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PROVA NACIONAL ESCRITA DE MATEMÁTICA
Equipa Responsável Pela Elaboração e Correção da Prova: Prof. Doutor Sérgio Barreira
Prof.ª Doutora Catarina Lemos
Duração da Prova: 120 minutos. Tolerância: 30 minutos Cotação: 200 PONTOS
Escola de Proveniência dos Concorrentes: ………………………………………………………………………………………………….
Nome para a Equipa (facultativo): …………………………………………………………………………………………………………………
Nome dos Concorrentes: N.º do Documento de
Identificação
1. ………………………………………………………………………………………………………….……….…. N.º ……………………………..………….
2. ………………………………………………………………………………………………………….……….…. N.º ……………………………..………….
3. ………………………………………………………………………………………………………….……….…. N.º ……………………………..………….
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Identifique claramente os grupos e os itens a que responde.
Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta (exceto nas respostas que
impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações).
Pode usar uma máquina de calcular, quando permitido.
É interdito o uso de «esferográfica-lápis» e de corretor nas folhas da prova.
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Grupo I
É constituído por 16 alíneas de escolha múltipla.
Só é permitida a utilização de máquina de calcular nas primeiras 6 questões.
Cada alínea é seguida de quatro respostas possíveis, mas uma e só uma das respostas é
a correta.
Indique claramente, na folha de respostas, o número da questão e a letra que identifica
a única opção escolhida.
Não apresente cálculos, nem justificações.
COTAÇÕES
1. Uma caixa contém v bolas vermelhas, numeradas de 1 a v, e b bolas brancas,
numeradas de 1 a b. Uma bola é extraída e sua cor observada.
a) Qual a probabilidade da bola extraída ser vermelha?
(A) v / (v + b) (B) b / (b + v) (C) v / b (D) 1 / 2
5
b) Sabendo que a bola é vermelha, qual a probabilidade de que tenha o
número 1?
(A) 2v / (v + b) (B) 1 / (b + v) (C) 1 / v (D) (2 + v) / (v + b)
5
2. Num grupo de 10 pessoas, qual é a probabilidade de pelo menos duas pessoas
fazerem anos no mesmo dia? (Para simplificar, suponha que nenhuma das pessoas
nasceu num ano bissexto).
(A) 0 (B) 0,8831 (C) 0,1169 (D) 0,0247
7,5
3. De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes (com um sabor cada) numa
gelataria que oferece 7 sabores diferentes?
(A) 28 (B) 210 (C) 330 (D) 35
7,5
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4. Numa população adulta, 45% são homens e 55% mulheres. Sabe-se, ainda, que
40% dos homens e 25% das mulheres fumam. Determine:
a) A probabilidade de que um indivíduo escolhido ao acaso nesta população
seja fumador.
(A) 0,3175 (B) 0,3325 (C) 0,3300 (D) 0,3250
5
b) A probabilidade de que um indivíduo escolhido ao acaso nesta população
seja um homem, sabendo que é um fumador.
(A) 0,1800 (B) 0,5538 (C) 0,8889 (D) 0,5669
7,5
5. Sabe-se que numa população 8% das pessoas são infetadas por um vírus
causador de uma doença grave. Um determinado teste para a deteção deste vírus
é eficiente em 98% dos casos infetados, mas resulta em 4% de resultados positivos
para os não infetados.
a) Se o teste de uma pessoa dessa população der resultado positivo, qual a
probabilidade de que ela esteja, de facto, infetada?
(A) 0,0784 (B) 0,1152 (C) 0,8848 (D) 0,6806
7,5
b) Que confiança poderia ter no teste se o resultado fosse negativo, ou seja,
qual a probabilidade da pessoa não estar infetada sendo o teste negativo?
(A) 0,8832 (B) 0,8848 (C) 0,9982 (D) 0,9216
7,5
6. Um determinado antibiótico permite a cura completa de infeções urinárias em
cerca de 80% das mulheres que o tomam. Suponha que este fármaco vai ser
prescrito a uma amostra aleatória de 7 mulheres.
a) Qual a probabilidade de cinco ou seis mulheres ficarem curadas?
(A) 0,1010 (B) 0,6423 (C) 0,5898 (D) 0,0917
7,5
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b) Qual a probabilidade de todas as mulheres ficarem curadas?
(A) 0,0419 (B) 0,8 (C) 1 (D) 0,2097
5
c) Qual a probabilidade de, no máximo, cinco mulheres ficarem curadas?
