Quelques excursions en enseignement des mathématiques :
et si on s’éloignait un peu des sentiers battus ?
Hassane SqualliUniversité de Sherbrooke (Qc, Canada)
Faculté d’éducationDépartement de Pédagogie
23 avril 2013Centre régional des métiers d’éducation et de formation
Rabat-Maroc
Plan
Station 1: vision des mathématiques et conséquences pour l’enseignement et l’apprentissage
Station 2: la Mathémagie
Station 3 : l’histoire
Station 4 : le raisonnement mathématique
Station 5 : quelques démarches d’enseignement des mathématiques
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Prenez une ficelle fermée. Quelle forme faut-il lui donner pour qu’elle entoure la plus grande surface?
Calculer: 0 – 4 = ?
Théorème Isopérimétrique
À périmètre fixé, le cercle est la figure géométrique fermée qui entoure la surface de plus grande aire.
Blaise Pascal (1623 - 1662), dans ses pensées : « Trop de vérité nous étonne ; j’en sais qui ne peuvent comprendre que, qui de zéro ôte 4, reste zéro. »
Lazare Carnot (1753 - 1823) mathématicien et ingénieur : « Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ?».
Quelle est la morale des deux histoires?
Tout être humain possède un génie mathématique.
Aider l’élève à prendre conscience de son génie mathématique et de le fructifier.
Voir l’élève non pas comme un automath mais comme un élève ayant un potentiel mathématique à développer.
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• Les mathématiques sont une activité humaine.• Les objets mathématiques sont des objets culturels. • L’apprentissage des mathématiques est de nature
sociale, culturelle et interactionnelle.• Les objets culturels jouent le rôle d’amplificateurs
cognitifs.
Partageons une même vision des mathématiques
On peut distinguer au moins deux visions des mathématiques
1) Une vision statique des mathématiques: une science toute faite =: un ensemble déjà bien organisé de connaissances (une terminologie, des définitions, des règles et des théorèmes)
2) Une vision dynamique des mathématiques: une science qui se fait : une activité humaine Cette activité consiste à mettre en évidence des
régularités, étudier divers types de relations et de structures, faire des prévisions… etc. Elle permet de modéliser une partie du réel.
Dans cette activité, on utilise une pensée mathématique, comme généraliser, abstraire, prouver, opérer sur l’inconnue, etc.
Conséquences pour l’enseignement/l’apprentissage
Pour apprendre des mathématiques, l’élève doit faire des mathématiques : réaliser des activités mathématiques
Les connaissances des élèves sont le produit de leurs activités
L’enseignant provoque les activités des élèves en leur proposant des tâches mathématiques
La qualité de l’activité des élèves dépend en partie de la qualité des tâches mathématiques proposées par l’enseignant
Importance de proposer aux élèves des tâches mathématiques potentiellement riches en constructions mathématiques
Reconstruisez les 5 grilles des nombres de 1 à 31
Quelles seraient les grilles pour jouer avec les nombre de 1 à 63 ?
Généralisez
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Autres tours
Tours 1
Tours 2 : date de naissance
Tours 3: un tour de cartes
Tours 4: un carré vraiment magique
Tours 5 : Bande de Mobïus
Importance du raisonnement en mathématiques
Faire des mathématiques, c’est essentiellement raisonner, c’est-à-dire faire usage de sa raison pour former des idées, des jugements; pour argumenter, convaincre, prouver, réfuter.
Conduire un raisonnement consiste à enchaîner des jugements pour aboutir à une conclusion.
La mathématique utilise une grande variété de raisonnements fondées sur la raison et l’expérience (raisonnement déductif, inductif, par analogie, par récurrence, par l’absurde, par la contraposée, …).
Dans ce sens, la mathématique est un mode de pensée.
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Importance du raisonnement dans l’apprentissage des mathématiques
Raisonner à l’aide de concepts et de processus mathématiques est une des trois compétences mathématiques dans le programme de formation de l’école québécoise.
