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Acredita Bach- 2014
Matemticas
Razonamiento y resolucin de
problemas
Inductivo
Acredita Bach 2014 Razonamiento y resolucin de problemas
RazonamientoRazonar es discurrir, ordenando ideas en la
mente para llegar a una conclusin
Deductivo
Generalizar a partir de casos
particulares
Conjeturas como resultado de
observaciones repetidas.
Posibilidad de conclusiones
errneas
Particularizar un principio
general.
Aristteles estableci los
principios generales del
razonamiento deductivo.
Ejemplo de razonamiento
inductivo
(de lo particular a lo general)
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Ejemplo de razonamiento
deductivo
(De lo general a lo particular)
Premisa 1: Cuando Juan toca lallama de un encendedor se
quema
Premisa 2: Cuando Juan toca una
estufa encendida se quema
Premisa 3: Cuando Juan toca la
jarra de la cafetera caliente se
quema
Conclusin: Si tocas un objeto
caliente te quemas
Premisa mayor: Todos losmircoles Juan sale 10 minutos
antes de su trabajo
Premisa menor: Hoy es
mircoles
Conclusin: Hoy Juan saldr 10
minutos antes de su trabajo
Razonamiento deductivo en la resolucin de problemas matemticos
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En el razonamiento deductivo usamos enunciados generales y los
aplicamos a situaciones especficas.
Ejemplo
Teorema de Pitgoras: En cualquier tringulo rectngulo, la suma de los
cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
Si loscatetos de un tringulo particularmiden
a = 3 cm y b = 4 cm, entonces podemosconocer la longitud de la hipotenusa
mediante la aplicacin del teorema.
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Razonamiento inductivo en la resolucin de problemas matemticos
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Caso 1:
Cul es la regla ms probable para este patrn?
1, 2, 3,
La regla ms probable es: sumar uno al nmero anterior
Razonamiento inductivo en la resolucin de problemas matemticos
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Caso 2:
Cul es el nmero que sigue en la lista 2, 9, 16, 23, 30, ?
Un patrn probable es: sumar siete al nmero anterior; por tanto el
nmero que sigue en la lista es 37.
Otro patrn probable es: escribir las fechas de los domingos de los
meses de junio y julio en un calendario; por tanto el nmero que sigue
en la lista es 7.
Razonamiento inductivo en la resolucin de problemas matemticos
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Recuerda:
Nunca podemos estar seguros de que la verdad en un casoespecfico ser verdad en lo general. El razonamiento
inductivo no garantiza un resultado verdadero, pero ofrecelos medios para hacer una conjetura.
Razonamiento inductivo en la resolucin de problemas matemticos
Ejercicios
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1. Cul es el nmero que sigue en la lista 5,9,13,17,21,25,29,?
Patrn ms probable: Sumar 4 al nmero anterior; por tanto el
nmero que sigue en la lista es 33.
(Este es un ejemplo de una secuencia aritmtica).
2. Cul es el nmero que sigue en la lista 1,1,2,3,5,8,13,21,?
Patrn ms probable: Iniciando con el tercer nmero de la lista, el 2,
cada nmero se obtiene sumando los dos n meros anteriores de la
lista. Es decir: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, y as sucesivamente. Por tanto el
nmero que sigue en la lista es 13+21=34.
(stos son los trminos iniciales de la famosa sucesin de Fibonacci).
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Ejercicios
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3. Cul es el nmero que sigue en la lista 2,4,8,16,32,?Patrn ms probable: Iniciando con el segundo n mero, duplicar el
nmero anterior; por tanto el nmero que sigue en la lista es 64.
(Este es un ejemplo de una secuencia geomtrica).
4. Cul es el nmero que sigue en la lista 3,6,9,15,24,39,?
Patrn ms probable: Iniciando con el tercer nmero de la lista, el 9,
cada nmero se obtiene sumando los dos nmeros anteriores de la
lista. Es decir: 3+6=9, 6+9=15, 15+24=39, y as sucesivamente.
Por tanto el nmero que sigue en la lista es 24+39 = 63.
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Ejercicios
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5. Cul es el nmero que sigue en la lista ?
6. Cul es el nmero que sigue en la lista 1,8,27,64,125,?
Patrn ms probable: 13, 23, 33, 43, 53, y as sucesivamente
63 = 216
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7. Cul es el nmero que sigue en la lista 4,7,12,19,28,39?
8. Cul es el nmero que sigue en la lista
5,3,5,5,3,5,5,5,3,5,5,5,5,3,5,5,5,5,?
Patrn ms probable: Mientras que el 3 permanece constante, el 5 se
repite en incrementos de uno. Por tanto, el siguiente nmero es:
5
Patrn ms probable: la diferencia entre los nmeros de la lista se
incrementa en dos cada vez. Por tanto, el siguiente nmero es:39 + 13 = 52
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9. Cul nmero sigue en la lista -1, 2, -3, 4, -5, 6,?
10. Elabora una secuencia aritmtica de modo que el siguiente nmero
sea 60.
