PROBLEMES
OLÍMPICS
Revi
sta
de p
robl
emes
de M
atem
àtiq
ues
Núm
ero
72. D
esem
bre 2
013
GALERIA DE FOTOS PARTICIPANTS AL XIII CONCURS DE
FOTOGRAFIA “MATEMÀTICA A LA VISTA”
“Incógnita”. Icíar Ramírez. IES La Sènia (Paiporta)
“Octógono”. Willem Smit. Colegio Paidos (Denia)
“Hierba en espiral” Aleix Giménez. Colegio Paidos (Denia)
“Simetria esférica” Alejandro Escrivá. Col·legi ABECÉ (Gandia)
“Espiral indefinida” Pablo Soldatov. IES María Moliner (Port de Sagunt)
“Quadrícula”. Alejandro Morillas. IES La Sènia (Paiporta)
“Clara de luna”.
Ferran Fos. IES La Sènia (Paiporta) “Circumferència amb radis”.
Ferran Fos. IES La Sènia (Paiporta) “Casa romboidal”.
Alejandro Escrivá. Col·legi ABECÉ (Gandia)
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 1
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
������������� ����������PROBLEMES OLÍMPICS����������������� ���������� ���������������� ������������������������������������������������ ��� ��������������������������������� ����� ����������������!�� �����"�����������"#� ������$��� ��������%��&�������������� ��'������������������������������� ���(���������� ���������������������������������� ���)��*���� ������ !��� ��� �+���� ��,�� -�.��/� ��� �������� ��� !���� �� �0� ��1��������������0������!�� ����������2������'�'�����3��������4����� -�.��/� 0�� ��/� ��� ���������� ��� ���� 56� �������� �"-������ $��� ����� ��� ���1� ����� )��������� �� 1��������� 7�� �� � � �� ��������� ����� ���� 3�� ��� ���� ������������0�������������������������8���*��������!�����������������3������ ������������������������������ �� �����������������������������������������������!���.��!��9$��� ��������������:��������3�����������1���������������������������������������������������������� ���� ����� ��� �!�� ���� ��� ���� ��������� ��� �*� ����� ��������� �� ��� ���������.���4��;��444��� �����.�� PROBLEMES OLÍMPICSSocietat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi” Apartat 22.045 46071 València Director:��� ���<������=�����Coordinador de redacció:� �����$�����$������>�1�����Correcció lingüística: ��0�?�������� ���@�����
Consell de redacció: ��0�$������3��3��)����(�$�������.���#��>(� ��� ������A����(�&�����1� BC�>�&������(� ��� ��0�1�������D� ���(�1�� ��1� ���/�E��� ����(�$�����1�������������F����(�)������G�.��#������(�&�����@��������!���(��
��0�?�������� ���@�����(�$�����=�������6�BC�>(��������=���� ��=���>(�-������=�����1�������(� �����$�����$������>�1����(�$���1�� ���$������-������(�-����������$������F>(�?����A��3��&�����H���� ����(�$���1�� ���#�������6C����(��
$�� �#���.��E���(�F�'�#����@�����(�1������E0��>�&�>(��� B��<������=����(�H����<���$����(� ���$.���F�����E�'����(� ���!���F���.�������(�$I� �����F>�$������(� ��0�E������H�.���������(�=����)��������1'���
D.L.: V-3026-2001 ISSN: 1578-1771
E������;�9��B�.�������������:�����;� ���?��������=���>��6-H�F� ���=����J)��*���K��E� ���E�� �����"��������66�����5666�����������!���.��!��9$��� ��������������:�� �
Pàg. 2 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
-��!�������.���8� ������������������E����� ���#�� ���L�H�������������������� ����������"���� ��������������,���
SOL·LICITUD D'ENVIAMENT DE NÚMEROS ANTERIORS DE “EF#A=-$-H�#=M$E61H”
�&� ;��NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN��1�.�� �;��NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN������,�;��NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN����*!��;��NNNNNNNNNNNNNNNNN��1�E��� NNNNNNNNNNN��E������;��NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN��E�������;��NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN��1����O�;�NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN���������������J���(������(�����K�NNNNNNNNNNNNNNNNNNN��G���.��������������.P������� ������������������QE����� ���#�� ���Q������ �������,�;�
� Problemes Olímpics Nº 2 (1.2 € ) � Problemes Olímpics Nº 3 (1.2 € ) � Problemes Olímpics Nº 11 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 12 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 13 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 14 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 15 (2.4 € ) � Problemes Olímpics Nº 16 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 17 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 18 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 19 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 20 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 21 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 22 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 23 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 24 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 25 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 26 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 27 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 28 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 29 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 30 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 32 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 33 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 34 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 35 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 36 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 37 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 38 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 39 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 40 (2.5 €)
� Problemes Olímpics Nº 41 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 42 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 43 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 44 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 45 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 46 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 47 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 48 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 49 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 50 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 51 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 52 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 53 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 54 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 55 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 56 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 57 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 58 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 59 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 60 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 61 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 62 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 63 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 64 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 65 (2.5 €)� Problemes Olímpics Nº 66 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 67 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 68 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 69 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 70 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 71 (2.5 €)
Els números que no apareixen en aquesta llista estan exhaurits.
-��� ������ ������� �������� � �������� �� ��� ������� ����,�;� H������� �"-������$��� ����� 9��OR'4��> :(� �������� ����%+(� %S���O)��*���(� ������� ��� ��� ������9F������ E����� ��� #�� ���:(� �������� ��� 3��!����� �"�.�0�� ���� ���� ������ ������8� ������������T������������������ �������A�&R6�;����UOS���O��O��������S���
� �
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 3
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
SUMARI
ENUNCIATS
PROBLEMES NIVELL C (TERCER CICLE PRIMÀRIA) ............................... p. 5
PROBLEMES NIVELL A (PRIMER CICLE ESO) ........................................... p. 14
PROBLEMES NIVELL B (SEGON CICLE ESO) .............................................. p. 21
PROBLEMES OBERTS ....................................................................................... p. 28
SOLUCIONS
PROBLEMES NIVELL C (TERCER CICLE PRIMÀRIA) ............................... p. 31
PROBLEMES NIVELL A (PRIMER CICLE ESO) ........................................... p. 39
PROBLEMES NIVELL B (SEGON CICLE ESO) .............................................. p. 49
QÜESTIONS D’UN MESTRE ............................................................................. p. 60
Pàg. 4 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
ENUNCIATS
�
��
PROBLEMES DE NIVELL C
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 5
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL C(TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)
1. VINT-I-QUATRE
V��!�����8������������� �����%����>������������;�U�W�U�W�U��E������!������ ���8�� ��������������8!����.���L�AJUDES:
• Les operacions poden ser diferents, no és necessari que siguen totes sumes. Podem tindre, per exemple, una multiplicació i una resta.
• Considera els nombres com a dígits.
�
2. CALCETINS DE COLORS
X� '�� ��� ��������� ��3��� � ��� ��������� ����� �����3���� ��� ��� ����8� ����Y�� ���� -��� ��� ��������� ���� �8���� ���� .���(� ������� ���� �������=Y'������� ����� ������� ���� �� ���� !������ � �� ����� �� ��������� ���� ���8����������K�<��0����� ������� �������������������'��������������������8�������������.����������������������� ���8������L��K�<��0����� ������� �������������������'��������������������8�������������.���������������������������������3��L�
�
Pàg. 6 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
3. TRIA LA TEUA OCUPACIÓ
H���� ���� ����� ��� ����� ������(� � ��� ��� ���� �"�!���8� ����� ��������������������������������;��� %������������������� �����/�����������(�����. �������U��������
�����������/�����.P������� ������������������ ������� ���������. ���������������������
��� ���������.P������<����!����������������������*L�
�
4. DE CANTONADA A CANTONADA
$��������.������������� ��.�� *����0��������� �����!�������Y��!������� ����������������H�'����!������Y��������� ���������� �������������� ����� ����������������� ���"0����������G������������ �������J��������� �����K���� ����������T�������(�� ���������������������������������.�����������.���������������.��������������������������AL�
� �� � � � �
Problem
5. ELS �� �<
6. CRX��������8�����X����
mes Olímpics.
S QUATR���� �������/���������������
EMES D�� ����
������������� ���������������� ��������� ����� �
0��������
. Núm. 72. D
Societat d
RE GERM�� ��/�
���(�� ���������&��
DE CARA���������� �����8���� ���
�� �"��� �����8������ 0��������� ��
esembre 201
d’Educació M
MANS D 0�����&�����������������
AMEL I X���������������������� ��� ����
����� "'������������������������8�����
13.
Matemàtica
DE NAPO&������(�����/�� �� ������
XOCOLAT��������������������� ��� � ������������.�������� ���������������
de la Comun
OLEÓ
������� ��/���������8��L
TA
������ �������(����
����� ������������������������ ��������� ���
nitat Valenc
���=�����=������L�
�
��������� "'����������� �������� ��� �������
���������������� �
�
ciana “Al-Khw
�� ����� �
������������������ ��� ���
����� ����
� �����8���L�
Pàg. 7
warizmi”
�� ��/��
�������������,���
� �� ��� ��� � %�
��������
Pàg. 8 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
7. LES BICICLETES I LA MOSCA
G���8��������������������������Z �������������������(��� �������������� ���� ���� ��� ������O���� -�� ��� � ���� ��� �"��� ��� ��� ��8�(� ��� �������� ������� ������� ������� �"������ ������������� �� ��,�� �������� ������ ���� ���� �� �"������ ��������� <��� ������ �� �"������ ������(���.������������������������������������� ����=�� �������������������������������� ��������� �������!��������������������������������������H�������������������������������������������������Z �����'���(� � ��� ����� ��� ������ �� ��� ��������� ��������� ��� �+� Z � ���� '���(� ������������������������ ����L��
�
8. TALLANT EL PASTÍS
� �������� ����� �����(������� ������������������������������������7����.��� �������� ���������������� ��(���������������� ���������������(������������������������������������������������7!![[�-����������������������.���.���(��� ��������������������������������������� .��<�� 0�� ��� �3��� �� ���� ��� ������ ��� ���� � �������� � �� ��� ������������L�
�
Problem
9. ELS�� � ����� �
10. LA�������'�.���V��
11. EL-�� ����
mes Olímpics.