Pour apprendre les mathématiques, l’élève doit faire des mathématiques et donc raisonner, construire, argumenter, valider et communiquer des raisonnements mathématiques.
Importance de voir l’élève, notamment celui en difficulté, non comme un automath, mais comme une personne qui raisonne et produit des raisonnements (parfois très originaux).
Importance d’évaluer le raisonnement de l’élève et non seulement sa réponse
Importance d’aider les élèves de développer un regard mathématique et d’exercer leur raison.18
Il y a trois livres sur une étagère. Tu en retires deux. Combien en as-tu?
Tu as trois bonbons. Tu en manges un chaque ½ heure. En combien de temps ne t’en restera-t-il plus?
Il y a 30 corbeaux dans un champ. Le fermier en tue 4 à un coup de fusil. Combien en reste-t-il?
Un billet de cinéma coûte 7$. Combien coûtent 10 billets?
Une fleur se fane au bout de 7 jours. Au bout de combien de jours se faneront 10 fleurs?
Toi et moi avons chacun 10$. Combien dois-je te donner pour que tu aies 1 dollars de plus que moi?
Est-il possible de trouver deux hommes ou deux femmes à Rabat ayant exactement le même nombre de cheveux?
Tentez une réponse raisonnée
Le principe des tiroirs de Dirichlet
Si 11 chemises sont placés dans 10 tiroirs, il y a nécessairement au moins un tiroir qui contient au moins 2 chemises.
Solution du problème du nombre de cheveux
On sait que le nombre de cheveux d’une personne ne dépasse pas 400 000. À Montréal, il existe plus de 400 000 femmes. Selon le principe des tiroirs de Dirichlet, il y a au moins 2 femmes qui ont le même nombre de cheveux! (il y en a en fait des centaines)
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Peut-on être sûr que 2 étudiant(e)s du BES aient le même jour d’anniversaire? Justifiez.
N.B. On compte actuellement 497 personnes étudiants au BES
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Faites résonner votreraisonnement
Quels sont les nombres qui ont un nombre impair de diviseurs?
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Exemplification
Raisonner par induction
# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 16 … 25 …
1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 … 9 3 …
Conjecture: Ce sont les nombres carrés
# divi
seur
s
Raisonnement inductifInduction: «Opération mentale qui consiste à
remonter des faits à la loi, de cas donnés le plus souvent singuliers ou spéciaux, à une proposition
plus générale.» (Le Petit Robert)
Cherchezune réponse
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Tout en faisant des essais, on tente de trouver des raisons qui nous conduiraient à la loi générale. Exemple: - il faut exclure les nombres premiers (ils ont tous 2 diviseurs) - les nombres de la forme p2 où p est premier ont 3 diviseurs : 1, p et p2 . - Pourquoi 9 a un nombre impair de diviseurs? 1 et 9 sont des diviseurs triviaux (1 et n toujours des diviseurs de n). Il reste le 3 seul. Pourquoi n’y a-t-il pas un autre diviseur associé à 3? Parce que 3 fois 3 vaut 9. Ok le 3 compte deux fois.
Les diviseurs d’un nombre n sont symétriquement placés par rapport à n. Quand n est entier, c-à-d n carré parfait, il est un diviseur de n; sinon il ne l’est pas. Donc, seuls les carrées parfaits ont un nombre impair de diviseurs.
Raisonnement déductif
Raisonner par déduction
Déduction: Procédé de pensée par lequel on conclut d'une ou de plusieurs propositions données à une proposition qui en résulte, en vertu de règles logiques. (Le Petit Robert)
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Raisonner à l’aide d’une visualisation
1+3+5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + … + 99 = ?
