Progetto lauree
scientificheUnità 2
Costruzione con riga e Costruzione con riga e compasso di poligonicompasso di poligoni
iscritti in una iscritti in una circonferenzacirconferenzaA cura di Maurizio Dini e Paola Gario
Dipartimento di Matematica“F. Enriques”
Università degli Studi di Milano
1° problema: dato un n-gono regolare costruire con riga e compasso la circonferenza ad esso inscritta (o circoscritta)
Poligoni regolari e circonferenze
Il Il problema problema
ha ha sempre sempre
soluzionesoluzione!!
Sarà vero anche Sarà vero anche per il problema per il problema
inverso?inverso?
2° problema: data una circonferenza costruire con riga e compasso un n-gono regolare ad essa inscritto (o circoscritto)
Poligoni regolari e circonferenze
Ad Ad esempio esempio il 7-gono!il 7-gono!
Cosa sentono le mie Cosa sentono le mie orecchie!orecchie!
Ci sono poligoni regolari che Ci sono poligoni regolari che non si possono costruire con non si possono costruire con
R & C !R & C !
Carl F. Gauss 1777-1855
RIEPILOGANDO:1° problema: dato un n-gono regolare costruire con riga e compasso la circonferenza ad esso inscritta (o circoscritta)2° problema: data una circonferenza costruire con riga e compasso un n-gono regolare ad essa inscritto (o circoscritto)
Il 1° problema ammette sempre soluzione.Il 1° problema ammette sempre soluzione.
Il 2° problema no.Il 2° problema no.
Poligoni regolari e circonferenze
Ne riparleremo la Ne riparleremo la prossima volta. prossima volta. Per ora fidatevi Per ora fidatevi
di Gauss.di Gauss.
Partiamo da una circonferenza e costruiamo il 6-gono (esagono regolare) con R & C.
Prime costruzioni
Provate Provate voi!voi!
Prime costruzioni
Ora, partendo dal 6-gono, Ora, partendo dal 6-gono, sapreste costruire un 12-sapreste costruire un 12-gono, un 24-gono, un 48-gono, un 24-gono, un 48-
gono, ... ?gono, ... ?
Basta Basta dimezzaredimezzare
!!
Abbiamo ottenuto così la Proprietà 1:
Se il k-gono regolare è costruibile con R & C Se il k-gono regolare è costruibile con R & C allora lo sono anche tutti i 2allora lo sono anche tutti i 2nnk-goni per ogni k-goni per ogni n>0.n>0.
Prime costruzioni
Prime costruzioniNon è difficile ricavare anche una seconda proprietà:
Se l’ n-gono regolare è costruibile allora lo sono Se l’ n-gono regolare è costruibile allora lo sono anche tutti i k-goni con k > 2 divisore di n.anche tutti i k-goni con k > 2 divisore di n.
Ad esempio il 30-gono:Ad esempio il 30-gono:
30 ha 3, 5, 6, 10 e 15 come fattori.30 ha 3, 5, 6, 10 e 15 come fattori.
2 otteniamo un 15-gono2 otteniamo un 15-gono3 otteniamo un 10-gono3 otteniamo un 10-gono5 otteniamo un 6-gono5 otteniamo un 6-gono6 otteniamo un 5-gono6 otteniamo un 5-gono10 otteniamo un 3-gono10 otteniamo un 3-gono
Unendo i suoi vertici uno ogniUnendo i suoi vertici uno ogni
Il triangolo equilatero (3-gono regolare) e il pentagono regolare sono costruibili con R & C.Una costruzione è presentata da Euclide nei suoi Elementi.
Il pentadecagono
Oddio...Oddio...Euclideee!Euclideee!
Ve la farò nella Ve la farò nella prossima prossima lezione!lezione!
La costruzione del 3-gono la La costruzione del 3-gono la sappiamo fare!sappiamo fare!
Quella del 5-gono fingiamo di Quella del 5-gono fingiamo di conoscerla già...conoscerla già...
In una stessa circonferenza supponiamo di aver inscritto il 3-gono regolare ACF e il 5-gono regolare ABDEG. Questo ci permetterà di costruire il 15-gono regolare.
