Download - R5 g kel 3 kal2 1
![Page 1: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/1.jpg)
MENUTIM
REDAKSI
![Page 2: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/2.jpg)
MENU
![Page 3: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/3.jpg)
MENU
PENDAHULUAN
TEHNIK PENGINTEGRALAN
FUNGSI TRANSENDEN
DAFTAR PUSTAKA
INTEGRAL TAK TENTU SEBAGAI ANTI TURUNAN
INTEGRAL TERTENTU
TEOREMA DASAR KALKULUS
TEKHNIK INTEGRAL PARSIAL
RUMUS REDUKSI
![Page 4: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/4.jpg)
Matematika mempunyai beberapaoperasi balikan: penambahan danpengurangan, perkalian dan pembagian,pemangkatan dan penarikan akar, sertapenarikan logaritma dan perhitunganlogaritma. Lalu bagaimana denganturunan/ diferensial? Pasangan turunan/diferensial adalah integral/ anti diferensial.
v
PENDAHULUAN
MENU
![Page 5: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/5.jpg)
Integral dapat dibedakan menjadi dua, yaitu:
1. Integral tak tentu, integral yang tidak ditentukan batasnya.
2. Integral tertentu, integral yang ditentukan batasnya.
MENU
![Page 6: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/6.jpg)
INTEGRAL TAK TENTU SEBAGAI ANTI TURUNAN
F merupakan suatu anti turunan dari f pada selang I,
jika DF = f pada I- yakni jika F’(x) = f(x) untuk semua x
dalam I.
contoh:
Carilah anti turunan dari f(x) = 4x!
Penyelesaian:
F(x) =x2 turunan nya adalah 2x. Untuk F(x) = 2 x2
turunannya adalah 2.2x = 4x. Maka anti turunan dari
f(x) = 4x adalah 2x2.
MENU
![Page 7: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/7.jpg)
Notasi Anti Turunan
Differensial biasa ditulis dengan notasi Dx. Sementara anti turunan dapat dinotasikan Ax atau ʃ (dibaca integral).
ʃ f(x)= F(x) + C
Teorema 1 (aturan pangkat)
jika n adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1 maka
MENU
![Page 8: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh
MENU
![Page 9: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/9.jpg)
Teorema 2 (trigonometri)
Teorema 3 (kelinearan integral)
(i) ʃ k f(x) dx = k ʃ f(x) dx
(ii) ʃ [ f(x) + g(x) ] dx = ʃ f(x) dx + ʃ g(x) dx
(iii) ʃ [ f(x) - g(x) ] dx = ʃ f(x) dx - ʃ g(x) dx
Untuk Melihat Contoh Klik Di Sini
MENU
![Page 10: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh:
Carilah integral dari: (a) ʃ 2 (x3) dx
(b) ʃ (4x5 + 2x) dx
(c) ʃ (3x2 - 10x) dx
Penyelesaian:
(a) ʃ 2 (x3) dx = 2 ʃ (x3) dx = 2 . ¼ x4 = ½ x4 + C
(b) ʃ (4x5 + 2x) dx = ʃ 4x5 dx + ʃ 2x dx = 4/6 x6 + 2/2 x2
= 2/3 x6 + x2 + C
(c) ʃ (3x2 - 10x) dx = ʃ 3x2 dx - ʃ 10x dx = 3/3 x3 - 10/2 x2 = x3 - 5x2 + C
MENU
![Page 11: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/11.jpg)
Teorema 4
Contoh
Cari ʃ (x2 + 6x)6 (2x + 6) dx!
Penyelesaian
Misalnya g(x) = x2 + 6x; maka g’(x) = 2x + 6. jadi menurut teori 4
ʃ (x2 + 6x)6 (2x + 6) dx =
MENU
![Page 12: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/12.jpg)
PERSAMAAN DIFERENSIAL SEDERHANA
Contoh turunan sederhana:
MENU
![Page 13: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/13.jpg)
Jika s(t), v(t), dan a(t) menyatakan posisi, kecepatan, dan percepatan , pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat, maka
MENU
![Page 14: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh
Percepatan sebuah benda adalah
a(t) = t + 6 dalam m/s2. Jika kecepatan pada t=0 s
adalah 5 m/s, cari kecepatan 3 detik kemudian!
Penyelesaian = t+ 6
V = ʃ t+6 dx = t2 + 6t + C
karena v=5 pada saat t=0
5= 0+C → C = 5
v= t2 + 6t + 5
Pada saat t=3
V= .32 + 6.3 +5 = 27,5 m/s
MENU
![Page 15: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/15.jpg)
JUMLAH DAN SIGMAPerhatikan bilangan dibawah ini
a1 +a2+a3+a4+...........+an
Untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita dapat menuliskan dalam bentuk
Jadi, Sigma (Σ) merupakan suatu simbol untuk menjumlahkan semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks i menjelajahi bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan dibawah tanda Σ dan berakhir dengan bilangan yang berada di atas tanda tersebut.