52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Réponse: 502 = 2500
Raisonner à l’aide d’une visualisation
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+3 +3 +3
4 +(4 –1) x 3 4 + (n – 1) x 3
+2 fois 3
+3 fois 3
Chaîne de carrés d’allumettes
On fabrique des chaînes de carrés à l’aide d’allumettes. Trouvez la règle qui montre comment le nombre d’allumettes dépend du nombre de carrés
Faites-le maintenant
Raisonner en s’appuyant sur une régularité numérique
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Méthode de Gauss :
Alors jeune enfant fréquentant une classe de la petite école, Gauss (célèbre mathématicien suisse né en 1889) devait, en guise de punition, calculer la fastidieuse somme 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 Le maître de Gauss fût surpris quand ce dernier revint quelques minutes plus tard annonçant, à raison, que la somme vaut: 5050 Comment a-t-il fait?
101101...101101101
12...9899100
10099...321
Cherchez maintenant
La somme cherchée est donc 50 x 101 = 5050
Importance de dégager l’idée principale d’un raisonnement
Permet de raisonner par analogie L’idée de Gauss consiste à doubler la somme en
inversant les termes
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...…….…..
…..….…... Le nombre de points = (5 x 6)/2
Nombres triangulaires
Voici les 3 premiers nombres triangulaires. De combien de points est formé le 5e? Trouver une règle donnant le nombre de points de n’importe quel nombre triangulaire. Justifiez votre prédiction.
. ... …...
Doubler la sommeInverser les termes
Le contexte comme support au raisonnement
Un échiquier (un caré formée de 8x8=64 cases) contient un grain de blé dans la première case, 2 dans la deuxième, 4 dans la troisième, et ainsi de suite. Chaque case contient le double de grains de blé de la case précédente.
Quel est le nombre total de grains de blé posés sur l’échiquier?
29
Cherchez maintenant
Le problème des grains de blé sur l’échiquier
Le contexte comme support au raisonnement
Le nombre total de grains de blé est donné par la somme:
1+ 2 + 22 + 23 + 24 + … + 262 + 263
Pour résoudre ce problème, inventons un autre problème «équivalent» utilisant un contexte dans lequel on peut raisonner autrement.
Tournoi de tennis
Dans un tournoi de tennis, il y a 264 joueurs. Le tournoi se joue selon le principe de l’élimination directe. Combien de matchs incluant la finale ont été joués durant ce tournoi?
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Cherchez maintenant
Le problème des grains de blé sur l’échiquier
Premier raisonnement
Au premier tour, il y a eu autant de matchs que la moitié du nombre des joueurs, c’est-à-dire 264 /2 = 264-1= 263 matchs, au deuxième la moitié de ce nombre soit 262 et ainsi de suite. Le nombre de matchs durant ce tournoi incluant la final est donc :
1+ 2 + 22 + 23 + 24 + … + 262 + 263
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Deuxième raisonnement
Puisque à chaque match un et un seul joueur se trouve éliminé et qu’en tout il y a 264 – 1 joueurs éliminés, le nombre de matchs joués durant le tournoi incluant la finale est 264 – 1.
D’où:
1+ 2 + 22 + 23 + 24 + … + 262 + 263 = 264 – 1
Une histoire de pizza, ou comment manger une pizza de manière mathématique
Calculer
32
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
Commandez une pizza chez pizza-math! Mangez en la moitié; puis la moitié de ce qui reste, encore la moitié de ce qui reste; faîtes la même chose encore trois autres fois.Quelle part de pizza reste-t-il? Quelle part de pizza vous aurez mangé en tout?Réponse:
64
63
64
11
Mangez votre pizza maintenant
Bonne appétit!
Mangez votre pizza maintenant
Bonne appétit!
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En mangeant une autre pizza, calculez
Réponse après le clic
De quelle manière mangeriez-vous une pizza pour calculer la somme:
10099432 2
1
2
1...
2
1
2
1
2
1
2
1
1002
11
10099432 3
1
3
1...