Il pentadecagono
Provate Provate voi!voi!
“Sia AC il lato di un triangolo equilatero iscritto nel cerchio e sia AB il lato di un pentagono equilatero pure iscritto nel cerchio; perciò, dei quindici archi uguali di cui consta la circonferenza del cerchio ABCD, l’arco ABC, che è un terzo della circonferenza, verrà a constare di cinque (archi) mentre l’arco AB, essendo un quinto della circonferenza,
Il pentadecagono
verrà a constare di tre. Quindi l’arco BC che rimane consterà di due di quei quindici archi. Si divida l’arco BC per metà in M.
Ciascuno dei due archi BM ed MC è perciò 1/15 della circonferenza.”
A
B
D
E
G
C
F
M
Dagli Elementi di Euclide - Libro IV
Poiché 1/5 = 3/15 , 1/3 = 5/15 e 5/15 - 3/15 = 2/15 , l’arco BM si ricava bisecando l’arco BC ottenuto dalla differenza tra l’arco AC e l’arco AB.
Il pentadecagono
A
B
D
E
G
C
F
M
1
2
34 5
6
7
8
9
10
111213
14
15
Il ragionamento di Euclide consiste nel determinare una combinazione lineare a coefficienti interi di 1/5 e 1/3 che dia proprio 1/15 come risultato:
Il pentadecagono
1 1 1,
5 3 15x y x y Z
3 5 1x y Poiché la coppia (2, -1) è una soluzione, l’arco cercato può essere ottenuto come differenza tra l’arco che sottende due lati del pentagono e l’arco che sottende il lato del triangolo.
ovvero si tratta di determinare una soluzione intera dell’equazione:
Il 51-gono regolare
Provate a Provate a costruire il costruire il
(3x17)-gono (3x17)-gono regolare!regolare!
Ehi… ma il Ehi… ma il 17-gono 17-gono chi me lo chi me lo
dà?dà?
Il “metodo” usato per costruire il (3x5)-gono regolare, può essere applicato anche ad altri casi.
Il “metodo” generale usato consiste in questo.Si parte da una circonferenza divisa in n parti e in m parti.
Approfondimento
1 1 1x y
m n mn
dove x e y dovranno essere interi opportuni di segno opposto.
Tanti (x) archi da 1/m x/msottratti a tanti (y) archi da 1/n y/ndevono dare un arco da 1/mn 1/mnTradotto in equazione:
L’equazione si riscrive:
(*)
Approfondimento
1nx my Attenzione: cerchiamo le soluzioni cerchiamo le soluzioni intereintere!!
E’ un’equazioneE’ un’equazionediofantea!diofantea!
Pitagora 571-496 aC
Anche quellaAnche quelladelle mie ternedelle mie terne
pitagoriche!pitagoriche!
P. de Fermat 1601-1665
Anche quelleAnche quelledel mio ultimodel mio ultimo
teorema!teorema!
Attenzione: non semprenon sempre una equazione come la (*) ammette una soluzione intera. Ad esempio:
Approfondimento
12 10 1x y non hanon ha soluzioni intere.
Perché Perché non può non può essere essere che...che... ovvero
2 6 5 1x y
con x e y interi!
16 5
2x y
PerchéPerché??
In generale: se i numeri m ed n hanno dei fattori in comune allora l’equazione
Approfondimento
E’ vero E’ vero anche il anche il
viceversa!viceversa!
Non è difficile spiegarloNon è difficile spiegarlo ma ora non ho tempo.ma ora non ho tempo.
Andate a leggere ilAndate a leggere ilmio libro VIImio libro VII..
1nx my non ammette una soluzione intera.
Riassumendo abbiamo individuato una ulteriore proprietà:
Approfondimento
Proprietà 3
Se un m-gono e un n-gono regolari possono Se un m-gono e un n-gono regolari possono essere costruiti con R & C e se MCD(m, n) = 1 essere costruiti con R & C e se MCD(m, n) = 1 allora anche il nm-gono regolare è costruibile allora anche il nm-gono regolare è costruibile con R & C.con R & C.