Licenciatura em Matemática
Matemática Elementar
Marco Antonio Claret de Castro
Flávia Borges Arantes
Patrícia Oliveira Costa.
UFSJ
MEC / SEED / UAB
2010
catalogação
Sumário
PRA COMEÇO DE CONVERSA.................................................................................................................................6
UNIDADE I - POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO......................................................................................................8
1.1. POTENCIAÇÃO................................................................................................................................................91.1.1. Propriedades da potenciação.............................................................................................................121.1.2. Aplicações de Potências..................................................................................................................15
1.2. RADICIAÇÃO.................................................................................................................................................171.2.1. PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS FRACIONÁRIAS.........................................................................................221.2.2. PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO................................................................................................................231.2.3. RACIONALIZAÇÃO......................................................................................................................................25
UNIDADE II - MMC(MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM) E MDC(MÁXIMO DIVISOR COMUM...........................28
2.1. DEFINIÇÕES..................................................................................................................................................292.1.1. Múltiplos e Divisores.......................................................................................................................292.1.2. Números primos.................................................................................................................................332. 1.3. Decomposição de um número natural em fatores primos......................................................342.1.4. Teorema Fundamental da Aritmética..........................................................................................40
2.2. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM – M.M.C..............................................................................................................422.3 - MÁXIMO DIVISOR COMUM – M.D.C.............................................................................................................45
UNIDADE III - PRODUTOS NOTÁVEIS...............................................................................................................50
3.1. INTRODUÇÃO................................................................................................................................................513.2. REVISÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS...........................................................................................................513.3. PRODUTOS NOTÁVEIS MAIS COMUNS.............................................................................................................54
3.3.1. Quadrado da soma...........................................................................................................................543.3.2. Quadrado da diferença...................................................................................................................573.3.3. Produto da soma pela diferença....................................................................................................593.3.4. Cubo da soma......................................................................................................................................61
3.3.5. CUBO DA DIFERENÇA...................................................................................................................................633.3.6. QUADRADO DA SOMA DE POLINÔMIOS EM GERAL...........................................................................................663.3.7. TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO...............................................................................................................67
3.3.8. Completar quadrados.....................................................................................................................693.3.9. Aplicações de produtos notáveis...................................................................................................71
UNIDADE IV - EQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAUS..................................................................................................74
4.1. INTRODUÇÃO................................................................................................................................................754.2. EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU.....................................................................................................................83
4.2.1. Definição............................................................................................................................................834.2.2. Resolução de equações do primeiro grau....................................................................................834.2.3. Aplicações das equações do primeiro grau.................................................................................87
4.3. EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU......................................................................................................................914.3.1. Definição............................................................................................................................................914.3.2. Tipos de equações............................................................................................................................924.3.4. Raízes de Equações incompletas da forma ax2 + bx = 0............................................................964.3.5. Raízes de Equações completas da forma ax2 + bx + c = 0...........................................................974.3.6. Relações entre os coeficientes e as raízes..................................................................................103
4.3.6.1. Soma das raízes (S)................................................................................................................................1034.3.6..2. Produto das raízes (P)..........................................................................................................................104
4.3.7. Equação biquadrada.....................................................................................................................1084.3.8. APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU.................................................................................................112
4.3.8.1. Resolução de problemas do 2º grau....................................................................................................1124.3.8.2. Sistemas do 2º grau....................................................................................................................................117
UNIDADE V - OPERAÇÕES COM FRAÇÃO......................................................................................................119
INTRODUÇÃO.....................................................................................................................................................120
5.1. DEFINIÇÕES................................................................................................................................................1205.1.1. Frações.............................................................................................................................................1205.1.2. Leitura de frações..........................................................................................................................1225.1.3. Classificação das frações..............................................................................................................1235.1.4. Equivalência de frações................................................................................................................1255.1.5. Simplificação de frações...................................................................................................................127
5.2 OPERAÇÕES COM FRAÇÃO............................................................................................................................1285.2.1. Adição e subtração frações...........................................................................................................1285.2.2. Multiplicação de frações...............................................................................................................1315.2.3. Divisão de frações..........................................................................................................................1325.2.4. Potenciação (ou exponenciação) de frações..............................................................................1335.2.5. Radiciação de frações....................................................................................................................1355.2.6. Transformações de frações..........................................................................................................136
5.2.6.1. Redução de números inteiros para frações impróprias..................................................................1365.2.6.2. Redução de número misto para fração imprópria...........................................................................1365.2.6.3. Conversão de fração imprópria para número misto........................................................................137
5.3. NÚMEROS DECIMAIS....................................................................................................................................1385.3.1. Leitura de um número decimal...................................................................................................1395.3.2. Conversão de fração decimal para número decimal................................................................1415.3.3. Conversão de fração não decimal para número decimal........................................................1425.3.4. Conversão de número decimal para fração decimal................................................................1435.3.5. Propriedades dos números decimais..........................................................................................145
5.4. OPERAÇÕES ENVOLVENDO NÚMEROS DECIMAIS...........................................................................................1465.4.1. Adição e subtração de números decimais..................................................................................1465.4.2. Multiplicação de números decimais...........................................................................................1485.4.3. Divisão de números decimais.......................................................................................................150
5.4.4. POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS.....................................................................................................1525.4.5. Radiciação de números decimais................................................................................................152
5.4.6. Aplicações de números decimais e frações: porcentagens.....................................................153
UNIDADE VI - RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO........................................................155
6.1. DEFINIÇÕES................................................................................................................................................1566.1.1 Projeções..........................................................................................................................................156
6.2. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.......................................................................................1586.2.1. Primeira relação métrica.............................................................................................................1586.2.2. Segunda relação métrica.............................................................................................................1606.2.3. Terceira relação métrica..............................................................................................................1616.2.4. Quarta relação métrica. Teorema de Pitágoras.......................................................................162
6.2.4.1. TRIÂNGULOS PITAGÓRICOS...................................................................................................................1646.2.4.2. Um pouco de história..............................................................................................................................166
6.3. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.........................................................................1706.3.1. Seno de um ângulo.........................................................................................................................170
6.3.2. COSSENO DE UM ÂNGULO.........................................................................................................................1726.3.3. Tangente de um ângulo................................................................................................................173
6.3.4. CÁLCULO DOS LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO..............................................................................1776.3.5. RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA:........................................................................................1786.4. APLICAÇÕES DOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS NA ENGENHARIA.....................................................................181
UNIDADE VII - REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA............................................................................187
7.1. RAZÃO ENTRE DOIS NÚMEROS.....................................................................................................................1887.2. PROPORÇÃO..............................................................................................................................................1937.2.1 – PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES..................................................................................196
7.2.2. Grandezas Proporcionais.............................................................................................................1977.3. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA......................................................................................................199
7.3.1. Regra de Três Simples..................................................................................................................2007.3.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA...................................................................................................................202
PRA FINAL DE CONVERSA................................................................................................................................206
Referências...........................................................................................................................................................207
Pra começo de conversa...
Olá aluno (a)! Bem-vindo ao módulo da disciplina Matemática Elementar!
A finalidade do oferecimento dessa disciplina é preencher uma lacuna que tem existido
nos cursos presenciais de Licenciatura em Matemática, pois muitos formam nesses
cursos e vão, em seguida, lecionar para alunos do ensino fundamental onde existem
tópicos que não são abordados na graduação. Essa disciplina tem a carga horária de 72
horas e é composta de sete unidades:
1. Potenciação e Radiciação
2. M.M.C. e M.D.C.
3. Produtos notáveis
4. Equações do 1º e 2º graus
5. Operações com frações
6. Relações métricas no triângulo retângulo
7. Regra de 3 (simples e composta)
As aulas compreenderão a parte teórica, confecção de exercícios e avaliações.
Nós nos preocupamos em trabalhar com você os tópicos abordados nessa disciplina
numa linguagem bem acessível, usando as definições acompanhadas de exemplos e
exercícios para você fixar melhor os objetivos pretendidos.
Esperamos que você inicie o curso com garra, vontade e persistência. Nunca desista
diante das adversidades. Faça dessas um desafio e verá que uma das melhores coisas da
vida será ultrapassar as barreiras com determinação
Matemática Elementar Unidade I
Unidade I - Potenciação e Radiciação
Problematizando
1) O que é base e expoente numa potência?
2) Quais as propriedades da potenciação?
3) Como é determinada a potenciação de números?
4) Como calcular a raiz enésima de um número?
5) Quais as propriedades da radiciação?
1.1. Potenciação:
Objetivo
Definir potenciação.
Vamos responder:
a) Numa estrada, encontrei sete mulheres.
Cada mulher tinha sete sacos,
Cada saco tinha sete gatos,
Cada gato tinha sete gatinhos.
Quantos gatinhos eu encontrei na estrada?
Essa brincadeira, adaptada de um verso inglês, é solucionada, usando também a
potenciação:
7 x 7 x 7 x 7 = 74 = 2 401
b) Se você lançar uma moeda, quantos e quais resultados você pode obter?
Veja:
1) Se lançarmos uma moeda, são dois resultados possíveis:
2) Se lançarmos duas moedas, são quatro resultados possíveis:
3) Se lançarmos três moedas, quantos serão os resultados possíveis?
Fonte: (GIOVANNI, 2005, p. 8)
Vamos então estabelecer uma relação entre o número de moedas lançadas ao ar e o
número de resultados possíveis.
Veja no quadro:
Nº de moedas Nº de resultados possíveis
1 2 = 21
2 4 = 2x2 = 22
3 8 = 2x2x2 = 23
4 16= 2x2x2x2 = 24
5 32 = 2x2x2x2x2 = 25
... ............
Concluímos então, no lançamento simultâneo de n moedas, o número de resultados
possíveis é dado por 2n. Que também é potenciação.
Resolva você:
Em uma colônia, cada bactéria se reproduz dividindo-se em quatro bactérias por
minuto. Partindo de uma só bactéria, quantas serão produzidas em 6 minutos de
divisão? ( r: 4 094 bactérias)
Agora então, podemos definir o que é a operação potenciação de números reais.
Definição
A potência 23, por exemplo, indica que a base, o número 2, será multiplicada
sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja 2x2x2. Se o expoente é 1, então o
resultado tem o valor da base (71 = 7), enquanto que com um expoente 0, devido as
propriedades da potência, o resultado é sempre igual a 1 (160 = 1).
Então vamos ver estas propriedades!!!
1.1.1. Propriedades da potenciação
Objetivo
Aplicar as propriedades da potenciação.
As potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesma. As potências apresentam-se na forma xn, onde n é o expoente e x é a base.
1) Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
Observe que: 27 x 9 = 243 , 27 = 33 e 9 = 32 , isto implica que
33 x 32 = 243 = 35 = 33+2
2) Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.
Usando o mesmo exemplo: 27 / 9 = 3 então : 33 / 32 = 3 = 33-2
Agora podemos justificar porque 160 = 1
Temos: 16 : 16 = 24 : 24 = 1, usando a propriedade teremos:
24 : 24 = 2 4-4 = 20 = 1
3) Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os
expoentes.
(xa)b = xab
Observe:
93 = 729 , (32)3 = 729 = 36 = 3 2X3
O número real x, diferente de zero, elevado a zero sempre será 1.
4) Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores
a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao
mesmo expoente.
Observe:
6 2 = 36 vamos lá, usando o mesmo método:
62 = ( 3x2)2 = 32 x 22 = 9 x 4 = 36
62 = ( =
E o expoente negativo?
Com esta propriedade e o estudo de frações poderemos compreender a definição se o
expoente for um número real negativo.
Exemplo
9 : 27 = isto implica então que (3)-1 =
Verifique se é valido para este exemplo: ( = ( = .
Se a base for um número real negativo é preciso colocar entre parênteses.
Exemplo
(-2)2 = ( -2) x ( -2) = 4 , -22 = - ( 2 x 2 ) = -4
Vamos resolver:
1) Escreva na forma de potência os seguintes produtos:
Então, diremos que se o expoente for negativo invertemos a base e colocamos o expoente positivo.
a) 12 x 12 x 12 (r: 123) b) (-15) x ( -15) x (-15) x ( -1 (r: -15)4
c) (r: 0,3)n
Calcule:
a) (-2)5 (r: -32) b) (0,8) 3 (r: 0,512)
c) (11/6) 2 (r:121/36) d) -54 (r: -625)
e) (5)-2 (r: 1/25) f) (-2)-5 (r: -1/32)
g) (-2/3)3 (r: -27/8) h) 60 (r: 1)
2) Usando as propriedades transforme numa só potência cada uma das expressões:
a) 32 . 3 . 3 -4 (r: 3-1) b) 67 : 6-2 (r: 69) c) 2-3 : 2-1 (r: 2-2)
d) (102)-5 (r: 10-10) e) (7-1)-3 (r: 73)
4) (Fuvest – SP) Qual é a metade de 222? (r: 221)
1.1.2. Aplicações de Potências:
Segundo (ANDRINI, 2002, p. 13):
O
bs
er
ve
que 0,01 = e 10000000000 = 1010
Então, outra aplicação da potenciação é a “notação científica”:
A distância entre o planeta Vênus e o Sol é de 108 000 000 quilômetros.
A notação científica permite registrar esse número numa forma mais simples:
Um ótimo truque algébrico:
29 x 31 = ( 30 – 1) x ( 30 + 1) = 302 - 12 = 900 – 1 = 899
Este truque nada mais é do que a aplicação da chamada da diferença de dois quadrados: (a – b) ( a + b) = a2 – b2 , que veremos na unidade 3.
Os registros de números na notação científica apresentam um número entre 1 e 10
multiplicado por uma potência de base 10.
Assim:
108 000 000 Km = 1,08 .108 km
Você sabe qual é a distância entre a Terra e o Sol? Responda a essa pergunta, usando a
notação científica. (r: 1,5. 108)
Exemplo:
Certo vírus tem espessura aproximada de 0,000006 milímetros. Expresse esse valor em
notação científica.
0,000006 mm = 6. 10-6
Veja mais um exemplo de aplicação da potência:
Escrever na forma de produto a expressão 5100 + 5101 + 5102 .
5100 + 5101 + 5102 = 5100(1 + 5 + 52) = 5100(1 + 5 + 25) = 5100(31)
5100 + 5101 + 5102 = 31. 5100
Então agora:
Vamos resolver:
1) A velocidade da luz é de 300.000Km/s. Use a notação científica para escrever esta
velocidade. (r: 3.105)
2) Se x = 0,000011 e y = 0,003. Escreva o produto de x por y usando a notação
científica. (r: 33. 109)
3) Simplifique a expressão , dizendo o seu valor na forma de número
decimal. (r: 0,06)
4) Qual é a forma mais simples de escrever a expressão:
a) (r: a7b3c2)
b) (r: b3/ a2)
Um pouco de história:
Segundo (GIOVANNI, 2005, p. 9) “Os babilônios, (denominação genérica para diversos
povos na antiguidade, que durante 3000 anos, ocuparam sucessivamente a
Mesopotâmia, região aproximadamente correspondente ao Iraque de hoje), usavam as
potências como auxiliares da multiplicação, enquanto os gregos tinham preferência
pelos quadrados e pelos cubos.
No século III, o matemático grego Diofante idealizou as seguintes notações das
potências: x para expressar a primeira potência, xx a segunda e xxx para expressar a
terceira potência.
No século XVII, o pensador e matemático francês René Descartes ( 1596 -1650)
introduziu as notações x , x2 , x3, . . . , para potências, notações essas que usamos hoje.”
1.2. Radiciação
Objetivos
Definir radiação.
Resolver problemas usando radiciação.
Definição
Em
outros
termos,
dado um número relativo a denominado radicando e dado um número inteiro positivo n
denominado índice da raiz, é possível determinar outro número relativo b, denominado
Radiciação de números relativos é a operação inversa da
potenciação. Ou seja,
raiz enésima de a (ou raiz de índice n de a), representada pelo símbolo , tal que b
elevado a n seja igual a a.
Exemplo
, pois 7. 7 = 72 = 49 7 =
= -2, pois (-2) . (-2) . (-2) = (-2)3 = -8 -2 =
Para determinarmos a raiz enésima de um número real a, temos dois casos a examinar:
1º caso: O índice n é par:
bn = a a 0 , pois multiplicaremos b n ( par) vezes .
Então a potência “a” será sempre positiva. Assim não se define no conjunto de números
reais raiz de índice par e radicando negativo, pois o radicando será a potência da
operação inversa.
Exemplo
= não se define nos números reais, pois (-7) . (-7) = 49
Este fato se estende quando consideramos a raiz quarta, sexta, oitava... e assim por
diante, de um número real negativo.
Mas atenção:
-
E também
=
Então vamos definir:
= , quando n é par
=-7 e = +7
Chegaríamos à conclusão que -7 = +7, que é um absurdo!!!!!!!
Generalizando: x o radicando, n o expoente par e k 0 uma constante.
Xn = kn = = k , observe que a raiz é
sempre positiva, o radicando xn é que poderia ter valor para x positivo e valor para x
negativo.
Exemplo
X2 = 49 = 7
2º caso: O índice n é impar:
= -2, pois (-2) . (-2) . (-2) = (-2)3 = -8 -2 =
Então concluímos que:
, isto é, dado um número real a e sendo n um número
natural ímpar, a expressão é o número real b, tal que bn = a .
Então agora:
Vamos Resolver:
1) Calcule:
a) (r: 1) b) (r: 200) c) (r: 0,7)
A raiz de um número real com índice
par é sempre um número real positivo.
Sendo n um número natural diferente
de zero, define-se:
d) (r: 5) e) (r: 2/5) f) (r: -0,1)
g) (r: 1,1)
2) Calcule, caso exista no conjunto dos números reais:
a) (r: 8 ) b) (r: Não existe) c) (r: -1) d)
(r: Não existe)
E o expoente fracionário?
Os expoentes racionais relacionam a potenciação e a radiciação da seguinte maneira:
Consideremos um número real x, tal que x = .
Usando a definição, temos:
x = x3 = 52 (1)
Agora, se tivermos outro número y, tal que y = 5
Usando as propriedades da potência temos:
y = 5 y3 = (5 )3 y3 = 5 y3 = 52 (2)
Comparando as igualdades (1) e (2) , temos:
Então podemos escrever que: = 5
Sendo , m , n , m > 0, n > 0, podemos escrever:
As potências de base positiva e expoente racional
podem ser escritas na forma de radical, e os radicais
podem ser escritos na forma de potência com
expoente racional.
Exercícios
Calcule:
a) 64 (r: 8) b) 1000,5 (r: 10) c) ( ) (r: 2/3)
d) (-32) (r: -2) e) 6250,25 (r: 5)
1.2.1. Propriedades das potências fracionárias:
Objetivo
Conhecer a aplicar as propriedades de potências fracionárias.
As mesmas propriedades que foram estudadas para expoentes inteiros valem para as
potências com expoentes fracionários.
Vamos resolver:
1) Escreva em forma de uma só potência cada uma das seguintes expressões:
a) 2 . 2 (r: 2 ) b) 5 : 5 (r: 5 )
c) (7 ) (r: 49) d) (r: 101/4)
2) Determine o valor da sentença: 27 + 9 (r: 252)
3) Se A = (4 + 81 ) , determine A-1. (r: 1/5)
Um pouco de história:
Segundo (GIOVANNI, 2005. p.43), “Contam os historiadores da Matemática que o
número foi responsável pela primeira grande crise entre os matemáticos gregos.
O teorema de Pitágoras garantia que é a medida da diagonal do quadrado de lado
unitário. Aí é que as coisas começaram a se complicar, pois na Antiguidade eram
conhecidos apenas os números inteiros (positivos) e fracionários. Como não é inteiro
nem fracionário, que número é então?
Para os Pitagóricos os números regulavam o universo.
Euclides de Alexandria (séc. III a.c) provou que não é racional usando um raciocínio
denominado “redução ao absurdo”.
A palavra radical vem do latim radix ou radicis, que significa raiz.. O símbolo de
radical (adotado talvez porque lembra um r minúsculo, de raiz) introduzido em 1525,
por Christoff Rudolff em seu livro de álgebra intitulado Die coss.”
1.2.2. Propriedades da Radiciação:
Objetivo
Aplicar as propriedades da radiciação.
1ª propriedade:
Se a 0 , então = a
Ex: = 7, = x, se x 0
2ª propriedade:
= , com p 0 e p divisor comum de m e n.
Observe:
= 2, pela 1ª propriedade
= 2 , pela 1ª propriedade
Então, = = = 2
3ª propriedade:
Observe:
=
4ª propriedade:
Observe:
5ª propriedade:
Observe:
Adicionando algebricamente dois ou mais radicais:
Se uma expressão contém radicais semelhantes, podemos reduzi-los a um só radical.
Acompanhe:
7 = ( 7 + 5 – 8 + 1 ) = 5
Multiplicando e dividindo expressões com radicais de índices diferentes:
Neste caso, convém transformar dois ou mais radicais de índices diferentes em radicais
equivalentes e que tenham o mesmo índice, que já sabemos calcular:
Observe:
=
Potenciação de expressões com radicais:
Acompanhe:
1.2.3. Racionalização:
Objetivos
Racionalizar frações que envolvem radical no denominador.
Aplicar a racionalização para facilitar o cálculo de expressões.
Antigamente, quando ainda não existiam as calculadoras, era muito complicado calcular,
por exemplo, Teriam que dividir
Então eles multiplicaram o numerador e o denominador por
= = , esta é uma conta muito mais fácil de fazer.
Esta transformação, ou qualquer transformação deste tipo, é dada o nome de
Racionalização de denominadores.
