Download - Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
1/34
Ciocotişan Radu
ii vectoriale de coliniaritateii vectoriale de coliniaritateţţ3.1 Condi3.1 Condiia 1.ia 1.ţţPropoziPropozi
Punctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă există numărul real α astfel încât AC AB
ieieţţemonstraemonstraDD
1) Dacă A,B,C sunt coliniare atunci vectorii AB şi AC sunt coliniari deci există numărul real α şi AC AB
2) Dacă AC AB atunci vectorii AB şi AC sunt coliniari,deci dreptele AB şi AC coincid,adică punctele A,B,C sunt coliniare
n cazurile î işia este adevăratăţ: propoziieţObserva AB AC BC AC AC AB ,,
Punctele A,B,C sunt coliniare
există numărul real α ,astfel încât AC AB
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
2/34
Ciocotişan Radu
ia 2.ia 2.ţţPropoziPropoziPunctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă există numerele reale x,y,cu x+y=1, astfel încât pentru orice punct O din plan avem
OB yOA xOC
Punctele A,B,C sunt coliniare . astfelastfel î î ncât pentru orice punctncât pentru orice punct O din plan avem
1,, y x R y x OB yOA xOC
a) b)ieieţţemonstraemonstraDD
a)→b) A
B
C
O
Fie OB yOA xOBOAOBOAOC CB
CA
11
1
1
1
x y
b)→a) avem
CB x
yCACB yCA x
CB yCA xOC CB yCA xOC y xCBOC yCAOC xOB yOA xOC
0 iar din Prop.1 A,B,C sunt coliniare
ăăţţConsecinConsecin Cum x+y=1 avem y=1-x şi atunci
OB xOA xOC )1( * R x
Punctele A,B,C sunt coliniare
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
3/34
Ciocotişan Radu
Problema 1Problema 1
Într-un trapez mijloacele bazelor,punctul de intersecţie al diagonalelor şi punctul de intersecţie al laturilor neparalelesunt 4 puncte coliniare
AB
CD
O
E
F
I
RezolvareRezolvare
,O,F sunt coliniareArătăm că E1)
,2
,2
OBOAOF
OC ODOE
E,F mijloace
Notămk
OD
OB
OC
OA
OE k OBOC k OBk OC k OBOAOF
OC k OA
222
,
ceea ce exprimă că O,E,F sunt coliniare( Prop.1)
,F,I sunt coliniareArătăm că punctele E2)
2,
2
IB IA IF
IC ID IE
E,F mijloace
IF k
IB IAk
IE k IB
IC
k IA
ID
k OA
OC
AB
DC OABODC
AB
DC
IB
IC
IA
ID IAB IDC
2
1
2
11,
1
1
ceea ce exprimă că I,E,F sunt coliniare( Prop.1)
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
4/34
Ciocotişan Radu
22ProblemaProblema
În triunghiul ABC ,fie D,E mijloacele laturilor AB,AC.Fie C’ situat pe AB şi B’ situat pe AC astfel ca
A B
A B
AC
BC
'
'
'
' Arătaţi că punctele D,E şi I ,mijlocul lui B’C’ sunt coliniare.