S CIRIS D��� ���/���8 (����������������
�����������>���� �
A CADEN��!��������������.����� ��� !�.���� �����������������!
L PIANO���!����
��������'����������
. Núm. 72. D
Societat d
DE LA S��� E���� ���� ��"����(���O������������������
NA
�������������������O'�(� ���� ������� ���������!��O'�����
O, LA TR�� ��� �'����.�������������
esembre 201
d’Educació M
ENYORA� �������
������������� �����0������8�����������
�����������������!!������ ��!��3��� ��
�������������� ��/
ROMPET����� '�� ����������%������
13.
Matemàtica
A PEPA��� ���� ����/����0�������'�������������!��L�
����������!�� ������ ������� ��� �� ����������/���������
TA I LES �� �����%��������
���������
de la Comun
�(� ���2� ���������.
������8����������
������������������� � '�� ��� ����
����������L�
MARAQ�� ����������;�
nitat Valenc
���� ���� �".���������,�����������
����(��
�
�������������������������� !���"��������������
QUES
�(� ��� ��
ciana “Al-Khw
"����!���,����������!�������������
��������������� ��� !�� ��� ?���
�
�� �����
Pàg. 9
warizmi”
�O���� �������������������������
����(��
�� ������� ���
� ����
Pàg. 10 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
• ����������'���������\������� 0����������� ����(��• ��� ��� ����� � ��� ����� �� '��� ������� ���� ����� 0�� ��� ����
���������
12. EL JOC DE PAULA
E���� '�� �������� �� 3��� ���� �� 3.��� � �� ���� ����� � .���� -�� 3����������8����������������.���������"�������2�� ��������������;���������������,���� ��������������������������.�����V�������������=�������������� �����8�;�9Troba dos nombres tals que restant 1 al més gran i sumant 1 al menut obtenim el mateix resultat i sumant 1 al més gran s’obté un nombre que és el doble del resultat de restar 1 al menut�:�E�����3���O��L�
�
13. CURIOSITATS MATEMÀTIQUES
="��������(� ���.����� ������������������ ��� �����(���.������������������ �������0������ �������!���������*�0��.��������� �������������������8������������ ���8(�S]�W�W����E������������O����������L�AJUDA: És un nombre menor que el mínim comú múltiple de 3 i 11.
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 11
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
14. SUMANT CONSECUTIUS
G.��������� ���������������8���������� ���� ����������� ��������������(��� 0���� 0�(��� ����� 0���"����8��������E����8� ���;�
\ ^ �% _ + ^ � _ � _ %�
�
15. AVI I BESAVI E���� 0�� �"���� !��� ��� �"��� ��� 5����(� �$���� 0�� �"����� ����� ��� �"��� ���E����� H� �"���� !��� ��� 5����� �0� �� ��/�� � �"��� .�������� �� �"�������������������������������/�(�����0������ �������������������"�����������������5����L�
�
Pàg. 12
Societat
16. EL���"1��
<<
17. EL-��������<
��
t d’Educació
LS CADE"��������"��������• 0����• ���� • ���� ������� ����0������
L PERÍM��� ��.P�
������ .����������"������0�����
Matemàtica
ENATS
������'������������ ����
��������� ���������8������'�'�� ����
METRE
��� !.������ ������������!. ������
�
a de la Comu
�'���� ������0��� ���������S(��8!��������'�����"�������������
���� ��������� ��� ��.���0���\������� �
P
unitat Valenc
������� ����� ����������(
������� �����"��������������
���� .���������� ���\��� `�������������
Problemes Ol
ciana “Al-Kh
��������������!���
����0������L��L�
� 8���������� 8���
!.��L�
ímpics. Núm
hwarizmi”
�������.����������
���
�� ���� .����� �����
m. 72. Desem
����������� ���8;�
���� ��������� ��.�
bre 2013
��������
�
� ��� -������ ����
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 13
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
ENUNCIATS
�
��
PROBLEMES DE NIVELL A � �
Pàg. 14
Societat
�
1. LA -���� �����
2. L’OG����
��
t d’Educació
PLAÇA ��� ���,
���������,������������������0�
OU BULL�������� ���0����� ���������
�
Matemàtica
PRO(PRIM
ENRAJO,�� �����.����(�������3�����������
LIT �"�� �����
*����� 0���'�����
Rellotge d
�
a de la Comu
OBLEMMER CIC
OLADA��� '� '�� � ��Y����(����������+(���a
�.�� �"���0���������������\�
de 4 minuts
P
unitat Valenc
MES DECLE DE S
�� �� ���������������������aL�
���� ��� %������������ ���L
s
Problemes Ol
ciana “Al-Kh
E NIVESECUND
������� ���T��������������"���
���(� �����������
ímpics. Núm
hwarizmi”
ELL ADÀRIA)
�S� �������3�������������
�"�� ����������"�
Rellotge d
m. 72. Desem
)
���� ��� ��H��������
��������
�
��� ��� �� ���(�����
de 7 minuts
bre 2013
� ����������������������
���(��������
s�
Problem
3. LES
7���/������<�
4. LES-���������"<���H��
5. EN$� ����������G��3�
mes Olímpics.
S EDATS
��� �����/����� ���(������������ ���������
S PAREL����������'������.��>����������3���������������������'���
SAÏMAD���� ����������������������������� � ������������0���"
����X��0���
. Núm. 72. D
Societat d
S DEL AM
���������������������.���� ��U���0�������
LLES ������-H������������"������������������������������������
DES PER��� %� �����������1� ������������ �������(�������������������L� ��
esembre 201
d’Educació M
MICS
�����;�Q ������� 3�� ������Y��������/�Q����L�
H#������U��������E��U�����.��(�=
������������ �����(�
R A ESMO�b ����� � ������E��� ����8������
����$���(�������!��������
13.
Matemàtica
������������� �Y�������3����
U��� �����!��O'�(�'
=�����"'���������������
ORZAR���� �� ��E����� ��'��(������� ��3��� �������"�.�!������������������
de la Comun
����������������
��(�������
���=������'��������
����������������!� �����0���
�>��� ���'���������(�������.������ .���%�� ������������������
nitat Valenc
�������'���������8�
������ �������������
���� �"������� �"�� ��>.������������� (� ����������������
�
ciana “Al-Khw
���������������
���������
�����L�
�� � ��� ��>��(����������������������(�E
���� ���
Pàg. 15
warizmi”
�
����������� ����
� �����
� � ���� �����������E������
�����0��
Pàg. 16
Societat
6. CA=������ 1�����"��"��E���"�8�K� �����!��K�����"�
t d’Educació
RAMELS��� �0� ����� ����� =� �(��SS�������(����� ����� !
����� �������!��������� ������ �8�������!H��������
���8������� ������ ��(���E������
��� ���� ����L�G���
Matemàtica
S DE SA��� !���� ������ �0� �������3��
����0��������� -��������� ���
�����������,2(� ��� ������8��������8����(���������������������������������� ��� ����������
a de la Comu
BORS
.* ������� ������S%���� ����(��8
���� ��0��� ���� �������������� �����
8������ ���������������������� �"�
��������L� ������������ ��������L�
P
unitat Valenc
���������� ��+�� ��8���
8��������������������8� ����
�� �� ����� �������
�������������� ��������������L����� ������L� -��
Problemes Ol
ciana “Al-Kh
�/��������� ���� ��
����� ���8����� ��� � ��� ����
�� ���� �����!���������� ������������8����������
������ 8�������� ��
ímpics. Núm
hwarizmi”
���������.��� ����� �
�������2������ �������� ����
� ���� �� �""������������8������������.����
���� �� �� ��(� ����
m. 72. Desem
.������ ���� ����
� ������.�������
�� �����(�
"���� � ���
��=������ ���L�X�8�����L�
���� �"�8����� ����
bre 2013
������������ ���
�������� ������������
�����8�
���������'����-������
8������ ���� ��
Problem
7. BO�(�A �����"��
8. LES-�����
<
mes Olímpics.
ONICA PRA(�1(�G(�-��3���� �������������"'����������
S EDATS�������������;�• -�� .��
�3��• -�� .��
����• �����������.��
. Núm. 72. D
Societat d
ROPORC�?��������� ��������
'�8�.������.���@X
S
�� ��� ���� �
� �� ������� �� �3�������������
��������
esembre 201
d’Educació M
CIÓ! ����*���8�cdeeee(� fgeeee(�
�.����0�X6���"������
������ ����
���� �0� ���
��� �0� ���
����!����J�� ���
13.
Matemàtica
������"'�8�� 6� hieeee(� ��
��S�� (��������"'�8�.
�� !���� �"�
����� �
������ ��
����� �� KL�<
de la Comun
�.�����.�������� ��������.�����.�
����� 0�� �
��� �"�����
�� �"����� �
�������
nitat Valenc
�����@(�X� ����� H�J�����K������
�
����+�� �
�"�� ����
�"�� ����
����������
ciana “Al-Khw
�6����������� ���.���������
�� ���� ��
�� ���� .�
�� ���� .�
�������L�
Pàg. 17
warizmi”
���������� ������������
.P�����
�� ����
�� ����
Pàg. 18 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
9. LA CADENA
7��'� ������8����� ��������� � ��� ������������������������� ��������"�� ������ ������� ��� ���� ��������� ="'� �� ����������� �����3��O��� �����.������������������� ����!��������.���������������O����)������������ ������� � ��� �!���� ��� ��������� ��� ������� �� � �� ��.� ����� -���������������!��������.P������������;��9E���������O��� ����� ��� ��� ��������������� �������������(� ���� ��������(����� ����������(��8��!�������"��� ���������.�����(����2���������������������������������������������:���E����������������������������������L�
�
10. ELS ENGRANATGES
�K� -�� ��� !������ ��� ������ '��� ������b�� ����� ��.�����.��� ���� �� ��� ������-���� ����0���������(������.������������������\����<�������������'���������������� �����.�����.��������������"��� ����!�,������� �����L��K�E����������*�����(���������������������������.�����.����� ���������������������������!�,�(���� ������������+���<���� �������������'���������������������.�����.�L��6 ����������� �����������������"��.�����.���������L�
Problem
11. LA�K���.���
��K�9):
mes Olímpics.