Podemos também, simplificar um radical, retirando fatores do radicando:
= = = = 10
= = = 24 .3 = 48
Ou podemos também introduzir um fator externo no radicando:
10 = = =
Aplicação de Radiciação:
A figura a baixo é um quadrado cujo lado mede l. A área desse quadrado é 2304 cm 2.
Qual é o valor de l em cm?
Como sabemos, a área do quadrado é l. l = l2
l2 = 2 304 l = = 24 .3 = 48
Então o valor de l = 48 cm
Vamos resolver:
1) Um terreno quadrado tem 900m2 de área.
a) Quantos metros medem o seu perímetro? (r: 120 m)
b) Qual será a área, em m2, de um terreno com o triplo da medida do lado deste
quadrado? (r: 8.100 m2)
2) Certo ou errado? Justifique dizendo a propriedade ou operação usada.
a) = 21 (r: c) b) = 2 (r: e) c) (r: c)
d) 2 (r: e) e) (r: c) f) (r: c)
3) Se a , escreva na sua forma mais simples possível o seguinte produto:
(r: a2b2)
4) Vamos simplificar cada um dos radicais:
a) (r: 2 ) b) (r: 5 )
lcm
5) Introduza o fator externo no radicando:
a) 2 (r: ) b) 5y3 (r: )
c) ( x + y ) = (r: )
6) Simplifique as frações:
a) (r: ) b) (r: x -
)
7) Se X = 3 e Y = 3
Determine:
a) (r: ) b) X – Y (r:
)
c) (X + Y) (X – Y) (r: 43)
8) Dadas as igualdades e , determine o valor de x + y (r: 6)
E aí? Compreenderam?
Esperamos ter conseguido, neste capítulo, alcançar nossos objetivos.
Vamos então para a próxima unidade...
Matemática Elementar Unidade II
Unidade II – M.M.C. (Mínimo Múltiplo Comum) e M.D.C. (Máximo Divisor Comum)
Problematizando
1) Como calcular o M.M.C. de dois ou mais números?
2) Como determinar o M.D.C. de dois ou mais números?
3) Quais as aplicações do M.M.C. e do M.D.C.?
4) O que são números primos?
5) Como decompor um número em fatores primos?
2.1. Definições
2.1.1. Múltiplos e Divisores:
Objetivo
Definir e determinar múltiplos e divisores de números naturais.
Você sabe o que é múltiplo de um número? A palavra “múltipla” vem de multiplicação.
Observe:
2 x 8 = 16
Em uma multiplicação, o produto (resultado da multiplicação) é sempre múltiplo de
cada um dos fatores.
Assim,
i) 2 x 8 = 16
Logo 16 é múltiplo de 2 e de 8.
ii) 3 x 45 = 135
Logo 135 é múltiplo de 3 e de 45.
Para encontrarmos o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicá-lo pela
sucessão de números naturais.
Desta forma, quais são os múltiplos de 12?
12 x 0 = 0 12 x 6 = 72
12 x 1 = 12 12 x 7 = 84
12 x 2 = 24 12 x 8 = 96
12 x 3 = 36 12 x 9 = 108
12 x 4 = 48 12 x 10 = 120
12 x 5 = 60 12 x n = 12n
Então o conjunto dos múltiplos de 12 pode ser representado por
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132,...}
Este conjunto é infinito? A resposta é sim. Como o conjunto dos números naturais é
infinito, se você continuar multiplicando o número 12 por todos os elementos deste
conjunto obterá um conjunto também infinito.
Agora, encontre o conjunto de todos os múltiplos de 8. Note que o conjunto dos
múltiplos de 12 e 8 é infinito.
E aí? O que podemos concluir? Todos os números naturais possuem o conjunto dos
múltiplos infinito?
A resposta é não! Observe o conjunto dos múltiplos de zero.
0 x 0 = 0 0 x 6 = 0
0 x 1 = 0 0 x 7 = 0
0 x 2 = 0 0 x 8 = 0
0 x 3 = 0 0 x 9 = 0
0 x 4 = 0 0 x 10 = 0
0 x 5 = 0 0 x n = 0
O conjunto dos múltiplos de zero é unitário e pode ser representado por
M(0) = {0}
Portanto,
O conjunto dos múltiplos de um número não – nulo é infinito.
Agora observe e analise:
60 = 1 x 60
60 = 2 x 30
60 = 3 x 20
60 = 4 x 15
60 = 5 x 12
60 = 6 x 10
Os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 são fatores do número natural 60. E se
você dividi-lo por todos estes fatores, a divisão dará resto zero, ou seja, será exata.
Assim podemos afirmar que:
O 12 é divisor de 60 e 60 é divisível por 12.
Mas como encontrar o conjunto de todos os divisores de um número?
Daremos uma sugestão para a resolução desta situação.
Divida um número n por 1, por 2, por 3, por 4, e vá dividindo até chegar em n. Considere
como resposta adequada a pergunta acima apenas as divisões exatas. Logo todos os
números em que o resto da divisão foi zero, são divisores de n.
Faça este exemplo utilizando situações reais, como por exemplo, sua sala de aula tem 20
alunos. Desejamos distribuí-los em grupos menores de forma que nenhum de vocês
fique sem grupo. Quais as possibilidades de formar grupos em que todos tenham o
mesmo número de elementos?
Observe a tabela:
Número de grupos Número de alunos
1 20
Os divisores de um número natural a são todos os números naturais que ao dividirem a, resultarão em uma divisão exata.
2 10
4 5
5 4
10 2
20 1
Neste caso, poderemos formar 1 grupo de vinte alunos, 2 grupos de 10 alunos, 4 grupos
de 5 alunos, 5 grupos de 4 alunos, 10 grupos de 2 alunos e 20 grupos de um aluno, de
forma que não sobre nenhum aluno sem grupo, ou seja, que o resto da divisão entre
alunos e grupos seja zero. Quando isto acontecer, dizemos que 20 será divisível por
todos os números que a divisão for exata, isto é, por 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Concluindo, teremos que:
Dados dois números naturais a e b, dizemos que a é divisor de b se existir um número
natural c tal que a.c = b. Nestas condições, podemos dizer ainda que a divide b e que b é
múltiplo de a ou que b é divisível por a. Usando a linguagem matemática:
a b c N | a.c = b
Vamos praticar:
1) Escreva os seis primeiros múltiplos de 15. (r: 0, 15, 30, 45, 60, 75)
2) Quais são os divisores de 15 que também são divisores de 25? (r: 1 e 5)
3) Quantos múltiplos comuns de 3 e 5 há de 0 a 30? (r: 3 números)
4) Determine:
a) os divisores de 14 que não são divisores de 35. (r: 2 e 14)
b) os divisores de 35 que não são divisores de 14. (r: 5 e 35)
c) os divisores de 14 que são também divisores de 35. (r: 1 e 7)
5) A idade de Paulo corresponde ao maior divisor par de 60, sem ser o número 6.
Qual a idade de Paulo? (r: 30 anos)
6) Os números 143 e 91 são múltiplos de 13. Verifique se a soma desses números,
bem como a diferença entre eles, também são múltiplos de 13. (r: Tanto a soma
como a diferença entre eles é múltipla de 13)
7) É fácil saber quando um ano é bissexto. É só verificar se o número que representa
esse ano é divisível por 4, ou no caso dos anos terminados em 00, se é divisível
por 400.
a) Diga se foi ano bissexto
- o ano do descobrimento do Brasil (1500) (r: Não, pois 1500 não é divisível por
400)
- o ano da Proclamação da Independência (1822) (r: Não, pois 1822 não é divisível
por 4)
b) A década de 90 (de 1991 a 2000) teve quantos anos bissextos? (r: três: 1992, 1996
e 2000)
c) Qual o primeiro ano bissexto do século XXI (iniciado em 2001)? (r: 2004)
2.1.2. Números primos
Objetivos
Definir números primos.
Decompor um número natural em fatores primos.
Antes de iniciarmos o estudo dos algoritmos de M.M.C. e M.D.C., faremos uma breve
recordação sobre os números primos.
O que vocês entendem por números primos?
Um pouco de história:
Segundo (OLIVEIRA, 2005, p.1), “Primus é uma palavra de origem latina, que significa:
“primeiro e único”. Ela foi escolhida para designar o grupo de números naturais que não
podem ser decompostos em fatores, a não ser por um e por ele mesmo, mas que são
fatores dos demais números inteiros.”
Assim sendo, podemos classificar os números naturais em:
Primos: números diferentes de zero e um, que possuem apenas dois divisores, o 1
e ele mesmo.
Compostos: números que possuem mais de dois divisores.
2.1.3. Decomposição de um número natural em fatores primos:
Vamos decompor os números 6, 10 e 15.
6 = 2 x 3 (2 e 3 são números primos, e 6 é o produto de fatores primos)
10 = 2 x 5 (2 e 5 são números primos, e 10 é o produto de fatores primos)
15 = 3 x 5 (3 e 5 são números primos, e 15 é o produto de fatores primos)
Agora, vamos decompor o número 36.
36 = 2 x 18 (18 é um número composto)
18 = 2 x 9 (9 é um número composto)
9 = 3 x 3
Assim, percebemos que 36 = 2 x 2 x 3 x 3 e podemos afirmar que 36 é composto por
números primos. Calculando o produto destes números primos, teremos
2 x 2 x 3 x 3 = 36.
Vejamos outros exemplos:
O número 2 é o único número natural, primo que é
par.
par.
25 = 5 x 5 (5 é um número primo)
39 = 3 x 13 (3 e 13 são números primos)
42 = 2 x 21
21 = 3 x 7 (2, 3 e 7 são números primos)
Então 42 = 2 x 3 x 7.
Existe uma maneira mais prática para decompor um número natural, mas para isso é
importante recordarmos os principais critérios de divisibilidade. Veja:
Divisibilidade por 2:
Um numero natural é divisível por 2 quando ele é par, ou seja quando termina em 0, 2, 4,
6, 8.
Veja a divisão do número 1020 por 2. Note que 1020 termina em zero e o resto da
divisão por 2 é zero:
Logo, 1020 é divisível por 2. Esta regra vale para todos os múltiplos de 2.
Divisibilidade por 3:
Um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Examine a divisão do número 261 por 3.
Como o resto da divisão é zero, temos que 261 é divisível por 3. Agora, observe que
somando os algarismos do número 261, obtemos 2 + 6 + 1 = 9, que é um número
divisível por 3. Esta regra vale para todos os múltiplos de 3.
Divisibilidade por 4:
1020 2 020 510
0
261 3 021 87 0
Um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um
número divisível por 4.
Veja a divisão do número 548 por 4 e a divisão do número 48 por 4.
Os dois últimos algarismos do número 548 formam 48, que é um número divisível por 4.
Isso ocorre com todos os múltiplos de 4.
Divisibilidade por 5:
Um número natural é divisível por 5 quando termina em zero ou 5.
Observe a divisão do número 570 por 5 e a divisão do número 835 por 5:
O número 570 termina em zero e é divisível por 5 e o número 835 termina em 5 e é
divisível por 5. Este fato, terminar em zero ou 5, acontece com todos os múltiplos de
5.
Divisibilidade por 6:
Um número natural é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 simultaneamente.
Veja a divisão do número 624 por 6:
548 4 014 137 028 0
48 4 08 12 0
570 5 07 114 020
0
835 5 033 167 035 0
624 6 02 104 024
0
Note que o número 624 é divisível por 2, pois ele é par e 624 também é divisível por
3, pois 6 + 2 + 4 = 12 e 12 é divisível por 3. Esta regra é válida para todos os
múltiplos de 6.
Divisibilidade por 8:
Um número natural é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos formam um
número divisível por 8.
Observe a divisão do número 1 320 por 8 e a divisão do número 320 por 8.
Os três últimos algarismos do número 1320 formam 320, que é um número divisível
por 8. Isso acontece com todos os múltiplos de 8.
Divisibilidade por 9:
Um número natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é divisível por 9.
Examine a divisão do número 4212 por 9.
Já sabemos que como o resto da divisão é zero, temos que 4 212 é divisível por 9. Agora,
veja que somando os algarismos do número 4 212, obtemos 4 + 2 + 1 + 2 = 9, que é um
número divisível por 9. Esta regra vale para todos os múltiplos de 9.
Divisibilidade por 10:
Um número natural é divisível por 10 quando termina em zero.
Observe a divisão do número 4 530 por 10:
320 8 00 40 0
1320 8 052 165 040 0
4212 9 061 468 072 0
4530 10 053 453 030
0
O número 4 530 termina em zero e é divisível por 10. Este fato, terminar em zero,
acontece com todos os múltiplos de 10.
Vamos praticar:
1. Considere os números a seguir:
Descubra quais são divisíveis por:
a) 5 (r: 6930, 680, 24 000)
b) 6 (r: 6930, 72 048, 24 000, 4032)
c) 8 (r: 680, 24 000, 72 048, 4 032, 16 664)
2. O número 58X tem três algarismos, mas o algarismo das unidades está escondido.
Sabendo-se que este número é múltiplo de 9, qual o algarismo escondido? (r: 5)
3. Qual o menor natural de quatro algarismos que é divisível por 3 e por 4 ao mesmo
tempo? (r: 1.008)
Agora que já sabemos os critérios de divisibilidade mais utilizados, retornaremos aos
nossos estudos da decomposição em fatores primos... Vamos decompor o número 135.
135 3
45 3
15 3
5 5
1
3x3x3x5 = 33x5
Logo 135 = 33x5
divisores primosquociente
6930
72 048 16 66424 000
4 032680
Escrevemos: 135 = 3 x 3 x 3 x 5, ou seja, o número 135 é composto pelos fatores primos
3 e 5. Podemos ainda representá-lo utilizando potências 135 = 33x5.
Analisando o que fizemos acima, podemos dizer que decompomos o número 135 em
fatores primos, ou seja, que ele foi dividido sucessivamente pelos seus fatores primos. Os
divisores foram colocados à direita do traço vertical e os quocientes obtidos, à esquerda.
O processo terminou quando encontramos o quociente 1.
Isso pode ser verificado através de um teorema muito importante no conjunto dos
números naturais, que está especificado mais abaixo:
2.1.4. Teorema Fundamental da Aritmética
Objetivos
Aplicar o teorema fundamental da aritmética.
Determinar números primos pelo método “crivo de Eratóstenes”.
Fique por dentro...
Segundo (OlIVEIRA, 2005, p.1), “Eratóstenes (do grego ) foi umΕρατοσθένης
matemático, bibliotecário e astrônomo grego. Nasceu em Cirene, Grécia, por volta de 276
Os fatores primos podem ser escritos na ordem em que
forem lembrados, pois a multiplicação atende a
comutatividade, embora eles estejam em ordem
crescente devido a uma questão de organização.
Todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito de forma única (a menos da ordem dos fatores) como um produto de números primos.
a.C, passando grande parte de sua juventude em Atenas. Aos 40 anos de idade, foi
convidado pelo rei Ptolomeu III, do Egito, para o honroso cargo de bibliotecário da
Universidade de Alexandria. Seus feitos foram notáveis. Ele criou um método para
encontrar números primos, hoje conhecido como crivo de Eratóstenes. No quadro, estão
os números de 1 a 100.
Ele primeiramente eliminou o 1, depois eliminou os múltiplos de 2, exceto o 2. Em
seguida, riscou os múltiplos de 3, exceto o 3. E assim continuou com o 5, o 7, o 11..., até
que não existissem números compostos neste quadro. Os números em azul são os
números primos menores que 100.”
2.2. Mínimo Múltiplo Comum – M.M.C.
Objetivos
Construir o conceito de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números
naturais.
Determinar o M.M.C. de dois ou mais números naturais através de algoritmos
Vamos escrever os múltiplos de 24 e 6.
M(24) = {0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216,...}
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, ...}
Os múltiplos que são comuns, que se repetem, em 24 e 6 são respectivamente { 0, 24,
72,...}. Observando este conjunto, verificamos com exceção do zero, que o menor
múltiplo comum é o 24. O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM de 24 e 6 pode ser indicado da
seguinte maneira:
M.M.C.(6,24) = 24
Generalizando...
Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se MÍNIMO MÚLTIPLO
COMUM (M.M.C.) desses números o menor dos múltiplos comuns dados, diferente de
zero.
Este procedimento que acabamos de ver não é prático para números muito grandes.
Vejamos agora outras maneiras de calcularmos o M.M.C.:
Primeiro dispositivo:
Vamos determinar o M.M.C. de 135 e 42:
Primeiramente devemos decompor 135 em fatores primos e em seguida o número 60.
O zero é múltiplo de qualquer número e o
único múltiplo de zero é o próprio zero.
3 x 3 x 3 x 5 = 33 x 5 2 x 3 x 7
135 3 42 245 3 21 315 3 7 7
5 5 11
O M.M.C. é o produto dos fatores primos comuns e não comuns com maiores expoentes.
Observe:
135 = 33 x 5
42 = 2 x 3 x 7
M.M.C. (135, 42) = 2 x 33 x 5 x 7 = 2 x 27 x 5 x 7 = 1890
Portanto, o M.M.C. (135, 42) = 1890
Observação: O número que foi obtido, ou seja, 1890 é múltiplo de 42 e de 135.
Segundo dispositivo:
Podemos determinar o M.M.C. de 135 e 42 por decomposição simultânea, isto é,
podemos encontrar os fatores primos dos dois números 135 e 42 de uma só vez. Veja:
135, 42 2 _________ apenas o 42 é divisível por 2
135, 21 3 _________ 135 e 21 são divisíveis por 3
45, 7 3 _________ apenas o 45 é divisível por 3
15, 7 3 _________ apenas o 15 é divisível por 3
5, 7 5 _________ apenas o 5 é divisível por 5
1, 7 7 _________ apenas o 7 é divisível por 7
1, 1
2 x 3 x 3 x 3 x 5 x 7 = 1890
M.M.C. (135, 42) = 1890
De modo análogo ao anterior, encontraremos o M.M.C. de três números.
Acompanhe o raciocínio
35, 75, 25 3 _________ apenas o 35 é divisível por 3
7, 25, 25 5 _________ apenas o 25 é divisível por 5
7, 5, 5 5 _________ apenas o 5 é divisível por 5
7, 1, 1 7 _________ apenas o 7 é divisível por 7
1, 1, 1
3 x 5 x 5 x 7 = 525
M.M.C. (35, 75, 25) = 525
2.3 - Máximo Divisor Comum – M.D.C.
Objetivos
Construir o conceito de máximo divisor comum de dois ou mais números
naturais.
Determinar o M.D.C. de dois ou mais números naturais através de algoritmos.
Utilizar o M.D.C. na resolução de problemas do cotidiano
O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama – se máximo divisor
comum.
Por exemplo, analise a decomposição de fatores do número 12 e 54:
12 = 1 x 12 54 = 1 x 54
12 = 2 x 6 54 = 2 x 27
12 = 3 x 4 54 = 3 x 18
54 = 6 x 9
Daí temos que o conjunto dos divisores de 12 e 54 é respectivamente:
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}
Selecionando os divisores em comum entre 12 e 54, teremos 1, 2, 3 e 6.
O maior destes divisores comuns é o número 6. Então podemos concluir que o maior
divisor comum de 12 e 54 é o número 6, isto é, 6 é o máximo divisor comum.
O que podemos indicar por M.D.C. (12, 54) = 6.
Generalizando...
Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se MÁXIMO DIVISOR
COMUM (M.D.C.) desses números ao maior dos seus divisores comuns.
Estamos caminhando... Você compreendeu o processo que utilizamos para encontrar o
M.D.C.? Mas será que não existe outro método para facilitar o seu cálculo?
De modo análogo ao cálculo do M.M.C., vamos decompor os números 12 e 54 em fatores
primos.
Agora considere apenas os fatores comuns aos dois números, cada um deles com seu
menor expoente, pois devem ser divisores de dois números ao mesmo tempo.
Os fatores comuns de menor expoente são 2 e 3.
Encontrando o produto destes fatores que selecionamos como comuns, encontraremos o
M.D.C. entre 12 e 54. Logo, o máximo divisor comum entre 12 e 54 é 20, ou seja, M.D.C.
(12, 54) = 6.
Vamos praticar...
1) Calcule em seu caderno:
a) m.d.c. (180, 150) (r: 30)
b) m.d.c. (231, 825) (r: 33)
c) m.d.c. (340, 728) (r: 4)
d) m.d.c. (39, 117, 130) (r: 13)
e) m.d.c. (25, 120, 150) (r: 5)
f) m.d.c. (36, 144, 180) (r: 36)
2) Calcule em seu caderno:
g) m.m.c. (12, 18) (r: 36)
2 x 2 x 3 = 22 x 3 2 x 3 x 3 x 3 = 2 x 33
12 2 54 26 2 27 33 3 9 31 1
h) m.m.c. (90, 180) (r: 180)
i) m.m.c. (55, 121) (r: 605)
j) m.m.c. (25, 48, 156) (r: 15 600)
k) m.m.c. (15, 18, 21) (r: 630)
l) m.m.c. (21, 36, 168) (r: 504)
3) Responda e justifique:
a) O maior divisor comum de 25 e um número natural A pode ser 30? (r: Não, pois
30 não é divisor de 25)
b) O menor múltiplo comum de 8 e um número natural A pode ser 6? (r: Não, pois 6
não é múltiplo de 8)
c) O maior divisor comum de 12 e um número natural A pode ser 4? (r: sim)
d) O maior divisor comum de 100, 15 e 10 é o número 5? (r: sim)
Vamos Aplicar...