Una solucin puede ser: 10,20,30,40,50,
Patrn ms probable: Los nmeros se incrementan en uno, mientras
que se alternan los signos positivo y negativo. El siguiente nmero es:
-7
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11. Considerando la siguiente lista de ecuaciones, prediga la igualdad(factores y producto) quesigueen la lista
37 x 3 = 111
37 x 6 = 222
37 x 9 = 333
37 x 12 = 444
Patrn ms probable: E l primer f ac tor es c onst ante e igual a 3 7, el
segundo factor es un mltiplo de 3, el resultado es un nmero de 3
dgitos iguales quese incrementande unoen uno.
Por tanto, la siguienteigualdad es:
37 x 15 = 555
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Ejercicios
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12. Considerando la siguiente lista de ecuaciones, prediga la ecuacinque sigueen lalista
(9 x 9) + 7 = 88
(98 x 9) + 6 = 888
(987 x 9) + 5 = 8888
(9876 x 9) + 4 = 88888
(98765 x 9) + 3 = 888888
Razonamiento inductivo en la resolucin de problemas matemticos
Ejercicios
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13. Considerando la siguiente lista de ecuaciones, prediga la ecuacin
que sigue enla lista
3367 x 3 = 10101
3367 x 6 = 20202
3367 x 9 = 30303
3367 x 12 = 40404
3367 x 15 = 50505
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Ejercicios
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14. Considerando la siguiente lista de ecuaciones, prediga la ecuacin
que sigueen lalista
5(6) + 5(36) + 5(216) + 5(1296) + 5(7776) = 6(7776-1)
5(6) =
5(6) + 5(36) =
5(6) + 5(36) + 5(216) =
5(6) + 5(36) + 5(216) + 5(1296) =
6(6-1)
6(36-1)
6(216-1)
6(1296-1)
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Ejercicios
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15. Piensa un nmero y sigue estospasos:a) Multipl calopor2
b) Suma 6
c ) Divideent re2
d) Resta elnmero que pensaste
e) Escribe elresultado 3
f) Cambia el nmero 6 del inciso b) por el nmero 8
g) Escribe el resultado 4
h) Cambia el nmero 8 del inciso b) por el nmero 10
i) Escribe el resultado 5
j) Explica cmo predecir el resultado final.
Secuencias numricas
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Secuencia aritmtica: Tambin llamada progresin
aritmtica. Cada trmino despus del primero se obtienesumando el mismo nmero, llamado la diferencia comn.
3,9,15,21,27, la diferencia comn es 6
100,95,90,85,80, la diferencia comn es -5
1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 5/4, la diferencia comn es
Para encontrar la diferencia comn, se elige cualquier
trmino que no sea el primero, y se le resta el trmino
anterior.
Secuencias numricas
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Secuencia geomtrica: Tambin llamada progresin
geomtrica. Cada trmino despus del primero se obtiene
multiplicando por el mismo nmero, llamado razn comn.
2,4,8,16,32, la razn comn es 2
1,5,25,125,625, la razn comn es 5
1/3, 3/3, 9/3, 27/3, 81/3, la razn comn es 3
Para encontrar la razn comn, se elige cualquier trmino
que no sea el primero, y se divide entre el trmino anterior.
Secuencia aritmtica, geomtrica o ninguna de las dos?
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a) 5, 10, 15, 20, 25,
La diferencia comn es 5, es una secuencia aritmtica.El siguiente trmino es:
25 + 5 = 30
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Secuencia aritmtica, geomtrica o ninguna de las dos?
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b) 3, 12, 48, 192, 768,
La razn comn es 4. Por tanto, es una secuencia geomtrica.
El siguiente trmino es:
768 x 4 = 3072
Secuencia aritmtica, geomtrica o ninguna de las dos?
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c) 1, 4, 9, 16, 25,
Esta lista no contiene una diferencia comn ni una razn
comn, sin embargo existe un patrn:
12, 22, 32, 42, 52,
El siguiente trmino es:
62 = 36
La secuencia no es aritmtica ni geomtrica.