A “V” DE1������ �
.�����A1������cdeeee(�fe
1��������:�0�����\S
. Núm. 72. D
Societat d
E L’HEXÀ��� ����
1G-?(����fgeeee(��hieeee(�
������������ ��
esembre 201
d’Educació M
ÀGON
����� ����������%���������
���"'�8�.�
13.
Matemàtica
��� !.���� (���� (�
�� �����
���������
de la Comun
9):� ���=� � �R� ��
����������
nitat Valenc
���� �����������
�
��� ������
�
ciana “Al-Khw
��� ��� �"'����� �3��
�"������
Pàg. 19
warizmi”
�8�.�����������
��!.���
Pàg. 20 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
ENUNCIATS �
��
PROBLEMES DE NIVELL B � �
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 21
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL B (SEGON CICLE DE SECUNDÀRIA)
1. EL CASTELLET FRACCIONARI -�������.P���������;�
�jk ^ � _ �( j` ^ � _ �� ( jl ^ � _ �
� _ ��
( jm ^ � _ �� _ �
� _ ��
(�
�jn ^ � _ �� _ �
� _ �� _ �
�
( o�
• <��������jkkL���• <����������� ����������������>���� ������� ���jk p j` p o p jkkL�
�2. L'AVIÓ
�����0������������"�������)������������ ��������������"�����������������������������8�������*����� ������ ���������"�������.���-��&����� ��'��� ��.����� ��� �� ���� ��� ������ � � �� ������ �������� ���� ���������"���������������������������������E���!��O'�(����T���������� ���� ���������������(� ����������(� �� .� �� ��������������!��� ������������ ��7����!���0��+� ��"��������"��������� ��=���� ������������������������������ ������� ������������� �������������������������"��������������.������!�������������������!��*�����������.�8�����.��������������"�������������������.������� ��� �� � �� ��� ���� �� ���� �������� ��(� ���� ��� �� ��,�� �� ������"���(��������(�+���������*8����� ����� �����G����0�������������.����������������������!��������������8��� ����� ���������� �������"��!�� 0��8������������������������������������������������������"���L��
�
Pàg. 22
Societat
3. TA-�������������
4. EM=��������<���
t d’Educació
AULA INC��� ��.P�
��� ��� � ��������0����������������
MBOLIC D���'�����������&"'���������������������� ��� �����������
Matemàtica
COMPLE��� ����� �
���� -�� ����������� ����!������������x�
��O��+���O%�
DE SOBR���������'�������
������a�����8����������� �������������
a de la Comu
ETA
����� !��� �� ���� ���8�������������������y��
��O+���O��O��
RES
���������� ��+���a�����������O����������� ��3���.��+���
P
unitat Valenc
�0�������� ����� ��������E��������������
x
������O��
��������a�������=����'����"��>����
�� �� �����aL�
Problemes Ol
ciana “Al-Kh
������.�������� 0���8� ���(���������
S���U���O��
!���������(���������������
��.��� ��� �
ímpics. Núm
hwarizmi”
�����8�� ����� � �
���S�0���� �����
O��O����O+�y
������������� �����'���
��� �����
m. 72. Desem
� ��� �0�� ��� ��� !��� ����
�������������a�������������
�(� ���� �
�
bre 2013
0�'�� �0���� � ������������
���������� 0����������
����� ���
Problem
5. COG�cq��
6. RA��� ����<����
mes Olímpics.
NSTRUC���� ����r+(��s�������
AÓ DE PO����.� ���
������ ��� ���(�����������������������A
. Núm. 72. D
Societat d
CCIÓ DE��������fq�+( r�
OBLACIO�"��/� ���
�������� ��������������������A������ �
esembre 201
d’Educació M
E RECTE��������s� � ��
ONS ��(� ��� ������ ��� �����������
������������,� ����
13.
Matemàtica
ES
� ��� ������� ���� ��
������ ������ A� ��������������������������"��/��
��
de la Comun
����� ��� ���� ����
� ��� ������08���
�������.������������L�
nitat Valenc
�����������������
�
�� �� ��� ���� �%t�� -������
����������
ciana “Al-Khw
��8�����.���
���08��� -�� �����
����������
�
Pàg. 23
warizmi”
��������������
�� St(���� �"��/�
�������
Pàg. 24 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
7. BISECCIÓ D’UN ANGLE
-�������.P����!.��(��"�������������������G�0��u ^ v��qw r �s��-����. ����fheeee�����8��"��.���chg����������.����.���(�chf��fhg���H��������������������A�����qx( ys(����0��������������yL�
�
8. NEGRE SOBRE BLANC �������.P����!.��(��������������.������������������H�cf ^ �S(�����0���"������������������������� ����������������.������.���L�
���
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 25
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
9. QÜESTIÓ DE DÍGITS
?���� ������ �� 0�� ���� ��.��� �(� �(� �(� %� � +(� !�� � ���� �������� ��� �����.P���� !�� �;� �� �(� ���� �(� ����� �(� ������ %(� ���� +(� ��� �(� ���� �(� � �8���������� �����=������������������8�0�;�
�( �( �( �( �( �( %( %( %( %( +( +( +( +( +( �( �( �( �( �( �( �( �( � � � ��<��0�������.���������������������������������������L��
�
10. RELLOTGE ISÒSCELES -���� ������� ��� �� ��� ������ ���� \;��� � ���� ���'����(� ���� ������������ ������������'������"��������.������2.��!�� ���������.����2�������J��������!.�����.P���K���H�����������.����.�����������������.�������������������������"� �������������������.��(�����'���������/�������������.�L�
��
Pàg. 26
Societat
11. P1��
!��
12. T="'�
�����%��
t d’Educació
IRÀMID���������
�������!���
RIANGL'�8�.��� � ������
�����������
Matemàtica
DE DE TR ��������
!�� ����
LE DINS ��� ��� !.����� ��
�����
��%��
a de la Comu
RESOS
��� ��
���������
D’UN HE��� �0� �"����1����
������������
P
unitat Valenc
����.P���
EXÀGON����� +S� �����"������
��� ���
� ��%
� ��
Problemes Ol
ciana “Al-Kh
N ��� X� �
��������.�
��� �
��
�� ��%
��� �
ímpics. Núm
hwarizmi”
������ �����A1��
��
� ����
% �����
m. 72. Desem
��������
���� ��.���
�
�����%��
bre 2013
��������
Problem
13. PX�U� �.1��
14. Q1������.�
mes Olímpics.
EIXET
���8�� ���� ���������������"���
QUADRA������ �����.���� �����
. Núm. 72. D
Societat d
�������8������ -��� �
���������8
AT MÀGI�� �����
����� ����������
�
�
�
�
esembre 201
d’Educació M
8�� ���������� �����
8����
C, VAL P��� �.����S�(� ���
13.
Matemàtica
����������������
PER 3 ��� ���
�� !�� ���
�
de la Comun
�� !��*��������� �
��� ��� ����������
�
�
�
nitat Valenc
������������ !��
�
���� !��(��� �����
ciana “Al-Khw
�"������*���� � �
����� �����������
Pàg. 27
warizmi”
������������ ����
��� ��T�����
Pàg. 28 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES OBERTS -�� ������� ������ �� ������� � �� ������� ��� ������ ��� ����� ����� ��������� � ��� ������ ����*� ���������� ���� ��� !�� ������� ���� ���������-���O���O�������"����,�����������������2��;�
[email protected] -����� �����������������������[[�
1. QUINA ÉS LA RAÒ? -���������.����A1(�F�0��������� �3�����A1(�1H�]��H�(����z�A�]��z����H�4�0���"�������������.���1FH(�8�0���"�������������.���FA��(�>�0���"�������������.�����H(��8��]�4>(�����'��������0����������������������z�L�
2. CATÀSTROFE AL SALÓ DE BALL 7����������������Y'��������b���� ����"���!�����.���2.����-��������0����� ����� ��� U�� 8� U�� ������ � �Y'�� ������� � �� ��3����� ��������� ���%��� ������������G�.������8������ �� ������������(��Y'���������1� ����� ���������!�� ������ ��������!.���(�����������0�������������������8����� ������������ ��� ��3�����+� � ��� ��3�����S� ������(��� �Y��������������������(���������������������3�����++�������3�����+S���&#��;� Les rajoles es comencen a comptar des de la que està baix a l’esquerra, que seria la rajola 1.��
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 29
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
��
�?.�����
X� ��Y���� �����������3���������������O������������������.�������• <��������3�������������� ����L�• 6�����������������������������������������3������\������%�L�• 6������������������������ .���������3�����++L�
1�������������������(��� 0������8�����Y��� 8� �������������������(����������3�������������L���
��
�� ����������������.P������.�����������������������������������������3������-�����.����������.���������������!����������������������J �����.��K�!�����+��J �3���.�������!�����K���
� �
Pàg. 30 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
SOLUCIONS
�
��
PROBLEMES DE NIVELL C ����� �
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 31
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL C (TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)
1. VINT-I-QUATRE Solució: 22 + 2 = 24.
1��������������������������8!���(�0���������� ������� ���.��NIVELL DE DIFICULTAT: 10
2. CALCETINS DE COLORS Solució: a) Has de traure 3 calcetins, b) Faria falta traure 12 calcetins.
�K�-���������� ������(��� 0��0������������������������������.����Y.����������H����������� �����������.���(�0����.��������������������.��� �� �� ����� ������� ���(� ��� ������ ��� ��� ��������� ��������� 0�� �������������K�H���� ��������� �������������������0����.��&������������������.�������!������������(����2������28 ������������(�������28 (�������28 (���8��!�������������������8�����������������������-����.P������������'�����������.(��8�����������������'������������������������NIVELL DE DIFICULTAT: 20
3. TRIA LA TEUA OCUPACIÓ Solució: Triaria l’oferta B.
ANY OFERTA A (EUROS) OFERTA B (EUROS)
�� %����� %������� %�U��� +������� +�S��� +�U���%� S�%��� S�S���+� ������ ��%���
Pàg. 32 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
=�� ��.���� �!����� 0�� ���� ����� ��� ��� �� ����� @��/����� ���� ����� 0��������/��������.��/�������������������Y�������NIVELL DE DIFICULTAT: 40
4. DE CANTONADA A CANTONADA Solució: La longitud de la diagonal és 10 cm.
H���8����Y��������.���������������.������������0���������������������=�����.�������Y��������.��������� ����.���(���������(������.����������������������������������A�0��.��������������������(�0�������SW%]����� ��NIVELL DE DIFICULTAT: 20