1) Três corredores largaram juntos em uma prova cujo percurso é circular. Eles
correm com velocidade constante. Bruno leva 3 minutos para completar cada
volta, Henrique, 4 minutos e Davi, 6 minutos. Depois de quanto tempo os três
passarão juntos pela primeira vez a linha de largada? (r: depois de 12 minutos)
2) Para um congresso em Curitiba, foram 28 funcionários de uma empresa: 16
foram em carros particulares e 12 em carros da empresa. Cada carro transportou
o maior número de pessoas e todos transportaram a mesma quantidade de
funcionários. Quantos funcionários foram em cada carro e quantos carros foram
utilizados? (r: 4 funcionários e 7 carros)
3) Diante da minha casa há um ponto de ônibus por onde passam duas linhas
diferentes. Os ônibus de uma delas passam de 30 em 30 minutos, enquanto os da
outra linha passam de 15 em 15 minutos.
a) Se os ônibus das duas linhas passaram juntos no ponto às 13 horas e 30 minutos,
a que horas deve ocorrer o décimo encontro? (r: às 14 horas)
b) Se o primeiro encontro dos ônibus das duas linhas ocorre às seis horas da manhã,
a que horas deve ocorrer o décimo encontro? (r: às 10 horas e 30 minutos)
4) Dois livros, um com 176 páginas e outro com 240 páginas, serão divididos em
fascículos para venda semanal nas bancas de jornal. Os fascículos serão montados
com o mesmo e o maior número de páginas possível.
a) Quantas páginas terão cada fascículo? (r: 16 páginas)
b) Em quantas semanas uma pessoa terá os dois livros completos, considerando que
ela compre todos os fascículos e que um livro seja vendido após o outro? (r: 26
semanas)
5) Um marceneiro precisa cortar 3 tábuas em pedaços de mesmo comprimento. Para
melhor aproveitamento das tábuas, o comprimento dos pedaços deve ser o maior
possível. Uma tábua mede 250 centímetros de comprimento, a outra, 350
centímetros e a outra, 550 centímetros. Qual o comprimento de cada pedaço de
tábua? (r: 50 centímetros)
Esperamos ter conseguido neste capítulo alcançar nossos objetivos.
Vamos então para a próxima unidade...
Matemática Elementar Unidade III
Unidade III - Produtos notáveis
Problematizando
1. Como relacionar o cálculo de área de quadrados e retângulos com os produtos
notáveis?
2. Qual a maneira mais fácil de expressar os cálculos: (a + b)2.(a – b)2, (a +
b)(a – b), (a + b)3 e (a – b)3?
3. Quais as aplicações dos produtos notáveis?
3.1. Introdução
Objetivos
Definir produtos notáveis.
Rever conceitos básicos sobre expressões algébricas
Definição
Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral
para sua resolução. Eles são usados para simplificar cálculos algébricos, sem que seja
necessária a utilização de todas as etapas da multiplicação usando a propriedade
distributiva. O termo produto é usado porque é a solução de uma multiplicação e a
palavra notável quer dizer que ele é importante, que se destaca o seu uso.
3.2. Revisão de expressões algébricas
Conceito:
As letras (parte literal) das expressões algébricas são chamadas de variáveis
(pois o valor de cada letra pode ser substituído por um valor numérico).
Exemplos
5 – 2a, x2 + y2, , 4abxy2
Os termos semelhantes são aqueles que têm a parte literal idêntica.
Exemplos
Os termos 3ax2y e -5ax2y são semelhantes
Os termos 2ab e -3ba são semelhantes (pois ab = ba).
Os termos 2bxy2 e 7bx2y2 não são semelhantes.
Expressões algébricas são aquelas que apresentam números e letras.
Chama-se polinômio a toda expressão algébrica racional e inteira (onde não
aparecem variáveis sob radical nem no denominador).
Exemplos
São polinômios: x3 - 2x +1 2a + b - c a2 - a 6ax2y3
Não são polinômios:
Monômios são os polinômios que têm um só termo.
Exemplo
São monômios: 3x2, 2x3y2, -5a e 7
A parte inteira de um monômio é chamada de coeficiente e a parte literal é
composta das letras. No exemplo acima, respectivamente, são coeficientes: 3, 2, -5
e o 7 e são literais x3, x3y2 e a.
Só podemos somar ou subtrair termos semelhantes.
Exemplo
Seja efetuar a operação: 2x + x2 + 5x – 3x2
Como os termos em x são semelhantes e os termos em x2 também são, podemos
associá-los (fazer a redução de termos semelhantes) e efetuar as operações
entre eles:
(2x + 5x) + (x2 - 3x2) = 7x – 2x2
Na multiplicação de monômios multiplicamos os coeficientes desses monômios e
também suas partes literais.
Exemplos
(5a²b)(-3ab³) = 5.(-3).a².a.b.b³ = -15a³b4
xy5. ax3y4 = . .a.x.x3.y5.y4 = ax4y9
Na divisão de monômios dividimos os coeficientes e as partes literais.
Exemplos
6x3 : 2x = (6 : 3).(x3 : x) = 2 x2
A potenciação de monômios envolve diretamente a multiplicação.
Exemplo
Na multiplicação de polinômios utilizamos a propriedade distributiva da
multiplicação.
Exemplo
= 2x2 + 2x – 12
3.3. Produtos notáveis mais comuns
Objetivos
Desenvolver algebricamente o quadrado da soma de dois termos.
Desenvolver geometricamente o quadrado da soma de dois termos.
Os Produtos Notáveis podem ser desenvolvidos de duas maneiras:
Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, que consiste no
desenvolvimento mais detalhado, optando pelo emprego exagerado de cálculos.
A utilização da regra prática, que vem a ser o uso de uma definição geral para
cada caso, simplificando os cálculos.
Há de se ressaltar que os dois métodos são objetivos e precisos.
Os principais produtos notáveis são:
Quadrado da Soma
Quadrado da diferença
Produto da soma pela diferença
Cubo da Soma
(x + 3).(2x – 4) = x.2x + x.(-4) + 3.2x + 3.(-4) = 2x2 - 4x + 6x -12 =
Cubo da diferença
Quadrado de polinômios
3.3.1. Quadrado da soma
Vamos determinar algebricamente o produto (a + b)2.
Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação teremos:
(a + b)2 = (a + b).(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a2 + 2ab + b2
Ou seja:
A regra prática (A) pode ser escrita como:
Geometricamente, podemos determinar a relação (A):
Determinando a área do quadrado maior de lado (a + b) da primeira figura acima como
o produto dos seus lados, teremos:
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do
primeiro termo, mais o dobro do produto do primeiro pelo
segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (A)
Determinando a área do quadrado maior da segunda figura acima como a soma dos dois
quadrados menores e os dois retângulos que o compreendem, obtemos:
Como os dois quadrados maiores têm os mesmo lados, as áreas são iguais, a expressão
(B) é igual à (C), ou seja, A1 = A2, logo:
Exemplos
Aplicando a regra prática, podemos calcular os seguintes produtos:
a) (3x + y2)2 = (3x)2 + 2.3x.y2 + (y2)2 = 9x2 + 6xy2 + y4
b)
Exercícios
1. Calcule os seguintes produtos notáveis, aplicando a regra prática:
a) (am3 + n)2 (r: a2m6 + 2am3n + n2)
b)
2. Efetue as operações:
a) 3x – (x + 1)2 (r: -x2 + x – 1)
b) (x² + 1)2 - (3 + x2)2 (r: -4x2 - 8)
3.3.2. Quadrado da diferença
Objetivos
A2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (C)
A1 = (a + b).(a + b) = (a + b)2inalmente adrados menores mais a soma dos dois retto do primeiro pelo segundo termo
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Desenvolver algebricamente e geometricamente o quadrado da diferença de dois
termos
Desenvolver algebricamente e geometricamente o produto da soma pela
diferença de dois termos
Desenvolver algebricamente e geometricamente o cubo da soma de dois termos.
Vamos determinar algebricamente o produto (a - b)2.
Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação teremos:
(a - b)2 = (a - b).(a - b) = a.a - a.b - b.a + (-b).(-b) = a2 - 2ab + b2
Ou seja:
A regra prática (D) pode ser escrita como:
Geometricamente, podemos determinar a relação (D):
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado
do primeiro termo, menos o dobro do produto do primeiro
pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (D)
A área do quadrado maior é igual à soma dos dois quadrados menores mais a soma
dos dois retângulos, ou seja:
a2 = (a – b)2 + b(a – b) + b(a – b) + b2, então:
(a – b)2 = a2 – [b(a – b) + b(a – b) + b2]
(a – b)2 = a2 – [ ba – b2 + ba – b2 + b2]
(a – b)2 = a2 – [2ab - b2]
Chegamos finalmente à expressão:
Exemplo
(2x – 3y)2 = (2x)2 + 2.(2x).(-3y) + (-3y)2 = 4x2 -12xy + 9y2
Exercícios
Efetuar as operações
1) (3x2 – a)2 (r: 9x4 – 6ax2 + a2)
2) (mn3 - m2nb)2 (r: m2n6 – 2bm3n4 + m4n2b2)
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
3.3.3. Produto da soma pela diferença
Determinando-se algebricamente o produto (a + b).(a – b), utilizando a propriedade
distributiva da multiplicação teremos:
(a + b).(a - b) = a.a + a.(-b) + b.a + b.(-b) = a2 - ab + ab – b2
Ou seja:
A regra prática (E) pode ser escrita como:
Geometricamente, podemos determinar a relação (E):
Na primeira figura acima, a área do quadrado maior é a2 e a área do quadrado menor é
b2.
Logo a área da região hachurada dessa figura será:
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.
(a + b).(a - b) = a2 - b2 (E)
A1 = a2 – b2 (F)
Na segunda figura o retângulo hachurado que estava na horizontal foi transposto para a
vertical, ou seja, as áreas hachuradas das duas figuras são iguais.
Determinando a área da segunda figura teremos:
Como as duas áreas são iguais, A1 = A2, igualamos (G) a (F) e obtemos:
Exemplo
(2x – 3y4).(2x + 3y) = (2x)2 – (3y4)2 = 4x2 – 9y8
Exercícios
Resolver os produtos:
1) (-2m3 + x2).(-2m3 – x2) (r: 4m6 – x4)
2) ( a4 – ab5).( a4 + ab5) (r: a8 – a2b10)
3.3.4. Cubo da soma
Determinando-se algebricamente o produto (a + b)3, utilizando a propriedade
distributiva da multiplicação, teremos:
(a + b)3 = (a + b).(a + b).(a + b) = (a + b)2.(a + b) = (a2 + 2ab + b2).(a + b) =
= a2..a + a2.b + 2ab.a + 2ab.b + b2.a + b2.b = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 =
=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ou seja:
A regra prática (H) pode ser escrita como:
A2 = (a + b)(a – b) (G)
(a + b).(a - b) = a2 - b2
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro
termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo
multiplicado pelo segundo, mais três vezes o primeiro termo
multiplicado pelo quadrado do segundo, mais o cubo do
segundo termo.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (H)
Geometricamente, podemos determinar a relação (H):
Como mostrado nas figuras acima, o volume do cubo maior é igual à soma dos volumes
dos dois cubos menores mais a soma dos seis prismas que o compõe.
Assim:
(a + b)3 = a.a.a + a.a.b + a.a.b + a.a.b + a.b.b + a.b.b + + a.b.b + b.b.b
(a + b)3 = a3 + a2b + a2b + a2b + ab2 + ab2 + ab2 + b3
Encontrando-se o mesmo valor da equação (H):
a2 3a2b 3ab2 b3
| a | b |
Exemplos
(x4 + x2)3 = (x4)3 + 3.(x4)2.(x2) + 3.(x4)
(a2 + )3 = (a2)3 + 3.(a2)2. ( ) + 3.a2.( )2 + ( )3
(a2 + )3 = a6 + a5b + a4b2 + a3b3
Exercícios
Resolver pela maneira mais fácil:
1) (3xy + 5x3y)3 (r: 27x3y3 + 135x5y3 + 225x7y3 + 125x9y3)
2) ( a4 + ab5)3 (r: a12 + a9b5 + 2 a6b10 + a3b15)
3.3.5. Cubo da diferença
Objetivo
Desenvolver algebricamente e geometricamente o cubo da diferença de dois
termos.
Determinando-se algebricamente o produto (a - b)3, utilizando a propriedade
distributiva da multiplicação, teremos:
(a - b)3 = (a - b).(a - b).(a - b) = (a - b)2.(a - b) = (a2 - 2ab + b2).(a - b) =
= a2..a + a2.(-b) + (-2ab).a + (-2ab).(-b) + b2.a + b2.(-b) =
a3 - a2b - 2a2b + 2ab2 + ab2 - b3 = =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ou seja:
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (I)
(a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
A regra prática (I) pode ser escrita como:
Geometricamente, podemos determinar a relação (I):
__
Como é mostrado nas figuras acima, a3 – b3 é a diferença entre o volume do cubo maior e
o volume do cubo menor.
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do
primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro
termo multiplicado pelo segundo, mais três vezes o primeiro
termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo, menos
o cubo do segundo termo.
++
a
a
a - b
b
ba - b
b
a - b
a
a3 b3
3(a-b)(a-b).b 3(a-b).b.b (a-b)3
Como é mostrado nas figuras acima, do volume do cubo maior tirando o volume do cubo
menor, restarão os volumes dos seis prismas mais o volume do cubo médio, que serão
representados algebricamente por:
3.(a – b).(a – b).b + 3.(a – b).b.b + (a – b).(a – b).(a – b) =
= 3.(a2 – 2ab + b2).b + 3.(ab2 – b3) + (a2 – 2ab – b2).(a – b) =
= 3a2b – 6ab2 + 3b3 + 3ab2 – 3b3 + a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
= a3 – b3
Comprovando então a regra prática:
Exemplo
(4x2 – 2xy3)3 = (4x2)3 – 3.(4x2)2.(2xy3) + 3.(4x).(2xy3)2 + (2xy3)3
(4x2 – 2xy3)3 = 64x6 – 96x5y3 + 48x3y6 + 8x3y9
Exercícios
Resolver, usando produto notável:
1) (4x5y3 – 2x2y4)3 (r: 64x15y9 – 96x12y10 + 48x9y9 + 8x6y12)
2) ( a4 - ab5)3 (r: a12 - a9b5 + 2 a6b10 - a3b15)
3.3.6. Quadrado da soma de polinômios em geral
Objetivo
Desenvolver algebricamente o quadrado da soma de polinômios.
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
As regras práticas de produtos notáveis podem ser entendidas para polinômios,
bastando para isso: agrupar os termos dos polinômios formando uma soma implícita de
dois termos e aplicar a regra do quadrado da soma vista nessa unidade.
Exemplo:
a) Quadrado de um trinômio
(a + b + c)2 = ((a + b) + c)2 = (a + b)2 + 2.(a + b).c + c2
Desenvolvendo as operações, teremos:
a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
Ordenando os termos, obtemos:
b) Quadrado de um polinômio de quatro termos
(a + b + c + d)2 = ((a + b) + (c + d))2 = (a + b)2 + 2.(a + b).(c + d) + (c + d)2
Desmembrando as operações teremos:
(a + b + c + d)2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + c2 + 2cd + d2
Ordenando os termos obtemos:
c)
Quadrado de um polinômio de n termos
Generalizando a regra prática para n termos, podemos usar a definição:
Exercícios
Calcule as expressões pelo modo mais fácil:
1) (2x + 5y + 3xy)2 (r: 4x2 + 25y2 + 9x2y2 + 20xy + 12x2y + 30xy2 )
2) (x + 2y + 5x2y + 3xy3)2
(r: x2 + 4y2 + 25x4y2 + 9x2y6 + 4xy + 10x3y + 6x2y3 + 20x2y2 + 12xy4 + 30x3y4)
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2+ 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
O quadrado da soma de um polinômio de n termos é
igual à soma dos quadrados desses n termos mais a
soma do duplo produto desses n termos tomados dois
a dois.
3) (a + b + c + d + x)2
(r: a2 + b2 + c2 + d2 + x2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2ax + 2bc + 2bd + 2bx + 2cd + + 2cx + 2dx)
3.3.7. Trinômio quadrado perfeito
Objetivos
Fatorar o trinômio quadrado perfeito.
Desenvolver a técnica de completar quadrados.
Dizemos que 25 é um quadrado perfeito, pois 25 pode ser obtido elevando-se 5 ao
quadrado. Do mesmo modo, a expressão 32 + 2.(2.3) + 22 pois é obtido elevando-se (3 +
2) ao quadrado, ou seja: 25 = (3 + 2)2, aquela expressão é o desenvolvimento do produto
notável do quadrado da soma de dois termos.
O trinômio x2 + 2xy + y2 é também um quadrado perfeito, pois é obtido a partir do
desenvolvimento de (x + y)2.
Podemos então definir o trinômio quadrado perfeito para dois termos x e y quaisquer,
da seguinte forma:
Exemplos:
Um trinômio será um quadrado perfeito se verificar as duas condições:
Dois termos dos seus termos são quadrados: x2 e y2.
O terceiro termo é o duplo produto das raízes desses quadrados: 2.x.y.
a) Verificar se o trinômio x2 + 2xy + y2 é um quadrado perfeito
Logo esse trinômio é quadrado perfeito
c) Verificar se o trinômio 16a2 + 10ab + 9b2 é quadrado perfeito:
Para ser quadrado perfeito o segundo termo teria que ser 24ab, como é 10ab ele não é
quadrado perfeito.
Exercícios
Verificar quais dos trinômios abaixo são quadrados perfeitos:
a) 4x2 – 8xy + y2 (r: não é quadrado perfeito)
b) 9x2 + 6x + 1 (r: é quadrado perfeito)
c) a2 + 9b2 + 6ab (r: é quadrado perfeito)
x2 + 2xy + y2
x y
2.x.y
16a2 + 10ab + 9b2
29216 ba
4a 3b
24ab
2.4a.3b
d) x2 – 4bx + 4b2 (r: é quadrado perfeito)
3.3.8. Completar quadrados
O método de completar quadrados usa a representação geométrica dos termos de uma
equação do 2º graus utilizando áreas de retângulos e de quadrados.
Exemplo
Resolver, utilizando o método de completar quadrados, a equação: x2 + 8x = 16 (da
forma ax2 + bx = c).
R. Para construir a representação, siga os passos:
1) Desenhe um quadrado de lado "x" para representar o termo x2. Depois,
represente o termo 8x por quatro retângulos de lados 2 e x, como mostra a figura
abaixo:
Temos um quadrado de área: x.x = x2 e também quatro retângulos, cada um com área:
2.x = 2x, a área total dos retângulos será: 4.2x = 8x.
2) Vamos acrescentar quatro quadrados de lado igual a 2, um em cada extremidade
da figura acima, completando o quadrado maior.
Esse quadrado maior será a área anterior, x2 + 8x, adicionada da área dos quatro
quadrados que foram acrescentados 4.(2.2), ou seja:
Mas da equação dada temos que: (II)
Levando (II) em (I), obtemos:
A = = 16 + 16 = 32
Se a área é 32 então o lado desse quadrado é .
Como o lado também é definido por x + 4, temos:
x + 4 = x =
x2 + 8x = 16
A= (x2 + 8x) + 16 (I)A = x2 + 8x + 4.(2.2)
Exercícios
Completem o quadrado e determinem o valor de x e do lado (y) do quadrado maior
formado:
a) x2 + 8x = 9 (r: x = 1, y = 5)
b) x2 + 28x = 60 (r: x = 2, y = 16)
3.3.9. Aplicações de produtos notáveis
Objetivos
Aplicar os produtos notáveis no desenvolvimento do binômio de Newton.
Aplicar os produtos notáveis na resolução de problemas que envolvem
determinação de áreas.
Vamos mostrar algumas das muitas aplicações de produtos notáveis.
I) Binômio de Newton
Pela definição:
Os valores do binômio de Newton para n = 2 e para n = 3 podem ser resolvidos usando
as regras já definidas nessa unidade, ou seja:
Para n = 2, teremos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Para n = 3, teremos: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
A partir do termo de ordem 4, para desenvolver o binômio de Newton basta fatorar os
termos em produtos notáveis conhecidos e em seguida é só aplicar as regras práticas
que aprendemos e efetuar as operações usando a propriedade distributiva da
multiplicação.
Binômio de Newton é todo termo da forma (a + b)n, sendo n um
número natural.
Exemplo
(a + b)4 = (a + b)2. (a + b)2 = (a2 + 2ab + b2).( a2 + 2ab + b2) = ...
(a + b)7 = (a + b)2. (a + b)2. (a + b)3 =
= (a2 + 2ab + b2).( a2 + 2ab + b2).(a3 +3a2b + 3ab2 + b3) = ...
II. Resolução de problemas
Exemplo:
Em um loteamento, cada quadra de terreno é um quadrado com 58 metros de lado. O
autor do projeto resolveu então aumentar a largura da calçada e, com isso, cada quadra
passou a ser um quadrado de 56 metros de lado. Que área os terrenos perderam?
Pense um pouco antes de ver a solução.
Uma maneira simples de responder a esta questão é calcular a área antiga e diminuir o
valor encontrado da área nova. Inicialmente, a área da quadra era 58 2 m2. Depois a área
da quadra passou a ser 562 m2. Então a área perdida foi (582 – 562) m2.
É claro que não é tão difícil fazer essas contas. Mas, veja como fica simples o cálculo se
utilizarmos o produto da soma pela diferença de dois termos:
582 – 562 = (58 + 56)(58 - 56) = 114 · 2 = 228 m2
O que fizemos é simplesmente aplicação da fórmula de um dos produtos notáveis:
(a2 – b2) = (a + b).(a – b), onde a = 58 e b = 56.
Vamos agora transpor mais uma Unidade!
Matemática Elementar Unidade IV
Unidade IV - Equações do 1º e 2º graus
Problematizando
1) Qual a diferença entre equação e identidade?
