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Programação Não-Linear
porProf. Benedito C. Silva
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEIInstituto de Recursos Naturais - IRN
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Programação Não-Linear
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Métodos de solução:• Substituição• Gráfico• Multiplicadores de Lagrange• Método do Gradiente• Programação Quadrática• Condições de Karush-Kuhn Tucker• Método de Newton• Método de variações nas Coordenadas• Linearização de funções separáveis
Programação Não-Linear
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Programação Não-Linear
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Solução Gráfica
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Solução Gráfica
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Solução Gráfica
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222
211 1378954 xxxxMaxZ
Solução Gráfica
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Importante!
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Otimização Unidimensional
Busca pela Razão Áurea
Válida para um intervalo que contenha uma única resposta (máximo)
Máximo
Xl
XUX2X1
Xl é o limite inferior do intervalo
XU é o limite superior do intervalo
X1 e X2 são pontos intermediários usados na busca do máximo
f(x)
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Otimização Unidimensional
Busca pela Razão Áurea
A escolha dos pontos internos pode ser feita de acordo com os seguintes critérios
+ Máximo
Xl
XUX1X2𝑙0𝑙1 𝑙2
𝑙1𝑙0
=𝑙2
𝑙1
(a)
(b)
(a) em (b)
f(x)
𝑙1𝑙1+𝑙2
=𝑙2
𝑙1Ou,
𝑙1+𝑙2
𝑙1=𝑙1
𝑙2
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Otimização Unidimensional
Busca pela Razão Áurea
Fazendo 𝑅=𝑙2𝑙1
Razão Áurea
chega-se a:
1+𝑅=1𝑅 ou,
𝑅2+𝑅−1=0
A raiz positiva será dada por:
𝑅=−1+√1−4.(−1)
2=√5−1
2=0,61803…
𝟏𝟎 ,𝟔𝟏𝟖𝟎𝟑…
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Otimização Unidimensional
Busca pela Razão Áurea
Encontrando o ponto ótimo usando a razão áurea:
1. Escolhe-se os pontos Xl e XU, que definem o intervalo de busca2. Os pontos interiores são escolhidos usando-se a razão áurea, da
seguinte forma:
3. Calcula-se f(X1) e f(X2)4. Se f(X1) > f(X2), então:
O domínio a esquerda de X2 deve ser eliminado. Ou seja, X2 passa a ser Xl, X1 passa a ser X2 e
𝑑=√5−12
(𝑋𝑢−𝑋 𝑙)𝑋 1=𝑋 𝑙+𝑑¿𝑋 2=𝑋𝑢−𝑑¿
𝑋 1=𝑋 𝑙+√5−1
2(𝑋𝑢−𝑋 𝑙)
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Otimização Unidimensional
Busca pela Razão Áurea
Encontrando o ponto ótimo usando a razão áurea:
Se f(X2) > f(X1), então:O domínio a direita de X1 deve ser eliminado. Ou seja, X1
passa a ser XU, X2 passa a ser X1 e
𝑋 2=𝑋𝑢−√5−1
2(𝑋𝑢− 𝑋 𝑙)
Exemplo:Usar o método de busca pela seção áurea para encontrar o
máximo da função abaixo, no intervalo de X entre 0 e 4.
𝑓 ( 𝑋 )=2. sen 𝑋 − 𝑋 2
10
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Otimização Unidimensional
Interpolação Quadrática
Este método parte do princípio que um polinômio do segundo grau fornece uma boa aproximação para a forma da função objetivo, f(x), nas proximidades do ponto ótimo.
Existe apenas uma parábola ligando 3 pontos. Portanto, se existem 3 pontos que delimitem um ponto ótimo, pode-se ajustar uma parábola aos 3 pontos, derivá-la e igualar o resultado a zero, para estimar o valor ótimo de X.
f(x)
X0
X2X3X1
Ótimo verdadeiroÓtimo aproximado
Função verdadeira
Função quadrática
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Otimização Unidimensional
O valor de X3 pode ser obtido pela seguinte equação:
Onde, X0, X1 e X2 são aproximações iniciais e X3 é o valor de X que corresponde ao máximo valor da função quadrática ajustada às aproximações.Realizam-se iterações. Em cada uma delas, avaliam os valores da função para os pontos escolhidos e descarta-se um deles , reduzindo-se o espaço de busca.