MENU
![Page 16: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/16.jpg)
Contoh
Jika dan . Hitung !
Penyelesaian
= 3 (32) + 3(40) – 10(50) = -284
MENU
![Page 17: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/17.jpg)
Integral Tertentu Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan
interval antara [a, b] pada garis real, integraltertentu:
secara informal didefinisikan sebagai luas wilayahpada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ,sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
MENU
![Page 18: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/18.jpg)
Pendefinisian formal integral tertentu palingumumnya digunakan adalah definisi integralRiemann.
Integral Rieman didefinisikan sebagai limit daripenjumlahan Riemann. Yaitu:
semakin kecil subinterval partisi yangkita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akansemakin mendekati nilai luas daerah yang kitainginkan. Apabila kita mengambil limit dari normapartisi mendekati nol, maka kita akan mendapatkanluas daerah tersebut.
MENU
![Page 19: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/19.jpg)
Secara matematis dapat kita tuliskan:
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah nsubinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n,sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulissebagai:
MENU
![Page 20: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/20.jpg)
Teorema Dasar Kalkulus Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval
[a,b] dan jika F adalah fungsi yang manaturunannya adalah f pada interval (a,b), maka
MENU
![Page 21: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/21.jpg)
Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu
adalah :
MENU
![Page 22: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/22.jpg)
Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawahkurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan
dapatkan:
MENU
![Page 23: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/23.jpg)
Teorema Nilai Rata-Rata (Mean Value
Theorem)
Diberikan fungsi f(x) yang kontinyu pada interval tertutup [a,b] dan terturun (differentiable) pada interval terbuka (a,b) maka terdapat paling tidak satu c pada (a,b) sedemikian hingga
MENU
![Page 24: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/24.jpg)
Maksud dari antiseden TNR adalah jika fungsi f(x) digambarkan grafiknya dari a sampai b maka grafik tersebut akan mulus tidak putus-putus. Sedangkan maksud konsekuennya adalahnilai f ’(x) sama dengan gradien (kemiringan) garisyang melalui titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) .
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:
MENU
![Page 25: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/25.jpg)
MENU
![Page 26: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/26.jpg)
Dalam kacamata fisika, turunan adalah kecepatan. TNR bisa kita ilustrasikan sebagai berikut: Ada sebuah mobilyang berjalan sejauh 100km selama 1 jam. Itu berartimobil tersebut mempunyai kecepatan rata-rata 100km/jam. Tentu saja selama perjalanan mobil itu bisamelaju kurang atau lebih dari 100km/jam. BerdasarkanTNR kita tahu satu hal ada titik (tidak harus tunggal) didalam perjalanan dimana mobil itu melaju tepat100km/jam.
MENU
![Page 27: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/27.jpg)
Jika f(a) = f(b) maka TNR menjadi Teorema Rolle. Ituberarti TNR merupakan generalisasi dari teoremaRolle. Nah sekarang kita buktikan TNR.
Diberikan fungsi f(x) yang kontinyu pada [a,b] danterturun pada (a,b). Didefinisikan fungsi h(x) sebagaiberikut:
MENU
![Page 28: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/28.jpg)
Jelas, h(x) kontinyu pada [a,b] dan terturun pada(a,b) dan dengan mudah dihitung h(a) = h(b) . Ituberarti h(x) memenuhi kondisi dari teorema Rolle. Berdasarkan teorema Rolle terdapat c Є(a,b) sedemikian hingga h’(c) = 0.
Jika diturunkan, diperoleh
Karena h’(c) = 0, maka:
MENU
![Page 29: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/29.jpg)
MENU
![Page 30: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/30.jpg)
TEKHNIK INTEGRAL PARSIALApabila teknik pengintegralan dengan teknik substitusi tidak berhasil, dengan menerapkan metode penggunaan ganda, atau yang lebih dikenal dengan teknik integral parsial dapat memberikan hasil.
MENU
![Page 31: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/31.jpg)
Teknik integral parsial didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil kali dua fungsi.
MENU
![Page 32: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/32.jpg)
Untuk menyelesaikan integral parsial, yang perlu diperhatikan adalah pemilihan U dan dV. Fungsi yang dimisalkan U adalah fungsi yang jika diturunkan terus menerus menghasilakn 0 (nol). Sedangkan fungsi yang dimisalkan dengan dV adalah fungsi yang dapat diintegralkan.
MENU
![Page 33: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/33.jpg)
Contoh soal:
Atau dengan cara tabel (metode tanzalin):
MENU
![Page 34: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/34.jpg)
Contoh soal:
MENU
![Page 35: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/35.jpg)
RUMUS REDUKSIBentuk dasar integral reduksi adalah:
di mana k < n. Sehingga pangkat dari integran ( f ) semakin menurun atau reduksi.