2) Qual a diferença entre conjunto universo e conjunto verdade?
3) O que é equação?
4) Como determinar o conjunto verdade de equações do primeiro e segundo graus?
5) Como transformar uma linguagem escrita para uma linguagem matemática ao
resolver problemas de primeiro e segundo graus?
6) Que aplicações temos das equações do 1º e do 2º graus?.
4.1. Introdução
Objetivos
Definir: identidade conjunto verdade e conjunto universo.
Construir o conceito de equação.
Aplicar as regras de equivalência.
Primeiro vamos dar algumas definições básicas para você se habituar a termos que
iremos usar nessa Unidade.
Conjuntos numéricos Os conjuntos numéricos que iremos trabalhar serão:
o Naturais Representado pela N e é composto pelo zero e dos números
inteiros positivos.
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
o Inteiros Representado pela letra Z, é composto do zero e dos inteiros
negativos e positivos.
Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}
o Racionais Simbolizado pela letra Q compreendem os números que
podem ser escritos na forma de fração.
Q = {x = , a Z e b Z∈ *}
Z* representa os números inteiros exceto o zero.
o Irracionais Representam as dízimas infinitas não periódicas.
Exemplo de alguns elementos desse conjunto: = -2,6457. . . , =
1,732. . ., = 3,1416. . . , etc.
o Reais Representado pela a união dos conjuntos dos racionais e dos
irracionais, ou seja: R = Q I.
Observações: todos esses conjuntos supracitados são compostos de infinitos elementos.
Existem algumas simbologias adotadas que valem para os conjuntos que contém os
elementos citados. Abaixo vai ser exemplificado só para o conjunto dos reais:
R* Conjunto dos reais, excluindo o número 0.
R- Conjunto dos reais, excluindo os números positivos (zero incluso).
R+ Conjunto dos reais, excluindo os números negativos(zero incluso).
R*+ Conjunto dos reais, excluindo os números negativos e o zero.
R*- Conjunto dos reais, excluindo os números positivos e o zero.
Devemos observar também que: N Z Q R.
Sentença declarativa É aquela que exprimi uma certeza que pode ser uma
afirmação ou uma negação. Uma sentença não pode ser simultaneamente falsa
(F) e verdadeira (V).
Exemplos
O triângulo é um polígono de três lados!
A equação: x4 – 2x3 + 1 = 0 não é biquadrada!
Sentença aberta É aquela que usa proposição cujo sujeito é uma variável.
Exemplos
a) x + 1 = 6
b) Ele foi presidente do Brasil!
c) No primeiro exemplo acima, x = 5 torna a sentença verdadeira (V), qualquer outro
valor a torna falsa (F).
d) No segundo exemplo, se “ele” = Aécio Neves, torna a sentença falsa (F) e se “ele” =
Lula, torna a sentença verdadeira (V).
Conjunto universo É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos
envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U
(contém todos os valores possíveis para as incógnitas na resolução de um
problema). Dizemos também que, quando uma sentença aberta se transforma
numa sentença declarativa, o sujeito da sentença é elemento desse conjunto-
universo. O conjunto universo é geralmente simbolizado pela letra maiúscula U.
Exemplos
a) Na sentença aberta “2x – 4 = 6”, o conjunto universo é igual ao conjunto dos números
inteiros relativos, ou seja, U = Z.
b) Na sentença aberta “O dia da semana x é o mais cansativo”, o conjunto universo é
formado pelos dias da semana, ou seja:
U = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}
Conjunto verdade O conjunto verdade (V), também denominado conjunto solução
(S) é formado de elementos que convertem uma sentença aberta numa sentença
declarativa. Os elementos do conjunto verdade também são chamados de raízes da
equação. O conjunto verdade é sempre um subconjunto do conjunto universo.
Exemplos
a) Na sentença aberta:
a) “No dia x do mês de dezembro comemora-se o Natal”
b) O conjunto universo será: U = {1, 2, 3, 4, . . . , 29, 30, 31} e o conjunto verdade será: V
= {25}.
c) Na sentença aberta:
“2 < x < 7, sendo x um número natural”
O conjunto universo será: U = N, o conjunto verdade será: V = {3, 4, 5, 6}.
Identidade É uma sentença aberta que exprime uma relação de igualdade
sobre conjuntos numéricos e o seu conjunto verdade coincide com o próprio
conjunto universo.
Exemplo
Seja a sentença aberta:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Tomando qualquer valor no conjunto Q para substituir a e b teremos sempre uma
relação de igualdade, logo U = Q, como também V = Q, logo: U = V.
Definição de equação
Com os conceitos dados anteriormente podemos agora definir equação:
Equações algébricas são aquelas nas quais a incógnita x está sujeita às operações
algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.
A forma canônica de uma equação algébrica é escrita da seguinte forma:
Onde n é um número inteiro positivo.
Como vamos trabalhar com equações do 1º e 2º graus vamos definir o que vem a ser
grau de uma equação.
Exemplos:
a) 3x² - 2x + 5 = 0 é uma equação do 2º grau, 3x2 é o termo dominante.
Equação é uma sentença aberta que exprime uma relação de igualdade sobre
conjuntos numéricos, envolvendo expressões matemáticas e o seu conjunto
verdade é um subconjunto do conjunto universo.
ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0
Grau de uma equação é o maior expoente da incógnita em uma equação algébrica
e o termo que tem o maior grau é chamado de termo dominante.
b) 2x -3 = 0 é uma equação do 1º grau, o termo dominante é 2x.
Observação: nesse exemplo, o expoente é igual a 1. A equação poderia até ser escrita
como: 2x1 – 3 = 0, mas como um número elevado a 1 dá ele mesmo, não se costuma
colocar o expoente 1.
d) ax5 + bx3 +1 = 0 é uma equação do 5º grau, o termo ax5 é o dominante.
Membros de uma equação
Como toda equação tem explícito o sinal de igualdade “=”, os termos que estão à
esquerda desse sinal constituem o primeiro membro (ou membro da esquerda) e os que
estão do lado direito da igualdade constituem o segundo membro (ou membro da
direita). A incógnita representa um numero que não sabemos qual é, geralmente ela é
representada pela letra x. A palavra incógnita quer dizer desconhecida.
Exemplos
Na equação: x2 + 2x = x – 1, os termos x2 + 2x constituem o primeiro membro e os
termos x – 1 formam o segundo membro. A incógnita é o x.
Na equação: x + 2 = y + 3x – 2, os termos x + 2 constituem o primeiro membro e os
termos y + 3x – 2 formam o segundo membro. As incógnitas são x e y.
Raízes de uma equação
Raiz de uma equação é todo elemento que pertence ao seu conjunto verdade.
Exemplo
Na equação: 2x - 3 = 7 a raiz é 5 pois substituindo esse valor para a incógnita x,
obtemos:
2 . 5 - 3 = 7 10 – 3 = 7 7 = 7
Logo seu conjunto verdade é: V = {7}
Equações equivalentes
São aquelas que admitem o mesmo conjunto verdade.
Exemplo
Determinar o conjunto verdade das equações:
3x - 1= 8 (I)
x + 2 = 5 (II)
Podemos verificar que o conjunto verdade da equação (I) é 3, pois:
3. 3 – 1 = 8 9 – 1 = 8 8 = 8
Verificando esse valor na equação (II), obtemos:
3 + 2 = 5 5 = 5
Assim concluímos que as duas têm o mesmo conjunto verdade V = {3}, logo elas são
equivalentes.
Regras de equivalência
Na hora de resolver equações, às vezes devemos lançar mão de duas regras básicas que
auxiliam na determinação do conjunto verdade.
R.1 – Somando-se (ou subtraindo-se) o mesmo número (ou a mesma expressão) aos dois
membros de uma equação, obtém-se uma nova equação equivalente à primeira.
Exemplo
x – 3 = 13 (III)
Repare que o conjunto verdade da equação (III) é V = {16}, pois:
16 - 3 = 13 13 = 13
Somando +3 a ambos os membros da equação (III), obtemos:
x – 3 + 3 = 13 +3
Efetuando as operações, teremos:
x + 0 = 16 x = 16
O conjunto verdade dessa última equação também é V = {16}.
Observação: Quando somamos +3 a ambos os membro é o mesmo efeito que transpor o
-3 da equação (III) do primeiro para o segundo membro com sinal contrário. Assim
quando transpomos um termo que está somado (ou subtraído) a outro, do primeiro
membro para o segundo (e vice-versa) devemos mudar seu sinal.
R.2 – Multiplicando-se (ou dividindo-se) ambos os membros de uma equação por um
mesmo número (ou uma mesma expressão), diferente de zero, obtém-se uma nova
equação equivalente à primeira.
Exemplo
= 10 (IV)
Repare que o conjunto verdade da equação (IV) é V = {50}, pois:
= 10 10 = 10
Multiplicando ambos os membros da equação (IV) por +5, obtemos:
5.( ) = 5.10 x = 50
Essa última equação tem o mesmo conjunto verdade V = {50}, da equação (IV).
Observação: Quando multiplicamos ambos os membros da equação (III) por +5 é o
mesmo efeito que transpor o 5 que está dividindo o primeiro membro, para o segundo
membro com operação inversa, isto é, multiplicando. Assim quando transpomos um
termo que está dividindo um membro para o outro esse passa multiplicando o mesmo e
vice-versa.
Resolução de equações
Resolver uma equação é determinar a sua solução, podemos dizer também que é achar
um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa
igualdade numérica verdadeira.
4.2. Equações do primeiro grau
Objetivo
Definir e resolver equações do primeiro grau.
4.2.1. Definição
Chama-se equação do 1º grau, na incógnita (ou variável) x, a toda equação da forma:
Onde: a e b e a ≠ 0.
4.2.2. Resolução de equações do primeiro grau
Para verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma equação, basta
substituirmos a incógnita por esse número. Se o valor substituído tornar a sentença
verdadeira então ele é raiz da equação.
Exemplos
a) Verificar se 4 é raiz da equação: 2x – 3 = x + 2.
Substituindo o valor de x por 4 na equação dada, teremos:
2.4 – 3 = 4 + 2
8 – 3 = 6
5 = 6?
Como a sentença não é verdadeira então 4 não é raiz da equação.
b) Verificar se 5 é raiz da equação: 2 + 3x = 5x – 8
Substituindo o valor de x por 5 na equação dada, obtemos:
ax + b = 0
2 + 3.5 = 5.5 – 8
2 + 15 = 25 – 8
17 = 17!
Como a sentença é verdadeira então 5 é raiz da equação dada.
A resolução de uma equação do 1º grau é baseada nas regras de equivalência citadas no
início dessa Unidade.
Exemplos
a) Resolver a equação: x – 7 = 2
Nesse caso aplicamos a regra da adição (princípio aditivo), transpondo o (-7) para o
segundo membro, lembrando-se que o sinal será trocado, ficando:
x = 2 + 7
Efetuamos então a soma algébrica, obtendo-se:
x = 9
A raiz da equação (ou o conjunto verdade) será V ={9}.
b) Resolver a equação: 3x – 4 = 5
Primeiramente aplicamos a regra da adição e efetuamos a soma algébrica, onde teremos:
3x = 5 + 4 3x = 9
Aplicamos a regra da multiplicação, o elemento que está multiplicando o primeiro termo
passará dividindo o segundo termo, ou seja:
x = x = 3
Assim a raiz (conjunto verdade) da equação dada é: V = {3}.
c) Determinar o conjunto verdade da equação: 3.(4x – 2) = 2(x -1) + 2
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação teremos:
3.4x + 3.(-2) = 2*x + 2.(-1) + 2
12x – 6 = 2x – 2 + 2
Aplicando a regra aditiva, isolamos as incógnitas no primeiro membro e as constantes
no segundo membro, obtendo-se:
12x – 2x = -2 + 2 + 6
10 x = 6 x =
O conjunto verdade será: V = .
d) Resolver a equação:
Primeiramente devemos determinar o m.m.c. dos denominadores:
m.m.c. (4, 2, 3) = 12
Dividimos 12 por cada denominador e multiplicamos o resultado por cada numerador,
obtendo-se:
Multiplicando ambos os membros por 12 e efetuando as operações, teremos:
9x – 12x + 6 = 10x – 4 + 12
Transpondo as incógnitas para o primeiro membro e as constantes para o segundo
membro, obtemos:
9x – 10x = -4 + 12 - 6
-x = 2
Usando o princípio multiplicativo, teremos:
A raiz (conjunto verdade) será: V = {-1}.
e) Resolver a equação:
O m.m.c. (2, 3, 6) é 12, reduzindo ao mesmo denominador e aplicando o princípio aditivo
e o multiplicativo, teremos:
6x + 4(x – 1) = 10x 6x + 4x - 4 = 10x 10x – 10x = 4 0x = 4
Não existe nenhum número que multiplicado por 0 cujo resultado é 4. Concluímos que
essa equação não tem solução, logo seu conjunto verdade será: V = .
f) Determinar conjunto verdade da equação:
O m.m.c. (3,6) é 6, aplicando o princípio aditivo e multiplicativo e efetuando as
operações, teremos:
6.(2x – 1) = 3.(4x - ) 12x - 6 = 12x – 6 12x – 12x = 6 – 6
0.x = 0
Nesse caso, nós vamos ter infinitos valores de x que satisfazem a equação dada, dizemos
então que a equação tem infinitas soluções. O conjunto verdade será o conjunto dos
números reais, ou seja: V = {R}
Observação
Exercícios
Resolver as equações:
1) (r: V = {60})
2) 5.(x-1) + 2.(x-3) + x = 5 (r: V = {2})
3) (r: V = )
4) (r: V = )
5) (r: V = }
6) (r: V = {R})
Equações em que qualquer valor atribuído à variável
torna a equação verdadeira, são denominadas
identidades.
Observação
4.2.3. Aplicações das equações do primeiro grau
Objetivo
Resolver problemas do primeiro grau com a utilização de equações.
Problemas do primeiro grau
Para facilitar a resolução de certos problemas devemos traduzi-los da linguagem escrita
para a linguagem matemática. Nesses tipos de problemas, para simplificar os passos,
podemos seguir quatro itens básicos:
1) Expressar o problema corretamente numa linguagem matemática (que é sua
equação).
2) Saber identificar o conjunto universo do seu problema.
3) Resolver a equação.
4) Verificar se o resultado encontrado pertence ao conjunto universo do problema.
Exemplo
a) Determinar um número real que somado com 5 é igual à sua terça parte.
Como determinado no problema, o conjunto universo é R (reais).
Sendo x o número procurado, a expressão matemática será:
Aplicando o princípio multiplicativo e o aditivo e efetuando as operações, teremos:
Ao resolver uma equação do 1º grau podemos achar
uma raiz (conjunto verdade unitário), nenhuma raiz
(conjunto verdade vazio) ou infinitas raízes (conjunto
verdade igual ao conjunto dos reais).
3(x + 5) = x 3x + 15 = x 2x = -15
Como a raiz encontrada pertence ao conjunto universo dado, então o conjunto verdade
será: V = {-7,5}
b) Achar o número inteiro que somado com sua quarta parte é igual a 18.
Primeiro sabemos que o conjunto universo é Z (inteiros).
Sendo x o número procurado, a expressão matemática será:
Aplicando o princípio multiplicativo e efetuando as operações, teremos:
3x + x = 54 4x = 54
A raiz encontrada é um número fracionário, logo não pertence ao conjunto dos números
inteiros, logo o conjunto verdade será: V = .
c) Júlia foi ao supermercado e pagou por um mamão e um abacaxi a quantia de R$ 5,20.
Sabendo-se que o abacaxi é R$ 0,40 mais caro que o mamão, quanto custou cada
fruta?
Aqui não está explicitado o conjunto universo, mas como o problema está tratando de
dinheiro e esse tem os centavos, que é uma parte fracionária, então consideramos R
(reais) o conjunto universo.
Considerando x como o preço do mamão. Como o abacaxi é R$ 0,40 mais caro que o
mamão, o seu preço será x + 0,40. Montamos então a equação:
x + x + 0,40 = 5,20
Resolvendo a equação, teremos:
2x = 5,20 – 0,40 2x = 4,80 x = 2,40
Logo o preço do mamão será R$ 2,40 e o preço do abacaxi será: 2,40 + 0,40 = R$ 2,80.
Resposta: o mamão custou R$ 2,40 e o abacaxi custou R$ 2,80.
d) Joãozinho perguntou à professora qual era sua idade e ela respondeu:
- Se ao triplo da minha idade eu acrescentar 4 anos, ainda faltarão 6 anos para eu
completar um século de idade. Qual é a idade da professora?
Sabemos que não existe idade negativa e nem pessoas com zero ano de idade, mas uma
pessoa pode ter 6 anos e meio de idade, logo podemos considerar como R*+ o conjunto
universo desse problema.
Considerando como x a idade da professora, a expressão matemática será:
3x + 4 = 100 - 6
Usando o princípio aditivo e o multiplicativo, teremos:
3x + 4 = 94 3x = 90 x = 30
Como a raiz pertence ao conjunto universo, a resposta é: a idade da professora é 30
anos.
Exercícios
1) O Sr. José recebeu seu salário e foi no supermercado gastando lá um terço do seu
salário. Em seguida ele pagou todas suas contas do mês, gastando a metade do seu
salário e sobrou R$ 400,00. Qual era o salário do Sr. José? (r: R$ 2400,00)
2) Uma herança de R$ 29.000,00 deve ser repartida para três pessoas. Margarida
receberá certa quantia; João receberá o dobro da quantia de Margarida e Vicente
receberá o triplo da quantia de João mais R$ 2.000,00. Quanto receberá cada
pessoa?
(r: Margarida receberá R$ 3.000,00, João receberá R$ 6.000,00 e Vicente receberá R$
20.000,00).
3) Três garotos, Pedro, Luiz e Léo possuem juntos 240 figurinhas. Luiz tem o triplo de
figurinhas que Pedro e 30 a menos que a quantidade de figurinhas de Léo. Calcular o
número de figurinhas de cada garoto.
(r: Pedro tem 30 figurinhas, Luiz tem 90 figurinhas e Léo tem 120 figurinhas).
5) Lucas pagou uma conta de R$ 5,90 com 16 moedas; umas de R$ 0,50 e outras de
R$ 0,20. Calcular a quantidade de moedas de cada espécie.
(r: Sete moedas de R$ 0,20 e nove moedas de R$ 0,50).
4.3. Equações do segundo grau
Objetivos
Definir equações do segundo grau.
Resolver equações do segundo grau.
4.3.1. Definição
Chama-se equação do 2º grau, na incógnita (ou variável) x, a toda equação da forma:
Onde: a, b, c e a ≠ 0.
A relação (A) denomina-se forma geral ou normal e as letras a, b e c são os parâmetros
ou coeficientes (esses podem ser números ou letras).
Exemplos:
Na equação 3x2 - 5x + 7 = 0, temos: a = 3, b = -5 e c = 7.
Na equação (m – n)x2 + mx + (2n + 5) = 0, temos: a = (m – n), b = m e c = (2n + 5).
Observações:
ax2 + bx + c = 0 (A)
Se o coeficiente de x2 da equação (A) for negativo
multiplica-se toda a equação por (-1) e os seus
termos mudarão de sinal.
O termo c é denominado termo independente ou
constante.
Se os coeficientes são números a equação diz-se
numérica, se aqueles forem letras ela diz-se literal.
4.3.2. Tipos de equações:
Equações completas: são aquelas que, na forma geral, têm todos os coeficientes
diferentes de zero.
Exemplo
5x2 – 4x -12 = 0 a, b e c ≠ 0
Equações incompletas: são aquelas que têm pelo menos um dos coeficientes
(exceto o coeficiente a) iguais a zero.
Exemplos
2x2 – 6x = 0 com c = 0
-x2 + 12 = 0 com b = 0
6x2 = 0 onde temos b = 0 e c = 0
4.3.3. Determinação de raízes
Objetivo
Determinar as raízes de uma equação do segundo grau da forma ax2 + c = 0.
Determinar as raízes (ou resolver uma equação do 2º grau) consiste em achar o
conjunto verdade (ou conjunto solução). No conjunto dos números reais, o conjunto
verdade pode ter um elemento, dois elementos ou então nenhum elemento (conjunto
vazio). Esse último acontece quando, ao resolver uma equação, o resultado envolver a
extração da raiz quadrada de um número negativo.
Na resolução de algumas equações do 2º grau usamos técnicas de fatoração e duas
propriedades dos números reais:
Podem ocorrer três casos de determinação de raízes:
1. Raízes de Equações incompletas da forma ax2 + c = 0
Transpomos a constante para o segundo membro, que é o mesmo que somar (– c) a
ambos os membros, ou seja:
ax2 + c – c = 0 – c ax2 = - c
Nessa última equação, como o termo do primeiro membro está elevado ao quadrado,
esse será sempre positivo. Então se o termo do segundo membro for negativo não temos
solução no conjunto dos reais e o conjunto verdade será vazio.
Se o segundo membro for positivo o conjunto verdade terá dois elementos (duas raízes
simétricas):
ou, de outra maneira: x1 = e x2 = e o conjunto verdade
será:
Exemplos
Resolver as equações:
Colocação de termos em evidência.
Exemplo: ax2 + bx = x(ax + b)
Propriedade 1: Se x e y e x.y = 0 então x = 0 ou y = 0
(ou seja, se o produto de dois fatores é zero então um dos dois
fatores é igual a zero).
