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PROVA FINAL DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - OUTUBRO DE 2010.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
Questão 01 Uma roda gigante tem 10m de raio e possui 12 assentos, igualmente espaçados, e gira no sentido horário.
O assento 1 está na posição mais baixa e sua distância ao solo é de 60 cm. Quando o assento 11 atingir a parte mais baixa, qual a distância, em metros, do assento 1 ao solo? 01) 4,20 02) 4,80 03) 5,00 04) 5,60 05) 5,80 RESOLUÇÃO:
Quando o acento 11 estiver na posição C, o acento 1 estará na posição A. Como o círculo está dividido em 12 partes congruentes, o arco CD mede 60°. Logo o ângulo DÂC mede
30°. No triângulo retângulo ABC, a medida da hipotenusa AC é igual a 10m (medida do raio).
5x2
1
10
x)30 sen(
2
1
AC
BC=⇒=⇒°= .
Então a distância do ponto A ao solo é de 5m + 0,60m = 5,60m RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 02.
Seja f : R → R uma função par e g : R → R, uma função ímpar e bijetora. Considere as afirmativas.
I) A função f não admite inversa.
II) g(g–1 (x)) = x
III) Se (2; –7) ∈ g, então (–2; 7) ∈ g.
IV) Se f(5) = 11, então f(–5) = 11.
V) Se g(7) = 10, então g-1(10) = 7.
O número de afirmativas verdadeiras é:
01) 01 02) 02 03) 03 04) 04 05) 05 RESOLUÇÃO: I) VERDADEIRA. A função f : R → R sendo par não é injetora, ou seja, possui pontos do tipo (a, b) e (c, b), logo não possui inversa.
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II) VERDADEIRA. Sendo g : R → R, uma função ímpar e bijetora, existe g–1: R → R e é válida a relação g(g–1 (x)) = x. III) VERDADEIRA. Se g é uma função ímpar, g(x) = −g(−x).
Por exemplo, sendo g(x) = 2
x7−, tem-se g(2) = 7− , e 7)2(g =− .
IV) VERDADEIRA. A função f : R → R sendo par, )x(f)x(f −= .
Por exemplo, sendo f(x) = x² + 4, tem-se f(−2) = (−2)² + 4 = (2)² + 4 = 8. V) VERDADEIRA. Sendo g : R → R, uma função ímpar e bijetora, existe g–1: R → R e se g(x) = y, então g–1(x) = y. RESPOSTA: Alternativa 05
Questão 03.
Um tanque cilíndrico subterrâneo com 5m de altura e 0,6m de raio contém água até a metade do volume desse tanque. Uma bomba leva toda essa água para um tanque com base na superfície do terreno, tendo a forma de um prisma hexagonal regular com lado da base igual a 1m. Determine, em metros, a altura que o nível da água alcançará neste tanque.
Considerar 3 e 7,13 == π . 01) 0,80 02) 1,06 03) 1,20 04) 1,32 05) 1,41 RESOLUÇÃO:
O volume de água contida no tanque cilíndrico é igual a
V = ( ) ( ) 7,2536,032
1hR
2
1 2 =××=π .
A água dentro do tanque externo forma um prisma hexagonal regular de aresta da base medindo 1m e altura x e volume 2,7m³.
⇒=
×⇒=×
⇒= 7,2x
2
7,137,2x
4
316BhVprisma
06,10588,1x4,5x1,5 ≅=⇒= . RESPOSTA: Alternativa 02
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Questão 04.
(UESB2009)As funções f(x) e g(x), representadas no gráfico, indicam os valores, em reais, cobrados por duas pessoas na digitação de x páginas de trabalhos escolares.
Então, o valor f cobrado pela digitação de 70 páginas é
01) igual ao valor g. 02) R$6,75 mais barato que o valor g. 03) R$8,20 mais barato que o valor g. 04) R$10,50 mais caro que o valor g. 05) R$12,25 mais caro que o valor g.
RESOLUÇÃO: f(x) possui os pontos (0, 0) e (100, 125) no intervalo [0, 100] ⇒ f(x) = 1,25x. g(x) possui os pontos (50, 65) e (100, 95) no intervalo [50, 100] ⇒ equação de g(x) pode ser obtida usando a relação:
( ) 35x5
3)x(g35x
5
3y6530x
5
3y50x
50
3065y)xx(
xx
yyyy 1
12
121 +=⇒+=⇒+−=⇒−=−⇒−
−
−=−
f(70) =1,25 × 70 = 87,50.
g(70) = 77354235705
3=+=+×
50,1000,7750,87)70(g)70(f =−=− .
RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 05.
Seja r a reta de interseção dos planos perpendiculares α e β. È verdade que: 01) Toda reta paralela ao plano α é paralela ao plano β. 02) Toda reta perpendicular ao plano α é paralela ao plano β.
03) Se os pontos A ∈ α e. B ∈ β não pertencem à reta r = α ∩ β, então as retas AB e r não são reversas. 04) Se a reta t é paralela aos planos α e β, então a reta t é paralela à reta r. 05) Todo plano perpendicular a α é paralelo a β.
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RESOLUÇÃO:
01) FALSA.
Na figura ao lado tem-se s // t // α e s ⊥ β.
02) FALSA. Na figura ao lado tem-se s ⊥ t ⊂ α ⇒ s //α; s ⊂ β, logo s não é paralela a β.
03) FALSA.
Pela figura vê-se que A ∈ α e. B ∈ β; A ∉ r e que as retas AB e r são reversas.
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04) VERDADEIRA. A reta t contém uma das arestas do paralelepípedo reto retângulo destacado na figura ao lado. A reta t é paralela aos planos α e β, e a reta t é paralela à reta r que contém a aresta oposta àquela contida na reta t. Logo t // r. 05) FALSA. Na mesma figura destaca-se o plano δ ⊥ α e também δ ⊥ β.
RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 06.
O dono de uma loja combinou com cada um de seus vendedores a seguinte tabela de comissões a partir do total vendido no mês:
Total vendido no mês Comissão R$0,00 R$0,00 R$2.000 R$50 R$5.000 R$200 R$10.000 R$500 R$20.000 R$1.500 Acima de R$20.000 10% sobre o total das vendas
Ele combinou ainda que para valores de venda abaixo de R$20.000 e que não estivessem na tabela acima seria usado o método da interpolação linear para o cálculo da comissão. José e Maria são casados, e ambos vendedores desta loja. No mês passado José vendeu um total de R$4500 e Maria vendeu R$8000. Quanto os dois ganharam juntos de comissão? 01) R$550 02) R$555 03) R$560 04) R$565 05) R$570 RESOLUÇÃO:
José:
R$2.000 R$50 R$5.000 R$200
( ) ⇒−=⇒+−=⇒−=−⇒−
−
−=− 50x
2
1y50100x
20
1y2000x
20
150y)2000x(
20005000
5020050y
y = 1755020
4500=− . ( José ganhou 175 reais)
Maria:
R$5.000 R$200 R$10.000 R$500
( ) ⇒−=⇒+−=⇒−=−⇒−
−
−=− 100x
50
3y200300x
50
3y5000x
50
3200y)5000x(
500010000
200500200y
38010050
80003y =−
×= . (Maria ganhou 380 reais)
José e Maria juntos ganharam de comissão: 175 + 380 = 555 reais. RESPOSTA: Alternativa 02.
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Questão 07.
Um teatro tem 12 filas de cadeiras. O número de cadeiras em cada fila, a partir da segunda fila, é igual a anterior mais duas
cadeiras. Sabendo que o teatro possui 180 cadeiras, determine o número de cadeiras da maior fila.
01) 20 02) 24 03) 26 04)30 05) 32
RESOLUÇÃO:
A sequência, n(F1) = x, n(F2) = x + 2, ........., n(F12) constitui uma PA de 12 termos, com primeiro termo igual a x e razão igual a 2.
Assim, n(F12) = x + 2×(12 – 1) = x + 22.
( )26224)F(n4x48x12180132x12180
2
1222xxS 12n =+=⇒=⇒=⇒=+⇒=
×++=
RESPOSTA: Alternativa 03
ENUNCIADO PARA AS QUESTÕES 08 E 09. A empresa Caribe Holding S.A. fabrica e vende um determinado produto. Sendo Q o número de unidades fabricadas e vendidas e sendo P o preço de venda de cada unidade, sabe-se que o custo de fabricação é dado por C = 2000 + 30Q e a quantidade vendida é dada por Q = 1000 – 10P. Questão 08. Calcule o preço de venda para o qual a receita é máxima.
01) R$35 02) R$45 03) R$50 04) R$55 05)R$65
Preço unitário Valor total da venda de Q produtos Valor do Custo de Q produtos
P V = P ( 1000 – 10P) = 1000P – 10P² C = 2000 + 30(1000 – 10P) = 32000 – 300P
RESOLUÇÃO:
Sendo R = V = 1000P – 10P² ⇒ A receita é máxima para 5020
1000P =
−
−= reais.
RESPOSTA: Alternativa 03. Questão 09. Calcule o preço de venda para o qual o lucro é máximo.
