PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
1
Iris Meyer
PräsentationGruppe 6
Iris Meyer
Elisabeth Grill
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
SS 2003
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
2
Iris Meyer
Aussagenlogik
Iris Meyer
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
SS 2003
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
3
Iris Meyer
Aussagenlogik
Der Begriff der „Aussage“
1. Grammatikkriterium
2. Wahrheitskriterium
- Tertium non datur
- Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
Die Sprache der Aussagenlogik
(a) Das Alphabet einer aussagenlogischen Sprache besteht aus:– Den aussagenlogischen Variablen pi, i N
– Den aussagenlogischen Junktoren T, , , , , und – Den Klammern ( und )
(b) Die Menge der aussagenlogischen Formeln ist rekursiv definiert:– Jede aussagenlogische Variable ist eine aussagenlogische Formel
– Die aussagenlogische Junktoren T und sind aussagenlogische Formeln
– Ist φ eine aussagenlogische Formel, dann auch φ– Sind φ und ψ aussagenlogische Formel, dann auch (φ ψ), (φ ψ),
(φ ψ) und (φ ψ)
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
5
Iris Meyer
Aussagenlogik
Das Argument
Gültigkeit eines Arguments:
(a) Semantisch gültig |=
(b) Syntaktisch gültig |–
(1) Alle Menschen sind sterblich.
(2) Sokrates ist ein Mensch.
(3) Also ist Sokrates sterblich.
Prämissen
Konklusion
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6
Iris Meyer
Aussagenlogik
BeispielIst das Argument (p1 p2) |─ p1 p2 semantisch gültig?
Wir überprüfen mit Hilfe einer Wahrheitstafel:
p1 p2 (p1 p2) |─ p1 p2
F F W F F F W W W
F W F F W W W F F
W F F W W F F F W
W W F W W W F F F
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Iris Meyer
Aussagenlogik
BeispielIst das Argument (p1 p2) |─ p1 p2 semantisch gültig?
Wir überprüfen mit Hilfe einer Wahrheitstafel:
Das Argument ist semantisch gültig, wir schreiben: (p1 p2) |= p1 p2
p1 p2 (p1 p2) |─ p1 p2
F F W F F F W W W
F W F F W W W F F
W F F W W F F F W
W W F W W W F F F
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Iris Meyer
Aussagenlogik
Das Resolutionsverfahren
...ist eine Methode zum automatischen Beweisen
Grundidee:
Das Argument φ1,..., φn |= φ ist genau dann richtig, wenn die Formelmenge {φ1,..., φn, φ} unerfüllbar ist.
Vorraussetzung für die Anwendung der Resolution:Die Formel muss in Klausel-Repräsentation (= konjunktive Normalformen in Mengenschreibweise) gegeben sein.
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Iris Meyer
Aussagenlogik
1. Umwandlung in Klausel-Repräsentation
Um die Richtigkeit der Formel
p q r, (p q r) (p q r), (p q r) (p q r) |= r
nachzuweisen,
gilt die Unerfüllbarkeit von
(p q r) (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) r
zu beweisen.
Wir schreiben in Klausel-Repräsentation:
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r}
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
{p, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
{p, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
{p, r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
{p, r}
{r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
{p, r}
{r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
{p, r}
{r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
{p, r}
{r} {r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
{p, r}
{r} {r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
{p, r}
{r} {r}
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
{p, r}
{r}{r}
{ }
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
{p, r}
{r}{r}
{ }
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
{p, r}
{r}{r}
{ }
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Aussagenlogik
2. Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}
{p, q, r} {p, q, r}
{q, r} {p, q, r}
{p, r}
{p, q, r} {p, q, r}
{p, r}
{r}{r}
{ } leere Klausel wurde gefunden
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
40
Iris Meyer
Aussagenlogik
3. Ergebnis
Die leere Klausel wurde gefunden:- Die Formelmenge {φ1,..., φn, φ} ist unerfüllbar
- Die Korrektheit der Folgerungsbeziehung φ1,..., φn |= φ ist somit bewiesen
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41
Iris Meyer
Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
SS 2003
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
42
Iris Meyer
Berechnungsmodelle
Berechnung:
Ausführung eines Programms durch eine Maschine
Berechnungsmodelle dienen der Abstraktion:
3 verschiedene Modelle:
- Speicherorientiert
- Funktionale Modelle
- Kommunikation und verteilte Systeme
Katrin Zöchmeister
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Iris Meyer
Speicherorientierte Modelle:
Berechnung = schrittweise Veränderung des Speichers
Beispiel Turingmaschine:
Speicher besteht aus Bändern, mit kleinen Speichereinheiten,
keine direkte Adressierung, nur schrittweises Durchlaufen des Speichers möglich.
