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Trabajo Colaborativo Fase 2
Por:
Wilson Alberto Suarez
CC: 80.433.966
Claudia Patricia Lizcano
CC: 1.094.269.546
Laura Lizet Ros
CC: 1095815889
Mara Alejandra Crdenas
CC: 1.098.778.756
Erley Fernndez Crdenas
CC: 1091133327
Presentado a:
Roberto Beltrn Tobar
Ecuaciones Diferenciales _102
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Escuela de Ciencias Bsicas, Tecnologa e Ingeniera
Bucaramanga 18 de Octubre de 2015
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INTRODUCCION
Una ecuacin diferencial de orden superior que tiene la forma:
En donde
si ( ) la ecuacin diferencial se denomina homognea, pero si ( ) entonces la ecuacin diferencial se denomina no homognea.
El presente trabajo resuelve algunos problemas que permiten identificar si una ecuacin es
homognea o no y, segn sea el caso o la complejidad del mismo, se exploran alternativas
de solucin por diversos mtodos: ecuacin auxiliar, variacin de parmetros, ecuacin de
Cauchy-Euler, coeficientes indeterminados y operador diferencial de anulacin.
En una segunda parte se estudia un ejercicio propuesto en la gua de actividades para
trabajo grupal y se resalta en letra roja aquello en lo que se est en desacuerdo con lo
propuesto en la misma. Se trata de un ejercicio que permite reafirmar conceptos e
identificar cada caso y la manera correcta de notarlo en la ecuacin general, lo mismo que
el encontrar soluciones particulares para cada aparte del ejercicio.
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OBJETIVO GENERAL
Identificar de manera clara los mtodos a utilizar para la solucin de ecuaciones
diferenciales de orden superior.
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Resolver ejercicios haciendo uso de la ecuacin auxiliar.
Encontrar los operadores de anulacin para ecuaciones diferenciales
Reconocer y aplicar el mtodo de variacin de parmetros como un modo prctico de solucin de ecuaciones diferenciales de orden superior.
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DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
TEMATICA: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
1. Indique cules de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales
homogneas con coeficientes constantes y cules son diferenciales lineales no
homogneas y resulvalas.
A.
Si es ecuacin lineal, homognea y con coeficientes constantes
Solucin:
Por factorizacin queda
( )( )
( )
( )
Para la primera solucin
( )
( )
( )
Reemplazamos
( ) ( )
Luego se cumple para ese valor de la funcin.
( )
-
( )
( )
( )
Luego se cumple para ese valor de la funcin.
Entonces la solucin es:
( )
B.
( ) ( )
Ecuacin auxiliar
( )
Solucin general
Es una ecuacin de segundo orden, con coeficientes constantes y M(x)=0. Por tanto esta es
una ecuacin diferencial homognea con coeficiente constante, es un caso de soluciones
igual y reales.
C.
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Se reemplaza por:
Sacando factor comn
( ) a=1
b=2
( ) ( )
Como tenemos condiciones Iniciales
( ) ( )
( )
Derivando la solucin general:
( ) ( )
( ) ( )
( )
Como tenemos dos Ecuaciones con dos incognitas se soluciona
-
D. Es una ecuacin diferencial lineal homognea con
coeficiente constante.
-Se remplaza
Sacando factor comn
( )
Obteniendo las races por calculadora
La solucin ser:
Solucin general
(
)
2. Demostrar que y | | son soluciones linealmente independientes de la siguiente
ecuacin diferencial:
en el intervalo
Tambin podemos escribirla as:
Resolvemos por medio de la ecuacin de Cauchy-Euler, para lo cual tenemos:
( )
-
Reemplazamos en la ecuacin inicial:
[ ( ) ] ( )
( )
Dividimos todo entre
( )
( )( )
Entonces
Entonces la solucin sera:
Dado que todo valor elevado a una potencia impar vara de acuerdo a que su signo sea
positivo o negativo, la primera solucin independiente debe tener valor absoluto, teniendo
en cuenta los valores negativos y otra puede ser sin valor absoluto para valores de x
positivos, luego se demuestra que y | | son soluciones linealmente independientes de
la ecuacin
, en el intervalo . La otra
solucin es .