Mtodo de las diferencias sucesivas
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2, 6, 22, 56, 114,
2 6 22 56 114
4 16 34 58
12 18 24
6 6Diferencia comn 6
30
88
202
Mtodo de las diferencias sucesivas
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a) Determina el nmero que sigue en la secuencia:
14, 22, 32, 44,
58
b) Determina el nmero que sigue en la secuencia:
5, 15, 37, 77, 141,
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Patrones numricos y frmulas de sumas
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1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
Lado izquierdo:
Suma de nmeros
impares
Lado derecho:
Cuadrado del nmero de
trminos del lado izquierdo
Patrones numricos y frmulas de sumas
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1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
1 + 3 + 5 + 7 + (2n 1) = n2
n = nmero de trminos
2n 1 = ensimo nmero impar
Frmula, regla o modelo de la suma de nmeros impares
Patrones numricos y frmulas de sumas
Acredita Bach 2014 Razonamiento y resolucin de problemas
1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
1 + 3 + 5 + 7 + (2n 1) = n2
Seis trminos (n=6):
Ocho trminos (n=8):
Veinte trminos (n=20):
Mil trminos (n=1000):
La suma es 62 = 36 (1+3+5+7+9+11= 36)
La suma es 82 = 64 (1+3+5+7+9+11+ 13+15=64)
La suma es 202 = 400
La suma es 10002 = 1,000,000
Patrones numricos y frmulas de sumas
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Lado izquierdo:
La suma de los pr imerosn nmerosnaturales
1+2+3+4+n
Lado derecho:
Es de la forma
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Patrones numricos y frmulas de sumas
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Frmula, regla o modelo de la suma de
los nmeros naturales comenzando con 1:
Seis trminos (n=6):
La suma es
(1+2+3+4+5+6 = 21)
Encontrar el ensimo trmino de una secuencia
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7, 14, 21, 28,35, . . .
Es una secuencia aritmtica, la diferencia comn es +7
Posicin 1 2 3 4 5 n
Trmino 7 14 21 28 35
Forma 7 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7n
Frmula, regla o modelo de la secuencia: 7n
El sexto trmino es: 7(6) = 42
El cuadragsimo trmino es: 7(40) = 280
El octogsimo trmino es: 7(80) = 560
El millonsimo trmino es: 7(1,000,000) = 7,000,000
Encontrar el ensimo trmino de una secuencia
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8, 15, 22, 29,36, . . .
Es una secuencia aritmtica, la diferencia comn es +7
Posicin 1 2 3 4 5 nTrmino 8 15 22 29 36
Forma (7 1)+1 (7 2)+1 (7 3)+1 (7 4)+1 (7 5)+1 7n+1
Frmula, regla o modelo de la secuencia: 7n+1
El sexto trmino es: 7(6)+1 = 43
El quincuagsimo trmino es: 7(50)+1 = 351
El nonagsimo trmino es: 7(90)+1 = 631
El milsimo trmino es: 7(1000)+1 = 7001
Encontrar el ensimo trmino de una secuencia
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25, 20, 15, 10, 5, . . .
Es una secuencia aritmtica, la diferencia comn es -5
Posicin 1 2 3 4 5 nTrmino 25 20 15 10 5
Forma (-5 1)+30 (-5 2)+30 (-5 3)+30 (-5 4)+30 (-5 5)+30 -5n+30
Frmula, regla o modelo de la secuencia: -5n+30
El sexto trmino es: -5(6)+30 = 0
El trigsimo trmino es: -5(30)+30 = -100
El septuagsimo trmino es: -5(70)+30 = -320
El diezmilsimo trmino es: -5(10000)+30= -50290
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Encontrar el ensimo trmino de una secuencia
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Si el patrn de formas T contina, cuntos cuadros habr en la
centsima forma T?
Posicin 1 2 3 4 n
Trmino 5 8 11 14
Forma (3 1)+2 (3 2)+2 (3 3)+2 (3 4)+2 3n+2
En la centsima forma T habr 3(100) + 2 = 302 cuadros
Encontrar el ensimo trmino de una secuencia
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El ayuntamiento se ha planteado decorar algunas calles de la ciudad
colocando jardineras de forma hexagonal (figuras negras) en hilera,
rodeando cada jardinera con baldosas de color blanco (figuras blancas),
como se muestra en el grfico. Las jardineras pueden ser simples (tienen
una sola jardinera) o compuestas (con ms de una jardinera).
Desarrolla un modelo matemtico que calcule el n mero de baldosas
segn el nmero de jardineras del arreglo.
El tcnico de urbanismo ha dibujado el esquema para 10 y para 20
jardineras. Indica el nmero de baldosas que necesitar en cada caso.
Encontrar el ensimo trmino de una secuencia
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Modelo matemtico:
# de jardineras 1 2 3 4 n
# de baldosas 6 10 14 18
Forma (4 1)+2 (4 2)+2 (4 3)+2 (4 4)+2 4n+2
4n+2
Para 10 jardineras se requieren 4(10) + 2 = 42 baldosas
Para 20 jardineras se requieren 4(20) + 2 = 82 baldosas
Encontrar el ensimo trmino de una secuencia
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3, 6, 12, 24,. . .
Es una secuencia geomtrica, la razn comn es r = 2 y el primer
trmino es 3
Posicin 1 2 3 4 n
Trmino 3 6 12 24
Forma 3 20 3 21 3 22 3 23 3rn-1
Frmula, regla o modelo de la secuencia: 3rn-1
El sexto trmino es: 3(2)6-1 = 96
El dcimo trmino es: 3(2)10-1 = 1536
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Razonamiento y resolucin de problemas
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Tiempo de ser creativo
Disea tus propios ejercicios creando:
a) Ejemplos de razonamiento inductivo y deductivo
b) Patrones numricos, de colores y formas
c) Secuencias aritmticas y geomtricas.