3
1
3
1
3
1
3
1
Réponse : en invitant une amie à la partager équitablement avec vous; la pizza est coupée en trois, chacun prend un tiers; le reste est coupé en trois, chacun mange un tiers du reste et ainsi de suite. En tout, chacun aura mangé la moitié de la pizza moins la moitié de ce qui reste. La somme cherchée vaut donc
)3
11(
2
1
3
1
2
1
2
1100100
1. Le bâton de Gerbert
Vous êtes archéologue. Lors d’une fouille sur un site, vous découvrez un bâton droit d’une longueur égale approximativement à votre taille. À côté, un manuscrit datant du 10e siècle à peu près, vous arrivez à décrypter ce qui y est écrit : Bâton de Gerbert servant à mesurer la hauteur d’édifices. Vous êtes intrigué(e), vous vous demandez comment Gerbert opérait pour mesurer la hauteur d’un édifice avec ce bâton uniquement!
2. La hauteur des pyramides
On raconte que Thalès pouvait mesurer la hauteur d’une pyramide par un moyen ingénieux exploitant l’ombre portée sur le sol de la pyramide. Pouvez-vous découvrir la méthode de Thalès?
Qu’est-ce qui caractérise la démarche de recherche dans l’activité
mathématique?
Très schématiquement, les mathématiques, à tous les niveaux, consistent en 45 % d’observation, 45 % de démarche expérimentale et 10 % de démonstration. (Martin Andler,
mathématicien français) Deux types de démarches se distinguent
La démarche expérimentaleLa démarche de modélisation
Qu’est-ce qu’une expérience en mathématiques ?
On peut distinguer plusieurs types d'expériences en mathématiques. Voici quelques exemples.
Arithmétique : calculer numériquement plusieurs chiffres significatifs
après la virgule de l’écriture décimale d’une fraction 1/7 (disons) (expérience).
Observer la suite des chiffres et chercher si des motifs apparaissent ou si, au contraire, le développement semble «au hasard». (1/7 = 0.14285714285714…. . ) (observer l’expérience)
Avec un regard mathématique suffisamment entraîné, l’élève peut apercevoir la régularité et formuler la conjecture que le motif 142857 se répète indéfiniment. (Formuler une conjecture)
L’élève peut tenter de prouver la conjecture. Il peut fonder sa conviction sur le fait que dans l’exécution de l’algorithme de la division de 1 par 7, après avoir obtenu les 6 restes différents possibles, le 7e est égal au premier (1), le 8e va donc être le même que le second, le 9e est identique au troisième et ainsi de suite. (prouver la conjecture)
Qu’est-ce qu’une expérience en mathématiques ?
Géométrie : Dessiner des figures. Par exemple dessiner un triangle
quelconque. Tracer soigneusement les hauteurs issues de chacun des sommets. Constater qu'elles se coupent en un même point. Puis le démontrer (c'est un théorème ancien).
Probabilité fréquentielle : Réaliser une expérience aléatoire. Par exemple, lancer
deux dés et observer le total des points sur les deux faces du dessus.
N.B.: La situation peut-être extra-mathématique, par exemple les diagonales d’un ananas, la relation entre la longueur de la hauteur d’un objet et de son ombre projetée en fonction de l’heure de la journée ; etc.
La démarche expérimentale en mathématiques
Elle comporte plusieurs étapes, qui se répètent éventuellement : (Perrin, 2007)
Expérience
Observation de l’expérience
Formulation de conjectures
Tentative de preuve
Contre-expérience, production éventuelle de contre-exemples
Formulation de nouvelles conjectures
Nouvelles tentative de preuve, etc.
Quelques caractéristiques de la démarche expérimentale en mathématiques
Les objets sur lesquels peut porter une expérience ne sont pas nécessairement matériels, ils peuvent être purement mathématiques.
L’expérience n’est pas source de connaissances (vérités mathématiques), mais de conjectures.
L’expérimentation en mathématiques n’a de sens que par ses articulations avec la formulation et la validation (par la preuve).
Le va-et-vient entre théorie et expérience est précisément ce qui caractérise la démarche expérimentale en mathématiques.