In jeder Speicherzelle: ein Buchstabe des endlichen Alphabets.
Speicherorientierte Modelle Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
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Iris Meyer
Funktionsweise einer Turingmaschine:
Speicherorientierte Modelle
BandA AGS SZ O L J
Steuerwerk
Schreib-Lesekopf
Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Funktionsweise einer Turingmaschine:
Speicherorientierte Modelle
A AGS SZ O L J
SteuerwerkVom Band lesen!
Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Funktionsweise einer Turingmaschine:
Speicherorientierte Modelle
A AGS SZ O L J
Steuerwerk
Daten bearbeiten!
Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Funktionsweise einer Turingmaschine:
Speicherorientierte Modelle
A AGS SZ O L J
SteuerwerkDaten auf Band speichern!
Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Funktionsweise einer Turingmaschine:
Speicherorientierte Modelle
A AGS SZ O L J
Steuerwerk
Zu nächsten Speicherzelle
springen!
Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Anweisungen für die Turingmaschine:
Vorbedingung + Aktion
Vorbedingung:
- aktuelles Zeichen in der Zelle,
- Zustand des Steuerwerks
Aktion:
- Zeichen, welches geschrieben wird
- nach links oder rechts weiterspringen
- Zustand, in den Steuerwerk wechselt
Speicherorientierte Modelle Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
50
Iris Meyer
Berechnungen:
- Schreib- Lesekopf über dem ersten Zeichen
- Steuerwerk im Anfangszustand
- es wird nach aufeinanderpassende Anweisungen gesucht
(Reihenfolge der Anweisungen im Programm unwichtig!)
- wenn keine Anweisung mehr auf die letzte „passt“ Ende
Speicherorientierte Modelle Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
51
Iris Meyer
Vorteile:
- jeder bis heute untersuchte Formalismus lässt sich simulieren
- einfache Berechnungsschritte
- direkt in die Praxis übersetzbar
Nachteile:
- unendliche Bänder nicht realisierbar ( unendl. Speicher)
- wenig Ähnlichkeit mit v. Neumann- Architektur
- Programmstruktur macht Ergebnis nicht sichtbar
Speicherorientierte Modelle Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
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Iris Meyer
Funktionale Modelle:
WAS wird berechnet?
Beispiel:
Bereich der Nat. Zahlen, nur 0 und „Nachfolgefunktion“ bekannt.
In diesem Fall lautet die Grundfrage funkt. Berechungsmodelle:
Gibt es eine Funktion, und wenn ja welche, die sich aus 0 und der Nachfolgefunktion berechnen lassen UND sich effektiv auswerten lassen.
Funktionale Modelle Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
53
Iris Meyer
Wichtig:
Regeln
Arbeitsweise völlig egal. Nur Ergebnis zählt!
Funktionale Modelle Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
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Iris Meyer
Kommunikation und verteilte Systeme:
Prozess + Programm + Umgebung + Komunikation mit Umgebug = wichtig
EA- Turingmaschine: = Variante der vorgestellten Turingmaschine, mehrere
Bänder die miteinander arbeiten.