RezolvareRezolvare A
B C
D E
I
B’
C’
12
'' AC AB AI
Avem
2,1
1'
'''''
AB AC
AC AB BC AB AC AC BC
Avem 3,1''' AC ABC B A B
Înlocuind 2 şi 3 în 1 avem AE AD AI
11
1
x y
şi x+y=1 deci D,E,I coliniare( Prop.2)
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
5/34
Ciocotişan Radu
33ProblemaProblema
Fie triunghiul ABC şi G centrul său de greutate.O dreaptă d care trece prin G,intersectează AC în P şi BC în Q. Arătaţi că 1
QC
BQ
PC
AP
RezolvareRezolvare
Notăm nQC BQm
PC AP ,
C
B A
G
P
Q
atunciCA
mCP
mCA
CP
1
1
1
1
analog CB
nCQ
1
1
De asemenea avem CBCACC CG
2
1
3
2'
3
2
Cum punctele P,Q,G sunt coliniare,există numărul real nenul t,astfel încât CQt CPt CG )1( consecinţă
CBn
t CA
m
t CBCACG
1
1
13
1
Atunci
Cum vectorii CA şi CB sunt necoliniari avem
cctd nm
nmn
t
m
t
n
t
m
t
,13
1
13
1
3
1
1şi3
11
1
3
1şi
13
1
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
6/34
Ciocotişan Radu
SYLVESTERSYLVESTERia luiia luiţţRelaRela
În orice triunghi ABC avem
( notăm O-centrul cercului circumscris,G-centrul de greutate,H-ortocentrul)
OH OC OBOA
ieieţţDemonstraDemonstra
triunghi dreptunghic1.Cazul
A
B C
O
H=A OH OA OH OC OBOA evident
triunghi oarecare.Cazul2
A
B
C
O
D
H
P
BH CD ABCH AB DB
DC BH AC DC AC BH
// ,
// ,
deci BHCD este paralelogram
Fie P mijlocul lui BC
În ΔAHD, OP este linie mijlocie OP AH 2
De asemenea în ΔOBC,OP este mediană OC OBOP 2 AH OC OB
În ΔAOH avem OAOH AH
OH OC OBOA
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
7/34
Ciocotişan Radu
))Dreapta lui EULERDreapta lui EULER((TeoremăTeoremă
i avemşi H sunt coliniarei H sunt coliniareşşO,GO,Gn orice triunghi ABC,puncteleÎ OGOH 3ieieţţDemonstraDemonstra
Folosim relaţia lui LEIBNIZ PC PBPAPG 3 cu P=O OC OBOAOG 3
OH OC OBOA dar
OGOH 3
ceea ce exprimă că O,G,H sunt coliniare(Prop.1)
ia lui LEIBNIZţrela
G
A
B C
B’
P
3
2
'2,'
1
1
PC PBPAPG
PC PAPB' dar
GB
GBPBPBPG
ieţObserva
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
8/34
Ciocotişan Radu
MENELAUSMENELAUSTeorema luiTeorema lui
Fie un triunghi ABC şi punctele A’,B’,C’ distincte de vârfurile triunghiului.
Punctele A’,B’,C’ sunt coliniare 1
'
'
'
'
'
'
BC
AC
A B
C B
C A
B A
A
B C
A’
B’C’
Notăm
C A
B A
'
'= m
A B
C B
'
'= n
BC
AC
'
'= p
(←)ieieţţDemonstraDemonstra
Presupunem mnp = 1. Din BAn BC n
BB A BnC B
1
1'''
Avem
'11''1'''' BAm
B A B Am
BAC A B AC A BC
'1'''' BC p BC p BC AC BC BA
(*)
'1
)1(
')1(
1
' BC n
pn
BAnm
m
BB
x y
Se verifică că x+y = 1
Deci A’,B’,C’ sunt coliniare(Prop.2)(→) Presupunem prin absurd că A’,B’,C’ sunt coliniare şi mnp≠1 Notăm 1mnqpq,
1
mnq
Construim unicul punct Q astfel ca qQB
QA
Cum mnq= 1 avem A’,B’,Q coliniareAtunci dreptele A’B’ şi AB au în comun 2 puncte distincte C’ şi Q,deci ele coincid.
3.23.2
A’B’C’ se numeşteTRANSVERSALĂ
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
9/34
Ciocotişan Radu
VAN AUBELVAN AUBELia luiţRelaFie triunghiul ABC şi punctele A’,B’,C’ ,diferite de vârfurile triunghiului,astfel încât AA’,BB’,CC’ sunt concurente în P.Atunci avem relaţia:
BC
AC
C B
A B
PA
PA
'
'
'
'
'
A
B C
P
A’
B’C’ sau
A
B CA’
C’
PB’
ieieţţDemonstraDemonstra
Aplicăm T.Menelaus în ΔABA’ cu transversala C’PC
BC
C A
PA
PA
CB
CA
PA
PA
BC
AC
PA
PA
CA
CB
BC
AC '
'
'
''
'1
'
''
'
Aplicăm T.Menelaus în ΔACA’ cu transversala B’PB
BC
BA
PA
PA
C B
A B
PA
PA
BA
BC
C B
A B '
''
'1
'
''
'
+
''
''
''
'
'
'
PA
PA
BC
BC
PA
PA
BC
BA
BC
C A
PA
PA
BC
AC
C B
A B
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
10/34
Ciocotişan Radu
Problema 4Problema 4
Fie triunghiul ABC şi punctul D, situat pe segmentul BC ,astfel încât BC = 3DC.Fie C’ şi E mijloacele segmentelor AB şi CC’.Arătaţi că punctele A,E şi D sunt coliniare.