𝑋 3=𝑓 (𝑋 0 ) . (𝑋 1
2−𝑋 22 )+ 𝑓 (𝑋 1 ) . (𝑋 2
2−𝑋 02 )+ 𝑓 (𝑋 2 ) . (𝑋 0
2−𝑋 12 )
2. 𝑓 (𝑋 0 ) . ( 𝑋 1❑−𝑋 2
❑)+2. 𝑓 (𝑋 1 ) . (𝑋 2❑−𝑋 0
❑ )+2. 𝑓 (𝑋 2 ) . ( 𝑋 0❑−𝑋 1
❑)
Exemplo:Usar a interpolação quadrática para encontrar o máximo da função abaixo, com as aproximações iniciais X0 = 0, X1 = 1 e X2 = 4.
𝑓 ( 𝑋 )=2. sen 𝑋 − 𝑋 2
10
Interpolação Quadrática
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Otimização Unidimensional
Utiliza a seguinte equação para uma busca iterativa do ótimo da função:
𝑋 𝑖+1=𝑋 𝑖−𝑓 ′( 𝑋 )𝑓 ( )𝑋 ¿
Exemplo:Usar o Método de Newton para encontrar o máximo da função abaixo, com aproximação inicial X0 = 2,5.
𝑓 ( 𝑋 )=2. sen 𝑋 − 𝑋 2
10
Método de Newton
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MÉTODOS DE BUSCA DIRETA
Busca Aleatória
Método do tipo “força bruta”
Consiste em calcular repetidamente a função objetivo a partir de valores das variáveis independentes escolhidos aleatoriamente.
Se um número suficiente de amostras for estudado, o valor ótimo será eventualmente localizado
Exemplo:
Use a função de geração de números aleatórios do MSExcel (aleatório) para encontrar o máximo da função abaixo, no domínio limitado por x=-2 a 2 e y=-1 a 1,5
f(x,y) = y – x – 2x2 - 2xy – y2
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Método Univariacional
Estratégia de caminhar “morro acima”
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Máximo globalMáximo local
Função objetivo: F(x1,x2)
x1
x2
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Início: ponto coordenadas (parâmetros) aleatórias
X1=valor aleatório entre a e b
X2=valor aleatório entre c e d
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Determina direção de busca: exemplo x2=x2+0,3; x1=x1
Função objetivo melhorou? Não, então tenta no outro sentido.
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido
![Page 29: Programação Não-Linear por Prof. Benedito C. Silva Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Instituto de Recursos Naturais - IRN](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638501a28abb8238f8925/html5/thumbnails/29.jpg)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido
![Page 30: Programação Não-Linear por Prof. Benedito C. Silva Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Instituto de Recursos Naturais - IRN](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638501a28abb8238f8925/html5/thumbnails/30.jpg)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido
![Page 31: Programação Não-Linear por Prof. Benedito C. Silva Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Instituto de Recursos Naturais - IRN](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638501a28abb8238f8925/html5/thumbnails/31.jpg)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
F.O melhorou? Não, então volta para o ponto anterior...
![Page 32: Programação Não-Linear por Prof. Benedito C. Silva Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Instituto de Recursos Naturais - IRN](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638501a28abb8238f8925/html5/thumbnails/32.jpg)
F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
...e muda a direção de busca.
![Page 33: Programação Não-Linear por Prof. Benedito C. Silva Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Instituto de Recursos Naturais - IRN](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638501a28abb8238f8925/html5/thumbnails/33.jpg)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
E assim segue até encontrar um ponto em que não existedireção de busca que melhore o valor da FO
![Page 34: Programação Não-Linear por Prof. Benedito C. Silva Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Instituto de Recursos Naturais - IRN](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638501a28abb8238f8925/html5/thumbnails/34.jpg)
Exemplo:
Use o método univariacional para encontrar o máximo da função abaixo, a partir do ponto inicial (X1=-10 e X2=-10
f(X1,X2) = X12 + 8.(X1-X2) + X1.X2 + X22
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Rosenbrock: Método um pouco mais eficiente
Direção de busca é a que potencialmente dará maior incremento da FO
Muito utilizado para calibração automática de modelos hidrológicos