ó n A.2, ¥ x >1 s e de be v e r i f i c a r q u e :
r ( x ) > f ( D , e s d e c ir : 2 / x - 3 + ^ > 0 2 / x > 3 - ^ l . q . q . d
ex > 1 + x ( x / 0 )
Demostración. En e f e c t o , s e a l a f u n c i ó n : f ( x ) = e X- ( 1 + x)
+ f 1 ( x ) = e x - 1 . S i f ( x ) = 0 -*■ e x = 1 + + x= 0
i a ra x = - 1e < - “ , 0 > f ’ ( — 1 ) = e _ l -1 < 0 ^ ^ ^Mínimo en x=0
x = l £ < 0 , +» > -*• f 1 ( 1 ) = e 1 - 1 > 0 — "
i n c i ó n t i e n e u n m in im o ú n i c o : f ( C
l u e g o , p a r a xf 0 , se d e be v e r i f i c a r qu e : f ( x ) > f ( 0 )
i'B d e c i r , e x - ( 1 +x) > 0 -*■ e x > 1 +x
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Gomo f ( x ) <0 , ¥ x e [ 0 , l ] , l a f u n c i ó n e s d e c r e c i e n t e , o s e a, no t i e n e m á x i m o n i m í n i m o r e l a t i v o s e n [ 0 , 1 ] .
b ) f ( a ) = f ( 0 ) = a r c T a n l = i r / 4
f( b) ' = f (1) = arcTanO = 0
c ) P or l o t a n t o : m=0 y M=tt/4-
2.6 DESIGUALDADES
¿n los ejercicios 1 1 9 8 - 1 2 0 7 demostrar la validez de las desigual
dades.
2 / x > 3 - ^ (x> 1 )
demostración. En e f e c t o , e x a m in e m os l a f u n c i ó n
( ^ 2 3 x > l n ( 1 + x ) ( x > 0 )
demostración. En e f e c t o , s e a l a f u n c i ó n : f ( x ) = x - l n ( 1 + x)
-> 3 f •«--+ 1+x>0 •*-•* x> -1 - 'y Dora ( f ) =< -1 , +“»
D e r i v a n d o l a f u n c i ó n o b t e n e m o s : f ' ( x ) = ^x ^ . S i f ' ( x ) = 0 ■+■ x =0
l . ue g o, l o s i n t e r v a l o s d e m on o t o n ía s o n: < - 1 , 0 > , <0 ,+°»>
l x =- 1 / 2 e < - 1 , 0 > -> f 1 ( - 1 / 2 ) = - i l i = ( - )
^+ Mínimo e n x=0
x = 1 / 2 e < 0 , +<=> + f 1 ( 1 / 2 ) = - i ±2 = ( + )( + )
La f u n c i ó n f t i e n e u n m í ni m o ú n i c o : f ( 0 )= 0
l ' o r t a n t o , ¥ - x> 0 , s e d eb e v e r i f i c a r q u e: f ( x ) > f ( 0 )
. d e c i r : x - l n ( x + 1 ) > 0 x > I n ( x + 1 ) , s i x >0
520 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
r c m t 2 ( x - 1 )ma inx > x+t" * x>1
De.mo¿t/iación, En e f e c t o , s e a l a f u n c i ó n :
f (x ) = ln x - + Dom(f) = <0 ,+co>
( X "| J 2D e r i va n d o l a f u n c i ó n o b t e n em o s :f 1 (x) = — ------------ ---------------------------—
x ( x + 1 )
P a ra f ' ( x ) = 0 * x - 1 = 0 «-*• x =1 U n i c o v a l o r c r í t i c o
I n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a : < 0 , 1 > , < 1 , + co>
S i x = 1 / 2 e < 0 , 1> + f 1 ( 1 / 2 ) = ( + ) \( + M + )I ^ N o e x i s t e m áx imo n i
x = 2 e< 1 , +°°> - f ' ( 2 ) = L t L = ( + ) mínimo( + ) ( + )
La f u n c i ó n e s c r e c i e n t e ¥ x> 1 , e s t o e s , f ( x ) > 0
l n x - > 0 l n x > 2 ( x ; ] } , s i x >1
( £ 2 0 2 xa rc Ta nx > l n ( l + x 2 )
Demostración. En e f e c t o , s e a f ( x ) = 2 x a r c T a n x - l n ( 1 +x 2 )
D e r i va n d o s e t i e n e : f 1 (x ) = 2 a rcTa nx
P a r a f ' ( x ) = 0 a r c T an x = 0 + + x =0
Como e l D o m ( f ) = R , l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n : < - ° = , 0 >, < 0 ,- + «>
S i x = - 1 e < - * , 0 > + f ’ ( - 1 ) = 2 ( — tt/4-) < 0>■ Mínimo en x=0
x = 1 e < 0 , +“» -»■ f 1 ( 1 ) = 2 (tt/4-) > 0
L u e go , l a f u n c i ó n t i e n e u n m í ni m o ú n i c o e n x = 0 , f ( 0 ) = 0
St ‘cción 2: Aplicación de la p rimera derivada 521
K n t on c e s, s e g ún l a d e f i n i c i ó n 4 . 2 , V -x eD om (f ) s e t i e n e : f ( x ) > f { 0 )
♦1
+ x l n ( x + / l + x 2
) - / l + x 2
>0
«->•1
+ x l n ( x + / l + x 2 ) > / l + x 2
CEI3 ln (1+x) > ST-ffanx , x> 0
De.mostA.ac ¿6 n. En e f e c t o , s e a f ( x ) = l n ( l + x ) - —
+ f i ( x ) = ( 1 + x + a r cT a n x ) ( 1 +x 2 ) - ( 1+ x)
( 1 + x 2 ) ( 1 + x ) 2
l ' ar a f ' ( x ) = 0 ■> ( 1 + x + ar c T a nx ) ( 1 + x2 ) = 1 +x ++ x= 0
So o b s e r v a qu e e l d e n o m in a do r de f ' ( x ) e s p o s i t i v o ¥ x e R .
l u e g o , e n e l n u m e r a do r , p a r a x <0 f ' ( x ) = ( - )
x >0 f 1 (x ) = ( + )
! .u f u n c i ó n f t i e n e u n m í ni m o ú n i c o e n x =0
, e s t o e s , f ( 0 ) = 0
S eg ún l a d e f i n i c i ó n 4 . 2 , p a r a x >0 s e d e b e v e r i f i c a r q u e :
r ( x ) > f ( 0 ) + l n ( 1 + x ) - —^ ^ a n x > 0 -<->■ l n ( 1 +x) > STcTanxItX \+x
x 3
x 5
Se nx < x - -g- + ’ x>®
Demostración. En e f e c t o , s e a f ( x ) = S e n x - x +
f ' ( x ) = C o s x - 1 + 2 Í . ( 1 )
l ' ar a f ' ( x ) = 0 C o s x = 1 “ §~ + f J
I n i g u a l d a d s e c u m p l e p a r a x = 0 .
n|)3Órvese en ( 1 ) que para x <0 f ' ( x ) > 0
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L u e go , l a f u n c i ó n t i e n e u n m í ni m o ú n i c o e n x 0 , f ( 0 ) 0
E n t o n c e s , s e g ú n l a d e f i n i c i ó n 4 * 2, V -x eD om íf ) s e d e b e v e r i f i c a r
q u e : f ( x ) > f ( 0 ) -*-+ 2 x a r c T a n x - l n ( 1 + x 2 ) 5- 0
2 x a r c T a n x ^ - l n ( 1 + x 2 )
I H i f c l 1 + x l n ( x + / l + x 2 ) > / l + x 2
Demostración. En e f e c t o , s e a f ( x ) = 1 + x l n ( x + / l + x 2) - / 1 + x
c u y a d e r i v a d a e s : f 1 ( x ) = l n ( x + / l + x 2 )
S i f 1 ( x ) = 0 + l n ( x + Z T+ x 2 ) = 0 * x + / l + x 2 = 1 -*■ / l + x 2 = 1-x ++ x=0
Como e l D f= R, l o s i n t e r v a l o s d e m o n o t o n í a s o n : < - » , 0 > , < 0 , + “»
S i x = - 1 e < - ° ° , 0 > f 1 ( - 1 ) = l n ( - 1 + / 2 ) < 0 x = 1 e < 0 , +«» - f ' ( 1 ) = l n ( 1 + / 2 ) > 0
L a f u n c i ó n t i e n e u n m ín im o ú n i c o e n x = 0, e s t o e s : f ( 0 ) = 0
n|)3Órvese en ( 1 ) que para x <0 f ' ( x ) > 0
x >0 + f ’ ( x ) < 0
L ue g o, l a f u n c i ó n f t i e n e un má xi mo ú n i c o e n x =0 , e s t o e s ,
i ( 0 ) =0 , y s e gú n l a d e f i n i c i ó n 4 .1 , f ( x ) < f ( 0 )
> S e n x - x + f " - < . 0 «-*■ S e nx < x - ^ * x> 0
Se nx + Tan x > 2x , 0 < x < tt/ 2
Demostración. En e f e c t o , s e a f ( x ) = S e n x + T a n x - 2 x
f ' ( x ) =C o s x+ S e c2 x- 2 . ( 1 )
i f 1 ( x ) = 0 C o s x + S e c 2 x = 2 . L a i g u a l d a d s e c u m p l e p a r a x= 0
"l ,3 l r v < # s e , e n ( 1 ) , q u e p a r a x <0 -*■ f ' ( x ) > 0 y p a r a x >0 + f ' ( x )>0
" :>ea, l a f u n c i ó n e s c r e c i e n t e ¥ -x e<0 , 7r / 2 > , a l c a n z a n d o s u m en o r
522 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
v a l o r e n x = 0 , e s t o e s, f ( 0 ) = 0 , l u e g o , s e gú n l a d e f i n i c i ó n í.2
f ( x ) > f ( 0 ) , V-xe<0 , n / 2 >
o se a : Senx+T anx- 2x > 0 *->■ Senx+Tanx > 2x , xe<0 , ir /2>
Y 2Co sh x > 1 + — • x¿0
x2Be.mostA.ac.¿6n. E n e f e c t o , s e a f ( x ) = C o s h x - 1 -
f 1 ( x ) = S e n h x - x
S i f ' ( x ) = 0 S e n h x= x . L a i g u a l d a d s e c u m pl e p a r a x =0
L u e g o, p a r a x < 0 f ' ( x ) < 0 , y p a r a x > 0 -*■ f ' ( x ) > 0
L a f u n c i ó n t i e n e u n m ín im o ú n i c o e n x = 0 , e s t o e s : f ( 0 ) = 0
E n t o n ce s , s e g ú n l a d e f i n i c i ó n i.2: f ( x ) > f ( 0 ) , x / 0
2 x2 io sea : Coshx - 1 - — > 0 -*--*■ Coahx > 1 + — xfO
2.7 PROBLEMA S PARA HALL AR LOS VALORESMÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LAS FUNCIONES
L a t e o r í a d e m á x i m o s y m í n i m o s p e r m i t e r e s o l v e r m u c h o s p r o b l e
ma s p r á c t i c o s q u e s e da n e n g e o m e t r í a , m e c á n i c a , e c o n o m í a , e t c , ,
M uc ho s d e e s t o s p r o b l e m a s q u e s e n o s p r e s e n t a n c o n s i s t e n e n o b t e
n e r r e s u l t a d o s o p t i m o s . Co n f r e c u e n c i a n o s i n t e r e s a e l máx imo o
e l m í ni mo d e a l g o . S i a l p r o b l e m a q ue s e n o s p r e s e n t a p o d em o s a -
s o c i a r l e u na f u n c i ó n , s e r e d u c e a e n c o n t r a r l o s m áx im os y m í n i d t f i ó E l i i l i i t
1207
■S'<cción 2: Aplicación de la primera derivada 523
Solución. a ) S e a S l a c a n t i d a d a o p t i m i z a r
S i x e s u no d e l o s s u ma n do s ( x > 0 ) , e n t o n c e s y = 8 - x
: : or á e l o t r o s u m a nd o . L u e g o , s e g ú n e l e n u n c i a d o :S ( x ) = x 3 + ( 8 - x ) 3
ii) A h or a y a e s t a m o s en c o n d i c i o n e s d e a p l i c a r l o a p r e n d i d o p a r a
e n c o n t r a r l o s v a l o r e s m áx i mo s y m í n i m o s , e s t o e s :
S ' ( x ) = 3 x 2 - 3 ( 8 - x ) 2 = ¿ 8 ( x - ¿ ) ( 1 )
S i S ' ( x ) = 0 -*• x - 4 = 0 «-->■ x = ¿
O b s é r v e s e e n (1) q u e s i x < ¿ -*• S ' ( x ) < 0 , y s i x >¿ S ' ( x ) > 0
L u e g o, p a r a x = 4 , l a f u n c i ó n S t i e n e u n m í ni m o.
En c o n s e c u e n c i a , l o s n ú m e r os s o n : x = 4 e y= ¿ .
Qu é n úm er o p o s i t i v o s u ma do a su i n v e r s o d a l u g a r a l a s u
ma máxima?
volución, a ) S e a S l a c a n t i d a d a o p t i m i z a r
S i x e s u no d e l o s s u m an d o s y — e l o t r o s u m an do
S(x) = x + ^
b) D er i v a n d o s e t ie n e : S ' ( x ) = 1 - — = ^ )x 2 x 2
S i S 1 (x ) =0 -► x=-1 ó x —1
P u e s t o q u e x > 0, e l n ú me r o b u sc a d o e s : x = 1
D i v i d i r e l n ú m e r o 3 6 e n d o s f a c t o r e s t a l e s q u e l a s u m a d e
s u s c u a dr a d os s e a e l . m e n o r p o s i b l e .
S l ió
1210
1209
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, ymos de e s t a f u n c i ó n . E l c am in o a s e g u i r e s e l s i g u i e n t e :
a ) I d e n t i f i c a r l a c a n t i d a d q u e s e v a a o p t i m i z a r ( má xi mo o m í n i
mo) a l a q u e s e s i m b o l i z a p o r u n a v a r i a b l e c u a l q u i e r a . L u e g o ,
s e e x p r e s a e s t a c a n t i d a d c omo f u n c i ó n d e un a s o l a v a r i a b l e .
S i a p a r e c e n má s d e u n a v a r i a b l e , e s t a s s e r e d u c e n a u n a s o l a
v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e p o r me d io d e r e l a c i o n e s m a t e m á t i c a s d a
d a s .
b) I d e n t i f i c a d o e l t i p o d e ex t re m o a c a l c u l a r , s e a p l i c a e l c r i
t e r i o d e l a p r i m e r a d e r i v a d a a p re n d i d o p a r a h a l l a r l o .
1208 D i v i d i r e l n ú m e r o 8 e n d o s s u m a n d o s t a l e s q u e l a s uma de s u s c u b o s s e a l a m e no r p o s i b l e .
Solución. a ) S e a S l a c a n t i d a d a o p t i m i z a r , y se a n x y 2 0S 2
f a c t o r e s . S ( x ) = x 2 +( 3 6 / x ) 2
b ) S ' ( x ) =l h í±?.§.)í*+V(x-6) ms . s , u ) = 0 + x=_ 6 . x= 6
X 3
O b s é r v e s e q u e p a r a x <6 S ' ( x ) < 0 , y p a r a x >6 S ' ( x ) > 0
L u e g o , p a r a x =6 l a f u n c i ó n S t i e n e u n mí n im o.
En c o n s e c u e n c i a l o s f a c t o r e s s o n : x =6 , y =6
S e d e b e h a c e r u n a c a j a c o n t a p a , c u y o vo l u m e n s e a d e 7 2 c m3
L o s l a d o s d e l a b a s e h an de e s t a r e n l a r e l a c i ó n 1 : 2 . Cu á
L es d e be n s e r l a s m e d i d a s d e t o d o s l o s l a d o s p a r a q u e l a s u p e r f i ■l e t o t a l s e a l a m en or p o s i b l e .
1211
524 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
j a , e s t o e s : V=Bx h
= i áde donde:2x
21 6
(1 )
Solución. a ) S e a S l a m a g n i t u d a o p t i m i z a r , y s e a n x , 2x l o s
l a d o s d e l a b a s e e y l a a l t u r a d e l a c a j a .
S ( x , y ) = 2 ( 2 x ) ( x ) + 2 ( x ) ( y ) + 2 ( 2 x ) ( y ) = ¿ x 2+6xy
D e b e m o s b u s c a r u n a n u e v a r e l a c i ó n e n t r e
x e y q u e n o s p e r m i t a e x p r e s a r S . co mo
f u n c i ó n d e un a s o l a v a r i a b l e . E s t a r e í a
c i ó n l a o b t e n e m o s d e l v o l u m e n d e l a c a -
7 2 = ( 2 x ) ( x ) ( y )
(2 )
1
X
S u s t i t u y e n d o e n ( 1 ) s e t i e n e : S ( x ) - 4x
b) s 1 (x ) = 8x . ¿ 1 6 = 8 ( x - 3 ) (x 2 +3 x +9_)9 2 *X2 xz
P a r a S ' ( x ) = 0 x - 3 = 0 -*-+ x = 3 , s u s t i t u y e n d o e n ( 2 ) : y = 4
E n c o n s e c u e n c i a , l a s d i m e n s i o n e s d e l a c a j a s o n : 3 c m , 6 cm y 4-cm
tViPi D e u n a h o j a de c a r t ó n , d e 1 8 x 1 8 c m2 ,
d e be n s e r r e c o r t a d o s c u a d r ad o s i g u a
l e s d e modo q ue d o b l a nd o l a h o j a , s i g u i e n d o
l a s l í n e a s p un t e ad a s ( v é as e l a f i g . 2 9 ) , r e r
s u i t e u na c a j a q u e t e n g a l a m a y or c a p a c i d a d
p o s i b l e . C u á nt o d eb e m e d ir c a d a l a d o d e l c u a
d r a d o . F i g u r a 2 9
Solución. S e a V l a m a g n i t u d a o p t i m i z a r y
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 525
Solución. a ) S e a. V l a m a g n i t u d a o p t i m i z a r y s e a x e l l a d o d e l
c u a dr a d o qu e s e de b e c o r t a r , t a l q u e : 0 <x < 2 . 5
: ; i V=Bxh + V(x ) = ( 8 -2 x ) ( 5 - 2x )x K n t o n c e s : V ' ( x ) = ¿ ( x - 1 ) ( 3 x- 1 Q. ) ( 1 )
."■i V ' ( x ) =0 ■+ x= 1 ó x = 1 0 / 3 i <0 , 2 . 5 >
O b s é r v e s e e n ( 1 ) q u e s i :
xe< 0,1 > -*■ V 1 ( x ) > 0
x e < 1 , 2 . 5 > V 1 ( x ) < 0 '
l 'o r t a n t o , e l l a d o d e l c u a dr a d o d eb e
m e d i r : x = 1cm.
> Máxi mo e n x=1
8 — -— h
8-2x - _ L1X
1 5-2x 1
111
“ l 1 i
m y E l vo lu m en de un p r i sm a t r i a n g u l a r r e g u l a r e s i g u a l a V.
C u á nt o d e b e m ed i r e l l a d o d e l a b a s e p a r a qu e s u s u p e r f i
c i e t o t a l s e a l a m en or p o s i b l e .
Solución. a ) S e a S l a m a g n i t u d a o p t i m i z a r
y s e a x e l l a d o d e l a b a s e d e l
pri s iaa . S i V=íxh + V = ' (^Z/3 ) y y = !¿2LU 3 x 2
S u p e r f i c i e t o t a l : S = 2 B + 3SJL, 2 __ „2
- S = 2 ( 2 - / 3 ) + 3 x y = 2 ( | - / 3 ) + 3 x ( 4 / 3 V j
3 x 2
* S ( x ) = | / I + 4 /3V
b ) D e r i v a n d o o b t e n e m o s :
L u e go , s i S ' ( x ) = 0
S ' ( x )
: 3- 4V=0 ++ x = 3/¿V
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> M áx im o e n x = 3
18-2x
Solución. S e a V l a m a g n i t u d a o p t i m i z a r y
s e a x e l l a d o d e l c u a dr a d o q ue
s e d eb e c o r t a r , t a l q u e : 0 < x <9
S i V =B xh + V ( x ) = ( 1 8 - 2 x ) 2 x
b ) V 1 ( x ) = 1 2 ( x - 3 ) ( x - 9 ) ( 1 )
S i V ' ( x ) =0 <-+ x=3 ó x=9 i < 0 , 9 > ■
O b s e r v e e n ( 1 ) q u e p a r a :
xe< 0, 3> V 1 ( x ) > 0
xe<3> 9> + V' (x )<0
En c o n s e c u e n c i a e l l a d o d e l c u a d r ad o d e b e m e d i r : x = 3c m.
18
R e s o l v e r e l p r o b l e m a a n t e r i o r p a r a e l c a s o d e l a h o j a r e e
t a n g u l a r d e 8x 5 cm2.
L u e go , s i S ( x ) 0 : 3 4V=0 ++ x 3/¿V
i m j Un a t i n a a b i e r t a t i e n e l a f o rm a de c i l i n d r o . S i en d o su vo
l u m e n i g u a l a V . C u ál d e b e s e r e l r a d i o d e l a b a s e p a r a
' pi e s u s u p e r f i c i e t o t a l s e a l a - m e n o r p o s i b l e ?
Solución, a ) S e a S l a m a g n it u d a o p t i m i z a r , y s e an x e l r a d i o e
y l a a l t u r a d e l c i l i n d r o . S i en d o l a t i n a a b i e r t a ,
c u s u p e r f i c i e t o t a l e s : S = SI + B
( 1 )
(2)
► S ( x , y ) = 2 ir xy + ttx2
l’ero V=7rx2y y = V/irx 2
1. ne g o , e n ( 1 ) : S ( x ) = ^ + ttx 2
526 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
D e r i va n d o s e o b t i e n e : S ' ( x ) = 2 ( —— —)x 2
P a r a S ' ( x ) = 0 ■+■ i r x3 -V =0 ■*■+ x = ~ v
S u s t i t u y e n d o en ( 2 ) : y = ^ ( ^ ) 2^ 3 = 3>/~"
P or t a n t o , l a s u p e r f i c i e t o t a l d e l a t i n a e s óp t i m a c u an do e l r a
d i o d e l a b a se e s i g u a l a l a a l t u r a d e l a t i n a .
H a l l a r l a r e l a c i ó n e n t r e e l r a d i o R y l a a l t u r a K d e un
c i l i n d r o q ue t i e n e l a me nor s u p e r f i c i e t o t a l p o s i b l e , c o
n o c i e n d o s u v o l u m e n .
Solución. a ) S e a S l a m a g n i t u d a o p t i m i z a r
+ S (R , H) = 2ttRH + 2i tR 2
S i V e s e l v ol u me n c o n oc i d o d e l c i l i n d r o
1 - ( 1 )ttR
+ S( R) = 2nR (—— ) + 2ttR 2 = 2(^) + 2ttR 2! 2 nttR
R 2b) S» (R) = - — + ¿ttR = 2 ( —■— - )
’ 2 R 2
R S i S ' ( R ) = 0 -*■ 2 tt R 3-V=0
S u s t i t u y e n d o e n ( 1 ) : H = = * \ J =
. . H=2R
V, teión 2: Aplicación de la primera derivada 527
P ur a V ' ( x ) = 0 + ¿0 0 - 3 y 2 =0 «-»■ y = - 2 ^ 1
Un s e c t o r d e l á n g u lo c e n t r a l a e s t á r e c o r t a d o d e u n c í r c ul o . A l e n r o l l a r s e e l s e c t o r , h a s i d o e n g e nd r a da u na s u p er
f l c i e c ó n i c a . C u ál d e b e s e r l a a b e r t u r a d e l á n g ul o a p a r a qu e e l
v o lu m e n d e l c o n o o b t e n i d o s e a e l m ay or p o s i b l e ?
Vo¿ución. a ) S e a V e l v o l u m e n ó p t i m o , y
s e a x e l r a d i o d e l c o n o e n
^ o n d r a d o p o r e l s e c t o r c i r c u l a r .
:;i V = -jBxh + V = -jir x2y
* V (x ) = -^x2/ r 2 - x 2 ( r e s c o n s t a n t e )
l ) D e r i v an d o s e t i e n e : V ' ( x ) = 7TX( 2 r ~ 3 x . L3 / r 2 - x 2
■ I V 1 (x) =0 + 2r 2 - 3 x 2 = 0 «-*• x = r / | " ( 1 )
Po ro ,' l a l o n g i t u d d e l s e c t o r e s i g u a l a l a
l o n g it u d d e l a c i r c u n f e r e n c i a d e l a b a s e ,
" o t o e s : r a = 2 ?rx -*--*■ x =27T
. "■ us ti tU ye nd o e n ( 1 ) o b t e n e m o s : a = 2 u = 2 9 3 ° 5 6 '
E l p e r í m e t r o d e un t r i á n g u l o i s ó s c e l e s e s 2 p. C u án t o d e
b e n m ed i r s u s l a d o s p a r a q u e e l v o l u me n d e l c u e r p o e n g e n
d r ad o p o r l a r o t a c i ó n d e l t r i á n g u l o e n t o r n o a su b a s e s e a e l ma
1219
1218
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S e d e b e h a c e r un e mb ud o c ó n i c o q u e t e n g a l a g e n e r a t r i z i -
g u a l a 20 cm . C u ál d e b e s e r l a a l t u r a d e l c i l i n d r o p a r a q '
s u v o l u m e n s e a e l m a y or p o s i b l e ?
Solución. a ) S e a V l a m a g n i t u d a o p t i m i z a r y s e a n x , e l r a d i o ,
e y , l a a l t u r a d e l c o n o .
S i V = - jB*h. + V (x ,y ) = - j i rx2y (1 )
P e r o x 2 + y 2 = ( 2 0 ) 2 x 2 = 4 0 0 - y 2
En ( 1 ) : V ( y ) = ^ i r U 0 0 - y 2 ) y = | U 0 0 y - y 3 )
b) V '( y ) = i ( 4 0 0 - 3 y 2 )
y o r p o s i b l e ?
U>¿ución. a) S e a V e l v o l u m e n ó p t i m o d e l c u e r p o e n g e n d r a d o .
Sean b=2x , y=Jt lo s la do s
d ni t r i á n g u l o g e n e r a d o r y h e l r a d i o d e
piro.O p
Ent onc es : V = ^7ih2x = -jTí{y2-xz)x ( 1 )
l oro: 2 p = 2 x+ 2 y ■+■ y - p - x ( 2 )
( . ’ ) e n ( 1 ) r e s u l t a : V ( x ) = ( p 2x - 2 p x 2 )
1 V '( x ) = - Ti (p 2 - 4 p x ) = -|pTr(p- 4x )Pa ra V ' (x)= 0 p-4x= 0 «-»•: x=p /4
528Canitulo 4: Análisis de las Funciones
3S u s t i t u y e n d o e n ( 2 ) : y = ^P
P or t a n t o , l o s l a d o s d e l t r i á n g u l o i s ó s c e l e s d e be n me d ir :
b= p / 2 , y = 3 p / 4
E l p e r ím e t r o d e un t r i á n g u l o i s ó s c e l e s e s 2 p. C u án to d e
b e n m e d i r s u s l a d o s p a r a q u e e l v o l u m e n d e l c o no e n g e n d r a
do p or l a r o t a c i ó n d e l . t r i á n g u l o e n t o r n o a s u a l t u r a b a j a da s o
b r e l a b a s e s e a e l m ay or p o s i b l e ?
Solución. a ) S e a V e l v o l u m e n ó p t i m o d e l c u e r p o e n g e n d r a d o .
S e a n b = 2 x e H = y l o s l a d o s d e l
t r i a n g u l o g e n e r a d o r .
Si V = 4í>xh -*■ V = ii rx 2h = | x 2 / y 2 - x 2' (1 )
Per o: 2p = 2x+2y +' y = p- x
En ( 1 ) : V ( x ) = i r x 2 / p 2 - 2 p x b,M I \ pttx(2p5x)
b) Derivando la función obtenemos: v w 3/p2_2px
S i V 1 ( x ) = 0 2 p - 5 x = 0 x = 2 p / 5 . L u e g o, e n ( 2 ) : y - 3 p / 5
P or t a n t o , l o s l a d o s d e l t r i á n g u l o i s ó s c e l e s d e be n m ed ir :
b = 4 p / 5 , y = 3 p / 5
H a l l a r l a a l t u r a d e l c i l i n d r o q ue t e n g a e l v o l um e n máxi mo
p o s i b l e ' y qu e s e a s u s c e p t i b l e d e s e r i n s c r i t o e n u na e s f e
r a d e r a d i o R .
Solución. a ) S e a V e l v o l u m e n ó p t i m o .
1221
1220
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 529
: : o a n x e y e l r a d i o y a l t u r a d e l c o n o
r e s p e c t i v a m e n t e .
; ; i V = - ^Bx h -*■ V = jTrx2y ( 1 )
Kn e l ABCD: EC2 = BExED + x 2 = y ( 2 R - y )
Luego , en ( 1 ) : V ( x ) = - | ( 2 R y 2 - y 3 )
i>) V ' ( x ) = ^ | (4Ry-3y2) = ^ (4R-3y)y
P a r a V ' ( x ) = 0 ■* 4R-3y=0 *-*■ y=liR/'}
I f r Wi l U n a p a l a n c a d e s e g u n d o g é n e r o t i e n e A p o r s u pu n t o d e a po
y o . D e l p u nt o B (A B= a) e s t á s u s p e n d i d a l a c a r g a P . E l p e
no d e l a u n i d a d d e l a l o n g i t u d d e l a p a l a n c a e s i g u a l a k . C uá l
< lo be rá s e r l a l o n g i t u d d e l a p a l a n c a p a r a q u e l a c a r g a P q u e d e .■ti e q u i l i b r i o c o n l a f u e r z a m í n i m a ? ( E l m om en t o d e l a f u e r z a c om
p e n s a d o r a d e b e e q u i v a l e r a l a s um a d e l o s m om en t os d e l a c a r g a P
y d e l a p a l a n c a ) . R p ta . / ( 2 a B) / k
g T T7 1 T r e s p u n t o s A , B y C s e h a l l a n s i t u a d o s d e m od o q u e 4ABC =
6 0 ° . U n a u t o m ó v i l s a l e d e l p u n t o A y e n e l m i sm o mo me nt o
Mol p u nt o B p a r t e u n t r e n . E l a u t o m ó v i l a v a n z a h a c i a e l p u n t o B
■i 80 k m /h , e l t r e n s e d i r i g e h a c i a e l p u n t o C a 5 0 k m/ h . T e n i e n -
l" en c u e n t a q u e l a d i s t a n c i a A B =2 00 km , e n q u é m om e nt o , a l c o me n
,',nr e l m o v i mi e nt o ^ s e r á m í ni ma l a d i s t a n c i a e n t r e e l a u t o m ó v i l y
e l t r e n ?í >l ió ) S d AP l d i t i ó t i
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Solución. a ) S e a V e l v o l u m e n ó p t i m o .
S e an x , e l r a d i o , e y, l a a l t u
r a d e l c i l in d r o i n s c r i t o .? ( 1 }
S i V =B*h + V = irx y v '
P e r o : ( 2 R ) 2 = ( 2 x ) 2+ y 2 + X2 = ¿(4R 2 - y 2 )
Sustituyendo (2 ) en (1) obtenemos: V ( y ) = ^ ( 4 R 2y - y s )
b ) V ' ( y ) = ' ^ ( 4 R 2 - 3 y 2 ) ., „ 2R/3
Si V 1 ( y ) =0 + 4R 2 - 3 y 2 =0 ^ y = — 3
H a l l a r l a a l t u r a d e lcono de máximo vo lumen que sea su s
c e p t i b l e d e s e r i n s c r i t o e n u na e s f e r a d er a d i o R .
Solución. S e a V e l v o l u m e n ó p t i m o d e l c o n o .
1222
ír>lución, a ) S e a d=AP l a d i s t a n c i a ó p t i m a .
En ¿un t iem po t e l aut om óv i l re co rr e AP = 80 t ,km
Kn e l m i s mo t i e m p o t , e l t r e n r e c o r r e
H q ~5 0 t km. P o r l a l e y d e l o s c o . s e n o s :
BQ2 - 2 ( B P ) ( B Q ) C o s 6 0 0= BP 2 +
= ( 2 0 0 - 8 0 t ) 2 + 2 5 0 0 t 2 - 2 ( 2 0 0 - 8 0 t ) ( 5 0 t ) ( | )
d(t)=/l00(208t)2+2500 t2500(20t8t2)
r u m 200(208t) (8)+5000t500(20l6t)
2/l00(208t)2+2500t2500(20t8t2)
Para d 1 (t) =0 •+ 16 00( 20 8t ) + 500 0t 500( 201 6t ) =0
de dond e: t = 70/ 43 = 1h 38 min.
530 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
D ad o un c i e r t o p u n t o A e n u na c i r c u n f e r e n c i a , t r a z a r u n a
c u e r d a BC p a r a l e l a a l a t a n g e n t e e n e l p u n t o A d e mo do q 1
e l á r e a d e l AABC s e a l a m ay or p o s i b l e .
Solución, a ) S e a S e l á r e a ó p t i m a . S e a n h=AH l a a l t u r a d e l t r í a n
g u i o y R» e l r a d i o d e l a c i r c u n f e r e n c i a .
S i e n d o l a c u e r d a BC p a r a l e l a a l a t a n g e n t e , A
l a a l t u r a AH p a s a e l c e n t r o d e l c í r c u l o .
E n t o n c e s : S = ^ ( B C * h ) _
En e l AOHC: HC = / r 2 - 0H 2 = / R 2 - ( h - R ' ) 2
Como: BC = 2HC •* BC = 2/ 2h R -h 2
L u e go , e n ( 1 ) : S ( h ) = h / 2 R h - h 2
b) S 1 (h) = -h.(.3R~2h )- . S i S 1 ( h ) = 0 / 2 R h - h 2
: d
3R-2h=0 h=3R/2
P o r t a n t o , e l á r e a d e l AABC s e r á má xi ma s i l a d i s t a n c i a q u e
m e di a e n t r e l a c u e r d a y e l p u n t o A d e be s e r i g u a l 3 / 4 d e l d i á m e
t r o de l a c i r c u n f e r e n c i a .
H a l l a r l o s l a d o s d e l r e c t á n g u l o d e m á x i m o p e r í m e t r o e i n s .
c r i t o e n u n a s e m i c i r c u n f e r e n c i a d e r a d i o R .
Solución. a ) S e a p e l p e r í m e t r o o p t i m o , y s e a n : b =2 x e y , l a s d i
m e n s i o n e s d e l r e c t á n g u l o .
E n t o n c e s : p = 4 x + 2 y ( 1 )
P e r o : x 2 + y 2 =’R: ( 2 )* / \
/
‘ 1">n 2: Aplicación de la primera derivada531
U n c i a d e l c e n t r o d e l c í r c u l o , d e r a d i o R, a l a c u e r d a q u e su b t i e n d e e l a r c o.
En to nc es : S = 2xy _ ( - j) a
üm e l AOCP: 0P 2= P C2 +C 02
►R2 =x2+ (y + h ) 2 x = /R 2 - ( y + h ) 2 ( 2)
u s t i t u y e n d o ( 2 ) en ( 1 ) s e t i e n e :
S ( y ) = 2 y / í 2 - ( y + h ) 2
•') - S 1 ( y ) = 2 - y ( y + h ) + R 2 - ( y + h ) 2
»',R2- (y+h ) 2
S i S ' ( y ) = 0 - y ( y + h ) +R 2 - ( y + h ) 2=0
_ / 8R 2 + h 2 - 3h l
Pc x ///// Y \B /
0
de donde: y =
' 2y 2 + 3h y + h 2 - R 2 =0
, e s l a a l t u r a d e l r e c t á n g u l o .
E E j C i r c u n s c r i b i r e n t o r n o a un c i l i n d r o d ad o e l c o no qu e t e n
g a e l m en or v o l um e n p o s i b l e ( l o s p l a n o s d e l a s b a s e s c i r
c u l a r e s d e l c i l i n d r o y d e l co no de b en c o i n c i d i r ) .
Solución. a ) S e a V e l v o l u m e n o p t i m o d e l c o n o , y s e a n x e y , e l
r a d i o y l a a l t u r a d e l c o no , r e s p e c t i v a m e n t e . L os
d a t o s d ad o s d e l c i l i n d r o s on e l r a d i o r \y l a a l t u r a h .
Si V = ¿Bxh 1
( 1 )
AB EF '
hxx r
BCFC
i = - 2L. h x - r
( 2 )
V = ■jirx2y
AABC = AEFC h
d e d o n d e : y
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L u e g o , e n ( 1 ) : p ( x ) = ¿x +2/r 2- x 2
b ) D e r i v a n d o s e t i e n e : p ’ ( x ) = ~ x ~ X1/ R 2 - x 2
* / v \
- 4 ____
P ara p 1 ( x ) = 0 2 /R -x = x -*-+ x = 2 R / 5en ( 2 ) ‘: y =
P or t a n t o , l a s d i m e n s i o n e s d e l r e c t á n g u l o s o n :
R / 55
I n s c r i b i r e l r e c t á n g u l o d e ma yo r á r e a p o s i b l e e n un s e g
m e n to d ad o d e l c i r c u l o .
Solución. a ) S e a S e l á r e a d e l r e c t á n g u l o o p t i m o , y s e a n b = 2x e
y l a s d i m e n s i o n e s d e l r e c t á n g u l o , y h =0 B, l a d i s -
x - r ( 2 )
(2 ) en ( 1 ) : V(x ) = -h ( - ~ )
b ) D e r i v a n d o ob t e n e m o s : V ' ( x ) = ü h f x 2 ( 2 x - 3 r ) 1
( x - r ) 2 J
P a r a V ( x ) = 0 + 2 x - 3 r = 0 «--► x = 3 r / 2 . L u e g o , e n ( 2 ) : y = 3 h
En c o n s e c u e n c i a , e l r a d i o d e l a b a s e d e l c o no e s 1.5 v e c e s m a y o r
q ue e l d e l c i l i n d r o , y s u a l t u r a 3 v e c e s m a yo r q ue l a a l t u r a d e l c i l i n d r o d a d o .
I B U H a l l a r l a a l t u r a d e l co no r e c t o c i r c u l a r , d e me no r v o l u
me n p o s i b l e , c i r c u n s c r i t o e n t o r n o a u na e s f e r a d e r a d i o R.
Solución. a ) S e a V e l v o l um e n ó p t i m o d e l c o n o , y s e a n x e y , e l
532 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
r a d i o y s u a l t u r a r e s p e c t i v a m e n t e .
Si V = -jBxh + V = ^Trx2y
AABC = AODA
( 1 )
ABBC
12.OD
= / ( ^ R Í ¡ - R 2y^ 2 R 7T V2
S u s t i t u y e n d o e n ( 1 ) : V ( y ) = - gR 2 (—* )
b ) v - ( y ) =3 L(y _ 2R)2i
P a r a V.' ( y ) = 0 y =0 o y =¿ R
E n c o n s e c u e n c i a , l a a l t u r a d e l c o no d e b e s e r ¿ v e c e s m a yo r q u e e l
r a d i o d e l a e s f e r a .
f £J cV J H a l l a r e l á n g u l o e n e l v é r t i c e d e l a s é c c i ó n a x i a l d e un c o no qu e t i e n e l a m e no r s u p e r f i c i e l a t e r a l p o s i b l e y qu e
e s t á c i r c u n s c r i t o e n t o r n o a u na e s f e r a d a d a.
Solución. a ) S ea S l a s u p e r f i c i e l a t e r a l ó p t i m a. S e an x e y , e l
r a d i o y l a g e n e r a t r i z d e l c o no , r e s p e c t i v a m e n t e , y
a =2 0 , e l á n g u l o e n e l v é r t i c e .
S i S = irRg S = TTxy ( 1 )
En l a f i g u r a s e t i e n e : y=AD+DC
P o r p r o p i e d a d d e l a s t a n g e n t e s : DC=BC
Ent onc es : y = RCotg0 + x
En e l AABC: y = xCs c0
D e e s t a s d o s e c u a c i o n e s o b t e n e m o s :RCo s 8 RCotg9
V. ■<ción 2: Aplicación de la primera derivada 533
I C u á l h a d e s e r l a a b e r t u r a d e l á n g u lo e n e l v é r t i c e d e un
t r i á n g u l o i s ó s c e l e s , d e á r e a d a da , p a r a q ue e l r a d i o d e l
í r c u l o i n s c r i t o e n d i c h o t r i á n g u l o s e a e l ma yo r p o s i b l e ?Polución. a ) S e a a =2 8 l a a b e r t u r a d e l á n gu l o en e l v é r t i c e .
S e a n S e l á r e a d a d a d e l AABC y R e l r a d i o d e l c í r -
i -u lo . S e s abe qu e: S = Rp
a + a + b „ „ , 2 a+b\donde : p = s— “ D' ---------S = R(
l 'ero : a = BH.Sec0 = hSec 8
+ b=2hTan0
l uego , S = $■( 2hSe c0 + 2hT an8 ) = hP.(Se c8+Tg 9)
| = BH.TanO
Pero: h = R+OB = R+RCsc0 = R(1+Csc0)
K n t o n c e s : S ( 0 ) = R 2 ( 1 + C s c 0 ) ( S e c 8 + T a n 0 ) = 2R ' 1-t-SenO) 2
+ S ' ( e ) = 2 R 2 S e n 2 0 [ 2 ( 1 + S e n 9 ) C o s 8 ]
Sen20
( 1 + S e n8 ) 2 ( 2 Co s29 )
S e n 2 2 6
,„ 2 ( 1 + S e n 0 ) [ C o s 0 S e n 2 6 - ( 1 + S e n 8 ) C o s 2 0 j - 4rC ---- . ■- ■
S e n 2 2 8
b ) S i S ' { 0 ) = O C o s 8 S e n 2 0 - ( 1 + S e n 8 ) C os 2 8 = 0
-*■ 2 S e n 0 C os 2 0 - ( 1 + S e n 0 ) ( 1 - 2 S e n 20 ) = 0
de dond e: 2Se n28 + Sen 8-1= 0 SenO = 1 /2 ó Sen 8 =
6=30° ó 0=270°
a= 2 8 =6 0 °
[ r í í l H a l l a r l a a l t u r a d e un c on o qu e t i e n e e l m e no r v o lu m e n po i b l t á i i t t i ' f
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RCo s 81 -Sen 9 ’ y =
L u e go , e n ( 1 ) : S ( 8 )
RCotg91-Sen6
= irR 2( 1 - S e n 0 ) 2
= ttR'1+Sen 6
( 1 - S e n 0 ) S e n 0
b) S> (0) = ttR
= ttR
S i S ' ( 6 ) = 0
2 ["( S e n O - S e n 2 0 ) C o s 0 - ( 1 + S e n 0 ) ( C o s 6 - 2 S e n 0 C o s 6 )
L (S én 6 - S e n 20 ) 2 J
2 C o s 8 ( S e n 28 + 2 S e n 9 - 1 )
( S e n 0 - S e n 20 ) 2
S e n 2 8 + 2 S e n 8 - 1 = 0 + S e n 8 = -1+ /TTÍ = /2 -1
0 = 2 ¿ ° 2 8 1 + a = 4 - 8 ° 5 6 >
s i b l e y qu e e s t á c i r c u n s c r i t o e n t o r n o a u na s em i ' e s fe r a
l e r a d i o R ( e l c e n t r o d e l a b a s e d e l c o n o c o i n c i d e c o n e l d e l a
e s f e r a ) . A
Solución, a ) S e á V e l v o l u m e n ó p t i m o d e l
c o n o y s e a n , x e y e l r a d i o
y su a l t u r a , r e s p e c t i v a m e n t e .
S i V = - ^Bxh
AA03 = AACO
de d o n d e : j
V = ^ 7r x2 y : d
_A0
0B
Ry ...
/R2y2
AC0C
x. -x R
534 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
S u s t i t u y e n d o e n ( 1 ) : V ( y )nR
(-y 2 - R !
-)
_ d 2 v 2 ( 2 _'1d 2 '
b ) D e r i v a n d o o b t e n e m o s : V ’ ( y ) = —5 " -* — ----------- '■3 (y2R2)2
S i V 1 ( y ) =0 -*• y 2 - 3 R 2=0 y = R / I
I K f cH C u ál h a d e s e r l a a l t u r a d e un co no i n s c r i t o e n un a e s f e r a
d e r a d i o R p a r a q u e s u s u p e r f i c i e l a t e r a l s e a l a ma yo r p o
s i b l e ?
Solución. a ) Se a S l a s u p e r f i c i e l a t e r a l ó p t i ma d e l c on o .
S e an x e y, s u r a d i o y s ü a l t u r a r e s p e c t i v a m e n t e .
Si S = wRg -*■ S = Trx/x2 + y 2 ( 1)
É n e l t r i á n g u l o r e c t á n g u l o B C D :
CH2
= BHxHC -*• x 2
= y (2 R-y )En ( 1 ) o b t e n e m o s : S ( y ) = / 2 R n ( > ^ R y 2 - y 3 )
¿ R v - 3 y 2b) S 1 ( y ) = / 2 Rir(2 / 2 R y ' - y "
S i S 1 (y ) =0 + ¿R-3y=0 -w y=4R/3
= / 2 l2 / 2 R -y
D e m os t r ar q u e l a c a n t i d a d d e t e l a n e c e s a r i a p a r a h a c er u n a .
t i e n d a d e c a mp a ña de f o r m a c ó n i c a y d e - c a p a c i d a d d a d a s e r á
l a m en or p o s i b l e e n e l c a s o d e qu e s ua l t u r a s e a / 2 "ve ce s mayor
q ue e l r a d i o d e . l a b a s e .
Solución. a ) En e f e c t o , s e a S l a c a n t i d a d ó p t i m a d e t e l a ( s u p e r
f i c i e l a t e r a l d e l c o n o ) . S e a n x e y , e l r a d i o y l a
a l t u r a d e l c o n o r e s p e c t i v a m e n t e
Sección 2: Aplicación de la primera de rivada 535
I T r a z a r u n a r e c t a d e m od o q u e p a s e p o r u n p u n t o d a do P ( 1 , 4 )
y qu e l a s uma de l a s l o n g i t u d e s d e l o s s e g me n t o s p o s i t i v o s
• n r t a d o s p o r d i c h a r e c t a e n l o s e j e s c o o r d e n a d o s s e a n l a m e n or po
n i b l e .
\olución. a ) S e a S l a s um a ó p t i m a d e l o s s e g m e n t o s a y b , t a l e s
que a>0 y b>0 . •+• S = a+b
: 'i oa l a r e c t a L : — + í = 1a b
:: i P ( 1 ,4.) eL > ^ + | = 1 _ £ aa - 1
( 2 )
( 2 ) e n ( 1 ) s e t i e n e : S ( a ) = - ~ +-3 a
1)) S'(a)( a - 3 ) ( a +1 )
. Pa ra S ' ( a ) =0 + a =
S 1 ( a) =°° -> a= 1( a - 1 ) 2
Vemos en ( 2 ) qu e p a r a a =1 , n o e s t á d e f i n i d a l a m a g n i t u d b .
i o r t a n t o , a =3 m i n i m i f i c a l a f u n c i ó n S
. ' u s t i t u y e n d o en ( 2 ) : b =6 L: ^ ^ = 13 6
H a l l a r l o s l a d o s d e l r e c t á n g u l o , d e m ay or ár e a p o s i b l e ,
i n s c r i t o e n l a e l i p s e E : b 2x 2 + a 2y 2 = a 2 b 2 .
Solución. a ) S e a S l a s u p e r f i c i e ó p t i m a d e l r e c t á n g u l o c u y a s d_i
m e n s i o n e s s o n : £ = 2x y h=2 y
d e mo do q u e : S = ( 2 x ) ( 2 y ) = . 4 x y ( 1 )
De l a e c u a c i ó n d e l a e l i p s e s e t i e n e :
( 2 ) -
y*
¿ / a 2 ->x2
yX
0
, - >x
8/13/2019 Problemas y ejercicios de Análisis Matemático Tomo 1 - FL
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a l t u r a d e l c o n o, r e s p e c t i v a m e n t e .
S i S = TrRg S = ir x/ x 2 + y 2
D ad o q u e V = i i r x 2 y + x 2 := — i 7iy _______
E n ( 1 ) o b t e n e m o s : S ( y ) = 1/ 3 V( )
b ) E n t o n c e s : S ’ ( y ) = / 3 V (— )2 y 2/3V+Tiy3
P a r a S ' ( y ) = 0 + i r y3- 6 V =0 -*■ y 36V
TT JL2 - i i
2 ny ( 3)
De (2 ) y (3 ) se deduc e que: ^ = x 2 -*• y = / 2 x l . q . q . d
( 2 ) e n ( 1 ) : S ( x ) = - ^ ( x / a 2 - x 2 )
b) S« (x ) =a / 2 2/ a - x
S i S ' ( x ) = 0 a 2 - 2 x 2 = 0 + x = a / 2 / 2 . L u e g o , e n ( 2 ) : y = b / 2 / 2
Kn c o n s e c u e n c i a , l o s l a d o s d e l r e c t á n g u l o s on :
A= a / 2 , h=b / 2
H a l l a r l a e l i p s e c u ya á re a, s e a l a m e no r p o s i b l e q ue e s t á
c i r c u n s c r i t a e n t o r n o a u n r e c t á n g u l o d ad o ( e l á r e a de l a
■ L i p s e d e - s e m i e j e s a y b e s i g u a l a i r ab ) .
536 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
So ¿ución. a ) Se a S e l á r e a ó p t i m a d e l a e l i p s e E : b 2x 2 +a 2y 2 = a 2b 2
S = irab
gu io de áre a dada: A = ¿Jth
Si P (£ . , h)eE -*■ b2Jl2 +a 2h 2 = a 2b 2
d e d o n d e : a h
a2-í 2
( 2 ) e n ( 1 ) : S ( a ) Tta^h
/ a2 2
b) Derivando obtenemos: S'(a) = Jfnal'8~2^ .)./ ( a 2 - í . 2 ) 3
Si S'(a)=0 a - 2 £ =0 a = £/2 , l u e g o , e n ( 2 ) : b=h / 2
SE n t o n c e s : S = tt(í,/2) (h/2) = 2ir£h = §(4Jlh) +
/ 2 *. ’. A r e a d e l r e c t á n g u l o = —( á r e a d e l a e l i p s e )
( | ) A
S e a d a da l a e l i p s e E : -g 1 - T r az a r un a t a n g e n t e
d e n od o q u e , e l á r e a d e l t r i á n g u l o e n g e n d r a d o p o r d i c h a
t a n g e n t e y l o s e j e s d e c o o rd e n a d a s , s e a l a m en or p o s i b l e . P or
q ué pu n t o d e l a e l i p s e d e be p a s a r d i c h a t a n g e n t e ?
So ¿ación. a ) S e a S e l á r e a ó p t i m a d e l t r i á n g u l o AOB y s e a
P ( x o , y o ) - e l p u n to d e t a n g e n c ia .
Ent onc es : S = -(ab ) ( 1 )
E c u a c i ó n de l a t a n g e n t e L: ^ f = 1c u ya p e n d i e n t e e s : m = -b / a
ii i ión 2: Aplicación de la primera de rivada 537
■ y x o ( a - x o ) = , d e d o nd e : xo =
:: u n t i t u y e n d o e n ( 2 ) o b t e n e m o s : yd = 1 8 / b
, a ( 1 8 / b ) ^ v 2 1 8 a 2Luego , en ( 3 ) : b = — i------— - b . = --------
a - 8 / a a 2 - 8
K n t o n c e s , en ( 1 ) : S ( a ) = 4 ( , a - )2 vi^T- 8
i-) D e r i v a n d o o b t e n e m o s : S ' ( a ) =2 / ( a 2 - 8 ) 3
S i S ' ( a ) = 0 + a 2 - 1 ó = 0 a = 4 . e n ( 4 ) : b=6
_ 1 3 .L u e g o , x o yo = = 3
( 4 )
Kn c o n s e c u e n c i a , l a t a n g e n t e p a s a p o r e l p u n t o P ( 2 , 3 ) .
S e a n d a d o s l o s p u n t o s AX 1 ,4 -) y B ( 3 , 0 ) e n l a e l i p s e E : 2 x z + y 2 = 1 8. H a l l a r e l t e r c e r p u n t o C t a l q u e e l . á r e a d e l AABC
s e a l a m a y o r p o s i b l e .
Sotución. a ) S e a S e l á r e a ó p t i m a d e l ABC, y s e a C ( x , y ) e l t e r
c e r v é r t i c e .
1 4
+ 3 = iX3
y0
I I
W | - a
í
1 y
+ S = 2x -y +6 ( 1 )
( 2 )
- > x
P ero CeE y = ± / i 8 - 2x 2
( 2 ) en ( 1 ) , s e t i e n e : S ( x ]
Ó
8/13/2019 Problemas y ejercicios de Análisis Matemático Tomo 1 - FL
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c u ya p e n d i e n t e e s : m b / a
D e r i va n d o i m p l í c i t a m e n t e l a e c u a c i ó n
d e l a e l i p s e o b t e n e m o s : , _ S f X ’vy
P a r a P ( x 0 , y o ) : m = - = - 74 y o a
d e d o n d e : * *b .= ? a ( — ) ( 2 )4 yo
P e r o P e L •> -2L2 + X * = 1 + b = ( 3 )a b a-x0
De ( 2 ) y ( 3 ) s e t i e n e : - ?a (- |£ ) = - S p - •> y 2 = | x 0 ( a - x 0 )4 yo a-xo 4D e l a e c u a c i ó n d e l a e l i p s e ' : yo = -|(8-Xo)
b ) S 1 (x ) = ¿i.Ó 3 -2xi .^ ü ./ 1 8 - 2 x 2
Si S ' (x )= 0 -*• 18 -2 x2 = -x
I,a e c u a c i ó n a d m it e s o l u c i o n e s r e a l e s *->■ 1 8 - 2 x 2 J 0 A -x í -0
<»• x2^ 9 A x^O
*-*■ - 3'í.x$3 A xí .0 ■<-*• -3^ x-^ 0
L u e g o, e l e v a n d o a l c u a d r a d o : 1 8 - 2 x 2 = x 2 ->■ x 2 =6 ' + x = - / 5 e [ - 3 , 0 ]
A n a l i c e m o s e l s i g n o d e S ' ( x ) e n e l e n t o r n o d e x =- V 6 , e s c r i b i e n d o
, , . i 2 ( / i 8 - 2 x 2 + x )p a r a e l l o : S ' ( x ) = — -------------------------i
±y
ü i x = - 2 . 5 e < - 3 , - / 6 > -> f 1 (-2 . 5 ) = M z l
538 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
c=1e< 6,0> f ' ( - 1 ) 2 ( + )
±yP a r a q u e s e c um p l a l a c o n d i c i ó n s u f i c i e n t e d e má xi mo en x = - / 6 ,
e s n e c e s a r i o q u e e l p r i m e r c o c i e n t e s e a ( + ) y e l s e g un d o Es
t o s e l o g r a c u a nd o e l d e n o m i n a d o r e s n e g a t i v o ( y < 0 ) .
