Download - Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego
![Page 1: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/1.jpg)
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA MAEW104
PROJEKT (F)ILUSTRACJA CENTRALNEGO TWIERDZENIA GRANICZNEGO
Projekt wykonany przez studentów I roku ARI Politechniki Wrocławskiej:
Natalia Czop
Dawid Dąbrowski
Aneta Górniak
Andrzej Jakubiec
Piotr Walczak
09 czerwca 2008
![Page 2: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/2.jpg)
CENTRALNE
TWIERDZENIE
GRANICZNE
(CTG Lindeberga-Lévy’ego)
![Page 3: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/3.jpg)
Rozważmy zmienną losową postaci:
m – wartość oczekiwana
σ – pierwiastek z wariancji
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
![Page 4: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/4.jpg)
Sn oznacza , gdzie Xi są
niezależnymi zmiennymi losowymi o:
● jednakowym rozkładzie
● takiej samej wartości oczekiwanej m
● skończonej wariancji σ 2 > 0
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
![Page 5: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/5.jpg)
Wtedy zmienna losowa o takiej postaci
zbiega według rozkładu do
standardowego rozkładu normalnego,
gdy n (liczba zmiennych losowych
tworzących daną sumę) rośnie do
nieskończoności.
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
![Page 6: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/6.jpg)
Dla każdego przy
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
![Page 7: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/7.jpg)
Gdzie:
to dystrybuanta standardowego rozkładu
normalnego
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
![Page 8: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/8.jpg)
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNEkrzywa Gauss’a – funkcja gęstości prawdopodobieństwa standardowego rozkładu normalnego o wartości
oczekiwanej równej zeru i wariancji równej 1.
![Page 9: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/9.jpg)
JAK DZIAŁA
CTG ?
Xi o rozkładzie Poissona
![Page 10: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/10.jpg)
Losujemy n liczb o takim samym rozkładzie
Sumę tych n liczb normalizujemy(aby rozkład zbiegał do rozkładu
normalnego o parametrach
m = 0, σ² = 1 )
Czynność powtarzamy N razy
JAK DZIAŁA CTG?
![Page 11: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/11.jpg)
JAK DZIAŁA CTG?(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Poissona, λ = 5)
![Page 12: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/12.jpg)
(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Poissona, λ = 5)
JAK DZIAŁA CTG?
![Page 13: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/13.jpg)
JAK DZIAŁA CTG?(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Laplace’a, l=0, λ = 2)
![Page 14: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/14.jpg)
JAK DZIAŁA CTG?(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Laplace’a, l=0, λ = 2)
![Page 15: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/15.jpg)
To rozkład dyskretny
przedstawiający liczbę wystąpień
zjawiska w czasie t, w określonej
liczbie prób, gdy wystąpienia te
są niezależne od siebie.
ROZKŁAD POISSONA
![Page 16: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/16.jpg)
RO
ZK
ŁA
D P
OIS
SO
NA
![Page 17: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/17.jpg)
Rysujemy wykres:
Tworzymy histogram na podstawie otrzymanych w wyniku błądzenia
losowego sum zmiennych losowych
sprawdzamy czy histogram jest zbliżony do krzywej Gaussa.
JAK DZIAŁA CTG?
![Page 18: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/18.jpg)
(liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 10 000)
JAK DZIAŁA CTG?
![Page 19: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/19.jpg)
(liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 10 000
JAK DZIAŁA CTG?
![Page 20: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/20.jpg)
(liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 10 000
JAK DZIAŁA CTG?
![Page 21: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/21.jpg)
(liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 10 000)
JAK DZIAŁA CTG?
![Page 22: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/22.jpg)
(liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 10 000)
JAK DZIAŁA CTG?
![Page 23: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/23.jpg)
(liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 10 000)
JAK DZIAŁA CTG?
![Page 24: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/24.jpg)
DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA DO WYKRESU ROZKŁADU POISSONA
![Page 25: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/25.jpg)
INNE PRZYKŁADY ROZKŁADU XI
![Page 26: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/26.jpg)
ROZKŁAD LAPLACE’A(PODWÓJNIE WYKŁADNICZY)
Matematyczne zastosowania rozkładu Laplace'a można znaleźć w pracy Johnsona i
Kotza (Continuous univariate distributions,1995).
![Page 27: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/27.jpg)
RO
ZK
ŁA
D L
AP
LA
CE
’A (P
OD
WÓ
JNIE
W
YK
ŁA
DN
ICZ
Y)
![Page 28: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/28.jpg)
DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA DO WYKRESU ROZKŁADU LAPLACE’A
![Page 29: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/29.jpg)
ROZKŁAD PASCALA (UJEMNY DWUMIANOWY)
Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący
czas oczekiwania na l-ty sukces . Jeśli l to liczba
sukcesów, k - liczba porażek, a p –
prawdopodobieństwo sukcesu
(w badanych próbach Bernoulliego)
to rozkład Pascala opisuje jakie jest
prawdopodobieństwo wystąpienia
l sukcesów w k+l próbach.
![Page 30: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/30.jpg)
RO
ZK
ŁA
D P
AS
CA
LA
(UJE
MN
Y D
WU
MIA
NO
WY
)
![Page 31: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/31.jpg)
DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA DO WYKRESU ROZKŁADU PASCALA
![Page 32: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/32.jpg)
Rozkład prawdopodobieństwa,
dla którego gęstość
prawdopodobieństwa na przedziale
(a,b) jest stała i różna od 0, a poza nim
równa 0 ( gdzie b > a )
ROZKŁAD JEDNOSTAJNY CIĄGŁY
![Page 33: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/33.jpg)
RO
ZK
ŁA
D JE
DN
OS
TAJ
NY
CIĄ
GŁ
Y
![Page 34: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/34.jpg)
DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA DO WYKRESU ROZKŁADU
JEDNOSTAJNEGO
![Page 35: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/35.jpg)
Rozkład zmiennej losowej
opisujący sytuację, w której obiekt
może przyjmować stany X i Y,
przy czym obiekt w stanie X może
ze stałym prawdopodobieństwem
przejść w stan Y w jednostce czasu.
ROZKŁAD WYKŁADNICZY
![Page 36: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/36.jpg)
RO
ZK
ŁA
D W
YK
ŁA
DN
ICZ
Y
![Page 37: Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062518/568140ae550346895dac6df2/html5/thumbnails/37.jpg)
DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA DO WYKRESU ROZKŁADU
WYKŁADNICZEGO