RezolvareRezolvare
))MenelausMenelaus.(T.(T Metoda 1 Metoda 1
A
B CD
C’E
ΔBCC’ şi ‘’transversala’’ A,E,D 11
21
2
1
'
'
DC
DB
EC
EC
AB
AC
Metoda 2. Metoda 2.
Arătăm că există numărul real α cu DE AE
22
1
2
' AC AB AC AC AE
221
6
1
12
2
12
3
12
3
432
'
3
34 AC AB AC AB AC AC BACA BC CBCA BC CC BC
CE DC DE
Atunci DE AE 3 A,D,E coliniare (Prop.1)
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
11/34
Ciocotişan Radu
Problema 5Problema 5
Fie ΔABC echilateral şi punctele D,E astfel încât avem CA AE BC CD , Notăm DE∩AB= {F}. Arătaţi că AB AF 3
1
A
B C D
E
F
))MenelausMenelaus.(T.(T Metoda 1 Metoda 1ΔBFD cu transversala EAC
ED
EF
AB
AF
CD
CB
EF
ED
AB
AF 1
ΔECD cu transversala BAF
3
1
2
11
ED
FE
FD
FE
AE
AC
BC
BD
FD
FE
Metoda 2. Metoda 2.
Notăm 0 x AB
AF atunci A împarte în raportul -xFB EB x EF
x EA
1
1
Punctul E împarte în raportul AC
BC BA BC BA BE 22
1
211
1
2
1
AB BC EB 2
(1)
(2)
Cum vectorii ED EF şi sunt coliniari,există )2()(, BC AC k CD EC k EDk EF Rk (3)Avem
BC AB AC EA (4) Înlocuind 2,3,4 în 1 obţinem BC xk AB xk
x BC AB
322
1
1
Cum vectorii AB şi BC sunt necoliniari avem simultan
31
11
311
22
xk
x
xk x
xk
Metoda 3. Metoda 3.
Ducem CM // AB
M
T.Thales în ΔACM AF CM EF FM EF
FM
EA
AC 2 (1)
Analog se arată că FM=MD,deci în ΔBDF BF=2CM (2)
Din 1 şi 2 avem AB+AF=2(2AF),deci AB=3AF
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
12/34
Ciocotişan Radu
Problema 6Problema 6
Fie triunghiul ABC,A’mijlocul laturii BC şi N situat pe (AA’).Notăm BN∩AC={E},CN∩AB={D}.Arătaţi că DE // BC.