E n t o n c e s , e n ( 2 ) : y = - / 1 8 - 1 2 = - / 6
En c o n s e c u e n c i a , e l v é r t i c e b u s c a d o e s C ( - /ó ", - /b" )
______ y 2 =2pxS e a n d a d o s l a p a r á b o l a y u n p u n t o e n s u e j e , a u n a d i s t a n
c i a a d e l v é r t i c e . I n d i c a r l a a b s c i s a x d e l p un to d e l a
p a r á b o l a má s p r ó x im o a l p u n t o r e f e r i d o .
S o l u c i ó n . a ) S e a d l a d i s t a n c i a ó p t i m a d e l p un t o P ( x , y ) a l p u n
t o A ( a , 0 ) ,y *
+ d = / ( x - a ) 2 + y 2 = / ( x - a ) 2 +2p x b ) D e r i v a n d o s e t i e n e :
d ' ( x ) = =/ ( x - a ) 2 +2p x
P a r a d ' ( x ) = 0 x - a + p = 0 + x = a - p
Si a > p -*■ x = a -p
a < p •+■ x = a - a =0
K H j t l U na b a n d a d e h i e r r o , d e a n c h u r a a, h a d é s e r e n c o r v a d a d e
modo qu e to me l a f o r ma de c a n a l ó n c i l i n d r i c o a b i e r t o , ( l a
s e c c i ó n d e l c a n a l ó n h a d e s e m e j a r s e a u n a r c o de s e g m e n to c i r c u
l a r ) . C u ál h a de s e r. l a a b e r t u r a d e l á n g u l o c e n t r a l q u e s e a p oy a
e n e s t e a r co p a r a q ue l a c a p a c i d a d d e l c a n a l ó n s e a l a m ay or p o s i
Sección 2: Aplicación de la primera derivada 539
AB = a ■* ra = a ++ r = a / a
L u e go , e n ( 1 ) s e t i e n e : V(a) = (~~ S8nct)2 a 2
h) v 1 ( a ) - |V ( 1 - C o s a ) - ( a - S e n a ) ( 2 a) j _ la 2 | q ( 1 - C o s a ) - 2 ( a - S e n a ) j
S i V ' ( a ) = 0 a ( 1 - Co s a ) - 2 ( a - S e n a ) = 0
-<-*• a( l+ C ós a) = 2Se na (2)
Dad o q u e a e <0 , i r | , l o s ú n i c o s v a l o r e s d e a q u e s a t i s f a c e n l a e c u a
c i ó n ( 2 ) s o n l o s v a l o r e s e x t r e m o s, e s t o e s , a =0 y a=ir .
En c o n s e c u e n c i a , l a a b e r t u r a d e l á n g u l o c e n t r a l d e b e s e r : a =n
Rs d e c i r , l a s e c c i ó n d e l c a n a l ó n h a d e t e n e r l a f o r m a d e un s em i
c í r c u l o .
U n t r o n c o d e á r b o l q u e m i d e 20 m , t i e n e l a f o r m a d e u n c o n o t r u n c a d o . . L o s d i á m e t r o s d e s u s b a s e s m i d e n 2 m y 1¡n r e s
p e c t i v a m e n t e . S e de b e c o r t a r u na v i g a d e s e c c i ó n t r a n s v e r s a l c u a
- Ir ad a c u y o e j e c o i n c i d a c o n e l d e l t r o n c o y c u y o v o l u me n s e a e l
m ay or p o s i b l e . Qué d i m e n s i o n e s d e b e t e n e r l a v i g a .
So¿ución. a ) S e a V e l v ol u me n ó p ti m o d e
l a v i g a d e s e c c i ó n c u ad r ad a
: 'e an : y , l a l o n g i t u d d e l a v i g a , a = x / 2 ,
e l l a d o d e l a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l de l a
v i g a d e d i á m e t r o 2 x .
S i V=Bx- h •» V = a 2 y = 2 x 2 y
ACFE = ABDE FE . 20 1/ 2DE y “ 1- x
( 1 )
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b l e .
Solución. a ) S e a V l a c a p a c i d a d . ó p t im a d e l c a n a l ó n . S e a n : .« , l a
l o n g i t u d d e l a b a n d a d e h i e r r o , a l a a b e r t u r a d e l
á n g u l o c e n t r a l ( 0<oí t t) y r e l r a d i o d e l s e c t o r c i r c u l a r .
S i V = Bx h •+■ V = ( á r e a d e l . s e c t o r c i r c u l a r - á r e a d e l AAOB)
+ V = ( - | ar 2
Pero: -^AB = CB = rSe'nlj
I a b x o c M
OC r C o s ^
^ABxOC = r 2
Sen^Cos-| = ■jr2f
de donde : y = 4 0 ( 1 -x.)
( 2 ) e n ( 1 ) : V ( x ) = 8 0 ( x 2 - x 3 )
b) V 1 ( x ) = 8 0 x ( 2 - 3 x )
S i V 1 (x ) =0 +-*• x=0 ó 2 - 3x = 0
''omo x^O * x = 2 / 3 , l u e g o e n ( 2 ) : y = 4 0 / 3
En . c o n s e c u e n c i a , l a s d i m e n s i o n e s d e l a
v i g a ó p t i m a s o n : a =2 / 2 / 3 m , y = 4 0/ 3 m
U na s e r i e d e e x p e r i m e n t o s c o n l a m a g n i t u d A h an d ad o como
r e s u l t a d o n v a l o r e s d i s t i n t o s x l f x 2 , . . . , x . Con f r e
c u e n c i a s e a d m i te c omo v a l o r d e A u n v a l o r d e x t a l , q u e l a su ma
d e l o s c u a d r a do s d e s u s d e s v i a c i o n e s d e x l t x ¿ , . . . , x s e a l a rae-
( 2 )
540 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
ñ or p o s i b l e . H a l l a r x q ue s a t i s f a c e e s t a c o n d i c i ó n .
Solución. a ) S e g ún e l e n u n c i a d o , e l e r r o r o d e s v i a c i ó n q ue se
c o m e t e e n c a d a m e d i c i ó n c o n l a m a g n i t u d A s o n :
( x - x i ) , ( x - x a ) , . . . , (x - x^ )
S i d e s i g n a m o s p o r 6 l a s u m a ó p t i m a d e l o s c u a d r a d o s d e e s t a s d e ¿
nv i a c i o n e s , e n to n c e s : S ( x)
i = 1( x - x . )
b ) De r i va n d o s e t i e n e : ó ' ( x ) = 2 2 1 ( x - x . )i =1
S i 6 ' ( x ) = 0n
Xi = 1
n
( x - x . )i =1 1 = 1
E n t o n c e s : nx x .
i
X = X l + X 2 + X. 3 + x n
i = 1 1 nP or t a n t o , e l v a l o r b u s c ad o e s l a m e di a a r i t m é t i c a d e l o s r e s u l
t a d o s de l o s c á l c u l o s x i , x 2 , . . . , x .
| Un t o r p e d e r o e s t á a n c l a d o , a 9km d e l p u n t o m ás p r ó x i m o d e
l a o r i l l a . S e n e c e s i t a e n v i a r a un m e n s aj e r o a l c am pa me n
t o s i t u a d o e n l a o r i l l a . La d i s t a n c i a . e n t r e é s t e y e l p un to más -
p r ó x i n o r e f e r i d o , e s i g u a l a 1 5k m. T e n i e n d o e n c u e n t a qu e e l me n
s a j e r o r e c o r r e a p i e 5km/h, y en una bar ca , r emando , ¿km/h, de
c i r e n qu é p un t o d e l a o r i l l a d e b e d e s e m b ar c a r p a r a l l e g a r a l - cam
p a m e n t o l o m á s p r o n t o p o s i b l e .
So¿uciin. a ) S e a t l a m a g ni t ud a o p t i m i z a r . S e a x l a d i s t a n c i a
d e l p u n t o 0 a l p u n t o P d e d e s e m b a r c o
Vi cción 2: Aplicación de la primera derivada 541
Un f a r o l d e b e s e r c o l g a d o e x a c t a m e n t e e n c i m a d e l c e n t r o
d e u n a p l a z u e l a c i r c u l a r d e r a d i o R. A q ué a l t u r a d e b er á
■: : t ar e l f a r o l p a r a qu e i l u m i n e , l o m e j o r p o s i b l e , u na s e n d a qu e
m d e a l a p l a z u e l a ? ( La i l u m i n a c i ó n de l a p l a z o l e t a e s d i r e c t a m e n
i.>■ p r o p o r c i o n a l a l c o s e n o d e l á n g u lo d e i n c i d e n c i a d e l o s r a y o s
l u m i no s o s e i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l a l c u a d r ad o d e d i s t a n c i a
i ue in ed ia e n t r e e l f o c o l u m i n o s o y l a p l a z o l e t a e n m e n c i ón ) .
' o ludia. a ) S e a E l a i l u m i n a c i ó n ó p t i m a , y s e a x l a a l t u r a d on
d e d e b e r á e s t a r e l f a r o l .
/ C o s i n//////////
E(x) =
= k ( - * ) d 3
kx
( x 2+R 2 \ 3 / 2
D e r i v a n d o o b t e n e m o s :
E 1 ( x ) = k ( R 2 Tg* -2-) - / ( x 2 +R2 ) 5
S i E 1 (x) =0 +■> R 2 - 2 x 2 = 0 , + x
í f j l En u n s e g m e nt o d e l o n g i t u d % q u e u n e d o s m a n a n t i a l e s d e
l u z d e i n t e n s i d a d l u m i n o s a l j e I 2 , h a l l a r e l p u n t o p e o r
i l u m i n a d o . ,
volución. a ) S e a: P e l p u n t o p e o r i l u m i n a d o t a l q u e AP =x , P B = £ - x
L a i l u m i n a c i ó n e n e l p u n t o P e s :
K = Ei + E2
Como l a i l u m i n a c i ó n e s i n v e r s a m e n t e
' f i l l d d d l d i
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d e l p u n t o 0 a l p u n t o P d e d e s e m b a r c o .
E l t i e m p o q u e d e m o r a e l m e n s a j e r o e n
ir de T a P y lue go de P a C, es :T
. _ TP PC t ~ 4 + 5
t ( x ) =
b ) D e r i v a n d o o b t e n e m o s :
5x - l/x2\81
/ x 2 + 81 , 1 5 - x 4 5
t 1 ( x)2 0 / x 2 + 8 1
P a r a t ’ ( x ) = 0 5 x - 4 / x 2 + 81 =0
d e d o n d e : x 2 =1 ¿¿ * x =1 2 15
P o r t a n t o , e l m e n s a j e r o d e b e d e s e m b a r c a r a 1 5 - 1 2 = 3 k m d e l c a r n p .
n
b
¡ ' f o p o r c i o n a l a l c u a d r ad o d e l a d i s
t a n c i a a l f o c o l u m i n o s o , e n t o n c e s :
E ( x )
b ) E 1 ( x ) =
I, h
í 2 (SL-x)2
2 1 1 + 212è-x -
B
Si E ' (x) =0 ->■ - Üx 3
x 3 - U - x ) 3
l i _ I 2
U - x ) : I 2
V i , X
H-x
de donde: Z . 3/ l i
u - x ) 3 3/ í ¡
e s e l p u n t o p e o r i l u m i n a d o , e s d e -V f T + 3/ i ¡
i r , l a d i s t a n c i a £ s e d i v i d e p o r e l pu n t o P a r a z ó n d e V ì i s
542 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Un c u a d r o d e a l t u r a 1 . 4m c u e l g a d e l a p a r e d d e mo do q ue
s u b o r d e i n f e r i o r e s t á a 1 . 8 m p o r e nc i m a d e l r a d i o d e l a
v i s t a d e un o b s e r v a d o r . A q u é d i s t a n c i a d e l a p a r é d d e b e s i t u a r
s e e l o b s e r v a d o r p a r a qu e s u p o s i c i ó n s e a l a m ás v e n t a j o s a p a r a
c o n t e m pl a r e l c u a dr o ( e s d e c i r , p a r a q ue e l á n g u lo v i s u a l s e a e l
m a y o r p o s i b l e ) .
Solución. a ) S e a a e l á n g u l o ó p t i m o y
s e r v a d o r a l a p a r e d .
En l a i l u s t r a c i ó n g r á f i c a de p r ob l em a :
r. 4. o X _ 5x u o t g S - “ TE
Cotg
s e a x l a d i s t a n c i a d e l o b
x1 . 8
5x 9
0 = arc Cot g (-^g)
8 = arcCo tg ( - | x )
b ) a ' ( x ) = -80 45
Si a ' (x ) =0 +
de donde:
2 5 6 + 2 5 x2 8 1 + 2 5 x 2
80 _ 45
2 5 6 + 2 5 x 2
-AAL ~ 25
81 + 2 5x
12= 2.4m
U n a c a r g a d e p e s o P s i t u a d a e n u n p l a n o h o r i z o n t a l d e b e
s e r d e s p l a z a d a b a j o l a a c c i ó n d e l a f u e r z a F a p l i c a d a a e
l i a . L a f u e r z a de r o za m i e n t o e s p r o p o r c i o n a l a l a q u e a p r i e t a e l
c u e rp o c o n t r a e l p l a no y t i e n e l a d i r e c c i ó n o p u e s t a a l a d e l a
f u e r z a qu e d e s p l az a e l c u e rp o . E l c o e f i c i e n t e d e p r o p o r c i o n a l i d ad ( e l c o e f i c i e n t e d e r o z a m i e n t o ) e s i g u a l a k . Qué v a l o r d e be
.Vi 'i ción 2: Aplicación de la primera derivada 543
I.m f u e r z a d e r o z a m i e n t o e s k N y l a c o m p o n e n t e h o r i z o n t a l d e l a
T u e r za a p l i c a d a e s FCosc| > . C u an d o é s t a i g u a l a a l a f u e r z a d e r o -
. . ' imiento obtenem os^ .
kPCosí>+kSen<t> ( 1 )FCos<t> = k(P-FS en<!>) -*• F ( <í>) =
i.) f ' ( 4>) = kP(-Sen<t>- fkCos<|>)
(Co s<t>+kSen<¡>) 2
S i F 1 ( ) —0 -Se niJ i+k Co stj>—0 Tani)>=k ** 4>= ar cT an k
l.a f u e r z a m í ni m a d e d e s p l a z a m i e n t o l a o b t e n e m os s u s t i t u y e n d o
Tnn<t>=k en ( 1) : kP kP
/ 1 + k 2 A +k 2
En u na p á g i n a d e u n l i b r o e l t e x t o i m p r e s o d e be o c u p a r S
c m2 . L os m á r ge n e s s u p e r i o r e i n f e r i o r d e b e n se r i g u a l e s a
.'1 c m, l o s d e i z q u i e r d a y d e d e r e c h a , i g u a l e s a b c m. S i t o m am os
' ii c o n s i d e r a c i ó n s ó l o l a . e c on o m í a d e l p a p e l , q u é d i m e n s i o n e s de
l a p á g i n a s e r í a n l a s más v e n t a j o s a s ?
Solución. a ) S e a A e l á r e a ó p t im a d e
l a p á g i n a . S i x e y s on
l a s d i m e n s i o n e s d e l a p a r t e i m p r es a ,
e n t o n c e s , l a s d i m e n s i o n e s de l a p á g i
n a s e r á n : x +2 b y + 2 a ( 1 )
A r ea de l a p á g i n a : A = ( x + 2 b ) ( y + 2 a )
A = x y + 2 a x + 2 b y + 4 a b ( 2 )
l'oro: S = xy y = x
I (2 ) A( ) S 2 2 ^ 4 b I'
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t e n e r e l á n g u l o <t> f o r ma d o e n t r e e l h o r i z o n t e y l a f u e r z a F a p l i
c a da p a r a q ue e l v a l o r d e é s t a r e s u l t e e l m en or p o s i b l e ? H a l l a r
e l v a l o r m í ni m o d e l a f u e r z a d e d e s p l a z a m i e n t o .
Solución. a ) Sea F(<b) l a f ue rz a a pl ic ad a ópt ima , ' donde <J>£. [o, tj ]
Como se mues tra en
l a f i g u r a , F t i e n e u n a c o mp on e nt e
v e r t i c a l h a c i a a r r i b a : FSen<¡>
E n t o n c e s , l a f u e r z a n or m al n e t a
q u e p r e s i o n a c o n t r a e l p l a n o e s
N = P-FSen<¡>
FCosij)
I.ucgo, en (2 ): A(x) = S + 2ax + -2 ^ + 4ab I'
¡O A ' ( x ) = 2 a - ¿ 5 2 . s i A ' ( x )=0 + x 2 = — + xx 2 a
bS J H 1 a
/aS"- y = V—
l'or t a n t o , e n ( 1 ) , l a s d i m e n s i o n e s d e l a p á g i n a s o n:
2 b + / * § y 2 a +
( [ ¿ ¿ y Un e mb ud o c ó n i c o , d e r a d i o de b as e R y a l t u r a H e s t á l l e
n o d e a g u a . U na e s f e r a p e s a d a e s t á s u m e r g i d a e n e l e mb ud o,
i■11á l h a de s e r e l r a d i o d e l a e s f e r a p a r a q u e e l v o l um e n de a g ua
544 Capítulo 4: Análisis de las Fundones
e x p u l s a d a d e l e mb ud o p o r l a p a r t e s u m e r g id a de l a e s f e r a , s e a l a
m a y o r p o s i b l e ?
Soiución. a ) S e a V e l v o l u m e n ó p t i m o de
a g u a d e s p l a z a d a y s e a x e l
r a d i o d e l a e s f e r a .
En l a i l u s t r a c i ó n g r á f i c a d e l p r ob l em a :
CA = OA-OC = OA- x ; CA = BÁ- BC = H-BC
* OA-x = H-BC «-+ BC = H+x- OA ( 1)
J3DDA
OEOA
xOA
EX R
h= a l tu ra de agua = BC
r = r a d i o d e l a e s f e r a = x
Lueg o, en (1 ) : BC .= H+x
V o l u m e n d e a g u a d e s p l a z a d a = V o l u m e n d e l s e g m e n t o e s f é r i c o
V o l . d e l s e g m e nt o e s f é r i c o = ^ h 2 ( 3 r - h )
E n t o n c e s : V ( x ) = - | ( B C ) 2 ( 3 x - B C )
= | ( H + x - ^ | ) 2 ( 3 x - H - x +
= ^ ( H+ x - ^ | ) 2 ( 2 x - H + Zf)
b ) D e r i v a n d o o b t e n e m o s :
V 1 ( x ) = | ( H + x - [ ( ? ^ £ -) ( H+x - Sf ) + 2 ( ^ S ) (
Si V' (x) =0 - (J B* g) (RH.tHg.-.e x ) + 2 (Rz£)(.2RxzHR+gx) = Q
2x-H +
( 2 R + g ) R H + ( 2 R + g ) ( R - g ) x + 2 ( R - g ) ( 2 R + g ) x - 2 ( R - g ) H R = 0
Sección 2: Aplicadán de la primera derivada 545
.",ean b = x i- x 2 y h = y i - y 2 , l a s d i m e n s i o n e s d e l r e c t á n g u l o A B C D , d o n
He x i , X2 , y i , y 2 > s o n l a s a b s c i s a s y o r d e na d a s d e l o s p u n t o s de
I n t e r s e c c i ó n d e l a p a r á b o la y l a c i r c u n f e r e n c i a .
Ent onc es : S = - {x j - x 2 ) ( y i - y 2 ) ( 1 )
l i c ua c ió n de l a c i r c u n f . x 2 + y 2 =R 2
l i c u a c i ón d e l a p a r á b o l a y 2 = 4-p(x+R)
I n t e r c e p t a n d o a m b a s c u r v a s o b t e n e m o s
x i=R-4p , X2 = -R "*■ x i -X 2 = 2 (R- 2p)
y i = 2 / 2 p R - 4 p 2 , y 2 = - 2 / 2 p R - 4 p 2
+ y i - y z = 2pR- Ap 2
Kn (1 ): S ( p ) = - l | ( R - 2 p ) ( / 2 p R - 4 . p 2 )
b) D e r i v a n d o l a f u n c i ó n o b t e n e m o s :
( p ) = 1 6 ( R - 2 P ) ( R - >1
3 / 2 p R - ¿ p 2
” i S ' ( p ) = 0 -*-*■ R - 2 p = 0 ó R - 8 p = 0 *-* p=R/2 ó p=R / 8
A n a l iz a n d o e l s i g n o de S ' ( p ) e n l o s i n t e r v a l o s < 0 , R/ 8 > y
< R / 8 , R / 2 > s e d e t e r m i n a q ue e l v a l o r ó p t i m o d e l p a r á m et r o e s :
p = R / 8
Un p l a n o , p a r a l e l o a l a g e n e r a t r i z , c o r t a u n c on o cü yo r a
d i o d e b a s e e s R y c u y a a l t u r a e s H . C u ál h a d e s e r l a d i s
i .a n ci a e n t r e l a l í n e a d e i n t e r s e c c i ó n d e d i c ho p l a n o c on e l p l a no
d e l a b a s e c ó n i c a y e l c e n t r o d e l a b a s e c ó n i c a p a r a q ue e l á r e a
d e s e c c i ó n s e a l a m a yo r p o s i b l e ?
Solución a ) S e a S e l á r e a ó p t i m a d e
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de donde : x RHg
( g - R ) ( g + 2 R )
Un a p a r á b o l a t i e n e s u v é r t i c e s i t u a d o s ob re , u na c i r c u n f e
r e n c i a d e r a d i o R, y e l e j e d e l a p a r á b o l a s i g u e l a d i r e
c i ó n d e l d i á m e t r o . C u ál h a d e s e r e l p a r á m e t r o d e l a p a r á b o l a p
r a qu e e l á r e a d e l s e gm e nt o l i m i t a d o p o r l a p a r á b o l a y l a c u e r d
c omú n p a r a é s t a y l a c i r c u n f e r e n c i a , s e a l a m ay or p o s i b l e ? ( El
r e a d e l s eg m en t o p a r a b ó l i c o s i m é t r i c o e s i g u a l a do s t e r c i o s d e l
p r o d u c t o de s u b as e p or l a a l t u r a ) .
So ¿ución. a ) S e a S e l á r e a ó p t i m a d e l s e g m e n t o p a r a b ó l i c o .
ü j
c d I
R j
' C ti l
Solución. a ) S e a S e l á r e a ó p t i m a d e
l a s e c c i ón r e s u l t a n t e y
;;ea x=0 P l a d i s t a n c i a b u s c a da .
Por e l e j e r c i c i o a n t e r i o r :
S = ¿(DExPQ)
AABC - AAQPCB
APAC
PQ
Æ :jÇTTTTï
de do n de : PQ = — ( R+x)
+H
DE 2DP = 2/0D 2- 0 P 2 2 Á 2- x 2
546 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Sustituyendo ( 2 ) y ( 3 ) en ( 1 ) se tiene:
S (x) = (R+ x )/r 2- x 2 = k(R +x) /R2 -x2 ( k es constante)
b ) D e r i v a n d o l a f u n c i ó n S o b t e n e m o s : S ' ( x ) = - k ( 2 x - R ) ( x + R )
/ r 2 - x 2
S i S 1 (x ) =0 +-*■ 2x -R =0 ó x+R= 0 -*->• x= R/ 2 ó x=- R
D ad o q u e xe < 0 , R > , l a d i s t a n c i a ó p t i m a e s x = R/ 2
S e a d a d a l a p a r á b o l a y 2 = 2 px y l a n o r m a l e n u n p u n t o P .
D ón de d e b e e s t a r s i t u a d o e l p u n t o P p a r a q ue e l s e g m e nt o
d e l a n o r m al s i t u a d o d e n t r o d e l a p a r á b o l a t e n g a l a l o n g i t u d m í
nima .
Soéuciin. S e a d l a d i s t a n c i a ó p t im a d e l p u nt o P ( x , y ) a l pu n t o
P i ( x i . y i ) .
-*• d = ' / ( x - x i ) 2+ ( y - y i ) 2 ( 1 )
S i y = 2p x -*■ 2 y y 1=2p * y ' = y
E n t o n c e s l a e c u a c i ó n d e l a n o r m a l q u e
p a s a p o r P y P i e s :
( 2 )
S u s t i t u y e n d o ( 2 ) e n ( 1 ) s e t i e n e :
d
y - y i = - ^ ( x - x i )
= / ( ï - x i ) 2 + L ( x - x i ) 2| X - X ,p 1 |/p2+y2 = I - ^ I V p ^+2^
2
yj = 2p* i -» x i =
( 3)
S i e n d o P 1e ( y 2 =2px)
En (2): yyi = *¿(x fe) ^ yyi + 2p 2yi2py (x+ p) =02f 1 '
P ' "
( ¡óii 2: Aplicación de la primera de rivada 547
d , ( x) _ P ( 2 x + p ) ( x - g j
x 2 / p 2 +2p x
MI d ’ ( x ) = 0 + 2x+p=0 ó x -p= 0 -<-*■ x= -p /2 ó x=p
i'.uno p >0 y x > 0 , e l e x t r e m o q u e m i n i m i n i z a l a f u n c i ó n e s x= p
i . u og o ,. s i y z =2p x y = ± p / 7
l ' o r t a n t o , l o s p u n t o s b u s ca d o s s o n: P ( p , ± p / 2 )
E l s e g m e n t o d e l a t a n g e n t e a u n a e l i p s e c o m p re n d i d o e n t r e
l o s e j e s , t i e n e l o n g i t u d mí n im a. M o s t ra r q ue l a t a n g e n t e
no d i v i d e , e n e l p u n t o de c o n t a c t o , e n d o s p a r t e s i g u a l e s a l o s
n o m ie j e s d e l a e l i p s e , r e s p e c t i v a m e n t e .
i \ moAt/iación. En e f e c t o , s e a d =AB, l a l o n g i t u d m í ni m a d e l s e g
m en to de t a n g e n t e , P ( x i , y i ) e l p u n to d e t a n g e n c i a
y l a e l i p s e E : b 2x 2 + a2y 2 = a 2 b'2 .D e r iv a n do i m p l í c i t a m e n t e E s e t i e n e :
y ' = - ( i ) J ( f ). 'bzx+ 2 a 2 y y ' = 0
Kn P e E, l a e c u a c i ó n d e l a t a n g e n t e e s :
. v -y i = - ( | ) 2 ( y í - ) ( x - x i )
. le donde: b2x ix + a2y i y = a 2b 2
I n t e r c e p t a n d o c o n l o s e j e s c o o r d en a d o s2 y . 2
obte nem os: A(-— , 0 ) y B ( 0 , — ) ( 1 )x i . ' yi
K n t o n c e s d = AB
d ( x
= J'~z + ~ * P er o d e E: y í = ( g ) 2 ( a 2 xf ¡
Y xf y 2
,) =,/ fL* + ----- . = a / I T
( 2 )
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y i
- d 2 ± / p " ‘f + 2 p y 2 ( x + p ) - p 2 - i / p ' * + 4p 2 x ( x + p )
____ ~ y
p 2p/ (p +2 x) 2 = _ 2¡>/ . ,
y y
(y i<o )
L u e go , e n ( 2 ) : y + ^ ( x + p ) = - ^ ( x - x i )
p y 2 +2p 2 ( x + p ) = - y 2 ( x - x i )
d e d o n d e : x ~ x * = - ( P * 2 - ) -»■p x
L u e g o , e n ( 3 ) : d ( x ) = ( ^ + 2 ) v / p2 +2pj
2p 2x + 2 p 2 (x+p) = - 2 p x ( x - x i )
, x p ‘ + 2
b ) D e ri v a nd o l a f u n c i ó n o b t e n e a o s :
d ( x
d 1 ( x i )
,) , _• x? b 2 ( a 2 - x ? ) V x?
[b 2 ( a 2 - x 2 ) » Xj
- 2 a 2x ~ 3 - b 2 ( a 2 - x 2 ) ~ 2 ( - 2 x i
2 / * l + _ Ü T! x\ a 2 - x 2
2 a 2
]
Como AB e s m í n i m a d ' ( x i ) = 0 ■+• - ------ + 2 b 2 x i
( a 2 - x 2 ) := 0
( a 2 - b 2 ) x j - 2 a l,x 2 + a 6 =0 , de donde: x f =
M u s t i t u y e n d o e n ( 2 ) o b t e n e m o s : y 2 =
L u eg o, e n ( 1 ) s e t i e n e : A ( / a ( a + b ) , 0 ) y B ( 0 , / b ( a + b ) ]
548 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
E n t o n c e s , l a l o n g i t u d m í ni m a e s : d = AB = / a ( a + b ) + b ( a + b ) - a + b
r,P RP x , BP a V^a+b BPAPCB = AAOB = = f , = ------
-0A AB x a+D / a (a + b ) a+b
+ - T t = TT + BP = a y AP ~AB-BP =(a+b)-a = b a+b a+b J
D e m os t r ar q u e l a d i s t a n c i a e n t r e e l c e n t r o d e l a e l i p s e a
c u a l q u i e r n or m al n o es . s u p e r i o r a l a d i f e r e n c i a d e l o s s e
m i e j e s . ( Es c o n v e n i e n t e r e c u r r i r a l a e x p r e s i ó n p ar a m é t r i c a de
l a e l i p s e ) .
Tierno strac ¿6 n. E n e f e c t o , s e a n x = a C o s t , y = b S e n t l a s e c u a c i o n e s
p a r a m l t r i c a s d e l a e l i p s e d e c e n t r o C ( 0 , 0 ) .
E n t o n c e s : = - a S e n t , = b C o s t -*■ ^ = - - j j Co tg t
P a r a e l p u n t o de t a n g e n c i a P ( x o , y o ) > l a p e n d i e n t e d e l a n o rm al
e s : n = - | T a n t , y s u e c u a c i ó n : y - y o = ■ | Ta n t( x - x< >)
de donde, L:aTantx - by = axoTant - byo
P e r o : x o = aC o s t , y 0 = bS e n t + L : ( a T a n t ) x - b y = a 2 S e n t - b 2 S e n t
„ ,T i Ia 2 S e n t - b 2S e n t | _ ( a + b ) ( a - b ) | S e n t |E n t o n c e s : d ( 0 , L ) = — , ______ = ---------------- , ■■-t--.--■. — L
/ a 2 T a n 2 t + b 2 / a 2T an t + b 2
P u e s t o q u e : 0 s | S e n t [ $ 1 -> 0 í ^ ^ £ 1/ a 2 T a n 2 t + b 2
d ( 0 , L ) 4: a - b
S £ | & 1 ' E n e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s XOI v i e n e n d a d o s e l p u n t o ( a , b ) y l a c u r v a y = f ( x ) . - M o st r ar qu e l a d i s
Vi 'i i ión 2: Aplicación de la primera derivada 549
l 'n ro s a b em o s q u e : m = f ' ( x ) * n = - .¡m ( x ) * * f ' ( x ) = - ~
l .uego , en ( 2 ) : d ' ( x , y ) ■
n / ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2
."■i d ' ( x , y ) =0 n ( x - a ) = y - b + x - a = ( 3 )
O b se r va m os qu e e n e l e n t o r n o d e x - a , d ' ( x , y ) >0 ó d * ( x , y )< 0 s e g ú n
■|Ue n >0 ó n<0 , e s d e c i r , l a f u n c i ó n d a l c a n z a un e x t r em o s i g u i e n
d o l a d i r e c c i ó n d e l a n o r m a l .
." .us t i tuyendo (3 ) en ( 1 ) s e t i e n e :
d = / ( ^ ) 2 + ( y - b ) 2. = l ^ l / T ^ 2
DEFI NI CI ON 4 . 9 S e l l a m a f u n c i ó n p r i m i t i v a d e l a f u n c i ó n f ( x ) a
l a f u n c i ó n F ( x ) c u ya d e r i v a d a e s i g u a l a l a d ad a,
e s t o e s , F ' ( x ) = f ( x ) .
En l o s e j e r c i c i o s 1 2 6 0 -1 2 6 2 m o s tr a r ( d e r i v a n do y s i n d e r i v a r )
q ue l a s f u n c i o n e s d a d a s s o n p r i m i t i v a s d e un a m is ma f u n c i ó n .
1 2 6 0. y = l n a x , y = l n x o
Demostración. En e f e c t o , s e a n F ( x ) = l n a x y G ( x' ) =l n x
S i F ( x ) = l n a + l n x = l n a + G ( x )
-*■ F' (x) = G* (x) = 1/x
F ( x ) y G( x ) s o n p r i m i t i v a s d e l a f u n c i ó n f ( x ) = ^
■afc1 2 6 1 . y = 2 S e n 2 x , y = - C o s 2 x
Demostración. En e f e c t o , s e a n l a s f u n c i o n e s :
F ( x ) = 2 S e n 2 x y G ( x ) = - C o s 2 x
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t a n c i a e n t r e e l p u n to c o n s t a n t e ( a , b ) y l a v a r i a b l e (x', f ( x ) ) p u e
d e a l c a n z a r s u e xt r e mo s ó l o s i g u i e n d o l a d i r e c c i ó n d e l a n or m al
a l a c u r v a y = f ( x ) .
de.1n.0 4tn.ación. En e f e c t o , s e a d l a d i s t a n c i a ó p t im a e n t r e l o s
p u n t o s ( a , b ) y ( x , y ) .
E n t on c e s : d ( x , y ) = / ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 ( 1 )
D e r i va n d o i m p l í c i t a m e n t e s e t i e n e :
d' (x v ) = 2 ( x - a ) +2 ( y - b ) y 1 = ( x ~ a ) + ( y - b ' ) f 1 ( x ) ( 2 )
2 / ( x -a ) 2 + ( y - b ) 2 / ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2
D e r i va n d o a mb as f u n c i o n e s s e t i e n e : F 1 (x) =4-SenxCosx=2Sen2x
G ' ( x ) = S e n 2 x ( 2 ) = 2 S e n 2 x
.' . F ( x ) y G( x ) s o n p r i m i t i v a s d e l a f u n c i ó n f ( x ) = 2 S e n 2 x
1 2 6 2 . y = ( e x + e ' x ) 2 , y = ( e x - e *x ) 2
Demostración. En e f e c t o , s e a n l a s f u n c i o n e s :
F ( x ) = ( e x + e~x ) 2 y G ( x ) = ( e x - e ‘ x ) 2
> F ' ( x ) = 2 ( e x + e _ x ) ( e x - e ' x ) = 2 ( e 2 x - e “ 2 x )
550 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
G ' ( x ) = 2 ( e x - e - x ) ( e x + e “ x ) = 2 ( e ¿ x - e ' ¿ x )
F ( x ) y. G ( x ) s o n p r i m i t i v a s d e u na mi s ma f u n c i ó n :
f ( x ) = 2 ( e 2 x - e ‘ 2 x )
M o s t ra r q ue l a f u n c i ó n ; y = C o s2 x + C o s2 (-^ + x ) - C o s x C o s + x)
e s c o n s t a n t e ( e s d e c i r , n o d e p e nd e de x) * H a l l a r s u v a l o r *
De.mo¿t/iacíón. S i l a f u n c i ó n d a d a e s c o n s t a n t e , s u d e r i v a d a de b e
s e r c e r o * E n e f e c t o :
y ' = - 2 C o s x S e n x - 2 C o s ( ^ + x ) S e n ( ^ + x ) - [ - C o s x S e n ^ + x ) - C o s ( | j + x ) S e nx ]
= - S e n 2 x - S e n (- ti + 2x) + Se n( ^ + 2x)
= - S e n 2 x - [ S en ( |T r + 2 x ) - S e n ( | + 2 x ) ]
T r a ns f o rm a nd o a p r o d u c t o e l c o r c h e t e s e t i e n e :
y ' = - S e n 2 x - [ 2 C o s ( | + 2 x ) . S e n ( £ ) ] = - S e n 2 x - [ - S e j i 2 x . ( ■£) ] = 0
Da do q ue l a f u n c i ó n e s c o n s t a n t e V x ’ D o m ( f ) , e n t o n c e s , p a r a x= 0
s e t i e n e í y = ( 1 ) 2 +Cos2 (r p- (1 )Cós(- ^) = 1 + 2 ~ ~l
M o s t r a r q u e l a f u n c i ó n y =2 a r c T a n x + a r c S e n ( " ^ ^ ,2") es const an.
t e c u an do x >1 . H a l l a r e l v a l o r d e e s t a c o n s t a n t e .
de.rn.OAtn.ac.lbn. Debemos probar que y '=0 .
E n e f e c t o :
. 1 , ____
1 f ( 1 + x z ) ( 2 ) - 2 x ( 2 x ) 1
y = ( 1 +x 2> O - 2 ) 2 J+X2'
d on d e 0 < b^ a e s c o n s t a n t e c u a n d o x ^O. H a l l a r e l v a l o r d e e s t a c o n s
t a n t e .
De.moAtn.ad6n. Debemos pr oba r que y' =0 , ¥-x5-0
E n e f e c t o :
y I = _ ________ } ________ r ( a +b C o s x ) ( - a S e n x ) - ( a C o s x + b) ( - b S e n x ) ~|
[ /aC osx+bs 2 L (a+b Cosx ) 2 JV ” a+bCo sx
= - [ a+bCosx | r -(a2-b2)Senx~í
/(a+ bCos x)2-(a Cosx+b) 2 L (a+bCosx)2J
fa+b ___________ "I / a 2 - b 2 ^ 1 ^
( a + b ) + ( a - b ) T a n 2| J a +b C o s 2|
Cuando xj,0 , a .b>0 Ia+b Cosx| =a+bCosx
Sección 2: Aplicación de la primera derivada ____________________ _ ______________ 55 1
„ yi _ _ ________ ( a + b C o s x ) ( a 2 - b 2 ) S e n x _ / a 2 - b 2
/ ( a 2 - b 2 ) - ( a 2 - b 2 ) C o s 2 x ( a + b C o s x ) 2 ( a + b ) C o s 2^ + ( a - b ) S e n 2 |
_ ( a 2 - b 2 ) S e n x _ __________________ / a 2 - b 2 ________________
i^(a2 - b 2 ) S e n 2 x ( a + b Co s x ) a ( S e n 2í + C o s 2f ) + b ( C o s 2^ - S e n 2^ ) / --------- > --------- ¿ 2
- *a 2 - b 2 S e n x / a 2 - b 2 , . . . .- ~ ' ~ * -------------- (Cuando x O ♦ | Se nx | =Se nx)
( a + b C o s x ) | S e n x | a + b C o s x
/ . y ' = j £ Ü ¡ ! . J ± Ü Ü . = oa+bCosx a+bCosx
Como l a f u n c i ó n e s c o n s t a n t e ¥ -x S0 , e n t o n c e s , p a r a x= 0 s e t i e n e :
y = a r c C o s ( f ± ^ 2 a r c T a n [ / f = | ( 0 ) ] = a rc Co s ( 1 ) 2 a r c T a n ( 0 ) = 0
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1 + x
+ 1+x2 - p ( 1- x »)1 = _L _ + 1-x 2- (_ 2_ )/( 1 x 2 )2 L(1 +x2) J 1 +x2 |1 x2| 1 +x2
Cuando x»1 ■* x 2»1 x 2 - 1 * 0 , o b i e n : 1 - x 2-S0 ->• | 1 -x 2 | = - ( 1 - x 2 )
y ' = - £ _ + ( - 1 ) ( - 2 — ) = 0
1+ x 2 1+ x 2
S i e nd o l a f u n c i ó n c o n s t a n t e ¥x>1, e n t o n c e s p a r a x=1 s u v a l o r e s :
y = 2arc Tan ( 1) + arc Sen = 2( ^) + = ir
M os t ra r q ue l a f u n c ió n y =a r cC o s ( ^ ^ x ^ ) - 2 ar c Tg
y = a r c C o s ( f ± ^ - 2 a r c T a n [ / f = | ( 0 ) ] = a rc Co s ( 1 ) - 2 a r c T a n ( 0 ) = 0
H Ü J C o mp r ob a r q u e l a s f u n c i o n e s - | e 2x , e x S e n hx y e x C o sh x d i f i e
r e n e n u n a m a g n i t u d c o n s t a n t e . M o . s t r a r q u e c a d a u n a d e l a s
f u n c i o n e s i n d i c a d a s e s u na f u n c i ó n p r i m i t i v a c o n r e s p e c t o a l a
f u n c i ó n e 2 x .
De.noAtn.ad6n, En e f e c t o , s e a n : F ( x ) = ^ e 2 x
G ( x ) = e x S e n h x = e x ( ^ ) ( e x - e _ x ) = - j e 2 x - j
H ( x ) = e x C o s h x = e x ( ^ ) ( e x + e ‘ x ) = ~e2x + j
552 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
Como p od em o s o b s e r v a r , l a s f u n c i o n e s F , G y H d i f i e r e n e n un a
m a g n i tu d c o n s t a n t e , q u e e s 1 / 2 .
S i d e r i v a m o s c a d a u n a d e e s t - a s f u n c i o n e s o b t e n e m o s :
F 1 (x) = G1(x) = H1(x) = | ( e 2 x ) ( 2 ) = e 2x
/ 2 xP or t a n t o , F , G y H s o n p r i m i t i v a s de l a f u n c i ón f ( x ) = e
APLIC ACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA
3.1 VALORES EXTREMOS
S u po n ga m os q u e e n e l p u n t o x = c , p e r t e n e c i e n t e a l i n t e r v a l o < a , b > , l a f u n c i ó n y = f ( x ) e s d e r i v a b l e y f ' ( c ) = 0 . A d mi t im o s, a de m ás ,, q ue
e x i s t e f " ( x ) y e s. c o n t i n u a s o b r e e l e n t o r n o d e l p u nt o c . E n t o n c e s
p a r a e s t é c a s o e s v á l i d o e l s i g u i e n t e t e or e m a:
TEOREMA 4.9 S e a y = f ( x ) u na f u n c i ó n d i f e r e n c i a b l e e n un i n t e r v a l o
a b i e r t o I , q u e c o n t i e n e a l p u n t o x = c , y s u p o n ie n d o
q ue f " ( x ) e x i s t e , s e t i e n e :
i ) S i f ' ( c ) = 0 y f " ( c ) < 0 , e n t o n c e s f ( c ) e s un má xi mo r e l a t i v o
i i ) S i f ' ( c ) = 0 y f " ( x ) > 0 , e n t o n c e s f ( c ) e s u n m ín im o r e l a t i v o
i i i ) S i f ' ( c ) = 0 y f " ( c ) =0 ó f " ( c )= ° ° , e l c r i t e r i o no e s c o n c l u
y e n t e .
de.n.0¿ilación. D e m os t r a re m o s l a p r i m e r a p a r t e d e l t e o r e m a.
En e f e c t o , p or l a d e f i n i c i ó n 3 . 2 s e t i e n e :
Sección 3: Aplicación de la segunda derivada 553
4 . 7 ) , s e t i e n e q ue f ' ( c ) e s un máxi mo r e l a t i v o de l a f u n c i ó n f .
PROBLEMAS RESUELTOS
A p li c an d o e l c o n c ep t o d e l a s e gu n da d e r i v a d a, h a l l a r l o s e x t r e
mos de l a s f u n c i o n e s q u e s e i n d i c a n e n l o s e j e r c i c i o s 1 2 6 7 - 1 2 7 5 .
y = x 3 - 2 a x 2+ a 2 x ( a > 0 )
Solución. f 1 (x ) = 3 x 2 - 4 a x + a 2 = ( 3 x - a ) ( x - a )
S i f 1 ( x ) =0 + ( 3 x - a ) ( x - a ) = 0 ++ x i = a / 3 ó x 2 =a
P a ra x l = a / 3 + f ( f ) = - 2 a ( f O + a 2 ( f ) = ^
x = a f ( a ) = a 3 - 2 a ( a ) 2 + a 2 (a ) = 0
f " ( x ) = 6 x - 4 a = 2 ( 3x - 2 a)
P a r a x i = a / 3 + f " ( x i ) = 2 ( a - 2 a ) = - 2 a < 0 +
x 2 = a + f " ( x 2 ) = 2 ( 3 a - 2 a) = 2 a > 0 +
A S 3
27
y • = 0J mi n
y = x 2 ( a - x ) 2
Solución. D e r i v an d o l a f u n c i ó n o b t e n e m o s:
f ' ( x ) = 2 x ( a - x ) ( a - 2 x)
:'.i f 1 ( x ) =0 -*• 2 x ( a - x ) ( a - 2 x ) =0 -t-+ x i = 0 , x 2 = a , x 3 =a / 2
i .o s v a l o r e s e x t r e m o s d e l a f u n c i ó n s o n : f ( x i ) = 0 , f ( x 2 ) = a V l 6
y f ( x 3 )= 0
::.i f 1 ( x ) = 2 ( a x - x 2 ) ( a - 2 x ) -*• f " ( x ) = 2 ( 6 x 2 - 6 a x + a 2 )
í ' n ra x i =0 ' + f ' ( x i ) = 2 ( 0 - 0 + a 2 ) = . 2 a 2 > 0 +~ y . = 0Jman“ m:
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f " ( c ) = l i m f ' ( x) .Z.J--Í21 x>c X c
P e r o , p o r h i p ó t e s i s f ' ( c ) = 0 + f " ( c ) = l i m £.— x+o x -c
Da do q ue f " ( c ) < 0 + e x i s t e 6 >0 t a l qu e :
:f^ X " < 0 , ¥- x e I, s i e m p r e q u é 0 < | x - c | < ó (1 )
L u e go , s i c - ó < x < c x - c < 0 , y d e ( 1 ) : f ' ( x ) < 0
s i c<x<c +6 + x - o O , y d e ( 1 ) : f ' ( x ) > 0
En c o n s e c u e n c i a , p o r e l c r i t e r i o d e l a p r i m e r a d e r iv a d a ( t e o r em a
J mana 1*T5
x 2
x 3'= a
“ m:
a / 2 + f " ( x 2 ) = 2 ( ^ a 2 - 3 a 2 + a2 ) = - a 2 < 0 •+7max
+ f " ( x 3 ) = 2 ( 6 a 2 - 6 a 2+a2) = 2 a 2 > 0 -*■ y . = 0•’ mm
y = x + , a >0
X x*
S i f 1 (x ) =0 + (x+ a) (x = a) =0 -«-*■ x a=-a ó x 2=a
■>s v a l o r e s e x t r e m o s de l a f u n c i ó n s o n : f ( x i ) = - 2 a y f ( x 2 ) = 2 a
:i f 1 (x ) = 1 - a 2x ‘ 2 -> f " ( x ) = 2 a 2 x ' 3= 2 a 2/ x 3
554 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
P a r a x j = - a + f " ( x , ) = ~ = - f < O - y max = -2 a
x 2 = a + f " ( x 2 ) = 'iSÍ = f > O -v y m. n = 2 a
y = x + /I X
So ¿ución. La f .un ción e s re a l ■<■+ 1-x> 0 +-*■ x$1
E n t o n c e s : D o m ( f ) =
D e r iv a nd o l a f u n c i ó n o b t en e m o s: f ' ( x ) = 2 / T ^ x
S i f 1( x ) = 0 +■ 2 / T Ó í = 1 4 (1 - x ) =1 * * x = 3 / 4
P a r a x = 3 / 4 + f ( 3 / 4 ) = 5 / 4
S i f ' ( x ) = 1 - ^ ( 1 - x ) - 1' 2 - f " ( x ) = - - J = f
P a r a x = 3 / 4 + f" ( 3 /4 ) = -2 < 0 y ff lax = 5 / 4
y = x / 2 - x 2
Solución. 3y 2 - x 2^0 x 242 +->- - / 2 < x <. /2
f I ( x ) . 2 ( 1 + x M l - x l
✓ / 2 - x 2
S i f 1 ( x ) = 0 + ( 1 + x ) ( 1 - x ) = 0 «-► x i = - 1 ó x j = 1
L os v a l o r e s e x t r e m o s de l a f u n c i ó n s on : f ( x i ) = - 1 y f ( x 2 )=1
f ' ( x ) = 2 (1 - x 2 ) ( 2 - x 2 ) “ J / 2 + f " ( x ) =
P ar a xx = -1 + f" ( x i ) = = 4 > 0 * y min = -1
f " ( 2 ) ( ) j ^
Vi cción 3: Aplicación de la segunda derivada 555
:' .i f ' ( x ) =0 -*■ x ( 2 - x ) = 0 *->■ x i =0 ó X2= 2
Lo s v a l o r e s e x t r e m os de f s o n : f ( x i ) = 0 y f ( x 2 ) = 4 / e 2
i’ ' ( x ) = e ' x ( 2 x - x 2 ) + f " ( x ) = e - x ( x 2 - 4 x + 2 )
l ’a r a x i =0 f " ( x i ) = e ° ( 0 - 0 +2 ) = 2 > 0 -*■ Ym n = 0
x 2 =2 -*• f " ( x 2 ) = e ” 2 ( 4 - 8 +2 ) = - 2 e " 2 < 0 + ymov = 4 / e 2Jli 3 X
OTPPVK X■■■■• y ~ Inx
Solución, 3y <-*■ x>0 , x^1 Dom (f) =<0 , +«>- { 1 }
D e r i v a n d o o b t e n e m o s : f ' ( x ) = l n x - "'l n 2x
.".i f ' ( x ) = 0 -*■ l n x = 1 -*-*• x=e . P ar a x= e -*• f ( e ) = e
D e r i v a n d o n u e v a m e n t e l a f u n c i ó n s e t i e n e : f " ( x ) = ■2 ~. -n xx l n 3 x
P a r a x = e ■* f " ( e ) = ■ — = — > 0 ->■ y . = ee ( 1 ) 3 e n l n
IES y =x 1 /x
Solución. A p l i c an d o l o g a r i t m o s n e p e r i a n o s s e t i e n e :
l n y = hnx * = I ( ¿ ) + l n x ( - ± 2 )
1 / xf 1 (x ) = -21 2 _ ( 1 - l n x )
: 'i f ' ( x ) = 0 1 - l n x =0 ** x = e . P a r a x = e ■* y = e ”*//e = t/e"
l. a s e g u n d a d e r i v a d a d e l a f u n c i ó n l a o b t e n e m os d e :X 1 = l = l n x + y y " - y ' 2 _ x 2 ( - l / x ) - d - i n x ) ( 2 x)
*
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x 2 = 1 - f " ( x 2 ) = ( 2 ) j ~ ^ = - 4 < 0 -> y max = 1
j Q Q y = Co sh ax
Solución. f ' ( x ) = a S e n ha x
S i f ' ( x ) = 0 -*■ S e nh ax =0 +~* x= 0
P ar a x=0 > y=Cosh( .0 ) = 1
f " ( x ) = a 2 C o s h ax . P a r a X =0 f " ( 0 ) = a 2 > 0 ->• ymj n = 1
2 - x
y = x eS o l u c i ó n . f ' ( x ) = x ( - e ” x ) + e “ x ( 2 x ) = x e " x ( 2 - x )
y ~ x * y 2
de donde; yy" - y ' 2 _ _ 1 +2 l n x
y2
ee >—
P a r a x = e , y ' = 0 f " ( e ) = - - X - ? ( 1 + 2 ) < 0 + y = ; / eg 3 Jmax v
1 W 1 P a ra qu é v a l o r d e a l a f u n c i ó n f ( x ) = a S e n x + ^ S en 3x t i e n e
e l e x t r e m o p a r a x =tt/ 3? Será máx imo o mínimo?
Solución. f ' ( x ) = aC os x+ Co s3 x
S i f t i e n e u n e x t r e m o p a r a x = t t / 3 ■* f ' ( 7r / 3 ) = 0
P i n t o n e e s : a C o s ( 7r / 3 )+Cos( iT )= 0 -«-*■ a ( 1 /2 ) -1 = 0 +-»• a=2
556 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
E n t o n c e s : f ' ( x ) =2 C os x +C o s 3x + f " ( x ) = - 2 S e n x- 3 S e n 3 x
P a r a x =it/ 3 + f " ( i r / 3 ) = - 2 S e n ( i r / 3 ) - 3 S e n ( ti) = - /J < 0
P o r t a n t o , p a r a a = 2, l a f u n c i ó n t i e n e u n m áx im o.
H a l l a r l o s v a l o r e s d e a y b p a r a l o s c u a l e s l a f u n c i ó n
y = a ln x + bx 2 + x
t i e n e e x t r em o s e n l o s p u n t o s Xi=1 y x 2 =2. M o s t r a r q u e p a r a e s t o s
v a l o r e s d e a y b l a f u n c i ó n d a d a t i e n e e l m í n im o e n e l p u n t o x ¡
y e l m á x i m o e n e l p u n t o x j .
Salación. f ' ( x ) = + 2 b x + 1 ( 1 )
Par a xi = 1y f 1 (1 ) =0 .+ a+2b+ 1=0
x z =2 y f ' ( 2 ) = 0 a / 2 +4 b +1= 0
R e s o l v i e n d o e l s i s t e m a o b t en e m o s : a = - 2 / 3 y b = - 1 / 6
L u e go , e n ( 1 ) : f ' ( x ) = - 3“ - ^ + 1 f" (x ) = —S— - -13x
Par a xi = 1 •* f " ( 1 ) ■ = > 0 -*■ f t i e n e u n m í ni m o
x 2 =2 f " ( 2 ) = = - •¡r < 0 f t i e n e u n m áx im o
3.2 CONVEXIDAD . CONCAVIDAD . PUNTOS DE INFLEXIÓN
S e d i c e q ue l a g r á f i c a d e u na f u n c i ó n y = f ( x ) e s
cóncava hacia ansiiHa e n e l p u nt o T ( c , f ( c ) ) , d on
d e ce l = < a ,b > , s i t o d o s l o s p u n t o s P ( x , f ( x ) ) de l a
c u r v a s e e n c u e n t r a n p o r en c i m a de l a l í n e a t a n g e n t e L a l a g r á f i
c a e n e l p u n t o T .
<■ción 3: Aplicación de la segunda derivada 557
Ir« f i g u r a 4 . 1 9 m u e s t r a q ue l a o r d e n a d a d e c u a l q u i e r p u n t o P d e
I a c u r v a e s m en or q ue l a o r d e n a da d e l a t a n g e n t e , e s t o e s :
f ( x ) < f ' ( c ) ( x - c ) + f ( c ) , ¥ x e < a ,b > - { c ]
, n d i r e c c i ó n d e l a c o n c a v i d a d d e l a g r á f i c a d e u na f u n c i ó n e s c a r a c t e r í s t i c a i m p o rt a n t e de un a f u n c i ó n . M e di a nt e e l s i g u i e n t e t e o
rui na d e t e r m i n a r e m o s l o s c r i t e r i o r s e g ún l o s c u a l e s , d u r a nt e e l e s
l u d i o d e l a f u n c i ó n y = f ( x ) , p o d e mo s j u z g a r s o b r e l a d i r e c c i ó n d e
::u c o n c a v id a d e n d i f e r e n t e s i n t e r v a l o s .
IE OR EM A 4.10 S e a f ( x ) u na f u n c i ó n d e r i v a b l e e n e l i n t e r v a l o 1=
< a , b > qu e c o n t i e n e e l p u n t o c .