Kommunikation und vert. Systeme Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
EA- Turingmaschine:
Kommunikation und vert. Systeme
A RMÄ SZ O L J Eingabeband
Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
EA- Turingmaschine:
Kommunikation und vert. Systeme
A AKS VJ J L J
A RMÄ SZ O L J
Arbeitsband
Eingabeband
Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
EA- Turingmaschine:
Kommunikation und vert. Systeme
W RGS CH O T B
A AKS VJ J L J
A RMÄ SZ O L J
Ausgabeband
Arbeitsband
Eingabeband
Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
EA- Turingmaschine:
Kommunikation und vert. Systeme
W RGS CH O T B
A AKS VJ J L J
A RMÄ SZ O L J
Ausgabeband
Arbeitsband
Eingabeband
Steuerwerk
Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
EA- Turingmaschine:
Kommunikation und vert. Systeme
W RGS CK O T B
A AKS VJ J L J
A RMÄ SZ O L J
Ausgabeband
Arbeitsband
Eingabeband
Steuerwerk
Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
60
Iris Meyer
EA- Turingmaschine:
Kommunikation und vert. Systeme
W RGS CK O T B
A AKS VJ J L J
A RMÄ SZ O L J
Ausgabeband
Arbeitsband
Eingabeband
Steuerwerk
Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
61
Iris Meyer
EA- Turingmaschine:
Kommunikation und vert. Systeme
W RGS CH O T B
A AKS VJ J L J
A RMÄ SZ O L J
Ausgabeband
Arbeitsband
Eingabeband
Steuerwerk
Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
62
Iris Meyer
Verteilte Systeme:
Ausgabeband = Eingabeband
Synchronisierung nicht notwendig, Zwischenraum zwischen Ausgabe und Eingabe als Pufferspeicher
Datenflussnetz
Kommunikation und vert. Systeme Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
63
Iris Meyer
W RGS CH O T B
A AKS VJ J L J
A RMÄ SZ O L J
Ausgabeband
Arbeitsband
Eingabeband
Steuerwerk
Kommunikation und vert. Systeme Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
W G CT B
A AKS VJ J L J
A RMÄ SZ O L J
Ein- und Ausgabeband
Arbeitsband
Eingabeband
Steuerwerk
W RGS CH O T B
A AKS VJ J L J
A M Z O
Ausgabeband
Arbeitsband
Steuerwerk
Kommunikation und vert. Systeme Berechnungsmodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
65
Iris Meyer
Grenzen der Berechenbarkeit
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
SS 2003
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Grenzen d. Berechenbarkeit
Haben moderne Rechner Grenzen?
Dürfen sie alles, was sie können?
Wo liegen die Grenzen?
Kann ein Computer einen Menschen simulieren?
Rechnermodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
67
Iris Meyer
Grenzen d. Berechenbarkeit
Universelle Rechner:
- frei programmierbar (vgl. Turingmaschine hat festgelegte Programme). universelle Programme
- können mehrere Probleme lösen.
- spezielle Programme können auf spezielle Daten angewendet werden.
Rechnermodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
68
Iris Meyer
Grenzen d. Berechenbarkeit
Simulationen: Programme für einen Rechnertyp können auf einem
anderen Rechner simuliert werden (gleiche Ein- und Ausgabewerte).
dann auch gleiche Probleme lösen.
einheitliche Theorie der Berechenbarkeit
Beispiel: Ersetzen einer Turingmaschine mit mehreren Bändern
durch eine Turingmaschine mit einem Band. Zeitaufwand wächst um einen konstanten Faktor (Speicherverwaltung).
Rechnermodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
69
Iris Meyer
Grenzen d. Berechenbarkeit
Churchsche These:
Die Klasse der wirklich berechenbaren Funktionen ist gleich groß wie die Klasse der Turing- berechenbaren Funktionen.
Es gibt bis heute keine Funktion, die ein moderner Computer berechnen kann, welche aber auf einer Turingmaschine nicht berechenbar sind.
Rechnermodelle
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
70
Iris Meyer
Grenzen d. Berechenbarkeit
Existenz nicht berechenbarer Funktionen:
Axiome der Mathematik (z.B.) gelten, obwohl sie niemand beweisen kann. Es ist hier nur wichtig, dass ein Programm diese Axiome kennt, nicht aber, ob man sie berechnen kann.
Nicht. Berechenbare Fkt.
Katrin Zöchmeister
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
71
Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Grill Elisabeth
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
SS 2003
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
72
Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Inhalt:
• Allgemeines
• Grundbegriffe
• Grammatiken
• Chomsky-Hierarchie
• reguläre Sprachen
• endliche Automaten
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Allgemeines:
In der Theorie der formalen Sprachen wird die Struktur von
Zeichenketten untersucht.