5. ELS QUATRE GERMANS DE NAPOLEÓ Solució: Napoleó tenia 15 anys quan va nàixer Jeroni.
&������������S���/������=���������8����\���/�� 0�����������8��� ����(�0������(��+���/���=�����������"�������� ���������0������������������������������� ���NIVELL DE DIFICULTAT: 10
6. CREMES DE CARAMEL I XOCOLATA Solució: Hi ha més pots de caramel.
X������������� ��������������������� �����8�������(����������������T%]U��X�� �������� ���� ���,��� ����� ����� ��� ��� �� ��� ���� ��(� ���� ����� ������T�]\��V������(������ ����� 0������������� ��������� ����NIVELL DE DIFICULTAT: 10
7. LES BICICLETES I LA MOSCA Solució: La mosca va volar 15 km.
1������������ ��8�������Z z'(����� �������� ����������� ��� �������� �����������������Z ���������������������'������=�� �������������+�Z �����'���(���� ��������������0���"���'����'�����������.���+�Z ��NIVELL DE DIFICULTAT: 40
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 33
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
8. TALLANT EL PASTÍS Solució: Podem obtindre 29 parts.
-�� ������� ������ ������� 0�� ��� ����� ����(� ��� !�� �� ��� ���� ��� !�� ��� ������� ���������� ���������� 0�(��������������������������������-��������� �����(�� ������������ 0�(�������>����%��-��������� �����(�� ������������(�������>�������1����������!�.�8����� ����������������0�� .�������� ��������������H���� ������ �������������.��(��������!����!�������������� ��������� �3����� ��������������������������������;�
NIVELL DE DIFICULTAT: 50
NOMBRE DE TALLS NOMBRE DE PARTS
�� ���� ���� %��� ��%� ���+� �S�S� ����� �\�
Pàg. 34 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
9. ELS CIRIS DE LA SENYORA PEPA Solució: Podrà utilitzar 40 ciris.
G����0�� �"��������� ��� ���(� ��� ���/���� E���� ��� �3����� ��� ���,� ���������� ���� ���������� � ��� ������.�� !��� \� ���� 0��� ������� \� ������8�����\����������� �������!��O������������������'����(�� ��������� ����������������!����"��� �����-��������%�������NIVELL DE DIFICULTAT: 20
10. LA CADENA Solució: Sí, es podria fer tallant només 3 anelles.
E��� ��O��� �� ��� �� ��� �������� ������ �� ��� ����� ��������� E��� !��O'�� ������������������������������"������������ �������������8��� ���������������NIVELL DE DIFICULTAT: 20
11. EL PIANO, LA TROMPETA I LES MARAQUES Solució: El piano val 110 euros, la trompeta 20 euros i les maraques 10 euros.
H������ ���� ���������� �������������������"���������� ;�• �%��a�]������W���� �����W� �������{�|�• E����]���� �����W�\��a�{�|�• ��� �����W������]� �������W�����{�|�
� ���������������{�|��{�|����� �����������.���������� ��������������������������'����(� �������������� � ��� ��� ��������.���������a��1� �������������\��a� 0����������� ����(������������������������������a�������� ��������a��NIVELL DE DIFICULTAT: 50
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 35
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
12. EL JOC DE PAULA Solució: Els nombres són el 5 i el 7.
1��������� ��������� �"����������������� �� ����������"��������>� O���������������;�9Troba dos nombres tals que restant 1 al més gran i sumant 1 al menut obtenim el mateix resultat [...]:�G"���� ���� � ��������� ��� ���� ���� �� ����� ������� ��� �!�������� ��������������E��� �������������������.�������������"������;�9{���|i sumant 1 al més gran s’obté un nombre que és el doble del resultat de restar 1 al menut.“
H� '�� �����>� � �0(� �� ���� ���� ������� ��� ���� ���� �� ����� �������'���������� �������(� 3������� � � ������ 0��.�������� ������������9�����������:(�����������������������0����������E���������� ��(�������� ������ ��������� �������� �����;�+�����NIVELL DE DIFICULTAT: 40
13. CURIOSITATS MATEMÁTIQUES Solució: Es tracta del nombre 28.
������������ ����������������� ���.;��U ^ � _ � _ % _ � _ �%�
NIVELL DE DIFICULTAT: 20
14. SUMANT CONSECUTIUS Solució: Començant pel nombre 9, en trobarem cada 6 nombres un amb aquestes condicions.
-!����� ���(�\ ^ % _ + ^ � _ � _ %��+ ^ � _ U ^ % _ + _ S�
�� ^ �� _ �� ^ S _ � _ U�����NIVELL DE DIFICULTAT: 30
Pàg. 36 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
15. AVI I BESAVI Solució: La suma de les edats és de 146 anys.
• 6������E����U����/���• 6������5���� �������$����S����/���• E����%����/���• 5����������/���• ?������5���������/����
NIVELL DE DIFICULTAT: 10
16. ELS CADENATS Solució: Hi ha 12 armariets i les combinacions són: 984; 894; 966; 696; 876; 786; 948; 498; 858; 588; 768 i 678.
=����� ��������'�����������"�(�������8!��������*�'���������� ����������������1� ������� ��������'���������� �����������S(����� ����'���������� �����������������E������� ������������(������� ��������'������������ ������������(�'����}�����������(��(�%(�S��U��E������� �����������(����� ��������������8!����'���������������������(��82������ ���8�����*�� �������1� � ��� � �� ��� ���� ����� 8!���� '�� ��� ���� ��(� ���� � ��� ������ ���������������������������������������������������(�����*����'�'�������� ������"���8!������� ���������\���������� �����H� ��� �� ������ ������ ��� %(� ��� � �� ��� ���� ������� 8!���� 0�� ��;��� r % ^ ��������'����(������������8!����'����������\��U��G����(���� ������� �������;�\U%��U\%��H� ��� �� ������ ������ ��� S(� ��� � �� ��� ���� ������� 8!���� 0�� ��;���� r S ^ �+������'����(������������8!����'����������\��S���U�����G����(���� ��������� �������;�\SS~�S\S~�U�S���US��H� ��� �� ������ ������ ��� U(� ��� � �� ��� ���� ������� 8!���� 0�� ��;��� r U ^ ��������'����(������������8!����'����������\��%~�U��+~����S��
Problem
G����S\SNIV
17. ELSol
H�����
���H�� �1� ������NIV
��
mes Olímpics.
���(���� ��'����(� �S~�U�S~��U
VELL DE DIF
L PERÍMlució: El p
��� � ���������8��
��'����(��}�� � ��������v%\ � ��� �������8�����'����(��VELL DE DIF
. Núm. 72. D
Societat d
������ ��� � ���US~�\%U~�%FICULTAT:
METRE perímetr
�� !.��������(���
}����������}����� �
\� ^ ��� �%� ������
������������� ��FICULTAT:
�
esembre 201
d’Educació M
��������� ����
%\U~�U+U~�30
re és: 112
������������ ����
���������}�� �������� .�����
����������!10
13.
Matemàtica
�;�\%U~�%\��� � ���� ��+UU~��SU
2��� .
���� 8�������!.��;
�������0������� 0�� �
� U� �����
!.���0�;�
de la Comun
\U~�U+U~�+� ����U��S�U��
���(� �����
���;��l�`
� ^����j�`(�
���� 8����
�S p � ^ �
nitat Valenc
+UU~��SU������ ���;�
� �U���
^ %\�� `�������(� ��
���(� ���
����� ��
ciana “Al-Khw
�S�U��\U%~� U\%
������� .
�� �������
� % p � _
Pàg. 37
warizmi”
%~� \SS~�
�������
8������
U ^ �S�
Pàg. 38 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
SOLUCIONS
�
��
PROBLEMES DE NIVELL A � �
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 39
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL A (PRIMER CICLE DE SECUNDÀRIA)
1. LA PLAÇA ENRAJOLADA Solució: El cost total de l’obra serà de 4.584,17 €
E������������������!���������������������������'� ��������������"��������������,���������qc���,�s���"�����������.�����qc�����s;�
c���������� ^ c���,� r c������="����� ��� ��� .����(� �� � 0�� ��� �� ��� !��*���(� ��� ���� � ��������� �����!�� �������"������"������ !��*������������������;�
c����� ^ � p U`
� � ���(+�� `�E��� �������� �"����� ��� ��� ���,�� ������� �������� � �� ��� ��� ��� �����1� � ���� � ��� ��� �� ����� ��� ��� �� ��� !��*���� ����� �S� (����� ������������������������� !��*�����8�����;�
�
� ^ �U` _ U` � ��(��� �c���,� � � p ��(��` ^ %��(��� `���
=������!���������������������;�c���������� ^ c���,� r c����� � %��(�� r ���(+� ^ ���(+\� `�
6�������������"�����(P)(��� ��������� �������+(���a(�����;�� � ���(+\ p �+(�� � �%�+U%(���a
NIVELL DE DIFICULTAT: 20
R R
16
8
Pàg. 40 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
2. L’OU BULLIT Solució:
@�� � ���� ���� ������.��� �Y������ ��� ���8� �� ���� <��� ������ ��� ��� %� ���������� ������������������������������� �0����.�� �����.������������ ����'����������O���� ���������%��<���������%�'�3���������������� �U� �������������������������������� ��(������������O����������������������.��������� ��8���� ������ �������� ��(��������������U�W���]�\� �����NIVELL DE DIFICULTAT: 20
3. LES EDATS DEL AMICS Solució: Jo tinc 12 anys i tu 8.
H.�� w ^� 3�(� u ^� ��� ��� � �� ������ �� ����.��.�� ��.������ ��� ��8�� ���������� �;�
• 9jo tinc el triple dels anys que tu tenies quan jo tenia l’edat que tu tens:�
w ^ ��u r qw r us� � w ^ �q�u r ws � w ^ Su r �w ��� %w r Su ^ � � �w r �u ^ ������������
• 9quan tu tingues l’edat que jo tinc, entre els dos sumarem 28 anys:�w _ �w _ qw r us� ^ �U � �w r u ^ �U����������
F����� �������� ��!�� �������{�|��{�|�J����������(������8� ���K;���w r �u ^ ��w r u ^ �U ����� � �w r �u ^ �
r\w _ �u ^ rU%����
H �������������������;�r�w ^ rU% � w ^ ��m�� ^ ���
� ��������������w����� ���������������������u;�� p �� r u ^ �U � u ^ U��
E�������(�3�����������/�����U��NIVELL DE DIFICULTAT: 50
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 41
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
4. LES PARELLES
Solució: Les parelles serien: 18 i 7, 17 i 8, 16 i 9, 15 i 1, 14 i 2, 13 i 3, 12 i 4, 11 i 5, 10 i 6.