O S i f " ( c ) > 0 e n t od o s l o s p u n t o s, d e I , e n t o n c e s l a g r á f i c a d e
y = f ( x ) e s c ó n ca v a h a c i a a r r i b a e n d i c h o i n t e r v a l o ,
i ) S i f " ( c ) < 0 en t o d o s l o s p u n t o s de I , e n t o n c e s l a g r á f i c a de
y = f ( x ) e s c ó n c av a h a c i a a b a jo e n e s t e i n t e r v a l o .
lícmost/iación. P r o ba r e m os l a p a r t e i ) . E l t e o r e m a qu e d a rá d e m os
t r a d o , s i e s t a b l e c e m o s q u e t o d o s l o s p l i n t o s de l a
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En l a f i g u r a 4 . 1 8 s e m u e st r a l a r e c t a t a n g e n t e L d e e c u a c ió n :
y = f 1 ( c ) ( x - c ) + f ( c ) y e l p un t o P ( x , f ( x ) ) e f , e n d on de s e ob s e rv a q '
f £ x ) > y , e s t o e s :
f ( x ) > f ' ( c ) ( x - c ) + f ( c ) , ¥ x e <a , b >- { c }
S e d i c e q ue l a g r á f i c a d e u na f u n c i ó n y = f ( x ) e s
cóncava hacia atajo en e l p u nt o T ( c , f ( c ) ) , d on
d e c e< a , b >, s i t o d o s l o s p u n t o s P ( x , f ( x ) ) . de l a c u r v a, e x c e p to ? ,
s e e n c u e n t ra n p o r d e ba j o de l a l í n e a t a n g e n t e L a l a g r á f i c a d e
f e n e l p u n t o T
■ ur va e n e l i n t e r v a l o I e s t á n s i t u a d o s p o r e nc i m a d e l a t a n g e n t e ,
■ d e c i r , l a o r de n a da d e c u a l q u i e r p u nt o de y = f ( x ) e s ma yo r q ue
I a o r d e n a d a y d e l a t a n g e n t e , p a r a u n m is mo p u n t o x .
D e b e m o s p r o b a r e n t o n c e s q u e :
f ( x ) > f ' ( c ) ( x - c ) + f ( c ) , ¥ -x e< a, b > - { c }
Kn e f e c t o , s e a l a f u n c i ó n : F ( x ) = f ( x ) - f 1 ( c ) ( x - c ) - f ( c ) ( 1 )
l u r i v a n d o , d o s v e c e s , a mb o s m i e mb r o s o b t e n e m o s :
F ' ( x ) = f ' ( x ) - f 1 ( c )
F " (x ) = f ’’ (x ) F "(c ) = f" (c ) > 0
558 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
A p l ic a n do l a d e f i n i c i ó n d e d er i v a d a a F " ( c ) s e t i e n e :
. 1 1 .x+ c
D ad o qu e : f ' ( c ) = 0 •> F ' ( c ) = 0 , y c omo F" ( c ) = f " ( c ) >0
F " ( c ) = l i m JLLÍ2Ú.x+ c
x - cf " ( c ) > 0
L u e g o , e x i s t e u n <5>0 , t a l q u e :
^ ^ > 0 , s i e m p r e q u e : 0 < | x - c |<6
e n d o n de , e l s i g n o d e F ' ( x ) s e d e d uc e d e l e n t o r n o : - ó < x - c <6
i ) S i c - 6 < x< c -> F ' ( x ) < 0 , p u e s x - c <0
i i ) S i c <x <c + S - F ' (x ) > 0 , p ue s x -c >0
E n o t r a s p a l a b r a s :
a ) F ( x ) e s d e c r e c i e n t e e n e l i n t e r v a l o
[ c -< 5, c ] , e s t o e s :F ( x ) > F ( c ) , s i c - 6 < x < c ( D e f . 4 . 5 )
b ) F ( x ) e s c r e c i e n t e e n e l i n t e r v a l o
[ c , c + ó ] , e s t o e s :
F ( x ) > F ( c ) , s i c <x <c + ó ( D e f . 4 . 4 )
En c o n s e c u e n c i a , s i x ^ c e n e l i n t e r v a l o < c - 6 , c + ó > s e c u m p l e
F ( x ) > F ( c )
o s e a : f ( x ) - f 1 ( c ) ( x - c ) + f ( c ) > F ( c )
P e r o , en ( 1 ) , s i x= c •+■ F ( c ) = 0
• \ f ( x ) > f ' ( x ) ( x - c ) + f ( c ) 1 . q . q . d .
ESH3ZBÍ E l p u n t o ( c , f ( c ) ) q u e e n un a c u r v a c o n t i n u a s e
p a r a l a p a r t e c o n v e x a d e l a c ó n c a v a, s e ll a m a
m< , -ión 3: A plic ac ión de la s egu nda deri vad a 559
e v i d e n t e q u e e n e l p u nt o de i n f l e x i ó n l a t a n g e n t e c o r t a a l a
r u r v a d e m o d o t a l q u e a u n l a d o d e l p u n t o l a c u r v a e s t á s i t u a d a
p or d e b a j o de l a t a n g e n t e , y a l o t r o l a d o , p o r e n ci m a d e é s t a .
A s i, e n l a f i g u r a 4 . 2 0 , p a r a e l p u n to c e < a , b > s e o b s e r v a q u e:
f " ( x ) <0 e n a < x< c y f " ( x )>0 en c<x<b
v en l a f i g u r a 4 .2 1
f " ( x ) >0 e n a < x < c y f " ( x )<0 e n c < x < b
T EO RE MA 4, 11 S e a y = f ( x ) l a e c u a c i ó n de u n a c u r v a . S i f " ( c ) = 0 o
f " ( c ) n o e x i s t e , y l a d e r i v a d a f ' ( x ) c am b ia d e s i j
tío a l p a s a r po r e l v a l o r x = c , e n t o n c e s , e l p u n t o de l a c u r v a d e
a b s c i s a x = c e s e l p u n to d e i n f l e x i ó n .
ilc.moit/iación. En e f e c t o , c o n si d e re m o s l o s s i g u i e n t e s c a s o s :
( 1 ) S i f " ( x ) < 0 c u an d o x < c y f " ( x ) > 0 c u an d o x > c
E n t o n c e s , p a r a x < c l a f i g u r a e s c ó n c a v a h a c i a ab a j o y p a r a
x > c e s c ó nc a v a h a c i a a r r i b a . P o r t a n t o , e l p u n t o P d e l a c ur
v a , d e a b s c i s a x =c e s e l p un t o de i n f l e x i ó n ( F i g . 4 . 2 0 )
( 2 ) S i f " ( x ) < 0 c u a nd o x < c , y f " ( x ) < 0 c u a n d o x > c , e n t o n c e s , p a r a
x < c l a c u r v a e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a y p a r a x >c , e s c ó n c a v a
h a c i a a b a j o . P or c o n s i g u i e n t e , e l p u n t o Q de l a c u r v a d eab s
c i s a x= c e s e l p u n to de i n f l e x i ó n ( F i g . 4 . 2 1 )
PROBLEMAS RESUELTOS
A c l a r a r s i e s c o n v e x a o c ón c a v a l a l í n e a y = x 5 - 5 x 3- 1 5 x 2+ 30
e n l o s e n t o r n o s de l o s p u n t o s ( 1 , 1 1 ) y ( 3 , 3 ) .
1278
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punto de. inflexión d e l a c u r v a .e n l o s e n t o r n o s de l o s p u n t o s ( , ) y ( 3 , 3 ) .
Soiución. D e r i va n d o d o s v e c e s l a f u n c i ó n s e t i e n e :
f ' ( x ) = ■5x‘* -1 5x 2 - 3 0x
f " ( x ) = 2 0 x 3 - 3 0 x - 3 0 = 1 0 ( 2 x s - 3 x - 3 )
P a r a x =1 + f " ( 1 ) = 1 0 ( 2 - 3 - 3 ) = - 4 0 < 0
x = 3 + f " ( 3 ) = 1 0 ( 5 4 - 9 - 3 ) = 42 0 > 0
P or e l t e o r e m a 4 . 1 0 , l a c u r v a e s c ó n c a v a h a c i a a b a j o en e l e n t o r
n o d e l p u n t o ( 1 , 1 1 ) y c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n e l e n t o r d e d e ( 3 >3 )
1 2 79 . A c l a r a r s i e s c o n v e x a o c ó n c a v a l a l í n e a y = ar c T a nx e n l o s
560 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
e n t o r n o s d e l o s p u n t o s ( l , i r / ¿ ) y (-1, -n/A)
So ¿ución. D e r iv a n do do s v e c e s l a f u n c i ó n f s e t i e n e :
f i ( x ) = - 1 — + f " ( x ) = - 2x1 +x2 n + x 2 )2
P a r a x =1 + f " ( 1 ) = - j < 0 . Para x=-1 +f " ( - D = j > °
E n t o n c e s , l a f u n c i ó n f e s c ó n c a v a h a c i a a b a j o e n e l e n t o rn o d e
x =1 y c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n e l e n t o r n o d e ( - 1 , —tr /A)
A c l a r a r s i e s c o n ve x a o c ó n c a v a l a l í n e a y = x l n x e n l o s
e n t o r n o s d e l o s p u n t o s ( 1 , 0 ) y ( 1 / e 2 , - 2 / e *)
So¿ución. D e r i va n d o d o s v e c e s l a f u n c i ó n d ad a o bt e n e mo s :
f 1 (x ) = x ( 1 +2 l n x ) f " ( x ) = 3 +2 1 nx
P a r a x = 1 f " ( 1 ) = 3 + 2 ( 0 ) = 3 > 0x = e " 2 + f " ( e ' 2 ) = 3 +2 ( - 2 ) = - 1 < 0
P or t a n t o , l a f u n c i ó n f e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n e l e n t o r no
d e l p u n t o ( 1 , 0 ) y c on v e x a ( c ó n c a v a h a c i a a b a j o ) e n e l e n t o r n o
d e l p u n t o (1 / e 2 , - 2 / e k )
g ¡ 2 ¡ Q M o s t ra r qu e l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n y = x ar c T an x es c ó n c a
v a e n t o d a s p a r t e s .
demostración. En e f e c t o , d e r i va n d o d os v e c e s l a f u n c i ó n s e t i e -
X , __ _________ . . o l í / __ \ _ 2n e : f ' ( x ) = -------- + a r c T a n x f " ( x ) =1+ x 2 ( 1 + x 2 ) 2
P a r a c > 0 f " ( c ) = -------
------ > 0 , Pa ra c <0 ■* f " ( c ) = -------
------ > 0( 1 + c 2 ) 2 ( 1 + c 2 ) 2
L u eg o, f " ( c ) > 0 , ¥ -c eR , e n c o n s e c u e n c i a , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n
i-cción 3: Aplicación de la segunda derivada 561
¡ j ^ j j D e m o st r a r q ue s i l a g r á f i c a de u na f u n c i ó n e s c o n v e x a en
t o d a s p a r t e s o c ó n c av a en t o d a s p a r t e s , l a f u n c i ó n r e f e r í
d a p u e d e t e n e r n o m á s , q u e u n v a l o r e x t r e m o .
-'<mostración. S e a l a f u n c i ó n f: R -* - R/ y =f ( x) , d o s v e c e s d i f e r e n c i a
b l e , c u y a g r á f i c a - e s c ó n c a va h a c i a a r r i b a e n t o d o
;>u d o m i n io , e s d e c i r , f " ( x ) > 0 , ¥ x e D om ( f ) .
D eb em os p r o b a r q u e e x i s t e u n ú n i c o c D om ( f ) t a l q u e f ' ( c ) = 0
Kn e f e c t o , s e a n x i y x ¡ d o s p u n t o s e n e l e n t o r n o d e c , e s t e s ,
s i < c < X 2 . S e gú n l a d e f i n i c i ó n 4 . 1 0 , t o d o pu n to P ( x , f ( x ) ) d e l a g r á
l ' i ca d e f s e e n c u e n t r a p o r e n c i m a de
I a l í n e a t a n g e n t e t r a z a d a e n c , e s t o
■•s : f (x ) > f 1 ( c ) ( x - c ) + f ( c )
A s i , p a r a x e < - ” , c > , f ( x i ) > f ( c )
x e < c , + “ > , f ( x 2
) > f ( c )L ue go , s i x i < c ■> f ( x i ) > f ( c )
I. a f u n c i ó n e s d e - c r e p i e n t e e n < - ” , c >
y S i X2 >C -*■ f ( X2 ) > f ( c )
La f u n c i ó n e s c r e c i e n t e e n < c , + “ >
l’o r t a n t o , e x i s t e u n p u n to e s t a c i o n a r i o c t a l q ue f ' ( c ) = 0 , es de
e i r , e x i s t e un v a l o r e x t re m o de l a f u n c i ó n e n c .
J W j iJ S e a P ( x ) un p o l i n o m i o d e c o e f i c i e n t e s p o s i t i v o s y e x p o
n e n t e s p a r e s . M o s tr a r qu e l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n
y = P ( x) + a x+ b e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n t o d a s p a r t e s .
'rmostración. En e f e c t o , s e a e l p o li n o m i o :
P( x) ‘= a 0x n + a i x 11" 2 + a 2xn "‘l + . . .
' 'i f ( x ) = P ( x ) + a x + b f ' ( x ) = P ' ( x ) + a
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e s c ó n c a va h a c i a a r r i b a e n to d a s p a r t e s .
M o st r ar q ue l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n y = l n ( x 2 - l ) e s c o nv e
x a e n t o d a s p a r t e s .
demostración. En e f e c t o , d e r i va n d o 2 v e c e s l a f u n c i ó n s e t i e n e :
f ' ( x ) = — + f " ( x ) = - ¿ H t í l lx 2 - 1 ( x 2 - 1 ) 2
P o de m o s o b s e r v a r q u e p a r a c> 0 f " ( c ) < 0 , y p a r a c <0 -> f " ( c ) < Q
L u eg o , f " ( c ) < 0 , f ce R. P or t a n t o , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s
c o n v ex a ( c ó n c a v a h a c i a a b a j o ) e n t o d a s p a r t e s .
' 'i f ( x ) = P ( x ) + a x + b f ' ( x ) = P ' ( x ) + a
-*■ f " ( x ) = P » ( x )
i e r o , P ' ( x ) = n a o x11* 1 + ( n - 2 ) a i x n _ 3 + (n- A)a 2x n - 5 + . . .
f " ( x ) = P " ( x ) =n ( n - 1 ) a 0x n " 2 + ( n - 2 ) ( n - S j a i x ” - 1' + . . * .
I'or h i p ó t e s i s , l o s c o e f i c i e n t e s a o, a i , . . , s on p o s i t i v o s y l a s
p o t e n c i a s x n ’ 2 , x 11” “*, , . , s o n p a r e s , e n c o n s e c u e n c i a , f " ( x ) >0 ,
V-xeR, e s d e c i r , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s c ó n c av a h a c i a a r r i b a
u n t o d a s p a r t e s .
562 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
y "> O
y »<0
M o st r a r q ue a s p e c t o o f r e c e l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n s i s e
s a be q u e e n e l i n t e r v a l o < a , b > .
( 1 ) y >0 , y 1 >0 , y " < 0 ( 3 ) y < 0 , y ’ > 0
( 2 ) y >0 , y ' < 0 , y " > 0 (4 ) y>0 , y ' < 0
Solución. (1) y >0 i n d i c a q u e l a g r á f i c a d e
l a f u n c i ó n , e n < a ,b > , e s t a a
r r i b a d e l e j e X.
y 1> 0 i n d i c a q ue l a c u r v a e s c r e c i e n t e
y "< 0 i n d i c a q u e l a g r á f i c a e s c ó nc a va h a c i a
a b a j o ( c o n v e x a ) .
( 2 ) y >0 , l a g r á f i c a d e f e s t á p o r e n c im a
d e l e j e X.
y ' < 0 , i n d i c a q ue l a c u r v a es d e c r e c i e n t e
y " >0 , i n d i c a q ue l a g r á f i c a d e f e s c ó n c a
v a h a c i a a r r i b a .
( 3 ) y <0 i n d i c a q ue l a g r á f i c a d e f e s t á p or
d e b a j o d e l e j e X
y ' > 0 i n d i c a q ue l a c u r v a e s c r e c i e n t e
y " > 0 i n d i c a qu e l a g r á f i c a d e f e s c ó n
c a v a h a c i a a r r i b a .
( 4 ) y >0 i n d i c a q ue l a g r á f i c a d e f e s t á p o r
e n c i m a d e l e j e X.
y ' < 0 i n d i c a q ue l a c u r v a e s c r e c i e n t e
y "< 0 i n d i c a qu e l a . g r á f i c a d e f e s c ó n c a v a h a c i a a b a j o ( c o n v e x a ) .
Sección 3: Aplicación de la segunda derivada 563
Como e l D o it ¡ (f ) =R , l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n
5 /3> y <5 /3 .+“ >
S i x = 0 e < - ° ° ,5/3> + f " ( 0 ) = 2 (05)=10 < 0
I.a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s c ó n c a v a h a c i a a b a j o ( c o n v e x a )
S i x=2e< 5/3, +“» f" (2)=2(65)=2 > 0
La g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a .
i N : í : l y = ( 1+ x) ‘*+ex
Solución. f 1 ( x ) = 4 ( x + 1 ) 3+ e X -> f " (x ) = 1 2 ( x+ 1) 2 + e x
Como l a e c u a c i ó n f " ( x ) = 0 n o t i e n e s o l u c i ó n , l a
; ; r á f i c a de f , n o t i e n e p u n t o s de i n f l e x i ó n , a de m ás , f " ( x )> 0 p a r a
t o do x , e n c o n s e c u e n c i a , l a g r á f i c a d e f e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a
e n t o d a s p a r t e s .
1 M* 1 y
Solución, f ' ( x ) = 4 x 3- 3 6 x 2 + 96 x -*■ f " ( x ) = 1 2 x2 - 7 2 x + 9 6
= 1 2 ( x - 2 ) ( x - 4 )
S i f " ( x ) = 0 ( x - 2 ) ( x - 4 ) = 0<-»■x= 2 ó x= 4
T o m o e l D o m ( f ) = R , l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n
< - « , 2 > , <2 ,4> , < 4 . +°°>
Para x=2 •> y = ( 2 ) “- 1 2 ( 2 ) 3+ 4 8 ( 2 ) 2 - 5 0 = 6 2 -* l j ( 2 , 6 2 )
x = 4 - y = ( 4 ) ‘‘- 1 2 ( 4 ) 3 + 4 8 ( 4 ) 2 - 5 0 = 2 0 6 I 2 ( 4 , 2 0 6 )
; ;i x = 1 e < - “ , 2 > + f » ( 1 ) = 1 2 ( 1 - 2 ) 0 - 4 ) = 3 6 > 0
x=3e<2,4> + f " (3) = 12(3- 2) (3-4 ) = -12 < 0 ; '> 1 1
x=5e<4. +°°> + f " (5) = 12( 5-2 ) (5-4 ) = 36 > 0 ■ > ‘ ? 2l 'o r t a n t o , l a g r á f i c a d e f e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n < -= >,2 >U
4 . + 0 0>, y e s c ó n c a v a h a c i a a b a j o e n < 2 , 4 >.
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En l o s e j e r c i c i o s 1 2 87 - 13 0 0 h a l l a r l o s p u n t os d e i n f l e x i ó n , i n
t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d y de c o n v e x i d a d de l a s g r a f i c a s d e l a s
f u n c i o n e s q u e s e i n d i c a n .
y = x 35x2 + 3x5
Solución. f 1 ( x ) = 3 x 2 - 1 0 x + 3 + f " ( x ) = 6 x - 1 0 = 2 ( 3 x - 5 )
S i f " ( x ) = 0 + 3 x - 5 = 0 +- * x = 5 / 3
P a r a x = 5 / 3 + y = ( 5 / 3 ) 3- 5 ( 5 / 3 ) 2 + 3 ( 5 / 3 ) = - 2 5 0 / 2 7
L u eg o, e l p u n t o de i n f l e x i ó n e s : l ( - j , - 2 5 0
27
y = x+36x 2 - 2 x 3 - x “
Solución. f ' ( x ) = 1+ 7 2 x - 6 x 2 - 4 x 3 -*• f " ( x) = 7 2 - 12 x - 1 2 x 2
= - 1 2 ( x + 3 ) ( x - 2 )
: ü f " ( x )= 0 - ( x+ 3) ( x - 2 ) = 0 ^ x = -3 ó x =2
' i on d o e l D o m( f )= R, l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d ad s o n :
< - » , - 3 > , < - 3 , 2 > , < 2 , + »>
¡' ■•ira x = - 3 y = - 3 + 3 6 ( - 3 ) 2 - 2 ( - 3 ) 3 - ( - 3 ) “ = - 2 9 4 I i ( - 3 , - 2 9 4 )
X=2 + y = 2 + 3 6 ( 2 ) 2 - 2 ( 2 ) 3 - ( 2 ) " = 1 14 - I 2 ( 2 , 1 1 4 )
564 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
* f " ( - ¿ ) = - 1 2 ( - ¿+ 3 ) ( - 4- 2 ) = - 7 2 <
f " ( 0 ) = - 1 2 ( 3 ) ( - 2 ) = 72. > 0 ___ ^ I 2
S i x = - 4 e < - “ , - 3 >
x=0e< -3*2> -i
x =3 e <2 ,+ »> •> f " ( 3 ) = - 1 2 ( 6 ) ( 1 ) = - 7 2 < 0
P or t a n t o , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n f e s c ó n c av a h a c i a a ba j o en < - “ , - 3 >U< 2 , +<»>, cónc ava ha ci a a rr ib a en < - 3 , 2 >.
U m j y = 3 x 5 + 5x ‘*+ 3x - 2
Solución. f ' (x) = 15 x , ,- 2 0 x 3 + 3 -> f " ( x ) = 60 x 3- 6 0 x
= 6 0 x 2 ( x - 1 )
S i f " ( x ) = 0 * x 2 ( x - 1 ) = 0 ** x=0 ó x=1
P ara x=0 y=- 2 , par a x=1 •+• y=-1 . Ent onc es , A( 0 , -2 ) y B(1 , —1)
s o n do s p r o b a b le s p u n t o s d e i n f l e x i ó n .
L o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n : <o°,0> , <0 , 1> , <1,+®>>
S i x = -1 e < - “ , 0> -*■ f " ( - 1 ) = 6 0 ( - 1 ) 2 ( - 2 ) = - 1 2 0 < 0
x= ^e< 0 ,. 1> f » ( | ) = 6 0 ( | ) 2 ( - ¿ ) = - 7 . 5 <
x = 2 e< 1 , +“» f" ( 2 ) = 6 0 ( 2 ) 2 ( 1 ) = 2 4 0 > 0
O b s é r v e s e q u e e n e l e n t o r n o d e x = 0 , f " ( x ) n o c am b i a d e s i g n o , p o r
l o q u e n o e x i s t e p un to , d e i n f l e x i ó n e n x =0 ; m i e n t r a s q u e e n e l e n
t o r n o d e x = 1 , f " ( x ) s i c a m b i a d e s i g n o , e n c o n s e c u e n c i a , e l p u nt o
d e i n f l e x i ó n e s 1 ( 1 , - 1 ) , l a g r á f i c a d e f e s c ó n c av a h a c i a a b aj o
e n < - “ , 1> y c ó n c av a h a c i a a r r i b a e n < 1 ,+°°>.
y = (x+ 2 ) 6+2 x +2
S olución, f '(x)=6(x+2)5 + 2 *■ f " (x)= 3 0(x+2)*
S i f " ( x ) = 0 + ( x + 2 ) ‘‘ =0 - w x = - 2 D ad o q ue f " ( x ) > 0 , ¥ x ED o m ( f ) , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n n o t i e n e
p u n t o d e i n f l e x i ó n y e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n t o d o s u d o m i n i o .
Vc< xió n 3: Ap lic ac ión de la s egu nda der iva da 565
Como e l D o ir . (f ) =R , l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n :
< - » , - 3 a > , < - 3 a , 0 > , < 0 , 3 a > , < 3 a,+«>>
::i x=-4ae<-»,- 3 a> ■+■ f"(-4a) = - i z l L l h i = ( + )
(t) _ > * I.(3a,|.)
x = - 2 a e < - 3 a , 0 > + f " ( - 2 a) = - ízííl).Ál ) = ( _ )( + )
x= 2 a e < 0 , 3 a > + f » ( 2 a ) = - - i z l i í l i í l = ( + )
( + ) - + I 3 (3a , -2a )
x = 4 a e < 3 a , + » > + f " ( 4 a ) = _ i i i í í i L Ü = ( - )( + )
l’o r t a n t o , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n f e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n
-<*>, -3a>U<0 , 3a> y có nca va h ac ia abaj o en < -3a , 0>U<3a ,+°°> .
= a - 3/ x - by
Solución, f 1 ( x ) = - — — J — -► f " ( x) =3. V ( x - b ) 2 9 . 3/ ( x - b ) 5
S i f " ( x ) = <*> + x - b = 0 ■*-*■ x= b
¡ E nt o nc e s A( b , a ) e s u n p r o b a b l e p u n t o d e i n f l e x i ó n .
C o m o e l D o m ( f ) = R , l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n :
<- “ , b> y <b, +>*»
: ' i x = b / 2 e < - », b > f ” ( b / 2 ) = - 2 — = ( - )
I (b , a )
x = 2 be<b,+o=» f "( 2 b) - = ——— = ( + )9( + )
Kn c o n s e c u e n c i a , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s c ó n c a v a h a c i a a ba j o
un <-a>,b> y cónca va h ac ia ar r i ba en <b ,+<»>- .
U £ £ J y = e^enx , xe f -TT/2 , i r /2 ]
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y = a>0
x 2 +3 a 2
Solución. D e r i v an d o d o s v e c e s l a f u n c i ó n o bt e n e m os :
f . ( x ) =( x 2+ 3 a 2 ) 2
6 a 2x ( x + 3 a ) ( x - 3 a)
( x 2+3 a 2 ) 3
S i f " ( x ) = 0 -»■ x ( x+ ; 3a ) ( x - 3 a ) = 0 *-*■ x=0 ó x=-3a ó x=3a
L u eg o, l o s p r o b a b l e s p u n t o s d e i n f l e x i ó n s on : A ( - 3 a , - 9 a / 4 ) ,
B ( 0 , 0 ) y C ( 3 a , 9 a / 4 ) .
y , , ]
Solución. f ’ ( x ) = e^ e nx Co sx -*• f " ( x ) = e ^ e n x ( Co s2x - S e n x )
S i f " ( x ) = 0 -*• C o s 2 x - S e n x =0 ■* S e n 2x + S e n x - 1 =0
Senx = - ^ * x = a r c S e n ( ^ ~ - ) . S e a u = = 0.618
L os i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n : < - t t / 2 , a r c S eñ u > , < a r c S e n u , t t / 2 >
S i x =0e<-tt/2, arcSenu> + . f"(0) = ( + ) ( + ) = ( + )I (arc Sen u, e 11)
x = Tr / 3 e< a rc S e nu , Tr / 2> + f " ( i r / 3 ) = ( + ) ( - ) = ( - )
l . ue go , l a g r á f i c a d e f e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n < - i r / 2 , a r cS e nu >
y c ó n c a v a h a c i a a b a j o e n < a r c S e n u , i r / 2 > .
566 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
y = l n ( 1 + x 2 )
Solución. f ’ ( x ) = 2 x f " ( x ) =
2 ( 1 +x) ( 1 - x )
1 + x 2 ( 1 +x 2 ) 2
S i f " ( x ) = 0 + ( 1 + x ) ( 1 - x ) =0 +*- x = - 1 ó x =1
L u eg o , l o s p r o b a b l e s p u nt o s d e i n f l e x i ó n s o n: A ( - 1 , l n 2 ) , B ( 1 , l n 2 )
C o m o e l D o m ( f ) = R , l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n :
<->», - 1 > , < - 1 , 1 > , <1 , +“>
S i x = - 2 e < - ” , - T > + f " ( - 2 ) = 2 ( ~ ) ^ -) = ( - )( + ) + 11 (1,1 n2)
x= 0 e < - 1 , 1> f " ( 0 ) = ■¿ l i l i l í = ( + )
( + ) -*■ I 2 (1 , l n 2 )
■ x = 2 e < 1 , +°» + f " ( 2 ) = 2 l i l L l = ( . )( + )
P or t a n t o , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s c ó n ca v a h a c i a a b a j o e n
<-<»,- 1 >U< 1 , +° °>, y e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n < — 1» 1 >.
= - l n 0 , a >0
a f 21 n ( x / a ) - 3 ]Solución. f ' ( x ) = •— ( 1 + l n a - l n x ) f " ( x ) =
x 2 x -
S i f 11( x ) = 0 2 1 n ( f ) = 3 - *• x = a e 3/ 2
Como e l D o m ( f ) = < 0 , + “» , l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d so n :
<0 , a e 3 / 2 > , < a e 3 / 2 , + »>
S i x = a e <0 , a e 3 / 2 > + f "- ( a ) = ■- — - ( - )( + ) . ; > + I ( a e 3 / 2 , | e - 3/ 2 )
x = 5a e < a e 3 ^ 2, + ° » f " ( 5 a ) = - - = ( + )( + )
P or t a n t o , l a g r á f i c a d e f e s c ó n c av a h a c i a a r r i b a e n < a e 3/ 2 , +» >
Sección 3: Aplicación de la sezunda derivada 567
y _ earcTanx
a r c T a n x _ w „ ? , 1 \ arcTgxSolución. f» (x ) = - -------------- + f " ( x ) = +1 )e ------------
1 + x 2 ( 1 + x 2 ) 3
S i f " ( x ) = 0 -*■ 1 - 2 x = 0 +-*■ x = 1 / 2
Luego , A( tj, e a r c ^ a n ^ ^ 2 ^ ) e s u n p r o b a b l e p u nt o d e i n f l e x i ó n .
Como e l D o m (f ) = R, l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s o n :
< - » , 1 / 2 > , < 1 / 2 ,+»>
S i x = 0 e < - » , 1 /2 > -*• f " ( 0 ) .= i i l i l l L t l = ( + )( + ) 0 a r c T a n ( 1 / 2 ) ^
x =1 e < 1 / 2 ,+=» + f » ( 1 ) = = (_ )( + )
P or t a n t o , l a g r á f i c a d e f e s c ó n c av a h a c i a a r r i b a e n <- °° , 1 / 2> y
c ó n c a v a h a c i a a b a j o e n < 1 / 2 ,+<*».
y = x " ( 1 2 l n x - 7 )
Solución. f ' ( x ) = 16 x 3 ( 3 l n x - 1 ) ■* f " ( x ) = 1 ¿ 4 x 2l n x
S i f " ( x ) = 0 + x 2 ln x= 0 •*-■> x=0 ó x=1
D ad o q u e = f +-»• x > 0 , e l p r o b a b l e p u n t o d e i n f l e x i ó n e s A ( 1 , - 7 )
y l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d so n : <0 , 1 > , < 1 ,+°>>
S i x — ¿ £ < 0 , 1> •> f ' ( - l ) = 1 U ( + ) ( - ) = ( - ) ^2 2 > - 1 ( 1 , - 7 )
x= 2 e < 1 , +« » -*• f " ( 2 ) = 1 U ( + ) ( + ) = ( + )
P or t a n t o , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e s c ó n c a v a h a c i a a b a jo e n
<0 , 1> y c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n < 1 , + “ > .
Í E D M o st r ar q ue l a l í n e a y = t i e n e t r e s p u n t os de i n f l ex 2 +1
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, g ,
y c ó n c a v a h a c i a a b a j o e n <0 , a e 3 // 2> .
IKfcU y = a - 5/ ( x - b ) 2
Solución. f ' ( x ) = - | ( x - b ) ‘ 3/ 5 + f " ( x ) = — 6 - — 5 2 5 ( x - b ) /
Si f" ( x) =■»■*■ x- b=0 ■*->• x=b
Como e l e x p o n e n t e d e ( x - b ) e s u n - n ú me r o p a r , f " ( x ) > 0 , ¥ x £ R.
P or t a n t o , l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n no t i e n e p u n t o s d e i n f l e x i ó n ,
e s c ó n c a v a h a c i a a r r i b a e n t o d a s p a r t e s .
x i ó n q ue e s t á n s i t u a d o s e n un a m is ma r e c t a .
DemoAi/iación. En e f e c t o , d e r i v a n d o d o s v e c e s l a f u n c i ó n t e ne m os
f 1 (x ) - - x +2 x - 1 ^ f 11(x ) = 2 ( x ~ 0 ( x + ¿ x + 1 )( x 2 + 1 ) 2 ’ ( x 2 +1 ) 3
S i f " ( x ) =0 + ( x - 1 ) ( x 2 + ¿x+ 1) =0 +-*■ x —1 ó x= -2 ±/ 3
L u eg o , l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n s o n :
A ( 1 , 1 ) , B ( - 2 - / 7 , ^ ) , C ( - 2 + / 3 , ^ )
= Z (1~’ )~1 _ 1 - / T - Í _ 1 . _j(/3+1)1 _ /3+14"AB 2/31¿(3/3)U ’”AC2
568 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
_ | ( 1 + / ^) - | ( ' | - / 3 ) = 1 4 / ? - 1 + / ? = 1
mBC " ( - 2 + / I M - 2 - / I ) 4 ( 2 /1 ) 4
S i e n d o r n g = m^c = m ^ , l o s p u n t o s A , B y C s o n e o l i n e a l e s , e s
d e c i r , e s t á n s i t u a d o s s o b r e un a m is ma r e c t a .
1 3 02 . M o st r a r q ue l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n d e l a l í n e a y =x S en x
e s t á n s i t u a d o s en l a l í n e a : y 2 ( 4 + x 2 ) =4x 2 .
de.mostn.ac ión. En e f e c t o , d e r i va n d o d os v e c e s l a , f u n c i ó n s e t i e n e
f ' ( x ) = x C o sx + S e nx f " ( x ) = 2 C o s x - xS e n x
S i f " ( x ) = 0 -*• 2 Co s x= xS e nx
-<-*• 2C os x=y ó 2C ot gx =x (1 )
Como e l D o m( f )= R, l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n d e l a f u n c i ó n s e o b t i e
n e n r e s o l v i e n d o g r á f i c a m e n t e l a e c u a c i ó n ( 1 ) . V ea mo s s i s u s t i t u
yendo ( 1 ) e n l a e c u a c i ó n d e l a l i n e a d a d a s e c um p le l a i g u a l d a d .
4Cos 2 x ( 4 + 4 C o t g 2 x ) = 4 ( 4 C o t g 2x) -*■ 16Cos2x( 1 + C o t g2x) = l 6 C o t g 2 x
l 6 C o s 2 x ( C o s e c 2x) = 1óCotg2x
l 6 Cotg2x = l 6 C o t g 2 x
P or t a n t o , l o s p u n t o s de i n f l e x i ó n d e y = xS e n x e s t á n s o br e l a l i
n e a y 2 ( 4 + x 2 ) = 4x 2 .
M o st r ar q ue l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n d e l a l í n e a y = ^— 2
e s t á s i t u a d o s e n l a l í n e a y 2 ( 4 + x 2 ) = 4
De.rn.ost/iaciin. En e f e c t o , d e r i v a nd o d o s v e c e s l a f u n c i ó n s e t i e n e
f i ( x ) _ x C o s x - S e n x + f " ( x ) = ~ x 2 s e n x ~ 2 x C o s x 't' 2 Se n x
x 2 x 2
S i f " ( x ) = 0 -*• ( 2 - x 2 ) S e nx = 2 xC o sx ■>-+ Tanx - 2x2 - x 2
Sección 3: Aplicación de la segunda derivada 569
Sofución. D e r i va n d o d o s v e c e s l a f u n c i ó n f ( x ) = e " x S e n x s e t i e n e :
f ’ ( x ) = e ” x ( C o sx - S en x ) ■+■ f " ( x ) = - 2 e - x C o sx
S i f " ( x ) = 0 + C o s x = 0 -«-*■ x = 2 k 7r±ir / 2
T oma nd o s ó l o l o s v a l o r e s p a r a k= 0 , e s t o e s , x i =tt/ 2 y x 2 = - it/ 2 ,
l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n s on : 11 ( i r / 2 , e ’"7^/,2) , 1 2 ( - t i / 2 , e 77 2 )
O b s é r v e se q u e am bo s p u n t o s p e r t e n e c e n a l a s g r á f i c a s d e l a s f u n
c i o n e s y = e ~ x e y = - e _ x , r e s p e c t i v a m e n t e .
L os c o e f i c i e n t e s a n g u l ar e s d e l a s t a n g e n t e s a l a l í n e a y = e ~x S en x
e n a m b o s p u n t o s s o n :
P ara x i =7r/2 + mi = e _ 77/, 2 ( 0 - 1 ) = - e -77/ 2
x 2 = - t t / 2 -*• m2 = e _ 1T 2 ( 0 + 1 ) = e 77/12
A ho r a b i e n , s i y = e ” x -*■ y ' = - e - x , p a r a x i = i r / 2 -*■ m3 = - e -77^2
y = -e x •+• y '= e_x , par a x 2 = - t t / 2 = e 77 2
Da do q u e : B i = i is y m2 =nU , l a s f u n c i o n e s y = ± e " x t i e n e n t a n g e n t e s
c om un es e n l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n d e l a l í n e a y = e ~ x S e nx .
P a r a ’ q u é v a l o r e s d e a y b e l p u n t o ( 1 , 3 ) e s e l d e i n f l e
x i ó n de l a l í n e a y = a x 3+ b x 2 .
Solución. f ' ( x ) = 3 a x 2 + 2bx f" (x) = 6ax+2b
Como 1 ( 1 , 3 ) e s e l p u n t o de i n f l e x i ó n d e l a l í n e a , e n
t o n c e s , p a r a x = 1 , f " ( 1 ) = 0 , e s t o e s : 6 a+ 2 b=0 ■*-» 3 a + b =0 ( 1 )
A de má s l ( 1 , 3 ) e f ->■ 3 = a +b ( 2 )
R e s o l v i e n d o ( 1 ) y ( 2 ) o b t e n e m o s : a = - 3 / 2 y b = 9 / 2
E l e g i r a y b t a l e s q u e e l pu nt o A ( 2 2 5 ) s e a e l d e i n f l e1306
1305
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Co sx =2 - x 2
/ 4 +x
o b ie n: (2 -x 2 ) xy = 2xCosx y = ,2Cosx _ j c__r. 2 - x 2 A + x V
de donde: y 2 ( 4 + x ‘l ) =4
K T 7 Í C o n fi r m ar q ue l a s g r á f i c a s d e l a s f u n c i o n e s y =± e "x e
y = e "x S en x ( l a c u r v a d e o s c i l a c i o n e s a m o r ti g u ad a s ) t i e n e n
t a n g e n t e s c om un es a l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n d e l a l í n e a y = e x Se nx
E l e g i r a y b t a l e s q u e e l pu nt o A ( 2 , 2 . 5 ) s e a e l d e i n f l e
x i ó n de l a l í n e a x 2y + a x+ b y = 0. Q ué o t r o s p u n t o s d e i n f l e
x i ó n t i e n e l a l í n e a r e f e r i d a ?
Solución. y + f ' ( x ) = - ? ( x ,2 --b- L - f " ( x ) = ^ X.(.3. b: x 2 )b + x 2 ( b + x 2 ) 2 ( b + x 2 ) 3
S i f " ( x ) = 0 + x ( 3 b - x 2 ) = 0 ( 1 )
Como A ( 2 , 5 / 2 ) e s un p u n t o de i n f l e x i ó n , e n t o n c e s , p a r a x= 2 ,
f " ( x) =0 , e s t o e s : 2 ( 3 b - 4 ) = 0 *-*■ b= 4 / 3
A de m ás A ( 2 , 5 / 2 ) E f •> | = - +-*• a = - 2 0 / 3
1306
Sustituyendo el valor de b en ( 1 ) se tiene:
x ( 4 - x 2 )=0 +-*• x =0 ó x = - 2 ó x =2
P o r t a n t o , e x i s t e n o t r o s d o s pu n t o s de i n f l e x i ó n q ue s o n:
B ( 0 , 0 ) y C ( - 2 , - 5 / 2 )
P a r a q u é v a l o r e s d e a t i e n e p u n t o s d e x n f l e x i o n l a g * a f i -
c a de l a f u n c i ó n y = e x - a x .
Solución. f ' ( x ) = e x - 3 a x 2 + f " ( x ) = e x - 6 ax
S i f " ( x ) = 0 + e x - 6 a x = 0 + e x = 6 a x ( 1 )
Puesto que: ex>0 , ¥-xeR + ax>0 <-* (a>0 A x > 0 ) v ( a < 0 A x<0)
P a ra l a p r i m e r a a l t e r n a t i v a : a >0 A x > 0 , e n ( 1 ) : ex > 6 ax
E n p a r t i c u l a r , p a r a x= 1 + e a- 6 a a e / 6
L u eg o , l a f u n c i ó n f t i e n e p u n t o s d e i n f l e x i ó n p a r a a > 0 y a- ce / 6
P a r a l a s e g un d a a l t e r n a t i v a n o h a y s o l u c i ó n .
D e m o st r a r q ue l a a b s c i s a d e l p u n to d e i n f l e x i ó n e n l a g r a
f i c a d e un a f u n c i ó n no p u e de c o i n c i d i r c o n e l p u n t o d e l
e x t r e m o d e e s t a m is ma f u n c i ó n .
KKT'iTil D e m d s t r a r q u e e n t r e d o s p u n t o s d e e x t r e m o s d e c u a l q u i e r
■ f u n c i ó n d e r i v a b l e d o s v e c e s e s t á s i t u a d a p o r l o m e n os un a
a b s c i s a d e l p u n to d e i n f l e x i ó n de l a g r á f i c a d e l a f u n c i ón
t K H C om pr ob ar l o s i g u i e n t e , t om an do l a f u n c i ó n y = x ‘t+ 8x , + 18x2 +8
c omo e j e m p l o : e n t r e l a s a b s c i s a s d e l o s p u n t o s d e i n f l e
x i ó n d e l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n p u e de n o h ab e r p u n t o s d e e xt r em o
570 ____ ________________________________ Capítulo 4: Análisis de las Funciones Sección 3: Aplicación de la segunda derivada 571
S i f ' ( x ) = 0 -*■ x ( x + 3 ) 2 = 0 «-*• x = 0 ó x = - 3
x = - 3 n o p u e d e s e r u n v a l o r e x t r e m o d e l a f u n c i ó n , p u e s e s l a a b s
c i s a de pu n to d e i n f l e x i ó n .C o m o 0 ¿ < - 3 , - 1 > , q u e d a c o m p r o b a d o q u e e n t r e d o s a b s c i s a s d e p u n t o s
d e i n f l e x i ó n d e l a f u n c i ó n no h ay p u n t o s d e e x tr e m o .
l ü i l O bs e rv an do y ex am in an do l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n ( v é a s e l a
f i g u r a 3 0) i n d i c a r e l a s p e c t o d e l a s g r á f i c a s de su p r i m e
r a y s e g un d a d e r i v a d a .
y ' = f ( x )
-> x
Solución. E nu me r em os l a s a b s c i s a s d e l o s p u n t o s e x t r e m o s y d e
i n f l e x i ó n e n e l i n t e r v a l o [ a , b ] .
I n d ic a re m o s e l a s p e c t o de l a g r á f i c a d e y ' = f ’ ( x ) s i g u i e n d o e l c r i
t e r i o d e m o n ot o n í a y de l a c o n d i
c i ó n n e c e s a r i a p a r a un v a l o r e x
tremo .
f ' ( x )>0 e n < a , 1> : l a g r á f i c a de
y ' e s t á a r r i b a d e l e j e X , e n x =1
y ' = 0 . f ' ( x ) <0 e n < 1 , 3 > : l a g r á f i
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g p p
Solución. D e r i va n d o d o s v e c e s l a f u n c i ó n s e t i e n e :
f ' ( x )= 4x ( x + 3 ) 2 + f " ( x ) = 1 2 ( x + 3 ) ( x + 1 )
S i f " ( x ) = 0 -»• ( x + 3 ) ( x +1 ) = 0 -*-*■ x = - 3 ó x = -1
L o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d s on : < - ° ° ,- 3 > > < - 3 , - 1 > . <- 1, +° °>
S i x = - 4 e < - ° ° , -3 > + f " ( -U)= 12 ( - ) (-■) = ( + ) + 3 j
x = - 2 e< - 3 , - 1 > + . f " ( - 2 ) = 1 2 ( + ) ( - ) =
x= 0 e< - 1 , +“ > ■+ f " ( 0 ) =12 ( +) ( + ) = ( + )
P o r t a n t o , x = - 3 y x = - 1 s o n a b s c i s a s d e l o s p u n t o s de i n f l e x i ó n d e l a g r á f i c a d e f .
y 0 . f ( x ) <0 e n < 1 , 3 > : l a g r á f i
c a d e y ' e s t á d e b a j o d e l e j e X,
e n x = 3 , y ' = 0 . f ' ( x ) >0 e n < 3 , 5 >:
l a g r á f i c a d e y ' e s t á a r r i b a d e l e j e X, e n
A h o r a . i n d i c a r e m o s e l a s p e c t o d e * y"
l a g r á f i c a d e y" = f ( x ) s i g u i e nd o
e l c r i t e r i o d e c o n c a v i d a d y d e l
p u n t o d e i n f l e x i ó n .
f " ( x )<0 6 n < a , 2 >: l a g r á f i c a d e ®y" e s t á d e b a j o d e l e j e X , e n x= 2
y" =0 . f " ( x )>0 en <2 , 4> : l a g r á f i c a
x = 5, y ' = 0 .
x
572 Capítulo 4; Análisis de las Funciones
d e y " e s t á a r r i b a d e l e j e X, e n x =4 , y " = 0 . f " ( x ) < 0 e n < 4 ,b > : l a
g r á f i c a d e y'-' e s t á d e b a j o d e l e j e X , e n x =6 , y"=0 .
H a ce r l o m is mo c o n r e s p e c t o a l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n r é p r e s e n t a d a e n l a f i g u r a 3 1 .
> x
So¿ucL6n. Como e n e l e j e r c i c i o a n t e r i o r , e xa m in e mo s e l a s p e c t o
d e l a g r á f i c a de y ' = f ' ( x ) .
f , ( x ) >0 e n < a , 1 > : l a g r á f i c a d e y ’
e s t á a r r i b a d e l e j e X . En x = 1, l a
g r á f i c a d e y = f ( x ) p r e s e n t a u na cu s
p i d e e n l a q u e f '( x ) = a > . E n l a g r á
f i c a de y ' , x =1 e s u na a s í n t o t a v e r
t i c a l . f ' ( x )<0 en < 1 , 4->: l a g r á f i c a '
de y 1 e s t á d e b a j o d e l e j e X, e n x =¿
y ' = 0 . F i n a l m e n t e , f ' ( x ) > 0 e n < 4 , b > :
l a g r á f i c a d e y 1 e s t á a r r i b a d e l e j e
X.
A ho ra , s i g u i e n d o e l c r i t e r i o d e c o n c a v i d a d y d e l p un t o d e i n f l e
V<ción 3: Aplicación de la segunda derivada 573
I n d i c a r e l a s p e c t o d e l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e x am in a nd o
l a g r á f i c a d e s u d e r i v a da ( v é a se l a f i g u r a 3 2 ).
I n d i c a r e l a s p e c t o d e l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n e x a mi n an do
l a g r á f i c a d e su d e r iv a d a ( v é a s e l a f i g u r a 3 3 ) .
dx
m i J L a l í n e a v i e n e d ad a e n f or ma p a r a m é t r i c a p or l a s e c u a c i o
n e s x = f ( t ) , y = g ( t ) . M o s tr a r q ue a l o s v a l o r e s de t p a r a
, f , e-ll - e l f "l o s c u a l e s l a e x p r e s i ó n — 2 — £------ c a m b i a d e s i g n o ( l a p r i m a d e -
f 'Mi gn a l a d e r i v a c i ó n r e s p e c t o a t ) y f ' ( t ) ¡ ¿ 0 , l e s c o r r e s p on d e n
l o s p u n t os d e i n f l e x i ó n d e l a l í n e a r e f e r i d a .
0cmostn.ac.L6n.. En e f e c t o , s e a y = F ( t) l a f u n c i ó n c u y a s e c u a c io n e s
p a r a m é t r i c a s s e c o n o c e n . C a l c u l a r e m o s s u p r i m e r a
' i o r i v a d a m e d i a n t e : 4 ^ = —— f ' ( t )
- J Ü z . = ^ M t ) | =d x 2 dx f ' ( t )
l’o ro : ' (Jj *( t ) - f ' ( t ) . g " ( t ) - g ' ( t ) . f ' ' ( t )
apongamos que! <J>(t ) = -I— LLlf ' ( t )
( 1 )
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x i ó n , e x a mi n e mo s e l a s p e c t o d e l a
g r á f i c a d e y " = f" ( x ) ,
f " ( x ) > 0 e n < a, 1 > U < 1 ,2 > : l a g r á f i c a
d e y" e s t á a r r i b a d e l e j e X . E n x =1
no e x i s t e p u n to de i n f l e x i ó n ( y " / 0 )
f " ( x ) <0 en < 2 , 3 > : l a g r á f i c a d e y"
e s t á d e b aj o d e l e j e X. f " ( x ) > 0 e n
< 3 , b > : l a g r á f i c a d e y " e *s tá a r r i b a
d e l e j e X .
[ f ' ( t ) J 2
Luego , en ( 1 ) : -¿—Z. = ^ • g" ~ g ' ( t ) . f " ( t ) ^ f i ( t ) / 0
d x 2 f ' ( t ) [ f * ( t ) J 2
*' 'i do q u e [ f ' ( t ) ] 2 >0 , V-teR, e l c ambio de si gn o de .d.2y , que det erd x 2 .
¡ na l a e x i s t e n c i a de p u n t o s de i n f l e x i ó n e n l a g r á f i c a d e y= F( x )
p nr a c i e r t o s v a l o r e s d e t , d e p en d e d e l c am bi o de s i g n o d e l a e x -
. , f < CT,r -cr 1f »p i 'c s io n — £— s------ , f ' / O , p a r a t a l e s v a l o r e s de t .
f '
( 2 )
574 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
n T T H H a l l a r l o s p u nt os de i n f l e x i ó n p a r a l a l í n e a x - t 2 , y - 3 - t + t 3
S o lu c ió n . S i f ( t ) = t 2 - f 1( t ) =2 t + f " ( t ) =2
g ( t ) = 3 t + t 3 -*• g ' ( t ) = 3 + 3 t 2 + g " ( t ) = 6 t
. . \ f « ( t ) . f c " ( t ) - K ' ( t ) . f " ( t ) „„ -------S egún l a fó r mul a : f " (x ) = ----- ------- 5----- [ f ' ( t ) J 3---------------- ’ tl en e •
, _ 2 t ( 6 t ) - ( 3 + 3 t2 ) ( 2 ) = 3 ( t + 1 ) ( t - 1 )
( 2 t ) 3 U 3
S i f " ( x ) = 0 -*■ ( t + 1 ) ( t - 1 ) = 0■*->■ t» = -1 ó t -2= 1
I n te r v a l os de c onc a v ida d: < -“ , -1 > , < -1 , 0 > , <0 , 1 > , <1 , +“ >
Si t =- 2e <- “>, -1> +■ f" (x ) = ~ | ^~ ■■ = ( - )
t = - i e < - 1 , 0 > f M x ) = = ( + )( *)
t = 4 e <0>1> + f " ( x) = - ( + ) = ( - )2 ( + )
t =2E< 1 , +“> + f" ( x ) = ~+ = (+)( + )
El cambio de s igno de f" (x ) en los ento rnos de t i = -1 , t=0 y t 2=1
i n d i c a n qu e e x i s t e t r e s p u n to s d e i n f l e x i ó n e n l a g r á f i c a d e l a
función dada.
P a ra t = - 1 + x = ( - 1 ) 2 =1 , y = 3 ( - 1 ) + ( - 1 ) 3 =- ¿ * I i ( 1 . - 4 )
t = 0 x=0 , y = 0 -*• 1 ( 0 ,0 )
t = 1 -> x = ( 1 ) 2 = 1 , y=3( 1 ) + (1 ) 3 = 4- +I 2 ( 1 , 4 )
I H P I H a l l a r l o s p un t os de i n f l e x i ó n p a r a l a l í n e a x =e t , y = Se nt
S o lu c ió n . S i f ( t ) = e t + f ' ( t ) = f " ( t ) = e'fc
g ( t ) = S e n t •* g ' ( t ) = Co st + g " ( t ) = - S e n t
i f ' ( t ) g » ( t ) g 1 ( t ) f ' ( t ) e t S ent et C ost
Sc<-ción 4: Tareas com pleme ntarias 575
TAREAS COMPLEMENTARIAS
4.1 LA FÓRMULA DE CAUCHY
" o g ú n e l t e o r e m a \. U, s a b em o s q u e, d a d a s d os f u n c i o n e s f y g
i ) c o n t i n u a s en e l i n t e r v a l o f a ,b ]
l i ) d e r i v a b l e s e n e l i n t e r v a l o < a ,b >
l 1 1 ) g ' ( x ) / 0 e n t r e l o s p u n t o s d e l e n t o r n o <a , b >
f ( b ) - f ( a ) _ f ' ( c )e n t o n c e s e x i s t e c e < a , b> , t a l q u e:
< • c o n o c i d a c omo l a f ó r m u l a d e C au c hy .
g ( b ) - g ( a ) g ' ( c )
m | | J E s c r i b i r l a f ó r m u l a d e C au ch y p a r a l a s f u n c i o n e s f ( x ) = S e n x y g ( x ) = l n x e n e l i n t e r v a l o [ a , b j , 0 <a<b .
Solución. A n a l i c e m o s l a s c o n d i c i o n e s de l a f ó r m u la .
i ) f ( x ) = S e n x e s c o n t i n u a ¥ xe R y p o r t a n t o e n [ a , b ]
g ( x ) = l n x e s c o n t i n u a ¥- x>0 , t a m b i é n e n [ a , b ]-1
l i ) f ' ( x ) = C o s x y g ' ( x ) = — ; am ba s s on d e r i v a b l e s e n < a ,b >
¡ i i ) E n t o n c e s : 3 Ce < a , b > / | e ” b - S e n a = £ o s c.l n b - l n a 1 / c
c C o s c = S e n b - S e n a
l n ( b / a )donde a<c<b
| j j y E s c r i b i r l a f ó r m ul a de Cau chy pa r a l a s f u n c i o n e s f ( x ) = e 2 x y g ( x ) = 1 + e x e n e l i n t e r v a l o f a , b ] .
Solución. L a s d o s p r i m e r a s c o n d i c i o n e s d e l t e o r e m a d e C a uc h y s e
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i f ( t ) . g » ( t ) - g 1 ( t ) . f ( t ) - e t S ent - et C ost
‘ C f ' ( t ) ] 3 e 3t
Sent + Cost 2t
e3
Si f" (x )= 0 Sent+Cost=0 Tant=-1 +-*■ t = ki r + -£ir
Luego, para t=3v/ K , l o s puntos dé i n f l e x i ó n s on
±kir (k=0, 1 , 2 , . . . )
c u m p l e n , l u e g o :
f ' ( x ) = 2 e2x + f 1 ( c ) =2 e 2 c ; g ' ( x ) = e x -»• g ' ( c ) = e c
2 b 2 a + 3 c e < a , b > / — * e 2 e
1 + e - ( 1 + e a )«-*■ e b + e a = 2 e °
Q Q j J C om p ro b ar l a v a l i d e z d e l a f ó r m u l a de C a uc h y p a r a l a s f u n
c i o n e s f ( x ) = x 3 y g ( x ) = x 2 +1 e n e l i n t e r v a l o [ 1 , 2 ] .