Propriedade 2: Se x e y e x2 = y então
a) 3x2 – 12 = 0
Transpondo a constante para o segundo membro (com mudança de sinal), temos:
3x2 = 12
Dividindo ambos os membros pelo coeficiente de x2, obtemos:
x2 = 4
Extraindo as raízes, fica:
x1 = -2 e x2 = 2
O conjunto verdade será: V = {-2, 2}
b) 4x2 – 5 = 0
De maneira análoga ao item (a), fazemos:
4x2 = 5
x2 =
x = = x1 ≈ -1,11 e x2 ≈ 1,11
Obs.: como a raiz calculada não é exata usamos o símbolo ≈ (aproximadamente igual)
O conjunto verdade será: V = {-1,11, 1,11)
c) –6x2 + 24 = 0
Como o coeficiente de x2 é negativo, multiplicamos a equação por (-1), ficando:
6x2 – 24 = 0
6x2 = 24
x2 = 4 x1 = -2 e x2 = 2
Teremos o conjunto verdade: V = {-2, 2}
d) 5x2 + 20 = 0
5x2 = -20
x2 = -4
Como o segundo membro é negativo, não temos raízes no corpo dos reais.
O conjunto verdade será: V = { } ou V =
Exercícios
Determine as raízes das equações:
a) 9x2 – 1 = 0 (r: V = )
b) 4x2 – 5 = 2x2 - (r: V = )
c) 3x2 - 4 = x2 – 5 (r: V = )
d) (r: V = )
4.3.4. Raízes de Equações incompletas da forma ax2 + bx = 0
Objetivos
Determinar as raízes de uma equação do segundo grau da forma ax2 +
bx = 0.
Determinar as raízes de uma equação do segundo grau da forma ax2 +
bx +c = 0.
Para resolver equações desse tipo a primeira coisa a fazer é colocar x em evidência,
obtendo um produto de dois fatores. Temos então:
ax2 + bx = 0 x (ax + b) = 0
Em seguida usamos a propriedade supracitada do produto de números reais, que diz:
“se o produto de dois fatores é zero então um dos dois fatores é igual a zero”.
x (ax + b) = 0 x = 0 ou ax + b = 0, encontrando então a solução:
x = 0 e
ax + b = 0 x = , o conjunto verdade será:
V =
Exemplo
Resolver as equações: 5x2 -20x = 0
Fatorando a expressão do primeiro membro (colocando 5x em evidência), teremos:
5x (x – 4) = 0
Igualando cada fator a zero, obtemos:
5x = 0 x = 0
(x – 4 ) = 0 x = 4
Logo o conjunto verdade será: V = {0, 4}
Exercícios
Resolver as equações:
a) 20x2 – x = 0 (r: V = )
b) 3x2 + 12x = 0 (r: V = {-4, 0})
c) (x + 2).(x - 4) = -8 (r: V = {0, 2})
4.3.5. Raízes de Equações completas da forma ax2 + bx + c = 0
Para achar o conjunto verdade usamos a dedução da fórmula de Bhaskara que se baseia
no objetivo de transformar essa última equação noutra equivalente de modo que o
primeiro termo seja um quadrado perfeito.
Seguem os passos para essa transformação:
1) Multiplicaremos ambos os membros por 4a:
(ax2 + bx + c).4a = 0.4a
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
2) Passando 4ac para o segundo membro:
4a2x2 + 4abx = - 4ac
Para o primeiro membro ser um trinômio quadrado perfeito, vamos recorrer a um
esquema aprendido a partir dos produtos notáveis:
Assim deduzimos que: = b m = b2
3) Logo somaremos b2 a ambos os membros, ficando:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
O primeiro membro agora é um trinômio quadrado perfeito.
4) Fatorando o primeiro membro, teremos:
(2ax + b)2 = b2 – 4ac
5) Como o objetivo é determinar o valor de x, extraímos a raiz quadrada dos dois
membros:
6) Para explicitar o termo em x no primeiro membro, passamos b para o segundo
membro, obtendo:
Para ficar somente x no primeiro membro, dividimos ambos os membros por 2a,
obtendo-se:
aacbbx
242 (B)
4a2x2 + 4abx +
m
ma24
2a
2.2ab
4ab
Essa é a chamada fórmula resolutiva da equação do 2º grau ou fórmula de
Bhaskara.
Podemos expressar a equação (B), explicitando as raízes, da seguinte forma:
O termo dentro do radical é chamado de discriminante ou delta e é indicado por essa
letra grega, ou seja:
Dependendo dos coeficientes de uma equação do 2º grau, o discriminante pode ser
positivo, igual a zero ou negativo.
Vamos determinar as raízes analisando então esses três casos que acontecem.
I) O discriminante é positivo ( > 0)
Nesse caso nós teremos duas raízes distintas e podemos representá-las por x’ e x’’ ou
por x1 e x2.
O conjunto verdade será dado por:
V =
Exemplos
Resolver as equações:
a) x2 – 7x + 12 = 0
= b2 – 4ac (C)
x1 = e x2 =
Nesse caso: a = 1, b = -7 e c = 12
Determinando o discriminante:
= b2 – 4ac = (-7)2 – 4.1.12 = 49 – 48 = 1
Achando as raízes:
x’ =
x’’ =
O conjunto verdade será: V = {3, 4}
b) 5x2 + 11x + 2 = 0
Nesse caso: a = 5, b = 11 e c = 2
Determinando o discriminante:
= b2 – 4ac = (11)2 – 4.5.2 = 121 – 40 = 81
Achando as raízes:
x1 =
x2 =
O conjunto verdade será: V =
II) O discriminante é nulo ( = 0)
Substituindo o valor do discriminante na equação (B), teremos:
Nesse caso, dizemos que temos uma raiz dupla.
Exemplo
Resolver a equação: x2 – 6x + 9 = 0
Nesse caso: a = 1, b = -6 e c = 9
Determinando o discriminante:
= b2 – 4ac = (-6)2 – 4.1.9 = 36 – 36 = 0
Achando as raízes:
x1 =
x2 =
Logo temos x1 = x2 = x = 3, uma raiz dupla.
O conjunto verdade será: V = {3}
III) O discriminante é negativo ( < 0)
Ao substituir o valor desse discriminante na equação (B), não podemos extrair a raiz
quadrada de um número negativo. Assim concluímos que toda equação do segundo grau
com < 0 não admite nenhuma raiz real e, por conseguinte o seu conjunto verdade será
vazio.
Exemplo
Resolver a equação: x2 + 3x + 7 = 0
Nesse caso: a = 1, b = 3 e c = 7
Determinando o discriminante:
= b2 – 4ac = (3)2 – 4.1.7 = 9 – 28 = -19
Achando as raízes:
x1 = x2 =
Como, no cálculo das raízes, está envolvida a raiz quadrada de um número negativo,
concluímos que essa equação não tem raízes reais.
O conjunto verdade será então: V = Ø
Exercícios
Resolver as equações:
1) –x2 + 3x – 2 = 0 (r: V = {1, 2}
2) 3x2 – 2x – 4 = 0 (r: V = Ø)
3) 4x2 – 4x = -1 (r: V = )
4) 2x2 – x +3 = 0 (r: V = )
5) (r: V = {2, 3})
4.3.6. Relações entre os coeficientes e as raízes
Objetivo
Estabelecer as relações entre os coeficientes e as raízes.
4.3.6.1. Soma das raízes (S)
Vimos anteriormente que as raízes de uma equação do 2º grau são:
Somando os termos, membro a membro, teremos:
x1 + x2 = +
x1 + x2 =
x1 = e x2 =
Fazendo a simplificação, resultará:
Podemos definir então a relação das somas das raízes:
4.3.6.2. Produto das raízes (P)
Analogamente ao que foi feito na soma de raízes, agora realizaremos o produto das
raízes x1 e x2, ou seja:
Multiplicando os termos, membro a membro, teremos:
x1 . x2 =
A multiplicação dos numeradores irá envolver o produto da soma pela diferença de dois
termos, é um produto notável, cujo resultado é o quadrado do primeiro termo menos o
quadrado do segundo termo. Obtemos então:
x1 . x2 =
Fazendo a simplificação, resultará:
A soma das raízes de uma equação
do segundo grau é igual a: .
x1 + x2 = (D)
x1 . x2 = (E)
Podemos definir então a relação do produto das raízes:
Das relações (D) e (E) determinadas, fazemos:
S = x1 + x2 e P = x1. x2
Substituindo os valores das relações (D) e (E), teremos:
S = (F)
P = (G)
Se da equação completa: ax2 + bx + c = 0, dividirmos ambos os membros por a, teremos:
(H)
Substituindo os valores de (F) e (G) em (H), obtemos:
Essas relações estudadas nos ajudam a relacionar as raízes e também a fazer o caminho
inverso, ou seja, determinar uma equação do 2º grau dadas as raízes.
Exemplos
O produto das raízes de uma equação
do segundo grau é igual a: .
x2 – Sx + P = 0 (I)
a) Sem resolver a equação 2x2 – 4x + 8 = 0, calcular a soma e o produto das raízes.
A soma das raízes é dada por:
x1 + x2 =
O produto das raízes é dado por:
x1 . x2 =
b) Dadas as raízes x1 = - 4 e x2 = 7, formar a equação do segundo grau.
A soma S = -4 + 7 = 3
O produto P = (-4).(7) = -28
Substituindo esses valores na equação (I), teremos:
x2 – 3 – 28 = 0
c) Calcular m na equação x2 + 8x + m = 0 de modo que uma raiz seja o triplo da
outra.
Pelos dados do problema, temos:
x1 + x2 =
x1 . x2 =
x1 = 3x2
Substituindo x1 por 3x2 na primeira equação, teremos:
3x2 + x2 = -8 4x2 = - 8 x2 = -2
Como x1 = 3x2 então x1 = 3.(-2) = -6
Como P = x1.x2 = (-6).(-2) = 8 e m é o mesmo valor de P, então:
m = 8
E a equação será: x2 + 8x + 12 = 0
Exercícios
a) Determinar a equação do 2º grau cujas raízes são: x1 = -5 e x2 = .
(r: 2x2 + 11x + 5)
b) Calcular o valor de k na equação x2 + kx - 15 = 0, sabendo-se que a soma das raízes é
igual a 2.
(r: k = -2)
4.3.7. Equação biquadrada
Objetivos
Especificar o conceito de equação biquadrada.
Determinar as raízes de uma equação biquadrada.
Definição
Observação:
Por exemplo, as equações: 2x4 + 4x3 + 3 = 0 e 5x4 + 6x2 + 3x + 4 = 0 não são biquadradas.
Raízes de uma equação biquadrada
Temos a equação biquadrada:
Uma equação é dita biquadrada se ela é do quarto grau, com uma só incógnita e
pode ser expressa na forma:
ax4 + bx2 + c = 0, com a, b, c e a ≠ 0.
ax4 + bx2 + c = 0(K)
Uma equação biquadrada não contém potências
ímpares da incógnita.
Fazendo-se x2 = y e substituindo na equação (K), obtemos:
A equação (L) é do segundo grau, que já aprendemos a resolver e cuja solução é:
Como fizemos x2 = y e queremos determinar x, explicitamos x em função de y, ou seja:
Se x2 = y então , levando esse valor em (M), teremos:
Cada valor positivo de y corresponde a duas raízes reais e
simétricas. Se y for negativo não é possível determinar raízes reais.
Exemplos
Resolver:
a) x4 – 10x2 + 9 = 0
Fazendo x2 = y e substituindo na equação dada, teremos:
y2 – 10y + 9 = 0
Determinando as raízes pela fórmula de Bhaskara:
y1 =
y2 =
Obtemos então duas raízes positivas para y, vamos determinar então os valores de x:
(M)aacbby
242
ay2 + by + c = 0 (L)
x1 =
x2 =
x3 =
x4 =
O conjunto verdade será então: V = {-3, -1, 1, 3}
Concluímos que a equação biquadrada é o resultado do produto:
(x - 1).(x + 1).(x - 3).(x + 3)
b) 3x4 + 2x2 + 1 = 0
Fazendo x2 = y e substituindo na equação dada, teremos:
3y2 + 2y + 1 = 0
Determinando as raízes pela fórmula de Bhaskara:
y1 =
y2 =
Nos dois casos acima teríamos que determinar a raiz quadrada de um número
negativo, logo podemos concluir que não existem raízes reais.
O conjunto verdade será então: V = Ø
c) x4 – 4x2 + 4 = 0
Fazendo x2 = y e substituindo na equação dada, teremos:
y2 - 4y + 4 = 0
Determinando as raízes pela fórmula de Bhaskara:
y1 =
y2 =
Como y1 = y2, teremos o caso de raiz dupla, então:
x1 = x2 =
x3 = x4 =
O conjunto verdade será: V =
Concluímos que a equação biquadrada dada é resultado do produto:
Exercícios
Resolver as equações biquadradas:
1) x4 – 5x2 + 4 = 0 (r: V = {-2, -1, 1, 2}
2) 2x4 – 10x2 + 12 = 0 (r: V = )
3) x4 – 2x3 – 4 = 0 (r: não é equação biquadrada)
4) x4 – 2x2 + 5 = 0 (r: V = Ø)
5) x4 – 8x2 + 7 = 0 (r: V = )
4.3.8. Aplicações das equações do 2º grau
Objetivo
Resolver problemas do segundo grau com o uso de equações.
Veremos a seguir algumas das aplicações da equação do 2º graus.
4.3.8.1. Resolução de problemas do 2º grau
Na resolução de problemas desse tipo, devemos seguir alguns passos:
Saber montar a equação, traduzindo a linguagem escrita para a linguagem
matemática;
Determinar as raízes da equação;
Analisar o resultado para determinar a solução.
Observação: Às vezes podem ser encontradas duas raízes, mas nem sempre as duas
satisfazem o objetivo do problema em questão (principalmente quando tratamos com:
unidades de medidas, pessoas, números inteiros etc.). Também tem algumas dicas que
podem ser adotadas ao se trabalhar com variáveis:
1) Escolha de um número ou uma incógnita: normalmente usa-se x (mas podemos
usar qualquer letra).
2) Consecutivo de um número: usa-se x + 1 e antecessor usa-se: x – 1.
3) Inverso de um número: .
4) Para o quadrado de um número podemos usar x2.
5) O dobro de um número pode ser definido como 2x.
6) Um número multiplicado por sua quarta parte:
7) Se a soma de dois números é 20 então um número será x e o outro será 20 – x.
8) Se o produto de dois números 20 então um número é x e o outro será .
9) Devemos sempre dar preferência de usar apenas uma incógnita para a resolução
se tornar mais simples, evitando usar um sistema de equações.
Exemplos
a) Determine um número que multiplicado por seu quádruplo é igual a 676.
Seja um número x, o seu quádruplo será 4 . x = 4x. Montamos a linguagem
matemática, para resolver esse problema:
x . 4x = 676 4x2 = 676
Passando 676 para o primeiro membro, teremos:
4x2 - 676 = 0
Esta é uma equação do 2º grau incompleta que já estudamos e onde a = 4, b = 0 e c = -
676. Resolvendo-a:
x1 =
x2 =
Conferindo os resultados:
(-13).4.(-13) = (-13).(-52) = 676
(13).4.(13) = 13.52 = 676
Logo o conjunto verdade será: V = {-13, 13}
b) Numa lanchonete, a conta de uma turma de jovens deu R$ 280,00 e ela iria ser
dividida em partes iguais. Mas, na hora de pagar, 3 jovens disseram que tinham
só cartão de crédito e aquele estabelecimento não aceitava aquela forma de
pagamento. Então a cota de cada um dos que iriam pagar ficou aumentada de R$
12,00. Quantos jovens haviam na lanchonete?
Se chamarmos a quantidade total de jovens de x, cada um deles ia pagar a quantia de
(cota inicial). Com a não contribuição de 3 pessoas a quantia a ser paga por cada um
dos outros será de (cota final).
Logo, cota final – cota inicial = 12 , ou seja:
- = 12
Tirando o m.m.c. e simplificando, teremos:
840 = 12x2 - 36 x
Dividindo ambos os membros por 12, obtemos:
70 = x2 - 3x x2 - 3x - 70 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau encontrada, fica:
x1 =
x2 =
Como a quantidade de pessoas não pode ser um número negativo, nossa solução será:
10 jovens.
c) Determinar três números consecutivos cuja soma deles acrescida de 12 unidades
é igual ao produto dos dois menores.
Se um número é x, os consecutivos serão: (x + 1) e (x + 2). Armando a sentença
matemática que atende ao problema em questão, fica:
x + (x + 1) + (x + 2) + 12 = (x).(x + 1)
Efetuando as operações, obtemos:
3x + 3 + 12 = x2 + x
Passando os termos para o segundo membro, fica:
3x + 15 = x2 + x x2 - 2x -15 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima, obtemos:
x1 =
x2 =
Logo temos duas respostas: os números são -3, -2 e -1 ou então são os números 5, 6 e 7.
Exercícios
1) (CEFET/91 - 2ª FASE) Um pedaço de arame de 44 cm de comprimento é cortado em
duas partes e cada parte é dobrada em forma de um quadrado. A soma das áreas dos
dois quadrados é 61cm2. Calcule as medidas dos lados dos quadrados.
(r: 5 cm e 6 cm)
2) (U. E. Londrina 1997) Um comerciante comprou um lote de camisas por R$
600,00. Se ele tivesse feito negócio com outro fabricante, com a mesma quantia teria
comprado 20 camisas a mais, cada uma delas custando R$ 1,50 a menos. Quanto custou
cada camisa do lote comprado?
(r: R$ 7,50)
4.3.8.2. Sistemas do 2º grau
Objetivo
Resolver sistemas do segundo grau.
Quando temos um sistema com duas equações, a equação final pode ser do segundo grau
então aquele é chamado sistema do 2º grau. Um sistema do 2º grau só pode ser
constituído de uma equação do 2º grau e outra do primeiro.
Exemplo
A soma de dois números é sete e o seu produto é 12. Determinar os dois números.
Para resolver esse problema montamos o seguinte sistema de duas incógnitas:
Escolhemos qualquer uma das duas equações, explicitamos uma incógnita numa
equação e substituímos seu valor na outra equação. Por exemplo, escolhendo a equação
(a), vamos determinar o valor de y:
x + y = 7 y = 7 – x (c)
Levando (c) em (b), teremos:
x.(7 – x) = 12 7x – x2 = 12 x2 – 7x + 12 = 0 (d)
A equação (d) é do 2º grau e completa. Resolvendo-a:
x1 =
x2 =
Logo, o conjunto verdade será: V = {3, 4}
Exercícios
1) Determinar dois números inteiros cuja diferença entre o maior e o menor é 6 e cuja
soma dos seus inversos é . (r: V = {8, 2}).
2) Resolver o sistema:
(r: V {3,2})
Vamos para a próxima unidade!
Matemática elementar Unidade V
Unidade V - Operações com fração
Problematizando
1) O que vem a ser: frações próprias, impróprias, aparentes, irredutíveis e
equivalentes?
2) Como representar frações por meio de figuras?
3) Como somar, subtrair, multiplicar e dividir frações?
4) Quais as aplicações do M.D.C. e do M.M.C. ao se trabalhar com frações?
5) O que são números decimais.
6) Como efetuar operações com os números decimais?
Introdução
Objetivos
Definir frações.
Especificar os tipos de frações.
Tanto as frações como os números decimais apresentam grande importância na nossa
vida, pois a aplicação daqueles está no nosso cotidiano. Quando vamos ao supermercado
e compramos ½ Kg de açúcar ou 1 ½ Kg de café ou ½ dúzia de ovos etc., estamos
trabalhando com frações. Ao lidarmos com nosso dinheiro operamos com frações e
números decimais.
5.1. Definições
Vamos inserir alguns conceitos básicos que precisaremos conhecer para,
posteriormente, operar com frações com mais habilidade.
5.1.1. Frações
Definição
A fração é representada por uma das seguintes formas:
Onde:
A é chamado de numerador e indica quantas partes a fração tem.
B é chamado de denominador e indica em quantas partes a unidade foi dividida.
Exemplos
a) A fração indica que a unidade foi dividida em 5 partes e nós temos 3 delas.
Nesse exemplo o numerador é 3 e o denominador é 5.
b) Podemos representar as frações por meio de figuras. Por exemplo: Júlia comeu
3/8 de um chocolate. Isso quer dizer que se o chocolate for dividido em 8 partes
iguais, Júlia comeu 3 dessas partes. Veja a figura que representa essa fração:
Frações são números que: indicam uma ou mais partes iguais de uma
unidade ou expressam quantidades em que os objetos estão partidos
(fracionados) em partes iguais e são representadas como o quociente de
dois números.
BAouBA / Com A, B N e B 0
Na figura acima, as partes amarelas representam aquelas que Júlia comeu (3/8) e a parte
branca é a que sobrou (5/8) do chocolate.
5.1.2. Leitura de frações
Objetivos
Ler frações.
Classificar as equações.
As frações recebem nomes especiais de acordo com os numeradores e denominadores
usados. Quando o denominador for maior que 10 acrescentamos a palavra avos1 ao
denominador.
Veja alguns exemplos:
um meio dois terços três quartos três quintos
cinco sétimos seis décimos sete dezoito avos
onze quinze avos sete trinta avos sessenta centésimos
oito milésimos três meios dezesseis nonos
1 Avos é uma palavra usada na leitura de frações e indica cada uma das partes em que foi dividida a unidade e cujo denominador é maior que 10.
Observação: Quando o denominador é múltiplo de 10 podemos acrescentar avos ao
denominador ou usar o substantivo ordinal correspondente ao denominador.
Exemplo
: podemos ler essa fração como um vinte avos ou um vigésimo.
5.1.3. Classificação das frações
Temos três tipos de frações:
a) Frações próprias: são aquelas cujo numerador é menor que o denominador e
elas representam números menores que um inteiro.
Exemplos:
Usando uma representação simbólica:
Obs: As frações cujos denominadores são potência de 10 (10, 100, 1000,...) são
chamadas de frações decimais.