01) R$35 02) R$45 03) R$50 04) R$55 05)R$65
Sendo V = C + L ⇒ L = V – C ⇒ L = 32000P1300P10)P30032000(P10P1000 22 −+−=−−−
O lucro é máximo para 6520
1300P =
−
−= reais.
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 10.
O sétimo e o décimo termo de uma PG são, respectivamente, iguais a 16 e 128. A soma dos dez primeiros termos dessa PG é, aproximadamente, igual a
01) 25 02) 26 03) 27 04) 28 05) 29
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RESOLUÇÃO:
Numa PG, 2q8qq16128qaaqaa 333710
knkn =⇒=⇒×=⇒×=⇒×= −
( )4
12
12
122S2a162aqaa 8
102
102
16
16
17 −=−
−=⇒=⇒=×⇒×=
−−
RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 11.
Sabendo que a função quadrática f(x) = ax2 + 4x + c admite máximo 5 no ponto de abscissa 1, então 3a + 2c é igual a : 01) 0 02) 2 03) –2 04) 5 05) 6 (NRA) RESOLUÇÃO:
( )3c24c840c8165
8
c)2(4165
a4 e 2a1
a2
4
a2
b=⇒=⇒=+⇒=
−
−−−⇒=
∆−−=⇒=
−=
−
3a + 2c = 066 =+− . RESPOSTA: Alternativa 01. Questão 12.
Dadas as matrizes
−=
12
12A ,
=
24
02B e
=
02
a6C .
Calcule o elemento 22x da matriz X tal que I2
C
3
BAX t
=++
.
Sabe-se que C é uma matriz simétrica e I é a matriz identidade de 2a ordem.
01) 0 02) 1 03) 2 04) 3 05) 4 RESOLUÇÃO:
Se C é uma matriz simétrica,
=
02
26C
⇒
−
−
=⇒=++⇒=++⇒=+
+
03
39
20
42
30
03AXI3
2
C3BAXI6C3B2AX2I
2
C
3
BAX ttt
⇒
−
−−
−
⇒
−
−−
−=⇒
−
−−=⇒
−
−−= −
13
78
2
1
2
14
1
4
1
13
78
4
22
11
X13
78AX
13
78AX 1
X =
−−
42
52
3
4
11
.
RESPOSTA: Alternativa 05
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Questão 13.
O gráfico abaixo representa uma função quadrática f de vértice V. Determine f(12).
01). 8 02) 10 03) 15 04) 20 05) 45 RESOLUÇÃO:
A função tem 7 como uma de suas raízes e o eixo de simetria do seu gráfico é a
reta x = 5, logo a sua outra raíz é 3, porque 3'x' 2
''x75
2
''x x'xv =⇒
+=⇒
+= .
A parábola corta o eixo dos y no ponto (0, 7), então o termo independente da função é 7. Logo, pode-se representar a equação de f(x) como f(x) = a(x – 3) (x – 7) ⇒
f(x) =ax² – 10ax + 21a ⇒ 21a = 7 ⇒ 3
1a = ⇒ 7x
3
10²x
3
1)x(f +−= ⇒
( ) ( ) 15740487123
10144
3
1)12(f =+−=+−= .
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 14.
O sistema
=
2
b
y
x
a2
31 é indeterminado. Calcule a + b.
01) 3 02) 4 03) 5 04) 6 05) 7
6a06a0a2
31=⇒=−⇒=
; 1b0b220
22
b1=⇒=−⇒=
a + b = 7. RESPOSTA: Alternativa 05. Questão 15. Sendo f(x) = ax2 + 8x + a uma função do 2o grau cuja imagem é o intervalo ]–∞; 6], e, g(x) = –4x + b uma função do 1o grau que passa pelo ponto (0; 16), calcule o valor de 2a + b .
01) 15 02) 14 03) 13 04) 12 05) 10
b = 16; 2a016a6a6a4
a464 22
−=⇒=−−⇒=−
−
2a + b = 12. RESPOSTA: Alternativa 04.
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Questão 16.
Determine o valor de x na equação: 18
824x
432x
211x
=
−−
+
−−
01) −1 02) 1 03) −2 04) 2 05) −3 RESOLUÇÃO:
18
82x
43x
21x
18
824
432
211
82x
43x
21x
18
824x
432x
211x
=
−
−
⇒=
−
−−
+
−
−
⇒=
−−
+
−−
1x18x1818x8x8x6x4x4x24 −=⇒=−⇒=+−++−−
RESPOSTA: Alternativa 01 Questão 17. Qual dentre os seguintes gráficos melhor representa o gráfico da função )1xlog(1y ++−=
01)
02)
03)
04)
05)
RESOLUÇÃO:
⇒=+−=+⇒=+⇒=++−⇒++−= 1)1xlog(ou 1)1xlog(1)1xlog(0)1xlog(1)1xlog(1y
9 ou x 9,0 x 101ou x 101x 1 =−=⇒=+=+ − . Por movimento de gráfico:
RESPOSTA: Alternativa 02.