RezolvareRezolvare A
B CA’
N ED
Aplicăm T.Menelaus în ΔAA’C cu transversala B,N,E
'2
11
'
' NA
NA
EC
EA
EC
EA
NA
NA
BA
BC
Aplicăm T.Menelaus în ΔBAA’ cu transversala D,N,C
'2
11
'
' NA
NA
DB
DA
DB
DA
NA
NA
CA
CB
Reciproca T.Thales DE // BC
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
13/34
Ciocotişan Radu
Problema 7Problema 7
Fie ΔABC şi un punct D situat pe dreapta AB astfel încât BD A
Fie [AF, CDF bisectoarea unghiului
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
14/34
Ciocotişan Radu
Problema 8Problema 8
Fie ABCD un patrulater convex şi O intersecţia diagonalelor sale AC şi BD.O dreaptă mobilă care trece prin O taie dreptele AB,DC,în punctele M,N(diferite de vârfurile patrulaterului)Arătaţi că produsul
k
NC
ND
MB
MA
A
B C
D
MN
ORezolvareRezolvareAplicăm T.Menelaus în ΔABD cu transversala L,M,O
L
OB
OD
LD
LA
MB
MA
MA
MB
OB
OD
LD
LA 1
Aplicăm T.Menelaus în ΔACD cu transversala L,N,O
OC
OA
LA
LD
ND
ND
NC
ND
OA
OC
LD
LA
1
·
k OC
OA
OB
OD
NC
ND
MB
MA
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
15/34
Ciocotişan Radu
CEVACEVA3.3 Teorema lui3.3 Teorema lui
Fie untriunghi ABC şi A’,B’,C’ situate respectiv pe dreptele BC,CA şi AB ,diferite de vârfuri.Atunci AA’,BB’,CC’ sunt concurente sau paralele
1'
'
'
'
'
'
BC
AC
A B
C B
C A
B A
ieieţţDemonstraDemonstraAA’,BB’,CC’ sunt concurente în M.
A
B CA’
B’C’
MAplicăm T.Menelaus în ΔABA’ cu transversala C’,C,M
1'
''
'
MA
MA
CA
CB
BC
AC
Aplicăm T.Menelaus în ΔACA’ cu transversala B’,B,M
1'
''
'
MA
MA
BA
BC
C B
A B1
'
'
'
'
'
'
'''
'''
CB
BC
A B
BA
CA
C B
BC
AC
BA
BC
C B
A B
CA
CB
BC
AC
AA’,BB’,CC’ sunt paralele.
A
B C
B’C’
A’Aplicăm T.Thales
''
'
AC
AB
C A
B AΔBCC’
BA
BC
A B
C B ''' ΔBAB’cu CC’
·
BA
AB
AC
BC
A B
C B
C A
B A
BA
BC
AC
AB
A B
C B
C A
B A
'
'
'
'
'
'
'
'
''
'
'
'
-1Reciproca se demonstrează prin reducere la absurd.
1'
'
'
'
'
'
BC
AC
A B
C B
C A
B Asau
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
16/34
Ciocotişan Radu
GergonneGergonnePunctul luiPunctul lui
Dacă în ΔABC notăm M,N,P punctele de contact ale cercului înscris cu laturile BC,CA,AB,))GergonneGergonneun punct (-ntr î atunci dreptele AM,BN,CP sunt concurente
A
B CM
NP1
PB
PA
NA
NC
MC
MBieieţţDemonstraDemonstra
Avem AM,BN,CP concurente ( nu pot fi paralele)
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
17/34
Ciocotişan Radu
Problema 9Problema 9
Fie ΔABC şi M mijlocul lui BC.Considerăm [MP bisectoarea unghiului
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
18/34
Ciocotişan Radu
Problema 10Problema 10
Fie ΔABC şi î nălţimea CD,mediana AM şi bisectoarea BE.Dacă 1
BA
BD
BC
BDatunci dreptele CD, AM şi BE sunt concurente.
A
B C
D
M
E
RezolvareRezolvare
Este suficient să verificăm T.Ceva 1 DB DA
EA EC
MC MB (1)
a
bc
a
c
DB
DA
DB
DA
c
a
DB
DA
c
a
a
a
DB
DA
EA
EC
MC
MB
12 /
2 /
(2)
sau
darca
ac BD
ca BD BA
BD
BC
BD
1111
Atuncica
c BDc AD
2
... Şi avema
c
ac
ca
ca
c
DB
DA
2
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
19/34
Ciocotişan Radu
Problema 11Problema 11
Fie ΔABC şi punctele A’, B’şi C’ situate respectiv pe segmentele (BC), (AC) şi (AB) astfel încât cevienele AA’, BB’, CC’sunt concurente în M. Atunci
6''')
'''2
''')
MC
MC
MB
MB
MA
MAb
MC
MC
MB
MB
MA
MA
MC
MC
MB
MB
MA
MAa
(cu ‘’= ‘’ M este centrul de greutate)
RezolvareRezolvare
A
B CA’
B’C’ M
Notăm p BC
AC n
A B
C Bm
C A
B A
'
',
'
',
'
'atunci mnp=1
Aplicăm relaţia lui Van Aubel
mn
A B
C B
B A
C A
MC
MA
pm
AC
BC
C A
B A
MB
MB
n p
C B
A B
BC
AC
MA
MA
1
'
'
'
'
'
1''
''
'
1
'
'
'
'
'
a)
cctd m
n p
mn
p
mn
pm
n p
MC
MC
MB
MB
MA
MA
1112
...111
'''
b) cum 21
x
x avem cctd.