Que la démarche de preuve aboutisse ou non, elle est propice à la construction de connaissances.
Quelques implications pour l’enseignement
Faire vivre les élèves des expériences propices à la formulation de conjectures (avoir l’expérience du triangle, du cercle, des nombres décimaux, …)
Les faire entrer dans des démarches de tentative de preuve
Puiser dans les situations mathématiques et en sciences et technologies
Développer «l’œil mathématique» des élèves
… et leur «langue mathématique»
Problème Exercice
Situation inconnueMéthode inconnue
Création, procédure à inventerAcquisition d’un savoir (concept ou méthode, démarche)Ouverture, autonomisation
Situation connueMéthode déjà acquise
Application, reproduction, exécution
mécaniqueConsolidation d’un savoir, entraînement
Conditionnement
Distinctions entre problème et exercice
Caractéristiques du problème
Un problème ne doit être ni trop facile, ni trop difficile, il doit se situer dans la zone proximale de développement de l’élève. Le rôle de l’enseignante ou de l’enseignant est primordial.
Le problème peut être formulé par les élèves ou par l’enseignante ou l’enseignant. Dans ce dernier cas, l’enseignante ou l’enseignant doit faire émerger le problème chez les élèves.
L’enseignante ou l’enseignant doit déléguer le problème à l’élève. Un problème doit poser problème à l’élève.
Un problème peut être un problème pour un élève et non pour un autre.
Un problème cesse d’être un problème pour l’élève quand celui-ci en a trouvé une solution acceptable, ou quand il ne le perçoit plus comme un problème (par exemple, après que l’enseignant ou un autre élève lui a montré la procédure à suivre).
Les fonctions du problème
Les problèmes peuvent avoir plusieurs formes et plusieurs fonctions :
construire de nouvelles connaissances (situations-problèmes)
et/ou réinvestir des connaissances construites
(problèmes d’applications)
et/ou développer des capacités de recherche
(développer une démarche scientifique).
Les situations-problèmes
Dans la littérature scientifique, les situations-problèmes sont des problèmes particuliers: pour surmonter la difficulté qu’elles renferment, l’élève doit construire le nouveau savoir conceptuel (contenus, démarche), préalablement identifiées par l’enseignant.
Pédagogie du problème
Pédagogie de la réponse
À partir de problèmes À partir de démonstrations
Vise la compréhension pour faciliter ensuite la performance
Vise d’abord la performance pour faciliter ensuite la compréhension
Guide l’élève vers une démarche souple de résolution
Entraîne l’élève à respecter des séquences de consignes et à les appliquer
Caractéristiques d’un enseignement par problèmes
L’enseignement par problèmes s’inscrit dans une pédagogie du problème à distinguer de la pédagogie de la réponse.
Pédagogie du problème
Pédagogie de la réponse
La validation des solutions est d’abord sous la responsabilité des élèves
Valide les solutions des élèves
Insiste sur le pourquoi Insiste sur le comment
Considère que le premier rôle de l’enseignant est d’amener les élèves à s’engager cognitivement dans la résolution de bons problèmes.L’enseignant ne connaît pas nécessairement toutes les réponses mais il est capable de les vérifier
Considère que le premier rôle de l’enseignant est de maîtriser les notions fondamentales et d’être capable de les présenter et démontrer clairement en graduant les difficultés
Pédagogie du problème
Pédagogie de la réponse
Débute un apprentissage nouveau par des problèmes pratiques desquels sont tirées les techniques et symboles utilisés
Assure d’abord la maîtrise des techniques et les utilise ensuite lors de problèmes d’application
Considère que la résolution de problèmes est le point de départ de la construction des notions
Considère la résolution de problèmes consiste en l’application de formules, définitions et techniques déjà apprises.
La démarche de modélisation
Cette démarche comporte trois grands moments:
1. Plonger du réel dans le monde des mathématiques;
2. Nager dans le monde des mathématiques;
3. Émerger du monde des mathématiques pour revenir dans le réel en étant porteur d’une prévision. (Synge, 1979, p. 331).