Mengen von Zeichenketten
Sprachen
Sprachklassen
Sprachklassen sind definiert durch:
• Erzeugungsverfahren
• Erkennungsverfahren
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
74
Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Erzeugung und Erkennung können durch Grammatiken und abstrakte Maschinen, Automaten, beschrieben werden.
Klassen der Grammatiken und Sprachen (Chomsky Hierarchie) und Automaten werden alle hierarchisch eingeteilt
daher eng miteinander verwandt
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
75
Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Grundbegriffe:
: Alphabet, endliche Menge von Zeichen; z.B. ={a,
b, c}
Ketten: aa, ab, ca, aaa, ...
: leere Kette
|w|: Wortlänge
*: Menge aller Ketten, einschließlich leerer Kette
+: Menge aller nichtleeren Ketten
L: formale Sprache über dem Alphabet
Elemente der Sprache: Sätze/Wörter (Zeichenketten)
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Grammatiken:
Grammatiken bestehen aus Regeln mit 2 Arten von Symbolen:
• Terminalsymbole (in der Zeichenkette selbst)
• Nonterminalsymbole (zur Strukturbeschreibung)
Eine Grammatik G ist ein Quadrupel G=(N, T, P,S)
N = Alphabet der Nonterminalsymbole,T = Alphabet der Terminalsymbole,P = Menge von Ersetzungsregeln der Form ,S = Satzsymbol (Startsymbol) aus N
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Chomsky- Hierarchie:
Chomsky´s Grammatik-Typen in 4 Stufen:
• Typ 0 oder unbeschränkt
• Typ 1 oder kontextsensitiv
• Typ 2 oder kontextfrei
• Typ 3 oder regulär
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Beispiel zur Chomsky- Hierarchie:
Gegeben sei G = (N, T, P, S) mit
N = {<Name>, <Buchstabe>, <Ziffer>}
T = {a,b,c,0,1,2,3,4,5}
P: <Name> -> <Buchstabe><Name> -> <Name><Ziffer><Buchstabe> -> a|b|c<Ziffer> -> 0|1|2|3|4|5
S = <Name>
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
79
Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Beispiel zur Chomsky- Hierarchie:
z.B.b205 L(G) da folgende Ableitung möglich ist:
<Name>-> <Name><Ziffer>
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Beispiel zur Chomsky- Hierarchie:
z.B.b205 L(G) da folgende Ableitung möglich ist:
<Name>-> <Name><Ziffer>-> <Name><Ziffer><Ziffer>
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Beispiel zur Chomsky- Hierarchie:
z.B.b205 L(G) da folgende Ableitung möglich ist:
<Name>-> <Name><Ziffer>-> <Name><Ziffer><Ziffer>-> <Name><Ziffer><Ziffer><Ziffer>
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Beispiel zur Chomsky- Hierarchie:
z.B.b205 L(G) da folgende Ableitung möglich ist:
<Name>-> <Name><Ziffer>-> <Name><Ziffer><Ziffer>-> <Name><Ziffer><Ziffer><Ziffer>-> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer><Ziffer>
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Beispiel zur Chomsky- Hierarchie:
z.B.b205 L(G) da folgende Ableitung möglich ist:
<Name>-> <Name><Ziffer>-> <Name><Ziffer><Ziffer>-> <Name><Ziffer><Ziffer><Ziffer>-> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer><Ziffer>-> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer>5
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Beispiel zur Chomsky- Hierarchie:
z.B.b205 L(G) da folgende Ableitung möglich ist:
<Name>-> <Name><Ziffer>-> <Name><Ziffer><Ziffer>-> <Name><Ziffer><Ziffer><Ziffer>-> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer><Ziffer>-> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer>5-> <Buchstabe><Ziffer>05
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Beispiel zur Chomsky- Hierarchie:
z.B.b205 L(G) da folgende Ableitung möglich ist:
<Name>-> <Name><Ziffer>-> <Name><Ziffer><Ziffer>-> <Name><Ziffer><Ziffer><Ziffer>-> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer><Ziffer>-> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer>5-> <Buchstabe><Ziffer>05-> <Buchstabe>205
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Beispiel zur Chomsky- Hierarchie:
z.B.b205 L(G) da folgende Ableitung möglich ist:
<Name>-> <Name><Ziffer>-> <Name><Ziffer><Ziffer>-> <Name><Ziffer><Ziffer><Ziffer>-> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer><Ziffer>-> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer>5-> <Buchstabe><Ziffer>05-> <Buchstabe>205-> b205