-���� ����������������������������������������� ���;�• �U�����-���U����� ��������!�� ������������ ��������• ����U��-��������� ��������!�� ������������ �����U��• �S��\��-���S����� ��������!�� ������������ �����\��• -���+�����!�� ������������ �����������"���H���� ��������+�!�� ��
��������� ���������=�����������������;������J���U������+�3��������������K�����%�J������3������������K��������J����*����������������K�����+�� � � �
-�� ������ ���� ������ ���� ����� ��� %� � ��� S� � ��� !�� ��� ����������!������E�������(�����+����������!�� ������������ ���"����
NIVELL DE DIFICULTAT: 20
5. ENSAÏMADES PER A ESMORZAR Solució 1: El repartiment no és just ja que Miquel hauria de rebre 5 euros i Joan 2.
H��� �������������'�'��%W�]������b �������������������������������(������������������ ��3�����z������b ����(�0������(�������b �������z���"����b �����1� �E����.��������������z������b �����J���0����������� ��3�K(����������������������b ������������������������ �0(� �� � $���� ������ %� ����b ����� � ��"�� ��3�� �z�(� ��� ��.�����%O�z�]+z���E�������(���� ��������+z��������J��������������������������������b ���K������ ����'��������������+������������������������'����.������G"������ �����(� �� � ��� ���� ��� ������ �� � ��"�� ��3�� �z�(� ��� ��.�����O�z�]�z�������'����(�'���������������T�z�]��������
Pàg. 42 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
-����!����(���������� ������������������0��3���3�����$����'�������������+������� �����(������ �������%���(���������� �����Solució 2: El repartiment no és just ja que Miquel rep 0,8 euros per porció d’ensaïmada i Joan 1,5.
1� ����'�'��%W�]������b �������������������������������(��������� ��3���� �z�(� 0�� �� ��(� ��� ����8��� ���� ����b ����� ��� �� �������� ����������"�.�!���;�
���� �0(� �� ����$���� ����� %� ����b ����(� ����� ��� �������� ��� �����������'����(� �� � ����"'�� ��3��� �(� �"'�� ��.����� ��O�]+���� 0�(� �� �������� %� ����� ���� �8��� �������(� E�� �� '�� ��.��� %z+]�(U� ����� ���� �����������G"�����������(��� � ���������\���������J3����������������b ����K(��"'����.����� \O�]��� =������(� �� � ��� E�� �� '�� ��.��� �� ����(� 0�� �� � �� ��'�.�����������z�]�(+���������������������-���������(���������� �������0�� 3��� 3�����$���������(U����������������"����b ���� ��������� ������������(+��NIVELL DE DIFICULTAT: 30
6. CARAMELS DE SABORS
Solució:
a) Si els caramels són del mateix sabor es faran 165 extraccions i sobraran 2 caramels de llima, 1 de taronja i 2 de maduixa.
b) Si els caramels són de sabors distints es faran 164 extraccions i sobraran 6 caramels de llima i 2 de taronja.
�K�E��������������� �����"�8������������������ �������� ���8������������� !� � 0�� ����� ��� �� ���� ��� ���� ���� �"�� ���8� ������ ���� �� �������(� �8�(� ��� ������� ������ ��� ��� ������ E��� ����(� '� '���� +S��8�������������*�������������� �����.�������� �(�++���������3���+%���� ��8���-�������(�+SW++W+%]�S+��8����������E���������������������������� ���������������������"�������!������������0�(� ������ � ��� ����� ��� ��� ����� J�� �0� �!������� ��� ����� �� �0�
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 43
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
� ������ ���� ��.���� ��� ��������K�� =������(� ����� � ��� ���� ���� ������������������������������� �(�����������3�������� ��8����K� H� ���� �� ���� ���� ���� �� ���� ��� ������� ������(� �� � �� �8 � ����������!�����������8����������� ���������������� ������� ��8��'�'�(�3�����0�������������������'�'������ ���� ������������ �����E�������(��� ��� �8 �����������!����S%��8����������"�����������E������ !���� �"������������� ���� �������������������� �"���(��� 0���"'�� ��� ������� �S%� �� ��� �������� ��� ���� ���� ����� ������� ������� ������������ ��� ��������� ����'����(� ����� � ��� �������� ���O�S%]S����� ��������� ����SSO�S%]������ ������������3���NIVELL DE DIFICULTAT: 10
7. BONICA PROPORCIÓ! Solució: La proporció és � �� .
H��������� � (�R(�=��������� �3����������������������������"'�8�.�����.����-?(��A��1G(�����'�����'� ����������������.��������� �"'�8�.��� �� � ��� ����.��(� � �� ������� ����(� �������� �� � �� ����� ��� ������������.����$R�J� �K(���� ;�������'�8�.��;��%�� �����������.��;�\�� ��E�������������^ ���� �
`m��� � ^l��
NIVELL DE DIFICULTAT: 30
8. LES EDATS Solució: Com a mínim són quatre germans i amb les condicions del problema hi ha dues solucions: 3, 6, 15 i 45 anys, i 5, 9, 10 i 27 anys.
=������� ������!���������������+��0��� p �n p +`��1. Si són dos germans:
� w ^����������.�� �� �����u ^����������.�� �� �3����
Pàg. 44 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
u ^ �w � w p q�ws ^ � p �n p +` � w` ^ �n p +`(� �8������� ������� ���������*���������������w����������������������������
&��0���������������������(���������(�'�'���� 0���������.�� �����2. Si són tres germans:
w ^����������.�� �� �����u ^����������.�� �� �3���
� >�^����������.�� �� �3����E���������;�
• w( u ^ �w( ¡ ^ �w��J���.�� �� �3���0�����������"����������� ���������.�� �� �3������������������.�� �� ����K�?�������.������� ���������� �������������+�;��w p �w p �w ^ � p �n p +` � �wl ^ �m p +`(� �8������� ������� ��� ������*���������������w����������������������������&��0��������������������������
• w( u ^ �w( ¡ ^ �u�J���.�� �� �3���0�����������"����������� ���������.�� �� �3������������������.�� �� �3�K�?�������.������� ���������� �������������+�;��w p �w p �q�ws ^ � p �n p +` � �` p � p wl ^ � p �n p +`(� 0�� �� ��(� %� �������8�������+���&��0��������������������������
E�������(�'�'���� 0����������.�� �����3. Si són quatre germans:
� w ^����������.�� �� ������� u ^�������������.���.�� ����� ¡ ^�����������������.�� ���� � ^����������.�� �� �3����E���������;�
• w( u ^ �w( ¡( � ^ �u� ����� ����������� 3�� ��� '� � ��������� ����"��������J�K����������0���������������+���
• w( u ^ �w�qw ¢ us( ¡( � ^ �¡�q¡ ¢ �s(���� �0��w ¢ ¡��
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 45
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
?�������.������� ���������� �������������+�;��w p u p ¡ p � ^ w p �w p ¡ p �¡ ^ � p �n p +` � �w` p ¡` ^ �m p +` ��� £ p ¤ ^ �¥ p ¦�
=�����������������������������qw( ¡s�����J�(�%+K(�J�(��+K��J+(\K�� ��w ¢ ¡��J���K� H� w ^�(� ¡ ^ %+� ��/�� �� � ^ � p %+ ^ ��+� ��/�� ���� ��� !��� �3��(�J�������,���������������������������������� �����K��J���K� Si x= 3 anys i z=15 anys, y=6 anys, z=45 anys. H�������������J���) Si x=5 anys, z=9 anys, y=10 anys, t=27 anys. 7��� �������������������
E��� ����(� �� � �� �� � ���� ������ .�� ���� � � �� ���� ��������� ���������� ���"'�'�������������;�
• �(�S(��+��%+���/���• +(\(���������/���
NIVELL DE DIFICULTAT: 50
9. LA CADENA
Solució: Tallar per la tercera anella.
1��� ����������� ��� ��������������(��8���"������������������;����� �������������(����������� ���������������������������− G����;��"�����.���"�������������J��������K���− G ����;� ��� �������� ������ �"������� ������ � �"'� �� ����� ��� ����� ���
�������� ��������������J���������K��− G �����;��"'� ��������"�������������J�W���������K��− G3��;� ��� �������� ������ ���� ���� ����,��� ��� ������� J���� � ��K� �
�"'� ���������������������������� ����������������J%��������K��− G�������;��"'� ��������"�������������J%W���������K��− G������;� � ��� �������� ������ �"������� ������ � �"'� �� ����� ��� ����� ���
�������� ��������������J%W���������K��− G ��.�;��"'� �������������������"�������������J%W�W���������K��
NIVELL DE DIFICULTAT: 20
Pàg. 46 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
10. ELS ENGRANATGES Solució: a) En farà 7 voltes i mitja. b) L’engranatge nou haurà de tindre 60 dents. No importa el nombre de dents de l’engranatge central.
H������ �����.�����.��!����������������.������!������ ���� ����������H������.�����.�����.��!������������������������!������� \�� ����������E�������(�������� ���!����������(��������������!���;�k`k`k p k`k
�§ ^�k`�§��������(��
�8���������� �����������������"��.�����.������������� ��������E�������(������ �����������������'�����!�������� �����.�����.������*��"��� ����!�,�����0���������������"������k`
�§ p w ^ �(�����w ^ �§k` ^ �(+���
E���*��"��.�����.�� �������������������(������ �����������������.����'��������� �����"������k`
¨ p + ^ ���E�������(�w ^ S������������ ����������������'��������������"��.�����.��.�����NIVELL DE DIFICULTAT: 30
Problem
11. LASol
�K��©ªeeee�
�� �8
�K�E��E��
NIV
mes Olímpics.