(A) 0,4233 (B) 0,1480 (C) 0,5767 (D) 0,7903
5
A partir da questão 7 não é permitida a utilização de
máquina de calcular
7. O sistema
izhygx
fzeydx
czbyax
tem como solução:
(A)
afhbdicegcdhbfgaei
habdegdhgbaez
afhbdicegcdhbfgaei
afdigccdfgiay
afhbdicegcdhbfgaei
fhibcehcbfeix
(B)
afhbdicegcdhbfgaei
habdegdhgbaez
afhbdicegcdhbfgaei
afdigccdfgiay
afhbdicegcdhbfgaei
fhibcehcbfeix
(C)
afhbdicegcdhbfgaei
habdegdhgbaez
afhbdicegcdhbfgaei
afdigccdfgiay
afhbdicegcdhbfgaei
fhibcehcbfeix
(D)
afhbdicegcdhbfgaei
habdegdhgbaez
afhbdicegcdhbfgaei
afdigccdfgiay
afhbdicegcdhbfgaei
fhibcehcbfeix
7,5
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8. O conjunto solução da condição
m
mm
m
m
1
21
15
125
125
5
1 2
é:
(A)
,
7
5
7
5, (B)
7
5,
7
5
(C)
7
5, (D)
,
7
5
5
9. A condição 2
572log2log
3
2log 393
uu
uu é satisfeita
quando:
(A) 25
14u (B) 1u (C)
2
1u (D) 2u
5
10. O triângulo ABC , no qual se verifica a relação:
CB
senCsenBsenA
coscos
(A) Não é retângulo (B) É retângulo em A
(C) É retângulo em B (D) É retângulo em C
5
11. Dada a equação
2
22
sin
1
21
10
0 a
tDn
n
n
s
ea
rn
nr
a
cc
cc
, a derivada
de c em ordem a r , quando ar , é:
(A)
2
22
sin12
1
0 a
tDn
n
n
s enna
cc
(B)
1
02
22
2
n
a
tDn
s ea
cc
(C)
2
22
cos12
12
0 a
tDn
n
ns ena
cc
(D)
2
22
cos12
12
a
tDn
n
nen
a
7,5
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Grupo II
É constituído por 4 exercícios.
Não é permitida a utilização de máquina de calcular.
Nas respostas aos itens deste grupo, deverá apresentar todos os cálculos que tiver que
efetuar e todas as justificações necessárias. Apenas a uma resolução detalhada e
correta será atribuída a cotação máxima.
Indique claramente, na folha de respostas, o número do exercício.
Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o
valor exato.
COTAÇÕES
1. A função de probabilidade binomial,
xnx
nnxnx
npnxb
1
!!
! , ,
fornece a probabilidade de ocorrerem x sucessos em n repetições de uma
experiência aleatória, sendo p a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
Mostre que, quando o número de repetições é elevado, a função binominal pode
ser substituída pela função de Poisson, cuja fórmula é:
!
,x
exf
x
.
10
2. A equação seguinte corresponde a uma administração oral de um fármaco em
duas doses, sendo 1t o tempo de toma da segunda dose:
tteeeekk
kc
tteekk
kc
tcktkttktk
a
ap
kttk
a
ap
p
aa
a
1
0
1
0
se 11
0 se
11
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A equação pode ser utilizada para definir a função . Averigue se a
função é contínua em 1t , fundamentando a sua resposta.
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3. A equação de Hill é utilizada para, matematicamente, descrever a relação
entre a intensidade do efeito, E , e a concentração de medicamento, c :
cEC
cEE
%50
max
maxE é a resposta máxima, é o coeficiente de Hill (é sempre >1) e %50EC a
concentração que produz 50% da resposta máxima.
Considere a situação de uma administração intravenosa na qual ktectc 0
( t representa o tempo e 0c a concentração no instante da administração).
3.1. Estude a função )(tEoc , indicando:
3.1.1. O seu domínio.
3.1.2. Os zeros.
3.1.3. A sua continuidade.
3.1.4. Os intervalos de crescimento e decrescimento.
3.1.5. Os máximos e mínimos.
3.1.6. O seu contradomínio.
3.1.7. As suas concavidades e pontos de inflexão.
3.2. Esboce o gráfico da função.
5
5
5
10
10
10
15
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5
4. Mostre que, sendo A , B e C ângulos internos de um triângulo,
se verifica:
1tan
1
tan
1
tan
1
tan
1
tan
1
tan
1
CBCABA.
10
A C
B
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FORMULÁRIO
Probabilidades, Distribuição Normal Reduzida )( zZP ,
xz
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Fórmulas trigonométricas correntes
)(2
cos
)(2
cos
)cos(2
)cos(2
)cos()cos(
)()(
xsenx
xsenx
xxsen
xxsen
xx
xsenxsen
Lei dos cossenos: Abccba cos2222
Lei dos senos: c
C
b
B
a
A sinsinsin
222)cos()cos(
2cos
2cos2)cos()cos(
2cos
22)()(
2cos
22)()(
)cos()(2)2(
)()cos()2cos(
)cos()()cos()()(
)()()cos()cos()cos(
)(
1
)(
11
1)cos()(
22
22
22
basen
basenba
bababa
babasenbsenasen
babasenbsenasen
aasenasen
asenaa
absenbasenbasen
bsenasenbaba
xsenxtg
xxsen
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Limites notáveis
Regras de derivação