3. Resolver la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo de variacin de parmetros
Usamos la ecuacin auxiliar
( )
( )
-
( )
( )
Entonces debemos en principio resolver una matriz para hallar
[
]
[
] ( )
Entonces reemplazamos:
| |
( | |)
( | |)
( | |)
4. Resolver la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo de coeficientes
indeterminados
-
Primero trabajamos la parte de la solucin homognea
( )( )
Pasamos a la particular teniendo en cuenta que partimos de la ecuacin ,
para poder hallar los valores correspondientes a la solucin. Para ello es necesario hallar
primera y segunda derivada para luego reemplazar en la ecuacin diferencial inicial:
Reemplazamos
( ) ( )
Separamos semejantes para proceder a hallar valores para A, B y C y as poder armar la
solucin particular
( ) ( ) ( )
( )
( ) (
)
(
)
-
Entonces nos queda
5. Encontrar el operador diferencial que anule a:
a)
Encontramos el operador de cada uno de los sumandos y los multiplicamos:
Operador de x es , donde n es un grado mayor que la potencia que tenga x, es decir 2,
entonces el operador es .
Operador de es ( ) , donde es el coeficiente de la x en la potencia de y
es un grado mayor que la potencia que tenga x, entonces . El
operador sera ( )
Luego el operador que anula a es ( )
b) ( )( )
Resolviendo el producto tenemos
El operador es , donde n es un grado mayor que la potencia que tenga x (el mayor), es
decir 6, entonces el operador que anula a( )( ) .
c)
-
El operador es ( ) , donde es el coeficiente de la x en la potencia de y es un
grado mayor que la potencia que tenga x, entonces .
El operador que anula a ( )
6. Resolver la siguiente ecuacin diferencial:
Resolvemos por medio de la ecuacin de Cauchy-Euler, para lo cual tenemos:
( )
Reemplazamos en la ecuacin inicial:
[ ( ) ] ( )
( )
Dividimos todo entre
( )
( )( )
Entonces
Entonces la solucin para este caso de races imaginarias sera:
[ ( ) ( )]
[ ( ) ( )]
( ) ( )
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SITUACION PROBLEMA
Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le
aplica una velocidad de pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas de
amortiguacin o externas que puedan estar presentes, determine la ecuacin de movimiento
de la masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. Cunto tiempo transcurre
desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posicin de equilibrio?
Como estamos en el caso de una vibracin simple no amortiguada, tenemos la ecuacin:
Cuya solucin general es:
( ) (
) (
)
Para encontrar k observamos que la masa de 4 libras estira el resorte 3 pulgadas o pie.
Empleando la ley de Hooke, se tiene:
Lo que implica k= 16lb/pie. Como g= 32pie/seg2, se tiene que m= 4/32=1/8 slug y por lo
tanto:
Luego:
( ) ( ) ( )
Imponiendo nuestras condiciones iniciales son x(0)=6 pulgadas=1/2 pie y x(0)=
tenemos:
( )
( )
-
Lo que implica
Por consiguiente, la ecuacin del movimiento de la masa
es:
( )
( )
( )
Para expresar la solucin en forma senoidal hacemos:
( )
Entonces:
( )
( )
Con ( )
Finalmente el tiempo t que transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la
posicin de equilibrio verifica , por lo que implica
Situacin y solucin planteada:
Enunciado: El movimiento de un sistema masa-resorte con amortiguacin est regido por la
ecuacin diferencial:
En donde, x (0) 1, x'(0) 0. Encuentre la
ecuacin del movimiento para los siguientes casos:
Caso 1: Movimiento subamortiguado: b 6.
Caso 2: Movimiento crticamente amortiguado: b 10.
Caso 3: Movimiento sobre amortiguado: b 14.
1er caso:
-
( ) ( )
( )
( )
Reemplazamos valores
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
Luego la solucin particular es
( ) (
)
2do caso:
( )
( )
( )
Reemplazamos valores
-
Luego la solucin particular es
( )
( ) ( )
3er Caso:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Reemplazamos valores
( ) ( )
( ) ( )
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Sumamos las dos ecuaciones
( )
( )
( )
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CONCLUSIONES
Una ecuacin diferencial de orden superior es una expresin que relaciona una
variable dependiente (y) y sus derivadas de cualquier orden con respecto a una
variable independiente x.
Se dice que las funciones son linealmente dependientes en el intervalo, si la combinacin lineal se anula para alguna constante diferente de cero.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Campos, B., Chiralt, C. (2011). Ecuaciones diferenciales. Departamento de Matemticas Universidad Jaume I. Castelln de la Plana: Publicacions de la
Universitat Jaume I.Leer pginas 115 a 118 ISBN: 978-84-693-9777-
0 Recuperado de: http://www.etnassoft.com/biblioteca/fundamentos-matematicos-
de-la-ingenieria/
Escobar, J. (2004). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple. Leer
pginas 81 a 100. Texto completo en http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/
(2012, 01). ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.
MICROE. Obtenido 10, 2015, de
http://microe.udea.edu.co/~alince/recursos/ecuaciones/libro/Ecuaciones-Cap2.pdf