A “V” DElució: a) E
b) L
H.��#���� �#�� �
ªe��������� *������
�0��"��8�(��������
H.��w���� ���"�����������(�����
VELL DE DIF
. Núm. 72. D
Societat d
E L’HEXÀEl períme
La longitu
���������������*������F��$���� ���
�������� �����P��
� ^ % ��������������(����.����
FICULTAT:
esembre 201
d’Educació M
ÀGON etre de la
ud del co
��� �"'�8�.��8�-� �G(�$(�!�� ����E�������(
��������������!.��% p qcf _���������cee% p qw _ �
����������
30
13.
Matemàtica
a figura é
ostat és 16
.�����.���������
��O��������(�c«eeee ^ ¬�eee
���T����.���;�f©s ^ %
cfeee���ws ^ �\S��0���S��
de la Comun
és de 24 c
6 cm.
����-���������� ����������
�e ^ %�� �
� (�A=RF
p q% _ �s
��F������ ��
nitat Valenc
m.
�0��«ceeee ^������������(�����
�F���8�(��ªeee
^ �%�� �
�(�w ^ U��
�
ciana “Al-Khw
^ «feeee ^ %��������������T����
ªee ^ f©eeee ^
��
� ��
Pàg. 47
warizmi”
�� ��H�����¬ªeee� ��.�� ��
^ ��� ��
Pàg. 48 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
SOLUCIONS
�
��
PROBLEMES DE NIVELL B � �
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 49
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PROBLEMES DE NIVELL B (SEGON CICLE DE SECUNDÀRIA)
1. EL CASTELLET FRACCIONARI Solució: a11 = 233/144 i el producte a1·a2·...·a11 = 233
-�����������!��� ����������������0�;��(��z��(�+z�(�Uz+(���zU�������������� ������������������������������ ����� ������������ �����������������J�*������?������K(����������� ���������������������0������ �������������� ������������ ��������� �aS]��z����������.P�����!�����jkk;��%z��(�++z�%(�U\z++(��%%zU\(����z�%%��6���������������������� ������� �������;�
� p �� p +
� p�� � � �p �%%U\ p ���
�%% ^ �����1� � �� �������(� ��� �*��� �Y������� ����� ��.���� 0�� �� �� ���������� ���(������ ������� ^ �(S�U���\ o(����0������ ��������������������������82(� �Y'� ������� ������������� �!������� !����������������� ���������������NIVELL DE DIFICULTAT: 30�
2. L'AVIÓ Solució: L’avió vola a una velocitat de 40 m/s i a una altura de 398 m.
7���>��� � ��� �� ��������� ��� ��� !.���� 1� � ��� �Y���(� ��� �0� �������.���������� (������8�����(�+��(������ ����������������JvK�0�;�
® ^ ���(�+ ^ %�� z���
��������������������*8��(���������;�©� ^ �%� p �� ^ U��� ��
J����� ���� ��� ����� �� ����� ���� ������ !��� ��� ��������8��� ����� ���K��7���>��������� ���������������!.��(����� �������������� ����,���������.���;�
�¯��� ^ ° r ±
²� r ± ^ ¯����
Pàg. 50
Societat
���
1� ²�
�����
���
6�!�
t d’Educació
� �0��
� ���� ^ �+� ��
� ������;�
� �0����
��� ���(�
Matemàtica
¯� _ ¯���²� ^ �
�������
� ������¯
� �����
�
a de la Comu
hq²�
^ U��� (��� (�����
�������
�� ^�;�¯� p ³� _������ 0
° ^ ± _
P
unitat Valenc
h�r ±s ^ q(� �� ^ ���������
�������2.
^ q²� rq²� r
q²� r ±sq²� r ±s0���Y��.��
h�q²� r ±s
Problemes Ol
ciana “Al-Kh
��²� r ±s�� (� h�����������
.����(�����
±s±s p h��
ss p h�
��´ ^�������U��s _ ��
q²� r
ímpics. Núm
hwarizmi”
^ h� ^ ���t�(�h(�T�(
���������
U���
r ±s�
m. 72. Desem
��� (� ±(�T���
�0��E���
bre 2013
^ �� (�
�������
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 51
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
� ��������������������������;�° ^ � _ U��
��q�� r �s _ ��
q�+ r �s� �\U� �
&#��;� E���� � '����� !��� ��/�� ��.����(� ���2� �8�� ���� ���� ���>��� ��������� 0����.������ �������������������������������!����="��.����������3�����.�������>����NIVELL DE DIFICULTAT: 40
3. TAULA INCOMPLETA
Solució: £ ^ ¦�µ�¶ ^ r·
G����� � ��� ������ ��� ���� !���� �� � ¸¹( ¸¥( ¸�( ¸º( ¸¦� �� ��� �� ���� !��(� �����.���(� ��� �������� � �8�� ������� ����� -�� ���8� !��� � ���� �� ������� ���;�»¹( »¥( »�( »º( »¦� 1������� �������������������8���������������������������� ���1� ����£������������������ ����!��� � ������ �������(�����'���������;��£ ^ ¸¹ _ »���G����� ���8�� ������¼ ^ ¸¹ _ »º(��½ ^ ¸¥ _ »���¹ ^ ¸¥ _ »º�E�������;�½ _ ¼ ^ ¸¥ _ »� _ ¸¹ _ »º ^ ¸¹ _ »� _ ¸¥ _ »º ^ £ _ ¹��F����� ��"������½ _ ¼ ^ £ _ ¹ � £ ^ ¦�� ����� ���8������ ���(������������� �������.P�������������;��
���#��������"������� _ ¶ ^ r¦ r ¹ � ¶ ^ r·�NIVELL DE DIFICULTAT: 30
x S��� ��
�� O+�O�� y
Pàg. 52 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
4. EMBOLIC DE SOBRES
Solució: La probabilitat demanada és �¥¦ .
F������� ���������� �� �3��,��������.�� ���"�������� ������������������������������+���a�����������������������-����.�� ���"�������������������0�������.P���;�
�?������������������������������
�+ p �
% p �� _ �
+ p �% p �
� _ �+ p �
% p �� ^ S
S� _ SS� _ ��
S� ^ �%S� ^ �
+�NIVELL DE DIFICULTAT: 20
5. CONSTRUCCIÓ DE RECTES Solució: Hi ha dues solucions Cq�( ¼s i Dq¾( �s� -����������������������������������������������!�� ������������qr+(��s��q�+( r�s��� ��������������A������ �������.���������.����-������������ ���8����!�� �����.P���;�
Problem
�
E�����!��
NIV
6. RASol
H.���������E��J�K
NIV
mes Olímpics.
x�� ������.������ �����������
VELL DE DIF
AÓ DE POlució: La
.���������������������(������������(�%T����������\K�������
VELL DE DIF
. Núm. 72. D
Societat d
x ^ �j��j�¿�
.�� ��� ���������q�+( r�s��
FICULTAT:
OBLACIOraó dema
������������ ����
������������
\%��]����% �
FICULTAT: 2
esembre 201
d’Educació M
�¿��®¿À�Á���°�ÀÁ�¡�Â������� �������������
10
ONS anada és
�����������A���� �� ���������
%��J�K��E�
�®
20
13.
Matemàtica
�jÃÂ�jà ^ ��
r���(� ������8��%��
s 57/47.
������� � ��,� ������������
����������
�® ^ �(�%
�(\% ^
de la Comun
� r qr�sr+ r �+!8� � ������������
��,� ��������� �"�����(\%T���
��� ��������
^ +�%��
nitat Valenc
^ �+r�� ^
� ��� ��������(��8��
������"��/��/�����������������
�z®�0���
ciana “Al-Khw
^ �r%�
�� qr+(��s�������
�
����(������ !���������������
!������b
Pàg. 53
warizmi”
s� � ������ ����
.��®������� �"��/������A�
b��������
Pàg. 54 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
7. BISECCIÓ D’UN ANGLE
Solució: El valor de q és ¹¥ v�� .
1� ����G�0������������������������������G�� ���"�8�#5(��������������������G�����J�(�K��E�������(�hgeeee ^ ����-�����������������������G�0��v�(����������cg ^ ��v���Ächg ^ S�Å��1� ����fh�0�������������"��.���Ächg(�����'�����Äfhg� ^ ���Å��������.������������.���GA1�������Å�Æ �S�Å�Æ �\�Å���E�������;�fg ^ k`
vl����������������y ^ k`vl��
NIVELL DE DIFICULTAT: 30
8. NEGRE SOBRE BLANC
Solució: L’àrea dels triangles negres és ¥¾v���u.s.
-�����!.��(�'�'���������.������.�����H����!.����������������� ��������.������������������� ��� 0�� ����(�'�'��J�� ����������!���K;�U _ � p � _ � p S _ � p + _ � p % _ � p � _ � p � _ � p �� ^ �S%�����.����E�������(���zS%���������.����A1�������������������.�����
�=���������������������������������A1��������������������G��1� �����������.����A1�0������������A�]��S(�����'�����AG�]�G1�]�U������������������ �����E��.����������!������������.������������.����AG�������Å�Æ�S�Å�Æ�\�Å(������ ���;�
ch ^ Uv������'����(��"�������������.����A1�0�;�
cÇÈÉ ^ �� p Uv� p �S ^ S%v��
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 55
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
��"���������������������.������.����0�;���S% p S%v� ^ ��v��
NIVELL DE DIFICULTAT: 30
9. QÜESTIÒ DE DÍGITS Solució: El dígit que ocupa el lloc 100 és el 4.
-�� �� ���� ������ ��� ��.��� ��� � .���� ��� ��� �������� ����� ������ ����� _ � _ ��_� � � _���E���������� �������.����������0������.������������������������������������(�'� ������������"������������������;�
� _ � _ ��_�� � � _qÂ� r �s ¢ ���������� _ � _ ��_�� � � _�Â Ê �����-8� �������������������� �������� ���;�
� _ ��� _ ���_�� � � _��� ^ �\������������� _ ��� _ ���_�� � � _��� _ �%� ^ ���+�-����.�����������������������������������������������.����%��E�������(������.����������������������0�����%��NIVELL DE DIFICULTAT: 30
