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Professor Neilton Satel
Aula de Matemática
25 de outubro de 2011
CONTEÚDO DA AULA:
Geometria analítica
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“Ensinar é um exercício de imortalidade. De alguma forma continuamos a viver naqueles cujos olhos aprenderam a ver o mundo pela magia da nossa palavra. O professor, assim, não morre jamais...”
(Rubem Alves,1999).”
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Apolônio de Pérgamo (262 - 190 a.C.) nasceu em Pérgamo, na Ásia Menor e viveu em Alexandria nos fins do século III a.C..Foi contemporâneo de Arquimedes e é unanimemente considerado como um dos mais originais e profundos matemáticos de sempre.A sua obra mais famosa é o Tratado sobre as cónicas (o primeiro estudo sistemático das cônicas), aí definidas como secções de um cone de base circular e designadas por elipse, parábola e hipérbole. Dos oito livros do tratado, apenas um se perdeu, representando esta obra, segundo alguns autores, o ponto máximo alcançado pela matemática grega. É motivo de admiração a mestria com que Apolônio demonstra centenas de teoremas, recorrendo aos métodos puramente geométricos de Euclides.
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MACKENZIE – SP ) A equação da reta r é:
a) y + 2x – 2 = 0
b) y – x – 2 = 0
c) y + 2x + 2 = 0
d) y –2x – 2 = 0
e) y – 2x + 2 = 0
Fica: 2x + y = –2 2x + y +2 = 0
121
yx( Multiplicando toda a equação por –2 )
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Questão 43 página 243a) Escreva as equações reduzidas das retas que contêm as diagonais do quadrado ABCD dado no sistema cartesiano ao lado.
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Questão 43 página 243b) Compare os coeficientes angulares dessas retas.
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03. Encontre a equação da reta que passa nos pontos A=(0,1) e B = (2 ,5).
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03. Construir usando o GEOGEBRA, o gráfico da função f(x) = 2x +1.
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No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.
1
5
COEFICIENTE ANGULAR = 2
COEFICIENTE LINEAR = 1
Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ).
O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1) este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação.Veja o esboço do gráfico dessa função...
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No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.
1
5
COEFICIENTE ANGULAR = 2
COEFICIENTE LINEAR = 1
Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ).
O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1) este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação.Veja o esboço do gráfico dessa função...
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No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.
1
5
COEFICIENTE ANGULAR = 2
COEFICIENTE LINEAR = 1
Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ).
O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1) este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação.Veja o esboço do gráfico dessa função...
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MACKENZIE – SP ) A equação da reta r é:
a) y + 2x – 2 = 0
b) y – x – 2 = 0
c) y + 2x + 2 = 0
d) y –2x – 2 = 0
e) y – 2x + 2 = 0
Fica: 2x + y = –2 2x + y +2 = 0
121
yx( Multiplicando toda a equação por –2 )
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EXERCÍCIO 02: Vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):
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SOLUÇÃO DA QUESTÃO
EXERCÍCIO 03: Calcule o ponto médio entre os pontos A = ( 2,1) B = ( 6,4).
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3 – PONTO MÉDIO DE SEGMENTO
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• Vamos calcular a área do triângulo amarelo pela diferença entre a área do retângulo azul e os outros três triângulos na cor verde.
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Área do triângulo:
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Podemos escrever assimÁrea do triângulo:
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EXERCÍCIO 04
Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?
2 5
0 3
1 1
2 5
2
1A = 2.3 + 0.1 + 1.5 –0.5 – 1.3 – 2.1
A = 6/2 A = 3 u. a.
Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área)
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EXERCÍCIO 05 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(-2,-1), B(2,3) e C(4,-1)?
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RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 05
-2 -1
2 3
4 -1
-2 -1
2
1A = -2.3 + 2.(-1) +4. (-1). –2.(-1) –
4.3 – (-2).(-1)
A = 24/2 A = 12 u. a.
Resp: S = 12 u.a. (12 unidades de área)
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RETAS
Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão alinhados, então:
Tomando três pontos numa reta não-paralela aos eixos
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DESENVOLVENDO, VEM:
ENTÃO:
COMO:
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EQUAÇÃO GERAL DA RETA:
A x + B y + C = 0
se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta
se am + bn + c 0, P não é um ponto da reta
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:
Y = ax + b
Onde a = coeficiente angular da reta
b = coeficiente linear da reta
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EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:
y = ax + b onde,
a = coeficiente angular da reta
b = coeficiente linear da reta (ponto de
intersecção com o eixo Oy.