Solución. E n ' e f e c t o , f y g s o n - c o n t i n u a s y d e r i v a b l e s e n <1 , 2 > .
576 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
. 3 c e < 1 , 2 > / - f ( 2 ) ■- f l 1 ) ♦ J t Jg ( 2 ) - g ( 1 ) g 1 ( c ) 5 - 2 2 c
de donde: c = e <1 ,2>
I C om pr ob ar l a v a l i d e z d e l a f ó r m u l a d e Ca uc hy p a r a l a s f u n
c i o n e s f ( x ) = S a n x y g ( x ) = x+ C o s x e n e l i n t e r v a l o [ o , i r / 2 ] .
Solución. En e f e c t o , f y g s o n c o n t i n u a s e n [ 0 ,t t / 2 ] y d e r i v a b l e s
e n < 0 , ir / 2 > . E n t o n c e s , s a t i s f a c e n l a s d o s p r i m e r a s co n
d i c i o n e s d e l t e o r e m a d e C a u c h y .
P or t a n t , 3 c e < 0 (1r / 2> / l í l Z £ ) _ L_ f ( 0 ) = _ _1 ^ 0_ = ^
g ( 7 i / 2 ) - g ( 0 ) g ' ( c ) i r / 2 -1 1 - S e n c
Sene = -liAzl).= 0 , 5 0 9 tt2 1- Se nc 7í2-4ti +8
c = tt/ 6 e <0 , ir /2>
D e m os t r ar qu e s i e n e l i n t e r v a l o | a , b | s e cu m pl e l a e x p r e
s i ó n ] f 1 ( x ) | > | g ' ( x ) | , y g ' ( x ) n o s e re d u ce a c e r o , t am b ié n
s e r á v á l i d a l a e x p r e s i ó n | A f ( x ) | & |A g ( x ) j , d on de A f ( x ) = f ( x + A x ) -
f ( x ) , A g ( x ) = g ( x + A x ) - g ( x ) , y x y x+ Ax so n c u a l e s q u i e r a p u n t o s d e l
i n t e r v a l o [ a , b j .
de.mostn.ac.i6n. En e f e c t o , p o r l a d e f i n i c i ó n de d e r iv a d a
f « ( x ) = l i m f U + A x ) - f ( _ x j
Ax+0 Ax
+ = T in . | f ' ( x +A x ) - f ( x ) | y | g , ( x ) | g l i m ¡ g ( x +A x ) - g ( x 2 j
Ax+0 Ax Ax+0 Ax
L ue go : I ? 1 (* ) I = If ( x + A x ) - f ( x ) | ^ | f 1 ( x ) [ _ | A f ( x ) | ^
|g’ (x) | |g(x +Ax) -g(x )| |g *(x ) | |Ag (x;
Sección 4: Tareas complementarias 577
q ue e n e l i n t e r v a l o [ 1 / 2 , 1 ] : a r cT a nx - l n ( l + x 2 ) Z j - l n 2
Demosinación. E n e f e c t o , a p l i c a n d o é l t e o r e m a dé C a uc h y e n e l
i n t e r v a l o [ x ,x + Ax ] p a r a l a s f u n c i o n e s f ( x ) = l n ( 1 +x 2)
y g( x ) =a r c T an x , ‘ s e t i e n e :
f ( x + A x ) - f ( x ) _ f 1 (x )
g ( x + A x ) - g ( x ) g ' ( x )
Si ce <x , 1/ 2> ■+■ Mí*) = lili). = 2c / ( 1 + c 2 ) = 2c
A g ( x ) g ' ( c ) 1 / ( 1 + c 2 )
P er o : 0 < c < i ■ 2 c < 1 , e s d e c i r , < 12 Ag(x )
Da do q u e e n e l i n t e r v a l o [ a , 1 / 2 ] , Ag ( x ) > 0 •*■ A f ( x ) < Ag( x )
A n á l o g am e n t e , s i c e < 1 / 2 , x > = 2 cA g ( x )
P e r o : ¿ < c < x ■* 2 c > 1 , e s d e c i r , > 1 ■*-»■ A g ( x ) < A f ( x )A g ( x )
S i A f ^ > 1 + f ( x+ A x )- f ( x ) > 1
A g ( x ) g ( x + A x ) - g ( x )
[ x , x + A x J = D / 2 , 1 1 + ' x +A x = 1
L u e g o : 7 A ; x ) 5. 1 +f ( 1 ) - f ( x ) >, g ( 1 ) - g ( x )g ( 1 ) - g ( x )
-*■ g ( x ) - f ( x ) 5 - g ( 1 ) - f ( 1 )
. * . a r c T a n x - l n ( 1 + x 2 ) J 7 - l n 24
4.2 REGLA DE L’HOSPITAL
TEOREMA4.12 S e a n l a s f u n c i o n e s f :R- »- R y g : R+ R t a l e s q u e s a t i s f a
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S i en [ a, b] s e c um pl e q ue : | f ' ( x ) | ^ [ g ' ( x ) | ■+ J -£ — 5- 1t g ' ( x ) |
Luegff, en (1 ): IAx( x) | -| ^ | Af (x ) | >. [Ag (x ) || A g ( x ) |
D e m o s t r a r q u e e n e l i n t e r v a l o [ x , 1 / 2 ] ( x £ 0 ) e l i n c r e m e n t o
d e l a f u n c i ó n y = l n ( 1 + x 2 ) e s m e no r q u e e l d e l a f u n c i ó n
y =a r cT a nx , y e n e l i n t e r v a l o [ l / 2 , x ] , v i c e v e r s a , e s d e c i r ,
A a r cT a nx < A ln ( 1 + x 2 ) . V a l i é n d o s e d e e s t a ú l t i m a r e l a c i ó n m o s t r ar
c e n e n c i e r t o i n t e r v a l ó | a , b | l a s c o n d i c i o n e s d e l
t e o r e m a d e C a u c h y y s e r e d u c e n a c e r o e n e l p u n t o x = a , e s d e c i r ,
f ( a ) = g ( a ) = 0 , e n t o n c e s , s i e x i s t e e l l í m i t e d e l a r a z ó n í -l i iS2
g ' ( x )í>/ \
c u an d o x+ a , e x i s t i r á t a m b i é n e l l í m i t e d e —i —- c u a nd o x+ a , y a d e
lim £Í2L> = l im tlÁÚ = L
I (x)= L
x+a g ( x ) x-*-a g ' (x )
Demostnación. E n e f e c t o , s e a x e < a , b > . P o r e l t e o r e m a d e C a uc h y,
578 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
s e t i e n e : f ( * ) - f ( a ) = f ' ( e ) , a<c <x ( 1 )g ( x ) - g ( a ) g ' ( o )
P e r o, p o r h i p ó t e s i s : f ( a ) = g ( a ) = 0 , e n t o n c e s , e n ( 1 ) :
f ( x ) = f ' ( c ) ( 2 ) .g (x ) g 1 ( c )
S i d i v i d i m o s e l n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r d e l p r i m e r m i e m b r o d e
( 1 ) e n t r e x - a , y l u e g o , a p l i c a m o s l í m i t e s e n am bo s m i e mb r o s , c u an
do x+a , obtenemos:
J L I W = l i m ILÍSílg ' ( x ) x +a g 1 ( c )
S i x + a , t a m b i é n c + a , y a q u e , e n ( 1 ) : c e < a , x >
f 1 ( x ) » f ' ( c )As i mismo , s i L = l im ----¡— - , e n t o n c e s e x i s t i r á L = l i m ----------
x+a g 1 (x) c+a g ' (c )
E s e v i d e n t e q u e :
l i m LÍZJ- = l im = l im í'('°) = l im ü l i i = Lx +a g ( x ) x +a g ' ( c ) c + a g ' ( c ) x +a g ' ( x )
y f i n a l m e n t e :
l i m lljÚ = l i m í'Jl:) = Lx+a g (x) x+a g 1 ( x)
O b s e r v a c i ó n 1 . E l t e o r e m a e s v á l i d o t a m b i é n e ne l c a s oen que
l a s f u n c i o n e s f y g n o e s t á n d e f i n i d a s e n x = a,
pero que:
l i m f ( x ) = 0 , l i m g ( x ) = 0
x+a x+a
A qu í e s n e c e s a r i o d e f i n i r a d i c i o n a l m e n t e l a s f u n c i o n e s f ( x ) y
g ( x ) e n e l p u n t o x = a d e t a l m od o q u e é s t a s s e a n c o n t i n u a s e n x = a
P ar a e s t o e s s u f i c i e n t e p o n e r:
f ( a ) = l i m f ( x ) = 0 , g ( x ) = l i m = 0
Vi ición 4: Tareas complementarias 579
f 1 ( i r 1 f " ( - ¡c)obten emos: L = l im ------ i— - = l i m — i— , e t c
x +a g ' ( x ) x + a g " ( x )
O b s e r va c i ón 3 . S i g ' ( x ) = 0 , p e r o f ' ( x ) ^ 0 , e l t e o r e m a s e a p l i c a a
l a r a z ó n i n v e r s a q ue t i e n d e ac e r o , c u a n d of ( x )
t i (g ( x )
/ f ( x )x+ a . P o r t a n t o , l a r a z ó n —i— - t i e nd e a l i n f i n i t o .
O b s e r v a c i ó n 4 . L a r e g l a d e L ' H o s p i t a l t a m b ié n p u e d e s e r a p l i c a
d o , c u a n do : l i m f ( x ) = 0 y l i m g ( x ) = 0
X+ co x+°°1
I'".n ef ec to , haci end o x = — , vemos que z+0 cuando x+°° , y , por lo
t a n t o :
l i m f í ^ ) = 0 y l i m g(-^) = 0
z+0 z+0 2
A p l ic a n do l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l a l a r a z ón h a l l am o s :g ( 1 / z )
l i m = l i m Ú = l i m f ' ( 1 / ,z ^ = l i m ,f 1 ( V z )x+<° g( x) z +0 g ( 1 / z ) z +0 g ' ( 1 / z ) ( - 1 / z 2 ) z+0 g ' ( 1 / z )
i . f ' ( x )= l i m ------:—-x+“ g 1 ( x )
TEOREMA 4,13 S e a n f : R + R y g : R + R d o s f u n c i o n e s c o n t i n u a s y d e r i -
v a b l e s p a r a t o d o s l o s v a l o r e s d e x / a e n l a v e c i n d ad
d e l p u n t o a , y q u e l a d e r i v a d a g ' ( x ) n o s e r e d u c e a c e r o . S u po n ga
i o s q u e :
l im f( x ) = °° , l i ra g ( x ) = “■ x+a * x+a
y que e x i s t e e l l í m i t e : L = l i m £ — ‘ ( 1 )x + a g ' ( x )
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( ) ( ) , g ( )x+a * x+a
y a q ue e l l i m — n o d e p e n d e d e q u e l a s f u n c i o n e s f y g e s t á n o x + a g ( x )
n o d e f i n i d a s e n e l p u n t o x = a .
O b s e r v a c i ó n 2. S i f ' ( x ) = 0 y g ' ( x ) = 0 y l a s d e r i va d a s f ' ( x ) y g ' ( x )
s a t i s f a c e n l a s c o n d i c i o n e s d e l t e o r e m a de Ca uc hy ,f i ( x )
e n t o n c e s , a p l i c a n d o l a r e g l a de L ' H o s p i t a l p a r a l a r a z ón i— - ,
g ' ( x )
E n t o n ce s e x i s t i r á t a m b ié n e l l i n , o s e a :x + a g ( x )
L = , l im JLÍüA = l im £ !J ü l (2 )x + a g ( x ) x + a g ' ( x )
de.mo4tn.ac.i6n. En e f e c t o , , en e l e n t o r n o d e l p u n t o a c o n si d e r e m o s
dos punt os a y x de ta l modoque: ot<x<a
Por e l t eo re ma de C auc hy: ^ ^ ' ( c ) a <c <x ( 3)g ( x ) - g ( a ) g ' ( c )
580 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
n - — \f ( x ) / f ( x ) \ _ f ' ( c ) ^ f ( x ) _ f í o ) / g ( x) ]
E nt on ce s: — —----------------------------- — * — — - . , " l ---------T Ig ( x ) y 1 _ g ( q ) ) g ’ ( c ) g ( x ) g ' ( c ) y - i _ f ( a ) f
g ( x ) f ( x)
De ( 1 ) s e d e d u c e q u e ¥ e > 0 , 3 a > 0 t a n p r ó x i m o d e a , q u e p a r a t o d o s *
l o s v a l o r e s d e x = c , d o nd e a <c < a , s e c u m p l e l a d e s i g u a l d a d :
I f 1 - l | < e +*■ L-e < f ' < L+ e (5)
I g ' ( c ) I g ' ( c )
1 g ( o l )
g(x) Analicemos, ahora, la fracción:
f (x)
Fijemo s a de modo que se cumpla la desigu aldad (5), y aprox ime
mos x al va lo r a, ya que f( x) +» y g(x)+«° , cuando x->-a, tendre mos
1 - g ( a )
l i m — s k i = 1
x+a 1 _ f(a)
" f(x)
P or t a n t o , p a r a e l v a l o r d e e >0 y p a r a x, s u f i c i e n t e m e n t e p r ó x i -
mo de a , te ndre mos:
1 - : ( “ ) . 1 _ e ( “ )
g ( x )
1 .
< e «-+ 1-e < g<x ) < 1 +e ( 6 )f (ot)
f ( x ) f ( x )
M u l t i p l i c a n d o c a d a e x t re m o de l a s d e s i g u a l d a d e s ( 5 ) y ( 6 ) obtene / 1 - i h í \
mos: ( L- e ) ( 1- e) < f ' ( -------------^í üL ) < (L+e) <1+e)
«'teJ V 1 -Sllt )
Succión 4: Tareas complementarias 581
Obs erv ació n 1 . S i en (1 ): L = l im f ■' x- = <», la ig ua ld ad ( 2 )x+a g 1 ( x )
s i g u e s i e n d o v á l i d a . E n e f e c t o , d e l a e x p r e s i ó n
? ' ( x )• i n t e r i or s e t i e n e : l i m s.— — L = 0
x +a f * ( x)
S e g ún e l t e o r e m a d e m o s t r a d o : l i m j =J ü2 = l í » g ' ( x ) = qx +a f ( x ) x +a f ' ( x )
d e d o n d e : l i m .** = °°x + a g ( x )
O b s e r v a c i ó n 2 .
FORMAS INDETERMINADAS REDUCIBLES a £ ó 0 00
E n t r e l í m i t e s i n d e t e r m i n a d o s q u e s e r e d u c e n a l o s c a s o s e x am i n a-0 , oo
d o s : g- o — , s e p r e s e n t a n , s i m b ó l i c a m e n t e , l o s s i g u i e n t e s :
a) 0 . a3 b) 0 ° c) °°° d) 1 e ) «>-«>
E l s i g n i f i c a d o d e e s t o s l í m i t e s i n d e t e r m i n a d o s e s como s i g u e :
a ) S u p o n i e n d o q ue l i m f ( x ) = 0 , y l i m g ( x ) = h a l l a rx+a x+a
l i m [ f ( x ) . g ( x ) ] = Lx + a *
S i e s c r i b i m o s : L = l i m ^ ^ , 0 b i en : L = l im
- X+a g( x) x* a FH^T
E n e l c a s o d e q ue l i m f ( x ) = “ , l i m g ( x ) = “>, y X+ oo x+°°
f 1 (x)e x i s t e l i m -----:— - , e n t o n c e s :
x+°> g ' (x)
L = l i m l i ü l = l i m l l i
x+» g (x ) x+“ g 1 ( x )
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« teJ V 1 Sllt )f ( x )
y s e gú n U ) : ( L - e ) ( 1 - e ) < l M < ( L + e ) (1 + e ) ( 7 )g ( x )
Dado que e es un númeroa r b i t r a r i a m e n t e p e q u e ñ o , cu an do x s e e n
c u e n t r a l o s u f i c i e n t e m e n t e p i -ó xi m o de a , d e ( 7 ) s e d e d u c e q u e :
L = l im iSl) = l i m I L Í ü lx + a g ( x ) x + a g 1 ( x ) .
h a b r e m o s o b t e n i d o u n a i n d e t e r m i n a c i ó n d e l a f o r m a :
0 / °o0 o ®
b) S e a l i m f ( x ) = 0 , l i m g ( x ) = 0 ,. h a l l a r L. = l i m [ f ( x ) ] g ^x + a x + a x + a
E s c r i b i e n d o : y = [ f ( x ) ] g ^x ^ y a p l i c a n d o l o g a r i t m o s e n a mb os
e x t r e m o s o b t e n em o s : I n y - g ( x ) [ l n f ( x ) J
S i x + a , o b t e n e m o s e n e l s e g u n d o mi e m br o un a i n d e t e r m i n a c i ó n
d e l a f o r m a 0. o= . C a l c u l a d o e l l i m l n y , e s f á c i l h a l l a rx+ a
582 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
l i m y . En e f e c t o , e n v i r t u d d e l a c o n t i n u i d a d d e l a f u n c i ó n l o - x+ a
g a r í m i ca s e t i e n e : l i m l n y = l n ( l i m y )
x+a x+aA h o ra , s i l n ( l i m y ) = b , e n t o n c e s
x+ alim y = e x+a*
D e modo s i m i l a r s e c a l c u l a n l o s l í m i t e s i n d e t e r m i n a d o s de l o s c a
s o s ( c ) y ( d ) .
PROBLEMAS RESUELTOS
En l o s e j e r c i c i o s 1 3 2 4- 1 36 4 h a l l a r l os . l í m i t e s .
e r e n - 3* ^l i m -------------------
x +a / x - / a
Solución. S i f ( x ) = 3/ x - 3/ a + f ( a ) = 0
g ( x ) = / x - / a + g ( a )=0
E l l í m i t e t i e n e l a f o r m a i n d e t e r m i n a d a ^
S e gú n l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l :
L = l i m = l im -1 / í.3 :-. l /x3 ). = l i 2 / í 2 /a
x + a g ' ( x ) x + a 1 / 2 / x
I n C o s x
x+a 3. 3/x2 3 . 3 ' /a 2 3 . s / a
l i mx+0
So ¿ución. S i f ( x ) = I n C o s x + f ( 0 ) = I n 1 = 0g ( x ) = x g ( 0 ) = 0
- S e n x
P o r L ' H o s p i t a l : L = l i m - L i l i l í = 1 im ?,°s.c =■ l i m ( - T a n x ) = 0
Sección 4: Tareas complementarias583
E2 J lim sl X-Cosa x
x+0 e -CosBx
Solución. S i f ( x ) = e “ x - C o s a x + f ( 0 ) = 1 -1 = o
g ( x ) = e 6 x -C os Bx + g ( 0 ) = 1 - 1 = 0
L = l i m H í i l = U n g e ° X + Q Se n ax _ a e ° + a ( Q ) _ a
x+0 g 1 (x) x+0 £Se0x + eSenBx Be° + 6( 0) 6
2 3 l i m . ^ ar cT an x x+0 x 3
So ¿ución. S i f ( x ) = x - a r c T a n x +f ( 0 ) =0
g ( x ) = x 3 + g ( 0 ) = 0
1 1 ___
L = li m I 1 Í 2 Í = i l B ---------1 + x l = l i m _ 1 = 1
x + 0 g ' ( x ) x +0 3 x 2 x +0 3 ( 1 + x 2 ) 3
xxm ---- ■— x + 0 / S e n b x
Solución. S i f ( x ) = e a i / x - 1 + f ( o ) = e ° - 1 = 0
g ( x ) = / S e n b x + g ( 0 ) = 0
l i m H h l = i i n = n a e a^ / A señbx^x +0 g 1 ( x ) x +0 x Í S ^ ' x ( '/ ~ ^ )
2 / S e n b x
= l i m -------(J ~ ? b x ) = a e ° ( / J ) = _ a
x + 0 / b C o s b x ’ b x / b C o s O / b
E J U n. x - s e nx
x+ 0 x - T a n x
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x+0 g ' ( x ) x+0 1 x+0
- 1 )l i m ( í x+0 Senx
Solución. S i f ( x ) = e X- 1 + f ( 0 ) = 0
g ( x ) = S e n x + g ( 0 ) = 0
P o r L ' H o s p i t a l : L = l i m f ' ( x ) _ = l imx+0 g ' ( x ) x+0 Cosx CosO
= 1
So¿ución. S i f ( x ) = x - S e n x + f ( 0 ) = 0
g ( x ) = x - T a n x + g ( 0 ) = 0
L = l i m 111*1 = U n 1 -Co sx _ _ 0 , . 'x + 0 g « ( x ) x + 0 1 - S e c 2 x ~ 1 - 1 “ 0 ( d e t e r m i n a d o )
L = l im I l í í i = ü m --------S e n x ____ = Cosx ,
x+0 g " ( x ) x + 0 - 2 S e c 2 xT a nx x+0 2 S e c 2 x
= - j l i m ( C o s 3x ) = - 4 ( 1 ) 3 = - 4
¿ x +0 2 2
584 Cavítulo 4: Análisis de las Funciones
, . i r - 2 a r c T a n x l i m ------------------y .x+c° l n ( 1 + —)
Solución. S i f ( x ) = i r - 2arc Tanx + f ( '“>) = = 0
g ( x ) = l n ( 1 + b + g ( ” ) = I n 1 = O
L = l im JLLkiíl = l i m
- 2 ( _ i - )1 + x 2
X+oo g ’ (x ) X+" (
i * í
l i mX-Vco
2 ( x 2 +x )
1 + x 2
L = l i m f " ( x-) = ü m = l i m ( 2 + ^) = 2
X+oo g II ( x ) X+°° 2x X-K»
l i m ■
Solución. S i f ( x ) = x m- a m
g ( x
f 1 ( x ) _
/ \ n n g ( x ) = x - a
m- 1
+ L = l i m ■ = limx + a g ' ( x ) x +a n x
ñ^ T
+ f ( a ) =0
+ g ( a ) = 0
= l i m ^ ( x ) rx + a n
n ( a )
l i m x +0 c J'
a - b
Solución. S i f ( x ) = a x - b*
g (x ) = c x - ds
' f ( O ) = a ° - b ° = 0
g ( 0 ) = c°-d° = 0
f i ( x ) , . a x l n a - bx l n b _ l n a - l n b _ l n ( a / b )l i m - — - = l i m — -------------------- — -------------------------------------;— — ~x +0 g ' ( x ) x +0 c l n c - d l n d l n c - l n d l n ( c / d )
Sección 4: Tareas complementarias 585
Solución. S i í ( x ) = e x - e x + f ( 0 ) = 0
g ( x ) = ¿ S e n 2 x + g ( 0 ) = 02
Lmx + 0 g ' ( x ) x +0 C o s 2xl im Ü M = l im -eX
. a - bl i m ---------------
Solución. S i f ( x ) = a x - b x + f ( 0 ) = a ° - b° = 0
g ( x ) = x / l - x 2 + g ( 0 ) = 0
L = l i m f = a-Xl n a - bx l nb _ l n a - l n b _ ^ n( —)
x +0 g ' ( x ) 1 - 2 x 2 1 b
/ Ü P
f t L L J C o s x . l n ( x - a )x +a l n ( e x - e a )
Solución. S i f ( x ) = C o s x . l n ( x - a ) + f ( a ) = C o s a . l n O = °°
g ( x ) = l n ( e x - e a ) + g ( a ) = I nO = °°
J _
*■ L = l i m C o sx . l i m Ü - 2^ - 2- 1 — = C os a . l i m — — x + a x + a l n ( e x - e ) x + a e x
x a x= C o s a . l i m ■ — = Cosa . l i m --------- ----------- = Cosa
x +a e ( x - a ) x +a e x + ( x - a ) e x
ÍESE1 l i m : . . 2 xx + 0 x - S e n x
Polución. S i f ( x ) = e x - e - x - 2 x + f ( 0 ) = 1 - 1 - 0 = 0
8/13/2019 Problemas y ejercicios de Análisis Matemático Tomo 1 - FL
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l i m- 1
x+0 C o s x - 1
Solución. S i f ( x ) - . e x - 1 + f ( 0 ) = e ° - 1 = 0
g ( x ) = C o s x - 1 + g ( 0 ) = C o s 0 - 1 = 0
L = -l imf ' ( x ) .
= l im 2 x e = l im
- 2 e
x + 0 g ' ( x ) x +0 - S e n x x + 0 (S e n x
= z2sl
) ~ ( 1 )
= -2
el i mx + 0 S e n x C o s x
g ( x ) = x - S e n x + g ( 0 ) = 0
> L = li m Í 1 M = li m e~- + e ~X - 2 = 0x + 0 g ' ( x ) x + 0 1 - C o s x
, . f " ( x ) i • e x - e - x 1- 1 0► L = l i m — = lis -------------------- - = ñ
x + 0 g " ( x ) x + 0 S e n x * 0
_ . f ' " ( x ) -i . e x + e " x 1 + 1 '>• L = l i m — ----- i ü - = l i m ----------------= — v- = 2
x + 0 g " 1 ( x ) x + 0 C o s x
586 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
______ Tanx „xF K f ! t t • e - eE kku J l i m ---------------------
x+0 Tanx - x
Solución. S i f ( x ) = e T a nx - e x + f ( 0 ) = e - e = 0
g ( x ) = T a n x - x + g ( 0 ) = 0
. , . f ( x ) e T an x S e c 2 x - e x _ , , „ e T a n x- e x C o s 2x . 0+ L = l im ----- — - = l i a ---------------------- — ' " j 0
x + 0 g ' ( x ) x + 0 S e o x - 1 x + 0 S e n ' x
f " ( x ) ' , . e T a n x S e c 2 x - ( - 2 e x C o s x S e n x + e x C o s 2x)+ L = l im —— — — = l im ---------------------------------------------------------------- --------- —
x ->0 g" (x ) x+0 2SenxCosx
e T a nx S e c 2 x + e x ( S e n 2 x - C o s 2x) _ 0= l im --------------------------- —— ------------------------ - o
x + 0 S e n 2 x - C o s 2 x)
f u i ( v i . . e T a nx ( S e c * x + 2 S e c2x T a n x ) + e x ( 2 C o s 2 x + 2 S e n 2x -+ L = l i m — ----- = l im ------------------- i----- — --------------------------------— -------------------—
x +0 g ' "( x ) >x+0 2 Co s2 x
- e ° ( 1 +0 ) + e° ( 2 +0 - 1 ) _ 1 +1 _
2 (1 ) 2
---------- ®X ' ~ f ~ ~ x ~ 1H »x+0 Cosx + ^ - 1
Solución. " Si f ( x ) = e x - - x - 1 +■ f ( 0 ) = 0
• • x f 2
g ( x ) = C o s x + 4 - - 1 + g ( O ) - 0
1 U f l (1/2)^x,1 , í
x+0 g 1 ( x ) x + 0 - S e n x + x
, . f " ( x ) , . ex - x - 1 _ 0L = l i m •— - = l i m ---------------- -
x + 0 g " ( x ) x + 0 - C o s x + 1
, . f" 1 (x ) _ ex - 1 _ 0L = li m -------------- -— = l i m - - ■g
+0 " ' ( ) + 0 S
Si t ejón 4: Tareas com plementarias 587
L = l i m . £ l L xJ = l i m 3 x 2 e x3 - 3 x 2 = l i m _____ x 2 ( e x i - 1 )
x + 0 g ' ( x ) x + 0 1 2 S e n s 2 x C o s 2 x x + 0 ¿ S e n 2 2 x ( S e n 32xCos2x)
= ( ^ ) i i m ( _ i x . ) 2 (------ = ( 1 ) l im „ ax + 0 S e n 2 x S e n 32xCos2x 10 x + 0 S e n 32xCos2x 0
L = lim 1 2 1 * 1 = 1 Ura ----------------------------- 3 x l ¿ ____________________
x+ 0 g " ( x ) x +0 S e n 32 x ( - 2 S e n 2 x ) + C o s 2 x ( 6 S e n2 2 x C o s 2 x )
= 32
, . 2 _ X 3
l i m2 x +0 S e n 2 2 x ( 3 C o s 32 x - S e n 22x )
= l i m ( | ) ( ' s f ^2 ) 2 ( -------- ------------- -----) = _ L ( 1 ) 2 ( _ L ) = _ Lx+0 4 üen¿x 3Co s 2x - Sen 2x 128 3 -0 128
_ _ _ _ _ l n ( 1+x) l ,-4 x +2 x 2 - ^ x ’ + x*l i m — — ------------------------------- ¿----------
x+0 6 S e n x - 6 x + x 3
Solución. P o r s i m p l e i n s p e c c i ó n ve m os qu e e l l í m i t e t om a l a f o r
ma i n d e t e r m i n a d a ^ .
► L = l i m f ' ( x) = l i m ¿ ( 1 + x ) ' 1- ¿ x + ¿ x - 4 x 2 + 4 x 3 = 0x +0 g ' ( x ) x + 0 6 C o s x - 6 + 3 x 2 0
► L= l i m f ', ( x ) = l i m - ¿ Q + x r 2 + ¿ - 8 x + 1 2 x 2 = 0x + 0 g " ( x ) x + 0 - 6 S e n x + 6 x 0
► L= li m '■-x) = l i m 8 ( 1 + x ) ~ 3 - 8 + 2¿x = 0x + 0 g " 1 ( x ) x + 0 - ó C o s x + 6 0
* L= l i m X l M = l i m ~ ^ ( ^ x ) - - + 21 m 0
x + 0 g l v ( x ) x + 0 ó S e nx 0
+ L = l i m = l i m -9 6 d + x ) 5 = i á = 16
x+0 g (x ) x+0 6 Cosx 6
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x +0 g " ' ( x ) x + 0 S e n x
L . n . i £ k i . n . - £ Lx+0 g (x ) x+0 Cosx
m l i m , 6 * ’ - 1 - x3
x + 0 S e n s 2 x
Solución. S i f ( x ) = e x 3 - 1- x 3 + f ( 0 ) = 1 - 1 - 0 = 0
g ( x ) = S e n 62 x + g ( 0 ) = 0
«TT tl i , -™ lnS en2 x lim — ______
x + 0 I n S e n x
Solución. S i f ( x ) = l n S e n 2 x ->• f ( 0 ) = I nO = «>
g ( x ) = l n S e n x + g ( 0 ) = I n O = „
2Cos2x
• L= l i m ^ = l i m S e n 2 x = 2 C o t g 2 x _ ~
x +0 g ' ( x ) x +0 f l f f x +0 C o t gx *
588 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
+ L = lim x+0
f " ( x ) _ - 4 - Co se c 2 2x l i mx+0
4 S e n 2 x
g " ( x ) x+0 - C o s e c 2 x S e n 2 2x
+ L = lim x +0
f " ' ( x ) = l im x+0
8S e n x C o s x l i mx+0
2 S e n 2 xg " 1 ( x) ¿ S e n 2 x C o s 2 x SenAx
+ L = lim x+0
f i v ( x )
g 1V ( x )
l n x *
= lim x+0
4Cos2x _ CosO
4Cos4x CosO= 1
1 -i*3a a B mx+0 I n S e n x
Solución. S i f ( x) = l nx : + f ( 0) = InO = OO
g( x) = InS enx + g ( 0 ) = InO = °°
♦ L = limlili} = limU^S = lim (§S£*) (*!•) = (1)4) = 1x+O g'(x) x +o |! |[ x+O x Cosx 1
| f t n l n ( 1 - x ) + T an (7r x / 2 )
X+1 CotgTTX
Solución. S i L= l i m .l n ( 1 ~ x ) + l i m l 5 £ l ü 2 L ¿ £ j ( 1 )X+1 CotgTTX X+1 CotgTTX
E n t o n c e s : L i = l i m y L2 = l i m l a n( ,TX/ 2 ?X+1 CotgTTX X+1 CotgTTX
Ambos l í m i t e s t i e n e n l a f o rm a i n d e t e r m i n a d a ^
L ue go ,- a p l i c a n d o l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l a ca d a l í m i t e s e t i e n e :
T , . - 1 / 1 - x , . S en 2Trx 0
L i = l i m ---------- :--------- = l im ------------ = qx+1 -Tr Cos ec2 Trx x+1 tt(1x)
T , . 2¥SenTrxCo s t t x . . _ _ „+ Li = l i m ------------------------ = l i m Sen2TTx = 0
X+1 -TT X+1
<‘ ión 4: Tareas complementarías589
( x n e _ x )X + c o
lución. E l l i m i t e t i e n e l a f o rm a i n d e t e r m i n a d a : =>.0
+ L = l i m ( “ ) = + L = l i m - S i ! ! ! = “x+» e x-).» ex
■ L = l im ü i q .- D x 11" 2 = l i m n ( n - 1 ) ( n - 2 ) x n - 3 _ -
x+°° e x x->~ e x " “
A p l ic a nd o l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l n v e c e s o b t en e m os :
L = l i m £Í £_ - 1 ) ( n - 2 ) . . . . 1 = ^ _ nj _ = n ! _ Q
x+°° e x+°° e x
U U I ü m ( 7r - 2 a r c T a n x ) l n xx+ 0 0
' 'lución. P o r s i m p le i n s p e c c i ó n v e m os e l l í m i t e t om a l a f o rm a :
0 . “ + L = l i m ( - - 2 a r c T a n x N _ 0x+» - 1- ; _ 0
l n x
_ _ 2 __
♦ L = li ra JLUiS i = ------ ] + x2 = l i m 2 x l n 2 x _ «X+” g ' ( x ) - -1 (1 ) x+»1 +x 2
l n 2x x
' L = l i m l " ( x ) = l i m 2 x ( 2 1 n x ) ( l / x ) + l n 2 x _ n.n2 1 n x + l n 2 x
x+°° g"(x) X+“ 2x x+» ’ x
• L = l i m — " ' ( x ) = ü m 2 / x + 2 l n x ( 1 / x ) = 2 + 2 1 n x
x+a. g '" ( x ) x+°° 1 . x+» x= l im l L1/ x ) = l i m ( 2 j = 0
x+“ 1 x+°° x
8
I 8
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La = l i m U / 2 ) S e c 2 (TTX/ 2 ) = 1±m - S e n 2TTx =
x+1 irCosec2TTx x+1 2Cos 2 (ttx/2)
T _ -i . - 2 TTSen7rxCosTTx , Sen2 7rx _ 0+ Lz - lim -------------------------- = lim ------ =x+1 -4 . (Tr/ 2 )Cos( irx /2 )Se n(TTx/2 ) x+1 Semrx
t „ 2irCos2TTx 2Cos2ir 2( 1 ) _ 0 -+ L2 = l i m ---------------- = ------------ = —-—- = - 2
x+1 TrSenTTx Costt -1
P o r t a n t o , e n (1 ): L = 02 = 2
m i j ü m x Se n( a/ x )X+ oo
"luaón. P or s i m p l e i n s p e c c i ó n v em os q ue e l l í m i t e t o ma l a f o r
ma: «>.0 + L = l i m -Se n( a/ x ) _ 0x+°° 1 / x 0
A p l ic a nd o l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l s e t i e n e :
= llallí*} = U n , Co s ( a / x ) ( - a / x 2 )
x +» g ' ( x ) x + » ~ -------------------l i m a C os ( a/ x) = aX+oo
590 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
l im ( .J L - - L )x+1 x - 1 I n x
Solución.. V e mo s q u e e l l í m i t e t o m a l a f o r m a : <*>-»
T , . x ln x - x + 1 _ 0+ L = l i m ------------------------ — - ñ
x+1 ( x - 1 ) l n x
A p l i ca n d o l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l s e t i e n e t
L =. l i m U l i Ü = ü m .x ( 1 / x ) + l n .x -J — = l l Bx+1 g ' ( x ) x+1 ( x - 1 ) ( 1 / x ) + l n x x+1 x - 1 + x l n x
, . f » ( x ) x ( 1 / x ) + l n x _ 1 + l n x _ 1= 1 im . = lim ----- - J-im 2
x +1 g " ( x ) x+1 1 + x ( 1 / x ) + l n x x +1 2 + l n x
l i m ( a 2 -<t>2 )Tan(-5^)<¡>+a
Solución. A qu í e l l í m i t e t i e n e l a f or ma in d t e r m in a d a : 0 . »
T _ , . a 2 -4 >2 _ 0
l l n r +■ /■tt<j) N ” 04>+a C ot g (“2 ^)
A p l i ca n d o l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l s e t i e n e :
L = l i m = l i m ---------- '■------------- — jx- = li m --------<j)+a g'( <t>) <t>+a ( - 2 ^) Co sec (g” ) <J)+a irCosec C^ )
. L _ 4 a 2 _ ¿ a 2
n C o s e c 2 ( t j ) V
f l ñ e m i - r 1 x ss L u I ^----- " ------>
x +1 l n x l n x
Solución. E n e s t e c a s o : L = l i m ( t — 7 ) =x +1 nX
S e gú n l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l s e t i e n e :
Sección 4: Tareas complementarias 591
L = lim H M = l im ------ h 3 . g ° 2 * = l i m ------ ~T an 2?t = £x +0 g ' ( x ) x+O x S e c 2x + T a nx x + 0 x S e c 2x+Tanx
= = l i m ----------- - 2 T a n x S e c 2 x------------ = lif fl -2 Ta nx
x+0 g "(xy x +0 2 x S e c 2x T a n x + S e c2 x +S ex 2 c x +0 2 x Ta nx +2
l i mx + 1 C o s(ttx/2) . l n ( 1 - x )
a s o e l l i
S e c ( i r x / 2 )
Solución. En e s t e c a s o e l l í m i t e t i e n e l a f or ma : -¡r— U• 00
L = limx +1 l n ( 1 - x )
L = l im f ' = l im ( , f / 2 ) S e c ( 7r x / 2 ) T a n ( T i x /2 )
x +1 g ' ( x ) x +1 - 1/ 1 - x
= l im ------ --------------------------- = ox + 1 2 C o s ( í j ) C o t g ( í | ) 0
L = l i m — S i l = limx +1 g "(x ) ' x +1 2!- • |C o s( - I| )C s c2 ( ^ ) - | s e n ( ^ | ) C o t g ( ^ | ) !
= l i m ------------------------------- = ---- 1 — = _ 00
x + 1 - C o s ( ^ - ) C s c 2 ( ^ ) - S e n í ^ C o t g í ^ ) - 0 -0
• l i m | 3/(a+x ) ( b + x ) (c+x) - xl■y-y00 J
Solución. En e s t e c a so e l l í m i t e t i e n e l a f or maM u l t i p l i c a n d o y d i v i d i e n d o p o r e l f a c t o r r a c i o n a l i z a n
t e a2 + a b + b2 o b t e n e m o s :
l = l i m _________(a +b - f c) x 2 + (a b+a c+b c)x + a be ________________
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L = l i m l ' . í g ] = •— = l i m ( - x ) = - 1
x+1 g * ( x ) 1 / x x+1
( E g l l ir a ( C ot gx - ^ ) x +0
Solución. En e s t e c a s o , e l l í m i t e t i e n e l a f or m a i n d e te r m i n ad a
. , . /X - Tanx i _ 000-00 . + L = la m (------------- J- g’
x+0 xTanx
E n t o n c e s, p o r l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l s e t i e n e :
x ' **°í / l( a + x ) 2 ( b + x ) 2 ( c + x ) 2 + x . 3/ ( a + x ) ( b + x ) ( c + x ) + x 2
A h o ra , e l l í m i t e t o m a l a f o r m a i n d e t e r m i n a d a : — OO .
D i v i d i e n d o e l n u m e r ad o r y d en o m in a d o r e n t r e x 2 , s e t i e n e :
j _ ( a +b +c ) + ( a b + a c + b c ) / x + ( a b c ) / x 2
x+“ + 1 ) 2 ( | + + D 2 + y 1( f + d ( |
E v al u an d o e l l í m i t e r e s u l t a : L = - - f e* 0
+ 1 ) ( ~ + 1 ) + 1
592 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
l im [ x ( e ^ x - 1 ) ]X+oo
Solución.. E l l í m i t e t i e n e l a f or ma i n de t e rm i n a da s “ . 0
. t n / e 1 / x - 0* L - l i m (— — ------ ) = □x-*oo 1 / x
S e gú n l a r e g l a d e L* H o s p i t a l s e t i e n e :
L = l i m X l i í l = ü m = l i m e 1 ^x = e ° = 1x - h » g ' ( x ) x+oo - 1 / x 2 X+0»
J / x 2| ] ^ ) l im ( x 2e ) x +0
So ¿ución. A q uí e l l í m i t e t om a l a f o r ma i n d e te r m i n a d a O.oo
1 / x 2
+ L = l i m (■------------------------) - -x+0 1 / x 2
f ' ( x ) e 1 ^ x Z ( - 2 / x 3 ) 1 / x 2+ L = l i m . W = l i m -------------V ¿ /X 1 = l im e l /x = e
x +0 g ' ( x ) x+0 - 2 / x 3 x+0
l i m (Tan x)2x_7T x+ir / 2
Solución. E n e s t e c a s o , e l l í m i t e t o ma l a f o r m a i n d e t e r m i n a d a =°°
Sea y=( Tan x)2x_7T + ln (y ) = ( 2 x - 7i ) l n T a n x
A p l i c an d o l í m i t e s e n amb os e x t r e m o s s e t i e n e :
l i m ( l n y ) = l i m ( 2xtt ) l n T a n x + l n ( l i m y ) = l i m l n T ^ nx x+tt/2 x+7t/2 x+tt/2 x+tt/2
A p l i c a n d o l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l e n e l s e g un d o mi e mb ro s e t i e n e :
l n ( L ) = l i m ( 1 / T a n x ) S e c 2_x = l i m . ..( g x - j j * =
x+tt/2 2/(2xtt)z x+tt/2 S e n 2 x
A l i d t l l d L ' H i t l b t
Si. •■ión 4: Tareas comp lemen tarias 593
i ' int.onces : l i m ( l ny ) = l im ( ^nx __ ) =x+0 x+0 Gosec x
Api i c a nd o l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l e n e l s e g u n do m i em br o s e t i e n e :
1 „ ( l im y) = l i m --------------------- + ln (L ) = l im : .SenxTanx = 0x +0 x + 0 - C o s e c x C o t g x x + 0 x
• l n ( L ) = l i m £l .' ( x ) = l i m . . S e n x S e c 2 x+TanxCosx = Q x+0 g " ( x ) x+0 1
L = e ° = 1
r m i ü m x l n ( e X - 1)x+0
\ o(ución. En e s t e c a s o e l l í m i t e t o ma l a f o rm a i n d t er m i n a d a 0 o
1
S e a y = x l n ( e X ‘ 1 ) + l n ( y ) . - — Í S £ -----
l n ( e x - 1 )
' l i m l n ( y ) = l i m — i ü í ----- = ^x+0 x+0 I n ( e x - 1 )
- l nD -i m ( y ) ] = l im = ü m - I / * - = l i m . e L d . ¿ 2
x + 0 x + 0 g ! ( x ) x + 0 e x + 0 x e x
e x - 1
• l n ( L ) = l i m = l i m ■— S ? - = l i m ( - L ) = 1x +0 g " ( x ) x+0 xe + e x+0
l n ( L ) = 1 «-*• L = e
l i m ( i ) T a n x
x+0 x
vp¿ución. E l l í m i t e t o ma l a f o r ma i n d t e r m i n a d a : o»0
-x
S e a : y = ( ^ ) T a n x + l n ( y ) = T a n x ( l n ( - ) )X
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A p l i c a n d o n u e v a me n t e l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l o b t e n e m o s :
l n ( L ) = l i m = ~ A Í 9 ) = 0 + L = e° = 1
•x+tt/2 2Co s 2x -2
• w » , . / Se nxvi r H Si l i m ( x )
x+0
So ¿uc ión. E l l í m i t e t om a l a f o rm a i n d e t e rm i n a d a : 0 o
Sea: y = x^enx l n y = S e n x ( l n x )
l n ( 1 / x )+ l i m ( l n y ) = l i mx+0 x+0 Got gx , ”
► l n ( l i m y ) = l i m f ^ = l i m -^l . - 1-Zx- \ = ü m ( ^ ^ ) S e n x = 0
x + 0 x + 0 g ' ( x ) x + 0 - C s c 2 x x + 0 x
l n ( L ) = 0 + L = e ° = 1
, X 4. , M 1 / xl i m ( e + x )
x+0
594 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Solución, E l l í m i t e t o ma l a f o r ma i n d e t e r m i n ad a : 1
S i y = ( e x + x ) 1 / ,x + l n y = ^ l n ( e x + x )
+ ' l im ( l ny ) = l i m ^n.^e . .+x-- = jr x +0 x+0
e x + 1
l n ( l i m y ) = l i a ? = l i m —— Í - Í -x +0 x+0 g ' ( x ) x+0 1
l i oex + 1
= 2
x +0 e + x
l n ( L ) = 2 + L = e 2
x T“ ( Í )1 3 6 2 . l i m ( 2 - $ )
x + a a
Solución, E l l í m i t e t o ma l a f o r m a i n d e t e r m i n a d a : 1°°
T an (— )S i y = ( 2 - f ) 2 a + l n y. = T a n ( | f ) . l n ( 2 - | )
+ l i m ( l n y ) = l i a - n ^2 ^x+ a x + a C o t g ( | - | )
+ l n ( l i m y ) = l i m ~ — = l i m
- -.1 / y2 - x / a = 1 im
2 a S e n 2 ( ^ ~ )
x + a x +a g ' ( x ) x +a - ^ C o s e c 2 ( ^ | ) x + a ? r(2 a - x )
l n ( L ) L = e 2/7t
ts m i im <1 + ~ ) xX + “ > X 2
o
Solución, E l l i m i t e t o m a l a f o r m a i n d e t e r m i n a d a : 1
S i y = (1 + — ) x + l n y = x l n ( 1 + — )
+ l i m ( l n y ) = l i m l n ( 1 + I / * 2.),, = 2
•ion 4: Tareas complementarias 595
= l i m r ( 1 + x ) l n ( 1+ x ) - x 1 = fi X->0 L x2 J
f 1 ( x) = l i m ( H x ) ( 1+ ^) + l n ( 1 + x ) ' 1 = l i n l n ( 1+x) = 0* L = l im
x +0 g ' ( x ) x +0 2 x x+0 2 x
» L = l i m ,f . ''.Lx 2 = l i r a. - l Í 2 L = l i m -----1------- = -1
x +0 g " ( x ) x +0 2 x +0 2 ( 1 +x )
C om pr ob ar q ue l i m e x i s t e , p e r o n o e s s u s c e p t i b l ex+oo x + S e n x
d e s e r c a l c u l a d o d e a cu e r d o c on l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l .
i omp/iotación. En e f e c t o , e v a lu a m o s e l l í m i t e d i v i d i e n d o e n nume
r a d o r y d e n o m i n a d o r e n t r e x ... Senx
,, = l i n . , x _ = i _ i _ 2 = t
X +oo 1 + 1 + 0X
A p l ic a n do l a r e g l a d e L * H o s p i t a l s e t i e n e :
L = l i m = l i m = .IrCosoo
X + o o g ' ( x ) X+o° 1 +Co sx 1 +Co s“
Dado q u e Co s x e [ - 1 , l j , V -xe R, C o s ” n o t i e n e s i g n i f i c a d o , e s t o e s ,
o í l í m i t e L n o t o ma n i n g u n a d e l a s f o r m a s i n d e t e r m i n a d a s c o n o c í
d a s . En c o n s e c u e n c i a , e l l í m i t e e x i s t e ( L = 1 ), p e r o no e s s u s c ep
t i b i e d e s e r c a l c u la d p p o r l a r e g l a d e L ' H o s p i t a l .
'l /S e a x +0 . D e m o st r a r q u e e - ( 1 + x ) e s u na i n f i n i t e s i m a l de
p r i m e r o r de n r e s p e c t o a x.
De.mo¿í/iación, Debemo s pro ba r que s i L= l im ("e—( 1 +x ) t e n t o n -x +0 L
c e s L = 0 .
En e f e c t o , s e a y = ( l + x ) 1 / /x + l n y = ^ l n ( l + x )x
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- 2 / x 3X+oo 1 / x
\ . f ' ( x ) ■1 +1 / x 2 -i.2 xn+ l n ( l i m y ) = l i m -----= l i m -------------- ----- ------ = l i m — — = 0
x+“> X+co g i ( x ) x+°° -1 /> X+oo x 2 + 1
l i
x+0
im n vfl -L-
. *. l n ( L ) = 0 + L = e ° = 1
l n ( 1 + x ) 1 + x
í ]So lución. E l l í m i t e t o m a l a f o r m a i n d e t e r m i n a d a:
x
A p l i c a m o s l í m i t e s en a mb os e x t r e m o s : l i m ( l n y ) = l i m 1 + x )•j x +0 'x +0 x
+ l n ( l i m y ) = l i n — —i —- = l i m - Ü ü = l i m —— = 1 + l im y = ex +0 x +0 g ’ ( x ) x +0 1 x +0 1 +x x +0
. ’ . L = l im e - l im y = e -e = 0x +0 x +0
1369 S e a x +0 . D e mo s t ra r qu e l n ( 1 + x ) - e l n l n ( e + x ) e s u na i n f i n i -
596 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
t e s i m a l d e s e gu n d o o rd e n r e s p e c t o a x .
de.mostn.ac.L6n. S e a y = l n ( 1 + x ) - e l n l n ( e + x )
Debemos pro bar que s i L = l im y + L/0
x+0
1+xE n e f e c t o : y = l n ( 1 + x ) - l n [ l n ( 1 + e ) J 6 = l n f --------X -—1
Un(e+x)eJ
+ L = l im y = l im l n .x +0 x+0 L l n í e + x )[ l n ( e + x ) e ] ~ l n [ l n ( e ) e]
l n e "
L = -1 fí 0
L a t a n g e n t e t r a z a d a e n e l p u n t o A a u n a c i r c u n f e r e n c i a d e
r a d i o r ( v é a s e l a f i g . 3 4 ) l l e v a m ar c ad o un s e gm e n t o AN c u
y a l o n g i t u d e s i g u a l a l a d e l a r co AM. L a r e c t a MN c o r t a l a p r o
l o n g a c i ó n d e l d i á m e t r o AO e n e l p u n t o B . C o m pr o b ar q u e :
OB = r ( a C o s a - S e n o ) d o nd e a e s l a m e d i d a e n r a d i a n e s d e l á n g u l o S e n a - a *
c e n t r a l c o r r e s p o n d i e n t e a l a r c o AM, y m o s t r a r q u e l i m OB = 2 r .a+0
Compn.oí.acl6n. En e fe ct o , ABAN - ABPM
(1 )
PM = r S e n a
AN = AB PM PB
AN = AM = ra
ÂB = r + ÔB
AB = OB + OP = OB + rC o sa
ra r + OBL u e g o , e n ( 1 ) :
de do nde : OB
rSe na OB + rCo sa
TTj. _ r( aC os a- Se na )S e n a - a
2 rP r o b a r e m o s a h o r a q u e l i m OB a+0
En e f e c t o , s i f ( a ) = a C o sa - S e na f (0 ) = 0
F i g u r a 3 4
■•a 'ión 4: Tareas com pleme ntarias 597
4.3 VARIACIÓN ASINTÓTICA DE LAS FUNCIONES Y ASÍNTOTAS DE LAS LINEAS
S i u n p u n t o P ( x , y ) s e d e s p l a z a c o n t i n u a m e n t e p o r u na c u r v a y = f ( x ) d e t a l f o r m a q u e l a d i s t a n
f i a 6 e n t r e u n a r e c t a L y e l p u n t o P t i e n d e a c e r o , m i e n t r a s q u e
■I p u n to P t i e n d e a l i n f i n i t o , e s t a r e c t a r e c i b e e l n o mb re de a-
\t.ntota d e l a c u r v a ( F i g u r a 4 . 2 2 )
E nt r e l a s a s í n t o t a s s e d i s t i n g u e n ,
l as a s í n t o t a s v e r t i c a l e s , h o r i z on
t a l e s y o b l i c u a s
c s m i L a r e c t a x = a e s u n a
asíntota ue/iticaí
le l a c u r v a y = f ( x ) s i e x i s t e e l n úme
i -o ta l que se cumple uno de lo s enun
r i a d o s s i g u i e n t e s :
n) l i m f ( x ) = «ox+ a
b) l i m + f ( x ) x+ a
c ) l i m f ( x ) x + a “
F i g u r a 2 2
+oo (ó -«>)
- » ( ó +00)
Un l a f i g u r a 4 . 23 ' s e m u e s tr a n a l g u n as d e l a s a l t e r n a t i v a s p a r a
q ue l a r e c t a x =a s e a un a a s í n t o t a v e r t i c a l a l a c u r va y = f ( x ) .
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, ( )
g ( a ) = S e n a - a +
)
:(o) = o
l im OB = l im- a+0 a+0 g 1 ( a )
l i ma+0
r ( - a S e n a + C o s a- C o s a)
Cosa - 1= l im
a+0
r ( a S e n a )
1 - C o s a
. f " ( a ) . . r ( a C o' sa +' Se f ia ) 0lxm OB = lim -i— - = l im — ------------ - -------------- = q-a+0 a+0 g"( a ) a+0 Sena
l i m OB = l i m f ' " ( a ) = l i m r ( - a S e n a + C o s a +C o s a ) r ( 0 + 1+ 1 ) = 2r
a+0 a+0 g " ' ( a ) a+0 Cosa
F i g u r a 4 . 2 3
598 Cavítulo 4: Análisis de las Funciones
L a r e c t a y = b e s u n a asíntota ho/iizontat d e l a
c u r v a y = f ( x ) s i e x i s t e u n n úm er o b t a l q u e s é
c u m p l e u n o d e l o s e n u n c i a d o s s i g u i e n t e s :
a ) l i m f ( x ) b ) l i m f ( x ) = b c ) l i m f ( x ) = b x-*--“
L a f i g u r a í.2 ¿ m u e s tr a d os a l t e r n a t i v a s p a r a q ue l a r e c t a y - b
s e a un a a s í n t o t a h o r i z o n t a l a l a c u r v a y = f ( x ) .
L a r e c t a L : y = k x + b e s u n a asíntota olticua a l a
c ur va y = f ( x ) , s i e x i s t e n l o s l í m i t e s :
k = l i m y b = l i m [ f ( x ) - k x ]X-*-+» X X-*-+“>
En e s t e c a s o s e d i c e q u e l a r e c t a L e s u n a a s í n t o t a o b l i c u a a l a
d e r e c h a de l a c u r v a y = f ( x ) .
S i e x i s te n l o s l í m i t e s :
f y b j = l i m [ f ( x ) - k i x ]ki = l imx-*--“X + - ” X
l a r e c t a L : y = ki x +b i e s u na a s í n t o t a o b l i c u a a l a i z q u i e r d a de l a
c u r v a y = f ( x ) .
Sección 4: Tareas complementarías 599
.Vo(ución. E n . e f e c t o , d i v i d i e n d o c a d a t é r m i n o d e l n u me r ad o r e n
t r e e l d e n o m i n a d o r s e t i e n e : y = 2 x +1 + — x 3
. " . o g ú n l a d e f i n i c i ó n i. 1.2 , c u a nd o l a d i s t a n c i a e n t r é u n p u n to P
ilo l a l í n e a y l a a s í n t o t a L, t i e n d e a c e r o , e n t o n c e s e l p u nt o P
t i e n d e a i n f i n i t o , e s t o e s , c u an d o x+°° ', e n t o n c e s ( 1 / x 3 ) 0
P or t a n t o , y =2 x +1 e s u na a s í n t o t a d e l a c u r v a d ad a .