10. RELLOTGE ISÒSCELES Solució: L’hora que assenyala el rellotge és 9:36.
H.�� w� �"��.��(� ��� .���(� ������ ���� ������� ��� ���� '����� � ����� �����H��� ������� ����.������ ��� !.���0�� �2������(� � ���������������������.����.����� ��������� ��������������������.��������'����;��
w _ w _ �� w ^ �U� � +
� w ^ �U� � w ^ ���
E��� ����� ��� ��� �����(� ��� ������ ����� ���� �������� �� ��.��� ����S�ÅzS� ^ SÅ����� �������������'���������.������ËļÅ
k` Í ; S� ^ Ëk`Í Å
Pàg. 56 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
������\;���'�'������.���������������� ���� ���������� ����'����� ������ �����-����� � ������� ���������!.��(�'�'������.������������������� ��������������'����������� �����1� ������� ����������� ����.��/��+ k
`�.��������� �������������'���������� ��(� !��� !����� `�§��`
npÎÏ^ �S
� ���� ���� ��� ���� \;��� ����*� ����
��������������'����������� ��������������������.�����E�������(��"���������������/�������!.���0������\;�S�'����� NIVELL DE DIFICULTAT: 40
11. PIRÀMIDE DE TRESOS Solució: La suma val 930.022.
H ���O���������.���������� ;�� _ � _ �` _ �l o _ �k§ ^ lÎÎ�k
l�k ^ lÎÎ�k` ��
� _ �` _ �l _ Ð _ �k§ ^ lÎÎ�ll�k ^ lÎÎ�l
` ���` _ �l _ Ð _ �k§ ^ lÎÎ�lÏ
l�k ^ lÎÎ�lÏ` ��
�` _ �l _ Ð _ �k§ ^ lÎÎ�lÑl�k ^ lÎÎ�lÑ
` ������������ _ �k§ ^ lÎÎ�lÒ
` ����� �0���� ��������k§ ^ lÎÓql�ks
` ^ lÎÎ�lÎÓ` �
Ô ^ k` q�� Õ �kk r q� _ � _ �` _ Ð _ �k§ss��
Ô ^ k` Ë�� Õ �kk r lÎÎ�k
` Í ^ \��������NIVELL DE DIFICULTAT: 30
Problem
12. TSol
="'����"�NIV
13. PSol
="����
mes Olímpics.
RIANGLlució: L’à
'�8�.��� ���.��� ?GX����������VELL DE DIF
EIXET lució: L’à
������������������
. Núm. 72. D
Societat d
LE DINS rea del tr
����� !�� X�0�� ��� ��'������"�FICULTAT:
rea del p
��8�������
esembre 201
d’Educació M
D’UN HEriangle A
��� ���� �� ����� �������������30
peixet val
����������
13.
Matemàtica
EXÀGONABC val 7
� �� �����"'�8�.��
����.���0�
¹¼Ö r �
���������
de la Comun
N cm2.
�� � ��� ?�� � ��� �����+SzU]�
¥ cm2.
�����JS%��
nitat Valenc
?-G$�� #���.����A1� ���
�� �K� ��/
ciana “Al-Khw
������� �1� ��� ����
/���������
Pàg. 57
warizmi”
��� ������ �����
���>����
Pàg. 58 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
-�� ����.���������?X1� 0�������������������@?�� !�� �������������"������S�� �(����� ������������A@X?�!������� ���="����� ���� ����.��� ������ 1�G� ��� ���� � �������� �������� �� �"����� ����������� �3�������������A1���H���;�S% r k
m � Õ S%�� ���="�����������8����������� r S% _ k
m � Õ S% ^ �S� r ���� ���NIVELL DE DIFICULTAT: 20
14. QUADRAT MÀGIC, VAL PER 3 Solució: Es pot construir de la següent forma.
�% \� ���� �� �+�� �� �U
�������������8���������"��������� �.��� �������� ������(��(��(�%(�+(� S(� �(� U� � \(� ��� �*� ����� !��(� ��� ��� � ��.����� � �� �+(� !���� ������.P��������������;���K�� ����������������S�J0���!������ �������������������K�������0���K� ��������� ����� ����������(� 0������(� ���������������� ��� ����������(����!�� ���������������� ����S�(������� ����������������������������Una altra solució: E��� ���
�� �� ���� �� ���� �� ��
H������ ��������������������������!������� ���������� ��!���� ���� ������� ������������;�
�� O� � � OS SO�� � � S � OS� � O� OS S �
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 59
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
O�� ���� O��
O�� ��
#���� ������.P����������� �.�;�
��� �%� ����S� ��� S��+� �U� ���
����� �0�0���������-������3.���� ����������� ���������NIVELL DE DIFICULTAT: 20
�
�� �
Pàg. 60 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
QÜESTIONS D’UN MESTRE ��� ����� � �8�� �"���� ��������� ������� �����(� ����.���������� ������ �:-�������� ����� ���E�.0�:(���������������� �"����������� ���8���
LA REGLA DE LA COMPANYIA (1) ����� ����� !�� ��� ��� �� ���/��� -�� �� ��� !��� �� ������� ��� ���S�������~� ����� ��/�� �����0�� �.������ ��� ��� �� ���/�� ��� ��.��� ���(� � ���%��+��������������/�������0�����������(�� �����\�������������������'����/��������!�����(����������� �����.��/������U��%%���������<����������������������������(���������������Ut������.��/��������������.��� �����L�
LA REGLA DE LA COMPANYIA (2) <����� ����� ����8��� �� ������� ��� +%��U��� ����� ���� �� �8������� ����.��� ��� �*� �������� ��� .��/�� ��� �+%�U��� ������ -�� �������� ��������!��(� ��� �� ��� ������������ �+����� ����~� ��� ��.��� %�����~� ���������(��U���������������������������������������������������������������������.����
LA REGLA DE LA COMPANYIA (3) 7��� �������� ��.�� �" ������ ��� ��(+t� ����� .��/�� ������ H� ���� ���� �����.��%����������� � ���� �������� �������������� ����� ����� ����������+����(� �������� � �+������ ����� ��������� ���(� ��� ����!�� ������.0��������L�
�
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 61
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
SOLUCIÓ LA REGLA DE LA COMPANYIA (1) ������� ������ ��� ������ ���� ��3����� �������� ���� .��/�� �� �*����������� �� ����� �� ���� ��� ��������� ���������� ��� �� ��.���� <��� ������������������� ��������!�����������.��/�����*���������������8������������ ������ ���� ������������� ���� ��������� ����� �������� ���������������������� ����
� Capitals Temps Productes
1r. ���S��� U� U%�U���2n. �%��+�� +� �����+��3r. ���\��� �� \������
���t r �Ut� ^ U�t��guanys nets��`k§§������U��%%��]����\�\S�(U������
wU%�U�� ^ u
�����+� ^ ¡\����� ^ w _ u _ ¡
U%�U�� _ �����+� _ \����� ^ ��\�\S�(U�����+� �
• w ^ U%�U�� p ``���̧(�l§k�`n§ ^ S%����(+��������
• u ^ �����+� p ``���̧(�l§k�`n§ ^ \%�%S+(���������
• ¡ ^ \����� p ``���̧(�l§k�`n§ ^ ����S�(�%������
SOLUCIÓ LA REGLA DE LA COMPANYIA (2) -���.��/���������������'���������+\�U���������E�������;�
�+����w ^ %�����
u ^ �U����¡ ^ +\�U��
� ^ �+%�U��+%��U���
• w ^ ��+���� p nmk��§§knm��§§ ^ ����+��������
• u ^ �%����� p nmk��§§knm��§§ ^ �%�����������
• ¡ ^ �U���� p nmk��§§knm��§§ ^ S�����������
• � ^ +\�U�� p nmk��§§knm��§§ ^ ��\����������
Pàg. 62 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
1r soci � 122.500 euros
2n soci � 147.000 euros
3r soci � 63.000 euros
4t soci � 209.300 euros
SOLUCIÓ LA REGLA DE LA COMPANYIA (3) ��(+ p w
��� ^ %������ � w ^ %����� p �����(+ ^ �%\���%(�U�
Guanys nets:�����t�O���(+t�]�U�(+t�U�(+z��������%\���%(�U�]���S���%(�U����.��/�
w��+���� ^ u
������� ^ ¡�+����� ^ ��S���%(�U
��+���� �• w� ^ ���+�����w���S���%(�Uz��+����� ^ �%\����(+U�������• u� ^ ���������w���S���%(�Uz��+����� ^ �U+��%�(�\�������• ¡� ^ ��+������w���S���%(�Uz��+����� ^ ������\(%��������
1r soci � 49.727,58 euros
2n soci � 85.247,29 euros
3r soci � 71.039,41 euros.
� �
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 63
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
ACTUALITZEU ELS VOSTRES CORREUS ELECTRÒNICS...!!!
��-&16×(�H#16H[[��E��� ���� �"������>��� ��� ������� ����� ��� �����(� �� �� ��� � ��� �����!�� �����������������������������������������������(�������� ������������������������������������������2�����V�� ����������������������!�� ������������ �����!����� �������������������V���!���������������������������2����;�
[email protected] ������������������������������@�����������������������T����������
Pàg. 64
Societat
CH6�)G--&
��
��
-HE
t d’Educació
CONT)#=H�-&)� EF#A=-
&)6�F�7&�
�$AV�E#�
E-F-$�=
Matemàtica
TACTE)6�FO&#H-$-H� #� G��1�F���
�H�-&)6�F
-H�)#H�F
a de la Comu
EU AMH�H#=716#G-� �-$-��="�GF-
F�7&�$6H
F-H�1#=T=
P
unitat Valenc
MB N
#&H�G-�E-H(� 1#$--�;�
HE�%
HH��@-��
proble�
=�A#F�1
Problemes Ol
ciana “Al-Kh
NOSAEF#A=-$-&��F6H�
-$1)�Q�EF#A=-$�E�F����%S������)�
=�1#FF-7
emesoli
16#&H[[[
ímpics. Núm
hwarizmi”
ALTRE-H�#A-F6� H7@@-F
=ORX�F��#A-F�����%+�
�=Ú&16��
7�-=-1�F
mpics@
m. 72. Desem
ES...!F�H(�EF#EF6$-&�H
F6D$6Q���
FÛ&61;�
@semcv.
bre 2013
!! E#H�-H�H� E#�H�
.org
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 65
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
XI Jornades de la Societat d'Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana Al-Khwarizmi.