Exemplos:
Representa a fração própria
b) Frações impróprias: são aquelas cujo numerador é maior que o denominador e elas
representam números maiores que um inteiro.
Exemplos:
A figura abaixo representa a fração imprópria .
Obs: As frações impróprias podem ser constituídas de uma parte inteira e uma parte
fracionária. Quando são escritas dessa maneira recebem o nome de frações mistas.
Exemplos:
c) Frações aparentes: são as frações cujo numerador é múltiplo do denominador.
Se dividirmos os numeradores dessas frações pelos seus respectivos
denominadores iremos obter valores inteiros.
Exemplos:
, que, na verdade, representam, respectivamente, os números: 3, 4 e 1.
Usando a representação em figura:
Exemplos
Representa a fração imprópria
Representa a fração aparente que é igual a 2, ou seja, 2 unidades.
a) b)
Podemos representar uma fração mista através de figuras. Por exemplo, vamos
representar a fração do item (a). Como o denominador é 4, concluímos que a unidade é
dividida em 4 partes e pela fração vemos que temos três unidades mais um quarto da
unidade. A fração, representada pela parte colorida, será:
d) Frações decimais: são aquelas frações cujos denominadores são potências de 10
(10, 100, 1000, . . .).
Exemplos
a) b) c)
5.1.4. Equivalência de frações
Objetivos
Estabelecer a equivalência de frações.
Frações equivalentes são aquelas que representam a mesma parte do todo. Quando
comparamos uma com a outra, verificamos que tanto o numerador como o denominador
é multiplicado pelo mesmo número.
Exemplo
As frações são equivalentes.
A segunda fração acima é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador da
primeira fração por 3 e a terceira fração acima é obtida multiplicando-se o numerador e
o denominador da primeira fração por 15.
Podemos representar por meio de figuras, frações equivalentes.
Na figura acima, as três frações são equivalentes. Observe que qualquer uma delas
representa a metade do todo (esse é o retângulo maior).
As duas últimas frações da figura foram obtidas da seguinte forma:
21
42
84
Então podemos deduzir que:
5.1.5. Simplificação de frações.
Objetivos
Simplificar frações.
Efetuar operações de adição e subtração de frações
Para simplificar uma fração devemos dividir, simultaneamente, o numerador e o
denominador por um fator comum. Esse fator comum, na verdade, é o M.D.C. do
numerador e denominador.
Exemplos
Simplificar as frações:
a)
O M.D.C. (15,3) = 3, então dividimos o numerador e o denominador por 3, obtendo-se:
b)
Para determinarmos frações equivalentes a uma fração dada devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.
O M.D.C. (49,14) = 7, então dividimos o numerador e o denominador por 7, obtendo-se:
c)
O M.D.C. (17,11) = 1, quando isso acontece dizemos então que a fração é irredutível.
Nos itens (a) e (b) acima as frações resultantes da simplificação efetuada, e ,
também são irredutíveis, pois M.D.C. (5,1) = 1 e M.D.C. (7, 2) = 1.
Podemos então definir:
5.2 Operações com fração
As operações básicas com frações que veremos são: adição, subtração, produto, divisão,
potenciação, radiciação e estudaremos também transformações de frações.
5.2.1. Adição e subtração frações
Podem ocorrer dois casos:
I) Os denominadores das frações adicionadas são iguais
a) Para somar frações com denominadores iguais, somamos os numeradores e
conservamos o denominador.
b) Para subtrair frações com denominadores iguais, subtraímos os numeradores e
conservamos o denominador.
Fração irredutível é aquela que o numerador e o denominador não têm nenhum
fator em comum, ou seja, M.D.C. (denominador, numerador) = 1.
Exemplos
a) b)
c) d)
e)
II) Os denominadores das frações são diferentes
Quando, ao somar ou subtrais frações, os denominadores forem diferentes, devemos
reduzir todas as frações ao mesmo denominador. Temos então que determinar o M.M.C.
dos denominadores para pode efetuar as operações de adição e/ou de subtração. Se a
fração resultante puder ser simplificada, devemos então fazer a simplificação.
Exemplo
Efetuar as operações:
a)
Nesse caso os denominadores são diferentes, vamos então determinar o M.M.C. dos
denominadores:
M.M.C. (5, 7) = 35, esse vai ser o denominador comum de todas as frações.
Devemos, em seguida, dividir o M.M.C. encontrado (35), pelo denominador de cada
fração e multiplicar o resultado obtido dessa divisão pelo respectivo numerador.
b)
Determinando o M.M.C. dos quatro denominadores:
M.M.C. (3, 4, 8, 12) = 24, esse vai ser o denominador comum de todas as frações.
c)
Determinando o M.M.C. dos quatro denominadores:
M.M.C. (14, 7, 4, 28) = 28, esse vai ser o denominador comum de todas as frações.
Como a fração resultante pode ser simplificada (pois M.D.C. (28, 6)= 2, dividimos o
numerador e o denominador por 2, obtendo:
Essa fração é irredutível e é então o nosso resultado.
Exercícios
Efetuar as operações:
a) (r: )
b) (r: )
c) ) Efeturar as operaç sarto.nte dar+ 1teira (3) pelo denominador
c) (r: )
d) (r: )
e) (r: )
f) (r: )
5.2.2. Multiplicação de frações
Objetivo
Realizar operações de multiplicação e divisão de frações.
Na multiplicação de frações, devemos multiplicar todos os numeradores das frações
envolvidas e devemos multiplicar também todos os denominadores. Para facilitar as
contas, podemos fazer simplificações com os números envolvidos, antes de efetuarmos
as multiplicações.
Exemplos
Efetuar os produtos:
a)
b)
Na operação acima, antes de efetuarmos as multiplicações, “cortamos” o 2 do numerador
com o 2 do denominador.
d) 2
Na operação acima “cortamos” o 4 do numerador com o 4 do denominador; cortamos o
7 do denominador com o 14 do numerador, sobrando 2 (pois 14 / 7 = 2). Obs.:
colocamos o 2 em cima do número 14 para mostrar onde foi feita a operação.
Exercícios
Faça as multiplicações abaixo:
1) (r: )
2) (r: )
3) (r: 4)
4) (r: )
5.2.3. Divisão de frações
Na divisão de duas frações, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da
segunda fração.
Exemplo
Efetuar as divisões:
a)
Você deve estar se perguntando:
- Por que invertemos a operação e uma das frações?
Vamos dar essa explicação através de um exemplo simples:
Note que na igualdade: = , passamos de uma divisão para a multiplicação do
inverso do segundo número e não alteramos o valor da fração original. Fazemos então
essa inversão para facilitar as operações.
Exercícios
Efetue as operações:
a) (r: )
b) (r: )
c) (r: )
d) (r: )
5.2.4. Potenciação (ou exponenciação) de frações
Objetivo
Realizar a operação de potenciação de frações.
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente,
devemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente.
Exemplos
Efetuar as seguintes potenciações:
a)
b)
c)
Que é o mesmo que:
d)
Que equivale a:
Exercícios
Efetue as potenciações:
1) (r: )
2) (r: )
3) (r: )
5.2.5. Radiciação de frações
Objetivos
Realizar a operação de radiciação de frações.
Reduzir números inteiros para frações impróprias.
Quando aplicamos uma determinada raiz a um número fracionário, aplicamos essa raiz
ao numerador e ao denominador.
Exemplos
Exercícios
Resolva:
1) (r: )
2) (r: )
3) (r: )
5.2.6. Transformações de frações
5.2.6.1. Redução de números inteiros para frações impróprias
Para reduzirmos um número inteiro a uma fração imprópria multiplicamos o número
inteiro por uma fração com denominador e numerador iguais à quantidade de partes
que vai ser dividida a unidade.
Exemplos
a) Reduzir 7 inteiros a terços.
Nesse caso a quantidade de partes é 3, então teremos:
, ou seja, sete inteiros são iguais a vinte e um terços.
b) Reduzir 9 inteiros a quartos.
Nesse caso a quantidade de partes é 4, logo:
, ou seja, nove inteiros são iguais a trinta e seis quartos.
5.2.6.2. Redução de número misto para fração imprópria
Objetivos
Reduzir número misto para fração imprópria.
Converter fração imprópria para número misto.
Para reduzirmos um número misto a uma fração imprópria, multiplicamos a parte
inteira da fração dada pelo denominador dela e adicionamos esse produto ao numerador
da fração e mantemos o mesmo denominador.
Exemplos
Reduzir os números mistos dados a frações impróprias:
a)
Seguindo a regra dada, multiplicamos a parte inteira (3) pelo denominador (5) e
somamos com o numerador (1), obtendo-se: (3 x 5) + 1 = 16. Esse resultado será o
numerador da nova fração, cujo denominador (5) será mantido, ou seja:
b)
Usando o mesmo raciocínio do item (a), teremos:
5.2.6.3. Conversão de fração imprópria para número misto.
Dividimos o numerador da fração dada pelo denominador. O quociente dessa divisão
será a parte inteira do número misto e o resto será o numerador da fração mantendo-se
o mesmo denominador.
Exemplos
Converter as frações abaixo em números mistos:
a)
Dividimos 37 por 4, o quociente dará 9 e o resto será 1, observe a divisão:
Assim: nove inteiros e um quarto.
b)
Dividimos 25 pelo denominador 7, o quociente dará 3 e o resto será 4, observe a divisão:
Logo: três inteiros e quatro sétimos.
denominador
numerador parte inteira
numerador parte inteira
denominador
5.3. Números decimais
Objetivos
Conceituar número decimal.
Ler números decimais.
Existem diversas frações com diversos denominadores distintos, mas vamos nos
concentrar num um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. As frações
que têm essa particularidade são chamadas frações decimais.
São frações decimais:
As frações decimais podem ser representadas por um número decimal.
Definição
O número decimal é obtido de uma fração decimal.
5.3.1. Leitura de um número decimal
Vamos considerar um número decimal genérico composto de três casas antes e três
casas depois da vírgula (por exemplo, consideremos o número 523,769).
A terceira casa depois da vírgula representa os milésimos (o número 9).
A segunda casa depois da vírgula representa os centésimos (o número 6).
A primeira casa depois da vírgula representa os décimos (o número 7).
A primeira casa antes da vírgula representa as unidades (o número 3).
Número decimal é aquele composto por uma parte inteira e uma
parte decimal, separados por uma vírgula.
A segunda casa antes da vírgula representa dezenas (o número 2).
A terceira casa antes da vírgula representa as centenas (o número 5).
Na representação abaixo, os componentes da parte decimal estão na cor azul e os da parte
inteira estão na cor vermelha:
..., Centenas Dezenas Unidades , Décimos Centésimos Milésimos,...
Além desses temos, em sequência decrescente da parte decimal, os componentes:
décimos milésimos, centésimos milésimos, milionésimos etc.
Também, na sequência crescente da parte inteira, temos os componentes: unidade de
milhar, dezena de milhar, centena de milhar, unidade de milhão etc.
Exemplos
Fazer a leitura dos números decimais abaixo:
a) 37,56
R. Trinta e sete inteiros e cinqüenta e seis centésimos.
b) 8,4
R. Oito inteiros e quatro décimos.
c) 59,512
R. Cinqüenta e nove inteiros e quinhentos e doze milésimos.
d) 0,81
R. Oitenta e um centésimos.
e) 0,7
R. Sete décimos.
f) 0,625
R. Seiscentos e vinte e cinco milésimos.
g) 0,00023
R. vinte e três centésimos milionésimos
h) 45000,000005
R. quarenta e cinco mil unidades e 5 milionésimos
5.3.2. Conversão de fração decimal para número decimal
Objetivos
Converter fração decimal para número decimal.
Converter fração não decimal para número decimal.
Convertemos uma fração decimal para um número decimal da seguinte forma: Primeiro
escrevemos o numerador da fração dada, depois contamos quantos zeros tem o
denominador da fração dada e fazemos com que o número decimal tenha o mesmo
número de casas decimais que o número de zeros do denominador. É, na realidade, a
realização da divisão do numerador pelo denominador.
Exemplos
Transformar as frações decimais em números decimais:
a) , como o denominador tem dois zeros, contamos duas casas decimais a
partir do número 5 (inclusive).
b)
c)
Observação: o número de casas decimais é contado
da direita para a esquerda (do numerador).
g)
5.3.3. Conversão de fração não decimal para número decimal
Para converter uma fração não decimal para um número decimal, dividimos numerador
pelo denominador. Podem acontecer dois casos:
a) O denominador contendo apenas fatores de 2 e 5: nesse caso determinamos
um número com a parte decimal finita.
Exemplos
i) ii)
b) Denominador contendo qualquer outro fator diferente de 2 e 5: nesse caso
encontramos um número cuja parte decimal são algarismos repetidos (dízima
periódica).
Exemplos
i) , os fatores são 1 e 11.
ii) , os fatores são 3 e 7.
Exercícios
Converter para números decimais:
a) (r: 0,125)
b) (r: )
c) (r: )
5.3.4. Conversão de número decimal para fração decimal
Objetivos
Converter número decimal para fração decimal.
Aplicar as propriedades dos números decimais.
Aqui podem ocorrer dois casos:
i) O número decimal tem a parte inteira igual a zero: a conversão resultará numa
fração, cujo numerador será igual à parte decimal do número dado e cujo denominador
será uma potência de 10 (que deverá ter zeros quantos forem o número de casas
decimais). A fração obtida, caso seja possível, poderá ser simplificada.
Exemplos
Reduzir os números decimais abaixo para fração decimal:
a) 0,27
R. O denominador é 27 e o número tem duas casas decimais, logo o denominador vai
ser uma potência de 10 que tenha dois zeros.
b) 0,0024
R. , simplificando por 8 teremos:
ii) O número decimal tem a parte inteira diferente de zero: a conversão resultará
numa fração imprópria cujo numerador consiste no número decimal dado, sem a vírgula
e cujo denominador é um número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros
10027270 ,
Duas casas decimais
Potência de 10 com dois zeros
Parte decimal
quantos forem os algarismos da parte decimal do número dado. Como a parte inteira é
diferente de zero o resultado será um número misto.
Exemplos
Converter os números decimais para frações:
a) 34,23
R.
Observação: poderíamos fazer a conversão também da seguinte maneira:
R. , que é um número misto.
b) 531,293
R.
5.3.5. Propriedades dos números decimais
Propriedade 1:
Exemplos
a) 0,7100 = 0,710 = 0,71
b) 23,538000 = 23,53800 = 23,5380 = 23,538
10034232334 ,
Duas casas decimais Dois zeros
Número decimal sem a vírgula
Um número decimal não tem seu valor alterado quando acrescentamos
ou retiramos um ou mais zeros à direita do último algarismo diferente
de zero da sua parte decimal.
Propriedade 2
Exemplos
a) 6,789 x 100 = 678,9 (100 tem 2 zeros, deslocamos duas casas).
b) 6,789 x 1000 = 6789 (1000 tem 3 zeros, deslocamos três casas).
c) 6,789 x 10000 = 67890 (10000 tem 4 zeros, deslocamos quatro casas).
d)
Propriedade 3:
Exemplos
a) 82,37 ÷ 100 = 0,8237 (100 tem 2 zeros, deslocamos duas casas).
b) 82,37 ÷ 1000 = 0,08237(1000 tem 3 zeros, deslocamos três casas).
c) 82,37 ÷ 10 = 8,237 (10 tem 1 zero, deslocamos uma casa).
5.4. Operações envolvendo números decimais
Objetivo
Adicionar e subtrair números decimais.
5.4.1. Adição e subtração de números decimais
Ao adicionarmos ou subtrairmos números decimais devemos seguir três regras básicas:
R1. Disposição dos números decimais
Ao multiplicarmos um número decimal por uma potência de 10, deslocamos a vírgula daquele para a direita tantas casas quantos forem os zeros da potência usada.
Ao dividirmos um número decimal por uma potência de 10, deslocamos
a vírgula daquele para a esquerda, tantas casas quantos forem os zeros
da potência usada.
Devemos dispor os algarismos de modo que cada coluna tenha um algarismo da mesma
posição que ocupam no número decimal (centésimos debaixo de centésimos, décimos
debaixo de décimos, centenas debaixo de centenas etc.). Também posicionaremos a
vírgula de um número decimal exatamente debaixo da vírgula de outro número decimal.
Exemplos
a) Formas corretas: 234,659 54,56 345,67
+ 56,769 - 31,43 + 23,68
125,87
b) Formas incorretas: 523,56 35,21
+ 43,98 - 8,47
R2. Número de casas decimais
Devemos somar ou subtrair números decimais com iguais quantidades de casas
decimais. Caso os números tenham casas decimais distintas devemos igualar com aquele
número que tem maior número de casas, acrescentando zeros à direita de suas partes
decimais.
Exemplos
a) 2,54 + 3,579 = 2,540 + 3,579
b) 3,57 + 23,567 + 41,5 = 3,570 + 23,567 + 41,500
c) 953,5 – 87,329 = 953,500 – 87,329
R3. Efetivação da adição ou da subtração
Igualando-se as casas decimais de todos os números a serem adicionados ou subtraídos
e com os algarismos posicionados corretamente, realizamos a adição e a subtração tal
qual é feita com os números inteiros, não se esquecendo de posicionar, no resultado, a
vírgula corretamente.
Exemplos
Efetuar as operações;
a) 325,56 + 857,11
325,56
R. + 857,11
1282,67
b) 638,2 – 54,179
638,200
R. - 54,179
584,021
Exercícios
Efetuar as operações
a) 58,32 + 625,497 (r: 683,817)
b) 0,34 + 10,345 (r: 10,685)
c) 345,67 + 76,1 (r: 421,77)
d) 654,679 – 65,87 (r: 588,809)
e) 87,9 – 0,046 (r: 87,854)
f) 761,532 – 123,44 (r: 638,092)
5.4.2. Multiplicação de números decimais
Objetivo
Multiplicar números decimais.
Podemos efetuar a multiplicação de números decimais de duas maneiras:
1) Multiplicamos os números decimais da mesma maneira como se fossem inteiros e
ao produto acrescentamos tantas casas decimais quantas forem as casas do
multiplicando somadas às do multiplicador.
Exemplo
Efetuar: 34,62 x 23,5
R. Nesse caso o multiplicando tem duas casas e o multiplicador tem uma casa, logo o
produto terá (1 + 2), três casas decimais.
34,62
x 23,5
17310
10386
6924
813,570
O resultado é 813,570, mas como pode ser desprezado o último zero à direita do número
decimal, a resposta mais correta será: 813,57.
2) Antes de multiplicar, transformamos os números decimais em frações,
multiplicamos as frações e o resultado, transformamos novamente para número
decimal.
Exemplo
Efetuar: 5,46 x 7,1
R. Transformando os números decimais em frações e efetuando o produto, teremos:
Exercícios
Determinar os produtos:
a) 23,45 x 76,98 (r: 1805,181)
b) 21,567 x 98,43 (r: 2122,83981)
c) 0,34 x 5,78 (r: 1,9652)
5.4.3. Divisão de números decimais
Objetivo
Dividir números decimais.
Uma regra básica para facilitar a divisão de números decimais é igualarmos as casas
decimais e usarmos também a seguinte propriedade:
Essa propriedade é bem fácil de entender, veja o exemplo para números inteiros:
20 ÷ 4 =
Do mesmo modo usaremos a propriedade também para a divisão dos números decimais.
Como visto, não importa por quais números o divisor e o dividendo é multiplicado e sim
que aqueles números sejam iguais. Para maior facilidade ao operarmos com números
decimais, os multiplicadores serão potências de 10.
Observação: Nas operações, caso seja possível, é conveniente usarmos a simplificação
dos fatores para facilitar as contas.
Exemplos
Efetuar as divisões:
a) 8,1÷ 0,3
Ao multiplicarmos, tanto o dividendo como o divisor de uma divisão, pelo mesmo número, o quociente não se modificará.
R. Nesse caso, o divisor e o dividendo têm uma casa decimal, logo multiplicaremos
ambos por 10.
8,1 ÷ 0,3 =
b) 26,67 ÷ 0,127
R. Primeiro vamos igualar as casas decimais: 26,670 ÷ 0,127. Efetuando:
c) 0,49 ÷ 7
R. Igualando as casas: 0,49 ÷ 7,00. Efetuando:
Exercícios
Efetuar as divisões:
1) 3,608 ÷ 1,1 (r: 3,28)
2) 0,01372 ÷ 0,343 (r: 0,04)
3) 0,144 ÷ 0,16 (r: 0,9)
4) 25 ÷ 0,015625 (r: 1600)
5.4.4. Potenciação de números decimais
Objetivos
Efetuar potenciação com números decimais.
Efetuar radiciação com números decimais.
A potenciação de números decimais ocorre quando a base é um número decimal e o
expoente é um número natural. Nesse caso, basta transformar a potenciação numa
multiplicação normal de números decimais.
Exemplos
a) (2,5)2 = 2,5 x 2,5 = 6,25
b) (0,34)2 = 0,34 x 0,34 = 0,1156
c) (0,12)3 = 0,12 x 0,12 x 0,12 = 0,0144 x 0,12 = 0,001728
Exercícios
Efetuar:
a) (0,71)2 (r: 0,5041)
b) (2,4)2 (r: 5,76)
c) (1,7)3 (r: 4,913)
5.4.5. Radiciação de números decimais
A radiciação de números decimais é determinada com mais facilidade transformando,
primeiramente, aqueles em frações decimais.
Exemplos
a)
b)
c)
Exercícios
Efetuar as operações:
a) (r: 0,04)
b) (r: 1,3)
c) (r: 0,08)
5.4.6. Aplicações de números decimais e frações: porcentagens
Objetivo
Aplicar números decimais no cálculo de porcentagens.