1
...01
021
21
21
6111
2
pnm
p
nnmm p p
mn
pm
n p
adică AA’,BB’,CC’ sunt mediane
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
20/34
Ciocotişan Radu
Probleme propuse pag192/193Probleme propuse pag192/193
Problema 1/192Problema 1/192
Fie 2 drepte secante şi d∩d’=O. Considerăm punctele B, C situate pe d şi punctele A, D situate pe d’ astfel încât AB // CD.Fie I, J mijloacele segmentelor AB şi CD. Arătaţi că punctele I, J şi O sunt coliniare.
O
d
d’
A D
BC
IJ
ie:ie:ţţindicaindica
2;
2
OC ODOJ
OBOAOI
Din asemănare avem OC k OBODk OAk OC
OB
OD
OA ,
Atunci
OJ k
OC OD
k
OBOA
OI
22 ceea ce exprimă că punctele O,I,J sunt coliniare
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
21/34
Ciocotişan Radu
Problema 2/192Problema 2/192
Fie un triunghi ABC şi punctele AC F AB E , astfel încât EF // BC.Considerăm punctele 0cu,
NC
NB
MF
ME BC N EF M
Arătaţi că punctele M, N şi A sunt coliniare.
A
B C
E F
M
N
ie:ie:ţţindicaindica
Din T.Thales avem AC k AF ABk AE k AC
AF
AB
AE ;
Dar
NC NB
MF ME
de unde exprimând vectorii de poziţiecu originea A avem:
AC AB AN
1
1
şi
AN k AC ABk AF AE AM
11
1
Ceea ce exprimă că punctele A,M,N sunt coliniare.
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
22/34
Ciocotişan Radu
Problema 3/193Problema 3/193
Fie un paralelogram ABCD.Notăm cu I mijlocul laturii AB şi considerăm punctul E situat pe [ID] astfel încât ID IE 3
1
Arătaţi că punctele A, E, C sunt coliniare.
A B
CD
I
E
ie:ie:ţţindicaindica
Deoarece IE este o treime din ID avem
AC AB AD AI AD AE EI ED
3
1
3
12
21
1
2
adică punctele A,E,C sunt coliniare
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
23/34
Ciocotişan Radu
Problema 4/193Problema 4/193
Fie paralelogramul AMNO şi punctele B, C astfel încât avem .2*,1
11
n N ; nOM
nOC ;ON
nOB
Arătaţi că A, E şi C sunt puncte coliniare.
ie:ie:ţţindicaindica
A M
NOB
C
ABn
n
OAOBn
nOAON
nn
nON OA
nOAOM
nOAOC AC
OC AO AC
1
1)
1(
11
1
1
1
adică punctele A,C,B sunt coliniare
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
24/34
Ciocotişan Radu
Problema 5/193Problema 5/193
Fie două triunghiuri ABC şi A’B’C’.Considerăm punctele ',',' CC C BB N AA M
astfel încât ',',' PC PC NB NB MA MA
Arătaţi că centrele de greutate ale triunghiurilor ABC,A’B’C’ şi MNP sunt puncte coliniare.
ie:ie:ţţindicaindica Notăm centrele de greutate respectiv cu G,G’ şi Q.
Exprimând vectorii de poziţie (LEIBNIZ) avem:
OPON OM OQ
OC OBOAOG
OC OBOAOG
3
1
'''
3
1'
3
1Din ipoteză avem :
'11
'1
1
'1
1
OC OC OP
OBOBON
OAOAOM
Fie O , un punct oarecare din plan.