P a r t i e n d o d e l a d e f i n i c i ó n , c o mp r o ba r q u e l a r e c t a L : x +y = 0
e s u na a s í n t o t a d e l a l í n e a : x 2 y + a y 2 = 1.
Soíución. En e f e c t o , d e s p e j a n d o y = f ( x ) s e t i e n e :
v - 2 + A x i 2 4. 1y - - 2 - + -
l’ ar a v a l o r e s d e x s u f i c i e n t e m e n t e g r a n d e s , e s t o . e s , c u an d o x+<»,
" t i t o n c e s , 1 / x + O
Luego, y = - | ± | -w- y —Oó y= -x
La r e c t a y = 0e s ' u n a a s í n t o t a h o r i z o n t a l , e n t o n c e s L: x +y =0 e s l a
a s í n t o t a o b l i c u a .
D e m o st r a r q u e l a s l í n e a s y = 3/ x 3 + 3 x 2 e y= ^ s e ap rox ima n
. a s into t icamente cuando x -*±a>
ilemost/iac ión. D e be m os p r o b a r q u e a mb as c u r v a s t i e n e n l a m i sm a a
s í n t o t a c u a n d o x+t00
Ln e f e c t o , s e a L i : y = k i x + b i l a a s í n t o t a d e l a p r i m e r a c u r va .
> k a = l i m ± M = l im i inl «l / T 7 T
X + ± ° o X x + i “ X X -* - ±" x
Obs ér ves e que c uando x-*-+“> ó x->--°° , e nt on ce s, — -*■ O
Ln c o n s e c u e n c i a k j =1
b i = l i m [ f ( x ) - k i x j = l i m [ 3 Á3+3x 2-iJ¡ x+i” x->±»
1373
1372
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y ( )
PROBLEMAS RESUELTOS
P a r t i e n d o d i r e c t a m e n t e d e l a d e f i n i c i ó n , c om pr o ba r q ue l a/ / 2x "f -1
r e c t a L : y= 2x + 1 e s u na a s í n t o t a d e l a l i n e a y --------------------
M u l t i p l i c a n d o y d i v i d i e n d o p o r e l f a c t o r r a c i o n a l i z a n t e a 2+ab+b2
' b t e n e m o s : b i = l i m ______________ __________________
X+±” V ,(x 3 + 3x 2)2+x . 3/x 3+3 x 2+x 2
í 1va luando e l l í m i t e cuando x++» ó x-*--» , obtene mos: bj = 1
L i :y= x+1
:'na L2 : y = k 2x + b 2 l a a s í n t o t a d e l a s e g u n d a c g r v a .
600 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
E n t o n c e s : k 2 = l im £ ^ = l im —- — = 1X+±°° X X21
b 2 = l i m [ f ( x ) - k 2 xj = l i m ( — — - x ) = l i m (3^ ) = "•
X + ± “ > X + ± ° ° X - 1 X + í 00
L u e g o : L2 :y=x+1
Dado que L i =L2 , queda demostrado que ambas curvas se aprox iman
a s i n t o t i c a m e n t e c u an d o x+ ±“=
1 3 7 4. D e m o st r a r q u e l a s f u n c i o n e s f ( x ) = / x s + 2 x ,' + 7 x 2 + 1 y g ( x ) = x 3+x
s o n e q u i v a l e n t e s a s i n t o t i c a m e n t e c u a n d o x + ° ° . V a l i é n d o s e d e
e s t a c i r c u n s t a n c i a c a l c u l a r a p r o xi m ad a me n te f ( 1 1 5 ) y f ( 1 2 0 ) . C ua l
s e r í a e l e r r o r s i p u si é r am o s f ( 1 0 0 ) = g ( 1 0 0 )?
de.mo¿t/iación, D os f u n c i o n e s s e d i c e q ue s o n e q u i v a l e n t e s a s i n t ó -f ( x )
t i c a m e n t e , s i l i m ------- - , en to nc es L = 1X+oo g ( x )
„ x T , . / x s + 2 x“+ 7 x2 +1 _ / l + 2 / x 2 + 7 / x l, + 1 /x 6 . ,E n e f e c t o : L = l i m ---------------------------- --- l i m --------------------------------------- i
X+“> x 3 +x X+001+1 / x
P or t a n t o , f ( x ) = g ( x ) .
f (115) = g(115) = (115)3 + 115 = 1520875 +115= 1520990
f(120) = g( 120) = (120)3+120 = 1728000 +120« 172812Q
f(ioo) = /l 0l2+2(10)8+7(10)9+1 = 1000100.03
g(100) = 106 + 100 = 1000,100
P or t a n t o , e l e r r o r - e s : h = f ( 1 0 Í ) - g ( 1 0 0) = 0 . 0 3
V En l o s e j e r c i c i o s 13751391 h a l l a r l a s a s í n t o t a s de l a s l í n e a s d a d a s .
2„ 2 =0 2>,2b x -a y =a b
Solución., D e s p e j a n d o y = f ( x ) s e t i e n e : y = ± — / x 2 - a 2
Sección 4: Tareas complementarias 601
_ b -, j ( x 2 - a 2 ) - x 2 b . -a~ b 2 - — l im " j — • - - — l i m ■■ — 1 1 = 0
xa x++œ / x 2 - a 2 +, x a x++°° / x 2 - a 2 +
• t . b•• Lj:y = -x
A n á l o g a m e n t e , p a r a y = - - a 2 , c u a n d o x +- <» , o b t e n e m o s r
^2 = - 7 y b 2 = 0 L 2 : y = - ^ x
xy = a
So ¿ución. S i x y = a -*■ f ( x ) = ^
P or s i m p l e i n s p e c c i ó n s e t i e n e :
1) l i m f ( x ) = e n t o n c e s : x =0 e s u na a s í n t o t a v e r t i c a l x +0
!■) l i m f (x ) = 0 , e n t o n c e s : y =0 e s u na a s í n t o t a h o r i z o n t a l X +c o
c ) La g r á f i c a d e l a e c u a c i ó n no t i e n e a s í n t o t a s o b l i c u a s .
1m u y = —
x 2 - 4 x + 5
Solución. P or s i m p l e i n s p e c c i ó n s e t i e n e :
a) x 2 - 4.x +5¡^0 , e n t o n c e s , l a c u r v a n o t i e n e a -
s í n t o t a s v e r t i c a l e s .-j
b) l i m f ( x ) = — = 0 + y =0 e s u na a s í n t o t a h o r i z o n t a lx+“>
c ) La c u r v a no t i e n e a s í n t o t a s o b l i c u a s
„ 3IKM J y = c +
( x - b ) 2
So ¿ación. P or s i m p l e i n s p e c c i ó n s e t i e n e :
a ) l i m f (x ) = c + •§ = 00 x = b e s u na A . V e r t .x +b
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, p j y ( ) y
P or s i m pl e i n s p e c c i ó n , l a c u r v a no t i e n e a s í n
t o t a s v e r t i c a l e s n i h o r i z o n t a l e s . ______
S e a L i : y = k i x + b i l a a s í n t o t a o b l i c u a d e r e c h a d e y = / x 2 - a 2
. . . . f (x) b , . V x 2 - a 2 _ b/^-, _ bE n t o n c e s : k i = l i m — i— - = — l i m -------------- - ' - ~
x++«> x x++°° x
b i = l i m [ f ( x ) - k 1x j = ¿ li m f / x 2 - a 2 - xl
x++°° a X++"
l>) l i m f ( x ) = c + ^ = c + y = c e s u na a s í n t o t a h o r i z o n t a lx+«°
■) L a c u r v a n o t i e n e a s í n t o t a s o b l i c u a s .
( J £ £ J 2 y ( x + 1 ) 2 = x 3
So¿ación. S e a f ( x )
2(x+1 )2i) l i m f(x) = ra >■ x+1=0 e s u na a s í n t o t a v e r t i c a l .
x+-1
602 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
b ) l i m f ( x ) = l a cu r va n o t i e n e a s í n t o t a s h o r i z o n t a l e s x-*-“
c ) A s í n t o t a s o b l i c u a s : y = k x + b (1 )
k = l i m - i - i = l i m -------- — ------ = ix -»-00 x x + " 2 x ( x + 1 ) 2
b = l i m [ f ( x ) - k x ] = l i m ----- - ----- - 4 x 1 ■ = 4 l i m — -2x..~+-x) =x-»-“ x +CD 2 ( x + 1 ) 2 x-*-«> x 2 +2 x +1
■1
L u e g o , e n ( 1 ) : y = • j x - 1
^ [ 2 3 y 3 = a 3- x 3
So ¿ación. S e a : f ( x ) = 3i / a 3- x 3
P o r s i m p l e i n s p e c c i ó n v e m o s q u e l a c u r v a n o
t i e n e a s í n t o t a s v e r t i c a l e s n i h o r i z o n t a le s ,
c ) A s í n t o t a s o b l i c u a s : y = k x + b ( 1 )
k = l i m l M = l im 3 / * 3- x 3 = - 1
X*03 X X**00 V 3
b = l i m [ f ( x ) - k x j = l i m f"3/ a 3- x 3 + xl X-í -oo x - h x ,
= l i m - .... — ‘j.— -----------------------------------------/" ------- -------------- = 0
x-*-“ 3/ ( a 3 - x 3 ) 2 - x . 3/ a 3 - x 3 + x 2
L u e g o, e n ( 1 ) : y = - x *-*■ L : x + y = 0
So íución. S e a f ( x ) = 3i/ 6 x 2 + x 3
P o r s i m p l e i n s p e c c i ó n v e m o s q u e l a c u rv a , n o
t i e n e a s í n t o t a s v e r t i c a l e s n i h o r i z o n t a l e s ,
c ) A s í n t o t a s o b l i c u a s : y = k x + b (1)
. 3, , . f(x) . 3/6x2+s
Vn t 'ión 4: Tareas complementarias 603
>¿ución. D e s p e j an d o y = f ( x ) s e t i e n e : y = ±
o) Como x 2+1 ¿ 0 , l a c u rv a no t i e n e a s í n t o t a s v e r t i c a l e s ,
ti) l im f ( x ) = ± »>, l a c u r v a n o t i e n e a s í n t o t a s h o r i z o n t a l e s .X-MO
■ ■) A s í n t o t a s o b l i c u a s : L i : y = k i x + b i , L 2 : y = k 2 X+ b2 (1)
k i = l i m J Ü i i l = l i mX++» x X++oo ' X
J S Z . ,' x > t 1
. ___ • .
k 2 = l i m - l í ü i = l i m - = -1
X-*-” X X+ -“> * x2+ 1
b i = l i m |f(x)-kx| = l i m |x J* - xl X->- +00 + °° * X 2 + 1 •
= l i m [ 7 = — y=£= ------7- — 1 = o
x-*-+°°|_/x2 + 1(/x2-1 + / x2+ 1)JA n á l o g a m e n t e , p a r a b 2 = l i m [f(x) + xj , o b t e n e m o s : b 2 = 0
X+-00
P o r t a n t o , e n (1): Lj: y-x =0 , L 2 :y+x=0
x y 2 +x2y = a 3
Solución. D e s p e j an d o y = f ( x ) s e t i e n e : y = — — ± x2 x
a ) l i m f ( x ) = “ , e n t o n c e s x =0 e s u na a s í n t o t a v e r t i c a l x+ 0
b ) l i m f ( x ) = 0 y =0 e s u na a s í n t o t a h o r i z o n t a l . x -h»
c ) B u s ca r em o s l a a s í n t o t a o b l i c u a p a r t i e n d o d i r e c t a m e n t e d e l a
d e f i n i c i ó n d e a s í n t o t a , e s t o e s : y = - ± J ( ^ ) 2 +
Cuando x-*°>, e nt on ce s a 3 /x -*■ 0 , p or lo que:
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, , . f(x) . 3/6x2+sk = l i m — -— — - l i m ----------
x*°° x x*°° X 3
b = l i m [f(x)kx[l = l i m f 3 i / 6 x 2 + x 3 - xjx**> x-**>
= l i m .... _ ...6 x 2................................ ...........■.--------------- = 2
x>o¡> 3/(6x2+x3)2 + x. 3/ox2+x3 + x2
L u e g o , en ( 1 ) : y=x+2
1382 y 2 ( x 2 + 1 ) = x 2 ( x 2 - 1 )
x i ' x „ /y = ' 2 2y = 0 0 y = _x
L ue go , l a a s í n t o t a o b l i c u a e s L :x +y =0
y ( x 2 - 3 bx +2 b2) = x 3 - 3 a x 2+ a 3
So¿ación. D e s p e j an d o y = f ( x ) s e t i e n e : y _ x 3 - 2 a x 2 + a 3
( x - b ) ( x - 2 b)
a ) P or s i m p l e i n s p e c c i ó n : x =b y x =2 b so n a s í n t o t a s v e r t i c a l e s .
604 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
b) lim f(x) = n + la curva no tiene asíntotas horizontales,xwo
c) Asíntotas oblicuas: L:y = kx+b (1)
, • f(x) _ x ’3ax2 + a 3 _ 1
k = lim — — - = lim ------------ ix+“> x x+o° x33bxz+2b2x
b = lim |f(x)kx| = lim J~— 3ax..+ a~ xlx+°o x+°o “x2 bx+2b2 I
= lim p( b a) x23b2x+a31 = 3(b_a)
x+oo L x23bx+2b2 I
Luego, en (1): L : y=x+3(ba)
(y+x+1)2 = x2+1
So ¿ución. Desarrollando el cuadradoobtenemos:
y z+2xy+2x+2y=0 + x = y +y 2 ( y +1 )
a) lim f(y) = 00 +y+1=0 es una asíntota horizontal.y+_1
b) lim f(y) = “ + la curva no tiene asíntota vertical.
y*“
c) Asíntota oblicua: L:x=ky+b (1)
'2'l2y\ _ _2k = lim iSll = lim ( J±t 5Z ) = l
y+“ y y*002y2+2y
b = lim [f(y)ky] = lim (..y ~t._y + iy) = lim (— L)y-x» y-x» 2y +2 y*00y+1
Luego, en (1): Líx = ¿y i <*■ L:2x+y+1=0
J U J 3 y = xln (e +
1Solución. a) y “ cuando e + — + 0 + x = 1/e es una
asíntota vertical de la curva
Vi i i ión 4: Tareas complementarias 605
b = lim ¿Lü¿ = llB (— S ) = 1x+a> g ' (X) x+" e + —
l.tiugo, en (1): y = x + ■**■L:exey+1=0
y = xe2,/x+1
S o l u c i ó n . a) lim f(x) = lim (xe2//x+1) = O.°o + 1x+0 x+0
+ lim f(x) = lim(2L+ 1) = lim j~e ^ (2/x2)~j _ lim 202/xx+0 x+0 1/x x+0 L 1/x2 J x+0
lim f(x) = 00 , entonces x=0 es unaasíntota vertical.x+0
i') lim f(x) = 00 , la curva no tiene asintotas horizontales.X+oo
■ •) Asíntotas oblicuas: y=kx+b (1)
, • f(x) , . /xe2/ x+1»k = lxm — i— . = lim (-------) = — X + o o x X+“ X
Aplicando la regla de L'Hospital obtenemos:
k = lim e2/>x( + 1) = e°(0+1) = 1x+°° x 2/x
b = lim [f(x)kxj = lim [xe2^x+1x] = lim ( ---iJ) + lim (1)x+oo X+°o X + o o 1/x x+°°
= lim + 1 = lim 2e2/,x + 1 = 2+1= 3X+°° 1/x2 X+oo
l.uegó, en (1): L: y=x+3
y = xarcSecx
Solución. Por simple inspección vemos que la curva no
tiene asíntotas verticales ni horizontales.
■O Asíntota oblicua: y=kx+b
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asíntota vertical de la curva.
b) lim f(x) = a> + la curva no tiene asíntota horizontal.x+0
c) Asíntota oblicua: y=kx+b (1)
k = lim = lim ln(e + j) = lne = 1x+°° x x+°° _ i
r 1 i finCe + ) llb = lim ff(x)kxl = lim ¡xln(e + — )x = lim ----- -------
X + o o X + 0 0 X + ' ° ■ - 1/x -*
k = lim SJjí] = lim (arcSecx) = ^x+°° x x+"
b = lim [f(x)kxj = lim [xarcSecx ^x3 = lim f~.rcSe cx..~ ïï/21X+oo X+“ X+“> 1/x
Aplicando la regla de L'Hospital obtenemos:
b = lim ( = = ) = 1x+" /x21
líiiego, en (1): L:2y=irx2
606 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
| £ g Q y = 2x+arcTan( )
So ¿ación. La curva no tiene asíntotas verticales ni hori
zontales.
c) Asintotas oblicuas: y=kx+b (1)
k = lim li il = lim (2x+areTan(x/2)} =
X^“ X X+“> X2
Aplicando la regla de L'Hospital obtenemos: k = lim (2 + ----)x+“ 4+x2
> 2Obsérvese que cuando x>±a> , k = 2 + — = 2
b = lim £f(x),kx] = lim r2x+arcTan($)2xl = lim [arcTan ($)"]X»co XHo S x+“>
Aquí se observa que, cuando x+±°° , entonces, b= tt/2
Luego, en (1), hay dos asíntotas oblicuas: y = 2x ± ir/2
n t l i y = xí(x) + x > ¿onde f(x) es un polinomio, (f(x)^0)f(x)
So ¿ución. Sea f(x) = a0xn+aixn_^+ ... + aR , de grado n>1
a) Dado que f(x)/0, la curva no'tiene asínto-
tas verticales.
, \ . xf(x) + x ... / , x \b) lim y = lim ■— — - = lim (x + --------) = <=°
x+a» x+“> f (x) x+°°f (x)
La curva no tiene asíntotas horizontales.
c) Asíntotas oblicuas: y=kx+b (1)
k = lim = lim (1Í2SÍ_LJ) = lim (1 + — )
X*” X x+°° f.(x) X+“ f(x)Cuando x+0, entonces f(x) *■ °° , luego, k=1
b =’lim ¡F(x)kx] = lim xl = lim ("— — 1X+“ X+«> L f (x) J x+°> L f (X) J
Como el grado de f(x) es n>1 + b=0
ii i i'ión 4: Tareas complementarias 607
,i la ecuación de la asíntota es y=kx+b , se tiene:
limg(t) , b = lim |"g(t)kf(t)l
4V+ _ *t+to f(t) t+to
'’unió sepodrían hallar las asíntotas paralelas a los ejes coorde
nudos?
mostración. En efecto, sea y=F(x) la ecuación de la curva don
de x=f(t) e y=g(t), y L:y=kx+b , la ecuación de
I>i asíntota.
I’ur definición de asíntota:
í = lim PQ = 0x+°° _
(1 )
Kn el APQN : PN = ES-CO sa
(2 )Ent onc es : l im P1J = l im —ES— = 0 x+oo x+«> C os a
l’oro : PN = PR - NR = y - y i= F ( x ) - ( k x+ b )
:'egún (2) : l i m £f ( x ) - ( k x + b ) ] = 0 ( 3 ) / j
f n xpiiD k . ¿i oX+oo L x -I
T u e s t o qu e x+° °, o ' s e a f ( t ) - * » ( c u a n do t + t 0 , d e b e c u m p l i r s e l a i -
f ; u a l d a d : l i m fg(t) - k - b l = 0 + lim klLf(t) f(t)J t+t 0 f ( t ) -1
Kntonces, para que k/0, deben existir simultáneamente:
lim g(t)t+to
Por tanto, de (¿): 1 lim
y lim f(t)t+t o
(t) (5 )t+to f(t)
y de (3): b = lim [g (t)kf (t)]t+to
Para que k no esté definida (k=“>) es necesario, en (5), que:
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Luego, en (1): y=x
toVV* Una línea es dada paramétricamente por las ecuaciones
x=f(t), y=g(t). Demostrar que las asíntotas no paralelas
a los ejes coordenados pueden existir sólo cuando para los valo-
res de t=t0, .existen simultáneamente:
lim f(t) = “> y lim g(t) = °°t+t 0 t+t 0
lim f(t) = a y lim g(t) = «>t+t0 t+t0
entonces, x=a es una asíntota vertical.
y para que k=0, es necesario, en (5), que:
lim f(t) = “> y lim g(t) = bt+to t+to
ontonces, y=b es una asíntota horizontal.
I
608 _________ Capítulo 4: Análisis de las Funciones
C M & I Hallar las asíntotas de la línea: x=1/t , y ^ ^
Solución. Sean f(t) = y g(t) =
Por simple inspección vemos que las variables
x e y nó están definidas en los puntos t=0 y t=1, respectivamen
te, entonces:
a) lim g(t) = °° , lim f(t) = 1 + x=1 es una asíntota vert.= t+1 t+1
b); lim f(t) = «o , lim g(t) = 0 + y=0 es una asíntota horizontalt+0 t+0
c) No existen asíntotas oblicuas porque no existe un valor de t
tal que: lim f(t) = <*» y ITín g(t) = “>, simultáneamente,t+to t+t0
2 t tetHallar las asíntotas de las líneas x = j— ^ , y = ^
Solución. En este caso no existen asíntotas verticalesni horizontales, ya que x+“> e y+°° cuando t = 1,
c) Asíntotas oblicuas: y=kx+b (1)
k = limlÍÜ = lim— 2 = \ t+1 f(t) t+1 2e
b = lim [g (t)kf (t)J = lim 4 (|^)1 = lit+1 t+1 Lt1 ¿ 1 J t+1
Luego, en (1): y = gx + e
tim e = e
Hallar las asíntotas de la línea: x = --- , y = ----f 1-t2 1-t2
Solución. En este caso tampoco existen asíntotas verticales y horizontales, ya que x+<» e y+«> cuando
t=1 ó t=-1.
c) Asíntotas oblicuas: y=kx+b (1)
kj =lim MJJJ = lim-Í— = 4 ! k2 = lim JLÍÍI = lim (4) = - 4
Vi. i ion 4: Tareas complementarias 609
fETEl Hallar las asíntotas del folio de Descartes: x = ,
1+t3
Solución. En este caso no existen asíntotas verticalesni horizontales, ya que x+”° para t=1,
i) Asíntotas oblicuas: y=kx+b (1)
k = lim ® = lim (¿SÍ) = lim (t)=1t+1 x t+1 3at t+1
b = lim (ykx) = lim (¿2¿ + = lim () = at+1 t+1 1+t5 1+t3 t+1 1t+t2
Luego, en (1): L:x+y+a=0
_____ f "b8 3KrP/3 Hallar las asíntotas de la línea: x = "
t24 t(t24)
So ¿unión. a) Obsérvese que en este caso sólo y+«> cuandot+0. Entonces: lim f(t) = lim ■ = 2
t+0 t+0 t24
Luego, x=2 es una asíntota vertical.
b) Dado que x+“> e y+“> para t=±2 , no existen asíntotas horizont.
c) Asíntotas oblicuas: Li:y=kix+bi , L2:y=k2x+b2
ki = lim (í) = lim 3 = x ” / t+2 x t+2 t(t8) 4
k2 = lim (Z.) = lim f - _3
t+2! x t+ 2 t(t8)
bj = lim (ykix) = lim r — 3
t+2 t+2 L t(t24)
b2 = lim (yk2x) =I
lim r- 3
t+Z t+2 Lt(t2 4)
de donde: b2=9/40
L (1 1
2 — l-4)J
t4= lim ---- — t+2 4t(t+2)
8) T , . — = lim¿)J t+t(t24) 20(t 24)J t+2 20t(t2)
2* + 2
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kj = lim MJJJ = lim Í = 4 ! k2 = lim JLÍÍI = lim (4) = 4t+1 f(t) t+1 2t ¿ t+-1 f(t) t+-1 ¿
bi = lim [g(t)-kf(t)l = lim f-— — - — — ■*]= lim {- -vtt) = - 4t+1 J t+1 Ll-t2 1-t2J t+1 1 ¿
b2.= lim — + — — 1= ü m ( rr)' = - 4 t+-i u- t2 i-t2J t+-i l-t ¿
Luego , en (1): L l : x - 2 y - 1 = 0 ó L 2 :x+2y+1=0
Luego, en (1 ): y = ■4X " 8 f y
++ Lj:2x+ 8y+ 1 =0 ó L2 ■ 6x
2* + 220 40
610 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
4.4 ANÁLISIS GENERAL DE LAS FUNCIONES Y DE LAS LINEAS
El análisis general de las funciones y de las líneas se reduce
geralmente a la determinación de los siguientes elementos.
(1) Limites de variación de la variable x: existencia de la cur-
va y simetrías. Se estudia el dominio de la función o línea;
su simetría, si la curva es o no pz/iiódica , es decir, si se
cumple que f(x+T)=f(x). Si la función o linea es pan., es de-
cir, si f(x)=f(x), su gráfica es simétrica al eje de ordena
das. Si la función o línea es impan, , es decir, si f(x)=
f(x), su gráfica es simétrica respecto a origen de coordena*
das..
(2) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.
(3) Puntos de intersección con los ejes coordenados.
(4) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
o línea.
(5) Los puntos del máximo y del' mínimo, así como los valores m á-
ximos y mínimos de la función.
(6) Los dominios de concavidad y convexidad de la gráfica y los
puntos de inflexión.
(7) Posición de la curva con relación a las asíntotas.
PROBLEMAS RESUELTOS
En los ejercicios 13981464 sfectuar un análisis exhaustivo de
las funciones que se indican y trazar sus gráficas.
Sección 4: Tareas complementariás 611
(2) lim f(x) 0 , entonces, y=0 es una asíntota horizontal.X+oo
(3) Para x=0 + y=0 , la curva pasa por el origen.
(4) f( x) = 111*)(>* )(1+x2)2
Las raíces de f ’(x)=0 son: x=1 y x=1
Como (1+x2)2>0, ¥xeR, el signo de f'(x) lo determina el pr o-
ducto (1+x)(1x), esto es:
Si x e < - ° o , - 1 > + f'(x)<0 ,f es decreciente
xe<1,1> + f'(x)>0 ,f es creciente
xe< 1,+«» + f'(x)<0 ,f es decreciente
(5) En x=1 , la función pasa por un mínimo y en x=1, por un má-
ximo. Esto es: y(min) = f(1) = 1/2 ; y(max)=f(1)=1/2
(6) f"(x) = M ? 23)
(1+x2)3Las raíces de f"(x)=0 son: x=0 , x = ~/3 x-/l
Puesto que (1+x2)3>0 , ¥xeR, el signo de' f" (x) lo determina
el producto: x(x+/J) (x/3)
Si xe<o°,/3> + f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajo
xe</5,0> + f" (x) > 0 , f es cóncava hacia arriba
xe<0,/3> + f" (x) < 0 , f es cóncava hacia abajo
xe</3,+“> + f"(x) > ,0 , f es cóncava hacia arriba
Luego, existen tres puntos y*
de inflexión:
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1+x2
Solución. (1) La función está definida por todas partes, es de-
cir, Dom(f)=R.
Siendo f(x)=f(x) la gráfica es simétrica respecto al origen.
N 0lición. (1) La función está definida en todas partes, excepto
para los valores x=±1. Dom(f)=R{ 1,1). La función
es par, pues, f(x)=f(x), la gráfica de f es simétrica respe_c
to del eje Y.
(2) lim f(x) = “ + x=1 y x=1 son asíntotas verticalesx+±1lim f(x) =0 + y=0 es una asíntota horizontal.X+ oo
612 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
(3) Intersecciones con el eje Y: Si x=0 y1 A(0,1)
U) f*(x) =2x
(D
x=0
(1x‘
Si f '(x)=0
Si f'(x)=“> ♦ x=±1 t Dom(f) ; x = 1 y x=1 no son puntos crí
ticos. Como (1x2)2>0, ¥xeR{1, 1}, el signo de f'(x), en el
entorno de x=0, lo determina el numerador de (1), esto es:
f'(x)
f'(x)
< 0 , f es decreciente
> 0 , f es creciente
X£<'°,1>U<1,0>
xe<0,1>0<1,+“>
(5) Por el criterio de la primera derivada, en x=0 la función pa
sa por un mínimo: y(min)=f(0)=1
(6) f„(x) = ii 3x !±n(1x2)
Puesto que f"(x)/0 , la curva no tiene puntos de inflexión.
Si xe<«=,1> *• f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajox e < - 1 , 1 > ■* f" (x) > 0 , f es cóncava hacia arriba
xe<1,+°°> f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajo
(7) Para ubicar laposición de la curva con relación a las asín-
totas, analicemos el signo dej
la función y = ---------- , en los(1+x)(1x)
entornos de x=1 y x=1
Si x<1 + y<0
x>1 y<0
En ambos casos la curva está deba
jo del eje X, a la izquierda de
x=1 y a la derecha de x=1, simé-
tricamente respecto del eje Y.
Si 1<x<1 *■ y>0 . La' curva se ex-
tiende sobre el eje X, arriba de
Sección 4: Tareas complementarias 613
para los valores: x=±1 . Como f(x)=f(x), la gráfica de la fun-
ción es simétrica respecto del origen.
(2) lim f(x) = 00 *■ x = 1 y x = 1 son asíntotas verticales.x+±1
lim f(x) = 0 * y=0 es una asíntota horizontalXH»
(3) Si x=0 ■* y=0 , la curva pasa por el origen.
U) f.(x) = (x21)2
f 1(x) / 0 , la gráfica de la función no tiene extremos.
Además, f ’(x)<0 , VxeR{1,1}, es decir, la función es decre
ciente en todo su dominio.
(5) La función no tiene máximos ni mínimos.
(6) f"(x) 4x(x2+2) _ , Ax{x2 +2)t2+2)
(x 21) 3 (x+1)3 (x1)3(1 )
xe<-<», _ -]>
La raiz de f"(x)=0 es x=0, y la de f"(x)=°° , son x=1 y x = 1Luego, los intervalos de concavidad son:
<®,1> , <1, 0> , <0,1> , < 1 , +oo>
Anlicemos el signo de los factores de (1) en estosintervalos
f"(x) = — jlil = () , f es cóncava hacia abajo
xe<1»0> + f"(x) = —— — — — = ( + ) , f es cóncava hacia arriba• (+)()
x e < 0 , 1 > f" (x) = lliLtl = () f es cóncava hacia abajo(+)()
xe< 1,+«>> f"(x) = LtlXíl = ( + ) , f es cóncava hacia arriba
(+)(+)Luego, 1(0,0) es un punto de inflexión.
(7) Anali cemos el signo de
y = ----- -----(x+1)(x1)
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tiende sobre el eje X, arriba de
A(0,1), simétricamente respecto
del eje Y. Las flechas indican el comportamiento asintótico de
la curva.
x2 1
Sc¿uc.¿6n. (1) La función está definida en todas partes, excepto
(x+1)(x 1)
en los entornos de x=1 y x=1
x<c1 í y<0 0<x<1 + y<0
1<x< 1 ■> y>0 x< 1 > y>0
Obsérvese que para x<1 y 0<x<1 la
gráfica de la función se encuentre
debajo del eje X, y en 1<x<0 y x>1,
arriba del eje X.
614 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
y(x1)(x2)(x3) = 1
Solución. (1) f(x) =1
Dom(f)=R{ 1, 2, 3}(x1)(x2)(x3)
(2) Las asíntotas verticales son: x=1 , x=2 y x=3
lim f(x) = 0 *■ y=0 es una asíntota horizontalxn»
(3) Intersección con el eje Y: Si x=0 y = 1/6 *■ A(0,1/6)
3x212x+11 ^
(x1)2(x2)2(x3)2 _____
- 3x 2-12x+11=0 ~ x = 6 W J
(4) f'(x) = •
Si f'(x)=0
de donde: xi=1.42 , x22.58
El signo de f'(x) en los entornos de x=1» x=2 y x=3, lo de-
termina el numerador de (1) : (3x2 12x+1 1)
Si xe<°°,1> + f'(x) < 0 , f es decreciente
xe<1 , 1.42> + f'(x) < 0 , f es decreciente
xe<1 .4 2,2> f'(x) > 0 , f es creciente
xe <2,2.58> f'(x) > 0 , f es creciente
xe<2.58,3> •* f'(x) < 0 , f es decreciente
xe<3,+°°> * f' (x) < 0 , f es decreciente
(5) Por el criterio de la primera derivada, en Xi=1.42 la función
pasa por un mínimo: y(min)=f(1.42)=2.6 , y en X2=2.58, la fun
ción pasa por un máximo: y(max)=f(2.58)=2.6
(6) fM(x) 'l2xl,96x3 + 282x2360xH70
(x1)3 (x2)3(x3)3 '
Como f" (x) ¡í 0 , la curva no tiene puntos de inflexión
(7) y = ------- 1— ------(x1)(x2)(x3)
La posición de la curva en
relación con las asíntotas es
como sigue:
Si 1<x<2 y x>3 + y>0 ;
Sección 4: Tareas complementaria t 615
U1!£J y =x1
Solución. (1) La función está definida en R{1,1}
f(x)=f(x) , la curva es simétrica respecto deleje Y.
(2) Las asíntotas verticales son: x=1 y x1
lim f (x) = 1 y=1 es una asíntota horizontalx»oo
(3) Si x=0 ■* y=0 , la curva pasa por el origen
2x(4) f'(x) (1)(x+1)2(x1)2
La raiz de f'(x)=0 es x=0, y las de f'(x)= <=°, son: x=1, x=1
Entonces, los intervalos de c r e c i m i e n t o y decrecimiento son:
<°°,1> , <_1,0> > <0,1> , <1»+“ >
Observese que la variación de los signos de f.’(x), en los en
tornos de x=0 y x=±1, Se obtiene del numerador de (1):
f 1(x) > 0 , f es creciente
f *(x) > 0 , f es creciente
f'(x) < 0 , f es decreciente
xe< 1,+<=> + f'(x) < 0 , f es decreciente
(5) Por el criterio de la primera derivada la función tiene un
máximo relativo en x=0, esto es, y(ma x)=f(0)=0
(6) f"(x) = 2 (3x2 +1)
(x21)3
Cono f"(x) ^ 0 , la gráfica de la función no tiene puntos de
inflexión.
(7) y
Si xe<°°, 1>
xe<1,0>
xe<0,1>
(x+1)(X—1)
La posición de la curva en
relación con las asíntotas es
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la curva está arriba del eje X.
Si x<1 y 2<x<3 + y<0 ;
la curva está debajo del eje X.
como sigue:
Si x<1 y x> 1 > y> 1
La gráfica de f está arriba de
la asíntota y=1
Si 1<x<1 + y<0
La gráfica de f está debajo del
eje X.
616 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
c r m y = (x2 d 3
Solución. (1) La función está definida ¥\xeR.
f(x)=f(x) , la curva es simétrica resp ec-
to del eje Y.
(2) La curva no tiene asíntotas.
(3) Intersecciones con los ejes coordenados.
Si x=0 *■ y=1 > A (0, 1)
y=0 *■ x=1 ó x=1 ♦. B (1, 0) y G (1, 0)
(4) f'(x) = 6x(x+1)2(x1)2 (1)
Si f 1(x)=0 + x=0 . x=1 , x=1
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:
<_co,_1> , <1,0> , <0,1> . <1,+“ >
£1 signo de f'(x) en cada uno de estos intervalos lo determi
na el primer factor de (1), esto es:
Si xe<“>,1> *■ f'(x) < 0 , f es decreciente
xe <- 1,,0> f'(x) < 0 , f es decreciente
xe<0,1> *• f'(x) > 0 , f es creciente
x e < 1 , + “ > ■*• f'(x) > 0 , f es creciente
(5) Por el criterio de la primera derivada, lafunciónpasa por
un mínimo en x=0 , y(min) = f(0) = 1 , osea A(0,1) es el
punto mínimo relativo.
(6) f"(x) = 6(x21)(5x21) = 6(x+1)(x1)(/5x+1)(/51)
Si f" (x)=0 > x=1 , x=1//5 , x=1//5 , x=1
Si xeí00, ^ + f" (x) > 0 , f es cóncava hacia arriba
xe<1 ,1//5 + f"(x) < 0 ,
xe<1//5,1//5> •> f"(x) > 0
xe< 1// 5,1> f"(x) < 0 ,
xe< 1 ,+«> +f"(x)>0 ,
Obsérvese que los puntos B(1 0)
f es cóncava hacia abajo
, f es cóncava hacia arriba
f es cóncava hacia abajo
f es cóncava hacia arriba
Sección 4: Tareas complementarias 617
y = 32x2(x21)3
Solución. (1) La función está definida en R. Su gráfica
gráfica es simétrica respecto al eje Y, ya
que: f(x)=f(x)“N( 2 ) La gráfica de la función no tiene asíntotas
(3) Intersecciones con los ejes coordenados
Con el eje X: y=0 + x=0 , x=±1 >• A(0,0), B(1,0), C (1,0)
(4) f'(x) = 64x(x21) 2 (2x+1) (2x1)
Si f 1(x)=0 +■+ x=0 , x=1 , x=1 , x=1/2 , x=1/2
Como (x21)2>0, V-xeR, el signo de f'(x) en los entornos de
los valores críticos lo determina,el producto: x(2x+1)(2x1)
Si xe<°°,1> *• f ’(x) < 0 , f es decreciente
xe<1,1/2> >• f'(x) < 0 , f es decreciente . . .Mínimo en x=1/2
xe<1/2,0> f'(x) > 0 , f es crecientexe<0,1/2> ■+ f'(x) < 0 , f es decreciente^”* Maximo en x=^
xe<1/2,1> f1 (x) > 0 , f es creciente — Mlnimo en x=1/2
xe< 1,+<»> >• f 1 (x) > 0 , f es creciente
(5) Por el criterio de la primera derivada se tiene:
y(min) = 27/8 , para x=±1/2 ; y(max)=0 , para x=0
(6) f"(x) = 64(x 21) (28xl*17x2 + 1)
Si f" (x)=0 +*■ x21=0 ó 28x‘*17x2 + 1=0
~ x2 = 1 ó x2 = J 7 j l_¿289 1T2 = ,_L7.,.¿ 13.30
x=±1 ó x 2=0.51 ó x 2=0.066
+-+ x=±1 ó x^±0.735 ó x=±0.257Los puntos de inflexión son:
11 (1,0), 1 2 (1,0 ), en donde
las tangentes son horizonta-
les. Para x^iO.735 y x±0.257
1404
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Obsérvese que los puntos B(1,0)
y C (— 1,0) son puntos de infle-
xión con la tangente horizontal
Los otros puntos de inflexión
son: Ii(1//5.6 4/1 2 5 ) y
I2(1//5,64/125)
existen otros cuatro puntos
ile inflexión.
618 Capítulo 4: Análisis de las Fundones
Œ 0 y = ¿ + ¿x2
Solución.. (1) La función está definida en R{0)
(2) x=0 es una asíntota vertical(3) Si y=0 + x = 3/2/2
U ) f,(x) = gxf - 1 = (2x 1 )Ux » + 2x+ 1J
x 2 X2
Si f ' (x) =0 + 2x1 =0 +*• x = 1/2
Si x e < - “ , 0 > ü < 0 , 1/2> + f'(x) < 0 , f es decreciente
xe<1/2,+“> f'(x) > 0 , f es creciente
(5) Por el criterio de la primera derivada, la función pasa por
un mínimo en x=1/2, e
(6) f"(x) = 2(1 U^ 3)x 3
Si f" (x)=0 1+4x 3=0
de donde: x= 3/2/2
l(-3/2/2,0)
i m a y = x + — X
Solución. (1) La función está definida en RÍO}f(x)=f(x) , la gráfica es simétrica res-
pecto del eje Y. (2) x=0 es una aíntota vertical
(3) No hay intersección con los ejes coordenados.
(4) f ' W
Sección 4: Tareas complementarias 619
un mínimo en x=±1, esto es: •
y(min) = f(±l) = 2
Kn x=0, la función no tiene un
máximo por cuanto, 0¿Dom(f).
(6) f"(x) = 2 + — ‘x*
f"(x)¡¿0, la curva no tiene
¡»untos de inflexión,
f" (x)>0 , V;xÉDom(f), la curva
■ s cóncava hacia arriba en to-
das parte's.
y =2x1
(x1)2
Jo lución. (1) El dominio de la función es.R{1)(2) x=1 es una asíntota vertical
y=0 es una asíntota horizontallim f(x) = 0X+co
(3) Intersecciones con los ejes coordenados:
Con el eje Y: x=0 ■+■ y=1 ■* A(0,1)
Con el eje X: y=0 + x=1/2 B(1/2,0)
U) f ’(x) =
Si X£<“,0>
xe<0, 1>
x e < 1 , + “ >>
.Una raíz de f'(x)=0 es x02x
(x1)3
f'(x) < 0 , f es decreciente
f'(x) > 0 , f es creciente
f '(x) < 0 , f es decreciente
(5) Por el criterio de la primera derivada, la función pasa por
un mínimo en x=0, esto es, y(min)=f(0)=1
En x=1 no existe máximo, puesto que en este punto no está de
finida la función.
(6) f"( ) 2 (2 +1> í 0 1/2
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(4) f Wx3 x 3
Las raíces de f!(x)=0 son: x=1 y x=1
Si x e< — , -1 > +f'(x) < o . f es de cr ec ie nt e^ Minimo en x=_1
x e<- 1,0> •> f'(x) > 0 , f es creciente
XE<0,1> + f ’(x) < 0 , f es dec re ciente^ Minlm0 en X=1
x e < 1 , + " > .*• f'(x) > 0 , f es creciente
(5) Por el criterio de la primera derivada, la función pasa por
(6) f"(x) = 2 (2x+1>(x1 )'
. Una raíz de f"(x)=0 es x=1/2
Si xe<°°,1/2> *■ f" (x) < 0 , f es cóncava hacia abajo
xe<1/2 ,1> *■ f"(x) > 0 , f es cóncava hacia arriba
x£<1 ,+“> •* f" (x) > 0 , f es cóncava hacia arriba.
Luego, si x=1/2 > y=8/9 . Punto de inflexión: I(1/2,8/9)
620 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
(7) Posición de la curva en
relación a las asíntotas:
2x1
y (x1)2Si 1/2<x< 1 y x>1 > y>0
La gráfica de la función está
por encima del eje X.
Si x< 1 /2 * y<0 . La gráfica
de la función está debajo del
eje X.
■CWJ y = --------3x2
Solución. (1) La función está definida en ,R{/?»/3}f(_x)=f(x) . La gráfica es simétrica res-
pecto del origen de coordenadas.
(2) x=/3 y x=/3 son asíntotas verticales.
(1 )
x^.— :— = u n
X+»
X =
L3 . - 2
Asíntota oblicua: y=kx+b
. . . . ,2
xx» 3x2= -1
b = lim [f(x)kx] = lim j~— —X+00 X+oo >3_x2
Luego, en (1): L:y=x
+ x = lim (JíJ X+00 3x2
= 0
(3) Para x=0 y=0 , la curva pasa por el origen.
(4) f 1 (x ) x2(3+x)(3x)
(3x2)2
Si f 1 (x) =0 »• x=0 , x=3 , x=3
f'(x)=“ *■ x=/5 , x=/3
Obsérvese que x2 y (3x2)2 son positivos para todo x, luego,
Sección 4: Tareas complementarias 621
(5) La función pasa por un mínimo en x=3 y por un
esto es: y (¡nin) =f (3) =9/2 , y (max) =f (3) =9/2
(6) f" (x) 1 2 x(2 x 1*+3x 2+2 7)
(3-x 2)3Si f" (x) =0 *• x=0
El punto de inflexión es I(0,0)
Si xe<to,/3> + f"(x) > 0
la curva es cóncava hacia arriba
x e < - / 3 , 0 > + f"(x) < 0
la cur va’es cóncava hacia abajo
x e < 0 , / 3 > + f " ( x ) > 0
la curva es cóncava hacia arriba
x e < / J , + “ > ■* f"(x) < 0
la curva es cóncava hacia abajo
máximo en x=3,
y =2 (x+1)2
Solución. (1) La función está definida en R — { 1}
(2) x=1 es una asíntota vertical
Asíntota oblicua: y=kx+b (1)
f(x) ”2 1k = lim J-12LL = un,X + t o x+°° 2(x+1)2
b = lim Ef(x)kxJ = lim f-- ---- $1 = ü mx «1 x*® L2(x+1)2 j x+
2x2x Á| Jillli ■ 'x*” x*® L2(x+1)2 j x*® 2(x+1)2
Luego, en (1): L:x2y2=0
(3) Para x=0 y=0 , la curva pasa por el origen.
(i) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
= -1
f*(x)! (x+3)
2(x+1)3
Las raíces de f'(x)='0 son x=0 y x= 3
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el signo de f'(x), en los entornos de los valores críticos,
lo determina el producto: (3+x)(3x)
Si xe<“ ,3> + f'(x) < 0 , f es decreciente^, MÍnimo en x=_3
xe<3,/3> *• f'(x) > 0,fes creciente
xe <-/3,/3> f'(x) > 0,fes creciente
xe</3,3> *■ f'(x) > 0,fes creciente
xe<3, +°°> f ' ( x ) < 0 , f e s d e c r e c i e n t eMáximo en x = 3
Las raíces de f'(x)='0 son x=0 y x=3
Si xe<“ ,3> f'(x) > 0 , f es creciente
xe<3,1> ■+ f'(x) < 0 , f es decreciente
x£<.1,0> f'(x) > 0 , f es creciente
x£<0,+°» f'(x) > 0 , f es creciente
> Máximo en x=3
(5) La función pasa por un máximo en x=3, esto es, y(max)=27/S
En x=0 ,no existe máximo ni mínimo.
622 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
(6) f"(x) = — (x+1)“
Si f"(x)=0 + x=0
f"(x)=» + x=1
Intervalos de concavidad:
x e < - o o , - 1 > -*■f" (x) < 0la curva es cóncava hacia abajo
xe<1,0> *• f"(x) < 0
la curva es cóncava hacia abajo
x e < 0 , + « ° > f"(x) > 0
la curva es cóncava hacia arriba
Luego, 1(0,0) es el punto de in-
flexión.
C u ) y(xl) = x3Solución. (1) La función está definida en R(1}
(2) x=1 es una asíntota vertical
(3) Si x=0 *■ y=0 , la curva pasa por el origen de coordenadas
(4) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f'(x) =(x1)2
Para f'(x)=0 *' =0 , x=3/2
Puesto que x2 y (x1)2 son positivos para todo x, el signo
de f'(x), en los entornos de x=0, x=1 y x=3/2, lo determina
el factor (2x3).
Si x£<00,0> »• f'(x) < 0 , f es decrecientexe<0,1> ■* f'(x) > 0 , f es creciente
xe<1,3/2> *• f'(x) < 0 , f es decreciente
xe<3/2,+“ > + f'(x) > 0 , f es creciente■Mínimo en x=3/2
(5) La'función pasa por un mínimo en x=3/2, esto es:
0 i á i i í i
y(min)=27/4
Sección 4: Tareas complementarias 623
Si xe<1,+°°> f"(x) > 0
La curva es cóncava hacia artiba
Luego, el punto de inflexión de
la gráfica es 1(0,0).
K Q Q y (x 3 1) = x
Solución. (1) La función está definida en R — {1}
(2) x=1 es una asíntota vertical
Asíntota oblicua: y=kx+b (1)
k = lim f ^x) = lim (-*— ) = 1■31X - Mx > X+0>
b = lim [f(x)kx] = lim (— XK» x+“> x
— x) = lim (— — ) = 03 1 X+a» X 3 1
Luego, en (1): L:y=x
(3) Si y=0 *• x=0 , la curva pasa por el origen de coorde.nadas.
(4) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento
f' (x) = -£í h L A l(x31)2
Si f'(x)=0 x=0 , x= 3/4 ; si f' íx) ™ + x=1
xe <-°°,0> *■ f'(x) > 0 , f es creciente
x£<0, 1 > •*■ f'(x) < 0 , f es decreciente
X£<1, 3/4> f'(x) < 0 , f es decreciente
x£ <3/4,+“> + f'(x) > 0 , f es creciente
Máximo en x=0
Mínimo en x=.3/4
(5) La función pasa por un máximo en x=0, y(max)=0 , y por un mí
nimo en x=3/4 , esto es, y(min)=4.3/4/3
(6) Intervalos de concavidad
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En x=0 no existe máximo ni mínimo.
(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = ?x — — 3x+3)(x1)3
Si f"(x)=0 + x=0 ,
xe<w ,0> f"(x) > 0
xe<0,1> *■ f" (x) < 0
y si f" (x) =<*> x=1
, f es cóncava hacia arriba
, f es cóncava hacia abajo
(6) Intervalos de concavidad
f"(x) = 6x2(x3+2)
(x31)3
Para f"(x)=0 *• x=0 ,x = -3/2 ; para F"(x)=“ + x = 1
x e<-“,-3/?> *• f" (x) > 0 , f es cóncava hacia arriba
xe< 3/2”, 0> v f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajo
xe<0,1> + f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajo
624 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
x£<1,+°°> * f"(x) > O
La curva es cóncava hacia arriba
Luego, el punto de inflexión es:
l(3/2,|3/?)
m ti (xD2Itlrl y = — ----(x+1)3
Solución.. (1) La función está definida en R{ 1}
(2) x=í es una asíntota verticallim f(x) = 0 y=0 es una asíntota horizontalX+co
(3) Interceptos con los ejes coordenados
a) Con el eje Y: x=0 ■* y=1 .*. A(0,1)
b) Con el eje X: y=0 x=1 .*. B(1,0)
(4) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento
f .(x) = .(x1)(5x)(x+1 )*
Para f' (x)=0 + x=1 ó x = 5 i para f'(x)=<» + x = 1
Si xe<“ ,1> + f'(x) < 0 , f es decreciente
xe<1,1> •* f'(x) < 0xe<1,5> + f'(x) > 0
xe <5,+00> + f'(x) < 0
(5) La función pasa por un mínimo en x=1, y(min)=0
ximo en x=5, esto es, y(max)=2/27. | f
f es decreciente^, M£nimo en x=1
f es creciente, . . > > Máximo.en x=5
f es decreciente
y por un ma
St'cción 4: Tareas complementarias 625
(PVEI _ x3+2x2 + 7x3<M - mmM J j
2x
Solución. (1) La función está definida en R{0) ’
(2) x=0 es una asíntota vertical
l’ara determinar la asíntota oblicua escribimos la ecuación de la
función en la forma: y = ¿x + 1 + (^x ~ 3)¿ 2x2
l'ara valores muy grandes de x, esto es, cuando x+“>, entonces
{ x~3) •+• .0 , por tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es:
12x
L: y = gX + 1
(4) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento
fi(x) (x1)(x2)(x+3)
2x 3
lara f'(x)=0 x=3 , x=1 y x=2 ; para f'(x)=<*>
”i xe<-c»,-3> + f'(x) > 0 , f es creciente
xe<3,0> f'(x) < 0 , f es decreciente
xe<0,1> f 1(x) > 0 , f es creciente
xe <1,2> + f'(x) < 0 , f es decreciente
*• x=0
Máximo en x=3
Máximo en x=1
■Mínimo en x=2x£<2,+°°> f'(x) > 0 , f es creciente
(5) La función pasa por un máximo en x=3 y x=1, esto es:
y(max)=f(3)=11/6 , y(max)=f(1)=7/2 , y por un mínimo en x=2
y(min)=f(2)=27/8
(6) Intervalos de concavidad: f"(x) =x*
Para f"(x)=0 *• x=9/7 , y para fu(x)=«° x=0
Si x£<“ ,0> ■* f" (x) < 0
La curva es cóncava hacia abajo
x£<0,9/7> f"(x) < 0
La curva es cóncava hacia abajo
xe<9/7, +“> •> f''(x) > 0
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(6) Puntos de inflexión.
fn(x) = 2(x210x+13)
Si f"(x)=0
(x+1)5
x210x+13=0
x = 5 ± 2/5
son las abscisas de los puntos de inflexión
[,a curva es cóncava hacia arriba
Por tanto, hay un punto de infle-
xión cuya abscisa es x=9/7.
626 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Q Q Q xy = (x21)(x2)
Solución. (1) La función está definida en R{0}
(2) x=0 es una asíntota vertical
(3) Intersecciones con los ejes coordenados:Con el eje X: y=0 x=1 ó x=1 o x=2
A (1,0) , B (1, 0) , C (2, 0)
(4) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento
f.(x) = 2(x3^.:Üx2
Si f ' (x)=0 + x 3x21=0 *■ x=1.46 ; y si f'(x)=<*> x=0
Si xe<“ ,0> •> f'(x) < 0 , f e s decreciente
xe<0, 1. 46> + f'(x) < 0 , f es d ecr ec ien te^ MÍnimo en x=1.¿6
xe<1 .46, +«=> + f'(x) > 0 , f es creciente
(5) La función pasa por un mínimo en x=1.46 , esto es:y(mln) = f(1.46) = 0.28
(6) Intervalos de concavidad:
f"(x)2 ( x 3 + 2 )
Para f"(x)=0 + x= 3/2
Si xe< », 3/2> t f"(x) > 0
La curva es cóncava hacia arriba
x e < - 3 / 2 , 0 > + f"(x) < 0
la curva es cóncava hacia abajo
xe<0, +<*>> f"(x) > 0
la curva es cóncava hacia arriba
Luego, hay un punto de inflexión
cuya abscisa es x=3/2.
(yxJx'+S = 0
Sección 4: Tareas complementarias 62 1
(4) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento
f '(x) x *!±32x5
Para f'(x)=0 x5 + 32=0 •«+. x=2 ; pa ra f'(x)=“>+x=0
Si xe<“ ,2> f'(x) > 0 , f es creciente > .„ , , ^ Má xi mo en x=2
xe<2,0> f'(x) < 0 , f es decreciente
Xe<0,+»> + f'(x) > 0 , f es creciente
(5) Por el criterio de la primera derivada, la función pasa por
un máximo en x=2, esto es, y(max)=f(2)=5/2
(6) Intervalos de concavidad
f"(x) = 160
consecuencia, la gráfica de la
función es cóncava hacia abajo
en todo su dominio, y no tiene
puntos de inflexión.
y =■
Solución. (1) La función está definida en R.
(2) lim f (x) = lim— = lim (— ) = 0x*” X+” e x+co ex
Entonces, y=0 es una asíntota horizontal
La gráfica de la función no tiene asíntotas verticales ni
cuas.
(3) Si x=0 y=0 , la curva pasa por e^ origen.
obli
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Solución. (1) y =x 8 , la función está definida en
R{0}.
(2) x=0 es una asíntota vertical.
y = x 8/x" , cuando x*“ , entonces S /x^O
Luego, y=x es una asíntota .oblicua.
(3) Intersecciones con el eje X: y=0 ■* x=5/S
(4) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento: f'(x)
La raíz de f'(x)=0 es x=1.
Si xe<oo, 1> * f 1 (x) > 0 , f es creciente
xe<1,+oo> t f'(x) < 0 , f es decreciente.
(5) La función pasa por un máximo en x=1, esto es, y(max) =f(1 ) =
1/e.