Ao se trabalhar com porcentagem (como o próprio nome já diz: “por cento”) é como
operarmos com frações cujo denominador é 100. O símbolo que simboliza a
porcentagem é: “%”.
Exemplos:
a) 34% (lê-se: trinta e quatro por cento) equivale a .
b) 0,25 = = 25%
Com isso podemos resolver problemas envolvendo cálculo de porcentagens.
Exemplos
a) Quanto é 20% de R$ 32,00?
R. 20% x 20 = , ou seja: R$ 6,40
b) R$ 5,00 é quantos por cento de R$ 20,00?
R. Nesse caso podemos fazer uma regra de três simples:
R$ 20,00 100%
R$ 5,00 a%
Multiplicando e igualando os termos, teremos:
20 x a = 5 x 100%
20 x a = 5 x
20 x a = 5 x 1
Como = 25%, logo: R$ 5,00 corresponde a 25% de R$ 20,00.
Se não entendeu bem sobre regra de três simples não se preocupe, na Unidade VII você a
estudará com mais detalhes.
Matemática Elementar Unidade VI
Unidade VI - Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Problematizando
1) Como são conhecidos os lados de um triângulo retângulo?
2) Quais são as relações métricas e trigonométricas do triângulo retângulo?
3) O que vem a ser o famoso Teorema de Pitágoras?
4) Quais as aplicações do Teorema de Pitágoras?
5) Quais as fórmulas do seno, cosseno e tangente?
6) Como é deduzida a relação fundamental da trigonometria?
6.1. Definições
Objetivos
Estabelecer as projeções de um segmento.
Identificar os elementos de um triângulo retângulo.
Vamos dar umas definições básicas de elementos que serão necessários ao trabalharmos
com essa Unidade.
6.1.1 Projeções
Dentre as relações métricas em triângulos temos aquelas que envolvem a projeção de
segmentos. Por isso vamos recordar o que vem a ser projeção.
Projeção ortogonal de um ponto
Chama-se projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta o pé da perpendicular
conduzida desse ponto à reta.
Na figura abaixo o ponto A’ é a projeção do ponto A sobre a reta r.
Projeção ortogonal de um segmento
A projeção ortogonal de um segmento AB sobre uma reta r é o segmento A’B’
determinado pelos extremos A e B.
A'’
A’
r
Veja os exemplos na figura abaixo:
Observações:
Quando o segmento é paralelo à reta r, a sua projeção A’B’ é igual à AB;
Quando o segmento é inclinado em relação à reta r, a sua projeção A’B’ é menor
que o segmento AB;
Quando o segmento é perpendicular à reta r, a sua projeção se reduz a um ponto.
Elementos de um triângulo retângulo
Consideremos um triângulo retângulo ABC, sendo reto em A, veja figura abaixo:
O segmento AB é denominado de cateto maior, também simbolizado pela letra
minúscula c, é chamado também cateto oposto ao ângulo C.
O segmento AC é denominado de cateto menor, também simbolizado pela letra
minúscula b, é chamado também cateto oposto ao ângulo B.
O segmento BC é denominado de hipotenusa, também simbolizada pela letra minúscula
a, é sempre o segmento oposto ao ângulo reto A.
A altura h, que é um segmento que passa pelo ponto de cruzamento de dois lados e vai
até o lado oposto formando um ângulo reto com este último (nesse exemplo, o segmento
A’ A’ A’
A
B’
B B
A’
A
A
B
A
B
B’
B’ B’ r
A’ = B’
A
B
A
c
D
b
CBm n
h
AD passa por A e é perpendicular à hipotenusa BC). Aqui a altura h divide a hipotenusa
em dois segmentos m e n que são, respectivamente, as projeções de c e b sobre a
hipotenusa BC.
6.2. Relações métricas no triângulo retângulo
Objetivo
Construir o conceito e aplicar a primeira relação métrica do triângulo retângulo.
6.2.1. Primeira relação métrica
Da figura dada podemos destacar os dois triângulos retângulos semelhantes:
Demonstração:
Por hipótese, o triângulo ABC é retângulo e o segmento AD é a altura relativa à
hipotenusa.
A medida de cada cateto é a média geométrica entre a medida da hipotenusa e a da sua projeção sobre a hipotenusa.
A
c
a
b
CB
b
n
h
A
CD
A hipotenusa é, sempre, o maior lado de um triângulo retângulo.
Tese: b2 = a.n
c2 = a.m
1) Os triângulos ACD e ABC são semelhantes (têm o ângulo C em comum) e têm também
um ângulo reto.
2) Dessa semelhança decorre que:
3) Do mesmo modo, da semelhança dos triângulos ABD e ABC, que têm o ângulo B em
comum, teremos:
6.2.2. Segunda relação métrica
Objetivo
Construir o conceito e aplicar a segunda e a terceira relação métrica do triângulo
retângulo.
Demonstração:
c2 = a.m
b2 = a.n
A medida da altura relativa à hipotenusa é igual à média
geométrica das medidas dos dois segmentos que ela determina
sobre a hipotenusa.
b
n
h
A
CD
c
m
h
A
DB
Os triângulos ABD e ACD são semelhantes porque ambos são também semelhantes ao
triângulo ABC.
Logo:
6.2.3. Terceira relação métrica
1) Pela primeira relação métrica temos:
b2 = a.n (1)
c2 = a.m (2)
2) Multiplicando, membro a membro, as duas igualdades, obtemos:
(3)
3) Mas, da segunda relação métrica, h2 = m.n. Substituindo em (3) resulta:
b2.c2 = a2.h2 (4)
4) Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros de (4), teremos:
h2 = m.n
O produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa
à mesma é igual ao produto das medidas dos dois catetos.
6.2.4. Quarta relação métrica. Teorema de Pitágoras
Objetivos
Construir o conceito do Teorema de Pitágoras.
Demonstrar o teorema de Pitágoras algebricamente e geometricamente.
Demonstração:
1) Pela primeira relação métrica podemos escrever:
b2 = a.n (A)
c2 = a.m (B)
2) Somando membro a membro as duas igualdades de (A) e (B) teremos:
b2 + c2 = a.m + a.n (C)
Colocando a em evidência no segundo membro, obtemos:
b2 + c2 = a.(m + n) (D)
3) Como m + n = a, substituindo esse valor em (D), vem:
O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
b.c = a.h
Essa é a famosa relação denominada Teorema de Pitágoras.
Podemos verificar também essa relação por equivalência de áreas fazendo uma
montagem. Primeiro desenhamos um triângulo retângulo qualquer e depois
desenhamos três quadrados, cada um com sua base num dos lados do triângulo
(conforme figura abaixo):
Cortamos os três quadrados nas extremidades, sendo que nos dois menores devemos
cortar também nas linhas tracejadas. Juntamos as partes dos dois quadrados menores
formando o quadrado maior.
Confira:
a2 = b2 + c2
Como os dois quadrados menores couberam exatamente no quadrado maior,
concluímos que:
Área do quadrado menor (b2) mais área do quadrado médio (c2) é igual à área do
quadrado maior (a2).
Provando que a2 = b2 + c2
Tente você fazer essa montagem também!
6.2.4.1. Triângulos pitagóricos
Objetivos
Reconhecer e determinar os triângulos pitagóricos.
Definição
Por exemplo, o triângulo cujos lados são: 3, 4 e 5 unidades é um triângulo usado pelos
pitagóricos para determinar um ângulo reto, pois:
5² = 4² + 3²
Esse é o mais notável triângulo pitagórico porque tem os lados expressos por três
números inteiros e consecutivos.
Triângulos pitagóricos são os triângulos retângulos cujas medidas dos lados são expressas por números inteiros.
Obs.: Devido à semelhança de triângulos, qualquer outro triângulo que tenha os lados
proporcionais a 3, 4 e 5 também são pitagóricos (Ex.: lados 6, 8 e 10; lados 9, 12 e 15
etc.).
Exemplo:
Dado o triângulo eqüilátero abaixo, determine a altura h.
Resolução:
Como o triângulo é eqüilátero, a altura divide a base BC ao meio, logo BD = .
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABD, obtém-se:
Isolando h no primeiro membro, resulta:
Logo:
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros e simplificando o radical, obtemos:
B
A
CD
xxh
2x
2x
6.2.4.2. Um pouco de história:
Os antigos egípcios usavam o triângulo com lados 3,4 e 5 para determinar um ângulo
reto. Numa corda faziam 13 nós igualmente espaçados. O primeiro nó era fixado no solo
com uma estaca. Da mesma forma era fixado o quarto e o nono nó, O décimo terceiro era
fixado junto ao primeiro. Eles sabiam que um triângulo com lados 3,4 e 5 era retângulo.
Veja a figura abaixo:
Fonte: (ANDRINI, 2002, p.164)
As informações sobre a vida de Pitágoras misturam lenda e realidade “Pitágoras de
Samos nasceu a 580 a.C. na ilha de Samos e foi discípulo de Tales de Mileto. Criou a
Escola Pitagórica, uma espécie de irmandade religiosa que tinha por finalidade a
purificação por meio de uma ciência e de uma arte: a Matemática e a Música. Essa escola
chegou a criar uma aritmética-geometria e com ela fizeram importantes descobertas.
Entre essas, convém destacar, a generalização da propriedade: ‘O quadrado da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Essa proposição já era conhecida desde os tempos dos caldeus, para alguns triângulos
particulares. Os pitagóricos, ensaiando com outros triângulos retângulos, conseguiram
generalizá-la e enunciá-la sob a forma de uma proposição demonstrável, agora
denominada Teorema de Pitágoras.” (Brandão, 1987)
Os conhecimentos dos babilônios eram mais extensos e avançados que o dos Egípcios.
Isto é particularmente verdadeiro em Álgebra e nos Cálculos Numéricos, mas também
ocorre em GEOMETRIA, onde além de conhecerem as áreas e volumes de figuras
geométricas simples, os Babilônios sabiam resolver problemas envolvendo a relação de
Pitágoras, que lhes era familiar mil anos antes dos pitagóricos.
Os chineses também conheciam e usavam esse triângulo
Exemplo
Com base na estrutura de telhado, feita com barras de ferro, da figura abaixo:
a) qual deve ser a medida de x em metros?
Portanto, usando o teorema de Pitágoras no triângulo ADC, teremos:
42 = x2 + (3,2)2
16 = x2 + 10,24
x2 = 16 – 10,24 = 2,4m
b) Barras de reforço foram colocadas na estrutura, formando um ângulo reto nos lados
AB e AC. Qual foi a medida dessas barras?
4
,
x
A
CD 3,2
B
A
C
4m
4 mm3,2 3,2D
x
Agora usaremos as relações métricas:
y é a medida da altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo DCA.
Sabemos que x = c = 2,4 e que o lado AC que chamaremos de a = 4, e o lado DC
chamaremos de b = 3,2.
Vimos que: a.h = b. c, neste problema: a.y = b.c
Então: 4.y = 2,4. 3,2
y = = 1,92m.
c) A que distancia do ponto C a barra de reforço foi fixada?
Usando a relação: c2 = am, 2,42 = 4 . m m = m = 1,44m
Vamos praticar:
1) Um fazendeiro quer colocar uma tábua em diagonal na sua porteira. Qual é
o comprimento dessa tábua, se afolha da porteira mede 1,2m por 1,6m? (r: 2 m).
2) Calcule o comprimento x nessa estrutura de telhado.
h = 40 cm
Lado BC mede 1m
(r: 0,64 m).
B
A
C
x h
3) Determine a diagonal de um quadrado de lado a. (r: )
4) Os catetos de um triângulo medem 6 cm e 8 cm. Calcular as suas projeções sobre a
hipotenusa. (r: 6,4 cm e 3,6 cm).
5) Calcular o perímetro de um losango cujas diagonais medem 18 m e 24 m. (r: 60
m)
6) A base de um triângulo isósceles excede a altura de 4 cm. Calcular essa base e a
altura sabendo-se que os lados iguais medem 15 cm cada um. (r: base ≈ 17,27 cm e
altura ≈ 13,27 cm)
6.3. Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Objetivo
Determinar o seno de um ângulo.
6.3.1. Seno de um ângulo
Seja um ângulo XOY e sobre o lado OU marquemos os pontos A, A’ e A’’. Tracemos por
esses pontos as perpendiculares AB, A’B’ e A’’B’’ ao lado OX, conforme a figura abaixo:
Como os triângulos OAB, OA’B’ e OA’’B’’ são semelhantes (ângulo O em comum e todos
têm um ângulo reto por causa da perpendicular), podemos escrever:
y
xO
AA’
B
A’’
B’’B’
Qualquer dessas razões, quaisquer que sejam os pontos tomados sobre OY, é sempre
igual e a ela dá-se o nome de seno.
Logo:
Representa-se o seno de um ângulo, por exemplo, do ângulo A da seguinte forma:
sen  ou sen(A)
Obs.: como seno, em inglês, é sine, nas calculadoras e em alguns aplicativos é usada a
forma sin(A).
Aplicação:
Uma madeireira doará pranchas para construir uma rampa com plataforma que será
usada numa apresentação de manobras com mountain bike na praça de uma cidade.
Figura abaixo:
Fonte: (ANDRINI, 2002, p. 206)
Podemos então calcular o comprimento das rampas:
sen(37°) = =
Consultando a tabela de razões trigonométricas, temos que:
Chama-se seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo a razão entre a
medida do cateto oposto a esse e a medida da hipotenusa.
sen(37°) = 0,6018 0,6
Então: 0,6 = x =
Portanto, cada rampa deve ter 3 metros de comprimento.
6.3.2. Cosseno de um ângulo
Objetivo
Determinar o cosseno e a tangente de um ângulo.
De maneira análoga àquela feita para o seno, temos as razões:
Qualquer dessas razões, quaisquer que sejam os pontos tomados sobre OY, é constante e
denomina-se cosseno.
Portanto:
Representa-se o cosseno de um ângulo, por exemplo, do ângulo A, da seguinte forma:
cos  ou cos(A)
Obs.: como cosseno, em inglês, é cosine nas calculadoras e em alguns aplicativos (como o
Excel) expressamos como cos(A).
6.3.3. Tangente de um ângulo
Também da semelhança de triângulos podemos determinar as razões:
Chama-se cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo à razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
Qualquer dessas razões, quaisquer que sejam os pontos tomados sobre OY, é constante e
denomina-se tangente.
Representa-se a tangente de um ângulo, por exemplo, do ângulo A da seguinte forma:
tg  ou tg(A)
Obs.: como tangente, em inglês, é tangent, nas calculadoras e em alguns aplicativos
(como o Excel) expressamos como tan(A).
Observações:
1) O valor do seno, o valor do cosseno e também o da tangente, por ser uma razão
entre duas grandezas, são números puros (ou seja, sem unidade).
2) Como a hipotenusa é sempre maior do que qualquer cateto, tanto o seno como o
cosseno de um ângulo agudo são sempre menores do que 1.
3) A tangente de um ângulo agudo pode assumir qualquer valor positivo do
conjunto dos reais.
Exemplo:
Luiz possui um terreno em forma de trapézio, que pretende cercar com tela de arame.
Chama-se tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo à razão entre a
medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto adjacente a esse
ângulo.
Calcule x, y e o perímetro do terreno.
tg(70°) = =
Consultando a tabela, temos que a tg(70°) = 2,7475 2,75
2,75 = x = 35,75 m
Cos (70°) = =
Consultando a tabela, temos que a cos(70°) = 0,3420 0,34
0,34 = y = 38,24m
Então o perímetro é igual a 60 + 38,24 + 47 + 35,75 = 180,99
Logo, Luiz precisará de, aproximadamente, 181 m de tela para cercar o terreno.
Exemplo:
Dado o triângulo abaixo, determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B.
Resolução:
Um pouco de história
Segundo (ANDRINI, 2002, p. 206), “As razões: tangente, seno e cosseno de um ângulo
são chamadas Razões Trigonométricas. A palavra “ trigonometria” vem do grego:
Trígono = três ângulos
Metria = medida
Não quer dizer por isso, que os gregos descobriram essas relações. Como quase tudo em
matemática, a trigonometria não teve um inventor. Outros povos, além dos gregos, como
por exemplo, os egípcios, babilônios, hindus e árabes, durante séculos investigaram e
aplicaram essas razões para resolver problemas.”
6.3.4. Cálculo dos lados de um triângulo retângulo
Objetivo
Calcular os lados de um triângulo retângulo usando os valores do seno, cosseno e
tangente de um ângulo.
Consideremos o triângulo ABC da figura abaixo:
Da definição de seno de um ângulo agudo, temos:
Com esses resultados, temos o teorema:
De maneira análoga, calculando o cosseno de B e C, obtemos:
Num triangulo retângulo cada cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pelo seno do ângulo oposto.
Então o teorema resultante é:
Determinando agora a tangente de B e C, resulta:
O que nos fornece o teorema:
6.3.5. Relação fundamental da trigonometria:
Objetivo
Determinar a relação fundamental da trigonometria.
Calcular seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis.
Na definição de seno e cosseno de um ângulo, por exemplo, do ângulo B obtemos as
seguintes relações;
Representamos esses valores na figura abaixo:
Num triângulo retângulo cada cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pelo cosseno do ângulo adjacente.
Num triângulo retângulo cada cateto é igual ao produto de sua tangente pela medida do outro cateto.
Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos:
a2 = b2 + c2
Dividindo ambos os membros por a2, teremos;
Invertendo a ordem dos membros. Resulta:
Como B pode ser um ângulo agudo qualquer (entre 0º e 90º), pode-se generalizar para
um ângulo agudo x, assim:
Essa é a denominada Lei Fundamental da Trigonometria.
Os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos de 0º a 90º encontram-se em tabelas
ou podem ser determinados usando calculadoras ou aplicativos. Segue abaixo uma
tabela dos valores mais usados (com três casas decimais):
Ângulos Seno Cosseno Tangente
0º 0 1 0
30º 0,500 0,866 ( ) 0,577 ( )
45º 0,707 ( ) 0,707 ( ) 1
60º 0,866 ( ) 0,500 1,732 0,866 ( )
90º 1 0 indeterminado
Exemplos:
Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 24 cm e o ângulo
agudo B mede 30º.
Resolução:
Como
b = 24 x sen(30º) = 24 X 0,5 = 12 cm
Como
c = 24 x cos(30º) = 24 X 0,866 ≈ 20,78 cm
Logo, os catetos são: b = 12 cm e c ≈ 20,78 cm.
6.4. Aplicações dos triângulos retângulos na Engenharia
Objetivo
Resolver problemas aplicados à Engenharia.
Retângulo áureo
Um pouco de história
Segundo (BELUSSI, 2005, P. 1-3):
[. . .] O número de ouro não é mais do que um valor numérico
cujo valor aproximado 1,618.
Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da
harmonia. A escola grega de Pitágoras estudou e observaram
muitas relações e modelos numéricos que apareciam na
natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas
provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina
ou proporção divina [...].
[...] Construído há muitas centenas de anos depois, por volta de 447 e
433 a.C., o Partenon Grego, templo representativo do século de
Péricles contém a razão de Ouro no retângulo que contém a
fachada, o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e
harmoniosa. [...]
Definição
Vamos mostrar como se constrói o retângulo áureo com régua e compasso:
Um retângulo é áureo quando o maior de
seus lados for igual ao menor multiplicado
por (≈ 1,618) .
Primeiro desenhamos o quadrado ABCD de lado l (figura 1). Em seguida marcamos o
ponto M que é a metade de AD, logo AM = MD = , usando o compasso, com centro em M
e comprimento MC, traçamos um arco até encontrar o ponto N no prolongamento de AD
(figura 2). Agora basta completar o retângulo DCEN com DN = CE (figura 3). O retângulo
ABEN formado é um retângulo áureo.
Agora vamos mostrar algebricamente, com uso do teorema de Pitágoras, como é
determinado o retângulo áureo. O objetivo será mostrar, pela definição, que o lado maior
AN (ou BE) é igual ao lado menor EN (ou ab) multiplicado por .
Com base na figura 3, considerando-se como l o lado do quadrado, vamos aplicar o
teorema de Pitágoras no triângulo retângulo M.D.C., obtendo-se:
MC2 = CD2 + MD2 como CD = l e MD = , substituindo, teremos:
MC2 = MC =
Pela figura vemos que MN = MC, logo o lado AN do retângulo maior será:
AN = AM + MN = C.Q.D.
Dimensionamento de telhados
O conhecimento das relações métricas no triângulo retângulo pode ser aplicado no
dimensionamento de uma tesoura de telhado.
Exemplo
a) Dimensionar as vigas de um telhado sabendo-se que a casa tem largura de 10 m e vai
ser coberto com telhas francesas (inclinação de 40 %), veja a figura abaixo:
A viga AC deve ter o mesmo comprimento de CB, para duas terem a mesma inclinação,
com isso temos que AM = MB = = 5 m.
Como a inclinação é 40% (ou 0,40) temos:
Temos agora que determinar as vigas AC e CB, que são iguais. Usando o teorema de
Pitágoras, obtemos:
AC2 = AM2 + CM2
Da mesma maneira podem ser determinadas as medidas das vigas restantes, sabendo-se
AE é a metade de AM e MG é a metade de MB.
Esses cálculos vão ficar por sua conta, mãos às obras!
(r: DE = FG = 1 m e DM = MF ≈ 2,69 m )
b) Com base na estrutura de telhado, feita com barras de ferro, da figura abaixo, qual
deve ser a medida de x em metros?