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
87
Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Zur graphischen Darstellung:
der dazugehörige Ableitungsbaum
<Name>
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
88
Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Zur graphischen Darstellung:
der dazugehörige Ableitungsbaum
<Name>
<Name> <Ziffer>
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
89
Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Zur graphischen Darstellung:
der dazugehörige Ableitungsbaum
<Name>
<Name>
<Name> <Ziffer>
<Ziffer>
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
90
Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Zur graphischen Darstellung:
der dazugehörige Ableitungsbaum
<Name>
<Name>
<Name>
<Name> <Ziffer>
<Ziffer>
<Ziffer>
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
91
Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Zur graphischen Darstellung:
der dazugehörige Ableitungsbaum
<Name>
<Name>
<Name>
<Name>
<Buchstabe>
<Ziffer>
<Ziffer>
<Ziffer>
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
92
Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Zur graphischen Darstellung:
der dazugehörige Ableitungsbaum
<Name>
<Name>
<Name>
<Name>
<Buchstabe>
<Ziffer>
<Ziffer>
<Ziffer>
b
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
93
Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Zur graphischen Darstellung:
der dazugehörige Ableitungsbaum
<Name>
<Name>
<Name>
<Name>
<Buchstabe>
<Ziffer>
<Ziffer>
<Ziffer>
b 2
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
94
Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Zur graphischen Darstellung:
der dazugehörige Ableitungsbaum
<Name>
<Name>
<Name>
<Name>
<Buchstabe>
<Ziffer>
<Ziffer>
<Ziffer>
b 02
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
95
Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Zur graphischen Darstellung:
der dazugehörige Ableitungsbaum
<Name>
<Name>
<Name>
<Name>
<Buchstabe>
<Ziffer>
<Ziffer>
<Ziffer>
b 502
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Reguläre Sprachen:
(Satz von Kleene) Eine Sprache ist genau dann regulär, wenn sie von einem
endlichen Automaten akzeptiert wird.
reguläre Ausdrücke:
• und jedes Element des Alphabets ist ein regulärer Ausdruck
• Wenn und reguläre Ausdrücke sind, dann sind auch (), (), und * reguläre Ausdrücke.
PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
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Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Reguläre Sprachen:
- (Satz von Kleene) Eine Sprache ist genau dann regulär, wenn sie von einem
endlichen Automaten akzeptiert wird.
- reguläre Ausdrücke:
• und jedes Element des Alphabets ist ein regulärer Ausdruck
• Wenn und reguläre Ausdrücke sind, dann sind auch (), (), und * reguläre Ausdrücke.
Mit regulären Ausdrücken lassen sich unendliche Sprachen mit
endlichen Mitteln generieren.
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Iris Meyer
Formale Sprachen und Automaten
Endliche Automaten:
mathematische Modelle zur Beschreibung des Verhaltens digitaler Systeme
liefern während des Lesens/Verarbeitens keine Ausgabe
• haben einen Anfangszustand in dem sie starten,einen Endzustand in dem sie anhalten können, wodurch sie die eingegebene Zeichenkette als erkannt signalisieren.
• existieren in zwei Varianten:
- deterministischer-Automat (DEA)
- nichtdeterministischer-Automat (NEA)
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Formale Sprachen und Automaten
Endliche Automaten:
mathematische Modelle zur Beschreibung des Verhaltens digitaler Systeme
liefern während des Lesens/Verarbeitens keine Ausgabe
• haben einen Anfangszustand in dem sie starten,einen Endzustand in dem sie anhalten können, wodurch sie die eingegebene Zeichenkette als erkannt signalisieren.
• existieren in zwei Varianten:
- deterministischer-Automat (DEA)
- nichtdeterministischer-Automat (NEA)
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100
Iris Meyer
Ende der PräsentationGrill Elisabeth
Meyer Iris
Zöchmeister Katrin
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SS 2003