1 xX
628 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
(6) Intervalos de concavidad:
f"(x) = e_x(x2)
Para f"(x)=0 + x2=0 «*• x=2
Si xe<“ ,2> *• f" (x) < 0La curva es cóncava hacia abajo
xe<2,+°°> *■ f"(x) > 0
La curva es cóncava hacia arriba
Luego, el punto de inflexión es:
1(2,2/e2)
Solución. (1) La función está definida en R.
,2xlim (£)■ = lim (¿§) = lim (“ £)x+oo e x+°° e x+°°
(2) lim f(x)x-ko x"*00 x**00 e x*00 e
= 0 + y=0 es una asíntota horiz.(3) Si x=0 y=0 , la curva pasa por el origen.
x 2 ■■ x)(¿) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento: f'(x) ----- -
e
Para f'(x)=0 *■ x=0 ó x=2
Si xe<°°,0> + f'(x)„< 0 ,f es decreciente MÍnlm0 en x=0
Máximo en x=2xe<0,2> + f'(x) > .0 • , f es creciente
xe<2,+"> + f'Ox) < 0 , f'es decreciente
(5) Por el criterio de la primera derivada, la función pasa por
un máximo en x=2 y un mínimo en x=0, esto es: y
y(max)=f(2) = ¿/e2 , y(min)=f(0)=0
(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = ■— — —
Para f"(x)=0
Si xe<«,,2/2>
La curva es cóncava hacia arriba
xe<2/2,2+/2> + f"(x) < 0
x2-ix+2=0 ++ x-2±-/u-2 = 2±/2
f"(x) > 0
Sección 4: Tareas complementarias 629
. exy = —
Solución. (1) La función está definida en R{0}
(2) x=0 es una asíntota vertical.
lim f(x) lim (~—)■ = lim (ex) = 0 *■ y=0 es una asíntota horiz.X+-00 X+00 X+00
(3) No existe intersección con los ejes coordenados.
(4.) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento: £' (x) e (x1)x2
Para f'(x)=0 + x=1 , y para f'(x)=<» + x=0
Si xe<“ ,0> + f'(x) < 0 , f es decreciente
xe<0, 1> + f'(x) < 0 , f es decreciente __ . ,, ^» Mí ni mo en x=1
xe<1,+»>> *■ f'(x) > 0 , f es creciente
(5) La función pasa por un mínimo en x=1, esto es: y (min)=f(1)=e
.(6) Intervalos de concavidad: f" (x) =— /x ~2x+2)x 3
Para f"(x)=0 + x22x+2=0 **■ x = 1+/72 = 1 t i (imaginario)
Para f"(x)=°° *• x=0
Si xe<“ ,0> + f"(x) < 0
la curva es cóncava hacia abajo
xe<0,+"> + f"(x) > 0
la curva es cóncava hacia arriba
Por tanto, en x=0 na existe pun-
to de inflexión, puesto que:
x=0 i Dom(f).
(¿¡¿I y = xln(x+1)
Solución. (1) La función es real x+1>0 s+ x>1
Entonces: Dom(f) = <1,+oo>
(2) x=1 es una asíntota vertical
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La curva es cóncava hacia abajo
xe<2+/2,+”> f"(x) > 0
La curva es cóncava hacia arriba
Por tanto, hay dos puntos de in-
flexión en x=2/2 y x=2+/2.
(3) Para x=0 + y=0 , la curva pasa por el origen.
(4) Intervalos de crecimiento y de deerecinfiento; f'(x) = —~
La raíz de f'(x)=0 es x=0
Si xe<1, 0> *■ f ' (x) < 0 , f es decreciente
xe<0, +<=> *• f ' (x) > 0 , f es creciente
630 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
Por el criterio de la primera derivada, la función pasa por un
mínimo en x=0, esto es, y(min)=f(0)=0
(6) Intervalos de concavidad: f"(x) =
Dado que, f"(x)>0 , VxeDom(f) ,
la función es cóncava hacia arriba
en todo su dominio. Por tanto, la
gráfica no tiene puntos de infle-
xión.
m j j y = ln(x2+1)
Solución. (1) Como x2+1>0 , ¥xeR, la función está definí
da en R.
f(x)=f(x) , la gráfica es simétrica respecto del eje Y.(2)La gráfica de la función no tiene asíntotas.
(3) Para x=0 y=ln1=0 , la curva pasa por el origen.
(¿) Intervalos de crecimiento y decrecimiento: f'(x) = — — x2 + 1
Para f'(x)=0 2x=0 x=0
Si xe<“>, 0> f'(x) < 0 , f es decreciente M 'nici0 en x=0
xe<0,+“> *• f'(x) > 0 , f es creciente
(5) La funciónpasa por un mínimo en x=0, esto es, y(min)=0
(6) Intervalcrs de concavidad: f"(x) = ^ '*~x^(x2+1)2
Para f"(x)=0 *-+ x=1 ó x = 1Si xe<“ ,1> f'l(x) < 0
la curva es cóncava hacia abajo
xe<1, 1> f"(x) > 0
la curva es cóncava hacia arriba
xe<1,+“>> *■ f"(x) < 0
.SV’cción 4: Tareas complementarias 631
¡J y = x e
Solución. (1) fca función está definida en R.
f(x)=f(x), la gráfica es simétrica respec
to del eje Y.lim (— %? ) = lim ( ~ ) = 0x+" 2xe x*“ e
(2) lim f(x) = limx+oo x>“ e
Entonces y=0 es una asíntota horizontal
(3) Six=0 ♦ y=0 , la curva pasa por el origen.
(4) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento:
f'(x) = 2xe"x2(1+x)(1x)
Para f'(x)=0 + x=0 , x=1 , x=1
Si xe<-°°, 1 > + f'(x) > 0 , f es creciente
xe<1,0> f'(x) < 0 , f es decreciente
xe<0,1> *■ f'(x) > 0 , f es creciente
xe<1,+“ > ■*' f'(x) < 0 , f es decreciente
Máximo en x=1
Mínimo en x=0
Máximo en x=1
(5) Por el criterio de la primera derivada, la función pasa por
un máximo en x=±1, y por un mínimo en x=0; esto es,
y(max) = f(±1) = 1/e ; y(min) = f(0) = 02
(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = 2e“x (2x‘*5x2 + 1)
Si f"(x)=0 + 2x'*5x2 + 1=0
y = x3e’"x
Solución. (1) La función está definida en R
(2) lim f(x)X+ co
lim ’(.21) = lim (22EÍ) = lim ( %x>co e x oo e x>co e
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la curva es cóncava hacia abajo
Por tanto, hay dos puntos de in-
flexión: Ii(1,in2) , I2(1,ln¿)
X+ co x>co e xoo e x>co e
= lim (A) = 0x>® e
Entonces, y=0 es una asíntota horizontal
(3) Para x=0 *■ y=0 , la curva pasa por el origen.
(4) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento:
632 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
f1(x) = x2e"x(3x)
Para f'(x)=0 x=0 , x=3
Si xe<°°, 0> f'(x) > O, f es creciente
xe<0,3> f'(x) > O , f es creciente Máxim0 en x=3
xe<3,+“ > + f'(x) < O , f es decreciente'
(5) La función pasa por un máximo en x=3, esto es, y(max)—27/e •
La función no tiene mínimos.
(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = xe x(x26x+6)
Para f"(x)=0 + x=0 ó x26x+6=0 x=0 ó x=3±/3
Si xe<“>,0> f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajo
xe<0,3/3> f"(x) > 0 , f es cóncava hacia arriba
xe<3/3, 3+/3> f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajo
xe<3+/3, +<»> •> f"(x) > 0 , f es cóncava hacia arriba
Por tanto, existen tres punto
de inflexión, cuyas abscisas
son: x=0 , x=3/3 » x=3+/5
x 2 / 2y = xe
Solución. (1) La función está definida en R
f(x)=f(x), la función es simétrica res-
pecto del origen (función impar).
(2) La gráfica de la función no tiene asíntotas.(3) Para x=0 y=0 , la curva pasa por el .origen.
(4) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento:
f'(x) = ex ^ ( H x ) (1x) . Para f'(x)=0 *• x=1 ó x=1
Mínimo en x=1Si xe<°°,1> + f'(x) < 0 , f es decreciente
xe< 1 1> +■ f'(x) > 0 f es creciente
Vi ccián 4: Tareas complementarias 633
l’ara f " (x) =0
iii xc<<*>, /3>
xe</J,0> + f"(x ) > 0
xe<0,y~3> ■* - f" (x) < 0
xe</3, +°°> *• f"(x): > 0
luego, la gráfica de la
¡'unción tiene tres pun-
tos de inflexión:
11(/5,/3e3/2), I2(0,0)
raí/I./Je’3/2)
x=o , x= -/5 , x=/3
•+ f"(x) < 0 , f es cóncava hacia abajo
f es cóncava hacia arriba
f es cóncava hacia abajo
f es cóncava hacia arriba
y =
Soiución. (1) La función está definida en R{0}
(2) x=0 es una asíntota vertical
lim f(x) =0 *• y=0 es una asíntota horizontalX+ + “
lim f(x) = 1 ■+■ y=1 es una asíntota horizontalx*“
(3) No hay intersección con los ejes coordenados.
(4) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento:
f.(x) = — (e 1) 2
Dado que f'(x) t 0, la función no tiene extremos, y como
f'(x) < 0 , VxeDom(f), la función es decreciente en R{0}
(5) La función no tiene máximos ni mínimos.
(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = —— Lll®— 1
Para x>0 f"(x) > 0
f es cóncava hacia arriba
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Máximo en x=1xe<1, 1> +■ f'(x) > 0 , f es creciente
xe<1,+»> f’(x) < 0 , f es decreciente'
(5) La funciónpasa por un mínimo en x=1 y por un máximo en x=1,
esto es, y(max)=f(l)=1//e ; y(min)=f(1)=1/fe
x2/2(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = x(x+/3)(x/5)e
Para x<0 + f"(x) < 0
f es cóncava hacia abajo
Siendo x=0 un punto de dis-
continuidad, la gráfica de f
no tiene puntos de inflexión
634 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
x +lnx
Solución. (1) La función está definida sólo para valores
positivos, esto es: Dom(f) =<0, +*■>>
(2) lim f(x) = 00 , entonces, x=0 es una asíntota verticalx+0
Asíntota oblicua: y=kx+b
k = lira = lio (1 +X-*00 X X+00 v
,lnx
X+oo x 00
Luego, en (1): y=x
(1)
lnx) = 1 + lim (HZi) = 1X" X»00
b « lim [f(x)kx3 = lim = 0 •
2x
x2+1lnx(3) Para y=0 x2=lnx , xe<0,1>
(4) Intervalos de monotonía de la función: f'(x) =A
Como f’(x) 0, la función no tiene extremos. Es creciente en
todo su dominio.
(5) La gráfica de la función no tiene máximos.ni mínimos.
(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = 2^nx 3x3
Para f"(x)=0 *■ 1lnx3=0 **■ lnx=3/2 ■** x=e3/2=e/e
Si x£<0,e/e> f"(x) < 0
La curva es cóncava hacia abajo
xe<e/¥, +ro> 'y f"(x) > 0
La curva es cóncava hacia arriba
Luego, existe un punto de infle-
xión: l(e/tT, e/e + 2e/e
U E 3 y = + x)X
Sección 4: Tareas complementarias 635
(3) La curva no intercepta a los ejes coordenados.
(4) Intervalos de monotonía de la función:
En xe<“>,1> la función crece desde e hasta , y en x£<0,«°>,
crece desde 1 hasta e. Es decir, la gráfica de la función es
creciente en todo su dominio.
(5) La función no tiene máximos ni mínimos.
Q Q J y = x+Senx
Solución. (1 ) La función está definida en R.
f (x)=x+Sen(:x)= (x+Senx) = f(x)
La gráfica de la función es simétrica respecto del origen.
(2) La gráfica de la función no tiene asíntotas
(3) Si x=0 ■> y=0 , la curva pasa por el origen.
(4) Intervalos de monotonía: f'(x) = 1+Cosx
Para f'(x)=0 + Cosx=1■**+ x = ±kn (k=1, 3, 5,... )
Obsérvese qué para x£<0, tt>ü<h , 2w>ü ... , f'(x) > 0 '
lo mismo sucede para x £ < - t t , 0>ü<2n, ir> U...
Es decir, la gráfica de la función es creciente en todo su
dominio, y no tiene extremos.Además, para x=tkir|, k=1,3,5,.
(6) Puntos de inflexión
f11 (x)=Senx
f"(x)=0 ■* Senx=0
> x=kir
la función es estacionaria
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U E 3 y = + x)X
Solución. (1) La función está definida cuando x¿0 y xjí1,
esto es, Bom (f )=<<*>,1>U<0,+co>
(2) Asíntotas: a) lim f(x) =*>-*■ x=1 es una asíntota verticalx+1
b) lim f(x) = e •> y=e es una asíntota horizontalX+oo
Los puntos de inflexión son
I(kir,kir) , k=0,±1,±2,±3, .. .
En los puntos de inflexión
la gráfica cruza la recta
y - x .
>x
636 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
y = xSenx
So ¿ación. (1) La función está definida en R
f(x) = xSen(x) = xSenx = f{x)
La gráfica de la función es simétrica respecto del eje Y.(2) La gráfica de la función no tiene asíntotas.
(3) Para x=0 + y=0 , la curva pasa por el origen.
(4) Intervalos de monotonía: f'(x) = xCosx + Senx
Si f'(x)=0 Senx '= xCosx
Los puntos extremos satisfacen la ecuación: Tanx = x
(6) Puntos de inflexión:
f(x) = xSenx + Cosx + Cosx = xSenx + 2Cosx
Si f"(x)=0 *• xSenx = 2Cosx
Los puntos de inflexión satisfacen la ecuación: xTanx = 2
X0 tt
/6tt / 3 tt/2 ’ 2 u / 3 5tt/6 ir 7/6 W 3
y 0 tt/ 1 2 /3 tt/6 tt/2 / J n / 3 5tt/12 0 -7tt/12 - 2 u / 5 / 3
3n/2 5tt/6 11it/6 27r
-3tt/2 -1 17T/ 1 2 0
Sección 4: Tareas complementarias 637
nida en los intervalos <7r/2 + 2k7r,7r/2+2kir>, k=0,±1,±2, ...
La función es periódica (T=2ir), pues, f (x+27r)=lnCos (x+2ir)=lnCosx
Además, f(x)=lnCos(x)=lnCosx=f(x). La gráfica es simétrica res
pecto ál eje Y.
(2) lim f(x) = “ , entonces, las asíntotas verticales de la gráfix+ ti/2
ca son: x = r; + kit
(3) Para y=0 >■ Cosx=1 ++ x=2k7t , k=0,±1,±2, .. , son los interce£
tos con el eje X.
(4) Cálculo delos valores extremos:
= - - f f f t = -T—
Si f ’(x)=0 ■*' Tanx=0 x=2kn
f"(x) = Sec2x . Como f"(x) < 0, VxeDom(f), la gráfica de la
función es cóncava hacia abajo en los intervalos de defini-
ción de f. Esto es, la función pasa por un máximo en los pun
tos: x=2k7r , k=0,±1,±2 ,...
(6) La gráfica no tiene puntos de inflexión. «
| 2 S 3 y = CosxlnCosx
Sotución. (1) La función está definida para Cosx>0, esto
es, en los intervalos <ir/2+2kir,7r/2+2kir>
d d k 0 1 ±2 L f ió iódi (T 2 )
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y = InCosx
Solución. (1) La función es real, si Cosx>0
• xe<7r/2, -tt/2> , o bien; f está defi
donde k=0,¿1,±2...... La función es periódica (T = 2tt), pues
f(x+2ir)=f(x). Además, f(x)=f(x), la gráfica de la función
es simétrica respecto al eje Y.
(2) Dado que f (x) •*<*> , cuando Cosx 0, las asíntotas vertica-
les de la curva son: x = + kir
( 3 ) P a r a x= 0 -*■ y =1 .'. A (0,1)
638 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
(4) Cálculo de los valores extremos: f 1 (x)=Senx+Tanx
Si f'(x)=0 *■ Senx = Tanx ■«*• Senx(lSecx) = 0
Senx = .0 ó Secx = 1
**■ x=2kir , k=0,±1,±2, ..
Siendo f una función par, es suficiente estudiar la restric-
ción de f a un intervalo de amplitud tt , por ejemplo:
<— tt/2 ,tt/2 > .
Si xe <-tt/2, 0> f'(x) < 0 , f es decreciente
xe<0,7r/2>‘ f'(x) > 0 , f es creciente
(5) La función pasa por un mínimo en x = 0, así mismo en x=2kir, es
to es, y(min)=f(0)=1
(6) Puntos de inflexión: f"(x) = .'*~C?SCos2x
Si f" (x)=0 Cosx=1 *■+ x=2kir
Puesto que x=2kir son valores extremos, la curva no tiene pun
tos de inflexión. Es cóncava hacia arriba en todo su dominio
y = x2arcTanx
So ¿ación. (1) La función está definida en R
f(x) = xarcTan(x) = (xarcTanx)=f(x)
La gráfica de la función es simétrica respecto del origen.
(2) í bli k b (1)
1431
Sección 4: Tareas complementarias 639
b2 = lim [f(x)kxj = lim [2arcTanx] = 2( ?■) = nx*” x*“
Luego, en (1), se tiene: Li;y=x7r , L2:y=x+ir
(3) Para x=0 *■ y=0 , la curva pasa por el origen.
Para y=0 x=2arcTanx , xe<ir,ir>
(4) Intervalos de monotonía: f ’(x) = i x+ ^x~ 1+x2
Para f ’(x)=0x=1 ó x=1
Si xe<“>,1> ■* f'(x) > 0 , f es creciente
xe<1,1> > f'(x) < 0 , f es decreciente'
xe<1,+®> *■ f*(x) > 0 , f es creciente
(5) Por el criterio de la primera derivada, la función pasa por
un máximo en x=1 y por un mínimo en x=1, esto es;
y(max) = f(1) = 1 + ^ ; y(min) = f(1) = 1 ~
Ax
Máximo en x=1
Mínimo en x=1
(6) Intervalos de concavidad: f"(x)
Para f"(x)=0 x=0
Si xe<°°,0> f"(x) < 0
La curva es cóncava hacia abajo
xe<0,+°°> f"(x) > 0
La curva es cóncava hacia arriba
Por tanto, existe un punto de in
flexión: 1(0,0).
(x 2 +1) ‘
So ¿ación. Sea u = , x¡¿1 , x/3x24x+3 (x1)(x3)
Entonces, la función está definida en R{1,3}
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(2) Asíntotas oblicuas: y=kx+b (1)
k = lim 11*1 = lim (1 2a rPTanx) = 12(0) = 1X+°° X X»a> X
bi = lim £f(x)kx] = lim [2arcTanxJ = 2(5) = - t t
x++°° x +°°
(2) x=1 y x=3 son asíntotas verticales.
lim f (x) = e° = 1 y = 1 es una asíntota horizontalx+<x>
(3) Para x=0 *■ y = e1/ 3 = 3/e .*. A(0, 3/e)
(4) Intervalos de monotonía: f'(x) 2(x2)e
( x - 1 ) 2 ( x - 3 ) :
640 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Para f 1 (x)=0 *• x=2
Si xe<», 1>ü<1,2> > f'(x)>0
La función es creciente
Si xe<2,3>U<3,+“> * f'(x)<0
La función es decreciente
(5) La función pasa por un mí
ximo en x=2, esto es:
y(max)=f(2)=e_l=1/e
y = e3enxSenx (sin buscar puntos de inflexión)
Solución. (1) La función está definida en R.
Dado que Sen(x +2tt) =Senx, la función es pe-
riódica.
(2) La gráfica de la función no tiene asíntotas.
(3) Intersecciones con los ejes coordenados:
Con el eje X: si x=0 + y=e°=1 .\A(0,1)
Con el eje X: no hay intersecciones
(4) Intervalos de monotonía:f 1 (x) = Cosx(eSenx1)
Para f'(x)=0 *• Cosx=0 ó e3enx=1
(x = 2kTT + 5 , k=0,±1,±2, ...
X = 2klf + TT
Si e3enx = e° Senx=0 ■**■ x=ku , k=0,±1,±2, ...
Para el intervalo <0(2ir>, los puntos extremos de lafunción
son: x=0 , x=7r/2 . x=tt, x=3n/2 y x=2tt
Si x£<0, tt/2> f'(x) > 0 , f escreciente ^ MáxÍB0 en x=lr/2
1433
Sección 4: Tareas complementarias
y (max) = ' ! + “ » para x = +
y(.min) = 1 , para x=kir
2ku
y = x
So ¿ución. (1) La función está definida en R.
(2) La gráfica de la función no tiene asíntotas
(3) Si y=0 3/x 2=x -*-*■ x=0 ó x = 1
Luego, la curva pasa por (0,0) y (1,0)
(4) Intervalos de monotonía: f ’(x) = ,2~3» ¿X3.3/3T
Para f'(x)=0 3/x = 2/3 *"»• x = 8/27
fi(x)=o> >■ 3/x = 0 x=0
Si xe<»,0> f 1 (x) < 0 , f es decreciente . „, , Mínimo en x=0 ■
x e<0,8/27> + f’(x) > 0 , f es creciente
xc<8/27, +“> •> f(x) < 0 , f es de crecient^ Máximo enx = 8/27
(5) La función pasa por un máximo en x=8/27 y por unmínimo en
x=0, esto es, y(max)=f(8/27)=4/27 , y (min)=f(0)=0
(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = — — 9. 3'
Como f"(x)<0 , ¥ xeR-{0}, la
gráfica de la función no tiene
8/13/2019 Problemas y ejercicios de Análisis Matemático Tomo 1 - FL
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x£<ir/2,Tr> f'(x) < 0 , f es decreciente
x e<h ,3tt/2> +f'(x) > 0 , f es creciente Minino en x tt
x£<3tt/2, 2tt> ■* f 1 (x) < 0 , f es decreciente Máximo en x3tt/2
(5) Por tanto, la función pasa por un máximo en x=it/2 y x=3ir/2,
y por un mínimo en x=tt . Esto es:y(max) = e - 1 , p ar a x = 75 + 2ku
gráfica de la función no tiene
puntas de inflexión, es cóncava
hacia abajo en todo su dominio.
642 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
= x2(x24):
Solución. (1)
x=0
Mínimo en x=1
Máximo en x=0..
Mínimo en x=1
y = (x2¿)x2'J
La función está definida en R
f(x)=f(x) , la gráfica de la función es simétrica respecto
del eje X.
(2) La función no tiene asíntotas.
(3) Intersecciones con los ejes coordenados
Para y=0 x=0 , x=2 , x=2
La curva pasa por (0,0) , A(2,0) y B(2,0)
(¿) Intervalos de monotonía: f'(x) 8(x+1)(x 1)3. V x
Para f'(x)=0 + x=1 , x = 1 . Para f'(x)=“>
Si xs<»,1> f' (x) < 0 , f es decreciente
xe<1,0> + f'(x) > 0 , f es creciente
xe<0,1> + f'(x) < 0 , f es decreciente;
x e < 1, +°°> ■* f'(x) > 0 , f es creciente
(5) La función pasa por un mínimo en x=1 y x=1, y por un máximo
en x=0j esto es: y(min)=f(±1)=3 , y(max)=f(0)=0
(6) Intervalos de concavidad:
f»(x ) = 8(5x2+1)
9 x V 3
Como no existe raíces para f"(x)=0
la gráfica de la función no tiene
puntos de inflexión. Es cóncava ha
cia arriba en todo su dominio.
IE5EI (3y+x)3 = 27x
Solución. (1) y = 3/x ^
La función está definida en R.
La función es impar, pues, f(x)=f(x) , es decir, la curva
es simétrica respecto del origen
Sección 4: Tareas complementarias 643
(4) Intervalos de monotonía: f'(x) = U l / H
Para f'(x)=0 3/x2"=1 *>■ x2 = 1 ■**■ x = 1 ó x=1
f 1 (x) = 00 *■ x=0
Si xe<“ ,1> •+ f'(x) < 0 , f es decreciente
xe<1,0> f'(x) > 0 , f es creciente
xe<0,1> f'(x) > 0 , f es creciente
xe<1,+°°> f'(x) < 0 , f es decreciente
Mínimo en x=1
Máximo en x=1
(5) La función pasa por un mínimo en x = 1 y por un máximo en x = 1
esto es, y(min)=f(l)=2/3 , y(ma x)=f(1)=2/3p
(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = -----9 x S / 3
Para f"(x) = <*> ■* x=0
Si xe<c°,0> *■ f"(x)> 0 , f es cóncava hacia arriba
xe<0,+<°> + f" (x)< 0 , f es cóncava hacia abajoT,a cráfica de la función tiene un Dunto de inflexión en 1(0.0).
C E E S y = 3/ ( x + D 2 - ’/x2 + 1
Solución. (1) La función está definida en R
(2) lim f(x) = 1 >■ y = 1 es una asíntota horiz.
(3) Intersecciones x+a>
Con el eje Y: si x=0 * y = 2 .'. A(0,2)
Con el eje X: si y=0 ■* x=1 .*. B(1,0)
(i) Intervalos de monotonía: f'(x) ~.2 (3>/x 3/x+1]
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es simétrica respecto del origen.
(2) La gráfica de la función no tiene asíntotas.
(3) Intersecciones con los ejes coordenados:
Si y=0 3/5c = | * x2 =27 x=±3/3 . Si x=0 + y=0
La curva pasa por: (0,0) , A(3/3,0) y B(3/3,0)
( ) ( ) ( ]_
3.3/x(x+1)
Para f'(x)=0 + 3/x = 3> c+T No existe soluciones reales
f'(x) = ® +x (x+1) =0 <+ x=0 ó x=1
Si x£<“>,1> ■* f'(x) < 0 , f es decre ciente^ ,Mínimo en x=1
xe<1, 0> *■ f '(x) > 0 f es creciente
644 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Si xe<0,+“> •* f'(x) < O , f es decreciente
(5) Por el criterio de la primera derivada, la función pasa por
un mínimo en x=1 y por un máximo en x=0, esto es,
y(min)=f(1)=0 , y(max)=f(0)=2
(6) Intervalos de concavidad:9.3/x*(x+ D*
Para f"(x)=0 (x+1) > t / 3 _ v V 3
Para f"(x) =»'>■ x=0 ó x=1
Si xe<“ ,1> f"(x) < 0
La curva es cóncava hacia abajo
xe<T, 1/2> f"(x) > 0
La curva es cóncava hacia arriba
xe<1/2,0> + f"(x) < 0
La curva es cóncava hacia abajo
xe<0,+°°> f"(x) > 0
La curva es cóncava hacia arriba
Luego, existe un punto de infle-
xión: I(1/2,1)
<»■ | x+11 = | x |
x+1 = x ** x=1/2
(Valores extremos)
Í T S Ü y = (x1)2/3(x+1)3
Solución. (1) La función está definida en R.
(2) No tiene asíntotas
(3) Intersecciones con los ejes coordenados:
Con el eje X: y = 0 + x=1 ó x=1 .’. A (— 1, 0) y B (1, 0)
Con el eje 1: x=0 y=1 C (0, 1)(4) Intervalos de monotonía: f 1 (x) = Í2LÍJ1— LLli_jLL
3(x1) /
Para f'(x)=0 *■ x=1 ó x=7/11 . Para f'(x) = <»•*• x=1
Si xe<“>, t1> ■* f'(x) > 0 , f es creciente
xe<1,7/11>*+ f'(x) > 0 , fes c r e c i e n t e ^ Máximo en x=?/1
xe<7/11,1> *• f'(x) < 0 , f es decreciente
Sección 4: Tareas complementarias 645
(6) Puntos de Inflexión. f"(x) = 8(x+1 ).( 11x21^x+2).9(x1)'*/3
Si f " (x)=0 *■ x+1=0 ó 11x2-Ux+2=0 yA
x=1 7 ± 3/1 11
son las abscisas de los puntos
de inflexión.
y 3 = 6x2x3
Solución. y = 3/óx2X 3
(1) La función está definida en R.(2) La gráfica de la función no tiene asíntotas verticales ni ho-
rizontales.
Asíntota oblicua: y=kx+b (1)
k = li «l í* > = lin, l Æ z E Î = Un, ( V/T ~ 1 ) = 1X-*-co X>oo
b = lim [f(x)kxj = lim (3/óx2 x3 + x)x+»
= lim ( ■ 6x2XM° \
1 3/(6x2x3) 2x. 3v^>x2x'3+x2
Luego, en (1): L:x+y=2
(3) Inters ecciones con los ejes coordenados:
Si y=0 > x2 (6x)=0 x=0 ó x=6
La curva pasa por (0,0) y A(6,0)
(4) Intervalos de Monotonía: f'(x) = — i*~x
) *
3/x(6x)2
Para f'(x)=0 + x=4 , y para f'(x) = + x=o ó x=6
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xe<7/11,1> f (x) < 0 , f es decreciente„ . ___^>Mínimo en x=1
xe,<1,+«» *■ f'(x) > 0 , f es creciente
(5) Por tanto, lafunción pasa por un máximo en x=7/11 y por un
mínimo en x=1, quyos valores son: y(max)=2.2 , y(min)=0
Si xe<œ,0>
xe<0,4>
xe<4,6>
xe<6,+°°>
f'(x) < 0
f'(x) > 0
f'(x) < 0
f 1 (x) < 0
f es decreciente
f es creciente
f es decreciente
f es decreciente
^»fínimo en x=0
Máximo en x=4
646 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
(5) La gráfica de la función pasa por un mínimo relativo en x=0,
y por un máximo relativo en x = 4, cuyos valoresson: y(min)=0
y(max)=2. 3/Z , 8
(6) Intervalos de concavidad: f" (x) ... =p~V x (bx);
Para f"(x) = °° + x=0 (valor extremo) ó x=6
Si xe<»,0> *■ f"(x) < 0
f es cóncava hacia abajo
xe<0,6> *■ f"(x) < 0
f es cóncava hacia abajo
xe<6, +”> f11 (x) > 0
f es cóncava hacia arriba
Luego, 1(6,0) es un punto
de inflexión.
(yx)2 = x 5
Solución. yx = ±/T* «+ y = x ± /T*
(1) La línea dada es una función bivalente,
pues, define dos funciones:
y = f x(x) = x + /T= e y = f2(x) = x /xT
Ambas funcio.nes están definidas para x >,0.
(2) Ambas funciones no tienen asíntotas
(3) Pasan por el origen de coordenadas.
(4) Intervalos de monotonía:
fj(x) = 1 + 2 Jx* '• = 1 ‘ 2 ^
La ecuación fJ(x)=0 no tiene solucioes reales
Para todo x > 0 , fj(x) > 0 , la función f t crece de manera
monótona. No tiene máximos ni mínimos.
1440
Sección 4: Tareas complementarías 647
(6) Puntos de inflexión:
f!¡(x) = /x *• f” (x)>0 ,¥x>0
La gráfica de fx no tiene puntos
de inflexión, es cóncava hacia arriba.
f2 (x) = 1| /x *■ f!;(x)<0 ,¥x>0
La gráfica de f2 no tiene puntos
de inflexión, es cóncava hacia a
bajo.
Í P T 1 (yx2)2 = x5
Solución. (1) yx2 = ±/xs y
La línea es una relación bivalente que de-
fine a las funciones: y=f 1 (x)=x2+/x*" , y=f 2 (x)=x2/x*"Ambas están definidas para x > 0.
(2) No tienen asíntotas.
(3) fi pasa por el origen y f2 pasa por el origen y (1,0)
(4) Intervalos de monotonía:
fj(x) = 2x + | /c7, f¿(_x) = 2x |
La ecuación fj(x)=0 no tiene soluciones reales,portanto, fx.no
tiene extremos, es creciente ¥x>0.
Si f^(x)=0 + 2x = /x3, de donde: x=1ó/25
0 < x < 16/25 + f^(x) > 0 , Í 2 es creciente
x > 16/25 + fj(x) < 0 , f2 es decreciente
(5) Por tanto, la gráfica de f2 pasa por un máximo enx=16/25
(6) Intervalos de concavidad:
f" (x) = 2 + y'x
f'¿(x)>0 , ¥x>0, fi no tiene puntos de
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Si f J (x) =0 + /x3 = | '«»• x = V20/5
Si 0 < x < 31/2Ó/5 + f¡(x) < 0 , f2 es decreciente
x > 3/2Ó/5 + f2 (x) < 0 , f2 es decreciente
Por tanto, la gráfica de f2 decrece de manera monótona..No tiene
máximos ni mínimos.
inflexión, es cóncava hacia arriba.
f"(x) = 2 1| /£
Si fy(x)=0 + /x = 8/15 + x=64/125
0 < x < 64/125 + f!| (x) > 0
> x
650 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
x(x1)2
Solución. y = ±(x -1)/x
(1) La línea está definida para x^O , es biva-
lente, define alas funciones:fi(x) = (x1)/x y f2(x) = (x1)/?
Además, es simétrica respecto del eje X.
(2) No tiene asíntotas.
(3) Intercepta a los ejes coordenados en (0,0) y (1,0)
(4.) Intervalos de monotonía: fj(x) = ¿i —1 , fj(x)2/x
Para fj(x) = fj(x) = 0 + 3x1=0 «+ x=1/3
Si 0 < x < 1/3 * fJ(x) < O , fi es de cr ec ie nt e^ M£nim0
x > 1/3 •* fj(x) > 0 , fi es creciente
0 < x < 1/3 *■ f2 (x) > 0 , f2 es creciente M£xlmo
x > 1/3 f^(x) < 0 , f2 es decreciente
(5) Por tanto, la función fi tiene un mínimo y la función f2 tie-
ne un máximo en x=1/3» cuyos valores son, respectivamente:
y(min) = 2/3/9 , y(max) = 2/3/9
3x1
2/x
(6) Intervalos de concavidad: fj'(x) =6x+1 f"(x) =
6x+1
4x/x ¿x/x
Para f'|(x) = f"(x) = 0 + 6x+1=0 ++ x=1/6 i <0,+»>
Luego, las gráficas de fi y fj
no tienen puntos de inflexión.
f"(x) > 0 , ¥x£<0,+“>
fi es cóncava hacia arriba
f (x) < 0 , ¥xe<0,+»>
f2 es cóncava hacia abajo.
Q Q j y2 = x2 (x1)
Sección 4: Tareas complementarias 651
(3) Intersecciones con los ejes coordenados:
La curva pasa por (0,0) y (1,0)
(4) Intervalos de monotonía: f!(x) = ■■*— , f'(x) = 3x~22/xl 2/^TT
Para f'r(x)=0 + 3x2=0 +* x=2/3 i [1, +<*»
Por tanto, la curva no tieneextremos. Para x>1, f'j(x)>0 y
f^(x)<0 , es decir, fi escrecientey f2 es decreciente.
(5) La gráfica de la línea no tiene máximos ni mínimos.
(6) Intervalos de concavidad: f” (x) = — &¿(x1)3'2
Para f'J(x)=0 x = 4/3
Si 1 < x < 4/3 + f'j(x) < 0
fi es cóncava hacia abajo
Si x > 4/3 f'j'(x) > 0
fi es cóncava hacia arriba
En los mismos intervalos para
f2 obtenemos: fj[(x)>0 y f!j(x)<0
Luego, los puntos de inflexión
son : I , I2( i ¿ g )
Solución./ ” 3 _ 2
(1) y = ± J — — , la relación está definida para x<01 3x
y para x í 3/2 . Es bivalente y define a las fun
2,(x) y í*2 (x) = / ¡ 213x i 3x
Además, es simétrica respecto del eje Y.
(2) x=0 es una asíntota vertical.
Asíntotas oblicuas: y=kx+b
k = lim = lim ±(J'á2\2) = ± i ±
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Solución. (1) y = ±x/x1 , la línea es bivalente y está
definida para x=0 y x^1.
Es simétrica respecto del eje X.
(2) No tiene asíntotas
k = lim = lim ±(J á2\2) = ± ix*°° x x*» 3x *
(3) Intersección con el eje X: si y=0 ■* x = 3/5
(4) Intervalos de monotonía: f!(x) =3 x / x 2 - 2 x
Pa r a f [ ( x ) = 0 •> ' x 3 + 1 =0 x = - 1
= ±
652 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
Si xe<°°, 1> + f [ (x) > O , fi es creciente ~~^u¿ximo en
x e < - 1 , 0 > ■>■ f[(x) < 0 , fi es decreciente
xe< 3/2, +“>> + f[(x) > O , fi es creciente
Para la función f2 : f!(x) = ==~2 3x/x“2x
xe<°°, 1> + f'(x) < O , f2 es decreciente^ MínilI10 en
xe<1,0> > f¿(x) > O , f 2 es creciente
xe< 3/3’, +°°> f|(x) < O , f2 es decreciente/?;/ 1_2v3 )
(6) Intervalos de concavidad: f' (x) = — . rr x/(x 2x)
Si f'{(x)=0 + 12x 3=0
> x^/T/Z i < 3/2, +“>
Las gráficas de fi y f2 no tienen
puntos de inflexión
Si x e<-=°,0> > f'jtx) < 0fi es cóncava hacia abajo
Si x e<3/2,+°°> + f'j(x) > O
fi es cóncava hacia arriba
(5) y(max)=f i (1) = 1
y(min)=f2(1) = 1
x=1
x=1
xzy+xy2=2
Soíuc¿6n. y =x +8x
2x3y x “ + 8x > 0 , x/0
+-*■x ( x 3 + 8 )
> 0
x>0 ó x í 2
La relación es bivalente, pues define a las funciones:
. / x . >/VÑ8xfl<x> = 2 + 2x
f 2CX ) = - f -/x‘‘ + 8x
2x
Obsérvese que en la ecuación dada, al cambiar simultáneamente x
por y, dicha ecuación no se altera, por tanto, la gráfica de la
Sección 4: Tareas complementarias 653
de donde: k=1 (para k=0 , y=0)
b = lim [f(x)kx'J = lim ( ± / — x + x) = 0X~°° X" 00
Por tanto, en (1): y=x
(3) La curva no intersecta a los ejes coordenados.
(4) Para hallar los extremos de la línea, derivamos implícitamen
te la ecuación dada, esto es:
x2y 1 +2xy+2xyy' +y2=0 «>■ y ' (x2 + 2xy )+y (y+2x) =0 y ' = y (2x4y)x(x+2y)
Si y'=0 2x+y=0 * y=2x
Sustituyendo en la ecuación dada se tiene:
x2(2x)+x(2x)2 =2
de donde: x 3 = 1 x=1 *■ y=2
Luego, el punto extremo es (1,2)
Por el criterio de la segunda deri
vada se tiene:y' (2x+2xy'+2x)+(x2+2xy)y"+y(y'+2) +
+(y+2x)y'=0
Pero y'=0 para (1,2), entonces:
(x2+2xy )y" + 2y=0 y" = ----2y
Para (1,2) + y» = ----zL.
x ( x + 2y )
= 431(14)
Como y"<0 y(max)=2 para x=1
3y > 0 , x/a
O S E O y2 ~ x2 (~^y) » a>0 (estrofoide)
Soiución. (1) y = ± x l ax ax
*-*■ a x < a
Luego, el dominio de la relación es [a, a>
Su gráfica es simétrica respecto del eje X.
Además, es bivalente, pues define a las funciones:’
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relación es simétrica respecto de la recta y=x.
(2) Las asíntotas vertical y horizontal son: x=0 , y=0
Asíntota oblicua: y=kx+b (1)
k = lim = lim ( 4 ± 4 /i + 87x 3) = 4 ± 4xx» X X + o o
f.<*> • * /S ¡ y ü m - .„/Sí •(2) x=a es una asíntota vertical.
(3) La gráfica de la relación pasa por el origen e intercepta al
eje X en el punto x=a.
654 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
(4) Intervalos de monotonía:
../ % _ x2axa2 pt(v) = _____
1 X (a+x)/x2a 2 ’ 2 (a+x)/x2a2
£ + a/5Para f}(x)=0 + x2axa*=0 ++ x = — ---
x = §(1 / 5 ) ó x = f(1+/5) i ra.a>
Luego, un valor extremo para fi y es: x = tj(1/5)
Si xe<a,f(1/5)> + f'(x) > 0 , fi es creciente¿ 7> Máximo
xe<|(1/ 5 ),a> + 'fj(x) < 0 , fi es decreciente
Para la función f2 :
Si xe<a,§(l/5)> * fl(x) < 0 . fz es decreciente
xe<|(1/5 ),a> + f^(x) > 0 , f2 es creciente
(5) En consecuencia, fi y f2 pasan
por un máximo y mínimo respec
.mente para el
cuyos valores son:
> Mínimo
tivamente para el punto x= §(1/5),
\ /5/511y (max) = a J --- j—
y (min)„ /5/5r_ a yí--- 7-
9y2 = 4X3 x11
So tuci&n. (1) y i •/U'A-y 3y 4.xx2 0
+•+ x(x4) •< o
+*■ 0 í x í 4
Lagráfica de la relación es simétrica respecto del eje X.
Es bivalente, define a las funciones:
f 2 (x)f 1 (x) = j A x x 2 3
Sección 4: Tareas complementarias 655
fj(x) = 2x(3x)
3/Zxx2
f.¡(x) = _ _2,x(3 x}
3/4-x -j
Máximo en x= 3
Para fj(x) = f](x) = 0 •> x=0 ó x=3
Si xe<0,3> + fi(x) > 0 1 fi es creciente
xe<3»4> ♦ f^(x) < 0 , fj es decreciente
Para la función f2 :
Si xe<0,3> '* f I Cx ) < 0 , f 2 es decre ciente^ ,,, .2 ¿ J> Mm im o en x3
xe<3. A> f](x) > 0 , f2 es creciente
(5) Por tanto, las gráficas de fj y f 2 pasan por un máximo y un
mínimo, respectivamente, en el punto x=3 , cuyos valores son
y(max)=/3 , y(min)=/J
(6 ) Intervalos de concavidad:
= 2(x26x+6) ■ T ”2f»(x) = , fn(yV = . 2íxj 6x+6)
/x./U^xP /x./(4x)3
x=3+/3 i [0 ,4]Si f'.¡(x) = f '(x) = 0 *■ x 26x+6=0
+*■ x=3/J ó
Si xe<0,3/3> + V\(x) > 0
fi es cóncava hacia arriba
xe< 3/3,4> fy(x) < 0
fj es cóncava hacia abajo
Para la función f 2 :
Si xe<0,3/3> + fj(x) < 0
f2 es cóncava hacia abajo
xe<3/3, 4> * f"(x) > 0
f2 es cóncava hacia arriba
Luego, x=3/J es la abscisa delpunto de inflexión de fi y f2.
J 25yz = x2 (4x 2 ) 3
Sotudón. (1) y = ± ^(4x2)3/2 >• 3 y
+ + - 2
L l ió bi l t d fi l f i
8/13/2019 Problemas y ejercicios de Análisis Matemático Tomo 1 - FL
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j 3(2) Ambas funciones no tienen asíntotas.
(3) Si y=0 *• x 3 (i-x) =0 w x=0 ó x = 4
La curva pasa por (0,0) y (4,0)
(4) Intervalos de monotonía:
La relación es bivalente, define a las funciones:
f 1 (x) = |(4 x 2 ) 3/ 2 f 2 (x) = fU x 2)3/ =
La gráfica de la relación es simétrica a los ejes coordena-
dos y al origen.
(2) No tiene asíntotas.
656 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
fj(x) = (1+x) (1 x )A x 2
(3) Para y=0 *■ x=0 ó x=±2
La curva.pasa por (0,0) , (2,0) , (2,0)
(4) Intervalos de monotonía:
f¡(x) = (■1+x)(1x)/i^r
Para fj(x) = f¿(x) = 0 +x=1 ó x=1
Si xe<2,1> f[(x) < 0 , fi es decreciente
xe<1,1> fj(x) > 0 , fi es creciente
xe<1,2> > f[(x) < 0 , fi es decreciente
(5) Por tanto, fi pasa por un mínimo en x=1 y por un máximo en
x=1, cuyos valores son: y(min)=3/5/5 , y(max)=3/3/5
Análogamente, f2 pasa por un máximo en x=1 y por un mínimo
en x=1, esto, es: y(max)=3/5/5 , y(min)=3/5/5
(6) Intervalos de concavidad: f"(x) = — -¿2.">/¿X2
Mínimo en' x=1
Máximo en x=1
i=±/5
5/4x
y*Para fy(x)=0 x=0Si xe<2,/3> t fj(x) < 0
fi es cóncava hacia abajó
xe</3,0>f" (x) > 0
fi es cóncava hacia arriba
xe<0,/3> + f'j(x) < 0
fi es cóncava hacia abajo
xe</3,2> f ’(x) > 0
fi es cóncava hacia arriba
Luego, los puntos de inflexión
de las gráficas de fi y f2 son (0,0), (±/3,±/5/5)
\ j \ \ / ¡ \ i
¡ i / 1 iv.r i v-¿ V i-i -oy 11 s 2
i \ ! / \ i hV ¡ / f e
= x2 x1'
Solución. (1) y = ± x/lx2 ay 1x2 i o
X2 :%• 1 +* 1<X<1
La gráfica de la relación es simétrica respecto a los ejes
coordenados y al origen.
Es bivalente define a las dos funciones:
Sección 4: Tareas complementarias 657
f.(x) = iJlgx2 )1 /1 x2
f 2 (x) = ~ ~ r
Para fj(x) = f^(x) = 0 •> x = /2/2 ó x = /¡?/2
Si xe<1,/2/2> *■ f!(x) < 0 , fi es decreciente — .1 Mínimo
xe</2/2,/2/2> f[(x) > 0 , fi es crecientexe</2/2,1> fj(x) < 0 , fi es decreciente'"'"3’ M®xinl0
(5) Por tanto, fi pasa por un mínimo en x=/2/2, y por un máximo
en x=/2/2, cuyos valores son: y(min)=1/2 , y(max)=1/2
Análogamente, en f2, obtenemos:
y(max)=1/2 , para x=/2/2 ; y(min)=1/2 , para x=/2/2
(6) Intervalos de concavidad: fn(x) = xi .2.x23L/(1x2)3
Para fy(x)=0 + x=0 ó
Si xe<1,0> + f'j(x) > 0
fi es cóncava hacia arriba
xe<0, 1> + f'¿ (x) < 0fi es cóncava hacia abajo
Luego, 1(0,0) es el punto de
inflexión de fj.
Análogamente se deduce que I
es el punto de inflexión de f2
JJ x2y2 = 4(x1)
Solución. (1) y '= ± ¿ /x1 •+■ 3y ++ x í 1
La gráfica de la relación es simétrica
respecto del eje X. Es bivalente, pues define a las funcionesfi(x) = /x1 y f2(x) i
(2) lim fj(x) lim f2(x) 0. + y=0 es una asíntota horizontalx»“ X+“>
(3) Para y=0 •+■ x=1 , la curva pasa por (1,0)
(4) Intervalos de monotonía: f!(x) = — ~xx2/ÍTi
, f'(x) = 2x
x2/3TT
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Es bivalente, define a las dos funciones:
f*(x) = x/1x2 f2(x) = x/lx
(2) La gráfica de la relación no tiene asíntotas
(3) Intercepta a los ejes coordenados en (0,0), (1,0) y (1,0)
(4) Intervalos de monotonía:
Para fj(x) = f¿(x) = 0 + x=2
Si xe<1,2> f'(x) >. 0 , fj es creciente
x e < 2 , + “ > f } ( x ) < 0 , f i e s d e c r e c i e n t eMáximo en x=2
658 Capítulo 4: Análisis de las Fundones
Luego, en fi tenemos: y(max)=1
y en f2, y(min)=1 , para x=2
(6) Puntos de inflexión:
f"(x)
3x212x+8
2x3/(x1)3
Si f"(x) = 0 + 3x212x+8=0
6+2/T / 62/3 j n«*• x = -- o X = — ------- ¿ t u >
Luego, la abscisa de los puntos
de inflexión de fi y f2 es:
x =6+2/3
y2(2ax) = x3 , a>0 (Cisoide)
Solución. (1) y = ± x 2a?x
«+ 0 x < 2a
La curva es simétrica respecto del eje X. La relación es bi-
valente, define a las funciones:
= * v /s r - f z ( x ) = - x / s í
(2) lim fi(x) = lim f2(x) = ® + x=2a es una asíntota verticalx+2a x+2a
(3) La curva pasa por el origen de coordenadas.
(¿) Intervalos de monotonía:
f, (x) =/ (2ax)3
Para f'(x)=0 + x=0 ó x=3aAmbos puntos no pertenecen al inter
valo <0,2a>, por lo que la gráfica
de la relación no presenta extremos,
fi es creciente y f2 es decreciente
para xe<0,2a>.
para x=~
Sección 4: Tareas complementarias 659
>+ x 1 ó x ^ 2 , xj¿0 ++ xe<” , 0>U<0,1]U [2,+«>>
La curva es simétrica respecto del eje X.
La relación es bivalente, dado que define a las funciones:
fi (x) = ¿flsrÜ Isz2?. y f2(x) = ■ á xz 1)(.X2)
(2) lim fi(x) = 1X+co
lim f2(x) = 1X+oo
Entonces, y=1 e y=1 son asíntotas horizontales.
lim fi(x) = lim f2 (x) = " + x=0 es una asíntota verticalx+0 x+0
(3) Para y=0 + x=1 , x=2 ; la curva pasa por (1,0) y (2,0)
(4) Intervalos de monotonía:
3x¿fÎ(x) = fí(x) = 3x4.
2x2/(x1)(x2)
x=¿/3 i Dom(fi y f2)
2x2/(x1)(x2)
Para f}(x) = fj(x) = 0 h
Luego, fi y f2 no tienen extremos.
Dado que lo.s denominadores de fj(x) y fj(x) son siempre positi-
vos ¥xeDom(fi y f2 ), el signo de las derivadas, en los entornos
de x=0, x=1 y x=2, lo determina el numerador ±(3x¿)
Si xe<<», 0> + f J (x)<0 y f£(x)>0 ,
fi es decreciente y f2 es creciente
xe<0,1> + fJ(x)>0 y f¡(x)<0
fi es creciente y f2 es decreciente
xe<2,+”> + f|(x)<0 y f](x)>0
fx es decreciente y f2 es creciente
(5) La gráfica de la relación no tiene máximos ni mínimos
(6) Puntos de inflexión:
12x3+51x272x+32
2x V(x 1 )3(x2)3
Si f"(x)=0 + 12x351x2+72x32=0
La ecuación admite una solución
en el intervalo <0,1> para el
cual existen dos puntos de in-
flexión
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x2y2 = (x1)(x2)
S o l u c i ó n . , (1 ) y+ /(x1)(x2¡
+ 3y -*-+ ( x- 1 ) (x -2 X > 0 , x¿ 0
flexión.
660 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
x2y 2 (a+x)3(ax) , a>0 (concoide)
Solución. (1) y = ±a+x /a2>
ay a2x2 0, xjíO
x2 a2 , x/0 »* a x a , x/0La gráfica es simétrica respecto del eje X. Es bivalente, de
fine a las funciones: fx(x)a+x Á y f; (x) = a ± V ^
(2) lim fj(x) = lim f2(x) = » + x=0 es una asíntota vertical' x+0 x+0
(3) Para y=0 x=a , x=a . La gráfica corta al eje X en los pun-
tos (a,0) y (a,0).
(4) Intervalos de monotonía:
f|(x) = a3+x3
c2/a2-y., f¡(x) =
a3+x 3
x2/a2x2
f | (x) < 0 , ¥xe<a,a> + fj es decreciente
f * (x) > 0 , ¥xe<a, a> •> f2 es creciente
(5) En consecuencia, la gráfica no tiene extremos, esto es, no
tiene máximos ni mínimos.
(6). Puntos de inflexión.
i,/ > _ a2(x+a)(x2+2ax2a2)
x3/(a!i x T
Si f"(x)=0 x2+2ax2a2=0
x = a+a/3 x
Sustituyendo en .(1) obtenemos los
puntos de inflexión:
Ii(a/3á, \/27/4a)
IJ (a»^a,,,/27/4a)
11) y = ±
J J 2 3 1óy2 = (x24)2 (1x2)
Solución.*
+ 3y <>■ 1x2 > 0 , x24=0
Sección 4: Tareas complementarias 661
La relación es bivalente, define a las dos funciones:
f i ( x ) f2 (x) = .(-XÍlÍj/ T T 2
(2) No tiene asíntotas
(3) Intersecciones con los ejes coordenados
Con el eje X: y=0 ♦ 1x2=0 x 4=0
x=±1 ó x=±2 (puntos aislados)
Con el eje Y: x=0 *■ I6y2 = 1ó +* y=±1
(4) Intervalos de monotonía: f[(x) = — ^, fj(x) = — ^~'¡H
Para fj(x) = f|(x) = 0 x=0
Para la función f j:
Si x£<1,0> *■ fj(x) < 0 , fi es decreciente
xe<0,1> + fJ(x) > 0 , f¡ es creciente
Luego, y(min)=1 , para x=0
Para la función Í 2 :
Si xe<1,0> ■>
fj es creciente
XE<0, 1>
f2 es decreciente
Por tanto, y(max)=1 , .para x=0
(6) La gráfica no tiene puntos
de inflexión. >
4/ 1
ó x=±/2 t <1, 1 >
Minino en x=0
f'(x) > 02
f](x) < 0
y2 = (1x2 ) 3
Solución. y = ± (1x2)/lx2
*■ By 1x2 > 0 t 1**• 1 í x 1
La gráfica es simétrica respecto de los ejes coordenados
Es bivalente, define a las dos funciones:
fi(x) = (1x2)/lx2 y f2 (x) = (1x2)/lx2
(3) Intesecciones con los ejes coordenados:
Con el eje X: y=0 + x2 = 1 *>■ x=±1
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+ 3y <>■ 1 x2 > 0 , x2 4 0
x2 1 , x = ±2
+->■ 1 < x 1 i x = ±2
La gráfica es simétrica respecto a los ej.es coordenados
Con el eje I: x=0 > y2=1 ++ v=±1
(4) Intervalos de monotonía: fj(x) = 3x/lx2 , f'(x) = 3x/l x2
Para fj(x) = f^(x) = 0 > x=0 ó x = ±1 i <1,1>
662 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Si xe<1,0> + f J (x) > O , fi es creciente en x=0
xe<0,1> * f|(x) < 0 , fi es decreciente
Si xe<1,0> + fj(x) < O , f2 es de cr ec ie nt e^ Mínitno en x=0
xe<0,1> *■ f’(x) > O , f 2 es creciente
(5) Por tanto, fx y f2 tienen un máximo y mínimo, respectivamen-
te, para x=0, cuyos valores son: y(max)=1 , y(min)=1
(6) Puntos de inflexión: f"(x) = 3^ 2 x _ Q1 /lx2
Para f1' (x)=0 + 2x21=0
Entonces: y (11/2):
de donde: y = ± /2/4
Luego, existen cuatro puntos de
inflexión: I (±/5/2, ±/2/4)
gESTI y 2xl* = (x21)3
Soiución. (1) y = ± (—— )/x21x2
>• 3y x2 > 1 ■*-*■ x < 1 ó x >s 1
La gráfica es simétrica respecto de los ejes coordenados
Es bivalente, define a las dos funciones:
fl(x) = (ilzl) /^7 í y f 2 (x) =x2 x2
(2) La gráfica no tiene asíntotas verticales ni horizontales.