O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox.
a = tg α ( abertura ou inclinação da reta )
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Coeficiente angular = 3
Coeficiente angular =2
Coeficiente angular = 1
Em todas as retas o coeficiente linear ( ponto de intersecção com o eixo das ordenadas - eixo de y ) é zero b = 0.
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X Y1 32 4
X Y
3x + 1.4 + 2.y – 1.y – 2.3 – 4x = 0
–x + y –2 = 0
Vamos encotrar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).
Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:
Ou x – y + 2 = 0
RESOLUÇÃO:
EXERCÍCIO 06
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Determine equação da reta que passa pelos pontos A e B na figura abaixo.
EXERCÍCIO 07
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Resolução questão 07
Utilize a equação da reta (geometria analítica) dados pelos pontos: (3,5) e (6,0).
X Y
-3 -4
-1 2
X Y
– 4x – 6 – y + 3y – 4 –2x = 0
E finalmente a equação GERAL da Reta:
– 6x + 2y – 10 = 0
3x – y + 5 = 0
Ou Y = 3x + 5
Ou a equação REDUZIDA da Reta:
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Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta resolver o sistema de equações formado pelas equações das retas. Nestas condições , pode-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y - 18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0.
Solução:
Da equação da reta r tiramos: x = (18 - 5y) / 2 (eq. 1); substituindo na equação da reta s vem:6[(18-5y) / 2] - 7y -10 = 0 \ 54 - 15y - 7y - 10 = 0 \ 44 - 22y = 0 \ 44 = 22y \ y = 2;
substituindo o valor de y na eq. 1 fica: .x = (18 - 5.2) / 2 = 4. Portanto o ponto de interseção é o ponto P(4,2).
PONTO DE INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS
EXERCÍCIO 08
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( Faap – SP ) Na prática de um cooper, um corredor se desloca do ponto A ( -3, - 2) até o ponto C ( 5, 4) em linha reta, tendo um repouso num ponto B. As possíveis coordenadas deste ponto B são:
a) B ( 2, 7)b) B ( 4, 3)c) B ( 3, 5)d) B ( 2, 2)e) B (1 ,1)
DICA: encontre a equação da reta
X Y
-3 -2
5 4
X Y
-2x – 3.4 + 5y - (-3)y- 5(-2) - 4x = 0 -6x + 8 y –2 = 0
Y = (6x + 2) / 8
Y = (3x + 1) / 4 Ponto P [ x, (3x +1) /4 ]
EXERCÍCIO 09
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EQUAÇÃO GERAL DA RETA:
A x + B y + C = 0
se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta
se am + bn + c 0, P não é um ponto da reta
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Para refletir página 12
Verifique que aa´ + bb´ = 0 e mr. ms = - 1 (retas perpendiculares)
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Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra a)
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Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra a)
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Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra b)
Para refletir página 12Verifique que aa´ + bb´ = 0 e m1 . m2 = - 1 (retas perpendiculares)
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Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra c)
Para refletir página 12Verifique que aa´ + bb´ = 0 e m1 . m2 = - 1 (retas perpendiculares)
![Page 55: Professor Neilton Satel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061510/56812b57550346895d8f782d/html5/thumbnails/55.jpg)
Conferindo na calculadora:Com isto o ângulo obtido será 29,74º
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Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra d)
Para refletir página 12Verifique que aa´ + bb´ = 0 e m1 . m2 = - 1 (retas perpendiculares)
![Page 57: Professor Neilton Satel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061510/56812b57550346895d8f782d/html5/thumbnails/57.jpg)
Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra d)
![Page 58: Professor Neilton Satel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061510/56812b57550346895d8f782d/html5/thumbnails/58.jpg)
02. (FGV-SP) A reta perpendicular à reta r: 2x – y = 5, e passando pelo ponto P(1, 2), intercepta o eixo das abscissas no ponto:
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03. O ponto da reta s que está mais próximo da origem é A = (-2,4). A equação da reta s é:
a) x + 2y = 6b) y + 2x = 6c) y + 2x = 0d) 2y - x = -10e) x - 2y + 10 = 0
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04. (FGV-RJ) No plano cartesiano, a reta r é definida por r = {(t + 6; 3t + 1) | t R}, e a reta s tem equação 2x – y = 7. A abscissa do ponto de interseção dessas retas é:
a) 10b) 12c) 14 d) 15e) 16
Resposta A