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Questão 18 Considere a função )]x3([loglog)x(f
2
12 −= .
É verdade que:
01) f é decrescente e seu domínio é 3[ ,] ∞− .
02) f é decrescente e seu domínio é 3[ ,2] .
03) f é crescente e seu domínio é 3[ ,] ∞− .
04) f é crescente e seu domínio é 3[ ,2] .
05) f é crescente e seu domínio é [ 3,] ∞+ .
RESOLUÇÃO: Determinação do domínio:
3[ ,2])f(D2x
3x
1)x3(
3x
2
1)x3(
3x
0)x3(log
0x30
2
1=⇒
>
<⇒
<−
<⇒
<−
<
⇒
>−
>−
Sendo )]x3([loglog)x(f2
12 −= , pode-se considerá-la como f(x) = g(h( )x(llll ), onde g(x) = xlog2 , ,xlog)x(h2
1=
x3)x( −=llll .
Se g(x) = xlog2 é uma função crescente e xlog)x(h2
1= uma função decrescente, então, g(h(x) = )x(loglog2
12 é uma função
decrescente. Se g(h(x) = )x(loglog
2
12 é uma função decrescente e x3)x( −=llll uma função decrescente, então f(x) = g(h( )x(llll ) =
)]x3([loglog2
12 − é uma função crescente.
RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 19
Na figura ABCD é um quadrado de lado 6, M é o ponto médio do lado BC e
as retas DM e AN são perpendiculares. Calcule a abscissa do ponto P de interseção dessas retas. 01) 2 02)3 03) 12/5 04) 16/5 05) 7/2
RESOLUÇÃO:
Sendo M o ponto médio do lado BC , suas coordenadas são (6,3) e as coordenadas do ponto D são (0, 6).
O coeficiente angular da reta MD é a = 2
1
06
63−=
−
− e sua equação é y = 6x
2
1+− .
O coeficiente angular da reta AN é a’=2 ( MD ⊥ AN ) e como passa no ponto A(0, 0), sua equação é y = 2x.
MD ∩ AN = P , então as coordenadas de P constituem a solução do sistema
=⇒
+−=
+−=⇒
=
+−=
5
12x
12xx4
6x2
1x2
x2y
6x2
1y
.
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Ou utilizando os conhecimentos de Geometria plana:
Os triângulos retângulos DCM e ADN possuem os catetos AD e CD congruentes e compreendidos entre dois ângulos congruentes
( MCDNDA e MDCDÂN ≡≡ ), logo eles são congruentes e CM = ND = 3.
No triângulo retângulo DAN: 53369NA =+= .
5
512PA
53
6
6
PA
AN
DA
DA
PA=⇒=⇒=
4,2PE12PE55PE5
512
3
53
PE5
512
DN
NA
PE
PA=⇒=⇒=⇒=⇒=
RESPOSTA: Alternativa 03 Questão 20
O vértice A do triângulo ABC é o centro da circunferência .016y8x4yx 22 =+−−+ O vértice B é o ponto de interseção da
reta y = 2x + 2 com o eixo dos x. O vértice C é o ponto de interseção do gráfico da função )8x(logy2
1 += com o eixo dos y.
Determine a área do triângulo ABC. 01) 4 02)5 03) 10 04) 8 05)6,5
RESOLUÇÃO:
( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=−+−⇒=+−+−+−+−⇒=+−−+ 44y2x0161616y8y44x4x016y8x4yx 222222
O centro da circunferência em questão é A = (2, 4). A interseção da reta y = 2x + 2 com o eixo dos x é o ponto no qual y = 0 ⇒ 2x + 2 = 0 ⇒ x = −1 ⇒ B = (−1, 0). A interseção do gráfico da função )8x(logy
2
1 += com o eixo dos y é o ponto onde x = 0 ⇒
3y2222
1)8(logy 3y3
y
2
1 −=⇒=⇒=
⇒= − ⇒ C = (0, −3).
( ) 5,62
13463
2
1
130
101
142
2
1
1yx
1yx
1yx
2
1S
CC
BB
AA
==++=
−
−==
RESPOSTA: Alternativa 05.