Asíntotas oblicuas: y=kx+b (a)
k = lim í M = lim t(*!ll)(.!ÍÜp) = ±1X*“ X X*” X 2
b = lim [f(x)kx] = lim f"(í—^ ) / x 21 xl =X+00 V2 •X+°°
x_1 >
x2
Luego, en (a) se tiene: y=±x
(3) Para y=0 >* x=±1 , la gráfica intercepta al eje X en los pun
tos (1,0) y (1,0). 2 ____
Sección 4: Tareas complementarias 663
(6) Puntos de inflexión:
f"(x) = Sí*-*2) x V x 21
Para f" (x)=0 *■ 2x2=0 ++ x=±/2
Sustituyendo en (1): y=±1/2Luego, los puntos de inflexión de
la gráfica son: I(±/?, ±1/2)
2x
Solución, y = ± ex
(1) La relación está definida para x>0. La grá
fica es simétrica respecto del eje Es bivalente, define a
las funciones: fi(x) /2ex f 2 ( X ) = 'Zex e e
(2) lim fi(x) = lim f2(x) = 0 •> y=Ó es una asíntota horizontalX+oo xyco
(3) Para x=0 + y=0 , la curva pasa por el origen.
(4) Intervalos de monotonía: f'(x) = 1 ~2x) f'(x ) = e(12x)ex/2ex ex/2ex
Para fJ(x) = f *(x) = 0 + 12x=0 «+ x=1/2
Si xe<0,1/2> + f! (x) > 0 , fi es creciente ,, , .. . 1 Máximo en x=1/2
xe<1/2,+«» *■ f'(x) < 0, fi es decreciente
xe<0,1/2> + fj(x) < 0 , f2 es decreciente
xe<1/2,+«> + f • (x) > 0, f2 es creciente ^Mínimo en x=1/2
(5) Luego, fj y f2 pa3an por un máximo y mínimo,respectivamente
„ en x=1/2, cuyos valores son: y(max)=1 , y(min)=1
(6) Puntos de inflexión:
fjfx) = e(¿x24xlj_
2xex./2ex
Para f'1'(x)=0 *■ 4x24x1=0
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(4) Intervalos de monotonía: f'(x) = )/x21x 3
Para f'(x)=0 x21=0 «*■ x=±1 i <“ , 1>U< 1, +“»
fi(x)=co»x=0 i. < », 1 >U< 1,' +“>>
(5) Por tanto, la gráfica de la relación no tiene extremos.
+ x =2
es la abscisa de los puntos de
inflexión de fi y f2.
664 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
BE3 y = e 1 / x - x
Solución. (1) La función está definida en R{0)
(2) lim f(x) = 00 x=0 es una asíntota vert.x+0
Asíntota oblicua: y=kx+b (a)
k = lim = lin (— -- — ) = lim -----1) = 1X+oo X X+OO X X+oo
b = lim [f(x)kx] = lim ( e ^ xx + x) = lim (e x) = 1X-VOO X-* oo X->-co
Luego, en (a): y=x+1 ** L:x+y=1
(3) Para y=0 + e1/,xx=0 , la gráfica de la función intercepta al
eje. X en el punto que satisface la ecuación e
(¿) Intervalos de monotonía: f'(x) e1/x + x2
x2. /
Dado que f'(x)^0 , la gráfica de la función no tiene extre-mos, es decreciente en todo su dominio.
(5) Puntos de inflexión: f"(x) = (
Para f” (x)=0 + 1+2x=0 ■*+ x = 1 /
Luego, el punto de inflexión es
í>l(¿,e"2+
r i m Tanxu ü l y = e
Solución. (1) La función está definida en R, excepto pa-
ra x = kn + , donde k=0,±1,±2, ...
Como Tan(x+tt) =Tanx , la función es periódica (T=ir)
(2) Las asíntotas verticales de la curva son: x = kn + j
(3) L áfi i t t l j Y l t (0 1)
Sección 4: Tareas complementarias 665
(6) Puntos de inflexión
f" (x)=eTanxSec2x(1+Tanx)2
También f"(x)>0 , VxeDom(f),
luego, la gráfica es cóncava
hacia arriba, no tiene puntos
de inflexión.
1
ix|y = 1x.e' |JW cuando x/0 , y = 1 para x=0
Solución. Cuando x>0 •> |x|=x , la función es equivalente
a y=1xe” x . Cuando x<0 + |x|=x , la función
es idénticamente igual a la función lineal: y=1x . De modo que:
r 1 x , si x<0
f(x) = ■ 1 , si x=0
. 1x. e“2/,x , si x>0(1) La función está definida en R.
(2) Asíntota oblicua: y=kx+b (a)
2/xk = lim liül = lim (_xe ) = lim (i e'2/x) = i'
= 1 + li» = 1 + ilB r0e~2/x(2/x2)]x+co 1/x x+co * 1/x2 »
X + “ X X + “ ■■ X + 00
b = lim Tf(x)kx] = lim (lxe2^x+x) = lim [l + x(1e*2^x)lX*00 X+00 X'*00
,2/x
X+oo 1/x x+co
= 1 + lim (2e"2/,x) = 1 + 2 = 3X+oo
Luego, en (a): L: y=x+3
('3) Intervalos de monotonía para la función fi(x) = lxe"2^ , x>0
f'i(x) = -(*±2)e-2/x
Para f ’i(x) = 0 + x+2=0 +•+ x=2 i <0, +■»>
Luego, la función fi no tiene extremos,, es decreciente Vx>0.
’(4) d i fl ió f"i( ) ( 1) 2/
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(3) La gráfica intercepta al eje Y en el punto (0,1)
(¿) Intervalos de monotonía: f'(x) = e^anxSec2x
Como f'(x) > 0, ¥xeDom(f), la función es creciente y no tie-
ne extremos.
’(4) Puntos de inflexión. f"i(x) = ¿(£¿1) e_2/,xx3
Para f"i(x) = 0 + x+1=0 <*• x=1 t <0,+°°>
Por tanto, la grafica de fi no "tiene puntos de inflexión, es
66 6 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
cóncava hacia abajo.
(0,1) es el punto angular de,
la gráfica con dos tangentes
diferentes.
y = x24|x|+3
Solución. Si xJO >■ |x|=x , y si x<0 |x|=x
x24x+3 , si .x 5 0 (f i)
x2+¿x+3 , si.x < 0 (f2) •
(1) El dominio de la función es R
La gráfica es simétrica respecto al eje Y , f(x)=f(x)
(2) La gráfica de la función no tiene asíntotas.
(3) Interceptos con los ejes coordenados:
Con el eje X: fi(x)=0’ x24.x+3=0 «*■ x=1 ó x = 3
f2 (x)=0 » x2+4x+3=0 <*• x=1 ó x=3
Con el eje Y: x=0 y=0 , la curva pasa por el origen.
(4) Intervalos de monotonía:
fi(x)=x2¿x+3 + f }(x)=2 (x2) , si fj(x)=0 x=2
f2(x)=x2+4x+3 + fJ(x)=2(x+2) , si f2 (x)=0 ■> x=2
En fi: xe<0,2> fj(x) < 0 , f, es de cr ecie nte^ , KÍniln0 en x=2
xe<2,+“> ■> fJ(x) > 0 , fi es creciente
En f2 : xe<<»,2> fj(x) < 0 , f2 es de cr ec ie nt e^ M£nimo en x=_2
xe<2,0> fj(x) > 0 , f2 es creciente
(5) Por tanto, fi y f2 pasan por un mínimo en x=2 y x=2respecti
vamente, cuyo valor es: y(min)=1 y
(6) Intervalos de concavidad:
Como f"(x)=f2(x)=2 > 0 ,
la gráfica de la función no
tiene puntos de inflexión
1464
Sección 4: Tareas complementarías 667
En los ejercicios U6 5 K6 9 analizar las funciones dadas en
forma paramétrica y trazar sus gráficas.
x=t ’ + 3t+1 , y=t s3t+1
Solución. (1) Las funciones x=f(t) e y=g(t) están defini
das ¥teR, y la función y=F(x), ¥xeR.
(2) La gráfica dela función no tiene asíntotas.
(3) Intervalos de monotonía: f 1(t)=3(t2 +1) , g 1(t)=3(t21)
+ F'(x) = g'i/y. = i!zl = G(t)f'(t) t2+1
Para F 1 (t) =0 t21=0 +*■ t=1 ó t = 1
Si te<<»,1> ■* F'(x) > 0 , F es cre ci en te__ , , . ,, Máximo en t=1
te<1,1> * F'(x) < 0 , F es decreciente
te<1,+“>> >• F 1 (x) > 0 ,F es creciente "^"Minimo en t1
(4) Para t=1 + x = 13+1 = 3 , y = 1+3+1 = 3
t = 1 + x = 1+3+1 = 5 , y = 13+1 = 1Luego, el punto máximo es (3,3) y el mínimo es (5,1)
(5) Puntos de inflexión: G'(t) = — — ---(t2+1)2
F" (x) = ~ (t) = ---AÍ-- ; para F'(x)=0 + t=0f'(t) 3(t2+1)3
Si te<“,0> *■ F" (x) < 0 , F es cóncava hacia abajo
te<0,+“ > + F"(x) > 0 , F es cóncava hacia arriba
Por tanto, la gráfica de la función tiene,un punto de inflexión
en 1(1,1) , para t^O. Cuando x .+ el ángulo de inclinación de
la línea hacia el eje X tiende a ¿5°.
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tiene puntos de inflexión.
Obsérvese en la gráfica que
y(max)=3"para x=0. El punto
(0,3) es el punto angular de lagráfica con 2 tangentes diferentes.
66 8 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
x=t33n , y=t36arcTant
Soiuai&n. (1) Las funciones x=f(t) e y=g(t) están definí
das ¥tgR, y la función y=F(x) , •VxeR.
(2) Asíntota oblicua: y=kx+b (a)
, i > n . ,t36arcTant> _ ^3t2 6/1+t2 ^k = lim (i) = lim (----------- ) = lim (----------- — ;
t-H» X t+00 t 3 - 6 tt t-*«>
= lin 3t H 3 t ^ = 1
t+® 3t2(1+12)
b = lim (ykx) = lim (t36arcTantt3 + 3tt)i,>±oo
= lim (3ir6arcTant) = 3tt 6(5) = Ot++»
= lim (37r6arcTant) = 3ir 6( ?) = 6irt>00
Luego, en (a), las asíntotas son: Lj:y=x , L2 :y=x+6ir
3t2
lia (3iróarcTant)"t> + oo
(3) Intervalos de monotonía: f'(t)— 3t2 , g'(t) =
+ F'(x) = = .3(t2+2)(t*1) = Q
f'(t) 3t2(1+t2)
Para F '(x)=0 »■ t21=0 «*■ t=1 ó t=1
Si tE<“ >1> F'(x) > O , F es creciente
te<1,1> F'(x) < 0 , F es decreciente
te<1,+<x>> > F'(x) > 0 , F e s creciente
3t ‘* + 3t26
1+t2
* > Máximo en t=1
Mínimo en t=1
(4) Para t=1
t=1
y = - 1 + I71X = 13*
x = 1371 , y = 1 J*
Luego, el punto máximo es (1 3 , 1 + 3ti /2) y.el mínimo es(13ir,13"/2) y^
(5) Puntos de Inflexión: G'(t) = ■
F" (x)f'(t)
4(1+2t2)
3t5(1+t2)2
Para F" (x) = 00 + t=0
Si t < 0 + F"( ) < 0
Sección 4: Tareas complementarias 669
_ 3t
1+t3
3t
1+t3(Folium de Descartes)
Soíac-iin. (1) Las funciones x=f(t) e y=g(t) están defini_
das ¥teR, excepto t=1.
(2) Asíntotas. Dado que lim f(t) = +00 y lim g(t) = «>t+1’ x+1
o bien: lim ,f(t)t1 +
lim ,g(t) = +°°t*1 +
la gráfica de la función no tiene asíntotas horizontales ni
verticales.
Asíntotas oblicuas: y=kx+b (a)
t) = 1k = lim (y) = lim _( — — ) = lixv+oo x t+1
Lim
b = lim (ykx) = lim ( 3tJ 3t 3t•) = lim (1+t3 t+1* 1t+t2
= -1
= 3t(2t3)
(1+t3)2 .
= 0 (t) (b)
x+ +°° t>1 1+t3
Luego, en (a): L:y=x,1
Al mismo resultado se llega cuando x *■
(3) Intervalos de monotonía: f'(t) = g ’(t)(1+t3)2
F'(x) S ' M t(2t3) =
f'(t) 12t3
Para F'(x)=0 y F'(x)=°° , los números críticos son, respectivamén
te: t=0 , t = 3/2 , t=3/Í/2
Si t < 1 ■* F'(x) < 0 , F es decreciente
1 < t < 0 >■ F'(x) < 0 , F es decreciente
0 < t < 3/l/2 F'(x) > 0 , F es creciente
Vl/2 < t < 3/2 + F'(x) < 0 , F esdecre ci entet > 3/2 + F'(x) > 0 , F e¡
Obsérvese en (b) que cuando t=0
entonces F '(x)=0, es decir la
tangente es horizontal en (0,0)
(si t=0 * x=y=0).Cuando t*« , en
tonces F'(x) *■ es decir, la >x
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Si t < 0 + F"(x) < 0
F es cóncava hacia abajo
t > 0 F" (x) > 0
F es cóncava hacia arriba
Luego, para t=0 l(3ir,0)
.tangente es vertical en (0,0),
(si t+°° * x=y = 0). Por tanto, la
curva pasa dos veces por el ori
gen, esto es, (0,0) es un punto
670 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
múltiple, los ejes coordenados sirven de tangente en este punto.
También en (b) : si t= s/2 + x=’/2 , y=3/Z , F'(x)=.0; luego, en
A( 3/2 , 3/Z) la tangente es horizontal. Si t = Vl /2 x=3/¿,
y = 3/2 , F'(x)=“ , luego, en B(3/¿,3v/2) la tangente es vertical.
x=te y=te"
Solución, (1) Las funciones x=f(t) e y=g(t) están defini-
das ¥teR, y la función y=F(x), ¥x>1/e
(2) Asíntotas: lim f(t) = lim g(t) = lim (”r) = lira (“+") = 0e t**+°° e
Entonces: y=0 es una asíntota horizontal.
) olim f(t) = lim (tet co t*00
Entonces: x=0 es una asíntota vertical
; lim g(t) = lim (te*1)t*00 t00
(3) Intervalos de monotonía: f'(t)=e^(t+1) , g 1 (t) =e~1:' (1 t)
F 1(x ) = J L Ü Ü = ( ^ ± )f'(t) 1+t
e‘2t = G (t) (a)
Para F'(x)=0 y F'(x)=“> , lo's puntos críticos son t =1 y t = 1
Si te<“ ,1> F'(x) < 0 , F es decreciente
te<1,1> > F'(x) >0 , F ’es creciente
.tc.<1,+«»> F'.(x) < 0 , F .es .decreciente •
-1x=e
Mínimo en t = 1
> Máximo en t=1
1(4) Para t = 1 + x=e~' , y = e , para t = 1 x=e , y = e
r 1 /Luego, el punto mínimo es ( —,e) y el máxi mo(e,1/e)
(5) Puntos de infle2t
n: De (a): G * (t) = ¿íllzilg— (1+t)J
+ F"(x) = 1 Ü 1 1 = 2(t22)8~2tf'(t) (1+t)3
Para F"(x)=0 * t22=0 ** t=±/2
Si te<«,/2> >* F" (x) < 0
F es cóncava hacia abajo.
te</2,1> i F" (x) > 0
F es cóncava hacia arriba
te<1,/2> > F"(x) < 0
>x
Sección 4: Tareas complementarias 671
Por tanto, la gráfica de la función tiene dos puntos de infle-
xión. Para t=/2 + 1 1 (/2/ev/2,/2. e1 )
para t=/2 + I2 (/2. e/2,/2/ / 1 )
Obsérvese en la gráfica que, cuando 1/e<x<0 la función es biva-lente, y cuando x>0, la función es univalente. Además la línea
es simétrica respecto a la recta L:x+y=0.
CHD x=2aCostaCos2t , y=2aSentaSen2t (Cardiode)
So ¿uci&n. (1) La cardiode es una curva cerrada para
te[o,2ir]. Si x=f(t) e y=g(t), entonces
f(t)=f(t) y g(t)=g(t). La línea es simétrica respecto del
ej e X.
(2) Intersecciones con los ejes coordenados:
Con el eje X: Si t=0 x = 2aa = a
t=?r x = 2aa = 3aCon el eje I: Si t=n/2 + y = 2a(l)a(0) = 2a
t-3ií/2 y = 2a(1)a(0) = 2a
(3) Intervalos de monotonía: f'(t) = 2a(Sen2tSent)
g'(t) = 2a(CostCos2t)
Entonces: F'(x) = .L'.W = CostCos2tf '(t) Sen2tSent
Para F'(x)=0 ■+■ CostCos2t=0 «*• 2Cos2tCost1 =0
«r* Cost = 1 ó Cost = 1/2
t=0 ó t=2n/3 ó t =4ir/3
Para F'(x)=® + Sen2tSent=0 Sent(2Cost1) =0
Sent = 0 ó Cost = 1/2
t=7r ó t=n/3 ó t = 5ir/3
A
X
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F es cóncava hacia abajo
te</2,+“> + F"(x) > 0
F es cóncava hacia arriba
672 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
(4) Por el criterio de la primera derivada, la curva pasa por un
máximo para t=2n/3 y por un mínimo para t = 4Tr/3, y cuyos valo
res son: Max( ga,3a!^) Min ( |a,
(5) La gráfica de las ecuaciones dadas no tiene puntos de infle-
xión.
En los ejercicios 14701477 analizar las líneas cuyas ecua-
ciones son dadas en el sistema de coordenadas polares.
(Nota. Se admite aquí que si r(0)<O, en elcorrespondiente
rayo no existe el punto de la gráfica).
1JEM¡| r = aSen30 (rosa de tres pétalos)
Solución. (1) Intersecciones:
a) Con el eje polar: Si 0=0 ó 0=7T + r=0
\ Ño existe intersección,
b) Con el eje a 90°': Si 0=it/2 + r=aSen (3tt/2) = aComo r<0, no existe el punto (tt/2, .a)
Si 0=3tt/2 + r=aSen(9ir/2) =aSen(ír/2) = a
(2) Simetrías, (a) Con el eje polar: f(6) = Sen38 / f(6)
No es simétrica
(b) Con el eje a 90°: f(iT0) = aSen3(ff0) = aSen36 = f(0)
Si es simétrica
(c) Con el polo: f(tt+0 ) =aSen3(iT + 0 ) =aSen38 , no es simétrica
C3) Tangentes en el polo. Se obtienenhaciendo r = 0
Si r=0 Sen30=O 39 = 0 , tt, 2tt, 3tt, ítt , 5tt
► + 6 = 0 ,t t /3 , 2 t t /3 , t t , 4t t /3 , 5t t /3
(4) Extensión. Del paso anterior se deduce que la función r=f(6)
está definida en los intervalos:
lo, tt/3] , [2n/ 3, ttJ , [4tt/3, 5tt/3J
(5) Valores extremos: >■ 3aCos30
Para = 0 + Cos38 = 0
<»• 30 = tt/2 , :3tt/2 , 5tt/2~, 9tt/2
Sección 4: Tareas complementarias 673
Q Q J r = aTan8
Solución. (1) Intersecciones:*1'a) Con el eje polar: Si 6=0 ó 6=ir + r=0
La curva pasa por el polo.
(2) Simetrías:
a) Con el eje polar: f(6) = aTan6 / f(6) No es simétrica
'b) Con el eje a 90°: f (ir0) =aTan0 £ f(9) No es simétrica
c) Con el polo: f (tt + 0) = aTan6 = f(0) Si es simétrica
(3) Tangentes en el polo:
Para r = 0 * Tan6 = 0 6=0 ó 6=tt
(4) Extensión: Si r + entonces Tan8 + +~+ 0=tt/2 ó 6 = 3tt/2
La función está definida en los intervalos:
[0 ,tt/2>U[tt,3tt/2 >
Las rectas x=a y x=a so las asíntotas verticales.
(5) Valores extremos: 4? = aSec2(
Sec26=0
No existe' soluciones reales
Como > 0 ,V0eDom(f), la fun-
ción es creciente, por tanto no
tiene valores extremos.
I W I r = a(1 +Tan0 )
Solución. (1) Intersecciones:
a) Con el eje polar: 0=0 ó 0=tt r = a
b) Con el eje a 9 0 ° : Para 0 = t t / 2 , r no existe
(2) Simetrías:
a) Con el eje polar: f (0)= a(1Ta n0) / f (0) . No es simét.
b) Con el eje a 90°: f(ir0) = a(lTan0) / f(8) . No es sim.
c) Con el polo: f (tt+0 )=a( 1+Tan0) = f(0) . Es simétrica.
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<» 30 tt/2 , :3tt/2 , 5tt/2 , 9tt/2
*■■*6 = tt/6 tt/2 (r<0) , 5tt/6 , 3t/2
Luego: 0 = t t / 6 , 5 t t / 6 , 3tt/2 son puntos extrenos.
( 3 ) Tangentes en el polo:
Si r=0 + Tan0 = 1 *> 6 =3 t t / 4 ó 6 =7 t t / 4
( 4 ) Extensión. Lá función está definida en los intervalos:
674 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
[O, it /2 > U [3 tt / 4 , 3 i r /2> U [7 t f / ¿ , 2 tt3
di*(5) Valores extremos: = aSec
Si = 0
No existe solución, por tanto,
la función no tiene extremos.
aSec 0=0
/ TT [La gráfica tiene como asíntotas a
las rectas: x=2a , x=2a.
(6) Punto de inflexión:
= 2aSec20Tan0d02
Para Aí1 = 0 Tan9=0 0=0d02
Luego, el polo es el punto de inflexión.
(2 )
Q r = a(1+Cos0) (Cardiode)
Solución. (1) Intersecciones:
a) Con el eje polar: 0=0 *■ r=2a
0— tt *• r=0
b) Con el eje a 90°: 0=tt/2 ó 0 = 3tr/2 r = a
simetrías:
a) Con el eje polar: f(9)‘ = f (9) . Es simétrica
b) Con el eje a 90°: f (tt-0 ) =a( 1Co s0) jí f(e) . No es simét.
c) Con el polo: f (n+6)=a(1Cos0) ¿ f(9) . No es simétrica
(3) Tangentes en el polo: Para r=0 Cos0 = 1 ■»*• 0= ti
(¿) Extensión. La función existe para todos los valores de 0.
La línea es cerrada.
(5) Valores extremos: ■gj = aSen0
Si
d2r
d02
drd0
0 *• Sen0=O 0=0 ó 0=ir
= aCos0
Sección 4: Tareas complementarias 675
r = a(1+bCos0) , a>0 , b>0
Solución. 1)Intersecciones:
a) Con eleje polar: 0=0 ■*• r=a(1 + b)
0=n + r=a(1b)
b) Con el ejea 90°: 0=tt/2 + r = a
© = 3^/2 , r=a
2) Simetrías:
a) Con el eje polar: f(0) = f(0) .'. Es simétrica
b) Con el eje a 90°: f(ir0) = a(lbCosO) ¿ f(0) .'. No es sim.
c) Con el polo: f(ir + 0) = a(lbCos0) f (0) .". Noes simétrica
3) Tangentes en el polo:
Si r = 0 + Cos0 = 1/ d 0 = arcCos (— 1 /b)
P
| 0 = 2 71 ” arcCos (4)2*1 _i'o'
O Extensión: La función está definida en los intervalos:
5) Val ores extremos:
^ = abSen0
Si ¿rSl d0 Sen0=O 0 =
Para 0 = 0 *■ r =a(1+b)max
r = (Litus)
, r no existe
*■ r=1
Solución. (1) Intersecciones:
a) Con el eje polar: 0=0
0=ir
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d0 2
para 0=0 > r"(0) = a < 0
0=71 r" (0 ) = a > 0
Luego: r(max)=2a y r(min)=0
El polo es un punto de retroceso.
*■ r=10=ir
b) Con el eje a 90°: 0=u/2 *• r = /2
■ 0 = 3tt/2 + r = /¿T?
(2) Simetrías: La línea no es simétrica con ninguno de los ejes
676 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
ni con el polo.
(3) No existe tangentes en el polo.
(4) Extensión. La línea está definida para 9>0.
SI eje polar es la asíntota. La línea se desa-
rrolla alrededor ¿el polo en forma espiral, acercándose aéste de manera asintótica.
/ i dr /ñ _ . r(5) Valores extremos. r "d9 = ~ ~ ~ '2Q
29/^
Si 8 es el ángu.lovque forma el radio polar con la tangente,
se sabe que: TanS = = 26
Pero: a=3+9 (a es el ángulo de inclinación de la tangente)
+ Tana TanB + Tan9 dx . 20+Tan9 = Q(e)
1 Tan6Tan6 dx 1+29Tan0
Para 4*^ = 0 29 + Tan9 = 0dx
Los extremos de la línea satisfacen la ecuación: 26=Tan9
(6) Puntos de inflexión: G 1 (0) = _ (1 )Sec e(1+20Tan9)
d2y _ G 1 (9) _ (1492)Sec29
dx2 r ’ (9) 29/Éf( 1 + 26Tan9)
Para — I = 0 ■+ 1492=0 <>■ 0 = 1/2 ó 9=1/2 < 0dx 2
Por tanto, el punto de inflexión es: I(/2tt, 1/2)
Sección 4: Tareas complementarias 677
a) Con el eje polar: 9=0 r = 0
0=, r = f (J) = i
b) Con el eje a 90°: 0=tt/2 * r ^arcTaníg)
9 = 3rr/2 + r = ^arcTan(^)
(2) Simetrías. La línea no es simétrica con ninguno de los ejes
ni con el polo.
(3) Tangentes en el polo: Si r=0 + arcTan(|)=0 +>■ 0=0
(4) Extensión. La línea está definida par?
Obsérvese que si r=1 *■ arcTan(^) =
Luego, la gráfica de la línea
es una espiral que parte del
polo y se acerca, de manera a
sintética, a la circunferen-
cia r=1 adió r=1.
r = ST-t2 , 9=arcSent + /it2
So ¿ución. 3r 1t2 'i- 0
t2 1 1 ^ t 4 1
La gráfica de la línea es cerrada. No tiene asífttotas.
dr t d0 _ 1 t 1t• * = dt
/it: " dt " / u P ‘ / ü p = A T T
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1476 r = —arcTan( )TT TT
S o l u c i ó n . ( 1) I n t e r s e c c i o n e s :
Entonces: 4§ = — t t dr1t
La línea tiene un mínimo para t=0, esto e"s: r=1 , 0 = 1
678 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Si = » *■ t=1 . Para t = 1 , r=0 y 6=7r/2 (Tangente en el polo)do
Luego, la gráfica de la línea estásituada integramente a la dere.
cha del eje a 90°.
Si F (t) =
dr
d9»■ F » (t) =
'1-t2
1
(t-D:d2r = F1(t) = ____
de2 e'(t) (t-1 ) 3
Si d r
d620 1-t2=0 t=±1
Son puntos extremos del dominio
de la línea, por tanto, no exis
te puntos de inflexión.
En los ejercicios 14.781481 analizar y construir las líneas
después de haber reducido sus ecuaciones al sistema de coor
denadas polares.
1478. (x2+y2)3 = 4a2x2y2
Solución. Según las relaciones: r2=x2+y2, x=rCos0,
y=rSen0, se tiene:
(r2)3 = 4a2 (r2Cos20) (r2Se n20) = 4a2r 1,Se n29Cos29 = a2r‘*Sen220
r = aSen26
(1) Intersecciones
a) Con el eje polar: 0=0 + r=0
0=7T -*■ r=0
b) Con el eje a 90°: 8=ir/2 +r=0
8 = 3tt/2 + r=0
No hay intersecciones con ambos ejes, la curva pasa por
el polo, que es un punto autotangencial doble.
(2) Simetrías:
a) Con el eje polar: f (2ir9) =aSen2(2w0) =aSen29 Es sim.
b) Con el eje a 90°: f (ir0) =aSen2 (ir9) = aSen28 Es simét.
Sección 4: Tareas complementarias 679
Si r=0 -> Sen26 = 0 28 = 0 , ir, 2tt , 3tt , 4tt
0 = 0 , t t /2 , n , 3ir/2 , 2ir
(4) Extensión:
La gráfica de la línea es una
rosa de cuatro pétalos, q ueestá definida ¥ 8eR.
» 0°
a2y■> r = /aTanS
(La línea pasa por el
polo)
(x2+y2)x
S olución. (r2)rCos8 = a2rSen0
(1) Intersecciones:
a) Con el eje polar: 0 = 0 * r = 0
0=tt r=0
b) Con el eje a 90°: 9=it/2 ■> r = »
No existe intersección. La asíntota de la línea es 0=ir/2
(2) Simetrías: La gráfica de la línea no es simétrica respecto
al eje polar y al eje a 90°.
Como Tan(rr+6 ) =Tan 0, la línea es simétrica respecto al polo.
(3) Tangentes en el polo: Si r=0 + Tane=0 +~» e=0
(4) Extensión: 3r *»■ Tan6 > 0
++ 0e [0,tt/2>ü[tt, 3ir/2>
Esto es, la línea pertenece integramente a la banda:
a/ 2 a/ 2■ T < X Í T
d2r _ /aSec20(4Tan20Sec20)
d9 2 4Tan0 /Tan9
6ir
(5) Puntos de Infl e x i o n :
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c) Con el polo: f (tí + 6) =aSen2(ir+9) =aSen29 Es simétrica
(3) Tangentes en el polo:
d9 2 4Tan0 ./Tan9AÍ-
Para — - = 0 ■* 4Tan28Sec20 = O +*■ Sen9 = ±1/2d0 2
6=7r/6 ó 8 = 7u /6
680 Cavítulo 4: Análisis de las Funciones
Para = 00 + Tan0=O 0d62
Luego, los puntos de inflexión
son! 8=0 , ©=7t/6 , 6 = 7rr/6
8 E S 1 x ‘*+y11 = a2 (x2+y2 )
Solución. La línea es simétrica respecto a los ejes X e
Y y también a las rectas v=x , y=x.
Si x=0 y2 = a2 **■ y = ±a
y=0 + x2= a2 *-* x = ±a
Por tanto, la línea es cerrada y tiene 4 puntos de retroceso.
(a,0) ,(a,0) , (0,a) , (0,a)
Como (0,0) satisface la ecuación, éste es un punto aislado.
Pasanndo a coordenadas polares se tiene:
(x2+y2 )22x 2y2 = a2 (x2+y2)
r1* 2(r2Cos26) (r2Sen 20) = a2r 2
r2 2r2Se n20Cos26 = a2
r2(1 gSen228) = a2
Observe que si 0 = 0 ó 0=it r=±a
y si 0=tt/2 ó 0=3n/2 r=±a
son los 4 puntos de retroceso
obtenidos anteriormente.
ÉífeM'B (x2+y2) (x2y2) 2 = 4x2y2
Solución. (r2)(r2Cos20r2Sen 20)2 = 4(r2Cos20)(r2Sen20)
r s(Cos20)2 = r‘t(2Sen0Cos0)2
Sección 5: Fórmula de Taylor 681
b) Con el eje a 90°: 0=tt/2 +■ r=0
6 = 3tt/2 ■> r=0
El polo es un punto cuadruplo.
(2) Simetrías: La línea es simétrica respecto al eje polar, al
eje a 90°y al polo. Además es simétrica respecto a las rectas y=x , y=x.
(3) Tangentesen el polo: Si r=0 ■+Tan20=O
»■ 28 = 0 ,ir , 2tt , 3ir , 4it
«-* 0= 0 , tt/2 , 3tt/2 , tt, 2tt
(4) Extensión. La línea no está definida para:
0=ir/4 , 0=3ir/4 , 8 = 5tt/4 , 8=7tt/4
Estas rectas representan las asíntotas de la línea, que en
el sistema rectangular están definidas por: (x±y)2=1/2
La línea presenta la forma de "molino" , cuya gráfica se
muestra en la carátula del libro, en donde se puede apre-
ciar que las ramas de la curva tocan los ejes coordenados
en el origen o polo.
FÓRMULA DE TAYLOR
5.1 FÓRMULA DE TAYLOR PARA LOS POLINOMIOS
»Supongamos que la función y=f(x) definida en el entorno del pun
to* x=a y que es derivable hasta el orden n+1 inclusive en este
punto. Determinemos un polinomio y=Pn(x) de grado no superior a
n, tal que:
Pn(a)=f(a) , P¿(a)= f1(a) , P»(a)=f»(a) , ..... P^n)(a)=f(n)(a)
Es de suponer que este polinomio, en cierto modo, será "próximo"
a la función f(x) en el entorno del punto x=a. *
Hallemos el polinomio Pn(x) siguiendo las potencias de (xa) con
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( ) ( )
r2(Cos220) = Senz26 +>■ r = |Tan20|
(1) Intersecciones:
a) Con el eje polar: 0 = 0 + r=0 , 0=ir *■ r = 0
coeficientes indeterminados:
Pn(x) = Ao + Ai(xa) + As(xa)2 + ... + Afi(xa)n (2 )
682 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
Determinemos los coeficientes indeterminados Ao, Ai, A2, ••• An>
de modo que se cumplan las condiciones (1), calculando previamen
te las derivadas de Pn(x):
P'(x) = Ai + 2Az(xa) + 3A3(xa)2 + ... + nA (xa)n1
P"(x) = 2A2 + 3.2Aj(xa) + ... + n(n1)A (xa)n n n2 (3 )
,(n),’ n
Sustituyendo x por el valor de a en los dos miembros de las i*
gualdades (2) y (3) y sustituyendo, según (1), Pn(a) por f(a),
P¿(a) por f'(a) , etc, obtendremos:
f(a) = Ao
f'(a) = Ai 1
f"(a) = 2 .I.A2
fín)(a) = n(n1)(n2)--- 2.1.Ar
de donde:
Ao = f (a) , Ai = f ' (a) , A2 = f"(a)
••••t A — 1 f (a)(4)
n 1. 2.. . n
Sustituyendo (4 ) en la fórmula (2) obtenemos el polinomio busca-
do .
P (x) = f (a) + ^ f'(a) + (l42 f ' (a) + ... + (n)(a) (5)n 1 c\ n ;
que es llamado polinomio de. aproximación de f(x) en el entorno
de x=a.
Designemos por Rn(x) a la dife-
rencia :
Rn(x) = f(x) Pn(x)
de donde:
f(x) = Pn(x) + Rn(x)
o bien:
f( ) f ( ) + ^ f 1( ) + ( )
Sección 5: Fórmula de Taylor 683
El término Rn(x) se conoce con el nombre de t¿/imino complementa
a lio o ne-iio de orden n de la ¿unción f(x).
En un entorno del punto a, E(a,ó), el término Rn(x) es muy pe-
queño y el polinomio Pn(x) da un valor aproximado de la función
f(x). De este modo, la fórmula (6) permite sustituir la función
y=f(x) por el polinomio y=Pn(x) con el grado correspondiente de
presición, igual al valor del término complementario R.n(x).
Consideremos el término complementario * en la forma:
t in + lR ( x) = ------- Q(x ) (7)
(n + 1)!
donde Q(x) es la función por determinar.
Escribamos la fórmula (6), del siguiente modp:
f(x) = f (a ) + f 1 (a ) + — "(a) + .....
+ % M V n) (a) .(A a)n + 1Q(x) (8}(n+1)!
Para valores de a y x fijos, la función Q(x) tendrá un valor
constante, que designamos por Q.
Introduciendo la función auxiliar de te<a,x>, definimos:
F (t) = f(x) f(t) ^ f'(t) (x¡|)2f»(t) ....
. ixr tl nf (n)(t) . ,.(xt)n+1
n ' (n+1)!
donde fel valor de Q es determinado por (8), cuando a y x son nú-
meros fijos.
Derivando F(t) tenemos:
F 1 (t) = f'(t) + f'(t) i^Í)f»(t) + 2(^ t^f»(t) — ¿>)2f'"(t)
' (t) + ... (xt)n~1f (n)(t} 4 n(xt)n'1f(n)1
(n1)! n!
(xt)nf( n + 1 ) ^ (n+1)(xt)n Q
n! (n+1)!
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f (x) = f (a) + ^ f 1 (a) + (a)
+ % T ^ - n f ( n ) ( a ) + R n ( x) ( 6)F i g u r a 4 . 2 5
y reduciendo términos resulta:
684 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Por tanto, F(t) es derivable en todos los puntos t entre a y x.
Según la fórmula (8) se tiene:
F(x)=0 , F(a)=0
Es decie, F satisface el teorema de Rolle, luego, existe un va -
lor t=ce<a,x> , para el cual F'(t)=0. De aqui, según (9), obte-nemos:
_ l x-c ln f (n+ 1) (e) + q = q «-► q = f (n+1) (c)n ! n !
Sustituyendo esta expresión en la fórmula (7), resulta:
Rn (x) .= (x~a) -l1f (n + I) (c) (10)(n + 1) !
Esta es la f.ó/imula de. Lag/iange. para el término complementario.
Dado que ce<x,a> , puede ser expresada en la forma:
c = a + 9(xa)
donde 0 es un número comprendido entre 0 y 1, es decir, 0e<O,1>.En este caso la fórmula (10) toma la forma:
R h (x ) = k ^ l V n +1 )[a+e(xa)](n+1)!
Entonces, en (6), la fórmula
f (x ) = f (a ) + ^ f ' ( a ) + -^ -p)2f " (a) + ----
+ (x-a)nf (n) (a) + .^ -a )n.l1f <n + 1) [a + 0(x -a )] (11)
n! (n+1)!
se denomina {.6/im.ala de. Taylo/i para la función fT[x).
Haciendo a=0, obtenemos la -f.6A.mala de. Placlau/iin para la función
f(x):
f (x) = f (0) + £ f ' (0) + 2~r f " (0) + ....
n / \ n + 1 / ■« v+ —— f (0) + - ^ ---- f ( *(0x) - (12)
n ! (n + 1 ) !
donde 0e<O,1> .
Sección 5: Fórmula de Taylor 685
. PROBLEMAS RESUELTOS
( O Ü J Desarrollar el polinomio P(x )=x ‘‘5x3+x23x+4
en potencias del binomio x4.
Solución. Determinemos el polinomio de aproximación P(x) de
f (x) en torno del punto x = 4
f (x) = x l*5x 3_x23x+4 + f(4) = 56
f 1 (x) = 4x315x2+2x3 + f'(4) = 21
f"(x) = 12x 2-30x +2 f" (4) = 74 '
f’"(x) = 24x30 + f’"(4) = 66
flv(x): = 24 ♦ fi v(4) = 24
Luego, según la fórmula (5) se tiene:
Pi(x) = f (4) + f * (4) + '--¿v 2f"(4) + -X|3i 3f”1 (4) + "
= -56 + 21 (x-4) + ( x-4)2+ ^|(x-4)3 + ff(x-4)“
P i» (x) = (x-4)“+ 11 (x-4)3 + 37(x-4)2 + 21(x-4) 56
Desarrollar el polinomio f (x) =x 3 + 3xz2x+4 en potencias
del binomio x+1.
Solución. Para el punto x=1 se tiene:
f(x) = x 3+3x 2-2x +4 + f(1) = 8
f'(x) = 3x 2+6x -2 + f 1(1) = 5
f"(x) = 6x+6 + f."(1) = 0
f" 1 (x) = 6 + fi" (_ 1) = 6
Según la fórmula (5), el polinomio de aproximación es:
P 3 (x) = f (1) + ^pf'(1) + .Í2Ltl).2fn(T) + (x+1)3f„, (_D
= 8 5(x+1) + 0 ■ 2 + (6)
= (x+1)3-5(x +1)+8
D ll l li i P( ) l0 3 5+1 t i d l
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Desarrollar el polinomio P(x)=xl03x5+1 en potencias del
binomio x1.
S o l u c i ó n . . P a r a e l p u n t o x= 1 se " t i e n e :
68 6 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
f(x) = x l03 x s +1 *■ f(1 ) = - 1
f'(x) = 10x915x‘* f'O) f= 5
f.»(x) = 9 0x 860 x 3 f"(1 ) = 30 .
f"'(x) = 720x7180x2 + f" '( D = 540
flv(x) =5 0 4 0 x 6 - 3 6 0 x fiv(D = 4 6 8 0
fv (x) = 30240xs360 fv(1 ) = 29880
fvi (x) = 151200x“ + fvi ( D = 151200
fvii(x) =6 0 4 8 0 0x 3 + fvll{1 ) = 6 0 4 8 0 0
fviii (x) = 1814400x2 fviii(1 ) = 1814400
fix (x) = 3628800x + flx (1 ) = 3628800
fX (x) = 3628800 + fx( D =.3628800
Según la fórmula (5), el polinomio de aproximación es:
P(x) = f(T) + (x1)f '(D + + 'fo' j^f1" (1) +
+ X¡] '■‘,fÍV(1 ) + X g]5fV d) + ■■¿■p fV1 (1 ) + (x' p f7 (l)
+ 8f(8)(1 ) + .U.1,)_9fiX(i) + Í 2SzlIi°fx( D
en donde, sustituyendo los valores hallados anteriormente resul
ta:
P(x) = (x1)lo+10(x1)9+45(x1)8+120(x1)7+210(x1)s+249(x1)s+<0
+ 195(x<1) l*+90(x1)3 +15(x1)2 5(x1 )>
J 2 3 3 Desarrollar la función f(x)=(x23x+1) 3 en potencias de x,
aplicando la fórmula de Taylor.
Solución. Determinemos el polinomio de aproximación en torno
del punto x=0 .
f (x) = (x23 x+ 1 ) 3 + f(0 ) =' 1
f 1 (x) = 3(x23x+1)2 (2x3) f'(0) = 9
f"(x) = 30(x23x+1)(x23x+2) + f"(0) = 60
f"'(x) = 30(2x3)(2x26x+3) *• f"'(0) = 270
fiv(x) = 360(x23x+2) fiv(0) = 720
fv (x) = 3 6 0 ( 2 x - 3 ) + fv(0 ) = 1080
fvi(x) = 720 + fvi(0) = 720
Según la fórmula (5) se tiene:
Sección 5: Fórmula de Taylor 687
> P(x) = 1 9x + ¿fx2 ° x 3 + gx * ^fg x 5 + |g x6
de donde: P(x) = x 69xs + 30x‘,4 5x 3+30x29x+1
i B ¡ 3 f(x) es un polinomio de cuarto grado. Sabiendo que
f(2 ) = - 1 , f 1 (2 ) = 0 , f"( 2 ) = 2 , f (2 ) = - 1 2 , fi v(2)=24 ,
calcular: f(1 ) , f'(0 ) , f''(l).
Solución. Sea el polinomio: f(x) = a0x ‘,+a1x 3 + a2x 2 + a 3x+a1,
f( 2 ) = - 1 >■ 1 6a o +8a j +4a2 +2a 3 + ai, = - 1 (1 )
f 1 (x)=4a0x3 + 3aix2 + 2a2‘x+a3
,f’(2 ) = 0 32ao + 12ai+4a2 + as = 0 '(2 )
f" (x) =1 2a0x+ 6aix+2a2 f" (2 ) = 48ao+12ai+2a2 = 2 (3 )
f'"(x) = 24a 0x+6ai >■ f'"(2) = 48a0+6 a1 = 12 (4 )
flv(x) = 24a0 + fl v(2 ) = 24 + 24a0=24 *>■ a0=1 (5)
Resolviendo el sistema: (1) , (2) , (3) , (4) y(5) obtenemos:
ao =1 t ai= - 1 0 , a2 = 3 7 , a 3 = - 6 0 , aif= 3 5
Luego: f(x) =x ‘f10x 3 + 37x260x+35
En consecuencia: f(1) = 1+10+37+60+35 = 1 4 3
f'(x) = 4x330x2+74x60 + f 1 (0 ) = 60
f''(x) = 12x260x + 74 ■* f"(1) = 26
FÓRMULA DE TAYLOR
U U J Escribir la formula de Taylor de nésimo orden para la
función y =1/x cuando xo=1 .
Solución. f (x) = 1/x *• f (1 ) = - 1
f 1 (x) = x- 2 + f 1 (1 ) = - 1
f"(x) = 2x” 3 + f"(1 ) .'= - 2 = 2 !
f'"(x) = 2.3x‘ “ *■ f"'(1 ) = 2 . 3 = 3 !
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Según la fórmula (5) se tiene:
P(x) = f(0) + ^ f'(0) + ^jf" (0) + yyf"1 (0) + jyf'LV(0) + |^fV (0)f (n)(x) = (1 )nn!xL{n+1) f(n^(l) = _¿!
f(n+1 )(x) = (1 )n+ 1 (n+1 )!x(n+2)
+ f(n+1)C1+e(x+1)l = (1)n+1 (n+1)!C1+é(x+1)J(n42)
68 8 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Luego, según la fórmula (11) se tiene:
f (X) = 1 (x+1) (x+1)2 (x+1)3 (x+1)1* ... (x+1)n
(~1)n , donde O<0<1[1+6(x+1)Jn
;v: 3J Escribir la fórmula de Taylor (la de Maclauren) de nési
mo orden para la función y=xex para xo=0.
Solución, f(x) = xex f(0) = 0
f'(x) = (x+l)ex *• f'(0) = 1
f"(x) = (x+2)ex + f"(0) = 2
f (n)(x) = (x+n)ex f (n)(0) = n
f (n+1)(x) = (x+n+1) ex *• f*n+ 1) (0x) = (6x+n+1)e0xPor lo tanto, en la fórmula (12) tenemos:
2 3 n n+1f(x) = x + ¡(2) + ihr(3) + ••• * ----- (0x+n+1)e
n ' (n+1)!3 n n+1 o
= x + x2 + + ... + — --- + — ------ (6x + n+1) e ,0<0<1(n1) ! (n+1) !
SHutl Escribir la fórmula de Taylor de nesimo'orden para la
función y=/x cuando xo=¿.
Solución, f(x) = /x + f(¿) = 2
f'(x) = — f • (4.) =
42/x 4
f"(x) = — ! = -¿ 7 = > f" U) = -ÁATT3 2 \ A T 32
f'"(x) = = ?Xt r f," ^ ) = 255"8/x* 2s./x1’
fiv (x) = _ fiv (¿) = . _LL_
16/x7 27./xr 2CU8
Sección 5: Fórmula de Taylor 689
y f n+ 1^f¿+e(x¿)] = -----
n!.22n+1./[¿+0(x4)J2n+1
Sustituyendo estos valores en la fórmula (11) obtenemos:
Wv) = o + ZzA _ .(*¿)2 4. U r Á l 3 x i (1)n'1 (2n2)!(x¿)n ,
* s i 5 1 2 •••• + ~(; i). . 2 ^ + 2 — +
* ------- 0<e<1
n!(n +1)!.22n+1,/[¿+0(x¿)] 2n+1
1 Ü Ü 3 Escribir la fórmula de Taylor de 2nésimo orden para la
función: y = ■g(ex+e x) cuando xo-0.
Solución. f(x) = ■g(exle'x) ■+■ f(0) = 1
f'(x) = i( ex-e’x ) + f'(0) = 0
f"(x) ='-l(ex +e' x ) > f"(0) = 1
' ^ ( x ) = •|(exe"x) »■ f ^ ( 0 ) = 0
f (2n)(x) = i(e x+ex ) + f (2n) ( 0 ) = 1
y f (2n+1)¡O+0(xO)| = f(2n+1)(0x) = |(e0x+e'8 x)
Luego, sustituyendo en la fórmula (12) obtenemos:
, . x 2 <t ,,2n 2n+1 9x. 0xf (x) = 1 + 7jy + •jy + . . . + --- — + — ---- («_te--- } Q<e<1
(2n )! (2n +1)! 2
Escribir la formula de Taylor de nésimo orden para la
función y=x3lnx cuando xo=1.
Solución. f(x) = x 3lnx + f(l) = 0
f 1 (x) = x2 (l + 31nx) + f 1(1) = 1
f"(x) = x(5+6lnx) *■ f"(1) = 5
f, M(x) = 11+6lnx + f" »(1) = 11
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f (n)(x) = _ l D n~1 (2n2)! f (n)(t) = ( 1)n~1(2n2)!
(n1)! 22n- ] / ^ (n1 ) !. 2
fi v(x) = óx ’1 fiv(1) = 6
fv (x) = 6x~2 > fv (1) = Ó
fv i(x) = 6.2.x“ 3 fvi (1) = 12
690 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
fvii(x) = -6X2X3X-1* - fvii(1) = -36
f(n)(x) = 6(-1)n(n-4)!.x~(n~3)X
+ f (n)(1) = 6(1) n (n4)!
Sustituyendo estos valores en la fórmula (11) obtenemos:
f(x) = ( x - 1 ) + l y ' C x- 1 ) * + 3 t ( x - 1 ) s + f i í x - D 1* + ... +
+ 6(1)n(x1)n ■ 6(1)n +1 (x1)n+1
n(n1)(n2)(n3) n(n +1)(n1)(n2)[1 +6 (x1 )]
donde: O<0<1
n - 2
BTÜSI Escribir la fórmula de Taylor de 2nésimo orden para la
función y=Sen2x cuando x=0.
Solución. f(x) = Sen2x + f(0) = 0
f'(x) = 2SenxCosx = Sen2x *■ f'(0) = 0
f»(x) = 2Cos2x *■ f"(0) = 2
f"'(x) = 22Sen2x f'"(0> = 0
fi v(x) = 23Cos2x + fiv(0)= 2 3
fv (x) = +2*Sen2x fV (0> = 0
fv i(x) = +25Co s2x fvi(0) = 25
f (2n)(x ) _ (_1 jn1>2 2n_1Cos2x + f^2n^(0) = (1)n 1¡
f( 2n+D (x) = (_ Dn ,22 nSen2x + f^2n+ 1 )(0x) = (1 )n. 22nSen26x
Sustituyendo estos valores en la fórmula (11) obtenemos:
,/ , 2x 2 2 3x ‘t , 2 5x6 •2 7x 8 , ,f(x) = — ~ — + ~T\-S T + ••• +
+ ( D n"122n~1x2n + ( ~ D n. 2^
(2n)! (2n+ 1 )Sen29x , 0<9<1
2nl
Sección 5: Fórmula de Taylor 691
Solución. Haciendo n=3 en la fórmula (11) de Taylor tendremos
que el polinomio de aproximación es:
f (x) f (2 ) + f'(2 ) + — 2f" (2 ) + 3f" ; (2 ) + R3 (x) (1 )
donde Rs(x) = f [ 2+9 (x2)] es el error que se comete al
considerar y=f(x) en el entorno del punto x= 2 .
Luego, si: f(x) = ■~T' * f(2) = 2x1
f'(x) = (x1 ) " 2
f"(x) = 2 (x1 ) ' 3
f"'(x) = 6 (x1 )"‘
f'(2 ) = - 1
f"(2 ) = 2
f'" (2 ) = 3!
flv(x) = 24(x1)~ 5 >■ flv(2 ) = 4 !
Sustituyendo estos valores en (1) obtenemos:
f (x) = 2 (x2 ) + (x2 ) 2 (x2 ); (x2 ) 1
[2+e(xD]5
(1)
| H m Escribir la fórmula de Taylor de segundo orden para lafunción y=Tanx cuando xo=0 y construir la gráfica de la
función dada y de su polinomio de Taylor de segundo grado.
Solución. Para n=2 en la fórmula de Taylor tendremos:
f (x) = f(0) + yf'(O) + |^f"(0) + |Ifiii(9x)
f(x) = Tanx + f(0) = 0
f 1 (x) = Sec2x + f '(0) = 1
f"(x) = 2Sec2xTanx + f"(o) = 0
f"'(x) = 2Sec2x(Sec2x+2Tan2x)
f'"(9x) = 2( f2Sen26x)
Cos“9xEn (1): f (x) = x + ^ ( lí.2Sen2?x)
5 r> « „ a
Obsérvese que cuando x + 0 ,
entonces Rs(x) + 0. Luego
para la gráfica consideremos
la aproximación: f(x)=x
* f'"(0) ‘= 2
, donde 0<6<1 y
y=/ * /
Panx / JT
Jf 1^ 1
. A 0 il x■ 2
'2111
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: Escribir la fórmula de Taylor de tercer orden para la
función y = cuando xo =2 y construir las gráficas d
la función dada y de su polinomio de Taylor de tercer grado.
f(x)=y
11i
692 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
i K E I Escribir la fórmula de Taylor de tercer orden para la
función y=a rcS enx cuando x=0 y construir la gráfica de
la función de.da y de su polinomio de Taylor de tercer grado.
Solución.. Para n=3 en la fórmula (12) tenemos:
f(x) = f(0) + xf'(O) + §^f"(0) + f^f'"(0) + j^ fl v(6x)3 ! J
f(x) = arcSenx f(0) = 0
f'(x) =
f"(x) =
f"'(x) =
/(1x2)3
2x2+1„.
/(1x2)5
riv (x) = .x (6x,lt2 l
/(1x2)7
f(x) = X + f - +■ j y C
f'(0) ='1
■> f"(0) = 0
»■ f" 1 (0) = 1
flv(6x) =
xj* / 99x + 603x3j
6e3x3+99x
/ d - e 2x 2) 7
, donde: 0<6<1
/(102x 2)7
Cuando x + 0, entonces Rit(x) 0,
luego, para la gráfica considera
remos la aproximación:
f(x)
f 1 (X ) = 1 + f
* +
2
si ¥' (x)=0 x 2=-2
La función no tiene extremos.
f"(x) = x
Para x>0 ■* f"(x)>0 ,
f es cóncava hacia arriba
Para x<0f" (x)<0
f es cóncava hacia abajo.
Por tanto, (0,0) es un punto de inflexión.
i M M Escribir la fórmula de Taylor de tercer orden para la
función y=1//x cuando xo = 1 y construir la gráfica de la
Sección 5: Fórmula de Taylor
f(x) = f(D + f>(l) + ^x~])2f»(l) + tx~])3f'"(l) +
+ — ^ 'tflv[n8(x1)) (1 )
f(x) =
f1 ( x ) =
f"(x) =
f'" (x)
j x i
„ m i l
2 \ / 7
f"d ) = |
f» *(i) =
fiv(x) * fiv[i+e(x1 )] = — 2*./^
Luego, en (1):
2‘*./[l+0(x1)J'
f(x) = 1 i(x1) + — (x1)2< ¿ 2i(x1)3. 2 !
2.3!
1x3x5x7 (x1)“
2\4!/[l+0(x1)]9Para el trazado de las gráficas consideremos el polinomio de a
proximación: f(x) = ^§x3 + TEX " ~ ttx
35
, 21 2 35 , 35+ T T X - T T7TX + ^
* f'(x) = T5x2 +
> f"(x) = i|x + ~
21
El polinomio f(x) no tiene extre-
mos dado que las raíces de f'(x)=0
son imaginarias, f es decreciente
Si f" (x)=0 x=7/5
Para x > 7/5 *■ f"(x) < 0
x < 7/5 + f"(x) > 0
Luego, existe un punto de infle-
xión para x=7/5.
m t J Demostrar que el número 8 en el término complementario
de la fórmula de Taylor de primer orden:
f (a+h) = f(a) + hf'(a) + | 2f"(a+8h)
i 1/3 0 i i ^Ó
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y y g
función dada y de su polinomio de Taylor de tercer grado.