Atunci :
'11
'''33
1
1
1
'1
1'
1
1'
1
1
3
1
OGOGOC OBOAOC OBOA
OC OC OBOBOAOAOQ
Alegem O = Q şi avem'QGQG adică G,G’ şi Q sunt coliniare.
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
25/34
Ciocotişan Radu
Problema 6/193Problema 6/193
Fie un triunghi ABC şi punctele M, N astfel încât avem Rr NC r NB AC AB AM ,;2
Determinaţi r astfel încât punctele A, M şi N să fie coliniare.
ie:ie:ţţindicaindicaExprimăm vectorul de poziţie al lui N în raport cu originea A )(
1
1 AC r AB
r AN
A,M,şi N să fie coliniare AM AN ,
AC AB AC r ABr 2)(1 1
2
1
1
21
1
r
r
r r
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
26/34
Ciocotişan Radu
Problema 7/193Problema 7/193
Fie un paralelogram ABCD.Considerăm punctele E, F astfel încât AD AF AB BE 3,2
1
Arătaţi că punctele E, F şi C sunt coliniare.
ie:ie:ţţindicaindica
AB E
CD
F
Arătăm că: CF EC 2 care exprimă coliniaritatea E,F şi C.
BC AB AD AB AD AF CD DF CDCF
BC AB BC EB EC
22
2
1
cctd
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
27/34
Ciocotişan Radu
Problema 8/193Problema 8/193
Fie un triunghi ABC unde notăm centrul cercului circumscris cu O şi ortocentrul cu H. Arătaţi că : HO HC HB HA 2
ie:ie:ţţindicaindica
Scriem relaţia lui Sylvester OH OC OBOA
A
B CO
H
Avem :
HC OH OC
HBOH OB
HAOH OA
+
HOOH HC HB HA HC HB HAOH OH 223
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
28/34
Ciocotişan Radu
Problema 9/193Problema 9/193
Fie un triunghi ABC. Considerăm punctele 3
1cu',
2
1
'
'cu'
SA
SA' AAS
B A
C A BC A şi notăm CS ∩AB = {M}
Arătaţi că M este mijlocul laturii [AB].
ie:ie:ţţindicaindica A
B C
M
A’
S
Aplicăm T.Menelaus în ΔABA’ cu M, S, C.
MB MACA
CA
MB
MA
CA
CB
SA
SA
MB
MA 1
313'31
''
3
1
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
29/34
Ciocotişan Radu
Problema 10/193Problema 10/193
Fie ABC un triunghi. Notăm cu M mijlocul lui [BC],notăm cu N mijlocul lui [AM] şi CN ∩ AB = {P}.Arătaţi că a) BP = 2AP şi b) PC = 4PN.
ie:ie:ţţindicaindica A
BC
M
NP
a) T.Menelaus în ΔABM cu P, N, C. PBPACM
CB
NA
NM
PB
PA21
1 2
b) T.Menelaus în ΔBPC cu A, N, M.
411
PC
PN
PC
PN
AP AB
AP
CN
NP
AB
AP
MC
MB
NP
NC
AB
AP
1
11/193P bl 11/193
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
30/34
Ciocotişan Radu
Problema 11/193Problema 11/193
Fie triunghiul ABC dreptunghic în A şi C=30°.Considerăm bisectoarea BT,T situat pe segmentul AC şi î nălţimea AE, E situat pe segmentul BC. Paralela prin C la BT taie AB în F. Arătaţi că punctele F, E şi T sunt coliniare.
ie:ie:ţţindicaindica
E
A
B
F
T
C
30 30
3030 3030
c
ab
2
ac AB 3
4
3,
4
EB
EC a EC
a EB
T.bisectoarei
2
12 a
a
TC
TA
3
2
2
3,
FA
FBaFAaFB
Atunci:1
3
2
1
3
2
1
FA
FB
EB
EC
TC
TA R.T.Men.F,E şi T sunt coliniare
P bl 12/193P bl 12/193
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
31/34
Ciocotişan Radu
Problema 12/193Problema 12/193
Fie T un punct în interiorul triunghiului ABC.Dreptele AT , BT şi CT intersectează [BC], [CA], [AB] respectiv în punctele M, N, P.Dacă T este centrul de greutate al triunghiului MNP,arătaţi că T este centrul de greutate al triunghiului ABC.