Exemples de situations de modélisation
Extrait des travaux du groupe 6 : mathematical modelling and sciences du Forum canadien sur l’enseignement des mathématiques
Vancouver 2009
http://cms.math.ca/Reunions/FCEM2009/reports/wg6-report.pdf
Mathematical Modelling and Science
S1: Balles de caoutchouc
Une usine produit des balles de caoutchouc de différents diamètres et compositions.
On cherche à trouver un indicateur mathématique pour caractériser la qualité de rebondissement de ces balles.
CMEF 2009
Mathematical Modelling and Science
S2: verre à café
On cherche à faire un verre à café en carton qui contiendrait 250 ml.
CMEF 2009
Donnez les dimensions d’un tel verre et la surface de carton nécessaire à sa fabrication
R
r
Mathematical Modelling and Science
S3: Frettes d’une guitare
n Note Ln (cm)
0 mi 65,5
1 fa 61,9
2 fa # 58,4
3 sol 55,1
4 sol # 52,1
5 la 49,2
6 la # 46,4
7 si 43,8
8 do 41,4
9 do # 39,1
10 ré 36,9
11 ré # 34,8
12 mi 32,8CMEF 2009
L0
L1
L2
L3
L4
Pourquoi les frettes d’une guitare sont-elles plus rapprochées lorsqu’on se dirige vers la caisse de résonance ?
Mathematical Modelling and Science
S4: Prédictions des marées
Voici une prédiction des marées (heures et hauteurs des pleines et basses mers) de Bathurst au Nouveau Brunswick, pour le début de mai 2009 (www.marees.gc.ca )
CMEF 2009
Comment pourrait-on utiliser ces « données » pour prédire les marées de la semaine suivante ?
Mathematical Modelling and Science
S5: Cancer du sein
Quelle est la probabilité pour une femme canadienne de développer un cancer du sein au cours de sa vie ?
Canada Hommes Femmes
Groupes d'âge nombre de personnes (en milliers)
Population totale 32 976,0 16 332,3 16 643,7
Moins de 5 ans 1 740,2 890,7 849,5
5 à 9 ans 1 812,4 927,2 885,2
10 à 14 ans 2 060,5 1 057,1 1 003,4
15 à 19 ans 2 197,7 1 126,2 1 071,6
20 à 24 ans 2 271,6 1 161,8 1 109,9
25 à 29 ans 2 273,3 1 148,5 1 124,7
30 à 34 ans 2 242,0 1 129,6 1 112,5
35 à 39 ans 2 354,6 1 185,1 1 169,5
40 à 44 ans 2 640,1 1 326,4 1 313,7
45 à 49 ans 2 711,6 1 356,4 1 355,2
50 à 54 ans 2 441,3 1 209,6 1 231,7
55 à 59 ans 2 108,8 1 040,5 1 068,3
60 à 64 ans 1 698,6 834,9 863,7
65 à 69 ans 1 274,6 614,5 660,1
70 à 74 ans 1 047,9 492,2 555,7
75 à 79 ans 894,7 398,6 496,1
80 à 84 ans 650,8 257,6 393,2
85 à 89 ans 369,3 125,5 243,7
90 ans et plus 186,2 49,9 136,3
Grouped’âge
Nombre de nouveauxcas au Canada selon l'âge
Nombre de décès au Canadaselon l'âge
0 à 19 ans 5 -
20 à 29 ans 75 5
30 à 39 ans 840 100
40 à 49 ans 3 500 440
50 à 59 ans 6 100 940
60 à 69 ans 5 500 1 050
70 à 79 ans 3 700 1 100
80 ans et + 2 600 1 700
CMEF 2009
Statistique Canada - http://www40.statcan.ca/l02/cst01/demo10a_f.htm
http://www.cancer.ca/Statistiques canadiennes sur le cancer 2008