10 m
B
D
C
F
GE MA
Portanto, usando o teorema de Pitágoras:
42 = x2 + (3,2)2
16 = x2 + 10,24
x2 = 16 – 10,24 = 2,4m
c) Barras de reforço foram colocadas na estrutura mostrada na figura baixo, formando
um ângulo reto nos lados AB e AC.
i) Qual é a medida dessas barras?
Agora usaremos as relações métricas:
y é a medida da altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo DCA.
Sabemos que x = c = 2,4 e que o lado AC que chamaremos de a = 4, e o lado DC
chamaremos de b = 3,2.
Vimos que: a.h = b. c, neste problema: a.y = b.c
Então: 4.y = 2,4. 3,2
y = = 1,92m.
4
,
x
A
CD 3,2B
A
C
4m
4 mm
x
3,2 3,2D
ii) A que distância do ponto C a barra de reforço foi fixada?
Usando a relação: c2 = am, 2,42 = 4 . m m = m = 1,44m
Exercícios
1) Um fazendeiro quer colocar uma tábua em diagonal na sua porteira. Qual é
o comprimento dessa tábua, se a folha da porteira mede 1,2m por 1,6m? (r: 2 m).
2) Calcule o comprimento x na estrutura de telhado conforme figura abaixo:
(r: 3,03 m).
h = 40 cm
Lado BC mede 6m
Vamos agora para nossa última unidade!
B
A
C
x40 cm
6m
Matemática Elementar Unidade VII
Unidade VII - Regra de três Simples e Composta.
Problematizando
1) Quais são os termos de uma razão?
2) Qual a propriedade fundamental da proporção?
3) Como resolver problemas que abordam regra de três simples e composta?
4) O que são grandezas proporcionais?
7.1. Razão entre dois números:
Objetivos
Construir o conceito de razão entre dois números.
Identificar os termos de uma razão.
Determinar a razão entre dois números.
Um pouco de história:
Segundo (FERRAZ, 2002, p. 1), “a palavra razão vem do latim ratio, que quer dizer
divisão. Vários conceitos de razão foram sendo apresentados por matemáticos gregos.
Euclides (325 a.C. – 265 a.C.) que viveu em Alexandria na primeira metade do século III
a.C., defendia a idéia de que “razão” era a relação de tamanho entre grandezas de mesma
espécie. No entanto, esse ponto de vista está atrelado apenas a aspectos teóricos do
conceito de número, sendo utilizado apenas como instrumento de cálculo. Foi somente
no século XV que matemáticos italianos, como Luca Pacioli (1445 – 1514), conseguiram
atribuir às “razões” outras aplicações práticas.
Vamos pensar em algumas estratégias de desenvolvimento do ensino e aprendizagem
sobre razões em sala de aula. Antes de iniciarmos matematicamente o conceito de razão
é importante mostrar aos alunos que podemos relacionar quantidades comparando-as e
que, a partir desta relação, obteremos uma divisão. E a essa divisão daremos o nome de
razão. Para que, ao final de todo o processo, ele seja construtor de seu próprio
conhecimento.”
Exemplos
1. Inicie com algumas situações – problema:
a) Comece utilizando exemplos em sala de aula, relacionando quantidades que para
o aluno são muito concretas. Assim: Observe o número de alunos em sua sala.
Você pode relacioná-los, criando diversos momentos de aprendizagem e
interação entre eles. Por exemplo: “Em nossa sala tem 35 alunos, 12 entre estes
alunos são meninas.” Esta situação expressa uma razão entre 12 e 35, ou seja,
12:35 ou , a razão entre o número de meninas e o total de alunos. É comum
nesta idade os alunos usarem aparelhos dentários. Conte estes alunos e faça a
razão entre eles e o resto da turma. Também podemos trabalhar com estes
alunos utilizando o computador, perguntando-os quantos tem computador em
casa e quantos não tem. E a partir destas respostas fazer todas as razões entre
estas quantidades.
b) Utilize também fatos concretos, como jogo de futebol que os meninos adoram:
Tome um clássico que tenha acontecido durante o final de semana, como
Flamengo e Fluminense. Suponhamos que nesta partida tenham sido feitos 5 gols,
dos quais 4 eram do Flamengo e 1 do Fluminense. A razão entre os gols do
Flamengo será e do Fluminense .
c) A revista Superinteressante, de março de 2006, afirma que nas proximidades da
costa de Guarapari, Espírito Santo, na ilha de Escalvada, o número de andorinhas
do mar, em 2004, era de 8000 e em 2005, passou para 15000.
Escrevendo na forma fracionária a razão entre o número de andorinhas que pousaram
em Guarapari em 2004, e, em 2005, temos:
Em 2005, pousaram 15000 andorinhas.
Em 2004, pousaram 8000 andorinhas.
Na forma fracionária, temos a razão entre 15000:8000 ou ou ainda 1,875.
Aqui foi feita uma análise relativa ao número de andorinhas do mar que pousaram em
uma determinada região nos anos de 2004 e 2005, o que expressa, também, uma razão.
A melhor maneira de definir é fazer com que o aluno primeiramente concretize. Assim
depois que todos tenham compreendido o processo, podemos dizer que quando
comparamos duas quantidades ou duas medidas por meio de uma divisão, o quociente
assim obtido é chamado de razão. A sugestão é a de escrever o conceito de razão em
uma linguagem matemática:
Observação:
Equivalente: Que equivale, o que é igual no valor, no peso ou na forma, conceito que
utilizamos para comparar frações.
2. Podemos também fazer o uso de figuras geométricas, vejamos:
A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente de a ÷ b,
que pode ser indicado por ou qualquer outra forma equivalente.
De acordo com estas figuras, peça aos alunos que observem bem as formas
geométricas, e classifique-as de acordo com a quantidade de lados, registrando a
resposta.
2 de três lados;
1 de oito lados;
3 de quatro lados;
1 de cinco lados;
1 de seis lados.
Em seguida, poderá ser solicitado ao aluno que realize outras atividades, como por
exemplo:
Compare a quantidade de figuras geométricas, informando o que está sendo
solicitado a seguir:
a) Quantidade de pentágonos em relação a quantidade de triângulos.
(r: 1/2)
b) Quantidade de triângulos e o total de figuras. (r: 2/8)
c) Quantidade de pentágonos e de regiões de quadriláteros. (r: 1/3)
d) Quantidade de regiões triangulares e de regiões de quadriláteros. (r:
2/3)
3. Também podemos introduzir o conteúdo de razão trazendo para a sala de aula
algumas propagandas, recortes de jornais ou reportagens que falem sobre o
cotidiano dos alunos:
a) 9 entre 10 jovens tomam Coca-cola;
b) Do total de 30 canais de televisão, apenas dois já entraram na era digital, isto é,
2/30 estão na era digital;
c) Discutindo assuntos polêmicos, como por exemplo: o índice de meninas grávidas
na adolescência. “Cerca de uma em cada cinco gestações ocorrem com meninas
menores de 20 anos, ou seja, a razão entre adolescentes grávidas com idade
inferior a vinte anos e todas as outras mulheres grávidas é de 1/5.”
4. Podemos também, iniciar a abordagem deste conteúdo comparando figuras. Veja
a sugestão:
No dia anterior à aula, peça aos alunos, como tarefa de casa, que peguem uma
foto 3/4 e tirem xerox da mesma, ampliando-a 2 vezes. Eles deverão trazer duas
fotos para a aula seguinte.
A partir das fotos, peça que analisem se ocorreu alguma alteração em relação a
composição da imagem de cada um. Em seguida, observem se todos os traços
ampliados têm a mesma razão. Para isso, escolha um determinado traço na figura
pequena e os mesmos pontos na figura grande. Repita este procedimento várias
vezes. Se a razão se mantiver, é porque as figuras são proporcionais.
Cabe a você, professor, dizer a eles que mesmo as fotos serem de tamanhos
diferentes, as imagens correspondentes às mesmas se mantiveram com
dimensões proporcionais, ou seja, que quando se observa este fato diz-se que as
imagens são proporcionais ou que há proporcionalidade entre as dimensões.
Assim você fará uma breve introdução sobre o próximo assunto que iremos
abordar.
Os alunos farão diferentes tipos de registros. Somente após o término desta atividade é
que o professor poderá indicar a forma correta de expressar a “razão”, nomeando seus
termos. Vejamos:
Os termos de uma razão recebem nomes especiais. Veja na “razão” , o
número 3 é chamado de antecedente, e o número 20 de consequente.
Lê-se: “3 está para 20”.
7.2. Proporção
Objetivos
Construir o conceito de proporção.
Identificar os termos de uma proporção.
Um pouco de história:
Segundo (FERRAZ, 2004, p. 1), “a palavra proporção vem do latim proportione e
significa uma relação entre as partes de uma grandeza. A idéia de proporção é muito
antiga. Euclides expõe a teoria das proporções no quinto livro da sua obra Elementos. Já
no século XV, o matemático árabe Al – Kalsadi utilizou o símbolo (...) para indicar as
proporções e, em 1537, o italiano Niccolo Fontana de Brescia (1499 – Venecia, 1557),
conhecido como Tartaglia, escreveu uma proporção na forma 6\\3\\8\\4. Foram os
matemáticos italianos que divulgaram o emprego das proporções durante o período do
Renascimento.”
Fique por dentro...
Você sabia????
Segundo (PAULA, 2007, p. 56) “ Tartaglia significa GAGO? E que Niccolo
Fontana recebeu este apelido por sua dificuldade em falar, pois ele foi
gravemente ferido com golpes na cabeça e na face durante um saque na
Brescia (sua cidade de origem) por tropas francesas.”
O conceito de proporção está atrelado ao conceito de razão. Vamos retomar estes
conceitos com algumas aplicabilidades discutindo algumas formas de ensinar este
conteúdo.
Podemos introduzir a idéia de proporção, após ter trabalhado bem o conceito de razão.
Para ilustrar esta idéia, iniciaremos nossos estudos apropriando novamente da
Geometria. Observe os seguintes retângulos:
Retângulo 1:
Retângulo 2:
Vamos analisar e responder as seguintes perguntas:
a) Qual a medida das dimensões do retângulo (altura e comprimento)? Expresse a
medida em unidades (u). (r: Retângulo 1: altura 3 u e comprimento 5 u, retângulo
2: altura 6 u e comprimento 10 u)
b) Qual a razão entre a medida da altura do retângulo menor e a medida do
retângulo maior? E do comprimento? (r: 3/6 e 5/10)
c) Observe as razões obtidas entre a altura e o comprimento do retângulo. O que
você conclui? (r: Que são iguais.)
Quando duas razões são iguais, elas formam uma proporção. Logo, baseados no que
acabamos de fazer , ou seja, a razão entra a altura e o comprimento dos
retângulos, são iguais. Então podemos dizer que, os retângulos são proporcionais.
7.2.1. Propriedade Fundamental das Proporções:
Objetivos
Reconhecer a propriedade fundamental das proporções.
Identificar grandezas proporcionais.
Determinar a razão entre grandezas..
De modo geral, em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos
extremos e vice-versa. Simbolicamente:
Formalizando...
Se duas razões são iguais elas formam uma proporção.
Se a razão entre os números a e b, c e d é a mesma, ou seja, e
,dizemos que a igualdade é uma proporção.
Os números a, b, c, d que formam uma proporção, são denominados termos
da proporção, onde a e d são os extremos e b e c são os meios.
Indica-se por e lê-se “a” está para “b”, assim como, “c” está para “d ”.
Curiosidade:
Em se tratando desta propriedade de proporção, os alunos sempre cometem o erro de
usar o termo “multiplicar cruzado”.
Algebricamente, temos
Se os denominadores são iguais, resta aos numeradores serem iguais. Daí vem que a.d =
b.c.
Vamos praticar...
1) Em um estojo há 21 canetas. A razão entre o número de canetas azuis para
o número de canetas vermelhas é de 3 para 4. Pergunta-se: quantas
canetas azuis e quantas canetas vermelhas há no estojo? (r: 9 azuis e 12
vermelhas)
2) José e Eduardo colecionam figurinhas e a diferença entre a quantidade de
figurinhas de José para Eduardo é de 200 figurinhas. A razão entre a
quantidade de figurinhas de José e Eduardo é de 7 para 5. Calcule a
quantidade de figurinhas de cada um. (r: José e Eduardo têm 700 e 500
figurinhas respectivamente)
7.2.2. Grandezas Proporcionais:
Você já parou pra pensar sobre o que é uma grandeza?
É tudo aquilo que pode ser medido ou contado, como massa, peso, comprimento, tempo,
temperatura, idade, preço etc.
Antes de formalizarmos os conceitos, observe e analise os seguintes exemplos:
a) Se você gasta 1 litro de gasolina para percorrer 2 km, quanto você gastará para
percorrer 1 km? Neste exemplo, a distância percorrida caiu pela metade, logo,
você reduzirá pela metade também, o consumo de gasolina.
b) Em uma papelaria cobram R$ 0.09 por página xerocada. Se eu xerocar 13 páginas,
quanto vai custar? Note que a cada página xerocada, tenho um custo de R$ 0.09,
ou seja, se eu xerocar uma página irá me custar R$ 0.09, duas R$ 0.18, três R$
0.27 e assim por diante. À medida que aumenta o número de páginas aumentará
o meu custo. Logo 13x0.09 = R$ 1.17.
c) Daniel gasta para pintar uma extensão de 3 metros quadrados, 5 litros de tinta.
Para pintar um quarto de 15 metros de área, quantos litros ele gastar? Preste
bastante atenção... Observe que a área a ser pintada triplicou de tamanho, logo
ele irá gastar três vezes o número de tinta...
De acordo com estes exemplos, o que você notou de semelhante entre eles? Qual a
relação entre as grandezas? Observamos que quando uma das grandezas dobra, triplica,
fica pela metade, etc., a outra grandeza também aumenta ou diminui na mesma
proporção.
Generalizando...
De forma análoga, observe estes exemplos:
a) Seis pedreiros levam 1 dia para construir um muro. Se diminuirmos o número de
pedreiros para 2, o muro ficará pronto em três dias. Ou seja, quanto maior o
número de pedreiros utilizados na construção do muro, menor o tempo gasto
para construção do mesmo.
b) Agora, veja e analise a tabela. O que acontece nas transições do primeiro para o
segundo termo? E do segundo para o terceiro?
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando,
aumentando/diminuindo uma delas, a outra aumenta/diminui na
mesma razão da primeira, ou seja, duas grandezas diretamente
proporcionais variam sempre na mesma razão.
1° termo 2° termo 3° termo
Velocidade Média (km/h) 30 60 15
Tempo (h) 2 1 4
Note que, enquanto a velocidade do 1° para o 2° termo é multiplicado por 2, o tempo é
dividido por 2. Já no 2° termo para o 3° termo, a velocidade é dividida por 4, enquanto o
tempo é multiplicado por 4.
Quando isto acontece dizemos que as grandezas são inversamente proporcionais.
Generalizando...
7.3. Regra de três Simples e Composta.
Objetivos
Determinar a regra de três simples.
Resolver problemas que envolvem regra de três simples.
Um pouco de História...
Segundo (BALIELO, 2005, p.1), “na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a Regra
de Três. No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa ou Leonardo Pisano (1170 – 1250),
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando aumentando
uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira, ou seja, duas
grandezas inversamente proporcionais variam sempre na razão inversa
da outra.
que nasceu na cidade de Pisa, na Itália, difundiu os princípios da regra de três em seu
livro, Líber Abaci, com o nome de ‘Regra dos Três Números Conhecidos’.”
Curiosidade...
Por que o nome “Regra de Três”?
Porque você conhece três termos e quer descobrir o quarto.
7.3.1. Regra de Três Simples
É um processo prático para resolver problemas através de proporções utilizando duas
grandezas,...
Agora leia e analise a situação problema:
Num dia de sol, Janete e Paulo mediram suas sombras. Janete tem 165 cm de altura e
Paulo 180 cm. Sabendo que em um determinado horário, o comprimento da sombra de
Paulo era 60 cm, qual o comprimento da sombra de Janete no mesmo horário?
Como você resolveria este problema?
Levante os dados do problema e coloque estes dados em uma tabela com as grandezas
de mesma espécie na mesma coluna. Observe:
Altura Sombra
165 X
180 60
O que você pode notar em relação às grandezas?
Elas são diretamente proporcionais, pois à medida que a altura aumentar a sombra
também irá aumentar na mesma proporção.
Logo, temos que:
Então, pela propriedade fundamental das proporções:
180X = 60.125
X = 55 cm
Outro exemplo:
Uma torneira enche um tanque em 20 minutos, com uma vazão de 15 l/min. Se a
torneira diminuir a vazão para 5l/min., quantos minutos serão necessários para encher
o tanque?
De forma análoga ao exemplo anterior, vamos montar a tabela.
Tempo (min.) Vazão (l/min.)
20 15
X 5
Note que a medida que a vazão diminui o tempo irá aumentar na mesma proporção, logo
estas grandezas são inversamente proporcionais.
Para resolver este exercício, devemos inverter uma das razões da proporção. Assim:
Depois disso, aplicaremos a propriedade fundamental das proporções:
5.X= 20.15
X=60 min.
7.3.2. Regra de Três Composta
Objetivos
Determinar a regra de três composta.
Resolver problemas que envolvem regra de três composta.
De modo análogo a regra de três simples, a regra de três composta resolve situações-
problema que envolvam mais que duas grandezas, dos mais variados tipos. Nós só
conseguimos resolver estas situações-problema, se de duas em duas, as razões forem
proporcionais (inversamente ou diretamente).
Exemplo:
Em um prédio, 6 pintores pintam uma área de 300 m2 em 2 horas. Quantos pintores são
necessários para pintar uma área de 400 m2 em 1 hora?
Da mesma forma que nos exemplos de regra de três simples, levante os dados do
problema e coloque estes dados em uma tabela com as grandezas de mesma espécie na
mesma coluna.
Pintores Área Tempo
Importante: Compare cada grandeza com aquela que tem a variável.
6 300 2
X 400 1
Agora, analise as grandezas, duas a duas.
Primeiramente compare pintores com área. Se os 6 pintores pintam uma área de 300 m2,
então, aumentando a quantidade da área para 400 m2, vamos precisar de mais pintores.
Logo estas grandezas são diretamente proporcionais.
Vamos comparar agora, a grandeza pintores com a grandeza tempo, como fizemos
anteriormente, com a grandeza área.
É muito importante saber que a grandeza que tem a incógnita x é a que deve ser
comparada com as outras grandezas.
Comparando, então...
Utilizando 6 pintores gastaremos 2 horas, para gastar uma hora de pintura precisaremos
de mais pintores. Logo estas grandezas são inversamente proporcionais.
Neste caso devemos:
a) Inverter os valores da razão onde as grandezas são inversamente proporcionais
àquela que contém a incógnita e permanecer aquela que é diretamente
proporcional. Assim:
b) Igualar a razão que tem o termo x com o produto das outras razões:
Assim, serão necessários 16 pintores...
Vamos praticar...
1) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04
confeiteiros poderão fazer 320 tortas? (r: 6 dias)
2) Um muro é construído em 6 dias por 20 operários, trabalhando 9 horas por dia.
Em quantos dias 12 operários, trabalhando 5 horas por dia, podem fazer o muro?
(r: 18 dias)
3) Um ciclista percorre em média200 km em 2 dias, se pedalar durante 4 horas por
dia. Em quantos dias este ciclista percorrerá 500 km, se pedalar 5 horas por dia?
(r: 4 dias)
4) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kg de ração. Se
mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para
alimentá-los durante 12 dias. (r: 7260 kg)
5) Um grupo de jovens fabrica em 16 dias 320 colares de 1,20 m cada. Quantos
colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias? (r: 96 colares)
Pra final de conversa...
Chegamos ao fim da nossa disciplina!
Os tópicos abordados são muito importantes, pois como fazem parte de disciplinas do
ensino fundamental que são pré-requisitos daquelas que os alunos irão cursar
posteriormente.
Muitos assuntos abordados envolvem ocorrências do nosso cotidiano por isso
esperamos que os conhecimentos adquiridos fossem bem aplicados na sua vida.
Como essa é uma das primeiras disciplinas cursadas por você, esperamos que tenha
alcançado sucesso nas atividades e continue com empenho, bom aproveitamento e
dedicação a todas as disciplinas desse curso.
Almejamos seu sucesso no desenvolvimento de todas as atividades!!!
Referências
ANDRINI, A.; VASCONCELLOS, M. J. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil,
2002. p. 13.
BALIELO, D.F. & SODRÉ, U. Ensino fundamental: Aplicações das razões e proporções.
2004. Disponível em:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/razoes/razoes-
aplic.htm#m108b05. Acesso em: março de 2010.
BELUSSI. G. M.. et ali. Número de ouro. 2005. Disponível em:
http://www.mat.uel.br/geometrica/artigos/ST-15-TC.pdf. Acesso em: 01/05/2010.
FERRAZ, H. Sistemas de Proporções Matemáticas. Revista Eletrônica de Ciências, nº
26, abr. 2004. Disponível em:
http://www.cdcc.usp.br/ciencia/artigos/art_26/proporcao.html. Acesso em: março de
2010.
GIOVANNI, J. R., GIOVANNI JUNIOR, J R. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo:
FTD, 2005..
GIOVANNI, J. R., CASTRUCCI, B., GIOVANNI JUNIOR, J. R., A conquista da matemática.
São Paulo: FTD, 1998.
OLIVEIRA, S. et AL. Páginas dos números primos. 2005. Disponível em:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm12/Historia.htm. Acesso em: março de 2010.
PAULA, L. A interpretação geométrica dos números imaginários no século XIX: a
contribuição de Jean Robert Argand (1768-1822). 2007. 157 f. Dissertação
(Mestrado). - Instituto de Educação, Universidade Federal de Mato Grosso. Cuiabá, 2007.