ie:ie:ţţindicaindica A
B CM
NP
C’
A’
B’T
T.Menelaus în ΔPMC cu B,B’;T )1(1'
'
TC
TP
BC
BM
TP
TC
M B
P B
BC
BM
T.Menelaus în ΔPNC cu A,A’;T )2(1'
'
TC
TP
AC
AN
TP
TC
N A
P A
AC
AN
AB MN AC
AN
BC
BM //
=1
=1
C’ mijloc P mijlocul ABanalog M,N
Problema 13/193Problema 13/193
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
32/34
Ciocotişan Radu
Problema 13/193Problema 13/193
Fie ABC un triunghi şi punctele coliniare .,, ABPCA N BC M Notăm M’, N’, P’ simetricele acestor puncte î n raport cu mijlocul laturii pe care se află fiecare.Arătaţi că punctele M’, N’, P’ sunt coliniare.
ie:ie:ţţindicaindica
B
P’
P
MM’
C
N’N
Q
Avem'
'
'
'
BM
C M
BQQM
QM QC
QC MQ
MQ BQ
MC
MB
analog
AP
BP
PB
PA
C N
A N
NA
NC
'
''
'
T.Menelaus în ΔABC cu P,M,N.
1 NA
NC
MC
MB
PB
PA înlocuim 1
'
'
'
'
'
'
C N
A N
B M
C M
AP
BP
M’,N’,P’ sunt coliniare
Problema 14/193Problema 14/193
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
33/34
Ciocotişan Radu
Problema 14/193Problema 14/193
Fie un triunghi ABC şi punctele ABC AC B BC A ',',' astfel încât cevienele AA’,BB’ şi CC’ sunt concurente în M.Arătaţi că ,8
''' MC
MC
MB
MB
MA
MAcu egalitate M este centrul de greutate al triunghiului ABC.
ie:ie:ţţindicaindicaA
B C
A’
B’C’
M
Notăm p BC
AC n
A B
C Bm
C A
B A
'
';
'
';
'
'
Aplicăm relaţia lui Van Aubel:
mn
A B
C B
B A
C A
MC
MC p
m
AC
BC
C A
B A
MB
MB
n p
C B
A B
BC
AC
MA
MA
1
'
'
'
'
'
1
'
'
'
'
'
1
'
'
'
'
'
82222111
2...111
1'''
p p
mm
nn
mn
pm
n p
MC
MC
MB
MB
MA
MA
dacă
1....021
21
21
8111
2
pnm
p p
mm
nn
p p
mm
nn
adică A’,B’.C’ mijloace
Problema 15/193Problema 15/193
-
8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf
34/34
Ciocotişan Radu
Problema 15/193Problema 15/193
În triunghiul ABC bisectoarele AA’, BB’ şi CC’ se intersectează în punctul I. Arătaţi că sunt echivalente afirmaţiile:
8'''
)
6'''
)
)
IC
IC
IB
IB
IA
IAc
IC
IC
IB
IB
IA
IAb
lechilatera ABC a
ie:ie:ţţindicaindica A
B C
I
A’
B’C’
(a→b) Dacă a=b=c avem2
'
a
aa
IA
IA
c
ba
IC
IC
b
ca
IB
IB
a
cb
IA
IA
';
';
'
Ştim că:
b)
(a→c) analog
(b→a) cbac
a
a
c
c
b
b
c
b
a
a
b
c
a
c
b
b
c
b
a
a
c
a
b
...02226
(b→c)
82222...111'''
a
c
a
b
c
b
b
c
b
a
c
a
b
c
c
b
a
c
c
a
b
a
a
b
IC
IC
IB
IB
IA
IA
(c→a)
cbac
b
b
c
a
c
c
a
a
b
b
a
a
c
a
b
c
b
b
c
b
a
c
a
...0222811