MENU
![Page 36: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/36.jpg)
Contoh:
MENU
![Page 37: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/37.jpg)
FUNGSI TRANSENDEN
MENU
![Page 38: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/38.jpg)
Fungsi TransendenFungsi logaritma turunan dan integral
Fungsi eksponen turunan dan integral
Penggunaan fungsi logaritma
MENU
![Page 39: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/39.jpg)
Definisi Fungsi Logaritma Asli
Logaritma Asli merupakan fungsi akumulasikarenamengakumulasikan luas dibawah kurva y = 1/t.
Fungsi Logaritme Asli, dinyatakan oleh In, didefinisikansebagai
y
2 y = In x = dt, x > 0
1
1 x 2 t
Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif.
MENU
![Page 40: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/40.jpg)
Turunan Fungsi Logaritma Asliy
2 y =
1
x 1
1 2 T
contoh: carilah dx
Penyelesaian : misal u = 2x + 7, du = 2 dx
= 2 dx = du
= In |u| + C
= In |2x + 7| + C
D x = dt = Dx In x = , x > 0
MENU
![Page 41: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/41.jpg)
Sifat-sifat Logaritma Asli
Jika a dan b bilangan-bilangan positif dan sebarang bilangan rasional, maka
(i) In 1 = 0;
(ii) In ab = In a – In b ;
(iii)In = In a – In b ;
(iv) In = r In a
MENU
![Page 42: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/42.jpg)
Fungsi Eksponen Asli
Balikan In disebut fungsi eksponen asli dandinyatakan oleh exp, Jadi.
x = exp y y = In x
Dari definisi dapat diambil bahwa
(i) = exp ( In x) = x, x > 0(ii) = In (exp y) = y, untuk semua y
MENU
![Page 43: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/43.jpg)
Sifat-sifat Fungsi Eksponen Perhatikan bahwa (i) dan (ii) pada subbab ini berbentuk:
(i) = , > 0
(ii) In ( ) = y, untuk semua y
DefinisiHuruf e menyatakan bilangan real positif unik sedemikian rupasehingga In e = 1
MENU
![Page 44: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/44.jpg)
eksponen Turunan
Andaikan , y = maka dapat dituliskan χ= In y
sehingga
y = y =
Jadi, adalah turunannya sendiri
Contoh
Tentukan:
Penyelesaian: u =
= =
= .
=
=
MENU
![Page 45: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/45.jpg)
Eksponen Integral
Rumus turunan = akan menghasilkan integral
d = + C
Contoh
tentukan : d
Penyelesaian: u = , maka du = d
d = ( d )= du = + C
= + C
) MENU
![Page 46: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/46.jpg)
Sifat – sifat EksponenJika a > 0, b > 0, x dan y adalah bilangan – bilangan real, maka
=
( =
( = (
=
=
MENU
![Page 47: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/47.jpg)
Fungsi log Definisi
Fungsi log asli melibatkan integral tertentu.
Fungsi Pada bagian ini kita akan membangun fungsilogaritma berbasis bilangan positif a≠1, logax. Fungsi inididefinisikan sebagai inverse dari fungsi eksponensial .
Definisi
Andaikan a adalah bilangan positif bukan 1, maka
y = x x =
MENU
![Page 48: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/48.jpg)
FUNGSI HIPERBOLIK
Definisi :
Fungsi Hiperbolik yang lain dapat diturunkan dari sini.
Beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik:
Turunan fungsi Hiperbolik :
48
2coshdan
2sinh
xxxx eex
eex
1sinhcosh.1 22 xx
xhx 22 sectanh1.2xhx 22 csc1coth.3
Cxdxxxyxy coshsinhsinh'cosh.2
Cxdxxxyxy sinhcoshcosh'sinh.1
Cxdxxhxhyxy tanhsecsec'tanh.3 22
MENU
![Page 49: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/49.jpg)
Contoh : Jika
Contoh :
Grafik fungsi hiperbolik
49
y
xxxxymakayxx
2
coshsinh2',8sinh
222
Cedxee xxx )cosh()sinh(
2cosh)(
xx eexxfy
naikmonoton0untuk,0)('
turunmonoton0untuk,0)('
2)('
fxxf
fxxfeexf
xx
ataskecekung02
)('' fDxee
xf f
xx
f(0)=1MENU
![Page 50: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/50.jpg)
Grafik y= cosh x :
Dengan cara yang sama, didapat grafik y= sinh x :
50
y=cosh x
y=sinh x
MENU
![Page 51: R5 g kel 3 kal2 1](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052304/5596ffee1a28aba8778b4864/html5/thumbnails/51.jpg)
DAFTAR PUSTAKAhttp://apiqquantum.com/2012/07/31/berhitung-cepat-
integral-substitusi-atau-integral-parsial-lanjut/
http://anwardz12.blogspot.com/2012/09/pembahasan-soal-integral-parsial.html
http://khairul-anas.blogspot.com/2012/04/integral-parsial-teknik-tanzalin.html
http://matemakita.com/437/teknik-pengintegralan-integral-parsial/
http://corojowo.blogspot.com/2012/04/integral-parsial-teknik-tanzalin.html
Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001;
Kalkulus jilid 1; Batam; Penerbit Interaksara.