Matemàtiques 3.14
Castelló 2014
• #�.���>�;�H-$1)�Q��O�R'4��> Q�• 1�������;�7��������� � ��6����1�������(�H-$1)�Q��O�R'4��> Q�• 1��T������;�G������ �������$��� ������������7��������� � ��6�
Segon Anunci��
-��� ���� 7 i 8 de març del 2014� ������� ����� �� ��� 7��������� � �� 6� ���1������������56� ��������������H��������Y-������$��� �����������1� �����)�����������OR'4��> �� ������� ��Matemàtiques 3.14��- ��������������;���8N3�������Ü�� �����.�
�6�������;�!�������U����!�������������%��'���;zz444��� �����.z�������N3�������z�������N8N3����������%�'� ���<������"�������;�H����������H-$1)���������H��������������?-HE$;����a���&������;����a�������3� ���;�F���*����7������������'���;zz444�3���z������z���z���.z�� ����'� ��$0���!�� ���;�� 444��� �����.��
Programa provisional
Conferències. • Antón Aubanell. Bombolles de sabó. • Antonio Pérez. Matemáticas en vivo o Matemáticas de museo.
Ponències.
• G����A����(�1�����1������Enriquir les activitats d'aula a partir de l'ús de materials manipulatius i applets��
• ���B�.���$�����Comunicar las matemáticas��• 6�������@�������Pitàgores a Xina o el procediment Gou Gu��• )�����E�� ���JG������ ����$��� ������7��������� � ��6K� La
Història de les Matemàtiques en la formació del professorat��• �����=����E����Veig matemàtiques per tot arreu. És greu doctor?�• A�����������'��(�6������H��.0��L’alumnat d’Infantil toca Geogebra.�• ���F���.���El documento puente, una herramienta fundamental para el
trabajo por competencias.
Pàg. 66 Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
PREMI MARIA ANTÒNIA CANALS 2014 � � � � �
=�� ?�������� �"-������� ���� �� �"-����/� ���� ��� ���� $��� ������ �� 1�����/��J?--$1��K(� ���H�������A���������$��� ������HA$O5-65� � ���H��������"-������$��� �������� ��� 1�� )�� 9��OR4'Ý�> Þ:� ��������� ��� E�� � 9$���� ���2��� 1�����:� ���%(� ���� �� ���3�������"�������� �������� �����>���� ��� ��.�z�� ����� ����� ������ ��������� �� ��� ��������2���� -������3������'����"��������.������"�����/� ���������� ��� ��������������.P������������������;���������!�����J�ÆSK(���������� ����JSO��K(�����������������J��O�UK������������
E��������������� �������������!������������"�����/� ���(���������"���������������!����������������(��� �������!������������������������������������������������������
&��������������������� ����������3��������������� ������������������������-������3������'��������������������(�����������!�� ����J���(�#����#!!��(���!K(�� ��
����8�������"����������%����.������ ��� �8 �J�������(�����������K��=��������������������3���������������������.P�������������;�
• F�� ����+�����������(�������������������(�� ������������������������• -8������ ����� ��3����� � ���� �����8�� ��� �*� �"'�� ������������� F�!��*����� � �������
J4���(���8���(oK�• G������������"�8���*���������� ��������������• 7��� ���������������������������"�� ����J!���.��!��(�����������������3����(�oK�• 1��������� � ��!��8�� !���� ������ ��� ��� '�� ������������ ��� ���3����� ���� ��� !�� ��
�"����������.�� ��� ��������"�� ���� ���������������3������G�� ���(������������"�������(����������.����������������.P����;��
o �� ����.�� ������������~��o ����,����������������2��������*!�������������~�o &6?�����������~�o ������������� �.���������� ������ ��� ��� �������� 0�� �*��� � ��� '�� ������
��� �����������������������H"����.���� �� ���� ��� � ���� ������ ������ ������ � �� S��a� (� �� �"����(� �������
�������������������������'�� ���8�������O�������"���������3�����!�������O�������!�����-������ ����������������������������0�������3��������El termini de lliurament dels treballs finalitzarà el 31 de juliol de 2014 El veredicte serà comunicat als guanyadors personalment i el lliurament es farà en
un acte públic. =��� ��������� ����������� ��� ��������� ��� ����� �� ��� �������� ����� ���3������ ��� �����
�����������������������������������&���8������!�� ���������������"�����������.������ 0��������������!�������������������������� ����
=����������������� ��� ����������.���������� �� ����������� �"����� �"��������������������������������������������3��������������������
-��3�����������!�� ��������� � �������.��������������������(��� � ����������������������������������������&���8�������������������������������� ��� ������ ���������(���������������"����������������������������������(�� ���������������(�������������������������� -��.��/���������� ��� �����!��������������.����������������������������
-�������������"'����"����,���������� �����;���� � ������������Ü. ����� ����0����������������������;�
�H��������"-������$��� �����������1)�9��OR'4Ý�> Þ:�
E�� �9$�����2���1�����:������������������;����%+�
%S����)��*����
Problemes Olímpics. Núm. 72. Desembre 2013. Pàg. 67
Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”
Espiral numérica, Begoña Contell Gonzalo, de l’IES Ramón Llull. València. 1r Premi Apartat I - XIII Concurs
B A S E S
http://www.semcv.org�1. =��H��������"-������$��� �����������1� �����)���������Q��OR'4��> Q������������56)�
1���������?���.��!��9$��� ��������������:�� ��������������;�Apartat I;�E����� ��������� ������ ���� �� ���� � � ����� ���� �� ���� ��� ������ ����� ����
���������E� ���(�H�������(�?E�(�?E(�1�����!�� �����A��8��������Apartat II;�E�������������������������������������������"�����������������
2. �=��� !���.��!��(� ��.����(� ��� ������ �� ��� ������ � ��.��, en paper(� ������� ��� .���������Y�� ��/������ �+����� �� �"�������� 6(� � �� ��/���U�� �%����� �� �"�������� 66�� 1���� !���.��!�� �������������� ������ ������ ��������� � �� �� ������ �� ��� ��� !���� ������� -�� ������ ������� ��� ��!���� ���������� ��� �����������������1�����*���������� 0��!������������� ���8��� ���"����!������ �����������(����0������!����������������������
3. -�� � ��� ����� ������������ ���� � !���.��!��� � �������� � ��� ���� � ��%z��z���%��=��� � !���.��!������������Æ ��������� ����������������Æ���� �����������������������������-���� �������!������������ ���������� ����� ���������� 0�� +(� � �� �*����� HY���������(� ����� ���(� ������ ���������� ��Y��������J����������K����*�������������H��������������!���.��!������!�� ����.���(�������.������Y��������������������!��*�����
4. -������ �(��������� ����������!���.��!���������������!���(�������;�Apartat I;���������������;���+��a� � ��;������a� � � ��;���+�a������������������������������%����������� ��.����������a� � ��$������*��;��+��a��Apartat II;�JE�� ������!���.��!��������*��K������;���+��a���������������������������;���+��a��
5. =���!���.��!�����������Y�8��������������7��������� � ��6� ��� 1�������� ������ ��� ���������� ��� ���� 56� ���������Y-������ $��� ����� ��� ��� 1� ����� )��������� Al-Khwarizmi,���� ��,��������%��-������ �������������������U(������� �Y������� ���� ��������� E������� ���(� ���� !���.��!������� ������(� 3��� � �� ������� ��� ��������� �����(� ��������8'��O��������.��������������'�����������
6. �=������������ ������"������������������������-��3�������������� ��� ������� ������� �� ����� �� ��/�� ���� ����� � �������� ���H���������.���>�������=����������������������T�������
7. ����� !���.��!�� ��� ���� �������� �� ���� ��������� ��� ���H������� �� ����� ���� �!������� =��� !���.��!��� ����������� �����������08��������������������������H-$1)��E���������������������(����������.�O�����������������������H�������������������������;�H��������1���������F��(���O ��;�!���.��!��� �����.�E��������>����������� ����;�1���������!���.��!��Q$��� ��������������Q�
6-H�������� ��0�1�������������������������=����>��1��������(���O�%�������������� �
XIV CONCURS DE FOTOGRAFIA “MATEMÀTICA A LA VISTA”
Pàg. 68
Societat
)����!���� ���
1�.��G&6�z���DomicE�����1�����1������Centre&� ;��1��������*!���Entita&� ;��1�����1���1� � -������������� � �����-������G&6;�������
t d’Educació
�O������L�#����������
� �;�����������&6?;����������
cili partic��;��������������;�����������������O�;������������
e de treb��������������������;�������������������;���������������
at bancàr��������������������;�����������������1� ����1�-������á���á���á���á���
�
��������� ������������������������
SC
Matemàtica
# ��������. ���/����
INS
��������������������������������������
cular: �����������������������������������������������������������
ball: ����������������������������������������������������������
ria (on es�������������������������������������������;�
�������#!������������
� �
���;�������������������������������������
SOCIETACOMUNIT
a de la Comu
.P�������������������
SCRIPCIÓ I D
�����������������������������
����������������������������������������������
�������������������������������������E������������1��
s lliurar������������������������������������E
���� �����������������
�������������������
������������������������������
T D’EDTAT VALE
P
unitat Valenc
�����"���������������
DOMICILIAC
�������������������
�������������������������������*!
��������������������E������;����O�;������
à el cobra��������������������E������;�
��G�1������������
������������������������
�����������������������
DUCACIÓ ENCIANA
Problemes Ol
ciana “Al-Kh
���������������������
CIÓ BANCÀR
����&� ;����
�������������������!��;�������������
����������������������������������������������������������
ament de ���������������������������������������
������á���á���á�
�������������������
�����������������������
MATEMA "Al-Khw
FacultatDepartamApartat 2
ímpics. Núm
hwarizmi”
"�������������������
RIA
�������������������
������1�E�;������������������������
����������������������������������1�E��������������������
quotes):����������������������������������1�E
&â�1� �á���á���á���á�
���������������������J�.���
�����������������������
MÀTICA "warizmi
de Magisteri “Aument de Didàctica22.045 46071V
m. 72. Desem
�����������
�������������������
������������������������������
����������E�;������������������������������
: ����������E�;������������
�������á���á���á���á�
������������������������K�
����������������������
DE L
usiàs March” a de la MatemàtiVALÈNCIA
bre 2013
��
������������������
�����
���������
���������������
LA
ca
�
Esta revista es publica amb el suport de l’Acadèmia Valenciana de la Llengua
Trobaràs tota la informació en la nostra web.
Visiteu-la: www.semcv.org
Societat d'Educació Matemàtica de la
Comunitat Valenciana
"Al-Khwarizmi"