![Page 1: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/1.jpg)
Quante sono le diagonali di un poligono convesso?
fine
![Page 2: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/2.jpg)
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
M d3 0
fine
![Page 3: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/3.jpg)
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
M d3 04 2
fine
![Page 4: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/4.jpg)
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
M d3 04 25 5
fine
![Page 5: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/5.jpg)
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
M d3 04 25 56 9
fine
![Page 6: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/6.jpg)
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
M d3 04 25 56 9e poi?
37 ?1115 ?M ?
fine
![Page 7: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/7.jpg)
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?Proviamo a produrre una congettura?
3 3
3
3
3
3
3 x 6 = 18
fine
![Page 8: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/8.jpg)
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?Proviamo a produrre una congettura?
3 3
3
3
3
3
3 x 6 = 18ma ogni diagonale
è contata due volte!Quindi sono18 : 2 = 9
fine
![Page 9: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/9.jpg)
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
E in generale?
3 3
3
3
3
3
3 x 6 = 18ma ogni diagonale
è contata due volte!Quindi sono18 : 2 = 9
fine
![Page 10: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/10.jpg)
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
E in generale?
3
3
M (M - 3)ma ogni diagonale
è contata due volte!Quindi sono
d = M (M - 3) : 2Ci sono M vertici
e da ciascuno escono (M-3)
diagonali
fine
![Page 11: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/11.jpg)
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
CONGETTURASe M è il numero dei vertici,il numero delle diagonali è
d = M (M - 3) : 2
fine
![Page 12: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/12.jpg)
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
CONGETTURASe un poligono ha M vertici il numero delle diagonali è
d = M (M - 3) : 2Abbiamo una bella congettura.
Se fossimo sicuri che è valida, potremmo affermare (senza disegnare) che
un poligono con 37 vertici ha37 x 34 : 2 = 37 x 17 = 629
diagonali
fine
![Page 13: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/13.jpg)
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
CONGETTURASe un poligono ha M vertici il numero delle diagonali è
d = M (M - 3) : 2Abbiamo una bella congettura.
Se fossimo sicuri che è valida, potremmo affermare (senza disegnare) che
un poligono con 37 vertici ha37 x 34 : 2 = 37 x 17 = 629
diagonaliCome possiamo dimostrare che la congettura vale per ogni M?
fine
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Peano ci aiuta con ilPrincipio (o Metodo) di Induzione
Matematica(Assioma dell’Induzione)
Il metodo si compone di due passi:1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1)2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1
L’assioma afferma che:Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ).
fine
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Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
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Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
![Page 17: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/17.jpg)
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
![Page 18: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/18.jpg)
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
![Page 19: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/19.jpg)
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
![Page 20: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/20.jpg)
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
![Page 21: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/21.jpg)
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
![Page 22: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/22.jpg)
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
![Page 23: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/23.jpg)
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
e così via
fine
![Page 24: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/24.jpg)
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: è come quando spingo una tessera del domino
che fa cadere via via quelle che la seguono
0 1 2 3 e così via
fine
![Page 25: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/25.jpg)
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: è come quando spingo una tessera del domino
che fa cadere via via quelle che la seguono
0 1 2 3 4 5 e così via
fine
![Page 26: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/26.jpg)
Applico nel nostro caso ilPrincipio (o Metodo) di Induzione
Matematica
1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 3 (il primo della tabella)
il triangolo non ha diagonalid = 3 (3 - 3) : 2 = 0. OK
2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.
Fatto questo, sarà certo che la formula d = M (M - 3) : 2
vale per un poligono con un numero qualsiasi di vertici M ( 3).
fine
![Page 27: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/27.jpg)
Procedo con il passo 2
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha
m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha
(m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
fine
![Page 28: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/28.jpg)
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha
m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
m (m - 3) : 2diagonali
fine
![Page 29: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/29.jpg)
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
m (m - 3) : 2diagonali
Disegno un altro vertice(m +1)°
fine
![Page 30: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/30.jpg)
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Disegno un altro vertice(m +1)°
Quante sono le diagonali?
Qui ci sono m (m - 3):2diagonali
m (m - 3) : 2diagonali
fine
![Page 31: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/31.jpg)
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Disegno un altro vertice(m +1)°
Quante sono le diagonali?Quelle di prima: m (m - 3) : 2
Qui ci sono m (m - 3):2diagonali
m (m - 3) : 2diagonali
fine
![Page 32: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/32.jpg)
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Disegno un altro vertice(m +1)°
Quante sono le diagonali?Quelle di prima: m (m - 3) : 2Quelle da (m +1)°: m - 2
Qui ci sono m (m - 3):2diagonali
m (m - 3) : 2diagonali
fine
![Page 33: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/33.jpg)
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Disegno un altro vertice(m +1)°
Quante sono le diagonali?Quelle di prima: m (m - 3) : 2Quelle da (m +1)°: m - 2il segmento 1m: 1
Qui ci sono m (m - 3):2diagonali
Qui ci sono m (m - 3) : 2diagonali
m (m - 3) : 2
diagonali
fine
![Page 34: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/34.jpg)
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
In tutto sono:m (m - 3) : 2 + (m - 2) + 1 =[m (m - 3) + 2 (m - 1)] : 2 =
[m2 - 3m + 2m - 2] : 2 =[m2 - m - 2] : 2 =
(m + 1) (m - 2) : 2
Qui ci sono m (m - 3):2diagonali
Qui ci sono m (m - 3) : 2diagonali
m (m - 3) : 2
diagonali
fine
![Page 35: Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/5542eb6a497959361e8d6ac8/html5/thumbnails/35.jpg)
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
In tutto sono:m (m - 3) : 2 + (m - 2) + 1 =[m (m - 3) + 2 (m - 1)] : 2 =
[m2 - 3m + 2m - 2] : 2 =[m2 - m - 2] : 2 =
(m + 1) (m - 2) : 2 =(m + 1) [(m + 1) - 3]: 2
Qui ci sono m (m - 3):2diagonali
Qui ci sono m (m - 3) : 2diagonali
Fatto!La proprietà vale per ogni
M !!!
fine