S o l u c i ó n . P a r a n =3 , e n l a f ó r m u l a ( 1 1) s e t i e n e :
tiende a 1/3 para h+0 , si f"'(x) es continua para x=a y f"'(a)^Ó
D&moAt/iación. En efecto, debido a la continuidad y a la existen
694 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
cia de la tercera derivada, en la fórmula de Taylor se tiene:
f(a+h) = f(a) + hf'(a) + |^f"(a) + |^f'"(at0ih)
Comparando con la expresión dada se deduce que:
íyyf" (a+8h) = |^f"(a) + ^yf'"(a+e1h)
de donde: f"(a+6h) f"(a) = 1 f«.(a+eih)
h
o bien: e[f"(a+9h) \ f (a +0 1h)6h
♦ e lim ff” (a+eh) f".U)l = i lim[f,M(a+e lh)j
h*0 L 8h J J h+0
* e[f"'(a)]' = •|[f",(a)] ** 8 + 1/3
5.3 ALGUNAS APLICACIONES DE LA FÓRMULA DE TAYLOR
En los ejercicios 15141519 analizar el comportamiento de las
funciones dadas en los puntos que se indican.
y = 2x6x3+3 , en el punto x=0
So¿ución. y = 2x6x3+3 + y(0) = 3
y' = 12xs3x2 > y 1 (0) = 0
y" = óOx.^óx + y" (0) = 0
y" ' = 2 4 0 x 3 - 6 + y"1( 0 ) = - 6
Siendo las demás derivadas iguales a cero para x=0, elpolinomio
de aproximación en el entorno de x=0, según la fórmula (12) es:f(x) = 3 x3 = 3x3 + f 1(x) = 3 x2
Vemos que f es decreciente ¥xeR, por tanto, el polinomio de a
proxiraación y la función dada no tienen extremos en x=0.
f" (x) = 6x .. Para x<0 ■+ f"(x) > 0
x > 0 + f " ( x ) < 0
Luego, el punto de inflexión de la gráfica es 1(0,3).
1514
1515 11+3 6+1 l t 0
Sección 5: Fórmula de Taylor 695
y" = 11xl0+18x5 •+ OII
o>»
y" = 110x 9 + 90x‘* + oII
o* >»
y"’ = 990x8+360 x3 + y" 1 (0) = 0
y i v = 7920x7+1080x2 ♦ yi v(0) = 0v
y = 554¿0x 6+2160x yv (0) = 0vi
y = 3326¿0x5+2160 + yv i(0) = 2160
Luego, el polinomio de aproximación a la función dada, según la
fórmula (12) es:
f(x) = 1 + x 6= 1 +3 x6
f 1(x ) = 1Sx5
Para x < 0 *■ f'(x) < 0
x > 0 f 1 (x) > 0
Por tanto, la función tiene un mínimo: y , =1 para x=0.m m r
I H M y = 2Cosx+x2 en el punto x=0
So ¿ución. y = 2Cosx+x2 ■>y(0) = 2
y' = 2Senx + 2x ■* y 1 (0) = 0
y" = 2Cosx + 2 > y" (0) = 0
y"' = 2Senx ■* y"'(0) = 0 ■
y^v = 2Cosx y^V (0) = 2
Luego, el polinomio de aproximación, según la fórmula (12) es:
f(x) = 2 + I j x“ = 2 + . f'(x) =^x3
Para: x < 0 ■+ f'(x) < 0
x > 0 •+ f' (x) > 0
Por tanto, la función tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es y=2
m u y = 6lnx2x3 + 9x218x en el punto x=1
Solución. y = 6lnx2x 3 + 9x218x *• y(l) = 11
y 1 = 6x2+18x18 y' (D = 0
y11 = 6x" 2 12x+18 > y" (1) = 0
•y" 1 = 12x~ 3 12 •> y'" (1) = 0
yiv = 36*** + yi v(1) = 36
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1515 y = x11+3x6+1 , en el punto x=0
Solución. y = x 1j+3xg + 1 *• y(0) = 1Luego, el polinomio de aproximación, según lá fórmula (11) es:
f f x ) = - 11 . | f ( x - 1 ) * = - 11 - | ( x - 1 ) “ + f ' ( x) = - 6 ( x - 1 ) 3
696 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Para: x < 1-*■ £' (x) > O
x > 1 + f' (x) < O
Por tanto, la función tiene un máximo en x=1, cuyo valor es
y=1 1 .
y = 24ex24x12x24 x3x't20 , en el punto x=0
Solución. y = 24qX24x12x24x3x“20 y(0) =• 4
y' = 24ex2424x12x24x3 * y'(0) = 0
y» = 24eX2424xl2x2 + y"(0) = 0
y'" = 24ex2424x + y"' (O) = 0
yiv = 24ex24 yiv(0 ) = 0
yv = 2 4ex -*■ 'yiv(0 ) = 24
Según la fórmula de Taylor,elpolinomio de aproximación es:
f (x) = A + |tx s = A + 3 X 5 + f'(x) = x"La función es creciente, no tienemáximo ni mínimo en x=0.
f"(x) = Ax 3 , luego, para: x < 0 *• f"(x) < 0
x > 0 f"(x) > 0
Por tanto, (0,4) es un punto de inflexión de la gráfica.
f(x) = x 1 °3x6+x2+2 . Hallar los tres primeros términos
del desarrolo por la fórmula de Taylor para xo = 1 Calcu-
lar aproximadamente f(1.03).
Solución. f(x) = x 1 03x6+x2+2 + f(1) = 1
f '(x)' — 10x918x5 + 2x + f 1 (1) = - 6
f"(x) = 90x890x"+2 + f"(1) = 2
Según la fórmula (11) el polinomio de aproximación es:
f(x) = 16 (x1 )+(x1 )2+ ---
Entonces: f(1.03) 16 (0,03)+(0.03) 2
= 10.18+0.0009 = 0.8209
f(x) = x 82x 7 + 5x6x+3 . Hallar los tres primeros términos
del desarrollo por la fórmula de Taylor üara x0=2 Calcu-1521
1520
1519
Sección 5: Fórmula de Taylor 697
Solución. f(x) = x 82x7+5x6x+3 + f(2) = 321
f 1 (x) = 8x7 U x 6+30x51 + f 1 (2) = 1087
f"(x) = S ó x ' ^ x H l S O x 1* + f11 (2 ) = 3 2 9 6
Según la fórmula (11) se tiene:
f(x) = 321+1087(x -2)+1648(x -2)2+ ...
Entonces: f(2.02) = 321+1087(0.02)+1648(0.02) 2
= 321+21.74+0.6592 = 343. 3992 = 343.4
f(1.97) = 321+1087(0.03)+1648(0.03) 2
32132.61+1.4832 = 289.8732 = 289.9
f(x) = x B0x l‘ 0 + x20 . Hallar los tres primeros términos
del desarrollo de f(x) en potencias de x - 1 y calcular a
proximadamente f (1.005).
So lución, f (x) = x 8 0x‘*0+x 20
f'(x) = 80x7 940x3 9+20x19 *■ f'(1) = 60
f"(x) = 6320x7 61560x3 8+380x18 ■+■ f»(1 ) = 5140
Luego, según la formula de Taylor, el polinomio de aproximación
es: f (x ) = 1+60(x1)+2570(x -1)2+ ...
+ f (1.005) = 1+60(0.005)+2570(0.005)
= 1+0.3 +0 . 0 6 4 2 5 0 = 1 . 3 6 4
f(x) = x 55x 3+x . Hallar los tres primeros términos del
desarrollo en potencias de x2. Calcular aproximadamente
f (2.1). Calcular f(2.1) exactamente y hallar el error absoluto
y relativo.
Solución. f (x) = x 55x3+x
f 1 (x) = 5x.,15x2 +1 f 1 (2 ) = 21
f"(x)■= 2 0x 3 3 0x > f" (2 ) . = ‘100
Luego, el polinomio de aproximación es:
f(x) = 6+21(x2)+50(x2)2+ ...
> f (2 .1 ) = 6+2 1 (0 .1 ) +5 0 (0.1 ) 2 = 3 . 4
Valor exacto: f (2..1) = (2.1) 55(2.1) 3 + 2.1 = 3.36399
1523
1522
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del desarrollo por la fórmula de Taylor üara x0 2. Calcu
lar aproximadamente f(2.02) v f(l.97).Error absoluto: 6 = ¡3.36399+3.4J = 0.036
E r r o r r e l a t i v o : 6 ' = ^ 3 ° ^ ~ 0 .01 1 ->■ 6 ' = 1.1#
698 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Comprobar que calculando los valores de la función y=ex
para 0 <x¿T/ 2 con arreglo de la fórmula aproximada:
ex * 1 + x + + f-3
se comete un error menor qué 0.01 . Valiéndose de ello,hallar
con tres cifras exactas.
Comp/ioíación. En efecto, el término complementario en el poli-
nomio de aproximación es:
Rn(x) = . ^ Ü e0x R 3 (x) = £ e0x(n+1 )! ^
fix /Como 0<e<1 y x tiene un valor fijo, la magnitud e esta acota
O y Q yda, esto es: e < e , si 0<x^1/2 y e <1 cuando x<0
• • R 3 (x ) < e k: 5 < 0*01
Para x=1/2 /e 1 + | + 1 + a 1 . 6¿5
Con 6 < 0.01 ► /~e - 1.65
2Valiéndose de la formula aproximada ex = 1+x + , ha-
llar 1/‘*/e y calcular el error.
So¿uc.tón. Si x=1/4 "*■ e 1 = — — 1 ^ + ■jj 0.78"/e
En este caso, el término complementario en el polino
mió de aproximación dado es: 8 2 ÍX) = e6x , 0<0<1
La magnitud e6x está acotada, esto es, e0x > e6, cuando x>0
0 y
y e< 1
cuando x<0
. ' . 6 < +->• 6 < 0.01
Comprobar que para los ángulos menores que 28 el error
que resultaría de haber tomado la aproximación5
x jj + en vez de Senx, sería menor 0.000001. Valiéndose de
ello, calcular Sen20° con seis cifras exactas.
Solución. En efecto, hallemos las derivadas sucesivas de la fun
1526
1525
1524
Sección 6: Curvatura 699
f(x) = Senx + f(0 ) = 0
f ’(x) = Cosx = Sen(x + tj) + f'(0) = 1
f"(x) = Senx = Sen[x + 2(|)] f"(0) = 1
f'"(x) = Cosx = Sen [x + 3(§)] + f" ' (0) = 0
flv(x) = Senx = Sen[x + 4(^)3 + fiv(0) = 0
f ^ ( x ) = Sen[x +n( )J f^n^(c) = Sen[c+(n+1 ) ]
Sustituyendo, estos valores en la fórmula deTaylor obtenemos:
2 5 n n+1f(x) = x + fr ... + ^ySen(n|) +----- Sen[c+ (n+1 )|] '
(n+1 )!
Evaluemos el error que se comete al considerar los tres primeros
términos del desarrollo, para x = 28° =7tt/45 y para x = tt/6
R 5 = l jl Sen( c + 3ir) , dado que Sen(c+3n) S 1 + Rs < 6
de donde: Rs~ 0.1582x10”^ < 0.000001
Para x = £ ► Rs = (£)e(¿y) = 9.11517x10~6 > 0.000001
En consecuencia, para x < 28°, el error cometido es 6 < 0.000001
Cálculo aproximado de Sen20°:3 5
Sen20° = * ------ + — ---- = 0.3490660.007087+0.000043’ 93 . 6 95.120
.*. Sen20° = 0.342020 con un error <5 < 0.000001
Hallar el Cos10° con exactitud hasta 0.001. Mostrar que
es suficiente tomar la correspondiente fórmula de Taylor
de segundo orden para alcanzar la exactitud indicada.
S o lución. f(x) = Cosx ■* f(0) = 1
f'(x) = Senx = Cos(x + |) *■ f'(0) = 0
f"(x) = Cosx = Cos[x+(2)|] •> f"(0) = 1
f'"(x) = Senx = Cos[x+(3)|] + f" ’(0 ) = 0
fiv(x) = Cosx = Cos [x+ (4)^] fiv(0) = 1
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ción f(x)=Senxf(n )(x) ='^Cos[x+(n)4] + f^n)(o) = Cos(n)£
700 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
f(n +1^(x) = Cos[x+(n+l)§J + ^.(n+ "I) (e) = Cos[c+(n+1)|]
Según la fórmula (12) se tiene:
f (x) = 1 + jr - . .. + fjC°s(n|) + Cos[c+(n+l)§]
3 o x 3Para n=2 ♦ R 2 * jyCos(c + gir) ,*■ R 2 <
Si x=10° = zrk + R 2 < — — = 0.00087 < 0.00118 1 83.6
Cos10° = 1 .il/lil! = 1 0.015 = 0. 985 , con 6 < 0.0012
ItMiJ Aplicando la fórmula aproximada
, Clx X2 , X 3 X*ln(1+x) = x — + ~ ~ ~
Hallar el ln1.5 y calcular el error.
Solución. Sea f(x)=ln(1+x) > f(0) = 0
f 1 (x) = = (1+x)' 1 »• f ' (0) = 1
f"(x) = 1(1+x )"2 + f"(0) = 1
f" ' (x) = 1.2(1+x)"3 f" ' (0) = 2
fiv(x) = 1.2.3(l+x)‘ * + flv(0) = 6
f ( n ) ( x ) = ( . i ) n + 1( n . 1 ) ! ( 1 + x ) - « + f <a +1>( x) = ' (~ 1)n ^+ 1d + e x ) n
Luego, en. la fórmula (12) de Taylor obtenemos el desarrollo:
' x2 . x3 x . . ( D n+ 1( nD!xn , (1)n+2n!xn+1 .
r M - ‘ - 7 * 3 - ( •• :i! (1+x)n (n*1).(l*ex)“*1
X2 , x 3 X , , (1)n+1(n1)xn x (i)n+2xn+1
= X _ 2 3 4 •• (l+x)n (n+1)(l+0x)n+1
Evaluando el error, para n=5, en el término complementario obte
mos: R 5 = |—z~| — ---6 (1+0x)6
.1Dado que: O<0<1 y x=0.5 < 1 + ------- < 1
(1+ex)6
Por tanto, R s = |f6 | = ^ 2) 6 = 0.0026 <0.01
Sección 6: Curvatura 701
CURVATURA
Se denomina curvatura en un punto de una curva,
' a la rapidez con cambia la dirección de la cur
va en dicho punto y se denota por K.
Supongamos que la curva está definida por la ecuación: y=f(x)
y que la función f(x) es continua y derivable dos veces.
Tracemos las tangentes a la curva
en los puntos M y Mi cuyas absci-
sas son x y x+Ax, respectivamente.
Designemos por a y a+Aa los ángu-
los formados por estas tangentes
y el eje X (Figura ¿.26).
Sea s la medida.de la longitud del
arco M 0M 1 , entonces:
As = M o M 1 M o M
Por definición:
y |A s| = MM1
„ , . I Ac¡ IK = lim —
As+OiAs I
Dado que a y s son funciones de x,
entonces a se puede considerar co-
mo una función de s y suponer que
y=f(x) se ha dado por las ecuaciones paramétricas mediante el pa
rámetro x.
Entonces: lim (4 ) = 4^As "As+0
Pero : dads (— )(— ) dx ds
y como: Tana = ^
ds
a = arcTan(^)
.da.'ds1
dadx
1+ (& >dx
ó y Y
■(Ü2)1 dx2
De otro lado se sabe que: ^
Entonces, sustituyendo (3) y (A) en (2) se tiene:
(1)
(2 )
(3)
U )
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L u e go : l n ( 1 + 0 . 5 ) + 40 * c o n á < ° - 01
702 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
y según (1): K = , * .
* /U+ y' 2)3 'dx21
Observaciones:
(1) En cualquier punto M(x,y) de la curva y=f(x), la curvatura
siempre es positiva.(2) Si la línea está dada en forma paramétrica: x=f(t) , y=g(t)
dx f'(t) dx2 [f'(t)]2
y sustituyendo en (5) obtenemos:
,, _ I g " ( t ) . f 1 ( t ) - g ' ( t ) . f " ( t ) l (& )
/ [ f 12 ( t ) +g 12 ( t ) ] 3
(3) Si la curva está dada en coordenadas polares, es decir, si
r=f(0), entonces: x=rCos6 , y=rSen6
Luego: = (^)Cos0rSen6 , = (^)Sen6+rCos0
,d2,x = (¿Íí )Cos02(4§)Sen6rCos0d62 d20 de
lí l = (Ü£)Sene + 2(4§)Cos0rSen0d20 d26 de
Sustituyendo las dos últimas expresiones en (6)obtenemos
la curvatura de una línea en coordenadas polares:
K = | r 2 + 2 r ' 2 - r r " | ( 7 )
/(r 2+r ' 2)3
La magnitud inversa a la curvatura se llama n.a-
dlo de. cusivaiu.'iu en el punto dado y ee denotapor R, es decir: R = 1/K.
Id2y«R = — --- — — (8)
Sea la circunferencia de centro C y radio R, en donde el ángulo
Aa entre las tangentes es igual al ángulo formado por los radios
de los puntos de tangencia H y Mx (Figura 427). Para la longitud
Sección 6: Curvatura 703
As = RAa *■=■ = ! — I'As 1
y según la definición 4. 15, para
la circunferencia tenemos:
K = lim 1*21 = 1As +0 1 As
En consecuencia, la curvatura pa-
ra la circunferencia es constante
(no depende del punto) y es igual
a la magnitud inversa del radio.
CENTRO DE CURVATURA. Sea la curva definida por la ecuación
y=f(x). El punto C(a,B) se llama centro de
cu.Jivaiu/La de esta curva en el punto M.
La circunferencia de radio R y
centro en el punto C, se deno-
mina c i/icu.n£e./ie.n.c¿a. de. cu/ivatu-
/ia de la línea dada en el punto
M. De esta definición se deduce
que en el punto M dado, la cur-
vatura de la línea y=f(x) es i
gual a la de la circunferencia
de curvatura.
En la Figura 4.28 tenemos:
0A = OQAQ
de donde:
Ib = ÄP+PC
a = xPM
= xRSen4>
= x ( ^ E Ü
y"
: X J - (1+y '2)
y"
ß = y+RCos6 = y +
)(Tandi
/l+Tan2;) (Tanj)=yl
/(1+y'2)3,___1
y" /l+Tan2i>
(9)
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del arco As entre estos puntos se tiene la fórmula:d e d o n d e : 1 + y ' 2
y
= y ( 1 0 )
704 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Observaciones. (1) Si la línea está dada por las ecuaciones pa
ramétricas: x=f(t) , y=g(t)
las coordenadas del centro de curvatura se obtiene de las
fórmulas (9 ) y (1 0 ) sustituyendo en éstas y' e y" por:
, _ g'(t) . „ . f'(t).g»(t) g'(t).f"(t)
f'(t) ’ f l2 (t)Entonces:
= y +x 1 (x 12+y'2)
(11 )
( 1 2 )x 'y11 x"y 1
(2) El conjunto de todos los centros de curvatura de la línea da
da es el lugar geométrico de una nueva línea, llamada, evolu
ta de la cu/iua. Para determinar el lugar geométrico bastará
eliminar x e y entre la ecuación de la línea dada y las dos
expresiones que dan las coordenadas del centro de la circun-
ferencia de curvatura.
(3) La línea estudiada y=f(x), con relación a su evoluta, se lia
la evolvente. o involuta.
PROBLEMAS RESUELTOS
En los ejercicios 15291536 hallar la; curvatura de las líneas
que se indican.
De la hipérbola xy=4 en el punto M(2,2).
So ¿ución. Las dos primeras derivadas de la ecuación dada
son: y 1 = : y" = 3üíx ■ x 2
Para el punto M(2,2): y 1 = 1 : y" = 1
|y"l ^ v _____1_____&Si K =/( 1+y ' 2 ) 3
K =/ ( 1+1 ) !
De la elipse b2x2+a2y2=a2b2, en los vértices.
S i ió L é ti d l li V( 0) B(0 b)
Sección 6: Curvatura 705
y las dos primeras derivadas de la ecuación son:
y' = 4(S> e y" = - ba2y 3
En B(0,b) y'=0 , y la curvatura, en
dicho punto, según la fórmula (5) es
b* ■ _ _b
a2b3I ’ a2K ly"
En el vértice V(a,0), y' no está de-
finida. Para salvar esta dificultad,
despejamos y=f(x), esto es:
y'bx
a/a2x2
Luego: K =
* y
ab
ab
v f /(a“x
/(a 2x2)3
a^b
/( a1,a2x2 + b2x2)3n +
L a2 ( a2 x2 )J
Para V(a,0) *■ K = — — r==z. = — / ( a 2b 3 ) 3 b 2
||i£y y = x ‘*4x318x2 en el origen de coordenadas.
Solución. y' = 4x 312x236x + y" = 12x224x36
Para x=0 -*■ y'=0 , y"=36
Según la fórmula (5): K=|y"| = 36
yJ =8x en el punto M(9/8,3).
Solución. Por derivación implícita obtenemos:
ir ' = ¿y.
Para el punto ¡4(9/8,3): y 1 = 3 , y" = •-jpj
I y"
y
. 4
16/27
» = All = 16
y2 y!16
16
/( 1+y ' 2 ) 3 /( 1 +1 6/9 ) 3 125= 0.128
y = Inx , en el punto M (1, 0)
Soiución. y' = ^ ; y" = 1/x2
P M (1 0) *■ ' 1 " 1
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Soiución. Los vértices de la elipse son V(a,0) y B(0,b) Para M(1,0) *■ y'=1 , y"=1
Luego, según la fórmula (5): K = /2/4
706 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
y = ln(x+/l+x2 ) en el origen de coordenadas.
Solución. y 1 =■ 1 : (1 + = 5 = ) =p3=<+/l +x2 /T +x2 '1+x'
/(1+x2)3
Para x=0 *■ y ’=1 , y"=0 . Luego, por la fórmula (5): K=0
y=Senx en los puntos comprendidos en los extremos de la
función.
Solución. y'=Cosx í y"=Senx
Si y'=0 *• Cosx=0 •*>■ x = nir + , n=0,±1,±2, ...
Para n=0 , x=tt/2 * y" = 1
I Y" lK = = 1/(1+y'2)3
Del folio de Descartes x 3+y3=3axy en el punto M(^a. a)
Solución. Por derivación implícita obtenemos:
y i = ayx2 . = . 2 a3xy
y2 ax (y2ax)3
Para el punto M(3a/2,3a/2): y'=1 , y" = 32/3a
* x = ly"I = 32/3a = 8/2
/(1+y'2 )3 /(1+1)3 3a
En los ejercicios 15371542 hallar la curvatura de las líneas
que se indican en un punto cualquiera M(x,y).
y = x 3
Solución. y'=3x2 , y"=6x
Para M(x,y): K =
b2x2a2y2=á2b2
|6x!
/[l + (3x2)2] 3 /(1+9x"):
Solución. Por derivación implícita obtenemos:
b"
a2y3
Sección 6: Cürvatura 707
y = InSecx
Solución.
k =
SecxTanx= Tanx
Secxy" = Sec2x
|Sec2xl_________ ______________ Sec2x
/(1+y'2)3 / (1+Tan2 x)3 |Secx|3= Cosx
X 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3
Solución. Derivando implícitamente obtenemos:
3^y 1 = l/v ; y" =
'x y
Si K/(1+y'2)3
K =3.3/a¡ xy |
xm j. ym _m 1 -lUla b
Solución. Por derivación implícita se tiene:bm,xm1y » = _ - ° _ ( 2 ------- _ ) y . . '
a ym
Sustituyendo estos valores en la fórmula (5) obtenemos:
(m^1)b2mxm'2m <lm1
a y
K _ [(m1)(ab)2m(xy) |
,2m 2m2b x + a y2m 2m2 \ 3
y = aCosh(|)
Solución. y' = aSenh(^)(1/a) = Senh(— )3. cL
y» = Cosh(f)0/a) = ^Cosh(f)
• K _ l(1/a)Cosh(x/a)| _ ¡ Cosh(x/a)[______________ = lSec h2(f)
/(1+Senh2(^))3 aj Co sh(— ) |Co sh2 (— )
En los ejercicios 15431549 hallar la curvatura de las líneas
que se indican.
3 x=3t2 , y=3tt3, para t=1
Solución. Sean: f(t)=3t2 ■* f(t )= 6t y f"(t)=6
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-> K = aHba2y3
/ ( b l,x 2 + a ,,y 2 ) 3
( ) ( ) y ( )
g(t)=3tt3 + g'(t)=33t2 y g"(t)=6t
708 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Para t=1 *■ f'(t)=6 , f"(t)=6 ; g»(t)=0 , g"(t)=6
Sustituyendo cada uno de estos valores en la fórmula (6) obtene
6(0)0(6)| _ 1mos: K =
/(36+0)3
H x=aCos3t , y=aSen3t para t=ti.
Solución. f (t)=aCos3t f 1 (t)=3aCos2tSent
* f"(t) = 3a(3Sen2t D
g(t)=aSen3t *• g'(t)= 3aSen2tCost , g"(t)=3a(3Cos2t1)
Para t=t y haciendo uso de la fórmula (6) obtenemos:
K = 9a2Sen2tiCos2t 1 1(3Coszti1)+(3Sen2ti1)l
/(9a2Sen2tiCos2ti)3(Cos2ti+Sen2t 1)3
2de donde:
3aISen2t1 |
\ í x=a(Cost+tSent) , y=a(SenttCost) , para t=ir/2.
Solución. f(t)=a(Cost+tSent) + f'(t)=atCost
■* f" (t)=a(CosttSent)
g(t)=a(SenttCost) + g'(t)=atSent
g" (t) =a(tCost+Sent)
Para t=7r/2 *• f'(t)=0 , f " (t) =ira/2 ; g'(.t)=7ra/2 , g"(t)=a
Sustituyendo estos valores en la fórmula (6) se tiene:
K ~ U(0)(7ra/2)(Tra/2)| _ _2
/L02+(ira/2)2] 3Tra
x=2aCostaCos2t , y=2aSentaSen2t en un punto cualquiera.
Solución. f(t)=2aCostaCos2t + f 1(t)=2a(Sen2tSent)+ f"(t)=2a(2Cos2tCost)
g(t)=2aSentaSen2t g ' (t) =2a(CostCos2t)
+ g"(t)=2a(2Sen2tSent)
Sustituyendo estas expresiones en la fórmula (6) y reduciendo
términos semejantes, obtenemos:
X _ 12a2 11(Cos2tCost+Sen2tSent)| _ 3 l1Cost|
8a3./8[lCos(2tt)] 3 2a/8( 1Cost)3
Sección 6: Curvatura 709
K =
r = a , en el punto r=1 , 6=0
Solución, r 1 = ^ = a®lna , r" = a®ln2a
Haciendo uso de la fórmula (7) se tiene:
1 20, 2 9 2 I 20 1 , 2 n 2 1a +2a ln aa .a ln a __ a 1+ 2l n¿aln a
/(a20 + a26ln 2a) 3 a39./( 1+ln2a) 3
M+ ln2a| _ 1
a®|1+ln2a|/l+ln2a a9/l+ln2í
1Luego, para 0 = 0 K
/1+ln2
r=a0 en un punto cualquiera.
Solución. “Tenemos: r'=a y r"=0
|r2 +2r12rr"IK =
/(r2+r'2)3 /(a202+a2)3
a2 (62 + 2) _ 2 + 02
a3./(02+1)3 " a/ ( 1+ 02)3
I r=a0 en*un punto cualquiera.
Solución. r' = ak0^^ , r" = ak(kl)8k ~2
Según la fórmula (7) se tiene:
| a282k+2a2k282k~2a2k(k1)82k ~2l _ a2 |82k+(2k2k2+k)62k~2 j
v/(a282k+a2k282k~2) 3 /4 6(82k+k 2e2k~2)3
a282k~2 ¡82+(k2+k)j _ [02+k2+k|
a3./(02k'2)3(02+k2)3 a0k_1./(02+k2 )3
Hallar el radio de curvatura de la elipse b2x 2+a2y2=a 2b2
en el punto en que el segmento de la tangente entre los
ejes coordenados se divide en dos partes iguales por el punto
de contacto.
Solución. Sean M(xi,yi) el punto de tangencia, A(x,0), B(0,y)
los extremos de la tangente
P d i ió i lí it d l ió d l li bt
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2a/1Co st 2a/l6Sen2(t/2) 8a|Sen(t/2)
Por derivación implícita de la ecuación de la elipse obtenemos:
■ . b2 / x i „ b 1*
710 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
\ h Mostrar que el radio de curvatura de la parábola es igual
al segmento doble de la normal comprendido entre los pun-
tos de intersección de la normal con la parábola y su directriz.
Demo.it/iaci6n. En efecto, sea la parábola y2=4px , cuya directriz
Sean: M(xi,yi) el punto de tangencia
y P(P.y)» la intersección de la ñor
mal con la directriz de la parábola.
Por derivación implícita se tiene:
y' = ~£L , y" = ^P2
Para yj), la pendiente de la .
pendiente de la normal es: n = JL}.
2Py su ecuación: yy! = -m ÜÍÍx -X!)
2p
Para x=p * 2py2py, = yjfpXj) +-+ y =
— — — — — 2plongitud del segmento ABí Jt = /(xi+p)2 + (yyi)2
i y
PN
1
11 °
1
1
1
[ F (p,0)
Para el punto M la pendiente de
la tangente es: m = — (— )a2 yi
y su ecuación:
yyi = — (— )(xxi) (1)
a2 yi
Si y=0 + yi = — (üi)(xxi)a2 yi
de donde: b2xix = b2xf+a2y|
■+ b2xix = a2b2 +*• xix=a2
Como el punto M biseca al segmento
AB + x=2xi; luego: 2x2 = a2 xi = a/2/2
Análogamente, si x=0, en (1) obtenemos: yi = b/2/2
Entonces, para M(— , bl ) se tiene: y 1 = ~ » y"
_ /(1+Y12)3 + R _ /(á2+b2)3Por tanto, si R =— i— «■ — R =
| y"| 2ab/2
. 2b/2
Sección 6: Curvatura 711
». = ( v ^ r ^ + pi ^p +x x) = Ixx+pl./pCptxi) {1)
Radio de curvatura: R = = ¿LÚII l IV I y " ! 4p2/ y f 4p2
-*■ r = /U p x i H p 2)3 _ 8p | xi+p 1 ./p(xi+p) _ 2 |xi+p|.>p(xi+p)4p 4p2
De (1) y (2) se deduce que: R = 21
(2 )4p 4p 2 p
Mostrar que el radio de curvatura de la cicloide en cual-
quier punto suyo es dos veces mayor que la longitud de la
normal en el misrap punto.
De.rn.oit/iaci6n. En efecto, las ecuaciones paramétricas de la ci-
cloide son: x=a(tSent) , y=a(1Cost)
Si f(t)=a(tSent) f 1 (t) = a(1 Cost) y f"(t)=aSent
g(t)=a(1Cost) *■ g'(t)=aSent y g"(t)=aCostR = 1 = /ff,2(t)+g»2(t)l3 = /ra2 d Co st )2 + a2Sen2t]3
K |g"(t).f'(t)+g1(t)f"(t)| |a2Cos t(1Cost(aSent)(aSent) |
= . a l : / 8 ( > C ? s l 11 = a|1^Cost|./8( ,1Cost) = AajSen(t/2)| (1)
|a2(Costl)| |lCost|
Longitud de la normal: N = y./l+y'2
_ dy _ g 1 (t) _ aSent
dx f'(t) a(1Co st)
N = a( 1 Cost) ■/1 + g?.P2E Z = a/2( 1 Co st) = 2a|Sen(t/1 (1Cost)2
De (1) y (2) se deduce que: R=2N
Mostrar que el radio de curvatura de la lemniscata
r2=a2Cos20 es inversamente proporcional al radio polar
correspondiente.
De.mo¿t/iaci6n. En efecto, R ---- r +r----- (1 )|r2+2r'2~rr"|
Por derivación implícita se tiene:
2rr' = a2 (2Sen26) + rr1 = a2Sen20 ■+ r1 = — Sen26r
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g g ( p) (y y )rr" +r 1.r1 = 2a2Cos20 > rr" = 2a2Cos28 — "'sen220
712 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
, , , „ a“O +Cos 220)de donde: rr" = -
r 2
A , '7:,. r, , , B\«?nna20,, /(a'*CoB220 + a'*Sen220)3Luego: /(rz+r|z)d = y + -------- ) ------------- ----------
r2 r
/a>2(Cos226 + Sen 220)3 _ s¿ (2)
I rz + 2rr' 2rr" | = Ir2 + S e n 226 + — (1+Cos220) I1 1 r2 r2 1
1 a‘*Cos220 + 2 a‘,Sen220 + a “( 1+Cos220) |
ja1* + 2a<t(Cos220+Sen220) I _ 3a1* (3 )
I „2 I "p2
a6/r 3 a2Sustituyendo (2) y (3) en (1) obtenemos: R = -- --- — = ~yj.
3 a /r2
Por tanto, el radio de curvatura R es inversamente proporcional
al radio polar r.
Hallar la circunferencia de curvatura de la parábola y=x2
en el punto M(T, 1).
Solución. y=x2 + y'=2x , y"=2
Para el punto M (1,1 ) *• y'=2 , y" = 2
Las cordenadas del centro de curvatura son:
o¡¡= x (1+y|2) = 1 í|(1 + 4) = -A
y" ________ _ _______
_ « /(1 +v ' 2 ) 3 . /(1+ ¿ ) 3 .. 5/5Radio de curvatura: R = --- ---------------- ------ly"I 2 2
Circunferencia de curvatura: (xa)2+(y8 )2=R2
( x U ) 2t(y7/2) 2 = 125/4
Hallar la circunferencia de curvatura de la hipérbola
xy =1 en el punto M (1 ,1 )
Solución. y = 1/x y 1 = 1/x2 , y" = 2/ x3
Sección 6: Curvatura 713
Coordenadas del centro de curvatura: C(a,6 )
12
a = x l l (1+y*2) = 1 + ^(1 + 1) = 2 ; B = y + J l í l ! = 1 + 1 = 2 ________ ______ y"
Radio de curvatura: R = — Llt#..!— L. = 1 + ) = / 2
ly" I 2
Circunferencia de curvatura: (xa)2+(yB)2=R2
(x2 )2 + (y —2 )2= 2
Hallar la circunferencia de curvatura de la línea y=ex
en el punto M(0,1)
Solución, y=ex y 1 = y" = ex
Para el punto M(0,1): y 1 = y" = 1
Centro de curvatura, C(a,B): a = x JLl(l+y'2) = 0 i(l+1) = 2V»y
y + i ± ^ = 1 +± Ü. = 3y" 1
Radio de curvatura: R =J^LLÍxElL = ^ ^ X. = 2 / 2y"
Circunferencia de curvatura: (xa)2+(yS)2=R2
(x+2 ) 2+ (y3) 2 =8
Hallar la circunferencia de curvatura de la línea y=Tanx
en el punto M(^/4 ,1 ).
Solución. y=Tanx + y'= Sec2x , y"=2Se,c2x.Tanx
•Para x=tt/4 *■ y'=2 , ylr =4
Coordenadas del centro de curvatura C(a*(3):
a = X lJ(l+y'2) = f .1 (1 + ) = I.Z ]0y"
y + i ± ^ = 1 +^± i = ivn 4 4
Radio de curvatura: R = ~ S 1+Y !— L = — („1ly" I ~ *
Circunferencia de curvatura: (x | ^ ) 2 + (y - | ) 2 = —^
1558 Hallar la circunferencia de curvatura de la cisoide
2 2 0
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Para el punto M(1,1):y 1 = 1 , y"=2 (x2+y2 )x2ay2=0 en el punto M(a,a).
714 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Solución. x 3+xy22ay2=0 *■ 3x2+2xyy'+y24ayy'=0
3x2+(2xy4ay)y'+y2=0 (1)
Para M(a,a): 3a2 + (2a24.a2 )y' +a2=0 ■*-> y '2
Derivando implícitamente la ecuación (1) se tiene:
6x+(2xy4ay)y"+y1(2xy'+2x2ay')+2yy'=0
Para M(a,a): 6a+(2a?4a2)y"+2(4a+2a8a)+4a=0 **■ y"=3/a
Coordenadas del centro de curvatura C(a,B):
a = x 2— (1+y'2 ) = a ^|(l+4) = ^a
6 = y + i ü ü = a +■ 4a 'y» 3 /a ^
~ . . n /(1+y '2)’ _ / ( 1 +4 ) 3 _ 5a/"5Radio de curvatura: R = ---- “---- = ------- ------
I y" I 3 / a 3
V 8 125Circunferencia de curvatura: (x + ja)2 + (y *^a)2 = ^ a2
En los ejercicios 15591562 hallar los vértices (es decir,
los puntos en los cuales la curvatura toma su valor extremo)
de las líneas que se indican.
/x + /y = /a
So ¿ución. Por derivación implícita obtenemos:
y
Curvatura de la línea: K =
/x . ..ii _ /&
/y 2x/x
I y" ! _ /a
/( 1+y'2)3 2/(x+y)3
Pero, y = ( / W £ ) 2 K(x) = *f[ x+ (/a/3F) 2J' 3 '2
+ K'(x) = ^[x+ (/i /í )2]'s/2[l+2(/í/í)(— )J4 2/x
3/a(2/x/a)
’ 2/í(x+y)5/2
Para K'(x)=0 + 2/x/a = 0 x=a/4 , luego, y=a/4
En consecuericia, el vértice de la línea es: (a/4»a/4)
1560 y = Inx
Sección 6: Curvatura 715
K -- 1 ylf 1 ■— = ---- 1/xí--- + K'(x) = —=======■/(1+y'2)3 /(1 + 1/x2)3 /(1+x2)3
Para K*(x)=0 *• 12x2=0 ■«»■ x=±/5/2
Dado que x>0 + x=/2/2 , luego, y=ln(/2/2)= ln2/ó •(
Por tanto,. el vértice de la línea es: (—^ , Tjln2)
C E U y = e>:
Solución. y = ex ■+■ y' = y" = e31
K = hl l___ e*
/(1+y'2)3 /(1+e2x )3
+ K ' (x) = e 1~2e2X)
/(1+e2x)s
Para K'(x)=0 + 12e2x = 0 **• e2x=1/2 «+ x = ^ln2
. _ x _ / 2x _ /2
y = e = / e ~ 2
Luego, el vértice de la línea es: ( 7jln2 , ~ )
x=a(3Cost+Cos3t) , y=a(3Sent+Sen3t)
So ¿ución. Si f(t)=a(3Cost+Cos3t) *■ f'(t)=3a(Sent+Sen3t)
f"(t)=3a(Cost+3Cos3t)
g(t) = a(3Sent+Sen3t) + g'(t) = 3a(Cost+Cos3t)
+ g"(t) = 3a(Sent+3Sen3t)
Haciendo uso de la fórmula (6) y simplificando términos en el nu.
merador y denominador, obtenemos:
K = 36a2|l+Cos2tl = 2_______ = 1 = i
54a3./2(1+Cos2t)3 3a/2(l+Cos2t) 3a|Cost| " 3a
♦ K'(t) = 1 (_SectTan_t}
a |Sect|
Si K'(t) = 0 + Tant=0 t = nir , n=0,±1,±2, ..
Para t=0 x=a(3 + l)=4a ; y=0
Luego, uno de los vértices de la línea es: (4a,0)
Hallar el mayor valor del radio de curvatura de la línea
r=aSens(0/3)
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Solución., y=lnx »• y'=1/x , y" = 1/x 2
716 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
Solución. r' = 3aSen2(6/3)[^Cos(6/3)] = aSen2 (0/3)Cos(0/3)
r" = |Sen(6/3) [3Cos(0/3)1]
r2+2r,2rr" = a2Sen6 (•|)+2a2Sen‘f (■|)Cos2( ) y-Sen“1(y) [3Cos2| 1]
= a2Sen**(|)CSen2(|) + Cos2 (§) .+ = ¿a^ en ^f )
/ (r2+r' 2 )3 = / [a 2Se n6(0/3) + a2S en 1* (6/3)Co s2 (0/3).] 3 = a3Sen 6(|)
Si R * + R =|aS en2(|) (1)r2+ 2r12rr" 4 ^
*• R' (0) = |Sen(29/3)
Para R'(0)=O Sen(^j) =■ O = 71 ^
Luego, en (1) : R = ^a(Sen^)2 = ja
es el mayor valor del radio de curvatura.
Mostrar que la curvatura en un punto P de la línea y=f(x)
es igual a |y"Cos3ct|, donde a es el ángulo formado por la
tangente a la línea en el punto P con el eje positivo de las abs
cisas.
de.mo¿t/i ación. En efecto, la curvatura de la línea y=f(x) en
cualquier punto P(x,y) de la misma es:
k ■ ,lr"L/( 1+y ' 2 ) 3
Pero, el coeficiente angular de la tangente en el punto P es
y'=Tanoc , entonces:
K = ly" l .. - = , ly " l - = ly” l . = ¡y" co s 3a |/ (1+Tan2a)3 /(Sec2a)3 |Seca|3
Mostrar que la curvatura de una línea en un punto cual-
quiera puede ser expresada pe la relación K = | I
donde a tiene el mismo significado c e en el ejercicio anterior.
De.no¿i/iación. En efecto, por definí ión de curvatura sabemos
v _ da / * \
Sección 6: Curvatura 717
da da da da
Pero: 4 * = 4f = = = =M = = ---^ = |Cosa| (^)/i+y'2 /i+Tan2a |Seca| dx
Luego, en (1): K = |Cosa(||)| = |d(Sena) j
La función f(x) está definida del modo siguiente: f(x)=x2
en el intervalo °°<x<1 , f(x)=ax2+bx+c en el intervalo
1<x<+°° . Cuáles deben ser los valores de a, b y c para que la
línea y=f(x) tenga una curvatura continua por todas partes?
Rpta: a=3 , b=3 , c=1
En los ejercicios 15681574 hallar las coordenadas del cen-
tro de la curvatura y la ecuación de la evoluta para las lí-
neas que se indican.
U¡JJJ Parábola de nésimo orden: y=xn
Solución. y=xn y'=nxn '^ , y''=n(n1 )xn2
»■ a = x li(l+y'2) = x ---- — --- — T,(l+n2x2n'2 )y" n(n1)x
n /-1 , 2 2 n —2 \"n T +n x )
, 1+v'2 , 1+n2x2n'2 n , 1+n2x2n'2 _ y + = y + ■ ■ :2 = x + — - -■ — -2
y" n(n1;x n(n1)x
Hipérbola: b2x2a2y2=a2b2
Solución. Por derivación implícita obtenemos:
. b2x b"
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718 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
De las coordenadas del centro de curvatura se sigue que:
x3 al*a + x 2 _ a2 (ag)2/3
~ a2 + b2 (a2 +b2)2/ 3
3 = b8 + 2. =b2(bg)2/3
a2+b2 (a2+b2)2/ 3
Sustituyendo en la ecuación de la hipérbola se tiene:
b2 a2 (ag) 2 3 _ a2b2(bg)2/3 = a2b¡!
(a2+b 2)2/ 3 " (a2+b2 )2/3
de donde obtenemos la ecuación de la evoluta de la hipérbola:
(act)2/ 3 (bB)2/3 = (a2+b 2)2/ 3
Astroide: x2/3Jy2/3 = a2/ 3
Solución. Por derivación implícita obtenemos:
3/y „ a2/ 3y' = ----- sL , y" = ---------
3/^ 3x. 3/xy
Coordenadas del centro de curvatura: C(a,B)
3i/w 2 / . 3 vA/ 2 v 3i/y v2 / a2 /3 <a = x y!(l+y'2) = x + 3x^/xy_2 (l + = x + 3x. /xyy" a2 3. 3/x 3/ ^ a2/3.3Vx 3/ ^
= x + 3. 3/c y2
6 = y + ltJ12 = y + 3x. 3/xy (3/ ^ + V y * ) = y + 3 .3/ ^
y" a2/ 3. V x 2
Cálculo de la ecuación de la evoluta:
Sumando y restando las coordenadas del centro de curvatura se
tiene: a + B = x + y + 3. 3»/x2y + 3. 3/xy 2 = (x1/Í3 +y l / 3 )3
a 6 = x 3.3/ ^ + 3.3/ ^ 7 y = (x1/3:;1/3)3
» (a + B)2/ 3 + (a 6) 2/3 = (x1' *+yV 3 ) 2 + (x 1 /3 y1 /3 ) 2
= (x2/3+y2/3)
(a+B) 2 / 3 + (aB) 2 / 3 = 2a2/ 3
E k M l Parábola semicúbi.ca: y 3 =ax 2*
Solución. Por derivación implícita obtenemos:
y = , y = _ _ 2a
3y 2 9y 2
Sección 6: Curvatura 719
a = x — (1+y12) = x + 3x( 1 + .Í2_*_). = x + 3x ( 2 U ^ M 1 ) y" 9 y" 9y l*
a = x + 3x ( M 5 ) =^(3y+a ) + a = ± | (3y+a)
B = v + 1+y' 2 = v 9y'* + 4ay3 = 9y2+2ay
y" 2ay2 2a
Q J Q Parábola: x=3t , y=t26
Solución. Si f(t)=3t + f 1(t)=3 y f"(t)=0
g(t)=t26 g'(t)=2t y g"(t)=2
yt = g'(t) = 2t = f'(t)g''(t)g'(t)f"(t) = 3(2)2t(0) =
f'.’(t) 3 ’ f,3(t)27
Coordenadas del centro de curvatura: C(a,B)
a = x — ' (1+y>2 ) = 3t Ü Z 3(1 + % 2) = 4t3y» 2/9 V i
B = y + = t26 + 1+ V ? » . 3 ta, |
y" 2/9 ¿
Ecuación de la evoluta:
a = |t3 a2 = ^|t6 (1)
B + | = 3t2 ■> (8 + |)3 = 27t6 (2)
Eliminando t 6 de (1) y (2) obtenemos:
a2 = — — (B + ) 3a 243'P 2
Q 2 Z 3 Cisoide: y2 =
'Solución. Derivando dos veces la ecuación dada obtenemos, _ /x(3ax) „ 3a2
(2ax)3/2 ’ /x(2ax)5/2
Coordenadas del centro de curvatura: C(ct,8)
a = x x(3ax) (2ax) T (2ax) 3fx(3ax) 2~j = x _ x(3ax) (8a3x)
3a2 L (2ax)3 J 3(2ax)2
de donde: a =3 (2ax)2
B = y + 1+y ’2 = v + >/xT(2ax) 3+x(3ax)2J _ v + a ;/x(. :a3x)
y" 3a2./2ax 3a2;/2ax
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3y 2 9y 2
Coordenadas del centro de curvatura: C(a,B)
y 3a2./2a x 3a2;/2a x
720 Capitulo 4: Análisis de las Funciones
6 = y + laÚL . = y + % ^ L ) . y3/2ax /2ax 3x /2ax
B = (||)y
Eliminando x e y de las coordenadas del centro de curvatura ob-
tenemos la ecuación de la evoluta:(¿§)*+6a2(¿§)2+3a3a = 0
La línea: x=a(1+Cos2t)Sent , y=aSenztCost
Rpta: a2/3+B2/3=(2a)2/3
Mostrar que la evoluta de la tractriz: x=a(lnTan|
X=*a (lnTanlj + Cost) , y = aSent , es una catenaria.
de.mo4tn.ac.l6n. En efecto, sean f (t) =alnTan^ + Gost , g(t)=aSent
*■ f'(t) = a(SentCsct) y f"(t)=a(Cost+CsctCotgt)
“*■ g'(t) = aGost y g"(t) = aSent
Luego, y 1 = g'(tI = ---2 ^ ---- = _Tantf'(t) a(SentCsct)
„ = f(t).g"(t) g«(t).f"(t)~
f'3(t)
a2(SentCsct)Senta 2Co st(Cost+CsctCotgt)
a3(SentCsct)3
de donde: y" = —TantSec3ta
Coordenadas del centro de curvatura: C(a,B)
a = x L(1 +y12) = x + aTant---- (]+Tan2t) = x+’ aC os t.y" TantSec3t
a = a(lnTanj +Cost) + aCost = alnTan^ *■ lnTaní; = ~
de donde: ^an'| = e~a^a (1)
0. = y + = aSent + --- l4Ta)?H --- = aSent + a(^¿H)y" (1/a)TantSec3t Sent
6 = aCosect , & - JLtIS£ÍÜ/g> - .1 = l(e«/a + ea/a}a 2Tan(t/2) 2e_a/a 2
de donde: 6 = aCosh(^) La evoluta es una catenaria
Sección 6: Curvatura 721
6E B Q Mostrar que la evoluta de la espiral logarítmica r=a er
exactamente la misma espiral, pero desplazada un poco con
cierto ángulo. Será posible elegir un valor de modo que la evolu
ta coincida con la espiral?
'"'{jJU Mostrar que cualquier envolvente de una circunferencia
puede ser engendrada desplazando una de ellas con un án-
gulo correspondiente.
- Mostrar que la distancia entre un punto de la cicloide y
el centro de la curvatura del punto correspondiente de la
evoluta es igual al diámetro doble del círculo generador.
Be.m04tn.ac ¿6 n. Las ecuaciones paramétricas de la cicloide son:
x=a(tSent) , y=a(lCost)
donde 2a es el diámetro dél círculo generador. Si P(x,y) es un
punto de dicha cicloide y C(a,B) es el centro de la curvatura
correspondiente a P, debemos probar que: d(P,C)=4a.
En efecto, si f(t)=a(tSent) f 1 (t) =a( 1Cost) , f"(t)aSent
g(t)=a(lCost) + g'(t)=aSent y g"(t)=aCost
v' g' (•t) Sentf'(t) 1‘Cost
„ _ f1(t)g"(t)g'(t)f"(t) _ a2(1Cost)Costa2Sen2t _ ____ ]____
f ,3(t) a3(1Cost)3 a(1Cost)2
Coordenadas del centro de curvatura: C(a,8)
a = x Z_( 1+y1 2) = x +a( 1Cost)Sent 11 + — — "1 = x+2aSenty" L (1Cost)2J
a=a(t+Sent)
B = y + 2LZ-- = a(1Cost) 2a(lCost) = a(lCost)y" ---------------Entonces: d(P,C) = /(xa)2+(yB)2
= /a .2(tSenttSent) 2 + a2 ( 1Cost+ 1Co st )2
= i/4a2Sen2t + 4a2(12Cost+Cos2t)
= 2a/2(1Cost) = 2a/4Sen2(t/2) = 4a|Sen(t/2)|
Luego, para t=77 *■ d(P,C) = 4a
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de donde: 6 aCosh( ) La evoluta es una catenaria.
722 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
£ Q ¡ Q La parábola semicúbica py 2 = :j^(x2p)3 sirve de evoluta
a la parábola y2=4px. Hallar la longitud del arco de la
parábola semicúbica desde el "pico" hasta el punto (x,y).
Rpta. 2p 3
i k M J Hallar la longitud de la misma'evoluta de la elipse cu-
yos semiejes son iguales a a y b
Solución. Sea la elipse dé ecuaciones paramétricas:
x=aCost , y=bSent
Si f(t)=aCost *• f'(t)=aSent y f"(t)=aCost
g(t)=bSent *■ g'(t)=bCost , g"(t)=bSent
Luego: y' = i— = rjCotgtf'(t)
y = f'(t)g"(t)g'(t)f"(t) = abSen2t+abCos2t = _ b_Cosec3t
f ,3(t) a3Se n3t a2Coordenadas del centro de curvatura: C(a,S)
a = x ^(1+y'2) = aCost aCostSen2t(1 + ^ <'03 )y" a2Sen2t
>i2 h2= aCost aCostSen2t — Cos 3t = (a — )Cos3ta a
Del mismo modo: 6 = y + — — = (b •£)Sen3ty"
Eliminando el parámetro t obtenemos la ecuación de la evoluta
de la elipse: (f)2/ 3 + (f)2/ 3 = (i ) 2/3
Si ds es el diferencial del arco de la evoluta, entonces:
ds _ f dt y
(á“}2 + ( M ) 2 (1)dt dt v u
f t = 3(~ 2¿)Cos2tSent : 3( )Sen2tCost
(|£)2 + (II)2= 9(a2b2)2Cos2tSen2t( 2£ £Ü + SenHjat at a 2 ^2
Luego, en (1): = 3(a2b2 )SentCost A 1* ( 1Sen H) +a S enHa t V a2 b.2
^ (a 2b2).SentCost /b2 + ( a2 b2 )Sen21
Sección 6: Curvatura 723
Entonces :
£[ b2 + (a2b2)]3/2 [b2 + 0 p / 2J= __áab
, , , . 4( a3 b3)de donde : s = — — — -
Mostrar que la astroide x=aCos*t , y = aSen3t tiene por evo
luta una astroide dedimensiones lineales dobles ygirada
¿5o.Valiéndose de ello calcular lalongitud del arco de la as-
troide citada. Rpta: 6a
BSTíEl Mostrar que la evoluta de la cardiode x=2aCostaCos2t ,
y=2aSentaSen2t es también una cardiode semejante a la da
da. Valiéndose de ello hallar la longitud del arco de toda la
cardiode. _
De.no¿i/iación. En efecto,f 1(t)=2a(Sen2tSent)y f"(t )=2a(2Cos2tCost)
g '(t)=2a(CostCos2t) y g" (t)=2a(2Sen2tSent)
Luego: y' g '(t) CostCos2t ^ 1+y,2 _ 2(1Cost)
f 1(t) Sen2tSent (Sen2tSent)2
„ = f'(t)g"(t)gl(t)f"(t) = 3(1Cost)
f ,3(t) 2a(Sen2tSer>t) 3
Coordenadas del centro de curvatura C(oc,8):
a = z J L( l+ y|2) 2aCostaCos2t 4a(CostCos2t)
y"■|aCost |Cos2t (1)
6 = y + 1+y'2 = 2aSentaSen2t + 4a(Sen2tSent)y"
6 = |aSent + |Sen2t (2)
Por tanto, (1) y (2) son las ecuaciones paramétricas de la evo-
luta, que es una cardiode semejante a la dada.
Cálculo de la longitud del arco de toda la cardiode:
/dss2 /dx}2 ,'dt dt dt
= 4a2 f(Sen2tSent ) 2 + (CostCos2t) 2]
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ds = —1 d f ( b2+ ( a 2-b 2 )S en 2t J 3 /í 2= ¿a2£22(Cos2tCostSen2tSent)]
724 Capítulo 4: Análisis de las Funciones
(f§)2 = 8a2 ('1 Cost) > 8a2 (2Sen2|)
*• 4a|Sen | *■ ds = ¿aSen dt
r +~i .'. s = 4a|2Cos|¡ = AaC2(1)+2(1)J = 16a
Demostrar el siguiente teorema: si la curvatura del arco
de cierta línea sólo crece, bien solamente decrece, las
circunferencias de la curvatura correspondientes a distintos pun
tos de dicho arco no se cortan y se hallan situadas una dentro
de la otra.
(Sug. Valerse de la dependencia que existe entre la longitud de
la evoluta y el incremento del radio de curvatura.)
1583
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